תרגול 1

תמליל

1 ' D D c הרצאה האינטגרל הלא מסוים הגדרה מתקיים, אם עבור כל בתחום בתחום תקרא פונקציה קדומה לפונקציה פונקציה ' הערה אם פונקציה קדומה של אז גם, כאשר מספר קבוע, היא פונקציה קדומה של יש אינסוף פונקציות קיבלנו שלפונקציה c' ' מכיוון ש קדומות דוגמא ' מכיוון ש היא פונקציה קדומה של הפונקציה ' ' c הפונקציה באופן כללי הפונקציה c הוכח שהפונקציה היא פונקציה קדומה של היא פונקציה קדומה של מכיוון ש מכיוון ש ' ' ln היא קדומה ל צריך להוכיח ש, ln C אוסף כל הפונקציות הקדומות d c הגדרה תהי בעלת פונקציה קדומה של נקרא, אותו האינטגרל הלא מסוים של תכונות האינטגרל הלא מסוים ' d אם גזירה אזי c d לכל קבוע מתקיים d האינטגרל של הסכום )או ההפרש( של שתי פונקציות שווה לסכום )או הפרש( האינטגרלים 5 gd d g n b n b sin cos cos d טבלה של אינטגרלים מיידים n b C n ln b C cos C sin C n C

2 sin sinh cosh co C rcn C ln C rcsin C cosh C sinh C bd b C b הערה d אם C הסבר: מכיוון ש אז נקבל ש d C g ' g' מכלל השרשרת ומכיוון ש נקבל ש b ' b' b' b b b d ברישום s sd s C, sds s C d הערה תפקידו של הוא שביצוע האינטגרל הוא עבור המשתנה למשל: דוגמאות לשימוש באינטגרלים מיידים n n b n כאשר b d c n sin b cos bd דוגמא: d ln b d c b ln5 דוגמא: d c 5 5 mn mn 0, כאשר d c mln d ln c דוגמא: cos b c, sin bd c cos sin d דוגמא: c

3 sin d d cg b b d ln c c d, cos d g b b c 5 d rcn c 6 d, rcsin c 7 חישוב אינטגרלים בעזרת האינטגרלים המיידים חשב את האינטגרלים הבאים: 5 d sin א d ב ג ד cos א נשתמש בזהות sin cos sin d d cosd sin ב d d d c c ג d d ln ד d d rcsin חישוב אינטגרלים בשיטת ההצבה משפט תהי פונקציה קדומה של הפונקציה בקטע מסוים, ותהי פונקציה גזירה בקטע ' d c I d d ו d sind 9 I אזי J 9 J מסוים, כך שלכל מתקיים אזי דוגמא d נבחר בהצבה d d ln ln חשב את האינטגרלים הבאים: ג d 9 ב d א n d נציב cos ואז sin n d d א cos

4 sin sin d d d ln ln cos cos cos d d ב d d עבור המחובר השני ניתן להשתמש בנוסחה rcsin c ולקבל d rcsin נשאר לחשב את האינטגרל של המחובר הראשון d 9 עבור המחובר הראשון נשתמש בשיטת ההצבה: נציב ואז d d d rcsin rcsin סה"כ נקבל d rcsin rcsin 9 d d ג d d d נציב ואז d d d d rcn rcn חישוב אינטגרלים הכוללים פונקצית שורש פתור את האינטגרלים הבאים: א d ב d ג d א נציב d d ואז d d d d d d rcn rcn c ב ואז נציב d d d d d d ln ln c

5 ג נציב ואז 6 d d d נבצע חלוקת פולינומים ש 6 5 ומכאן קל להמשיך תעבור לביטוי רציונאלי בחישוב של האינטגרל d המחלק המשותף המינימאלי של הוא ולכן נציב d d,, d d 6 7 d d d uv ' v u אינטגרציה לפי חלקים הן פונקציות של נניח ש uv ' uv ' ולכן על פי כלל הגזירה של מכפלת פונקציות נקבל ש cos d uv ' d uv u,v v מכאן נקבל את הנוסחה הבאה: vd ב חשב בעזרת אינטגרציה בחלקים את האינטגרלים הבאים: ג cos d ד ln d v uv ' d uv א rcn d א u rcn ואז נשתמש בנוסחה vd rcn d rcn d נשאר לנו לפתור את האינטגרל הבא d נבחר בהצבה ואז d d d d ln ln ב u ln ואז v uv ' d uv נשתמש בנוסחה vd ln d ln d ln c

6 cosd cosd v sin u cos ג ואז uv ' d uv cosd sin נשתמש בנוסחה vd sind נשאר לחשב את האינטגרל sind נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים v cos u sin ואז נציב במשוואה sin sin cos sin cos d cosd sind cos sin cos v sin uv ' d uv cosd cosd ד u ואז cos נשתמש בנוסחה vd cos d sin sin d נשאר לחשב את האינטגרל sin d נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים u ואז v cos sin 8 cos 8cos d 8 cos 6sin נציב ב cos d sin 8 cos 6sin