Microsoft PowerPoint - CT Ch 7 v2 21

תמליל

1 תורת הבקרה (35188) פרק 7. ז. הפקולטה להנדסת מכונות הטכניון מכון טכנולוגי לישראל 1

2 פרק 7. בקרה במרחב המצב משוב מצב תוספת אנטגרטורים והיזון קדימה שיקולי תכן משערכי מצב והפרעות בקרה מבוססת משערך- משפט ההפרדה בקרה מבוססת משערך פתרון בתדר

3 r u x Ax Bu x y C f r - F ìï x = Ax+ Bu í ï ïî y= Cx n m r x Î ;u Î ;yî משוב מצב התהליך: ( mxn FÎ ) u= frr-fx x = (A- BF)x+ Bfr r y= Cx חוק הבקרה - משוב מצב: משוואת מצב החוג הסגור עם משוב מצב: מטריצת A של החוג הסגור: A A-BF c 3

4 r f r - u - ( ) 1 si-a B C F x y :y r משוב מצב תמסורת החוג הסגור מ ל u = f r-f(si-a) Bu u = (I+ F(sI-A) B) f r r y(s) = T(s) r( s) = C(s I- A+ BF) -1 Bf r( s) r r n - + = - c º =å det(si A BF) det(si A ) p(s) p s משואה אפיינית ח"ס: משפט: באם (A,B) קונטרולבילי אזי קיים F הממקם קטבי החוג הסגור באופן רצוני. i i נראה בהמשך כי משוב מצב אינו מזיז את אפסי החוג הפתוח. ניתן להראות הזהות (I+ F(sI- A) B) = I-F(sI-A ) B c הערות: 1) ( 4

5 r f r - u - ( si-a) 1 B x C F y משוב מצב -חישוב נוסחת אקרמן :(SISO) רצוי של החוג הסגור ו C מטריצת הקונטרולביליות. כאשר p(s) פולינום אופייני 1 f = (,,...,1) C - p(a) נתון דוגמה: הקטבים ב 1-. מצאו משוב מצב הממקם æ 1ö æö x= x u + ç 1 è ø çè ø y= 1 x P(s) = ( ) 1 s : f = æ ö - (,1) C p(a) = (,1) (A A I ) (1,) ç 1 çè ø + + = ב MATLAB קיימות שתי פקודות למציאת משוב מצב: 1) acker(a,b,j) f = כאשר J וקטור שורה עם הקטבים הרצויים של החוג הסגור ( J = [ μ μ μ ] 1 n f = place(a,b,j) - acker רק למערכות - place,siso גם ל MIMO (מיקום רובסטי מיזעור רגישות הקטבים לפרטובציות ב A וב B) 5

6 נוסחת אקרמן שלבי הוכחה א. נתונים שני מימושים מינימליים של אותה מערכת: כאשר:. הוכיחו כי כאשר ו מטריצות הקונטרולביליות בהתאמה. ב. 1. אם הינה מטריצת המערכת במימוש מלווה הוכיחו כי: כאשר במקום ה של שני המימושים 1) x Ax Bu; ) x Ax Bu x,x. ec e 1 ( n i 1 1 x Tx; A T AT; B=T B C היא מטריצת הקונט' במימוש המלווה. הראו כי C T n CC 1 nxn A i eia ei+1e 1A (i=1,...,n-1) 1 ) e 1 i C. : u ג. 1. נסמן המשואה האופיינית של החוג הפתוח: det(si- A) = s + a s +...a s+ a f x n n-1 n-1 1 נסמן המשואה האופיינית של החוג הסגור עם משוב המצב 6

7 p s si A נוסחת אקרמן שלבי הוכחה (המשך ג) הראו כי:. הוכיחו כי: ד. הראו כי משוב המצב f המביא לאותו פולינום אופיני המלווה נתון ע"י כאשר ה. על בסיס סעיף ד ושימוש בסעיפים הקודמים הראו כי מתקבלת נוסחת אקרמן הערה: כל הגדלים מתיחסים כמו בצורה det(si- A + bf ) º p(s) = s + p s +...p s+ p T 1 CC n n-1 n-1 1 p a p1 a1 f p a pn1 an1 n f =e p(a) ו p(a) fa 1 i i1 1 f = (,,...,1) C - p(a) x Ax bu למימוש המלווה: i 1 1 f =e1t p(a) x 7

8 דוגמה נתונה מערכת של שני מיכלים כבציור: כאשר: ספיקות; הספיקה הנכנסת גבהי הנוזל התנגדות לזרימה שטח חתך כל מיכל (אות הבקרה) q 1 q i h i R i σ 8

9 דוגמה - מידול q 1 דוגמה (המשך) מודל ליניארי עם כאות בקרה נתון ע"י: h1 ( s) P1 ( s) = q ( s ) 1 תמסורות: h( s) P ( s) = q ( s ) 1 9

10 דוגמה משוב מצב מטריצת הקונטרולביליות: C ולכן C -1 f ( ) pa ξωn ωn נבחר את פולינום החוג הסגור כ: s+ ps ( ) = s + לפי אקרמן: p. שני ההגברים גדלים עם ω n תורת הבקרה פרק 7 1

11 דוגמה תגובות { } σ = 1, R1= R = 1, ξ =.8, ω n = 1,, עבור 5 h 1 (t) אפסי המערכת אינם זזים ולכן: כשהקטבים זזים שמאלה האפס ב - הופך להיות דומיננטי 11

12 r f r - u - ( ) 1 si-a B C F x y משוב מצב - תכונות 1) במערכת קונטרולבילית ניתן למקם הקטבים בח"ס כרצוננו. במערכות SISO המשוב הוא יחיד. ב מערכות MIMO ישנם משובים רבים אשר מובילים לאותם קטבים (אבל לא לאותה מטריצה A) C לפי אקרמן המשוב פרופורציונלי ל 1- C. אם C קרובה לסינגולריות אזי 1- C "גדולה" ודרושים הגברים גדולים להזזת הקטבים. ( 3) משוב מצב אינו מזיז קטבים לא קונטרולביליים. ì qs הנח כי s 1 לא קונטרולבילי. אז 1 qaü q [ s1i A B ] ï = - = í ï ý ïî qb = ïþ ועם משוב מצב: qa c = q(a - BF) = qa = qs 1 A C ומכאן ש s 1 נותר קוטב של (המשוב לא מזיזו) 1

13 r u -1 x y ( si-a) B C f r F תכונות (המשך) 4) משוב מצב אינו משנה קונטרולבליות. כפל במטריצה לא סינגולרית אינו משנה הדרגה. é ù éi ù n si A+BF B [ si A B] ê - ú = - ê -Ac F I ú m êë úû ë û 5) משוב מצב אינו מזיז את אפסי המערכת. ) הסבר פשוט: מע' קונטרולבילית ניתן להציג במימוש מלווה. במימוש זה מקדמי פולינום האפסים הם אברי המטריצה c. מימוש מלווה עם משוב מצב מביא לחוג סגור שגם הוא במימוש מלווה עם אותה מטריצה c ומכאן שפולינומים האפסים זהה לזה שבחוג הפתוח). 13

14 משוב מצב ושגיאות מצב מתמיד משוב מצב הינו משוב סטטי הפועל על המצב ואינו משנה את סדר וסוג המערכת. לאינטגרטורים של התהליך אין כל השפעה על שגיאות מצב מתמיד וזאת בניגוד למשוב יציאה. ss t r: שגיאת מצב מתמיד למדרגה ב e = lim r(t) - y(t) = 1- T() = 1+ CA Bf ¹ f =- 1 r -1 CAc ו A C הפיכה היות ויציבה. B : f r -1 c על מנת לאפס השגיאה נבחר הגבר r ( A A-BF) c r f r - u - ( ) 1 si-a B C F x y 14

15 תוספת אינטגרטורים למשוב מצב אינטגרטורים במערכת אינם משפיעים על שגיאות מצב מתמיד עם משוב מצב (בניגוד למשוב יציאה ( על מנת לטפל בשגיאות מצב מתמיד מוסיפים אינטגרטורים על השגיאות כדלהלן: ( r ) x Î ò edt x = e = r- y = r-cx x n r x ונקבל: æ ö + נגדיר וקטור מצב מורחב: ç x çè ø Î æ A ö æbö æ ö x x u = r C + ç ç + çi è- ø èø è ø A ( ) B B r y= C x C אם המערכת המקורית קונטרולבילית (הצמד (A,B) קונטרולבילי) ואין לה גוזר (A,B) קונטרולבילית. ) בראשית) אזי גם המערכת המורחבת (הצמד 15

16 x x æ ö ç x çè ø Î n+ r ( ) תוספת אינטגרטורים למשוב מצב u(t) =- Fx(t) =- F F x(t) =-F x(t) -F ò x חוק הבקרה הוא: 1 1 e(t)dt זהו משוב מצב על המערכת המורחבת r e u x y F x AxBu C - - t F 1 ( ) u(s) =- Fx(s) =- F F x(s) =-F x(s) -F חוק הבקרה המותמר: e(s) s 16

17 תוספת אינטגרטורים למשוב מצב æx ö æa BF BF ö æ 1 ö x - - = x r x = ç ç C + çi è ø è - ø è ø -1 ( si A ) B r ( ) תמסורת החוג הסגור (תמסורת מ r ל y): הצבת u(t) במשואות המצב: -1 æsin A BF1 BF ö æ ö ç - + ç y(s) = C - r(s) = C r(s) ç C si çi è ø è ø r x r e 1 u -1 x y F ( si-a) B C s I r - - F 1 17

18 כניסת הפרעה æa BF BF ö æ 1 ö æbö x - - = x r d C + ç I + ç ç è - ø è ø è ø y): ל d החוג הסגור (תמסורת מ -1 æsin A BF BF ö æbö y(s) C ( si A ) B 1 d(s) ( C ) - + = - = d(s) ç C si ç è ø è ø d r = e x u x y F x= Ax+ B( u+ d) C - - F 1 r -1 18

19 תוספת אינטגרטורים -דוגמה. נתון דוגמה: דרוש משוב מצב + אינטגרטור על השגיאה כך ש p(s) = s + 5s+ 5 x = e= r-y P(s) = s+ 1 3 { x =- 3x + u.. המערכת המשולבת: ו מימוש P: æ 3 ö æö 1 æö y= x x - = x u r ç ç ç1 è- ø èø èø נמצא f) f = ( f1 לפי אקרמן: -1 æ 1 1 3ö - f ( 1)C p(a) ( 1) - = = (A 5A 5I ) ( 5) ç = - çè - ø 1 s+ 3 r e x u x = ò 5 y y/r 5 s 5s 5 = בדיקה 19

20 תוספת היזון קדימה ניתן גם להוסיף לחוק המשוב היזון קדימה מהרפרנס ראו ציור היזון קדימה מאפשר תוספת אפסים r e x F u x Ax Bu x C y - f - F 1 = - = -( 1 ) = ò חוק הבקרה: u f r Fx f r F F x f r Fx F edt והחוג הסגור: את F מחשבים כמקודם æa BF BF ö æbf ö x x = r ç C + ç I è - ø è ø æsin A BF BF ö æbf ö y(s) ( C ) = r(s) ç C si ç I è ø è ø r -1

21 תוספת היזון קדימה המשך דוגמה f המשך דוגמה: ופ"ת חוג סגור היא מתקבלת הסכימה 1 s+ 3 r e x u x = ò 5 y y/ r f s + 5 = + + s 5s 5 f קובע את מיקומו של האפס והשפעתו על התגובות עשויה להיות משמעותית. 1

22 ( משוב מצב פתרון בתדר ) SISO (SISO (במערכות f דרך נוספת למציאת -1 Δ (s) = (si- A), Δ (s) = (si- A+ bf ), Δ(s) = 1+ f (si-a) b Δ o c c o c -1 (s) = si- A + bf = (si- A)(I + (si-a) bf ) Δ Δ Δ Δ Δ -1-1 c = o I + (si- A) bf = o 1+ f (si- A) b = o Δ= Δ / Δ o c o -1 Adj(sI-A) Δ = 1+ f (si- A) b= 1+ f b= Δ Δ + f Adj(sI- A)b= t(s) f t(s) = Δ - Δ Δ c o Δ Δ c o נסמן:

23 משוב מצב שיקולי תכן מאמץ בקרה תלוי ישירות במרחק ההזזה של הקטבים ע"י המשוב אפסי חוג פתוח מושכים הקטבים ולכן קשה להזיז קטבים מאפסים קרובים לאי קונטרלביליות) (קרבה לכן מזיזים בד"כ אותם הקטבים שמביאים לשיפור תכונות החוג הפתוח. גישות נוספות: 1) זוג קטבים דומיננטיים. מזיזים הקטבים כך שמתקבל זוג דומיננטי ושאר הקטבים יותר מהירים ומרוסנים ) מיקום לפי אבי טיפוס. זאת על מנת לקבל תגובות ידועות. שני אבי טיפוס מקובלים: א) (Integral Time Absolute Error) ITAE פ תגובותיהם לשינוי מדרגה ממזערות את tedt ב) פילטרי בסל. "ת מסדרים שונים אשר ò 3

24 אבי טיפוס מיקום קטבים 4

25 אבי טיפוס תגובות מדרגה של אבי-טיפוס Bessel ITAE 5

26 משערכי מצב בד"כ לא ניתן למדוד את כל וקטור המצב או שהמדידות מייקרות משמעותית את המערכת. u המטרה לבנות אלמנט דינמי שישערך את משערך מצב או בקיצור משערך x מתוך מדידת y וידיעת u y xˆ 6

27 u x Ax Bu x C y משערך בחוג פתוח? x=ax+bu ˆ ˆ C ŷ 1) ננסה משערך המבוסס על מודל של התהליך: דינמיקת המשערך: התהליך: שגיאת שערוך: בהנחה ש A ו B ידועים במדויק וכך גם u(t) - חיסור של דינמיקת שגיאת השערוך: יציבה אזי השגיאה תקטן אקספוננציאלית ל, מ) דהיינו () מציג את. ˆx(t) x(t) xˆ 1) xˆ = Axˆ+ Bu, x() ˆ = xˆ ) x = Ax + Bu, x() = x 3) e x x, ˆ e() x xˆ - = - e= Ae A אם אבל, למשערך הנ"ל חסרונות מובהקים: אין לנו כל השפעה על דינמיקת השערוך. ויותר מכך אם A לא יציבה השערוך אינו מתכנס. 7

28 (Luenberger Observer משערך אסימפטוטי (משערך לונברגר המשערך מבוסס על מודל התהליך בתוספת משוב על השגיאה E yy שאותה ניתן למדוד E= y- yˆ = C(x- x) ˆ = Ce u x y x Ax Bu C xˆ Axˆ xˆ C ŷ המשערך : xˆ = Axˆ+ Bu + L(y- y) ˆ = ( A- LC) xˆ+ Bu+ Ly= Axˆ+ Bu+ LCe e ו L הגבר המשערך כאשר x-xˆ e = Ae-LCe = (A-LC) e e() x -xˆ דינמיקת שגיאת השערוך: עם תנאי התחלה: 8

29 u x Ax Bu x C y משערך אסימפטוטי (המשך) xˆ Axˆ xˆ C ŷ e = (A-LC)e ע"י בחירה מתאימה של L ניתן לשלוט על דינמיקת השגיאה שכן מסקנה (A-LC) משפט: באם הצמד (C,A) אובסרוובילי אזי ניתן למקם את קטבי כרצוננו. Φ ob (s) = (si - A + LC) נסמן : Δ ob (s) = det Φ (s) פולינום אופייני של המשערך: ob 9

30 ב חישוב הגבר המשערך :(SISO) l נוסחת אקרמן למציאת הגבר המשערך ( n = - + Î ) Δob(s) det(si A c); = Δob(A) O -1 éù 1 êë úû A -c הוכחה: באמצעות הדואליות לנוסחה עבור משוב מצב. במקום למצוא f הממקם השרשים של A-bf יש למצוא l למיקום שרשי או. A c- אי לכך מחליפים בנוסחת אקרמן ל f: AA ;bc ;f MATLAB מציאת L מבוצעת באותן פקודות כמו משוב מצב ( (1 3 (דואליות) : L= place(a,c,j) = acker(a,c,j)

31 חישוב הגבר המשערך -דוגמה הגבר המשערך: שקטביו ב -. y(s) דוגמה: בנו משערך ל P(s) = =1 s u(s) æ 1ö æö x = x u מימוש: + ç 1 è ø çè ø y= 1 x ( ) -1 ( ) ( c 4 = Δ ) ob A O é ù = A + 4A+ 4I æ ö é ù æ ö ê1ú ca = ç ê1ú ç 4 ë û è ø ë û è ø x æ ö æ ö æ ö ˆ = Axˆ+ bu + (y-y) ˆ xˆ = ˆx+ u+ E çè ø èç1 ø èç4ø E דינמיקת המשערך: 31

32 1 4 x æ ö æ ö æ ö ˆ = Axˆ+ bu + (y-y) ˆ xˆ = ˆx+ u+ E çè ø çè1ø çè4ø E x ˆ1= xˆ+ 4E ˆx = u+ 4E דוגמה דינמיקת המשערך: בפירוט:. u x x = x = u x 1 x 1 ò ò ˆx ˆx ˆx 1 ò ò x = y 1 = yˆ E

33 משערך אסמיפטוטי x(t) ˆ = (A- LC)x(t) ˆ + Bu(t) + Ly(t) מטריצת תמסורת משערך: התמרת לפלס של מביאה ל: ˆx(s) = Φ (Bu(s) + Ly(s)) = G (s)u(s) + G (s)y(s) Φ ob -1 ob (s) = (si - A + LC) u u Process y y Observer G u = Φ -1 ob B + G y = Φ -1 ob L xˆ x(t) z(t) C אזי התמסורת מ y ומ u ל ẑ הן: z(s) ˆ = C x(s) ˆ = C G (s)u(s) + C G (s)y(s) z z u z y z אם נגדיר אות 33

34 משערך אסמיפטוטי (SISO (מערכות l דרך נוספת למציאת Δ (s) = (si- A), Φ (s) = (si- A+ c), Δ(s) = 1+ c(si-a) o ob Δ ob ob ob t(s) (s) = o o Φ (1xn) ob (s) -1 o -1 si- A + c = (si- A)(I + (si-a) c) Δ = Δ I + (si- A) c = Δ Δ Δ= Δ / Δ Adj(sI-A) Δ Δ = 1+ c(si- A) = 1+ c = Δ Δ -1 ob cadj(si - A) (nx1) = Δob -Δ o o -1 o נסמן: 34

35 דוגמה מערכת שני המיכלים כאשר: q i h i R i σ ספיקות; הבקרה גבהי הנוזל התנגדות לזרימה שטח חתך המיכלים הגברי המשערך q 1 i 35

36 משערך -דוגמה מודל ליניארי עם מדידה של גובה הנוזל במיכל הראשון נתון ע"י: במטרה לשחזר את גובה הנוזל במיכל השני, h, בונים משערך: כאשר הגברי המשערך נתונים ע"י עבור (s) Δ ob רצוי. é 1 ù = ob(a) é ù R êë úû Δ êëσ 1úû 36

37 משערך -דוגמה Δob (s) = s + ξωns נקבל עבור + ωn 1 והגברי המשערך גדלים עם ω. n עבור = 1 R σ = 1, R = מתקבל: 1 37

38 משערך סימולציה: נניח ש והמשערך מתוכנן כך ש h ĥ( ω =1) שערוך h ( σ = R = R = 1) n 1 -דוגמה ns n Δ (s) = s ω + ω ob ĥ( ωn =6) 38

39 u d B x AxB C xˆ Axˆ x L xˆ y C n ŷ משערך והפרעות השפעת הפרעות כניסה ורעשי מדידה על השערוך עם הפרעת כניסה d(t) ורעשי מדידה n(t) מודל התהליך הוא - E = + + d(t) = x(t) Ax(t) B(u(t) ), x() x y(t) = Cx(t) + n(t), באם לא נוקטים בפעולה כנגד ההפרעות ורעש המדידה, המשערך ממשיך לפעול לפי x(t) ˆ = Ax(t) ˆ + Bu(t) + L(y(t) - Cx(t)), ˆ x() ˆ = xˆ ודינמיקת שגיאת השערוך תהיה: = ˆ e(t) (A LC)e(t) Bd(t) Ln(t), e()=x -x, nt וגם d t וגם נכללים בה! 39

40 דוגמה משערך והפרעת כניסה d(t)=.1 h (t) ו n(t)= שערוך בנוכחות עם d(t)=.1 ĥ( ω =1) n בנוכחות ההפרעה השערוך אינו מתכנס ל h (t) השגיאה קטנה עם הגדלת הגברי המשערך. ĥ( ω =6) n h 4

41 דוגמה משערך ורעש מדידה ו שערוך n(t)=.4sin(1t) בנוכחות h (t) n(t)=.4sin(1t) עם d(t)= h ĥ( ωn =1) בנוכחות רעשי מדידה השערוך אינו מתכנס ל h (t) השגיאה גדלה (!) הגברי המשערך. עם הגדלת ĥ( ωn =6) 41

42 שערוך הפרעות עבור התהליך יתכנו שני מקרים: = + + d(t) = x(t) Ax(t) B(u(t) ), x() x y(t) = Cx(t), e(t) e(t) = (A-LC)e(t) d(t) ידועה או ניתנת למדידה ואז ולכן.1 e(t) = -A) LC)e(t) + Bd(t) אינה ידועה או אינה ניתנת למדידה ואז d(t) ולכן e(t) לא ידעך לאפס...x(t) יחד עם d(t) ניתן להתגבר על הבעיה ולנסות לשערך את לצורך זה דרוש מודל דינמי של d(t) המבוסס על ידיעת אופי ההפרעה ולא על ערכיה המדויקים. המודל לכן הוא ללא כניסות ועם תנאי התחלה לא ידועים. מודלים כאלו נקראים מחוללי הפרעות. 4

43 מחוללי (גנרטורי) הפרעות d = d d d = d, x (t) A x (t), x () x d(t) = C x (t), d d מודל דינמי של הפרעה: C d ו כאשר A d ידועים ואי הודאות מתבטאת באי ידיעת תנאי ההתחלה. (A d וקטבי המודל (ערכים עצמיים של בדרך כלל המודל הנ"ל נקרא מחולל הפרעה יהיו על הציר המדומה.jω 43

44 x (t) = A x (t), x () = x -דוגמאוd d d d d, d(t) = C x (t), d d מחוללי הפרעות d d(t) = d1(t) D(s) = s x(t) = x(t), x() = d d d d d(t) = 1 x (t), d מדרגה ds + dr d(t) = (d+ dr t)1(t) D(s) = s ( 1) ( d x(t), x() ) dr x(t) = = d d d מדרגה + ריצה A ( ) d(t) = 1 x d(t), C d d 44

45 מחוללי הפרעות -דוגמאות אות הרמוני asin( φ)s+ aωcos( φ) d(t) = asin( ωt + φ) D(s) = s + ω ( ) ( sin( )) x(t) d = ω x(t), d x() d = φ cos( ) a - ω φ ( ) d(t) = 1 x d(t), C d A d כאשר ω ידועה ו a ו ᵩ אינם ידועים 45

46 צירוף התהליך ומחולל ההפרעה y ì ïx(t) = Ax(t) + B(u(t) + d(t)), x() = x í ï ïî y(t) = Cx(t), ì ï x d(t) = Adx d(t), x d() = xd, í ïî ï d(t) = Cdx d(t), x(t) η(t) x (t) ( A BC ) ( ) d B ( ) ì æ x ö (t) (t) u(t), () ï η = η + η = Ad çèx d, ø í ï ïî y(t) = ( C ) η(t), נצרף את מודל התהליך ואת מחולל ההפרעה באמצעות וקטור מצב מורחב η: ומכאן: הערות: 1) המודים של A d אינם קונטרולביליים באמצעות u אבל אובסרווביליים דרך ) למערכת המשולבת אין כניסות לא ידועות/לא מדודות (רק תנאי התחלה לא ידועים) ולכן ניתן לבנות עבורה משערך d 46

47 u B d n ζ x = Ax+ Bζ e(t) η(t) -ηˆ (t) : משערך למערכת המשולבת המשערך המשולב: משערך את ( x(t) η(t) ) x (t) ˆ æa BC ö d ˆ æbö æ L ö æ ˆx ö η(t) = (t) u(t) (y(t) ( C ) ˆ(t)), ˆ() ˆ ç A η ç d çl d çˆx è ø + è ø + è ø - η η = d, è ø = η A ˆ ò A x - B C ˆ C L y L ŷ _ דינמיקת שגיאת השערוך éæ A BC ö æ d L ö ù e(t) = ( C ) e(t), e() ˆ ç A - êè d ø çèl = η -η ë dø úû E C d והשגיאה דועכת אסימפטוטית לאפס אם מתקיימת דיטקטביליות 47

48 המשך דוגמה עם d(t)=.1 המערכת המשולבת נתונה ע"י והיא אובסרוובילית O deto נבנה משערך המשחזר גם את (t) h וגם את d(t) 48

49 n n Δ (s) = ( s +.5)( s ω s + ω ) ob המשך דוגמה נבחר את פולינום המשערך כ שערוך (t) h ו d(t) קבוע h ĥ ( ω =1) n ( σ = R = R = 1) 1 השערוך מתכנס ל (t) h ול d(t)=.1! ˆd ( ω =6) n ˆd ω ( n =1) ĥ ( ω =6) n 49

50 בקרת יציאה מבוססת משערך כשלא ניתן למדוד את כל וקטור המצב אלה רק את y, לא ניתן להשתמש במשוב מצב. אם מתקינים משערך מצב אסימפטוטי, וקטור המצב המשוערך מתכנס לאחר פרק זמן לוקטור המצב האמיתי. נראה מה קורה כאשר משוב המצב מבוסס על במקום על - ראו ציור d x ˆ = Ax ˆ + Bu+ L(y-y) ˆ u= f r-fxˆ n r המשערך : חוק הבקרה: r f r - u ζ B x x= Ax+ Bζ C xˆ Axˆ xˆ C ŷ y - E - הפרעות כניסה - רעשי מדידה d n F L xˆ 5

51 r f r u d ζ x x= Ax+ Bζ C n בקרה מבוססת משערך y - B xˆ Axˆ xˆ C ŷ - E משוואות המערכת בחוג סגור: æx ö æ A BF öæxö æbö æbö æ ö - ( fr ) r d = n ˆx LC A BF LC xˆ + B + + ç ç ç ç ç ç L è ø è - - øè ø è ø èø è ø æxö y= ( C ) ç ˆx çè ø C F A L xˆ B B B 1 3 u= f r-fxˆ r הבקרה: 51

52 החוג הסגור = æi ö -1 נבצע טרנספורמצית מצב באמצעות T ç I I çè - ø = æxö כדלהלן: המצב המקורי לוקטור ç e çè ø æx ö æ x ö æx ö çx = çx x ˆ = çe è ø è - ø è ø. באמצעותה יומר וקטור T T ˆ מטריצות המערכת לאחר הטרנספורמציה נתונות ע"י ,,3 1,,3 A = TAT ; B = TB ; C = CT ודינמיקת החוג הסגור עם וקטור המצב החדש: 5

53 החוג הסגור A = ודינמיקת החוג הסגור עם וקטור המצב החדש: æxö æa BF BF öæxö æbf ö æ r Bö æ ö - - e = A LC e + + B - ç ç ç ç ç ç è ø è - øè ø è è L ø ø è ø æ ö ç e çè ø ( ) C A x y= C + n B x e æ ö ç çè ø r d n עם תנאי ההתחלה: æa BF BF ö - - ומטריצת של החוג הסגור: èç A- LCø A B B

54 משפט ההפרדה הפולינום האופיני של החוג הסגור הוא: ומכאן Δ cl (s) = det(si- A) = det(si- A + BF) det(si- A + LC) SF Observer משפט ההפרדה: ניתן לתכן את משוב המצב והמשערך בנפרד ובאופן בלתי תלוי n קטבי החוג הסגור: n של משוב מצב ו n של המשערך. אם המשערך יציב ומשוב המצב יציב אזי החוג הסגור יציב. 54

55 y תמסורת מ r ל נמצא התמסורת מהרפרנס ליציאה עם d(t)=n(t)= æx ö æa BF BF öæxö æbf r ö - - r e = A LC e + ç ç ç ç è ø è - øè ø è ø y= ( C ) æxö ç e çè ø התמרת לפלס: -1 A BF BF ù - - Bfr é æi ö æ ö æ ö y(s) ( C ) s = r(s) I - A LC ê ç ç ç ë è ø è - øúû è ø -1 = C(sI -(A-BF) Bf r(s) r 55

56 הבקר הכולל פ"ת חוג סגור מ r ל y היא: r(s) y(s) = C(sI- A + BF) B בדיוק כמו משוב מצב ללא משערך! משמעות: קטבי המשערך אינם מעוררים ע"י r וגם לא כאשרx xˆ =. פרוש הדבר שקטבי המשערך אינם קונטרולביליים באמצעות הכניסה r. לעומת זאת קטבים אלו כן יעוררו ע"י d ופ"ת מ d ל y שונה מזו של משוב מצב טהור. -1 xˆ = Axˆ+ Bu+ L(y- Cx) ˆ + Ln u= f r-fxˆ r פ"ת הבקר: (si - A+ BF+ LC)x(s) ˆ = Bfrr(s) + Ly(s) + Ln(s) Φ(s) u(s) = f r(s) -Fx(s) ˆ r 56

57 פ הבקר הכולל "ת הבקר: ( 1 ) 1 Φ - r Φ - u(s) = I-F (s)b f r(s) - F (s)l (y(s) + n(s)) C r C y d r u y -1 (I-FΦ B)f r P(s) - C r FΦ -1 L n בקר שתי דרגות חופש! C y Φ(s) = (si- A+ BF+ LC) 57

58 הבקר הכולל : u ל y æa BF LC Lö -1 u(s) F (s)l y(s) - - =- Φ ç F çè ø התמסורת מ (I-F B) 1 1 Φ - - ob F 1 Φ - ob L פ"ת הבקר: ניתן להראות שאת התמסורות אפשר להביא לצורה אקויולנטית כאשר Φob(s) = (si- A+ LC) הערה: במימוש הבקר הכולל יש לבחון צמצומים! 58

59 -1 (I-FΦ B)f r שיקולי תכן FΦ -1 L שיקולים בבחירת קטבי המשערך. על קטבי המשערך להיות מהירים יותר מקטבי הבקר. זאת על מנת להבטיח ששגיאת השערוך תדעך מהר יחסית לדינמיקה המבוקרת. מקובל: קטבי משערך מהירים יותר מאלו של הבקר פי 6 הרי אין בעיה של מאמץ בקרה! מדוע לא יותר מפי -6? קטבים מהירים "מדי" יביאו ל הגדלת רוחב סרט המשערך הגברת רעשים והעברתם לבקר הגדלת רגישות לאי ודאויות תגובות ראשוניות "פרועות" 59

60 -1 (I-FΦ B)f r דוגמה FΦ -1 L 1 P(s) = s - 1 æ 1ö æö x = x u 1 + ç 1 è ø è ç ø y= 1 x ( ) התהליך: מימוש: f = ( 1.5 1) משוב מצב הממקם הקטבים ב j הוא: x æ.6ö - = ç.35 çè ø נבחן התגובה לתנאי התחלה 6

61 בקרה מבוססת משערך המשך דוגמה x(1) t(sec) æ ö 1 æ A BF ö = ç LC A-BF-LC - è ø 1 ç è ø משערך עם קטבים ב תגובת החוג הסגור עם משוב מצב והמשערך לתנאי התחלה: æö -æ.6ö x ˆ = x = ç è.35 ø çè ø Response to Initial Conditions - SF w and w/o Observer X 1 - SF + Observer C X 1 - Estimqted y X 1 - SF only = 6(s ) s + 3s+ 5.5 æö L = ç èø 3 x() j Response to Initial Conditions - SF w and w/o Observer X - SF + Observer X - Estimqted X - SF only t(sec) 61

62 בקרה מבוססת משערך המשך דוגמה x(1) Response to Initial Conditions - SF w and w/o Observer Estimated x 1 x 1 (SF only) L æ ö = ç è1 ø משערך עם קטבים ב 11- j תגובת החוג הסגור עם משוב מצב והמשערך לתנאי התחלה: æ-.6ö æö x ˆ = x = ç è.35 ø çè ø t(sec) x 1 (SF + Observer) é 1 ù æ A BF ö = ç èlc A-BF-LC ø 1 - ê ú ë û C y = 31(s ) s + 1s x() Response to Initial Conditions - SF w and w/o Observer x (SF + Observer) Estimated x x (SF only) t(sec) 6

63 בקרה מבוססת משערך המשך דוגמה CyP(j ω) Nyquist of SF and SF + Observers.1 PM DM SF SF+Sob SF+Fob Im) SF+slow Observer SF+fast Observer SF Re 63

64 בקרה מבוססת משערך המשך דוגמה CyP(j ω) 5 Bode of SF and SF + Observers Nyquist of SF and SF + Observers Magnitude(dB) Im) SF+slow Observer SF+fast Observer Phase(deg) SF (rad/s) Re 64

65 בקרה מבוססת משערך המשך דוגמה רעש מדידה.1 אפקט של רעש מדידה על משוב המצב ועל המשערך n "רעש לבן" בעל רוחב סרט מוגבל עם צפיפות הספק של אלפית שנ' d n וזמן קורלציה של r f r - u ζ B x x= Ax+ Bζ C xˆ Axˆ xˆ C ŷ y - E F L xˆ 65

66 בקרה מבוססת משערך המשך דוגמה רעש מדידה.8 With noise, L=[-;-3].8 x 1 Response to initial conditions with SF w/wo Observer, L=[-;-3].6 Estimated x 1 x 1 (SF + Observer x 1 (SF only).6 Estimated x 1 x 1 (SF + Observer x 1 (SF only) x 1 x Time, [sec] 1 With noise, L=[-;-3] Time, [sec] x Response to initial conditions with SF w/wo Observer, L=[-;-3].7.8 Estimated x x (SF + Observer x (SF only).6.5 Estimated x x (SF + Observer x (SF only) x x Time, [sec] Time, [sec] 66

67 בקרה מבוססת משערך המשך דוגמה רעש מדידה.6 With noise, L=[-;-1].6 No noise, L=[-;-1].4. Estimated x 1 x 1 (SF + Observer x 1 (SF only).4. Estimated x 1 x 1 (SF + Observer x 1 (SF only) x 1 -. x x Time, [sec] With noise, L=[-;-1] 4 Estimated x 3 x (SF + Observer x (SF only) Time, [sec] x Time, [sec] No noise, L=[-;-1] 1.5 Estimated x x (SF + Observer x (SF only) Time, [sec] 67

68 - בקרה מבוססת משערך המשך דוגמה רובסטיות No noise, L=[-;-3], with C=[1.5 ] Estimated x 1 x 1 (SF + Observer x 1 (SF only).8.6 x 1 Response to initial conditions with SF w/wo Observer, L=[-;-3] Estimated x 1 x 1 (SF + Observer x 1 (SF only).5.4 x 1 x Time, [sec] 1 No noise,l=[-;-3], with C=[1.5 ] C observer = (1.5 ) C = (1 ) process Time, [sec].7 x Response to initial conditions with SF w/wo Observer, L=[-;-3] Estimated x x (SF + Observer.6 Estimated x x (SF + Observer.5 x (SF only).5 x (SF only).4.3 x x C = (1.5 ) observer C = (1 ) process Time, [sec] Time, [sec] 68

69 - בקרה מבוססת משערך המשך דוגמה רובסטיות.6.4 No noise, L=[-;-1], with C=[1.5 ] Estimated x 1 x 1 (SF + Observer x 1 (SF only).6.4 No noise, L=[-;-1] Estimated x 1 x 1 (SF + Observer x 1 (SF only).. x 1 x C = (1.5 ) observer C = (1 ) process Time, [sec] No noise, L=[-;-1], with C=[1.5 ] Time, [sec] No noise, L=[-;-1] 1 1 Estimated x x (SF + Observer.5 Estimated x x (SF + Observer x (SF only) -.5 x (SF only) -1-1 x - x C observer = (1.5 ) C = (1 ) process Time, [sec] Time, [sec] 69

70 בקרה מבוססת משערך תוספת אינטגרטורים בקר מבוסס משערך עם פעולה אינטגרלית r e x F u d Process y n Observer xˆ F 1 משוב המצב מתוכנן לתהליך עם האנטגרטור( םי ( המשערך מחשב את מצב התהליך (ללא האינטגרטור) 7

71 מימוש בקרת מודל פנימי במרחב המצב x(t) = Ax(t) + B(u(t) + d(t)), x() = x y(t) = Cx(t), x (t) = A x (t), x () = x d d d d d, d(t) = C x (t), d d η(t) ( x(t) ) x (t) ( A BC ) ( ) d B æ x ö η (t) = η(t) + u(t), η() = Ad ç x d, çè ø A ( ) y(t) = C η(t), C B d התהליך : מחולל ההפרעה: נגדיר וקטור מצב מורחב η: התהליך + ההפרעה: 71

72 r f r מימוש בקרת מודל פנימי במרחב המצב _ u B d ζ x = Ax+ Bζ ˆ ò A x - C ˆ C L המשערך המשולב: ˆ ( A BC ) ( ) d ˆ B ( L ) ˆx ( ) ˆ ˆ æ ö η (t) = ˆ A η(t) + u(t) (y(t) C (t)), () d + L - η η = d ç ˆx = d, η çè ø A B ( A-LC BC ) ( ) d ˆ B ( L -LC ) d A η d Ld η ˆ(t) = (t) + u(t) + y(t) A B L L C n y ŷ _ E F 7

73 חוק הבקרה משוב מצב + מודל פנימי היות וקטבי מחולל ההפרעה אינם קונטרולביליים באמצעות u אזי הייצוב מתבצע ע"י משוב מצב על המצב המשוערך של התהליך ועל ההפרעה המשוערכת. מכאן שחוק הבקרה נתון ע"י: u= f r-fxˆ - dˆ = f r- F C ηˆ ( ) r r d F r f r _ u B d ζ x = Ax+ Bζ ˆ ò A x - L ˆ C C y ŷ n _ E F 73

74 בקרת מודל פנימי במרחב המצב נראה שאכן סכימת הבקרה הנ"ל היא משוב המצב המשוערך של התהליך והבקר כולל את מחולל ההפרעה (מודל פנימי). נציב את חוק הבקרה במשוואת השערוך ( A-LC BC ) ( ) d ˆ B ( L -LC ) d A η d Ld η ˆ(t) = (t) + u(t) + y(t) A B ˆ ( A-LC BC ) ( ) ( ) d ˆ æbf ˆ rr(t) B F C d (t) ö L η (t) = η(t) + - η + y(t) -LC d A d çè ø Ld A ( A-LC-BF ) ( Bf ) ( ) r L η = -LC A ˆ(t) + r(t) + L y(t) d d d L L ונקבל: 74

75 בקרת מודל פנימי במרחב המצב התמרת לפלס של משואת השערוך ( si- A + LC + BF ) ( Bf ) ( ) r L η = + LC d si-a ˆ(s) r(s) y(s) d Ld Ψ(s) ( Bf ) ( ) r L -1-1 ˆ(s) = (s) r(s) + (s) L y(s) d η Ψ Ψ הצבת וקטור המצב המשולב המשוערך בחוק הבקרה: æ ( ) ( ) ( ) ( ) -1 B ö -1 L u(s) = ç 1- F C d Ψ (s) frr(s) - F C d (s) L y(s) çè Ψ ø d u(s) ( ) ( ) -1 L =- F C d Ψ (s) y(s) L det Ψ(s) = det(si- A + LC + BF) det(si-a d ) d ומכאן שתמסורת הבקר בחוג הסגור: ופולינום המכנה של תמסורת הבקר: דהיינו: משוב מצב משוערך + מחולל ההפרעה. 75

76 (SISO) בקרה מבוססת משערך פתרון בתדר מהדיון הקודם התקבל המבנה: u r -1 P(s) = c(si- A) b= g(s)/d(s) y Φ- 1 ob b ˆx f Φ -1 ob Φ (s) = (si- A + c); Δ (s) = det Φ (s) ob ob ob n-1 = n-1 n-1 n = n-1 + g(s) g g s... g s d(s) d d s... d s s כאשר : 76

77 (SISO) בקרה מבוססת משערך פתרון בתדר r u y סכימה אקויולנטית: G = f b u 1 Φ - ob G y = f Φ -1 ob n (s) G (s) f b ; G (s) f u = -1 u -1 Φob y = Φob Δob(s) ob(s) + 1s n-1 n n-1s + s u β+ β1 + + βn-1 n-1 y γ+ γ1 + + γn-1 n-1 Δ δ δ δ n (s) s... s n (s) s... s n (s) Δ y ob (s) 77

78 (SISO) בקרה מבוססת משערך פתרון בתדר y(s) n y(s) Δob(s)g(s) g(s) g(s) Δob(s) = = r(s) d(s)( Δ (s) + n (s)) + g(s)n (s) Δ (s) Δ (s) Δ (s) ob u y c c ob Φ (s) (si- A+ f b); Δ (s) det Φ (s) c c c התמסורת: כאשר: הצד הימני של התמסורת בא מידיעה שהתמסורת מ r צמצום המשערך ל y היא כמו של משוב מצב אחרי מהשוואת שני המכנים שבתמסורת: * d(s)n u(s) + g(s)n y(s) = Δob(s)( Δc(s) -d(s)) n - n 1 n-1 - n 1 n n-1. n y הנ"ל משוואת דיופנטין כאשר נתונים ו וידועים g ו d והנעלמים הם: n u היות והתהליך מינימלי ו deg(d) deg(n ) < למשוואה פתרון יחידי. ו y 78

79 (SISO) בקרה מבוססת משערך פתרון בתדר 1 דוגמה: = P(s). s יש לבנות משוב מצב+משערך כשקטבי המשערך ב - וקטבי החוג הסגור ב 1-. c ob d(s) = s,g(s) = 1,n = Δ Δ (s) = (s+ 1) (s) = (s+ ) פתרון: n u(s) = β+ β1s n y(s) = γ+ γ1s הצבה ב ( ) מביאה: ( β + β ) + ( γ + γ ) = + ( + - ) 1 1 s s 1 s (s ) (s 1) s β = 9, β =, γ = 4, γ =

80 פתרון בתדר דוגמה r _ u d s + 9 (s+ ) P(s) = 1/s + 1s + 4 (s+ ) y y/r= 1/(s+ 1) דוגמה s + 6s+ 13 y/d= (s + 1) (s + ) (s+ ) s + 6s+ 13 1s+ 4 (s+ ) 1/s סכימות אקויולנטיות שני מודים חבויים ב -=s 8

81 פתרון בתדר דוגמה r (s+ ) u y s + 6s+ 13 d 1/s s=-3±j סכימות אקויולנטיות שני מודים חבויים ב 1s+ 4 s + 6s+ 13 הערה: אפשר לנסות לקבל את אותו y/r עם בקר C בחוג הקדמי אבל אז מתקבל: s C(s) = s + והחוג אינו יציב עקב המוד החבוי ב =s 81

82 משערך מסדר מופחת למערכת עם n משתני מצב ו r מדידות (יציאות) אין צורך לשערך את כל המצב שכן ידועות r קומבינציות ליניאריות של משתני המצב ycx) ( לכן ניתן להשתמש במשערך מסדר מופחת: מסדר n-r.ועבור SISO הסדר ל 1-n. ניתן להפחית é êdeg n,deg n ù ú n-1 ë û ( u) ( y) c ob d(s) = s,g(s) = 1,n = Δ Δ (s) = (s+ 1) (s) = (s+ ) ( ) דרך הפתרון כמיקודם אלא ש 1- n deg Δ = ולכן ob n (s) = β u n (s) = γ + γ y 1 ( β ) + ( γ + γ ) = + ( + - ) 1 s 1 s (s ) (s 1) s n (s) = ; n (s) = 5s+ u y s המשך דוגמה: הצבה ב ( ) מביאה: 8

83 משערך מסדר מופחת s+ 1/s 5s+ s+ המשך דוגמה: והתמסורות y/r= 1/(s+ 1) s+ 4 y/d= (s + 1) (s + ) s+ s+ 4 1/s סכימה שקולה: 5s+ s+ הערות: 1) אין משתמשים במשערך מסדר מופחת כשרעשי המדידה משמעותיים ) פיתוח משערך מסדר מופחת באופן כללי במרחב המצב נמצא בספרות. 83

84 טיפול באילוצי כניסה בבקרה מבוססת משערך על u בקרת מצב מבוססת משערך מאפשרת לכלול אילוצים (כמו רוויות למשל) כניסות באופן פשוט. על מנת למנוע "התנפחויות" על הבקרה לקיים התנאים : 1) על מצב הבקר להיות מונע ע"י הכניסה האמיתית ) על הבקר להיות יציב בעת שמונע ע"י הכניסה המוגבלת האמיתית התנאים הללו מקוימים באופן טבעי במשוב מצב מבוסס משערך יציב. y ˆx הערה: על המשערך לכלול שיערוך ההפרעה. 84