1 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי II גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון

תמליל

1 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי II גיא סלומון

2 סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפני קורס חשוב זה הספר עוסק בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי )חדו"א ( והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה אוניברסיטאות או מכללות הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד, בהתאם לתוכניות הלימוד השונות הניסיון מלמד כי לתרג ול בקורס זה חשיבות יוצאת דופן, ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר wwwgoolcoil הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה לדוגמאות: wwwgoolcoil/hedvahtml תקוותי היא, שספר זה ישמש מורה-דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה גיא סלומון

3 3 פרק - פונקציות של מספר משתנים, תוכן גבולות ורציפות 4 פרק - נגזרות חלקיות, דיפרנציאבליות 7 פרק - 3 כלל השרשרת לפונקציה של מספר משתנים פרק - 4 נגזרת מכוונת וגרדיאנט פרק - 5 פונקציות סתומות, מערכת של פונקציות סתומות, שימושים גיאומטריים 4 פרק - 6 נוסחת טיילור של פונקציה בשני משתנים, הדיפרנציאל השלם 6 פרק - 7 קיצון של פונקציה בשני משתנים )רמה רגילה( פרק - קיצון של פונקציה של שניים/שלושה משתנים )רמה מתקדמת( פרק - 9 קיצון תחת אילוץ של פונקציה של שני משתנים )כופלי לגרנג'( )כופלי לגרנג'( 4 וחסומה 6 פרק - קיצון תחת אילוצים של פונקציה של שלושה משתנים פרק - קיצון מוחלט של פונקציה רציפה בקבוצה סגורה פרק - אינטגרלים כפולים 7 - שימושי האינטגרל הכפול 3 )פולריות( 33 פרק 3 פרק - 4 אינטגרלים כפולים בקואורדינטות קוטביות פרק - 5 החלפת משתנים באינטגרל כפול )יעקוביאן( 36 פרק - 6 אינטגרלים משולשים ושימושיהם 3 פרק - 7 אינטגרלים משולשים בקואורדינטות גליליות וכדוריות 4 פרק - החלפת משתנים באינטגרל משולש )יקוביאן( 4 פרק - 9 אינטגרלים קויים ושימושיהם )אורך ומסה של עקום, עבודה( 4 פרק - אי תלות במסלול, שדות משמרים 46 פרק - משפט גרין 49 פרק - אינטגרלים משטחיים ושימושיהם 5 )גאוס( 53 גרין במרחב( 55 פרק - 3 משפט הדיברגנץ פרק - 4 משפט סטוקס )משפט נספח נוסחאות - משטחים ממעלה שנייה 6 נספח נוסחאות 64 פרק - 5 האליפסה 7 פרק - 6 הפרבולה 74

4 4 פרק - פונקציות של מספר משתנים, גבולות ורציפות )( עבור כל אחת מהפונקציות הבאות, מצא תחום הגדרה, שרטט אותו ושרטט את מפת קווי הגובה/רמה של הפונקציה )בסעיפים 7 ו- 8 תאר את משטחי הרמה( f (, ) ln ln ( f (, ) ( f f (, ) (4 (, ) (3 f f (, ) (6 (, ) ln( ) (5 f z z f z z (,, ) (8 (,, ) (7 )( חשב את הגבולות הבאים: 3 sin( 6) sin( ) lim ( lim ( 36 (, ) (3,) (, ) (0,0) 3 lim ( )ln( ) (4 lim (3 (, ) (0,0 ) (, ) (,) (, ) (,) (, ) (, ) (,, z) (0,,) (, ) (,) arctan( 3) ln( ) 3 sin( 3) lim (6 lim (5 4 3 lim sin ( z ) (8 lim (7

5 )3( חשב את הגבולות הבאים: ( ) lim ( lim ( 4 3 lim (4 lim (3 3 lim (6 lim ( z sin( ) lim (8 lim (7 z z0 )4( חשב את הגבולות הבאים: 3 lim ( lim ( 4 (, ) (, ) (, ) (0,0) (, ) (0,0) (, ) (0,0) (, ) (0,0) 3 (, ) (0,0) (,, z) (0,0,0) 4 4 sin( ) lim (4 lim (3 sin( ) 3 3 lim (6 lim (5 lim z z (8 lim ln( ) (7 (, ) (0,0) )5( בדוק את רציפות הפונקציות הבאות בנקודה (0,0) במידה והפונקציה אינה רציפה בנקודה, האם ניתן להגדיר אותה כך שתהייה רציפה בנקודה? f (, ) (0,0) sin( ) (, ) (0,0) (, ) ( 3 3 (, ) (0,0) f 0 (, ) (0,0) (, ) (

6 6 פתרונות - פרק 0, 0 ), המישור ללא ציר, הרביע הראשון ללא הצירים 0 ) )(, עיגול היחידה 5( )3 כל המישור )4 6( 0, חצי המישור העליון 7( תה - כל המרחב 8( תה - כל המרחב 5 )8 )7 )3 )4 0 )5 אינסוף )6 ) ) )( )3( בכל הסעיפים אין לפונקציה גבול )4( ) 0 ) 0 )3 0 )4 0 )5 3 )6 0 )7 0 )8 0 )5( ( הפונקציה לא רציפה אם נגדיר f,0) (0 הפונקציה תהיה רציפה ( הפונקציה רציפה

7 7 פרק - נגזרות חלקיות, דיפרנציאבליות )( חשב את הנגזרות החלקיות מסדר ראשון של הפונקציות הבאות: 3 (, ) ( 5 (, ) ln ( 4 5ln onl f f (, ) (3 f f 5 3 f (, ) 3 (4 3 f (, ) (5 f (, ) sin (6 f (, ) arctan( 3 ) (7 f ( r, ) r cos (8 f z 3 (,, ) z (9 uv f ( u, v, t) e sin ut (0 )( חשב את הנגזרות החלקיות מסדר שני של הפונקציות הבאות: f (, ) ( 4 (, ) ln ( f (, ) sin 0 4 (3 f (,, z) z (4 f

8 8 חשב את הנגזרות החלקיות של הפונקציה הבאה בנקודה (0,0) האם הפונקציה רציפה בנקודה (0,0)? האם פונקציה גזירה חלקית היא בהכרח רציפה? ) )3( ) )3 f (, ) (, ) (0,0) 0 (, ) (0,0) )4( בדוק את דיפרנציאביליות הפונקציה משאלה )3( בנקודה (0,0) )5( בדוק את דיפרנציאביליות הפונקציות הבאות בנקודה (0,0) : 3 3 (, ) (0,0) f 0 (, ) (0,0) (, ) ( sin (, ) (0,0) ( f (, ) 0 (, ) (0,0) )6( בדוק את דיפרנציאביליות הפונקציה הבאה בתחום הגדרתה f (, ) e (, ) (0,0) 0 (, ) (0,0) הערת סימון: f f f f f f f f f f (, ) f f f f f f f f f f

9 9 פתרונות - פרק ( () 4 5 ln ( 4 5ln ( (4 f f f cos( ) f cos( ) (6 5 f f f f f f f f 3 f ( 3 ) ( 3 ) f r fr 3 3 fz z f z f z uv uv uv t v u (5 (7 sin cos (8 3 (9 f u e cosut f u e sin ut f e v sin ut t cos ut (0 f f ( () f f 0 f 4 f 4 3 ln 4 ln ( f f f f f f 4 f 00sin 0 4 f 0 cos 0 4 (3 f 6sin 0 4 f 4cos 0 4 f 40sin 0 4 f 40sin 0 4 f f z f 0 f z (4 z f f 0 f z f z z f 0 f f f zz z z z 3 )3( ( הנגזרות החלקיות בנקודה (0,0) שוות אפס ( הפונקציה לא רציפה בנקודה (0,0) 3( פונקציה גזירה חלקית אינה בהכרח רציפה ( דיפרנציאבילית )4( לא דיפרנציאבילית )5( ( לא דיפרנציאבילית )6( דיפרנציאבילית

10 פרק - 3 כלל השרשרת לפונקציה של מספר משתנים * בתרגילים בפרק זה, הנח שכל הנגזרות הרשומות קיימות z, u z חשב v z z z,, t m k u v, u v 3, z ln( ) v t k u t m z e חשב z z 0 u v 4, 4, z z 0 z f הוכח ( ) ) z f ( הוכח )( נתון )( נתון )3( נתון )4( נתון z z z 0 z w w w 0 z u cos u cos cos cos 0 z z z הוכח z f ) z f (, הוכח ) w f (, z, z הוכח ) u sin f (sin sin הוכח z f הוכח ( ) )5( נתון )6( נתון )7( נתון )8( נתון )9( נתון z z z u u zu u z h a h הוכח z f u z f הוכח (,, ), z a) h(, ) f ( a) g( הוכח )0( נתון )( נתון )( נתון f u u u(, ) f ( e sin ) g( e sin ) u u u u sin הוכח: א חשב : ג ב '(0), g'(0) אם ידוע ש- u(, ) )3( נתון

11 rsin, rcos, u f (, ) r u u ur u א הוכח ב הוכח u f cos f cos sin f sin rr f f u u u r r rr r z h( u, v) ג הוכח קושי-רימן, כלומר מקיימות ונתון כי ) u f (, ), v g(, מקיימות את מישוואת u u 0, v v 0 u v, u v הוכח כי: uv, )4( נתון )5( נתון א מקיימות את משוואת לפלס כלומר h h u v huu hvv ב rsinh s, rcosh s, u f (, ) r u u ur us )6( נתון הוכח כי פתרונות - פרק 3 )3( ג e

12 פרק - 4 נגזרת מכוונת וגרדיאנט (3,4) * מומלץ בחום לעיין בנספח הוקטורים שבעמוד 7 f (, ) )( תהי א חשב את הגרדיאנט של f ואת אורכו בנקודה מהי משמעות התוצאה? (3,4) ב הראה שהגרדיאנט הוא נורמל לקו הגובה של f העובר דרך f (, ) 3 )( תהי u 3i4j חשב את הנגזרת המכוונת של f בנקודה (, )בכיוון הוקטור )3( תהי ) f (, ) sin( חשב את הנגזרת המכוונת של f בנקודה ( /,) 3 u i בכיוון הוקטור j בנקודה (,) f (, ) 3 5 f חשב את הנגזרת המכוונת של בכיוון וקטור היחידה, היוצר )4( תהי עם החלק החיובי של ציר f f (, ) זווית של 45 חשב את הנגזרת המכוונת של בנקודה (,3 )בכיוון לנקודה (4,5) )5( תהי f (, ) )6( תהי z חשב את הנגזרת המכוונת של f בנקודה (,,4 )בכיוון הוקטור u i j k, V מצא ln )7( אם הפוטנציאל החשמלי V בנקודה ), ( נתון על ידי את קצב השינוי של הפוטנציאל בנקודה ( 3,4 )בכיוון הנקודה (,6) f (, ) e (cos sin ) 3 f (,, z) 3 z )8( מצא את הכיוון בו הנגזרת המכוונת של הפונקציה בנקודה (0,0) היא מקסימלית וחשב את ערכה )9( מצא את הכיוון בו הנגזרת המכוונת של הפונקציה בנקודה (,,) היא מקסימלית וחשב את ערכה

13 3 f (,, z) 3 5 z )0( אם הטמפרטורה נתונה על ידי ואתה נמצא,, 3 5 בנקודה ללכת? ורוצה להתקרר כמה שיותר מהר, באיזה כיוון עליך i (,0), j(0,) : הערות סימון א במישור R u ij u (, ) ולכן ניתן לסמן וקטור במישור בשתי דרכים : או u (3, 4) u 3i למשל, 4j v i j zk i (,0,0), j (0,,0), k (0,0,) v (,, z) : 3 במרחב R ולכן ניתן לסמן וקטור במרחב בשתי דרכים : למשל, או u (3, 4,5) u 3i 4 j5k u או כך u גם כך u û ב יש המסמנים וקטור ג וקטור יחידה יסומן פתרונות - פרק 4 )( א הגרדיאנט (6,8) אורך הגרדיאנט 0 88/3 )6( 3 3 )5( 75 )4( ½ )3( 48/5 )( )7( 5 )8( / 5 הנגזרת המכוונת מקסימלית בכיוון הוקטור (,) ושווה ל- )9( הנגזרת המכוונת מקסימלית בכיוון הוקטור (-,,4) ושווה ל- )0( בכיוון הוקטור (-,,-)

14 4 פרק - 5 פונקציות סתומות, מערכת של פונקציות סתומות, שימושים גיאומטריים פונקציות סתומות, מערכת של פונקציות סתומות '(0) 5 )( מצא את ' כאשר חשב את e כאשר 54 '() ''( e), '( e) )( מצא את )3( מצא את כאשר ln ln z z(, ) 0 (, z) 0 z (,) מצא (,, ) )4( נתון z e ( )sin z 0 z z חשב את: (0,0) (0,0), z e ( )sin z e 4 z z(, ) 0 z )5( נתון חשב את (0,0) (0,0), 3 z 3z ונקודה 4 3 z z 0 z(,) (3 z(,) ( z(,) (, u v )6( נתון )7( נתונה משוואה u v 3 מצא: מצא את ו- u, v, u, v )8( אם w, w מצא את, u v, u v, w u v 3 3 )9( אם z 0 שימושים גיאומטריים )מישור משיק וישר נורמלי למשטח( z 4 9 )0( נתון משטח המוגדר ע"י הפונקציה 3 מהי משוואת מישור משיק למשטח בנקודה P בה, )( מצא משוואה של מישור משיק למשטח z 8 בנקודה ( (,, משוואה של הישר הפרמטרי הניצב למשטח הנתון בנקודה זו וכן 8 המקביל למישור 7z )( מצא מישור המשיק למשטח 8 8z 0

15 5 )3( למשטח z a מעבירים מישור המשיק בנקודה כלשהי A,B,C בנקודות,, מישור זה חותך את הצירים z בהתאמה נסמן הוכח OA + OB + OC = a O (0,0,0) ( למעשה מוכיחים שסכום הקטעים אינו תלוי בנקודת ההשקה ( פתרונות - פרק 5 '(0) 5 () '() 5 () 6 '( e), ''( e) 3 e e sin z(0,0) z(0,0) (3) (4) (0,0) 0, z(0,0) 4 e (5) z (,) 6 (6) z (,) z (,), z (,) 4 (7) v 4v u 3 4u u, u, v, v (8) 8uv 8uv 8uv 8uv w 3 uv, w 5( u v) (9) 3 6 z8 0 (0) z 6 0, (,, ) t(,,) () 8 8z, 8 8z ()

16 6 פרק - 6 נוסחת טיילור של פונקציה בשני משתנים, הדיפרנציאל השלם : ab, נוסחת טיילור פתח את הפונקציות הבאות לטור טיילור עד סדר שני סביב הנקודה a b f, (,) (, ) 3 () a, b (0,0) f (, ) ( )ln( ) () 4 a, b (0,0) f (, ) e (3), (,) f (, ) 3 (4) a b )5( בעזרת התוצאה של תרגיל, חשב בקירוב את ln(5) e 3 3 )6( בעזרת התוצאה של תרגיל, 3 חשב בקירוב את )7( בעזרת התוצאה של תרגיל, 4 חשב בקירוב את הדיפרנציאל השלם )8( מחשבים את הנפח של גליל על סמך תוצאות המדידה של רדיוסו וגובהו ידוע שהשגיאה היחסית במדידת הרדיוס אינה עולה על, % ושהשגיאה היחסית במדידת הגובה אינה עולה על 4% הערך את השגיאה היחסית המקסימלית האפשרית בנפח המחושב a0, b4 cm cm )9( נתונות שתי צלעות במלבן : חשב את השינוי המדוייק ואת השינוי המקורב )בעזרת דיפרנציאל( של אורך mm אלכסון המלבן אם את הצלע a יאריכו ב- 4 mm ואת הצלע b יקצרו ב- )0( מודדים את האורך של תיבה, את רוחבה ואת גובהה השגיאה היחסית בכל מדידה אינה עולה על 5% הערך את השגיאה היחסית המקסימלית האפשרית באורך של אלכסון התיבה, המחושב לפי תוצאות המדידה 4 )( בעזרת הדיפרנציאל השלם,מצא בקירוב את הערך של (099) 509

17 7 פתרונות - פרק 6 f (, ) 6 4( ) 4( ) ( ) ( )( ) () 3 f f (, ) () (, ) 4 4 (3) 7 f (, ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) (4) (5) 9 (6) (7) 8% (8) )9( שינוי מדויק, שינוי מקורב % )0( )(

18 8 פרק - 7 קיצון של פונקציה בשני משתנים )רמה רגילה( עבור כל אחת מהפונקציות הבאות מצא נקודות קריטיות וסווג אותן למקסימום, מינימום או אוכף f 3 (, ) () f 3 3 (, ) 3 0 () f 3 3 (, ) 3 4 (3) f 3 4 (, ) 3 (4) f 4 (, ) e (5) f (, ) 6 (6) 8 f (, ) (7) f (, ) e cos (8) 3 3 z 3 )9( נתון משטח 4 מצא את משוואות המישורים המשיקים האופקיים למשטח )0( מבין כל התיבות הפתוחות שנפחן 3 סמ"ק, חשב את ממדי התיבה ששטח z 0 הפנים שלה הוא מינימלי )( מצא את המרחק הקצר ביותר מהנקודה(,,3 ) למישור וכן את הנקודה על המישור הקרובה ביותר לנקודה הנ"ל )( יצרן מוכר מחשבונים, בארץ ובסין עלות הייצור של מחשבון בארץ היא 6$ ועלות ייצור מחשבון בסין היא 8$ מנהל השיווק עומד את הביקוש Q למחשבון בארץ ואת הביקוש Q למחשבון בסין על ידי: Q 6 30P 0P Q 44 6P 4P, P על מנת למקסם P ו- כיצד צריכה החנות לקבוע את מחירי המחשבונים, את הרווח? מהו רווח זה?

19 9 פתרונות - פרק 7 )( (-05,) אוכף ; (5,-3) מינימום )( ) (, מינימום ; (-,-) מקסימום ; ) (-,, (,-) אוכף )3( (0,0) אוכף ; (,) מינימום )4( ) (-,, -) (-, מינימום ; 0) (, מקסימום ; 0) (-,, (,), -) (, אוכף )5( ) (0, מקסימום )6( 4) (4, מקסימום )7( (4,05-) מקסימום )8( אין נקודות קריטיות, גובה ס"מ, אורך 4 ס"מ ס"מ )0( רוחב 4 z = 3, z = 4 )9( )( מרחק מינימלי הוא יחידות אורך נקודה קרובה ביותר (/3,4/3,0/3) )( =$, P =0$, P רווח מקסימלי 88$

20 פרק - קיצון של פונקציה של שניים/שלושה משתנים )רמה מתקדמת( שיטת מינימום הריבועים הפחותים מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות: f (, ) () f (, ) 4 () 3 ( z f (, )) z z 0 (3) f 3 3 (, ) (4) z (,, z 0) f (,, z) (5) 4 z )6( מצא מרחק מינימלי בין הפרבולה לפרבולה * לפתרון תרגיל זה נדרש יידע בפתרון נומרי )מקורב( של משוואה כגון שיטת ניוטון רפסון שיטת הריבועים הפחותים (, ),(, ),,(, ) n )7( נתונות n נקודות: n h() בכל אחד מהסעיפים הבאים, מצא קו עקום מהצורה כך שסכום ריבועי המרחקים האנכיים בין העקום והנקודות יהיה מינימלי: ), h( הדגם עבור הנק' (,5),(,08),(3,3),(4,35) a b (,),(,0),(0, ) הדגם עבור הנק', h( ) a b b ), h( הדגם עבור הנק' (0,0),(6,9),(4,85),(05,4) a b ), h( הדגם עבור הנק'( 45),(0,90 3),(, (4,33),(,85),(05, a (, 45),(05, 3),(0, 08),(, 0),( 05, הדגם עבור הנק'( 0, h( ) a b c

21 )8( נתונות n נקודות: n) (, ),(, ),,( n, מצא ישר a b כך שסכום ריבועי המרחקים האנכיים בין הישר והנקודות יהיה מינימלי עליך להגיע לנוסחה מפורשת עבור a ו- b הערה: בשאלות )7( ו- )8( ניתן להניח ש- a ו- b המתקבלים מפתרון המשוואות fa נותנים את המינימום המוחלט של פונקציית ריבועי 0, fb 0 המרחקים האנכיים n i f ( a, b) h( ) i i פתרונות - פרק )( (t,t) לכל t ממשי, מקסימום )3( אין קיצון (,) אוכף )5( (05,,) מינימום ) 7 א( ) 7 ג( ) 7 ה( 084 )( (0,0) מקסימום )4( אין קיצון (,) אוכף 0375 )6( 4 ) 7 ב( ) 7 ד( a n n n n n n n n i i i i i i i i i, b i i i i i i i n n n n n n i i i i i i i i )8(

22 פרק - 9 קיצון תחת אילוץ של פונקציה של שני משתנים )כופלי לגרנג'( פונקציות של שני משתנים מצא את המקסימום והמינימום של הפונקציות הבאות בכפוף לאילוץ הנתון: f (, ) ; 3 () f (, ) ; () f (, ) 4 6 ; 3 (3) f (, ) ; 6 (4) 3 )5( נתונה בעיית הקיצון Ma s t א פתור את הבעיה ב הבא פתרון גרפי לבעייה )6( נתונה בעיית הקיצון Ma s t 9 א פתור את הבעיה ב הבא פתרון גרפי לבעייה )7( מבין כל הנקודות הנמצאות על הישר 3 שיעוריה מקסימלי, מצא את זו שמכפלת )8( מבין כל הנקודות שעל העקומה 3 מצא את הנקודות שמרחקיהן מראשית הצירים הוא מינימלי ואת הנקודות שמרחקן מראשית הצירים הוא מקסימלי )9( מצא את המרחק הקצר ביותר מהישר לפרבולה 4 0 a0 b0 c רמז: מרחק הנקודה 0) ( 0, מהישר a b c 0 הוא a b )0( מוישלה קונה בשוק ק"ג מלפפונים ו- ק"ג עגבניות התועלת מצריכת הסל u(, ) ln ln נתונה על ידי (, ) מחיר ק"ג מלפפונים ש"ח מחיר ק"ג עגבניות ש"ח מוישלה קובע לעצמו להשיג רמת תועלת ln6 והוא מעוניין להשיג זאת בעלות מינימאלית נסח ופתור את בעיית מוישלה )( דני קונה בשוק ק"ג מלפפונים ו- ק"ג עגבניות התועלת מצריכת הסל u(, ) נתונה על ידי (, ) מחיר ק"ג מלפפונים ש"ח מחיר ק"ג עגבניות 3 ש"ח לדני תקציב של ש"ח נסח ופתור את בעיית דני

23 3 )( עקומת התמורה בין מנגו X ואננס Y היא 3 לדני תועלת f (, ) 4 6 דני מחפש את הסל )אננס,מנגו( = ), (, על עקומת התמורה, המביא למקסימום את התועלת שלו מצריכת מנגו ואננס נסח ופתור את הבעייה )3( לייצרן פונקציית ייצור Q k L המחירים ליחידת K ו- L הם PK היצרן נמצא ברמת תפוקה 00 והוא מחפש את הצירוף, PL * * (L ( K, המביא למינימום את העלות נסח את בעיית היצרן )אל תפתור( Ma Ma Ma פתרונות - פרק 9 Ma 0, min, 0 (), min / 7, / 7 () Ma Ma Ma, min, (4), 3 min, 3 (3) 9, 36 (6) 6, (5) 3 8, min / 7, / 7 (8) 6, (7) min, (0) 7 / 45 (9) Ma Ma K L K L, 3 () 6, () min ; 00 (3)

24 4 פרק - קיצון תחת אילוצים של פונקציה של שלושה משתנים )כופלי פונקציות של שלושה משתנים תחת אילוץ לגרנג'( )( מבין כל התיבות הפתוחות שנפחן 3 סמ"ק, חשב את ממדי התיבה ששטח הפנים שלה הוא מינימלי )( מצא על פני הכדור z 36 את הנקודות הקרובות ביותר לנקודה (,,) ואת הנקודות הרחוקות ביותר מהנקודה (,,) )3( א מצא את המרחק הקצר ביותר מהנקודה(,,3 ) ב מצא נק' על המישור למישור z 0 z 0 שהיא הקרובה ביותר לנק'(,,3 ) ג בדוק תשובתך ע"י חישוב המרחק בעזרת הנוסחה למרחק בין נקודה למישור )4( מצא את הנקודות על המשטח z הקרובות ביותר לראשית )5( מצא את המרחק הגדול ביותר והקטן ביותר מהאליפסואיד z 96 למישור 3 4 z 88 a b cz d 0 ( 0, 0, z0 ) רמז: מרחק הנקודה מהמישור הוא a b cz d a b c פונקציות של שלושה משתנים תחת אילוצים )6( מצא מרחק מינימלי ומקסימלי בין העקום המתקבל מחיתוך הגליל והמישור z לבין ראשית הצירים )7( מצא מרחק מינימלי ומקסימלי בין העקום המתקבל מחיתוך האליפסואיד z והמישור z לבין ראשית הצירים הערה חשובה בפתרון מרבית התרגילים בפרק זה, אנו מסיקים שנקודה קריטית היא נקודת קיצון משיקולים פיסיקליים או גיאומטריים היות ומדובר בבעיות מעשיות ישנן דרכים מתמטיות מתקדמות להוכיח פורמלית, אך מאחר ולא נהוג ללמד אותן ברוב מוסדות הלימוד, הסתפקנו בכך

25 5 פתרונות - פרק (,, ) , גובה ס"מ, אורך 4 ס"מ ס"מ )( רוחב 4 )( הנקודה הקרובה ביותר היא הנקודה (,4,4) הנקודה הרחוקה ביותר היא הנקודה (4 (,,4 )3( מרחק מינימלי הוא יחידות אורך נקודה קרובה ביותר מרחק ארוך ביותר (0,0,), (0,0, ) )4( )5( מרחק קצר ביותר )6( מרחק מינימלי מרחק מקסימלי 3 מרחק מקסימלי 0 )7( מרחק מינימלי 75 7

26 6 פרק - קיצון מוחלט של פונקציה רציפה בקבוצה סגורה וחסומה )( חשב את המקסימום המוחלט ואת המינימום המוחלט של בתחום, R כאשר R הוא התחום הסגור, בצורת (0,5),(3,0),(0,0) f (, ) משולש שקודקודיו הם: )( חשב את המקסימום המוחלט ואת המינימום המוחלט של בתחום, R כאשר R הוא התחום הסגור, בצורת 4 (,0),(,),(0,),(0,0) f (, ) 3 6 ריבוע שקודקודיו הם )3( חשב את המקסימום המוחלט ואת המינימום המוחלט של בתחום, R כאשר R הוא העיגול f (, ) )4( חשב את המקסימום המוחלט ואת המינימום המוחלט של בתחום, R כאשר R הוא התחום הסגור, f (, ) R (, ) 3, 0, 0 )5( חשב את המקסימום המוחלט ואת המינימום המוחלט של בתחום, R כאשר R הוא התחום הסגור, f (, ) 6 R (, ), 3 פתרונות - פרק )( מקסימום מוחלט 7 מינימום מוחלט - 4 )( מקסימום מוחלט 3 מינימום מוחלט - מינימום מוחלט )3( מקסימום מוחלט 33 4 )4( מקסימום מוחלט 6 מינימום מוחלט - 6 מינימום מוחלט 0 6 )5( מקסימום מוחלט 0

27 7 פרק - אינטגרלים כפולים a )( חשב את האינטגרלים: d r sin dr (3 dd ( ( ) dd ( הצב את הגבולות בשני סדרי האינטגרציה כאשר : D f (, ) )( באינטגרל dd B(,), A(,0), O(0,0) משולש בעל הקודקודים: D ) B(,), A(,), O(0,0) משולש בעל הקודקודים: D ) C( 0,), B(, ), A(,0), O(0,0) טרפז בעל הקודקודים: D )3 עיגול D )4 D עיגול D (, ), D (, ) 4 )5 )6 )7 )3( החלף סדר אינטגרציה באינטגרלים הבאים: f (, ) dd (3 f (, ) dd ( f (, ) dd ( e ln f (, ) dd (6 f (, ) dd (5 f (, ) dd (4 0

28 8 והישר 4 )4( חשב את האינטגרלים הבאים: ) dd כאשר D חסום ע''י הפרבולה D כאשר D חסום ע''י צירי הקואורדינטות והקשת הקצרה D dd ) 4 של המעגל בעל רדיוס שמרכזו בנקודה(, ) כאשר D עיגול בעל הרדיוס a שמרכזו בראשית ( a0) 3 a, a, a,, 0,, D D dd )3 ( ) dd )4 כאשר D מקבילית בעלת הצלעות כאשר D התחום הכלוא בין D cos )5 da )5( חשב את האינטגרלים הבאים ( רמז: שנה את סדר האינטגרציה (: ( ) dd ( e dd ( /3 4 4 sin( ) dd (4 (, 0) e dd (3 0 0

29 9 הערות סימון: b h( ) b h( ) f (, ) da f (, ) dd f (, ) dd d f (, ) d D D a g ( ) a g ( ) d v( ) d v( ) f (, ) da f (, ) dd f (, ) dd d f (, ) d D D c u( ) c u( ) לתשומם לבכם, ישנם מרצים שלא מקפידים, ורושמים למשל את האינטגרל רישום זה אינו שגוי מאחר שכפל b h( ) a g( ) f (, ) כך dd b h( ) a g( ) f (, ) dd הוא חילופי כלומר הרישום dd והרישום dd הוא זהה

30 3 פתרונות - פרק (3 ( ( () 3 a d f (, ) d d f (, ) d ( () d f (, ) d d f (, ) d d f (, ) d ( 0 / / 0 d f (, ) d d f (, ) d d f (, ) d ( d f (, ) d d f (, ) d (4 / 4 d f (, ) d d f (, ) d (5 / 0 4 d f (, ) d d f (, ) d ( d f (, ) d d f (, ) d d f (, ) d d 4 f (, ) d ( d f (, ) d d f (, ) d d f (, ) d d f (, ) d d f (, ) d d f (, ) d ( d f (, ) d d f (, ) d ( (3) 0 0 / 3 0 d f (, ) d d f (, ) d (4 d f (, ) d (3 0 0 / e d f (, ) d (6 d f (, ) d (5 0 e 0 a (5 4 a (4 (3 8 ( ( (4) ( cos6) (4 ( e ) (3 ( e ( (5)

31 3 פרק - 3 שימושי האינטגרל הכפול )( חשב את שטחי התחומים החסומים ע''י העקומים הבאים : 5 ( a 0) a, a (, 4 4 ( 3, 4 (4 9, 9 9 (3 )( חשב את נפחי הגופים החסומים ע''י המשטחים הבאים : z, z 0,, 0, 0 ( z z 0,,, ( z z ( 0) z 0, z, 05,, (3 0,, (4 ( z 0), z (5 z, z 6, 0, 0, z 0 (6 )3( ללוח דק בצורת משולש, שקודקודיו הם )0,0(, ),0( ו- )0,(, יש פונקציית (, ) צפיפות ( חשב את מסת הלוח ( חשב את מרכז הכובד של הלוח, R (, ), יש פונקציית z b b a a )4( ללוח דק בצורת מלבן צפיפות קבועה )הלוח הומוגני( חשב את מומנט ההתמד של הלוח סביב ציר בטא את תשובתך באמצעות המסה M של הלוח z )5( מצא את שטח הפנים של חלק הגליל 4 הנמצא מעל למלבן שבמישור R (, ) 0, 0 4

32 3 פתרונות - פרק 3 (4 3 (3 a ln ( ( () (6 (5 6 (4 (3 ( ( () (, ) ( ( (3) M ( a b ) (4) (5 5 ) (5)

33 33 פרק - 4 אינטגרלים כפולים בקואורדינטות קוטביות )פולריות( חשב D da כאשר D התחום המתואר בשרטוט לתשומת לבך: לכל המעגלים רדיוס 4 בסעיף ד למעגל הקטן רדיוס בסעיף ט אל תחשב את האינטגרל המתקבל לאחר המעבר לקואורדינטות קוטביות )( א ב ג דא ה ו ז ח ט

34 34 )( חשב את האינטגרלים הבאים תוך מעבר לקואורדינטות קוטביות: a a dd ( dd ( ( ) dd (4 ( ) dd (3 ( ) dd (6 dd (5 a a 6 dd (8 dd ( dd (0 dd (9 ln ( ) 0 ( ) 0 0 ln ( ) 0 e dd ( e dd ( dd (4 dd (3 dd (6 ln( ) dd (5 ( ) )3( בכל אחד מהסעיפים הבאים חשב את נפח הגוף המתואר: ) הגוף הכלוא בין פני הכדור z 9 לבין הגליל z ( הגוף הכלוא בתוך הגליל בין החרוט מלמעלה לבין מישור - מלמטה z 3( הגוף הכלוא בתוך הגליל מלמעלה לבין מישור - מלמטה בין הפרבולואיד )4( חשב את שטח התחום החסום על ידי:, 0, 3

35 35 פתרונות - פרק (6 (5 4 (4 (3 ( ( () (8 ( (6 a (5 (4 (3 ( ( () ( e) 4 e 4 ( ln ( (4 ) (0 ln (9 (8 36 (7 4e e (6 ln (5 (4 (3 e (08 64 ) (3 ( ( (3) (4)

36 36 פרק - 5 החלפת משתנים באינטגרל כפול )יעקוביאן( R da )( חשב את האינטגרל הכפול התחום המוגבל על ידי הישרים כאשר R הוא 3,,, e da R )( חשב את האינטגרל הכפול כאשר R הוא התחום המוגבל על ידי הפונקציות, 05,, R sin ( )cos ( ) da )3( חשב את האינטגרל הכפול התחום בצורת משולש שקודקודיו הם: כאשר R הוא A(0,0), B(,0), C(,) R (4 8 ) )4( חשב את האינטגרל הכפול da התחום בצורת מקבילית שקודקודיה הם: כאשר R הוא A(-,3), B(,-3), C(3,-), D(,5) R 6 )5( חשב את האינטגרל הכפול 9 da כאשר R הוא 9 6 התחום הכלוא בתוך האליפסה da R )6( חשב את האינטגרל הכפול כאשר R הוא התחום המוגבל על ידי העקומות,,, R (, ) R e )7( חשב את האינטגרל הכפול da כאשר

37 37 פתרונות - פרק e (7) (6) e 4 96 (5) 9 (4) sin (3) ( e e)ln () ln 3 ()

38 38 פרק - 6 אינטגרלים משולשים ושימושיהם )( חשב את האינטגרלים הבאים: z 0 0 0,, 0,, 0 3, (3 B 6 zdddz ( ze ddzd ( B,, z 0, 0,0 z, 6 dv (4 z z B z z z dv B )( חשב את האינטגרלים הבאים על ידי שינוי סדר אינטגרציה: ln3 0 3 z 0 4 4cos( ) e z z dddz ( ze dddz ( sin (3 dddz sin z ddzd (4 4 z )3( חשב את נפחי הגופים החסומים ע''י המשטחים הבאים : z, z 0,, 0, 0 ( z z 0,,, ( z z 0,, (4 4 4 ( z 0), z (5 4 z, z 6, 0, 0, z 0 (6 ( 0) z 0, z, 05,, (3

39 39 )4( חשב את המסה ואת מרכז הכובד של גליל שגובהו h ורדיוס הבסיס שלו r הנח שהצפיפות בכל נקודה פרופורציונית למרחק הנקודה מבסיס הגליל, ( k 0) (,, z) כלומר, פונקציית הצפיפות היא מהצורה kz )5( חשב את מומנט ההתמד של התיבה ההומוגנית )פונקציית צפיפות קבועה( z סביב ציר V (,, z) 0 a, 0 b, 0 z c בטא את תשובתך באמצעות המסה M של התיבה פתרונות - פרק (4 (3 ( e ) ( ( () sin 4 (4 4 (3 3 e 6 ( sin 4 ( () 36 ( (5 6 5 (4 (3 ( ( (3) h 3 M a 3 (,, z ) (0,0, ) M kh r (4) ( b ) (5)

40 4 פרק - 7 אינטגרלים משולשים בקואורדינטות גליליות וכדוריות )( חשב dzdd 0 ( ) )( חשב dzdd )3( א( חשב dzdd ב( חשב z z dzdd )4( גוף כלוא בגליל 9 בין מישור- מלמטה לבין מחצית פני הכדור z 5 מלמעלה חשב את הנפח של הגוף ואת המרכז שלו )5( חשב את הנפח ואת המרכז של גוף החסום על ידי פני הכדור z 6 מלמעלה ועל ידי החרוט z מלמטה )6( מצא את הנפח של התחום מעל מישור- a והגליל z החסום על ידי הפרבולואיד פתרונות - פרק ב( )3( א( 3 )( 4 )( (,, z ) (0,0,07 / 488), V )4( 3 64 (,, z ) (0,0,5 / ( )), V ( ) 3 4 a )5( )6(

41 4 פרק - החלפת משתנים באינטגרל משולש )יקוביאן( G )( חשב את ( z ) dv כאשר G הוא הגוף המוגבל על ידי המשטחים z a b c 4,, z, z, 3, z a b c )( חשב את הנפח של האליפסואיד )3( חשב את dv כאשר G הוא האליפסואיד G )4( חשב את נפח התחום המוגבל על ידי המשטחים 4,, 4, 4,, z z z z G ( ) ( ) ( 4) )5( חשב את z dv בנקודה (,,4) ורדיוסו כאשר G הוא הכדור שמרכזו פתרונות - פרק ln3 4 3 abc )( )( a bc )3( )4( 05 3 ( )5

42 4 פרק - 9 אינטגרלים קויים ושימושיהם )אורך ומסה של עקום, עבודה( * מומלץ בחום לעיין בנספח "הצגות פרמטריות של עקומים חשובים" שבעמ' 7 A(,) C אינטגרל קוי מסוג I f (, ) )( חשב ds C : cos t, sin t, 0 t ; f (, ) א C: t sin t, cos t, 0 t f (, ) O(0,0) C ; ב f (, ) ג קטע של ישר המחבר את עם O(0,0), A(0,), B(,0) : OAB C ; f (, ) ד היקפו של C f (,, z) )( חשב ds C : cos t, sin t, z t 0 t ; f (,, z) z 3 C 3 3 : t, t, z t 0 t 3 ; f (,, z ) 3 z /3 /3 א ב )3( חשב את אורך העקום cos t, sin t, z t (0 t ) ( k 0) (,, z) kz )4( סליל עשוי תיל דק מיוצג על ידי חשב את מסת הסליל אם פונקציית הצפיפות היא אינטגרל קווי מסוג II )5( חשב: C t t t d d : cos, sin 0 / ; ( ) C C t t t d d :, 0 ; ( ) ( ) C א ב (,4) (0,0) כאשר C המסלול מנקודה לנקודה א ב d C )6( חשב d ו- C נתון ע"י המשוואה:

43 43 אם העקום נתון על ידי : (4,) (,) ( ) d ( ) d )7( חשב א הפרבולה ב קו ישר ג הקוים הישרים מ- ),( ל- ),( ומשם ל- )4,( ד העקום: t t, t כאשר המסלול C מתואר בציור: d C )8( חשב d כאשר המסלול C מתואר בציור: ( ) C )9( חשב d d F(,, z) 3 6z i 3z j 4z k C חשב את האינטגרל הקווי F dr מ-( 0,0,0 ) ל-(,, ) לאורך המסלולים: (0,0,0) ל- (0,0,), משם ל- (0,,) ומשם ל- (,,) (0,0,0) t, t, z t 3 )0( אם א ב הקוים הישרים מ- ג הישר המחבר את ו- (,,)

44 44 עד(,4 ), כאשר: C F dr )( חשב את האינטגרל הקווי 3 3 א F(, ),, r( t) t, t, 0 t 3 ב F(,, z) sin,cos, z, r( t) t, t, t, 0 t 3 F(, ) i ( ) j (,) מ-,4) ( )( א חשב את העבודה שמבצע שדה הכוח על חלקיק שנע על הפרבולה עד ב כיצד הייתה משתנה תשובתך אילו החלקיק היה נע מ-(, ) F(,, z) zi zj )3( חשב את העבודה שמבצע שדה הכוח k r i j k 3 על חלקיק הנע לאורך העיקול ) ( t) t t t (0 t הערת סימון אינטגרל קוי מסוג II בסימונים שונים בספרות המקצועית:,,,, F dr f g h d d dz fd gd hdz C C C,,,, A dr A A A d d dz A d A d A dz 3 3 C C C

45 45 פתרונות - פרק 9 5 ( ) ג ב ד )( א 567 ב ( ) 3 )( א 6 )3( 3 3 ג ב ב ד 6 5 ב ג ב 3-5k )4( )5( א )6( א )7( א 4 5 )8( )9( )0( א 6 59 )( א ב sin cos 5 05 )( א 3 ב -3 )3(

46 46 פרק - אי תלות במסלול, שדות משמרים א )( קבע האם F הוא שדה משמר אם כן, מצא פונקציה כך ש- F F(, ) 65,5 4 F(, ) e i e j F(, ) cos cos, sin sin F(,, z) z i e jzk ב ג ד F(,, z) zi zj ( 3 z ) k F(,, z) z, z, ה ו (3,4) 3 )( נתון האינטגרל (6 ) d (6 3 ) d (,) (3,4) א הוכח שהאינטגרל אינו תלוי במסלול המחבר את (,) ו- ב חשב את האינטגרל בשתי דרכים שונות (,) (,0) (3,) 3 ( 3 ) (,4) d d ( 4 ) d d )3( חשב את האינטגרל )4( חשב את האינטגרל F(, ) e i e מצא את העבודה שמבצע השדה על חלקיק הנע j (,, ) (,,) ל-,0) ( z d z d z dz מ- (,0) )5( יהי על )6( חשב את האינטגרל תן מובן פיסיקאלי לתוצאה

47 47 ונתונים 3 מסלולים : F i j )7( נתון שדה וקטורי L : בכיוון החיובי )נגד כיוון השעון( בכיוון השלילי )עם כוון השעון( בכיוון החיובי )נגד כיוון השעון( א L3 Fdr D L Fdr L : L : ( 0) ( 7) L חשב: Fdr ב ג )8( נתון שדה וקטורי F i j ונתונים מסלולים מ- (,0) ל- (,0 ): L : 4, 0 L : 4, 0 (, ) 9, 0 3 L Fdr, L Fdr F א ב הערת סימון חשב: הוכח כי משמר בחצי הטבעת F(,, z) f (,, z) i g(,, z) j h(,, z) k F(,, z) f (,, z), g(,, z), h(,, z) F(,, z) f (,, z) ˆ g(,, z) ˆ h(,, z) zˆ A A i A j A k שדה וקטורי בסימונים שונים בספרות המקצועית :

48 48 פתרונות - פרק (, ) 3 5 ב השדה אינו משמר )( א (,, ) z z e (, ) cos sin ד ג (z ),, ו השדה אינו משמר z z 3 ה )( ב )3( 5 )4( - )5( )6( 5 = עבודה שנעשית בהזזת גוף מ- (,-,) ל- (-,,) לאורך C ג 0 L : ב )7( א, L : )8( א

49 49 פרק - משפט גרין בכל אחד מהתרגילים )3(-)( אשר את משפט גרין, כלומר חשב את האינטגרל fd gd שהם שווים זה לזה ואת האינטגרל g f da והראה R C המסלול C מתואר בציור: ; C d d )( המסלול C מתואר בציור: ; C ( ) d d )( בכיוון החיוביריקי ; C 3 ( ) d ( ) d )3( C הוא ריבוע שקודקודיו:( 0, ) (,), (,0), (0,0), 3 3 )4( חשב את העבודה שמבצע שדה הכוח F(, ) e i cos j על חלקיק הנע על מעגל היחידה, בכיוון הפוך לכיוון השעון ומשלים הקפה אחת

50 5 C הוא C e tan d e cos d )5( חשב את האינטגרל כאשר 8, האיחוד של העקומים ברביע הראשון, עם כיוון השעון C e cos d e sin cos d,0 4 4, 0 )6( חשב את האינטגרל כאשר C הוא חצי האליפסה מהנקודה לנקודה,0 )7( א הוכח שהשטח החסום על ידי עקום סגור פשוט C נתון ע"י: d d C a b ב חשב את שטח האליפסה )( הערך המשותף הוא 05 )( הערך המשותף הוא 08 )3( הערך המשותף הוא 8 פתרונות - פרק 5 )4( 05sin64 )5( e e )6( )7( ב ab

51 5 פרק - אינטגרלים משטחיים ושימושיהם אינטגרל משטחי מסוג I בכל אחד מהתרגילים )5(-)( חשב את האינטגרל המשטחי מעל המלבן [0,] R [0,3] z כאשר S הוא המישור 3 zds )( S 0, 0 z, 4z הוא המשטח S כאשר ds )( שכלוא בתוך הגליל z הוא המישור 3 S כאשר zds )3( z z כאשר S הוא חצי הכדור 0, 4 S S S z z ds )4( r( u, v) ucos vi usin vj 3uk R כאשר S הוא חלק החרוט u, 0 v / zds S המקיים )5( )6( חשב את שטח הפנים של כדור בעל רדיוס )7( היריעה הדקה S היא חלק הפרבולואיד וצפיפותה z שמתחת למישור z (z ),, קבועה חשב את מסת היריעה 0 אינטגרל משטחי מסוג II דרך S S בכל אחד מהתרגילים )(-)8( חשב את האינטגרל Fn ds ובניסוח אחר: בכל אחד מהתרגילים )(-)8( חשב את השטף של שדה הזרימה F ( S הוא נורמל חיצוני של n (

52 5 ; S הוא פני הקובייה הנקבעת ע"י F ( z) i j z k המישורים: 0,, 0,, z 0, z )8( z, הוא פני הכדור S ; F i j3zk )9( ) S ; F ( z) i j( 3 הוא פני הפירמידה הנקבעת ע"י k )0( z שבו 0 z 4 המישורים: z 6, 0, 0, z 0 S ; F 5i j3k חלק הפרבולואיד )( F 0i zj 3 k )( הוא חצי הכדור שמרכזו בראשית, רדיוסו 4 והוא נמצא מעל המישור S פתרונות - פרק / 4 )3( )( 7 4 )( 4 R 8 3 )6( )9( 6 )( 93/ 0 6 )5( )8( )( )4( 6 7 )7( )0(

53 53 פרק - 3 משפט הדיברגנץ )גאוס( בכל אחד מהתרגילים )3(-)( אשר את משפט הדיברגנץ, כלומר חשב את האינטגרל ואת האינטגרל והראה שהם G divfdv Fn ds שווים זה לזה ( n הוא נורמל חיצוני של ( S )ראה הערת סימון בסוף הסעיף( S z) S ; F ( הוא פני הקובייה G הנקבעת ע"י i j z k )( המישורים: 0,, 0,, z 0, z z, G הוא פני הכדור S ; F i j3zk )( ) S ; F ( z) i j( 3 הוא פני הפירמידה G הנקבעת ע"י k )3( המישורים: z 6, 0, 0, z 0 z בין המישורים z 0 ו- )4( יהי S פני הגוף הכלוא בגליל 9 דרך S 3 3 F i j חשב את השטף של השדה הוקטורי z k S כלומר, חשב את Fn ds )5( חשב את כאשר n הוא נורמל חיצוני של S כאשר n הוא נורמל חיצוני של S S הוא פני הגוף החסום על ידי: S ; S Fn ds F z i j 3zk z z 0, 3, 4, 0 3 z ddz ( z ) dzd ( z) )6( חשב את dd z a, z 0 כאשר S הוא פני הגוף החסום על ידי:

54 54 )גליל ללא הבסיסים( )7( יהי S משטח פתוח 0 4, z 6 5 F z i 5j חשב את השטף דרך S של השדה הוקטורי k S כלומר, חשב את Fn ds )8( חשב את כאשר n הוא נורמל חיצוני של S ; )המשטח פתוח( כאשר n הוא נורמל חיצוני של S S Fn ds z( ) F 6z i arctan j k z שבו 0 z 4 F f (,, z) i g(,, z) j h(,, z) k G G G G divfdv S FndS FdV F nds S f g h dv Fn ds z z S f g h dv fddz gdzd hdd S S הוא חלק הפרבולואיד הערת סימון לפי משפט הדיברגנץ, בהינתן שדה וקטורי מתקיים ניסוחים נוספים של משפט הדיברגנץ: )( הערך המשותף הוא פתרונות - פרק )( הערך המשותף הוא )3( הערך המשותף הוא )4( a 5 6 )5( 5 )6( 0 )7( 4 )8(

55 55 פרק - 4 משפט סטוקס )משפט גרין במרחב( בכל אחד מהתרגילים )3(-)( בדוק שמשפט סטוקס אכן מתקיים, כלומר curlf ואת האינטגרל חשב את האינטגרל nds S שהם שווים זה לזה )ראה הערת סימון בסוף הסעיף( והראה C Fdr z שבו 0 z 4 חלק הפרבולואיד S ; F zi 3j 5k )( F 4 i 3 j z z k )( הוא חצי הכדור שמרכזו בראשית, רדיוסו 4 והוא נמצא מעל המישור S z) S ; F ( הוא משטח התחום בשמינית הראשונה i zj k )3(, z 6, ושאינו כלול 3 d 4 d dz C החסום על ידי המישורים z6 א במישור ב במישור ג במישור )4( חשב את האינטגרל מלבן מ-( 0,0,0 )ל- (0,3,3), משם ל- כאשר ומשם ל- C העקומה בצורת (,0,0) (,3,3) z z F i j k (0,0,) (0,,0),,(,0,0 )וכיוונה C )5( חשב את האינטגרל Fdr כאשר ו- C היא שפת המשולש שקודקודיו הם הפוך לכיוון השעון )במבט מלמעלה מהכיוון החיובי של ציר ה- ( z F zi zj k S )6( חשב את F nds ו- S הוא החלק של הכדור כאשר הכלוא בתוך הגליל z 4 3 F ( z) i ( z) j3 k S F nds ומעל למישור- )7( חשב את כאשר z ו- S הוא משטח החרוט מעל למישור-

56 56 F(,, z) f (,, z) i g(,, z) j h(,, z) k C C C C C Fdr (curl F) nds S F dr (curl F) nds S F dr (Rot F) nds S F dr ( F) nds S הערת סימון לפי סטוקס, בהינתן שדה וקטורי מתקיים ניסוחים נוספים של משפט סטוקס: fd gd hdz ( h g ) i ( f h ) j ( g f ) k nds S z z פתרונות - פרק 4 )( הערך המשותף הוא )3( הערך המשותף הוא א( 6- ג( 8- ב( 9- )( הערך המשותף הוא )4( )6( - )5( )7(

57 57 נספח - משטחים ממעלה שנייה אליפסואיד משוואה: z a b c תיאור: החתכים במישורי הקואורדינטות הם אליפסות; כך הם גם החתכים כדור עם רדיוס במישורים מקבילים אם abc a והחתכים הנ"ל הם מעגלים נקבל חרוט אליפטי משוואה: z a b c תיאור: החתך במישור הוא נקודה )הראשית(; החתכים במישורים מקבילים למישור הם אליפסות החתכים במישור z ו- z הם זוג ישרים הנחתכים בראשית; החתכים במישורים מקבילים למישורים אלו הם היפרבולות * מרכז החרוט הוא על הציר המתאים למשתנה המופיע לבד באחד האגפים גליל אליפטי משוואה: a b תיאור: החתך במישור במישורים מקבילים למישור הוא אליפסה; כך הם החתכים z החתכים במישור z הם זוג ישרים מקבילים וכך הם החתכים במישורים מקבילים למישורים אלו במידה ומשוואת הגליל היא, r החתכים הנ"ל הם מעגלים ו- * מרכז הגליל הוא על הציר המתאים למשתנה שאינו מופיע במשוואת הגליל

58 58 היפרבולואיד חד-יריעתי משוואה: z a b c תיאור: החתך במישור הוא אליפסה; כך הם החתכים במישורים מקבילים למישור z החתכים במישור z ו- הם היפרבולות; כך הם גם החתכים במישורים מקבילים למישורים אלו * מרכז היפרבולואיד חד-יריעתי הוא על הציר המתאים למשתנה שלפניו המינוס היפרבולואיד דו-יריעתי משוואה: z a b c תיאור: למשטח זה אין חתך במישור ; החתכים במישורים מקבילים למישור, החותכים את המשטח, הם אליפסות החתכים במישור z ו- z הם היפרבולות ; כך הם גם החתכים במישורים מקבילים למישורים אלו * מרכז היפרבולואיד דו-יריעתי הוא על הציר המתאים למשתנה שלפניו המינוס פרבולואיד אליפטי משוואה: z a b c תיאור: החתך במישור הוא נקודה )הראשית(; החתכים במישורים מקבילים למישור ונמצאים מעליו הם אליפסות החתכים במישור z ו- z הם פרבולות; כך הם גם החתכים במישורים מקבילים למישורים אלו * מרכז הפרבולואיד האליפטי הוא על הציר המתאים למשתנה המופיע ללא ריבוע * אם c 0 הפרבולואיד נפתח כלפי מעלה ואם c 0 הפרבולואיד נפתח כלפי מטה

59 59 z a b c פרבולואיד היפרבולי משוואה: תיאור: החתך במישור הוא זוג ישרים נחתכים בראשית; החתכים במישורים מקבילים למישור היפרבולות; אלו שמעל למישור הם נפתחות בכיוון ציר ה- c 0 ואלו שמתחת למישור נפתחות בכיוון ציר ה- החתכים במישור z ו- z הם פרבולות; כך הם גם החתכים במישורים מקבילים למישורים אלו * מרכז הפרבולואיד האליפטי הוא על הציר המתאים למשתנה המופיע ללא ריבוע הפרבולואיד נפתח כלפי מעלה ואם * אם c 0 הפרבולואיד נפתח כלפי מטה דוגמאות שונות z z z 3 z z 4 z z

60 6 נספח נוסחאות הצגות פרמטריות של עקומים חשובים עקום הצגה פרמטרית דוגמה t t t, t t t, 4 cos t, sin t 0 t 4 cos t, sin t 0 t t, f ( t) a t b t, f ( t) a t b r cos t, r sin t 0 t f ( ) a b f ( ) a b r מעגל נגד כיוון השעון r cos t, r sin t 0 t עם כיוון השעון r מעגל 3 5 3cos t, 5sin t 0 t 3 5 3cos t, 5sin t 0 t acos t, bsin t 0 t a b אליפסה נגד כיוון השעון acos t, bsin t 0 t עם כיוון השעון a b אליפסה (,) לנק' (3,4) t t t( ) 0 0 t( ) 0 0 0t ישר פרמטרי במישור (, ) 0 0 (, ) מהנק' לנק' ישר פרמטרי מהנק' 0t (,,3) ל- (4,7,9) 3t 5t z 36t t( ) 0 0 t( ) 0 0 z z t( z z ) 0 0 0t ישר פרמטרי במרחב ( 0, 0, z0) (,, z) מהנק' לנק' ישר פרמטרי מ- 0t

61 6 נוסחאות - גיאומטריה אנליטית במישור ובמרחב )וקטורים( ( ) ( ) m : (, ) : (, ) m m : m n m m ) (, ו- נקודות ) (, ו- m( ) : m ( ) : (, ) : m n במישור מרחק בין נקודות במישור שיפוע ישר העובר דרך ) (, ששיפועו ) (, ו- ישר דרך ישר דרך תנאי שהישר תנאי שהישר m n יהיה מאונך לישר m n יהיה מקביל לישר a b c 0 0 a b : a b c 0 (, ) 0 0 מרחק הנקודה מהישר tan m m mm : m n m n הזוית החדה בין הישר לישר ( a) ( b) R : R מעגל שמרכזו בנקודה ), ab ( ורדיוסו כאשר a ו- b חוצי הצירים של האליפסה a b b משוואת אליפסה קנונית : משוואת היפרבולה קנונית : כאשר a הוא חצי הציר הממשי a p משוואת פרבולה קנונית : במרחב )וקטורים( ( ) ( ) ( z z ) מרחק בין נקודות z) (,, ו- z) (,, : ההצגה האלגברית של וקטור על כל נקודה (v3 V (,v,v במרחב התלת-ממדי ניתן להסתכל כעל חץ שמוצאו בראשית הצירים (0,0,0)O וסופו בנקודה V חץ זה נקרא וקטור v ( v, v, v ) 3 ומסומן v v * מקובל לרשום v או במקום ההצגה האלגברית של וקטור בעזרת וקטורי הצירים

62 6 וקטורי הצירים הם הוקטורים: (0,0,) i (,0,0), j (0,,0), k iˆ (,0,0), ˆj (0,,0), kˆ (0,0,) ˆ (,0,0), ˆ (0,,0), zˆ (0,0,) e (,0,0), e (0,,0), e (0,0,) המסומנים גם כך או כך או כך v v i v j ההצגה של וקטור ) v v ( v, v, בעזרת וקטורי הצירים היא v k פעולות בין וקטורים: a ( a, a, a ), b ( b, b, b ) 3 3 נתונים שני וקטורים: a b 0 a b כפל וקטור בסקלר: ) ka k a k( a, a, a ) ( ka, ka, 3 3 a b a b, a b, a b a b ab ab a3b3,, ab a b a b a b a b a b a b חיבור וקטורים: מכפלה סקלרית של וקטורים: מכפלה וקטורית של וקטורים: a a a a 3 גודל וקטור a )אורך הוקטור( :,, z a ( a, a, a3) aˆ a a a a 3 3 הנירמול של וקטור : a כיוון וקטור במרחב עם הצירים בהתאמה a ( a, a, a ) שלוש הזויות שיוצר הוקטור,, יהיו a a cos, a a cos, a a cos 3 הוא וקטור יחידה בכיוון a cos cos cos 3 הוקטור ) aˆ (cos,cos,cos a t u a A, u B A or (, ) (, ) t, or t( ), t( ) : B(, ) משוואת ישר פרמטרי במישור דרך ( )A, ו-

63 63 a t u a A, u B A or : B(,, z) (,, z) (,, z ) t,, z z or משוואת ישר פרמטרי במרחב דרך (z )A,, ו- t( ), t( ), z z t( z z ) : L b sv L a tu : זווית בין שני ישרים נתונים שני ישרים : הזווית בין הישרים מקיימת: ו- u v cos u v a b cz d כאשר c) v ( a, b, וקטור נורמל )מאונך( למישור משוואת מישור : 0 משוואת מישור דרך 3 נקודות: ) z :(,, z ), (,, z ), (,, a b cz d a b c : z z det z z z3 z a b cz d מהמישור 0 ( 0, 0, z0 ) מרחק נקודה ממישור מרחק הנקודה a b cz d 0 ומישור זווית בין ישר ומישור נתונים: ישר L : r tu u v v ( a, b, c) באשר sin u v הזווית בין הישר למישור מקיימת: הערה: הישר c) t( a, b, מאונך למישור a b cz d 0 uv לפיכך, אם הישר L : r t u מקביל למישור אז 0 זווית בין שני מישורים a b c z d 0, a b c z d 0 נתונים שני מישורים: cos a a b b c c a a a b b b 3 3 הזווית שבין המישורים מקיימת :

64 64 נספח נוסחאות גבולות 0 0, e e 0 e e ln ln(0 ) ln( ) arctan atan( ) atan(0) 0 atan( ) a 0, a a 0 a a a a a a 0, 0 a 0 sin sin 0 0 cos cos0 sin 0 0 tan e (from right) e ( ) e Defined Limits:, ( ),, a, ( a), / ( a) Undefined Limits : 0,,, 0,, 0, 0 0 0

65 65 נוסחאות - נגזרות a ' 0 f n ' n f n f ' 3 e f ' e f f ' 4 a f ' a f f ' ln a 5 ln f ' f ' f 6 sin f ' cos f f ' 7 cos f ' sin f f ' 8 tan f ' f ' cos f 9 cot f ' f ' sin f 0 arcsin f ' f ' f ar cos f ' f ' f arctan f ' f ' f 3 arcot f ' f ' f 4 sinh f ' cosh f f ' 5 cosh f ' sinh f f ' 6 tanh f ' f ' cosh f 7 coth f ' f ' sinh f g( ) g( ) 8 f ( ) ' f ( ) ( g( ) ln( f ( ))'

66 66 נוסחאות - אינטגרלים ad a c n n n n ( a b) d c n ( a b) d c n n a n d ln c d ln a b c a b a ab ab e d e c e d e c a k a _ b k d c ab k ln k k d c a ln k cos d sin c cos( a b) d sin( a b) c a sin d cos c sin( a b) d cos( a b) c a tan d ln cos c tan( a b) d ln cos( a b) c a cot d ln sin c cot( a b) d ln sin( a b) c a d tan c d tan( a b) c cos cos ( a b) a sin d cot c d cot( a b ) c sin ( a b) a d ln tan c d ln cot c cos cos sin sin a d arctan c d ln c a a a a a a d arcsin c a a a d ln a c f ' d ln f c f f ' d f f f f e f ' d e c cos f f ' d sin( f ) c f ' sin f f ' d cos( f ) c d f c f 3 f f ' d f c u v ' d u v u ' vd 3 c

67 67 sin cos sin tan cos cos cot sin sin sin cos tan cos cot sin sin ( cos ) cos ( cos ) sin cos sin( a ) sin( ) sin sin cos( a ) cos( ) cos cos cos( a ) cos( ) נוסחאות - טריגו cos cos sin sin cos k sin sin ( ) k k cos cos k tan tan k cot cot k sin 0 k cos 0 k

68 68 נוסחאות - אלגברה ( a b) a ab b a b ( a b) ab ( a b) a ab b a b ( a b)( a b) ( a b) a 3a b 3ab b a b ( a b)( a b ab) ( a b) a 4a b 6a b 4ab b 4 4 a b ( a b ) a b ( a b) a 4a b 6a b 4ab b a b ( a b )( a b ) ( a b) a 3a b 3 ab b a b ( a b)( a b ab) m n mn a 0, b0 a a a m ln a ln b ln ab a mn a n a a ln aln bl n n m mn a a b ln 0, ln e n n n ( ab) a b n ln e n n n a a n ln n ln ( 0) n b b ln e 0 a b bln a a e n k a ln n k e a m n m n a a, a a a b ln b a if a 0 a a a if a 0 a b a d bc a b a b c d a a b b a b c e f d f d e a a a d e f a b c h i g i g h a a or a g h i

69 69 נוסחאות - טורי מקלורן של פונקציות חשובות תחום התכנסות טור מקלורן e n 3 n!!! 3! n0 n n sin ( ) (n )! 3! 5! 7! n0 n 4 6 n cos ( ) ( n)!! 4! 6! n0 n 3 4 n ln( ) ( ) n 3 4 n0 arctan n0 n n ( ) n n n0 3 m m( m ) ( m n ) n ( ) n n! m( m ) m( m )( m )! 3! 3 m ( m 0) ( m 0) ( m ) m 0,,,3,

70 7 פרק - 5 האליפסה הגדרה: המקום הגיאומטרי של כל הנקודות, שסכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות במישור קבוע, נקרא אליפסה הערה: הנקודות הקבועות נקראות מוקדי האליפסה משוואת אליפסה קנונית: או הקשר בין הפרמטרים של האליפסה: - c ( a b c שיעור ה- של המוקד( מושגים באליפסה: הציר הגדול הקטע שאליפסה חותכת מציר ה- הציר הקטן הקטע שאליפסה חותכת מציר ה- מרכז האליפסה מפגש צירי האליפסה )באליפסה קנונית הוא ראשית הצירים( מוקדים שתי נקודות קבועות שעבורן סכום המרחקים מכל נקודה על האליפסה קבוע שיעורי המוקדים: F ו- c,0 c,0 F רדיוסי וקטור המרחקים של כל נקודה על האליפסה משני המוקדים אורך הרדיוס מנקודה אורך הרדיוס מנקודה a b מיתר קטע המחבר שתי נקודות שעל האליפסה קוטר מיתר שעובר במרכז האליפסה b a a b, שעל אליפסה למוקד הימני: מכפלת שיפועי מיתר באליפסה וקוטר החוצה אותו היא: שעל אליפסה למוקד השמאלי: c r a a b a, c r a a

71 7 לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה מס' מספר תרגיל תוכן הסרטון סידורי בדף תרגילים הגדרת האליפסה, מושגים באליפסה, משוואת האליפסה סרטון סרטון תרגיל סרטון 3 תרגיל סכום הרדיוסים באליפסה, הקשר בין הפרמטרים של סרטון 4 האליפסה סרטון 5 תרגיל 3 סרטון 6 תרגיל 4 סרטון 7 תרגיל 5 סרטון 8 תרגיל 6 סרטון 9 תרגיל 7 נוסחת רדיוסי האליפסה סרטון 0 סרטון תרגיל 8 סרטון תרגיל 9 סרטון 3 תרגיל 0 סרטון 4 תרגיל סרטון 5 תרגיל סרטון 6 תרגיל 3 סרטון 7 תרגיל 4 סרטון 8 תרגיל 5 סרטון 9 תרגיל 6 סרטון 0 תרגיל 7 סרטון תרגיל 8 מכפלת שיפועי מיתר וקוטר החוצה אותו סרטון תרגיל 9 סרטון 3 תרגיל 0

72 7 תרגילים: 4 מצא את אורך צירי אליפסה שמשוואתה 36 מצא את משוואתה של אליפסה שאורך צירה הגדול הוא 3 3 מצא את משוואתה של אליפסה שאורך צירה הגדול הוא 8 4 מצא את משוואתה של אליפסה שאורך צירה הקטן הוא 5 מצא את משוואתה של אליפסה שחסומה במעגל שמשוואתו אחד שלה הוא בנקודה 6 מצא את משוואתה של אליפסה שחותכת את ציר ה- בין המוקד הימני לקודקוד הימני בה הוא 7 מצא את משוואתה של אליפסה שעוברת בנקודות בנקודה ואורך צירה הקטן הוא והמרחק בין מוקדיה והיא עוברת בנקודה ו- ומוקד והמרחק 3 את הנקודות שהפרש מרחקיהן מהמוקדים הוא 4 8 מצא על האליפסה מצא את משוואתה של אליפסה שעוברת בנקודה 3, ומכפלת המרחקים מנקודה זו למוקדים הוא 6 3 את הנקודות שמהן רואים את הקטע בין שני 0 מצא על האליפסה המוקדים בזווית ישרה 4 ששיפועו חיובי ואורכו 56 מצא את משוואתו של קוטר באליפסה 50 נתונים האליפסה והישר 0, 5 6 4, 8 8, 6 k ,0 3 3, מצא עבור אילו ערכים של הפרמטר k הישר משיק לאליפסה ועבור אילו ערכים של הפרמטר k הישר חותך את האליפסה 3 כך שצלעותיו מקבילות 5 3 מצא את שטחו של ריבוע, שחסום באליפסה 0 לצירים 4 מצא את שטחו של ריבוע, שחסום באליפסה b a a b כך שצלעותיו מקבילות לצירים 5 חסום מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים מצא את שטח 9 5 באליפסה 90 המלבן אם שתיים מצלעותיו עוברות במוקדי האליפסה 5 חסום משולש שווה צלעות כך שקודקוד אחד שלו הוא 6 באליפסה 6 הקודקוד הימני של האליפסה מצא את שיעורי קודקודיו האחרים 7 באליפסה חסום משולש שווה צלעות כך שקודקוד אחד שלו הוא הקודקוד הימני של האליפסה וקודקודיו האחרים הם נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר ה- מצא את משוואת האליפסה

73 73 אם אחד ממוקדיה נמצא בנקודה 5, משוואת מיתר שנקודת האמצע שלו היא 3 8 מצא באליפסה 3 חותך מאליפסה מיתר שאמצעו בנקודה, מצא 9 ישר שמשוואתו 0 את משוואת האליפסה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה 0 נתונה המשוואה א )( עבור איזה ערך של a המשוואה מייצגת מעגל? )( עבור אילו ערכים של a המשוואה מייצגת אליפסה? ב הוכח כי עבור a 4 אין אף נקודה על האליפסה שממנה רואים את הקטע שבין המוקדים בזווית ישרה a b S a b 5 4 S, k חותך:, k 6 6 פתרונות: 60 יח"ש 48 6 a 7 4,0 0 a 5 a a 5 6 א ]( a, b6 (4, 4), (4, 4), ( 4, 4), ( 4, 4) ( 6, ), ( 6, ), ( 6, ), ( 6, ) 5 ]( a (, 3), (, 3) 5 S 5 משיק: יח"ש

74 74 פרק - 6 הפרבולה הגדרה: המקום הגיאומטרי של כל הנקודות, שמרחקן מנקודה קבועה שווה למרחקן מישר קבוע נקרא פרבולה הערה: הנקודה הקבועה נקראת מוקד הפרבולה והישר הקבוע נקרא מדריך הפרבולה משוואת פרבולה קנונית: p מושגים בפרבולה מוקד נקודה קבועה שמרחק כל נקודה על הפרבולה אליה שווה למרחק הנקודה מהמדריך מדריך ישר קבוע שמרחק כל נקודה על הפרבולה אליו שווה למרחק הנקודה מהמוקד קודקוד הפרבולה ראשית הצירים רדיוס מרחק בין המוקד לנקודה שעל הפרבולה מיתר קטע המחבר בין שתי נקודות על הפרבולה קוטר )לא בחומר( ישר המקביל לציר הסימטריה של הפרבולה )כלומר מקביל לציר ה- ) פרבולה שמשוואתה :פרבולה שמשוואתה : r p p p משיק לפרבולה: משוואת המשיק לפרבולה p הערה: שיפוע המשיק לפרבולה בנקודה בנקודה שעליה היא: שעליה הוא: מיתר המחבר שתי נקודות השקה: משוואת המיתר, המחבר את שתי נקודות ההשקה של שני המשיקים לפרבולה היוצאים מהנקודה A, A, p p 0 0 שמחוץ לפרבולה היא: m p 0 p 0 0 A, 0 0 p

75 75 לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה תוכן הסרטון מספר תרגיל מס' בדף התרגילים סידורי הגדרת הפרבולה, מושגים הפרבולה, משוואת הפרבולה סרטון תרגיל סרטון תרגיל סרטון 3 תרגיל 3 סרטון 4 תרגיל 4 סרטון 5 תרגיל 5 סרטון 6 תרגיל 6 סרטון 7 תרגיל 7 סרטון 8 תרגיל 8 סרטון 9 תרגיל 9 סרטון 0 תרגיל 0 סרטון תרגיל סרטון תרגיל סרטון 3 תרגיל 3 סרטון 4 תרגיל 4 סרטון 5 תרגיל 5 סרטון 6 תרגיל 6 סרטון 7 משוואת משיק לפרבולה, שיפוע המשיק לפרבולה סרטון 8 תרגיל 7 סרטון 9 תרגיל 8 סרטון 0 תרגיל 9 סרטון תרגיל 0 סרטון תרגיל סרטון 3 תרגיל סרטון 4 משוואת המיתר המחבר שתי נקודות השקה בפרבולה סרטון 5 תרגיל 3 סרטון 6 תרגיל 4 סרטון

76 76 תרגיל 5 תרגיל 6 תרגיל 7 תרגיל 8 תרגיל 9 תרגיל 30 7 סרטון 8 סרטון 9 סרטון 30 סרטון 3 סרטון 3 סרטון 33

77 77 הוא תרגילים: נתונה הפרבולה 8 מצא מהו הפרמטר, המוקד והמדריך שלה מצא את משוואתה של פרבולה שהישר3 הוא המדריך שלה 3 מצא את משוואתה של פרבולה שהמרחק בין המוקד שלה למדריך שלה הוא 5 4 מצא את משוואתה של פרבולה שעוברת בנקודה,9 6 5 מצא את משוואתה של פרבולה שמוקדה מתלכד עם המוקד הימני של האליפסה 8 6 מצא נקודות על הפרבולה 6 שמרחקן מהמוקד הוא 4 7 מצא נקודות על הפרבולה 8 שמרחקן מהמוקד שווה למרחקן מהקודקוד 8 מצא נקודות על הפרבולה p שמרחקן מהמוקד שווה למרחקן מהקודקוד 9 מצא את שטחו של משולש שווה צלעות שקודקוד אחד שלו נמצא בראשית הצירים ושני קודקודיו האחרים מונחים על הפרבולה 0 0 הבע באמצעות p את שטחו של משולש שווה צלעות שקודקוד אחד שלו נמצא בראשית הצירים ושני קודקודיו האחרים מונחים על הפרבולה p נתונה הפרבולה p הבע באמצעות p את שטחו של משולש שווה צלעות שקודקוד אחד שלו מונח על ציר ה-, וקודקודיו האחרים מונחים על מדריך הפרבולה אם ידוע שמפגש תיכוני המשולש הוא מוקד הפרבולה את נקודה A שעל הפרבולה 0 חיברו עם המוקד F וגם העבירו ממנה אנך למדריך היקף הטרפז, שבסיסיו הם האנך והקטע על ציר ה- שבין מוקד הפרבולה למדריך שלה, שוק אחת שלו היא AF והשוק השנייה שלו מונחת על המדריך, הוא 75 חשב את שטח הטרפז 3 קצות מיתר בפרבולה 4 הם A ו- B מצא את שיעורי הנקודה B אם ידוע שהמיתר עובר במוקד הפרבולה ושערך ה- של נקודה A הוא 4 4 מצא משוואת מיתר בפרבולה, 6 שעובר בראשית הצירים ומרחקו מהמוקד 5 מצא משוואת מיתר בפרבולה 6 נתונה הפרבולה לפרבולה? והישר, שאמצעו בנקודה, עבור איזה ערך של, 4 k k הישר משיק 7 נתונה הפרבולה א מצא את משוואות המשיקים לפרבולה בנקודות שבהן 6 ב הוכח שנקודת החיתוך של הנורמלים בנקודות אלה נמצאת על ציר ה- 8 הנקודות A ו- B נמצאות על הפרבולה נתון כי 4 מצא את שיעורי A

78 78 נקודה B אם ידוע שהמשיקים לפרבולה בנקודות הנתונות יוצרים זווית ישרה 9 נקודה A נמצאת על הפרבולה 8 ברביע הרביעי אורך הנורמל לפרבולה מנקודה A עד לציר ה- הוא 7 5 מצא את משוואת הנורמל 0 מרחק המוקד של הפרבולה 8 ממשיק לה ששיפועו חיובי הוא 8 מצא את משוואת המשיק נתונה הפרבולה p הבע באמצעות p את שיעורי נקודה על הפרבולה ברביע הראשון, שמרחק המשיק בה ממוקד הפרבולה הוא p נתונות שתי פרבולות: I 6, II ישר שעובר בראשית הצירים חותך את הפרבולות בנקודות A ו- B הראה כי המשיקים בנקודות A ו- B מקבילים 3 נתונה הפרבולה 4 והנקודה,, 3 ממנה יוצאים שני משיקים לפרבולה מצא את משוואת המיתר המחבר בין נקודות ההשקה 4 נתונה הפרבולה 8 ונקודה ברביע השלישי, ששיעור ה- שלה קטן ב- משיעור ה- שלה מהנקודה יוצאים שני משיקים לפרבולה המיתר המחבר בין נקודות ההשקה יוצר עם הצירים משולש ששטחו 8 מצא את משוואת המיתר 5 מצא את משוואתו של מעגל שמרכזו במוקד הפרבולה 4 והוא משיק למדריך שלה 6 מצא את משוואתו של מעגל שמרכזו בנקודה 8,0 והוא משיק לפרבולה 0 בשתי נקודות 7 נתונה הפרבולה p ומעגל שמרכזו על ציר ה- והוא משיק לפרבולה מבפנים בשתי נקודות הישר המחבר בין נקודות ההשקה יוצר עם המשיקים בנקודות אלה משולש שווה צלעות הבע באמצעות p את משוואת המעגל 8 הנקודה A,3 נמצאת על פרבולה מצא את משוואתו של מעגל שמשיק לפרבולה בנקודה A ומשיק לציר ה- 9 נתונה הפרבולה p שבה p 4 הישר חותך את הפרבולה בנקודות A ו- B מצא את שיעורי קודקוד C של משולש ABC שמוקד הפרבולה הוא מפגש האנכים האמצעיים בו 4 חותכת את הפרבולה p בשתי נקודות 30 אליפסה שמשוואתה 6 המרובע שקודקודיו הם נקודות החיתוך, מרכז האליפסה וקודקודה הימני של האליפסה הוא מעוין מצא את משוואת הפרבולה

79 79 5 ( p, p ), ( p 4 4, p ) S ABC 4 S 3 7 S פתרונות: יח"ש יח"ש יח"ש 4 3 3p 0 (, 8), (, 8) ABO 3p p 9, F(4,0) (, 5), (, 5) OAB או 4 B(,) או B(, ) 40 יח"ש S 3 ABCF B(6, 9), א 7 k A( p, 3 p) 7 8 ( 8) 55 6 ( 6) C( p,0) 9 ( ) ( 4) ( p) 4p