1 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי II גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון

גודל: px
התחל להופיע מהדף:

Download "1 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי II גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון"

תמליל

1 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי II גיא סלומון

2 סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפני קורס חשוב זה הספר עוסק בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי )חדו"א ( והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה אוניברסיטאות או מכללות הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד, בהתאם לתוכניות הלימוד השונות הניסיון מלמד כי לתרג ול בקורס זה חשיבות יוצאת דופן, ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר wwwgoolcoil הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה לדוגמאות: wwwgoolcoil/hedvahtml תקוותי היא, שספר זה ישמש מורה-דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה גיא סלומון

3 3 פרק - פונקציות של מספר משתנים, תוכן גבולות ורציפות 4 פרק - נגזרות חלקיות, דיפרנציאבליות 7 פרק - 3 כלל השרשרת לפונקציה של מספר משתנים פרק - 4 נגזרת מכוונת וגרדיאנט פרק - 5 פונקציות סתומות, מערכת של פונקציות סתומות, שימושים גיאומטריים 4 פרק - 6 נוסחת טיילור של פונקציה בשני משתנים, הדיפרנציאל השלם 6 פרק - 7 קיצון של פונקציה בשני משתנים )רמה רגילה( פרק - קיצון של פונקציה של שניים/שלושה משתנים )רמה מתקדמת( פרק - 9 קיצון תחת אילוץ של פונקציה של שני משתנים )כופלי לגרנג'( )כופלי לגרנג'( 4 וחסומה 6 פרק - קיצון תחת אילוצים של פונקציה של שלושה משתנים פרק - קיצון מוחלט של פונקציה רציפה בקבוצה סגורה פרק - אינטגרלים כפולים 7 - שימושי האינטגרל הכפול 3 )פולריות( 33 פרק 3 פרק - 4 אינטגרלים כפולים בקואורדינטות קוטביות פרק - 5 החלפת משתנים באינטגרל כפול )יעקוביאן( 36 פרק - 6 אינטגרלים משולשים ושימושיהם 3 פרק - 7 אינטגרלים משולשים בקואורדינטות גליליות וכדוריות 4 פרק - החלפת משתנים באינטגרל משולש )יקוביאן( 4 פרק - 9 אינטגרלים קויים ושימושיהם )אורך ומסה של עקום, עבודה( 4 פרק - אי תלות במסלול, שדות משמרים 46 פרק - משפט גרין 49 פרק - אינטגרלים משטחיים ושימושיהם 5 )גאוס( 53 גרין במרחב( 55 פרק - 3 משפט הדיברגנץ פרק - 4 משפט סטוקס )משפט נספח נוסחאות - משטחים ממעלה שנייה 6 נספח נוסחאות 64 פרק - 5 האליפסה 7 פרק - 6 הפרבולה 74

4 4 פרק - פונקציות של מספר משתנים, גבולות ורציפות )( עבור כל אחת מהפונקציות הבאות, מצא תחום הגדרה, שרטט אותו ושרטט את מפת קווי הגובה/רמה של הפונקציה )בסעיפים 7 ו- 8 תאר את משטחי הרמה( f (, ) ln ln ( f (, ) ( f f (, ) (4 (, ) (3 f f (, ) (6 (, ) ln( ) (5 f z z f z z (,, ) (8 (,, ) (7 )( חשב את הגבולות הבאים: 3 sin( 6) sin( ) lim ( lim ( 36 (, ) (3,) (, ) (0,0) 3 lim ( )ln( ) (4 lim (3 (, ) (0,0 ) (, ) (,) (, ) (,) (, ) (, ) (,, z) (0,,) (, ) (,) arctan( 3) ln( ) 3 sin( 3) lim (6 lim (5 4 3 lim sin ( z ) (8 lim (7

5 )3( חשב את הגבולות הבאים: ( ) lim ( lim ( 4 3 lim (4 lim (3 3 lim (6 lim ( z sin( ) lim (8 lim (7 z z0 )4( חשב את הגבולות הבאים: 3 lim ( lim ( 4 (, ) (, ) (, ) (0,0) (, ) (0,0) (, ) (0,0) (, ) (0,0) 3 (, ) (0,0) (,, z) (0,0,0) 4 4 sin( ) lim (4 lim (3 sin( ) 3 3 lim (6 lim (5 lim z z (8 lim ln( ) (7 (, ) (0,0) )5( בדוק את רציפות הפונקציות הבאות בנקודה (0,0) במידה והפונקציה אינה רציפה בנקודה, האם ניתן להגדיר אותה כך שתהייה רציפה בנקודה? f (, ) (0,0) sin( ) (, ) (0,0) (, ) ( 3 3 (, ) (0,0) f 0 (, ) (0,0) (, ) (

6 6 פתרונות - פרק 0, 0 ), המישור ללא ציר, הרביע הראשון ללא הצירים 0 ) )(, עיגול היחידה 5( )3 כל המישור )4 6( 0, חצי המישור העליון 7( תה - כל המרחב 8( תה - כל המרחב 5 )8 )7 )3 )4 0 )5 אינסוף )6 ) ) )( )3( בכל הסעיפים אין לפונקציה גבול )4( ) 0 ) 0 )3 0 )4 0 )5 3 )6 0 )7 0 )8 0 )5( ( הפונקציה לא רציפה אם נגדיר f,0) (0 הפונקציה תהיה רציפה ( הפונקציה רציפה

7 7 פרק - נגזרות חלקיות, דיפרנציאבליות )( חשב את הנגזרות החלקיות מסדר ראשון של הפונקציות הבאות: 3 (, ) ( 5 (, ) ln ( 4 5ln onl f f (, ) (3 f f 5 3 f (, ) 3 (4 3 f (, ) (5 f (, ) sin (6 f (, ) arctan( 3 ) (7 f ( r, ) r cos (8 f z 3 (,, ) z (9 uv f ( u, v, t) e sin ut (0 )( חשב את הנגזרות החלקיות מסדר שני של הפונקציות הבאות: f (, ) ( 4 (, ) ln ( f (, ) sin 0 4 (3 f (,, z) z (4 f

8 8 חשב את הנגזרות החלקיות של הפונקציה הבאה בנקודה (0,0) האם הפונקציה רציפה בנקודה (0,0)? האם פונקציה גזירה חלקית היא בהכרח רציפה? ) )3( ) )3 f (, ) (, ) (0,0) 0 (, ) (0,0) )4( בדוק את דיפרנציאביליות הפונקציה משאלה )3( בנקודה (0,0) )5( בדוק את דיפרנציאביליות הפונקציות הבאות בנקודה (0,0) : 3 3 (, ) (0,0) f 0 (, ) (0,0) (, ) ( sin (, ) (0,0) ( f (, ) 0 (, ) (0,0) )6( בדוק את דיפרנציאביליות הפונקציה הבאה בתחום הגדרתה f (, ) e (, ) (0,0) 0 (, ) (0,0) הערת סימון: f f f f f f f f f f (, ) f f f f f f f f f f

9 9 פתרונות - פרק ( () 4 5 ln ( 4 5ln ( (4 f f f cos( ) f cos( ) (6 5 f f f f f f f f 3 f ( 3 ) ( 3 ) f r fr 3 3 fz z f z f z uv uv uv t v u (5 (7 sin cos (8 3 (9 f u e cosut f u e sin ut f e v sin ut t cos ut (0 f f ( () f f 0 f 4 f 4 3 ln 4 ln ( f f f f f f 4 f 00sin 0 4 f 0 cos 0 4 (3 f 6sin 0 4 f 4cos 0 4 f 40sin 0 4 f 40sin 0 4 f f z f 0 f z (4 z f f 0 f z f z z f 0 f f f zz z z z 3 )3( ( הנגזרות החלקיות בנקודה (0,0) שוות אפס ( הפונקציה לא רציפה בנקודה (0,0) 3( פונקציה גזירה חלקית אינה בהכרח רציפה ( דיפרנציאבילית )4( לא דיפרנציאבילית )5( ( לא דיפרנציאבילית )6( דיפרנציאבילית

10 פרק - 3 כלל השרשרת לפונקציה של מספר משתנים * בתרגילים בפרק זה, הנח שכל הנגזרות הרשומות קיימות z, u z חשב v z z z,, t m k u v, u v 3, z ln( ) v t k u t m z e חשב z z 0 u v 4, 4, z z 0 z f הוכח ( ) ) z f ( הוכח )( נתון )( נתון )3( נתון )4( נתון z z z 0 z w w w 0 z u cos u cos cos cos 0 z z z הוכח z f ) z f (, הוכח ) w f (, z, z הוכח ) u sin f (sin sin הוכח z f הוכח ( ) )5( נתון )6( נתון )7( נתון )8( נתון )9( נתון z z z u u zu u z h a h הוכח z f u z f הוכח (,, ), z a) h(, ) f ( a) g( הוכח )0( נתון )( נתון )( נתון f u u u(, ) f ( e sin ) g( e sin ) u u u u sin הוכח: א חשב : ג ב '(0), g'(0) אם ידוע ש- u(, ) )3( נתון

11 rsin, rcos, u f (, ) r u u ur u א הוכח ב הוכח u f cos f cos sin f sin rr f f u u u r r rr r z h( u, v) ג הוכח קושי-רימן, כלומר מקיימות ונתון כי ) u f (, ), v g(, מקיימות את מישוואת u u 0, v v 0 u v, u v הוכח כי: uv, )4( נתון )5( נתון א מקיימות את משוואת לפלס כלומר h h u v huu hvv ב rsinh s, rcosh s, u f (, ) r u u ur us )6( נתון הוכח כי פתרונות - פרק 3 )3( ג e

12 פרק - 4 נגזרת מכוונת וגרדיאנט (3,4) * מומלץ בחום לעיין בנספח הוקטורים שבעמוד 7 f (, ) )( תהי א חשב את הגרדיאנט של f ואת אורכו בנקודה מהי משמעות התוצאה? (3,4) ב הראה שהגרדיאנט הוא נורמל לקו הגובה של f העובר דרך f (, ) 3 )( תהי u 3i4j חשב את הנגזרת המכוונת של f בנקודה (, )בכיוון הוקטור )3( תהי ) f (, ) sin( חשב את הנגזרת המכוונת של f בנקודה ( /,) 3 u i בכיוון הוקטור j בנקודה (,) f (, ) 3 5 f חשב את הנגזרת המכוונת של בכיוון וקטור היחידה, היוצר )4( תהי עם החלק החיובי של ציר f f (, ) זווית של 45 חשב את הנגזרת המכוונת של בנקודה (,3 )בכיוון לנקודה (4,5) )5( תהי f (, ) )6( תהי z חשב את הנגזרת המכוונת של f בנקודה (,,4 )בכיוון הוקטור u i j k, V מצא ln )7( אם הפוטנציאל החשמלי V בנקודה ), ( נתון על ידי את קצב השינוי של הפוטנציאל בנקודה ( 3,4 )בכיוון הנקודה (,6) f (, ) e (cos sin ) 3 f (,, z) 3 z )8( מצא את הכיוון בו הנגזרת המכוונת של הפונקציה בנקודה (0,0) היא מקסימלית וחשב את ערכה )9( מצא את הכיוון בו הנגזרת המכוונת של הפונקציה בנקודה (,,) היא מקסימלית וחשב את ערכה

13 3 f (,, z) 3 5 z )0( אם הטמפרטורה נתונה על ידי ואתה נמצא,, 3 5 בנקודה ללכת? ורוצה להתקרר כמה שיותר מהר, באיזה כיוון עליך i (,0), j(0,) : הערות סימון א במישור R u ij u (, ) ולכן ניתן לסמן וקטור במישור בשתי דרכים : או u (3, 4) u 3i למשל, 4j v i j zk i (,0,0), j (0,,0), k (0,0,) v (,, z) : 3 במרחב R ולכן ניתן לסמן וקטור במרחב בשתי דרכים : למשל, או u (3, 4,5) u 3i 4 j5k u או כך u גם כך u û ב יש המסמנים וקטור ג וקטור יחידה יסומן פתרונות - פרק 4 )( א הגרדיאנט (6,8) אורך הגרדיאנט 0 88/3 )6( 3 3 )5( 75 )4( ½ )3( 48/5 )( )7( 5 )8( / 5 הנגזרת המכוונת מקסימלית בכיוון הוקטור (,) ושווה ל- )9( הנגזרת המכוונת מקסימלית בכיוון הוקטור (-,,4) ושווה ל- )0( בכיוון הוקטור (-,,-)

14 4 פרק - 5 פונקציות סתומות, מערכת של פונקציות סתומות, שימושים גיאומטריים פונקציות סתומות, מערכת של פונקציות סתומות '(0) 5 )( מצא את ' כאשר חשב את e כאשר 54 '() ''( e), '( e) )( מצא את )3( מצא את כאשר ln ln z z(, ) 0 (, z) 0 z (,) מצא (,, ) )4( נתון z e ( )sin z 0 z z חשב את: (0,0) (0,0), z e ( )sin z e 4 z z(, ) 0 z )5( נתון חשב את (0,0) (0,0), 3 z 3z ונקודה 4 3 z z 0 z(,) (3 z(,) ( z(,) (, u v )6( נתון )7( נתונה משוואה u v 3 מצא: מצא את ו- u, v, u, v )8( אם w, w מצא את, u v, u v, w u v 3 3 )9( אם z 0 שימושים גיאומטריים )מישור משיק וישר נורמלי למשטח( z 4 9 )0( נתון משטח המוגדר ע"י הפונקציה 3 מהי משוואת מישור משיק למשטח בנקודה P בה, )( מצא משוואה של מישור משיק למשטח z 8 בנקודה ( (,, משוואה של הישר הפרמטרי הניצב למשטח הנתון בנקודה זו וכן 8 המקביל למישור 7z )( מצא מישור המשיק למשטח 8 8z 0

15 5 )3( למשטח z a מעבירים מישור המשיק בנקודה כלשהי A,B,C בנקודות,, מישור זה חותך את הצירים z בהתאמה נסמן הוכח OA + OB + OC = a O (0,0,0) ( למעשה מוכיחים שסכום הקטעים אינו תלוי בנקודת ההשקה ( פתרונות - פרק 5 '(0) 5 () '() 5 () 6 '( e), ''( e) 3 e e sin z(0,0) z(0,0) (3) (4) (0,0) 0, z(0,0) 4 e (5) z (,) 6 (6) z (,) z (,), z (,) 4 (7) v 4v u 3 4u u, u, v, v (8) 8uv 8uv 8uv 8uv w 3 uv, w 5( u v) (9) 3 6 z8 0 (0) z 6 0, (,, ) t(,,) () 8 8z, 8 8z ()

16 6 פרק - 6 נוסחת טיילור של פונקציה בשני משתנים, הדיפרנציאל השלם : ab, נוסחת טיילור פתח את הפונקציות הבאות לטור טיילור עד סדר שני סביב הנקודה a b f, (,) (, ) 3 () a, b (0,0) f (, ) ( )ln( ) () 4 a, b (0,0) f (, ) e (3), (,) f (, ) 3 (4) a b )5( בעזרת התוצאה של תרגיל, חשב בקירוב את ln(5) e 3 3 )6( בעזרת התוצאה של תרגיל, 3 חשב בקירוב את )7( בעזרת התוצאה של תרגיל, 4 חשב בקירוב את הדיפרנציאל השלם )8( מחשבים את הנפח של גליל על סמך תוצאות המדידה של רדיוסו וגובהו ידוע שהשגיאה היחסית במדידת הרדיוס אינה עולה על, % ושהשגיאה היחסית במדידת הגובה אינה עולה על 4% הערך את השגיאה היחסית המקסימלית האפשרית בנפח המחושב a0, b4 cm cm )9( נתונות שתי צלעות במלבן : חשב את השינוי המדוייק ואת השינוי המקורב )בעזרת דיפרנציאל( של אורך mm אלכסון המלבן אם את הצלע a יאריכו ב- 4 mm ואת הצלע b יקצרו ב- )0( מודדים את האורך של תיבה, את רוחבה ואת גובהה השגיאה היחסית בכל מדידה אינה עולה על 5% הערך את השגיאה היחסית המקסימלית האפשרית באורך של אלכסון התיבה, המחושב לפי תוצאות המדידה 4 )( בעזרת הדיפרנציאל השלם,מצא בקירוב את הערך של (099) 509

17 7 פתרונות - פרק 6 f (, ) 6 4( ) 4( ) ( ) ( )( ) () 3 f f (, ) () (, ) 4 4 (3) 7 f (, ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) (4) (5) 9 (6) (7) 8% (8) )9( שינוי מדויק, שינוי מקורב % )0( )(

18 8 פרק - 7 קיצון של פונקציה בשני משתנים )רמה רגילה( עבור כל אחת מהפונקציות הבאות מצא נקודות קריטיות וסווג אותן למקסימום, מינימום או אוכף f 3 (, ) () f 3 3 (, ) 3 0 () f 3 3 (, ) 3 4 (3) f 3 4 (, ) 3 (4) f 4 (, ) e (5) f (, ) 6 (6) 8 f (, ) (7) f (, ) e cos (8) 3 3 z 3 )9( נתון משטח 4 מצא את משוואות המישורים המשיקים האופקיים למשטח )0( מבין כל התיבות הפתוחות שנפחן 3 סמ"ק, חשב את ממדי התיבה ששטח z 0 הפנים שלה הוא מינימלי )( מצא את המרחק הקצר ביותר מהנקודה(,,3 ) למישור וכן את הנקודה על המישור הקרובה ביותר לנקודה הנ"ל )( יצרן מוכר מחשבונים, בארץ ובסין עלות הייצור של מחשבון בארץ היא 6$ ועלות ייצור מחשבון בסין היא 8$ מנהל השיווק עומד את הביקוש Q למחשבון בארץ ואת הביקוש Q למחשבון בסין על ידי: Q 6 30P 0P Q 44 6P 4P, P על מנת למקסם P ו- כיצד צריכה החנות לקבוע את מחירי המחשבונים, את הרווח? מהו רווח זה?

19 9 פתרונות - פרק 7 )( (-05,) אוכף ; (5,-3) מינימום )( ) (, מינימום ; (-,-) מקסימום ; ) (-,, (,-) אוכף )3( (0,0) אוכף ; (,) מינימום )4( ) (-,, -) (-, מינימום ; 0) (, מקסימום ; 0) (-,, (,), -) (, אוכף )5( ) (0, מקסימום )6( 4) (4, מקסימום )7( (4,05-) מקסימום )8( אין נקודות קריטיות, גובה ס"מ, אורך 4 ס"מ ס"מ )0( רוחב 4 z = 3, z = 4 )9( )( מרחק מינימלי הוא יחידות אורך נקודה קרובה ביותר (/3,4/3,0/3) )( =$, P =0$, P רווח מקסימלי 88$

20 פרק - קיצון של פונקציה של שניים/שלושה משתנים )רמה מתקדמת( שיטת מינימום הריבועים הפחותים מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות: f (, ) () f (, ) 4 () 3 ( z f (, )) z z 0 (3) f 3 3 (, ) (4) z (,, z 0) f (,, z) (5) 4 z )6( מצא מרחק מינימלי בין הפרבולה לפרבולה * לפתרון תרגיל זה נדרש יידע בפתרון נומרי )מקורב( של משוואה כגון שיטת ניוטון רפסון שיטת הריבועים הפחותים (, ),(, ),,(, ) n )7( נתונות n נקודות: n h() בכל אחד מהסעיפים הבאים, מצא קו עקום מהצורה כך שסכום ריבועי המרחקים האנכיים בין העקום והנקודות יהיה מינימלי: ), h( הדגם עבור הנק' (,5),(,08),(3,3),(4,35) a b (,),(,0),(0, ) הדגם עבור הנק', h( ) a b b ), h( הדגם עבור הנק' (0,0),(6,9),(4,85),(05,4) a b ), h( הדגם עבור הנק'( 45),(0,90 3),(, (4,33),(,85),(05, a (, 45),(05, 3),(0, 08),(, 0),( 05, הדגם עבור הנק'( 0, h( ) a b c

21 )8( נתונות n נקודות: n) (, ),(, ),,( n, מצא ישר a b כך שסכום ריבועי המרחקים האנכיים בין הישר והנקודות יהיה מינימלי עליך להגיע לנוסחה מפורשת עבור a ו- b הערה: בשאלות )7( ו- )8( ניתן להניח ש- a ו- b המתקבלים מפתרון המשוואות fa נותנים את המינימום המוחלט של פונקציית ריבועי 0, fb 0 המרחקים האנכיים n i f ( a, b) h( ) i i פתרונות - פרק )( (t,t) לכל t ממשי, מקסימום )3( אין קיצון (,) אוכף )5( (05,,) מינימום ) 7 א( ) 7 ג( ) 7 ה( 084 )( (0,0) מקסימום )4( אין קיצון (,) אוכף 0375 )6( 4 ) 7 ב( ) 7 ד( a n n n n n n n n i i i i i i i i i, b i i i i i i i n n n n n n i i i i i i i i )8(

22 פרק - 9 קיצון תחת אילוץ של פונקציה של שני משתנים )כופלי לגרנג'( פונקציות של שני משתנים מצא את המקסימום והמינימום של הפונקציות הבאות בכפוף לאילוץ הנתון: f (, ) ; 3 () f (, ) ; () f (, ) 4 6 ; 3 (3) f (, ) ; 6 (4) 3 )5( נתונה בעיית הקיצון Ma s t א פתור את הבעיה ב הבא פתרון גרפי לבעייה )6( נתונה בעיית הקיצון Ma s t 9 א פתור את הבעיה ב הבא פתרון גרפי לבעייה )7( מבין כל הנקודות הנמצאות על הישר 3 שיעוריה מקסימלי, מצא את זו שמכפלת )8( מבין כל הנקודות שעל העקומה 3 מצא את הנקודות שמרחקיהן מראשית הצירים הוא מינימלי ואת הנקודות שמרחקן מראשית הצירים הוא מקסימלי )9( מצא את המרחק הקצר ביותר מהישר לפרבולה 4 0 a0 b0 c רמז: מרחק הנקודה 0) ( 0, מהישר a b c 0 הוא a b )0( מוישלה קונה בשוק ק"ג מלפפונים ו- ק"ג עגבניות התועלת מצריכת הסל u(, ) ln ln נתונה על ידי (, ) מחיר ק"ג מלפפונים ש"ח מחיר ק"ג עגבניות ש"ח מוישלה קובע לעצמו להשיג רמת תועלת ln6 והוא מעוניין להשיג זאת בעלות מינימאלית נסח ופתור את בעיית מוישלה )( דני קונה בשוק ק"ג מלפפונים ו- ק"ג עגבניות התועלת מצריכת הסל u(, ) נתונה על ידי (, ) מחיר ק"ג מלפפונים ש"ח מחיר ק"ג עגבניות 3 ש"ח לדני תקציב של ש"ח נסח ופתור את בעיית דני

23 3 )( עקומת התמורה בין מנגו X ואננס Y היא 3 לדני תועלת f (, ) 4 6 דני מחפש את הסל )אננס,מנגו( = ), (, על עקומת התמורה, המביא למקסימום את התועלת שלו מצריכת מנגו ואננס נסח ופתור את הבעייה )3( לייצרן פונקציית ייצור Q k L המחירים ליחידת K ו- L הם PK היצרן נמצא ברמת תפוקה 00 והוא מחפש את הצירוף, PL * * (L ( K, המביא למינימום את העלות נסח את בעיית היצרן )אל תפתור( Ma Ma Ma פתרונות - פרק 9 Ma 0, min, 0 (), min / 7, / 7 () Ma Ma Ma, min, (4), 3 min, 3 (3) 9, 36 (6) 6, (5) 3 8, min / 7, / 7 (8) 6, (7) min, (0) 7 / 45 (9) Ma Ma K L K L, 3 () 6, () min ; 00 (3)

24 4 פרק - קיצון תחת אילוצים של פונקציה של שלושה משתנים )כופלי פונקציות של שלושה משתנים תחת אילוץ לגרנג'( )( מבין כל התיבות הפתוחות שנפחן 3 סמ"ק, חשב את ממדי התיבה ששטח הפנים שלה הוא מינימלי )( מצא על פני הכדור z 36 את הנקודות הקרובות ביותר לנקודה (,,) ואת הנקודות הרחוקות ביותר מהנקודה (,,) )3( א מצא את המרחק הקצר ביותר מהנקודה(,,3 ) ב מצא נק' על המישור למישור z 0 z 0 שהיא הקרובה ביותר לנק'(,,3 ) ג בדוק תשובתך ע"י חישוב המרחק בעזרת הנוסחה למרחק בין נקודה למישור )4( מצא את הנקודות על המשטח z הקרובות ביותר לראשית )5( מצא את המרחק הגדול ביותר והקטן ביותר מהאליפסואיד z 96 למישור 3 4 z 88 a b cz d 0 ( 0, 0, z0 ) רמז: מרחק הנקודה מהמישור הוא a b cz d a b c פונקציות של שלושה משתנים תחת אילוצים )6( מצא מרחק מינימלי ומקסימלי בין העקום המתקבל מחיתוך הגליל והמישור z לבין ראשית הצירים )7( מצא מרחק מינימלי ומקסימלי בין העקום המתקבל מחיתוך האליפסואיד z והמישור z לבין ראשית הצירים הערה חשובה בפתרון מרבית התרגילים בפרק זה, אנו מסיקים שנקודה קריטית היא נקודת קיצון משיקולים פיסיקליים או גיאומטריים היות ומדובר בבעיות מעשיות ישנן דרכים מתמטיות מתקדמות להוכיח פורמלית, אך מאחר ולא נהוג ללמד אותן ברוב מוסדות הלימוד, הסתפקנו בכך

25 5 פתרונות - פרק (,, ) , גובה ס"מ, אורך 4 ס"מ ס"מ )( רוחב 4 )( הנקודה הקרובה ביותר היא הנקודה (,4,4) הנקודה הרחוקה ביותר היא הנקודה (4 (,,4 )3( מרחק מינימלי הוא יחידות אורך נקודה קרובה ביותר מרחק ארוך ביותר (0,0,), (0,0, ) )4( )5( מרחק קצר ביותר )6( מרחק מינימלי מרחק מקסימלי 3 מרחק מקסימלי 0 )7( מרחק מינימלי 75 7

26 6 פרק - קיצון מוחלט של פונקציה רציפה בקבוצה סגורה וחסומה )( חשב את המקסימום המוחלט ואת המינימום המוחלט של בתחום, R כאשר R הוא התחום הסגור, בצורת (0,5),(3,0),(0,0) f (, ) משולש שקודקודיו הם: )( חשב את המקסימום המוחלט ואת המינימום המוחלט של בתחום, R כאשר R הוא התחום הסגור, בצורת 4 (,0),(,),(0,),(0,0) f (, ) 3 6 ריבוע שקודקודיו הם )3( חשב את המקסימום המוחלט ואת המינימום המוחלט של בתחום, R כאשר R הוא העיגול f (, ) )4( חשב את המקסימום המוחלט ואת המינימום המוחלט של בתחום, R כאשר R הוא התחום הסגור, f (, ) R (, ) 3, 0, 0 )5( חשב את המקסימום המוחלט ואת המינימום המוחלט של בתחום, R כאשר R הוא התחום הסגור, f (, ) 6 R (, ), 3 פתרונות - פרק )( מקסימום מוחלט 7 מינימום מוחלט - 4 )( מקסימום מוחלט 3 מינימום מוחלט - מינימום מוחלט )3( מקסימום מוחלט 33 4 )4( מקסימום מוחלט 6 מינימום מוחלט - 6 מינימום מוחלט 0 6 )5( מקסימום מוחלט 0

27 7 פרק - אינטגרלים כפולים a )( חשב את האינטגרלים: d r sin dr (3 dd ( ( ) dd ( הצב את הגבולות בשני סדרי האינטגרציה כאשר : D f (, ) )( באינטגרל dd B(,), A(,0), O(0,0) משולש בעל הקודקודים: D ) B(,), A(,), O(0,0) משולש בעל הקודקודים: D ) C( 0,), B(, ), A(,0), O(0,0) טרפז בעל הקודקודים: D )3 עיגול D )4 D עיגול D (, ), D (, ) 4 )5 )6 )7 )3( החלף סדר אינטגרציה באינטגרלים הבאים: f (, ) dd (3 f (, ) dd ( f (, ) dd ( e ln f (, ) dd (6 f (, ) dd (5 f (, ) dd (4 0

28 8 והישר 4 )4( חשב את האינטגרלים הבאים: ) dd כאשר D חסום ע''י הפרבולה D כאשר D חסום ע''י צירי הקואורדינטות והקשת הקצרה D dd ) 4 של המעגל בעל רדיוס שמרכזו בנקודה(, ) כאשר D עיגול בעל הרדיוס a שמרכזו בראשית ( a0) 3 a, a, a,, 0,, D D dd )3 ( ) dd )4 כאשר D מקבילית בעלת הצלעות כאשר D התחום הכלוא בין D cos )5 da )5( חשב את האינטגרלים הבאים ( רמז: שנה את סדר האינטגרציה (: ( ) dd ( e dd ( /3 4 4 sin( ) dd (4 (, 0) e dd (3 0 0

29 9 הערות סימון: b h( ) b h( ) f (, ) da f (, ) dd f (, ) dd d f (, ) d D D a g ( ) a g ( ) d v( ) d v( ) f (, ) da f (, ) dd f (, ) dd d f (, ) d D D c u( ) c u( ) לתשומם לבכם, ישנם מרצים שלא מקפידים, ורושמים למשל את האינטגרל רישום זה אינו שגוי מאחר שכפל b h( ) a g( ) f (, ) כך dd b h( ) a g( ) f (, ) dd הוא חילופי כלומר הרישום dd והרישום dd הוא זהה

30 3 פתרונות - פרק (3 ( ( () 3 a d f (, ) d d f (, ) d ( () d f (, ) d d f (, ) d d f (, ) d ( 0 / / 0 d f (, ) d d f (, ) d d f (, ) d ( d f (, ) d d f (, ) d (4 / 4 d f (, ) d d f (, ) d (5 / 0 4 d f (, ) d d f (, ) d ( d f (, ) d d f (, ) d d f (, ) d d 4 f (, ) d ( d f (, ) d d f (, ) d d f (, ) d d f (, ) d d f (, ) d d f (, ) d ( d f (, ) d d f (, ) d ( (3) 0 0 / 3 0 d f (, ) d d f (, ) d (4 d f (, ) d (3 0 0 / e d f (, ) d (6 d f (, ) d (5 0 e 0 a (5 4 a (4 (3 8 ( ( (4) ( cos6) (4 ( e ) (3 ( e ( (5)

31 3 פרק - 3 שימושי האינטגרל הכפול )( חשב את שטחי התחומים החסומים ע''י העקומים הבאים : 5 ( a 0) a, a (, 4 4 ( 3, 4 (4 9, 9 9 (3 )( חשב את נפחי הגופים החסומים ע''י המשטחים הבאים : z, z 0,, 0, 0 ( z z 0,,, ( z z ( 0) z 0, z, 05,, (3 0,, (4 ( z 0), z (5 z, z 6, 0, 0, z 0 (6 )3( ללוח דק בצורת משולש, שקודקודיו הם )0,0(, ),0( ו- )0,(, יש פונקציית (, ) צפיפות ( חשב את מסת הלוח ( חשב את מרכז הכובד של הלוח, R (, ), יש פונקציית z b b a a )4( ללוח דק בצורת מלבן צפיפות קבועה )הלוח הומוגני( חשב את מומנט ההתמד של הלוח סביב ציר בטא את תשובתך באמצעות המסה M של הלוח z )5( מצא את שטח הפנים של חלק הגליל 4 הנמצא מעל למלבן שבמישור R (, ) 0, 0 4

32 3 פתרונות - פרק 3 (4 3 (3 a ln ( ( () (6 (5 6 (4 (3 ( ( () (, ) ( ( (3) M ( a b ) (4) (5 5 ) (5)

33 33 פרק - 4 אינטגרלים כפולים בקואורדינטות קוטביות )פולריות( חשב D da כאשר D התחום המתואר בשרטוט לתשומת לבך: לכל המעגלים רדיוס 4 בסעיף ד למעגל הקטן רדיוס בסעיף ט אל תחשב את האינטגרל המתקבל לאחר המעבר לקואורדינטות קוטביות )( א ב ג דא ה ו ז ח ט

34 34 )( חשב את האינטגרלים הבאים תוך מעבר לקואורדינטות קוטביות: a a dd ( dd ( ( ) dd (4 ( ) dd (3 ( ) dd (6 dd (5 a a 6 dd (8 dd ( dd (0 dd (9 ln ( ) 0 ( ) 0 0 ln ( ) 0 e dd ( e dd ( dd (4 dd (3 dd (6 ln( ) dd (5 ( ) )3( בכל אחד מהסעיפים הבאים חשב את נפח הגוף המתואר: ) הגוף הכלוא בין פני הכדור z 9 לבין הגליל z ( הגוף הכלוא בתוך הגליל בין החרוט מלמעלה לבין מישור - מלמטה z 3( הגוף הכלוא בתוך הגליל מלמעלה לבין מישור - מלמטה בין הפרבולואיד )4( חשב את שטח התחום החסום על ידי:, 0, 3

35 35 פתרונות - פרק (6 (5 4 (4 (3 ( ( () (8 ( (6 a (5 (4 (3 ( ( () ( e) 4 e 4 ( ln ( (4 ) (0 ln (9 (8 36 (7 4e e (6 ln (5 (4 (3 e (08 64 ) (3 ( ( (3) (4)

36 36 פרק - 5 החלפת משתנים באינטגרל כפול )יעקוביאן( R da )( חשב את האינטגרל הכפול התחום המוגבל על ידי הישרים כאשר R הוא 3,,, e da R )( חשב את האינטגרל הכפול כאשר R הוא התחום המוגבל על ידי הפונקציות, 05,, R sin ( )cos ( ) da )3( חשב את האינטגרל הכפול התחום בצורת משולש שקודקודיו הם: כאשר R הוא A(0,0), B(,0), C(,) R (4 8 ) )4( חשב את האינטגרל הכפול da התחום בצורת מקבילית שקודקודיה הם: כאשר R הוא A(-,3), B(,-3), C(3,-), D(,5) R 6 )5( חשב את האינטגרל הכפול 9 da כאשר R הוא 9 6 התחום הכלוא בתוך האליפסה da R )6( חשב את האינטגרל הכפול כאשר R הוא התחום המוגבל על ידי העקומות,,, R (, ) R e )7( חשב את האינטגרל הכפול da כאשר

37 37 פתרונות - פרק e (7) (6) e 4 96 (5) 9 (4) sin (3) ( e e)ln () ln 3 ()

38 38 פרק - 6 אינטגרלים משולשים ושימושיהם )( חשב את האינטגרלים הבאים: z 0 0 0,, 0,, 0 3, (3 B 6 zdddz ( ze ddzd ( B,, z 0, 0,0 z, 6 dv (4 z z B z z z dv B )( חשב את האינטגרלים הבאים על ידי שינוי סדר אינטגרציה: ln3 0 3 z 0 4 4cos( ) e z z dddz ( ze dddz ( sin (3 dddz sin z ddzd (4 4 z )3( חשב את נפחי הגופים החסומים ע''י המשטחים הבאים : z, z 0,, 0, 0 ( z z 0,,, ( z z 0,, (4 4 4 ( z 0), z (5 4 z, z 6, 0, 0, z 0 (6 ( 0) z 0, z, 05,, (3

39 39 )4( חשב את המסה ואת מרכז הכובד של גליל שגובהו h ורדיוס הבסיס שלו r הנח שהצפיפות בכל נקודה פרופורציונית למרחק הנקודה מבסיס הגליל, ( k 0) (,, z) כלומר, פונקציית הצפיפות היא מהצורה kz )5( חשב את מומנט ההתמד של התיבה ההומוגנית )פונקציית צפיפות קבועה( z סביב ציר V (,, z) 0 a, 0 b, 0 z c בטא את תשובתך באמצעות המסה M של התיבה פתרונות - פרק (4 (3 ( e ) ( ( () sin 4 (4 4 (3 3 e 6 ( sin 4 ( () 36 ( (5 6 5 (4 (3 ( ( (3) h 3 M a 3 (,, z ) (0,0, ) M kh r (4) ( b ) (5)

40 4 פרק - 7 אינטגרלים משולשים בקואורדינטות גליליות וכדוריות )( חשב dzdd 0 ( ) )( חשב dzdd )3( א( חשב dzdd ב( חשב z z dzdd )4( גוף כלוא בגליל 9 בין מישור- מלמטה לבין מחצית פני הכדור z 5 מלמעלה חשב את הנפח של הגוף ואת המרכז שלו )5( חשב את הנפח ואת המרכז של גוף החסום על ידי פני הכדור z 6 מלמעלה ועל ידי החרוט z מלמטה )6( מצא את הנפח של התחום מעל מישור- a והגליל z החסום על ידי הפרבולואיד פתרונות - פרק ב( )3( א( 3 )( 4 )( (,, z ) (0,0,07 / 488), V )4( 3 64 (,, z ) (0,0,5 / ( )), V ( ) 3 4 a )5( )6(

41 4 פרק - החלפת משתנים באינטגרל משולש )יקוביאן( G )( חשב את ( z ) dv כאשר G הוא הגוף המוגבל על ידי המשטחים z a b c 4,, z, z, 3, z a b c )( חשב את הנפח של האליפסואיד )3( חשב את dv כאשר G הוא האליפסואיד G )4( חשב את נפח התחום המוגבל על ידי המשטחים 4,, 4, 4,, z z z z G ( ) ( ) ( 4) )5( חשב את z dv בנקודה (,,4) ורדיוסו כאשר G הוא הכדור שמרכזו פתרונות - פרק ln3 4 3 abc )( )( a bc )3( )4( 05 3 ( )5

42 4 פרק - 9 אינטגרלים קויים ושימושיהם )אורך ומסה של עקום, עבודה( * מומלץ בחום לעיין בנספח "הצגות פרמטריות של עקומים חשובים" שבעמ' 7 A(,) C אינטגרל קוי מסוג I f (, ) )( חשב ds C : cos t, sin t, 0 t ; f (, ) א C: t sin t, cos t, 0 t f (, ) O(0,0) C ; ב f (, ) ג קטע של ישר המחבר את עם O(0,0), A(0,), B(,0) : OAB C ; f (, ) ד היקפו של C f (,, z) )( חשב ds C : cos t, sin t, z t 0 t ; f (,, z) z 3 C 3 3 : t, t, z t 0 t 3 ; f (,, z ) 3 z /3 /3 א ב )3( חשב את אורך העקום cos t, sin t, z t (0 t ) ( k 0) (,, z) kz )4( סליל עשוי תיל דק מיוצג על ידי חשב את מסת הסליל אם פונקציית הצפיפות היא אינטגרל קווי מסוג II )5( חשב: C t t t d d : cos, sin 0 / ; ( ) C C t t t d d :, 0 ; ( ) ( ) C א ב (,4) (0,0) כאשר C המסלול מנקודה לנקודה א ב d C )6( חשב d ו- C נתון ע"י המשוואה:

43 43 אם העקום נתון על ידי : (4,) (,) ( ) d ( ) d )7( חשב א הפרבולה ב קו ישר ג הקוים הישרים מ- ),( ל- ),( ומשם ל- )4,( ד העקום: t t, t כאשר המסלול C מתואר בציור: d C )8( חשב d כאשר המסלול C מתואר בציור: ( ) C )9( חשב d d F(,, z) 3 6z i 3z j 4z k C חשב את האינטגרל הקווי F dr מ-( 0,0,0 ) ל-(,, ) לאורך המסלולים: (0,0,0) ל- (0,0,), משם ל- (0,,) ומשם ל- (,,) (0,0,0) t, t, z t 3 )0( אם א ב הקוים הישרים מ- ג הישר המחבר את ו- (,,)

44 44 עד(,4 ), כאשר: C F dr )( חשב את האינטגרל הקווי 3 3 א F(, ),, r( t) t, t, 0 t 3 ב F(,, z) sin,cos, z, r( t) t, t, t, 0 t 3 F(, ) i ( ) j (,) מ-,4) ( )( א חשב את העבודה שמבצע שדה הכוח על חלקיק שנע על הפרבולה עד ב כיצד הייתה משתנה תשובתך אילו החלקיק היה נע מ-(, ) F(,, z) zi zj )3( חשב את העבודה שמבצע שדה הכוח k r i j k 3 על חלקיק הנע לאורך העיקול ) ( t) t t t (0 t הערת סימון אינטגרל קוי מסוג II בסימונים שונים בספרות המקצועית:,,,, F dr f g h d d dz fd gd hdz C C C,,,, A dr A A A d d dz A d A d A dz 3 3 C C C

45 45 פתרונות - פרק 9 5 ( ) ג ב ד )( א 567 ב ( ) 3 )( א 6 )3( 3 3 ג ב ב ד 6 5 ב ג ב 3-5k )4( )5( א )6( א )7( א 4 5 )8( )9( )0( א 6 59 )( א ב sin cos 5 05 )( א 3 ב -3 )3(

46 46 פרק - אי תלות במסלול, שדות משמרים א )( קבע האם F הוא שדה משמר אם כן, מצא פונקציה כך ש- F F(, ) 65,5 4 F(, ) e i e j F(, ) cos cos, sin sin F(,, z) z i e jzk ב ג ד F(,, z) zi zj ( 3 z ) k F(,, z) z, z, ה ו (3,4) 3 )( נתון האינטגרל (6 ) d (6 3 ) d (,) (3,4) א הוכח שהאינטגרל אינו תלוי במסלול המחבר את (,) ו- ב חשב את האינטגרל בשתי דרכים שונות (,) (,0) (3,) 3 ( 3 ) (,4) d d ( 4 ) d d )3( חשב את האינטגרל )4( חשב את האינטגרל F(, ) e i e מצא את העבודה שמבצע השדה על חלקיק הנע j (,, ) (,,) ל-,0) ( z d z d z dz מ- (,0) )5( יהי על )6( חשב את האינטגרל תן מובן פיסיקאלי לתוצאה

47 47 ונתונים 3 מסלולים : F i j )7( נתון שדה וקטורי L : בכיוון החיובי )נגד כיוון השעון( בכיוון השלילי )עם כוון השעון( בכיוון החיובי )נגד כיוון השעון( א L3 Fdr D L Fdr L : L : ( 0) ( 7) L חשב: Fdr ב ג )8( נתון שדה וקטורי F i j ונתונים מסלולים מ- (,0) ל- (,0 ): L : 4, 0 L : 4, 0 (, ) 9, 0 3 L Fdr, L Fdr F א ב הערת סימון חשב: הוכח כי משמר בחצי הטבעת F(,, z) f (,, z) i g(,, z) j h(,, z) k F(,, z) f (,, z), g(,, z), h(,, z) F(,, z) f (,, z) ˆ g(,, z) ˆ h(,, z) zˆ A A i A j A k שדה וקטורי בסימונים שונים בספרות המקצועית :

48 48 פתרונות - פרק (, ) 3 5 ב השדה אינו משמר )( א (,, ) z z e (, ) cos sin ד ג (z ),, ו השדה אינו משמר z z 3 ה )( ב )3( 5 )4( - )5( )6( 5 = עבודה שנעשית בהזזת גוף מ- (,-,) ל- (-,,) לאורך C ג 0 L : ב )7( א, L : )8( א

49 49 פרק - משפט גרין בכל אחד מהתרגילים )3(-)( אשר את משפט גרין, כלומר חשב את האינטגרל fd gd שהם שווים זה לזה ואת האינטגרל g f da והראה R C המסלול C מתואר בציור: ; C d d )( המסלול C מתואר בציור: ; C ( ) d d )( בכיוון החיוביריקי ; C 3 ( ) d ( ) d )3( C הוא ריבוע שקודקודיו:( 0, ) (,), (,0), (0,0), 3 3 )4( חשב את העבודה שמבצע שדה הכוח F(, ) e i cos j על חלקיק הנע על מעגל היחידה, בכיוון הפוך לכיוון השעון ומשלים הקפה אחת

50 5 C הוא C e tan d e cos d )5( חשב את האינטגרל כאשר 8, האיחוד של העקומים ברביע הראשון, עם כיוון השעון C e cos d e sin cos d,0 4 4, 0 )6( חשב את האינטגרל כאשר C הוא חצי האליפסה מהנקודה לנקודה,0 )7( א הוכח שהשטח החסום על ידי עקום סגור פשוט C נתון ע"י: d d C a b ב חשב את שטח האליפסה )( הערך המשותף הוא 05 )( הערך המשותף הוא 08 )3( הערך המשותף הוא 8 פתרונות - פרק 5 )4( 05sin64 )5( e e )6( )7( ב ab

51 5 פרק - אינטגרלים משטחיים ושימושיהם אינטגרל משטחי מסוג I בכל אחד מהתרגילים )5(-)( חשב את האינטגרל המשטחי מעל המלבן [0,] R [0,3] z כאשר S הוא המישור 3 zds )( S 0, 0 z, 4z הוא המשטח S כאשר ds )( שכלוא בתוך הגליל z הוא המישור 3 S כאשר zds )3( z z כאשר S הוא חצי הכדור 0, 4 S S S z z ds )4( r( u, v) ucos vi usin vj 3uk R כאשר S הוא חלק החרוט u, 0 v / zds S המקיים )5( )6( חשב את שטח הפנים של כדור בעל רדיוס )7( היריעה הדקה S היא חלק הפרבולואיד וצפיפותה z שמתחת למישור z (z ),, קבועה חשב את מסת היריעה 0 אינטגרל משטחי מסוג II דרך S S בכל אחד מהתרגילים )(-)8( חשב את האינטגרל Fn ds ובניסוח אחר: בכל אחד מהתרגילים )(-)8( חשב את השטף של שדה הזרימה F ( S הוא נורמל חיצוני של n (

52 5 ; S הוא פני הקובייה הנקבעת ע"י F ( z) i j z k המישורים: 0,, 0,, z 0, z )8( z, הוא פני הכדור S ; F i j3zk )9( ) S ; F ( z) i j( 3 הוא פני הפירמידה הנקבעת ע"י k )0( z שבו 0 z 4 המישורים: z 6, 0, 0, z 0 S ; F 5i j3k חלק הפרבולואיד )( F 0i zj 3 k )( הוא חצי הכדור שמרכזו בראשית, רדיוסו 4 והוא נמצא מעל המישור S פתרונות - פרק / 4 )3( )( 7 4 )( 4 R 8 3 )6( )9( 6 )( 93/ 0 6 )5( )8( )( )4( 6 7 )7( )0(

53 53 פרק - 3 משפט הדיברגנץ )גאוס( בכל אחד מהתרגילים )3(-)( אשר את משפט הדיברגנץ, כלומר חשב את האינטגרל ואת האינטגרל והראה שהם G divfdv Fn ds שווים זה לזה ( n הוא נורמל חיצוני של ( S )ראה הערת סימון בסוף הסעיף( S z) S ; F ( הוא פני הקובייה G הנקבעת ע"י i j z k )( המישורים: 0,, 0,, z 0, z z, G הוא פני הכדור S ; F i j3zk )( ) S ; F ( z) i j( 3 הוא פני הפירמידה G הנקבעת ע"י k )3( המישורים: z 6, 0, 0, z 0 z בין המישורים z 0 ו- )4( יהי S פני הגוף הכלוא בגליל 9 דרך S 3 3 F i j חשב את השטף של השדה הוקטורי z k S כלומר, חשב את Fn ds )5( חשב את כאשר n הוא נורמל חיצוני של S כאשר n הוא נורמל חיצוני של S S הוא פני הגוף החסום על ידי: S ; S Fn ds F z i j 3zk z z 0, 3, 4, 0 3 z ddz ( z ) dzd ( z) )6( חשב את dd z a, z 0 כאשר S הוא פני הגוף החסום על ידי:

54 54 )גליל ללא הבסיסים( )7( יהי S משטח פתוח 0 4, z 6 5 F z i 5j חשב את השטף דרך S של השדה הוקטורי k S כלומר, חשב את Fn ds )8( חשב את כאשר n הוא נורמל חיצוני של S ; )המשטח פתוח( כאשר n הוא נורמל חיצוני של S S Fn ds z( ) F 6z i arctan j k z שבו 0 z 4 F f (,, z) i g(,, z) j h(,, z) k G G G G divfdv S FndS FdV F nds S f g h dv Fn ds z z S f g h dv fddz gdzd hdd S S הוא חלק הפרבולואיד הערת סימון לפי משפט הדיברגנץ, בהינתן שדה וקטורי מתקיים ניסוחים נוספים של משפט הדיברגנץ: )( הערך המשותף הוא פתרונות - פרק )( הערך המשותף הוא )3( הערך המשותף הוא )4( a 5 6 )5( 5 )6( 0 )7( 4 )8(

55 55 פרק - 4 משפט סטוקס )משפט גרין במרחב( בכל אחד מהתרגילים )3(-)( בדוק שמשפט סטוקס אכן מתקיים, כלומר curlf ואת האינטגרל חשב את האינטגרל nds S שהם שווים זה לזה )ראה הערת סימון בסוף הסעיף( והראה C Fdr z שבו 0 z 4 חלק הפרבולואיד S ; F zi 3j 5k )( F 4 i 3 j z z k )( הוא חצי הכדור שמרכזו בראשית, רדיוסו 4 והוא נמצא מעל המישור S z) S ; F ( הוא משטח התחום בשמינית הראשונה i zj k )3(, z 6, ושאינו כלול 3 d 4 d dz C החסום על ידי המישורים z6 א במישור ב במישור ג במישור )4( חשב את האינטגרל מלבן מ-( 0,0,0 )ל- (0,3,3), משם ל- כאשר ומשם ל- C העקומה בצורת (,0,0) (,3,3) z z F i j k (0,0,) (0,,0),,(,0,0 )וכיוונה C )5( חשב את האינטגרל Fdr כאשר ו- C היא שפת המשולש שקודקודיו הם הפוך לכיוון השעון )במבט מלמעלה מהכיוון החיובי של ציר ה- ( z F zi zj k S )6( חשב את F nds ו- S הוא החלק של הכדור כאשר הכלוא בתוך הגליל z 4 3 F ( z) i ( z) j3 k S F nds ומעל למישור- )7( חשב את כאשר z ו- S הוא משטח החרוט מעל למישור-

56 56 F(,, z) f (,, z) i g(,, z) j h(,, z) k C C C C C Fdr (curl F) nds S F dr (curl F) nds S F dr (Rot F) nds S F dr ( F) nds S הערת סימון לפי סטוקס, בהינתן שדה וקטורי מתקיים ניסוחים נוספים של משפט סטוקס: fd gd hdz ( h g ) i ( f h ) j ( g f ) k nds S z z פתרונות - פרק 4 )( הערך המשותף הוא )3( הערך המשותף הוא א( 6- ג( 8- ב( 9- )( הערך המשותף הוא )4( )6( - )5( )7(

57 57 נספח - משטחים ממעלה שנייה אליפסואיד משוואה: z a b c תיאור: החתכים במישורי הקואורדינטות הם אליפסות; כך הם גם החתכים כדור עם רדיוס במישורים מקבילים אם abc a והחתכים הנ"ל הם מעגלים נקבל חרוט אליפטי משוואה: z a b c תיאור: החתך במישור הוא נקודה )הראשית(; החתכים במישורים מקבילים למישור הם אליפסות החתכים במישור z ו- z הם זוג ישרים הנחתכים בראשית; החתכים במישורים מקבילים למישורים אלו הם היפרבולות * מרכז החרוט הוא על הציר המתאים למשתנה המופיע לבד באחד האגפים גליל אליפטי משוואה: a b תיאור: החתך במישור במישורים מקבילים למישור הוא אליפסה; כך הם החתכים z החתכים במישור z הם זוג ישרים מקבילים וכך הם החתכים במישורים מקבילים למישורים אלו במידה ומשוואת הגליל היא, r החתכים הנ"ל הם מעגלים ו- * מרכז הגליל הוא על הציר המתאים למשתנה שאינו מופיע במשוואת הגליל

58 58 היפרבולואיד חד-יריעתי משוואה: z a b c תיאור: החתך במישור הוא אליפסה; כך הם החתכים במישורים מקבילים למישור z החתכים במישור z ו- הם היפרבולות; כך הם גם החתכים במישורים מקבילים למישורים אלו * מרכז היפרבולואיד חד-יריעתי הוא על הציר המתאים למשתנה שלפניו המינוס היפרבולואיד דו-יריעתי משוואה: z a b c תיאור: למשטח זה אין חתך במישור ; החתכים במישורים מקבילים למישור, החותכים את המשטח, הם אליפסות החתכים במישור z ו- z הם היפרבולות ; כך הם גם החתכים במישורים מקבילים למישורים אלו * מרכז היפרבולואיד דו-יריעתי הוא על הציר המתאים למשתנה שלפניו המינוס פרבולואיד אליפטי משוואה: z a b c תיאור: החתך במישור הוא נקודה )הראשית(; החתכים במישורים מקבילים למישור ונמצאים מעליו הם אליפסות החתכים במישור z ו- z הם פרבולות; כך הם גם החתכים במישורים מקבילים למישורים אלו * מרכז הפרבולואיד האליפטי הוא על הציר המתאים למשתנה המופיע ללא ריבוע * אם c 0 הפרבולואיד נפתח כלפי מעלה ואם c 0 הפרבולואיד נפתח כלפי מטה

59 59 z a b c פרבולואיד היפרבולי משוואה: תיאור: החתך במישור הוא זוג ישרים נחתכים בראשית; החתכים במישורים מקבילים למישור היפרבולות; אלו שמעל למישור הם נפתחות בכיוון ציר ה- c 0 ואלו שמתחת למישור נפתחות בכיוון ציר ה- החתכים במישור z ו- z הם פרבולות; כך הם גם החתכים במישורים מקבילים למישורים אלו * מרכז הפרבולואיד האליפטי הוא על הציר המתאים למשתנה המופיע ללא ריבוע הפרבולואיד נפתח כלפי מעלה ואם * אם c 0 הפרבולואיד נפתח כלפי מטה דוגמאות שונות z z z 3 z z 4 z z

60 6 נספח נוסחאות הצגות פרמטריות של עקומים חשובים עקום הצגה פרמטרית דוגמה t t t, t t t, 4 cos t, sin t 0 t 4 cos t, sin t 0 t t, f ( t) a t b t, f ( t) a t b r cos t, r sin t 0 t f ( ) a b f ( ) a b r מעגל נגד כיוון השעון r cos t, r sin t 0 t עם כיוון השעון r מעגל 3 5 3cos t, 5sin t 0 t 3 5 3cos t, 5sin t 0 t acos t, bsin t 0 t a b אליפסה נגד כיוון השעון acos t, bsin t 0 t עם כיוון השעון a b אליפסה (,) לנק' (3,4) t t t( ) 0 0 t( ) 0 0 0t ישר פרמטרי במישור (, ) 0 0 (, ) מהנק' לנק' ישר פרמטרי מהנק' 0t (,,3) ל- (4,7,9) 3t 5t z 36t t( ) 0 0 t( ) 0 0 z z t( z z ) 0 0 0t ישר פרמטרי במרחב ( 0, 0, z0) (,, z) מהנק' לנק' ישר פרמטרי מ- 0t

61 6 נוסחאות - גיאומטריה אנליטית במישור ובמרחב )וקטורים( ( ) ( ) m : (, ) : (, ) m m : m n m m ) (, ו- נקודות ) (, ו- m( ) : m ( ) : (, ) : m n במישור מרחק בין נקודות במישור שיפוע ישר העובר דרך ) (, ששיפועו ) (, ו- ישר דרך ישר דרך תנאי שהישר תנאי שהישר m n יהיה מאונך לישר m n יהיה מקביל לישר a b c 0 0 a b : a b c 0 (, ) 0 0 מרחק הנקודה מהישר tan m m mm : m n m n הזוית החדה בין הישר לישר ( a) ( b) R : R מעגל שמרכזו בנקודה ), ab ( ורדיוסו כאשר a ו- b חוצי הצירים של האליפסה a b b משוואת אליפסה קנונית : משוואת היפרבולה קנונית : כאשר a הוא חצי הציר הממשי a p משוואת פרבולה קנונית : במרחב )וקטורים( ( ) ( ) ( z z ) מרחק בין נקודות z) (,, ו- z) (,, : ההצגה האלגברית של וקטור על כל נקודה (v3 V (,v,v במרחב התלת-ממדי ניתן להסתכל כעל חץ שמוצאו בראשית הצירים (0,0,0)O וסופו בנקודה V חץ זה נקרא וקטור v ( v, v, v ) 3 ומסומן v v * מקובל לרשום v או במקום ההצגה האלגברית של וקטור בעזרת וקטורי הצירים

62 6 וקטורי הצירים הם הוקטורים: (0,0,) i (,0,0), j (0,,0), k iˆ (,0,0), ˆj (0,,0), kˆ (0,0,) ˆ (,0,0), ˆ (0,,0), zˆ (0,0,) e (,0,0), e (0,,0), e (0,0,) המסומנים גם כך או כך או כך v v i v j ההצגה של וקטור ) v v ( v, v, בעזרת וקטורי הצירים היא v k פעולות בין וקטורים: a ( a, a, a ), b ( b, b, b ) 3 3 נתונים שני וקטורים: a b 0 a b כפל וקטור בסקלר: ) ka k a k( a, a, a ) ( ka, ka, 3 3 a b a b, a b, a b a b ab ab a3b3,, ab a b a b a b a b a b a b חיבור וקטורים: מכפלה סקלרית של וקטורים: מכפלה וקטורית של וקטורים: a a a a 3 גודל וקטור a )אורך הוקטור( :,, z a ( a, a, a3) aˆ a a a a 3 3 הנירמול של וקטור : a כיוון וקטור במרחב עם הצירים בהתאמה a ( a, a, a ) שלוש הזויות שיוצר הוקטור,, יהיו a a cos, a a cos, a a cos 3 הוא וקטור יחידה בכיוון a cos cos cos 3 הוקטור ) aˆ (cos,cos,cos a t u a A, u B A or (, ) (, ) t, or t( ), t( ) : B(, ) משוואת ישר פרמטרי במישור דרך ( )A, ו-

63 63 a t u a A, u B A or : B(,, z) (,, z) (,, z ) t,, z z or משוואת ישר פרמטרי במרחב דרך (z )A,, ו- t( ), t( ), z z t( z z ) : L b sv L a tu : זווית בין שני ישרים נתונים שני ישרים : הזווית בין הישרים מקיימת: ו- u v cos u v a b cz d כאשר c) v ( a, b, וקטור נורמל )מאונך( למישור משוואת מישור : 0 משוואת מישור דרך 3 נקודות: ) z :(,, z ), (,, z ), (,, a b cz d a b c : z z det z z z3 z a b cz d מהמישור 0 ( 0, 0, z0 ) מרחק נקודה ממישור מרחק הנקודה a b cz d 0 ומישור זווית בין ישר ומישור נתונים: ישר L : r tu u v v ( a, b, c) באשר sin u v הזווית בין הישר למישור מקיימת: הערה: הישר c) t( a, b, מאונך למישור a b cz d 0 uv לפיכך, אם הישר L : r t u מקביל למישור אז 0 זווית בין שני מישורים a b c z d 0, a b c z d 0 נתונים שני מישורים: cos a a b b c c a a a b b b 3 3 הזווית שבין המישורים מקיימת :

64 64 נספח נוסחאות גבולות 0 0, e e 0 e e ln ln(0 ) ln( ) arctan atan( ) atan(0) 0 atan( ) a 0, a a 0 a a a a a a 0, 0 a 0 sin sin 0 0 cos cos0 sin 0 0 tan e (from right) e ( ) e Defined Limits:, ( ),, a, ( a), / ( a) Undefined Limits : 0,,, 0,, 0, 0 0 0

65 65 נוסחאות - נגזרות a ' 0 f n ' n f n f ' 3 e f ' e f f ' 4 a f ' a f f ' ln a 5 ln f ' f ' f 6 sin f ' cos f f ' 7 cos f ' sin f f ' 8 tan f ' f ' cos f 9 cot f ' f ' sin f 0 arcsin f ' f ' f ar cos f ' f ' f arctan f ' f ' f 3 arcot f ' f ' f 4 sinh f ' cosh f f ' 5 cosh f ' sinh f f ' 6 tanh f ' f ' cosh f 7 coth f ' f ' sinh f g( ) g( ) 8 f ( ) ' f ( ) ( g( ) ln( f ( ))'

66 66 נוסחאות - אינטגרלים ad a c n n n n ( a b) d c n ( a b) d c n n a n d ln c d ln a b c a b a ab ab e d e c e d e c a k a _ b k d c ab k ln k k d c a ln k cos d sin c cos( a b) d sin( a b) c a sin d cos c sin( a b) d cos( a b) c a tan d ln cos c tan( a b) d ln cos( a b) c a cot d ln sin c cot( a b) d ln sin( a b) c a d tan c d tan( a b) c cos cos ( a b) a sin d cot c d cot( a b ) c sin ( a b) a d ln tan c d ln cot c cos cos sin sin a d arctan c d ln c a a a a a a d arcsin c a a a d ln a c f ' d ln f c f f ' d f f f f e f ' d e c cos f f ' d sin( f ) c f ' sin f f ' d cos( f ) c d f c f 3 f f ' d f c u v ' d u v u ' vd 3 c

67 67 sin cos sin tan cos cos cot sin sin sin cos tan cos cot sin sin ( cos ) cos ( cos ) sin cos sin( a ) sin( ) sin sin cos( a ) cos( ) cos cos cos( a ) cos( ) נוסחאות - טריגו cos cos sin sin cos k sin sin ( ) k k cos cos k tan tan k cot cot k sin 0 k cos 0 k

68 68 נוסחאות - אלגברה ( a b) a ab b a b ( a b) ab ( a b) a ab b a b ( a b)( a b) ( a b) a 3a b 3ab b a b ( a b)( a b ab) ( a b) a 4a b 6a b 4ab b 4 4 a b ( a b ) a b ( a b) a 4a b 6a b 4ab b a b ( a b )( a b ) ( a b) a 3a b 3 ab b a b ( a b)( a b ab) m n mn a 0, b0 a a a m ln a ln b ln ab a mn a n a a ln aln bl n n m mn a a b ln 0, ln e n n n ( ab) a b n ln e n n n a a n ln n ln ( 0) n b b ln e 0 a b bln a a e n k a ln n k e a m n m n a a, a a a b ln b a if a 0 a a a if a 0 a b a d bc a b a b c d a a b b a b c e f d f d e a a a d e f a b c h i g i g h a a or a g h i

69 69 נוסחאות - טורי מקלורן של פונקציות חשובות תחום התכנסות טור מקלורן e n 3 n!!! 3! n0 n n sin ( ) (n )! 3! 5! 7! n0 n 4 6 n cos ( ) ( n)!! 4! 6! n0 n 3 4 n ln( ) ( ) n 3 4 n0 arctan n0 n n ( ) n n n0 3 m m( m ) ( m n ) n ( ) n n! m( m ) m( m )( m )! 3! 3 m ( m 0) ( m 0) ( m ) m 0,,,3,

70 7 פרק - 5 האליפסה הגדרה: המקום הגיאומטרי של כל הנקודות, שסכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות במישור קבוע, נקרא אליפסה הערה: הנקודות הקבועות נקראות מוקדי האליפסה משוואת אליפסה קנונית: או הקשר בין הפרמטרים של האליפסה: - c ( a b c שיעור ה- של המוקד( מושגים באליפסה: הציר הגדול הקטע שאליפסה חותכת מציר ה- הציר הקטן הקטע שאליפסה חותכת מציר ה- מרכז האליפסה מפגש צירי האליפסה )באליפסה קנונית הוא ראשית הצירים( מוקדים שתי נקודות קבועות שעבורן סכום המרחקים מכל נקודה על האליפסה קבוע שיעורי המוקדים: F ו- c,0 c,0 F רדיוסי וקטור המרחקים של כל נקודה על האליפסה משני המוקדים אורך הרדיוס מנקודה אורך הרדיוס מנקודה a b מיתר קטע המחבר שתי נקודות שעל האליפסה קוטר מיתר שעובר במרכז האליפסה b a a b, שעל אליפסה למוקד הימני: מכפלת שיפועי מיתר באליפסה וקוטר החוצה אותו היא: שעל אליפסה למוקד השמאלי: c r a a b a, c r a a

71 7 לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה מס' מספר תרגיל תוכן הסרטון סידורי בדף תרגילים הגדרת האליפסה, מושגים באליפסה, משוואת האליפסה סרטון סרטון תרגיל סרטון 3 תרגיל סכום הרדיוסים באליפסה, הקשר בין הפרמטרים של סרטון 4 האליפסה סרטון 5 תרגיל 3 סרטון 6 תרגיל 4 סרטון 7 תרגיל 5 סרטון 8 תרגיל 6 סרטון 9 תרגיל 7 נוסחת רדיוסי האליפסה סרטון 0 סרטון תרגיל 8 סרטון תרגיל 9 סרטון 3 תרגיל 0 סרטון 4 תרגיל סרטון 5 תרגיל סרטון 6 תרגיל 3 סרטון 7 תרגיל 4 סרטון 8 תרגיל 5 סרטון 9 תרגיל 6 סרטון 0 תרגיל 7 סרטון תרגיל 8 מכפלת שיפועי מיתר וקוטר החוצה אותו סרטון תרגיל 9 סרטון 3 תרגיל 0

72 7 תרגילים: 4 מצא את אורך צירי אליפסה שמשוואתה 36 מצא את משוואתה של אליפסה שאורך צירה הגדול הוא 3 3 מצא את משוואתה של אליפסה שאורך צירה הגדול הוא 8 4 מצא את משוואתה של אליפסה שאורך צירה הקטן הוא 5 מצא את משוואתה של אליפסה שחסומה במעגל שמשוואתו אחד שלה הוא בנקודה 6 מצא את משוואתה של אליפסה שחותכת את ציר ה- בין המוקד הימני לקודקוד הימני בה הוא 7 מצא את משוואתה של אליפסה שעוברת בנקודות בנקודה ואורך צירה הקטן הוא והמרחק בין מוקדיה והיא עוברת בנקודה ו- ומוקד והמרחק 3 את הנקודות שהפרש מרחקיהן מהמוקדים הוא 4 8 מצא על האליפסה מצא את משוואתה של אליפסה שעוברת בנקודה 3, ומכפלת המרחקים מנקודה זו למוקדים הוא 6 3 את הנקודות שמהן רואים את הקטע בין שני 0 מצא על האליפסה המוקדים בזווית ישרה 4 ששיפועו חיובי ואורכו 56 מצא את משוואתו של קוטר באליפסה 50 נתונים האליפסה והישר 0, 5 6 4, 8 8, 6 k ,0 3 3, מצא עבור אילו ערכים של הפרמטר k הישר משיק לאליפסה ועבור אילו ערכים של הפרמטר k הישר חותך את האליפסה 3 כך שצלעותיו מקבילות 5 3 מצא את שטחו של ריבוע, שחסום באליפסה 0 לצירים 4 מצא את שטחו של ריבוע, שחסום באליפסה b a a b כך שצלעותיו מקבילות לצירים 5 חסום מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים מצא את שטח 9 5 באליפסה 90 המלבן אם שתיים מצלעותיו עוברות במוקדי האליפסה 5 חסום משולש שווה צלעות כך שקודקוד אחד שלו הוא 6 באליפסה 6 הקודקוד הימני של האליפסה מצא את שיעורי קודקודיו האחרים 7 באליפסה חסום משולש שווה צלעות כך שקודקוד אחד שלו הוא הקודקוד הימני של האליפסה וקודקודיו האחרים הם נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר ה- מצא את משוואת האליפסה

73 73 אם אחד ממוקדיה נמצא בנקודה 5, משוואת מיתר שנקודת האמצע שלו היא 3 8 מצא באליפסה 3 חותך מאליפסה מיתר שאמצעו בנקודה, מצא 9 ישר שמשוואתו 0 את משוואת האליפסה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה 0 נתונה המשוואה א )( עבור איזה ערך של a המשוואה מייצגת מעגל? )( עבור אילו ערכים של a המשוואה מייצגת אליפסה? ב הוכח כי עבור a 4 אין אף נקודה על האליפסה שממנה רואים את הקטע שבין המוקדים בזווית ישרה a b S a b 5 4 S, k חותך:, k 6 6 פתרונות: 60 יח"ש 48 6 a 7 4,0 0 a 5 a a 5 6 א ]( a, b6 (4, 4), (4, 4), ( 4, 4), ( 4, 4) ( 6, ), ( 6, ), ( 6, ), ( 6, ) 5 ]( a (, 3), (, 3) 5 S 5 משיק: יח"ש

74 74 פרק - 6 הפרבולה הגדרה: המקום הגיאומטרי של כל הנקודות, שמרחקן מנקודה קבועה שווה למרחקן מישר קבוע נקרא פרבולה הערה: הנקודה הקבועה נקראת מוקד הפרבולה והישר הקבוע נקרא מדריך הפרבולה משוואת פרבולה קנונית: p מושגים בפרבולה מוקד נקודה קבועה שמרחק כל נקודה על הפרבולה אליה שווה למרחק הנקודה מהמדריך מדריך ישר קבוע שמרחק כל נקודה על הפרבולה אליו שווה למרחק הנקודה מהמוקד קודקוד הפרבולה ראשית הצירים רדיוס מרחק בין המוקד לנקודה שעל הפרבולה מיתר קטע המחבר בין שתי נקודות על הפרבולה קוטר )לא בחומר( ישר המקביל לציר הסימטריה של הפרבולה )כלומר מקביל לציר ה- ) פרבולה שמשוואתה :פרבולה שמשוואתה : r p p p משיק לפרבולה: משוואת המשיק לפרבולה p הערה: שיפוע המשיק לפרבולה בנקודה בנקודה שעליה היא: שעליה הוא: מיתר המחבר שתי נקודות השקה: משוואת המיתר, המחבר את שתי נקודות ההשקה של שני המשיקים לפרבולה היוצאים מהנקודה A, A, p p 0 0 שמחוץ לפרבולה היא: m p 0 p 0 0 A, 0 0 p

75 75 לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה תוכן הסרטון מספר תרגיל מס' בדף התרגילים סידורי הגדרת הפרבולה, מושגים הפרבולה, משוואת הפרבולה סרטון תרגיל סרטון תרגיל סרטון 3 תרגיל 3 סרטון 4 תרגיל 4 סרטון 5 תרגיל 5 סרטון 6 תרגיל 6 סרטון 7 תרגיל 7 סרטון 8 תרגיל 8 סרטון 9 תרגיל 9 סרטון 0 תרגיל 0 סרטון תרגיל סרטון תרגיל סרטון 3 תרגיל 3 סרטון 4 תרגיל 4 סרטון 5 תרגיל 5 סרטון 6 תרגיל 6 סרטון 7 משוואת משיק לפרבולה, שיפוע המשיק לפרבולה סרטון 8 תרגיל 7 סרטון 9 תרגיל 8 סרטון 0 תרגיל 9 סרטון תרגיל 0 סרטון תרגיל סרטון 3 תרגיל סרטון 4 משוואת המיתר המחבר שתי נקודות השקה בפרבולה סרטון 5 תרגיל 3 סרטון 6 תרגיל 4 סרטון

76 76 תרגיל 5 תרגיל 6 תרגיל 7 תרגיל 8 תרגיל 9 תרגיל 30 7 סרטון 8 סרטון 9 סרטון 30 סרטון 3 סרטון 3 סרטון 33

77 77 הוא תרגילים: נתונה הפרבולה 8 מצא מהו הפרמטר, המוקד והמדריך שלה מצא את משוואתה של פרבולה שהישר3 הוא המדריך שלה 3 מצא את משוואתה של פרבולה שהמרחק בין המוקד שלה למדריך שלה הוא 5 4 מצא את משוואתה של פרבולה שעוברת בנקודה,9 6 5 מצא את משוואתה של פרבולה שמוקדה מתלכד עם המוקד הימני של האליפסה 8 6 מצא נקודות על הפרבולה 6 שמרחקן מהמוקד הוא 4 7 מצא נקודות על הפרבולה 8 שמרחקן מהמוקד שווה למרחקן מהקודקוד 8 מצא נקודות על הפרבולה p שמרחקן מהמוקד שווה למרחקן מהקודקוד 9 מצא את שטחו של משולש שווה צלעות שקודקוד אחד שלו נמצא בראשית הצירים ושני קודקודיו האחרים מונחים על הפרבולה 0 0 הבע באמצעות p את שטחו של משולש שווה צלעות שקודקוד אחד שלו נמצא בראשית הצירים ושני קודקודיו האחרים מונחים על הפרבולה p נתונה הפרבולה p הבע באמצעות p את שטחו של משולש שווה צלעות שקודקוד אחד שלו מונח על ציר ה-, וקודקודיו האחרים מונחים על מדריך הפרבולה אם ידוע שמפגש תיכוני המשולש הוא מוקד הפרבולה את נקודה A שעל הפרבולה 0 חיברו עם המוקד F וגם העבירו ממנה אנך למדריך היקף הטרפז, שבסיסיו הם האנך והקטע על ציר ה- שבין מוקד הפרבולה למדריך שלה, שוק אחת שלו היא AF והשוק השנייה שלו מונחת על המדריך, הוא 75 חשב את שטח הטרפז 3 קצות מיתר בפרבולה 4 הם A ו- B מצא את שיעורי הנקודה B אם ידוע שהמיתר עובר במוקד הפרבולה ושערך ה- של נקודה A הוא 4 4 מצא משוואת מיתר בפרבולה, 6 שעובר בראשית הצירים ומרחקו מהמוקד 5 מצא משוואת מיתר בפרבולה 6 נתונה הפרבולה לפרבולה? והישר, שאמצעו בנקודה, עבור איזה ערך של, 4 k k הישר משיק 7 נתונה הפרבולה א מצא את משוואות המשיקים לפרבולה בנקודות שבהן 6 ב הוכח שנקודת החיתוך של הנורמלים בנקודות אלה נמצאת על ציר ה- 8 הנקודות A ו- B נמצאות על הפרבולה נתון כי 4 מצא את שיעורי A

78 78 נקודה B אם ידוע שהמשיקים לפרבולה בנקודות הנתונות יוצרים זווית ישרה 9 נקודה A נמצאת על הפרבולה 8 ברביע הרביעי אורך הנורמל לפרבולה מנקודה A עד לציר ה- הוא 7 5 מצא את משוואת הנורמל 0 מרחק המוקד של הפרבולה 8 ממשיק לה ששיפועו חיובי הוא 8 מצא את משוואת המשיק נתונה הפרבולה p הבע באמצעות p את שיעורי נקודה על הפרבולה ברביע הראשון, שמרחק המשיק בה ממוקד הפרבולה הוא p נתונות שתי פרבולות: I 6, II ישר שעובר בראשית הצירים חותך את הפרבולות בנקודות A ו- B הראה כי המשיקים בנקודות A ו- B מקבילים 3 נתונה הפרבולה 4 והנקודה,, 3 ממנה יוצאים שני משיקים לפרבולה מצא את משוואת המיתר המחבר בין נקודות ההשקה 4 נתונה הפרבולה 8 ונקודה ברביע השלישי, ששיעור ה- שלה קטן ב- משיעור ה- שלה מהנקודה יוצאים שני משיקים לפרבולה המיתר המחבר בין נקודות ההשקה יוצר עם הצירים משולש ששטחו 8 מצא את משוואת המיתר 5 מצא את משוואתו של מעגל שמרכזו במוקד הפרבולה 4 והוא משיק למדריך שלה 6 מצא את משוואתו של מעגל שמרכזו בנקודה 8,0 והוא משיק לפרבולה 0 בשתי נקודות 7 נתונה הפרבולה p ומעגל שמרכזו על ציר ה- והוא משיק לפרבולה מבפנים בשתי נקודות הישר המחבר בין נקודות ההשקה יוצר עם המשיקים בנקודות אלה משולש שווה צלעות הבע באמצעות p את משוואת המעגל 8 הנקודה A,3 נמצאת על פרבולה מצא את משוואתו של מעגל שמשיק לפרבולה בנקודה A ומשיק לציר ה- 9 נתונה הפרבולה p שבה p 4 הישר חותך את הפרבולה בנקודות A ו- B מצא את שיעורי קודקוד C של משולש ABC שמוקד הפרבולה הוא מפגש האנכים האמצעיים בו 4 חותכת את הפרבולה p בשתי נקודות 30 אליפסה שמשוואתה 6 המרובע שקודקודיו הם נקודות החיתוך, מרכז האליפסה וקודקודה הימני של האליפסה הוא מעוין מצא את משוואת הפרבולה

79 79 5 ( p, p ), ( p 4 4, p ) S ABC 4 S 3 7 S פתרונות: יח"ש יח"ש יח"ש 4 3 3p 0 (, 8), (, 8) ABO 3p p 9, F(4,0) (, 5), (, 5) OAB או 4 B(,) או B(, ) 40 יח"ש S 3 ABCF B(6, 9), א 7 k A( p, 3 p) 7 8 ( 8) 55 6 ( 6) C( p,0) 9 ( ) ( 4) ( p) 4p

2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק

2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך( כלל השרשרת S ( z) z + על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק מקביל : f ( ) + הפונקציה מוגדרת וגזירה ברציפות בכל M( ) שאלה נתון פרבולואיד אליפטי P ( z) + 6 + z + 8 למישור

קרא עוד

Limit

Limit פרק אינטגרל כפול לכן לפי משפט 55 )ראו גם את ההערה( שאלות :5 d cos( ) d [ ] [] שאלות עם פתרון שאלה 5 חשבו: פתרון 8 הפונקציה ) f ( ) cos( מתקיים: רציפה במלבן d cos( ) d d cos( ) d עדיף לחשב את האינטגרל השני:

קרא עוד

משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון אינטגרל מסוים i שאינו תלוי בחלוקה ] [ ובחירה m. S f סכום אינטגרלי + f + K i lim S כאשר i 0. I f I הגדרה אם קיים נקרא אינטגרל מסוים ומסומן הצבה.[ רציפות ב- ] אז הוא f g g g כאשר f g g כאשר udv uv vdu g

קרא עוד

Microsoft Word - shedva_2011

Microsoft Word - shedva_2011 שיטות דיפרנציאליות ואינטגרליות הפקולטה להנדסה אוניברסיטת תל אביב גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה

קרא עוד

מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יח"ל. פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטרי

מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יחל. פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטרי מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ - 015 הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יח"ל פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטריה האנליטית: ישר, מעגל, אליפסה ופרבולה בראיה מוכללת נושא

קרא עוד

Microsoft Word - עבודת פסח לכיתה י 5 יחל.doc

Microsoft Word - עבודת פסח לכיתה י 5 יחל.doc עבודת פסח במתמטיקה לכיתה י' (5 יחידות) תרגילים שבעבודה על החומר שנלמד בכיתה ומיועדים לחזרה יש לעשות לא פחות מ- תרגילים מכל פרק אלגברה פתור את מערכת המשוואות הבאות: y x 1 y y 1 x y m x 1 x עבור אילו ערכים

קרא עוד

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, 635863 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 תלמיד קנה 11 מחברות דקות ו- 4 מחברות עבות,

קרא עוד

א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש בגרות סט יולי 09 מועד קיץ ב שאלון CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף

א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש בגרות סט יולי 09 מועד קיץ ב שאלון CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש 3 CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף, E בהתאמה. לכן, הנקודה BE.3: לצלעות AE מחלקת את ו- AB ביחס של ע"פ נוסחת חלוקת קטע ביחס נתון

קרא עוד

Untitled

Untitled 2 אגודת הסטודנטים, בן-גוריון 3 פתרון מבחן מועד ב', חדו"א 2 להנדסת חשמל, סמסטר ב', תשע"ו שאלה : א הטור המגדיר את fx הוא טור טלסקופי. הסכומים החלקיים של טור זה הם S n x n k kxe kx k xe k x nxe nx x fx lim

קרא עוד

א"ודח ב2 גרבימ הרש 1 רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא 13 בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא L יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע (x(t)

אודח ב2 גרבימ הרש 1 רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא 13 בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא L יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע (x(t) א"ודח ב גרבימ הרש רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע ttt t r רשאכ ttt :עטקב תופיצר תורזגנ תולעב [ab]. יהי F תופיצר תורזגנ

קרא עוד

Microsoft Word - hedva 806-pitronot-2011.doc

Microsoft Word - hedva 806-pitronot-2011.doc ו- ( ( השייכים לתחום ההגדרה שאלה פתרון: א. לפי ההגדרה, f היא פונקציה זוגית, אם לכל ( ) שלה, מתקיים. f f נציב את במקום בפונקציה הנתונה ונקבל: ( ) ( ) ( ) + + + + ( ) f f f כלומר, הפונקציה היא זוגית. על

קרא עוד

טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נ

טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נ טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נתון כלשהו.. אין צורך לענות על השאלות לפי סדר הופעתן.

קרא עוד

<4D F736F F D20EEF9E5E5E0E5FA20E3E9F4F8F0F6E9E0ECE9E5FA2E646F63>

<4D F736F F D20EEF9E5E5E0E5FA20E3E9F4F8F0F6E9E0ECE9E5FA2E646F63> משוואות דיפרנציאליות מושגי ייסוד: משוואה המקשרת את גורם הפונקציה עם הפונקציה והנגזרות שלה או הדיפרנציאלים שלה, נקראת "משוואה דיפרנציאלית רגילה" לפתור משוואה דיפרנציאלית פירושו, למצוא את הפונקציה המקיימת

קרא עוד

מטלת מנחה (ממ"ן) 11 הקורס: חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות 2,1 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות סמסטר: ב 2007 מו

מטלת מנחה (ממן) 11 הקורס: חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות 2,1 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות סמסטר: ב 2007 מו מטלת מנחה (ממ"ן) הקורס: - חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות, 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות 337 סמסטר: ב 7 מועד אחרון להגשה: אנא שים לב: מלא בדייקנות את הטופס המלווה לממ"ן בהתאם לדוגמה

קרא עוד

Microsoft Word - 38

Microsoft Word - 38 08.05.6-80 - פתרון מבחן מס' 8 (ספר מבחנים שאלון 0580) t (v 75) (א) מהירות ההתקרבות של שני הרוכבים היא לכן הזמן שעבר מיציאת הרוכבים ועד הפגישה: קמ"ש, שעות 60 v 75 לפי הנתון בשאלה, נרכיב את המשוואות: 60

קרא עוד

מתמטיקה של מערכות

מתמטיקה של מערכות מתמטיקה של מערכות פתרון לתרגיל נגזור את שני האגפים לפי ונקבל : ) ולכן נתון ש- אז א ) e e נתון ש- א ) נגזור את שני האגפים לפי ונקבל: e, ולכן ) e e e ונקבל: נחלק את שני האגפים ב- נתון ש- ו- וגם ש- פונקציות

קרא עוד

בחינה מספר 1

בחינה מספר 1 תוכן העניינים בחינה מספר 1 4 אלגברה: 4 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: בחינה מספר 6 אלגברה: 6 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: 7 בחינה מספר 3 8 אלגברה: 8 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: 9 בחינה מספר 41 אלגברה: 01 חשבון

קרא עוד

Microsoft Word - 01 difernziali razionalit

Microsoft Word - 01 difernziali razionalit פונקציות רציונליות 5 יחידות מתוך הספר 806 כרך ד' 0, כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי חל איסור מוחלט לתרגם, להעתיק או לשכפל חוברת זו או קטעים ממנה, בשום צורה ובשום אמצעי אלקטרוני, אופטי או מכני (לרבות

קרא עוד

Microsoft Word - 28

Microsoft Word - 28 8-6-7-8 - פתרון מבחן מס' 8 (ספר לימוד שאלון 87) y M (, ) y מרכז המעגל החוסם את המשולש נמצא בנקודת חיתוך האנכים האמצעיים y y לצלעות המשולש: y M _, y y R M ( M) ( M) () R M y m 9 9 69 9 9 9 9 (ב) משוואת

קרא עוד

MathType Commands 6 for Word

MathType Commands 6 for Word 0 אלגברה לינארית גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות

קרא עוד

! 1! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) xyy = 1 x y xy 2 = 2xy 2 מצא את הפתרו' הכללי: x y y = 3 א) y ג) ב) ד) y tan x = y (1 ( x+ y

! 1! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) xyy = 1 x y xy 2 = 2xy 2 מצא את הפתרו' הכללי: x y y = 3 א) y ג) ב) ד) y tan x = y (1 ( x+ y !! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) tan ( a a z 0 a z s ds dt (רמז: cos d d ז) d ( ) d ( ) ח) ) מצא את הפתרונות המקיימי :. () 0 ( ). (). () 0 d ( ) d ( ) π. sin ln ) tan cos d cos d

קרא עוד

עב 001 ינואר 12 מועד חורף פתרונות עפר

עב 001 ינואר 12 מועד חורף פתרונות עפר ק( נסמן ב- את מהירות המשאית שיצאה מעיר A (קמ"ש, קבועה) בגרות עב ינואר מועד חורף שאלון 35 נסמן ב- y את מהירות המכונית שיצאה מעיר B (קמ"ש, קבועה) B A נסמן ב- s את המרחק מעיר לעיר "מ) s v עד מפגש ראשון משאית

קרא עוד

תאריך הבחינה 30

תאריך הבחינה   30 אוניברסיטת בן-גוריון בנגב מדור בחינות 9//8 תאריך הבחינה : ד"ר ס. סמית, דר' דבורה שמות המורים : פרץ, פרופ' גריגורי דרפל מבחן ב: חדו"א ג' --9 מס' הקורס: מיועד לתלמידי: ביולוגיה, כימיה וגאולוגיה ב מועד: א

קרא עוד

עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה אפריל 5105 קשה בלימודים, קל במבחנים, קל בחיים עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה יש לפתור את כל השאלות

עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יחל פסח תשעה אפריל 5105 קשה בלימודים, קל במבחנים, קל בחיים עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יחל פסח תשעה יש לפתור את כל השאלות עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה יש לפתור את כל השאלות על דפים משובצים. רשמו את שמכם על כל אחד מהדפים הפתרונות יוגשו אחרי חופשת הפסח. מומלץ לכתוב דואר אלקטרוני, Whatspp כאשר נתקלים בקושי. מישהו

קרא עוד

<4D F736F F D20EEFAEEE8E9F7E420E020ECEBECEBECF0E9ED202D20E0E9F0E1F8F1E9E8FA20FAEC20E0E1E9E12E646F63>

<4D F736F F D20EEFAEEE8E9F7E420E020ECEBECEBECF0E9ED202D20E0E9F0E1F8F1E9E8FA20FAEC20E0E1E9E12E646F63> מתמטיקה א' לכלכלנים גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות תלמידים

קרא עוד

1 בגרות עח יולי 18 מועד קיץ ב שאלון x b 2 2 y x 6x שיעור ה- א x לכן, של קדקוד הפרבולה, ו-, מתקבל על ידי הנוסחה a. C(3, 9) ובהתאם, y. (3, 9) 2 C

1 בגרות עח יולי 18 מועד קיץ ב שאלון x b 2 2 y x 6x שיעור ה- א x לכן, של קדקוד הפרבולה, ו-, מתקבל על ידי הנוסחה a. C(3, 9) ובהתאם, y. (3, 9) 2 C 8 מועד קיץ ב שאלון 58 x b y x x שיעור ה- א x לכן של קדקוד הפרבולה ו- מתקבל על ידי הנוסחה a C( 9) ובהתאם y ( 9) C 9 C הם x C ( ) תשובה: שיעורי קדקוד הפרבולה B A y x x ב הישר y 5 חותך את הפרבולה בנקודות

קרא עוד

תרגול 1

תרגול 1 תרגול rcsin d rcsin t d שאלה חשב את האינטגרלים המסוימים הבאים: sin cos d rcsin d sin cos d א ב ג פתרון שאלה סעיף א נציב dt sin d t cos עבור נקבל t cos cos עבור נקבל sin cos d tdt סעיף ב נפתור תחילה בעזרת

קרא עוד

יחידה 8: שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות שיעור 1. שיקוף בציר x תלמידים התבקשו לשרטט פרבולה שכל הערכים שלה שליליים. y יואב ש רטט כך: y תומר אמר: אי-אפשר

יחידה 8: שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות שיעור 1. שיקוף בציר x תלמידים התבקשו לשרטט פרבולה שכל הערכים שלה שליליים. y יואב ש רטט כך: y תומר אמר: אי-אפשר יחידה 8: שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות שיעור 1. שיקוף בציר תלמידים התבקשו לשרטט פרבולה שכל הערכים שלה שליליים. יואב ש רטט כך: תומר אמר: אי-אפשר זיו ש רטט כך: מי צודק? נשקף בציר את הגרף של, = ונלמד את

קרא עוד

אנליזה מתקדמת

אנליזה מתקדמת א) א) ג) -- אוניברסיטת בן- מדור בחינות מס' גוריון בנגב תאריך הבחינה: 7/0/00 שם המרצים: פונף, בסר, טקצ'נקו, ליידרמן חדו"א א בחינה ב: 0--00 מס' הקורס: מתמטיקה,מדעי המחשב, הנדסת תכנה מיועד לתלמידי: א' מועד:

קרא עוד

îáçï îúëåðú îñ' 1

îáçï îúëåðú îñ'  1 5 יח"ל מבחני חזרה במתמטיקה - במתכונת בחינות הבגרות לפי מיקוד הבחינה - קיץ 003 "כדי לקלוע למטרה צריך לכוון קצת למעלה ממנה" בעריכת: סרור אסעד אפריל 003 (úåãå ð 50) 'ñî úðåëúî ïçáî 'à ìç äøáâìà,øåùéîä úñãðä

קרא עוד

ע 003 מרץ 10 מועד מיוחד פתרונות עפר

ע 003 מרץ 10 מועד מיוחד פתרונות עפר בגרות ע מרץ 0 מועד מיוחד שאלון 5005. x א. () יש למצוא את הערך של m שעבורו גרף + ) mx f ( x) mm ( 6) x + ( כאשר נציב m או 6 m נקבל 0 0 ונקבל פונקציה עולה ובהתאם הישר לא מקביל לציר ה - הוא ישר המקביל לציר

קרא עוד

08-78-(2004)

08-78-(2004) שאלון 00 מיקוד במתמטיקה מהדורת חורף תשס"ט 009 כתיבה: זיקרי אלברט, שמש שלמה - shemesh4@walla.co.il צוות עריכה מקצועית: ריטרבנד אוהד, נאות רז, מן מנחם, דוד ניר, ארביב עמוס, שטולבך אירית, שניידר איתן, כהן

קרא עוד

סז 002 נואר 07 מועד חורף פתרונות עפר

סז 002 נואר 07 מועד חורף פתרונות עפר הציר האופקי מציג את מספר פעימות המונה הציר האנכי מציג את המחיר שגובה חברת הטלפונים (שקלים) ב. א. יש למצוא מהו המחיר ל- 00 פעימות המונה הראשונות בחודש. הנקודה המסומנת בגרף, בעיגול, מראה כי עבור 00 פעימות

קרא עוד

פונקציה מסדר ראשון; הגדרת קו ישר: - הצגה ע"י ביטוי אלגברי וגרפי

פונקציה מסדר ראשון;  הגדרת קו ישר: - הצגה עי ביטוי אלגברי וגרפי המרכז לחינוך מדעי תל אביב-יפו פתח דבר ספר זה שלפניכם, "מתמטיקה לפיזיקאים" הוא פרי יוזמה של חברי צוות חמד"ע, המתמודדים כל שנה עם הצורך בהתאמת הידע המתמטי של תלמידי הפיזיקה לדרישות הלימודים. תודתי העמוקה

קרא עוד

Microsoft Word - Sol_Moedb10-1-2,4

Microsoft Word - Sol_Moedb10-1-2,4 הפקולטה למתמטיקה - הטכניון חיפה מד''ח - 48 חורף תשע''א - בחינה סופית מועד ב' שאלה : תהי נתונה המד"ח הבאה: u + uu = y א. מצא את העקומים האופייניים של משוואה זו בצורה פרמטרית. ב. פתור את המד"ח הנתונה לעיל

קרא עוד

פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה עבודת קיץ לבוגרי כיתה ז' קבוצת מיצוי " שכונה מערבית, רח' הפסגה 17 כרמיאל דוא"ל:

פסגות עש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה עבודת קיץ לבוגרי כיתה ז' קבוצת מיצוי  שכונה מערבית, רח' הפסגה 17 כרמיאל דואל: עבודת קיץ לבוגרי כיתה ז' קבוצת מיצוי " סדר פעולות חשבון עם מספרים מכוונים )1( כמובן יש להראות את דרך פתרון. תרגיל 0 1 : ( 3) 1 ( ) פתרו. שימו לב לסדר פעולות החשבון. תשובה 1 )( )3( )4( )5( )6( )7( )8( 30

קרא עוד

Microsoft Word - madar1.docx

Microsoft Word - madar1.docx משוואות דיפרנציאליות רגילות גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות

קרא עוד

תרגול מס' 7 – חזרה על MST ואלגוריתם Dijkstra

תרגול מס' 7 – חזרה על MST ואלגוריתם Dijkstra תרגול מס' 10 תכנון ליניארי תכנון לינארי הינו כלי שימושי במדעי המחשב. בקורס ראינו כיצד ניתן להציג בעיות שונות במסגרת תכנון לינארי. בנוסף, ראינו שימושים לדואליות של תוכניות לינאריות, אשר מקשרת בין בעיות

קרא עוד

Microsoft Word - solutions.doc

Microsoft Word - solutions.doc תחרות גיליס 009-00 הרי פוטר הגיע לחנות הדובשנרייה בהוגסמיד. הוא מגלה, שהכסף שלו מספיק בדיוק ל- סוכריות קוסמים ול- 5 קרפדות שוקולד, או בדיוק ל- 0 קרפדות שוקולד ול- 0 נשיקות מנטה, או בדיוק ל- 45 נשיקות מנטה

קרא עוד

סט נובמבר 08 מועד מיוחד - פתרונות עפר.doc

סט נובמבר 08 מועד מיוחד - פתרונות עפר.doc נפתור את מערכת המשוואות y+ 3 = 5 5 7 3 2y + = 8 3 נארגן את המשוואה הראשונה 1/ 5/ y+ 3 5 = 5 1 y+ 3= 5(5 ) y+ 3= 25 5 8+ y= 25 /5 נארגן את המשוואה השנייה 3 1 3 / / / 2y 7 3 8 + = 1 3 1 6y+ 7 3= 24 7+ 6y

קרא עוד

בגרות עז יולי 17 מועד קיץ ב שאלון ,000 א. ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב-. 25% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי,

בגרות עז יולי 17 מועד קיץ ב שאלון ,000 א. ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב-. 25% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי, ,000 א ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב- 5% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי, 5% לכן, המחיר החדש הוא: 5,000 00 5 5 00 שקלים ממחירו הקודם 0005 תשובה: מחיר הספה לאחר ההתייקרות הוא

קרא עוד

Microsoft Word - SDAROT 806 PITRONOT.doc

Microsoft Word - SDAROT 806 PITRONOT.doc 5 יח"ל - תרגילים הכנה לבגרות תרגיל 8 נסמן ב- את האיבר הראשון ונסמן ב- את מנת הסדרה. על פי הנתון מתקיים: 6 ( S6 89 89 0 5 0 5 S0 S5 ( 0 5 0 t t 0 6 (. לפיכך, 89 5 נסמן t ונקבל: 5 t או או או 5 t נפסול את

קרא עוד

שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימ

שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימ שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימודי מתמטיקה בשנה א. אין מבחני כניסה לקורסים אלו, אולם

קרא עוד

mivhanim 002 horef 2012

mivhanim 002 horef 2012 מבחן מספר 1 (שאלון 00 חורף תשע"ב) בשאלון זה שש שאלות. תשובה מלאה לשאלה מזכה ב- 5 נקודות. מותר לך לענות, באופן מלא או חלקי, על מספר שאלות כרצונך, אך סך הנקודות שתוכל לצבור לא יעלה על. 100 אלגברה (x+ 5)

קרא עוד

ע 001 ינואר 10 מועד חורף פתרונות עפר

ע 001 ינואר 10 מועד חורף פתרונות עפר בגרות ע 00 ינואר 0 שאלון 50 הציר האופקי, ציר ה-, x מתאר את הזמן שעובר, בשניות, מתחילת השחייה כל משבצת היא בת 0 שניות הציר האנכי, ציר ה - y, מתאר את המרחק מקצה הבר כה כל משבצת היא בת 0 מטר כאשר הקו עולה

קרא עוד

Microsoft Word - 14

Microsoft Word - 14 9-5-27-4 - פתרון מבחן מס' 4 (ספר לימוד שאלון 3586) קמ"ש $ y קמ"ש % ppleסמן ב- קמ"ש את מהירות המכוppleית וב- y קמ"ש את מהירות המשאית () $ y 4 המשאית הגיעה ל- B לאחר המפגש עם המכוppleית כלומר ppleקבל את

קרא עוד

<4D F736F F D20EEE4F4EA20EEE0E420F9ECE5F9E9ED20E5F9E1F22E646F63>

<4D F736F F D20EEE4F4EA20EEE0E420F9ECE5F9E9ED20E5F9E1F22E646F63> 1 ----- ואלה עיקריו של המהפך במתמטיקה - 1 הוא המספר האי רציונלי היחידי, וכל שאר המספרים הם רציונליים. בפיסיקה - מסלולי התנועה הטבעיים של כוכבים, הם מסלולים בורגיים. בגיאומטריה - פאי משתנה ואינו קבוע. המהפך

קרא עוד

פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה -

פסגות עש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה - פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה יחס פרופורציה וקנה מידה נוסחאות הכפל המקוצר ופירוק לגורמים פתרון משוואות, אי שוויונות ומערכת משוואות ממעלה ראשונה שאלות מילוליות משוואות ריבועיות שברים

קרא עוד

מבחן חוזר במכניקה 55 א יא יח""ללח פתור 3 מהשאלות 1-5 לכל שאלה 33%. חומר עזר מותר מחשבון ונוסחאון של בגרות. v m sec משך הבחינה 105 דקות. שאלה מספר 1 4

מבחן חוזר במכניקה 55 א יא יחללח פתור 3 מהשאלות 1-5 לכל שאלה 33%. חומר עזר מותר מחשבון ונוסחאון של בגרות. v m sec משך הבחינה 105 דקות. שאלה מספר 1 4 מבחן חוזר במכניקה 55 א יא יח""ללח פתור 3 מהשאלות 1-5 לכל שאלה 33%. חומר עזר מותר מחשבון ונוסחאון של בגרות. v sec משך הבחינה 105 דקות. שאלה מספר 1 4 גוף נע לאורך ציר X כך שברגע. x הוא נמצא 0 t 0-10 16 19

קרא עוד

HaredimZ2.indb

HaredimZ2.indb יחידה :31חופפים משולשים נחפוף משולשים ונוכיח תכונות של אלכסוני משולשים שווה שוקיים ואלכסוני המלבן. שיעור.1חופפים במשולש שווה שוקיים נחקור ונוכיח תכונות של משולש שווה שוקיים נתון משולש שווה שוקיים שבו.

קרא עוד

<4D F736F F D20FAF8E2E5EC20E0ECE2E1F8E420EEF2E5F8E D F9E0ECE5FA2E646F63>

<4D F736F F D20FAF8E2E5EC20E0ECE2E1F8E420EEF2E5F8E D F9E0ECE5FA2E646F63> < 0 a b b a > 0 נתון: מכאן ניתן לומר בוודאות כי -. a < b ab < 0 a 0 b > לא ניתן לקבוע בוודאות.. ( 0)?. לא ניתן לדעת. + ( + ) ( ) + + נתון: כמה ערכי שונים מקיימים את המשוואה?. אינסוף 0 +. תשובות ו נכונות

קרא עוד

מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית

מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית צוות המתמטיקה במטח: ראש תחום מתמטיקה: ד"ר שרה הרשקוביץ מנהלת צוות פיתוח מתמטיקה לבית הספר העל יסודי: ד"ר בבה שטרנברג צוות הפיתוח: רגינה אובודנקו, ד"ר אלכס אוליצין, אסנת

קרא עוד

ðñôç 005 î

ðñôç 005 î ו - משופר נספח לשאלון 005 9005 תוכן עניינים: עמ' סדרות תוספת לאי-שיוויונים ממעלה שניה יישומים 40 (כולל יישום במשפט ויאטה לעומת הנספח הקודם, השאלות הבאות הוחלפו : עמ ' שאלה עמ ' שאלה עמ ' שאלה 6,7,8,9 0,

קרא עוד

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות)

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות) 5 עבודת קיץ לתלמידי כיתה ט' העולים לכיתה י )רמה יחידות( את העבודה יש להגיש למורה למתמטיקה תחילת שנה הבאה. בשבועיים הראשונים של שנת הלימודים יתקיים מבחן לפי העבודה. לעבודה חלקים:. תרגול בסיסי לתלמידי 5

קרא עוד

מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignment 2 solution - Finding Roots of Nonlinear Equations y cos(x) שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y x 3 1 ושל ממש פתרונות

מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignment 2 solution - Finding Roots of Nonlinear Equations y cos(x) שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y x 3 1 ושל ממש פתרונות מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignmnt 2 solution - Finding Roots of Nonlinar Equations y cos() שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y 3 1 ושל ממש פתרונות בעזרת שיטת החצייה ובעזרת Rgula Falsi )אין צורך לפתור אנליטית(

קרא עוד

. [1,3] ו = 0 f(3) f(1) = עמוד 1 מתוך 6 דר' ז. אולחא מס' הקורס 9711 חדו''א הנ מכונות 1 f ( x) = ( x 1)( x 2)( x 3) c= f c = c (1,3), c תשובות I 1) פונ

. [1,3] ו = 0 f(3) f(1) = עמוד 1 מתוך 6 דר' ז. אולחא מס' הקורס 9711 חדו''א הנ מכונות 1 f ( x) = ( x 1)( x 2)( x 3) c= f c = c (1,3), c תשובות I 1) פונ . [,] ו 0 f() f() עמוד מתוך 6 ז. אולחא מס' הקורס 97 חדו''א הנ מכונות f ( ) ( )( )( ) f (,), תשובות I ) פונ' לכן קיים פתרון רציפה וגזירה בקטע כך ש 0 ) (? f ( ) +, ± ± 0.58 (, ),.58,.4 יש n פעמים להשתמש

קרא עוד

פיסיקה 1 ב' מרצים: גולן בל, משה שכטר, מיכאל גדלין מועד ב משך המבחן 3 שעות חומר עזר: דף נוסחאות מצורף, מחשבון אסור בהצלחה! חלק א'

פיסיקה 1 ב' מרצים: גולן בל, משה שכטר, מיכאל גדלין מועד ב משך המבחן 3 שעות חומר עזר: דף נוסחאות מצורף, מחשבון אסור בהצלחה! חלק א' פיסיקה 1 ב' 203-1-1391 מרצים: גולן בל, משה שכטר, מיכאל גדלין מועד ב 03.08.2017 משך המבחן 3 שעות חומר עזר: דף נוסחאות מצורף, מחשבון אסור בהצלחה! חלק א' - שאלות אמריקאיות (כל שאלה - 5 נק') - יש לסמן תשובה

קרא עוד

rizufim answers

rizufim answers ÌÈÙÂˆÈ מדריך למורה פעילות זו היא פעילות חקר לבדיקת כל אפשרויות הריצוף שבהן סידור מצולעים סביב קודקוד הוא זהה. המצולעים שבהם ישתמשו התלמידים הם: משולש שווה צלעות, משושה משוכלל וריבוע - כולם בעלי צלע באותו

קרא עוד

אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,653 באר-שבעISRAEL 10584P.O.B. 653, BEER SHEVA , המזכירות האקדמית המרכז ללימודים

אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,653 באר-שבעISRAEL 10584P.O.B. 653, BEER SHEVA , המזכירות האקדמית המרכז ללימודים אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,65 באר-שבעISRAEL 058P.O.B. 65, BEER SHEVA 8 05, המזכירות האקדמית המרכז ללימודים קדם אקדמיים אלגברה - נוסחאות הכפל מקוצר גיליון תרגילים מס'

קרא עוד

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות)

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות) עבודת קיץ לתלמידי כיתה ט' העולים לכיתה י )רמה יחידות( את העבודה יש להגיש למורה למתמטיקה תחילת שנה הבאה. בשבועיים הראשונים של שנת הלימודים יתקיים מבחן לפי העבודה. לעבודה חלקים:. תרגול בסיסי לתלמידי יחידות

קרא עוד

חלק א' – הקדמה

חלק א' – הקדמה ספרות עזר: סירס-זימנסקי/פיסיקה תיכונית, קול וחום, פרקים ו- ; 3 חשמל ומגנטיות א', 5.8 Resnick & Halliday /Physics, part I,.4 Sears & Zemansky /Univesity Physics, 15.1, 16.6, 17.10, 8.8-8.9.1..3 מבוא מצבי

קרא עוד

תרגיל 5-1

תרגיל 5-1 תרגיל 1 יחסי העדפה, פונקציות תועלת, עקומות אדישות וקווי תקציב כל השאלות להלן מתייחסות לצרכן שהעדפותיו מוגדרות על סלי צריכה של שני מוצרים. העדפות אלה הן רציונאליות (ז"א, מקיימות את תכונות השלמות והטרנזיטיביות).

קרא עוד

תרגול מרובעים- מקבילית נתונה מקבילית בעלת היקף בגודל 33 ס"מ, כמו כן אחת מצלעות המקבילית שווה ל- 8 ס"מ. מהו גודלה של שאר צלעות המקבילית בס"מ?.1 8 נתונה

תרגול מרובעים- מקבילית נתונה מקבילית בעלת היקף בגודל 33 סמ, כמו כן אחת מצלעות המקבילית שווה ל- 8 סמ. מהו גודלה של שאר צלעות המקבילית בסמ?.1 8 נתונה תרגול מרובעים- מקבילית נתונה מקבילית בעלת היקף בגודל 33 ס"מ, כמו כן אחת מצלעות המקבילית שווה ל- 8 ס"מ. מהו גודלה של שאר צלעות המקבילית בס"מ?.1 8 נתונה מקבילית שצלעותיה שוות ל- 3 ס"מ ול- 7 ס"מ. מהו הטווח

קרא עוד

Microsoft Word - dvar hamaarehet_4.8.docx

Microsoft Word - dvar hamaarehet_4.8.docx מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי المرآز القطري لمعلمي الرياضيات في المرحلتين الاعدادية والثانوية מרובע חסום ועקשן, או נכדי מסר לטיפולי בעיה בגיאומטריה מדור: כתב: תקציר: זה קרה לי בכיתה אברהם

קרא עוד

1 מבחן משווה בפיסיקה כיתה ז' משך המבחן 90 דקות מבנה השאלון : שאלון זה כולל 4 שאלות עליך לענות על כולן.כתוב את הפתרונות המפורטים בדפים נפרדים וצרף אותם

1 מבחן משווה בפיסיקה כיתה ז' משך המבחן 90 דקות מבנה השאלון : שאלון זה כולל 4 שאלות עליך לענות על כולן.כתוב את הפתרונות המפורטים בדפים נפרדים וצרף אותם 1 מבחן משווה בפיסיקה כיתה ז' משך המבחן 90 דקות מבנה השאלון : שאלון זה כולל 4 שאלות עליך לענות על כולן.כתוב את הפתרונות המפורטים בדפים נפרדים וצרף אותם בהגשה לטופס המבחן. חומרי עזר: 1.מחשבון. נספח הנוסחאות

קרא עוד

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות)

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות) עבודת קיץ לתלמידי כיתה ט' העולים לכיתה י )רמה - יחידות( את העבודה יש להגיש למורה למתמטיקה תחילת שנה הבאה. בשבועיים הראשונים של שנת הלימודים יתקיים מבחן לפי העבודה. התייחסות רצינית להכנת העבודה היא תנאי

קרא עוד

תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: כל הזכויות שמורות

תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: כל הזכויות שמורות תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: st.negishut@weizmann.ac.il תוכן העניינים מטרות התיק... 3 זמני עבודה משוערים... 3 החומרים והעזרים הדרושים... 4 רקע... 5 הצעה למהלך העבודה...

קרא עוד

<4D F736F F D20F4F8F720E7F9E9E1E420EBEEE5FAE9FA203120E9E5ECE E646F63>

<4D F736F F D20F4F8F720E7F9E9E1E420EBEEE5FAE9FA203120E9E5ECE E646F63> הסברים לפרק כמותי : :úåðåëðä úåáåùúä 0 9 8 7 6 5 5 0 9 8 7 6 5. התשובה הנכונה היא: (). עלינו לקבוע איזה מהביטויים שבתשובות אינו זוגי. משום שהשאלה עוסקת בתכונת הזוגיות, ננסה ללמוד מהנתון על זוגיותם של x

קרא עוד

פתרון וחקירת מערכות של משוואות לינאריות שאלות: 1( מצא אילו מהמערכות הבאות הן מערכות שקולות: 2x+ y= 4 x+ y= 3 x y = 0 2x+ y = 3 x+ 10y= 11 א. 2x 2y= 0

פתרון וחקירת מערכות של משוואות לינאריות שאלות: 1( מצא אילו מהמערכות הבאות הן מערכות שקולות: 2x+ y= 4 x+ y= 3 x y = 0 2x+ y = 3 x+ 10y= 11 א. 2x 2y= 0 פתרון וחקירת מערכות של משוואות לינאריות שאלות: 1( מצא אילו מהמערכות הבאות הן מערכות שקולות: x+ y= x+ y= 3 x y = 0 x+ y = 3 x+ 10y= 11 x y= 0 x y= 7 x y= 1 ד x = 3 x+ y = z+ t = 8 רשום את המטריצות המתאימות

קרא עוד

דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n 1. y' n x n, y הנגזרת x.1 נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- (. x א. נחסר אחד מהחזקה. ב

דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n 1. y' n x n, y הנגזרת x.1 נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- (. x א. נחסר אחד מהחזקה. ב דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n n n, y הנגזרת נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- ( א נחסר אחד מהחזקה ב 7 y כאשר גוזרים כופלים בחזקה, 7 כלומר נרשום אותה משמאל ל-, ובחזקה של

קרא עוד

Microsoft Word - אלגברה מעורב 2.doc

Microsoft Word - אלגברה מעורב 2.doc תרגול אלגברה? ( ), (6 ) 6 9 נתון:. מהו ערכו של. () () () (). למה שווה? a ai. נתון: a + 9 + 6a () () 7 () () אף תשובה אינה נכונה?. ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( ) () () () (). נתון: + 0 z z z iz

קרא עוד

תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L

תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L, K סימני יחס חד מקומיים,R לכל אחד מהביטויים הבאים,

קרא עוד

אי שוויונים ממעלה ראשונה לארבע יחידות

אי שוויונים ממעלה ראשונה לארבע יחידות אי שיוונים ממעלה ראשונה ל יח"ל. נעמי ברנס/כהן. המחברות: מיטל מתלון/מיכאלי. רטל חדד/בן רחמים הנחיות לשימוש בחוברת "אי שויונים ממעלה ראשונה" לתלמידי יח"ל החוברת מיועדת ללימוד עצמאי למי שלא למד את הנושא.

קרא עוד

<4D F736F F D20F4F2E5ECE5FA20EEE5EEF6E0E5FA20312E646F63>

<4D F736F F D20F4F2E5ECE5FA20EEE5EEF6E0E5FA20312E646F63> 1 תרגול פעולות מומצאות ( ( $ מה מהתשובות לא יכולה להיות תוצאה של הפעולה ) ( $ 1 הוגדרה פעולה חדשה $ + 1 1 + 10 + () () מה תוצאת הפעולה ) ( @ @ 10 = הוגדרה הפעולה החדשה 10 1 () 10 () 10 $ 19 $ 17 a) ( $

קרא עוד

התפלגות נורמלית מחודש

התפלגות נורמלית מחודש התפלגות נורמלית בקובץ זה מופיעות שאלות בנושא התפלגות נורמלית שמחליפות את שאלות המאגר ותוספותיו, הקיימות עד כה שאלות אלה יכולות להיפתר מבלי להמיר את ערכי המשתנה לציוני תקן, ומבלי להשתמש בטבלת ההתפלגות הנורמלית

קרא עוד

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 1

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 1 חשבון אינפיניטסימלי מתקדם הסיכומים של דינה מבוסס על הרצאות ותרגולים מאת: פרופ' רז קופרמן מר אורי שפירא ירושלים 007 תוכן עניינים מרחבים מטריים 3 נספח א' נספח ב' הגדרות ודוגמאות 3 קבוצות מיוחדות במרחב מטרי

קרא עוד

. שאלה 1: ה אי x] T : R 4[ x] R 4[ אופרטור ליניארי מוגדר על-ידי T( ax bx cx d) bx ax cx c )13 נק'( א( מצאו את הערכים העצמיים, המרחבים העצמיים

. שאלה 1: ה אי x] T : R 4[ x] R 4[ אופרטור ליניארי מוגדר על-ידי T( ax bx cx d) bx ax cx c )13 נק'( א( מצאו את הערכים העצמיים, המרחבים העצמיים שאלה : ה אי x] : R4[ x] R4[ אופרטור ליניארי מוגדר על-ידי ( ax bx cx d) bx ax cx c )3 נק'( א( מצאו את הערכים העצמיים המרחבים העצמיים והפולינום המורכב מוקטורים עצמיים של R [ [x האופייני של מצאו בסיס של 4

קרא עוד

פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד

פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה 2-7012610-3 תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד ב' שם המרצה: ערן עמרי, ענת פסקין-צ'רניאבסקי חומר עזר:

קרא עוד

. m most לכל אורך השאלה, במקרה של כוח חיכוך: = 0.01 [kg]; μ א. נתון: = 0.1 k f k = μ k N = μ k mg a = μ k g תור ראשון: לאחר שג'וני גלגל את הגולה הראשו

. m most לכל אורך השאלה, במקרה של כוח חיכוך: = 0.01 [kg]; μ א. נתון: = 0.1 k f k = μ k N = μ k mg a = μ k g תור ראשון: לאחר שג'וני גלגל את הגולה הראשו . m mot לכל אורך השאלה, במקרה של כוח חיכוך: = 0.01 [kg; μ א. נתון: = 0.1 k f k = μ k N = μ k mg a = μ k g תור ראשון: לאחר שג'וני גלגל את הגולה הראשונה שלו ל (3 (,2, צ'אק מכוון לעברה ופוגע. חישוב המרחק

קרא עוד

Microsoft Word - ExamA_Final_Solution.docx

Microsoft Word - ExamA_Final_Solution.docx סמסטר חורף תשע"א 18 בפבואר 011 הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצה: מתרגלים: רן אל-יניב נועה אלגרבלי, גיא חפץ, נטליה זילברשטיין, דודו ינאי (אחראי) סמסטר חורף תשע" מבחן סופי פתרון (מועד

קרא עוד

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם י

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם י עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם יודעים כיצד לפתור אותן. את העבודה יש להגיש במהלך השבוע

קרא עוד

אלגברה ליניארית תאוריה ותרגילים פרופ' שלמה הבלין, אוניברסיטת בר אילן ד"ר יפית מעין, מרכז אקדמי לב

אלגברה ליניארית תאוריה ותרגילים פרופ' שלמה הבלין, אוניברסיטת בר אילן דר יפית מעין, מרכז אקדמי לב אלגברה ליניארית תאוריה ותרגילים פרופ' שלמה הבלין, אוניברסיטת בר אילן ד"ר יפית מעין, מרכז אקדמי לב 1 א. תכונות וקטורים תוכן עניינים 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 7 8 9 9 10 10 11 11 12 12 וקטור שוויון וקטורים

קרא עוד

צירים סמויים - דגם סוס SOSS צירים 4 CS55555 CS5552 CS5554 CS55505 מק"ט דגם 34.93mm 28.58mm 25.40mm 19.05mm מידה A 26.99mm 22.23mm 18.2

צירים סמויים - דגם סוס SOSS צירים 4 CS55555 CS5552 CS5554 CS55505 מקט דגם 34.93mm 28.58mm 25.40mm 19.05mm מידה A 26.99mm 22.23mm 18.2 סמויים - דגם סוס SOSS CS55555 CS555 CS555 CS55505 0 18 16 1 דגם.9mm 8.58mm 5.0mm 19.05mm מידה A 6.99mm.mm 18.6mm 1.9mm מידה B 19.70mm 17.8mm 117.8mm 95.5mm מידה C 1.70mm 9.5mm 5.56mm.97mm מידה D 7.1mm

קרא עוד

במתמטיקה בגרויות + פתרונות וידאו מלאים (3 יח ל שאלון 182/183) וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL פתרונות הבחינות הראשונות במתנה! שתי אפליק

במתמטיקה בגרויות + פתרונות וידאו מלאים (3 יח ל שאלון 182/183) וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL פתרונות הבחינות הראשונות במתנה! שתי אפליק במתמטיקה בגרויות + פתרונות וידאו מלאים ( יח ל שאלון 8/8) וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MYGEVACOIL פתרונות הבחינות הראשונות במתנה! שתי אפליקציית MYGEVA חדש! אותי מאחור חפשו לשנת 08-09 עדכני הקדמה מורים

קרא עוד

תכנון אלגוריתמים עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 02: , בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 003 מתרגל אחראי: אורי 0

תכנון אלגוריתמים עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 02: , בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 003 מתרגל אחראי: אורי 0 22 עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 2: 622, בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 3 מתרגל אחראי: אורי הוראות כלליות: כל עוד לא נאמר אחרת, כאשר הנכם מתבקשים לתאר אלגוריתם יש לספק את הבאות: תיאור

קרא עוד

מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: סמסטר: א תשע"ח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מו

מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: סמסטר: א תשעח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מו מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: 26.01.2018 2 סמסטר: א תשע"ח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מורכבת מ- 6 שאלות. כל שאלה מזכה ב- 20 נקודות כך הנקודות

קרא עוד

מבנים בדידים וקומבינטוריקה סמסטר אביב תשע"ט מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s, הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול(, קיים

מבנים בדידים וקומבינטוריקה סמסטר אביב תשעט מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s, הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול(, קיים מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול( קיים תת-גרף שלם K s שצבוע בכחול או שקיים תת-גרף שלם K t שצבוע באדום. הגדרה שקולה: עבור גרף עם לפחות (t

קרא עוד

פתרונות לדף מס' 5

פתרונות לדף מס' 5 X הוכיחו כי קבוצה X סגורה אמ"מ פתוחה P נקודה כלשהי עלינו למצוא כך ש- X P X פתרון: תהא X קבוצה סגורה ניקח נניח בשלילה כי לא קיים כזה, ז"א לכל קיימת כך ש- X מכיוון ש- P P נסיק כי d P, P סגורה מתקיים P B

קרא עוד

משוואות דפרנציאליות רגילות /ח

משוואות דפרנציאליות רגילות /ח qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty Version 10 uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq משוואות דפרנציאליות רגילות /ח wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

קרא עוד

שם כיף עם ג'ף מאגר פעילויות חלק א' חוברת של פעילויות מתמטיות: העשרה, העמקה, משחקים ואתגרים כיתה

שם כיף עם ג'ף מאגר פעילויות חלק א' חוברת של פעילויות מתמטיות: העשרה, העמקה, משחקים ואתגרים   כיתה שם כיף עם ג'ף מאגר פעילויות חלק א' חוברת של פעילויות מתמטיות: העשרה, העמקה, משחקים ואתגרים www.kefwithjeff.org כיתה Happy New Year 8 0 80 80 0 8 8 8 8 8 08 8 0 0 בכל שורה ובכל טור יש את המספרים עד כולל.

קרא עוד

פתרונות מלאים לשלב א' אולימפיאדה ארצית במתמטיקה חטיבה כיתות ז' 1. נתונה המשוואה השגויה הבאה: הזיזו גפרור אחד בלבד כדי שהמשוואה תהיה נכונה. פתרון לחידו

פתרונות מלאים לשלב א' אולימפיאדה ארצית במתמטיקה חטיבה כיתות ז' 1. נתונה המשוואה השגויה הבאה: הזיזו גפרור אחד בלבד כדי שהמשוואה תהיה נכונה. פתרון לחידו פתרונות מלאים לשלב א' אולימפיאדה ארצית במתמטיקה חטיבה כיתות ז'. נתונה המשוואה השגויה הבאה: הזיזו גפרור אחד בלבד כדי שהמשוואה תהיה נכונה. לחידות גפרורים יש לעיתים פתרונות רבים. אנו הצענו במחוון אחד: ישנו

קרא עוד

מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות

מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות תורת הקבוצות מושגים בסיסיים מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות חוברת תרגילים כתוב באופן מפורש את הקבוצות הבאות: 5 2x + 3< היא קבוצת המספרים השלמים המקיימים : 7 B היא קבוצת האותיות הקודמות לאות f באלף-בית הלטיני.

קרא עוד

Algorithms Tirgul 1

Algorithms Tirgul 1 - מעגלי אוילר ומסלולי אוילר תרגול 1 חידה: האם אפשר לצייר את הציורים הבאים בלי להרים את העיפרון מהנייר? 1 קצת אדמיניסטרציה אופיר פרידלר ophir.friedler@gmail.com אילן כהן - ilanrcohen@gmail.com שעות קבלה

קרא עוד

אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מבוא למדעי המחשב מועד א' סמסטר ב', תשע"ג, משך המבחן: שעתיים וחצי חומר עזר: אסור הנחיות: וודאו כי יש בידיכם

אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מבוא למדעי המחשב מועד א' סמסטר ב', תשעג, משך המבחן: שעתיים וחצי חומר עזר: אסור הנחיות: וודאו כי יש בידיכם אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מבוא למדעי המחשב מועד א' סמסטר ב', תשע"ג,.6.013 משך המבחן: שעתיים וחצי חומר עזר: אסור הנחיות: וודאו כי יש בידיכם 8 עמודי שאלון )כולל עמוד זה(. עליכם לכתוב את התשובות על

קרא עוד

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation מה הם הגורמים שקובעים את רמת הפעילות הכלכלית, שער הריבית, רמת המחירים ורמת התעסוקה? הפעילות המשותפת במספר שווקים: פעילות ריאלית שוק הסחורות: CIGX-M עקומת IS (r,) שיווי משק ל פעילות מונטרית שוק הכספים:

קרא עוד

תוצאות סופיות מבחן אלק' פיקוד ובקרה קיץ 2014

תוצאות סופיות מבחן  אלק' פיקוד ובקרה קיץ  2014 תוצאות סופיות למערכות אלק' פיקוד ובקרה להנדסאים וטכנאים מועד קיץ תשע"ד 7/2014 פותר המבחן: מתי דוד למרות מאמצי לפתור נכון, יתכן ונפלו טעויות בפתרון, אשמח לקבל הערותיכם בדוא"ל : @hotmail.com ההצלחה שלי היא

קרא עוד

מומנט התמדה

מומנט התמדה מומנט התמדה מילות מפתח: גוף קשיח, מומנט התמד,)nertia( מומנט כוח,)Torque( מטוטלת פיסיקלית, מטוטלת פיתול הציוד הדרוש:, דיסקת אלומיניום תלויה על תייל, גלילים פליז תלויים על תייל, - גלילי פליז עם הברגה, משקלות

קרא עוד

<4D F736F F D20F4FAF8E5EF20EEE5F2E320E020F1EEF1E8F820E120FAF9F2E3>

<4D F736F F D20F4FAF8E5EF20EEE5F2E320E020F1EEF1E8F820E120FAF9F2E3> האקדמית תל אביב-יפו מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות מועד א' סמסטר ב' תשע"ד הפתרון לא נכתב על ידי גורם רשמי ובהחלט יכול להיות שנפלו טעויות פה ושם עשיתי כמיטב יכולתי אבל תשימו לב ותפעילו שיקול דעת אשמח לשמוע

קרא עוד

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות)

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות) - עבודת קיץ לתלמידי כיתה ט' העולים לכיתה י )רמה יחידות( את העבודה יש להגיש למורה למתמטיקה תחילת שנה הבאה. בשבועיים הראשונים של שנת הלימודים יתקיים מבחן לפי העבודה. לעבודה חלקים:. תרגול בסיסי לכל תלמידי

קרא עוד