האינטגרל המסוים

תמליל

1 א ב ג ג פרק האינטגרל המסוים הגדרת אינטגרל מסוים ואינטגרביליות של פונקציה בעיות המביאות למושג האינטגרל: כדי להסביר את מושג האינטגרל נסתכל על הבעיות הבאות:, כאשר [, חישוב שטח הטרפז שחסום מלמעלה ע"י גרף הפונקציה מוגדרת בקטע, v v( t, t חישוב דרך כאשר נתונה המהירות בתנועה בקו ישר t T חישוב מסה של מוט דק הנמצא על הציר כאשר נתונה צפיפות ליניארית( (, מקבלים שלערכים,,v, למרות היותם בעלי משמעות פיסיקלית שונה לחלוטין, יש תכונות משותפות מסוימות מהן התכונות האלה? ( אז שטח הנדרש הוא S ( בדיוק ( אם בבעיה א( הפונקציה קבועה: S v ( T כמו (t v אז הדרך הנדרשת היא באותו אופן בבעיה ב( עבור מהירות קבועה v t S ( המסה המתקבלת היא ( כן, בבעיה ג( עבור צפיפות קבועה אנו קוראים לתכונה זו תכונת מלבן S אז, S [, ( אם בבעיה א( לבחור [ S S ראה באיור( S וקו ישר ולחלק את שטח הטרפז לשני שטחים S S T t שווה לסכום הדרכים שעברו t כל הדרך שעברו בזמן [ t גם בבעיה ב( עבור כל [T,, ] מסה של מוט שווה לסכום המסות בזמנים t t, T t בהתאמה ובבעיה ג( עבור כל, [ בהתאמה לתכונה זו קוראים תכונת אדיטיביות ],[, של החלקים שלו המתאימים לקטעים [ S אז שטח [,, ( g( המקיימות: [, 3( אם נתונות שתי פונקציות, g בקטע [ מתחת לגרף הפונקציה לא גדול משטח מתחת לגרף של פונקציה S : g ראו באיור( S בהתאמה יש את אותם תכונות זו תכונת v( t, ( באופן דומה לערכים ( מונוטוניות בבעיות ב( ו-

2 הגדרת הבעיה עתה, ננסח את הבעיה הכללית הבאה: [, להגדיר העתקה שלכל פונקציה התנאים הבאים: המוגדרת בקטע מתאמת מספר L( כך שמתקיימים L( ( [, עבור אז - תכונת המלבן ( ( אם - תכונת אדיטיביות [, L[, ( L[, ] ( L[, ( ( L( - L( תכונת g אז [,, ( g( 3( אם נתונות פונקציות, g המקיימות: המונוטוניות בהמשך אנו נראה כי הבעיה שניסחנו פתירה לא לכל פונקציה אי לכך אנו צריכים להגדיר משפחה של פונקציות עבורם העתקה הקודמת מקיימת את התנאים 3(-(, ללמוד את התכונות של העתקה זו ולמצוא שיטות חישוב של L [, דוגמא נבדוק שהעתקה F( F( כאשר F מקיימת את התנאים 3(-( לעיל: ה אי פונקציה קדומה ל- בקטע F( ולכן אז ( אם ost L ( F( F( ( [, ] F( F( F( F( L ( L ( [,, L, ( F( F( [, ] [, [ ( ( ונתונות F קדומה ל- ו- Gקדומה ל- g אז g( 3 אם, G( כלומר הפונקציה G F עולה, ולכן F( ' G'( F'( g( ( L L ( ז"א G( F( G( F(, F( F( G( G( [, ( [, g F( בתור F( כפי שרואים, העתקה הזו מקיימת את הבעיה אבל לא ניתן להשתמש בהפרש ( הגדרה היות וכדי לקבל את מושג האינטגרל צריכים לדעת ראשית שפונקציה קדומה קיימת ומעבר לזה ידועה הדבר לא תמיד מתקיים לפונקציה שרירותית למשל, אין להגיד שפונקציה קדומה קיימת עבור פונקציה נתונה כלשהי הגדרה כזו של אינטגרל לא מתאימה עבור פונקציות שאין להם פונקציה קדומה למשל, פונקצית מדרגות בחזרה לבעיה הקודמת שלנו, נסתכל על השאלה עבור אילו פונקציות התנאים 3(-( מגדירים את L באופן יחיד או L מוגדר היטב( ברור שהתנאי הזה מתקיים עבור פונקציות קבועות עבור פונקציות אלה L מוגדר ע"י תנאי ( וקל לבדוק שהגדרה זו מתאימה לתנאים ( ו- 3(, [ נקראת פונקצית מדרגות, אם כעת, נגדיר את המושג פונקצית מדרגות: פונקציה בקטע [, [ אפשר לחלק למספר סופי של קטעים כך שבכל קטע קטן פתוח תהיה קבועה את הקטע [ הערכים שלה בקצוות הקטע יכולים להיות כלשהם(,, ( ost [, אם - פונקצית מדרגות, כמו כן, ] ( ( L[ ולפי תנאי,( אז לפי תנאי (, ]

3 L ( L ( L ( L ( [, ] [, ] [, ] [, ] L L [ בצורה כזאת ( ( מוגדר היטב ע"י ( ו- ( כדי להראות את תנאי 3( די לשים לב, ו- g שתי פונקציות מדרגות אז תמיד אפשר להגיד שקטעי הקביעות שלהן הם אותו דבר כיוון שאם, [ ו- [ קבועה בקטעים אפשר להוסיף נקודות חדשות: אם למשל, [, שלנקודות החלוקה של [ ו- g קבועות בתוך כל הקטעים d אז,d [ כאשר, [, d] קבועה בקטעים g ו- [, (,,(, d,( d, m [, (, M sup[, ( עתה, תהי פונקציה חסומה כלשהי אז קיימים ( g אז המספר L חייב להיות חסום בין המספרים m ost, g( אם M ost, m( וזאת הערכה של הערך L( g L( L( g M( ז"א, L( g L( g ו-( הנדרש L(, [ לחלקים בעזרת נקודות כדי לדייק בהערכות האלה נחלק את הקטע [, m ( ופונקציות M sup ( נגדיר מספרים, [, ] [, ] g M, [, ],,,, ו- g m, [, ],,,, כך ש- g, g מדרגות אז כמו קודם L נמצא בין המספרים L( g m ( m ( m ( m ( ו- L( g M ( M ( M ( M ( בעזרת סמן m (, M sup ( [, ] [, ] m L( m, M S, ניתן לכתוב M הגדרה מספרים נקראים סכום דארבו תחתון וסכום דארבו נתונה s כאשר עליון של פונקציה [, בקטע [ המתאימים לחלוקה L( כפי שניתן לראות מהדברים הקודמים מספרים נלמד עתה תכונות של סכומי דארבו,s S הם הערכות מלמעלה ומלמטה של הערך, [ להוסיף נקודות חלוקה חדשות אז סכום דארבו משפט אם לנקודות החלוקה של הקטע [ תחתון לא יקטן וסכום דארבו עליון לא יגדל, [ יהיה לחלוקה הקיימת אז הקטע [, ] ' הוכחה: נניח שהוספנו נקודת חלוקה נוספת m ( יהיה סכום שמתאים מחולק ל- חלקים איך ישתנה? s במקום המחובר, m ' ( ברור ש- m '' ( [, '] [ ', ] נסמן, [ 'm רואים כי, ' ], [ ' לקטעים ], m, m' ' ' ( ' m'' ( ' m ( ' m ( ' m m המחוברים שמתאימים m s' לקטעים הנותרים נשארים ללא שינוי נובע מכך שסכום דארבו תחתון החדש מקיים: s

4 א ב ת באופן דומה מוכיחים עבור סכום דארבו עליון S S ' S '' S ( k הערה: עבור הוספה של k נקודות חלוקה חדשות נקבל ש- משפט : כל סכום דארבו תחתון לא גדול מכל סכום דארבו עליון: s S הוכחה: ועליון יהיו, שתי חלוקות של הקטע, [ כלשהם ולחלוקה s, S שלחלוקה זו מתקיים s S כי נניח ש חלוקות, שימוש במשפט מסיקים ש- הסכומים S s, S נוכיח ש- לחלוקה מתאימים סכומי דארבו תחתון s במידה והחלוקות זהות, בוודאי m M m M s m M S עתה, שונות אז ע"י איחוד של נקודות החלוקה שלהם נקבל חלוקה חדשה ע"י s ז"א,, s s S S S הערה: משפט טוען שקבוצת סכומי דארבו תחתונים {s} וקבוצת סכומי דארבו עליונים {S} מהוות זוג סדור של קבוצות: s S כיוון שלכל זוג סדור של קבוצות קיים לפחות מספר אחד מפריד אז יש שני מקרים אפשריים: יש מספר מפריד אחד בלבד יש אינסוף מספרים מפרידים הגדרה אם לזוג סדור של קבוצות סכומי דארבו תחתונים ועליונים {S}-ו{s} קיים מספר מפריד אחד בלבד אז פונקציה נקראת אינטגרבילית ב-[ ],, והמספר המפריד L נקרא האינטגרל, [ האינטגרל המסוים( וכותבים: של בקטע [ מפרידים אז פונקציה אינה אינטגרבילית ב-[ ], L ( ( אם יש אינסוף מספרים, לכן תנאי הכרחי אך לא הערה: כדי ללבנות סכומי דארבו צריך להניח חסימות של פונקציה מספיק( לאינטגרביליות של הוא חסימות של הפונקציה, D ( אינה אינטגרבילית דוגמא: נראה שפונקצית דיריכלה המוגדרת באופן הבא:, \ { s} {}, { S} {} לכן, s, ב-[, ] באמת, לכל חלוקה של הקטע [,] מתקיים: S לזוג כזה של קבוצות קיימים אינסוף מספרים מפרידים וזה אומר שפונקצית דריכלה לא אינטגרבילית פונקציה אינטגרבילית ב-[ [, אם ורק אם לכל משפט 3 תנאי הכרחי ומספיק לאינטגרביליות( S s חלוקה של הקטע כזאת ש- יש : הוכחה: נשתמש בתנאי הכרחי ומספיק ליחידות של מספר מפריד עבור זוג סדור של קבוצות,,, y : y כיוון נסמן ע"י S S נאי הכרחי(: אם, קיימות חלוקות אינטגרבילית אז לכל כך ש- חלוקה שמתקבלת מאיחוד של נקודות החלוקה של, מקבלים מייד כי s S S s מכאן נובע: s s הכיוון ההפוך תנאי מספיק( ברור כנדרש

5 סוגים של פונקציות אינטגרביליות חישוב מקורב של אינטגרל אם מונוטונית ב-[ [, אז אינטגרבילית ב-[ ], משפט 4, [ ל- חלקים שווים אז הוכחה: נניח ש- עולה עבור יורדת ההוכחה דומה( נחלק את [ [ לכן, בקטע חלקי ], m (, M ( S s M m ( M m ( M m ( ( ( ( ( ( אי ( ( ( ( ( (, ( ( ( כך ש- קיים ברור שלכל S s ( ( לכך, ( כלומר, S s ולכן אינטגרבילית ב-[ [, לפי משפט 3 אם רציפה ב-[ [, אז אינטגרבילית ב-[ ], משפט 5 אז [, הוכחה: לפי משפט קנטור, אם רציפה בקטע רציפה במידה שווה בו ז"א, שלכל מפני ש- y ( ( y מתקיים, y [, כך ש- ( ( y כך ש- קיים רציפה במידה שווה, נובע שקיים נחלק את לקטעים שווים כך שאורכם קטן מ-, ז"א, המספר גם הוא חיובי( נסתכל על ההפרש הבא:, M לכן,, m m ( מסתמכים במשפט של M m ( כאשר S s m [, ] [, ] [, ( M m וויירשטרס - פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום( אז S s ( משפט 6 אם חסומה ב-[ [, ורציפה בכל הקטע פרט אולי למספר סופי של נקודות אז אינטגרבילית ב-[ ],, [ ניקח כלשהו ונבנה בקטע z, z הוכחה: נניח ש- בעלת שתי נקודות אי רציפות z, z עבור כל אחת מהנקודות אחת את השנייה( סביבות- ניתן לקחת מספיק קטן כך שהסביבות לא יחתכו, [ הפונקציה הנתונה רציפה ולכן היא z ],[ z, z ],[ z, בכל אחד מהקטעים [ רציפה במידה שווה שוב לפי משפט קנטור( עבור שנלקח נמצא מתאים כל הקטעים הקודמים נחלק לתתי-קטעים כך שהאורך של קטע חלקי של כל אחד מהם יהיה קטן ממש מ-, את קצוותיהם ונקבל z ],[ z, z ],[ z, נוסיף לנקודות החלוקה של הקטעים ] [ ( M m, ] נסתכל על חלוקה של [ S s כאשר סכום כולל איברים

6 כיוון שעל כל קטע חלקי מתקיים שמתאימ םי לקטעים בהם רציפה, והיתר כלולים ב- ( 4 ( אז M m M לכן, אז מקבלים ש- M, m היות ו- m M m M m אז M sup (, יהיו m ( [, ] [, ] ( M m ( M m ( M m 4 ( M m, S s ( M ז"א, m ( 4 ( M m (m S s ] 4 M וזה מוכיח את המשפט כי הביטוי בתוך הסוגרים המרובעים הוא ] מספר קבוע ו- הוא מספיק קטן כלשהו ע"י שימוש בתנאי הכרחי קיימים סכומי דארבו תחתון ועליון S במקרה של מספר סופי כלשהו של נקודות אי רציפות ההוכחה דומה ( פונקציה אינטגרבילית, כלומר קיים האינטגרל s תהי עכשיו ומספיק לאינטגרביליות של פונקציה אפשר לטעון שלכל ( s, ( כאלה ש- S s ולכן גם S אפשר לקחת או בהנחת שגיאה קטנה מ- M, m S M ( אי לכך, עבור ערך מקורב של האינטגרל אבל חישוב של בכל קטע חלקי s m או של קשור למציאה מדויקת של או [, ] נביא הגדרה קצת אחרת, הגדרה לפי רימן, לאינטגרביליות של פונקציה ולאינטגרל מסוים נעיר ששתי ההגדרות בעזרת סכומי דארבו והבאה של רימן( שקולות מבחינה היסטורית הגדרתו של רימן קדמה להגדרתו של דארבו,, אז מהאי שוויון כאשר [, ] ניקח נקודות כלשהם ע"י סכימה לפי של אי שוויונות אחרונים נקבל: m ( M נובע ש- נקרא סכום אינטגראלי לפי רימן של פונקציה ( ( m ( s ( הסכום M S, [ המתאים לחלוקה נתונה ובחירת הנקודות בקטע [, ]( לפעמים לקצרה אומרים סכום אינטגראלי או סכום רימן s, S ] סכום רימן מצד אחד מורכב יותר מאשר כיוון שעם שינוי משתנה גם הסכום אבל מצד שני סכום רימן יותר פשוט כיוון שאין צורך במציאת חסמים מדויקים של פונקציה בכל קטע חלקי, זה ( ( אז ניקח כלשהו ונמצא כזאת חלוקה שעבורה S s אומר שאם לצורך ערך מקורב ניקח סכום אינטגראלי אז השגיאה תהיה קטנה מ-

7 י- בהוכחת אינטגרביליות של פונקציה רציפה ראינו שלכל קיים כך שמתקיים S s ( ( אם כך, במקרה כזה מתקיים גם אומרים ש- *( lm ( L m m כזו ש- [, כך שעבור חלוקה כלשהי של [ ועבור L ( סה"כ מקבלים שעבור פונקציה מתקיים [, אפשר למצוא ] אם לכל בחירת נקודות כלשהם רציפה מתקיים **( ( lm ( m אפשר להוכיח ש- **( מתקיים עבור כל פונקציה אינטגרבילית ב-[ [, ולהפך בפרט, אם גבול *( קיים אז אינטגרבילית ב-[ [, ומתקיים **(( וזה אומר שאפשר לתת הגדרה שקולה להגדרה הקודמת של אינטגרביליות של הגדרה 3 לפי רימן( פונקציה נקראת אינטגרבילית ב-[ [, אם קיים הגבול *( והוא לא תלוי [, הגבול הזה נקרא ] ובבחירת הנקודות בשיטת החלוקה [, אינטגרל מסוים של פונקציה בקטע [ דוגמא נחשב לפי הגדרה לפי רימן( את האינטגרל s ניקח את הקצה הימני של הקטע בתור קטעים שווים כך ש- ל- [, נחלק את [ אז ה-, ז"א, ( s s s s s os os ( s

8 לכן, s lm os os ( m s os os s s [os( os( ] הערה: השתמשנו כאן בנוסחא טריגונומטרית המפורסם הראשון ובגבול תכונות של אינטגרל מסוים ( ( אם ost אז משפט 7 תכונת מלבן( m אז M, [ לחלקים מתקיים הוכחה: לכל חלוקה של קטע [ וגם s m ( { s} { ( } S M { S} { ( ( } ( אותו מספר יחיד שהוא }בעלת s}, היות וכל אחד מהקבוצות {S { רק הוא מפריד לקבוצות ( ( אלו: פונקציה, משפט 8 תכונת אדיטיביות( אם אינטגרבילית ב-[ ],, אז לכל ( ( (, [ ומתקיים ],[, אינטגרבילית בקטעים [ הוכחה: כיוון שנתון ש- אינטגרבילית ב-[ [, אז לפי תנאי הרכחי ומספיק לכל יש חלוקה, [ כך ש- S s אם היא לא נקודת חלוקה אז ע"י הוספה לנקודות החלוקה שישנן של [ S, s הם סכומי דארבו עליון S כאשר s S s כך ש- [, נקבל חלוקה חדשה של [, אז נרשום ותחתון בהתאמה שמתאימים לחלוקה החדשה שקיבלנו אם כן נקודת חלוקה: S את ההפרש s בצורה S s ( M m ( M m ( M m, וזה אומר ש- אינטגרבילית בכל אחד ( M m, ( M m רואים כי, [ בנוסף, ],[, מהקטעים [ נחבר את שני האי m ( M m ( ו- ( m ( M M שוויונות האלה ונקבל הזו? היא אומרת כי המספר מהי המשמעות של הנוסחה s},{ { כיוון {S הוא מספר מפריד של הקבוצות ( (

9 , ( כלומר ש- אינטגרבילית, המספר המפריד חייב להיות יחיד והוא ( ( ( שני המשפטים הבאים הינם תכונת ליניאריות ( A אם ( אינטגרבילית ב-[ [, ו-, אז גם A אינטגרבילית ומתקיים משפט 9 A ( A ( יהי הוכחה: בלי הגבלת הכלליות נניח ש- A נסמן,,s S סכום דארבו תחתון ועליון בהתאמה של [, פונקציה ( ונסמן, S' s', עבור פונקציה ( A שמתאימים לאותה החלוקה של s' A s, S' A לקטעים קל לראות ש- S, [ כך ש- S s כי אינטגרבילית ב-[ [, אז A A אינטגרבילית ב-[ ], כיוון ש- ( כלומר,, s' A אפשר למצוא חלוקה של A הינו מספר ז"א,, S' s' כלומר,( ( S' אז s' A s A, AS As ( A S S' מפריד A את ( המספר גם A ( פונקציה }עבור s'},{ מפריד של הקבוצות {'S A ( A ( },{'s } כיוון שמספר מפריד הוא יחיד לכן S'} ( פונקציה g( ( אז גם סכום שלהן [, אינטגרביליות ב-[ (,( g( משפט אם ( [ ( g( ] ( g( אינטגרבילית בקטע ומתקיים : m חסם תחתון ועליון בהתאמה, M, ( חסם תחתון ועליון בהתאמה של m הוכחה: יהיו, M ( מחברים את האי-שיויונים g( של g( ויהיו,m M חסם תחתון ועליון בהתאמה של ( m מכאן [ m ( g( ומקבלים ש- M M *( m m m ( M, m g( M m M M M נובע ש-, ] נכתוב את *( לכל קטע לקטעים: [, ניקח חלוקה כלשהי של [,,, סוכמים לפי, m m m M M M כופלים האי שוויונות האלה ב- m m m M M M ומקבלים: או,( ( אינטגרביליות, לכל יש חלוקה כזו ש- g( מכיוון ש-( **( s s s S S S S s, S s אז מ-**( נובע ש- S s S s S s ז"א, { s s },{ S S } חוץ מזה, אנו רואים שהקבוצות [, אינטגרבילית ב-[ ( g( פונקציה ( s { s מופרדים ( S, s s },{ S g( S s כעת מ-**( נובע ש- בעלות מספר מפריד יחיד נחבר את אי-שוויונות האלה s S } כלומר, הקבוצות s s ( s g( S S ונקבל [ ( g( ] S S S

10 כיוון שמספר מפריד הוא יחיד, אנו ( g( [ ( g( ] ע"י מספר מקבלים ומספר [ ( g( ] ( g( לפני שנעבור לתכונת מונוטוניות, נלמד תכונה בסיסית יותר ( ( [, אם לכל פונקציה אז משפט s m אבל כיוון m מתקיים: ולכן [, הוכחה: אם ( ( אז לכל חלוקה של [ ( אז ( ש- s [, אינטגרביליות ב-[ [, ולכל מתקיים (, g( משפט תכונת מונוטוניות( אם ( ( g( אז ( g( ע"י תכונת [ g( ( ] ממשפט נובע ש- g( הוכחה: נתבונן בהפרש הבא ( ( ( g(, ז"א, [ g( ( ] g( ( ליניאריות מקבלים הערה: משפטים 8, 7, מראים שהגדרת האינטגרל המסוים כמספר מפריד יחיד( אכן פותרת את הבעיה הכללית שניסחנו בתחילת הפרק נשים לב שוב שעבור קבוצות של פונקציות אינטגרליות,[, ( היא פתרון יחיד של הבעיה הזו העתקה מתברר שתכונת מונוטוניות היא מקור למונח אחד מעניין וחשוב ( אם m, M הם חסם תחתון ועליון בהתאמה של פונקציה כאשר ב- משפט 3 הערכת האינטגרל( ( ( או, m ( ( M ( אז,[, m M m ( M ממשפט 6 נובע ש- m ( הוכחה: נתון ש- M הפונקציות הקבועות m,m שכן מ אינטגרביליות ב-[ [, משפט גורר ש-( M M ( ו- m ( הוכחנו את ( העובדות האלו נובע ש- M ( m ע"י סימון M ( ונקבל ב-( ( m m ( האי שוויון הראשון נחלק אותו ש- שכן, מסיימים את ההוכחה ( אם פונקציה ( רציפה ב-[ ],, כאשר משפט 4 משפט הערך הממוצע בחשבון האינטגרלי( ( ( ( כך ש-, אז קיימת נקודה,

11 א ב y משמעות גיאומטרית של משפט זה היא ששטח מתחת לגרף הפונקציה ( המלבן שבאיור שווה לשטח ( אנו נוכיח משפט כללי יותר: [, נניח כי פונקציה g( אינטגרבילית בקטע כך ש- ו-, רציפה ב-[ ], אז קיימת נקודה משפט 5 משפט הערך הממוצע כללי( ( פונקציה, g( ( g( ( g( :[, הוכחה: יהיו,m M הם חסמים תחתון ועליון בהתאמה של פונקציה ( ב- [ m לכן לפי משפטים 3,6 נובע ש- g( ( g( M g( אז m ( M g *( m ייתכנו שני מקרים: ( g( M g( ( g(, אז מ- *( נובע ש- ולכן אפשר לבחור בתור כל נקודה g ( [, אם בקטע m ( g(, אז מ- *( נובע ש- M g( נסמן ב- t את המספר t אז מתקיים m t M המספר t נמצא בין שני החסמים של ( ומכיוון ש-,t ( כך ש-, g ( אם ( g( g( רציפה ב-[ ],, לפי משפט הערך הביניים של קושי קיימת נקודה ( g( ( g( ( ( g( g( כלומר, או המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי חישוב אינטגרל מסוים בשלבים הקודמים אנחנו הגדרנו מהו אינטגרל מסוים ולמדנו תכונותיו, אך טרם יודעים כיצד לחשב אותו אנחנו נעשה זאת באמצעות המשפט שהוא למעשה שיא של כל הפרק הזה G אז פונקציה,[, רציפה בקטע [ המוגדרת ע"י משפט 6 המשפט היסודי( אם פונקציה היא פונקציה קדומה ל- G( ( t dt

12 הוכחה: נציין שפונקציה G מוגדרת היטב כי לכל [, [, פונקציה רציפה בקטע ], [ ולכן אינטגרבילית בו, אומנם ערכיה של G משתנים מנקודה לנקודה, כלומר תלוים ב- אנחנו צריכים להראות ש- ( 'G ( ( נגזור לפי הגדרה: G'( lm G lm G( lm ( t dt ( t dt ( t dt ( t dt lm ( t dt ( t dt במידה ו-, לפי משפט הערך הממוצע( קיימת נקודה, מכיוון שנקודה כך ש- כאשר נמצאת בין לבין, אנו מסיקים כי ( G ' ( lm התוצאה נובעת מרציפות של פונקציה lm ( ( t dt ( לכן F( t 6 t stdt 4 8t 3 דוגמאות: למצוא נקודות קיצון של פונקציה F שמוגדרת באופן הבא: s, k, k k הנגזרת הזו מתאפסת בנקודות 'F לפי המשפט היסודי k, k, k ומחליפה סימן בכל אחת מהנקודות האלו פרט ל- לכן, נקודות קיצון הן k F ( נרשום אם כך, dt t e למצוא מספר נקודות קיצון עבור לפונקציה F את הפונקציה בצורה שמוגדרת ע"י dt dt dt dt F ( בכל אחד משני t t t t e e e e האינטגרלים רק הגבול העליון תלוי ב-, אבל הוא לא משתנה חופשי אלא פונקציה של גוזרים לפי כלל השרשרת: e e e e ( 'F קל לראות e e e e e e ל- לכן F'( שעבור אחת ובה מחליפה סימן המונה הינו פונקציה יורדת ממש מ- מתאפסת רק בנקודה,,[ אז משפט 7 נוסחת ניוטון-לייבניץ( אם פונקציה רציפה בקטע [ ( t dt F ( F ( F ( כאשר F היא פונקציה קדומה ל- כלשהי G( ( t dt הוכחה: יחד עם פונקציה קדומה, F נתבונן בפונקציה שהיא גם קדומה לפי המשפט היסודי כפי שאנחנו יודעים, כל פשתי פונקציות קדומות לאותה הפונקציה שונות רק במחובר F( G( ו- C בפרט, F( G( קבוע, כלומר קיים מספר C כזה ש- C

13 G ( מהנוסחאות אלו מקבלים: ( t ו- dt G( ( t dt בנוסף, F( G( C F( F( G( G( ( t dt משפט ניוטון-לייבניץ מאפשר לנו לחשב אינטגרלים רבים ע"י פונקציות קדומות 3 3 s os / os3 os / דוגמאות: l3 l3 9 e e 4 l l 4 3 l בפרק הקודם למדנו שתי שיטות למציאת אינטגרל בלתי מסוים כעת עלינו להבין איך הן נראות ועובדות עבור אינטגרלים מסוימים uv קדומה ל-' F אינטגרציה בחלקים: הנוסחה udv uv vdu פונקציה כך שמתקיים אומרת כי לכל פונקציה קיימת F uv F עכשיו נוסחת ניוטון-לייבניץ מביאה מיידית [, [ כאלו שנגזרותן רציפות בקטע v ו- u לכל פונקציות קדומה ל- ' vu F udvuv לתוצאה: vu d u, du e e e e dv e, v e e דוגמא: החלפת משתנים: בשיטה זו אנו מכניסים משתנה חדש שהוא תלוי במשתנה הישן יש דבר אחד שמשפיע כעט ולא היה חשוב קודם, והוא ששני המשתנים באופן כללי עלולים לשייך לתחומים שונים 3 ( ועלינו לשלוט בהתאמתם של התחומים למשל, אם אנו מציבים באינטגרל, t אז ברגע ש- רץ מ- ל- 3, המשתנה החדש t עובר את הקטע פונקציה באופן כללי, אם 4,9,,, פונקציה קטע אינטגרבילית בקטע פונקציה גזירה ברציפות בקטע, (, ( אז מתקיימת נוסחה כך ש- ומעתיקה אותו על ( ( t t dt (, y, dy dy os y s s y, דוגמא:

14 א ב ג ד ה ו שאלות לבדיקה עצמית: כמה סכומי דארבו אפשר ליצור עבור חלוקה קבועה נתונה? מהי משמעות גיאומטרית של סכומי דארבו? להוכיח את התכונה הראשונה של סכומי דארבו עבור סכומי דארבו עליונים 3 [,] אינטגרבילית בקטע ( ע"י שימוש בהגדרת האינטגרביליות להוכיח שהפונקציה 3 לציין מושגים בסיסיים שהשתמשנו בהם לצורך הגדרות של אינטגרביליות ואינטגרל 5? באיזה שלב בהוכחת משפט יש שימוש במונוטוניות של 6? איך ובאיזה שלב בהוכחת משפט 6 יש שימוש בחסימות של 7 להראות שרציפות של פונקציה הינה תנאי מספיק ולא הכרחי לאינטגרביליות להביא דוגמא שבה 8 פונקציה אינטגרבילית אבל לא רציפה( אילו מהפונקציות הבאות: 9,, y,,, y 5,, y s, y, s,, y,, y [] אינטגרביליות בקטע [,]? כמה סכומים אינטגרלים של רימן( אפשר ליצור עבור חלוקה נתונה?, [ לקטעים וגם להביא דוגמא לפונקציה עבורה ערך של סכום אינטגרלי לא תלוי בשיטת החלוקה של [ s skk m לא תלוי בבחירת נקודות למצוא בקטעים אלה שמקיים: אם אז?[, 3 מדוע בשטת אינטגרציה בחלקים דורשים שנגזרותן של פונקציות u ו- v רציפות בקטע [