PowerPoint Presentation

תמליל

1 מתאם סדרתי Correlation Serial : אחת ההנחות הבסיסיות של מודל הרגרסיה הקלאסי )ראה שקף 1.07( היא שאין קשר בין הטעויות המקריות של התצפיות השונות cov( i, j ) 0 בנתונים לאורך זמן )סדרה עיתית series,)time ובעיקר בנתונים כלכליים, בגלל מחזוריות העסקים קיימת אינרציה בטעות המקרית הגורמת לקשר חיובי בין הטעויות המקריות של התצפיות. t לדוגמה, נניח שכדי לאמוד את הקשר בין מכירות ( Y( לפרסומת ( X( לקחנו נתונים לאורך זמן על פרסומת ומכירות. ברמת פרסומת X 1 צפויה רמת מכירות בהתאם לקו הרגרסיה a+bx אך אם נניח שנמצאים בתקופה של גאות כלכלית, הציפיות האופטימיות בכלכלה גורמות שרמת המכירות תהיה גבוהה מהרגיל ). 1 (0< Y 1 מתאם סדרתי חיובי מאחר והגאות הכלכלית היא תופעה מתמשכת, גם בתפוקה הבאה אנו צופים Y שרמת המכירות תהיה גבוהה מהרגיל (0< ). בתקופות של שפל כלכלי, המגמה מתהפכת והציפיות הפסימיות בכלכלה גורמות EY a bx שרמת המכירות תהיה נמוכה מהרגיל בצורה מתמשכת. ולכן, אם בתקופה t רמת המכירות היא גבוהה מהצפוי על פי קו הרגרסיה, קיים סיכוי גדול שגם בתפוקה הבאה 1+ t רמת המכירות תהיה גבוהה מהצפוי. בצורה 0 דומה אם בתקופה t רמת המכירות היא נמוכה מהצפוי על פי קו הרגרסיה, קיים Y1 סיכוי גדול שגם בתפוקה שלאחריה 1+ t רמת המכירות תהיה נמוכה מהצפוי. 1 נוצר קשר חיובי בין הטעות המקרית לבין הטעות המקרית כך ש: t+1 X1 X )לאורך זמן( X cov( t, t 1) 0 במקרה זה קיים מתאם סדרתי חיובי. 9.01

2 כאשר הטעויות המקריות מחליפות סימן באופן שיטתי מתקופה לתקופה קיים קשר שלילי בין הטעויות המקריות לאורך זמן.. cov( t, t 1) 0 :t ותקופה +1 t במצב זה קיים מתאם סידרתי שלילי : 0. cov( t, t 1) אין מתאם סדרתי כאשר לא קיים קשר שיטתי בין הטעות המקרית של תקופה מתאם סדרתי שלילי חוסר מתאם סדרתי Y Y EY a bx EY a bx Y1 Y1 1 )לאורך זמן( X X1 X )לאורך זמן( X כפי שנראה, במקרה שקיים מתאם סדרתי אומדני OLS נשארים חסרי הטיה אך הם לא בעלי השונות הקטנה ביותר וגם המסקנות העולות מבדיקת השערות במקרה זה עלולות להיות לא נכונות. ולכן, על מנת שהמסקנות תהיינה תקפות יש לתקן את אומדני.OLS ולכן, נרצה א( למצוא אומדנים יעילים יותר למקרה זה ולתקן את אומדני OLS בהתאם על מנת שהמסקנות תהיינה תקפות ב( לבדוק השערות בדבר קיומו של מתאם סדרתי. 9.0

3 אילו יכולנו לנסח בצורה מדויקת את המקור למתאם הסדרתי יכולנו להוסיף ניסוח זה למשוואת המודל ולאמוד אותה, אך מאחר והצורה המדויקת שונה ממקרה למקרה והיא אינה ידועה, ננסח מודל המבטא את האפשרות לקיומו של מתאם סידרתי בצורה הכללית ביותר האפשרית. נניח מודל עם משתנה מסביר אחד ונתונים לאורך n תקופות: Yt a bxt t ; t 1,,,n (1) t r t 1 t ; 1 r 1 הגדרת התלות בין t ל- 1 : t E t 0 ; V ( t ) ;cov( t, s) 0 המשתנה המקרי מקיים את ההנחות הקלאסיות: הסימן של r קובע האם המתאם הסדרתי הוא חיובי או שלילי וההנחה ש- r 1 נחוצה על מנת ששונות הטעות המקרית לא תהיה אינסופית )הנחת הסטציונאריות(. r הוא גם מקדם הרגרסיה בין t ל- t 1 ללא חותך )להלן גרף המתאר מתאם סדרתי חיובי(, ולכן הוא מכונה מקדם האוטורגרסיה coefficient) (autoregression ומאחר והמודל מניח t ש- t תלוי ב- t בפיגור של תקופה אחת המודל נקרא.AR(1) במידה והמודל מניח פיגורים גבוהים יותר )נניח s( הוא יוגדר בהתאם: r t 1 AR( s) : t r 1 t 1 r t rs t s t כפי שנראה בהמשך, r הוא גם מקדם המתאם בין t ל- t 1 ולכן הוא גם מכונה מקדם האוטוקורלאציה coefficient).(autocorrelation () (3) (4) E t 0 1 V ( ) t 1 r r s cov( t, t s) 1 r ניתן להראות שהמשתנה t מקיים את התכונות הבאות : תוחלת המשתנה שווה לאפס: שונות המשתנה היא קבועה: השונות המשותפת בין t ו- t s איננה אפס : 9.03

4 cov( x, y) )r ולכן, מקדם המתאם בין t ו- t s הוא : x, y) V ( x) V ( y) (5) r( t, t s) cov( t, t s) cov( t, ) t s V ( t ) V ( t s ) V ( t ) מקדם המתאם בין שני משתנים x ו- y מוגדר: r s /(1 r ) /(1 r ) r s כפי שניתן לראות, r הוא מקדם המתאם בין t ל- t 1 ולכן הוא מכונה מקדם האוטוקורלאציה coefficient).(autocorrelation כמו כן, ככל שפער התקופות בין המשתנים t ו- t s גדל, כך מקדם המתאם בין שני משתנים אלה קטן. בהתאם לתכונה )4( השונות המשותפת בין t ו- t s איננה אפס, ולכן במקרה שקיים מתאם סדרתי אומדני OLS אינם יעילים וגם המסקנות העולות מבדיקת השערות במקרה זה עלולות להיות לא נכונות. נערוך את המבחן הסטטיסטי של Durbin- Watson לבדיקת קיומו של של מתאם סדרתי. 9.04

5 (Durbin-Watson test) dw בדיקת השערות על מתאם סדרתי המבחן הפופולרי ביותר לבדיקת השערות על מתאם סדרתי הוא המבחן של דרבין ווטסון התפלגות הסטטיסטי: המבוסס על n n ( et et 1) etet 1 t (1 ˆ) r ; ˆ r t n e n t e t 1 t 1 t ניתן לראות שהסטטיסטי dw מקבל ערכים בין 0-4 שכן: 1( אם קיים מתאם סדרתי חיובי מקסימאלי r 1 ואנו נצפה שהסטטיסטי ( dw 0 אם יש מתאם סדרתי שלילי מקסימאלי r 1 ואנו נצפה שהסטטיסטי dw 4 )3 אם אין מתאם סדרתי r 0 אנו נצפה שהסטטיסטי. dw כלומר, סטטיסטי בין 0- מצביע על מתאם סדרתי חיובי, סטטיסטי בין -4 מצביע על מתאם סדרתי שלילי וסטטיסטי קרוב לערך מצביע על חוסר מתאם סדרתי. 9.05

6 דורבין ווטסון הראו שההתפלגות של הסטטיסטי תלויה בערכים הספציפיים של המשתנים המסבירים ולכן לא ניתן לתאר טבלה ( dl של כללית עבור התפלגות הסטטיסטי. מאידך, הם הציגו את הערכים האסימפטוטים המקסימאליים ) du ( והמינימאליים ) ההתפלגות עבור רמת מובהקות נתונה ומספר נתון של משתנים מסבירים. להלן קטע מלוח הסטטיסטי ברמת מובהקות של 5%: dw =4 - dw ונבצע את אותם השלבים Durbin Watson Statistic: 5% significance points for du and dl K=1 K= K=3 K=4 n dl du dl du dl du du du K is the number of regressors excluding the intercept H 0: r 0 dl > dw נדחה את השערת האפס לטובת ההשערה שקיים מתאם סדרתי חיובי. כיצד נבדוק את ההשערה שאין מתאם סדרתי: אם הסטטיסטי המחושב אם הסטטיסטי המחושב < dw du > לא נדחה את השערת האפס המניחה חוסר מתאם סדרתי. אם הסטטיסטי המחושב dw הוא בין שני הערכים dl < dw < du לא ניתן להכריע. אם הסטטיסטי המחושב <, dw קיים חשש למתאם סדרתי שלילי. נחשב את הסטטיסטי שלעיל אך הפעם לבדיקת מתאם סדרתי שלילי. 9.06

7 לבדיקת הקשר בין מכירות לפרסומת בשיטת OLS התקבלו התוצאות: adv sales month :Durbin Watson לביצוע המבחן D-W נמצא בפלט את הסטטיסטי 9.07

8

9

10

11

12

13 adv sales month לביצוע המבחן D-W נמצא בפלט את הסטטיסטי Durbin-Watson d-statistic =.30 :Durbin Watson :K =1 n =15 על פי הלוח, ברמת מובהקות של 5%, עם גודל מגדם ומשתנה מסביר אחד n 15 dl du מאחר והסטטיסטי המחושב dw=0.30 < dl נדחה את השערת האפס לטובת ההשערה שקיים מתאם סדרתי חיובי. 9.13

14 (6) (7) (8) (9) Yt נמצא את התיקון הדרוש על מנת לשפר את האומדנים במקרה של מתאם סדרתי. a bxt t עבור תצפית t המודל מקיים: Yt 1 a bxt 1 t 1 ועבור תצפית 1-t המודל מקיים: אם נפחית ממשוואה )6( את משוואה )7( מוכפלת ב- r נקבל: Yt r Yt 1 a( 1 r) b( Xt rxt 1) t r t 1 t r t 1 t ~ Yt Yt r Y ~ ~ t 1 ; a a(1 r) ; Xt Xt rxt 1 ~ Yt ~ ~ a bxt t t לפי למשוואה )1( מתקיים: r t 1 t נגדיר במשוואה )8( את המשתנים: נוכל לרשום את משוואה )8(: המשמעות היא שעל ידי טרנספורמציית הפרשים מתקבלת משוואת רגרסיה תלויה במשתנה מקרי המקיים את ההנחות הקלאסיות. ~. Y t, Xt נוכל לאמוד את משוואה )9( ברגרסיה OLS מבוססת על המשתנים החדשים ~ כאן מתעוררת הבעיה שעל מנת לאמוד את משוואה )9( יש צורך במקדם r שהוא לא ידוע. 9.14

15 (1) t r t 1 t (8) (10) Yt ryt 1 a(1 r) b( Xt rxt 1) t מאחר ו- r הוא מקדם הרגרסיה בין t ל- t 1 ללא חותך נוכל לבצע את האמידה בשני שלבים : בשלב ראשון נאמוד בשיטת OLS את המשוואה המקורית: Yt ˆ a ˆ bxt et נשתמש בסטיות הרגרסיה et כאומדן של t ובאמצעותו נחשב אומדן של : r n etet 1 ˆr t n e t 1 t בשלב שני נגדיר בעזרת ˆr את המשתנים החדשים : ~ ~ (11) Yt Yt ˆ ryt 1 ; Xt Xt ˆ rxt 1 ובעזרתם נאמוד את המשוואה: ( 1) ~ Yt ~ a ˆ~ bxt vt ; ~ a ˆ(1 a ˆ r) האומדנים המתקבלים בשלת השני,ˆ a ˆ b הם אומדני יעילים יותר מהאומדנים המקוריים,ˆ a ˆ b ונקראים אומדני. FGLS אם נציב את מקדמי משוואה )1( b,ˆ a ˆ במשוואה )10( נוכל לקבל סטיות רגרסיה et חדשות ובאמצעותן לחשב מקדם ˆr חדש. נגדיר בעזרת ˆr החדש את המשתנים החדשים )11(, ונאמוד שוב את משוואה )1 (. נחזור על תהליך זה מספר איטראציות עד שהשינויים המתקבלים במקדם ˆr יהיו קטנים כרצוננו )תהליך מתכנס (. שיטה איטראטיבית זו היא שיטת.Cochrane-Orcutt נוכל להשתמש בשיטה איטראטיבית זו בתוכנת.SPSS 9.15

16 נניח שרוצים לבדוק לאורך זמן את הקשר )ליניארי( בין כמות המכירות לבין סכום הוצאה על פרסומת של פירמה על מוצר: SALESt a badvt t להלן הנתונים על המשתנים הנ"ל במשך 15 החדשים האחרונים: :OLS נאמוד את המודל בשיטת adv sales month על פי התוצאות השקעה של שקל בפרסומת מעלה את המכירות ב מינימאלית על מנת למכור כמויות חיוביות של המוצר. אך יתכן שיש צורך ברמת פרסומת 9.16

17

18

19

20 9.0