משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

תמליל

1 אינטגרל מסוים i שאינו תלוי בחלוקה ] [ ובחירה m. S f סכום אינטגרלי + f + K i lim S כאשר i 0. I f I הגדרה אם קיים נקרא אינטגרל מסוים ומסומן הצבה.[ רציפות ב- ] אז הוא f g g g כאשר f g g כאשר udv uv vdu g g f u du אינטגרציה בחלקים u ו- v גזירות. יישומים של אינטגרל מסוים S של g אז שטח f חישוב השטח של תחום מישורי [ אם f ו- g פונקציות רציפות בקטע [ ] ושלכל [ התחום שמוגבל ע''י העקומה f מלמעלה העקומה g מלמטה והישרים ו-. S f g מהצדדים: u אז שטח v מתקיים [ d ] ושלכל [ אם u ו- v פונקציות רציפות בקטע [d מימין והישרים v משמאל העקומה u של התחום שמוגבל ע''י העקומה S אז ו- t כאשר d. S v u d מלמטה ו- d מלמעלה: t אם תחום מוגבל ע''י העקומה t. S t t dt ϕ אז שטח הגזרה אם הגזרה מוגבלת ע ''י העקומה ϕ ρ ρ וקרניים ϕ. S ρ ϕ dϕ חישוב נפחים בשיטת פרוסות V הנפח של גוף הכלוא בין שני מישורים מקבילים ו-. ב- S מסומן השטח - מסתובב סביב ציר ה [ ] ומעל לקטע f מלמעלה קטע ] [ מלמטה.V π f S החתך של הגוף בנקודה. נפח הגוף המתקבל כאשר התחום שמתחת לעקומה חישוב נפחים בשיטת קליפות נפח הגוף הנוצר כאשר התחום המישורי המוגבל ע''י עקומה f מהצדדים מסתובב סביב ציר ה- והישרים.V π f

2 א ב ב ϕ t + ψ t. L אורך הקשת של העקומה החלקה מעל הקטע ] [ L ρ + ρ אינטגרל לא אמיתי f. L + f שמוגדרת ב- + [ ואינטגרבילית בכל קטע ] [ כאשר. < אם f אם f אם t dt t ϕ t ψ dϕ אם ρϕ ϕ ρ סוג ראשון הגדרה: תהי פונקציה I lim f נאמר שאינטגרל לא אמיתי קיים מתכנס וערכו. I אם הגבול אינו קיים נאמר כי f מתבדר. מתכנס עבור > ומתבדר עבור. מבחני התכנסות משפט. מבחן ההשוואה. נניח ש- f ו- g פונקציות מוגדרות ב- + [ ואינטגרביליות בכל f 0 אז g מתקיים [ קטע סופי ] [ כאשר. < אם עבור כל מ f נובעת התכנסותו של + + g מהתכנסותו של f מהתבדרותו של g נובעת התבדרותו של משפט. מבחן ההשוואה הגבולי. נניח ש- f ו- g פונקציות מוגדרות ב- + [ f ואינטגרביליות בכל קטע סופי ] [ כאשר. < אם קיים במובן רחב lim L אז + g + + g מתכנסים ומתבדרים שניהם ו- f א אם < L < 0 אז האינטגרלים + f מתבדר מתבדר אז g אם L ו f מתכנס. מתכנס אז g ג אם 0 L ו- + + f מתכנס. מתכנס אז f משפט.3 אם משפט 4. מבחן אבל. נניח ש- אינטגרביליות ב- ] [ לכל מתכנס ו- + f אם. > + f g g f מתכנס. אז [ g מונוטונית וחסומה ב- +

3 משפט 5. מבחן דיריכלה. נניח ש- לכל אינטגרביליות ב- ] [ לכל > וקיים > 0 M כך ש- + f g + g lim אז מונוטונית ו- 0 מתכנס f f + f f g g אם. >. + f lim f M f סוג שני אם פונקציה. f lim f ולא חסומה בסביבה של [ רציפה בקטע f +. f + f f אם פונקציה f אם פונקציה f. f lim f רציפה בקטע ] ולא חסומה בסביבה של רציפה בקטע ] [ פרט לנקודה כלשהי שבה f אינסופית אז פונקציות של כמה משתנים נגזרות חלקיות: f + f f + f lim lim 0 0 M ששייכת למשטח: בנקודה F z משוואת מישור משיק למשטח 0 F M + F + F. F M + F + Fz z ו- 0 M z 0 רציפות ב- F F F z כאשר אם דיפרנציאבילית בנקודה z f דיפרנציאביליות: פונקציה z f + + f כך ש- 0 כאשר 0 דיפרנציאל שלם dz + d f + + f קירוב ליניארי + df t t ו- גזירות עבור דיפרנציאבילית בנקודה z f כלל השרשרת: אם t dz d המתאים אז +. dt dt dt u v ו- דיפרנציאביליות בנקודה המתאימה דיפרנציאבילית בנקודה z f אם u v u אז + +. v u u u v v v. F אז z פונקציה סתומה : אם 0

4 r נגזרת מכוונת ו גרדיינט: u ובכיוון של בנקודה z f נגזרת כיוונית של os si וקטור יחידה D f כאשר os + si f u u של.u r u r ובכיוון של z בנקודה u f נגזרת כיוונית של z z z z D f z os + os + osγ f u u. u r וקטור יחידה של osos osγ כאשר. f i + j הוא וקטור בנקודה z f גרדיינט של 0 או לפחות אחת הנגזרות החלקיות היא נקודה שבה או קיצון: נקודה קריטית 0 אינה קיימת. z f אז היא נקודה קריטית. נקודת קיצון מקומי של תנאי הכרחי: אם A f B f C f ו- f תנאי מספיק: נניח ש- 0. AC B היא נקודת מינימום מקומי אם > 0 וגם > 0 A אז היא נקודת מקסימום מקומי אם > 0 וגם < 0 A אז היא נקודת אוכף. אם < 0 אז אם 0 מבחן זה אינו מספק מידע על.. F 0 F 0 F אז 0 F λ f + λg שיטת כופלי לגרנז' עם אילוץ: λ משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון f g משוואה עם משתנים מופרדים d d d f g f f + C. g g f משוואה הומוגנית z z z + z z f z zk + משוואה ליניארית uv u v + uv u v + uv + uv v + v 0K d 0 + או... e e e M תנאי הכרחי ומספיק M פתרון כללי + N משוואה מדויקת 0 d N Φ N או h d + Φ M + g כאשר Φ C

5 משוואות דיפרנציאליות מסדר שני כאשר + ורונסקיאן W פתרון כללי משוואה ליניארית הומוגנית קבועים ו- פתרונות בלתי-תלויים ליניארית של המשוואה. + משוואה הומוגנית עם מקדמים קבועים 0 q + : D לפי הסימן של k ± D 4 k משוואה אופיינית 0 q + k + D D k k k k D > 0 k + k e e e + e 4 4 k k k D 0 k k e e + e D 3 D < 0 k + i k i e os e si 4 e os + si. + משוואה לא הומוגנית עם מקדמים קבועים g + q - אחד מהפתרונות - h פתרון כללי של משוואה הומוגנית ו- h כאשר + פתרון כללי הפרטיים של משוואה לא הומוגנית. שיטת מקדמים לא מוגדרים j g P e Q e m m - P m פולינום ממעלה -Qm m פולינום של אותה מעלה עם מקדמים לא מוגדרים - מספר ממשי אם אינו שורש של המשוואה האופיינית 0 j אם שורש פשוט של המשוואה האופיינית. j שורש כפול של המשוואה האופיינית אם j g e P m os + R si e S os + T si l פולינומים ממעלה - Sl Tl פולינום ממעלה - m פולינום ממעלה - P m m l m{ עם מקדמים לא מוגדרים - מספרים ממשיים. אם אינו + i שורש של } המשוואה האופיינית 0 j אם + i שורש של המשוואה האופיינית j. שיטת וריאציית הפרמטר + כאשר + פתרון כללי של המשוואה - u + u u מהמערכת u - שני פתרונות בלתי-תלויים ליניארית של משוואה הומוגנית. מחשבים u + u 0 u + u. l R l j

6 התמרת לפלס 0 st L{ f t} e f t dt F התמרת לפלאס s f t t t e os t si t e t e si t F s! s s s + s s s + s + s + s + f t t e t t os t t si t F s! s s + s s + s +. L { f t + g t} L{ f t} + L{ g t}. t. L{ e f t} F s. s 3. L { f t} F. 4. L{ f t} sf s f 0 L{ f t} s F s s f 0 s f 0 K f L{ tf t} F s L{ t f t} F s.. L { f t} F s אם L { F s} התמרת לפלאס ההפוכה t f טבלת אינטגרלים יסודיים +. + C.. + l + C C. l 4. si os + C. 5. os si + C. 6. t l os + C. 7. ot l si + C. 8. t + C. os 9. ot + C. 0. si rt + C rsi + C.. l + C. 3. l C. 4. l t + C. + si π 5. l t + + C. os l C rsi.