אבי סיגלר, רות סגל ומשה סטופל תכונות גאומטריות מפתיעות המתקבלות לאחר הפיכתו של מרובע כלשהו לסריג תקציר המאמר מציג חקר תכונות מעניינות שקיימות במרובע ק

תמליל

1 תכונות גאומטריות מפתיעות המתקבלות לאחר הפיכתו של מרובע כלשהו לסריג תקציר המאמר מציג חקר תכונות מעניינות שקיימות במרובע קמור כלשהו עם התפתחותו לסריג בעל שורות ועמודות המורכבות מתת-מרובעים. התכונות המיוחדות נשמרות לאורך השורות והעמודות. בין התכונות שנמצאו ראוי לציין את שימור שטח יחסי, השטחים של תת-המרובעים של כל שורה או עמודה שמשמשים סדרה חשבונית, קטעים מיוחדים השווים באורכם ומקבילים זה לזה. חקר התכונות בוצע בעזרת תכנה גאומטרית ממוחשבת,).G..( שאפשרה חקירה דינמית בשינוי מספר השורות והעמודות, גרירת קדקודים של המרובע המקורי, ובדיקה מיידית של השפעתם. הובאו והוכחו משפטי עזר ולכל תכונה ניתנה הוכחה פורמלית ברמה המתאימה ליכולת ולרמת הידע של תלמידי החטיבה העליונה. מילות מפתח: משימת חקר; שילוב טכנולוגיה בחקר מתמטי; תכונות מיוחדות של מרובע; תכונות מיוחדות של סריג. הקדמה מחקרים שנעשו בשנים האחרונות על תכונות מיוחדות הקיימות בצורות גאומטריות שונות בעזרת כלים מתמטיים 996( Henningsen,,)Fraivert, 06; tein, Grover, & כלי שרטוט ושימוש בטכנולוגיה ממוחשבת, הניבו תוצאות מפתיעות המציגות את יופייה של המתמטיקה ובמיוחד של הגאומטריה האוקלידית והעניקו תנופה ומוטיבציה להעמקת המחקר בעיקר בקרב אנשי החינוך המתמטי ופרחי ההוראה שלהם ( tupel, Hegedus, 005; Josefsson, 04; egal,.) & Oman, 05; tupel & Oman, 04 מאמר זה עוסק בחקר תכונות מיוחדות ומפתיעות המתגלות במרובע כלשהו עם הפיכתו לסריג בעל mn מרובעים. הוצגו המקרים הפרטיים ונעשתה הכללה למקרה הכללי. פעילות החקר נעשתה עם פרחי הוראה בקורס שעסק בשילוב טכנולוגיה ממוחשבת להוראת מתמטיקה. הוכנו יישומוני ג'אוג'ברה לחקר התכונות וחלק מההוכחות המוצגות הוכנו בידי הסטודנטים. במחקרים רבים נוכל למצוא מידע על החשיבות של שימוש בטכנולוגיה ממוחשבת onnor, & Moss, 007; Mariotti, 03; tupel & Oman, 04; Takači, tankov, & ( שנתון תשע"ח כרך כג 47

2 .)Milanovic, 05 ממרובע לסריג ממרובע שמספק את התא הראשוני, עוברים למרובע בעל שורות ו- M עמודות, כנראה באיור. המבנה החדש שצורתו מרובע והנקרא סריג, מתקבל מהמרובע המקורי. או grid )באנגלית הגדרת מושג הסריג )lattice מרובע קמור כלשהו כשמחלקים זוג צלעות נגדיות שלו, כל צלע ל- n חלקים שווים ומחברים בישרים את נקודות החלוקה המתאימות ובזוג הצלעות הנגדיות חוזרים על אותה פעולה באמצעות חלוקת הצלעות ל- m חלקים שווים ומחברים אותם בקווים ישרים מתקבל סריג המורכב מ- mn מרובעים. אפשר גם לקחת את המרובע המקורי ולהרחיב כלפי חוץ בשני כיוונים כנראה באיור. במאמר זה מתואר חקר תכונות גאומטריות ייחודיות הקיימות בסריג המתפתח. משפט עזר כשמחברים בישרים אמצעי צלעות נגדיות במרובע כלשהו, סכום השטחים של זוג מרובעים נגדיים שווה לסכום השטחים של הזוג השני של מרובעים נגדיים )איור.) צריך להוכיח:. 3 4 הוכחת המשפט היא בסגנון ללא מילים על פי התכונה שתיכון במשולש מחלק את שטחו לשני משולשים שווי שטח: 3 4 a b c d איור : התרחבות ממרובע לסריג d d a a c 3 4 c b b : איור להדגמת התכונה שסכום השטחים של המרובעים הנגדיים סכום שטחים של מרובעים נגדיים תמיד שווה למחצית שטח המרובע נבנה יישומון ג'אוג'ברה שבו אפשר לגרור את כל אחד מהקדקודים של המרובע, ועבור כל מיקום של הקדקודים )כולל מרובע קעור( מופיעים על צג המחשב סכומי השטחים של המרובעים הנגדיים. 48

3 לינק ליישומון : תכונות גאומטריות מפתיעות המתקבלות לאחר הפיכתו של מרובע כלשהו לסריג M h h h3 PM Q משפט במרובע כלשהו חילקו זוג צלעות נגדיות לשלושה חלקים שווים וחיברו אותם בקווים ישרים, כנראה.) MM באיור ( 3 PPQQ, התקבלו שלושה מרובעים ששטחיהם: חשבונית, איור 3: חישוב שטחי המרובעים MP MQP 3 Q יש להוכיח שהשטחים הללו מהווים סדרה. כלומר: 3 הוכחה מהנקודות M, ו- מורידים אנכים לישר. מכאן מקבלים שהמרובע טרפז ישר-זווית שבסיסיו ו- הוא h MM הוא קטע אמצעים,, P PQ Q, MPQ d Q, h3 ובו h 3 ולכן:. h h h היות ובסיסי המשולשים שווים באורכיהם: הרי ששטחי המשולשים המקווקוים באיור 3 כלומר ש- מקיימים: שטחי המשולשים מהווים סדרה חשבונית. באותה דרך מוכיחים 3 n. MQ MP 3 משני הקשרים נובע ש- מסקנה ממשפט אם מחלקים שתי צלעות נגדיות של מרובע כל אחת ל- קטעים שווי-אורך, מקבלים "סורג" מסדר כמתואר באיור 4.,,..., n השטחים של מרובע זה משמשים סדרה חשבונית. 4: איור שטחי המרובעים המרכיבים את הסריג n 49

4 ההוכחה מסתמכת על משפט שבו הוכח קשר של סדרה חשבונית בין שטחו של מרובע כלשהו בסדרת המרובעים לסכום השטחים של המרובע שמימינו והמרובע שמשמאלו. כאשר כאשר מספר אי-זוגי, השטח של המרובע האמצעים ביחס לשטח המרובע המקורי הוא. מספר זוגי, יש שני מרובעים במרכז המרובע המקורי. סכום השטחים שלהם ביחס לשטח המרובע המקורי הוא. להדגמת תכונה זו הוכן יישומון הכולל זוג סרגלים אחד עבור אי-זוגי ואחד עבור זוגי שבהם אפשר לשנות בסרגל את ערכו של ולקבל את השטח היחסי של המרובע האמצעי )או שני המרובעים האמצעיים(. כמובן שממבט ראשון התוצאה מפתיעה, אך חשיבה עמוקה מראה שזוהי תכונה של סדרה חשבונית. לינק ליישומון : הערה: יישומון ישמש גם להדגמת התכונה של משפט 5 שבהמשך. b b a 4 c 3 a d d משפט נתון מרובע,, כנראה באיור מאריכים את צלעות המרובע כאורכם כלפי חוץ ומתקבלות הנקודות:.,,, אזי מתקיים: ( 3 ) 4 ( ) הוכחה מעתיקים את המרובע שבו: ומורידים בו את איור 5: הצגת חישוב השטחים c h h h 3 הגבהים 6: איור הצגת חישוב השטחים, h כנראה באיור.6, h, h 3 c 50

5 תכונות גאומטריות מפתיעות המתקבלות לאחר הפיכתו של מרובע כלשהו לסריג c( h h ) 3 ( ) ( ) 0 כי, h h h ולכן: 3 h h h 3 כיוון ש- )לפי קטע אמצעים בטרפז(, אזי: c (h h ) [( ) ( )] ( ) ( ) באותה הדרך מקבלים: מסקנה התא הראשוני כאיבר ראשון בסדרה קובע את ההפרש של הסדרה החשבונית בכיוון ( ) Q 3, M P אופקי )ימינה( או בכיוון אנכי )כלפי מטה(. בהתרחבות "ימינה" הפרש הסדרה הוא. ( ) M M Q Q ובהתרחבות כלפי מטה ההפרש הוא P P משפט 3 במרובע נתון: הקטעים MP ו- Q נחתכים בנקודה, כנראה באיור 7. M P Q אזי קיים: הוכחה 7: איור חישוב קוארדינטות בסריג את קואורדינטות ה- של קדקודי המרובע,,, מסמנים ב- ובאמצעותן נבטא את קואורדינטות ה- של הנקודות M. P, Q,, M, P, Q, MP כעת מחשבים את קואורדינטת ה- של הנקודה המחלקת את הקטע ביחס 5

6 ב) M P ומקבלים: M P ( ) ( ) Q, בדומה מחשבים את הקואורדינטה של הנקודה המחלקת את הקטע ביחס.. Q מקבלים: כלומר. מתלכדים לנקודה ו- באותה הדרך מוכיחים שגם. y y מסקנה 3 כשמחלקים במרובע את הצלעות הנגדיות ו- ל- M חלקים שווים, ואת הצלעות הנגדיות ו- ל- חלקים שווים, מתקבל סריג כמתואר באיור 8. כל "מוט" אופקי ב"סורג" מחולק ל- M חלקים שווים, וכל "מוט" אנכי ב"סורג" מחולק ל- חלקים שווים. אפשר לומר שה"תא" בפינה השמאלית למעלה )ליד הקדקוד ( "התנפח" למרובע, שהוא סריג מסדר. M משפט 4 ה"תאים" בסריג הנראה באיור 8 מוספרו בהתאם לשורה סומן ב- )א( ולעמודה k, ושטח התא המתאים. k אזי: ) שטח התאים בכל שורה משמשים סדרה חשבונית, כאשר ההפרש הקבוע בכל שורה שווה. שטחי התאים בכל עמודה משמשים סדרה חשבונית, כאשר ההפרש הקבוע בכל העמודות שווה. M k M 8: איור השטחים המרכיבים את הסריג k 5

7 א) תכונות גאומטריות מפתיעות המתקבלות לאחר הפיכתו של מרובע כלשהו לסריג הוכחה ל- ) ) ו- ב) באיור 9 נראים ארבעת התאים ליד קדקוד. על-פי משפט עזר, מתקיים:, מקשר זה נובע ש- לכן סעיף )א( הוכח. כמו כן נובע מהקשר כי: ולכן סעיף )ב( הוכח. איור 9: השטחים של תת-מרובע M לפי משפט, ההפרש הקבוע בכל שורה הוא: 3 ( ) 3 ( ) 4 וההפרש הקבוע בכל עמודה הוא: P 4. כנראה באיור 0, המציג בהגדלה את ה"תא" משפט עזר במרובע נפגשים האלכסונים בנקודה. איור 0: השטחים של תת-מרובע אזי: אם ורק אם היא נקודת אמצע האלכסון.PM מאחר שלשני המשולשים יש בסיס משותף, אז הגבהים שלהם. M P P M הוכחה מכאן נובע: מהקדקודים M ו- P לבסיס שווים, ולכן: מסקנה 4 k, בכל "תא" M ו- k לכל אם אחד האלכסונים נחצה על 53

8 ידי האלכסון השני, מהתא כלומר התכונה P M מתפשטת לכל התאים כי התא נבנה Q k. תכונה בסריג של המרובע )ה"תא"( חולק לסורג של כאשר המרובע )איור ( מקיים את התנאי שהאלכסון חוצה את האלכסון QM )כלומר, כנראה באיור.) משפט עזר 3 בנתונים אלו האלכסון עובר דרך הנקודה וחוצה את האלכסון. P איור : תכונה בסריג של w M y z הוכחה במסקנה 4 הוכח שאם בתא לכן במקרה זה הנקודות, w, y. k קיימת התכונה, הרי היא קיימת בכל תא, z הן אמצעי הקטעים P,,QM ו- בהתאמה, כנראה באיור. המרובע QMP הוא מקבילית )חיבור אמצעי צלעות של מרובע( ו- ו- מקבילים גם הם ל- M, ולכן הנקודות,, נמצאות על קו ישר. מכאן נובע שגם נחצה על ידי )הקטע שהוא חלק מ- חוצה את QM ולכן גם את.) מסקנה 5 אחד האלכסונים נחצה על ידי השני מועברת הלאה לכל סריג חלקי מסדר התכונה שב- )סריג ריבועי( אם התא. מכאן אפשר להגיע להכללה שעבור כל סריג מסדר, אחד מאלכסוניו חוצה את השני, אז התכונה מועברת לכל הוא בעל תכונה תת-סריג ריבועי. 54

9 משפט 5 הוא סורג מסדר תכונות גאומטריות מפתיעות המתקבלות לאחר הפיכתו של מרובע כלשהו לסריג M, M,, M המורכב., ו- מהתאים תהיינה כנראה באיור נקודות האמצע של M ו- ו- F ו- E של M ו- האלכסונים E ו- F בתא נקודות האמצע של האלכסונים M M M M. תא אזי קיים: )א( )ב( הערה: אם טרפז, אזי כל ארבעת הנקודות ישר. הוכחה הוא קטע אמצעים במשולש, F ולכן: נמצאות על אותו קו EF בנקודה K )תכונה של קטע אמצעים( ונחצה על-ידי,EF ולכן: M חוצה את M. K KM M M )( )( באותה דרך, הקטע EF באותה נקודה K, ולכן הוא קטע אמצעים במשולש, E וגם הוא חוצה ונחצה על ידי E K F M. K M K M M הוא מקבילית, ולכן:. M M מכאן נובע שהמרובע איור : קטעים מקבילים ושווים באורכם M וגם M ביישומון נראה שהקטעים המחברים את נקודות האמצע של אלכסוני כל תת-מרובע, שווים באורכיהם ומקבילים זה לזה. 55

10 מסקנה 6 בכל תת-סריג מסדר של סריג מסדר M נשמר המרחק בין אמצעי אלכסוניו. כמו כן כל הקטעים המחברים את אלכסוני תת-סריג מסדר, מקבילים זה לזה. שורות M עמודות משפט 6 בסורג מסדר M )איור 3(, יהא k המרחק בין אמצעי האלכסונים של. המרובע אזי המרחק K בין אמצעי האלכסונים של הסורג M הוא. Mk איור : 3 נקודות אמצע של אלכסוני סריג 4 3. הוכחה לצורך ההוכחה, נתמקד בסורג בעל שורה אחת: כאשר שיעורי ה-,,,..., M של קדקודי המרובע מסומנים כמתואר באיור 3,.4 מחשבים את ערכי שיעורי בעזרת שיעורי הקדקודים הקדקודים, ו-,,..., M M ו-. 4 כפי שהוכח, מהווים סדרה חשבונית שהפרשה איור : 4 שיעור אמצע קטע בתת-מרובע של סריג M M M ( M ) לכן: M ( M ) וכנ"ל: 3 4 M 4 שיעורי מרכז האלכסון המחבר את הקדקוד עם הקדקוד הוא: 4 M ( M ) I באותה דרך, שיעור ה- של אמצע האלכסון השני הוא: 56

11 תכונות גאומטריות מפתיעות המתקבלות לאחר הפיכתו של מרובע כלשהו לסריג II M ( M ) 3 מכאן מקבלים: I II M4 M M3 M 3 M 4 ( ) כנ"ל לגבי הקואורדינטה y, ולכן המרחק בין שתי נקודות האמצע הוא לכן כאשר מתייחסים אל השורה הראשונה כתת-סריג של מקבלים: K M k. K Mk, M הרי שעבור שורות מסקנה 7 בכל תת-סריג מסדר, mn מתקיים:. האלכסונים של המרובע הבסיסי k m n mn, K כאשר k הוא המרחק בין אמצעי להדגמת התכונה הוכן יישומון המציג סריג דו-ממדי שבו אפשר לשנות באמצעות שני סרגלים את מספרי השורות והעמודות. אפשר לגרור את כל אחד מהקדקודים של המרובע הבסיסי ובכך לשנות את גודלו מאחר שהשטחים בכל אחת מהשורות משמשים סדרה חשבונית וכך גם שטחי העמודות. הפרשי סדרות השטחים של השורות ושל העמודות נראים על המסך. כמו כן על המסך מוצג הקשר בין אורך המרחק שבין נקודות האמצע של המרובע החיצוני ובין האורך שבין נקודות האמצע של תת-המרובע הפינתי )שורה עליונה בפינה שמאלית(. לינק ליישומון : 3 הערה: אם ממשיכים את הסריג בכיוון התקרבות הצלעות אז החל משלב מסוים הסורגים יחתכו זה את זה והסריג יאבד את אופיו כמרובע. סיכום הוצג מחקר מעניין של תכונות גאומטריות מפתיעות המתגלות בעת ה"התפשטות" של מרובע כלשהו לסריג מסדר. M ובהמשך נעשתה )"התא הבסיסי"( בשלב הראשון הוצגו תכונות שקיימות במרובע המקורי הכללה לגבי תכונות שנשמרות בעת המעבר לסריג. בכל שלב הוצגו הוכחות מתמטיות המסתמכות על ידע בסיסי בגאומטריה. התוצאות מספקות מניע להמשך המחקר ולגילוי תכונות אחרות. 57

12 הבעת תודה המחברים מודים מקרב לב למר עידן טל, מומחה בכיר לשימוש בתוכנת הג'אוג'ברה, על הכנת היישומונים שאפשרו את ביצוע המחקר והצגת התכונות המיוחדות שהתגלו בו. רשימת מקורות onnor, J., & Moss, L. (007). unning head: Mathematical reasoning in G investigations student use of mathematical reasoning in quasi-empirical investigations using dynamic geometry software. Paper presented at onference on esearch in Undergraduate Mathematics Education (UME 007). Fraivert, F. (06). iscovering new geometric properties by spiral inductive deductive investigation. Far East Journal of Mathematical Education, 6(), doi: /ME Hegedus,. (005). ynamic representations: new perspective on instrumental genesis. In M. osch (Ed.), Proceedings of EME4, The Fourth ongress of the European ociety for esearch in Mathematics Education (pp ). arcelona, pain: amon Llull University. Josefsson, M. (04). Properties of equidiagonal quadrilaterals. Forum Geometricorum, 4, Mariotti, M.. (03). Introducing students to geometric theorems: how the teacher can eploit the semiotic potential of a G. ZM: The International Journal on Mathematics Education, 45(3), doi: 0.007/s egal,., tupel, M., & Oman, V. (05). ynamic investigation of loci with surprising outcomes and their mathematical eplanations. International Journal of Mathematical Education in cience and Technology, 47(3), doi: 0.080/000739X tein M. K., Grover. W., & Henningsen M.. (996). uilding student capacity for mathematical thinking and reasoning: nalysis of mathematical tasks used in reform classrooms. merican Educational esearch Journal, 33(), tupel, M., & Oman, V. (04). Inductive investigation problem for geometric construction, preformed using both traditional tools and computerized dynamic software. Far East Journal of Mathematical Education, (), Takači,., tankov, G., & Milanovic, I. (05). Efficiency of learning environment using GeoGebra when calculus contents are learned in collaborative groups. omputers & Education, 8, doi: 0.06/j.compedu

13 תכונות גאומטריות מפתיעות המתקבלות לאחר הפיכתו של מרובע כלשהו לסריג pplet The areas of two opposite quadrilaterals נספח התיאור המילולי של היישומונים כפי שמופיע בג'אוג'ברה-טיוב. The applet illustrate the property according to which the sum of the opposite quadrilaterals always equals half the area of the quadrilateral, we construct a GeoGebra applet in which one can drag each of the vertices of the quadrilateral, and for each location of the vertices (including a concave quadrilateral), the screen shows the sum of the areas of the opposite quadrilaterals. pplet The relative to area of the middle quadrilateral To illustrate the property of relative areas of the middle and center quadrilateral, the applet includes two toolbars, one for an odd, and one for an even, in which one can change the value of using a toolbar, and obtain the relative area of the middle quadrilateral (or the two middle quadrilaterals). The result is surprising, it just a property of an arithmetic progression. The applet is also to show that the segments that connect the middle points of the diagonals of each sub-quadrilateral have equal lengths and are parallel to each other. pplet 3 Properties in two-dimensional lattice The applet presents at two-dimensional lattice in which two toolbars can be used to change the numbers of the rows and the columns. One can drag each of the vertices of the basic quadrilateral, thus changing its sides, since the areas in each of the rows constitute an arithmetic progression, and similarly the areas of the columns. The common differences of the areas of the rows and the columns are shown on the screen. The screen also shows the connection between the distance between the mid-points of the eternal quadrilateral and the distance between the mid-points of the corner sub-quadrilateral (left corner top row). 59

14 60