hw10solutions.dvi

תמליל

1 אוסף שאלות מס. פתרונות שאלה חשבו את ערך האינטגרל e z y dxdydz כאשר {x,y,z y, x, z xy}. e z y dxdydz ye z y xy dxdy z ydy e x dx xy e z y dzdxdy ye x dxdy e e. פתרון: שאלה חשבו את ערך האינטגרל x dxdydz כאשר הוא הארבעון טטרהדר שקדקדיו,,,,,,,,,,,.

2 פתרון: הוא התחום שבשמינית החיובית של המרחב ומתחת למישור :x+y+z {x,y,z x,y,z, x+y +z }. x x x dxdydz x y x x y dzdydx x xy y x y dx y x x dx x dzdydx x x x ydydx x x x dx x 4 x +x dx 6. שאלה חשבו את ערך האינטגרל zdxdydz כאשר הוא התחום החסום על ידי הפרבולואיד z x +y והמישור 4.z פתרון: חשוב לסרטט סקיצה של התחום כדי להבין איך הוא ניראה. ההיטל של התחום על מישור xy הוא העיגול {x,y x +y 4} {x,y,z x,y, x +y z 4}. נוכל לכתוב את התחום כך: zdxdydz 4 zdz x +y 6 x +y dxdy 4 z zx +y

3 כדי לחשב את האינטגרל הכפול נעבור לקואורדינטות קוטביות: 6 r 4 rdrdθ π 6r r 5 dr π 8r r 6 r6 64 r π. באופן אלטרנטיבי היינו יכולים לחשב את האינטגרל על ידי מעבר לקואורדינטות גליליות באינטגרל המשולש. שאלה 4 יהא התחום החסום על ידי המישורים,x,x+y,z,y.z x+y xdxdydz. א. חשבו את הנפח של. ב. חשבו את ערך האינטגרל פתרון: ההיטל של התחום על מישור xy זה המשולש {x,y x, y, x+y }. {x,y,z x,y, z x+y}. Vol x+ydxdy y dxdydz x+ydxdy y +y y dy xdxdydz x+y x+y dzdxdy והתחום הוא x y x +yx dy x y dy. xdzdxdy

4 איור : איור לשאלה 5 xx+ydxdy y y + y y xx+ydxdy dy 6 x + x y yx dy x +y y dy 8. שאלה 5 הגוף הנמצא בשמינית החיובית של המרחב, וחסום על ידי המישורים 4 x, 4 y ו z, y מייצג חתיכה של גבינה. נניח שהגדלים נמדדים בס"מ. א. מצאו את נפח הגבינה ניתן לעשות זאת גם ללא חישוב אינטגרל. ב. אם נחתוך את הגבינה לשני חלקים באמצעות המישור 4,x+y מה יהיה הנפח של כל אחד מהחלקים? חשבו אינטגרל מתאים. וגובהו פתרון: א. הגוף הוא מנסרה בעלת בסיס משולש במישור,y,z ששטחו נפחה הוא 4 8 סמ"ק. ב. החלקים של הגוף, לאחר החיתוך, הם G {x,y,z x,y,x+y 4, z y} 4

5 G {x,y,z x,y,4 x+y, z y} מספיק לחשב את הנפח של אחד מהם. נחשב את הנפח של G: 4 4 x y VolG dxdydz dzdydx G x ydydx 4 x dx 4 4 y4 x y dx y u du 6 u u4 u 64 סמ"ק. מאחר וסכום הנפחים של שני החלקים הוא סמ"ק, נקבל VolG VolG 64 סמ"ק. x+y +zdxdydz שאלה 6 חשבו את ערך האינטגרל כאשר הוא התחום הנמצא בשמינית החיובית של המרחב וחסום מלמעלה על ידי הפרבולואיד z 4 x y ומלמטה על ידי המישור.z פתרון: התחום הוא צריך לשרטט סקיצה כדי להבין {x,y,z x +y 4, z 4 x y, x, y }. x+y +zdxdydz נעבור לקואורדינטות גליליות, ואז התחום יתואר ע"י θ π, r, z 4 r. 4 r rcosθ+rsinθ+z rdzdrdθ 5

6 r rcosθz +rsinθz + z4 r z drdθ z rcosθ+rsinθ4 r + 4 r drdθ r cosθ+sinθ4 r r drdθ+ 4 r rdrdθ cosθ + sinθdθ 4 r r dr + π 4 r rdr 4 + π 4 r rdr + π r r r + π. 4 שאלה 7 חשבואתהנפחהחסוםביןהפרבולואידים z x +y ו.z 6 x y פתרון: כדאי לשרטט סקיצה של התחום. שני הפרבולואידים נחתכים כאשר z x +y 6 x y x +y 9, z 9. התחום הוא {x,y,z ;x +y 9, x +y z 6 x y }. נעבור לקואורדינטות גליליות, ואז התחום מתואר על ידי: θ π, r, r z 6 r. Vol dxdydz π 6 r r 6 4r rdr π8r r 4 r r rdzdrdθ 6 π. שאלה 8 חשבואתהנפחהחסוםביןהפרבולואידים z x +y ו.z x y 6

7 Vol פתרון: שני הפרבולואידים נחתכים כאשר z x +y x y x +y. כלומר ההיטל שלו על מישור xy הוא האליפסה {x,y x +y } {x,y,z x,y, x +y z x y }, dxdydz x y dzdxdy x +y התחום הוא ו x y dxdy. נבצע החלפת משתנים לקואורדינטות אליפטיות: x rcosθ, y rsinθ, x +y r cos θ+r sin θ r, Tr,θ כך ש ו בקואורדינטות האלה התחום מתואר ע"י r, θ π. rcosθ, rsinθ היעקוביאן של ההעתקה J T r,θ det cosθ sinθ x y dxdy 6 π 5r r 6 4 r4 rsinθ rcosθ r 5π 6. 6 r. r rdrdθ הוא 7

8 שאלה 9 חשבו את הנפח של הגוף החסום מלמעלה על ידי הספירה x y+ z+ ולמטה על ידי החרוט.z x +y פתרון: אלטרנטיבה א: נעבור לקואורדינטות כדוריות. x ρsinϕcosθ, y ρsinϕsinθ, z ρcosϕ. הספירה מתוארת ע"י ρ. החרוט מתואר ע"י ρcosϕ ρ sin ϕcos θ+sin ϕsin θ ρsinϕ Vol π cosϕ cosϕ sinϕ ϕ π 4. ρ, θ π, ϕ π 4 ϕπ 4 ϕ dxdydz 4 כלומר התחום החסום בינהם מתואר ע"י ρ sinϕdρdϕdθ ו π 4 dθ sinϕdϕ ρ dρ ρ π 4π ρ. ρ אלטרנטיבה ב: נעבור לקואורדינטות גליליות. נבחין שהספירה והחרוט נחתכים כאשר r z r r, z. ההיטל של הגוף על מישור x,y הוא העיגול r. נוכל לתאר את הגוף בקואורדינטות גליליות על ידי Vol r, θ π, r z r. r r rdzdθdr π r r dzdr r 8

9 π π r r rdr π π r π π r r π r r dr π r r r 4π. r dr B B x +y +z dxdydz x +y +z dxdydz שאלה חשבו כאשר B כדור עם רדיוס שמרכזו בראשית. פתרון: נשתמש בקואורדינטות כדוריות: ρ 4 ρ sinϕdρdϕdθ dθ sinϕdϕ ρ 6 dρ π 8 7 5π 7. x zdxdydz שאלה חשבו את ערך האינטגרל כאשר } z. {x,y,z x +y פתרון: התחום הוא התחום שבתוך החרוט z x +y ומתחת למישור.z נעבור לקואורדינטות גליליות. התחום מתואר ע"י zdxdydz r, r z. r r cos θz rdzdrdθ 9

10 cos θ z r zdzdrdθ cos θ r z drdθ r zr cos θdθ r r dr π 4. 9 x y dxdydz 8π π 9 x y dxdydz שאלה חשבו כאשר זה חצי הכדור 9.z,x +y +z פתרון: נעבור לקואורדינטות כדוריות. התחום מתואר על ידי θ π, ϕ π, ρ. ρ ρ 9 ρ sin ϕρ sinϕdρdϕdθ 9 ρ sin ϕρ sinϕdρdϕdθ 9sinϕ ρ sin ϕdϕdρ sinϕdϕdρ π ρ 4 sin ϕdϕdρ π 8π ρ π dρ sinϕdϕ π ρ 4 dρ sin ϕdϕ 6π ρ ρ 5 π ρ 5 ρ cos ϕsinϕdϕ ρ 6π π ρ cos ϕsinϕdϕ

11 6π π + ϕ π cos ϕ ϕ 6π 6 π π. B x a +y b +z c dxdydz. שאלה חשבו כאשר }.B {x,y,z x +y +z פתרון: נכתוב x a +y b +z c x +y +z ax+by+cz+a +b +c. x +y +z dxdydz B ρ ρ sinϕdρdϕdθ נחשב π ρ 4 dρ 4π 5. מאחר והפונקציה fx,y,z x איזוגית ביחס לשיקוף במישור,y,z והתחום B סימטרי ביחס לשיקוף כזה, נקבל xdxdydz, ובאופן דומה לגבי.y,z B ax+by +czdxdydz. B B לבסוף a +b +c dxdydz a +b +c VolB a +b +c 4π. x a +y b +z c dxdydz 4π 5 + 4π a +b +c. B

12 שאלה 4 יהא התחום המוגדר על ידי אי השוויונות x +y +z x y x z חשבו את הנפח של. ρ, פתרון: תיאור התחום בקואורדינטות כדוריות π. θ π, ϕ π 4 VolB B dxdydz π 4 π π sinϕdϕ 4 ρ sinϕdρdϕdθ ρ dρ π 6. שאלה 5 ההיפרבולואיד הדו יריעתי + x +y z מחלק את הכדור 49 x y+ + z לשלושה תחומים ששניים מהם בעלי אותו נפח. חשבו את הנפח של התחומים עם הנפח הזהה. פתרון: התחומים בעלי הנפח הזהה הם + {x,y,z x +y +z 49, z x +y +, z > }, {x,y,z x +y +z 49, z x +y +, z < }. נחשב את הנפח של +. נעבור לקואורדינטות גליליות. חיתוך בין היריעה העליונה של ההיפרבולואיד לבין הספירה מתקבל כאשר 49 x y x +y +, x +y 4 z 5. בקואורדינטות גליליות התחום יתואר ע"י θ π, r 4, r + z 49 r.

13 Vol + dxdydz + π r r + r 49 r r + dr π 49 r r + π r 4 r 88π. rdzdrdθ שאלה 6 נפרוס כדור ברדיוס R סביב הראשית לשלוש פרוסות בעלות עובי שווה.z R ו z R בעזרת מישורים,R איזה אחוז מנפח הכדור יהיה בכל אחת מהפרוסות? פתרון: נחשב את נפח הפרוסה העליונה {x,y,z, x +y +z R, z R }. נעבור לקואורדינטות כדוריות, כך שהכדור מיוצג ע"י ρ R, ρ R cosϕ והמישור z R מיוצג ע"י מתואר על ידי cosϕ, ϕ ϕ, R cosϕ ρ R,,ϕ arccos כלומר, אם נגדיר. R cosϕ ρ R.

14 Vol ϕ R R cosϕ ϕ π sinϕ ρ π R ϕ sinϕ ρ sinϕdρdϕdθ ρr dϕ ρ R cosϕ הנפח של הוא dϕ 7cos ϕ [ π R ϕ sinϕdϕ ϕ ] sinϕ 7 cos ϕ dϕ [ π R cosϕ ϕϕ ] ϕϕ ϕ 54 cos ϕ ϕ [ π R cosϕ ] 54 cos ϕ [ π R ] π R. היחס בין נפח הפרוסה לבין נפח הכדור הוא π R 7 π R 7.59 כלומר נפח הפרוסה העליונה כ %6 אחוז מנפח הכדור. הפרוסה התחתונה זהה, ו נפח הפרוסה האמצעית % מנפח הכדור. 7 באופן אלטרנטיבי, נוכל להשתמש בקואורדינטות גליליות. ההיטל על מישור xy של החיתוך בין המישור z R לספירה ברדיוס R הוא מעגל עם רדיוס r המקיים r + R R, r R. התחום מתואר ע"י θ π, r r, R z R r. 4

15 vol r R r r π R r rdr π R r π R R 89 R R r rdzdrdθ π rdr π R r R r R rdr rr r π R 8 9 R 8 8 π R. π R rr r r שאלה 7 א. לכל > p ולכל < r <, חשבו את ערך האינטגרל Ir,p r x +y +z pdxdydz כאשר הואהתחוםשביןהספירהשמרכזהבראשיתורדיוסה r לביןספירהשמרכזה בראשית ורדיוסה : }. r {x,y,z r x +y +z ב. עבור אילו ערכים של p הגבול Ir,p lim + r קיים וסופי? Ir,p r x +y +z pdxdydz פתרון: נעבור לקואורדינטות כדוריות r ρ p ρ sinϕdρdϕdθ π sinϕdϕ ρ p dρ 4π r p r p השלב האחרון של החישוב תקף בהנחה ש p. במקרה p נקבל I r, 4π ρ dρ 4π ln. r r lim r + r p 4π lim Ir,p lim r p 4π r + r + p p < p אז ב. אם 5

16 אם > p אז <, p ו lim r + r p +, 4π lim Ir,p lim r p +. r + r + p lim I r, 4π lim r + ln r + +. r ו אם p אז.p < הגבול קיים וסופי אם ורק אם xe x +y +z dxdydz שאלה 8 חשבו כאשר זההחלקשלהכדור x +y +z שנמצא בשמינית החיוביתשלהמרחב. פתרון: נעבור לקואורדינטות כדוריות. שמינית הכדור מתוארת ע"י xe x +y +z dxdydz θ π, ϕ π. ρsinϕcosθe ρ ρ sinϕdρdϕdθ sin ϕdϕ cosθdθ ρ e ρ dρ π4 ρ e ρ dρ באינטגרל האחרון נבצע החלפת משתנה du ρdρ,u ρ π 8 ue u u u π 8 ue u du e u du π e e u 8 u u ועכשיו נבצע אינטגרציה בחלקים π 8 e e π 8. 6

17 שאלה 9 חשבו אתהנפח של החלק של הגליל y+ x שנמצא בתוך הכדור 4 x +y +z כדאי להשתמש בקואורדינטות גליליות. פתרון: התיאור של הגליל y+ x בקואורדינטות גליליות הוא rcosθ +rsinθ r rsinθ+ 6 r sinθ. התיאור של הכדור 4 x +y +z בקואורדינטות גליליות הוא r +z 4, 4 r z 4 r. התיאור של הגוף הוא θ π, r sinθ, 4 r z 4 r, sinθ sinθ 4 r 4 r rdrdθ sin θ dθ π π 4 r rdzdrdθ π sin θcosθdθ ו הנפח הוא 4 r rsinθ dθ r sin θ cosθ dθ π cosθdθ+ sin θcosθdθ θ π π + sin θ θ 6 π 4. 7

18 שאלה חשבו את נפח התחום החסום ע"י האליפסואיד x a + y b + z c Vol dxdydz {x,y,z x a + y b + z c }. פתרון: צריך לחשב כאשר נבצע החלפת משתנים שתעביר את האליפסואיד לכדור. u x a, v y b, w z c. u +v +w Tu,v,w au,bv,cw, Ẽ {u,v,w u +v +w } בקואורדינטות הללו ההעתקה מ u,v,w ל x,y,z היא והיא מעבירה את התחום לתחום.TẼ : היעקוביאן של ההעתקה הוא a J T u,v,w det b c abc. dxdydz abc Ẽ Ẽ מנוסחת החלפת המשתנים נקבל J T u,v,wdudvdw dudvdw abcvolẽ. 8

19 אבל מאחר ו Ẽ הוא כדור עם רדיוס R אנחנו יודעים שנפחו 4π אם איננו יודעים זאת נחשב את האינטגרל על ידי מעבר לקואורדינטות כדוריות. Vol abcvolẽ abc 4π. שאלה חשבו את נפח הגוף {x,y,z x+y +z +x+y +z 4, x+y +z }. פתרון: נגדיר החלפת משתנים u x+y +z, v x+y +z, w x+y +z. במונחי המשתנים החדשים התחום מתואר ע"י {u,v,w u +v 4, w }. Vol dxdydz J T u,v,wdudvdw כאשר T ההעתקה ממרחב u,v,w למרחב.x,y,z מאחר ו T x,y,z x+y +z,x+y +z,x+y +z Vol J T x,y,z det J T u,v,w 4 J T x,y,z 4. 4 dudvdw dudvdw 4 4 Vol מתקיים 9

20 אבל התחום הוא חלק של הגליל u + v שבין המישורים 4,w,w ו הנפח שלו הוא שטח הבסיס, π כפול הגובה, 4, כלומר Vol 4π כמובן ניתן למצוא את הנפח הזה גם על ידי חישוב ישיר של האינטגרל האחרון, ו Vol 4 4π π. שאלה חשבו את נפח התחום שנחסם על ידי המשטחים z x y+ ו +z.x+y פתרון: נמצא את ההיטל של עקום החיתוך בין המישור והפרבולואיד על מישור.x,y { x +y x y x +x+y +y x y + x,y,z x+ +y + 4 התחום במדובר הוא x+ } +y + 4, x +y z x y. נשתמש בקואורדינטות גליליות מוזזות: x rcosθ, y rsinθ, z z r, θ π, כך שתיאור התחום יהיה rcosθ +rsinθ z rcosθ r sinθ. נפשט את אי השוויון האחרון ונקבל r rcosθ rsinθ+ 4 z 7 rcosθ rsinθ.

21 היעקוביאן של החלפת המשתנים זהה לזה של קואורדינטות גליליות רגילות: Vol dxdydz 7 rcosθ rsinθ r rcosθ rsinθ+ 4.J T r,θ,z r 4 r rdrdθ π 4 r r dr rdzdrdθ π 8 r 4 r4 r 44π. שאלה נסמן ב את הגליל {x,y,z x +y, z }. חלקיק שנמצא בנקודה z,,, כאשר > z, מושפע מכוח הכבידה של הגליל. בהנחה שצפיפות המסה ρ של הגליל אחידה, ושהמסה של החלקיק היא m, נובע מחוק הגרביטציה של ניוטון שהכח F שיפעל על החלקיק יהיה בכיוון ציר, F Fˆk z, כאשר z z F Gρm dxdydz. x +y +z z כאשר G קבוע הגרביטציה. חשבו את ערך האינטגרל הזה. π פתרון: נעבור לקוארדינטות הגליליות, כך שהגליל יתואר ע"י θ π, r, z. z z dxdydz x +y +z z אז z z rdzdrdθ r +z z z z r +z z rdzdr π rr +z z z z dr

22 איור : איור לשאלה 4 π r[r + z r +z ]dr π[r + z r +z ] r π[+ z +z +]. r שאלה 4 חשבו את נפח התחום שנחסם על ידי הגלילים x +y ו y +z ראו איור. פתרון: בשאלה זו קשה לדמיין או לשרטט את גוף החיתוך של שני הגלילים, וקל יותר לעבוד בעזרת הביטויים האלגבריים. נוכל לתאר את התחום על ידי {x,y,z x +y, y +z } {x,y,z y, y x y, y z y } Vol y y y y y dzdxdy y dxdy y y y y dxdy y y dy

23 4 y dy 4 6.