אינפי ב

תמליל

1 התמרות לפלס שימושים בפרק זה נראה מספר שימושים להתמרות לפלס חישוב אינטגרלים מוכללים פתרון משוואות אינטגרליות ואינטגרו-דיפרנציאליות פתרון בעיות התחלה עם מקדמים קבועים פתרון מערכת בעיות התחלה של משוואות מסדר ראשון במקדמים קבועים 8 חישוב אינטגרלים מוכללים co d co דוגמא 8 נחשב את האינטגרל המוכלל d co דרך נגדיר התמרת לפלס זוהי התמרת לפלס של הפונקציה וידוע כי מתקיים co האינטגרל הנתון הנו מקרה פרטי של ההתמרה שהגדרנו עם ולכן co d co d דרך נגדיר התמרת לפלס זוהי התמרת לפלס של הפונקציה co וידוע כי מתקיים co האינטגרל הנתון הנו מקרה פרטי של ההתמרה שהגדרנו עם ולכן co d I co d דוגמא 8 חשב את האינטגרל דרך לפי הגדרה של התמרת לפלס ולפי תוצאה של תרגיל 8 בפרק של co נסמן התרגילים הנוספים לכל co d

2 co האינטגרל הנתון d בתחום ההגדרה של ההתמרה ולכן I הוא מקרה פרטי של התמרה זו עבור הנמצא I co d 8 97 דרך לפי הגדרה של התמרת לפלס co נסמן co co d co co d נחשב את ההתמרה ; האינטגרל הנתון בתחום ההגדרה של ההתמרה ולכן I הוא מקרה פרטי של התמרה זו עבור הנמצא I co d 8 97 פתרון משוואות אינטגרליות ואינטגרו-דיפרנציאליות 8 in d דוגמא 8 נמצא פתרון למשוואה האינטגרלית in d *in פתרון מהגדרת הקונבולוציה נובע כי של המשוואה ולכן נוכל לרשום ייצוג שקול * in * in * in נסמן נפעיל התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה מתכונת הלינאריות נקבל כעת נשתמש בתוצאות הבאות

3 קרפ םישומיש 8 סלפל תורמתהל in *in לבקנו האוושמב ביצנ תא ץלחנ לבקנ דייסיבה קוריפ עוציב רחאל הכופה סלפל תרמתה אצמנ in 8 8 ןורתפ in 8 אמגוד 8 תילאיצנרפיד-ורגטניאה האוושמל ןורתפ אצמ d םייקמה ןורתפ יכ עבונ היצולובנוקה תרדגהמ d * לוקש גוציי םושרל לכונ ןכלו האוושמה לש * ןמסנ האוושמה יפגא ינש לש סלפל תרמתה ליעפנ * לבקנ תויראנילה תנוכתמ *

4 קרפ םישומיש 8 סלפל תורמתהל תואבה תואצותב שמתשנ תעכ * לבקנו האוושמב ביצנ תא ץלחנ לבקנ דייסיבה קוריפ עוציב רחאל הכופה סלפל תרמתה אצמנ ןורתפ אמגוד 8 תילאיצנרפיד-ורגטניאה האוושמל ןורתפ אצמ du u u םייקמה ןורתפ יכ עבונ היצולובנוקה תרדגהמ du u u * האוושמה תא גיצהל ןתינ ןכלו אבה לוקשה ןפואב הנותנה * האוושמה יפגא ינש לע סלפל תרמתה ליעפנ לבקנו היצולובנוקהו תויראנילה תנוכתב שמתשנ תואבה תואצותב רזעינ

5 9 נסמן באופן שקול נוכל לרשום נציב במשוואה ונקבל 9 A A A כלומר A כלומר נחלץ את נמצא פירוק הביסייד מכנה משותף והשוואת מונים נציב ונקבל נציב ונקבל נמצא התמרת לפלס הפוכה עבור מתקיים ובפרט ולכן זה הפתרון המבוקש פתרון 6

6 פתרון בעיות התחלה עם מד"ר לינאריות במקדמים קבועים 8 in ; דוגמא 86 נמצא פתרון לבעיית ההתחלה פתרון נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה in in מתכונת הלינאריות נובע כי in ונקבל נסמן כעת נשתמש בתוצאות הבאות in נציב במשוואה ונקבל נחלץ את CS A D נחפש פירוק הביסייד מהצורה מכנה משותף והשוואת מונים יניבו את התוצאות הבאות A 6 C D ולכן 7

7 קרפ םישומיש 8 סלפל תורמתהל 8 6 הכופה סלפל תרמתה אצמנ in co ןורתפ הלחתהה תייעבל in co 6 אמגוד 87 הלחתהה תייעבל ןורתפ אצמנ ; co ןורתפ האוושמה יפגא ינש לע סלפל תרמתה ליעפנ co לבקנו co יכ עבונ תויראנילה תנוכתמ co ןמסנ תואבה תואצותב שמתשנ תעכ co לבקנו האוושמב ביצנ תא ץלחנ

8 נעיר כי הגורם הוא אי פריק אך ניתן לבצע את ההשלמה לריבוע הבאה נחפש התמרת לפלס הפוכה ל- co in כעת נחפש התמרת לפלס הפוכה ל- A C D נחפש פירוק הביסייד מהצורה מכנה משותף והשוואת מונים יניבו את התוצאות הבאות A C D ולכן נמצא את התמרת לפלס ההפוכה co in co in פתרון לבעיית ההתחלה 9

9 co in co in co in co in co in u ; דוגמא 88 נמצא פתרון לבעיית ההתחלה u u פתרון נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה ונקבל מתכונת הלינאריות נובע כי u נסמן כעת נשתמש בתוצאות הבאות u נציב במשוואה ונקבל נחלץ את עבור התמרת לפלס הפוכה היא

10 קרפ םישומיש 8 סלפל תורמתהל שפחנ תעכ הכופה סלפל תרמתה -ל הרוצהמ דייסיבה קוריפ שפחנ C A תואבה תואצותה תא וביני םינומ תאוושהו ףתושמ הנכמ C A ןכלו םייקתמ אצמנ תא סלפל תרמתה הכופהה החסונב שמתשנ c g u g c c החסונמ תעבונה 6 םע g -ו c ונבשיחש תמדוק האצותב רזעינו u u הלחתהה תייעבל ןורתפ u

11 8 פתרון מערכת משוואות לינאריות מסדר ראשון עם מקדמים קבועים צורה כללית של מערכת משוואות מסדר ראשון במקדמים קבועים נתונה מערכת של n משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון במקדמים קבועים d a d d a d dn a d E n a a g a a g a a g n i j n n n nn n n n n a ij g כאשר המקדמים הפונקציות הם מספרים קבועים לכל פונקציות רציפות בקטע משותף n c g g משפט הקיום והיחידות מבטיח פתרון יחיד של המערכת המוגדר ושייך i n i E n למחלקה C בקטע לכל סט של קבועים ומקיים את תנאי ההתחלה E ונקודה c c c n X A הצגה מטריציונית של המערכת X G X X וקטור הפונקציות הנעלמות כאשר n X X וקטור הנגזרות של הפונקציות הנעלמות n A מטריצת קבועים של מקדמי המערכת a n ij i j i n g i וקטור הפונקציות החופשיות G g g g n

12 X X n a b ab פתרון של מערכת משוואות בקטע הנו וקטור של פונקציות הגזירות ברציפות בקטע ואשר אם נציבן במערכת נקבל זהות לכל בעיית התחלה/תנאי התחלה מערכת משוואות לינאריות כנ "ל עם סט של תנאי התחלה על ערכי הפונקציות הנעלמות בנקודה C X a נתונה b n X X פתרון של בעיית התחלה בקטע ab הנו וקטור של פונקציות n המהווה פתרון למערכת המשוואות ובנוסף מקיים את תנאי ההתחלה ישנן שיטות שונות לפתרון מערכת כנ "ל אנו נדגים פתרון באמצעות התמרת לפלס והעקרון הוא להפעיל התמרת לפלס על כל אחת ממשוואות המערכת תוך שימוש בתנאי התחלה כתוצאה מכך מקבלים מערכת לינארית של משוואות אלגבריות שנעלמיה הן התמרות לפלס של הפונקציות הנעלמות פתרון המערכת האלגברית יתן לנו את וקטור ההתמרות של הפונקציות הנעלמות וביצוע התמרה הפוכה ינפיק את פונקצית הפתרון לכל נעלם ; דוגמא 89 מצא פתרון למערכת המשוואות עם תנאי ההתחלה פתרון נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי משוואות המערכת הנתונה ונקבל מתכונת הלינאריות נובע כי

13 קרפ םישומיש 8 סלפל תורמתהל תואבה תואצותב שמתשנ תעכ ; ןמסנ X -ו תואוושמה תכרעמב ביצנ לבקנו X X -ב הנושאר האוושמ לופכנ םא תא ץלחנו תואוושמה ןיב רבחנ X לבקנ X דייסיבה קוריפ שפחנ C A םייקתמ הז הרקמב רשאכ C A ןכלו in co המוד ןפואב -ב היינש האוושמ לופכנ םא תא ץלחנו תואוושמה ןיב רבחנ לבקנ דייסיבה קוריפ שפחנ D C A םייקתמ הז הרקמב רשאכ A -ו D C ןכלו

14 קרפ םישומיש 8 סלפל תורמתהל in co םוכיסל ונה תכרעמה ןורתפ in co in co הרעה תא ונבשחש עגרב יכ ריענ תרזגנה תא בשחל ונלוכי לש הנושארה האוושמב ביצהלו תכרעמה תא ץלחלו תא בשחל ילבמ תאזו הכופהה הרמתהה תאו ולש co in in co