1 פונקציות מרוכבות והתמרות אינטגרליות (104221) תרגילים נוספים - מקבץ 2 1. אם f(z) פונקציה אנליטית שלמה ולא קבועה, אז = 0 z היא נקודה סינגולרית עיקרית

תמליל

1 פונקציות מרוכבות והתמרות אינטגרליות (4) תרגילים נוספים - מקבץ. אם f(z) פונקציה אנליטית שלמה ולא קבועה, אז z היא נקודה סינגולרית עיקרית של הפונקציה ) f(. g(z) z. אם f(z), g(z), פונקציות אנליטיות לא-קבועות בתחום, D ואם יש להם אותם אפסים. D בתחום f(x) g(x) (כולל ריבוי) אז קיימת המשכה אנליטית של הפונקציה פיתרון:, + x ln x π3 + x 8 3. הוכח כי על ידי שימוש במסילה הנתונה בתרשים הבא version: 9//9.a

2 איור : המסילה γ עוקפת את הנקודה הסינגולרית z ואת החריץ המתאים לענף ] 3π [ π, פיתרון: נציג הוכחה מתימטית של האינטגרל הראשון ללא שימוש בפונקציות מרוכבות, + x + x dx + + x dx x t נפתור את האינטגרל השני על ידי ההצבה + x + x + x dx + ln t + ( t ) dt t + x f(z) log (z) + z ln t + t dt + x dx + x נגדיר פונקציה מרוכבת כאשר log(z) מבוסס על הענף ] 3π ] π, (אשר החריץ שלו, המצויר בצבע אדום בתרשים, אינו נחתך עם המסילה.( γ נניח כי > R <, ו הקוטב הפשוט z i של f(z) נמצא בתוך המסילה. γ על פי משפט השארית γ f(z)dz [,R] f(z)dz + f(z)dz + γ R πi Res(f, i) πi log (z) z + i πi log (i) i πi (πi/) i [ R, ] zi π3 4 f(z)dz + f(z)dz γ נעריך את הגודל של כל אחד מארבעת האינטגרלים f(z)dz γ R γ R z z πr R R πr 3 R R version: 9//9.a

3 3 באופן דומה האינטגרל על המעגל הקטן ישאף לאפס כאשר f(z)dz γ [ln z + iarg(z)] γ dz + z γ ln z + iarg(z) dz + z π (ln + π) [,R] f(z)dz R נותרו שני האינטגרלים על הקטעים הממשיים ln x + x dx f(z)dz [ R, ] R R R [ln( x) + iπ] R [ + iπ] dx + x + x ln x + πi π + x dx ln x dx + π + x R dx π + x R + x dx לסיכם קיבלנו שכאשר R,, γ f(z)dz ln x dx + π + x dx π + x ln x + x dx + π π π π3 4 ln x π3 + x 4 + π3 π3 4 ln x π3 + x 8 + x dx.4 יהי p(z) a + a z + a z + + z n פולינום ממעלה n, אשר המקדם המוביל שלו הוא n. a הוכח כי p(z). Max z הדרכה: הגדר ) p( q(z) z n והוכח כי q() Max z p(z) Max z q(z), z ו פיתרון: קל לראות כי q(z) z n p ( ) ( z z n a + a z + a + + ) z z n a z n + a z n + a z n + + ()q. על פי עקרון המקסימום, M Max q(z) q() z version: 9//9.a

4 4 נבחין כי לכל z e it על מעגל היחידה, גם z e it נמצא על מעגל היחידה. עבור כל z e it ) π t ( על מעגל היחידה מתקיים השוויון Max z p(z) Max z ( ) p(z) z n q z ( ) z n q Max z t π e int q ( e it) x, x < f(x), x Max t π, כאשר ĝ היא ההתמרת פורייה של. g ĝ(ω)dω 4 3 ( q e it ) M הסתמכנו על העובדה כי it e int, e. 5. נכון או לא נכון: תהי ותהי. g f f אזי תשובה: נכון פיתרון: נכון. ĝ(ω) dω F[f f](ω) dω π f(ω) f(ω) dω π π f(x) ( x ) dx ( x ) x x3 3 x x f(z) לכל, z C אז נכון או לא נכון: אם f(z) פונקציה שלמה ומקיימת z בהכרח f(z) מתאפסת זהותית על כל המישור המרוכב. f(z) הפיתוח של f(z) לטור חזקות סביב הנקודה. z על פי נוסחת פיתרון: יהי n a n(z ) n הנגזרת של קושי a n f (n) () n! f(z)dz πi γ r z n+ כאשר γ r הוא המעגל ברדיוס r שמרכזו בראשית. נבצע הערכה של a n a n πi γ r f(z)dz z n+ π γ r f(z) dz z n+ π length(γ r) Max z γ r f(z) r n+ π πr Max z γ r f(z) r n+ Max z γ r z r n+ r r n+ r קיבלנו שלכל n, a n, ו. f(z) a אבל אי-השוויון z f(z) a גורר בהכרח version: 9//9.a

5 5, f(z) למעשה. a.7 הוכיחו כי לכל < a < x a + x π sin πa za f(z) ולקחת את המסילה שבתרשים. הדרכה: יש לבחור ענף מתאים לפונקציה הרב-ערכית מומלץ לקרוא קודם את הפיתרון של שאלה 3! z+ איור : המסילה γ עוקפת את הנקודה הסינגולרית z ואת החריץ המתאים לענף ] 3π [ π, za f(z) + z פיתרון: נגדיר פונקציה מרוכבת כאשר פונקציית הלוגריתם בביטוי za e (a ) log z מבוססת על הענף ] [ π, 3π (אשר החריץ שלו, המצויר בצבע אדום בתרשים, אינו נחתך עם המסילה ). γ נניח כי > R <, ו הקוטב הפשוט z i של f(z) נמצא בתוך המסילה. γ על פי משפט השארית γ f(z)dz f(z)dz + [,R] f(z)dz + γ R πi Res(f, i) πi za z + i zi [ R, ] f(z)dz + f(z)dz γ πi (i)a i πe (a ) log(i) πe (a )πi + z dz γr z a + z dz γ z a γr z a z πr נעריך את הגודל של כל אחד מארבעת האינטגרלים R a R πra R R באופן דומה האינטגרל על המעגל הקטן ישאף לאפס כאשר γ a + z dz γ a dz π a πa version: 9//9.a

6 6 [,R] z a R + z dz x a נותרו שני האינטגרלים על הקטעים הממשיים dx (x R) + x [ R, ] z a + z dz R R e (a )(ln( x)+iπ) R e (a )(ln(x)+iπ) dx + x + x x a e (a )πi + x e (a )πi R x a + x dx לסיכם קיבלנו שכאשר R,, γ z a + z dz R x a dx + e(a )πi + x ( + e (a )πi) R x a R x a + x dx (a )πi πe + x R x a (a )πi πe + x + e π (a )πi + e (a )πi e (a )πi, x a χ a (x), x > a π cos (a )π π sin πa 8. לכל ממשי > a נגדיר את הפונקציה א. חשבו את ההתמרת פורייה של, g(x) χ a χ b עבור כל שני ממשיים < a < b.. π ב. ĝ(ω) sin 5x sin x ב. חשבו את האינטגרל x 4 { sin(ωa) sin(ωb), ω πω תשובה: א. ω π, ab פיתרון: א. על ידי שימוש ישיר בהגדרת התמרת פורייה קל לקבל χ a (ω) sin(ωa) ωπ, ω a π, ω ĝ(ω) π χ a (ω) χ b (ω) π sin(ωa) ωπ sin(ωb) ωπ, ω π a π b π, ω ממשפט הקונבולוציה נקבל sin(ωa) sin(ωb) πω, ω ab π, ω (χ a χ b )(x) χ a (x y)χ b (y)dy ב. נחשב את הקונבולוציה χ a χ b על פי ההגדרה b χ a (x y) dy x+b b x b χ a (t) dt בשלב האחרון ביצענו הצבה t x y ו גבולות האינטגרציה הוזזו בהתאם. נשתמש בתרשים 3 בכדי version: 9//9.a

7 7 לחשב את האינטגרל האחרון איור :3 חישוב גרפי של הקונבולוציה )(x) (χ a χ b ניתן לתמצת את חמשת המצבים השונים המוצגים בתרשים באמצעות שלושה מקרים (χ a χ b )(x), x a + b a + b x, b a x < a + b a, x < b a (אפשר גם לההגדיר באמצעות חמישה מקרים אם התימצות לשלושה מקרים לא ברור) ב. נגדיר. g χ χ 5 אזי על פי התוצאה הקודמת נקבל g(x), x 7 7 x, 3 x < 7 4, x < 3 ברור כי g אינטגרבילית בריבוע (כלומר שייכת למרחב (R) ( L ורציפה למקוטעין ב. R ĝ(ω) sin(ω) sin(5ω) πω על פי משפט ההתמרה ההפוכה g(x) sin(ω) sin(5ω) e iωx dω πω g() sin(ω) sin(5ω) πω dω 4 עבור x version: 9//9.a

8 8 sin(ω) sin(5ω) dω π ω sin(x) sin(5x) π x ונקבל במעבר למשתנה x נקבל 9. מצא את הפיתרון הפרטי המוגדר על חצי הישר (,] למשוואה y (t) + y(t) + t y(x) h(t), ( < t < ) y(), ( t ) h(t) t, ( < t < ) y(t) e t + u (t) te t כאשר תשובה: פיתרון: נפעיל התמרת לפלס על שני האגפים s [y] + [y] + [y] [h(t)] s [y] y(t) [ s + s + s [y] + s + 3e s s s (s + ) + (s + ) + 3e s (s + ) s + + s + ] + [ 3e s (s + ) ] 3e s e t + u (t) te t נקבל ) + (s version: 9//9.a