Microsoft Word - madar1.docx

תמליל

1 משוואות דיפרנציאליות רגילות גיא סלומון

2 סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפני קורס חשוב זה. הספר עוסק במשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר או מישדי"פ) והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה - אוניברסיטאות או מכללות. הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד, בהתאם לתוכניות הלימוד השונות. הניסיון מלמד כי לת רגוּל בקורס זה חשיבות יוצאת דופן, ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו. לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר הפתרונות מוגשים בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי. הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה. תקוותי היא, שספר זה ישמש מורה-דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה. גיא סלומון

3 3 תוכן פרק - משוואות מסדר ראשון... 5 הפרדת משתנים... 5 משוואה הומוגנית... 7 משוואה הומוגנית שיטת ההצבה... 9 משואה מדויקת... גורם אינטגרציה... 3 משוואה לינארית מסדר ראשון... 5 משוואת ברנולי... 7 משוואת ריקטי... 9 משוואות מסדר ראשון וממעלה גבוהה... משפט הקיום והיחידות... פרק - משוואות לינאריות מסדר שני... 3 משוואה חסרה שיטת הורדת סדר המשוואה... 3 משוואה לינאריות, הומוגנית, עם מקדמים קבועים... 5 משוואה לינארית, לא הומוגנית, עם מקדמים קבועים - שיטת השוואת מקדמים... 7 משוואה לינארית, לא הומוגנית, עם מקדמים קבועים שיטת וריאציית הפרמטרים... 9 משוואה לינארית, לא הומוגנית, עם מקדמים קבועים השיטה האופרטורית... 3 משוואה לינארית, עם מקדמים לא קבועים שיטת משוואת אוילר משוואה לינארית, כללית שיטת הפתרון השני פרק - 3 משוואות לינאריות מסדר n משוואות לינאריות, הומוגניות עם מקדמים קבועים שיטת השוואת מקדמים שיטת וריאציית פרמטרים השיטה האופרטורית פרק - 4 מערכת משוואות לינאריות... 4 חזרה מאלגברה לינארית ערכים עצמיים, וקטורים עצמיים... 4 מערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, הומוגניות, עם מקדמים קבועים שיטת הלכסון מערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, לא הומוגניות, עם מקדמים קבועים שיטת וריאציית הפרמטרים מערכת משוואות כללית שיטת ההצבה פרק - 5 פתרון משוואות לינאריות באמצעות טורים פתרון מד"ר בעזרת טורים סביב נקודה רגולרית פתרון מדר בעזרת טורים נקודה רגולרית-סינגולרית... 5 פרק - 6 התמרת לפלס התמרת לפלס והתמר הפוכה התמרת לפלס ההפוכה פתרון מד"ר בעזרת התמרת לפלס... 64

4 4 פרק - 7 שימושים של משוואות דיפרנציאליות בעיות גיאומטריות עקומות אורתוגונליות בעיות גדילה ודעיכה בעיות שונות... 7 דפי נוסחאות (נגזרות, אינטגרלים, טריגו, אלגברה, טורי טילור, התמרות לפלס) נוסחאות - נגזרות נוסחאות - אינטגרלים נוסחאות - טריגו נוסחאות - אלגברה נוסחאות - טורי מקלורן של פונקציות חשובות נוסחאות - התמרת לפלס סיכום מד"ר... 8 משוואות הניתנות להפרדת משתנים... 8 משוואות הומוגניות (ניתנות להפרדת משתנים בעזרת הצבה מתאימה)... 8 ( a + b y+ c) d+ ( a+ b y+ c ) dy= משוואות מהצורה משוואות לינאריות מסדר ראשון משוואת ברנולי משוואות מדויקות ) לינארית על ידי הצבה) משוואות כמעט מדויקות (מדוייקות לאחר הכפלה בגורם אינטגרציה) משוואות מסדר ראשון וממעלות גבוהות הורדת סדר המשוואה משוואות הומוגניות עם מקדמים קבועים משוואות לא הומוגניות עם מקדמים קבועים - השוואת מקדמים משוואות לא הומוגניות עם מקדמים קבועים - וריאציית פרמטרים... 9 משוואות לא הומוגניות עם מקדמים קבועים - שיטות קצרות (שיטה אופרטורית)... 9 התמרת לפלס פתרון מד"ר באמצעות התמרת לפלס: נוסחאות - התמרת לפלס פתרון מד"ר בעזרת טורים - נקודה רגולרית פתרון מערכת מד"ר כללית - שיטת החילוץ פתרון מערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון - שיטת הלכסון אלגוריתם פתרון (וריאציית פרמטרים):... פתרון נומרי (מקורב) של מד"ר מסדר ראשון (שיטת רונגה-קוטה)... בעיות מילוליות גיאומטריות...

5 5 פרק - משוואות מסדר ראשון הפרדת משתנים מדר הניתנת להפרדת משתנים - הסבר הסבר מהי משוואה דיפרנציאלית הניתנת להפרדת משתנים וכיצד פותרים אותה. פתור את המשוואות הבאות: dy = d y ( ( ) y ' = y ( yy y ' = y() = ; ( ) dy = 4 y d y() = ; dy = y+ 3y 3 9 d ( y + y) d ( y y ) dy= (6 dy = t( y + 4) dt (7 d dt = + y π = y + y = ( ) ; ' sin (8 (9 dy d y() = 4 ; = y sec ( dy y( ) = ; = d y 3 + (

6 6 תשובות: y=± + k 3 y=± + k 3 y =, y ln c = + = + + y c ln y = ln 4 ln y 3 = + 3+ ln y + = + c, y= y= t + k tan( ) = + tan( t+ c) y= cos ln y = tan + ln 5.5 y = + ( ( (6 (7 (8 (9 ( ( (

7 7 משוואה הומוגנית פונקציה הומוגנית - הסבר הגדר והדגם את המושג פונקציה הומוגנית של שני משתנים. מדר הומוגנית - הסבר הסבר מהי משוואה דיפרנציאלית הומוגנית וכיצד פותרים אותה. פתור את המשוואות הבאות: 3 3 ( y + ) d+ y dy= 4 y 3 y ' = y y + y ' = yy ' ( ( y+ y ) d+ ( + y) dy= y y y cos d+ cos dy= ( / y) ye y' = y + y e + e ( / y) ( / y) ( ) y() = ; y+ + y d dy= 3 3 ( t ) dt+ 6 t+ t ) d=. ( y + ) d+ y n dy= נתונה המשוואה מה צריך להיות הערך של הקבוע n על מנת שהמשוואה תהיה הומוגנית. א. פתור את המשוואה עבור הערך של n שמצאת בסעיף א. ב. (6 (7 (8 (9

8 8 תשובות: 6 3 ln = ln ( y / ) + + c, y= 5 ln = ln ( y / ) ln ( y / ) c, y=, y= ln = ln ( y / ) ( y / ) + c, y= ln = ln ( y / ) c, y=, y= 4 ( ) ( / y) /3 ln = sin( y / ) + c ln + e = ln y + c, y= ln y = sinh + t = t t + c t = t = t ln ln ( / ) ( / ), ( ), ( ) ( ( ) ) n=, ln = ln + y / + c 4 c ( ( (6 (7 (8 (9

9 9 משוואה הומוגנית - שיטת ההצבה מדר הומוגנית, פתרון על ידי הצבה - הסבר ( a + b y+ c ) d+ ( a + b y+ c ) dy= הסבר כיצד פותרים משוואות מן הצורה פתור את המשוואות הבאות: dy + + y = ( d + + y ( + y+ 3) d+ (+ 4 y ) dy = dy y + 5 = d y 4 d 3+ + y = dy + + y (+ y 3) d+ ( + y ) dy= (

10 תשובות: = ( + y+ ) + ln(( + y+ ) + ) + + c, y= = 4 ( + + 3) + y y k y+ 3 y+ ln = ln ln + + c, y= 3, y= y+ y + ln = (+ ) ln + ( + ) ln + + c, y =.5.5, y = ( ( y+ y+ ln = ln c

11 משואה מדויקת מדר מדויקת - הסבר הסבר מהי משוואה דיפרנציאלית מדויקת וכיצד פותרים אותה 3 ( ) פתור את המשוואות הבאות: + 3 y d+ + y ) dy= y ( 3 y ) ( ) y e + 4 d+ ye 3y dy = ( ( y y ( ) ( ) y cos + e d+ sin + e dy= ( ) + y sin d y cos dy= y y + d+ + y( + ) dy= ( + y) + y 3 3 ( t ) dt+ 6 t+ t ) d= 3 y dy= + ye ) d+ ( y + ke ) באשר k קבוע. נתונה המשוואה מה צריך להיות הערך של הקבוע k על מנת שהמשוואה תהיה מדויקת. א. פתור את המשוואה עבור הערך של k שמצאת בסעיף א. ב. (6 (7

12 תשובות: y+ y y= c y 4 3 e + y = c y y sin + e y= c y cos y = c ln ( ) ln + y + + y + = c 3 4 t t+ = c y 4 3 y k =, + e + = c ( ( (6 (7

13 3 גורם אינטגרציה גורם אינטגרציה - הסבר הסבר מהו גורם אינטגרציה והראה כיצד ניתן בעזרתו להפוך משוואה לא מדוייקת למשוואה מדויקת. 3 הראה שהמשוואה = ' y y + ( + y ) אינה מדויקת ופתור אותה בעזרת גורם. y 3 האינטגרציה sin y cos y+ e cos e sin d+ dy= הראה שהמשוואה y y ( (. אינה מדוייקת ופתור אותה בעזרת גורם האינטגרציה ye ydy= ( + ) sin yd+ cos אינה מדוייקת ופתור אותה בעזרת גורם 3) הראה שהמשוואה אינטגרציה. e. ( ) ( ) + y + d+ y dy= 4) פתור את המשוואה. ( ) y d+ ydy= 5) פתור את המשוואה. ( ) ( ) y + y d+ y dy= 6) פתור את המשוואה. ( ) y y d+ dy= 7) פתור את המשוואה. ( ) ( ) y y d+ + y dy= 8) פתור את המשוואה. y ' = 3y + y 3 4 9) פתור את המשוואה

14 4 תשובות: y + + y = c.5 ln e sin y+ y cos = c sin y e = c y + = c.5.5 ln( ) 3 + y = c y + y+ = c = c y ln + y= c y 3 3 y + = y 3 3 ( ( (6 (7 (8 (9

15 5 משוואה לינארית מסדר ראשון מדר ליניארית מסדר ראשון - הסבר הגדר משוואה לינארית מסדר ראשון והסבר כיצד פותרים אותה. פתור את המשוואות הבאות: dy y 4 ( d + = 3 y ' = y+ + 3 ( ( ) y ' = y+ ( ) 3 y ' + ( 3 ) y= 3 3 dy y() = ; + y= + t dt dy y cot 5e d + = cos y ' y cot = (6 (7 π = + = z( ) ; z ' z cos (8

16 6 תשובות: y= + C e y = + 3 ln + C y= ( ) 4+ C 3 3 y= + C e sin y= t+ e t cos y = 5e + C [ cot ] y= + C sin sin z= ( ( (6 (7 (8

17 7 משוואת ברנולי משוואות ברנולי - הסבר הגדר את משוואת ברנולי והסבר כיצד ניתן לפתור אותה. פתור את המשוואות הבאות: 3 y ' + y y = ( ( + ) y ' y y = dy y y d = / y() =.5 ; y ' + 5 y= y 4 3 z ' cot z= z sin 3 (

18 8 תשובות: y=± + c y= + C ( ( y= + C y= e 5 5e 5 + e z=± sin cos + C

19 9 משוואת ריקטי משוואת ריקטי - הסבר הגדר את משוואת ריקטי והסבר כיצד ניתן לפתור אותה. פתור את המשוואות הבאות: 5 y ' = e + ( + e ) y+ y ( y ' = ( + + ) (+ ) y y ( y ' = + y+ y y ' = + + cos (+ 4 cos ) y+ y cos תשובות: y( ) = + + Ce e y( ) =.5e + + Ce y( ) 3.5 = + + C y( ) = + cos sin + Ce ( (

20 משוואות מסדר ראשון וממעלה גבוהה הערה dy בתת-פרק זה מסמנים = ' y. p= d מדר מסדר ראשון וממעלה גבוהה - הסבר הגדר משוואה מסדר ראשון וממעלה גבוהה והסבר כיצד פותרים אותה. פתור את המשוואות הבאות: 4 p 4 p y y = ( p + yp 6 y = ( yp y y p y + ( + + ) + + = y= p+ p 4 p yp + 4 = 6 p y + 3 p y= (6

21 תשובות: ( y c) ln y + ln c= (ln y ln c ) (ln y + 3ln c ) = c y ( y+.5 ) ( + c) =, > y=± c+ c y = c + c c 6 y 3 y + = y y c ( ( (6

22 משפט הקיום והיחידות משפט הקיום והיחידות למדר מסדר ראשון - הסבר (), y =- 4 ( נתונה הבעיה y = + + y ) y( ) = +, y( הם פתרונות לבעיה. הוכיחו ש- = 4 קבע באיזה תחום תקף כל אחד מהפתרונות. הסבירו מדוע קיום שני פתרונות לא סותר את משפט היחידות. א. ב. 3 ( ) y =, y = y+ נתונה הבעיה 4 הוכח שהבעיה מקיימת את תנאי משפט הקיום. א. הוכח שהבעיה אינה מקיימת את תנאי היחידות. ב. הוכח שלבעיה קיים פתרון יחיד ומצא אותו. ג. ( ( ) ( ) π פתור את הבעיה: y =, y = + y cos y + sin y ( ) = 4, y = ( )( + ) 5 נתונה הבעיה: y y y הראה שכל פתרון של הבעיה בהכרח חסום מלמטה. א. הראה שלכל פתרון של הבעיה בהכרח עולה בתחום הגדרתו. ב.

23 3 פרק - משוואות לינאריות מסדר שני משוואה חסרה שיטת הורדת סדר המשוואה מדר חסרה מסדר שני הסבר הגדר משוואה חסרה מסדר שני והסבר כיצד ניתן לפתור אותה. פתור את המשוואות הבאות: y '' + y ' = y '' tan = y ' y ' y '' ( y ') + = y '' ln = y ' y '' = e + y ( y ) yy '' + ' = ( y ) y '' y ' = 3 y '' + y ' = ' ( ( (6 (7 (8

24 4 תשובות: y= + C ln + C y= + C cos + C y=± ( C + ) + C ; y=± + C 3C 3/ 3 y= C ( ln ) + C ; y= C 3 y= e ( ) + C + C y = c+ k ; y= c c ( + k) y= c + 4 cot y= ( c+ k) ; y= c ( ( (6 (7 (8

25 5 משוואה לינאריות, הומוגנית, עם מקדמים קבועים מדר ליניארית הומוגנית, מסדר שני, עם מקדמים קבועים הסבר הגדר משוואה לינארית הומוגנית מסדר שני עם מקדמים קבועים והסבר כיצד פותרים אותה. פתור את המשוואות הבאות: y '' y= y '' 4 y ' = y '' 8 y ' + 7 y= z() =, z '() = ; 4 z '' + z ' 5z= y '' y ' + y= ( t) = t t y '' + 4 y= y '' + y = y() =, y '() = ; y '' y ' + y= 5 y '' + 8 y ' + 4 y= ( ( (6 (7 (8 (9 (

26 6 תשובות: y= c e + c e y= c + c e 4 y= c e + c e 7 z = e y= c e + c e ( t) = c e + c te t / t / [ cos sin ] 5 y= e c + c c cos+ c sin y= e sin /5 y= e c cos + c sin ( ( (6 (7 (8 (9 (

27 7 משוואה לינארית, לא הומוגנית, עם מקדמים קבועים - שיטת השוואת מקדמים מדר לינארית, לא הומוגנית, מסדר שני, עם מקדמים קבועים, פתרון בשיטת השוואת מקדמים הסבר הסבר והדגם כיצד פותרים משוואה לא הומוגנית מסדר שני עם מקדמים קבועים בשיטת השוואת המקדמים. פתור את המשוואות הבאות: y '' + 5 y ' + 6 y = + 6 y() =, y '() = 7 ; y '' y ' + y = e ( ( y '' y ' y = 4 sin y '' y= e d y y '' y= 3e cos y '' + 3 y ' = 9 dy 3 + y= + e + e + 4e d d 3 z '' + z = sin y '' 3 y ' + y = e y '' y ' = 6 t '' + 5 ' + 6= e + e t y '' + y ' + 5y= e sin (6 (7 (8 (9 ( ( (

28 8 תשובות: y= c e + c e y= e + 4e + e 3 y= ce + ce + sin cos 5 5 y= c e + c e + e ( ) 3 3 y= ce + ce + e cos + e sin c+ ce + y= ce + ce e 3e + e 3 z= c cos + c sin cos y= c e + c e e y= c e + c e 3 3 = c e + c e + e + te t 3t t t y= e sin ( ( (6 (7 (8 (9 ( ( (

29 9 משוואה לינארית, לא הומוגנית, עם מקדמים קבועים שיטת וריאציית הפרמטרים הסבר כיצד פותרים משוואה לא הומוגנית מסדר שני עם מקדמים קבועים בשיטת וריאצית הפרמטרים. פתור את המשוואות הבאות: y '' + y= ( sin + + = y '' 4 y ' 4 y e ln y '' + y ' + y= 3e + e y() =, y '() = ; y '' y ' + y= y '' 3 y ' + y= + e y '' + 4 y= sec ( (6

30 3 תשובות: y= c cos + c sin cos + sin ln sin y= ce + ce e ln e ln + [ ] 5 3 6( + ) 6( + ) 3/ y= ce + ce e + e ( + ) 5 3 y= e e + e ln ( > ) ( ) ( ) ( ) y= ce + ce + e ln + e + e ln + e + e y= c cos+ c sin + cosln cos + sin 4 ( ( (6

31 3 משוואה לינארית, לא הומוגנית, עם מקדמים קבועים השיטה האופרטורית הסבר כיצד פותרים משוואה לא הומוגנית מסדר שני עם מקדמים קבועים בשיטה האופרטורית. פתור את המשוואות הבאות: ( ) 4 D D y= e + e + 4 ( ) D D+ y = e + e ( ) 4 D + D y= e + e + 4 ( + 4) = sin 5 D y ( 4) = sin cos cos D y ( + ) = cos 3sin D D y ( + 3) = cos cos D D y ( ( (6 (7 ( ad + bd+ c) y= Q( ) ay '' + by ' + cy= הערת סימון ( )Q

32 3 תשובות: y= ce + ce + e 5e y= ce + ce + e + e 9 y= ce + ce 4e + e y= c cos+ c sin sin5 y= ce + ce sin 4 8 y= ce + ce + sin 3 y= ce + ce + sin cos + sin 3 cos ( ( (6 (7

33 33 משוואה לינארית, עם מקדמים לא קבועים שיטת משוואת אוילר מדר ליניארית, מסדר שני, כללית, משוואת אוילר הומוגנית הסבר ותרגיל y y y ( ) ( ) ( ) =, =, y y y + + =, y y y דוגמא : דוגמא : דוגמא 3 : מדר ליניארית, מסדר שני, כללית, משוואת אוילר לא הומוגנית הסבר ותרגיל ( ) ( ) y y + y=, > + = ln, > y y דוגמא : דוגמא : ( (

34 34 משוואה לינארית, כללית שיטת הפתרון השני מדר לינארית, מסדר שני, כללית הסבר ( ) y ( ) = e y + tan y tan + 4 y= ( ) y + y y= פתור כאשר ידוע פתור הסבר את שיטת הפתרון השני לפתרון מד"ר לינארית, לא הומוגנית, מסדר שני. ( ) ( ) ( ) < <, y + y y= הדגם על המד"ר e ( ) כאשר ידוע y = e פתרון של המד"ר ההומוגנית המתאימה. ( ( תשובות: ( ) y= c e + c e sin 4cos ( ) y= c + c + ( (

35 35 פרק - 3 משוואות לינאריות מסדר n משוואות לינאריות, הומוגניות עם מקדמים קבועים מדר ליניארית הומוגנית, מסדר n, עם מקדמים קבועים - הסבר משפטים הקשורים לפתרון משוואות פולינומיאליות - הסבר פתור את המשוואות הבאות: y ''' y '' 3 y ' = ( ) y y y y y + 3 ''' 5 '' 9 ' + 3 = ( y ''' y '' y ' + y= ) y y y 5 '' + 4 = y d 3 d dy 3 d d d ) y= y= y ) + y= (6 (7 (6) y y '' = ( ) D + 3D + D D 3D y= (8) ) y y y = (8 (9 ( z ''' 6 z '' + z ' 8z= ( y ) 4y= (6) ) '' = y() = 3, y '() = 4, y ''() = ; y ''' y '' + y ' y = ( e cos y() =, y '() = 5, y ''() = 9, y '''() = 47; y '''' 3 y ''' + 6 y '' y ' + 8y = נתונה משוואה דיפרנציאלית הומוגנית עם מקדמים קבועים מסדר 6 אשר אחד הפרונות שלה הוא א. מצא את הפתרון הכללי של המשוואה (6

36 36 ב. מצא את המשוואה תשובות: y= c + c e + c e 3 3 y= c e + c e + c e + c e y= c e + c e + c e 3 y= c e + c e + c e + c e 3 4 [ cos sin ] [ cos sin ] y= c e + c e + e c + c 3 4 y = c e + e c + c 4 3 y= e c cos + c sin + e c3 cos + c4 sin y= c + c+ c3e + c4e + cos + sin y= c e + c e + c e + c e + c e [ cos sin ] [ cos sin ] [ cos sin ] [ cos sin ] y= e c + c + e c + c + e c + c + e c + c y= c e + c e + c e 3 y= c e + c e + c cos + c sin 3 4 y= c e + c e + c e + c e + c e + c e y= e + cos + 3sin y= e e + 3cos + 4sin [ ] [ ] [ ] (a) y= e c cos+ c sin + e c cos+ c sin + e c cos+ c sin (b) y '''''' 6 y''''' + 7 y '''' 68 y ''' + 35 y '' 5 y ' + 5y= ( ( (6 (7 (8 (9 ( ( ( (6

37 37 שיטת השוואת מקדמים פתור את המשוואות הבאות: y ''' y '' 3 y ' = sin 4 cos ) y + 3 y ''' 5 y '' 9 y ' + 3y= 8e y y y y 3 ''' '' ' + = y ''' 3 y ' + y= e y ''' y '' + y ' y = sin cos y() =, y '() =, y ''() = ; y ''' y ' = 4e + 3e ) y + y '' = sin cos ( ( (6 (7 תשובות: y= c + c e + c e sin y= c e + c e + c e + c e + e y= c e + c e + c e y= c e + c e + c e + e 6 y= ce + c cos + c3 sin + (cos sin ) 4 3 y= e + e 4 y= c + c+ c3 cos + c4 sin sin + cos 4 ( ( (6 (7

38 38 שיטת וריאציית פרמטרים מדר ליניארית, מסדר n, עם מקדמים קבועים, פתרון בשיטת וריאציית הפרטמרים - הסבר פתור את המשוואות הבאות: y ''' + y ' = cos e y ''' 3 y '' + y ' = + e e y ''' 3 y '' + 3 y ' y= ( ( תשובות: y= c + c cos + c3 sin + ln tan + cos + sin ln cos cos ( ( )) ( ) ( ) ( ) y= c + c e + c e + e + ln e + + e ln e + + e ln + e 3 3 y= ce + ce + c3 e e + e ln 4 ( (

39 39 השיטה האופרטורית מדר ליניארית, מסדר, n חא הומוגנית, עם מקדמים קבועים, פתרון בשיטה האופרטורית - הסבר פתור את המשוואות הבאות: ( ) D D 3D y= 4e e 3 ) 4 y y y y y e e + 3 ''' 5 '' 9 ' + 3 = + ( ) D 6D + 3D D+ 4 y = e + 4e 4 3 ( ) D 8D + D 8D + 7D 4 y = 4e + 8e ( ) D + D + D y = 4 sin(+ ) + cos( + ) ( ) D 8D + D 8D + 7D 4 y = 5 sin D D + D D+ y = ( 3 6 8) 3 sin cos 48 cos 6 ( ( (6 (7

40 4 תשובות: y= c e + c e + c e e + e y= ce + ce + c3e + c4e + e e y= ce + ce + c3e + c4e + 5 e + e y= c e + c e + c e + c e + c e e + e y= c + c + c e + c e + c e + c e sin( ) cos( ) 3 4 y= ce + ce + c3 e + c4 e + c5e + [ 4sin cos ] 5 5sin + 5cos 3cos 8sin y= ce + ce + c3 cos+ c4 sin ( ( (6 (7

41 4 פרק - 4 מערכת משוואות לינאריות חזרה מאלגברה לינארית ערכים עצמיים, וקטורים עצמיים נתונה מטריצה, A מצא את הערכים העצמיים והוקטורים העצמיים של A A= 3 A= A= 4 A= 3 A= A= 4 3 A= 4 A= ( ( (6 (7 (8

42 4 תשובות: =, =, =, v = (,,), v = (,,), v = (,,) = = = = 6, =, = 4, v = (,,), v (,,), v = (,,) = 6 = = 4 =, = 3, = 3, v = (,,), v = (,,) = (,,) () () 3 = = 3 = 3 =, = 3, =, v = (,4,), v = (,,), v = (,,) = = 3 = =, = 4, =, v = (,,), v = (,,), v = (,,) = = 4 = =, = 3 v = (,), v = (,) = = 3 = ± i, v = ( + i,), v = ( i,), = + i = i =, = + 3 i, = 3 i, v = (,,), = v = ( 3 i,+ 3 i, ), v = (+ 3 i, 3 i, ) = + 3i = 3i ( ( (6 (7 (8

43 43 מערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, הומוגניות, עם מקדמים קבועים שיטת הלכסון מערכת משוואות דיפרנציאליות, מסדר ראשון, הומוגניות, עם מקדמים קבועים, פתרון בשיטת הלכסון -הסבר פתור את התרגילים: '( t) = ) פתור את המערכת: (t ) ' 3 ' 3. () = 5, = ) פתור את המערכת: 3 ' '( t) 4 ( t) y '( t) y( t) נתון = z '( t) z( t) 3. z( t) = y( t) הוכח כי. () = כך ש- ' = y+ 4z y ' = 3+ y z z ' = + y z 4) פתור את המערכת: '( t) = ( t) 5) פתור y( t) y( t). lim + lim t ( t) t ( t) (). חשב: נתון ' = כך ש- = 6 4 (6 y ' + 5y y ' = 3 y ' 4 y ' 5y = A= כאשר '( t) = A ( t) פתור את המערכת: פתור את המערכת: (7 (8

44 44 הערה: בשאלות 8,9 יש להגיע מהפתרון המרוכב לפתרון ממשי. תשובות: t t t ( t) = ce ce c3e + + 6t t 4t ( t) = e e 3e + + t 3t t ( t) = ce 4 ce c3e + + t 4t t ( t) = ce ce c3e + + t t ( t) ce cost sin t ce = + cost + sin t 3 3 t t t ( t) = ce ce cos 3t sin 3t 3 ce sin 3t cos 3t 3 ( ( (6 (7 (8

45 45 מערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, לא הומוגניות, עם מקדמים קבועים שיטת וריאציית הפרמטרים מערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, לא הומוגניות, עם מקדמים קבועים, פתרון בשיטת וריאציית הפרמטרים - הסבר פתור את מערכות המשוואות הבאות: ' = + + e ' = e t t ( ) a קבוע.( ' = + + e ' = 4 + e at at ( 4 8t '( t) = 3 ( t) 3 + ' = + y+ z+ e y ' = + y+ z z ' = + y+ z+ e t t y ''' + y '' y = t במערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. 5) המר את המשוואה

46 46 תשובות: t 3 e t t ( t) = ce + ce t e te t c e c e a e t t 3t ( ) = + + ( = ), t t c e c e a + a e at 3 e t t ( ) = + + ( ) at t 3t t ( t) = ce 4 ce c3e t ) 4 t ) ( 3t ) t 4t t t t ( t) = ce ce c3e te e ' ' = + 3 ' 3 t ( (

47 47 פתור את מערכות המשוואות הבאות: מערכת משוואות כללית שיטת ההצבה 3 y '' + z ' = e y ' z '' + 3z = ( בהינתן = '() y z() = y() = y '' + z ' = e y + z = sin ( t ' = 4 y+ e y ' = 6 3y+ e t ' = + + sin t ' = + + cos t z '' 3 z ' + z+ y ' y= z ' z + y ' + y =

48 48 תשובות: z c ce c3e = e +, y= e ce + c3e + k+ l 4 3 z e e = + cos + sin, y= e + e + cos + sin t t t 3 t t 3 t 5 t c ce 4 te e = + +, y= c + ce + 6te e e t t = c + ce cost sin t, = c + ce + sin t 4 4 z= c + ce + c3e, y= c + ce ( (

49 49 פרק - 5 פתרון משוואות לינאריות באמצעות טורים פתרון מד"ר בעזרת טורים סביב נקודה רגולרית פתרון מדר בעזרת פיתוח טור חזקות סביב נקודה רגולרית - הסבר פתור את המשוואות הבאות (-8) על ידי פיתוח הפתרון לטור חזקות סביב =. במיוחד, רשום נוסחה רקורסיבית (נוסחת נסיגה) עבור האיבר הכללי וציין את ארבעת האיברים הראשונים בפיתוח של הטור.(הערת ניסוח: טור חזקות סביב = לטור מקלורן). שקול לטור טיילור סביב = ושקול y y y y y () = 3, '() = ; '' ' + 4 = + + y() =, y '() = ; y '' y = ( ) y '' y ' + y= ( + 4) y '' + y= + y '' + ( ) y ' + ( 3) y = y() =, y '() = ; y '' + ty = e + y= y '' + ( t ) y ' + (t 3) (השתמש בפתרון בסימן..( t y() =, y '() = ; y '' + ( ) y= פתור את המשוואה e על ידי פיתוח הפתרון לטור חזקות סביב =. ( ( (6 (7 (8 (9 פתור את המשואה = y. y( ) =, y '( ) = ; y '' + y ' + ( ) רמז: תנאי ההתחלה מרמז על כך שכדאי לפתח את הפתרון לטור חזקות סביב =.

50 5 תשובות: n n an = an 3 ( n 5), y= an ( n ) n n an = an 3 ( n 3), y= an + ( n ) n 6 6 n n an = an ( n ), y = a + a + a + a + + an + n 3 ( n )( n 3) an = an 3 an ( n 4), 4( n ) n 4( n ) n a 3 4 y= a+ a+ + + a + + an n 5 an = an an an 3 ( n 3), n n( n ) n( n ) n y= a+ a+ a + a + a+ a + a + + an e an 3 an = ( n 3), n( n )( n )! n( n ) e e 3 e 4 4 n y( t) = + t+ t + t + t + + ant n 5 an = an an an 3 ( n 3), n n( n ) n( n ) n y= a+ at + a + at + a+ at + at + + ant e an 3( n )! an = ( n 3), n! e e 3 e 4 4 n y= + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + + an ( ) n 5 an = an an an 3 ( n 3), n n( n ) n( n ) y = ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) + n ( ( (6 (7 (8 (9

51 5 פתרון מדר בעזרת טורים נקודה רגולרית-סינגולרית פתרון מדר בעזרת פיתוח טור חזקות סביב נקודה רגולרית-סינגולרית הסבר עבור כל אחת מהמשוואות הבאות הראה שהנקודה = היא נקודה סינגולרית רגולרית ופתור את המשוואה על יד פיתוח הפתרון לטור חזקות בסביבת הנקודה. 3 y '' + y ' + y= y '' + 7 ( + ) y ' 3y= y '' y ' + ( 5) y= 3 y '' y ' + y= y y y '' + ' + = y y y '' ' + = y y y '' + ( + ) ' = y y y '' + ( ) ' + = ( ( (6 (7 (8 הערה: בשאלות -5 הפתרונות של המשוואה האינדיציאלית שונים והפרשם אינו מספר שלם. בשאלות 6,7 הפתרונות שווים ובשאלות 8,9 הפתרונות שונים והפרשם מספר שלם.

52 5 תשובות: /3 4 4 y= k k / y k k = y= k k y= k + k y k k ln = k k y( ) = k+ kln (8) y( ) = e e + + k k y( ) = e e y= a ln a + 4 /3 ( ( (6 (7 (8

53 53 פרק - 6 התמרת לפלס התמרת לפלס והתמרה הפוכה התמרת לפלס והתמרה הפוכה -הסבר חשב את התמרות לפלס הבאות בעזרת טבלת התמרות לפלס: ( + 4t ) L t + + π 4 L t t 4t t ( + e ) L e L( cosh 4t) L( sinht) L( sin t cost) L( sin t cos3t) L( sin t) L( cos 4t) ( sin 4 t) 4 t L( t e ) ( t sin 4t) L t L e ( ( (6 (7 (8 (9 ( ( ( t < t g( t) = 3) מצא התמרת לפלס של הפונקציה t> t < t g( t) 4) מצא התמרת לפלס של הפונקציה = t < t 5) מצא התמרת לפלס של פונקציה המחזורית הבאה

54 54 6) מצא טרנספורם לפלס של הפונקציה המחזורית הבאה: 3 4-7) מצא טרנספורם לפלס של הפונקציה המחזורית הבאה: 3 4. u( t 8) הגדר ושרטט את פונקציית המדרגה (t ) uואת ההזזה שלה (k t, f ( t) = u( t ) u( כאשר t) u( פונקציית המדרגה. 9) שרטט את הפונקציה t 4 f ( t) = t> 4 רשום את הפונקציה בעזרת פונקציית המדרגה. ( u( t ) רשום את הנוסחה להתמרת לפלס של פונקציית המדרגה (t )u, של הפונקציה (k. f ( t k) u( t ושל הפונקציה (k t< 4. g( t) = ( t 4) t 4 t< 4. g( t) = t t 4 חשב את התמרת לפלס של הפונקציה הבאה חשב את התמרת לפלס של הפונקציה הבאה א. הגדר ושרטט את פונקציית הדלתא (t )δ ( ( t a) ב. מהי התמרת לפלס של פונקציית הדלתא, ושל ההזזה שלה δ

55 55 תשובות: s s s 3/ + s + 5 s s + s+ 4 s + s 4 s+ 4 s s+ 4 s s + 5 s + s s s + 4 s + s s + 64 ( s ) 3 ( s + 6) ( s ) 4 5 ( s ) + 6 e s s e s s s e + e s s ( e ) s e s s ( + e ) s e se s s ( e ) s ( ( (6 (7 (8 (9 ( ( ( (6 (7

56 56 t< k u( t k) = t k t t> 4 ( ) = = u( t 4) f t ks ( ( ) ( )) ( ( )) 4s e L( ( t 4) u( t 4) ) = 3 L= u t k f t k = e L f t 4s 4s 4t e ( ) ( ) e L t + 8e L t + 6 ( π) L δ t = e π s s s (8 (9 ( ( (

57 57 חשב את התמרת לפלס ההפוכה: התמרת לפלס ההפוכה L ( s L ( 4 s L s L s + 4 s L s + 4 L (6 ( s ) + 4 s L (7 ( s ) + 4 s L (8 ( s + 4) L (9 ( s + 4) L ( s L ( s 4 5 s L ( s + 5s s L s + 5s+ 6 s + s L 3 s s 6s + 4s 6 L 3 s 7s 6

58 58. ( ) f t L F s ( ) = ( ) L L L s s 3s s s ( ) ( + ) s (6 (7 5 s L (8 3 s + s 9s+ 36 L (9 3 s + 6s + 9s s s s L ( ) ( 4 + 4) L L L L L L s s + s+ 3 ( s ) + s+ s + s + ( s 3) s + s+ ( s + )( s+ ) 3 ( s + )( s + 4) 5s ( s )( s + 4) s 3 4e 4e + s s s L L 3s e e + s+ s + 4s s s e ( s )( s ) ( ( ( (6 (7 (8 (9 כאשר ו- ) ( f s e + f () חשב את F( s) נתון = s פתור בשתי דרכים שונות. f ( ) = lim f ( t), f () = lim f ( t) t t הערה: 3) הסבר והדגם את משפט הקונוולוציה

59 59

60 6 השתמש במשפט הקונוולוציה כדי לחשב: L 3 s ( s 4) L 3 s ( s + 4) L 4 s( s 4) L 5 s( s + )

61 6 L L ( ( 4 L s s s s L (6 L L ( s ) 4 + s + 4 s + 4 s s L (9 L (8 L (7 ( s + 4) ( s + 4) ( s ) s L ( L ( L s + 5s s 4 s ( 6s + 4s 6 s + s s L L L 3 3 s 7s 6 s s s + 5s+ 6 5 s 8s s L (8 L (7 L (6 3 4 s s ( s ) ( s ) + + s 3s s+ 36 L ( L ( L s + s+ 3 ( s ) ( s 4s+ 4) 3 s + 6s + 9s (9 s + s+ s + s L L L ( ( s )( s ) + + ( s + ) ( s 3) s + s+ s 3s 3 4e 4e 5s 3 L + (7 L (6 L s s s ( s )( s + 4) ( s + )( s + 4) L s 4s s e e e (9 L + (8 ( s )( s ) s+ s + בשאלה 7 הוסף סעיף ב המבקש לשרטט את הפתרון.

62 6 תשובות: t 3 t 3! t e sin t 3 cost t e sin t e cos t+ sin t ( ( (6 (7 sin 4 t t (8 sin 4 t t ( 9 π ( t t e e 4 4 ( 5t e ( 3e e 3t t t + e t e e + e + 3e t t 3t e + e e e 3t 3t t t e + 4te e t t t 6+ 5t+ 6 t e 4 4e 3te 3t 3t e + te e + te e.75 t t t t e.5t t sin t sin.75t sint+ cost+ 3 e t t e sint sin t (6 (7 (8 (9 ( ( (

63 63 t 5 e cost sin t+ 5t sin t+ (sin t t cos t) u( t ) ( t ) + 4 u( t 3) ( t 3) u t e u t t ( t 4) ( 4) + ( + )sin( + ) t ( t ) ( ) u( t ) e e f () = f ( ) = 3 ( ) t t + t+ + e.5t sin t 4 4t e ( t ) ( cos t+ t sin t ) (6 (7 (8 (

64 64 פתרון מד"ר בעזרת התמרת לפלס מדר ליניארית, לא הומוגנית, עם מקדמים קבועים, פתרון בעזרת התמרת לפלס - הסבר פתור את המשוואות הבאות בעזרת התמרת לפלס: y() = ; y ' + 4 y = e y() =, y '() = 4 ; y '' + 4 y ' + 4 y = e y() =, y '() = 4 ; y '' 4 y ' = 6 3t t y() = y '() = ; y '' + 4 y ' = 8t+ t t y() = y '() = ; 4 y '' 4 y ' = te + e 4 y() = y '() = ; y '' 3 y ' + y= u( t 4) t< (t )u היא פונקציית המדרגה. כאשר = t ( ( (6 u( t 4) = u ( t) 4 הערה: יש המסמנים y() = y '() = ; y '' + y ' = f ( t) t< f ( t) = t כאשר y() = y '() = ; y '' + 5 y ' + 6 y= h( t) < t<. h( t) = כאשר t y() = y '() =, y ''() = 3 ; y ''' + 4 y '' + 5 y ' + y= cos t y( ) =, y ( ) = ; y + y + y= δ( t π) y( ) =, y ( ) = 3 ; y + 3y + y= 4δ( t ) ( ) =, ( ) = ; + 4 = δ( π) δ( π) y y y y t t (7 (8 (9 ( ( (

65 65 תשובות: y( t) = e e 3t 4t t ( ) = + ) y t e t t y t y( t) = 4t 8 y( t) = t t ( ) = e ( t + ) t 4 ( 4) ( t ) y( t) = u( t 4).5 e + e ( t ) ( ) y( t) = u( t ) + ( t ) + e t 3t ( t ) 3( t ) y( t) = 3e e u( t ) 3e e t t t y( t) = cost+ sint+ e te e (9 ( t ) y( t) = u( t π) e sin( t) ( 4 ( t ) 5( t ) t 5t y( t) = u( t ) e e + e + e ( 7 y( t) = u( t π) sinh( ( t π) ) u( t π) sinh( ( t π) ) ( + ( ( (6 (7 (8

66 66 פרק - 7 שימושים של משוואות דיפרנציאליות בעיות גיאומטריות על עקום מסוים ידוע שהשיפוע של המשיק בכל נקודה (y (, על העקום שווה ל-. y מצא את משוואת העקום. ( (, y) נתון עקום, ברביע הראשון, העובר בנקודה (,3) ושיפוע המשיק אליו בנקודה שווה ל- ( +. מצא את משוואת העקום. y הוא מצא את משוואת העקום העובר דרך הנקודה (,) ושבכל נקודה (,y) שעליו שיפוע הנורמל y. y מצא את משוואת העקום שהנורמל שלו בכל נקודה עובר בראשית. מצא את משוואת העקום ששיפוע המשיק לו בכל נקודה שווה למחצית שיפוע הקטע מהראשית לנקודה. נתון עקום, ברביע הראשון, העובר בנקודה,). נתון כי ההפרש בין שיפוע המשיק לגרף העקום בנקודה A(, y) לשיעור ה- y של הנקודה. A שעליו ובין שיפוע הישר המחבר את A עם ראשית הצירים שווה מצא את משוואת העקום המאונך לישר העובר דרך נקודה כלשהי על העקום ודרך הנקודה,4), אם ידוע שהעקום עובר גם דרך הראשית. קטע הנורמל לעקום בנקודה (y (, מצא את משוואת עקום זה. שבין נקודה זו וציר נחצה ע"י ציר. y מצא את העקום העובר דרך הנקודה (,) כך שהמשולש המוגבל על ידי ציר, y המשיק לעקום בנקודה כלשהי שעליו( M(,y והקטע OM מהראשית O ל- M הוא משולש שווה שוקיים שבסיסו הקטע (N. MN היא הנקודה בה המשיק הנ"ל חותך את ציר ). y צייר ציור מתאים ברביע הראשון הממחיש את הבעייה. נתון עקום העובר בנקודה (,). בכל נקודה A שעל העקום שווה שיפוע העקום לשטחו של הטרפז ABCD הנראה בציור.מהי משוואת העקום. (6 (7 (8 (9 (

67 67 עקומות אורתוגונליות מצא את משפחת העקומות האורתוגונליות למשפחות העקומות הבאות: ln + ln y = c y + y = c = c א. ב. מצא את העקומה האותוגונלית לעקומה = 9 y + שעליה. + y = c, בנקודה,) ( 45 עם משפחת המעגלים + y = c מצא את משפחת העקומות היוצרות זווית של ( (

68 68, (, y( ), ו- ) ו-, = a, ( ) ציר ה-, y= שטח S מוגבל ע"י עקום y ידוע כי השטח משתנה. ( a, y( a) S פרופורציונלי לאורך הקשת בין הנקודות ) מצא את משוואת העקום. (6, ו-, ציר ה- =, ( ) y= y שטח S ידוע כי מוגבל על ידי עקום משתנה. )y שווה ל( S y ( ) = האם קיים עקום כזה ששטחו של (7 ( ) y= y שטח S מוגבל על ידי עקום, ו- משתנה., ציר ה- =, y( ) שווה ל = S y ( ) ידוע כי = האם קיים עקום כזה שהשטח של (8

69 69 k גדילה ודעיכה נניח שכמות בעיות גדילה ודעיכה בניית הנוסחה הכללית (הסבר ווידאו) y( t) גדלה (או דועכת) אקספוננציאלית (מעריכית). כלומר בגל רגע קצב הגידול שלה פרופורציונאלי לערכו. ניח שבזמן התחלתי מסויים מצא נוסחה עבור הכמות בכל זמן y =t הכמות היא t ונניח שקבוע הפרופורציה הוא קצב הריבוי הטבעי העולמי הוא % בשנה. ידוע כי בשנת 98 היו בעולם 4 מיליארד איש. א. כמה אנשים היו בעולם בשנת? כמה אנשים היו בעולם בשנת 974? ב. באיזה שנה יהיו בעולם 5 מיליארד אנשים? ג. ( (הנח שאוכלוסיית העולם גדלה מעריכית ) כלומר שבכל רגע קצב הגידול פרופורציוני לערכו)) האוכלוסיה בעיר מסוימת גדלה מעריכית. בשנה מסוימת היו בעיר 4 אלף תושבים ואחרי 4 שנים היו 44 אלף תושבים. א. מצא את אחוז הגידול השנתי ב. מצא כעבור כמה שנים (החל מהשנה המסוימת) היו בעיר 55 אלף תושבים. אדם הפקיד סכום כסף בבנק בריבית דריבית שנתית של 4%. כעבור 5 שנים הצטברו לאדם 5 ש"ח. א. כמה כסף הפקיד האדם. ב. כעבור כמה שנים יהיו לאדם 7 ש"ח? מספר חיות הבר בעין גדי גדל בצורה מעריכית. בספירה ראשונה היו חיות. בספירה שנייה שנעשתה כעבור חודשים היו 4 חיות בר. מצא אחרי כמה חודשים החל מהספירה הראשונה היו בשמורה חיות בר? ליסוד הרדיואקטיבי פחמן 4 יש זמן מחצית חיים של 575 שנים. ידוע כי קצב ההתפרקות הרגעי של היסוד פרופורציונילכמותו הנמצאת באותו הרגע. כמה גרמים של יסוד זה ישרדו אחרי שנים מכמות התחתלתית של גרם? א. כעבור כמה שנים תישאר כמות של גרם מכמות התחלתית של גרם? ב. ( בבריכה אחת יש 4 טון דגים וכמות הדגים שבה גדלה ב- 4% כל שבוע. בבריכה שנייה יש טון דגים וכמות הדגים שבה גדלה ב- % כל שבוע. א. בעוד כמה שבועות תהיינה כמויות הדגים בשתי הבריכות שוות? ב. בעוד כמה שבועות תהיה כמות הדגים שבבריכה השנייה גדולה פי מכמות הדגים שבבריכה הראשונה? (6

70 7 בעיות שונות בזמן =t יש במיכל 4 ק"ג מלח מומסים ב- ליטר מים. נניח שמי מלח בריכוז של. ק"ג מלח לליטר מים מוזרמים לתוך המיכל, בקצב של 5 ליטר לדקה, ושהתמיסה המעורבת מנוקזת החוצה מן המיכל באותו קצב. א. חשב את כמות המלח במיכל לאחר 8 דקות. ב. תוך כמה זמן תהיה כמות המלח במיכל כפולה מהכמות ההתחלתית? ( סירה נגררת בקצב של קמ"ש. ברגע =t כשכבל הגרירה מנותק, מתחיל אדם, הנמצא בסירה לחתור בכיוון התנועה ומפעיל כח של ניוטון על הסירה. אם משקל החותר והסירה הוא 5 ק"ג וההתנגדות (ק"ג) שווה ל- v כאשר v נמדדת ב- מטר/שניה, מצא את מהירות הסירה כעבור חצי דקה. א. מצא את מהירות הסירה עכבור חצי דקה. ב. מצא כעבור כמה זמן תהיה מהירות הסירה 5 מטר/שניה. ג. מצא את המהירות הסופית. ( חוק הקירור של ניוטון קובע כי הקצב בו גוף מתקרר פרופורציונאלי להפרש בין טמפרטורת הגוף וטמפרטורת הסביבה. חומר בעל טמפרטורה של 5 מעלות נמצא בכלי בעל טמפרטורת אויר קבועה השווה ל- 3 מעלות. החומר מתקרר לפי חוק הקירור של ניוטון ולאחר כחצי שעה יורדת טמפרטורת החומר ל- 7 מעלות. א. ב. מהי טמפרטורת החומר לאחר כשעה? כעבור כמה זמן תהיה טמפרטורת החומר 4 מעלות? ב. נתון מיכל בצורת גליל שרדיוס בסיסו ס"מ וגובהו 4 ס"מ. הגליל מלא במים. ברגע מסוים פותחים ברז בתחתית הגליל והמים זורמים החוצה בקצב שפרופורציונאלי לשורש מגובהם. נסמן ב- (t )h את גובה פני המים וב- k את קבוע הפרופורציה. א. רשום מד"ר עבור גובה פני המים, (t. )h מהו תנאי ההתחלה של הבעייה? ידוע כי. k= π פתור את המד"ר. תוך כמה זמן תישאר בגליל מחצית מכמות המים ההתחלתית? כדור שלג שרדיוסו ההתחלתי 4 ס"מ נמס כך שהקצב שבו רדיוסו קטן פרופורציונאלי לשטח פניו.לאחר כחצי שעה רדיוס הכדור שווה ל- 3 ס"מ. רשום נוסחה שתתאר את רדיוס הכדור בזמן t. א. כעבור כמה זמן יהיה נפח הכדור השלג /64 מנפחו ההתחלתי? ב. מבלון מלא אויר שרדיוסו R מתחיל לצאת אוויר. קצב יציאת האוויר הוא (t 3 V ( כאשר. t הוא נפח הבלון בזמן V ( t) הוכח כי כעבור ln שניות נפח הבלון ייקטן הבלון לכדי שמינית מנפחו התחלתי. (6

71 7 תשובות: בעיות גיאומטריות + y = k y+ = 7 3 3y = + y = k y y= = a e y= 4± 5 ( 3) + y = k = y+ y + /4 y= e ( ( (6 (7 (8 (9 ( עקומות אורתוגונליות ln + ln y= c y = k y= a, y= y= m c y> ( ) y y ln + ln + = arctan + c y= k cosh ± + C k לא כן ( ( (6 (7 (8 בעיות גדילה ודעיכה 6 שנים א.. ב. 5.9 שנים א ב. 3.4 שנים 4.77 חודשים א גרם ( (

72 7 ב. 988 שנים שבועות שבועות א. 3.4 ב. 4.6 (6 בעיות שונות ק"ג דקות א ב..94 ( m 4.9 sec ) א. ב. 7 שניות m sec ג. 3 א. 43 ב..3 שעות א. t) h() = 4, πh'( t) = k h( + ב. R( t) א. = t+ 3 ב. 4.5 שעות הוכחה (6

73 73

74 74 דפי נוסחאות (נגזרות, אינטגרלים, טריגו, אלגברה, טורי טילור, התמרות לפלס) נוסחאות - נגזרות. y= a y ' =. y= f n y ' = n f n f ' 3. y= e f y ' = e f f ' 4. y= a f y ' = a f f ' ln a 5. y= ln f y ' = f ' f 6. y= sin f y ' = cos f f ' 7. y= cos f y ' = sin f f ' 8. y= tan f y ' = f ' cos f 9. y= cot f y ' = f ' sin f. y= arcsin f y ' = f ' f. y= ar cos f y ' = f ' f. y= arctan f y ' = f ' + f 3. y= ar cot f y ' = f ' + f 4. y= sinh f y ' = cosh f f ' 5. y= cosh f y ' = sinh f f ' 6. y= tanh f y ' = f ' cosh f 7. y= coth f y ' = f ' sinh f g ( ) g ( ) 8. y= f ( ) y ' = f ( ) ( g( ) ln( f ( ))'

75 75 נוסחאות - אינטגרלים ad= a+ c n+ n+ n n ( a+ b) d= + c n ( a+ b) d= + c n n+ a n+ d= ln + c d ln a b c = + + a+ b a a+ b a+ b e d= e + c e d= e + c a k a+ b k d= + c a+ b k ln k k d= + c a ln k cos d= sin + c cos( a+ b) d= sin( a+ b) + c a sin d= cos + c sin( a+ b) d= cos( a+ b) + c a tand= ln cos + c tan( a+ b) d= ln cos( a+ b) + c a cot d= ln sin + c cot( a+ b) d= ln sin( a+ b) + c a d= tan + c d tan( a b) c cos = + + cos ( a+ b) a d= cot + c d= cot( a+ b ) + c sin sin ( a+ b) a d= ln + tan + c d ln cot c cos cos = + sin sin a d= arctan c d ln c + = + + a a a a a + a d= arcsin + c a a d= ln + ± a + c ± a f ' = ln + ' f = + d f c f f d f c f f e f ' d= e + c cos f f ' d= sin( f ) + c f ' sin f f ' d= cos( f ) + c d= f + c f 3 f f ' d= f + c u v' d= u v u' vd 3

76 76 α sin + cos = נוסחאות - טריגו sinα tanα = cosα cosα cotα = sinα sin α = sinα cosα α α α α α + tan α = cos α cos = cos sin = sin = cos + cot α = α sin α sin α = ( cos α) cos α ( cos α) = + sinα cosβ = ( sin( a+ β ) + sin( α β )) sinα sinβ = ( cos( a β ) cos( α+ β )) cosα cosβ = cos( a+ β ) + cos( α β ) ( ) = α+ π k sin = sinα = ( π α) + π k = α+ π k cos = cosα = α + π k tan = tanα = α+ π k cot = cotα = α+ π k sin = = π k π cos = = + π k

77 77 נוסחאות - אלגברה ( a+ b) = a + ab+ b a + b = ( a+ b) ab ( a b) = a ab+ b a b = ( a b)( a+ b) + = = ( a b) = a 3a b+ 3ab b a b = ( a b)( a + b + ab) ( a+ b) = a + 4a b+ 6a b + 4ab + b 4 4 a + b = ( a + b ) a b ( a b) = a 4a b+ 6a b + 4ab + b a b = ( a b )( a + b ) ( a b) a 3a b 3 ab b a b ( a b)( a b ab) m n m+ n a a = a a>, b> m a m n ln a+ ln b= ln ab = a n a a ln ln l m n a b= n mn ( a ) = a b ln=, ln e= n n n ( ab) = a b n n n ln e = n a a = n n b ln = n ln ( > ) b ln a = e = k ln k e = n a = n k ln a e = k m n m n a = a, a = a b bln a a = e e = b = ln b k ln = k = e a if a a = a = a if a a b < = a d b c a b = a b c d a a = b b a b c e f d f d e < a a< < a d e f = a b + c h i g i g h > a < a or > a g h i

78 78 נוסחאות - טורי מקלורן של פונקציות חשובות תחום התכנסות טור מקלורן e n 3 = = n!!! 3! n= < < n n sin = ( ) = < < (n+ )! 3! 5! 7! n= n 4 6 n cos = ( ) = < < ( n)!! 4! 6! n= n+ 3 4 n ln( + ) = ( ) = n+ 3 4 n= < arctan = n= n n ( ) = n n = = < < n= 3... m m( m )... ( m n+ ) n ( + ) = + n= n! m( m ) m( m )( m ) = + m+ + +! 3! 3... ( m> ) < ( < m< ) < < ( m ) m,,,3,...

79 79 נוסחאות - התמרת לפלס G(s) g(t) s t s n! n (for n =,, 3 ) t n s + t n n (for n =,, 3 ) s ( n )! at e s a n t at e ( s a) n ( n )! n at ( n )! t e ( s a) n s cos( at) s + a a sin( at) s + a s cosh( at) s a a sinh( at) s a s t sin( a t) ( s + a ) a s (sin( a t ) + a t cos( a t )) ( s + a ) a a bt e sin at ( ) s+ b + a s+ b bt e cos at ( ) s+ b + a sa t sin at ( s + a ) s a ( s + a ) ( s a) t cos at at te

80 8 ( s + a ) e 3/ π s (sin( a t ) at cos( at )) 3 a s t u( t) s ks e u( t k) s F( s) u( t k) f ( t k) / π ks ( F s ) ( ) n ( ) ( ) n n t g( t) ks e ( ) t δ t k

81 8 תכונות נוספות L[ ag( t) + bh( t)] = al[ g( t)] + bl[ h( t)] ( [ ] L ag s + bh s = al G s + bl H s ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] ( at at L F s = e L f s a L F s = e L f s+ a [ ( )] [ ( )], [ ( )] [ ( )] [ ] L ay '( t) + by( t) = Y ( s)[ as+ b] y()[ a] [ ] L ay t + by t + cy t = Y s as + bs+ c y ''( ) '( ) ( ) ( )[ ] ()[ as+ b] y '()[ a] [ '''( ) ''( ) '( ) ( )] L ay t + by t + cy t + dy t = Y s as bs cs d y as bs c y as b y a 3 ( )[ ] ()[ + + ] '()[ + ] ''()[ ] [ ''''( ) '''( ) ''( ) '( ) ( )] L ay t + by t + cy t + dy t + ey t = Y s as bs cs ds e y as bs cs d ( )[ ] ()[ ] y '()[ as + bs+ c] y ''()[ as+ b] y '''()[ a] לדף התמרות לפלס מורחב

82 8 סיכום מד"ר משוואות הניתנות להפרדת משתנים f ( ) d= g( y) אם ניתן להביא את המד"ר לצורה: dy f ( ) d= g( y) אז הפתרון ניתן ע"י: dy משוואות הומוגניות (ניתנות להפרדת משתנים בעזרת הצבה מתאימה) M (, y) d+ N(, y) dy= אם ניתן להביא את המד"ר לצורה N(, y) כאשר y) M (, וגם הומוגניות מאותו סדר! dy = dv + d v, y= v מציבים : ומקבלים מד"ר הניתנת להפרדת משתנים..v y לאחר האינטגרציה יש להציב במקום n f ( λ, λ y) = λ f (, y) תקרא הומוגנית מסדר n אם הערה: פונקציה y) f (,

83 83 ( a + b y+ c ) d+ ( a + b y+ c ) dy= משוואות מהצורה. a b a b מקרה - I a+ b y+ c =, a+ b y+ c פותרים את מערכת המשוואות =. y= ומקבלים = h ו- k,h = X + ומקבלים מד"ר הומוגנית מסדר ראשון. y= Y+ מציבים k. a b = a b מקרה - II במקרה זה: z= a + b y+. מציבים : c dz dy = a+ b d d. גוזרים :. z dy= dz ad b ( ) ומקבלים משוואה הניתנת להפרדת משתנים במשתנים ו- משוואות לינאריות מסדר ראשון. y ' + a( ) y= אם ניתן להביא את המד"ר לצורה ( )b ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) A A ( ) A = a d y = e b e d+ C הפתרון ניתן ע"י : ( ) k l n f ( ) k k ln f ( ) e = f ( ), e = ( f ( ) ) f e f ' d= e k f ( ( זכור:

84 84 משוואת ברנולי ) לינארית על ידי הצבה) n y ' + a( ) y= אם ניתן להביא את המד"ר לצורה: ( y )b =v הופכת את המד"ר למד"ר ליניארית מסדר ראשון: n אז ההצבה y משוואות מדויקות ( n ). v ' + ( ) a( ) v = ( n) b( ) M (, y) d+ N(, y) dy= אם ניתן להביא את המד"ר לצורה M y = N כך שמתקיים: F(, y) אז המשוואה נקראת מדוייקת. פתרון המשוואה נתון ע"י: = c F = M Fy כאשר ידוע ש: = N ו- אלגוריתם פתרון:. F(, y) = C. F 3. F = Md = g(, y) + h( y) 4. F = N g + h'( y) = N h( y) =... y = M 5. F = g(, y) + h( y) = C y. F = Ndy F הערה: במידה והאינטגרל = Md מסובך, ניתן להתחיל מ-

85 85 משוואות כמעט מדויקות (מדוייקות לאחר הכפלה בגורם אינטגרציה) M y N dy= M (, y) d+ N(, y) ומתקיים: נתונה משוואה: במקרה כזה המשוואה אינה מדויקת. ייתכן שקיים גורם אינטגרציה (y )h, שאם נכפול אותו במשוואה המקורית נקבל משוואה מדויקת. dy= h(, y) M (, y) d+ h(, y) N(, y) היא מדויקת. כלומר המשוואה במידה וגורם האינטגרציה אינו מופיע בשאלה מצאו אותו בעזרת השיטות הבאות: f ( ) d M y N אם ) = f ( אז e הוא גורם אינטגרציה. N ( ) M y N e g y dy הוא גורם אינטגרציה. אם y) = g( אז M אם לאחר כינוס איברי המשוואה אתם מזהים את קבוצת האיברים מימין אז השתמשו בגורם האינטגרציה משמאל....3 גורם אינטגרציה קבוצת איברים dy yd y dy yd y dy yd + y dy yd ( y) n dy+ yd ( + y ) n d+ ydy

86 86 משוואות מסדר ראשון וממעלות גבוהות (*) המשוואה הכללית מסדר ראשון וממעלה n נתונה ע"י : n dy a (, y) + a (, y) p + a (, y) p an (, y) p = ; p= y ' = d סוג - I משוואות פתירות עבור p במקרה זה מתייחסים לאגף שמאל של (*) כאל פולינום ב-. p p= F (, y), p= F (, y),..., p= Fn משווים את הפולינום לאפס ומקבלים: (y (, dy שפתרונה מהצורה פותרים את המשוואות שהתקבלו, כל אחת מהצורה ), ( d = F y. f (, y, c) f (, y, c)... f (, y, c) של (*) הוא המכפלה =.הפתרון f (, y, c ) = n סוג II משוואות פתירות עבור y. y= כלומר, משוואות מהצורה p) f (, dp p= f + f p d נגזור לפי את שני האגפים ונקבל: משוואה פתירה עבור. p נפתור ונקבל את. p. y ומכאן y= נציבו אותו ב- p) f (, סוג III משוואות פתירות עבור. = כלומר, משוואות מהצורה p) f ( y, p dp = f y + f p dy נגזור לפי y את שני האגפים ונקבל: משוואה פתירה עבור. p נפתור ונקבל את. p. y ומכאן = נציבו אותו ב- p) f ( y,

87 87 הורדת סדר המשוואה y ' = z( ), y '' = z ' ( אם המשוואה היא מהצורה = '') y f (, y ', אז מציבים ופותרים מד"ר מסדר ראשון בשיטות הרגילות. לבסוף ).: y= z( ) d y ' = z( y ' = z( y), y '' = z ' z ( אם המשוואה היא מהצורה = '') y f ( y, y ', אז מציבים ופותרים מד"ר מסדר ראשון בשיטות הרגילות. dy לבסוף: y) dy = d = z(. z( y) d משוואות הומוגניות עם מקדמים קבועים הצורה הכללית של משוואה הומוגנית מסדר n עם מקדמים קבועים היא : () y + a y + a y a y ' + a y= ( n) ( n ) ( n ) n n n ( n) k y אלגוריתם פתרון:. נרשום את הפולינום האופייני של המשוואה () לפי ונמצא את שורשיו.. נחלק את השורשים לקבוצות: קבוצה ראשונה שורשים ממשיים ושונים k k... km k m + k m k תרומתם לפתרון הכללי: c e c e c e ) שורש מריבוי ( m k = k =... = km קבוצה שנייה שורשים ממשיים ושווים = k c e + c e c e k k k m k cm תרומתם לפתרון הכללי: e k, תורם לפתרון הכללי : = a± bi קבוצה שלישית שורשים מרוכבים כל זוג שורשים מרוכבים e a c cos( b) + c sin( b) a± k = a± bi, k = רושמים: bi, 3,4 הערה: במידה ומתקיים

88 88 e a a c cos( b) + c sin( b) + e c cos( b) + c sin( b) משוואות לא הומוגניות עם מקדמים קבועים - השוואת מקדמים הצורה הכללית של משוואה לא הומוגנית מסדר n עם מקדמים קבועים היא : () y + a y + a y a y' + a y= Q( ) ( n) ( n ) ( n ) n n y= y + y h p הפתרון הכללי של () הוא.( y h כאשר: הוא הפתרון של המשוואה ההומוגנית המתאימה ל- (). ) מסמנים גם y.( y * הוא פתרון פרטי של (). ) מסמנים גם y p ) להלן שיטת השוואת מקדמים למציאת הפתרון הפרטי : מכינים רשימה המכילה את כל הפונקציות שמופיעות ב- ( )Q והפונקציות המתקבלות מ- ( )Q עלידי גזירה. כאשר בכל אחת מהפונקציות הנ"ל מתעלמים מהקבועים. נניח שרשימת הפונקציות שהתקבלו מהתהליך הנ"ל היא ) f ( ), f ( ),..., f ( t y = A f ( ) + B f ( ) + C f ( ) G אזי, פתרון פרטי יהיה מהצורה ( f ( p 3 t הם קבועים. למשל, A, B, C,..., כאשר G 3 y p = A + B + C+ פתרון פרטי D ( n) ( n ) ( n ) 3 y a y + + a y a y= n 3 y p פתרון פרטי = Ae + Be ( n) ( n ) ( n ) 3 y a y + + a y a y= e + e n y = Asin( ) + B cos( ) p פתרון פרטי ( n ) ( n ) ( n ) y a y + + a y a y= sin n y p Ae פתרון פרטי + Be = ( n ) ( n ) ( n ) y + a y + a y a y= e n y p = Ae cos 4+ פתרון פרטי Be sin 4 ( n ) ( n ) ( n ) y a y + + a y a y= e cos 4 n פתרון פרטי ( n) ( n ) ( n ) y a y + + a y a y= 3 + cos 4 n y p = A + B+ C + D cos 4+ E sin 4+ F cos 4+ G sin 4. A, B, C,..., מהצבת ) ב () נוכל למצוא את הקבועים G

89 89 יש לשנות את התהליך במקרה הבא: אם אחד (או יותר) מהמחוברים בפתרון הפרטי הראשוני,מופיע בפתרון של המשוואה ההומוגנית המתאימה יש לכפול אותו (אותם) בחזקה הטבעית הקטנה ביותר של שמניבה פונקציה שאין בה שום מחובר שמופיע בפתרון ההומוגני או בפתרון הפרטי הראשוני.למשל: y ''' y '' 8 y ' + y= e נתבונן במשוואה + Q( ) הפתרון של המשוואה ההומוגנית המתאימה הוא פתרון פרטי ראשוני. y = c e + c e + c e h 3 3 y = A + B+ C+ De ראשוני p עתה, ב-. ראשוני y מופיע המחובר De p שמופיע גם בפתרון של המשוואה ההומוגנית המתאימה לכן עלינו להכפיל אותו בחזקה הטבעית הקטנה ביותר של שתניב פונקציה שאין בה שום מחובר שמופיע במד"ר ההומוגנית או בפתרון הפרטי הראשוני. מכאן שעלינו להכפיל את De ב- ולרשום את הביטוי שהתקבל D e בפתרון הפרטי. נקבל אם כן שהפתרון הפרטי הוא מן הצורה * y = A + B+ C+ D e

90 9 משוואות לא הומוגניות עם מקדמים קבועים - וריאציית פרמטרים הצורה הכללית של משוואה לא הומוגנית מסדר n עם מקדמים קבועים היא : () y + a y + a y a y' + a y= Q( ) ( n) ( n ) ( n ) n n y= y + y h p הפתרון הכללי של () הוא.( y h כאשר: הוא הפתרון של המשוואה ההומוגנית המתאימה ל- (). ) מסמנים גם y.( y * הוא פתרון פרטי של (). ) מסמנים גם y p להלן שיטת וריאציית הפרמטרים למציאת הפתרון הפרטי: (היות ובד"כ מדובר על מד"ר מסדר שני או שלישי נתחיל בכך) ay '' + by ' + cy= Q( ) מד"ר מסדר שני רוצים פתרון פרטי עבור שלב I y = c y + c y h cy= ay '' + by ' + ומקבלים פותרים את המד"ר ההומוגנית המתאימה: W ( ) = y y y y שלב II מחשבים את הוורונסקיאן W הנתון על ידי : שלב III y( ) Q( ) y( ) Q( ) y p = y( ) d+ y( ) d W ( ) W ( ) מציבים בנוסחה:

91 9 מד"ר מסדר שלישי רוצים פתרון פרטי עבור ) ay ''' + by '' + cy ' + dy = Q( שלב I ay ''' + by '' + cy ' + dy= פותרים את המד"ר ההומוגנית המתאימה: ומקבלים y = c y + c y + c y h 3 3 y y y 3 3 W ( ) = y y y y y y y y y y y y 3 3 = 3 = 3 3 = y y y y y y W ( ) y y, W ( ) y y, W ( ) y y שלב II מחשבים את : מחשבים את : שלב III W Q W Q W Q W W W 3 y p = y d+ y d+ y3 מציבים בנוסחה: d מד"ר מסדר n y c y c y c y h = n n שלב I פותרים את המד"ר ההומוגנית המתאימה ומקבלים W = y y y n n y y y y y y ( n ) ( n ) ( n ) n שלב II מחשבים את הוורונסקיאן W הנתון על ידי: W היא הדטרמיננטה המתקבלת מהוורונסקיאן W i,w, W כאשר מחשבים את,..., Wn

92 9 על ידי החלפת העמודה ה- i בוקטור העמודה. שלב III W Q W Q Wn Q y p = y d+ y d... yn מציבים בנוסחה: d W + + W W משוואות לא הומוגניות עם מקדמים קבועים - שיטות קצרות (שיטה אופרטורית) משוואה לינארית לא הומוגנית במקדמים קבועים היא משוואה מהצורה ( n) ( n ) A y + A y A y '' + A y ' + A y= Q( ) n n בשיטה האופרטורית מסמנים:..., y D ) y ' = Dy, y '' = D אופרטור הגזירה), ומקבלים: n n ( An D + An D +,,, + A D + A D+ A) y= Q( ) או בקיצור F( D) y= Q( ) פתרון המשוואה נתון על ידי =y y + y a b y p = e = e F( D) F( a) + a+ b h p - פתרון המשוואה y= F( D) F( D) y= - פתרון פרטי של המשוואה ( )Q D) F( אז y = e + a b y h y p y p מציאת. אם המד"ר מהצורה. n a b e = e n ( D a) n! + a+ b במידה והמכנה מתאפס ניעזר בנוסחה F( D ) y = sin( a+ א. אם המד"ר מהצורה (b y p = sin( a+ b) = sin( a+ אז (b F( D ) F( a ).

93 93 F( D) y= sin( a+ ב. אם המד"ר מהצורה (b y p = sin( a+ b) F( D). a D * רשום אז: * החלף כל הופעה של ב- * לאחר ההחלפה הנ"ל תקבל: sin( a+ b) AD+ B AD+ B AD B sin( a+ b) AD B AD B sin( a+ b) A D B AD B A ( a ) B sin( a+ b) ADsin( a+ b) B sin( a+ b) A ( a ) B Acos( a+ b) a B sin( a+ b) A ( a ) B * אם במקום קוסינוס רשום סינוס פועלים באופן זהה.

94 94 a a F( D) e h( ) = e F( D+ a) h( ).3 = D+ D e sin e sin התמרת לפלס הגדרה: הוא פונקציה חדשה במשתנה s שתסומן ב- G( s) = ω e st e g( t) dt ωs st st e dt = e s st st e tdt = e ( st+ ) s st st e t dt = e ( s t + st+ ) 3 s st st e e sin( at) dt = [ s sin( at) a cos( at)] s + a st st e e cos( at) dt = [ s cos( at) + asin( at)] s + a התמרת לפלס של פונקציה (t )g שתסומן ב- [(t ]L )g st G( s) = L[ g( t)] = e g( t) dt ( G(sוהמוגדרת ע"י: ההתמרה ההפוכה נתונה ע"י: t) L [ G( s)] = g( כללים:. אם (t )g מחזורית עם מחזור ω אז התמרת לפלס נתונה ע"י: זכור:

95 95 L[ ag( t) + bh( t)] = al[ g( t)] + bl[ h( t)]. [ ] L ag s bh s al G s bl H s ( ) + ( ) = [ ( )] + [ ( )] Eamples 4 L t t L t L t L e L L e s s s s : [sin + 5 ] = [sin ] + 5 [ ] ; + 5 = 4 [ ] + 5 [ ] at L F s e L f s a [ ( )] = [ ( )].3 at L F s e L f s a [ ( )] = [ ( + )] t t Eamples : L [ ] = e L [ ] ; L [ ] = e L [ ] ( s+ ) + 4 s + 4 ( s ) + 4 s + 4 [ ] L ay '( t) + by( t) = Y ( s)[ as+ b] y()[ a] [ ''( ) '( ) ( )] L ay t + by t + cy t = Y s as bs c y as b y a ( )[ + + ] ()[ + ] '()[ ] [ '''( ) ''( ) '( ) ( )] L ay t + by t + cy t + dy t = Y s as bs cs d y as bs c y as b y a 3 ( )[ ] ()[ + + ] '()[ + ] ''()[ ] [ ] L ay ''''( t) + by '''( t) + cy ''( t) + dy '( t) + ey( t) = Y s as bs cs ds e y as bs cs d y as bs c y as b y a ( )[ ] ()[ ] '()[ + + ] ''()[ + ] '''()[ ].4 פתרון מד"ר באמצעות התמרת לפלס:. y() = y ; y '() = y נתונה מד"ר מהצורה t) ay ''( t) + by '( t) + cy( t) = g( עם תנאי התחלה שלב I מפעילים את התמרת לפלס על שני אפי המשוואה ומקבלים: [ ''( ) + '( ) + ( )] = [ ( )] L ay t by t cy t L g t

96 96 Y s as bs c y as b y a G s ( )[ + + ] [ + ] מכאן: ) ( = ] [ שלב II מבודדים מהמשוואה האחרונה את (s )Y ומקבלים: G( s) + y [ as+ b] + y [ a] Y( s) = as + bs+ c שלב III : מבצעים התמרת לפלס הפוכה לשני האגפים של המשוואה האחרונה ומקבלים את (t )y G( s) + y[ as+ b] + y[ a] y( t) = L as + bs+ c נוסחאות - התמרת לפלס G(s) g(t) s t s n! n (forn =,, 3 )t n s + t n n (forn =,, 3 ) s ( n )! at e s a n t at e ( s a) n ( n )! n at ( n )! t e ( s a) n s cos( at) s + a a sin( at) s + a

97 97 s s a a s a s ( s + a ) s ( s + a ) a ( ) s+ b + a s+ b ( ) s+ b + a sa ( s + a ) s a ( s + a ) ( s a) ( s + a ) e 3/ π s cosh( at) sinh( at) t sin( a t) a (sin( a t ) + a t cos( a t )) a e e bt bt sin at cos at t sin at t cos at at te (sin( at ) at cos( at )) 3 a s t u( t) s ks e u( t k) s F( s) u( t k) f ( t k) / π ks ( F s ) ( ) n ( ) ( ) n n t g( t) t תוספות:. נניח שנתונה התמרת לפלס ההפוכה (s F ( של פונקציה (t f ( ורוצים את () f ו- ) ( f. אז במקום למצוא את (t f ( ולהציב ניתן להיעזר בנוסחאות הבאות:

98 98 f () = lim s F( s) s f ( ) = lim s F( s) s.קונוולוציה: t f ( t) * g( t) = f ( ) g( t ) d ( * g( t) ) L f ( t) = F( s) G( s) L ( F ) ( s) G( s) = f ( t) * g( t) ( ) L F s G s t ( ) ( ) = f ( ) g( t ) d פתרון מד"ר בעזרת טורים - נקודה רגולרית y ''( ) + p( ) y '( ) + q( ) = r( ) נתונה מד"ר מסדר שני : שלב I y= a + a + a + a + a + a a + a + a + a + a n n n n+ n+ n n n n+ n+ מציבים במד"ר: y ' = a + a + 3a + 4a + 5 a ( n ) a + ( n ) a + na + ( n+ ) a + ( n+ ) a n 3 n n n n+ n n n n+ n+ y '' = a + 6a + a + a ( n )( n 3) a + ( n )( n ) a + n( n ) a + ( n+ ) na + ( n+ )( n+ ) a n n n n n n n n n+ n+ שלב II n משווים את המקדם של עבור. באגף ימין עם המקדם של n באגף שמאל ומקבלים נוסחת נסיגה a n שלב III

99 99 a, a משווים מקדמים של חזקות שוות במידה ונוסחת הנסיגה לא נותנת את כל המקדמים..., בשני האגפים (מהחזקה הקטנה ביותר ומעלה) עד לקבלת כל המקדמים הדרושים. הערות: אם במד"ר המקורית מופיעה פונקציה שהיא איננה פולינום, מחליפים אותה בטור מקלורן שלה. ) רשימת טורים בעמוד האחרון בחוברת ). שים לב כי בהינתן תנאי התחלה, מתקיים:. y '() = a, y() = a במידה ולא נתון תנאי התחלה אנו מניחים ש- המקדמים בעזרתם. a a ו- 4 3 ידועים ומבטאים את יתר באופן דומה פותרים מד"ר מכל סדר בעזרת טורים. בהקשר זה יש לזכור כי, ( n. y ) () = n! a n,..., y ''''() = 4! a, y '''() = 3! a, y ''() =! a...3 פתרון מערכת מד"ר כללית - שיטת החילוץ z( ) נתונות שתי משוואות עם פונקציות ( )y אסטרטגיית הפתרון: ו- כך שלפחות אחת מהן משוואה דיפרנציאלית. נחלץ את אחת הפונקציות ממשוואה אחת ונציב במשוואה השנייה. במידה והתהליך אינו מתאפשר ניתן לגזור את המשוואות.למשל, אם נתונה המערכת y + z = e y z + z = 3 '' ' () ' '' 3 () נגזור את המשוואה השנייה. נחלץ מהמשוואה השנייה את '' y ונציב אותו במשוואה הראשונה. פתרון מערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון - שיטת הלכסון מערכת הומוגנית: מערכת מהצורה:

100 ' = a + a a n ' = a + a a n ' = a + a a n n n nn n n n או בכתיב מטריצות: a a a n a a an = a n n an ann n '( t) A ( t) אלגוריתם פתרון: שלבI λ, λ (ה-ע"ע לא בהכרח שונים).,..., λn : מצא את הערכים העצמיים של המטריצה A שלב II v, v,..., vn : מצא את הוקטורים העצמיים של המטריצה A שלב III λ λ λn ( t) = c e v + c e v c e t v t t n n מערכת לא הומוגנית: מערכת מהצורה: a a a n b a a a n b = + a n n an ann n bn '( t) A ( t) b( t) אלגוריתם פתרון (וריאציית פרמטרים): ( ( t) הפתרון הכללי של המערכת הלא הומוגנית ) ההומוגנית המתאימה ופתרון פרטי של המערכת הלא הומוגנית הוא הסכום של הפתרון של המערכת. ( p ( t) ) ( ( t) ) h

101 כלומר: t) ( t) = ( t) + ( h p שלבI λ ( ) t λ n t λ... t h t = c e v + c e v + + cn e vn n פתור את המערכת ההומוגנית המתאימה ונקבל: שלב II ' ' ' C ( t), C ( t),..., C ( t) n פתור את מערכת המשוואות הבאה עבור הנעלמים ' C b ' C b n = ' C b n n C ( t), C ( t),..., C ( t) n שלב III בצע אינטגרציה לקבלת שלב IV λn ( t) = C ( t) e v + C ( t) e v C ( t) e t v λ t λ t p n n הפתרון הפרטי הוא: הערה: האלגוריתם הנ"ל עובד אם ורק אם למטריצה יש n וקטורים עצמיים בלתי תלויים. פתרון נומרי (מקורב) של מד"ר מסדר ראשון (שיטת רונגה-קוטה) נתונה מד"ר מסדר ראשון y). y ' = f (, y( ) = y נתון : מחפשים: ) y( y( ) = y + k תשובה: כאשר: