מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית

תמליל

1 מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית

2 צוות המתמטיקה במטח: ראש תחום מתמטיקה: ד"ר שרה הרשקוביץ מנהלת צוות פיתוח מתמטיקה לבית הספר העל יסודי: ד"ר בבה שטרנברג צוות הפיתוח: רגינה אובודנקו, ד"ר אלכס אוליצין, אסנת אפרת, ד"ר אילנה ארנון, ד"ר שושנה גלעד, ד"ר מורין הוך, ד"ר ילנה זריא, הלית חפר, דורית כהן, טובי מגדל, רותי מירון, ד"ר איבי מכמנדרוב, ילנה נפתלייב, ד"ר מיכל סוקניק, ענת פלדמן, אנטולי קורופטוב, הגר רובינק. קרא והעיר: דוד זלצר עריכה לשונית: חוה בן זקן, מיכל פרנקל, יעל רגב צוות גרפיקה: שירה בכר, איילת גוטרמן, לאה גלס, ישי יגיל ריכוז הפעלה: ד"ר אלכס אוליצין מזכירות הצוות: לילך רון, סוהא חאג' יחיא עיצוב גרפי: ביצועים עיבודי מחשב בע"מ הבאה לדפוס: גדי נחמיאס הוצאה לאור: המרכז לטכנולוגיה חינוכית הודפס בשנת 2009 תודתנו נתונה לבתי הספר שהשתתפו בניסוי הסדרה: "אהבת ישראל בנים" - ירושלים, "חט"ב אלון" - רעננה, "אמירים" - כפר ורדים, "מקיף אפרים קציר" - חולון, "מקיף שחר מעין" - עין החורש, "עירוני משה שרת" - נתניה. כל הזכויות שמורות למטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית קריית משה רואו, רח קלאוזנר 6 תל אביב, ת ד 3953, מיקוד 6394 צוות המתמטיקה טל , דוא ל,math@cet.ac.il אתר באינטרנט מוקד תמיכה טלפוני של מטח בשעות 8:00-8:00 המספק תמיכה מקצועית: זכויות הקניין הרוחני, לרבות זכויות היוצרים והזכות המוסרית של היוצר/ים בחוברת זו מוגנות. אין לשכפל, להעתיק, לסכם, לצלם, להקליט, לתרגם, לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, אופטי, מכני או אחר, כל חלק שהוא מחוברת זו. כמו כן, אין לעשות שימוש מסחרי כלשהו בחוברת זו, בכולה או בחלקים ממנה, אלא אך ורק לאחר קבלת רשות מפורשת בכתב ממטח והמרכז לטכנולוגיה חינוכית(.

3 תוכן העניינים א. מהי פונקציה ריבועית? ב. נקודות החיתוך עם הצירים; חיוביות ושליליות ג. מאפייני הפרבולה ד. הפונקציה הריבועית f() = a 2 + c ה. תרגול נוסף תשובות סמלים לציון פעילויות מסוגים שונים: חיזוק, הרחבה, אתגר, דיון

4 פונקציה ריבועית א. מהי פונקציה ריבועית? מה נלמד? מהי פונקציה? - חזרה והרחבה מהי פונקציה ריבועית? הפונקציה הריבועית f() = 2 גרף של פונקציה ריבועית - פרבולה מאפייני הפרבולה. מהי פונקציה? - חזרה והרחבה בכל סעיף סרטטו מערכת צירים וסמנו בה את שתי הנקודות הנתונות. סרטטו גרף של פונקציה שעובר דרך שתי הנקודות שסימנתם. אם אי אפשר - הסבירו מדוע. בכל סעיף שהצלחתם לסרטט גרף של פונקציה, סרטטו גרף של פונקציה נוספת. ) B(8, A(-2, ) א 0) D(3, C(3, 7) ב 3) F(7, E(0, ) ג דיון תזכורת: שיעורי נקודה מסמנים בזוג סדור - ),(: שיעור ה משמאל ושיעור ה מימין. 2 בכל סעיף כתבו אם הגרף מייצג פונקציה. אם הגרף אינו מייצג פונקציה, הסבירו מדוע. א ב ג ד פונקציה ריבועית מהי פונקציה ריבועית? 3 א. סרטטו מערכת צירים. סרטטו בה גרף של פונקציה, שהיא קודם עולה ואחר כך יורדת, והגרף בנוי רק מקווים עקומים. ב. סמנו על הגרף שלכם שתי נקודות שיש להן אותו ערך של. רשמו את שיעורי הנקודות שסימנתם )אפשר בערך(. ג. עבור אילו ערכים של ערכי הפונקציה שלכם חיוביים? עבור אילו ערכים של ערכי הפונקציה שלכם שליליים? ד. האם גרף הפונקציה חותך את ציר X? אם כן, באילו נקודות? האם גרף הפונקציה חותך את ציר Y? אם כן, באילו נקודות? תזכורת אוסף הקווים הבסיסיים המשמשים לבניית גרפים: קו עולה ישר קו קבוע קו יורד ישר קו עולה עקום קו עולה עקום קו יורד עקום קו יורד עקום 4

5 מהי פונקציה ריבועית? 4 לפניכם פונקציות שונות. אילו מהפונקציות אינן קוויות? f() = 2 - ה ) - ( () = ג א t() = g() = ו ) - 2( k() = ד ב m() = ( + 2) - 2 פונקציה ריבועית אם אפשר לכתוב ביטוי של פונקציה בצורה a, b, c( f() = a 2 + b + c מספרים כלשהם ו 0,)a אז הפונקציה היא ריבועית. דוגמה הפונקציה - 2 () = 2 + היא ריבועית. אפשר להציג אותה בצורה: )a = b = 2 c = -( () = (-) דוגמה 2 הפונקציה g() = 2 היא ריבועית. אפשר להציג אותה בצורה: )a = b = 0 c = 0( g() = דוגמה 3 הפונקציה + 2 f() = אינה ריבועית, כי אינו מופיע במעלה שנייה. דיון 5 א. חזרו לפונקציות שבמשימה הקודמת. אילו מהן פונקציות ריבועיות? ב. מדוע לדעתכם בהגדרה של הפונקציה הריבועית, המופיעה במסגרת למעלה, כתוב ש 0 a? 6 בכל סעיף נתונה פונקציה ריבועית. כתבו את הפונקציה בצורה.a 2 + b + c כתבו מהם.a, b, c ג א ב א ב ג ד פונקציה ריבועית מהי פונקציה ריבועית? f() = f() = 2 f() = (3 - )(7 - ) f() = (2-7) f() = (5 - )(5 + ) f() = 2( + 3)( - ) ד f() = 3 2 ה f() = ז f() = 2 + f() = ו f() = 2-7 ח f() = - 2 בכל סעיף נתונה פונקציה ריבועית. 7 כתבו את הפונקציה בצורה.a 2 + b + c כתבו מהם.a, b, c ה 7) - ( f() = 2 - ו 8) 2 - ( f() = ז f() = ח f() =

6 h() 9 8 נתונה הפונקציה הריבועית.h() = 2 א. כתבו אותה בצורה.a 2 + b + c כתבו מהם.a, b, c ב. העתיקו את טבלת הערכים ומלאו אותה. ג. סרטטו מערכת צירים מתאימה וסמנו בה את הנקודות שרשמתם בטבלה. ד. בחרו מבין הנקודות שסימנתם זוגות של נקודות, ששיעורי ה שלהן הם מספרים נגדיים. האם הנקודות האלה סימטריות ביחס לציר Y? הסבירו. ה. לפני שתסרטטו את גרף הפונקציה, ענו: האם הוא קו ישר? הסבירו את תשובתכם. ו. סרטטו דרך הנקודות שסימנתם סקיצה של גרף, שלדעתכם יכול לייצג את הפונקציה.h( ) = 2 ז. תארו את תכונותיו של גרף הפונקציה.h() = 2 הגרף של כל פונקציה ריבועית הוא פ ר ב ול ה. דוגמאות כל פרבולה מורכבת משני קווים עקומים בסיסיים: קו יורד וקו עולה. תזכורת: אם לצורה קיים קו, שכאשר מקפלים את הצורה לאורכו שני חלקי הצורה מתלכדים בדיוק, הקו הזה נקרא ציר סימטרייה של הצורה. לכל פרבולה יש ציר סימטרייה. למשל, בפרבולה h() = 2 ציר הסימטרייה הוא ציר Y. 5 9 נתונים ביטוי של פונקציה ריבועית והפרבולה המתאימה: h() = א. תארו את אפיוני הפרבולה. השתמשו במושגים: עולה, יורד, ציר סימטרייה וכדומה. ב. לפרבולה של הפונקציה h() יש שתי נקודות חיתוך עם ציר X. מהם שיעורי הנקודות? בדקו על ידי הצבה בביטוי. לפרבולה של הפונקציה h() יש נקודת חיתוך אחת עם ציר Y. מהם שיעורי הנקודה? בדקו על ידי הצבה בביטוי. ג. ענו לפי הגרף: עבור אילו ערכים של ערכי h() חיוביים? שליליים? 0? ד. מצאו בגרף את נקודת המקסימום - הנקודה שבה ערך הפונקציה h() הוא הגדול ביותר. מהו הערך של,h() ומהו הערך של בנקודה שמצאתם? ה. ענו לפי הגרף: עבור אילו ערכים של הפונקציה h() יורדת? עבור אילו ערכים היא עולה? ו. מה הקשר בין ציר הסימטרייה של הפרבולה לבין נקודת המקסימום שלה? פונקציה ריבועית מהי פונקציה ריבועית? דיון 6

7 לכל גרף של פונקציה ריבועית )פרבולה( יש נקודת מקסימום או נקודת מינימום: A הנקודה שבה אפיון הגרף משתנה מעולה ליורד היא נקודת המקסימום של הפונקציה. דוגמה הנקודה A בסרטוט היא נקודת המקסימום. בנקודה זו אפיון הגרף משתנה מעולה ליורד. הנקודה שבה אפיון הגרף משתנה מיורד לעולה היא B נקודת המינימום של הפונקציה. דוגמה הנקודה B בסרטוט היא נקודת המינימום. בנקודה זו אפיון הגרף משתנה מיורד לעולה. נקודת המינימום או המקסימום של הפרבולה נקראת קדקוד הפרבולה. ציר הסימטרייה של הפרבולה עובר דרך הקדקוד שלה. 0 לפניכם חמש פרבולות. לאילו מהן יש נקודת מינימום? לאילו מהן יש נקודת מקסימום? א ב ג ד ה א. סרטטו סקיצה של גרף פונקציה שיש לו נקודת מינימום. סמנו את הנקודה והסבירו מדוע היא נקודת המינימום. ב. סרטטו סקיצה של גרף פונקציה שיש לו נקודת מקסימום. סמנו את הנקודה והסבירו מדוע היא נקודת המקסימום. ג. סרטטו סקיצה של גרף פונקציה שיש לו גם נקודת מינימום וגם נקודת מקסימום. סמנו את הנקודות והסבירו. )רמז: הפונקציה אינה ריבועית.( פונקציה ריבועית מהי פונקציה ריבועית? 7

8 2 לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה. f() = 2 א. מהם שיעורי הקדקוד של הפרבולה? ב. מהו ציר הסימטרייה של הפרבולה?f() = 2 ג. מצאו f(-3). f)- 2 (, f) (, f(0), f(3), 2 ד. מצאו ערכים של שעבורם = 9.f() פתרו את המשוואה = 9 2. ה. פתרו את המשוואה 9- = 2. האם יש ערכים של שעבורם 9- =?f() ו. מצאו ערכים של שעבורם = 0.f() פתרו את המשוואה = 0 2. ז. בכל אחד מהסעיפים ד-ו מופיעות שתי שאלות. מה הקשר בין שתי השאלות בכל סעיף? משימה לסיכום 3 א. מהי פונקציה ריבועית? כתבו שלוש דוגמאות לביטויים אלגבריים המייצגים פונקציות ריבועיות. ב. מהי פרבולה? כתבו מאפיינים של פרבולה. ג. מה הקשר בין קדקוד הפרבולה לבין ציר הסימטרייה שלה? משימות נוספות 4 בכל סעיף נתונה פונקציה ריבועית. כתבו כל פונקציה בצורה.a 2 + b + c כתבו מהם,a.,b c f() = ד f() = ג f() = -2 2 ב f() = א h() 5 נתונה הפונקציה הריבועית.g() = - 2 א. כתבו אותה בצורה.a 2 + b + c כתבו מהם.a, b, c -9 ב. העתיקו את טבלת הערכים ומלאו אותה. ג. סרטטו מערכת צירים מתאימה וסמנו בה את הנקודות שרשמתם בטבלה. ד. בחרו מבין הנקודות שסימנתם זוגות של נקודות, ששיעורי ה שלהן הם מספרים נגדיים. האם הנקודות האלה סימטריות ביחס לציר Y? הסבירו. ה. לפני שתסרטטו את גרף הפונקציה, ענו: האם הוא קו ישר? הסבירו את תשובתכם. ו. סרטטו דרך הנקודות שסימנתם סקיצה של גרף, שלדעתכם יכול לייצג את הפונקציה.g() = - 2 ז. תארו את תכונותיו של גרף הפונקציה.g() = א. סרטטו סקיצה של פרבולה שיש לה נקודת מקסימום, והיא חותכת את ציר בשתי נקודות. ב. סרטטו סקיצה של פרבולה נוספת שיש לה נקודת מקסימום, והיא חותכת את ציר בשתי נקודות. פונקציה ריבועית מהי פונקציה ריבועית? 8

9 ב. נקודות החיתוך עם הצירים; חיוביות ושליליות מה נלמד? פתרון משוואות = 0 f() )חזרה( נקודות החיתוך עם הצירים נקודות האפס חיוביות ושליליות של פונקציה. פתרון משוואות = 0 f() )חזרה( א. השלימו שלושה תרגילים שונים: = 0 ב. המכפלה של שני מספרים היא אפס. מה אפשר להגיד על המספרים? ג. פתרו את המשוואות. = 0 5 ( - 2)( + 7) = = -23(6 + ) 3 דיון דוגמה = 0 5) + 2)(5 ( - האגף השמאלי של משוואה זו הוא מכפלה של שני ביטויים אלגבריים. האגף הימני של המשוואה הוא 0. מכפלה שווה לאפס, אם אחד מהגורמים שווה לאפס או ששני הגורמים שווים לאפס: ( - 2)(5 + 5) = 0-2 = = 0 כל מספר שמ א פ ס את אחד הגורמים הוא אחד הפתרונות של המשוואה: = 2 מ א פ ס את הגורם (2 - ) )5 + 5( מ א פ ס את הגורם = -3 לכן הפתרונות של המשוואה הם שני המספרים האלה, ורק הם: 3-2 פונקציה ריבועית נקודות החיתוך עם הצירים; חיוביות ושליליות בדיקה על ידי הצבה: = 2 = 0 = -3 (2-2)( ) = 0 5) + (-3) 2)(5 (-3 - פתרו את המשוואות. 2 א = 0 3) - 8)( ( + ד = 0 ) - )(2 ( - ז = 0 2 5) - ( ב = 0 27) - 3( ה = 0 4) + (2 ח = 0 2 2) (6 + ג = 0 ) + 2)( (4 - ו = ט = 0 2) - )( - -(3 פתרו כל משוואה וכתבו כמה פתרונות יש לה. הסבירו. 3 = א = ב = ג = ד 9

10 B A נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים 4 לפניכם סרטוט של קו ישר שעליו מסומנות שתי נקודות: A ו B. א. באיזו משתי הנקודות הקו חותך את ציר X? ב. באיזו משתי הנקודות הקו חותך את ציר Y? ג. התאימו לנקודות A ו B את שיעורי הנקודות האלה: )6 -,0( )0,3( ד. הסבירו איך קבעתם מהם השיעורים של כל נקודה. ה. מהם השיעורים של נקודת ראשית הצירים? C B A לפניכם סרטוט של פרבולה שעליה מסומנות שלוש נקודות: B A, ו C. 5 א. באילו משלוש הנקודות הפרבולה חותכת את ציר X? ב. באילו משלוש הנקודות הפרבולה חותכת את ציר Y? )0,2( )0,8-( ג. התאימו לנקודות B A, ו C את שיעורי הנקודות האלה: )6-,0( ד. הסבירו איך קבעתם מהם השיעורים של כל נקודה. נקודות החיתוך של גרף הפונקציה הקווית עם הצירים - חזרה שיעור ה של נקודת החיתוך עם ציר X הוא הפתרון של המשוואה = 0 f() שיעור ה של נקודת החיתוך עם ציר Y הוא )0(f )ערך הפונקציה עבור = 0 (. דוגמה g() = נקודת החיתוך עם ציר X: הפתרון של המשוואה = הוא -2.5 =. נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר X היא )0,2.5-(. נקודת החיתוך עם ציר Y: ערך הפונקציה עבור = 0 הוא = = f(0) נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר Y היא )5,0(. 6 נתונים גרף וביטוי של פונקציה ריבועית: ) f() = (2-6)( + א. העתיקו את הגרף )אפשר בערך(. ב. נקודות החיתוך עם ציר X: כמה נקודות חיתוך עם ציר X יש לפונקציה הזו? סמנו אותן. מצאו את שיעוריהן בעזרת הביטוי של הפונקציה וכתבו אותם בגרף. בדקו על ידי הצבה. ג. נקודת החיתוך עם ציר Y: סמנו את נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר Y. מצאו את שיעוריה בעזרת הביטוי של הפונקציה וכתבו אותם בגרף. בדקו על ידי הצבה. פונקציה ריבועית נקודות החיתוך עם הצירים; חיוביות ושליליות דיון 0

11 נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים; נקודות האפס של הפונקציה נקודות החיתוך עם ציר X: בנקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר X שיעור ה שווה ל 0. נקודות אלה נקראות נקודות האפס של הפונקציה. ערכי של נקודות האפס הם הפתרון של המשוואה = 0 f(). נקודת החיתוך עם ציר Y: בנקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר Y שיעור ה שווה ל 0. ערך ה של הנקודה הוא (0)f. דוגמה 2) - 2)(3 f() = ( - כדי למצוא את נקודות האפס נפתור את המשוואה = 0 (2-3)(2 ). - האגף השמאלי של המשוואה הזאת הוא מכפלה של שני גורמים: )2 - ( ו )2-3(..) - 2( מ א פ ס את הגורם = 2.)3-2( מ א פ ס את הגורם = 4 לכן הפתרונות של המשוואה הם 2 ו 4. מסקנה: נקודות האפס של הפונקציה 2) - 2)(3 f() = ( - הן 0( )2, 0(.)4, כדי למצוא את נקודת החיתוך עם ציר Y נציב = 0 בביטוי של הפונקציה: פונקציה ריבועית נקודות החיתוך עם הצירים; חיוביות ושליליות (-5, 0) f(0) = (0-2) (3 0-2) = (-2) (-2) = 24 מסקנה: נקודת החיתוך של גרף הפונקציה (2-3)(2 f() = ) - עם ציר Y היא 24(.)0, 7 לפניכם גרף הפונקציה הריבועית 7) + 2)(.f() = ( - א. נקודות האפס של הפונקציה: פתרו את המשוואה = 0 (7 + )(2 ). - בדקו את הפתרון על ידי הצבה. בכמה נקודות הפרבולה חותכת את ציר X? מה הקשר בין הפתרון של המשוואה לבין נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר X? כתבו את שיעורי נקודות האפס של הפונקציה. ב. הפרבולה חותכת את ציר Y בנקודה אחת. היעזרו בביטוי וכתבו את שיעורי הנקודה הזאת. שימו לב: נקודות החיתוך של שני קווים הן הנקודות המשותפות לשני הקווים האלה. גם נקודה שבה גרף הפונקציה נוגע באחד הצירים נקראת נקודת חיתוך עם הציר. למשל, נקודת החיתוך של גרף הפונקציה (5 2 + ) f() = עם ציר X היא (0,5-).

12 8 א. האם הפונקציה (2 2 - ) f() = היא פונקציה ריבועית? הסבירו. ב. נקודות האפס של הפונקציה: פתרו את המשוואה = 0 2 (2 - ). בדקו את הפתרון על ידי הצבה. בכמה נקודות הפרבולה חותכת את ציר X? מה הקשר בין הפתרון של המשוואה לבין נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר X? כתבו את שיעורי נקודת האפס של הפונקציה. ג. הפרבולה חותכת את ציר Y בנקודה אחת. היעזרו בביטוי וכתבו את שיעורי הנקודה הזאת. 9 א. סרטטו סקיצה של פרבולה שאינה חותכת את ציר X כלל. דיון ב. האם לפרבולה שסרטטתם יש נקודת מינימום או נקודת מקסימום? ג. בכמה נקודות הפרבולה שסרטטתם חותכת את ציר Y? 0 בכל סעיף: העתיקו את הגרף )אפשר בערך(. כתבו כמה נקודות חיתוך עם ציר X יש לפונקציה. סמנו אותן. מצאו את שיעוריהן בעזרת הביטוי של הפונקציה וכתבו אותם בגרף. f() = ( + 3)( - 5) g() = - 2 פונקציה ריבועית נקודות החיתוך עם הצירים; חיוביות ושליליות א ב בדקו על ידי הצבה. כתבו כמה נקודות חיתוך עם ציר Y יש לפונקציה. סמנו אותן. מצאו את שיעוריהן בעזרת הביטוי של הפונקציה וכתבו אותם בגרף. בדקו על ידי הצבה. ג 3) + 4)( h() = - ( - ה 3) ( m() = ד 3) 2 - ( h() = ו f() =

13 דיון ענו על השאלות. הדגימו את תשובותיכם על ידי סקיצות. א. כמה נקודות חיתוך עם ציר X יכולות להיות לפרבולה? ב. כמה נקודות חיתוך עם ציר Y יכולות להיות לפרבולה? ג. הסבירו מדוע הפרבולה אינה יכולה לחתוך את ציר Y ביותר מנקודה אחת. פונקציה ריבועית - מספר נקודות החיתוך של פרבולה עם הצירים בכל פרבולה )גרף של פונקציה ריבועית( - מספר נקודות החיתוך עם ציר X )נקודות האפס( יכול להיות 2, או 0. יש רק נקודת חיתוך אחת עם ציר Y. g() = ) 2 - ( f() = דוגמה 3 ) h() = ( + 2)(4 - דוגמה 2 דוגמה פונקציה ריבועית נקודות החיתוך עם הצירים; חיוביות ושליליות לפונקציה אין נקודות אפס. הגרף אינו חותך את ציר X. נקודת החיתוך היחידה של הפונקציה עם ציר Y היא 3(.)0, נקודת האפס היחידה של הפונקציה היא )0,5(. הגרף חותך את ציר X בנקודה זו. נקודת החיתוך היחידה של הפונקציה עם ציר Y היא 25(.)0, שתי נקודות האפס של הפונקציה הן 0( )-2, ו ) 0.)4, הגרף חותך את ציר X בשתי הנקודות הללו. נקודת החיתוך היחידה של הפונקציה עם ציר Y היא 8(.)0, ד. מיינו את הפונקציות הבאות לשלוש קבוצות: פונקציות שיש להן שתי נקודות אפס. 2 פונקציות שיש להן נקודת אפס אחת. 3 פונקציות שאין להן נקודות אפס כלל. אם לפונקציה יש נקודות אפס, רשמו את שיעוריהן. f() = ( + 8)( - 8) k() = 2-25 t() = 00-2 g() = ( + 8) 2 m() = ( + 0) s() = (7 - ) h() = p() = - 2 r() = (7 - ) 2 3

14 2 ענו על השאלות. הדגימו את תשובותיכם על ידי סקיצות. א. כמה נקודות חיתוך עם ציר X יכולות להיות לגרף של פונקציה קווית? ב. כמה נקודות חיתוך עם ציר Y יכולות להיות לפונקציה קווית? פונקציה קווית - מספר נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים בכל גרף של פונקציה קווית - מספר נקודות החיתוך עם ציר X )נקודות האפס( יכול להיות 0, או אינסוף. יש רק נקודת חיתוך אחת עם ציר Y. f() = 0-6 = f() דוגמה 3 דוגמה 2 f() = -7-7 דוגמה נקודת האפס היחידה של לפונקציה אין נקודות אפס. לפונקציה יש אינסוף הגרף אינו חותך את ציר X. נקודות אפס. הפונקציה היא 0( )-,. הגרף מתלכד עם ציר X. נקודת החיתוך היחידה של הפונקציה עם ציר Y היא 0(.)0, 3) + 3)( f() = ( - א 7) 2 - ( f() = ב פונקציה ריבועית נקודות החיתוך עם הצירים; חיוביות ושליליות ג ד הגרף חותך את ציר X בנקודה זו. נקודת החיתוך היחידה נקודת החיתוך היחידה של הפונקציה עם ציר Y של הפונקציה עם ציר Y היא -6(.)0, היא -7(.)0, בכל סעיף: 3 כתבו אם הפונקציה הנתונה היא ריבועית או קווית. כתבו כמה נקודות חיתוך יש לגרף של הפונקציה f() עם ציר X. כתבו את שיעורי נקודות האפס. כתבו כמה נקודות חיתוך יש לגרף של הפונקציה f() עם ציר Y. כתבו את שיעורי הנקודות. f() = -4-2 ה = 3 f() f() = 3( + 2)( + 2) ו f() = -( - 4)(4 - ) 4

15 4 בכל סעיף נתונה הפונקציה f() בשני ייצוגים: האחד - ייצוג אלגברי, והאחר - גרף או טבלה. בכל סעיף: כתבו אם הפונקציה הנתונה היא ריבועית או קווית. מצאו את הפתרונות של המשוואה = 0.f() בדקו את הפתרונות על ידי הצבה. כתבו מהן נקודות האפס של הפונקציה. כתבו מהי נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר Y. 4) - 2)( f() = -( + א = 2.5 f() ג f() = ה -2 4 ) 2 f() = (3 - ב 25) - ( f() = ו ) f() = ( - 5)(2 - ד פונקציה ריבועית נקודות החיתוך עם הצירים; חיוביות ושליליות f()

16 חיוביות ושליליות של פונקציה 5 בסרטוט שלפניכם נתון גרף של טמפרטורה שנמדדה במשך יממה אחת בהלסינקי זמן )שעות( פונקציה ריבועית נקודות החיתוך עם הצירים; חיוביות ושליליות ענו לפי הגרף: טמפרטורה )מעלות( א. מה הייתה הטמפרטורה בהלסינקי בשעה 03:00? בשעה 5:00? בשעה 22:00? ב. באילו שעות הייתה הטמפרטורה 3 c-? 5 c? 0 c? ג. באילו פרקי זמן הייתה הטמפרטורה חיובית? באילו היא הייתה שלילית? ד. באילו פרקי זמן עלתה הטמפרטורה? באילו היא ירדה? ה. מה היה טווח הטמפרטורות בפרק הזמן שבין השעה 07:00 לשעה 3:00? ו. באיזה פרק זמן הייתה הטמפרטורה מתחת ל 3 c? מתחת ל 5 c -? ז. מה הייתה הטמפרטורה המקסימלית במשך היממה? מתי? כתבו את שיעורי הנקודה המתאימה בגרף. ח. מה הייתה הטמפרטורה המינימלית במשך היממה? מתי? כתבו את שיעורי הנקודה המתאימה בגרף. 6 נתונים ביטוי של פונקציה והגרף שלה: 2) - )( f() = (5 - א. העתיקו את הגרף )בערך(. ב. סמנו את נקודות החיתוך עם ציר X. מצאו את שיעוריהן ורשמו בסרטוט. ג. סמנו את נקודת החיתוך עם ציר Y. מצאו את שיעוריה ורשמו בסרטוט. ד. עבור אילו ערכים של הערכים של הפונקציה חיוביים? עבור אלו הם שליליים? ה. פתרו: > 0 f() f() < 0 2 f() = 0 3 ו. היעזרו בתשובותיכם לסעיף ה ופתרו: (5 - )( - 2) < 0 2 (5 - )( - 2) = 0 3 (5 - )( - 2) > 0 ז. בסעיפים ה - ו נשאלות אותן שאלות באופנים שונים. השאלות הללו מופיעות גם בסעיפים א - ד. באיזה סעיף מבין הסעיפים א - ד נשאלת אותה שאלה כמו בסעיפים ה ו ו? כמו בסעיפים ה 2 ו ו 2? כמו בסעיפים ה 3 ו ו 3? הידעתם? הלסינקי היא בירת פינלנד. למתעניינים: חפשו באינטרנט ובמקורות אחרים: באיזו יבשת נמצאת הלסינקי? באילו חודשים של השנה הטמפרטורה בהלסינקי קרובה ל 3 c -? באיזה קו רוחב נמצאת הלסינקי? אילו עוד ערים מפורסמות נמצאות בקו רוחב דומה? האם גם בערים הללו יש מזג אוויר דומה? 6

17 שליליות וחיוביות של פונקציה ריבועית אוסף הערכים של, שעבורם הערכים של הפונקציה הם שליליים, נקרא תחום השליליות של הפונקציה. אוסף הערכים של, שעבורם הערכים של הפונקציה הם חיוביים, נקרא תחום החיוביות של הפונקציה. 2 5 דוגמה 2( - () f)( = )5-2 5 תחום השליליות של הפונקציה מסומן בסרטוט: כל המספרים הקטנים מ 2 וכל המספרים הגדולים מ 5. תחום השליליות של f() הוא הפתרון של האי שוויון: < 0 f() בדוגמה שלנו האי שוויון הוא: < 0 2) - )( -.(5 הפתרון הוא < 2 ו > 5, וזה תחום השליליות של הפונקציה. דיון תחום החיוביות של הפונקציה מסומן בסרטוט: 2 5 כל המספרים שבין 2 ל 5. תחום החיוביות של f() הוא הפתרון של האי שוויון: > 0 f() בדוגמה שלנו האי שוויון הוא: > 0 2) - )( -.(5 הפתרון הוא < 5 < 2, וזה תחום החיוביות של הפונקציה. שימו לב: = 5 ו = 2 אינם שייכים לתחום החיוביות של הפונקציה ואינם שייכים לתחום השליליות שלה. 7 מדוע כתוב במסגרת ש 5 = ו = 2 אינם שייכים לתחום החיוביות של הפונקציה ואינם שייכים לתחום השליליות שלה? הסבירו. פונקציה ריבועית נקודות החיתוך עם הצירים; חיוביות ושליליות 7

18 8 לפניכם פונקציות קוויות ופונקציות ריבועיות. בכל סעיף: כתבו את תחום החיוביות ואת תחום השליליות של הפונקציה. פתרו את המשוואות ואת האי שוויונות הרשומים מתחת לגרף של הפונקציה. f() א m() = ד () = ז -2 f() = 0 f() > 0 f() < 0 m() < 0 m() > 0 m() = 0 () = 0 () < 0 () > 0 m() = -5 () = -0.5 g() ב ) 2 + -( n() = ה - = h() ח -2 g() = 0 g() < 0 g() > 0 g() = -2 p() ג p() = 0 p() > 0 p() < 0 p() = 8 n() < 0 n() > 0 n() = 0 n() = - t() = ו t() < 0 t() > 0 t() = 0 t() = -5 h() = 0 h() > 0 h() < 0 h() = - ) 2 - ( k() = ט k() = 0 k() < 0 k() > 0 k() = -2 פונקציה ריבועית נקודות החיתוך עם הצירים; חיוביות ושליליות 8

19 9 לפניכם פונקציות קוויות. בכל סעיף: סרטטו סקיצה של הפונקציה בהתאם לנתונים. תארו במילים את תחום החיוביות של הפונקציה. f() פונקציה קווית ג תחום השליליות: כל תחום השליליות 0 f() פונקציה קווית ב תחום השליליות תחום החיוביות -2 f() פונקציה קווית א תחום החיוביות הוא < 0 תחום השליליות הוא > 0 20 לפניכם פונקציות ריבועיות. בכל סעיף: סרטטו סקיצה של הפונקציה בהתאם לנתונים. תארו במילים את תחום החיוביות של הפונקציה. f() פונקציה ריבועית ב f(-3) = f(3) = 0 f() פונקציה ריבועית ג תחום השליליות: כל תחום השליליות תחום החיוביות תחום החיוביות f() פונקציה ריבועית א תחום החיוביות פונקציה ריבועית נקודות החיתוך עם הצירים; חיוביות ושליליות 2 בכל סעיף סרטטו סקיצה של פונקציה המתאימה לנתונים: פונקציה ריבועית או פונקציה קווית או שתיהן. א תחום השליליות תחום השליליות ג תחום החיוביות: < ב ד תחום החיוביות: כל משלכם 22 א. ההיקף של ריבוע שאורך צלעו ס"מ הוא 4 ס"מ. הסבירו מדוע. A(2, 8) לפניכם גרף הפונקציה.f() = 4 על הגרף מסומנת הנקודה A. האם יש ריבוע שמתאים לה? B(-2, -8) אם כן, סרטטו אותו וכתבו את ממדיו. אם לא, הסבירו מדוע. האם יש ריבוע שמתאים לנקודה B המסומנת על הגרף? אם כן, סרטטו אותו וכתבו את ממדיו. אם לא, הסבירו מדוע. מהו תחום החיוביות של הפונקציה? מהו תחום השליליות שלה? עבור אילו ערכים של הפונקציה מתארת את ההיקף של הריבועים שאורך הצלע שלהם ס"מ? סרטטו מערכת צירים וכתבו בה את כינויי הצירים האלה: "אורך הצלע של הריבוע" ו"היקף הריבוע". סרטטו בתחום המתאים במערכת הצירים את הגרף המתאר את ההיקף של ריבוע. ב. כתבו פונקציה המתארת את השטח של ריבוע שאורך צלעו ס"מ. סרטטו בתחום המתאים במערכת צירים, סקיצה של הגרף המתאים לפונקציה שכתבתם. כתבו את כינויי הצירים. 9

20 משימה לסיכום 23 א. מהן נקודות האפס של פונקציה? ב. כמה נקודות אפס יכולות להיות לפרבולה? תנו דוגמאות. ג. כמה נקודות אפס יכולות להיות לפונקציה קווית? תנו דוגמאות. משימות נוספות 24 בכל סעיף: כתבו כמה נקודות חיתוך יש לגרף של הפונקציה f() עם ציר X. כתבו את שיעורי הנקודות. כתבו כמה נקודות חיתוך יש לגרף של הפונקציה f() עם ציר Y. כתבו את שיעורי הנקודות. ) f() = -( - 6)(6 - ד ) 2 - ( f() = ג ) f() = (3 - )(3 + ב f() = (2-3) א בכל סעיף: 25 כתבו אם הפונקציה הנתונה היא פונקציה ריבועית או לא. מצאו את הפתרונות של המשוואה = 0.f() בדקו את הפתרונות על ידי הצבה. כתבו מהן נקודות האפס של הפונקציה. כתבו מהי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר Y. 3) - 2( f() = א ) f() = (2 - )(2 + ב f() = 2 2 ג f() = -( - 4) ד לפניכם שתי פונקציות. לכל פונקציה: 26 מצאו את הפתרונות של המשוואה = 0.f() בדקו את הפתרונות על ידי הצבה. כתבו מהן נקודות האפס של הפונקציה. כתבו מהי נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר Y. 2) - 7)( f() = ( + א f() = -2 2 ב בכל סעיף סרטטו סקיצה של גרף של פונקציה ריבועית המקיימת את התנאים המפורטים. 27 א. (0,2-) (0,4) הן נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר X. ו - =. ב. פונקציה שעבורה הפתרונות של המשוואה = 0 f() הם = 0 ג. פונקציה שעבורה למשוואה = 0 f() אין פתרון, ונקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר Y היא (3,0). פונקציה ריבועית נקודות החיתוך עם הצירים; חיוביות ושליליות 20

21 ג. ב. נקודות מאפייניהחיתוך הפרבולה עם הצירים; חיוביות ושליליות מה נלמד? מציאת ציר הסימטרייה ונקודת הקדקוד לפי נקודות האפס בניית סקיצה של פרבולה שהביטוי שלה נתון בצורת מכפלה עלייה וירידה של פונקציה ריבועית h() = (3 - )( + ) מציאת ציר הסימטרייה ונקודת הקדקוד לפי נקודות האפס נתונה הפונקציה ) + )(. h() = (3 - א. הראו ש h() היא פונקציה ריבועית. ב. העתיקו את טבלת הערכים של הפונקציה ומלאו אותה. ג. היעזרו בטבלת הערכים וסרטטו סקיצה של הפרבולה.h() ד. מהן נקודות האפס של הפונקציה? ה. הסבירו איך רואים מהן נקודות האפס של הפונקציה בכל אחד מהייצוגים. ו. סרטטו את ציר הסימטרייה של הפרבולה. ז. מה הקשר בין נקודות האפס של הפרבולה לבין ציר הסימטרייה? 2 2 א. לפניכם פרבולה החותכת את ציר X בנקודות )0,2( ו )0,8(. באיזו נקודה על ציר X עובר ציר הסימטרייה של הפרבולה? הסבירו. 8 ב. סרטטו סקיצה של פרבולה שציר הסימטרייה שלה עובר דרך הנקודה )0,3(, ואחת מנקודות החיתוך שלה עם ציר X היא )0,2(. מהם שיעורי נקודת החיתוך האחרת עם ציר X? 3 נתונה הפונקציה הריבועית (5 + )(. h() = ) + סרטטו את גרף הפונקציה לפי השלבים האלה: א. סרטטו מערכת צירים. ב. האם גרף הפונקציה h() חותך את ציר X? אם כן - מצאו את נקודות האפס של הפונקציה h() וסמנו אותן במערכת הצירים. ג. סמנו על ציר X נקודה שדרכה עובר ציר הסימטרייה של גרף הפונקציה. מהו שיעור ה של הנקודה הזאת? כיצד שיעור ה הזה קשור לנקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר X? סרטטו את ציר הסימטרייה של הפרבולה. ד. מהו שיעור ה של קדקוד הפרבולה? הציבו את שיעור ה של הקדקוד בביטוי )5 + )( h() = ) + ומצאו את ערך הפונקציה h() בנקודת הקדקוד. סמנו את נקודת הקדקוד במערכת הצירים וכתבו לידה את שיעורי הנקודה. האם הקדקוד של הפרבולה הזאת הוא נקודת מינימום או נקודת מקסימום? הסבירו. פונקציה ריבועית מאפייני הפרבולה המשך 2

22 ה. כיצד אפשר למצוא את השיעורים של קדקוד הפרבולה, אם יודעים מהן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר X. ו. באיזו נקודה הגרף של הפונקציה h() חותך את ציר Y? הסבירו איך ניתן למצוא את הנקודה לפי הביטוי של הפונקציה. סמנו את הנקודה במערכת הצירים. סמנו גם את הנקודה הסימטרית לה, בצד השני של ציר הסימטרייה. ז. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה h(( העובר דרך הנקודות שסימנתם. בניית סקיצה של גרף הפונקציה הריבועית f() הנתונה בצורת מכפלה -4 2 דוגמה 4) + )( f() = (2 - פותרים את המשוואה (2 - )( + 4) = 0 ומקבלים את נקודות האפס של הפונקציה: 0) (-4, 0) (2, א. מוצאים את נקודות האפס של הפונקציה: כדי למצוא אותן פותרים את המשוואה = 0.f() -4-2 )-, 9( פונקציה ריבועית נקודות פונקציה החיתוך עם ריבועית הצירים; מאפייני חיוביות הפרבולה ושליליות ב. בונים את ציר הסימטרייה של הפרבולה: מסמנים את נקודת האמצע של הקטע המחבר בין נקודות האפס של הפונקציה, ומעבירים דרכה את הישר המקביל לציר Y. ג. מסמנים את קדקוד הפרבולה: הקדקוד נמצא על ציר הסימטרייה, ולכן שיעור ה של הקדקוד הוא שיעור ה של כל הנקודות שעל ציר הסימטרייה. כדי למצוא את שיעור ה של הקדקוד מציבים את שיעור ה שלו בביטוי הפונקציה ומוצאים את ערך הביטוי. ד. מוצאים את נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר Y: כדי למצוא את הנקודה מציבים = 0 בביטוי הפונקציה. מסמנים גם את הנקודה הסימטרית לה, בצד השני של ציר הסימטרייה. ה. מסרטטים סקיצה של הפרבולה. נקודת האמצע בין לבין = 2 = -4 היא הנקודה - =. מעבירים דרכה ישר מקביל לציר Y. שיעור ה של הקדקוד הוא - =. מוצאים את שיעור ה של הקדקוד: f(-) = (2 - (-))(- + 4) = 9 שיעורי הקדקוד הם: (9,-) f(0) = (2-0)(0 + 4) = 8 22

23 4 בכל סעיף נתון ביטוי של פונקציה ריבועית. מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר X וסמנו אותן על הצירים. סרטטו את ציר הסימטרייה. מצאו את השיעורים של קדקוד הפרבולה וסמנו את הקדקוד. כתבו אם הקדקוד הוא נקודת המקסימום או נקודת המינימום של הפרבולה. מצאו את נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר Y וסמנו אותה. סמנו גם את הנקודה הסימטרית לה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה. f() = (3 - )( + 5) f() = ( + 5) ה ג א f() = (7-2)( - ) f() = ( - )( + ) ו 5) + 3)( f() = 2( - ד ב f() = -3(8 - ) 5 העתיקו את הטבלה והשלימו כל שורה בהתאם לפונקציה הנתונה. א ביטוי נקודות החיתוך עם ציר X ערך ה של ציר הסימטרייה שיעורי הקדקוד נקודת החיתוך עם ציר Y סקיצה של הפרבולה f() = ( - 3)( + 5) ב ) f() = ( + )(4 + ג ד ה פונקציה ריבועית נקודות פונקציה החיתוך עם ריבועית הצירים; מאפייני חיוביות הפרבולה ושליליות f() = ( - 2) f() = 3( - 2)( + 4) f() = (3-2)( - ) 6 בחרו מבין ארבע הפונקציות הבאות את הפונקציה המתאימה לפרבולה הנתונה. הסבירו את בחירתכם. 2) + 3)( f() = ( + א 2) - 3)( g() = ( + ב 2) + 3)( h() = ( - ג 2) - 3)( p() = ( - ד ד 7 איזו מבין ארבע הפרבולות הבאות מתאימה לפונקציה?k() = ) - (4 הסבירו את בחירתכם. ג ב א 23

24 8 א. לפניכם חמישה ביטויים וארבע פרבולות. התאימו לכל פרבולה את הביטוי שלה. f() = ( - 5)( + 5) g() = ( - 5) 2 h() = ( + 5) 2 k() = ( + 5) m() = ( - 5) ב. סרטטו סקיצה של הפרבולה החסרה ותארו תכונות רבות ככל האפשר של הפרבולה. 9 א. בנו סקיצה של גרף הפונקציה (2 - )(7.h() = ) + תארו תכונות רבות ככל האפשר של הפונקציה.h() ב. בנו סקיצה של גרף הפונקציה (.g() = 2) - תארו תכונות רבות ככל האפשר של הפונקציה.g() 0 לכל פרבולה כתבו ביטויים מתאימים בשתי צורות: בצורת מכפלה n( f)( = ) - m)( - ובצורה.f)( = 2 + b + c ג ב א פונקציה ריבועית נקודות פונקציה החיתוך עם ריבועית הצירים; מאפייני חיוביות הפרבולה ושליליות עלייה וירידה של פונקציה ריבועית א. סרטטו במערכת צירים סקיצה של פרבולה שיורדת בתחום < 3 ועולה בתחום > 3. ב. סרטטו סקיצה של פרבולה אחרת שיורדת בתחום < 3 ועולה בתחום > 3. ג. לכל פרבולה שסרטטתם כתבו אם הקדקוד של הפרבולה הוא נקודת המינימום או נקודת המקסימום שלה. 2 א. סרטטו סקיצה של פרבולה משלכם שיש לה נקודת מינימום. כתבו מהו תחום העלייה של הפונקציה ומהו תחום הירידה שלה. ב. סרטטו סקיצה של פרבולה משלכם שנקודת המקסימום שלה היא )3,7-(. כתבו מהו תחום העלייה של הפונקציה ומהו תחום הירידה שלה. 3 נתונים ייצוג גרפי וייצוג אלגברי של הפונקציה :f() f() = ( + )( + 5) א. האם הפונקציה הנתונה עולה? האם היא יורדת? ב. מהו תחום העלייה של הפונקציה? ג. מהו תחום הירידה של הפונקציה? -3 24

25 תחום העלייה ותחום הירידה של פונקציה בפונקציה 5) + )( f() = ( + שיעור ה של נקודת הקדקוד הוא -3 = > הוא תחום הירידה של הפונקציה. 3- < הוא תחום העלייה של הפונקציה. תחום העלייה תחום הירידה 4 עבור כל פונקציה כתבו את תחום העלייה ואת תחום הירידה שלה. p() פונקציה קווית ה h() פונקציה קווית ג f() פונקציה ריבועית א q() פונקציה קווית ו k() פונקציה ריבועית ד g() פונקציה ריבועית ב בכל סעיף סרטטו את הסקיצה של גרף הפונקציה וכתבו את תחום העלייה ואת תחום הירידה שלה. 5 ) f() = 2( - 3)(8 - א 6) + -( g() = ב h() = - 2 ג בכל סעיף: 6 סרטטו מערכת צירים וסמנו בה את הנקודות האלה: )2,( )8,6( סרטטו גרף שעובר דרך שתי הנקודות לפי האפיונים הנתונים. אם אי אפשר, הסבירו מדוע. ד. הפונקציה יורדת ג. הפונקציה עולה ב. הפונקציה יורדת א. הפונקציה עולה ואחר כך עולה ואחר כך יורדת לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה 5) + )(.f() = 0.5( - 7 היעזרו בביטוי ובגרף וענו: א. מהן נקודות האפס של הפונקציה? ב. מהם שיעורי הקדקוד של הפונקציה? ג. מהו תחום החיוביות של הפונקציה? מהו תחום השליליות? ד. מהו תחום העלייה של הפונקציה? מהו תחום הירידה? פונקציה ריבועית נקודות פונקציה החיתוך עם ריבועית הצירים; מאפייני חיוביות הפרבולה ושליליות 25

26 8 בכל סעיף נתון בצורה גרפית תחום העלייה של פונקציה ריבועית. כתבו את תחום העלייה במילים ובצורה אלגברית. סרטטו סקיצה של פרבולה מתאימה. ה ג א ו ד ב בכל סעיף נתון בצורה גרפית תחום החיוביות או תחום השליליות של פונקציה. כתבו את התחום במילים ובצורה אלגברית. סרטטו סקיצה של פרבולה מתאימה. תחום החיוביות ג תחום השליליות: כל ב תחום החיוביות א פונקציה ריבועית נקודות פונקציה החיתוך עם ריבועית הצירים; מאפייני חיוביות הפרבולה ושליליות 20 סרטטו סקיצה של פרבולה שקודם עולה ואחר כך יורדת, ונקודות האפס שלה הן )0,2( ו ) 0,2-(. מהו תחום השליליות של הפונקציה? מהו תחום החיוביות שלה? 2 א. סרטטו במערכת צירים סקיצה של פרבולה המתאימה לנתונים האלה: הפרבולה חותכת את ציר X בנקודות )0,( ו ) 0,5(. הקדקוד של הפרבולה הוא נקודת מינימום. ב. מהו תחום החיוביות של הפרבולה? מהו תחום השליליות שלה? ג. סרטטו את ציר הסימטרייה של הפרבולה. ד. סמנו את נקודת הקדקוד של הפרבולה וכתבו את שיעוריה. ה. מהו תחום העלייה של הפרבולה? מהו תחום הירידה של הפרבולה? ו. סמנו על הפרבולה שסרטטתם את נקודת הקדקוד, ועוד מספר נקודות בשני הצדדים של ציר הסימטרייה. רשמו בטבלה כמו זו שלפניכם את שיעורי הנקודות שסימנתם. f() ז. כתבו אם יש התאמה בין שיעורי הנקודות שבטבלה לבין: תחום החיוביות תחום השליליות תחום הירידה תחום העלייה. 26

27 ד. הפונקציה הריבועית f() = a 2 + c מה נלמד? פירוק לגורמים לפי נוסחת הפרש הריבועים - חזרה הזזות אנכיות של הפונקציה f() = 2 בניית סקיצה של פונקציה ריבועית הנתונה בצורה h() = 2 + c הקשר בין הפרבולה f() = a 2 לפרבולה. g() = -a 2 פירוק לגורמים לפי נוסחת הפרש הריבועים - חזרה תזכורת נוסחת הפרש הריבועים: m) k 2 - m 2 = (k - m)(k + פונקציה ריבועית הפונקציה הריבועית f() = a 2 + c א. נתון הביטוי. 2-6 פרקו אותו לגורמים - רשמו ביטוי שווה ערך )שקול( בצורת מכפלה של שני גורמים. ב. נתונה הפונקציה הריבועית.f() = 2-6 כתבו את הביטוי של הפונקציה בצורת מכפלה. ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה. ד. כתבו תכונות רבות ככל האפשר של הפונקציה. )השתמשו במושגים: תחום עלייה ותחום ירידה, תחום חיוביות ותחום שליליות, נקודות אפס, נקודת חיתוך עם ציר Y, קדקוד, ציר סימטרייה, מינימום או מקסימום(. 2 בכל סעיף: רשמו את הביטוי של כל פונקציה כמכפלה של שני גורמים. סרטטו סקיצה של הפרבולה המתאימה. רשמו את שיעורי נקודות האפס. רשמו את שיעורי הקדקוד. g() = ה p() = 6-2 ד t() = 2-8 ג k() = 25-2 ב f() = 2-25 א 3 א. כל הביטויים של הפונקציות המופיעות במשימות ו 2 הם בצורה. f() = a 2 + b + c כתבו מהם,a,b c של כל פונקציה. ב. מה משותף לכל הביטויים הללו? )התייחסו ל.(,a,b c ג. מה משותף לכל הגרפים של הפונקציות הללו? )השתמשו במושגים: ציר סימטרייה, קדקוד, נקודות אפס, נקודת חיתוך עם ציר Y.( ד. כתבו דוגמה משלכם לפונקציה מהצורה. f() = 2 - m 2 ה. כתבו תכונות רבות ככל האפשר של הפונקציה שלכם. )השתמשו במושגים: תחום עלייה ותחום ירידה, תחום חיוביות ותחום שליליות, נקודות אפס, נקודת חיתוך עם ציר Y, קדקוד, ציר סימטרייה, מינימום או מקסימום.( 4 פתרו את המשוואה = דיון דיון

28 אפשר לפתור את המשוואה = בדרכים שונות: פתרון על ידי פירוק לגורמים פתרון על ידי פעולה הפוכה 2-00 = 0 / = 00 = -0 = = 0 ( + 0)( - 0) = = 0-0 = 0 = -0 = 0 5 פתרו את המשוואות = = 0-36 = - 2 י ז ד א 70-2 = = = 63 0 = - 2 יא ח ה ב = = 0 8 = 2 יב = ט ו ג 0 = בכל סעיף פתרו את המשוואה וכתבו כמה פתרונות יש לה. = א = 0 2 ב = ג דיון הזזות אנכיות של הפרבולה f() = 2 f() = המשך 7 א. לפניכם סרטוט של הפונקציה f() = 2 וטבלה. העתיקו את הטבלה והשלימו את ערכי הפונקציה f() = 2 בטור המתאים בטבלה. העתיקו את גרף הפונקציה. סרטטו את ציר הסימטרייה של הפונקציה. סמנו את נקודת הקדקוד של הפונקציה ורשמו לידה את שיעוריה. g() = 2-4 ב. השלימו בטבלה את הערכים של הפונקציה.g() = סמנו באותה מערכת צירים את הנקודות של גרף הפונקציה g() ששיעוריהן מופיעים בטבלה. 0 בדקו בטבלה ובגרף: מה הקשר בין נקודות הפונקציה f() לנקודות הפונקציה?g() איך רואים את הקשר הזה בביטויים של שתי הפונקציות? סרטטו את הסקיצה של גרף הפונקציה.g() סרטטו את ציר הסימטרייה של הפונקציה.g() 0 סמנו את נקודת הקדקוד של הפונקציה g() ורשמו לידה את שיעוריה. ג. הוסיפו טור בטבלה עבור פונקציה נוספת:,h() = וסרטטו באותה מערכת צירים סקיצה של הפרבולה המתאימה. מה הקשר בין הגרף של הפונקציה h() לבין הגרף של הפונקציה?f() סרטטו את ציר הסימטרייה של הפונקציה.h() סמנו את נקודת הקדקוד של h() ורשמו לידה את שיעוריה. דיון פונקציה ריבועית הפונקציה הריבועית f() = a 2 + c 28

29 ד. כמה נקודות אפס יש לכל אחת משלוש הפונקציות,f() g() ו?h() מהן? ה. הגרף של הפונקציה g() = 2-4 מתקבל על ידי הזזה של גרף הפונקציה.f() = 2 הסבירו בכמה יחידות ובאיזה כיוון )למעלה או למטה( ההזזה מתבצעת. ו. הגרף של הפונקציה h() = מתקבל על ידי הזזה של גרף הפונקציה.f() = 2 הסבירו בכמה יחידות ובאיזה כיוון )למעלה או למטה( ההזזה מתבצעת. דוגמאות להזזה אנכית של הפרבולה f() = 2 h() = הגרף מתקבל על ידי הזזה של גרף הפונקציה f() = 2 ב 4 יחידות למעלה: g() = 2-4 הגרף מתקבל על ידי הזזה של גרף הפונקציה f() = 2 ב 4 יחידות למטה: f() = 2 פונקציה ריבועית הפונקציה הריבועית f() = a 2 + c בגרף הפונקציה: אין שום נקודת אפס ציר הסימטרייה: ציר Y הקדקוד נמצא על ציר Y ושיעוריו 4(.)0, בגרף הפונקציה: יש שתי נקודות אפס: )2, 0( )-2, 0( ציר הסימטרייה: ציר Y הקדקוד נמצא על ציר Y בגרף הפונקציה: יש נקודת אפס אחת: )0,0( ציר הסימטרייה: ציר Y הקדקוד נמצא על ציר Y ושיעוריו 0(.)0, ושיעוריו -4(.)0, בכל סעיף מופיעה פונקציה שהגרף שלה מתקבל על ידי הזזה של גרף הפרבולה.f() = 2 לכל פונקציה: 8 הסבירו בכמה יחידות ובאיזה כיוון יש להזיז את הפרבולה f() כדי לקבל את גרף הפונקציה הנתונה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה. מצאו את שיעורי הקדקוד של הפונקציה וכתבו אותם בגרף. כתבו כמה נקודות אפס יש לפונקציה. רשמו את שיעוריהן בגרף. g() = 2-9 א h() = ב k() = ג m() = 2-6 ד א. כל הפונקציות המופיעות במשימה הקודמת הן פונקציות מהצורה.f() = 2 + c 9 פרטו מהו c בכל אחת מהפונקציות הללו. ב. כל הפונקציות המופיעות במשימה הקודמת הן פונקציות ריבועיות. כתבו כל פונקציה בצורה.f() = a 2 + b + c ג. השוו בין גרף הפונקציה f() = 2 + c שבה c חיובי לגרף הפונקציה g() = 2 + c שבה c שלילי. )השתמשו במושגים: תחום עלייה ותחום ירידה, תחום חיוביות ותחום שליליות, נקודות אפס, נקודת חיתוך עם ציר Y, ציר סימטרייה, נקודת קדקוד, מינימום או מקסימום.( דיון 29

30 בניית סקיצה של פונקציה ריבועית הנתונה בצורה h() = 2 + c הגרף של הפונקציה h() = 2 + c מתקבל על ידי הזזה אנכית של גרף הפונקציה.f() = המספר c יכול להיות חיובי או שלילי. כאשר < 0 c הגרף מוזז למטה, ולפונקציה יש שתי נקודות אפס )גרף (. כאשר > 0 c הגרף מוזז למעלה, ולפונקציה אין נקודות אפס )גרף 2(. שימו לב: כאשר = 0 c הגרף אינו מוזז, ולפונקציה יש נקודת אפס אחת )גרף 3(. ציר הסימטרייה של גרף הפונקציה h() = 2 + c הוא ציר Y. קדקוד הפרבולה נמצא על ציר Y; שיעורי הקדקוד: )c,0( 0 במסגרת שלמעלה מופיעים שלושה סוגי פונקציות שהביטוי שלהן הוא מהצורה.h() = 2 + c תנו דוגמה לכל סוג: כתבו את הביטוי האלגברי וסרטטו סקיצה מתאימה. בכל סעיף מופיע גרף של פונקציה שהתקבל על ידי הזזה של גרף הפונקציה.f() = 2 לכל פונקציה כתבו את הביטוי האלגברי המתאים. א ב ג א. סרטטו במערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה.f() = 2 2 סרטטו באותה מערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה.k() = חיזוק ב. תארו את ההזזה שאפשר לבצע על גרף הפונקציה f() כך שיתקבל גרף הפונקציה.k() ג. מהי נקודת הקדקוד של הפרבולה?k() = האם היא נקודת מינימום או נקודת מקסימום? ד. האם גרף הפונקציה k() = חותך את ציר X? אם כן - באילו נקודות? אם לא - הסבירו מדוע. ה. האם גרף הפונקציה k() = חותך את ציר Y? אם כן - באילו נקודות? אם לא - הסבירו מדוע. ו. מהו ציר הסימטרייה של גרף הפונקציה?k() = ז. התבוננו בגרף וענו: עבור אילו ערכים של ערכי הפונקציה k() חיוביים? שליליים? 0? לכל פונקציה נתונה: 3 סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה. כתבו תכונות רבות ככל האפשר של גרף הפונקציה. )השתמשו במושגים: תחום עלייה ותחום ירידה, תחום חיוביות ותחום שליליות, נקודות אפס, נקודת חיתוך עם ציר Y, ציר סימטרייה, נקודת קדקוד, מינימום או מקסימום.( g() = 2 - א h() = ב k() = ג פונקציה ריבועית הפונקציה הריבועית f() = a 2 + c 30

31 4 בכל סעיף נתונה משוואה. סרטטו סקיצה של גרף המשוואה וכתבו כמה פתרונות יש לה. פתרו את המשוואה. דוגמה 4 דוגמה 3 דוגמה 2 דוגמה 89 = שני פתרונות: = -5 = 5 64 = פתרון אחד: = 0 9 = אין פתרון 0 = אין פתרון 0 = = ז = ה ג א = 2-25 = = 2-25 ח = ו ד ב 45 = נתונות שתי פונקציות: 9) 2 - ( f() = 2-9 g() = א. איזו פונקציה התקבלה על ידי הזזה אנכית של?h() = 2 ב. מצאו את נקודות האפס ואת הקדקוד של כל אחת מהפרבולות. פונקציה ריבועית הפונקציה הריבועית f() = a 2 + c h() = ג. סרטטו סקיצה של כל אחת מהפרבולות. הקשר בין הפרבולה f() = a 2 לפרבולה g() = -a 2 g() = - 2 h() = 2 נתונות שתי פונקציות ריבועיות: g() = א. העתיקו את הטבלה הנתונה והשלימו את ערכי הפונקציות בטורים המתאימים. ב. לפי הנקודות שבטבלה, סרטטו במערכת צירים אחת סקיצות של שתי הפרבולות. ג. מה הקשר בין הערכים של הפונקציות בכל שורה בטבלה? איך הקשר הזה מתבטא בביטויים של שתי הפונקציות? איך הקשר הזה מתבטא בגרפים של שתי הפונקציות? ד. מהו ציר הסימטרייה של כל אחת מהפרבולות? ה. מהם שיעורי נקודת הקדקוד של כל אחת מהפרבולות? האם היא נקודת מקסימום או נקודת מינימום? דיון ו. הפונקציות h() ו g() הן מהצורה.f() = a 2 פרטו מהו a בכל אחת מהפונקציות האלו. 3

32 7 נתונות שתי פונקציות ריבועיות: g() = -3 2 h() = 3 2 א. העתיקו את הטבלה הנתונה והשלימו את ערכי הפונקציות בטורים המתאימים. ב. לפי הנקודות שבטבלה, סרטטו במערכת צירים אחת סקיצות של שתי הפרבולות. ג. מה הקשר בין הערכים של הפונקציות בכל שורה בטבלה? איך הקשר הזה מתבטא בביטויים של שתי הפונקציות? איך הקשר הזה מתבטא בגרפים של שתי הפונקציות? ד. מהו ציר הסימטרייה של כל אחת מהפרבולות? ה. מהם שיעורי נקודת הקדקוד של כל אחת מהפרבולות? האם היא נקודת מקסימום או נקודת מינימום? ו. הפונקציות h() ו g() הן מהצורה.f() = a 2 פרטו מהו a בכל אחת מהפונקציות האלו. ז. פתרו: h() = = 0 g() = = = = = = = = = = נתונה פונקציה ריבועית מהצורה.f() = a 2 א. כתבו תכונות רבות ככל האפשר של גרף הפונקציה כאשר a הוא מספר חיובי )0 > a(. )התייחסו למושגים: תחום עלייה ותחום ירידה, תחום חיוביות ותחום שליליות, נקודות אפס, נקודת חיתוך עם ציר Y, קדקוד, ציר סימטרייה, מינימום או מקסימום.( ב. כתבו תכונות רבות ככל האפשר של גרף הפונקציה כאשר a הוא מספר שלילי )0 < a(. )התייחסו למושגים: תחום עלייה ותחום ירידה, תחום חיוביות ותחום שליליות, נקודות אפס, נקודת חיתוך עם ציר Y, קדקוד, ציר סימטרייה, מינימום או מקסימום.( בפונקציה ריבועית מהצורה :f() = a 2 אם < 0 a אז: אם > 0 a אז: לפרבולה יש מקסימום בנקודה (0,0). לפרבולה יש מינימום בנקודה (0,0). הערכים של הפונקציה הם שליליים או 0. הערכים של הפונקציה הם חיוביים או 0. g() = -3 2 f() = - 2 h() = g() = 3 2 f() = 2 h() = 3 2 כל פרבולה t() = a 2 היא שיקוף )"תמונת ראי"( של הפרבולה,r() = -a 2 ולהפך. פונקציה ריבועית הפונקציה הריבועית f() = a 2 + c 32

33 9 בכל סעיף סרטטו סקיצה של גרף המשוואה, כתבו כמה פתרונות יש לה ופתרו אותה. 6 2 = = = = = 3 יא ט ז ה ג א 3 2 = = = = = = 3 יב י ח ו ד ב = - 27 פונקציה ריבועית הפונקציה הריבועית f() = a 2 + c 20 א. סרטטו במערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה.f() = - 2 חיזוק סרטטו באותה מערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה.k() = ב. תארו את ההזזה שאפשר לבצע על גרף הפונקציה f() כך שיתקבל גרף הפונקציה.k() ג. מהי נקודת הקדקוד של הפרבולה?k() = האם קדקוד הפרבולה הוא נקודת המינימום או נקודת המקסימום של הפונקציה?k() ד. האם גרף הפונקציה k() = חותך את ציר X? אם כן - באילו נקודות? אם לא - הסבירו מדוע. ה. האם גרף הפונקציה k() = חותך את ציר Y? אם כן - באילו נקודות? אם לא - הסבירו מדוע. ו. מהו ציר הסימטרייה של גרף הפונקציה?k() = ז. התבוננו בגרף וענו: עבור אילו ערכים של ערכי הפונקציה חיוביים? שליליים? 0? ח. סרטטו במערכת צירים אחת את שתי הפונקציות: h() = f() = - 2 ט. ענו על השאלות בסעיפים ב-ז לגבי הפונקציה.h() = י. היעזרו בגרפים ופתרו את המשוואות = = = = = = = = 9 2 א. אורך צלע אחת במלבן גדול פי.6 מאורך הצלע הסמוכה. שטח המלבן הוא 2560 סמ"ר. מהם אורכי הצלעות של המלבן? ב. רוני פתרה את השאלה בעזרת המשוואה = ומצאה שני פתרונות: = 40 ו 40- =. האם צדקה רוני? הסבירו. 22 במשולש כלשהו זווית אחת גדולה פי 2 מזווית אחרת. המכפלה של הגדלים של שתי הזוויות היא מצאו את זוויות המשולש וציינו את סוג המשולש. 33

34 משימה לסיכום 23 א. איך מתקבל הגרף של הפונקציה f() = 2-5 מהגרף של הפונקציה.f() = 2 ב. תארו תכונות רבות ככל האפשר של הפונקציה.h() = 2-6 )התייחסו למושגים: תחום עלייה ותחום ירידה, תחום חיוביות ותחום שליליות, נקודות אפס, נקודת חיתוך עם ציר Y, ציר סימטרייה, קדקוד, מינימום או מקסימום( ג. תארו תכונות רבות ככל האפשר של הפונקציה.h() = ד. קדקוד הפונקציה f() = 2 + c נמצא בנקודה 3(.)0, מהו הערך של?c ה. באיזו נקודה נמצא קדקוד הפונקציה?f() = 4-2 ו. תארו תכונות רבות ככל האפשר של הפונקציה.h() = 6-2 ז. סרטטו סקיצה של גרף המשוואה = -6. כמה פתרונות יש למשוואה? מהם? משימות נוספות 24 בכל סעיף נתונה פונקציה שהגרף שלה מתקבל על ידי הזזה של גרף הפונקציה.f() = 2 בכל סעיף: קבעו בכמה יחידות ובאיזה כיוון יש להזיז את גרף הפונקציה f(( כדי לקבל את הפונקציה הנתונה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה הנתונה. כתבו תכונות רבות ככל האפשר של גרף הפונקציה. )התייחסו למושגים: תחום עלייה ותחום ירידה, תחום חיוביות ותחום שליליות, נקודות אפס, נקודת חיתוך עם ציר Y, ציר סימטרייה, קדקוד, מינימום או מקסימום(. g() = 2 - א 2-49 = 0 g() = 2 + ב = 0 g() = ג -49 = - 2 g() = ד 25 פתרו את המשוואות. י יא ז ח ד ה א = ב = = = 2 0 = + 2 יב = ז ט ו ג 8-2 = = = בכל סעיף סרטטו סקיצה של גרף המשוואה, כתבו כמה פתרונות יש לה ופתרו אותה. ה ג -8 = 2 - א = ב 0 2 = = -0 2 ח ו -000 = 2 0 ד -0. = = = 4 9 פונקציה ריבועית הפונקציה הריבועית f() = a 2 + c 34

35 ה. תרגול נוסף א. סרטטו במערכת צירים סקיצה של הפרבולה ( 2 + ).k() = היעזרו בשלבים האלה: האם הפרבולה חותכת את ציר X? אם כן - באילו נקודות? אם לא - הסבירו מדוע. מהו ציר הסימטרייה של הפרבולה? מהו הקדקוד של הפרבולה? האם קדקוד הפרבולה הוא נקודת המינימום או נקודת המקסימום של הפונקציה? האם הפרבולה חותכת את ציר Y? אם כן - באילו נקודות? אם לא - הסבירו מדוע. ב. התבוננו בגרף שסרטטתם וענו: מהו תחום החיוביות של הפונקציה?k() מהו תחום השליליות שלה? מהו תחום העלייה של הפונקציה?k() מהו תחום הירידה שלה? ג. פתרו )היעזרו בגרף שסרטטתם(: ( + )2 = 0 2 ( + )2 = 3 ( + )2 = 6 4 ( + )2 = 8 5 ( + )2 = ( + )2 = - 2 בכל אחד מהסעיפים 6 - שלפניכם מופיעה פונקציה ריבועית. א. כתבו אם גרף הפונקציה התקבל על ידי הזזה אנכית של h() = 2 או לא. ב. מצאו את נקודות האפס ואת הקדקוד של הפרבולה. ג. סרטטו סקיצה של הפרבולה. ד. פתרו את המשוואה: = 0 g() ה. פתרו את המשוואה: = 36 g() g() = ( - 3)2 3 g() = g() = g() = ( + 5)2 4 g() = ( + 8)( - 8) 6 g() = ( + 3)( + 3) פונקציה ריבועית תרגול נוסף 3 בכל סעיף נתונה פרבולה. כתבו ביטוי שיכול להתאים לה. א ב ג ד (0, -3) (0, 3) (-3, 0) (3, 0) 35

36 4 בכל סעיף סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה וכתבו תכונות רבות ככל האפשר. 6) - 6)( f() = ( - ג 6) - 6)( f() = ( + ב 6) + 6)( f() = ( + א 5 בכל סעיף סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה וכתבו תכונות רבות ככל האפשר. 2) - 5)( f() = ( - ד f() = ( - 5) ג 2) - 5)( f() = ( + ב f() = ( + 5) א א בכל סעיף נתונה פונקציה ריבועית. סרטטו סקיצה של כל פרבולה. היעזרו בשלבים האלה: 6 מצאו את נקודות האפס: פתרו את המשוואה = 0.g() אתגר מצאו את ציר הסימטרייה של הפרבולה. מצאו את קדקוד הפרבולה. מצאו את נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר Y. g() = ( - ) 2-4 ג ) ( g() = ה 3) 2 + ( g() = 25 - g() = 2 + g() = ( + 5) 2-6 ו ד ב g() = בכל סעיף נתונה פרבולה. לכל פרבולה כתבו שני ביטויים מתאימים: 7 ביטוי בצורת מכפלה n).f() = ( - m)( - הרחבה ביטוי בצורה.f() = 2 + b + c דוגמה 2) - ( f() = ביטוי הפונקציה בצורת מכפלה: f() = ביטוי הפונקציה בצורה :a 2 + b + c ב א ג ) (0, 0) (2, א בכל סעיף נתונות נקודות האפס של פרבולה. כתבו ביטוי של פונקציה מתאימה וסרטטו את הסקיצה של הפרבולה. 0( )-9, 0( )-5, ד 0( )7, ג 0) (0, 0) (-3, ב פונקציה ריבועית תרגול נוסף 36

37 9 בכל סעיף חשבו את שטח המשולש ABC שקדקודו C נמצא על ציר הסימטרייה של הפרבולה. היעזרו בשיעורי הנקודות שהן הקדקודים של המשולש. 0 8 A B -64 C f() = ( - 8)( + 8) נקודה A היא ראשית הצירים ושיעוריה הם (0,0)A. נקודה B היא נקודת אפס של הפונקציה ושיעוריה הם (0,8)B. נקודה C היא הקדקוד של הפונקציה ושיעוריה הם (64-,0)C. S = דוגמה ABC הוא משולש ישר זווית. אורך הניצב AB הוא 8 יחידות, ואורך הניצב AC הוא 64 יחידות. לכן שטח המשולש הוא 256 יחידות ריבועיות: = 256 3) - )( f() = ( + א A B ) f() = 2(3 - ב C ) - 7)( f() = ( + ג A B C A B C 0 בכל סעיף כתבו ביטוי של פונקציה ריבועית מתאימה. א. שיעורי נקודת המקסימום הם )0,5(. ב. שיעורי נקודת המקסימום הם )2,0(. ג. שיעורי נקודת המינימום הם )2-,0(. ד. לכל אחד מהסעיפים א-ג כתבו ביטוי של פונקציה מתאימה נוספת. פונקציה ריבועית תרגול נוסף בכל סעיף תארו את מאפייני הפרבולה. התייחסו למושגים: תחום חיוביות ותחום שליליות, נקודות אפס, קדקוד, ציר סימטרייה, מינימום, מקסימום, תחום עלייה ותחום ירידה. א g() = ד k() = 9-2 ז () = 2 י ) ( g() = ב () = -3 2 ה ) 2 p() = (3 - ח 2) + 3)( () = -( + יא f() = ג k() = ו ) 2 - ( p() = ט g() = יב t() =

38 2 סרטטו סקיצה של כל משוואה, כתבו כמה פתרונות יש לה ופתרו אותה = 0-2 = 0 יג - = 2 2) - -( ט ה א (5 - ) = = - -( - 2) 2 = -4 יד = 0 9) - 3)( -( - י ו ב -(7-4)( + 5) = = -7 -( - 2) 2 = = 0 טו יא ז ג 3(24-8) = 0 -( - 2) 2 = -6 -( + ) 2 = = 27 טז יב ח ד 5-2 = -4 3 בכל סעיף כתבו ביטוי של פונקציה היכול להתאים לגרף הנתון. ד ג ב א בכל סעיף )שורה בטבלה( יש נתון מסוים. הוסיפו את החסר: סקיצה ביטוי נקודות האפס שיעורי הקדקוד f() = 2( - 3)( - 7) א ב. (3, 0) (0, 0) (-3, 0) ג. 3) ( f() = ד. ה. לפניכם פונקציות ריבועיות. כתבו כל פונקציה בצורה.a 2 + b + c כתבו מהם.a, b, c 5 f() = 2 + א f() = -2-2 ב f() = ג f() = ד בכל סעיף: 6 כתבו כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה f() עם ציר X. כתבו את שיעורי הנקודות. כתבו כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה f() עם ציר Y. כתבו את שיעורי הנקודות. א 2) + )( f() = (2 - ג ) - )( f() = -9( + ה ) 2 + ( f() = ב 2) ( f() = ד f() = 2-0,000 ו 2) ( f() = פונקציה ריבועית תרגול נוסף 38

39 7 ידוע שלפונקציה יש נקודת מינימום ששיעוריה הם )9-,0(. בכל סעיף ענו והסבירו את תשובתכם. א. איזה מהביטויים הבאים יכול להתאים לפונקציה: f() = ( - 9) 2 2 g() = h() = k() = ( + 9) 2 ב. מצאו את שיעורי הנקודות השייכות לגרף של הפונקציה:?( - )-3,?( - )-,?) - )3,?) - (, ג. מצאו את נקודות האפס של הפונקציה. ד. מהו ציר הסימטרייה של הפונקציה? ה. מהי נקודת החיתוך עם ציר Y? ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה. ז. עבור אילו ערכי הפונקציה עולה? יורדת? ח. עבור אילו ערכי הפונקציה חיובית? שלילית? 8 בכל סעיף נתונה פונקציה בשני ייצוגים: כמה נקודות חיתוך עם ציר X יש לגרף הפונקציה? פתרו את המשוואה = 0.f() מהי נקודת החיתוך של הגרף עם ציר Y? f() = - 2 א f() = 2-6 ב 9 נתונה פונקציה ריבועית ).h() = ( - 3)(4 - חיזוק א. באילו נקודות הגרף של h() חותך את ציר X? מדוע? ב. מהם שיעורי הקדקוד? ג. האם נקודת הקדקוד היא מינימום או מקסימום של הפונקציה? הסבירו. ד. סרטטו סקיצה של הגרף. ה. עבור אילו ערכים של ערכי h() חיוביים? שליליים? 0? ו. עבור אילו ערכים של הפונקציה h() יורדת? עולה? פונקציה ריבועית תרגול נוסף 39

40 20 א. סרטטו במערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה.f() = 2 סרטטו באותה מערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה.k() = 2-4 ב. תארו את ההזזה שאפשר לבצע על גרף הפונקציה f() כך שיתקבל גרף הפונקציה.k() ג. מהי נקודת הקדקוד של הפרבולה?k() = 2-4 האם קדקוד הפרבולה הוא נקודת המינימום או נקודת המקסימום של הפונקציה?k() ד. האם גרף הפונקציה k() = 2-4 חותך את ציר X? אם כן - באילו נקודות? אם לא - הסבירו מדוע. ה. האם גרף הפונקציה k() = 2-4 חותך את ציר Y? אם כן - באילו נקודות? אם לא - הסבירו מדוע. ו. מהו ציר הסימטרייה של גרף הפונקציה?k() = 2-4 ז. התבוננו בגרף וענו: עבור אילו ערכים של ערכי הפונקציה חיוביים? שליליים? 0? ח. היעזרו בגרף ופתרו את המשוואות. 2-4 = = = = 2 2 נתונה פונקציה ריבועית ).g() = ( - 4)(4 - חיזוק א. באילו נקודות הגרף של g() חותך את ציר X? מדוע? ב. מהם שיעורי הקדקוד? ג. האם נקודת הקדקוד היא מינימום או מקסימום של הפונקציה? הסבירו. ד. סרטטו סקיצה של הגרף. ה. עבור אילו ערכים של ערכי g() חיוביים? שליליים? 0? ו. עבור אילו ערכים של הפונקציה g() יורדת? עולה? 22 במשולש שווה שוקיים הגובה ארוך פי שניים מהבסיס. שטח המשולש 25 סמ"ר. מה אורך הבסיס? פונקציה ריבועית תרגול נוסף 23 באוסף מלבנים אורכי הצלעות הם ס"מ ו ) - 4( ס"מ. א. לכל המלבנים יש אותו היקף. מהו? ב. כתבו ביטוי המתאר את שטחי המלבנים. ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה המתארת את שטחי המלבנים. ד. עבור אילו ערכים של הפונקציה מתארת את שטחי המלבנים? ה. מהו הערך של שעבורו ערך הפונקציה הוא מקסימלי? ו. מהו המלבן בעל השטח המקסימלי באוסף? מהם אורכי צלעותיו ומה שטחו? 40

41 תשובות עמ' 2( 4 א. לא פונקציה ב. לא פונקציה ג. פונקציה ד. פונקציה עמ' )4 5 ב, ג, ה )5 ב, ג )6 ד a = -3, b = 2, c = 5 ;f() = ז. + 0 ; f() = 2 + ;f() = ג. a = -3, b = 22, c = -7 ;f() = א. )7 a =, b =, c = 0 a =, b = -3, c = 9 ;f() = ז. a =, b = -6, c = 64 ;f() = ו. a = 25, b = 0, c = - 8( ז. למשל, )0,0( נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים, = 0 (0)h h(), עולה כאשר > 0 ויורדת כאשר < 0, ערכי עמ' 6 הפונקציה h() חיוביים כאשר 0 9( ב. נקודות החיתוך עם ציר X: )0,( ו ) 0,5(; נקודת החיתוך עם ציר Y: )5-,0( ג. ערכי הפונקציה h() שליליים כאשר < וכאשר > 5, חיוביים כאשר < 5,< אפס כאשר = ו 5 = ד. נקודת המקסימום 4( )3, ה. h() יורדת כאשר > 3 ועולה כאשר < 3 )2 א. 0( )0, ב. ציר Y ג. = 9 f(-3) f(- 2 ) = 4, f( 2 ) =, f(0) = 0, f(3) = 9, ד. = 3 = -3, ה. אין פתרון ו. = )2 א. = 3 = -8, ב. = 27 ג. - = = 3, ד. = 0.5 =, ה. -7 = = 0, ו. = 0 ז. = 5 עמ' עמ' 9 ח. -3 = ט. = 3 )3 = 0.5, א. = 5 = -5, ב. אין פתרון ג. = 7 = -7, ד. אין פתרון עמ' )4 0 א. A ב. B ג. 0) A(3, ו ( 6 - B(0, )5 א. A ו C ב. B ג.( 0 C(-8, A(2, 0), B(0, -6), )6 ב. 0) (-, 0), (3, ג. -6) (0, עמ' )7 א. 0) (2, 0), (-7, ב. -4) (0, חיתוך עם ציר X חיתוך עם ציר Y חיתוך עם ציר X חיתוך עם ציר Y עמ' )8 2 א. כן ב. = 2 ; 0) (2, ג. 4) (0, )0 (0, 9) (0, ) (0, -9) (3, 0) (0, -5) א. 0) (5, 0), (-3, ב. ד. ה. אין אין (0, 0) (0, 2) (0, 0) ג. 0) (4, 0), (-3, ו. נקודת אפס אחת g(), p(), r() נקודות האפס (-3, 0), (3, 0) (7, 0) (-3, 0) (-2, 0) אין (4, 0) אין נקודות אפס כלל h() חיתוך עם ציר Y (0, -9) (0, 49) (0, -2) (0, 2) (0, 3) (0, 6) פונקציה ריבועית תשובות שתי נקודות אפס עמ' ( 3 ד. f(), k(), m(), t(), s() ריבועית קווית f() עמ' )3 4 V א. V ב. V ג. V ד. V ה. V ו. 4