חוברת וקטורים OpenBook

תמליל

1 תלמידים יקרים אנו גאים להציג בפניכם חוברת זו בנושא וקטורים, המהווה חלק קטן ממערך גדול של חומרי עזר להכנה לבגרות במתמטיקה באתר.OpenBook באתר קיימים הסברים מוקלטים בווידאו עם שלל אמצעי המחשה שמטרתם להנגיש את החומר ולהפוך את חווית הלמידה למהנה ומעניינת. סימונים: קיים פתרון מוקלט באתר הקורס בלחיצה על הסימן תועבר לדף הרלוונטי באתר. מצאתם טעות? נא שלחו הודעה לכתובת המייל אנו מאחלים לכם הנאה בלמידה, התעשרות בידע ובתובנות וכמובן הרבה הצלחה! המרכז לקידום אקדמי.OpenBook המרכז לקידום אקדמי אינו אחראי לטיב הפתרונות ולטעויות במקרה שקיימות. כל הזכויות שמורות למרכז לקידום אקדמי OpenBook רוית הלפנבאום בלבד. אין להפיץ, למכור או להעתיק חלק או את כל החוברת. תאריך עדכון: פברואר 2019

2 וקטור גאומטרי וקטור הוא קטע בעל כיוון, זהו חץ המקשר בין שתי נקודות. הנקודה שממנה מתחיל הווקטור נקראת המוצא נקודת ההתחלה של הווקטור הנקודה שבה מסתיים הווקטור נקראת הסוף של הווקטור. בדוגמא, כאשר היא הסוף של החץ כותבים, AB האות השמאלית )A( היא המוצא של החץ והאות הימנית )B( הסימון של וקטור שתחילתו בנקודה A שים לב! וסופו בנקודה B הוא: AB מסמנים את הוקטור ע"י אות קטנה ומתחתיה קו. למשל:,w,v u וכו'. בכתיב וקטורי, הכיוון של הוקטור מסומן באמצעות החץ, ולכן יש הבדל בין הסימון. BA לסימון AB ההיטל של וקטור על כיוון מסויים מוגדר כך: היטל וקטור שרטטו קו בכיוון המבוקש שיעבור דרך ראשית הוקטור הורידו אנך מהוקטור לקו זה )בכחול( אורך הקטע הנוצר הוא ההיטל )באדום( 2

3 שוויון וקטורים שני וקטורים נקראים שווים אם אפשר להזיז)=להעתיק( את אחד הווקטורים, על ידי תנועה השומרת על אורך הווקטור וכיוונו כך שהוא יתלכד עם הווקטור השני. קיימות שתי אפשרויות לתנועה השומרת על האורך והכיוון: )1( הזזה על אותו ישר )2( הזזה לישר מקביל הערות סימון AB=CD כאשר שני קטעים שווים באורכם )לא מתייחסים לכיוון(. כאשר גודל של וקטור שווה נסמן:. AB = CD סימון AB = CD כאשר שני הקטעים שווים באורכם ובכיוונם. אם שני וקטורים שווים זה לזה )v u(, = אז הם שווים באורכם וגם בכיוונם, ולהיפך. וקטורים כאלה נמצאים על אותו ישר או על ישרים מקבילים. ווקטור נגדי הווקטורים AB ו- BA נקראים וקטורים נגדיים ומסמנים מכיוון שהווקטורים אינם שווי כיוון בכיוון מנוגד, אז, BA = AB BA AB BA = AB 3

4 וקטור האפס אם הנקודה A מתלכדת עם הנקודה B אז מהוקטור AB נקבל את הווקטור. AA וקטור זה נקרא וקטור האפס. AA = 0 וקטור שמתחיל ומסתיים באותה נקודה הוא וקטור שאורכו אפס ולא נייחס לו כיוון. ניתן לייצגו באמצעות הנקודה A. במשולש,ABC הנקודות E D, ו- F הן אמצעי הצלעות AC,AB ו- BC בהתאמה. נסמן: FC = v, AD = u א. מצא בציור ווקטורים: )1( השווים ל -.u )2( השווים ל- u ב. מצא בציור ווקטורים: )1( השווים ל -.v )2( השווים ל- v ג. נתון שהמשולש ABC הוא שווה שוקיים.(AB=BC) )1( האם u ו- v שווים באורכם? )2( האם?u = v 4

5 חיבור וקטורים: כלל המשולש )שיטת ראש זנב( נשרטט את הווקטור, u נעתיק את הווקטור v בתנועה השומרת על אורכו וכיוונו לנקודה שבה מוצאו יתלכד עם הסוף של וקטור u הווקטור השקול המהווה את סכום הווקטורים הוא הווקטור שמוצאו בנקודת המוצא של u וסופו בנקודת הסוף של, v הוא הווקטור u + v ווקטור המתחיל בנקודת המוצא של ווקטור אחד ומסתיים בסופו של ווקטור שני מייצג חיבור שני ווקטורים חיבור וקטורים: כלל המקבילית/ ההעתקה נשרטט את הווקטור, u נעתיק את הווקטור v בתנועה השומרת על אורכו וכיוונו כך שמוצאו יתלכד עם מוצאו של הווקטור u אם שני הווקטורים מייצגים צלעות סמוכות של מקבילית, אז הווקטור שמוצאו מלכד עם המוצא של v ו- u וסופו בקדקוד הנגדי של המקבילית הוא הווקטור u. + v חיסור וקטורים: כדי למצוא את הווקטור u v נחבר לווקטור u את הווקטור v שהוא הווקטור הנגדי ל- v. u v = u + ( v) 5

6 v = OC, u = OD במקבילית שלפניך נתון: א. הבע את הוקטורים הבאים AB ו- BC באמצעות u ו- v. ב. הוכח: DB + CA = DA + CB 6

7 סקלר סקלר הוא מספר ממשי כלשהו )חיובי, שלילי או אפס(. הסקלר קובע את אורכו של הווקטור ויכול להפוך את כיוונו. כפל של וקטור בסקלר כאשר כופלים את הווקטור u )השונה מווקטור האפס( בסקלר t מתקבל הווקטור t: u כאשר t=0 הווקטור = 0 u t הוא וקטור האפס כאשר t>0 : כאשר 1<t, אז הווקטור t u הוא באותו כיוון כמו u וארוך ממנו פי t. כאשר 1=t אז הווקטור באותו כיוון כמו u ושווה אורך = וקטורים שווים. כאשר 1>t>0 אז הוקטור t u הוא באותו כיוון כמו וקטור u וקצר ממנו פי t. )1( )2( )3( כאשר t<0 : כאשר אם 1->t, אז הווקטור t u הוא בכיוון מנוגד לכיוון u וגדול ממנו פי t. כאשר 1-=t אז הווקטור הוא בכיוון מנוגד לכיוון u ושווה אורך = זהו הוקטור הנגדי. כאשר 0>t>1- אז הוקטור הוא בכיוון מנוגד לכיוון u וקצר ממנו פי t. )1( )2( )3(, v = AC, u = AB במשולש ABC נסמן: : נתון AD הוא תיכון לצלע.BC 7

8 הבע את וקטור התיכון באמצעות u ו- v.. v = BC u = AB במקבילית ABCD נסמן: ו- הנקודות E,F,G,H הן אמצעי הצלעות AB,BC,CD,AD בהתאמה. )א( הבע באמצעות u ו- v את הווקטורים הבאים: EF )2( CE )1( )ב( הוכח: DE = GB )ג( האם מההוכחה בסעיף ב' נובע שהמרובע DEBG הוא מקבילית?. w = A A, v = AC, u = AB במנסרה משולשת וישרה ABCA B C נתון: הנקודות P Q R הן נקודות האמצע של המקצועות,BC,BB,A C בהתאמה. הבע את הוקטורים BCבאמצעות, A P, RQ v, u ו-.w 8

9 9

10 כאשר,t 0, CD = t AB הווקטורים CD ו- AB תלויים ליניארית, תלות ליניארית בין שני וקטורים כיוון שהווקטור CD מתקבל מכפל בסקלר של הווקטור. AB שני וקטורים CD ו- AB נמצאים על אותו ישר או על ישרים מקבילים שני וקטורים u ו- v הם )שונים מ- 0( נמצאים על אותו ישר או על ישרים מקבילים. v = t u אם ורק אם קיים מספר אחד ויחיד t כך ש- 10

11 הווקטור הגיאומטרי תיאור של ישר נקודה C נמצאת על הישר AB אם ורק אם קיים מספר ממשי אחד ויחיד שבשבילו AC = t AB כאשר נתון, AC = t AB מיקומה של הנקודה C ביחס לקטע AB נקבע בהתאם לערך של t: אם 1<t, אז הנקודה C נמצאת מחוץ לקטע.AB )מהצד של B( אם 1=t, אז הנקודה C מתלכדת עם הנקודה B. אם 1>t>0, אז הנקודה C נמצאת על הקטע.AB אם 0=t, אז הנקודה C מתלכדת עם הנקודה A. אם 0>t, אז הנקודה C נמצאת מחוץ לקטע AB )מהצד של A( AD = 1 1 u 4, AC = 1 u 2 נתונים הוקטורים:, AB = u א. הסבר מדוע הנקודות C, B A, ו- D נמצאות על אותו ישר ב. מהו סדר הנקודות הנ"ל על הישר שעליו הן נמצאות. 11

12 אם שלושה וקטורים וקטורים שמוצאם באותה נקודה וסופם על אותו ישר,A מוצא משותף בעלי ו- AC AD, AB אז הנקודה D נמצאת על הישר BC אם ורק אם קיים t שעבורו מתקיים: AD = (1 t)ab + tac. AC = v הנקודות D ו- E מקיימות:, AB = u במשולש ABC נסמן:. AD = 3 u + 2 v, AE = 1 1 u 1 v א. האם הנקודה D נמצאת על הישר?BC אם כן, קבע את מיקומה ביחס לקטע.BC ב. האם הנקודה E נמצאת על הישר?BC אם כן, קבע את מיקומה ביחס לקטע.BC 12

13 חלוקת קטע ביחס נתון כאשר הנקודה P נמצאת על הקטע AB מתקיים: AP = tab PB = (1 t)ab 13

14 מכפלה סקלרית הווקטור הגיאומטרי זווית בין שני וקטורים מסמנים את הזווית שבין שני ווקטורים שמוצאם באותה נקודה כך: α = (u; v) המכפלה הסקלרית, למספר u v קוראים המכפלה הסקלרית של u ו- v. u v = u v cosα המכפלה הסקלרית של שני ווקטורים הניצבים זה לזה שווה לאפס האורך של וקטור מסמנים אורך של ווקטור כך: u ניתן לחשב אורך של וקטור כך: u = u 2 כדי לחשב את האורך של וקטור צריך לחשב את המכפלה הסקלרית של הווקטור בווקטור עצמו ולהוציא שורש ריבועי שימו לב! הביטוי u 2 מייצג מכפלה סקלרית הנקודה מסמנת פעולה בין שני וקטורים ולא כפל בין שני מספרים, ולכן אסור לצמצם את החזקה עם השורש או לפרק אותו כמכפלה.. AD = w, AC = v בטטראדר ABCD נסמן:, AB = u הנקודה N מקיימת:, DN = 1 DB + 1 DC הנקודה M מקיימת: MD = 3 AD א. הסבר מדוע הנקודה N נמצאת במישור.BDC ב. הבע את MN באמצעות v u, ו- w. ג. הוכח: MN מקביל למישור ABC 14

15 . AG = 1 u + 5 v 4 4. AC = v, AF = 1 u + 3 v 5 4, AB = u במשולש ABC נסמן: הנקודות F,E,D ו- G מקיימות:, AD = 1 u v, AE = 2 u + 3 v 5 5 קבע לגבי כל אחת מהנקודות הנ"ל אם היא: )1( בתוך המשולש )2( מחוץ למשולש. )3( על אחת מצלעות המשולש )4( על המשך אחת מצלעות המשולש אורכי הוקטורים u ו- v הם: = 5 u v = 4,. חשב את הזווית בין שני הוקטורים, אם נתון: = 10 v u אורכי הוקטורים u ו- v הם: = 2 u v = 5,. חשב את הזווית בין שני הוקטורים, אם נתון: 4 = v u הוקטורים u ו- v מאונכים זה לזה ומקיימים: = 5 u v = 4,. 15

16 חשב את אורך הוקטור 3u 2v אורך הוקטור v הוא 3 והוא ניצב לווקטור - 2v 3u שאורכו 2 3. חשב את הזוית שבין u ל- v הוקטורים u ו- v מקיימים: = 5 u v = 4,. הזווית בין הווקטורים u ו- v היא בת.60 מצא את הזווית בין הווקטור u + v לווקטור 3u 2v. AC = 7, v = 3, u = 5, AD = v, במקבילית ABCD נתון: AB = u א. חשב את u. v ב. חשב את הזווית.BAD ג. הנקודה E היא אמצע הקטע,AC הנקודה F מקיימת:. AF = 1 AB חשב את הזווית בין 3 הווקטורים FE ו- AD w =, v = 3, u = 2, AA = w, AD = v, בתיבה ABCDA B C D נתון: AB = u. 6 א. הבע את AC ואת AC באמצעות u, v ו-.w 16

17 . AC ב. חשב את AC ו- ב. חשב את הזווית CAC AA = w,הנקודות F, E ו- G הן, AD = v, בקוביה ABCDA B C D נתון: AB = u אמצעי המקצועות שלה קובייה..w ו- u, v באמצעות FG ואת EF FG ל- EF א. הבע את ב. חשב את הזווית בין ג. נתון 3 = EF חשב את אורך מקצוע הקובייה. 17

18 18

19 הדרכים לקביעת מישור במרחב תיאור של מישור הווקטור הגיאומטרי שני ווקטורים בעלי מוצא משותף שאינם על ישר אחד קובעים מישור אחד ויחיד. כל וקטור במישור הוא קומבינציה)צירוף( לינארית של הווקטורים הפורשים אותו. למעשה, מכאן נובע שנקודה כלשהי במרחב תימצא על מישור ABC אם ניתן להגיע אליה באמצעות קומבינציה לינארית של u ו- v. תיאור של מישור הווקטור הגיאומטרי הנקודה P נמצאת על המישור ABC אם ניתן להגיע אליה כך: AP = s u + t v הוקטור AP הוא צירוף ליניארי של הוקטורים u ו- v אם הוא ניתן להבעה בצורה: AP = s u + t v כאשר t ו- s הם סקלרים 19

20 שימו לב: ניתן להגיע לכל נקודה על המישור על ידי הכפלת שני הווקטורים הפורשים את המישור בסקלרים מתאימים. משפט: תהיינה C,B,A שלוש נקודות שאינן על ישר אחד. נקודה P נמצאת במישור ABC אם ורק אם קיימים סקלרים t ו s עבורם: AP = tab + sac וקטור המקביל למישור וקטור מקביל למישור כאשר הוא ניתן להצגה באמצעות שני הווקטורים הפורשים את המישור בלבד, והוא יוצא מנקודה שאינה נמצאת על המישור נתון הווקטור: u + 1 v + (t 1 ) w 3 4 מצא עבור איזה ערך של t, הווקטור מקביל למישור הנפרש על ידי שני הווקטורים u ו- v. הווקטור: u + 1 v + (t 1 ) w 3 4 מקביל למישור זה, כאשר הוא ניתן להצגה באמצעות שני הווקטורים u ו- v בלבד כלומר ללא הווקטור w, מכאן הסקלר המקדם של הווקטור = w 0 t 1 4 = 0 t =

21 התנאי שהנקודה נמצאת בתוך המשולש )קביעת מיקומה של הנקודה במשולש( נקודה P מצאת בתוך המשולש OAB אמ"מ ניתן להציג את הווקטור בצורה: OP OP = aoa + bob הערות: כך ש: 0<a, 0<b, ו- a+b<1 אם P אז הנקודה a+b=1 נמצאת על הצלע.AB.1 2. אם 0=a אז P נמצאת על הצלע.OB 3. אם 0=b אז P נמצאת על הצלע OA וקטורים שמוצאם בנקודה אחת וסופיהם על מישור כדי ליצור מישור אנו זקוקים לשלוש נקודות ולכן כדי ליצור מישור עם וקטורים אנו זקוקים לשלושה וקטורים בעלי מוצא משותף )למעשה שלושה וקטורים יוצרים על המישור שני וקטורים שהם שפורשים את כל המישור. משפט: יהיו OA, OB, OC, OP ארבעה וקטורים בעלי מוצא משותף O כך שהנקודות B, A ו- C שלוש נקודות שאינן על ישר אחד. הנקודה P נמצאת במישור ABC אם"ם ניתן להציג את הווקטור OP בצורה: a+b+c=1 כך ש: OP = aoa + bob + coc 21

22 22

23 וקטור אלגברי ייצוג נקודה במרחב במערכת צירים תלת מימדית קבע אילו מהנקודות הבאות נמצאות על ציר: ה- x, ה- y, ה- z. קבע אילו מבין הנקודות שאינן על הצירים נמצאות במישור [yz] [x,y], [x,z], (3,0,0), (-6,0,2), (0,0,3), (2,0,2), (5,1,0), (0,4,0), (0,2,-4) ההצגה האלגברית של וקטור שמוצאם בראשית הצירים u( 1 היא הצגה אלגברית של הווקטור OU כאשר הנקודה (0,0,0)O היא, u 2, u 3 השלשה ( U(u 1, u 2, u 3 ראשית הצירים והנקודה U היא ) שני וקטורים ו- שוויון וקטורים בהצגה אלגברית שמוצאם בראשית הצירים v = OV = (v 1, v 2, v 3 ) u = OU = (u 1, u 2, u 3 ) שווים זה לזה אם ורק אם.u 3 = v 3 u 2 ו- = v 2, u 1 = v 1 23

24 שני וקטורים הם שווים אם ורק אם כל הקוארדינטות שלהם שוות זו לזו בהתאמה. מצא בים הבאים את x,y,z אם נתון ש - v u = u = (3, 2,5) v = (x 3, y + 2, z 3) מצא לאילו ערכי k הוקטורים u, v שווים זה לזה v = (2, k + 7) u = (2,1 2k) מצא לאילו ערכי k הוקטורים u, v שווים זה לזה v = (k, k 2, 2) u = ( 3,9, k) 24

25 חיבור וקטורים בהצגה אלגברית שמוצאם בראשית הצירים v = OV = (v 1, v 2, v 3 ) הסכום של הווקטורים u = OU = (u 1 ו-, u 2, u 3 ) u + v = (u 1, u 2, u 3 ) + (v 1, v 2, v 3 ) = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ) הוא הווקטור: כדי לחבר שני וקטורים בהצגה אלגברית יש לחבר את הקוארדינטות שלהם זו לזו. נתונים הוקטורים: ( 1,3,4) = v u = (2, 1,5), חשב:, ג. v u, ב. u v א. u + v v u = (1,4, 9), u + v = (3, 2, 1) הווקטורים,u v מקיימים: מצא את,u v הווקטורים,u v מקיימים: r = (1, 3,0) ו- w = (3, 1,0), v = (0, 1,2), u = (2,0,4) מצא מספרים a,b,c עבורם מתקיים: au + bv + cw = r נתונים שני וקטורים שמוצאם בראשית. קבע אילו מהווקטורים נמצאים על אותו ישר. v = ( 4,1, 2), u = (4, 1,2) r = ( 4, 16, 4), w = (1,4,0) 25

26 כפל בסקלר של וקטור אלגברי u = (u 1 בסקלר t הוא הוקטור:, u 2, u 3 הכפל של הווקטורים ) t u = t (u 1, u 2, u 3 ) = (tu 1, tu 2, tu 3 ) כדי לכפול וקטור הנתון בהצגה אלגברית בסקלר יש לכפול את כל אחת מהקוארדינטות שלו בסקלר. 4v, 1 v, 2v 3u 2 חשב את הוקטורים הבאים: v = ( 4,1, 2), u = (4, 1,2) הוקטורים: ו- 1,2t) v = (t + 5, מקיימים: v = ku u = (4, t, 18) מצא את הערך של k 26

27 ההצגה האלגברית של וקטור שמוצאו לא בראשית הצירים B(b 1 הם שתי נקודות במרחב אז, b 2, b 3 A(a 1 ו- ), a 2, a 3 אם ) AB = (b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ) כדי למצוא את ההצגה האלגברית של וקטור מחסרים את שיעורי נקודת המוצא שלו משיעורי נקודת הסוף שלו. מצא את הוקטור : AB A(2,1), B(7,8) A(-1,-4,-8), B(7,-3,-9) נתונים שיעורי נקודה A ואת הווקטור AB מצא את הנקודה B: A(2,1), AB = (3,2) A(-1,-4,-8), AB = (6,8,2) נקודה A נמצאת על ציר ה- x ונקודה B נמצאת על מישור [yz]. נתון: 7) (3,1, = AB מצא את שיעורי הנקודה A ו- B. 27

28 וקטורי הצירים המרחב נקבע על ידי שלושה וקטורים בלתי תלויים הוקטורים הבלתי תלויים נקראים וקטורי הבסיס של המרחב נגדיר שלושה וקטורים: i = e x = (1,0,0) וקטור באורך יחידה היוצא מראשית הצירים בכיוון ציר ה- x. i j = e y = (0,1,0) y. וקטור באורך יחידה היוצא מראשית הצירים בכיוון ציר ה- - j k = e z = (0,0,1) z. וקטור באורך יחידה היוצא מראשית הצירים בכיוון ציר ה- - k אם P(x,y,z) היא נקודה כלשהי במרחב, אז הווקטור OP OP = xi + yj + zk מתואר בעזרת וקטורי היחידה i, j, k נכתוב גם על-ידי: OP = (x, y, z) 28

29 אמצע של קטע B(b 1 והנקודה M היא אמצע הקטע, b 2, b 3 A(a 1 ו- ), a 2, a 3 קטע שקצותיו הן הנקודות ) X M = a 1 + b 1 2 Y M = a 2 + b 2 2 Z M = a 3 + b 3 2,AB מתקיים: במשולש,ABC הנקודות E D, ו- F הם אמצעי הצלעות AC,AB ו-,BC בהתאמה. נתון: A(6,-2,-8) BC = ( 7,7,2), D(7.5,-5.-4), א. רשום את ההצגה האלגברית של הווקטור. DE ב. מצא את שיעורי הקדקוד C. ג. הוכח: CD = ED + FD 29

30 חלוקת קטע ביחס נתון, AP PB = k l ( k b 1 + l a 1, k b 2 + l a 2 k + l k + l, k b 3 + l a 3 ) k + l נקודת מפגש תיכונים. נקודת המפגש של התיכונים מחלקת כל תיכון לשני קטעים, הקטע הקרוב קדקוד גדול פי 2 מהקטע הקרוב לצלע. יחס החלוקה 2:1. נקודת מפגש התיכונים היא מרכז הכובד במשולש. x m = x A + x B + x C 3 y m = y A + y B + y C 3 z m = z A + z B + z C 3 המרחק של ווקטור בצורה אלגברית u = u u u 3 2 AB = (b1 a1) 2 + (b2 a2) 2 + (b3 a3) 2 המרחק בין שתי נקודות המכפלה הסקלרית בהצגה אלגברית 30

31 u v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 חישוב שטח משולש S = 1 2 u 2 v 2 (u v) 2 וקטור היחידה וקטור יחידה הוא וקטור שאורכו יחידה אחת. כאשר מחלקים וקטור u באורך שלו u מקבלים וקטור שאורכו יחידה אחת, כלומר מקבלים וקטור יחידה. הצגה אלגברית של וקטורים היוצאים מראשית הצירים ההצגה האלגברית של וקטור היוצא מראשית הצירים לנקודה :P(x,y,z) OP = xi + yj + zk = (x, y, z) הצגה אלגברית של חיבור וקטורים היוצאים מראשית הצירים: OP + OA = (x P + x A, y P + y A, z P + z A ) הצגה אלגברית של וקטור נגדי: z) PO = OP = ( x, y, הצגה אלגברית של חיבור וקטורים היוצאים מראשית הצירים: OP OA = (x P x A, y P y A, z P z A ) הצגה אלגברית של סכום וקטורים גם כאשר לא יוצאים מראשית הצירים החיבור של וקטורים לא תלוי בנקודה ממנה יוצאים הווקטורים. u = (x 1, y 1, z 1 אם נרצה לחבר זוג של וקטורים)גם אם הם לא יוצאים מראשית הצירים( ) v = (x 2, y 2, z 2 ו- ) הסכום יהיה: u + v = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) 31

32 מכפלה סקלרית למדנו כי המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים היא u v = u v cos α נחשב את המכפלה הסקלרית כאשר הוקטורים u, v נתונים בהצגה האלגברית שלהם: u = (u 1, u 2, u 3 ),v = (v 1, v 2, v 3 ) הצגה פרמטרית של ישר במישור OP = OA + AP OP = OA + t AB OP = x אותו אני רוצה למצוא, נסמן: AB = u, OA = a ציר ה- x : הצירים כהצגה של ישר l x : x = (0,0,0) + t(1,0,0) ציר ה- y : l y : x = (0,0,0) + s(0,1,0) ציר ה- z: l z : x = (0,0,0) + p(0,0,1) נתונה הצגה פרמטרית של ישר: 1) 2, t(3, l: x = (1,4,2) + א. מצא את הנקודות שעל הישר המתקבלות עבור: 0=t,2=t 1=t, ב. האם הנקודה (1-,2-,10) נמצאת על הישר? 32

33 ג. האם הנקודה (4,2,8) נמצאת על הישר? ד. מצא נקודת חיתוך של הישר l עם ציר ה- x. מצא הצגה פרמטרית של ישר במישור העובר דרך הנקודות (2,5)B (1,4-)A נתונות שתי הצגות פרמטריות של ישר במרחב. הראה שהן מתארות את אותו ישר. l: x = (0,1,2) + s(2, 2,0), l: x = (1,0,2) + t(1, 1,0) ממשוואת ישר במישור להצגה פרמטרית שלו ולהיפך. מצא במישור הצגה פרמטרית של הישר שמשוואתו היא: 2x-3x+6=0 נתון הישר : t(1,2,3) l: x = ( 2,3,5) + האם הנקודות (0,7,11)K (1,3-,4-)M, נמצאות על הישר? נתון הישר : t(1,2,3) l: x = ( 2,3,5) + ב הקודם הראנו שהנקודה ( 3-1,, -4 ) l על הישר Mלא מצאו את ההצגה הפרמטרית של הישר l לישר דרך נקודה Mומקביל lהעובר 1 נתון הישר : t(1,2,3) l: x = ( 2,3,5) + ב הקודם הראנו שהנקודה (0,7,11)K נמצאת על הישר l. מצאו את ההצגה פרמטרית של הישר l. ומאונך לישר K דרך נקודה lהעובר 2 33

34 l 2 הוא ישר יחיד? אם כן הסבירו מדוע ואם לא תנו דוגמא לעוד ישר המאונך האם הישר לישר l 34

35 מצבם ההדדי של שני ישרים במרחב 35

36 36

37 37

38 מצב הדדי בין ישרים סיכום 38

39 וa וa ישרים מצטלבים הישרים אינם נמצאים באותו מישור ואין להם נקודה משותפת. לדוגמה: - b ישרים מצטלבים הישרים במישורים שונים ואין להם נקודה משותפת - b ישרים מצטלבים a ו- c אינם מצטלבים, כי הם נמצאים במישור אחד הכולל את הישרים a ו- c. בשרטוט משמאל מצוירת תיבה O -ראשית, OABCDKFM הצירים. שיעורי נקודה.K(3,6,5) זהו את שיעורי קדקודי התיבה ומצאו הצגות של זוגות של ישרים שלא יקבילו לצירים אך: א. יקבילו. ב. יחתכו. ג. יצטלבו 39

40 נתונות שתי הצגות פרמטריות של שני ישרים, מצא את המצב ההדדי של הישרים: l 1 : x = (6, 1,4) + s(3, 1,1), l 2 : x = ( 6,3,0) + r( 12,4, 4) נתונות שתי הצגות פרמטריות של שני ישרים, מצא את המצב ההדדי של הישרים: l 1 : x = ( 1,7,3) + s(6, 12,30), l 2 : x = (17,13, 3) + r( 12,24, 60) קבע את המצב ההדדי של הישרים: l 2 : x = (1,0,1) + s(2,0, 4), l 1 : x = (3,2, 2) + r( 1, 1,2) מצא את המצב ההדדי של הישרים: l 1 : x = (1,1, 4) + t(0,2, 4), l 2 : x = (3,3,2) + s( 1, 3,1) מצא הצגה פרמטרית של ישר, המקביל לציר ה- y ועובר דרך נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה- z. x = (4,2,3) + t(2,1, 1) 40

41 זווית בין שני ישרים זווית בין שני וקטורים מתאימה למצב ההדדי בין ישרים שהם נחתכים או מצטלבים. בעצם כאשר הישרים מצטלבים נאמר שהזוית ביניהם היא זווית מדומה. הזווית ביניהם היא הזווית הקטנה מבין הזווית הנוצרת ביניהם )הזוויות משלימות ל 360 מעלות( ראינו כי הזווית α בין שני וקטורים u ו- v )הזווית בתחום: 180 α 0 ( מקיימת: v u cos α = v u x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 cos α = x y z 2 1 x y z 2 41

42 אם נתונים הצגותיהם הפרמטריות של שני ישרים: l 1 : x = a + t v l 2 : x = b + s u הזווית בין שני הישרים מוגדרת כזווית החדה בין וקטורי הכיוון v ו- u, כלומר: v u cos α = v u חישוב זווית בין וקטורים מתאים למקרים הבאים: עבור המקרה: הזווית בין 2 וקטורים במרחב עם ייצוג אלגברי: x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 cos α = x y z 2 1 x y z 2 חשב את הזווית בין הישר: t(2,0,1) l 1 : x = ( 1,0,1) + לישר אחר המקביל לוקטור (0,1,1) והעובר דרך הנקודה (1-,1-,2). l 1 ישר וישר שני עובר דרך הנקודות: (1,3,7) ו- (11,0,1-) l 2 עובר דרך הנקודות: (3-,3,2-) ו- (19,9-,15). מצא את הזווית בין הישרים. 42

43 x=5+t, y=-1, z=3+t :l 1 חשב את הזווית בין הישרים: ישר x= -3-4r, y=6+4r, z=-2-2r : l 2 ישר חשב את הזווית בין הישרים: r(8,0,14) l 1 : x = (1,1,1) + l 1 : x = (0,2, 1) + s(12,0,21) נתון ישר שהצגתו הפרמטרית: 1) 1, t(2, l: x = ( 1,0,2) + מצא משוואתו הפרמטרית של ישר המאונך לו בנקודה )1,1-,1( מצא את נקודת החיתוך של הישרים: t(4,1,2) l 1 : x = ( 7,1,3) + l 2 : x = (3, 5,1) + r(6, 7, 4) 43

44 הדרכים לקביעת מישור )1( דרך שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מישור אחד ויחיד. )2( דרך שני ישרים נחתכים עובר מישור אחד ויחיד. )3( דרך ישר ונקודה שמחוץ לישר עובר מישור אחד ויחיד. )4( דרך שני ישרים מקבילים עובר מישור אחד ויחיד. ישר מאונך למישור ישר המאונך למישור הוא ישר, החותך את המישור ומאונך לכל ישר במישור העובר דרך עקבו. עקב נקודת החיתוך של הישר עם המישור )נקודה A( משופע למישור, היטל משופע, זווית בין ישר ומישור ישר החותך מישור ואינו מאונך לו נקרא משופע. )שיפוע( הישר, המחבר את עקב המשופע במישור עם עקבו של האנך היורד מקצה המשופע, נקרא היטל המשופע על המישור. הזווית)החדה(, שבין ישר המשופע למישור, לבין היטלו במישור, נקראת הזוית בין הישר )משופע( למישור. 44

45 משפט: ישר ניצב למישור אם ורק אם הוא ניצב לשני ישרים לא מקבילים במישור. משוואת מישור / הצגה אלגברית ax + by + cz + d = 0 Ax+By+Cz+D=0 המשוואה הכללית של מישור במרחב היא: ax+by+cz+d=0 למשל: 2x-y+2z+4=0 נכפול את המשוואה פי 2 ונראה: 4x-2y+4z+8=0 או נראה שמשוואת המישור אינה יחידה ניתן לכפול או לחלק את המשוואה בכל מספר השונה מאפס ונקבל משוואה אחרת המתארת את אותו מישור. התנאי הוא שלא כל מקדמי המשתנים שווים לאפס, כלומר לפחות 0 a או 0 b או c 0 כל נקודה הנמצאת עם המישור מקיימת את משוואת המישור )בדומה למשוואת ישר( ולהיפך. 45

46 מצא משוואת מישור המאונך לוקטור (2-,11,1) והעובר דרך הנקודה (1,3-,2) מצא משוואת מישור המאונך לישר l 1 הנתון בצורה פרמטרית: t(4,4,2) l 1 : x = (1,0,1) + ועובר דרך הנקודה (0,0,0). מצא את משוואת המישור העובר דרך נקודות: (4,1,0)C (1-,1,4)A (3,6,1)B, מצא את הוקטור המאונך למישור. מצא משוואת מישור העובר דרך הנקודות: (3,5,1)C (1,1,0)A (0,2,1)B, מצא את ההצגה הפרמטרית של ישר, המאונך למישור זה ועובר דרך הנקודה (1,1,1) מצא משוואת מישור העובר דרך הנקודה: (1,2,3)C והישר 1) t( 1,0, x = (0,1,0) + נמצא עליו. 46

47 הצגה פרמטרית של מישור וקטורים פורשים מישור כל שני ישרים בעלי מוצא משותף A שאינם על ישר אחד קובעים מישור אחד ויחיד. הוקטור AP מהווה קומבינציה ליניארית של 2 וקטורים הפורשים את המישור משפט: AP = tu + sv תהיינה C,B,A שלוש נקודות שאינן על ישר אחד. נקודה P נמצאת במישור ABC אם ורק אם קיימים סקלרים t ו- s עבורם: AP = t AB + s AC מישור המקביל לשני וקטורים)המגדירים מישור(והעובר דרך נקודה נתונה כל נקודה במישור α )מישור העובר דרך ראשית הצירים( מתקבלת על ידי: tb + sc אם המישור אינו עובר דרך הראשית אלא דרך נקודה כלשהי, ההצגה הפרמטרית של המישור המקביל למישור α והעובר דרך הנקודה A היא: מתקבלת על ידי: x = a + tb + sc כאשר a הוא וקטור ההעתקה. 47

48 הצגה פרמטרית של מישור העובר דרך שלוש נקודות נתון מישור העובר דרך הנקודות B A, ו- C שאינן על ישר אחד. וקטורים: c, b, a וקטורי הכיוון של המישור הם: c a ו- b a וכן a הוא וקטור העתקה. x = a + t u + s v הצגה פרמטרית של מישור העובר דרך שלוש נקודות כל שני ישרים נחתכים קובעים מישור אחד ויחיד. AP = tu + sv הוקטור AP מהווה קומבינציה ליניארית של 2 וקטורים הפורשים את המישור OP = a + t(b a ) + s(c a ) מצא הצגה פרמטרית למישור העובר דרך הנקודות (1,1,1)C (2,1,3)A, (1,0,1-)B, הראה שההצגה הפרמטרית שלהלן אינה מהווה הצגה פרמטרית של מישור: x = (5,2,6) + t(4, 4,4) + s(2, 2,2) נתון המישור: 12x+6y+8z-24=0 א. האם הנקודה (2,3-,1)A נמצאת על המישור. נמק. המישור עם הצירים. ב. מצא את נקודות החיתוך של ג. המישור חותך את המישור [xy] לאורך ישר. מצא את משוואת הישר במישור.[xy] 48

49 ד. המישור חותך את המישור [xz] לאורך ישר. מצא את משוואת הישר במישור.[xz] ה. המישור חותך את המישור [yz] לאורך ישר. מצא את משוואת הישר במישור.[yz] ו. שרטט את המישור והישרים. מצא את משוואת המישור הנקבע על ידי הנקודות: (1,4,0), (4-,0,0), (2,1-,1-) 49

50 מצב הדדי בין ישר בהצגתו הפרמטרית למישור כשנתונה משוואת המישור נרשום נקודה אופיינית לישר ונציב אותה במשוואת המישור, כדי למצוא חיתוך בין הישר למישור יתכנו המקרים הבאים: מצב הדדי בין ישר בהצגתו הפרמטרית למישור כמשוואה נתונים המישור והישר: π: ax + by + cz + d = 0 וקטור המאונך למישור:( c.n = (a, b, l: x = A + t u נבדוק האם הישרים מאונכים = 0 N u המצב ההדדי של ישר ומישור המישור בהצגתו הפרמטרית π: x = a + t u + s v 50

51 l: x = b + r w ננסה למצוא חיתוך בין הישר למישור נשווה את ההצגות הפרמטריות של הישר והמישור a + t u + s v = b + r w נקבל שלוש משוואות עם שלושה נעלמים,s t ו- r. יתכנו המקרים הבאים: קבע את המצב ההדדי של מישור: 1) s(0,1, π: x = (1,2, 4) + t(2,2,0) + והישר: r(1,4,0) l: x = (3,6,3) + קבע את המצב ההדדי של מישור: 1,4) s(3, π: x = (1, 1,1) + t(0,0,1) + והישר: 7) r( 6,2, l: x = (2,4, 1) + קבע את המצב ההדדי של מישור: = z π: x = 2x 4y + והישר: 5) r(3,1, l: x = (10,4, 12) + קבע את המצב ההדדי של מישור: = 0 10 z π: x = 2x y + והישר: 10) 4, r(3, l: x = (5, 5, 5) + 51

52 זווית בין ישר למישור תזכורת - משופע למישור, היטל משופע, זווית בין ישר ומישור ישר החותך מישור ואינו מאונך לו נקרא משופע. )שיפוע( הישר, המחבר את עקב המשופע במישור עם עקבו של האנך היורד מקצה המשופע, נקרא היטל המשופע על המישור. הזווית)החדה(, שבין ישר המשופע למישור, לבין היטלו במישור, נקראת הזוית בין הישר )משופע( למישור. α + β = 90 v u cos(90 α) = v u אם u הוא וקטור על הישר l ו- v הוא וקטור המאונך למישור π, אז הזווית α שבין הישר l למישור π מקיימת: v u sin α = v u 52

53 53