<4D F736F F D20EEFAEEE8E9F7E420E020ECEBECEBECF0E9ED202D20E0E9F0E1F8F1E9E8FA20FAEC20E0E1E9E12E646F63>

תמליל

1 מתמטיקה א' לכלכלנים גיא סלומון

2 סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפני קורס חשוב זה. הספר עוסק בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (חדו"א ) והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה אוניברסיטאות או מכללות. הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד, בהתאם לתוכניות הלימוד השונות. הניסיון מלמד כי ל תרג ל בקורס זה חשיבות יוצאת דופן, ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו. לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי. הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה. לדוגמאות: תקוותי היא, שספר זה ישמש מורה-דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה. גיא סלומון

3 תוכן פרק - פונקציה ממשית... פרק - גבול של פונקציה... פרק - רציפות של פונקציה, משפט ערך הביניים... פרק - 4 גזירות של פונקציה, הגדרת הנגזרת... פרק - 5 חישוב נגזרת של פונקציה... פרק - 6 חישוב נגזרת של פונקציות מיוחדות... פרק - 7 בעיות משיקים... פרק - 8 כלל לופיטל... פרק - 9 חקירת פונקציה... פרק - חקירת פונקציה ("שאלות מסביב" והוכחת אי שוויונים)... פרק - מינימום ומקסימום מוחלטים לפונקציה... פרק - בעיות מקסימום ומינימום... פרק - פתרון משוואות (משפט ערך הביניים, משפט רול, משפט ניוטון רפסון)... פרק - 4 משפט לגרנג'... נספח - דפי נוסחאות...

4 תרגילים פרק פונקציה ממשית ( ) ( ) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות: 4+ = = = ( ( 4 ( = 4 (6 = (5 = (4 = = + = + (9 (8 (7 + + = e ( = log + ( = ln( + ) ( log = cot 4 (5 = tn (4 = log ( + 4) ( = rccos( + ) (8 = rcsin( 4) (7 = rctn( + 4) (6 4. h( ) =, g( ) =, f ( ) = נתונות הפונקציות הבאות: 4 () () חשב את הפונקציות המורכבות הבאות: h( h( )) (6 f ( f ( )) (5 h( f ( )) (4 f ( g( )) ( h( g( f (5))) ( f ( g()) ( () בתרגילים הבאים הוכח שהפונקציה הנתונה היא חח"ע בתחום הגדרתה ומצא את הפונקציה ההפוכה לה. בנוסף מצא את התמונה של הפונקציה. + f ( ) = 4 ( ) (4 f ( ) = ( f ( ) = ( f ( ) = ( (4) מצא איזה מבין הפונקציות הבאות הן אי זוגיות ואיזה 4 = (4 = ( = + ( = 4 ( זוגיות: = sin cos (8 = ln + (7 = (6 = + sin (5 (5) מצא את המחזור של כל אחת מהפונקציות הבאות: = = = + + = sin (4 tn ( 5 sin(4 ) ( sin ( * רשום כל אחת מהפונקציות הבאות כפונקציה מפוצלת ושרטט את גרף הפונקציה. (4 ( ( ( = = + = + = * יש הקוראים לפונקציה "מפוצלת", פונקציה "מוטלאת" או פונקציית "תפר" או פונקציה "לפי מקרים". (6)

5 4 פתרונות פרק (), (5 או < >( π k (5 4,, (4 < < (9 π + π k (4 ( כל (8 כל < ( < < (8 ± ( או (7 ( כל < < 5 (7 ( כל 4 (6 < ( (6 כל () 4 4 (6 8 (5 (4 4 ( 4 ( ( (), f ( ) = (, f ( ) = (, כל f ( ) = + ( 4, f ( ) = + 4 (4 (4) זוגיות,,5,8 אי זוגיות,4 כלליות.6,7 (5) π (4 π ( ( π ( π (6) + = ( = ( < < > + = (4 = ( < + <

6 5 תרגילים פרק גבול של פונקציה () חשב את הגבולות הבאים (הצבה): + + lim (4 lim + ( lim ( lim + + ( + 4 () חשב את הגבולות הבאים (צמצום/פירוק לגורמים): n lim (4 lim ( lim ( lim ( () חשב את הגבולות הבאים (כפל בצמוד): lim (4 lim ( lim ( lim ( lim (7 lim (6 lim (5 4 4 :( sin lim (4) חשב את הגבולות הבאים (היעזר בגבול הטריגונומטרי = cos sin( ) sin( ) lim ( lim ( lim ( sin sin(4 ) 4 + sin cos tn sin cos lim (6 lim (5 lim (4 cos sin sin cos( cos ) lim (9 lim (8 lim (7 4 (5) חשב את הגבולות הבאים (פונקציה השואפת לאינסוף): ( ) + 4 lim (4 lim ( lim ( lim ( ( )( 5) ( ) ln lim e (8 lim ((ln ) + ln ) (7 lim ln( ) (6 lim (5 + + lim ln cot ( lim ( lim ( lim (

7 6 (6) חשב את הגבולות הבאים ( שואף לאינסוף): 4 + ln lim ( lim rctn + e ( lim ( e ) ( lim (6 lim (5 lim ( lim (9 lim (8 lim ( lim ( lim ( lim ( lim (5 lim (4 lim ( lim e (8 lim ln ( ) 5 + ( ) ( + + ) ( + k ) ( ) 4 (7 lim ( lim + 5 ( lim 5 ( lim sin (9 5 b+ + lim (4 lim ( lim ( ( ) ( ) :( lim + = lim + = e lim 4 lim + + b (6 ( + + ) (5 (7) חשב את הגבולות הבאים (העזר בגבול של אוילר + lim ( lim + ( lim ( + + ( + ) lim sin (6 lim (5 lim ( lim + tn (9 lim (8 lim (7

8 7 (8) חשב את הגבולות הבאים (ע"י שימוש בכלל הסנדויץ'): + sin cos(+ ) sin lim ( lim ( lim ( 4+ cos + + sin lim cos( ln ) (6 lim sin (5 lim (4 + cos + rctn( ) lim [ ] (9 lim (8 lim (7 4+ rctn( ln ) lim [ ] ( lim f ( ) (9) חשב את הגבול של הפונקציות הבאות (גבול של פונקציה מפוצלת): + sin 4 > > = f ( ) = ( = f ( ) = ( < 4+ e < ( ) ( ) = f ( ) = (4 = f ( ) = ( ( ) ( ) = f ( ) = (5 ( ) הערה חשובה מאוד! במרבית קורסי החדו"א לומדים בהמשך את כלל לופיטל לחישוב גבולות (ראה פרק 8). בעזרת כלל זה ניתן לחשב ללא מאמץ את הגבולות המופיעים בשאלות, ו- 4.

9 8 פתרונות פרק 4 (4 ( ( ( n (4 6 ( ( ( (7 (6 (5 (4 ( 4 ( ( (9 4 (8 (7 (6 (5 (4 ( ( ( (9 φ (8 (7 (6 (5 φ (4 ( φ ( φ ( ( φ ( ( (9 (8 (7 5 (6 (5 (4 4 ( ( ( e (8 ln (7 (6 (5 4 (4 (.5 ( (.5 ( b 9 5 (6 / (5 / (4 / ( k / (.5 ( (**) ( (9 e (9 e (8 e (7 e (6 e (5 e (4 e ( ( e ( (9 4 (8.75 (7 (6 (5 (4.75 ( ( ( π () () () (4) (5) (6) (7) (8) ( (9) (5 (4 φ ( φ ( 4 ( (**) בשאלה 6 תרגיל יש להפריד לשלושה מקרים: lim= 5 b (I b lim= >, b= (II lim= <, b= (III

10 9 תרגילים פרק רציפות ומשפט ערך הביניים רציפות * () בדוק את רציפות הפונקציות הבאות ב"נקודת התפר" שלהן: (בסעיפים ו- 4 שרטט את גרף הפונקציה). sin > sin 4 > f ( ) = = ( f ( ) = ( + e < + e < 4 + f ( ) = (4 f ( ) = ( < 5 > sin < ( ) < f = < < (6 f ( ) = (5 = < > * נקודת התפר היא הנקודה בה נוסחת הפונקציה משתנה. למשל, נקודת התפר בתרגיל היא =. : () מה צריך להיות הערך של הקבוע k על מנת שהפונקציות הבאות תהינה רציפות לכל + k + f ( ) = ( f ( ) = ( 5k 6 > k = k + 5 f ( ) = (4 f ( ) = ( > k = הערה: על סעיף 4 תוכל לענות רק אחרי שתלמד את כלל לופיטל (פרק 8).

11 b מה צריך להיות הערך של הקבועים ו- על מנת שהפונקציות הבאות תהינה רציפות () בתחום הגדרתן : b + + < sin f = b + f = < < π + 4 > cos π ( ) ( ) ( ( ) ( > < + e ( ) ln( + ) + b f ( ) = + b (4 f ( ) = ( < ( ) > + 4 הערה: על סעיפים ו- 4 תוכל לענות רק אחרי שתלמד את כלל לופיטל (פרק 8). (4) עבור כל אחת מהפונקציות בשאלה () רשום עבור כל נקודת אי רציפות מאיזה סוג היא. (5) הוכח או הפרך:. סכום שתי פונקציות לא רציפות הוא פונקציה לא רציפה.. הפרש שתי פונקציות לא רציפות הוא פונקציה לא רציפה.. מכפלת שתי פונקציות לא רציפות היא פונקציה לא רציפה. 4. מנתן של שתי פונקציות לא רציפות היא פונקציה לא רציפה. רציפה ו- g לא רציפה. האם f רציפה? הוכח את טענתך. + g (6) ידוע ש- f

12 משפט ערך הביניים (של קושי) (7) צטט את משפט ערך הביניים של קושי והסבר אותו גרפית. (8) הוכח שלמשוואות הבאות יש לפחות פתרון אחד: = = + =.5sin 7 ( ln ( 4 ( b c d (9) הוכח שלמשוואה = יש לפחות פתרון אחד. () הוכח שלמשוואות הבאות יש לפחות שני פתרונות: = ( e 5= (. f () =, f () = פונקציה רציפה לכל המקיימת: () תהי f = f ( ) + sin = הוכח שלמשוואה 4 יש לפחות פתרון אחד. () מצא קטע שאורכו אינו עולה על יחידה אחת בו למשוואה יש פתרון.. f ( ) = + () נגדיר א. חשב () f. f (),. (,) + = ב. האם ניתן להסיק לפי משפט ערך הביניים שלמשוואה יש פתרון בקטע פתרונות פרק,=, לא רציפה. k= 4 (. k = (5 (4 ( לא רציפה. ) לא רציפה. רציפה. רציפה. לא רציפה בנק' רציפה בנק': ( (). =. =, b= b= =, או סליקה. סליקה. 5) מסוג ( ( (4) ( א. = 5 () f. f () =,. =, b= (6 רציפה בנק' =. ( (). = e /, b= e / ().[.,] (4. k= () ( () בנקודה =. (4. k =. = e, b= e (6 ( ( ראשון. סליקה. ב. לא.

13 א) תרגילים פרק 4 גזירות של פונקציה, הגדרת הנגזרת. תאר שתי דרכים שונות לבדיקת גזירות של פונקציה מפוצלת בנקודת הפיצול (תפר) שלה. השתמש בבפונקציה מסעיף ב.. שלהלן כדי להדגים שתי שיטות אלה. בנוסף, הסבר מתי עליך להשתמש בכל אחת מהשיטות שתיארת. ב. בדוק גזירות הפונקציות הבאות בתחום הגדרתן בכל דרך שתבחר. בנוסף רשום נוסחה עבור הנגזרת של כל אחת מהפונקציות. ) 5 4 f ( ) = ( f ( ) = ( 4 < 4 < ln(+ ).5< < + 8 f ( ) = (4 f ( ) = ( + + < f = + + f = + ( ) (6 ( ) 4 (5 sin > sin > f ( ) = (8 f ( ) = ( 7 () +. f ( ) = + < נתונה הפונקציה. א. עבור איזה ערך של הקבוע הפונקציה רציפה בנקודה = ב. עבור ערך ה- שקיבלת בסעיף א בדוק על פי הגדרת הנגזרת האם הפונקציה הנתונה גזירה בנקודה =. (). f ( ) = + < ( ) נתונה הפונקציה. = א. האם הפונקציה רציפה? ב. בדוק על פי הגדרת הנגזרת האם הפונקציה הנתונה גזירה בנקודה

14 (4) עבור איזה ערכים של הקבועים ו- b יהיו הפונקציות הבאות גזירות בנקודת התפר. עבור ערכים אלה, רשום נוסחה עבור הנגזרת. e < f ( ) = + b > ln < e f ( ) = + b > e א) ב) (5) חשב על פי הגדרת הנגזרת את נגזרות הפונקציות הבאות: f f f + ( ) = sin 4 ( ( ) = ( ( ) = ( f ( ) = + (6 f ( ) = ln (5 f ( ) = e (4 * בתרגיל זה אסור להשתמש בכלל לופיטל. (6) חשב את '() f עבור כל אחת מהפונקציות הבאות: f ( ) = ( )( )( ) L( 44) ( f ( ) = ( + ) + + ( 4 sin ( 4) (+ tn ) cos( + sin ) f ( ) = ( ( ) ( ) ) נתון ( z() =,lim z( ) = 4 : f ( ) = z( ) (4 f = + 4 ( ) sin( ) (5. (7) בדוק האם הפונקציה משאלה () סעיף 4) גזירה פעמיים בנקודה = (8) הוכח או הפרך (אם הטענה נכונה, הוכח אותה. אם לא הבא דוגמה נגדית לטענה):. f = g+ h, ו- g א. אם h גזירה ב- אינה גזירה ב- אז אינה גזירה ב-. f = g+ h, ו- g ב. אם h אינה גזירה ב- אינה גזירה ב- אז אינה גזירה ב-. f = g h, ו- g ג. אם h אינה גזירה ב- אינה גזירה ב- אז אינה גזירה ב-. f = g h, ו- g ד. אם h גזירה ב- אינה גזירה ב- אז אינה גזירה ב-

15 4 פתרונות פרק 4 () 5 > 4 > f '( ) = ( f '( ) = ( < <.5< < + 8 f '( ) = + (4 f '( ) = ( < > f '( ) = (6 f '( ) = (5 4 < 4 < sin cos > sin cos > f '( ) = (8 f '( ) = (7 < לתשומת לבך! בתחומים בהם קיימת נוסחה לנגזרת, הפונקציה גזירה. בנקודות בהן הנגזרת לא קיימת הפונקציה לא גזירה. למשל, בסעיף הפונקציה גזירה עבור. ) לא גזירה. = ( () רציפה ) ) לא גזירה. (). = e, b= א) b=. = / e, ב) (4) (5) f '( ) = 4cos( 4 ) ( f '( ) = ( f '( ) = + 4 ( ( + ) f '( ) = (6 f '( ) = (5 f '( ) = e (4 + (5 4 (4 (.4 ) ( ( 44! ( (6) (7) לא גזירה פעמיים.

16 5 תרגילים פרק 5 גזירה של פונקציה () גזור פעמיים את הפונקציות הבאות (בסעיפים 7-9 גזור פעם אחת): f ( ) = ( f ( ) = ( f ( ) = ( ( + ) + + f ( ) = (6 f ( ) = (5 f ( ) = (4 ( + ) 4 ln ln f ( ) = ln (9 f ( ) = (8 f ( ) = (7 f f f ( ) = ln + ln ( ( ) = ln ( ( ) = ln ( f ( ) = ( + ) e (5 f ( ) = e (4 f ( ) = ln + ( ln ( ) = (8 ( ) = (7 ( ) = (6 f f f e f = f = f = 4 ( ) cos( ) ( ( ) sin( ) ( ( ) ( ) (9 f = f = f = ( ) ln(cos ) (4 ( ) tn( ) ( ( ) sin ( sin f = + f = f = ( ) ( ) (7 ( ) rctn( ) (6 ( ) rcsin (+ ) (5 f ( ) = cos (9 f ( ) = sin (8 ln ( ) ( )

17 6 פתרונות פרק 5 ( ( f '( ) =, f ''( ) = f '( ) =, f ''( ) = (+ ) (+ ) 4 (4 ( ( ) 4 ( + 4) 4 4( ) f '( ) =, f ''( ) = f '( ) =, f ''( ) = 4 ( 4) ( 4) ( + ) ( + ) (6 (5 6( + ) ( + )( + ) ( + ) 6 f '( ) =, f ''( ) = f '( ) =, f ''( ) = ( ) ( ) ( + ) ( + ) (8 (7 ln ln 8 ln ln f '( ) =, f ''( ) = f '( ) =, f ''( ) = ( (9 f '( ) = (ln + ), f ''( ) = ln + f '( ) = ln +, f ''( ) = ( ( ln f '( ) = (ln + ), f ''( ) = f '( ) =, f ''( ) = ( ) (4 ) ( ( ln ) (ln ) (ln ) (ln ) f '( ) =, f ''( ) = 4 (ln ) (ln ) 5 + f '( ) = e, f ''( ) e (5 = 4 (4 + f '( ) = e, f ''( ) e = 4 (6 f '( ) = e ( 4 ), f ''( ) = 4 e ( 4 ) (7 f '( ) =, f ''( ) = 4 9 (8 f '( ) =, f ''( ) = 5/ ( ) ( ) ( f '( ) =, f ''( ) = 9 4 ( 4 f '( ) = cos( ), f ''( ) = 9 sin( ) + 6 cos( )

18 (7 sin sin '( ) f = cos ln( + ) + + (9 ln ln(cos ) f '( ) = ( cos ) tn ln 7 ( f '( ) = sin( ) 4, f ''( ) = 6 cos( ) sin( ) ( f '( ) = sin cos, f ''( ) = 6sin cos sin ( cos ( ) 8 cos( )sin( ) f '( ) =, f ''( ) = 4 cos ( ) cos ( ) (4 4 f '( ) = tn( ) ( ), f ''( ) = tn( ) cos ( ) (5 + f '( ) =, f ''( ) = ( ) / (6 4 6 f '( ) =, f ''( ) = ( ) (8 f '( ) = sin ln(sin ) + cot ( ) ( )

19 8 תרגילים פרק 6 נגזרות של פונקציות מיוחדות לתשומת ליבכם, שאלות,,6 אינן בחומר הלימוד של אוניברסיטת ת"א. נגזרת הפונקציה ההפוכה () הוכח, בעזרת כלל הנגזרת של הפונקציה ההפוכה, את הנוסחאות הבאות: rctn ' = ( rcsin ' ( ' ( + = = ( ) ( ) ( ) ( n, f של הפונקציות הבאות: ) ( ) נגזרות מסדרים גבוהים, נוסחת לייבניץ () חשב את הנגזרת ה-, n 4 + ( )( ) + +. = (4 = ( = ( = ( () () חשב את הנגזרת העשירית,, של הפונקציות הבאות: = = e sin 5 ( ( נגזרת של פונקציה סתומה (4) גזור את הפונקציות הסתומות הבאות ומצא את ' : = + = + = 5 sinh ( 4 ln ln ( ( + = (6 = (5 = (4. '' (5) נתונה פונקציה סתומה = +. מצא את ערך בנקודה = נגזרת של פונקציה הנתונה בצורה פרמטרית (6) חשב את הנגזרת הראשונה והשנייה של הפונקציות הבאות הנתונות בצורה פרמטרית. ( t) = t cos t ( t) = t sin t ( ( ( t) = t ( t) = t cost h() g() נגזרת של פונקציה מן הצורה (7) גזור את הפונקציות הבאות: sin f ( ) = cos ( f ( ) = + ( f ( ) = sin ( ln ( ) ( ) ( )

20 9 פתרונות פרק 6 ( n) n n n = n ( + ) ( 6 ) ( ) ( ) ( )!(( ) ( ) ) ( ) ( n) n n n n n () ( n) n n = ( ) n!( + ) ( ( )! 5( ) 7( ) ( ( n) n n n n = ( ) n! ( ) ( + ) + ( ) ( ' = ( ) ( + ) '' = + ( ) ( + ) = + > (4 ( ) ( ) () () 9 9 () e = e ( sin 5 = 5 sin cos sin cos5 ( (4) ( + cosh ) 4 ' = ( ' = ( ' = ( 4 ( cosh ) ( ) 5 ln ( ) ' = (6 ' = (5 ' = (4 ln ln, 8 (5) (6) cost t sin t '( ) = cost ( sin t tcos t)( cos t) sin t(cost tsin t) ''( ) = ( cos t) t '( ) = cost t sin t (cost tsin t) t( sin t t cos t) ''( ) = (cost tsin t) ( ( (7) ראה פתרון שאלות 7-9 בפרק 6.

21 תרגילים פרק 7 בעיות משיקים (המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת) (. f ( מצא את b ואת נקודת ההשקה. = e משיק לגרף הפונקציה = + () הישר b 4+ = משיק לגרף הפונקציה + = ). f ( מצא את b ואת נקודת ההשקה. () הישר b (. f ( מצא את b ואת נקודת ההשקה. () הישר = משיק לגרף הפונקציה = + b. c ו- מצא את. בנקודה = g( ) (4) הישר + = משיק לגרף הפונקציה = + c. = (5) מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f ( ) = ln בנקודה e. (6) מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה + f ( ) = בנקודה =. (, 4) + = 5 (7) מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה k ו- = + k משיקות זו לזו. מצא את ואת נקודת ההשקה. = (8) הפונקציות (9) מצא את נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק לגרף העקומה העובר דרך הנקודה הנתונה. (,) = (, ) = + א) ב) () מצא את משוואת המשיקים המשותפים לפונקציות הבאות:. 4 = = ו- 5. = g( ) = = f ( ) = () מצא את הזווית בין הפונקציות ו-. = + = 8 () מצא את הזווית בין המעגל והפרבולה נחתכות בזוית ישרה. = + () הוכח שהאליפסה = 8 וההיפרבולה

22 פתרונות פרק 7. = + () נקודת ההשקה היא (,) ומשוואת המשיק היא. = 4+ () נקודת ההשקה היא (,5 ( ומשוואת המשיק היא 9 () נקודת ההשקה היא (4,) ו- = 4 b. (4) נקודת ההשקה היא ) (, ומשוואת המשיק היא +. = 8 (5) משוואת המשיק היא. = e. (6) משוואת המשיק היא = 5 = (7) משוואת המשיק היא., נקודת ההשקה (,) k=.5 (8) = 6 5, (4,9), = +, (,) 9) א) ( ב). = + המשיק: (9,), 6 =, = () 7.57 o () 7.56 o ()

23 תרגילים פרק 8 () חשב את הגבולות הבאים: כלל לופיטל n 5 6 lim ( lim ( lim ( lim (6 lim (5 lim ( e lim (9 lim (8 lim (7 e e b lim ( lim ( lim (, b> ) ( + ln lim (5 lim (4 lim ( ln ( + ) + ln + + sin( ) sin( ) tn lim (8 lim (7 lim (6 sin( b) b + sin cos tn sin sin lim ( lim ( lim (9 sin sin( ) e sin ( + ) cos( cos ) lim (4 lim ( lim ( 4 4 rctn( + ) ln(cos ) lim tnh (7 lim (6 lim (5 4 rcsin( 4 ) + cosh sin lim ( lim (9 lim + + sinh cos (8 lim (ln ) ln ln e ( lim ( lim ( e

24 lim e e ln(sin ) (6 lim (5 lim (4 + ln(tn ) lim + tn (9 lim (8 lim ln (7 ln e lim ( 9) ln( ) (4 lim ln (4 lim( cos ) cot ( lim (45 lim + (44 lim ln (4 sin [ ] ln lim + + (48 lim ln( ) ln(sin 5 ) (47 lim (46 + lim ( ) ( > ) (5 lim (5 lim (49 + sin + lim (54 lim (5 lim ( + + 4) (5 4 tn lim(cos ) (57 lim (56 lim(+ tn ) (55 + cot tn tn lim( ) (6 lim (59 lim (sin ) ( sin cot tn lim (6 lim ( + ) (6 lim ( + sin ) (6 + +

25 4 () כל אחד מהגבולות הבאים הוא מן הסוג לופיטל אינו ישים, לבסוף חשב את הגבול.. הראה זאת והסבר מדוע למרות כך, כלל + + sin lim ( lim ( lim ( 4 4 cos פתרונות פרק 8 () 5 5 (7 (6 (5 4 (4 n ( ( ( (4 ( ( ( ln ( (9 (8 6 b ( ( (9 (8 (7 (6 (5 6 b b (8 (7 (6 (5 (4 ( ( 4 8 (5 (4 ( ( ( ( (9 (4 (4 (4 (9 (8 (7 ( 6 (49 ln (48.5 (47 (46.5 (45 6 (44 (4 5 (56 e (55 (54 (5 (5 e (5 (5 / / (6 (6 (6 (6 (59 (58 (57 e e e e e /6 (65 e (64 ().75 (.5 ( (

26 5 תרגילים פרק 9 חקירת פונקציה () חקור את הפונקציות הבאות חקירה מלאה לפי הפירוט הבא: תחום הגדרה ורציפות, נקודות ** * חיתוך עם הצירים, זוגיות, אסימפטוטות אנכיות, אופקיות ומשופעות, נקודות קיצון, תחומי *** עליה וירידה, נקודות פיתול, תחומי קמירות וקעירות, גרף. f f f ( ) ln ln ( 4 ( ) = ( ( ) = ( ( ) = ( 9) ( f ( ) = (6 f ( ) = (5 f ( ) = (4 ( + ) 4 ( + ) 4+ + f ( ) = (9 f ( ) = (8 f ( ) = (7 4 ( )( 5) f = + ln ln f ( ) = ( f ( ) = ( f ( ) = ( 5 f ( ) = ln (4 f ( ) = ln ( f ( ) = e (8 f ( ) = ln + (7 f ( ) = 4ln 4ln (6 ln f ( ) = e ( f ( ) = ( + ) e ( f ( ) = e (9 ( ) f ( ) = (4 f ( ) = ( ) ( f ( ) = ( + f ( ) = rctn (7 f ( ) = (6 f ( ) = (5 f f f ( ) = 8cos + cos ( ( ) = cos sin (9 ( ) = rcsin(sin ) (8 ( π) ( π) הערות:. בשאלה 8 מצא את החיתוך רק לאחר השרטוט. * בשאלה 7 אין צורך למצוא חיתוך עם ציר ** בתרגילים,,8,9, אין צורך למצוא אסימפטוטות (וגם אין). *** בתרגילים 9,7 אין צורך למצוא נקודות פיתול אלא אם כן למדתם ניוטון רפסון. בתרגיל 8 אין צורך למצוא נקודות פיתול אלא אם כן למדתם לפתור משוואה ממעלה שלישית.

27 6 פתרונות פרק 9 () ( ( (4 ( (6 (5 (8 (7

28 7 ( (9 ( ( (4 ( (6 (5

29 8 (8 (7 ( (9 ( ( (4 (

30 9 (6 (5 (8 (7 ( (9

31 תרגילים פרק חקירת פונקציה "שאלות מסביב" ().. ידוע שהנקודה = f ( ) = + א) נתונה הפונקציה נקודת קיצון. מצא את הקבוע. ידוע שהנקודה (,) נקודת קיצון. f ( ) = + b ב) נתונה הפונקציה., מצא את הקבועים b.. ידוע שהנקודה = f ( ) = + ג) נתונה הפונקציה נקודת פיתול. מצא את הקבוע. ידוע שהנקודה (,) נקודת פיתול. f ( ) = + b ד) נתונה הפונקציה., מצא את הקבועים b הוא. f ( ) = + ה) נתונה הפונקציה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה = מצא את. (,9) הוא. f ( ) = + b ו) נתונה הפונקציה. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה., מצא את b. ידוע שהישר 4= f ( ) = ז) נתונה הפונקציה אסימפטוטה לגרף הפונקציה. מצא את. =.5+. ידוע שהישר f ( ) = + b+ 4 ח) נתונה הפונקציה אסימפטוטה לגרף הפונקציה. מצא את ואת. b f ( ) = ט) נתונה הפונקציה ידוע שהישר = אסימפטוטה לגרף הפונקציה. מצא את.

32 () לפניך גרף הפונקציה f ( ) = א. ב. ג. ד. ה. ו. ז. ח. מהו מספר הפתרונות של המשוואה = 5 ). f ( מהו מספר הפתרונות של המשוואה = ). f ( מהו מספר הפתרונות של המשוואה =.5 ). f ( ( f ( יש בדיוק פתרון אחד. עבור איזה ערך של k למשוואה = k ( f ( יש בדיוק שני פתרונות. עבור איזה ערך של k למשוואה = k ( f ( יש בדיוק שלושה פתרונות. עבור איזה ערך של k למשוואה = k ) f ( אין פתרון. האם קיים ערך של k עבורו למשוואה = k מצא את התחומים בהם הפונקציה היא חח"ע. (-,) (,-) () הוכח את אי השוויונים הבאים לגבי התחום הרשום לידם: π ( ) ( ) 4 < < < sin ( < < ( ln( + ) (4 > + < + ( ( ) ( ) פתרונות פרק = ב) = 4. b= 6, ג) = () א) = b=,. = ד) =. b=, ה) ו) = 7 =.5 ז) = 8 ח) ט) ב) ג) ( ) א ( < k <. k=±. k < ד) k> או ה) ו) < < לא ז) ח) > או או <

33 תרגילים פרק מקסימום ומינימום מוחלטים של פונקציה () מצא את נקודות המינימום המוחלט והמקסימום המוחלט של הפונקציות הבאות בתחומים הרשומים לידן (אם יש כאלה): ( ) ( ) 4 5 ( ( ) ( 4 < f = f = ( )( ) 7 ( ) ( ) f = + + f = + / ( ) (4 ( ) ( ) ( < < f = f = ( ) (6 5 ( ) 9 (5 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 (7 < < f = + () הוכח את אי השוויונים שמימין לגבי התחום הרשום בסוגריים משמאל. ( ) e ( ( ) e ( (לכל ( e 7 e ( פתרונות פרק () מינימום מוחלט, (,9) מקסימום מוחלט. (, 7) ( מינימום מוחלט, מינימום מוחלט, (,) מקסימום מוחלט. (5,) (,) ( מינימום מוחלט, מינימום מוחלט, (48,8) מקסימום מוחלט. (, ) (,) ( מינימום מוחלט, (,) מקסימום מוחלט. (.5,.5) (4 מינימום מוחלט, (5,7 ( מקסימום מוחלט. (,) (5 (4, ( מקסימום מוחלט. אין מינימום מוחלט. (6 7) אין מקסימום ואין מינימום. הערת סימון: [, b) < b, (, b) < < b, [, b] b

34 ס 5 תרגילים פרק בעיות מקסימום ומינימום הערה: בפרק זה, סומנו התרגילים הקשים יותר בכוכבית * בעיות בהנדסת המישור () בטרפז שווה-שוקיים (AB CD) ABCD אורך השוק D C הוא 4 ס"מ ואורך הבסיס הקטן הוא 6 ס"מ. DE הוא הגובה מקדקוד D (ראהציור). מה צריך להיות אורך הקטע DE כדי ששטח הטרפז A E B יהיה מקסימלי? נתון מלבן. ABCD נסמן ב- את אחת מצלעות () המלבן (ראה ציור). A B א) אם היקף המלבן הוא 6 ס"מ בטא באמצעות את שטח המלבן. ב) אם היקף המלבן הוא p מצא מה צריכים להיות D אורכי צלעות המלבן כדי ששטחו יהיה מקסימלי C (הבע את אורכי הצלעות באמצעות ). p נתון מלבן ABCD "מ = BC, AD = כך ש- () A P B ס"מ = CD. AB = על צלעות המלבן מקצים Q S CR= AP= AQ= CS= (ראה ציור). קטעים : מה צריך להיות ערכו של כדי ששטח D R C המקבילית PQRS יהיה מקסימלי?

35 4 E ( C= 9 ) במשולש ישר זווית ABC סכום (4) A אורכי הניצבים הוא 8 ס"מ. על היתר AB בונים ריבוע.ABDE מה צריכים להיות אורכי הניצבים, D כדיששטח המחומש AEDBC יהיה מינימלי. C B בחצי עיגול שרדיוסו 8 ס"מ חוסמים מלבן (5) D A 8 B C, ABCD כך שהצלע AB של המלבן מונחת על הקוטר, והקדקודים C ו- D מונחים על הקשת(ראה ציור). מה צריך להיות אורך הצלע AB כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? A B= (, סכום 9 ) (6) במשולש ישר-זווית ABC אורכי הניצבים הוא ס"מ. AD הוא תיכון לניצב BC (ראה ציור). B D C חשב מה צריכים להיות אורכי הניצבים, על מנת שריבוע אורך התיכון יהיה מינימלי. 8 בחוברת פרסום, שטח כל עמוד הוא 6 סמ"ר. רוחב השוליים בראש העמוד ובתחתיתו הוא 8 ס"מ, ורוחב השוליים בצדדים הוא ס"מ. מצא מה צריך להיות האורך והרוחב של כל עמוד, (7) כדי שהשטח המיועד לדפוס יהיה מקסימלי (השטח המקווקו בציור).

36 5, F Gנמצאות, על הצלעות (8) בריבוע ABCD הנקודות E CF =CG, BE =BF כך ש- DCבהתאמה,, BC, AB (ראה ציור). A E B נתון כי האורך של צלע הריבוע הוא 6 ס"מ. F א. סמן ב- את BFואת, BE והבע באמצעותאת הסכום של שטחי המשולשים EBFו- FCG (השטח המקווקו בציור). D G C ב.. מצא אתשעבורו סכום שטחי המשולשים הוא מינימלי. ב.. חשב את הסכום המינימלי של שטחי המשולשים. E נתון ריבוע ABCDשאורך צלעו ס"מ. Eהיא נקודה * ( 9) A M N B כלשהי מחוץ לריבוע, כך שהמשולש DECהוא שו"ש AB שוקי המשולש חותכים את הצלע.(ED =EC) בנקודות M ו- N (ראה ציור). מצא מה צריך להיות אורך הקטע AMכדי שהסכום של שטחי המשולשים D C BNCיהיה, AMD, EMN מינימלי. נתון מעגל שרדיוסו. R במעגל זה חסום טרפז שו"ש, * ( ) כך שהבסיס הגדול של הטרפז הוא קוטר במעגל (ראה ציור). מבין כל הטרפזים החסומים באופן זה, הבע באמצעות R מקסימלי. את אורך הבסיס הקטן בטרפז ששטחו

37 ס ס 4 6 O נתונה גזרה של רבע עיגול שמרכזו Oורדיוסו ס"מ. בונים מלבן,ABCD כך שרבע המעגל משיק לצלע DC * ( ) A D C B בנקודת האמצע שלה, והקודקודים A ו- Bנמצאים על הרדיוסים התוחמים את הגזרה (ראה ציור). מבין כל האלכסונים של המלבנים ABCDשנוצרים באופן זה, מצא את אורך האלכסון הקצר ביותר. A ABCDEהוא מחומש המורכב ממשולש ABEוממלבן EBCD (ראה ציור). * ( ) E B, "מ = =AE. AB נתון: "מ = BC מצא את השטח של המחומש ששטחו מקסימלי. D C A מתבוננים בכל המשולשים ישרי הזווית ABC החוסמים חצי מעגל שרדיוסוRכמתואר בציור. מהן זוויות המשולש שסכום הניצבים שלו הוא * ( ) B C מינימלי? 7 במעגל שרדיוסוRחסומים משולשים כך שהגודל של π אחת הזוויות בכל אחד מהמשולשים הוא. 5 מצא את הזוויות במשולש בעל ההיקף המקסימלי. * ( 4)

38 7 בעיות בהנדסת המרחב (5) גובהו של "מגדל" הבנוי שמתי קוביות( לאו דווקא שוות) הוא 8 ס"מ. מה צריך להיות אורך המקצוע ש הקובייה התחתונה כדי שנפח המגדל (סכום נפחי הקוביות) יהיה מינימלי? (6) בונים תיבה שגובההס"מ, ובסיסה ריבוע, שאורך צלעוס"מ (ראה ציור), כך שההיקף של כל אחת מהדפנות הצדדיות שווה ל- ס"מ. מה צריך להיות אורך צלע הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי? (7) יש לבנות תיבה פתוחה מלמעלה, שבסיסה ריבוע ושטח פניה 75 סמ"ר ) במקרה זה שטח הפנים מורכב מבסיס אחד ומארבע פאות צדדיות). מכל התיבות שאפשר לבנות, מצא את ממדי התיבה (צלע הבסיס וגובה) שנפחה מקסימלי. (8) יש להכין מחוט תיל "שלד" (מסגרת) של תיבה, שבסיסה ריבוע ונפחה סמ"ק. מהו האורך המינימלי של החוט הנחוץ ליצירת התיבה? (9) מחוט שאורכוס"מ יש לבנות מנסרה משולשת ישרה, שבסיסה הוא משולש שווה צלעות. מצא איזה חלק מאורך החוט יש להקצות לצלע הבסיס ואיזה חלק לגובהכדי שיתקיים: א. שטח המעטפת של המנסרה יהיה מקסימלי. ב. נפח המנסרה יהיה מקסימלי.

39 8 מכל הפירמידות המרובעות, המשוכללות והישרות, * ( ) שאורך המקצוע הצדדי שלהן הוא, מצא את נפחה של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי. מכל הפירמידות הישרות, שבסיסן ריבוע ושטח * ( ) הפנים שלהן הוא סמ"ר, חשב את נפחה של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי. () אלכסון החתך הצירי של גליל ישר הוא ס"מ (ראה ציור). מצא מה צריכים להיות גובה הגליל ורדיוס בסיסו כדי שנפחו יהיה מקסימלי. () נתון מיכל גלילי פתוח מלמעלה שקיבולו 64 מ"ק. המיכל עשוי כולו מפח. הראה כי שטח הפח הוא 4 מינימלי כאשר רדיוס הבסיס הוא מטר. π (4) מבין כל החרוטים שאורך הקו היוצר שלהם הוא ס"מ (ראה ציור), מהו נפח החרוט שנפחו מקסימלי?

40 9 בעיות בפונקציות וגרפים (5) מנקודה, A הנמצאת על גרף הפונקציה C A = + 5, מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן ABOC (ראה ציור). א. מה צריכים להיות שיעורי הנקודהAכדי שהיקף O B המלבן יהיה מקסימלי? ב. מה צריכים להיות שיעורי הנקודהAכדי שהיקף המלבן יהיה מינימלי? בפרבולה = 9 חוסמים מלבן, ABCD כך שהצלע ABמונחת על ציר ה- (ראה ציור). (6) D A C B מה צריך להיות אורך הצלע CDכדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? = 9 (7) טרפז ABCDחסום בין גרף הפרבולה D A לבין ציר ה- (ראה ציור). א. מה צריכים להיות שיעורי הנקודהAכדי ששטח C B הטרפז ABCD יהיה מקסימלי? ב. חשב את השטח המקסימלי של טרפז.ABCD

41 4 (8) נתונה הפרבולה +. = ישר המקביל לציר ה- A את הפרבולה בנקודות חותך ו- B (ראה ציור). B A מחברים את הנקודות A ו- Bעם ראשית הצירים, O. א. מה צריך להיות אורך הקטע ABכדי ששטח המשולש AOB יהיה מקסימלי? ב. מהו השטח המקסימלי של המשולש? AOB A = וגרף של הישר לפניך גרף של הפונקציה e. = e ישר המקביל לציר ה- חותך את (9) B הגרפים בנקודות Aו- B (ראה ציור). א. מצא לאילו ערכיאורך הקטע ABיהיה מינימלי. ב. האם יש ערך שלשעבורו אורך הקטע ABהוא מקסימלי? P Q נתונים הגרפים של שתי פרבולות :. = +, = קו מקביל לציר ה- חותך את שתי הפרבולות בנקודות P ו- Q (ראה ציור). () מבין כל הקטעים המתקבלים באופן זה, מצא את האורך המינימלי של הקטע.PQ

42 4 M =. על ציר ה- נתונה נתון גרף הפונקציה הנקודה (,4.5)A (ראה ציור). מצא על גרף הפונקציה נקודה M, כך שריבוע המרחק () A(4.5,) AMיהיה מינימלי. f ( ) = מצא על הישר 4 את הנקודה הקרובה (). ביותר לנקודה (,) בציור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות:. g( ) = 6 6, f ( ) = מלבן חסום בין הגרפים של הפונקציות ובין ציר ה-, * ( ) כמתואר בציור. מצא את השטח הגדול ביותר האפשרי למלבן שחסום באופן זה. דרך איזו נקודה על הפרבולה = + צריך להעביר משיק, כדי ששטח הטרפז, הנוצר על ידי * ( 4) =, המשיק והישרים: = ו- = (השטח המקווקו שבציור) יהיה מינימלי?

43 4 נקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה = ברביע * ( 5) הראשון. Aהיא הנקודה (,) כאשר ידוע כי <.5 (ראה ציור). A א. בטא באמצעותאת שיעורי הנקודה B, שעבורה B המרחק AB הוא מינימלי. ב. מצא עבור איזה ערך שלהמרחק המינימלי. הוא =, ונתון משיק לפרבולה נתונה הפרבולה * ( 6) 6. = בנקודה שמשוואתו היא 9 הפרבולה מעבירים משיק נוסף לפרבולה. ) t ( t, שעל המשיקים נחתכים בנקודה M (ראה ציור). (t,t ) M ב. א. הבע את משוואת המשיק הנוסף באמצעות. t מצא את tשעבורו אורך הקטע, המחבר את הנקודה Mעם קודקוד הפרבולה יהיה מינימלי. A(,) במערכת צירים נתונות הנקודות (,)A ו- (,)B. ראשית הצירים היא בנקודה M.Oהיא * ( 7) O M נקודה על ציר ה- בתחום <. מה צריכים להיות B(,-) שיעורי הנקודה M, כדי שהסכום: OM +MA +MB יהיה מינימלי?

44 ס 4 ס 4 ס 5 4 פתרונות פרק. =.75 cm ()..5 p א. ) (. ב. כל צלע שווה ל- (). AE=.7 cm () (7) אורך: 4 ס"מ. B= 6, BC= 4 cm cm (6). AB= cm (5). AC= BC= 4 cm (4). AM = 5 / 9 סמ"ר. (9). =. = S רוחב: 5 ס"מ. (8) א. ב.. ב... 45, 45, 9 סמ"ר. () (). 4 5 cm (). R () בסיס קטן = (7) "מ. (6) "מ. צלע הבסיס: "מ. גובה:.5 (5). π, π, π 5 (4). 4 7 (). 4. סמ"ק. = = 9 (4). =, = 6 ס"מ. (9) ס"מ. (8) א. גובה: ס"מ. רדיוס: ב. 4 ס"מ. 48 () סמ"ק. 5 ().. A(,8) (7).CD= (6) A(, ) א. 6) A(,. ב. או 5) A(5,. א. ב. (5). PQ=4 (). = (9). S = 6 AOB א. AB=4. ב. א. אין. ב. (8). (.5,.75) (4).8 (). (.5,.5) (). M (4, ) ().t= / 7. = t t (6) ב א. ב. (5) א. ) /,( ). B( ( ) /. M (.845,) (7)

45 44 תרגילים פרק פתרון משוואות (משפט ערך הביניים, מונוטוניות (משפט רול), ניוטון רפסון ( () הוכח שלמשוואות הבאות יש בדיוק פתרון אחד: + + = = = + = (4.5sin 7 ( ln ( 4 (. b < c b c d () נתונה המשוואה = ונתון כי מהו מספר הפתרונות של המשוואה? הוכח את תשובתך. () עבור כל אחת מהמשוואות הבאות מצא את מספר הפתרונות ופתור אותה. e + sin = cos (4 ln( + 5) 4 = ( rctn = ( = (. f '( ), f () =, f () = פונקציה גזירה לכל המקיימת: (4) תהי f f ( ) + sin = הוכח שלמשוואה 4 יש בדיוק פתרון אחד. (5) הוכח שלמשוואות הבאות יש בדיוק שני פתרונות: + 4 = 8 ( = ( e 5= ( 4 (6) בכל אחת מהמשוואות הבאות מצא קשר בין הפרמטרים על מנת שלמשוואות יהיה בדיוק פתרון אחד (הנח שכל הפרמטרים שונים מאפס) = ( + + = ( b c d b c n> odd + b + c d = + b = n n n 4 ( 4, ) (4 cos( ) ( פתור את המשוואות הבאות (סעיפים, בשיטת ניוטון רפסון): + + = + = + + = ( 4 8 ( 7 6 ( (7) פתרונות פרק =. (4 = 4 ( = ( () פתרון יחיד. () ( = או < b b > ( 4b c< ( b 4c= ( (6) b n nc n ( ) 4 ( 4) < (4 =.5576, =.967 (. פתרון מדויק = פתרונות מקורבים ( (7) ( פתרון מקורב =.8459

46 45 תרגילים פרק 4 משפט לגרנג' () הוכח את אי השוויונים הבאים בתחום הרשום לידם: ( ) ( ) ( ) b b b < < < ln < ( b ( b) b b < < b < b < ( b ( ) π b b < < b< < tn b tn < ( cos cos b b b < b ( b) e < e e < ( b) e (4 b b < < b < rctn b rctn < (5 + b + b b < < b< < rcsin b rcsin < (6 b b rcsinh( b) rcsinh( ) b < < < < (7 + b b + ( b) b b < < b< < rc tnh( b) rc tnh( b) < (8 b ( ) n b n n n b < < b b < b < (9 n b n ( ) b( b ) b + ( b ) < < < ln ( < b ( b) ( ) ( ) ( ) () הוכח את אי השוויונים הבאים בתחום הרשום לידם: π > < rctn < ( tn ( < < < < + cos > < rc sinh( ) < (4 < < < rcsin < ( + > < ln( + ) < (6 < < < rc tnh( ) < (5 + ( ) ( ) ( ) ( ) > sin (8 > + < e < + e (7 π < < > + < < ( ) * rctn ln( ) ( tn < 4 (9

47 א) 46 () הוכח את אי השוויונים הבאים: cos cos ( sin sin ( * tn tn 8 sin sin ( 4 rctn rctn < ( (4) הוכח את אי השוויונים הבאים: + < <.5 ( < ln < ( π π π 4 π + < rcsin(.6 ) < + (4 + < rctn ( < f '( ) 5 תהי ) f ( פונקציה גזירה לכל המקיימת. 5). ידוע כי = 8 (4) f. f () =, הוכח כי = 8 () f. f '( ) 7 תהי ב. ) f ( פונקציה גזירה לכל המקיימת. ידוע כי = 8 (4) f. f () =, הוכח כי () f 4 * תרגיל סעיף ותרגיל סעיף 4 עוסקים במשפט קושי שהוא הכללה של משפט לגרנג', ולפיכך רלוונטיים רק אם למדת משפט זה.

48 47 נוסחאות גבולות = = =, = = + e e e e = = = = = ln + ln( ) = ln( ) = π π = rctn tn( ) = tn() = tn( ) = =, > = = = = = = =, < < = sin sin = = cos cos = sin = tn = = + e (from right) e = ( + ) e + = = = = = = Defined Limits: =, ( ) =, + =, ± =, ( ± ) =±, / ( ± ) =± Undefined Limits :,,,,,,

49 48 נוסחאות נגזרות. = ' =. = f n ' = n f n f '. = e f ' = e f f ' 4. = f ' = f f ' ln 5. = ln f ' = f ' f 6. = sin f ' = cos f f ' 7. = cos f ' = sin f f ' 8. = tn f ' = f ' cos f 9. = cot f ' = f ' sin f. = rcsin f ' = f ' f. = r cos f ' = f ' f. = rctn f ' = f ' + f. = r cot f ' = f ' + f 4. = sinh f ' = cosh f f ' 5. = cosh f ' = sinh f f ' 6. = tnh f ' = f ' cosh f 7. = coth f ' = f ' sinh f = = g( ) g( ) 8. f ( ) ' f ( ) ( g( ) ln( f ( ))'

50 49 נוסחאות אינטגרלים d= + c n+ n+ n n ( + b) d= + c n ( + b) d= + c n n+ n+ d= ln + c d ln b c = b + b + b e d= e + c e d= e + c k + b k d= + c + b k ln k k d= + c ln k cosd= sin + c cos( + b) d= sin( + b) + c sin d= cos+ c sin( + b) d= cos( + b) + c tn d= ln cos + c tn( + b) d= ln cos( + b) + c cot d= ln sin + c cot( + b) d= ln sin( + b) + c d= tn + c d tn( b) c cos = + + cos ( + b) d= cot + c d= cot( + b ) + c sin sin ( + b) d= ln + tn + c d ln cot c cos cos = + sin sin d= rctn c d ln c + = d= rcsin + c d= ln + ± + c ± f ' = + f = + d ln f c f f ' d f c f f e f ' d= e + c cos f f ' d= sin( f ) + c f ' sin f f ' d= cos( f ) + c d= f + c f f f ' d= f + c u v' d= u v u ' vd

51 sin α+ cos α = 5 נוסחאות טריגו sinα tnα = cosα cosα cotα = sinα sin α = sinα cosα α α α α α + tn α = cos α cos = cos sin = sin = cos + cot α = sin α sin α = ( cos α) cos α = (+ cos α) sinα cosβ = ( sin( + β ) + sin( α β )) sinα sinβ = ( cos( β ) cos( α+ β )) cosα cosβ = cos( + β ) + cos( α β ) ( ) = α+ π k sin = sinα = ( π α) + π k = α+ π k cos = cosα = α + π k tn = tnα = α+ π k cot = cotα = α+ π k sin = = π k π cos = = + π k

52 5 נוסחאות אלגברה ( + b) = + b+ b + b = ( + b) b ( b) = b+ b b = ( b)( + b) ( b) = b+ b b b = ( b)( + b + b) ( + b) = + 4 b+ 6 b + 4b + b b = ( + b ) b ( b) = 4 b+ 6 b + 4b + b b = ( b )( + b ) ( + b) = + b+ b + b + b = ( + b)( + b b) m n m+ n >, b> = m ln + ln b= ln b m n = n ln ln b= l n n m mn ( ) = b ln=, ln e= n n n ( b) = b n ln e = n n n n = ln = nln ( > ) n b b ln e = = b bln = e n k = ln n = k = e m n m n =, = = b = ln b if = = if b < = d b c b = b c d = b b b c e f d f d e < < < d e f = b + c h i g i g h > < or > g h i

53 5 נוסחאות - טורי מקלורן של פונקציות חשובות תחום התכנסות טור מקלורן e n = = n!!!! n= < < n+ 5 7 n sin = ( ) = < < (n+ )!! 5! 7! n= n 4 6 n cos = ( ) = < < ( n)!! 4! 6! n= n+ 4 n ln( + ) = ( ) = n+ 4 n= < rctn = n= n+ 5 7 n ( ) = n+ 5 7 n = = < < n=... m m( m )... ( m n+ ) n ( + ) = + n= n! m( m ) m( m )( m ) = + m+ + +!!... ( m> ) < ( < m< ) < < ( m ) m,,,,...