התמרת פורייה לביא קרפ 1 הקדמה נניחכיפונקציהf רציפהלמקוטעיןבקטע[ 0,[ P,P P,אזמהתאוריהשלטוריפורייהאנו > יודעיםכיניתןלפתחאתהפונקציהf לטורפורייהמרוכב (1.1

תמליל

1 לביא קרפ הקדמה נניחכיפונקציהf רציפהלמקוטעיןבקטע 0, P,P P,אזמהתאוריהשלטוריפורייהאנו > יודעיםכיניתןלפתחאתהפונקציהf לטורפורייהמרוכב ( f(x ( c n = P n= P P c n e inπ P x, f(xe inπ P x dx כאשר nπ טורפורייהמאופייןעלידיהתדרים והאמפליטודה c n שקובעיםאתהפונקציה f כעת P נשאיףאתP לאינסוףוננסהלמצואאתהנוסחאותשמתקבלותמ( ו( לשםכךנגדיר את הפונקציה P (3 f(p,ω = f(xe iωx dx P ω,אז n = nπ נשיםלבשאם P P f(p,ω n = P f(x P n= = { ω n=ω n+ ω n= π P } nπ f(p, P = P P P f(p,ω n e iωnx = n= f(xe inπ P x dx = c n n= f(p,ω n e iωnxπ P f(p,ω n e iωnx ω n ומכאן (4 כלומר,טורפורייההואסכוםרימןעםחלוקהלקטעיםבאורךשווהל π P,במקרההזההחלוקה היאשלהקטע(, לכןכאשר P זהועידוןשלהחלוקהואזמטורפורייה( ו

2 (5 f(x f(ωe iωx dω, (4 נקבל וכאשרמ( 3 אנורואיםש (6 f(ω = lim f(p,ω = lim P P P P f(xe iωx dx = f(xe iωx dx האינטגרל (6 נקרא ואילו (5 נקרא אינטגרל פורייה או הפוכה הנוסחאות( 6 ו( 5 הןהמקבילותלטוריפורייה( ו( בקטע( P,P טורפורייה משחזר פונקציה שמוגדרת בקטע (P,P באמצעות סכום הרמוני,כלומר,התדרים הם כפולות שלמותשלהתדרהיסודיπ והטורהואפונקציהמחזוריתעםמחזור P לעומתזאת,בהתמרת P פורייה,הפונקציה מוגדרת בקטע (, וניתן להתייחס אליה כפונקציה עם מחזור אינסופי, { nπ ואילובהתמרתפורייההתדר אושאינהמחזורית בטורפורייההתדריםבדידים = n P { רציף,(, ω הגדרת הגדרה (התמרתפורייהתהיf פונקציהשמוגדרתבכלR,אז ( F f](ω = f(ω = f(xe iωx dx נקראת של f,בתנאי שהאינטגרל מתכנס ניתן להתייחס אל f(x כאות במרחב הזמן כשהמשתנה x מייצג את הזמן, ואילו התמרת פורייה( f(ω היאפונקציהבמשתנהω שמייצגתאתהאותבמרחבהתדר נהוגגםלהגדיראת התמרתפורייהללאחלוקהב באינטגרל( איןלזההשפעהמשמעותיתאנובחרנואת ההגדרה כפי שמופיעה בספר הקורס הערה האינטגרל ( שמגדיר את הוא אינטגרל לא אמיתי (אינטגרל b מוכלל חישובונעשהבאמצעותהגבולdx lim a,b f(xe iωx בכדילהקלעלהסימונים a נשתמשבהסכמהש( F(b F( = lim b נחשב כעת מספר דוגמאות פשוטות c לביאקרפ

3 0 דוגמה חשבאתהתמרתפורייהשל x f(x = e פתרוןנחשבתחילהאתהאינטגרלבקטע 0, ולאחרמכןבקטעהמשלים e x e iωx dx = lim 0 b b = iω e x e iωx dx = lim 0 b b ( lim b e b e ibω e x( iω dx = lim = iω e x( iω 0 b b iω בחישובהגבולהשתמשנובעובדהש e b שואףלאפסכאשרb שואףלאינסוףו e ibω פונקציה חסומה( = ibω e,לכןהגבולהואאפס אתהחישובשלהחלקהשנינעשהללאגבול,אבל נזכור שאנו למעשה מחשבים אינטגרלים לא אמיתיים ושחישובם כולל חישוב של גבול 0 e x e iωx dx = ( f(ω = 0 e x e iωx dx = 0 e x(+iω dx = e x(+iω +iω = 0 +iω נחברכעתאתשניהאינטגרליםונחלקב וקיבלנואתהתמרתפורייה ( iω + +iω = π(+ω = ( H(x,שנקראת פונקציית מלבן {, x 0, x > דוגמה חשבאתהתמרתפורייהשל פתרוןכעתאיןבעיהעםאינטגרללאאמיתי,אבלנצטרךלחשבלחודאתההתמרהעבור,ω תחילהנניחכי 0 ω = 0 Ĥ(ω = H(xe iωx dx = Ĥ(0 = e iωx dx = e iωx iω dx = π = eiω e iω iω = sinω πω עבור 0 = ω שימולבשבהתמרהשלדוגמה( מתקייםש sinω lim Ĥ(ω = lim ω 0 ω 0 πω = π = Ĥ(0 בהמשךנראהשהתמרתפורייההיאפונקציהרציפהבמשתנהω ואזלמעשהאיןצורךבחישוב ההתמרה עבור ערכים בודדים של ω c לביאקרפ 3

4 =,T(x שנקראת פונקציית { x, x 0, x > דוגמה 3 חשב את של משולש פתרוןנשיםלבש x cosωx פונקציהזוגיתואילו x sinωx פונקציהאי-זוגית לכן T(ω = = π 0 T(xe iωx dx = ( x e iωx dx = ( xcos(ωxdx = ( xsin(ωx πω ( x (cos(ωx isinωxdx sin(ωx dx = cos(ωx πω πω = cosω 0 πω 3 תכונותשלהתמרתפורייה הגדרת לפי האינטגרל ( מתבססת על אינטגרל לא אמיתי, לכן חייבים להגדיר מחלקה שעבורה האינטגרל הזה קיים הגדרה 3 (המחלקה( G(R נתונהפונקציהC,f : R נאמרש f שייכתלמחלקה( G(R, אם:,כלומר,האינטגרל מתכנס בהחלט א < f(x dx ב f רציפהלמקוטעיןבכלקטעסופי a,b ] הטענה הבאה פשוטה להוכחה ונביא אותה ללא ההוכחה טענה 3 יהיוfוg שתיפונקציותבמחלקה( G(R וα,β סקלרים אהתמרתפורייההיאפעולהלינארית,כלומר,( g](ω ] F αf +βg](ω = αf f](ω+βf באםf פונקציהממשית,אז( f(ω f( ω = מוגדרלכלω ( f(ω,כלומר,( f(ω משפט 3 לכל( G(R f מתקיים: א f(x dx ב( f(ω פונקציהרציפהבמשתנהω ג 0 = f(ω lim ω ± c לביאקרפ 4

5 סעיףא פשוטלהוכחהונובעמכךש = iωx e הוכחתהסעיפיםב וג מורכבתולאנביא אותה כאן סעיף ג זה האנלוגיה ללמה של רימן ולבג (Riemann-Lebesgue בטורי פורייה דוגמה 3 האםהפונקציה cosω היאהתמרתפורייהשלאיזושהי( G(R?f התשובה היאשליליתמכיווןש( cosω lim לאקיים סותראתסעיףג שלמשפט 3 ω ± המשפטהבאדןביחסשלהתמרתפורייהשלהפונקציהוהנגזרתשלה lim,אז משפט 3 נניחכי( G(R f,fו 0 = f(x x ± (3 F f ] (ω = (f (ω = iω f(ω = iωff](ω (3 F ניתןלהכלילמשפטזהלסדרגבוהשלנגזרות: משפט( 3 אם( G(R f,f,,f (n ותנאיהנגזרתשלמשפט 3 מתקיים,אז f (n] (ω = (f (n (ω = (iω n f(ω = (iω n Ff](ω למשפט 3 יש משמעות חשובה בתאוריה של משוואות דיפרנציאליות הוא מאפשר להעביר משוואהדיפרנציאליתלמשוואהאלגברית למשל,המשוואה y 5y +4y = f לאחרהתמרת פורייה של הפונקציה y תעבור למשוואה f(ω ω i5ω +4 ŷ(ω = ( האחרונה נקראת משוואה אלגברית תכונה דומה יש להתמרת לפלס שנלמד בחלק האחרון של הקורס ונשתמש בה לפתרון משוואות דיפרנציאליות (f (ω = f (xe iωx dx = f(xe iωx הוכחת משפט 3 נשתמש באינטגרציה בחלקים iωf(xe iωx dx = iω f(ω כאןהשתמשנובהנחהש 0 = f(x lim שגוררשגם 0 = iωx lim x ± f(xe x ± במשפטהבאנראהתופעהדומהעבורהנגזרתשלהתמרתפורייה (33 i d dω f(ω = (xf(x(ω = F xf(x](ω משפט 33 אם( G(R ( f,(xf,אז c לביאקרפ 5

6 d dω f(ω = = d dω f(xe iωx dx = הוכחה נחליף את הסדר בין הגזירה לאינטגרל: d ( f(xe iωx dx dω ( ix ( f(xe iωx dx = i (xf(x(ω באופןדומהניתןלהראותש i n dn dω n f(ω = (x n f(x(ω = F x n f(x](ω כעת יש לנו אפשרות לחשב את אחת ההתמרות החשובות ביותר, זוהי של פונקצייתהפעמוןשלגאוס e x נציב ( f(x,אז( xf(x = e x f (x = xe x = כלומר, קיבלנו את המשוואה ( (ω ln( f = f f f +xf = 0 ממשפטים 3 ו 33 התמרתפורייהשלהמשוואהנותנת iω f +i( f = 0 זוהימשוואהדיפרנציאליתפרידהופתרונהמתקבלבדרךהבאה: (ω = ω אזC + ln( f(ω = ω אוש ( f(ω אתהקבוע = C e ω C נקבעעלידיהערךשלההתמרה בנקודה 0 = ω (34 C = f(0 = (35 F e x dx = = אנונראהאתחישובהאינטגרל( 34 בנספח 8 כעתנסכםש ] ( e x (ω = e x (ω = e ω הערה 3 פונקצייתגאוסהיאהפונקציההיחידהשהתמרתפורייהשלהנותנתאותוסוגשל פונקציה במיליםאחרות,אםנתייחסלהתמרתפורייה F כהעתקהלינארית,אזאנורואים ש e x זוהיפונקציהעצמיתשל F עםערךעצמי נסכםאתחישוביההתמרותשעשינועדכהבטבלהמטהאתשארהחישוביםנעשהבאמצעות תכונות נוספות,משפטי ההתמרה ההפוכה וקונבולוציה c לביאקרפ 6

7 חלקות f(x ˆf(ω דעיכה f רציפה x e f C e x {, x = H(x f לארציפה = T(x f רציפה { 0, x > x, x 0, x > π(+ω e ω sinω πω f(ω ω דועכת מהר מאוד טבלה : התמרות פורייה בסיסיות f(ω ω cosω πω f(ω ω הערה 3 שימו לב לקשר בין חלקות (רציפות/גזירותשל הפונקציה לדעיכה לאפס של ההתמרה באינסוףאםלפונקציהf ישקפיצהבמספרנקודות,אזההתמרהשלהדועכתבקצבשל ω לעומתזאת,אם f רציפה,אזבדרךכלל ω f(ω עבור ω בסביבתאינסוף ואילואם הפונקציהגזירה,אזבדרךכללההתמרהשלהיורדתבקצב 3 ω באינסוף כיצדנחשבאתהתמרתפורייהשל e x בהנחהשההתמרהשל e x ידועה? נשיםלבשאם ( f(x,אז = e x f( x = e x הפעולההזונקראתמתיחה,כיווץ,אודמיון הגדרה 3 (דמיוןנתונהR fו 0 : R > a,אז( f(ax f a (x = נקראדמיון = T(x כאשר { x, x 0, x > איור מתאראתהגרףשלהדמיוןשלפונקצייתהמשולש a ו = a = T איור : כחול: T,אדום: T וירוק: (36 fa (ω = F f a ](ω = a F f] ( ω a טענה 3 אם( G(R fו 0 > a,אז( G(R f a ו = a f ( ω a c לביאקרפ 7

8 הוכחהראשיתזהברורש f a אינטגרביליתבהחלטורציפהלמקוטעיןבכלקטעסופי כעת לחישוב ההתמרה, f a (ω = f(axe iωx dx ax = t dx = dt a iωx = i w a t = f(te iwtdt a a = a f ( ω a נחזורכעתלחישובהתמרתפורייהשל e x נציב e x g(x = e x אז = (x g ומטבלה אנויודעיםאתהתמרתפורייהשלg לפיכך,מטענה 3 נקבלש F e x] ] (ω = F g (ω = ω F g]( = ( ω e = π e ω 4 פעולהגאומטריותנוספתשנשתמשבההיאהזזה כלומר,אם f היאפונקציהשמוגדרתעל כלהקטע(,,אז( f(x a זההזזהימינהשלהגרףשל aבf למשל,אם 0 = 0,f(x אז 0 = f(x a כאשרa + x = x 0 טענה 33 תהיf פונקציהבמחלקה( G(RוR a אז (37 F f(x a](ω = e iaω F f](ω; א (38 F e iax f ] (ω = F f](ω a ב אנו מבחינים בתופעה מעניינת של, שניתן לכנותה הדואליות של התמרת פורייה הזזהבמרחבהזמן,שקולהלפי( 37 להכפלהבפונקצייתהתדר e iaω במרחבהתדר ואילו, הזזה במרחב התדר, שקולה לפי (38 להכפלה ב e iax במרחב הזמן כנאמר לעיל מתקיים גם לגבי גזירה והכפלה במשתנה לפי (3 גזירה במרחב הזמן שקולה להכפלה ב iω במרחבהתדר,וגזירהבמרחבהתדר,שקולהלפי( 33 להכפלהבx במרחבהזמן הוכחה של טענה ( 33 ההוכחה פשוטה ונובעת ישירות מהגדרת על ידי שינוי משתנים באינטגרל נקבל F f(x a](ω = = e iaω F f](ω { f(x ae iωx dx x a = t iωx = iaω iωt } = f(te iaω e iωt dt אתהוכחתסעיףב נשאירלקורא c לביאקרפ 8

9 e x +8x 4 דוגמה 3 חשבהתמרתפורייהשל פתרון החישוב מתבסס על של g(x = e x שידועהמטבלה נתחילבהשלמה ריבועיתשלהמעריך: (x 4 + x,אז +8x 4 = e x +8x 4 = e (x 4 e לכןמספיק לחשבאתההתמרהשל (x 4 f(x = e אתהפונקציהf ניתןלקבלעלידיהפעולותהבאות: (39 g(x g (x (g (x 4 = e (x 4 = f(x איור מתארפעולותאלו כעת,לפיהנוסחאות( 37,(36 וטבלה נקבלש איור : כחול: e,אדום: x e x וירוק: (x 4 e F e (x 4] ( ] (ω = F g (x 4 (ω = e i4ω F g ](ω (x = e i4ω ω F g(x]( = e i4ω π e ω 4 (30 שימולבשלאניתןלשנותאתסדרהפעולות בחישובשלהתמרהאנופועליםבסדרהפוךמ e i4ω+ e ω π (39 נכפילאתהתוצאהשל( 30 ב e ונקבלאתהתשובה: 4 x, x 3 f(x = 5 x, 3 < x 5 אחרת,0 דוגמה 33 חשבהתמרתפורייהשל פתרוןגםבדוגמההזונסתמךעלהזזהוהכפלהבסקלרבשילובשלהתמרתפורייהשלפונקציית המשולש( T(x כפישמופיעהבטבלה מכיווןשרוחבהמשולששלf הוא 4 ושל T הוא,אז נתחיל עם פעולת הדמיון: ( ( T(x T(x T (x 3 T (x 3 = f(x c לביאקרפ 9

10 אתחישובההתמרהנעשהבסדרהפוךולפיהנוסחאות( 36 ו( 37 : ( ] ( F f](ω = F T (x 3 (ω = F T ( cosω = 4e i3ω F T(x](ω = 4e i3ω π(ω ] (x 3 (ω = e i3ω F T ( cosω = e i3ω πω ] (x (ω f(x וסגול: T (x 3 ירוק: T איור 3 : כחול: ( T(x,אדום: (x ] F e x cosx (ω = ( F e x ] (ω +F = ( F דוגמה 34 חשבהתמרתפורייהשלcosx f(x = e x פתרוןתחילהנשתמשבהצגהמרוכבתשלcosx : e x cosx = e x ( e ix +e ix לפיכך,עלסמךטענה 3,נוסחה( 38 והטבלה e x e ix] (ω+f e x e ix] (ω e x ] (ω + = ( π(+(w + π(+(w + בפתרון הדוגמה הזו השתמשנו למעשה בנוסחת המודולציה שהיא תוצאה ישירה של טענה 3, נוסחה (38 נוסחתהמודולציה: נתונה( G(R Rוf a,אז F f cosax](ω = (F f](ω a+f f](ω +a, (3 F f sinax](ω = (F f](ω a F f](ω +a i (3 c לביאקרפ 0

11 f(x = { sinx, x π 0, x > 0 דוגמה 35 חשבהתמרתפורייהשל פתרון נשתמש בנוסחת המודולציה בשילוב עם פונקציית המלבן H(x שההתמרה שלה מופיעה בטבלה לשםכךנצטרךלהתאיםאתרוחבהמלבן H לקטעשבו f אינהשווהזהותית H לאפס,וזאתנעשהעלידיהדמיון π F f](ω = F H π = π ( sin(π(ω i π (ω sinπω =i π( w ] sinx H π איור 4 : שחור: H ואדום כעתנציב (xsinx f(x = H ולפינוסחתהמודולציה( 3 נקבל π (ω = (Ĥ Ĥ i π(ω π sin(π(ω + π (ω + = {sin(α±π= sin α} (ω + π i = π (Ĥ(π(ω Ĥ(π(ω + i ( sinπω π (ω + sinπω π (ω + שימולבשפונקציהזורציפהבנקודות ± = ω f(x = { x, x 0, x > דוגמה 36 חשבהתמרתפורייהשל פתרוןגםכאןנשתמשבעובדהשאנוכבריודעיםאתהתמרתפורייהשלHוש( xh(x f(x = כעת,לפימשפט 33 F f](ω = F xh](ω = i d dωĥ(ω = i d sinω dω πω = iωcosω sinω πω c לביאקרפ

12 4 הפוכה בטוריפורייהמרוכבים,פונקציהC f : π,π] מותמרתלסדרתמספרים n= {c n } לפי הנוסחה c n = f(x = π π f(xe inx dx, ולפי משפט דירכלה ניתן לשחזר אותה לפי הנוסחה n= c n e inx המשפט על הפוכה דומה למשפט דירכלה ומאפשר שיחזור הפונקציה מהתמרת פורייה שלה פונקציה G(R f מותמרת לפונקציה במרחב התדר f(ω = f(xe ixω dx, והמשפט הבא מתאר כיצד ניתן לשחזר את הפונקציה מ שלה משפט 4 (התמרתפורייההפוכהתהי f פונקציהבמחלקה( G(R ו f התמרתפורייהשלה נניחכיבנקודה x 0 הנגזרותהימניות( 0 f R (x והשמאליות( 0 f L (x קיימות אז (4 ( f(x + 0 +f(x 0 = lim M M M f(ωe ix 0ω dω מסקנה 4 אם האינטגרל של f(ω מתכנס בהחלט והנגזרות הימניות והשמאליות קיימות בנקודהx,אזf אזרציפהבנקודהו (4 f(x = f(ωe ixω dω האינטגרל (4 נקרא אינטגרל פורייה, או הפוכה מהזהות (4 נובע שהפונקציה f רציפה לכל x הרציפות של f נובעת ממשפט 3 שבו אנו מחליפים את התפקידיםביןxלω = H(x אז לפי הטבלה {, x 0, x > דוגמה 4 ניקח לדוגמה את פונקציית המלבן עלסמךהמשפט 4,עםההתמרהההפוכהנקבלש lim M M M sinω πω eixω dω =, x <, x = ± 0, x > Ĥ(ω = sinω πω c לביאקרפ

13 f(x = דוגמה 4 חשבהתמרתפורייהשל +x = (ω F e x ] לכןעלסמךהמשפט 4 ו π(+ω פתרוןאנויודעיםמחישוביםקודמיםש e ω = π e x = π +x eixω dx = {x= t} π +ω eixω dω (4 אםנחליףאתהתפקידיםביןxלω נקבל +t e itω dt = F +t ] (ω לכן e ω F (+x ] (ω = F a +x a +x = ] (ω = a F a (+ ( x a > 0, דוגמה 43 חשבהתמרתפורייהשל a +x a = a f (x a = ( f(x,אז פתרוןנציב +x כעת,לפיתכונתהדמיון( 36 ודוגמה 4 אנויודעיםש f a ] (ω = a F f](aω = a e a ω דוגמה 44 חשבהתמרתפורייהשל +4x+3 x פתרון נתחיל עם השלמה ריבועית של המכנה: ( (x+ + = (x x + 4x + 3 = כעתנציב =,f(x אזאתהפונקציה +x 3 שעבורה צריך לחשב את ההתמרה ניתן לקבל באמצעות פעולות הדמיון והזזה הבאות: f(x = x + f (x = 3 9 ( f 3 ( ( (x f (x+ = (x+ = 9( (x+ 3 + ( x+ 3 + c לביאקרפ 3

14 F ( f (x+ ](ω = 9 ( 9 F f (x+ ](ω = eiω F xe x = π F = eiω 6 e 3 ω כעת,לפי תכונת הדמיון ( 36,הזזה (37 ודוגמה 4 d לכןלפימשפט 33, xe x ] (ω = i d dω f 3 (x ](ω = 3eiω 9 F f](3ω x דוגמה 45 חשבהתמרתפורייהשל (+x dx π(+ω = +x = x iω π(+ω פתרוןאנורואיםכי (+x לכןעלידיהמשפטעלההתמרהההפוכה,משפט 4,ונוסחה( 4 נקבלש iω (+ω eixω dω = {ω= u} F x (+x iu (+u e ixu du = 4iF u (+u ] (x עכשיונחליףאתהתפקידיםביןuלx ונקבל ] (ω = i 4 ωe ω 5 קונבולוציה (Convolution נתחיל עם שאלה נתונות שתי פונקציות G(R,f,g מהי ההפוכה של? f(ωĝ(ω ננסהלענותעלהשאלהבאמצעותהחישובהבא: f(ωĝ(ω = = = ( ( ( f(xe ixω dx f(xg(te iω(x+t dxdt g(te itω dt f(xg(z xdx e izω dz }{{} קונבולוציה x+t = z t = z x dt = dz c לביאקרפ 4

15 (5 (f g(x = f(x tg(tdt הגדרה 5 (קונבולוציהעבור( G(R f,g הביטוי נקרא קונבולוציה (f g(x = תיאור גרפי של הקונבולוציה ניתן למצוא באתר אם נכתוב את האינטגרל (5 כסכום רימן, f(x tg(tdt f(x t i g(t i t i, אז( f(x t i זההזזהשל f והקונבולוציההיאבערךסכוםההזזותעםמשקל g(t i t i לכן הקונבולוציה כהרכבה של ההזזות של הפונקציה f ביחס לפונקציה g לדוגמה, { ניתן להבין את ( g(x,אז = a, x a אם x > a 0, (f g(x = a x+a x a f(tdt שזההממוצעשלf בקטע x a,x+a ] משפט 5 (הקונבולציהאם( G(R f,g,אז א( G(R ;f g ב ;f g = g f (5 F f g](ω = F f](ωf g](ω = f(ωĝ(ω ג החלקהעיקרישלהמשפטהואכמובןסעיףג שנותןמענהלשאלהמהיהתמרההפוכהשל f ĝ והוכחבחישוביםמעלה חלקב נובעישירותמחלקג מכיווןשלסדרבכפלשלמספרים מרוכביםאיןחשיבות נוכיחלפיכךאתחלקא הוכחה c לביאקרפ 5

16 אנראה שהקונבולוציה g(x f היא אינטגרבילית בהחלטנעשה זאת באמצעות אי שוויון המשולש לאינטגרלים והחלפת משתנה (f g(x dx = {x t=z} g(t f(x tg(t dt dx = f(z dz dt = g(t dt g(t f(z dz, f(x t dx dt ומכאןשאםfוg אינטגרביליותבהחלט,אזגםg f f(x = sinx אינהשייכתלמחלקה( G(R,אבלהיאהתמרתפורייהשל x הערה 5 הפונקציה השאלההיא פונקצייתהמלבן(עדכדיהכפלהבקבועומקיימתאתהתנאי < dx f(x האם סעיף ג של משפט הקונבולוציה 5 מתקיים גם במקרה הזה? ניתן להראות שבתנאים מסוימיםהתשובההיאחיובית למשלאם gוf מקיימותאתהתנאיםהבאים: f התמרת,f(x = c כאשר פורייה של פונקציה במחלקה,G(R ניתן לבטא זאת כך, f(ωe ixω dω,כנ לעבורg,אז F f g](ω = f(ωĝ(ω f(x dx < ו f G(R F f g](ω = מקיימתאתהתנאימעלה,אז( H(ωĝ(ω gוf(x = sinx x לדוגמה,אם נביא כעת מספר דוגמאות (f חשבאתהקונבולוציה( f(x f(x = דוגמה 5 נתונההפונקציה +x (f f(x = פתרוןא נחשבעלסמךההגדרהלפיהנוסחה( 5 : +(x t +t dt ניתןאמנםלחשבאינטגרלזה,אבלזהלאפשוט לכןנפנהלפתרוןבאמצעותקונבולוציה פתרוןב עלסמךדוגמה 4, e ω f(ω = אזלפימשפטהקונבולוציה ( (f f(ω = e ω = π e ω c לביאקרפ 6

17 , a = צריךלקייםאתהשוויון לפיכך,קבועהדמיוןa f a (ω = f ( ω a a לפיכללהדמיון( 36, או = a כעתנציב f,אז f = cf ĉf(ω = c f(ω = π e ω (f f(x = π 4 f (x = π 4 + ( x = π 4+x לפיכך c = π 4 ו (H ( H(x חשבאתהקונבולוציה( H(x = (53 (H H(x = {, x דוגמה 5 נתונהפונקצייתהמלבן > x 0, H(x th(tdt פתרון א לפי הגדרת הקונבולוציה מכיווןשהפונקציהH היאאחדאואפס,אזהאינטגרל( 53 שווהלאורךהקטעשלהחיתוך, x < ( H H(x אם 0 = x,אזהחיתוךריקו 0 < t }אם : x t } {t : t } אזמתקבלהקטע +,x שאורכוהואx+ x + ( = לכןx+ (H H(x = אם x 0,אזמתקבלהקטע x, ]ו x (H H(x = וכאשרx <,אזהחיתוך ריק לסיכום { x, x (H H(x = 0, x > = T (x פתרון ב כעת נשתמש במשפט הקונבולוציה ובנוסחה (5 לפי הטבלה ונוסחאות טריגונומטריות F T (H H(ω = T ואמנם ( sinω = cosω πω πω לפיטבלתההתמרות,אנורואיםשהפונקציההזושווה ] (ω = 4F T](ω = 4 cosω π(ω = cosω πω הערה 5 אנו רואים שלמרות שפונקציית המלבן H אינה רציפה,הקונבולוציה היא פונקציה רציפה זוהי אחת מהתכונות של קונבולוציה שהיא מחליקה פונקציות כלומר,הגזירות של הקונבולוציה היא מסדר גבוה יותר מאשר של הפונקציות שמרכיבות אותה c לביאקרפ 7

18 5 מסננים (Filters נראהכעתאתהיישוםשלקונבולוציהלמסנןנמוךתדר,אוכפישמוכרבאנגליתpass Low filter נתונהאותf במרחבהזמןו( f(ω מייצגאתהתדריםשלהאותf נניחשאנומעוניינים לתחוםאתהתדריםלתחום{ A (A > 0 {ω R : A ω כלומרנסנןאתכלהתדרים אשרגודלםבערךמוחלטעולהעלA נגדיראתהתמרתפורייהשלהאותהמסונן: f out (ω = { f, ω A 0, ω > A איור 5 : ירוקf,אדוםout f כעתאנוצריכיםלחשבאתהאותהמסונן f out נשיםלבשהתמרתפורייהשלוהיא (54 fout (ω = f(ωh (ω, A כאשר H היא פונקציית המלבן לפיכךאםקיימתפונקציה h A כךש( (ω Fh,אזלפימשפטהקונבולוציה A ](ω = H A (55 f out (x = (f h A(x ] מהי?hA האם?h A = F נצייןשישכאןבעיהמכיווןשהפונקציה H אינהרציפה, H A A לכן היא אינה של פונקציה במחלקה ( G(R,ראה הערה 5 בהסתמך על כך H אינהרציפהונחשבאת A שההתמרה וההתמרה ההפוכה פעולות כמעט זהות,נתעלם מכך ש ההתמרה ההפוכה שלה נתחילעםחישובהתמרתפורייההפוכהשלהפונקציה( H(ω אנויודעיםש FH](ω = sinω אזלפיהמשפטשלההתמרהההפוכה, πω H(x = lim M M M sin(ω πω eiωx dω = lim M M M 8 sin(u u e iux du sinu = F u ] (x c לביאקרפ

19 F sinx כעתנשתמשבדמיון, ] sin(ax F (ω = ] sin(x (ω Ax A F x A ] (ω = sin(ax h A (x = לכן לפימשפט x (56 f out (x = = ( ω A H = A A H (ω A x ] (ω = כלומר( H(ω,F sinax כלומר x H( ω וקבלנו ש A A נצמצםב הקונבולוציה,האות המסונן במרחב הזמן ניתן על ידי (f h A(x = π f(t x sinat dt t הערה 53 מלבד הבעיה שהפונקציה (ω H אינהרציפהולכןהיאאינההתמרתפורייהשל A sinat שואפתבקצב t פונקציה ששייכת למחלקה ( G(R,למסנן (56 יש חסרון נוסף הפונקציה אטי לאפס כאשר t שואף לאינסוףזה גורם לקשיים בחישובים הנומריים של האינטגרללמסנן משופר שמתמודד עם הבעיה הזו ראה בדפי התרגילים כמובןשניתןשיהיוכמהמסננים לדוגמה,נניחכייששנימסננים,כלאחדבאורך M וכך שהחיתוךשלהקטעים{ M M}ו{ ω c { ω c ריק כלומר,רקתדריםשנמצאים באיחודשלשניהקטעיםהאלועוברים(ראהאיור 6 איור 6: שני מסננים באורך M,מעביר תדרים בקטעים הכחולים במקרההזההתמרתפורייהשלשניהמסנניםהיא ( f(ω H (ω c +H (ω c M M F f out (x = π e ic x sinmx ] = x H (ω c M על סמך חישובים קודמים והכלל (38, f(x t ( e ict +e ic t sinmt dt t לפיכך,הנוסחה לאות המסונן היא c לביאקרפ 9

20 5 משוואותאינטגרליות קונבולוציה היא גם מכשיר לפתרון משוואות אינטגרליות f(x te t dt = e x 8 דוגמה 53 פתור את המשוואה האינטגרלית פתרוןנציב ( g(x,ההתמרהשלפונקצייתגאוסנמצאתבטבלה = e x אנורואיםשצדימין זוהי קונבולוציה,לכן על ידי התמרת כל המשוואה ושימוש במשפט הקונבולוציה,נוסחה (5, נקבל f(ω e ω = F ] ] e x 8 (ω = F g (ω = F g](ω = e ω f(ω = π ew e ω = π e 3w לכן = a כעת 3 ω אז a = 3ω לפיכך( x ( f(x,כאשרa = cg a מקייםאתהמשוואה 3 F cg 3 ](ω = c e 3ω = π e 3ω c = 3π ו 6 נוסחת פלנשראל נוסחה זו היא האנלוגיה לנוסחת פרסבל בטורי פורייה נזכיר נוסחה עבור טור מרוכב נתונה פונקציהf רציפהלמקוטעיןבקטע P,P ],אז c n = P n= P P c n = P f(xe inπx P dx P P f(x dx ו c לביאקרפ 0

21 (6 P P P P P π P,אז לכןאינטואיטיביתכאשר P f(p,ω = P P f(x dx = 4P f(xe ixω dx, n= בדומה ל (3 נגדיר c n = f ( P וזהותפרסבלהיא P, nπ אז P f ( P, nπ P נכפילאתשניהאגפיםב P ואתצדימיןנכפילונחלקב f(x dx = n= f ( P, nπ P P צדימיןזהמעייןסכוםרימןשלהאינטגרלdω f(ω נקבללפיכך,כאשר P שואףלאינסוףנקבלאתהזהות: f(x dx = f(ω dω שנקראת נוסחת פלנשראל נסכם זאת במשפט הבא: (6,אז משפט 6 (נוסחתפלנשראל( Plancherel נניחכי( G(R fו < dx f(x f(ω dω = f(x dx הוכחהנוכיחאתהזהותבתנאינוסףש( G(R f אזניתןלהראותבאמצעותאינטגרציה בחלקיםש C(+ ω f(ω נגדיר( f( x f (x = (שמולבשאםf ממשית,אז( f( x f,אז (x = f (ω = f( xe ixω dx = {x= t} f(te itω dt = f(ω כעתנציב( x ( h(x = (f f לפימשפטהקונבולוציה f(ω ĥ(ω = f(ω f(ω = לכן ומכאן שהיא אנטגרבילית בהחלט כעת, לפי המשפט על ההתמרה f(ω dω = ĥ(ω dω = h(0 = f ( xf(xdx = ĥ(ω C( + ω ההפוכה, f(x dx c לביאקרפ

22 באמצעות נוסחת פלנשראל ניתן לחשב אינטגרלים מסוימים נציג דוגמה אחת דוגמה 6 חשב את האינטגרלים הבאים: sin א dx x sin 4 ב dx x 4 פתרון ראשית נציין שקל להראות שהאינטגרלים מתכנסים בהחלט הקושי בחישוב האינטגרל הוא שלפונקציות האלו אין פונקציה קדומה שניתן לחשבה באמצעות פונקציות אלמנטריות = Ĥ(ω אזלפינוסחתפלנשראל( 6, sinω אאנויודעיםש πω ( sinω dω = πω H (xdx = π dx = π ( sinx dx נחליףאתהתפקידיםביןxלω ונקבלשπ x = sin,נקבלש ω = cosω בעל סמך הזהות הטריגונומטרית sin ω πω = cosω ω = cosω π(ω ( = T (ω השוויוןהאחרוןהואעלסמךהטבלה ותכונתהדמיון( 36 אזלפינוסחתפלנשראל ( sin ω πω dω = ( T dx ( (x = x dx = π 3 0 sin 4 x x 4 dx = π 3 לפיכך c לביאקרפ

23 7 יישומים 7 משפט הדגימה של שנון למשפטהזהישיישומיםעבורעיבודאותות,כמוכןישלוהיבטיםמתמטייםמענייםהמשמעות שלהמשפטשלשנוןשאםהתדריםשלאותf נמצאיםבקטעc ω,כאשרc קבועחיובי,אז ניתןלשחזראתהאותעלידידגימהשלובנקודותבדידותבאורך π c להלןהניסוחהמתמטי של המשפט משפט 7 תהי( G(R f פונקציהרציפהוכךש 0 = f(ω עבור 0 > c ω,אז > (7 f(x = n= f ( nπ c sin(cx nπ cx nπ nπ c זהכמובן המשמעותשלהזהות( 7 היאשהפונקציה/אותנקבעתבאופןמוחלטבנקודות אינויכוללהתקייםלכלפונקציהלמשל,אםπ c,אזsinπx = f(x = e x מקיימתש 0 = f(n לכלn שלם,אבל 0 f לפיהטבלה ונוסחתהמודולוציה( 3, f(ω = ( i +(ω +(ω + ואנורואיםשהתנאישלהמשפט 0 = f(ω עבורπ ω > אינומתקיים הוכחתהמשפטהיא שילובשלהתמרתוטוריפורייהואנולאנוכיחאותהכאןאלאמפניםאתהקוראלספרות אחד היישומים הנפוצים של משפט זה הוא תקליטורי CD מכיוון שטווח השמיעה של האוזן האנושיתאינועולהעל 0KHz,אזניתןלבצעסינוןנמוךתדרלאותותמבלילפגועבאיכות הצליל לפיכך האותות נשמרות רק בנקודות בדידות במקום ברצף זה מאפשר ל CD להכיל כמות מאוד גדולה של אותות 7 משוואותהחוםעלהישרהממשי נשתמש כעת ב לפתרון בעיית התחלה (7 { ut u xx = 0, x R,t > 0 u(x,0 = f(x, x R, כאשר( G(R f הפתרון( u(x,t מייצגטמפרטורהבגלילאינסופיבחתךבנקודהx וזמןt הרעיון לפתרון הוא לעשות רק במשתנה x,כלומר,נציב Û(ω,t = F x u(x,t](ω = u(x,te ixω dx c לביאקרפ 3

24 F x u t ](ω = u t (x,te ixω dx = t מכיווןשההתמרההיאבמשתנהx בלבד,אז u(x,te ixω dx = tû(ω,t ואילו בגזירה לפי x ניתן להשתמש בנוסחה (3: F x u xx ](ω = ω F x u](ω לפיכך קיבלנו משוואה דיפרנציאלית רגילה עבור של הפתרון: (73 { tû +ω Û = 0 Û(ω,0 = Fu(x,0](ω = Ff](ω = f(ω C = Û(ω,0 = ( Û(ω,t,כאשר( f(ω = Ce ω t זוהימשוואהלינאריתבמשתנהt שפתרונהידוע: Û(ω,t = f(ωe ω t ולכןעלסמךמשפטהקונבולוציה,משפט 5,הפתרוןניתןעלידי לפיכך, u(x,t = (S(y,t f(x, לפי הנוסחה (35 להתמרה של e ω t כאשר S(x,t זוהי הפוכה של c ו = a = ( S(x,t,כאשרt = ולפינוסחתהדמיון( cg(ax,(36 g(x = e x הפונקציה a זהנותןש S(x,t = 4πt e x 4t אזהפתרוןלבעייתהתחלהשלמשוואתהחוםניתןעלידי u(x,t = (S(y,t f(x = 4πt e (x y 4t f(ydy הפונקציה (t S(x, נקראת גרעין גאוס או גרעין החום והיא גם התפלגות נורמלית עם תוחלת אפסושונות t לכןלפתרוןשלמשוואתהחוםישגםמשמעותהסתברותית לדוגמה,אםניקחאתתנאיההתחלה = H(x f(x = עבור x ובשארהנקודותאפס, אז הפתרון u(x,t = 4πt e (x y 4t dy = π +x 4t e +x 4t z dz לפיכך הפתרון חיובי לכל > 0 t ואפילו אם x רחוק מאוד ממקור החום ההתחלתי בקטע, ] תופעהזוממחישהאתאחדההבדליםהמהותייםביןמשוואותהגלוהחום, לעומת המקרה הזה במשוואת הגל מהירות ההתפשטות היא סופית c לביאקרפ 4

25 8 נספח: חישובהאינטגרלdx e x למרותשלאניתןלחשבאתהפונקציההקדומהשל e x בצורהאלמנטרית,ניתןלחשבאת האינטגרל שלה בקטע (, I = = = I כעת נעבור לאינטגרל כפול ולקואורדינטות קוטביות: = 0 e x dx e x +y dxdy ρe ρ dρ = e y dy = x = ρcosθ y = ρsinθ dxdy = ρdθdρ ( e ρ 0 = = e x e y dxdy 0 0 ρe ρ dθ dρ נציבdx e x ומכאן I = רשימת מקורות ] GB Folland, Fourier analysis and its apllications, Wadsworth & Brooks, Pacific Grove, California, 99 ] A Vretblad, Fourier analysis and its applications, Springer, New York, ]אפינקוס סזעפרני,טורי פוריה והתמרות אינטגרליות,הטכניון,הפקולטה למתמטיקה, חיפה, 995 c לביאקרפ 5