Microsoft Word - shedva_2011

גודל: px
התחל להופיע מהדף:

Download "Microsoft Word - shedva_2011"

תמליל

1 שיטות דיפרנציאליות ואינטגרליות הפקולטה להנדסה אוניברסיטת תל אביב גיא סלומון

2 סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד שאלות סטודנטים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפני קורס חשוב זה הספר עוסק בשיטות דיפרנציאליות ואינטגרליות (שדו"א) והוא מותאם אישית לסטודנטים הלומדים בפקולטה להנדסה באוניברסיטת תל אביב הספר נבדק ואושר על ידי הפקולטה להנדסה באוניברסיטת תל אביב הן מבחינת הרמה האקדמית והן מבחינת התאמתו לתוכנית הלימוד הניסיון מלמד כי לתרגול בקורס זה חשיבות יוצאת דופן, ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר wwwgoolcoil הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה תקוותי היא, שספר זה ישמש מורה-דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה גיא סלומון

3 תוכן פרק - פונקציה ממשית פרק - גבול של פונקציה פרק - רציפות של פונקציה, משפט ערך הביניים פרק 4 - גזירות של פונקציה, הגדרת הנגזרת פרק - 5 חישוב נגזרת של פונקציה פרק - 6 חישוב נגזרת של פונקציות מיוחדות פרק - 7 בעיות משיקים פרק - 8 כלל לופיטל פרק - 9 חקירת פונקציה פרק - 0 חקירת פונקציה ("שאלות מסביב" והוכחת אי שוויונים) פרק - מינימום ומקסימום מוחלטים לפונקציה פרק - בעיות מקסימום ומינימום פרק - פתרון משוואות (משפט ערך הביניים, משפט רול, משפט ניוטון רפסון) פרק - 4 משפט לגרנג' פרק - 5 טורי טיילור/מקלורן פרק - 6 אינטגרלים מיידיים פרק - 7 אינטגרלים בשיטת "הנגזרת כבר בפנים" פרק - 8 אינטגרלים בשיטת אינטגרציה בחלקים פרק - 9 אינטגרלים בשיטת ההצבה פרק - 0 אינטגרלים של פונקציות רציונליות (פירוק לשברים חלקיים) פרק - אינטגרלים טריגונומטריים והצבות טריגומומטריות פרק - האינטגרל המסויים (כולל אי שוויונים עם אינטגרלים וסכום רימן) פרק - שימושי האינטגרל המסויים (חישוב שטח ואורך קשת) פרק 4 - שימושי האינטגרל המסויים (חישוב נפח ושטח מעטפת) פרק - 5 אינטגרלים לא אמיתיים פרק - 6 פונקציות של מספר משתנים, גבולות ורציפות פרק 7 - נגזרות חלקיות, דיפרנציאביליות פרק - 8 כלל השרשרת בפונקציות של מספר משתנים פרק - 9 פונקציות סתומות, שימושים גיאומטריים פרק - 0 קיצון של פונקציה של שני משתנים (רגיל) פרק - קיצון של פונקציה רבת משתנים (מתקדם), שיטת הריבועים הפחותים פרק - קיצון של פונקציה של שני משתנים תחת אילוץ (כופלי לגרנג')

4 פרק - קיצון של פונקציה של שלושה משתנים תחת אילוצים (כופלי לגרנג') פרק - 4 קיצון של פונקציה בשני משתנים בקבוצה סגורה וחסומה פרק - 5 אינטגרלים כפולים פרק - 6 שימושי האינטגרל הכפול פרק 7 - אינטגרלים משולשים ושימושיהם פרק - 8 אינטגרלים קויים ושימושיהם פרק - 9 שדות משמרים; אי תלות במסלול פרק - 40 משפט גרין נספח - דפי נוסחאות הערה חשובה מאוד את בחינות הגמר של הקורס מעשר השנים האחרונות ניתן למצוא בדף הבית של פרופ' יעקובוב חשוב מאוד לעיין בבחינות כדי לעמוד על מבנה הבחינה וכדי לדעת מהם הנושאים עליהם שמים דגש בקורס זאת ועוד, מומלץ בתום כל נושא לפתור את השאלות הרלוונטיות בבחינות הגמר למשל, הנושא חקירת פונקציה (פרק 9) מופיע בכל בחינת גמר מייד עם סיום לימוד החומר בכיתה גשו לספר התרגילים ופתרו את הפרק המתאים לידיעתכם, הרוב המוחלט של השאלות המופיעות בבחינות הגמר מופיע בחוברת התרגילים, ייתכן כמובן עם שינויים בניסוח

5 5 תרגילים פרק פונקציה ממשית () מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות: 4 4 ( ( 4 ( 4 (6 (5 (4 (9 (8 (7 e log ( log ( ln (0 cot 4 (5 tan 0 (4 log ( 4) ( arccos( ) (8 arcsin( 4) (7 arctan( 4) (6 4 () נתונות הפונקציות הבאות: h( ), g( ), f ( ) 4 חשב את הפונקציות המורכבות הבאות: h( h( )) (6 f ( f ( )) (5 h( f ( )) (4 f ( g( )) ( h( g( f (5))) ( f ( g()) ( () בתרגילים הבאים הוכח שהפונקציה הנתונה היא חח"ע בתחום הגדרתה ומצא את הפונקציה ההפוכה לה בנוסף מצא את התמונה של הפונקציה f ( ) 4 ( 0) (4 f ( ) ( f ( ) ( f ( ) ( (4) מצא איזה מבין הפונקציות הבאות הן אי זוגיות ואיזה זוגיות: (4 ( 4 0 ( 4 ( sin cos (8 ln (7 (6 sin (5 (5) מצא את המחזור של כל אחת מהפונקציות הבאות: sin (4 tan ( 5 sin(4 ) ( sin ( * (6) רשום כל אחת מהפונקציות הבאות כפונקציה מפוצלת ושרטט את גרף הפונקציה (4 ( ( ( * יש הקוראים לפונקציה "מפוצלת", פונקציה "מוטלאת" או פונקציית "תפר" או פונקציה "לפי מקרים"

6 6 פתרונות פרק (), (5 או (0 k (5 4 0,, (4 (9 k (4 0 0 ( כל (8 כל 0 ( 0 (8 ( או (7 ( כל 5 (7 ( כל 4 (6 0 ( (6 כל () 4 4 (6 8 (5 (4 4 ( 4 ( ( (), f ( ) (, f ( ) (, כל f ( ) ( 4, f ( ) 4 (4 (4) זוגיות,,5,8 אי זוגיות,4 כלליות 6,7 (5) (4 ( ( ( (6) ( ( 0 (4 ( 0

7 7 תרגילים פרק גבול של פונקציה () חשב את הגבולות הבאים (הצבה): lim 0 (4 lim ( lim ( lim ( () חשב את הגבולות הבאים (צמצום/פירוק לגורמים): n lim (4 lim ( lim ( lim ( () חשב את הגבולות הבאים (כפל בצמוד): 6 lim (4 lim ( lim ( lim ( 6 5 lim (7 lim (6 lim (5 4 4 sin (4) חשב את הגבולות הבאים (היעזר בגבול הטריגונומטרי ): lim 0 cos sin( ) sin( ) lim ( lim ( lim ( 0 sin 0 sin(4 ) 0 4 sin cos tan sin cos lim (6 lim (5 lim ( cos sin sin cos( cos ) lim (9 lim (8 lim ( (5) חשב את הגבולות הבאים (פונקציה השואפת לאינסוף): ( ) 4 lim (4 lim ( lim ( lim ( ( )( 5) ( ) 0 ln lim e (8 lim (ln ) ln (7 lim ln( ) (6 lim ( lim ln cot ( lim ( lim (0 lim (

8 8 (6) חשב את הגבולות הבאים ( שואף לאינסוף): 4 lim ( lim arctan e ( lim e ( 000 ln lim (6 lim (5 lim ( lim (9 lim (8 lim ( lim ( lim ( lim ( lim (5 lim (4 lim ( lim e (8 lim ln 5 k 4 (7 lim ( a 6 lim 5 ( lim 5 (0 lim sin (9 5 b 0 lim (4 lim ( lim ( lim 4 lim a b (6 ( ) (5 (7) חשב את הגבולות הבאים (העזר בגבול של אוילר :( lim lim e 0 lim ( lim ( lim ( 0 lim sin (6 lim (5 lim ( lim tan (9 lim (8 lim 4 (7

9 9 (8) חשב את הגבולות הבאים (בעיקר על ידי שימוש בכלל הסנדוויץ'): sin cos( ) sin lim ( lim ( lim ( 4 cos sin lim cosln (6 lim sin (5 lim (4 0 0 cos arctan( ) lim (9 lim 4 (8 lim (7 4 arctan( ln ) lim (0 0 ( lim f ( של הפונקציות הבאות (גבול של פונקציה מפוצלת): a (9) חשב את הגבול sin 4 0 a f ( ) ( a 0 f ( ) ( 4 e 0 a f ( ) (4 a 0 f ( ) ( a f ( ) (5 הערה חשובה מאוד! במרבית קורסי החדו"א לומדים בהמשך את כלל לופיטל לחישוב גבולות (ראה פרק 8) בעזרת כלל זה ניתן לחשב ללא מאמץ את הגבולות המופיעים בשאלות, ו- 4

10 0 פתרונות פרק 40 (4 ( ( ( n (4 6 ( ( ( (7 (6 (5 (4 ( 4 ( ( (9 4 (8 (7 (6 (5 (4 ( ( ( (9 (8 (7 (6 (5 (4 ( ( ( ( ( (0 (9 (8 (7 5 (6 0 (5 (4 4 ( ( 0 ( e (8 ln (7 (6 (5 4 (4 0 ( 05 ( ( 5 (0 ab 9 5 (6 / (5 / (4 / ( k / ( 5 ( (**) (0 0 (9 0 e (9 e (8 e (7 e (6 e (5 e (4 e ( ( e ( (9 4 (8 075 (7 0 (6 0 (5 (4 075 ( 0 ( 0 ( () () () (4) (5) (6) (7) (8) 0 (0 (9) (5 (4 ( ( 4 ( (**) בשאלה 6 תרגיל 0 יש להפריד לשלושה מקרים: a lim 5 b 0 (I b lim a 0, b 0 (II lim a 0, b 0 (III

11 תרגילים פרק רציפות ומשפט ערך הביניים רציפות * () בדוק את רציפות הפונקציות הבאות ב"נקודת התפר" שלהן: (בסעיפים ו- 4 שרטט את גרף הפונקציה) sin 0 sin 4 0 f ( ) 0 ( f ( ) ( e e f ( ) (4 f ( ) ( 5 sin 0 0 ( ) f (6 f ( ) (5 * נקודת התפר היא הנקודה בה נוסחת הפונקציה משתנה למשל, נקודת התפר בתרגיל היא 0 : () מה צריך להיות הערך של הקבוע k על מנת שהפונקציות הבאות תהינה רציפות לכל k f ( ) ( f ( ) ( 5k 6 k k 0 5 f ( ) (4 f ( ) ( 0 k הערה: על סעיף 4 תוכל לענות רק אחרי שתלמד את כלל לופיטל (פרק 8)

12 b על מנת שהפונקציות הבאות תהינה רציפות ( )מה צריך להיות הערך של הקבועים a בתחום הגדרתן: ו- a a b 0 sin f b f a a 4 a cos a( ) ( ) ( ( ) 0 ( e ( ) ln( ) b 0 f ( ) a b (4 f ( ) ( a 0 ( ) 4 הערה: על סעיפים ו- 4 תוכל לענות רק אחרי שתלמד את כלל לופיטל (פרק 8) (4) עבור כל אחת מהפונקציות בשאלה () רשום עבור כל נקודת אי רציפות מאיזה סוג היא (5) הוכח או הפרך: סכוםשתי פונקציות לא רציפות הוא פונקציה לא רציפה הפרש שתי פונקציות לא רציפות הוא פונקציה לא רציפה מכפלת שתי פונקציות לא רציפות היא פונקציה לא רציפה 4 מנתן של שתי פונקציות לא רציפות היא פונקציה לא רציפה רציפה ו- g לא רציפה האם f רציפה? הוכח את טענתך g (6) ידוע ש- f

13 משפט ערך הביניים (של קושי) (7) צטט את משפט ערך הביניים של קושי והסבר אותו גרפית (8) הוכח שלמשוואות הבאות יש לפחות פתרון אחד: 05sin 7 ( ln ( 4 0 ( b c d (9) הוכח שלמשוואה 0 יש לפחות פתרון אחד (0) הוכח שלמשוואות הבאות יש לפחות שני פתרונות: ( e 5 0 ( () תהי f פונקציה רציפה לכל המקיימת: f (0), f () הוכח שלמשוואה f ( ) sin 4 יש לפחות פתרון אחד יש פתרון 0 () מצא קטע שאורכו אינו עולה על יחידה אחת בו למשוואה f ( ) () נגדיר א חשב () f f (0), (, ) ב האם ניתן להסיק לפי משפט ערך הביניים שלמשוואה 0 יש פתרון בקטע פתרונות פרק, 0, לא רציפה k 4 ( k ( רציפה (4 רציפה (5 ) לא רציפה ) לא רציפה 6) רציפה בנק' לא רציפה בנק' רציפה בנק': ( () a, b או a, b ) סליקה ) סליקה 5 ) מסוג (4) ( a 0, b ( () a e /, b e / (4 k () בנקודה (4 k a e, b e ( ( f (0), f () 5 ב לא () ראשון 6 ) סליקה 0,() א

14 4 תרגילים פרק 4 גזירות של פונקציה, הגדרת הנגזרת () א תאר שתי דרכים שונות לבדיקת גזירות של פונקציה מפוצלת בנקודת הפיצול (תפר) שלה השתמש בבפונקציה מסעיף ב שלהלן כדי להדגים שתי שיטות אלה בנוסף, הסבר מתי עליךלהשתמש בכל אחת מהשיטות שתיארת ב בדוק גזירות הפונקציות הבאות בתחום הגדרתן בכל דרך שתבחר בנוסף רשום נוסחה עבור הנגזרת של כלאחת מהפונקציות 5 4 f ( ) ( f ( ) ( 4 4 ln( ) f ( ) (4 f ( ) ( 0 f f ( ) (6 ( ) 4 (5 sin 0 sin 0 f ( ) (8 f ( ) ( () f ( ) a נתונה הפונקציה א עבור איזה ערך של הקבוע a הפונקציה רציפה בנקודה ב עבור ערך ה- a שקיבלת בסעיף א בדוק על פי הגדרת הנגזרת האם הפונקציה הנתונה גזירה בנקודה () 0 f ( ) ( ) 0 נתונה הפונקציה א האם הפונקציה רציפה? ב בדוק על פי הגדרת הנגזרת האם הפונקציה הנתונה גזירה בנקודה

15 5 (4) עבור איזה ערכים של הקבועיםa ו- b יהיו הפונקציות הבאות גזירות בנקודת התפר עבור ערכים אלה, רשום נוסחה עבור הנגזרת e 0 ln 0 e f ( ) ) f ( ב) א) a b a b e (5) חשב על פי הגדרת הנגזרת את נגזרות הפונקציות הבאות: f f f ( ) sin 4 ( ( ) ( ( ) 4 ( f ( ) 0 (6 f ( ) ln (5 f ( ) e (4 * בתרגיל זה אסור להשתמש בכלל לופיטל f (6) חשב את (0)' עבור כל אחת מהפונקציות הבאות: f ( ) ( )( )( ) ( 44) ( f ( ) ( ) ( 0 4 sin ( 4) ( tan ) cos( sin ) f ( ) ( 0 ( ) ( 0) z(0),lim z( ) 4 : נתון f ( ) z( ) (4 0 f 4 ( ) sin(0 ) (5 (7) בדוק האם הפונקציה משאלה () סעיף 4) גזירה פעמיים בנקודה 0 (8) הוכח או הפרך (אם הטענה נכונה, הוכח אותה אם לא הבא דוגמה נגדית לטענה): 0 f g h אינה גזירה ב- g גזירה ב-, ו- 0 א אם h 0 אינה גזירה ב- אז 0 f g h, ו- g 0 ב אם h אינה גזירה ב- אינה גזירה ב- 0 אז אינה גזירה ב- 0 f g h, ו- g 0 ג אם h אינה גזירה ב- 0 אינה גזירה ב- אז אינה גזירה ב- 0 f g h, ו- g 0 ד אם h גזירה ב- אינה גזירה ב- 0 אז אינה גזירה ב-

16 6 פתרונות פרק 4 () 5 4 f '( ) ( f '( ) ( f '( ) (4 f '( ) ( f '( ) (6 f '( ) ( sin cos 0 sin cos 0 f '( ) (8 f '( ) ( לתשומת לבך! בתחומים בהם קיימת נוסחה לנגזרת, הפונקציה גזירה בנקודות בהן הנגזרת לא קיימת הפונקציה לא גזירה למשל, בסעיף הפונקציה גזירה עבור ) לא גזירה a (() ) רציפה ) לא גזירה () ב) a e, b 0 (4) א) a / e, b (5) f '( ) 4cos 4 ( f '( ) ( f '( ) 4 ( ( ) f '( ) (6 f '( ) (5 f '( ) e (4 0 0 (5 4 ( ( ( 44! ( (6) (7) לא גזירה פעמיים

17 7 תרגילים פרק 5 גזירה של פונקציה () גזור פעמיים את הפונקציות הבאות (בסעיפים 7-9 גזור פעם אחת): f ( ) ( f ( ) ( f ( ) ( ( ) 0 f ( ) (6 f ( ) (5 f ( ) (4 ( ) 4 ln ln f ( ) ln (9 f ( ) (8 f ( ) (7 f f f ( ) ln ln ( ( ) ln ( ( ) ln (0 f ( ) ( ) e (5 f ( ) e (4 f ( ) ln ( ln ( ) (8 ( ) (7 ( ) (6 f f f e f f f 4 ( ) cos( ) ( ( ) sin( ) (0 ( ) ( ) (9 f f f ( ) ln(cos ) (4 ( ) tan( ) ( ( ) sin ( sin f f f ( ) (7 ( ) arctan( ) (6 ( ) arcsin ( ) (5 f ( ) cos (9 f ( ) sin (8 ln

18 8 פתרונות פרק 5 ( ( f '( ), f ''( ) f '( ), f ''( ) ( 0) ( 0) 4 (4 ( ( ) 4 ( 4) 4 4( ) f '( ), f ''( ) f '( ), f ''( ) 4 ( 4) ( 4) ( ) ( ) (6 (5 6( ) ( )( ) ( ) 6 f '( ), f ''( ) f '( ), f ''( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (8 (7 ln ln 8 ln ln f '( ), f ''( ) f '( ), f ''( ) (0 (9 f '( ) (ln ), f ''( ) ln f '( ) ln, f ''( ) ( ( ln f '( ) (ln ), f ''( ) f '( ), f ''( ) ( ) (4 ) ( ln ) (ln ) (ln ) (ln ) f '( ), f ''( ) 4 (ln ) (ln ) (5 5 f '( ) e, f ''( ) e 4 (4 f '( ) e, f ''( ) e 4 (6 f '( ) e ( 4 ), f ''( ) 4 e ( 4 ) (7 f '( ), f ''( ) 4 9 (8 f '( ), f ''( ) 5/ ( ) ( ) (9 5 5 f '( ), f ''( ) 9 4 (0 4 f '( ) cos( ), f ''( ) 9 sin( ) 6cos( )

19 9 ( f '( ) sin( ) 4, f ''( ) 6 cos( ) sin( ) ( f '( ) sin cos, f ''( ) 6sin cos sin ( cos ( ) 8 cos( )sin( ) f '( ), f ''( ) 4 cos ( ) cos ( ) (4 4 f '( ) tan( ), f ''( ) tan( ) cos ( ) (5 f '( ), f ''( ) / (7 (6 4 sin 6 '( ) sin f cos ln( ) f '( ), f ''( ) 4 4 (9 ln ln(cos ) f '( ) cos tan ln (8 f '( ) sin ln(sin ) cot

20 0 תרגילים פרק 6 נגזרות של פונקציות מיוחדות נגזרת הפונקציה ההפוכה () הוכח, בעזרת כלל הנגזרת של הפונקציה ההפוכה, את הנוסחאות הבאות: arctan ' ( arcsin ' ( ' ( נגזרות מסדרים גבוהים, נוסחת לייבניץ ( n, f של הפונקציות הבאות: ) ( ) () חשב את הנגזרת ה-, n 4 ( )( ) a (4 ( ( ( (0) () חשב את הנגזרת העשירית,, של הפונקציות הבאות: e sin 5 ( ( נגזרת של פונקציה סתומה (4) גזור את הפונקציות הסתומות הבאות ומצא את ' : 5 sinh ( 4 ln 0 ln ( ( (6 (5 0 (4 מצא את ערך '' בנקודה (5) נתונה פונקציה סתומה 0 נגזרת של פונקציה הנתונה בצורה פרמטרית (6) חשב את הנגזרת הראשונה והשנייה של הפונקציות הבאות הנתונות בצורה פרמטרית ( t) t cos t ( t) t sin t ( ( ( t) t ( t) t cos t g() נגזרת של פונקציה מן הצורה h() (7) גזור את הפונקציות הבאות: sin f ( ) cos ( f ( ) ( f ( ) sin ( ln

21 פתרונות פרק 6 ( n) n n n n 6 ( n) n n n () ( n) n n ( ) n!( a) ( ( n) n n n ( ) n! 5( ) 7( ) ( ( ) n! ( ) ( ) ( ) ( ' ( ) ( ) '' ( ) ( ) ( ) n! ( ) ( ) n (4 (0) (0) () e e ( sin 5 5 sin 5 65 cos sin 5 45 cos5 ( (4) ( cosh ) 4 ' ( ' ( ' ( 4 ( cosh ) (0 ) 5 ln ( ) ' (6 ' (5 ' (4 ln ln, 8 (5) (6) cost t sin t '( ) cost ( sin t tcos t)( cos t) sin t(cost tsin t) ''( ) ( cos t) t '( ) cos t t sin t (cos t t sin t) t( sin t t cos t) ''( ) (cos t tsin t) ( ( (7) ראה פתרון שאלות 7-9 בפרק 6

22 תרגילים פרק 7 בעיות משיקים (המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת) b ואת נקודת ההשקה b ואת נקודת ההשקה ) f ( מצא את () הישר b משיק לגרף הפונקציה e () הישר 4 b משיק לגרף הפונקציה f ( ) מצא את ( f ( מצא את b ואת נקודת ההשקה () הישר משיק לגרף הפונקציה b c ו- a את מצא בנקודה 0 g( ) (4) הישר a משיק לגרף הפונקציה c (5) מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f ( ) ln בנקודה e (6) מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f ( ) בנקודה 0 בנקודה 4) (, (7) מצא את משוואת המשיק למעגל 5 k ו- k משיקות זו לזו מצא את ואת נקודת ההשקה (8) הפונקציות (9) מצא את נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק לגרף העקומה העובר דרך הנקודה הנתונה (,) (, ) א) ב) (0) מצא את משוואת המשיקים המשותפים לפונקציות הבאות: 4 5 ו- g( ) f ( ) () מצא את הזווית בין הפונקציות ו- () מצא את הזווית בין המעגל 8 והפרבולה נחתכות בזוית ישרה () הוכח שהאליפסה 8 וההיפרבולה

23 פתרונות פרק 7 ומשוואת המשיק היא (0,) () נקודת ההשקה היא 4 9 ומשוואת המשיק היא (,5 ( () נקודת ההשקה היא ו- = 4 b (4,) () נקודת ההשקה היא ) (0, ומשוואת המשיק היא 8 ( 4 )נקודת ההשקה היא (5) משוואת המשיק היא e ( 6 )משוואת המשיק היא (7) משוואת המשיק היא, נקודת ההשקה (,) k 5 (8) 6 5, (4,9),, (0,) 9) א) ( ב) המשיק: (9,), 6, (0) 757 () 756 ()

24 4 () חשב את הגבולות הבאים: תרגילים פרק 8 כלל לופיטל n 50 6 lim ( lim ( lim ( lim (6 lim (5 lim (4 4 4 e lim (9 lim (8 lim (7 0 e e a b lim ( lim ( lim ( a, b 0) ( ln lim (5 lim (4 lim ( ln ( ) ln 0 sin( a) sin( a ) tan lim (8 lim (7 lim (6 0 0 sin( b) b 0 sin cos tan sin sin lim ( lim (0 lim (9 sin sin( ) e sin ( ) cos( cos ) lim (4 lim ( lim ( arctan( ) ln(cos ) lim tanh (7 lim (6 lim ( arcsin( 4 ) cosh sin lim (0 lim (9 lim 0 sinh 0 cos (8 lim (ln ) ln ln e ( lim ( lim ( e

25 5 lim e e ln(sin ) (6 lim (5 lim (4 0 0 ln(tan ) lim 0 tan (9 lim (8 lim ln (7 ln e lim ( 9) ln( ) (4 lim ln (4 lim( cos ) cot ( lim (45 lim (44 lim ln (4 0 sin lim (48 lim ln( ) ln(sin 5 ) (47 lim (46 0 ln lim ( a) ( a 0) (5 lim (50 lim (49 0 sin lim (54 lim (5 lim ( 0 4) (5 4 tan lim(cos ) (57 lim (56 lim( tan ) ( cot tan tan lim( ) (60 lim (59 lim (sin ) ( sin cot tan lim (6 lim ( ) (6 lim ( sin ) (

26 6 () כל אחד מהגבולות הבאים הוא מן הסוג לופיטל אינו ישים, לבסוףחשב את הגבול הראה זאת והסבר מדוע למרות כך, כלל sin 6 4 lim ( lim ( lim ( 4 4 cos פתרונות פרק 8 () (7 (6 (5 4 (4 n ( ( ( a (4 ( ( ( ln (0 (9 (8 6 b a a ( (0 (9 (8 (7 (6 (5 6 b b (8 (7 (6 (5 (4 ( ( (5 (4 0 ( ( ( (0 (9 0 (4 0 (4 0 (40 0 (9 0 (8 0 (7 ( 6 (49 ln (48 05 (47 0 (46 5 (45 6 (44 0 (4 5 (56 e (55 (54 (5 (5 e (5 (50 / / (6 e (6 (6 (60 e (59 e (58 e (57 e /6 (65 e (64 () 075 ( 05 ( (

27 7 תרגילים פרק 9 חקירת פונקציה () חקור את הפונקציות הבאות חקירה מלאה לפי הפירוט הבא:תחום הגדרה ורציפות, נקודות ** * חיתוך עם הצירים, זוגיות, אסימפטוטות אנכיות,אופקיות ומשופעות, נקודות קיצון, תחומי *** עליה וירידה, נקודות פיתול, תחומי קמירות וקעירות, גרף f f f ( ) ln ln ( 4 ( ) ( ( ) ( ( ) ( 9) ( f ( ) (6 f ( ) (5 f ( ) (4 ( ) 4 ( ) 4 f ( ) (9 f ( ) (8 f ( ) (7 4 ( )( 5) f ln ln f ( ) ( f ( ) ( f ( ) (0 5 f ( ) ln (4 f ( ) ln ( f ( ) e (8 f ( ) ln (7 f ( ) 4ln 4ln (6 ln f ( ) e ( f ( ) ( ) e (0 f ( ) e (9 f ( ) (4 f ( ) ( ) ( f ( ) ( f ( ) arctan (7 f ( ) (6 f ( ) (5 f f f ( ) 8cos cos (0 ( ) cos sin (9 ( ) arcsin(sin ) (8 0 0 הערות: * בשאלה 7 אין צורך למצוא חיתוך עם ציר בשאלה 8 מצא את החיתוך רק לאחר השרטוט **בתרגילים,,8,9,0 אין צורך למצוא אסימפטוטות (וגם אין) ***בתרגילים 9,7 אין צורך למצוא נקודות פיתול אלא אם כן למדתם ניוטון רפסון בתרגיל 8 אין צורך למצוא נקודות פיתול אלא אם כן למדתם לפתור משוואה ממעלה שלישית

28 8 פתרונות פרק 9 () ( ( (4 ( (6 (5 (8 (7

29 9 (0 (9 ( ( (4 ( (6 (5

30 0 (8 (7 (0 (9 ( ( (4 (

31 (6 (5 (8 (7 (0 (9

32 תרגילים פרק 0 חקירת פונקציה "שאלות מסביב" a ידוע שהנקודה f ( ) a () א) נתונה הפונקציה נקודת קיצון מצא את הקבוע ) f ( ידוע שהנקודה ) (, a b ב) נתונה הפונקציה נקודת קיצון a a, b ידוע שהנקודה f ( ) a מצא את הקבועים ג) נתונה הפונקציה נקודת פיתול מצא את הקבוע ) f ( ידוע שהנקודה ) (, נקודת פיתול a b ד) נתונה הפונקציה a, מצא את הקבועים b הוא f ( ) a ה) נתונה הפונקציה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מצא את a ( f ( שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה (,9) הוא a b ו) נתונה הפונקציה a, מצא את b 4 f ( ) a 6 ז) נתונה הפונקציה ידוע שהישר אסימפטוטה לגרף הפונקציה מצא את a 05 a f ( ) 4 ח) נתונה הפונקציה הפונקציה מצא את ידוע שהישר אסימפטוטה לגרף a f ( ) 4 a 6 ט) נתונה הפונקציה ידוע שהישר אסימפטוטה לגרף הפונקציה מצא את a

33 () לפניך גרף הפונקציה f ( ) א ב ג ד ה ו ז ח מהו מספר הפתרונות של המשוואה f ( ) 5 מהו מספר הפתרונות של המשוואה f ( ) מהו מספר הפתרונות של המשוואה f ( ) 05 יש בדיוק פתרון אחד ( f ( k עבור איזה ערך של k למשוואה יש בדיוק שני פתרונות ( f ( k עבור איזה ערך של k למשוואה יש בדיוק שלושה פתרונות ( f ( k עבור איזה ערך של k למשוואה אין פתרון ) f ( k האם קיים ערך של k עבורו למשוואה מצא את התחומים בהם הפונקציה היא חח"ע (-,) (,-) () הוכח את אי השוויונים הבאים לגבי התחום הרשום לידם: 4 0 sin ( 8 6 ( 0 ln( ) (4 0 ( פתרונות פרק 0 a ב) b 6, a 4 ג) a () א) a, b a ד) b, a ה) ו) a 7 a 05 ז) a 8 ח) ט) ג) ב) ( ) א ( k k k ד) k או ה) ו) ח) או או לא ז)

34 4 תרגילים פרק מקסימום ומינימום מוחלטים של פונקציה () מצא את נקודות המינימום המוחלט והמקסימום המוחלט של הפונקציות הבאות בתחומים הרשומים לידן (אם יש כאלה): 7 f f ( ) 4 5 ( ( ) ( 4 f f ( )( ) / ( ) (4 0 ( ) (0 ) ( 5 f ( ) (6 5 f ( ) 9 (5 f ( ) 9 (7 () הוכח את אי השוויונים שמימין לגבי התחום הרשום בסוגריים משמאל ( ) 0 e ( ( 0 ) e ( (לכל ( e 7 e ( פתרונות פרק () מינימום מוחלט, (,9) מקסימום מוחלט (, 7) ( (,) מינימום מוחלט, (5,0) מינימום מוחלט, מקסימום מוחלט (,0) ( מינימום מוחלט, (48,8) מקסימום מוחלט (0,0) מינימום מוחלט, 0) (0, ( מינימום מוחלט, (,) מקסימום מוחלט (5, 05) (4 מינימום מוחלט, (5,7 ( מקסימום מוחלט (,) (5 (4 (, מקסימום מוחלט אין מינימום מוחלט (6 7) אין מקסימום ואין מינימום הערת סימון: [ a, b) a b, a, b a b, a, b a b

35 5 תרגילים פרק בעיות מקסימום ומינימום הערה: בפרק זה, סומנו התרגילים הקשים יותר בכוכבית * בעיות בהנדסת המישור () בטרפז שווה-שוקיים (AB CD) ABCD אורך השוק D C הוא 4 ס"מ ואורך הבסיס הקטן הוא 6 ס"מ DEהוא הגובה מקדקוד D (ראהציור) מה צריך להיות אורך הקטע AE כדי ששטח הטרפז A E B יהיה מקסימלי? נתון מלבן ABCD נסמן ב- את אחת מצלעות () המלבן (ראה ציור) A B א) אם היקף המלבן הוא 60 ס"מ בטא באמצעות את שטח המלבן ב) אם היקף המלבן הוא p מצא מה צריכים להיות D אורכי צלעות המלבן כדי ששטחו יהיה מקסימלי C (הבע את אורכי הצלעות באמצעות ) p () נתון מלבן ABCD כך ש- 5 ס"מ = BC, AD = A P B 0 ס"מ = CD AB = על צלעות המלבן מקצים Q S קטעים : AP AQ CS CR (ראה ציור) מה צריך להיות ערכו של כדי ששטח D R C המקבילית PQRSיהיה מקסימלי?

36 6 E במשולש ישר זווית ( C 90 ) ABC סכום (4) A אורכי הניצבים הוא 8 ס"מ על היתר AB בונים ריבוע ABDE מה צריכים להיות אורכי הניצבים, D כדיששטח המחומש AEDBC יהיה מינימלי C B בחצי עיגול שרדיוסו 8 ס"מ חוסמים מלבן (5) D A 8 B C, ABCD כך שהצלע AB של המלבן מונחת על הקוטר, והקדקודים C ו- D מונחים על הקשת(ראה ציור) מה צריך להיות אורך הצלע AB כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? A במשולש ישר-זווית ( B 90 ) ABC, סכום (6) אורכי הניצבים הוא 0 ס"מ AD הוא תיכון לניצב BC (ראה ציור) B D C חשב מה צריכים להיות אורכי הניצבים, על מנת שריבוע אורך התיכון יהיה מינימלי 8 בחוברת פרסום, שטח כל עמוד הוא 600 סמ"ר רוחב השוליים בראש העמוד ובתחתיתו הוא 8 ס"מ, ורוחב השוליים בצדדים הוא ס"מ מצא מה צריך להיות האורך והרוחב של כל עמוד, (7) כדי שהשטח המיועד לדפוס יהיה מקסימלי (השטח המקווקו בציור)

37 7 (8) בריבוע ABCD הנקודות G, F, E נמצאות על הצלעות CF = CG, BE = BF בהתאמה, כך ש- DC, BC, AB (ראה ציור) A E B נתון כי האורך של צלע הריבוע הוא 6 ס"מ F א סמן ב- את BF ואת, BE והבע באמצעות את הסכום של שטחי המשולשים EBF ו- FCG (השטח המקווקו בציור) D G C ב מצא את שעבורו סכום שטחי המשולשים הוא מינימלי ב חשב את הסכום המינימלי של שטחי המשולשים E נתון ריבוע ABCD שאורך צלעו 0 ס"מ E היא נקודה * ( 9) A M N B כלשהי מחוץ לריבוע, כך שהמשולש DEC הוא שו"ש AB שוקי המשולש חותכים את הצלע (ED = EC) בנקודות M ו- N (ראה ציור) מצא מה צריך להיות אורך הקטע AM כדי שהסכום של שטחי המשולשים D C BNC, AMD, EMN יהיה מינימלי נתון מעגל שרדיוסו R במעגל זה חסום טרפז שו"ש, * ( 0) כך שהבסיס הגדול של הטרפז הוא קוטר במעגל (ראה ציור) מבין כל הטרפזים החסומים באופן זה, הבע באמצעות R מקסימלי את אורך הבסיס הקטן בטרפז ששטחו

38 8 O נתונה גזרה של רבע עיגול שמרכזו O ורדיוסו 0 ס"מ בונים מלבן,ABCD כך שרבע המעגל משיק לצלע DC * ( ) A D C B בנקודת האמצע שלה, והקודקודים A ו- B נמצאים על הרדיוסים התוחמים את הגזרה (ראה ציור) מבין כל האלכסונים של המלבנים ABCD שנוצרים באופן זה, מצא את אורך האלכסון הקצר ביותר A ABCDE הוא מחומש המורכב ממשולש ABE וממלבן EBCD (ראה ציור) * ( ) E B 4 ס"מ = AE AB =, נתון: ס"מ = BC מצא את השטח של המחומש ששטחו מקסימלי D C A מתבוננים בכל המשולשים ישרי הזווית ABC החוסמים חצי מעגל שרדיוסו R כמתואר בציור מהן זוויות המשולש שסכום הניצבים שלו הוא * ( ) B C מינימלי? 7 במעגל שרדיוסו R חסומים משולשים כך שהגודל של אחת הזוויות בכל אחד מהמשולשים הוא 5 מצא את הזוויות במשולש בעל ההיקף המקסימלי * ( 4)

39 9 בעיות בהנדסת המרחב (5) גובהו של "מגדל" הבנוי שמתי קוביות( לאו דווקא שוות) הוא 8 ס"מ מה צריך להיות אורך המקצוע ש הקובייה התחתונה כדי שנפח המגדל (סכום נפחי הקוביות) יהיה מינימלי? (6) בונים תיבה שגובהה ס"מ, ובסיסה ריבוע, שאורך צלעו ס"מ (ראה ציור), כך שההיקף של כל אחת מהדפנות הצדדיות שווה ל- ס"מ מה צריך להיות אורך צלע הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי? (7) יש לבנות תיבה פתוחה מלמעלה, שבסיסה ריבוע ושטח פניה 75 סמ"ר ) במקרה זה שטח הפנים מורכב מבסיס אחד ומארבע פאות צדדיות) מכל התיבות שאפשר לבנות, מצא את ממדי התיבה (צלע הבסיס וגובה) שנפחה מקסימלי (8) יש להכין מחוט תיל "שלד" (מסגרת) של תיבה, שבסיסה ריבוע ונפחה 000 סמ"ק מהו האורך המינימלי של החוט הנחוץ ליצירת התיבה? (9) מחוט שאורכו a ס"מ יש לבנות מנסרה משולשת ישרה, שבסיסה הוא משולש שווה צלעות מצא איזה חלק מאורך החוט יש להקצות לצלע הבסיס ואיזה חלק לגובה כדי שיתקיים: א שטח המעטפת של המנסרה יהיה מקסימלי ב נפח המנסרה יהיה מקסימלי

40 40 מכל הפירמידות המרובעות, המשוכללות והישרות, * ( 0) שאורך המקצוע הצדדי שלהן הוא, a מצא את נפחה של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי מכל הפירמידות הישרות, שבסיסן ריבוע ושטח * ( ) הפנים שלהן הוא 00 סמ"ר, חשב את נפחה של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי () אלכסון החתך הצירי של גליל ישר הוא ס"מ (ראה ציור) מצא מה צריכים להיות גובה הגליל ורדיוס בסיסו כדי שנפחו יהיה מקסימלי () נתון מיכל גלילי פתוח מלמעלה שקיבולו 64 מ"ק המיכל עשוי כולו מפח הראה כי שטח הפח הוא 4 מינימלי כאשר רדיוס הבסיס הוא מטר (4) מבין כל החרוטים שאורך הקו היוצר שלהם הוא 0 0 ס"מ (ראה ציור), מהו נפח החרוט שנפחו מקסימלי?

41 4 בעיות בפונקציות וגרפים (5) מנקודה, A הנמצאת על גרף הפונקציה C A 5, מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן ABOC (ראה ציור) א מה צריכים להיות שיעורי הנקודה A כדי שהיקף O B המלבן יהיה מקסימלי? ב מה צריכים להיות שיעורי הנקודה A כדי שהיקף המלבן יהיה מינימלי? בפרבולה 9 חוסמים מלבן, ABCD כך שהצלע AB מונחת על ציר ה- (ראה ציור) (6) D A C B מה צריך להיות אורך הצלע CD כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? 9 טרפז ABCD חסום בין גרף הפרבולה (7) D A לבין ציר ה- (ראה ציור) א מה צריכים להיות שיעורי הנקודה A כדי ששטח C B הטרפז ABCD יהיה מקסימלי? ב חשב את השטח המקסימלי של טרפז ABCD

42 נתונה הפרבולה 4 ישר המקביל לציר ה- (8) B A חותך את הפרבולה בנקודות A ו- B (ראה ציור) מחברים את הנקודות A ו- B עם ראשית הצירים, O 0 א מה צריך להיות אורך הקטע AB כדי ששטח המשולש AOB יהיה מקסימלי? ב מהו השטח המקסימלי של המשולש? AOB A לפניך גרף של הפונקציה e וגרף של הישר e ישר המקביל לציר ה- חותך את (9) B הגרפים בנקודות A ו- B (ראה ציור) א מצא לאילו ערכי אורך הקטע AB יהיה מינימלי ב האם יש ערך של שעבורו אורך הקטע AB הוא מקסימלי? P Q נתונים הגרפים של שתי פרבולות :, 7 4 קו מקביל לציר ה- חותך את שתי הפרבולות בנקודות P ו- Q (ראה ציור) (0) מבין כל הקטעים המתקבלים באופן זה, מצא את האורך המינימלי של הקטע PQ

43 4 M נתון גרף הפונקציה על ציר ה- נתונה הנקודה (0,45)A (ראה ציור) מצא על גרף הפונקציה נקודה M, כך שריבוע המרחק () A(45,0) AM יהיה מינימלי f ( ) מצא על הישר 4 את הנקודה הקרובה () ביותר לנקודה (0,) בציור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: g( ) 6 6, f ( ) מלבן חסום בין הגרפים של הפונקציות ובין ציר ה-, * ( ) כמתואר בציור מצא את השטח הגדול ביותר האפשרי למלבן שחסום באופן זה דרך איזו נקודה על הפרבולה צריך להעביר משיק, כדי ששטח הטרפז, הנוצר על ידי * ( 4) 0, המשיק והישרים: ו- 0 (השטח המקווקו שבציור) יהיה מינימלי?

44 44 נקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ברביע * ( 5) הראשון A היא הנקודה (a,0) כאשר ידוע כי a 05 (ראה ציור) A א בטא באמצעות a את שיעורי הנקודה B, שעבורה B המרחק AB הוא מינימלי ב מצא עבור איזה ערך של a המרחק המינימלי הוא, ונתון משיק לפרבולה נתונה הפרבולה * ( 6) 6 בנקודה שמשוואתו היא 9 הפרבולה מעבירים משיק נוסף לפרבולה ) t ( t, שעל המשיקים נחתכים בנקודה M (ראה ציור) (t,t ) M א הבע את משוואת המשיק הנוסף באמצעות ב מצא את t שעבורו אורך הקטע, המחבר את t הנקודה M עם קודקוד הפרבולה יהיה מינימלי A(,) במערכת צירים נתונות הנקודות (,)A ו- (,)B ראשית הצירים היא בנקודה M O היא * ( 7) O M נקודה על ציר ה- בתחום 0< מה צריכים להיות B(,-) שיעורי הנקודה,M כדי שהסכום: OM + MA + MB יהיה מינימלי?

45 45 פתרונות פרק 75 cm () () א ) (0 ב כל צלע שווה ל- 05 p AE 7 cm () (7) אורך: 40 ס"מ B 6, BC 4 cm cm (6) AB cm (5) AC BC 4 cm (4) ב ב 9 סמ"ר (9) AM 5 / S 6 8 רוחב: 5 ס"מ (8) א 45, 45, 90 סמ"ר () () 4 5 cm () R (0) בסיס קטן = 4 ס"מ (7) צלע הבסיס: 5 ס"מ גובה: 5 4 ס"מ (6) (5),, (4) 4 (0) 7 a 40 סמ"ק a 9 (4) a, a ב ס"מ (9) ס"מ (8) גובה: א ס"מ רדיוס: ס"מ () סמ"ק 500 () A(,8) ב (7) CD (6) א 6) A(, ב 0) A(0, או A(5,5) א (5) PQ 4 (0) ב אין (9) S AOB א AB 4 ב 6 א (8) (05, 075) (4) 8 () (5, 05) () M (4, ) () t / 7 ב t t (6) א B( (a ) /,(a ב 45 (5) א ) / ) M (0845,0) (7)

46 46 תרגילים פרק פתרון משוואות (משפט ערך הביניים, מונוטוניות (משפט רול), ניוטון רפסון ( () הוכח שלמשוואות הבאות יש בדיוק פתרון אחד: (4 05sin 7 ( ln ( 4 0 ( b ונתון כי ac () נתונה המשוואה a b c d 0 מהו מספר הפתרונות של המשוואה? הוכח את תשובתך () עבור כל אחת מהמשוואות הבאות מצא את מספר הפתרונות ופתור אותה e sin cos (4 ln( 5) 4 ( arctan 0 ( ( (4) תהי f פונקציה גזירה לכל המקיימת: f '( ), f (0), f () הוכח שלמשוואה f ( ) sin 4 יש בדיוק פתרון אחד (5) הוכח שלמשוואות הבאות יש בדיוק שני פתרונות: 4 8 ( ( e 5 0 ( 4 (6) בכל אחת מהמשוואות הבאות מצא קשר בין הפרמטרים על מנת שלמשוואות יהיה בדיוק פתרון אחד (הנח שכל הפרמטרים שונים מאפס) a b c d a b c 0 ( 0 ( 4 ( 4, ) n n n n odd a b c d 0 (4 a cos( b) ( (7) פתור את המשוואות הבאות (סעיפים, בשיטת ניוטון רפסון): ( 4 8 ( ( פתרונות פרק 0 (4 4 ( 0 ( () פתרון יחיד( ) ( או ab ab ( 4b ac 0 ( b 4ac 0 ((6) b n anc n ( ) 4 ( 4) 0 ( , 967 ((7) פתרון מדויק ) פתרונות מקורבים ( פתרון מקורב 08459

47 47 תרגילים פרק 4 משפט לגרנג' () הוכח את אי השוויונים הבאים בתחום הרשום לידם: b a b b a 0 a b ln ( b a a b a b a 0 a b b a ( b a b a b a 0 a b tan b tan a ( cos a cos b a b a b a b ( a b) e e e ( a b) e (4 b a b a 0 a b arctan b arctan a (5 b a b a b a 0 a b arcsin b arcsin a (6 a b b a a rcsinh( b) a rcsinh( a) b a 0 a b (7 b b a a b a b a 0 a b a rc tanh( b) a rc tanh( a) (8 a b n b a n n n b a 0 a b b b a a (9 nb n a b( b a) b a( b a) a b ln (0 b a a () הוכח את אי השוויונים הבאים בתחום הרשום לידם: 0 arctan ( 0 tan ( cos 0 a rc sinh( ) (4 0 arcsin ( 0 ln( ) (6 0 a rc tanh( ) (5 0 sin (8 0 e e (7 * 0 arctan ln( ) ( 0 0 tan 4 (9

48 48 () הוכח את אי השוויונים הבאים: cos cos ( sin sin ( * tan tan 8 sin sin ( 4 arctan arctan ( (4) הוכח את אי השוויונים הבאים: 5 ( ln ( 4 arcsin 06 (4 arctan ( f '( ) 5 (5) א תהי ) f ( פונקציה גזירה לכל המקיימת f () 8 ידוע כי f (), f (4) 8 הוכח כי f '( ) 7 ב תהי ) f ( פונקציה גזירה לכל המקיימת 4 f () 0 ידוע כי f (), f (4) 8 הוכח כי * תרגיל סעיף 0 ותרגיל סעיף 4 עוסקים במשפט קושי שהוא הכללה של משפט לגרנג', ולפיכך רלוונטיים רק אם למדת משפט זה

49 49 תרגילים פרק 5 טור טיילור/מקלורן () מצא את הפיתוח לטור טיילור סביב 0 (טור מקלורן) של הפונקציות הבאות: * תוכל להיעזר בפיתוחים הידועים לטור מקלורן המופיעיםבנספח שבעמוד האחרון f f e f 4 ( ) sinh ( ( ) ( ( ) sin ( f f f ( ) (6 ( ) cos (5 ( ) sin (4 f f f ( ) arcsin (9 ( ) ln( ) (8 ( ) cos(4 ) (7 f ( ) ( f ( ) ( f ( ) (0 4 9 f ( ) (5 f ( ) (4 f ( ) ( f ( ) (8 ( ) (7 ( ) (6 ( ) f f f ( ) ln ( f ( ) ln( ) (0 f ( ) ln( ) (9 f ( ) arctan( / ) (4 f ( ) ( f ( ) ln(5 ) ( ( ) הערות: לפתרון סעיפים 6,7 עליך להכיר את הנושא פירוק לשברים חלקיים לפתרון סעיפים 8,9,,4 עליך להכיר את הנושא גזירה ואינטגרציה של טורי מקלורן 0 () מצא את הפיתוח לטור טיילור סביב של הפונקציות הבאות: 0 f ( ) sin ( 0 f ( ) ( 0 f ( ) ln ( () מצא את ארבעת האיברים הראשונים, השונים מאפס, בפיתוח לטור מקלורן של הפונקציות הבאות (נדרש ידע בכפל וחילוק של פולינומים): sin f ( ) ( f ( ) tan ( f ( ) e cos ( e

50 50 (4) חשב את סכום הטורים הבאים: n n ( ) ( ( ( n! n! n! n n0 n0 n0 n n ( ) ( ) n (6 (5 (4 (n )! n n! n0 n0 n0 n n n ( ) ( ) ( ) (9 (8 (7 ( n ) n ( n)! n n0 n0 n0 (5) חשב את ערך הגבול בתרגילים הבאים: e sin ( ) arctan sin 6 lim ( lim ( lim ( (6) חשב בשגיאה הקטנה מ- : 000 arctan 05 ( sin ( ( e (7) חשב בעזרת n איברים ראשונים (שונים מאפס) בפיתוח לטור מקלורן והערך את השגיאה בחישוב: n n n 4 ln5 ( cos 4 ( ( e א מהי השגיאה המקסימלית בקירוב sin עבור 6! עבור 00 ln( ) ב מהי השגיאה המקסימליתבקירוב 0 4 cos עבור! 4! (8) ג מהי השגיאה המקסימליתבקירוב sin! 5 7 arctan 5 7 בשגיאה הקטנה מ- 000 (9) א עבור אילו ערכי, ב עבור אילו ערכי, בשגיאה הקטנה מ- 00

51 5 (0) חשב בקירוב את האינטגרלים הבאים בשגיאה הקטנה מ- 0 0 ln( ) sin 000 ( 0000 d( d cos 0000 ( d 0 נוסחת השארית של לגרנג', 0 0 f ( ) 64 () רשום את נוסחת טיילור מסדר שני לפונקציה סביב והערך את השגיאה בקירוב כולל שארית לגרנז' חשב בעזרת הנוסחה שקיבלת את 66 () רשום את נוסחת טיילור מסדר ראשון לפונקציה f ( ) tan סביב, 0 0 כולל שארית לגרנז' חשב בעזרת הנוסחה שקיבלת את tan 0 והערך את השגיאה בקירוב, 0 0 () רשום את נוסחת טיילור מסדר שני לפונקציה f ( ) 4 סביב כולל שארית לגרנז' חשב בעזרת הנוסחה שקיבלת את 5 והערך את השגיאה בקירוב, 0 6 f ( ) 4 (4) רשום את נוסחת טיילור מסדר שני לפונקציה סביב 4 והערך את השגיאה בקירוב כולל שארית לגרנז' חשב בעזרת הנוסחה שקיבלת את 5 הערה לגבי קירובים: אם מבקשים קירוב שהוא מדויק ל- n ספרות אחרי הנקודה, אז עלינו לדרוש, שהערך המוחלט של השגיאה יהיה קטן מ- 050 n למשל דיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה משמעותו שהערך המוחלט של השגיאה יהיה קטן מ אני בספר לא השתמשתי בניסוח זה, אך יש המשתמשים בו

52 5 n ( n n0 (n )! n n (ln ) n! n0 (6 (9 n (n ) 4 n n פתרונות פרק 5 ( n0 n0 n n 4 ( ) n! n n ( ) ( n)! (5 n n (8 n ln 0 n n n n0 ( ) n n () ( (n )! n n ( ) n0 n ( n)! (4 n n ( ) n 4 ( n)! (7 n 4n 4 n n0 ( ( ) n n n0 (0 5 n n0 5 n ( ( ) 9 n0 n n n ( ( ) n0 n 9 n n (5 4 ( ) n 4 n n n0 (4 ( ) n0 n n n (7 n ( ) n n0 n (6 n0 n ( ) n n (9 ( ) n n n n (8 n0 n n ( n (0 n n0 n ( n ) n0 n ( 5 5 ln 5 n ( n n0 5 ( n ) (4 n ( ) n n ( ) n0 n

53 5 n0 n ( ) ( ) n! n ln 60 (9 5 0 ln (8 ( ( cos (7 / ( 47/9 ( 77 9 ( sin ( n0 n ( ) ( ) n / 4 (5 n ( ( e (4 / ( / 60 ( n0 n ( ) ( ) n 0 n () ( () ( 4 70 e 48 ( e ( בשגיאה הקטנה מ- ) בשגיאה הקטנה מ- בשגיאה הקטנה מ- 6 (0) / 6! ( (00) / ( (4) e ( (5) /0 ( (6) 5/44 ( ( / 6) / 5! (7) ( (8) ( (9) 4 / /00 ( ( 9 / 400 ( 5 / / בשגיאה הקטנה מ ( (0) ( () tan 0 בשגיאה הקטנה מ () בשגיאה הקטנה מ () (4) 5 בשגיאה הקטנה מ

54 54 תרגילים פרק 6 האינטגרל הלא מסויים (אינטגרל מיידי) חשב את האינטגרלים הבאים: 4 d ( d ( 4 d ( 0 4 d (6 d (5 d (4 4 ( ( ( )( ) (0 0 0 d (5 ( ) d (4 (4 ) d ( 5 4 ( ) 4 ( ) d (9 ( ) d (8 ( ) d (7 4 d d d 4 ( ) 0 d (8 d (7 4 0 d (6 d d d ( (0 (9 4 d d d 4 (4 ( ) ( ( 4 4 ( e e ) d (7 d (6 d (5 4 0 e 5 4 e d (0 d (9 e d (8 4 d ( d ( d 4 4 ( sin 4 cos d (6 sin d (5 cos 4 d (4 * בדוק תשובתך על ידי גזירה!

55 55 תרגילים פרק 7 האינטגרל הלא מסויים (הנגזרת כבר בפנים) חשב את האינטגרלים הבאים: d ( cot d ( d ( e d (6 d (5 tan d (4 e ln tan e e d (9 d (8 e d (7 cos cos(ln ) d d d sin ( cos(sin ) cos ( cos( ) 4 (0 d d d 4 (5 sin( ) (4 cos(0 ) ( ln(tan ) arctan ln d (8 d (7 d (6 cos cos ( (0 (9 sin d d d arctan ln d d ( 4 d ( * הערה: את האינטגרלים בפרק זה ניתן לפתור גם בעזרת שיטת ההצבה * בדוק תשובתך על ידי גזירה!

56 56 תרגילים פרק 8 האינטגרל הלא מסויים (אינטגרציה בחלקים) () חשב את האינטגרלים הבאים: d d e d 4 sin ( ln ( ( d d d sin 4 (5 cos (4 ( ) ln (4 4 ln d (8 ln d (7 e d (6 5 ln ( arcsin (0 arctan (9 ln arctan (4 d ( d ( cos ln d d (7 ln d (6 ln( ) d (5 d (0 e sin 4 d (9 e cos d (8 e ( ) 4 ( ) d tan d ( d ( 4 4 e d n א מצא נוסחת נסיגה עבור e d א מצא נוסחת נסיגה עבור א מצא נוסחת נסיגה עבור א מצא נוסחת נסיגה עבור באשר n טבעי ב חשב 4 cos d טבעי ב חשב n באשר cosn d 4 sin d טבעי ב חשב n באשר sin n d d טבעי ב חשב n באשר n d () () (4) (5) * בדוק תשובתך על ידי גזירה!

57 57 תרגילים פרק 9 האינטגרל הלא מסויים (שיטת ההצבה) () חשב את האינטגרלים הבאים (הצבות רגילות): 5 cos (ln ) d ( 4 d ( d ( e d (6 d (5 d (4 4 ln ln e d e d e d ( ) (9 (8 (7 d d d 4 4 ( ( ) ( cos( ) 4 (0 d d 8 (5 ln (4 d ( 4 d arctan ln (8 d (7 d (6 ln ln(ln ) d d ( d (0 arctan d (9 ( ) 7 4 e (4 ( cos(ln ) ( ( ) 5 d d d הערה:בחלק מהתרגילים, לאחר ההצבה, תידרש לאינטגרציה בחלקים * בדוק תשובתך על ידי גזירה!

58 58 תרגילים פרק 0 האינטגרל הלא מסויים (פונקציות רציונליות) () חשב את האינטגרלים הבאים: d 5 ( ( d ( d d (5 d (4 d ( ( ) ( ) d (8 d (7 d (6 d ( d (0 d (9 ( )( 4 4) 6 9 d (4 d ( d ( ( )( ) d (7 d (6 d (5 ( ) ( )( 4) ( )( ) d (0 d (9 d (8 4 ( )( 4) d ( ( ( 4 d d ( ) 4 () חשב את האינטגרלים הבאים: d d d ( ( ( 4 e d (6 d (5 d (4 e * בדוק תשובתך על ידי גזירה!

59 59 תרגילים פרק האינטגרל הלא מסויים (אינטגרלים טריגונומטריים והצבות טריגונומטריות) אינטגרלים טריגונומטריים (בעזרת זהויות בלבד) () חשב את האינטגרלים הבאים: ( d ( (sin 4cos ) d ( sin 0 cos (sin cos ) d (6 cos sin d (5 cos sin d (4 (sin cos ) d (9 tan d (8 sin cos cos d (7 4 4 (sin cos ) d ( (cos cos sin sin ) d ( sin 7 cos 5 d (0 cos d (5 sin 4 d (4 cos d ( 4 4 sin d (8 cos d (7 sin 4 d (6 sin cos sin 5 sin cos d ( d (0 d (9 sin cos sin 4 sin cos cos sin 4 sin cos d (4 d ( d ( cos cos

60 60 אינטגרלים טריגונומטריים (בעזרת הצבה טריגונומטרית) זכור: sin t f ( sin ) cos d f ( t) dt ( arcsin t) cos t f ( cos ) sin d f ( t) ( arccost) dt () חשב את האינטגרלים הבאים: cos d ( (cos cos )sin d ( (sin sin )cos d ( sin cos d (6 sin cos d (5 sin d (4 d d d cos 5 5 (9 tan (8 cos (7 sin d ( sin ( (0 cos 4cos 7 sin cos d e d אינטגרלים טריגונומטריים (בעזרת הצבה טריגונומטרית) זכור: t tan t t f sin, cos d f, dt t t t ( arctan t) () חשב את האינטגרלים הבאים: cos d d ( ( ( cos sin cos sin

61 6 אינטגרלים עם שורשים (בעזרת הצבה טריגונומטרית) f f f asint a d f acost acostdt a ( t arcsin ) a tant a a d f dt ( t arctan ) a cost cos t a asint a d cost f a tant a dt a cos t ( t arccos ) (4) חשב את האינטגרלים הבאים : 4 d ( d ( ( d d / ( 5) d (6 (5 (4 4 d d (9 (8 6 d (7 d * בדוק תשובתך על ידי גזירה!

62 6 תרגילים פרק האינטגרל המסויים () חשב את האינטגרלים הבאים: 4 4 e d ( d ( ( 4 ) d ( 5 0 ln 4 e 4 cos 0 d (6 d (5 d ( d (8 0 f ( ) כאשר 4 0 f ( ) d (7 () חשב את האינטגרלים הבאים: / 4 sin sin d ( d ( sin cos cos () נתונה פונקציה רציפה f הוכח: a a f ( ) d f ( ) d a 0 א אם f זוגית אזי a a ב אם f אי-זוגית אזי f ( ) d 0 (4) חשב את האינטגרלים הבאים: 4 sin cos ( d ( 5 4

63 6 (5) הוכח את אי השוויונים הבאים: 4 d e d e ( 6 d 6 7 ( 4 ( / ln 0 d d e d (6 09 (5 e d (4 4 4sin 6 0 sin ln d d d arctan (9 sin (8 (7 (6) חשב את הגבולות הבאים: n lim n n ( n sin sin sin lim n n n n n ( lim ( n n n n n n n n lim (4 n n n n n lim (5 n n n n n n n n lim (6 n / n

64 64 (7) חשב את האינטגרלים הבאים על פי ההגדרה (של רימן): sin d ( d ( d ( d ( * תוכל להיעזר בזהויות הבאות: n 05 n( n ) 6 n n ( n ) 4 sin sin sin sin sin n n n( n )(n ) n n sin

65 65 פרק שימושי אינטגרל המסוים (שטח ואורך קשת) חישוב שטחים נתונות שתי פונקציות: f ( ) 4 6 g ( ) 4 4 א מצא את נקודת החיתוך בין שתי הפונקציות () - ב מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות, על ידי ציר ה- ועל ידי הישרים = ו- - = (השטח המקווקו בציור) 6 (ראה ציור) נתונה הפונקציה 5 א מצא את השיעורים של נקודת המקסימום של הפונקציה ב מהי משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה () בנקודת המקסימום שלה? ג מצא את השטח המוגבל על ידי המשיק בנקודת המקסימום, על ידי הצירים ועל ידי גרףהפונקציה (השטח המקווקו בציור) f ( ) ( ) נתונה הפונקציה ונתון הישר () 05 (ראה ציור) מצא את השטח 05 המוגבל על ידי גרף הפונקציה, הישר וציר ה- (השטח המקווקו בציור)

66 66 נתונות הפונקציות: f ( ) g( ) 8 הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודות A ו- B (4) B A (ראה ציור) 4 א מצא את שיעורי ה- של הנקודות A ו- B ב חשב את השטח ברביע הראשון המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות, על ידי ציר ה- ועל ידי הישר = 4 (5) נתונות שתי פונקציות: א מצא את שיעורי ה- של נקודות החיתוך בין הגרפים של שתי הפונקציות ב מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות, השטח המקווקו בציור f ( ) (6) נתונה הפונקציה a A הפונקציה עוברת דרך הנקודה (,8)A ציור) (ראה א מצא את ערך הפרמטר a ב הפונקציה חותכת את ציר O(0,0) בנקודה O B ובנקודה B מצא את שיעורי הנקודה B ג חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה,על ידי המיתר AB ועל ידי ציר ה-

67 67 בציור שלפניך נתונות שתי הפונקציות : f ( ) e g( ) e (7) S א מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות עם ציר S ב מצא את נקודת החיתוך בין הפונקציות S ג חשב את היחס (ראה ציור) S נתונה הפונקציה f ( ) e העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה (ראה ציור) א מצא את משוואת המשיק (8) ב חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי הצירים (השטח המקווקו בציור) נתונה הפונקציה cos בתחום 0 4 (ראה ציור) ישר משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה 4 א מצא את משוואת המשיק (9) ב מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה-

68 68 (0) חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ועל ידי הישרים ו- (השטח המקווקו בציור) f ( ) () נתונה הפונקציה e e לפונקציה יש מינימום כמתואר בציור א מצא את שיעור ה- של נקודת המינימום של הפונקציה ב מנקודת המינימום של הפונקציה העבירו אנך לציר ה- נתון כי השטח, המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי ציר ה-, על ידי האנך ועל ידי הישר, כאשר e a e a שווה ל-, =a a מצא את הערך של a ln 05 f ( ) e נתונה הפונקציה (ראה ציור) () שיפוע הישר, המשיק לגרף הפונקציה בנקודה A, e הוא א מצא את שיעורי הנקודה A ב מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה A ג חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה-

69 נתונה הפונקציה f ( ) בתחום () A מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה A(, ) (ראה ציור) א מצא את משוואת המשיק בחשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה- בציור) (השטח מקווקו (4) נתונות הפונקציות : f ( ) sin ; 0 g( ) cos ; 0 א תאר במערכת צירים את הגרפים של שתי הפונקציות הנתונות ב קווקוו את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות הנתונות וחשב את גודלו f ( ) נתונה הפונקציה tg בתחום 0 (5) א מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה 4 ב הראה כי tg d tg c המשיק ועל ידי ציר ה- ומצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי 0 5 דרך הנקודה (8,0)A העבירו משיקים לפרבולה (6) א מצא את משוואות המשיקים ב חשב את השטח הכלוא בין שני המשיקים והפרבולה

70 70 נתונה הפונקציה f ( ) 4 בתחום 0 (7) (ראה ציור) א מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (0,0) ומשיק לגרף הפונקציה הנתונה ב חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה הנתונה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה- (8) א חשב את הנגזרת של הפונקציה f ( ) cos ב חשב את השטח המוגבל על ידי ציר ה- ועל ידי גרף הפונקציה cos sin בתחום * לסטודנטים במקצועות ריאליים, ענו על סעיף ב ללא סעיף א חשב את השטח הכלוא בין הפרבולה והישר 6 (9) 8 חשב את השטח הכלוא בין הפרבולה והישר (0) a a a d ב a 0 a d () חשב את האינטגרלים הבאים: א חישוב אורך עקום (קשת) () חשב את אורך העקום הנתון בסעיפים הבאים: 5 4 ( 8 ( ( / / / / 8 4 (6 0 ( ) (5 0 ( ) (4 / (7 ln (8 0 4 (7

71 7 פרק 4 שימושי אינטגרל המסוים (חישובנפח גוף סיבוב, שטח מעטפת של גוף סיבוב ונפח של גוף) נפח של גוף סיבוב, בשיטת הדיסקות () רשום את הנוסחאות לחישוב נפח גוף סיבוב, סביב ציר וסביב ציר ( cavalieri )ובשיטת הקליפות הגליליות () השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ו- מסתובב סביב ציר חשב את נפח הגוף המתקבל בשתי דרכים: א שיטת הדיסקות (cavalieri) ב שיטת הקליפות הגליליות () השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ו- מסתובב סביב ציר חשב את נפח הגוף המתקבל בשתי דרכים: א שיטת הדיסקות (cavalieri) ב שיטת הקליפות הגליליות (4) השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והציריםמסתובב סביב: א ציר ד ציר f ( ) ג הישר ב הישר ו הישר ה הישר מהו נפח הגוף המתקבל? = - = = = - (5) נסח והוכח את הנוסחה לחישוב נפח גליל (6) נסח והוכח את הנוסחה לחישוב נפח חרוט (7) נסח והוכח את הנוסחה לחישוב נפח כדור (8) השטח הכלוא בין והישרים: sin גרף הפונקציה 0,, 6 מסתובב סביבציר מהו נפח הגוף המתקבל

72 (9) השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והישרים: 7 e 0,, 6 מסתובב סביבציר מהו נפח הגוף המתקבל (0) השטח הכלוא בין גרףהפונקציה, f ( ) ln המשיק לגרף בנקודה (e (,e וציר מסתובב סביב ציר מהו נפח הגוף המתקבל? שטח מעטפת של גוף סיבוב () רשום את הנוסחאות לחישוב שטח מעטפת של גוף סיבוב סביב ציר וסביב ציר ( )הפונקציה 4 עבור מסתובבת סביב ציר מהו שטח המעטפת של הגוף שנוצר? () נסח והוכח את הנוסחא לחישוב שטח מעטפת של חרוט (4) נסח והוכח את הנוסחא לחישוב שטח מעטפת של כדור מסתובבת סביב ציר עבור, 9 (5) הפונקציה מהו שטח המעטפת של הגוף שנוצר? חישוב נפח a (6) מצא נוסחה לחישוב נפח פירמידה ישרה, אשר גובהה h ובסיסה הוא ריבוע שאורך צלעו c וגובהה b (7) מצא נוסחה לחישוב נפח פירמידה שבסיסה משולש ישר זוית שניצביו a ו-

73 7 פרק 5 אינטגרלים לא אמיתיים (מוכללים) () חשב את האינטגרלים הבאים: d d d d (4 sin ( ( ( ( ) 0 0 ( ) (8 (7 (6 e d e (5 5 () בדוק את התכנסות או התבדרות האינטגרלים הבאים: 8 8 sin ln arctan d (4 d ( d ( d ( e d (8 d (7 d (6 d (5 4 0 הישר, e () חשב את השטח בין גרף הפונקציה וציר עבור 5 ציר ה-, (4) חשב את השטח בין גרף הפונקציה, ציר ה- והישר

74 74 תרגילים פרק 6 פונקציות של מספר משתנים, גבולות ורציפות () עבור כל אחת מהפונקציות הבאות, מצא תחום הגדרה, שרטט אותו ושרטט את מפת קווי הגובה/רמה של הפונקציה (בסעיפים 7 ו- 8 תאר את משטחי הרמה) f (, ) ln ln ( f (, ) ( f f (, ) (4 (, ) ( f f (, ) (6 (, ) ln( ) (5 f z z f z z (,, ) (8 (,, ) (7 () חשב את הגבולות הבאים: sin( 6) sin( ) lim ( lim ( 6 (, ) (,) (, ) (0,0) lim ( ) ln( ) (4 lim ( (, ) (0,0 ) (, ) (,) (, ) (,) (, ) (, ) (,, z) (0,,) (, ) (,) arctan( ) ln( ) sin( ) lim (6 lim (5 4 lim sin ( ) z (8 lim (7 ( )חשב את הגבולות הבאים: ( ) lim ( lim ( lim (4 lim ( lim (6 lim ( z sin( ) lim (8 lim (7 z z0

75 75 (4) חשב את הגבולות הבאים: lim ( lim ( (, ) (, ) 4 (, ) (0,0) (, ) (0,0) (, ) (0,0) (, ) (0,0) (, ) (0,0) (,, z) (0,0,0) 4 4 sin( ) lim (4 lim ( sin( ) lim (6 lim (5 lim z z (8 lim ln( ) (7 (, ) (0,0) (5) בדוק את רציפות הפונקציות הבאות בנקודה (0,0) במידה והפונקציה אינה רציפה בנקודה, האם ניתן להגדיר אותה כך שתהייה רציפה בנקודה? f (, ) (0,0) sin( ) (, ) (0,0) (, ) ( (, ) (0,0) f 0 (, ) (0,0) (, ) ( פתרונות - פרק 6 () ( 0, המישור ללא ציר, 0, 0 ( הרביע הראשון ללא הצירים 8) תה - כל המרחב 0 (8 0 (7 ( כל המישור (4, עיגול היחידה (5 (6 0, חצי המישור העליון (7 תה - כל המרחב ( (4 (05 אינסוף (6 (7 (8 5 ( ( () בכל הסעיפים אין לפונקציה גבול (4) ( (0 (0 (04 (05 (6 0 ) הפונקציה לא רציפה אם נגדיר f,0) (0 הפונקציה תהיה רציפה ) הפונקציה רציפה () (5)

76 76 תרגילים פרק 7 נגזרות חלקיות, דיפרנציאבליות () חשב את הנגזרות החלקיות מסדר ראשון של הפונקציות הבאות: (, ) 4 ( 5 (, ) ln ( 4 5ln onl f f (, ) ( f f 5 f (, ) (4 f (, ) (5 f (, ) sin (6 f (, ) arctan( ) (7 f ( r, ) r cos (8 f z (,, ) z (9 uv f ( u, v, t) e sin ut (0 () חשב את הנגזרות החלקיות מסדר שני של הפונקציות הבאות: f (, ) ( 4 (, ) ln ( f (, ) sin 0 4 ( f (,, z) z (4 f

77 77 () ) חשב את הנגזרות החלקיות של הפונקציה הבאה בנקודה (0,0) ) האם הפונקציה רציפה בנקודה (0,0)? ) האם פונקציה גזירה חלקית היא בהכרח רציפה? f (, ) (, ) (0,0) 0 (, ) (0,0) (4) בדוק את דיפרנציאביליות הפונקציה משאלה () בנקודה (0,0) (5) בדוק את דיפרנציאביליות הפונקציות הבאות בנקודה (0,0) : (, ) (0,0) f 0 (, ) (0,0) (, ) ( sin (, ) (0,0) ( f (, ) 0 (, ) (0,0) (6) בדוק את דיפרנציאביליות הפונקציה הבאה בתחום הגדרתה f (, ) e (, ) (0,0) 0 (, ) (0,0) הערת סימון: f f f f f f f f f f (, ) f f f f f f f f f f

78 78 פתרונות -פרק ( () 4 5 ln ( 4 5ln ( (4 f f f cos( ) f cos( ) (6 5 f f f f f f f f ( ) ( ) f f r fr fz z f z f z uv uv uv t v u (5 (7 sin cos (8 (9 f u e cosut f u e sin ut f e v sin ut t cos ut (0 f f ( () f f 0 f 4 f 4 ln 4 ln ( f f f f f f 4 f 00sin 0 4 f 0cos 0 4 ( f 6sin 0 4 f 4cos 0 4 f 40sin 0 4 f 40sin 0 4 f f z f 0 f z (4 z f f 0 f z f z z f 0 f f f zz z z z ()) הנגזרות החלקיות בנקודה (0,0) שוות אפס ) הפונקציה לא רציפה בנקודה (0,0) ) פונקציה גזירה חלקית אינה בהכרח רציפה (4) לא דיפרנציאבילית (5) ) לא דיפרנציאבילית ) דיפרנציאבילית (6) דיפרנציאבילית

79 79 תרגילים פרק 8 כלל השרשרת לפונקציה של מספר משתנים * בתרגילים בפרק זה, הנח שכל הנגזרות הרשומות קיימות z, u z v חשב u v, u v, () נתון ) z ln( z z z,, t m k u v () נתון v 4 t k, u t 4 m, z e חשב () נתון ) z f ( הוכח z z 0 z z הוכח 0 z (4) נתון ) f ( z z 0 הוכח z f (5) נתון z z (6) נתון ) z f (, הוכח 0 הוכח w w w 0 z (7) נתון ) w f (, z, z u cos u cos cos cos (8) נתון ) u sin f (sin sin הוכח z z z z f הוכח (9) נתון ) ( הוכח z z z z f (0) נתון z u u zuz () נתון u(,, z) f, הוכח u h () נתון a) h(, ) f ( a) g( הוכח a h () נתון ) u(, ) f ( e sin ) g( e sin u u u u u u sin א הוכח: ב f '(0), g '(0) אם ידוע ש- u(, ) ג חשב :

80 80 (4) נתון ) r sin, r cos, u f (, r u u ur u u f cos f cos sin f sin rr f f u u u r r rr r א הוכח ב הוכח ג הוכח ונתון כי ) u f (, ), v g(, מקיימות את מישוואת (5) נתון v) z h( u, u v, u v קושי-רימן, כלומר מקיימות הוכח כי: u u 0, v v 0 א u, v מקיימות את משוואת לפלס כלומר h h u v huu hvv ב (6) נתון ) r sinh s, r cosh s, u f (, r u u ur us הוכח כי פתרונות -פרק 8 () ג e

81 8 תרגילים - פרק 9 פונקציות סתומות, מערכת של פונקציות סתומות, שימושים גיאומטריים פונקציות סתומות, מערכת של פונקציות סתומות '(0) 5 () מצא את ' כאשר חשב את e 5 4 () מצא את '() כאשר () מצא את e) ''( e), '( כאשר ln ln z z(, ) 0 (4) נתון z e ( )sin z 0 z z חשב את: (0,0),(0,0) (, z) 0 4 z e ( )sin (5) נתון z e (0,0), (0,0) חשב את z מצא (,) z z z(, ) 0 (6) נתון z z 0 (,, ) z z ונקודה (7) נתונה משוואה 4 מצא: ) z(,) z(,) ( z (,) (, u v (8) אם u v ו- u, v, u, מצא את v w, w מצא את, u v, u v, w u v (9) אם

82 8 שימושים גיאומטריים (מישור משיק וישר נורמלי למשטח) z 0 z 4 9 (0) נתון משטח המוגדר ע"י הפונקציה מהי משוואת מישור משיק למשטח בנקודה P בה, (,, ) () מצא משוואה של מישור משיק למשטח z 8 בנקודה וכן משוואה של הישר הפרמטרי הניצב למשטח הנתון בנקודה זו 8 7z () מצא מישור המשיק למשטח המקביל למישור 8 8z 0 () למשטח z a מעבירים מישור המשיק בנקודה כלשהי A,B,C בנקודות,, מישור זה חותך את הצירים z בהתאמה נסמן OA + OB + OC = a הוכח O (0,0,0) ) למעשה מוכיחים שסכום הקטעיםאינו תלוי בנקודת ההשקה ) פתרונות- פרק 9 '(0) 5 () '() 5 () 6 '( e), ''( e) e e sin z (0,0) z (0,0) () (4) (0,0) 0, z (0,0) 4 e (5) z (,) 6 (6) z (,) z (,), z (,) 4 (7) v 4v u 4u u, u, v, v (8) 8uv 8uv 8uv 8uv w uv, w 5( u v) (9) 6 z 8 0 (0) z 6 0, (,, ) t(,,) () 8 8z, 8 8z ()

83 8 תרגילים - פרק 0 קיצון של פונקציה בשני משתנים (רמה רגילה) עבור כל אחת מהפונקציות הבאות מצא נקודות קריטיות וסווג אותן למקסימום, מינימום או אוכף f (, ) 8 8 () f (, ) 0 () f (, ) 4 () f 4 (, ) (4) 0 4 f (, ) e (5) f (, ) 6 (6) 8 f (, ) (7) f (, ) e cos (8) z (9) נתון משטח 4 מצא את משוואות המישורים המשיקים האופקיים למשטח (0) מבין כל התיבות הפתוחות שנפחן סמ"ק, חשב את ממדי התיבה ששטח הפנים שלה הוא מינימלי () מצא את המרחק הקצר ביותר מהנקודה(,, ) z 0 למישור וכן את הנקודה על המישור הקרובה ביותר לנקודה הנ"ל

84 84 () יצרן מוכר מחשבונים, בארץ ובסין עלות הייצור של מחשבון בארץ היא 6$ ועלות ייצור מחשבון בסין היא 8$ מנהל השיווק עומד את הביקוש Q למחשבון בארץ ואת הביקוש Q למחשבון בסין על ידי: Q 6 0P 0P Q 44 6P 4P, P על מנת למקסם P ו- כיצד צריכה החנות לקבוע את מחירי המחשבונים, אתהרווח? מהו רווח זה? פתרונות - פרק 0 0) (-,, (,), -), )אוכף ( 05, -)אוכף ; ( 5,- )מינימום ), )מינימום ; (,- -)מקסימום ; ) (-,, (,- )אוכף (0,0) אוכף ; (, )מינימום -) )(-, (-,,מינימום ; 0), )מקסימום ; ), 0 )מקסימום (6) 4) (4, מקסימום (4,05-) מקסימום (8) אין נקודות קריטיות (0) רוחב 4 ס"מ, אורך 4 ס"מ, גובה ס"מ (/,4/,0/) z =, z = 4 () מרחק מינימלי הוא יחידות אורך נקודה קרובה ביותר =$, P =0$, P רווח מקסימלי 88$ () () () (4) (5) (7) (9) ()

85 85 תרגילים - פרק קיצון של פונקציה של שניים/שלושה משתנים (רמה מתקדמת) שיטת מינימום הריבועים הפחותים מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות: f (, ) () f (, ) 4 () ( z f (, )) z z 0 () f (, ) 6 8 (4) z (,, z 0) f (,, z) (5) 4 z (6) מצא מרחק מינימלי בין הפרבולה לפרבולה * לפתרון תרגיל זה נדרש יידע בפתרון נומרי (מקורב) של משוואה כגון שיטת ניוטון רפסון שיטת הריבועים הפחותים (7) נתונות n נקודות: ) (, ),(, ),,(, בכל אחד מהסעיפים הבאים, מצא קו עקום מהצורה ( )h כך שסכום ריבועי המרחקים האנכיים בין העקום והנקודות יהיה מינימלי: n n ), h( הדגם עבור הנק' (,08),(,),(4,5) 5), (, a b ) (,הדגם עבור הנק' ) (, ),(, 0), (0, b ), h( הדגם עבור הנק' (05,4) 0),(6,9),(4,85), (0, a b ), h( הדגם עבור הנק' 90) 45),(0, (, ), ),(,85),(05, (4, a (, 45),(05, ),(0, 08),(, 0),( 05, ), h( הדגם עבור הנק' 0) a b c h a b א) ב) ג) ד) ה)

86 86 (8) נתונות n נקודות: n) (, ),(, ),,( n, מצא ישר a b כך שסכום ריבועי המרחקים האנכיים בין הישר והנקודות יהיה מינימלי עליך להגיע לנוסחה מפורשת עבור a ו- b הערה: בשאלות (7) ו- ( 8 )ניתן להניח ש- a ו- b המתקבליםמפתרון המשוואות f נותנים את המינימום המוחלט של פונקציית ריבועי המרחקים האנכיים a 0, f 0 b n i f ( a, b) h( ) i i פתרונות - פרק () ( t,t )לכלtממשי, מקסימום () ( 0,0 )מקסימום () אין קיצון (, )אוכף (4) אין קיצון (, )אוכף (5) ( 05,, )מינימום (6) ( 7 ב) 088 ( 7 א) ( 7 ד) 0 ( 7 ג) ( 7 ה) 084 n n n n n n n i i i i i i i i i i i i i i i i, b n n n n n n i i i i i i i i n a (8)

87 87 תרגילים - פרק קיצון תחת אילוץ של פונקציה של שני משתנים(כופלי לגרנג') פונקציות של שני משתנים מצא את המקסימום והמינימום של הפונקציות הבאות בכפוף לאילוץ הנתון: f (, ) ; () f (, ) ; () f (, ) 4 6 ; () f (, ) ; 6 (4) (5) נתונה בעיית הקיצון Ma s t א פתור את הבעיה ב הבא פתרון גרפי לבעייה (6) נתונה בעיית הקיצון min s t 9 א פתור את הבעיה ב הבא פתרון גרפי לבעייה (7) מבין כל הנקודות הנמצאות על הישר שיעוריה מקסימלי, מצא את זו שמכפלת (8) מבין כל הנקודות שעל העקומה מצא את הנקודות שמרחקיהן מראשית הצירים הוא מינימלי ואת הנקודות שמרחקן מראשית הצירים הוא מקסימלי לפרבולה 6 (9) מצא את המרחק הקצר ביותר מהישר a0 b0 c a b רמז: מרחק הנקודה ) (, מהישר a b c 0 הוא 0 0

<4D F736F F D20EEFAEEE8E9F7E420E020ECEBECEBECF0E9ED202D20E0E9F0E1F8F1E9E8FA20FAEC20E0E1E9E12E646F63>

<4D F736F F D20EEFAEEE8E9F7E420E020ECEBECEBECF0E9ED202D20E0E9F0E1F8F1E9E8FA20FAEC20E0E1E9E12E646F63> מתמטיקה א' לכלכלנים גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות תלמידים

קרא עוד

Microsoft Word - עבודת פסח לכיתה י 5 יחל.doc

Microsoft Word - עבודת פסח לכיתה י 5 יחל.doc עבודת פסח במתמטיקה לכיתה י' (5 יחידות) תרגילים שבעבודה על החומר שנלמד בכיתה ומיועדים לחזרה יש לעשות לא פחות מ- תרגילים מכל פרק אלגברה פתור את מערכת המשוואות הבאות: y x 1 y y 1 x y m x 1 x עבור אילו ערכים

קרא עוד

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, 635863 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 תלמיד קנה 11 מחברות דקות ו- 4 מחברות עבות,

קרא עוד

משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון אינטגרל מסוים i שאינו תלוי בחלוקה ] [ ובחירה m. S f סכום אינטגרלי + f + K i lim S כאשר i 0. I f I הגדרה אם קיים נקרא אינטגרל מסוים ומסומן הצבה.[ רציפות ב- ] אז הוא f g g g כאשר f g g כאשר udv uv vdu g

קרא עוד

2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק

2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך( כלל השרשרת S ( z) z + על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק מקביל : f ( ) + הפונקציה מוגדרת וגזירה ברציפות בכל M( ) שאלה נתון פרבולואיד אליפטי P ( z) + 6 + z + 8 למישור

קרא עוד

Microsoft Word - hedva 806-pitronot-2011.doc

Microsoft Word - hedva 806-pitronot-2011.doc ו- ( ( השייכים לתחום ההגדרה שאלה פתרון: א. לפי ההגדרה, f היא פונקציה זוגית, אם לכל ( ) שלה, מתקיים. f f נציב את במקום בפונקציה הנתונה ונקבל: ( ) ( ) ( ) + + + + ( ) f f f כלומר, הפונקציה היא זוגית. על

קרא עוד

מתמטיקה של מערכות

מתמטיקה של מערכות מתמטיקה של מערכות פתרון לתרגיל נגזור את שני האגפים לפי ונקבל : ) ולכן נתון ש- אז א ) e e נתון ש- א ) נגזור את שני האגפים לפי ונקבל: e, ולכן ) e e e ונקבל: נחלק את שני האגפים ב- נתון ש- ו- וגם ש- פונקציות

קרא עוד

Microsoft Word - 38

Microsoft Word - 38 08.05.6-80 - פתרון מבחן מס' 8 (ספר מבחנים שאלון 0580) t (v 75) (א) מהירות ההתקרבות של שני הרוכבים היא לכן הזמן שעבר מיציאת הרוכבים ועד הפגישה: קמ"ש, שעות 60 v 75 לפי הנתון בשאלה, נרכיב את המשוואות: 60

קרא עוד

תאריך הבחינה 30

תאריך הבחינה   30 אוניברסיטת בן-גוריון בנגב מדור בחינות 9//8 תאריך הבחינה : ד"ר ס. סמית, דר' דבורה שמות המורים : פרץ, פרופ' גריגורי דרפל מבחן ב: חדו"א ג' --9 מס' הקורס: מיועד לתלמידי: ביולוגיה, כימיה וגאולוגיה ב מועד: א

קרא עוד

א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש בגרות סט יולי 09 מועד קיץ ב שאלון CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף

א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש בגרות סט יולי 09 מועד קיץ ב שאלון CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש 3 CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף, E בהתאמה. לכן, הנקודה BE.3: לצלעות AE מחלקת את ו- AB ביחס של ע"פ נוסחת חלוקת קטע ביחס נתון

קרא עוד

Limit

Limit פרק אינטגרל כפול לכן לפי משפט 55 )ראו גם את ההערה( שאלות :5 d cos( ) d [ ] [] שאלות עם פתרון שאלה 5 חשבו: פתרון 8 הפונקציה ) f ( ) cos( מתקיים: רציפה במלבן d cos( ) d d cos( ) d עדיף לחשב את האינטגרל השני:

קרא עוד

טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נ

טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נ טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נתון כלשהו.. אין צורך לענות על השאלות לפי סדר הופעתן.

קרא עוד

1 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי II גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון

1 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי II גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל-   כתב ופתר גיא סלומון חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי II גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד שאלות

קרא עוד

אנליזה מתקדמת

אנליזה מתקדמת א) א) ג) -- אוניברסיטת בן- מדור בחינות מס' גוריון בנגב תאריך הבחינה: 7/0/00 שם המרצים: פונף, בסר, טקצ'נקו, ליידרמן חדו"א א בחינה ב: 0--00 מס' הקורס: מתמטיקה,מדעי המחשב, הנדסת תכנה מיועד לתלמידי: א' מועד:

קרא עוד

מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יח"ל. פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטרי

מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יחל. פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטרי מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ - 015 הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יח"ל פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטריה האנליטית: ישר, מעגל, אליפסה ופרבולה בראיה מוכללת נושא

קרא עוד

ע 003 מרץ 10 מועד מיוחד פתרונות עפר

ע 003 מרץ 10 מועד מיוחד פתרונות עפר בגרות ע מרץ 0 מועד מיוחד שאלון 5005. x א. () יש למצוא את הערך של m שעבורו גרף + ) mx f ( x) mm ( 6) x + ( כאשר נציב m או 6 m נקבל 0 0 ונקבל פונקציה עולה ובהתאם הישר לא מקביל לציר ה - הוא ישר המקביל לציר

קרא עוד

Microsoft Word - 01 difernziali razionalit

Microsoft Word - 01 difernziali razionalit פונקציות רציונליות 5 יחידות מתוך הספר 806 כרך ד' 0, כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי חל איסור מוחלט לתרגם, להעתיק או לשכפל חוברת זו או קטעים ממנה, בשום צורה ובשום אמצעי אלקטרוני, אופטי או מכני (לרבות

קרא עוד

מטלת מנחה (ממ"ן) 11 הקורס: חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות 2,1 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות סמסטר: ב 2007 מו

מטלת מנחה (ממן) 11 הקורס: חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות 2,1 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות סמסטר: ב 2007 מו מטלת מנחה (ממ"ן) הקורס: - חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות, 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות 337 סמסטר: ב 7 מועד אחרון להגשה: אנא שים לב: מלא בדייקנות את הטופס המלווה לממ"ן בהתאם לדוגמה

קרא עוד

תרגול 1

תרגול 1 תרגול rcsin d rcsin t d שאלה חשב את האינטגרלים המסוימים הבאים: sin cos d rcsin d sin cos d א ב ג פתרון שאלה סעיף א נציב dt sin d t cos עבור נקבל t cos cos עבור נקבל sin cos d tdt סעיף ב נפתור תחילה בעזרת

קרא עוד

עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה אפריל 5105 קשה בלימודים, קל במבחנים, קל בחיים עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה יש לפתור את כל השאלות

עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יחל פסח תשעה אפריל 5105 קשה בלימודים, קל במבחנים, קל בחיים עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יחל פסח תשעה יש לפתור את כל השאלות עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה יש לפתור את כל השאלות על דפים משובצים. רשמו את שמכם על כל אחד מהדפים הפתרונות יוגשו אחרי חופשת הפסח. מומלץ לכתוב דואר אלקטרוני, Whatspp כאשר נתקלים בקושי. מישהו

קרא עוד

עב 001 ינואר 12 מועד חורף פתרונות עפר

עב 001 ינואר 12 מועד חורף פתרונות עפר ק( נסמן ב- את מהירות המשאית שיצאה מעיר A (קמ"ש, קבועה) בגרות עב ינואר מועד חורף שאלון 35 נסמן ב- y את מהירות המכונית שיצאה מעיר B (קמ"ש, קבועה) B A נסמן ב- s את המרחק מעיר לעיר "מ) s v עד מפגש ראשון משאית

קרא עוד

Microsoft Word - 28

Microsoft Word - 28 8-6-7-8 - פתרון מבחן מס' 8 (ספר לימוד שאלון 87) y M (, ) y מרכז המעגל החוסם את המשולש נמצא בנקודת חיתוך האנכים האמצעיים y y לצלעות המשולש: y M _, y y R M ( M) ( M) () R M y m 9 9 69 9 9 9 9 (ב) משוואת

קרא עוד

בחינה מספר 1

בחינה מספר 1 תוכן העניינים בחינה מספר 1 4 אלגברה: 4 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: בחינה מספר 6 אלגברה: 6 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: 7 בחינה מספר 3 8 אלגברה: 8 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: 9 בחינה מספר 41 אלגברה: 01 חשבון

קרא עוד

1 בגרות עח יולי 18 מועד קיץ ב שאלון x b 2 2 y x 6x שיעור ה- א x לכן, של קדקוד הפרבולה, ו-, מתקבל על ידי הנוסחה a. C(3, 9) ובהתאם, y. (3, 9) 2 C

1 בגרות עח יולי 18 מועד קיץ ב שאלון x b 2 2 y x 6x שיעור ה- א x לכן, של קדקוד הפרבולה, ו-, מתקבל על ידי הנוסחה a. C(3, 9) ובהתאם, y. (3, 9) 2 C 8 מועד קיץ ב שאלון 58 x b y x x שיעור ה- א x לכן של קדקוד הפרבולה ו- מתקבל על ידי הנוסחה a C( 9) ובהתאם y ( 9) C 9 C הם x C ( ) תשובה: שיעורי קדקוד הפרבולה B A y x x ב הישר y 5 חותך את הפרבולה בנקודות

קרא עוד

îáçï îúëåðú îñ' 1

îáçï îúëåðú îñ'  1 5 יח"ל מבחני חזרה במתמטיקה - במתכונת בחינות הבגרות לפי מיקוד הבחינה - קיץ 003 "כדי לקלוע למטרה צריך לכוון קצת למעלה ממנה" בעריכת: סרור אסעד אפריל 003 (úåãå ð 50) 'ñî úðåëúî ïçáî 'à ìç äøáâìà,øåùéîä úñãðä

קרא עוד

. [1,3] ו = 0 f(3) f(1) = עמוד 1 מתוך 6 דר' ז. אולחא מס' הקורס 9711 חדו''א הנ מכונות 1 f ( x) = ( x 1)( x 2)( x 3) c= f c = c (1,3), c תשובות I 1) פונ

. [1,3] ו = 0 f(3) f(1) = עמוד 1 מתוך 6 דר' ז. אולחא מס' הקורס 9711 חדו''א הנ מכונות 1 f ( x) = ( x 1)( x 2)( x 3) c= f c = c (1,3), c תשובות I 1) פונ . [,] ו 0 f() f() עמוד מתוך 6 ז. אולחא מס' הקורס 97 חדו''א הנ מכונות f ( ) ( )( )( ) f (,), תשובות I ) פונ' לכן קיים פתרון רציפה וגזירה בקטע כך ש 0 ) (? f ( ) +, ± ± 0.58 (, ),.58,.4 יש n פעמים להשתמש

קרא עוד

סט נובמבר 08 מועד מיוחד - פתרונות עפר.doc

סט נובמבר 08 מועד מיוחד - פתרונות עפר.doc נפתור את מערכת המשוואות y+ 3 = 5 5 7 3 2y + = 8 3 נארגן את המשוואה הראשונה 1/ 5/ y+ 3 5 = 5 1 y+ 3= 5(5 ) y+ 3= 25 5 8+ y= 25 /5 נארגן את המשוואה השנייה 3 1 3 / / / 2y 7 3 8 + = 1 3 1 6y+ 7 3= 24 7+ 6y

קרא עוד

Microsoft Word - solutions.doc

Microsoft Word - solutions.doc תחרות גיליס 009-00 הרי פוטר הגיע לחנות הדובשנרייה בהוגסמיד. הוא מגלה, שהכסף שלו מספיק בדיוק ל- סוכריות קוסמים ול- 5 קרפדות שוקולד, או בדיוק ל- 0 קרפדות שוקולד ול- 0 נשיקות מנטה, או בדיוק ל- 45 נשיקות מנטה

קרא עוד

<4D F736F F D20EEF9E5E5E0E5FA20E3E9F4F8F0F6E9E0ECE9E5FA2E646F63>

<4D F736F F D20EEF9E5E5E0E5FA20E3E9F4F8F0F6E9E0ECE9E5FA2E646F63> משוואות דיפרנציאליות מושגי ייסוד: משוואה המקשרת את גורם הפונקציה עם הפונקציה והנגזרות שלה או הדיפרנציאלים שלה, נקראת "משוואה דיפרנציאלית רגילה" לפתור משוואה דיפרנציאלית פירושו, למצוא את הפונקציה המקיימת

קרא עוד

! 1! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) xyy = 1 x y xy 2 = 2xy 2 מצא את הפתרו' הכללי: x y y = 3 א) y ג) ב) ד) y tan x = y (1 ( x+ y

! 1! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) xyy = 1 x y xy 2 = 2xy 2 מצא את הפתרו' הכללי: x y y = 3 א) y ג) ב) ד) y tan x = y (1 ( x+ y !! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) tan ( a a z 0 a z s ds dt (רמז: cos d d ז) d ( ) d ( ) ח) ) מצא את הפתרונות המקיימי :. () 0 ( ). (). () 0 d ( ) d ( ) π. sin ln ) tan cos d cos d

קרא עוד

בגרות עז יולי 17 מועד קיץ ב שאלון ,000 א. ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב-. 25% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי,

בגרות עז יולי 17 מועד קיץ ב שאלון ,000 א. ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב-. 25% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי, ,000 א ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב- 5% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי, 5% לכן, המחיר החדש הוא: 5,000 00 5 5 00 שקלים ממחירו הקודם 0005 תשובה: מחיר הספה לאחר ההתייקרות הוא

קרא עוד

08-78-(2004)

08-78-(2004) שאלון 00 מיקוד במתמטיקה מהדורת חורף תשס"ט 009 כתיבה: זיקרי אלברט, שמש שלמה - shemesh4@walla.co.il צוות עריכה מקצועית: ריטרבנד אוהד, נאות רז, מן מנחם, דוד ניר, ארביב עמוס, שטולבך אירית, שניידר איתן, כהן

קרא עוד

פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה עבודת קיץ לבוגרי כיתה ז' קבוצת מיצוי " שכונה מערבית, רח' הפסגה 17 כרמיאל דוא"ל:

פסגות עש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה עבודת קיץ לבוגרי כיתה ז' קבוצת מיצוי  שכונה מערבית, רח' הפסגה 17 כרמיאל דואל: עבודת קיץ לבוגרי כיתה ז' קבוצת מיצוי " סדר פעולות חשבון עם מספרים מכוונים )1( כמובן יש להראות את דרך פתרון. תרגיל 0 1 : ( 3) 1 ( ) פתרו. שימו לב לסדר פעולות החשבון. תשובה 1 )( )3( )4( )5( )6( )7( )8( 30

קרא עוד

ע 001 ינואר 10 מועד חורף פתרונות עפר

ע 001 ינואר 10 מועד חורף פתרונות עפר בגרות ע 00 ינואר 0 שאלון 50 הציר האופקי, ציר ה-, x מתאר את הזמן שעובר, בשניות, מתחילת השחייה כל משבצת היא בת 0 שניות הציר האנכי, ציר ה - y, מתאר את המרחק מקצה הבר כה כל משבצת היא בת 0 מטר כאשר הקו עולה

קרא עוד

mivhanim 002 horef 2012

mivhanim 002 horef 2012 מבחן מספר 1 (שאלון 00 חורף תשע"ב) בשאלון זה שש שאלות. תשובה מלאה לשאלה מזכה ב- 5 נקודות. מותר לך לענות, באופן מלא או חלקי, על מספר שאלות כרצונך, אך סך הנקודות שתוכל לצבור לא יעלה על. 100 אלגברה (x+ 5)

קרא עוד

Microsoft Word - Sol_Moedb10-1-2,4

Microsoft Word - Sol_Moedb10-1-2,4 הפקולטה למתמטיקה - הטכניון חיפה מד''ח - 48 חורף תשע''א - בחינה סופית מועד ב' שאלה : תהי נתונה המד"ח הבאה: u + uu = y א. מצא את העקומים האופייניים של משוואה זו בצורה פרמטרית. ב. פתור את המד"ח הנתונה לעיל

קרא עוד

סז 002 נואר 07 מועד חורף פתרונות עפר

סז 002 נואר 07 מועד חורף פתרונות עפר הציר האופקי מציג את מספר פעימות המונה הציר האנכי מציג את המחיר שגובה חברת הטלפונים (שקלים) ב. א. יש למצוא מהו המחיר ל- 00 פעימות המונה הראשונות בחודש. הנקודה המסומנת בגרף, בעיגול, מראה כי עבור 00 פעימות

קרא עוד

Untitled

Untitled 2 אגודת הסטודנטים, בן-גוריון 3 פתרון מבחן מועד ב', חדו"א 2 להנדסת חשמל, סמסטר ב', תשע"ו שאלה : א הטור המגדיר את fx הוא טור טלסקופי. הסכומים החלקיים של טור זה הם S n x n k kxe kx k xe k x nxe nx x fx lim

קרא עוד

MathType Commands 6 for Word

MathType Commands 6 for Word 0 אלגברה לינארית גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות

קרא עוד

יחידה 8: שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות שיעור 1. שיקוף בציר x תלמידים התבקשו לשרטט פרבולה שכל הערכים שלה שליליים. y יואב ש רטט כך: y תומר אמר: אי-אפשר

יחידה 8: שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות שיעור 1. שיקוף בציר x תלמידים התבקשו לשרטט פרבולה שכל הערכים שלה שליליים. y יואב ש רטט כך: y תומר אמר: אי-אפשר יחידה 8: שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות שיעור 1. שיקוף בציר תלמידים התבקשו לשרטט פרבולה שכל הערכים שלה שליליים. יואב ש רטט כך: תומר אמר: אי-אפשר זיו ש רטט כך: מי צודק? נשקף בציר את הגרף של, = ונלמד את

קרא עוד

Microsoft Word - 14

Microsoft Word - 14 9-5-27-4 - פתרון מבחן מס' 4 (ספר לימוד שאלון 3586) קמ"ש $ y קמ"ש % ppleסמן ב- קמ"ש את מהירות המכוppleית וב- y קמ"ש את מהירות המשאית () $ y 4 המשאית הגיעה ל- B לאחר המפגש עם המכוppleית כלומר ppleקבל את

קרא עוד

מבחן חוזר במכניקה 55 א יא יח""ללח פתור 3 מהשאלות 1-5 לכל שאלה 33%. חומר עזר מותר מחשבון ונוסחאון של בגרות. v m sec משך הבחינה 105 דקות. שאלה מספר 1 4

מבחן חוזר במכניקה 55 א יא יחללח פתור 3 מהשאלות 1-5 לכל שאלה 33%. חומר עזר מותר מחשבון ונוסחאון של בגרות. v m sec משך הבחינה 105 דקות. שאלה מספר 1 4 מבחן חוזר במכניקה 55 א יא יח""ללח פתור 3 מהשאלות 1-5 לכל שאלה 33%. חומר עזר מותר מחשבון ונוסחאון של בגרות. v sec משך הבחינה 105 דקות. שאלה מספר 1 4 גוף נע לאורך ציר X כך שברגע. x הוא נמצא 0 t 0-10 16 19

קרא עוד

מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית

מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית צוות המתמטיקה במטח: ראש תחום מתמטיקה: ד"ר שרה הרשקוביץ מנהלת צוות פיתוח מתמטיקה לבית הספר העל יסודי: ד"ר בבה שטרנברג צוות הפיתוח: רגינה אובודנקו, ד"ר אלכס אוליצין, אסנת

קרא עוד

HaredimZ2.indb

HaredimZ2.indb יחידה :31חופפים משולשים נחפוף משולשים ונוכיח תכונות של אלכסוני משולשים שווה שוקיים ואלכסוני המלבן. שיעור.1חופפים במשולש שווה שוקיים נחקור ונוכיח תכונות של משולש שווה שוקיים נתון משולש שווה שוקיים שבו.

קרא עוד

שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימ

שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימ שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימודי מתמטיקה בשנה א. אין מבחני כניסה לקורסים אלו, אולם

קרא עוד

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות)

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות) 5 עבודת קיץ לתלמידי כיתה ט' העולים לכיתה י )רמה יחידות( את העבודה יש להגיש למורה למתמטיקה תחילת שנה הבאה. בשבועיים הראשונים של שנת הלימודים יתקיים מבחן לפי העבודה. לעבודה חלקים:. תרגול בסיסי לתלמידי 5

קרא עוד

<4D F736F F D20FAF8E2E5EC20E0ECE2E1F8E420EEF2E5F8E D F9E0ECE5FA2E646F63>

<4D F736F F D20FAF8E2E5EC20E0ECE2E1F8E420EEF2E5F8E D F9E0ECE5FA2E646F63> < 0 a b b a > 0 נתון: מכאן ניתן לומר בוודאות כי -. a < b ab < 0 a 0 b > לא ניתן לקבוע בוודאות.. ( 0)?. לא ניתן לדעת. + ( + ) ( ) + + נתון: כמה ערכי שונים מקיימים את המשוואה?. אינסוף 0 +. תשובות ו נכונות

קרא עוד

פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה -

פסגות עש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה - פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה יחס פרופורציה וקנה מידה נוסחאות הכפל המקוצר ופירוק לגורמים פתרון משוואות, אי שוויונות ומערכת משוואות ממעלה ראשונה שאלות מילוליות משוואות ריבועיות שברים

קרא עוד

פונקציה מסדר ראשון; הגדרת קו ישר: - הצגה ע"י ביטוי אלגברי וגרפי

פונקציה מסדר ראשון;  הגדרת קו ישר: - הצגה עי ביטוי אלגברי וגרפי המרכז לחינוך מדעי תל אביב-יפו פתח דבר ספר זה שלפניכם, "מתמטיקה לפיזיקאים" הוא פרי יוזמה של חברי צוות חמד"ע, המתמודדים כל שנה עם הצורך בהתאמת הידע המתמטי של תלמידי הפיזיקה לדרישות הלימודים. תודתי העמוקה

קרא עוד

מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignment 2 solution - Finding Roots of Nonlinear Equations y cos(x) שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y x 3 1 ושל ממש פתרונות

מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignment 2 solution - Finding Roots of Nonlinear Equations y cos(x) שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y x 3 1 ושל ממש פתרונות מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignmnt 2 solution - Finding Roots of Nonlinar Equations y cos() שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y 3 1 ושל ממש פתרונות בעזרת שיטת החצייה ובעזרת Rgula Falsi )אין צורך לפתור אנליטית(

קרא עוד

דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n 1. y' n x n, y הנגזרת x.1 נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- (. x א. נחסר אחד מהחזקה. ב

דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n 1. y' n x n, y הנגזרת x.1 נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- (. x א. נחסר אחד מהחזקה. ב דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n n n, y הנגזרת נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- ( א נחסר אחד מהחזקה ב 7 y כאשר גוזרים כופלים בחזקה, 7 כלומר נרשום אותה משמאל ל-, ובחזקה של

קרא עוד

מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות

מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות תורת הקבוצות מושגים בסיסיים מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות חוברת תרגילים כתוב באופן מפורש את הקבוצות הבאות: 5 2x + 3< היא קבוצת המספרים השלמים המקיימים : 7 B היא קבוצת האותיות הקודמות לאות f באלף-בית הלטיני.

קרא עוד

Microsoft Word - madar1.docx

Microsoft Word - madar1.docx משוואות דיפרנציאליות רגילות גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות

קרא עוד

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות)

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות) עבודת קיץ לתלמידי כיתה ט' העולים לכיתה י )רמה יחידות( את העבודה יש להגיש למורה למתמטיקה תחילת שנה הבאה. בשבועיים הראשונים של שנת הלימודים יתקיים מבחן לפי העבודה. לעבודה חלקים:. תרגול בסיסי לתלמידי יחידות

קרא עוד

תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: כל הזכויות שמורות

תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: כל הזכויות שמורות תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: st.negishut@weizmann.ac.il תוכן העניינים מטרות התיק... 3 זמני עבודה משוערים... 3 החומרים והעזרים הדרושים... 4 רקע... 5 הצעה למהלך העבודה...

קרא עוד

תרגול מרובעים- מקבילית נתונה מקבילית בעלת היקף בגודל 33 ס"מ, כמו כן אחת מצלעות המקבילית שווה ל- 8 ס"מ. מהו גודלה של שאר צלעות המקבילית בס"מ?.1 8 נתונה

תרגול מרובעים- מקבילית נתונה מקבילית בעלת היקף בגודל 33 סמ, כמו כן אחת מצלעות המקבילית שווה ל- 8 סמ. מהו גודלה של שאר צלעות המקבילית בסמ?.1 8 נתונה תרגול מרובעים- מקבילית נתונה מקבילית בעלת היקף בגודל 33 ס"מ, כמו כן אחת מצלעות המקבילית שווה ל- 8 ס"מ. מהו גודלה של שאר צלעות המקבילית בס"מ?.1 8 נתונה מקבילית שצלעותיה שוות ל- 3 ס"מ ול- 7 ס"מ. מהו הטווח

קרא עוד

<4D F736F F D20F4F2E5ECE5FA20EEE5EEF6E0E5FA20312E646F63>

<4D F736F F D20F4F2E5ECE5FA20EEE5EEF6E0E5FA20312E646F63> 1 תרגול פעולות מומצאות ( ( $ מה מהתשובות לא יכולה להיות תוצאה של הפעולה ) ( $ 1 הוגדרה פעולה חדשה $ + 1 1 + 10 + () () מה תוצאת הפעולה ) ( @ @ 10 = הוגדרה הפעולה החדשה 10 1 () 10 () 10 $ 19 $ 17 a) ( $

קרא עוד

אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,653 באר-שבעISRAEL 10584P.O.B. 653, BEER SHEVA , המזכירות האקדמית המרכז ללימודים

אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,653 באר-שבעISRAEL 10584P.O.B. 653, BEER SHEVA , המזכירות האקדמית המרכז ללימודים אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,65 באר-שבעISRAEL 058P.O.B. 65, BEER SHEVA 8 05, המזכירות האקדמית המרכז ללימודים קדם אקדמיים אלגברה - נוסחאות הכפל מקוצר גיליון תרגילים מס'

קרא עוד

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות)

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות) עבודת קיץ לתלמידי כיתה ט' העולים לכיתה י )רמה - יחידות( את העבודה יש להגיש למורה למתמטיקה תחילת שנה הבאה. בשבועיים הראשונים של שנת הלימודים יתקיים מבחן לפי העבודה. התייחסות רצינית להכנת העבודה היא תנאי

קרא עוד

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם י

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם י עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם יודעים כיצד לפתור אותן. את העבודה יש להגיש במהלך השבוע

קרא עוד

תרגול מס' 7 – חזרה על MST ואלגוריתם Dijkstra

תרגול מס' 7 – חזרה על MST ואלגוריתם Dijkstra תרגול מס' 10 תכנון ליניארי תכנון לינארי הינו כלי שימושי במדעי המחשב. בקורס ראינו כיצד ניתן להציג בעיות שונות במסגרת תכנון לינארי. בנוסף, ראינו שימושים לדואליות של תוכניות לינאריות, אשר מקשרת בין בעיות

קרא עוד

ðñôç 005 î

ðñôç 005 î ו - משופר נספח לשאלון 005 9005 תוכן עניינים: עמ' סדרות תוספת לאי-שיוויונים ממעלה שניה יישומים 40 (כולל יישום במשפט ויאטה לעומת הנספח הקודם, השאלות הבאות הוחלפו : עמ ' שאלה עמ ' שאלה עמ ' שאלה 6,7,8,9 0,

קרא עוד

Microsoft Word - dvar hamaarehet_4.8.docx

Microsoft Word - dvar hamaarehet_4.8.docx מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי المرآز القطري لمعلمي الرياضيات في المرحلتين الاعدادية والثانوية מרובע חסום ועקשן, או נכדי מסר לטיפולי בעיה בגיאומטריה מדור: כתב: תקציר: זה קרה לי בכיתה אברהם

קרא עוד

<4D F736F F D20F4F8F720E7F9E9E1E420EBEEE5FAE9FA203120E9E5ECE E646F63>

<4D F736F F D20F4F8F720E7F9E9E1E420EBEEE5FAE9FA203120E9E5ECE E646F63> הסברים לפרק כמותי : :úåðåëðä úåáåùúä 0 9 8 7 6 5 5 0 9 8 7 6 5. התשובה הנכונה היא: (). עלינו לקבוע איזה מהביטויים שבתשובות אינו זוגי. משום שהשאלה עוסקת בתכונת הזוגיות, ננסה ללמוד מהנתון על זוגיותם של x

קרא עוד

Microsoft Word - SDAROT 806 PITRONOT.doc

Microsoft Word - SDAROT 806 PITRONOT.doc 5 יח"ל - תרגילים הכנה לבגרות תרגיל 8 נסמן ב- את האיבר הראשון ונסמן ב- את מנת הסדרה. על פי הנתון מתקיים: 6 ( S6 89 89 0 5 0 5 S0 S5 ( 0 5 0 t t 0 6 (. לפיכך, 89 5 נסמן t ונקבל: 5 t או או או 5 t נפסול את

קרא עוד

א"ודח ב2 גרבימ הרש 1 רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא 13 בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא L יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע (x(t)

אודח ב2 גרבימ הרש 1 רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא 13 בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא L יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע (x(t) א"ודח ב גרבימ הרש רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע ttt t r רשאכ ttt :עטקב תופיצר תורזגנ תולעב [ab]. יהי F תופיצר תורזגנ

קרא עוד

Microsoft Word - ExamA_Final_Solution.docx

Microsoft Word - ExamA_Final_Solution.docx סמסטר חורף תשע"א 18 בפבואר 011 הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצה: מתרגלים: רן אל-יניב נועה אלגרבלי, גיא חפץ, נטליה זילברשטיין, דודו ינאי (אחראי) סמסטר חורף תשע" מבחן סופי פתרון (מועד

קרא עוד

rizufim answers

rizufim answers ÌÈÙÂˆÈ מדריך למורה פעילות זו היא פעילות חקר לבדיקת כל אפשרויות הריצוף שבהן סידור מצולעים סביב קודקוד הוא זהה. המצולעים שבהם ישתמשו התלמידים הם: משולש שווה צלעות, משושה משוכלל וריבוע - כולם בעלי צלע באותו

קרא עוד

מבנים בדידים וקומבינטוריקה סמסטר אביב תשע"ט מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s, הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול(, קיים

מבנים בדידים וקומבינטוריקה סמסטר אביב תשעט מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s, הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול(, קיים מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול( קיים תת-גרף שלם K s שצבוע בכחול או שקיים תת-גרף שלם K t שצבוע באדום. הגדרה שקולה: עבור גרף עם לפחות (t

קרא עוד

פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד

פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה 2-7012610-3 תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד ב' שם המרצה: ערן עמרי, ענת פסקין-צ'רניאבסקי חומר עזר:

קרא עוד

<4D F736F F D20EEE4F4EA20EEE0E420F9ECE5F9E9ED20E5F9E1F22E646F63>

<4D F736F F D20EEE4F4EA20EEE0E420F9ECE5F9E9ED20E5F9E1F22E646F63> 1 ----- ואלה עיקריו של המהפך במתמטיקה - 1 הוא המספר האי רציונלי היחידי, וכל שאר המספרים הם רציונליים. בפיסיקה - מסלולי התנועה הטבעיים של כוכבים, הם מסלולים בורגיים. בגיאומטריה - פאי משתנה ואינו קבוע. המהפך

קרא עוד

פתרונות מלאים לשלב א' אולימפיאדה ארצית במתמטיקה חטיבה כיתות ז' 1. נתונה המשוואה השגויה הבאה: הזיזו גפרור אחד בלבד כדי שהמשוואה תהיה נכונה. פתרון לחידו

פתרונות מלאים לשלב א' אולימפיאדה ארצית במתמטיקה חטיבה כיתות ז' 1. נתונה המשוואה השגויה הבאה: הזיזו גפרור אחד בלבד כדי שהמשוואה תהיה נכונה. פתרון לחידו פתרונות מלאים לשלב א' אולימפיאדה ארצית במתמטיקה חטיבה כיתות ז'. נתונה המשוואה השגויה הבאה: הזיזו גפרור אחד בלבד כדי שהמשוואה תהיה נכונה. לחידות גפרורים יש לעיתים פתרונות רבים. אנו הצענו במחוון אחד: ישנו

קרא עוד

תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L

תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L, K סימני יחס חד מקומיים,R לכל אחד מהביטויים הבאים,

קרא עוד

הטכניון מכון טכנולוגי לישראל אלגוריתמים 1 )443432( סמסטר חורף הפקולטה למדעי המחשב תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגור

הטכניון מכון טכנולוגי לישראל אלגוריתמים 1 )443432( סמסטר חורף הפקולטה למדעי המחשב תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגור תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגוריתמים לפתרון בעית מסלולים קלים מציאת מסלולים קלים ביותר מצומת ביותר ממקור יחיד. כלומר, V לכל צמתי הגרף. בעיה אחרת הקשורה לבעיה זו היא בעית ה-(

קרא עוד

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות)

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות) - עבודת קיץ לתלמידי כיתה ט' העולים לכיתה י )רמה יחידות( את העבודה יש להגיש למורה למתמטיקה תחילת שנה הבאה. בשבועיים הראשונים של שנת הלימודים יתקיים מבחן לפי העבודה. לעבודה חלקים:. תרגול בסיסי לכל תלמידי

קרא עוד

אי שוויונים ממעלה ראשונה לארבע יחידות

אי שוויונים ממעלה ראשונה לארבע יחידות אי שיוונים ממעלה ראשונה ל יח"ל. נעמי ברנס/כהן. המחברות: מיטל מתלון/מיכאלי. רטל חדד/בן רחמים הנחיות לשימוש בחוברת "אי שויונים ממעלה ראשונה" לתלמידי יח"ל החוברת מיועדת ללימוד עצמאי למי שלא למד את הנושא.

קרא עוד

מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: סמסטר: א תשע"ח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מו

מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: סמסטר: א תשעח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מו מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: 26.01.2018 2 סמסטר: א תשע"ח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מורכבת מ- 6 שאלות. כל שאלה מזכה ב- 20 נקודות כך הנקודות

קרא עוד

במתמטיקה בגרויות + פתרונות וידאו מלאים (3 יח ל שאלון 182/183) וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL פתרונות הבחינות הראשונות במתנה! שתי אפליק

במתמטיקה בגרויות + פתרונות וידאו מלאים (3 יח ל שאלון 182/183) וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL פתרונות הבחינות הראשונות במתנה! שתי אפליק במתמטיקה בגרויות + פתרונות וידאו מלאים ( יח ל שאלון 8/8) וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MYGEVACOIL פתרונות הבחינות הראשונות במתנה! שתי אפליקציית MYGEVA חדש! אותי מאחור חפשו לשנת 08-09 עדכני הקדמה מורים

קרא עוד

סדרה חשבונית והנדסית

סדרה חשבונית והנדסית .2 סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות n = 5 טבעי על-ידי כלל הנסיגה: + = an + 3. סדרה מוגדרת לכל n רשמו את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה. הסבירו מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית עולה. מצאו את האיבר ה- 57 בסדרה.

קרא עוד

תרגיל 5-1

תרגיל 5-1 תרגיל 1 יחסי העדפה, פונקציות תועלת, עקומות אדישות וקווי תקציב כל השאלות להלן מתייחסות לצרכן שהעדפותיו מוגדרות על סלי צריכה של שני מוצרים. העדפות אלה הן רציונאליות (ז"א, מקיימות את תכונות השלמות והטרנזיטיביות).

קרא עוד

<4D F736F F D20F4FAF8E5EF20EEE5F2E320E020F1EEF1E8F820E120FAF9F2E3>

<4D F736F F D20F4FAF8E5EF20EEE5F2E320E020F1EEF1E8F820E120FAF9F2E3> האקדמית תל אביב-יפו מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות מועד א' סמסטר ב' תשע"ד הפתרון לא נכתב על ידי גורם רשמי ובהחלט יכול להיות שנפלו טעויות פה ושם עשיתי כמיטב יכולתי אבל תשימו לב ותפעילו שיקול דעת אשמח לשמוע

קרא עוד

1 מבחן משווה בפיסיקה כיתה ז' משך המבחן 90 דקות מבנה השאלון : שאלון זה כולל 4 שאלות עליך לענות על כולן.כתוב את הפתרונות המפורטים בדפים נפרדים וצרף אותם

1 מבחן משווה בפיסיקה כיתה ז' משך המבחן 90 דקות מבנה השאלון : שאלון זה כולל 4 שאלות עליך לענות על כולן.כתוב את הפתרונות המפורטים בדפים נפרדים וצרף אותם 1 מבחן משווה בפיסיקה כיתה ז' משך המבחן 90 דקות מבנה השאלון : שאלון זה כולל 4 שאלות עליך לענות על כולן.כתוב את הפתרונות המפורטים בדפים נפרדים וצרף אותם בהגשה לטופס המבחן. חומרי עזר: 1.מחשבון. נספח הנוסחאות

קרא עוד

שם כיף עם ג'ף מאגר פעילויות חלק א' חוברת של פעילויות מתמטיות: העשרה, העמקה, משחקים ואתגרים כיתה

שם כיף עם ג'ף מאגר פעילויות חלק א' חוברת של פעילויות מתמטיות: העשרה, העמקה, משחקים ואתגרים   כיתה שם כיף עם ג'ף מאגר פעילויות חלק א' חוברת של פעילויות מתמטיות: העשרה, העמקה, משחקים ואתגרים www.kefwithjeff.org כיתה Happy New Year 8 0 80 80 0 8 8 8 8 8 08 8 0 0 בכל שורה ובכל טור יש את המספרים עד כולל.

קרא עוד

Microsoft Word - אלגברה מעורב 2.doc

Microsoft Word - אלגברה מעורב 2.doc תרגול אלגברה? ( ), (6 ) 6 9 נתון:. מהו ערכו של. () () () (). למה שווה? a ai. נתון: a + 9 + 6a () () 7 () () אף תשובה אינה נכונה?. ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( ) () () () (). נתון: + 0 z z z iz

קרא עוד

תכנון אלגוריתמים עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 02: , בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 003 מתרגל אחראי: אורי 0

תכנון אלגוריתמים עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 02: , בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 003 מתרגל אחראי: אורי 0 22 עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 2: 622, בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 3 מתרגל אחראי: אורי הוראות כלליות: כל עוד לא נאמר אחרת, כאשר הנכם מתבקשים לתאר אלגוריתם יש לספק את הבאות: תיאור

קרא עוד

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation מה הם הגורמים שקובעים את רמת הפעילות הכלכלית, שער הריבית, רמת המחירים ורמת התעסוקה? הפעילות המשותפת במספר שווקים: פעילות ריאלית שוק הסחורות: CIGX-M עקומת IS (r,) שיווי משק ל פעילות מונטרית שוק הכספים:

קרא עוד

תשובות 1. משתנה וביטוי אלגברי 1 א פרצוף שמח, פרצוף עצוב וכו'... ב פרצוף שמח. ג - 8 עצוב, - 15 שמח. ד שמח, עצוב. עמ' 2 2 א תכלת. ב 5. ג אי-

תשובות 1. משתנה וביטוי אלגברי 1 א פרצוף שמח, פרצוף עצוב וכו'... ב פרצוף שמח. ג - 8 עצוב, - 15 שמח. ד שמח, עצוב. עמ' 2 2 א תכלת. ב 5. ג אי- 1. משתנה וביטוי אלגברי 1 א פרצוף שמח, פרצוף עצוב וכו'... ב פרצוף שמח. ג - 8 עצוב, - 15 שמח. ד - 567 שמח, - 784 עצוב. עמ' 2 2 א תכלת. ב 5. ג אי-זוגיים. ד זוגיים. ה 10, כתום. א 9. 4, 1, ב מספר המבנה בריבוע.

קרא עוד

פיסיקה 1 ב' מרצים: גולן בל, משה שכטר, מיכאל גדלין מועד ב משך המבחן 3 שעות חומר עזר: דף נוסחאות מצורף, מחשבון אסור בהצלחה! חלק א'

פיסיקה 1 ב' מרצים: גולן בל, משה שכטר, מיכאל גדלין מועד ב משך המבחן 3 שעות חומר עזר: דף נוסחאות מצורף, מחשבון אסור בהצלחה! חלק א' פיסיקה 1 ב' 203-1-1391 מרצים: גולן בל, משה שכטר, מיכאל גדלין מועד ב 03.08.2017 משך המבחן 3 שעות חומר עזר: דף נוסחאות מצורף, מחשבון אסור בהצלחה! חלק א' - שאלות אמריקאיות (כל שאלה - 5 נק') - יש לסמן תשובה

קרא עוד

Microsoft Word פרק 16 - פתרון משוואות רמה א

Microsoft Word פרק 16 - פתרון משוואות רמה א 0.0. דף עבודה פתרון משוואות ושאלות מילוליות נתונות שתי משוואות שקולות. 8 60 הסבירו מדוע המשוואות שקולות. 6) 4( שקולה למשוואות אלו? האם המשוואה 8 מצאו שתי משוואות נוספות השקולות למשוואות בסעיף. () משוואות.

קרא עוד

Algorithms Tirgul 1

Algorithms Tirgul 1 - מעגלי אוילר ומסלולי אוילר תרגול 1 חידה: האם אפשר לצייר את הציורים הבאים בלי להרים את העיפרון מהנייר? 1 קצת אדמיניסטרציה אופיר פרידלר ophir.friedler@gmail.com אילן כהן - ilanrcohen@gmail.com שעות קבלה

קרא עוד

שיעור 1

שיעור 1 שיעור קצב גדילת פונקציות אנחנו בודקים את היעילות האסימפטותית של האלגוריתם, כיצד גדל זמן הריצה כאשר גודל הקלט גדל ללא גבול. בדר"כ אלגוריתמים עם "סיבוכיות" ריצה טובה יותר יהיו יעילים יותר מלבד לקלטים קצרים

קרא עוד

סיכום אינפי 2 28 ביולי 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה ב

סיכום אינפי 2 28 ביולי 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה ב סיכום אינפי 2 28 ביולי 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך..אינני לוקחת אחריות על מה שכתוב מטה. השימוש

קרא עוד

תוצאות סופיות מבחן אלק' פיקוד ובקרה קיץ 2014

תוצאות סופיות מבחן  אלק' פיקוד ובקרה קיץ  2014 תוצאות סופיות למערכות אלק' פיקוד ובקרה להנדסאים וטכנאים מועד קיץ תשע"ד 7/2014 פותר המבחן: מתי דוד למרות מאמצי לפתור נכון, יתכן ונפלו טעויות בפתרון, אשמח לקבל הערותיכם בדוא"ל : @hotmail.com ההצלחה שלי היא

קרא עוד

משוואות דפרנציאליות רגילות /ח

משוואות דפרנציאליות רגילות /ח qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty Version 10 uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq משוואות דפרנציאליות רגילות /ח wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

קרא עוד

חלק א' – הקדמה

חלק א' – הקדמה ספרות עזר: סירס-זימנסקי/פיסיקה תיכונית, קול וחום, פרקים ו- ; 3 חשמל ומגנטיות א', 5.8 Resnick & Halliday /Physics, part I,.4 Sears & Zemansky /Univesity Physics, 15.1, 16.6, 17.10, 8.8-8.9.1..3 מבוא מצבי

קרא עוד

<4D F736F F D20F4E9E6E9F7E420FAF8E2E5ED20ECF2E1F8E9FA20E4E2E4E420F1E5F4E9FA20496C616E2E646F63>

<4D F736F F D20F4E9E6E9F7E420FAF8E2E5ED20ECF2E1F8E9FA20E4E2E4E420F1E5F4E9FA20496C616E2E646F63> מתקף ותנע מבוא תרשים 1 כשמפעילים מתקף על גוף כלשהו, התנע שלו משתנה. שינוי התנע שווה למתקף, שהוא השטח מתחת לגרף הכוח כתלות בזמן: Δp = F dt 51 m v m v1 = dt 2 F כאשר F הוא הכוח המופעל על הגוף, p הוא השינוי

קרא עוד

צירים סמויים - דגם סוס SOSS צירים 4 CS55555 CS5552 CS5554 CS55505 מק"ט דגם 34.93mm 28.58mm 25.40mm 19.05mm מידה A 26.99mm 22.23mm 18.2

צירים סמויים - דגם סוס SOSS צירים 4 CS55555 CS5552 CS5554 CS55505 מקט דגם 34.93mm 28.58mm 25.40mm 19.05mm מידה A 26.99mm 22.23mm 18.2 סמויים - דגם סוס SOSS CS55555 CS555 CS555 CS55505 0 18 16 1 דגם.9mm 8.58mm 5.0mm 19.05mm מידה A 6.99mm.mm 18.6mm 1.9mm מידה B 19.70mm 17.8mm 117.8mm 95.5mm מידה C 1.70mm 9.5mm 5.56mm.97mm מידה D 7.1mm

קרא עוד

מומנט התמדה

מומנט התמדה מומנט התמדה מילות מפתח: גוף קשיח, מומנט התמד,)nertia( מומנט כוח,)Torque( מטוטלת פיסיקלית, מטוטלת פיתול הציוד הדרוש:, דיסקת אלומיניום תלויה על תייל, גלילים פליז תלויים על תייל, - גלילי פליז עם הברגה, משקלות

קרא עוד

עיצוב אוניברסלי

עיצוב אוניברסלי איך לסמן חניות נכים תוכן עניינים החוק כמויות חניות לסימון סימון ותמרור חניות נכים רישום חניות נכים ברשות תמונות שרטוטים חוק חניה לנכים חוק חניה לנכים, התשנ"ד 1993 החוק מגדיר: מי זכאי לתו חניית נכים היכן

קרא עוד