תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L

תמליל

1 תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L, K סימני יחס חד מקומיים,R לכל אחד מהביטויים הבאים, קבעו האם הוא נוסחה אטומית, נוסחה, שם עצם, פסוק או אף אחד מהנ"ל (שימו לב שאותו ביטוי יכול להתאים לכמה קטגוריות). אם הביטוי הוא נוסחה, ציינו מהם המשתנים החופשיים שלה. (א) L(L(x)) חסר משמעות, סימן יחס "מופעל" על נוסחה. (ב) d) R(G(c, T (d)), c, נוסחה, נוסחה אטומית, פסוק (ג) x)) x y(t (x, y) = T (y, חסר משמעות, T סימן פונקציה חד מקומי. (ד) L(y) נוסחה, משתנים חופשיים: y (ה) y)) L(x) y(r(c, c, נוסחה, משתנים חופשיים: x (ו) d)) G(b, G(c, שם עצם, שימו לב כי b הוא משתנה חופשי (ז) L(x)) x(k חסר משמעות, K סימן יחס חד מקומי. (ח) z) G(x, y) G(y, z) G(x, חסר משמעות, קשרים לוגיים בין שמות עצם. (ט) )) 5 x 4, x 5 (R(x 1, x 4, x 5 ) R(x 2, x 4, x 5 ) R(x 3, x 4, x 5 ) (x 4 = x נוסחה, משתנים חופשיים: x 1, x 2, x 3 2. תהי } F L =,L},R השפה עם סימן יחס חד מקומי L, סימן יחס דו מקומי R וסימן פעולה דו מקומי.F תהי X קבוצה ויהי, τ, M = P(X), מבנה מפרש לשפה L כאשר P(X) τ קבוצה כלשהי. (א) כתבו נוסחאות בשפה L המתארות במבנה M את העובדות הבאות: x i. היא הקבוצה הריקה. ϕ (x) := y(r(y, x) y = x) ϕ (x) := y(r(x, y)) ϕ (x) := y(f (y, x) = x) 1

2 x היא יחידון..ii ϕ s (x) := ϕ (x) y(r(y, x) (y = x ϕ (y)).iii בכל איבר השייך ל τ יש לפחות שני איברים. ϕ := x(l(x) (ϕ (x) ϕ s (x)) ϕ := x(l(x) y z(ϕ s (y) ϕ s (z) R(y, x) R(z, x) y = z)) ϕ := x(ϕ (x) L(x)) x(ϕ s (x) L(x)) τ. איבר של הוא חיתוך של שתי קבוצות השייכות ל τ.iv ψ := x y(l(x) L(y) L(F (x, y))) (ב) הוכיחו כי אם נוסחה iv נכונה במבנה M, אז חיתוך של כל מספר סופי (גדול מ 0 ) של קבוצות השייכות ל τ הוא איבר של τ. הוכחה: נוכיח טענה זו באינדוקציה. נגדיר קבוצה {0} {לכל X τ כך ש n X = נכון ש τ A = {n N X A היא קבוצה של טבעיים ש 0 שייך לה. עלינו רק לבדוק את צעד האינדוקציה כדי להסיק.A = N נניח כי.n A נראה כי A,.n + 1 תהי X τ קבוצה בת + 1 n איברים..n + 1 = 1 A כלומר. X = x τ ולכן x τ לאיזשהו X = {x} אז :n = 0 > 0 :n נקבע x X כלשהו ונסמן {x}.x = X \ מהנחת האינדוקציה, כיוון ש X בת n איברים, X τ. מאמיתות הנוסחה מסעיף iv במבנה, נובע גם,x X τ אבל למעשה X X = x. כיוון ש X כללית,.n + 1 A ממשפט האינדוקציה נקבל כי A. = N הטענה הראשית נובעת מעובדה זו בבירור. (ג) כתבו במילים את משמעות הנוסחאות הבאות במבנה M, נסו למצוא ניסוח מדויק אך תמציתי ככל הניתן: ϕ 1 := y(r(y, x)).i משמעות: האיבר x הוא הקבוצה X. ϕ 2 := x(f (y, x) = x).ii משמעות: האיבר y הוא הקבוצה X 2

3 ϕ 3 := w[(r(x, w) R(y, w)) v(r(v, w))] z[r(f (x, y), z)].iii משמעות: x הוא המשלים של y ביחס ל X. הסבר: קבוצה שגם x וגם y חלקיות לה, היא בהכרח X (כל הקבוצות חלקיות לה). כלומר x. y = X בנוסף, החיתוך של x ו y חלקי לכל קבוצה, ובפרט לקבוצה הריקה. כלומר, = y.x אז בסה"כ.x = X \ y ϕ 4 := x y((r(x, y) L(x)) L(y)).iv משמעות: τ סגורה כלפי מעלה בהכלה. כלומר, כל קבוצה שמכילה קבוצה מ τ, שייכת ל τ גם כן. (ד) מצאו קבוצה X וקבוצה { } \ P(X) τ אינסופית כך שבמבנה המתואר M מתקיימות הנוסחאות מסעיפים א. iii, א. iv, ו ג. iv. דוגמא: X = N τ = {A P(N) {56, 100} A} X = N τ = {A P(N) סופית N \ A} דוגמא נוספת (ומעניינת יותר): 3. תהי A קבוצה לא ריקה כלשהי. נזכור כי {1 A,0} היא קבוצת כל הפונקציות מ A ל { 1,0}. נגדיר פונקציות: min : {0, 1} A {0, 1} A {0, 1} A max : {0, 1} A {0, 1} A {0, 1} A D : {0, 1} A {0, 1} A {0, 1} A min(f, g)(x) = min{f(x), g(x)} max(f, g)(x) = max{f(x), g(x)} D(f, g)(x) = f(x) g(x) בשאלה זו, משמעות הסימן \ היא חיסור קבוצות ומשמעות הסימן ( ) היא פעולת המשלים ביחס ל A. (א) הוכיחו כי המבנים, P(A), ו max {1 A, min,,0} איזומורפיים זה לזה ע"י מציאת איזומורפיזם מפורש. פתרון: נתבונן בפונקציות G : P(A) {0, 1} A G(B) = (B {1}) (A \ B {0}) H : {0, 1} A P(A) H(f) = {a A f(a) = 1} נשים לב G H = Id {0,1} A וכן P(A) H G = Id ולכן G, H חח"ע ועל והפוכות זו לזו. לכל B, A נסמן לשם נוחות G(B) f. B = נראה עם כן כי G היא אכן איזומורפיזם: 3

4 f B C (x) = 1 x B או x C f B (x) או = 1 f C (x) = 1 max{f B (x), f C (x)} = 1 max{f B, f C }(x) = 1 f B C (x) = 1 x B וגם x C אז G(C)}.G(B C) = max{g(b), כמו כן, f B (x) וגם = 1 f C (x) = 1 min{f B (x), f C (x)} = 1 min{f B, f C }(x) = 1 אז גם G(C)} G(B C) = min{g(b), כנדרש. (ב) מצאו פונקציות F D, F M, F C כך שהפונקציה שמצאתם בסעיף א' היא איזומורפיזם בין המבנים. {0, 1} A, min, max, D, F M, F C ו P(A),,, F D, \, ( ) פתרון: ההוכחה כי הפונקציה G היא אכן איזומורפיזם גם עם הפונקציות החדשות היא כמו בסעיף א'. הפונקציות הן: F D (B, C) = B C F M (f, g)(x) = max{0, f(x) g(x)} F C (f)(x) = 1 f(x) (ג) האם תוכלו למצוא פתרון שונה לסעיף ב'? נמקו את קביעתכם פתרון: לא, הדרישה מפונקצית האיזומורפיזם מכתיבה בדיוק את ערכי הפונקציות F. D, F M, F C לדוגמה, ידוע כי חייב להתקיים השוויון G(C)),G(F D,B) ((C = D(G(B), ולכן בהכרח עלינו להגדיר G(C))).F D (B, C) = H(D(G(B), הוכיחו כי קיימת פונקציה f : Z N חח"ע ועל N. (א) 4. פתרון: נתבונן בפונקציה { f : N Z f(n) = n/2, זוגי n (n + 1)/2, אי זוגי n זוהי פונקציה חח"ע ועל שכן היא הפיכה ע"י { 2z, z 0 g : Z N g(z) = 1 2z, z < 0 4

5 (ב) הוכיחו כי קיימת פונקציה דו מקומית F : Z Z Z כך שבמבנה F,Z כל האיברים גדירים. רמז: דף תרגילים 6 סעיף 6.א, דף תרגילים 8 סעיף 4.א. פתרון: מהרמזים נסיק כי במבנה +,N כל האיברים גדירים. תהי h : N Z חח"ע ועל כפי שהוכחנו שקיימת בסעיף א'. לכל z 1, z 2 Z נגדיר F (z 1, z 2 ) = h(h 1 (z 1 ) + h 1 (z 2 )) אז בודאי ש h היא איזומורפיזם בין המבנים +,N ו F,Z. מכיוון שאיזומורפיזם שומר ערכי אמת, ניתן להסיק כי כל האיברים גדירים במבנה. 5. תהי L השפה בעלת סימן פונקציה דו מקומי יחיד F. לכל זוג מהמבנים הבאים לשפה L, מצאו פסוק הנכון באחד ולא נכון בשני. M 1 = R, M 2 = P(N), M 3 = N N, M 4 = C, x y(f (x, x) = F (y, y)) x y(f (x, y) = F (y, x)) x y(f (y, y) = x) פתרון: נכון ב M 2 ולא נכון בשאר: לא נכון ב M 3 ונכון בשאר: נכון ב M 4 ולא נכון ב M: 1 5