חדו"א משפטים M 0 מתקיים: ( x, y) ( x0, y0 ) ( x, y) ( x0, y0 ) משפט אם פונקציה רציפות של פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה דיפרנציאבילית בנקו

תמליל

1 M מתקיים: ( ( ( ( אם פונקציה רציפות של פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה דיפרנציאבילית בנקודה M( אז הפונקציה רציפה בנקודה זאת lim f ( = f ( ( ( M ( f ( לפי הגדרת רציפות פונקציה בנקודה צריך להוכיח שמתקיים: לפי הגדרת דיפרנציאביליות פונקציה בנקודה עבור כל הנקודות מסביבת נקודה f ( = f ( + f ( ( + f ( ( + ( ( + ( 2 2 lim ( = ( ( כאן פונקציה ( מכאן מקיימת את התנאי 2 2 ( lim f ( = lim f ( + f ( ( + f ( ( + ( ( + ( ( ( ( ( ( lim f ( = f ( ( f f lim ( ( = ( = ( ( ( lim f ( ( = f ( = ( ( ( ( 2 2 ( lim f ( = lim ( ( + ( = = lim f ( = f ( = f ( ( ( נחשב גבול עבור כל אחד מהמחוברים: מכאן לפי על גבול של סכום פונקציות מתקיים: משל 1

2 נוסחה לחישוב נגזרת מכוונת של פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה M( אם פונקציה f ( דיפרנציאבילית בנקודה אז לכל וקטור s = ( m n מתקיים: f ( ˆ = f ( s = f ( cos + f ( sin s s m n sˆ = (cos sin = = s m + n m + n u( t = f ( + t cos + t sin = f ( ( t ( t t = כאן נתבונן בפונקציה מורכבת נראה שהפונקציה גזירה בנקודה דיפרנציאבילית בנקודה לפי כלל השרשרת לכך מספיקים שני התנאים הבאים: ( ( ( = ( + cos + sin = ( ; התנאי : t *( t = 1 פונקציה f ( מתקיים כנתון בניסוח ה גזירות בנקודה התנאי מתקיים כי הפונקציות גזירות לכל ערך של משתנה ( t = ( + t cos = cos ( = cos ( t = ( + tsin = sin ( = sin 2 פונקציות t ( t ( ובנוסף לפי כלל השרשרת מתקיים: u( = f ( ( ( ( + f ( ( ( ( = f ( cos + f ( sin u( t u( u ( = lim = lim t t t **( f s נרשום את הנגזרת u( לפי הגדרה: f ( + t cos + t sin f ( t f ( + t cos + t sin f ( t לפי הגדרה של נגזרת מכוונת מתקיים: ( = lim = u ( t f ( f ( cos f ( sin f ( s s = ˆ + = משוויונות *( **( נובע כי משל 2

3 אם פונקציה הערך המקסימאלי והערך המינימאלי של נגזרת מכוונת דיפרנציאבילית בנקודה M( אז לכל וקטור s = ( m n מתקיים: f ( f 1 אם = f ( אזי = ( ; s f f ( ( f ( s f f ma ( = f ( = ( s1 = f ( s s1 f f min ( = f ( = ( s2 = f ( s s 2 f ( אזי f ( 2( אם נתון כי פונקציה וקטור s = ( m n דיפרנציאבילית בנקודה ( M לכן לפי על חישוב נגזרת מכוונת לכל f ( ˆ = f ( מתקיים: s s לפי הגדרה גיאומטרית נוצרת זווית ˆ כי = 1 ˆ s מכאן f sˆ ( = במקרה זה ה הוכח 1 אם = f ( אזי = s ŝ אזי בין וקטור הגרדיאנט ווקטור f ( 2( אם של מכפלה סקלרית מתקיים: f ( s = f ( sˆ cos = f ( cos f ( = f ( cos s f ( f ( cos f ( 1 1 לכן cos עבור פונקציית קוסינוס מתקיים: 1 כי f ( מכאן נובע כי לכל וקטור s = ( m n מתקיים: f f ( ( f ( s אם s = s = f ( אזי = ובמקרה זה מתקיים: f f ( = f ( cos = f ( = ma ( s s f s 2 1 s = s = f ( אזי = ובמקרה זה מתקיים: f ( = f ( cos = f ( = min ( s 2 אם משל 3

4 תנאי הכרחי לנקודת קיצון מקומי אם נקודה ( M היא נקודת קיצון מקומי של פונקציה ( f ( והפונקציה גזירה לפי שני המשתנים בנקודה זאת אזי = f ( = f ( = נקודה f ( g( = f ( : נתבונן בפונקציה של משתנה אחד היא נקודת קיצון = מכיוון שנקודה ( M היא נקודת קיצון מקומי של פונקציה מקומי של פונקציה נראה כי הפונקציה גזירה בנקודה g ( g( + g( f ( + f ( g ( = lim = lim ז"א g( = f ( f ( הגבול האחרון קיים ושווה לנגזרת חלקית f ( g לפי פרמה עבור פונקציה במשתנה אחד מתקיים = ( מכאן = : נתבונן בפונקציה של משתנה אחד = היא נקודת קיצון f ( נקודה h( = f ( = מכיוון שנקודה ( M היא נקודת קיצון מקומי של פונקציה מקומי של פונקציה נראה כי הפונקציה גזירה בנקודה h ( h( + h( f ( + f ( h ( = lim = lim ז"א h( = f ( f ( הגבול האחרון קיים ושווה לנגזרת חלקית f ( = מכאן h ( = לפי פרמה עבור פונקציה במשתנה אחד מתקיים f ( = f ( = ובכן הוכחנו כי משל 4

5 גרין בתחום מלבני 1 = [ a ] [ c ] אם שדה ווקטורי F( = ( P( שייך למחלקה ( 1 - מלבן אזי F( r = P( + = P( כאן היא שפת המלבן עם הכיוון נגד כיוון השעון נתבונן באינטגרל הקווי בהיקף המלבן: A1 B1 c A B a לפי הנוסחה לחישוב אינטגרל קווי בקו חלק למקוטעין מתקיים: F( r = F( r + F( r + F( r + F( r AB BB B A A A AB B1A P( + = = ( = c : a = P( c BB1 = ( = : c P( + = = = ( = c P( + = = ( = : a = P( BB1 c = ( = a : c P( + = = = ( = a a נחשב כל אחד מהאינטגרלים: a c F( r = P( + = P( c + + P( + a c מכאן: 5

6 c a = = P( = P( c a מכיוון ש- אנו מקבלים: **( *( ( F( r = P( P( c a P( נתבונן באינטגרל הכפול: את האינטגרל ניתן לחשב באמצעות אינטגרציה נשנית בסדר ביצוע האינטגרציה המתאים: ( ( P( = P( = P( = P( P( c c a c a a F( r = P( + = P( = [ a ] [ c ] 1 ( מהשוויונות *( **( נובע: משל 2 אם שדה ווקטורי F( = ( Q( שייך למחלקה - מלבן אזי F( r = + Q( = Q( כאן היא שפת המלבן עם הכיוון נגד כיוון השעון נתבונן באינטגרל הקווי בהיקף המלבן ראו את האיור ב הקודם( לפי הנוסחה לחישוב אינטגרל קווי בקו חלק למקוטעין מתקיים: F( r = F( r + F( r + F( r + F( r AB BB B A A A BB1 BB1 AB = ( = c : a + Q( = = = ( = a + Q( = = ( = : c = Q( B1A 1 a = ( = : a + Q( = = = ( = + Q( = = ( = a : c = Q( a c c נחשב כל אחד מהאינטגרלים: 6

7 מכאן a c F( r = + Q( = + Q( + + Q( a a c a c = = Q( a = Q( a a c מכיוון ש- אנו מקבלים: **( *( ( F( r = Q( Q( a c Q ( נתבונן באינטגרל הכפול: את האינטגרל ניתן לחשב באמצעות אינטגרציה נשנית בסדר ביצוע האינטגרציה המתאים: ( ( Q( = Q( = Q( = Q( Q( a a c a c c F( r = + Q( = Q( = [ a ] [ c ] 1 ( מהשוויונות *( **( נובע: משל 3 אם שדה ווקטורי F( = ( P( Q( שייך למחלקה - מלבן אזי ( P( + Q( = Q ( P ( כאן היא שפת המלבן עם הכיוון נגד כיוון השעון נרשום את השדה כסכום של שני שדות: F( = ( P( Q( = ( P( + ( Q( = F ( + F ( לפי תכונות של אינטגרל קווי מהסוג השני מתקיים: P( + Q( = F( r = F ( r + F ( r F ( ( ( 1 r = P + = P F ( ( 2 r = Q לפי 1 לפי 2 7

8 P( + Q( = P( + Q( = Q( P( ( ( ( Q P 1 ( מכאן נתבונן באינטגרל הכפול: לפי הנתון השדה הווקטורי שייך למחלקה לכן פונקציות הנגזרות החלקיות Q( P( הן רציפות במלבן אינטגרציה ואז אינטגרביליות בתחום זה מכאן ניתן להציג את האינטגרל הכפול כהפרש של שני האינטגרלים: ( = Q( P( Q( P( ( P( + Q( = Q ( P ( לכן משל 8

9 תנאי הכרכי לשדה משמר ושייך למחלקה ( 1 2 אם שדה וקטורי F( = ( P( Q( משמר בקבוצה פתוחה אזי בכל הנקודות מתקיים: P( = Q( ( נתון כי שדה וקרטרי F( = ( P( Q( משמר בקבוצה פתוחה סקלרית פוטנציאל( מכאן נובע כי קיימת פונקציה ( U( = U ( U ( = F( ז"א בכל הנקודות U ( = P( U ( = Q( U( כך שמתקיים: ( מתקיים: פונקציות ( P ( Q גזירות ואפילו גזירות ברציפות( לכן הנגזרות החלקיות של פונקציית הפוטנציאל הן גזירות בקבוצה נגזור כל אחד מהשוויונות את השוויון הראשון נגזור לפי ואת השוויון השני נגזור לפי : *( U ( = P ( U ( = Q ( לכן פונקציות הנגזרות החלקיות שדה וקרטרי F( = ( P( Q( שייך למחלקה ( 1 ( Q( ( P( רציפות בקבוצה מכאן הנגזרות החלקיות מסדר שני של פונקציית הפוטנציאל U הן רציפות בתחום זה ( U ( U מכאן ( = U ( לפי אל שוויון הנגזרות החלקיות המעורבות הנגזרות החלקיות הן שוות: מ-*( נובע: P( = Q( משל 9

10 חישוב עבודה אינטגרל קווי מהסוג השני( באמצעות פוטנציאל אם שדה וקרטרי (( F ( = ( P ( Q משמר ורציף בקבוצה פתוחה וקשירה אזי עבור כל קו חלק למקוטעין המחבר שתי נקודות מתקיים r ( t = ( ( t ( t 1 A B F( r = P( + Q( = U ( B U ( A ( U פונקציית פוטנציאל של השדה הווקטורי כאן ללא הגבלת כלליות נניח כי קו הוא חלק ז"א הוא גרף של פונקציה ווקטורית גזירה r ( = ( ( ( = B לפי על חישוב אינטגרל קווי מהסוג השני ( P( + Q( = P( ( t ( t ( t + Q( ( t ( t ( t t U ( ( = P r ( = ( ( ( = A מתקיים: השדה הוא משמר בקבוצה לכן בכל הנקודות של הקבוצה מתקיים: ( P( + Q( = U ( ( t ( t ( t + U ( ( t ( t ( t t ( ( U מכאן = Q U גם ( U ( רציפות בקבוצה לכן פונקציות הנגזרות החלקיות Q ( פונקציות P( רציפות בכל הנקודות של הקבוצה מכאן פונקציית פוטנציאל ( U גזירה ברציפות ואז דיפרנציאבילית( בכל ( נתבונן בפונקציה מורכבת t g( t = U( ( t ( עבור הפונקציה מתקיימים התנאים נקודה המספיקים לגזירות באמצעות כלל השרשרת: g( t = U( ( t ( t ( t + U ( ( t ( t ( t P( + Q( = g( t t מכאן לפי נוסחת ניוטון-לייבניץ עבור אינטגרל מסוים מתקיים: P( + Q( = g( t t = g( t = g( g( ; g( = U( ( ( = U( B מתקיים: A g( = U( ( ( = U( P( + Q( = U ( B U ( A לפי הגדרה של פונקציה ( gt לכן משל