08-78-(2004)

תמליל

1

2 שאלון 00 מיקוד במתמטיקה מהדורת חורף תשס"ט 009 כתיבה: זיקרי אלברט, שמש שלמה - shemesh4@walla.co.il צוות עריכה מקצועית: ריטרבנד אוהד, נאות רז, מן מנחם, דוד ניר, ארביב עמוס, שטולבך אירית, שניידר איתן, כהן רוני, פלד אולגה, גולברג קארין, אברג'יל עמי, שמש דקל, סובקו אורית, כהן גת, חדד רועי, כוכבי דניאל, מליאנקר נירית, נאור יוסי צוות עריכה והפקה: זיקרי אלברט, ליסוגורסקי מיכאל, פרחיה יבגני, זיקרי עינב עיצוב עטיפה: פירמה אלברט זיקרי ושלמה שמש, מהמורים הידועים והמובילים למתמטיקה בישראל, מנהלים את תחום המתמטיקה בחברת לחמן ומגישים אלפי תלמידים לבחינות מדי שנה, בהצלחה מרובה. השניים בעלי תארי מהנדס,.B.S.C כותבים מגוון ספרי לימוד ותרגול במתמטיקה ובראשם סדרת התרגול "אוסף תרגילים ממוינים ע"פ נושאים" הידועה והמבוקשת. הניסיון הרב של השניים מוביל את קו האיכות של ספרי המיקוד של לחמן במתמטיקה, אשר ידועים בקרב מורים ותלמידים בישראל כספרים המנבאים ומכינים באופן מקסימלי את התלמידים לבחינות. הוצאת לחמן מודה על רשות השימוש שניתנה לקטעים המופיעים בחוברת זו. הערה: נעשה מאמץ מיוחד לאתר את כל בעלי הזכויות, לפעמים ללא הצלחה. אנו מתנצלים על השמטה או טעות. אם יובא הדבר לידיעתנו, נפעל לתקנו כל הזכויות בשפה העברית שמורות, 008 לחמן הכנה לבחינות בע"מ אין לשכפל, להעתיק, לצלם, להקליט, לתרגם, לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, אופטי או מכני או אחר, כל חלק שהוא מהחומר שבספר זה. שימוש מסחרי מכל סוג בחומר הכלול בספר זה אסור בהחלט, אלא ברשות מפורשת בכתב מהמו"ל. נדפס בישראל 008

3 מוקדש באהבה גדולה לכל תלמידי לחמן ובתי הספר בדרום, שמחים לחלוק אתכם את הידע הנדרש על מנת להצליח בבחינות הקרובות! בהצלחה! לחמן מאמנים אותך להצלחה! שימו לב במסגרת שיתוף פעולה עם הטלויזיה החינוכית הישראלית, הפיקה חברת לחמן סדרת שיעורים מצולמים ללימוד איכותי ומהנה לבחינת מתמטיקה יח"ל. לצפיה חינם בסדרת תכניות "מורה פרטי", היכנסו ללינק שיעור פרטי במתמטיקה במיוחד לתושבי קו העימות, שבדף הבית באתר לחמן. תהנו!

4 ÍÏ È º ÍÓˆÚÏ ÍÒÂÁ È Ë ÌÈ ÂÓÈÏ ÓÂÁ Æ Â Á Ú ÎÁ Ì ÚÈ Ï Í Ëˆ ÔÓÊ ÌÈˆÓ Ó ÂÈ ÌÈÁÈÏˆÓ ÔÓÁÏ ÔÂÎÈ È ÈÓÏ º ÂÈ ÌÈÁÈÏˆÓ ÔÓÁÏ ÔÂÎÈ È ÈÓÏ ÈÎ ÌÈÁÈÎÂÓ ÌÈ ÁÓ ÆÌÈappleÁ apple Ó ÈÓ Â Ú º ÆÈ ËÓÂÎÈÒÙ ÔÂȈ ÌÈ ÈÈÁ  ÚÏ Ì È Ï ÌÈÏ Â ÌÈ ÈÓÏ È ËÓÂÎÈÒÙÏ appleî Ò Â ÍÏ ÚÈˆÓ ÔÓÁÏ ı ÂÈ ÈÚˆ Ó Â ÛÈ Ó ÂÈ ÌÈÒÂappleÓ ÌÈÎÈ Ó º ÂÈ ÌÈappleÎ ÂÚÓ ÂÓÈÏ È ÓÂÁ º ÌÈËÒÈappleÂÎÈ Ï ÁÂÈÓ Ì ÂÓ º Ëapple ËappleÈ Ï º ÔÂÎÈ Íψ ÌÈÈ Ó º Ì Ù ÂÈapple Ó ÏÁ ÂËÙß ÒÓ ÂÈ ÂappleÈÙ Ï È Â Ï ÌÂÈ Ï Ï ËÈÏÁ ÂÈ ÂappleÈÙ ÆÌÈ ËÓ μ Á  ÌÈ ËÓ ± Î Â Î Â Ï Â Â ÙÁ ÔÎÏÂ Ê ÂÚ ËÓ ÏÁ ÏÂ Ï Èapple Ó Á ßÓ Æμ Á Ó ÏÁ Ï Á Ï øâè ÂappleÈÙ ÙÁ   ÓÎ Æ Á ÏÂ Í Â Ï Æ ± Æ Æ ± Ʊ ÂÚ ÈˆÂ Ï È Î ÏÎ ÂÚ ÂÎÊ Â Á Ï appleèèâˆó  μ Ì ËÈÒ ÈappleÂ Ï Ï È apple appleèá ÔÂȈ μ   ÂÚ Æ È ËÓÂÎÈÒÙ ÍÏ ÂÎÁÏ È ËÓÂÎÈÒÙÏ Ô È Ï Â Ï ÏΠÔÂÎÈ Â Â Á appleèù ÆÍÈappleÙÏ ÂÁÂ Ù Ò Â ÔÂÎÈ ÈÓÏ Î ÙÒ È ÍÏ ÚˆÂÓ ÁÂÈÓ ÈÁÓ

5 שאלון 00 סוף מעשה במחשבה תחילה תכנון יעיל ואפקטיבי מביא תוצאות טובות. התכוננות לבחינה מחייבת ארגון תכנית עבודה, בה יש לקחת בחשבון מספר גורמים:. נתונים אישיים: בדקו עצמכם, האם אתם טיפוסי יום או טיפוסי לילה - מתי אתם יעילים יותר? האם בלילה עד מאוחר, או בשעות הבוקר המוקדמות. בכל אופן, יש להקפיד על ארוחות מסודרות ולא לוותר על מינימום של שעות שינה.. לבד או עם חברים? כיצד אתם לומדים טוב יותר? לבד, באופן עצמאי, כי עם חברים מפטפטים ומבזבזים זמן, או בקבוצת לימוד, כי בקבוצה יש אפשרות לשאול אחד את השני ולהסביר אחד לשני, וכך להבין טוב יותר את החומר. יתכן שילוב בין השניים: # לימוד עצמי ראשוני - להכרה ושינון החומר. # לימוד בקבוצה - לחזרה אחרונה ולחיזוק נקודות חלשות.. חלוקת הזמן ליחידות לימוד והפסקות: בדקו מניסיונכם בעבר, כמה זמן אתם מסוגלים ללמוד ולהיות מרוכזים ללא הפסקה. למשל, 50 דקות לימוד ו 0 5 דקות הפסקה. 4. הפסקות ושיטות התרגעות: # יש תלמידים שפעילות גופנית במשך מספר דקות ממריצה להם את הדם ועושה אותם יותר עירניים. # יש אחרים שאכילה, שתייה או תנומה קצרה מאפשרים להם לחזור ללימוד אפקטיבי. באופן כללי חשוב לזכור: הפסקות הן מרכיב חשוב מאוד בתהליך הלימוד. עם זאת, הפסקות ארוכות מדי מוציאות מן הריכוז. 5. שיטות לימוד: רצוי מאד ללמוד בשיטות מגוונות כדי לשמור על הערנות. בפעם הראשונה יש לקרוא את החומר ולסמן קטעים חשובים במרקר. לאחר מכן כדאי לכתוב נקודות חשובות והערות לוואי. בפעם השלישית כדאי לקרוא רק את הקטעים המסומנים או את הנקודות שכתבתם. כדאי לציין פרקים ונושאים לא ברורים ולחזור אליהם בלימוד משותף עם חברים. 6. חומר הלימודים: לקראת כל בחינה גדולה כדאי להגדיר לעצמכם פרקים ונושאים קלים ונושאים קשים ומסובכים יותר. מחקרים הוכיחו שזוכרים יותר את מה שלומדים בתחילת הלימוד ובסופו, וזוכרים פחות את מה שבאמצע הלימוד. על כן כדאי להתמקד באמצע תהליך הלימוד דווקא בפרקים הקלים לנו יותר, אלו שאנו שולטים בהם באופן יחסי. בחומר הקשה כדאי להתמקד בתחילת הלימוד לקראת הבחינה ובסופו.

6 7. אילוצי זמן: מאחר ואנו מוגבלים בזמן העומד לרשותנו ללימוד לקראת הבחינה, רצוי מאד שנתכנן מראש חלוקה יעילה ואפקטיבית של הזמן כדי שנספיק לעבור על כל החומר. ניתן לעשות זאת באמצעות:. חלוקת החומר כולו לנושאי משנה.. קביעת סדר הלימוד מראש.. החלטה מראש כמה זמן יוקדש לכל פרק )ימים, שעות(. 4. תכנון מוקפד של סדר היום: ארוחות, שינה, שעות לימוד עצמי, שעות לימוד בקבוצה. חשוב לזכור: יש להחליט החלטה עקרונית, מה עושים במקרה שלא מספיקים לסיים ללמוד פרק ביחידת הזמן שהקצבתם. האם להמשיך וללמוד פרק זה על חשבון הזמן של הפרק הבא, או להיצמד לתוכנית ולהבטיח חזרה מסודרת ושיטתית על כל הפרקים והחלקים של החומר. 8. קשיים ואילוצים אובייקטיביים חיצוניים: בנוסף לנתונים האישיים ולקשיים של חומר הלימודים, אנו נתקלים גם בקשיים חיצוניים, כמו עבודה, אחריות למשפחה וכו. קשיים אלה עלולים להקשות ולהפריע בביצוע תכנית ההכנה למבחן המתוכננת מראש. גם כשנוצר קושי חיצוני, אסור לבטל את התכנית כולה. יש לערוך התאמה מחדש לאור האילוצים החדשים ולקבוע מחדש סדרי עדיפויות ותכנית פעולה מסודרת. 9. לחץ התרגשות והרפיה: אחד החששות המלווים כל נבחן הוא הפחד שמא כל מה שלמד יישכח וייעלם מהזיכרון בזמן המבחן ) בלק אאוט (. כיצד אפשר להפחית את הסיכוי להגיע למצב של שכחה בזמן המבחן?. ללימוד מתוכנן, שיטתי ורגוע, כפי שהוצע בסעיפים הקודמים, יש השפעה על ההרגשה הטובה והבטוחה בבחינה.. רצוי לא ללמוד בערב האחרון לפני הבחינה כדי להגיע למבחן רגוע ושלו.. כדאי לרשום על פתק מספר נוסחאות, או משפטים חשובים, שאותם אתם מכירים היט במבחן, כש הכל נעלם מהזיכרון, הזכירו לעצמכם משפטים אלה, וכך בדרך אסוציאטיבית החומר יחזור לזיכרונכם. הערה לסיום: חשוב מאד לזכור - המבחן שלקראתו אתם מתכוננים, הוא חשוב מאד. אבל תמיד יש אחרי המבחן : חשבו על מה שתעשו אחרי המבחן וקחו הכל בפרופורציה נכונה. זה לא סוף העולם. זכרו שרבים עשו את המבחן לפניכם ונשארו בחיים. ועכשיו, אחרי כל המלים הגדולות הגיע הזמן לפתוח את הספרים ואת המחברות ולהתחיל ללמוד. ב ה צ ל ח ה!!!

7 שאלון 00 הוראות מיוחדות לנבחן. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי. אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות. שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לפסול את הבחינה. דפי נוסחאות מצורפים.. יש לרשום את הבחינה בעט בלבד. רישום הבחינה בעיפרון או שימוש בנוזל מחיק יגרום לאי מתן ערעור לאחר הבחינה.. אל תעתיק את השאלה, סמן את מספרה בלבד. 4. התחל כל שאלה בעמוד חדש. רשום במחברת את שלבי הפתרון, גם כאשר החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון. 5. הסבר את כל פעולותיך, כולל חישובים, בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת. חוסר פירוט עלול לגרום לפסילת הבחינה או לפגיעה בציון. 6. כטיוטה יש להשתמש רק במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים. שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה. היכנסו לאתר של : # עדכונים חמים # מבחני סימולציה מסכמים יעלו באתר 4 ימים לפני בחינת הבגרות!

8

9 תוכן עניינים עמוד 4 בעיות מילוליות - מלבן עמוד 9 תיבה בעיות מילוליות עמוד גאומטריה אנליטית - ישרים עמוד 0 גאומטריה אנליטית - מעגל חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי עמוד 5 חשבון דיפרנציאלי עמוד 86 חשבון אינטגרלי פונקציה קדומה עמוד 99 חשבון אינטגרלי שטחים עמוד 9 בעיות מילוליות של ערך קיצון עמוד 8 מבחנים דפי נוסחאות

10

11 ש שאלון 00 הבחינה במתמטיקה 00 שאלון (' משך הבחינה: שעה ושלושה רבעים ) 4 משך הזמן והניקוד מפורטים בטבלה שלהלן: בחינה זמן התחלה משך זמן סיום סמל ניקוד ניקוד משוקלל -4% י"ח 4 - % י"ח :45 4 ש' :00 00 מבנה הבחינה : בשאלון זה אין צבירה. חלק א': אלגברה - בעיות מילוליות, גיאומטריה אנליטית. חלק ב' : חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. הנבחנים בשאלון זה יהיו רשאים לבחור שלוש שאלות מתוך חמש ללא הגבלה בנושאים. המבנה המשוער של השאלון: (שאלות 5-) אלגברה בעיות מילוליות גיאומטריה אנליטית חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי חקירת פונקציות אינטגרל בעיות קיצון שאלון 00 שאלון משותף לתלמידי לתלמידי לתלמידי 4 י"ח ולתלמידי י"ח: יחידות לימוד, שאלון 00 הוא אחרון (00,00,00). 4 יחידות לימוד, שאלון 00 הוא ראשון (00,004,005).

12 מיקוד חורף תשס"ט 009 רשימת הנושאים של שאלון שאלון משותף לרמות שלוש וארבע יחידות לימוד מיקוד קיץ תשס"ט 009 בעיות מילוליות: שאלון 00 בעיות תנועה, בעיות קנייה ומכירה (כולל התייקרויות והוזלות עוקבות באחוזים). בעיות גיאומטריות: שטחים והיקפים של צורות המורכבות ממלבנים, משולשים וחלקי מעגל (מעגל, חצי מעגל, או רבע מעגל), נפח ושטח פנים של תיבה וגליל. נפח של מנסרה משולשת. בכל הנושאים תהיינה שאלות עם אחוזים, ובגיאומטריה יידרש משפט פיתגורס. גיאומטריה אנליטית: מרחק בין נקודות (אורך קטע), אמצע קטע. ישרים: משוואת ישר על פי שתי נקודות ועל פי שיפוע ונקודה, הקבלה, חיתוך וניצבות. מעגל: משוואה קנונית ומשוואת מעגל כללי שני מעגלים, משיק למעגל בנקודה שעל המעגל (כתנאי ניצבות). התנהגות פונקציות:,( a) + ( b) =R חיתוך של מעגל וישר, חיתוך של תחום הגדרה, חיתוך עם הצירים, חיוביות ושליליות. התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרה. אסימפטוטה מקבילה לציר, התנהגות פונקציות מהצורה a n + b תידרש אסימפטוטה מקבילה לציר במקרים אחרים). הקשר בין הגרף של f() לבין הגרף של, כולל קיום אסימפטוטה מקבילה לציר (לא f () כאשר f() היא פונקציה מהמעלה ראשונה או שנייה. הערה: שאלה בהתנהגות פונקציות עשויה להופיע כשאלה נפרדת בפרק החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי או בשילוב עם שאלה בחשבון דיפרנציאלי. חשבון דיפרנציאלי: מושגי יסוד: משיק בנקודה, שיפוע של גרף בנקודה, הפונקציה הנגזרת. מושג אינטואיטיבי של גבול. הנגזרת של (k k שלם או 0). נגזרת של פולינום (כולל (cf())',((f() ± g())', נגזרת של הפונקציות:, (כולל k + b, f (), f () k, a טבעי k שונה מ ). נגזרת של סכום, הפרש, ומכפלה של כל אחת מהפונקציות הנזכרות. נגזרת של פונקציה מורכבת (שלב אחד של כלל השרשרת). שימושי הנגזרת: משוואת משיק חקירת פונקציות: תחום הגדרה, נקודות קיצון, תחומי עלייה ירידה, חיתוך עם הצירים,....4

13 שאלון 00 התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרה (אסימפטוטה מקבילה לציר ), שרטוט סקיצה של גרף של פונקציה. אסימפטוטה מקבילה לציר רק לפונקציות מהצורה טבעי, k, a k + b f () b ממשי, ולפונקציות כאשר f() היא פונקציה מהמעלה ראשונה או שנייה. ג. בעיות ערך קיצון (כולל קיצון בקצות קטע סגור). הערה: לא יידרש פתרון של אי-שוויון ריבועי לצרכי חישוב תחום ההגדרה. חשבון אינטגרלי: פונקציה קדימה, קבוע האינטגרציה, מציאת פונקציה לפי נגזרת ונקודה על הפונקציה. אינטגרל של פונקציה מורכבת כשהפנימית ליניארית, אימות אינטגרלים על ידי גזירה. אינטגרל מסוים: חישוב אינטגרלים מסוימים, חישוב שטח בין גרף הפונקציה לציר ו/או לציר, שטח בין גרפים של שתי פונקציות ושטחים המורכבים משני חלקים (למשל חישוב של שטח בין שתי פונקציות נחתכות ובין ציר ה- )..5 n a n + האינטגרלים הנדרשים בשאלון 00 הם האינטגרלים של הפונקציות: פולינום, b, ( a + (b n c טבעי n, וסכומים או הפרשים שלהם. a + b ייתכן: b) ( a + הנושאים המודגשים ירדו במיקוד קיץ תשס"ט 009.

14 מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלה מספר : בעיות מילוליות מלבן נוסחאות וכללים a b שטח מלבן: S = a b אורך רוחב היקף מלבן: p = a + b דוגמה מספר : נתונים ריבוע ומלבן. צלע אחת של המלבן ארוכה ב- 0% מצלע הריבוע, והצלע השנייה של המלבן קצרה ב- 0% מצלע הריבוע. שטח המלבן הוא ס"מ. חשב את צלע הריבוע. פתרון: = = =.08 = = ± 8 8 = 9 = 9 = 9 נסמן: - אורך צלע הריבוע. צלע אחת של המלבן ארוכה ב- 0% מצלע הריבוע, ולכן אורכה: הצלע השנייה של המלבן קצרה ב- 0% מצלע הריבוע, ולכן אורכה: שטח המלבן = אורך רוח לכן המשוואה היא:.0% =..90% = 0.9 מכיוון שאורך צלע הריבוע הוא גודל חיובי, התשובה השלילית אינה מתאימה. אורך צלע הריבוע הוא 9 ס"מ. 4

15 שאלון 00 דוגמה מספר : הגדילו צלע של מלבן ב- 0% והקטינו את הצלע האחרת ב- 0%. התקבל מלבן חדש. איזה אחוז מהווה שטח המלבן החדש משטח המלבן המקורי? שטח המלבן החדש הוא 44 סמ"ר. מהו שטח המלבן המקורי? פתרון: נסמן את הצלעות ב- וב-. שטח המלבן המקורי:. s = s = S = צלע אחת במלבן החדש מהווה 0% מהצלע המקורית, והשנייה מהווה 80% מהצלע התואמת. שטח המלבן החדש: S =. 0.8 = 0.88 = 0.88S S = 0.88S S = 88%S שטח המלבן החדש מהווה 88% משטח המלבן המקורי. 44 = 0.88S 44 S = = נציב את שטח המלבן החדש במשוואה נתון: = 44 S : S = 0.88S שטח המלבן המקורי הוא 50 סמ"ר. 5

16 מיקוד חורף תשס"ט 009 דוגמה מספר : נתון ריבוע, שאורך צלעו ס"מ. בנו מלבן, שרוחבו קטן ב- 0 ס"מ מאורך צלע הריבוע ואורכו שווה לאורך צלע הריבוע. הבע את שטח המלבן באמצעות. שטח המלבן הוא פתרון: 5 משטח הריבוע הנתון. חשב את אורך צלע הריבוע אורך המלבן כאורך צלע הריבוע. רוחב המלבן קטן ב- 0 ס"מ מאורך צלע הריבוע - שטח המלבן = אורך רוחב=( 0 -.(. שטח המלבן הוא: 0 = 5 0 / = 5. שטח המלבן הוא שטח הריבוע הוא משטח הריבוע, ולכן המשוואה היא: 50 = 0 ניתן גם לפתור משוואה ריבועית שבה = 0 50,c a =,b = ( 50) = 0 הוא אורך צלע הריבוע, לכן אינו יכול להיות שווה 50 = 0 = 50 = 5 המכפלה שווה לאפס כאשר לאפס. לכן פתרון המשוואה הוא: אורך צלע הריבוע הוא 5 ס"מ..( - 50) או = 0 = 0 6

17 שאלון 00 דוגמה מספר 4: למלבן ולריבוע יש אותו היקף של 4 ס"מ. שטח המלבן קטן ב- סמ"ר משטח הריבוע. חשב את אורך צלע הריבוע. חשב את אורכי צלעות המלבן. פתרון: ( + ) = 4 / : =.5/ : a a 4a = 4 4 a = 4 a.5 נסמן: a אורך צלע הריבוע (ריבוע כל הצלעות שוות). היקף הריבוע = 4a. אורך צלע הריבוע הוא.5 ס"מ. נסמן: אורך המלבן. = רוחב המלבן. היקף המלבן = (אורך + רוחב), שטח המלבן = אורך רוח שטח הריבוע הוא: =.5.5. שטח המלבן קטן ב- סמ"ר משטח הריבוע ולכן שווה ל-.5 סמ"ר. נקבל את המשוואות: + = 7.5 = :.5 = נציב במשוואה הראשונה.5 + = 7 / = = 0 = 4.5 =.5,.5 = = = = ± ± 4 7 ± = = =.5 נציב את הפתרונות בביטוי = : אורכי צלעות המלבן הן.5 ס"מ ו- 4.5 ס"מ. 7

18 מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלות נוספות מרצפים ומגדרים חצר, שצורתה ריבוע. מחיר ריצוף למ"ר אחד הוא 50 שקלים, ומחיר מטר אחד גדר הוא 0 שקלים. המחיר הכולל של הריצוף והגידור הוא,840 שקלים. חשב את ממדי החצר (אורך צלע הריבוע).. תשובה: 8 מטר לריבוע ולמלבן יש אותו שטח. צלע אחת של המלבן קצרה ב- ס "מ מצלע הריבוע. הצלע השנייה של המלבן ארוכה ב- ס "מ מצלע הריבוע. חשב את אורך צלע הריבוע.. תשובה: ס 6 "מ 8

19 שאלון 00 שאלה מספר : בעיות מילוליות תיבה a b h b h + a h b h + a h + a b a b h תיבה שטח מעטפת: שטח פנים: נפח תיבה: נוסחאות וכללים דוגמה מספר : 4 ( + ) =, ( + ) =, 400 / : 4 + = = 0, הגובה של תיבה ריבועית גדול ב- ס "מ מצלע הבסיס שלה (ראה ציור). סכום שטחי 4 הפאות הצדדיות הוא,400 סמ"ר. חשב את צלע הבסיס. חשב את נפח התיבה. פתרון: נסמן את צלע הבסיס ב-. הגובה הוא +. נחשב את סכום שטחי הפאות הצדדיות: ± 4 ( 600) ± 49 = 4 = = = = 5 השורש השלילי אינו מתאים לתנאי הבעיה. אורך צלע הבסיס הוא 4 ס"מ. על-פי סעיף א', צלע הבסיס היא 4 ס"מ והגובה הוא 5 ס"מ. נציב במשוואת נפח תיבה: V = a b c = = 4,400 נפח התיבה הוא 4,400 סמ"ק. 9

20 מיקוד חורף תשס"ט 009 דוגמה מספר : גובהה של תיבה ריבועית הוא 0 ס"מ, ונפחה חשב את צלע הבסיס של התיבה. חשב את שטח הפנים של התיבה.,50 סמ"ק. V = 0 = 50 0 = 50 = 5 5 = 5 = 5 פתרון: נסמן את צלע הבסיס ב-, ונציב את הנתונים בנוסחת נפח תיבה: אורך צלע הבסיס של התיבה 5 ס"מ. נחשב את שטח הפנים של התיבה: שטח שני הבסיסים: = שטח ארבע הפאות: = שטח הפנים: =, שטח הפנים של התיבה הוא דוגמה מספר :,050 סמ"ר. בתיבה ריבועית הגובה גדול ב- 0% מצלע הבסיס. שטח הבסיס הוא,05 סמ"ר. חשב את נפח התיבה. = 05 = 45 = h = = = V = = פתרון: נסמן את צלע הבסיס ב-, ונציב בנוסחת שטח ריבוע: הגובה גדול ב- 0%: נציב את הגדלים בנוסחת נפח תיבה: נפח התיבה הוא 00,7.5 סמ"ק. 0

21 שאלון 00 שאלות נוספות. עומדים לסייד את הקירות ואת התקרה של אולם שצורתו תיבה. רצפת האולם היא ריבוע (ראו ציור). גובה האולם הוא 5.5 מטרים. מחיר הסיוד של התקרה הוא 4 שקלים למ"ר. מחיר הסיוד של קיר (פאה צדדית) הוא שקלים למ"ר. הצבּ ע ביקש עבור סיוד כל האולם סכום של 8 שקלים. חשבו את אורך האולם (הצלע של הריבוע). תשובה: אורך האולם - 4 מטרים בתיבה, צלע אחת של הבסיס קטנה ב- ס "מ מהצלע האחרת של הבסיס. גובה התיבה שווה לצלע הארוכה של הבסיס. שטח הפנים של התיבה הוא,0 סמ"ר. חשבו את ממדי התיבה.. תשובה: אורך ס"מ רוחב -.5 ס"מ גובה ס"מ B' A' C' D' אורך הגובה של תיבה הוא ס"מ. רוחב הבסיס הוא ס"מ, ואורך הבסיס. הוא 4 ס"מ (ראו ציור). חשבו את אורך אלכסון התיבה.BD' A D B 4 C תשובה: ס"מ = BD'

22 מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלה מספר : גאומטריה אנליטית ישרים נוסחאות וכללים m = = m( ) מערכת צירים שיפוע ישר דרך ) :(, ),(, משוואת ישר דרך ) :(, M M + = + = d = ( ) + ( ) נקודת אמצע M של קטע שקצותיו הם מקיימת: מקיים: B(, ), A(, ) המרחק d בין הנקודות ) B(, ), A(, = m + n הישרים, = m + n m m = ( a) + ( b) = r מאונכים זה לזה אם ורק אם: (שיפוע הופכי ונגדי) משוואת מעגל שמרכזו (b (,a ורדיוסו r: צריך לזכור: m = m ישרים מקבילים: שיפועים שווים משוואת ישר מפורשת: הכוונה לצורה = m + n (על-מנת למצוא שיפוע של קו ישר יש להקפיד לפרש את המשוואה. המקדם של הוא השיפוע במשוואה בה ה- מבודד). הנושאים המודגשים ירדו במיקוד קיץ תשס"ט 009.

23 שאלון 00 הוכחת צורות מישוריות נוסחאות וכללים A כאשר עליכם להוכיח שמרובע הוא: מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז. יש למצוא את שיפועי הצלעות ואת אלכסוני המרובע. יש לזכור את הכללים הבאים: B מקבילית: m AB = m DC m AD = m BC D C D A C B m AB = m DC m DB m AC = AB = BC = CD = DA m AD = m BC הופכי ונגדי מעוין: A D A B C B m AB = m DC m DC m BC = AC = DB m AB = m DC m DC m BC = m AD = m BC הופכי ונגדי m AD = m BC הופכי ונגדי מלבן: ריבוע: D A C B AC = DB AB = BC = CD = DA m m = AC DB D C m AB = m DC m AD m BC טרפז: A m AC C m CB A B כאשר עליכם להוכיח שמשולש הוא ישר-זווית: יש למצוא את כל שיפועי הצלעות. יש לזכור את הכלל הבא: הופכי ונגדי = BC m AC m B C d AC = d AB משולש שווה-שוקיים יש למצוא מרחקים שווים: הנושאים המודגשים ירדו במיקוד קיץ תשס"ט 009.

24 מיקוד חורף תשס"ט 009.D(7,-),C(8,6) דוגמה מספר : דוגמאות -5,דוגמאות בסיסיות למבוא קודקודי מרובע ABCD הם: (,0)A, (,7)B, מצא את המשוואות של הצלעות AB ו-.CD פתרון: הערה: אין צורך לסרטט על מערכת צירים אבל יש להקפיד שהאותיות תיהנה בכיוון השעון. נשרטט את הנקודות על מערכת צירים B(,7) C(8,6) A(,0) D(7,-) נמצא את משוואת הישר AB על-פי שתי הנקודות A ו- B. נציב אותן בנוסחה למציאת משוואת הישר על-פי שתי נקודות שעליו: (,0)A, (,7)B, = m( ) 7 0 m = = 7 m= 7 0 = 7( ) = באותו אופן נמצא את הישר CD על-פי הנקודות C ו- D: m = = = 7 = m( ) 6 = 7 ( 8) =

25 שאלון 00 דוגמה מספר קדקודי משולש ABC הם: (0,0)A, (8,)C. (,5)B, דרך הקודקוד B עובר ישר, המקביל לציר ה- Y וחותך את הצלע AC בנקודה E. מצא את משוואת הישר.AC מצא את שיעורי הנקודה E. ג. מצא את אורך הקטע BE ואת שטח המשולש.ABE פתרון: נמצא את משוואת הישר AC באמצעות הנוסחה למציאת ישר על-פי שתי נקודות הנמצאות עליו: על מנת להבין את השאלה במלואה נעלה את הנתונים על גרף: m = 0 m = = = ( 0) 4 = 4 E ג. נתון כי דרך נקודה B עובר מקביל לציר ה-, החותך את הצלע AC בנקודה E, ולכן שיעור ה- של נקודה E זהה לשיעור ה- של נקודה B ושווה ל-. כעת ניתן למצוא את שיעור ה- של נקודה E על-ידי הצבת = במשוואת הישר :AC שיעורי נקודה E הם = 4 = = 4. (, ) נחשב את אורך הקטע BE באמצעות שיעורי הנקודות B ו- E, הנמצאות על אותו ישר המקביל לציר ה- : שיעורי נקודה B הם (,5), שיעורי נקודה E הם (,0.5). כלומר, המרחק ביניהן הוא 4.5) 4.5 = 0.5.(5 על מנת למצוא את שטח המשולש ABE משולש קהה זווית כאשר הגובה לצלע BE יורד מקודקוד A לישר BE ואורכו. נחשב את שטח המשולש :ABE דוגמה מספר a h s = BE h 4.5 s = s = s = 4.5 5

26 מיקוד חורף תשס"ט 009 קודקודי מרובע ABCD הם: (4,)D (0,0)A (,)B,,(5,4)C, הראה שהמרובע הוא מקבילית. פתרון: נחשב את שיפועי הישר של צלעות המרובע בעזרת שיעורי הקודקודים ונראה כי שיפועי הצלעות AB ו-.BC ו- AD זהים, כלומר הישרים מקבילים, וכן לגבי הצלעות CD נחשב את שיפוע הישר AB בעזרת הנוסחה לחישוב שיפוע ישר על-פי שתי נקודות שעליו: 0 AB = = = 0 m 4 mcd = = = 4 5 נחשב את שיפוע הישר :CD m = m = AB CD AB CD m AD שיפוע הישר AB הוא = m ושיפוע הישר CD הוא = m שיפוע זהה ושווה ל-, כלומר שני הישרים מקבילים. באותו אופן נוכיח גם לגבי הצלעות AD ו-.BC נחשב את שיפוע הישר :AD 0 = = = m BC = = = mad = mbc = AD BC 4 נחשב את שיפוע הישר :BC במשוואת הישר AD ובמשוואת הישר BC השיפוע זהה ושווה ל-, כלומר - שני הישרים מקבילים. 4 ישרים AB ו- CD מקבילים זה לזה וישרים AD ו- BC מקבילים זה לזה, כלומר מרובע ABCD הוא מקבילית. 6

27 שאלון 00 דוגמה מספר 4 קודקודי המרובע ABCD הם: 6) (8, A.D (5, 4), C (, ), B (, 4), הוכח כי המרובע הוא טרפז. m m AB CD 4 6 = = 8 4 = = 5 4 mbc = = m AD 4 6 = = 5 8 פתרון: נוכיח כי המרובע הנ"ל הוא טרפז. נחשב את שיפועי הצלעות: הישרים AB ו- CD מקבילים זה לזה (בעלי אותו שיפוע). הישרים BC ו- AD אינם מקבילים זה לזה (שיפועים שונים). מרובע בעל זוג צלעות מקבילות וזוג צלעות לא מקבילות הוא טרפז, ולכן המרובע ABCD הוא טרפז. 7

28 מיקוד חורף תשס"ט 009 A BD דוגמה מספר 5 אחד הקודקודים במקבילית ABCD הוא: 5) B( 4,., = הצלע AD מונחת על הישר + 6 והאלכסון D C B(4,5) מקביל לציר ה- (ראו ציור). מצאו את שיעורי הקודקוד D. נתון גם כי שיפוע DC הוא. מצאו את משוואת הישר שעליו מונחת הצלע.AB פתרון: 5 = + 6 = = - m = m = AB DC שיעור ה- של הקודקודים B ו- D הוא זהה, מפני ששניהם נמצאים על ישר המקביל לציר ה-. נציב נתון זה במשוואת הישר שעליו מונחת צלע AD ונמצא את שיעור ה- של הקודקוד.( = 5) :D D(, 5) שיעורי הנקודה: נמצא את משוואת הישר שעליו מונחת צלע.AB שיפוע הצלע AB שווה לשיפוע הצלע (AB DC) :DC. ( ) = m נציב במשוואת הישר את השיפוע הנ"ל ואת שיעורי הנקודה D: 5 = ( ) ( 4) = + 9 8

29 שאלון 00 שאלות נוספות הנקודה B נמצאת על הישר = 7. מרחק הנקודה B מציר ה- מצא את שיעור ה- )A., (. תשובה:. B = 5. של הנקודה B. בציור שלפניך מסורטטים הגרפים של הפונקציות = + 5, = הקטעים AB ו- CD מאונכים לציר ה- ואורכם 8 יחידות. חשב את שיעור ה- של A ו- B ואת שיעור ה- של C ו- D. איזה מרובע הוא?ABCD נמק. שווה למרחקה מהנקודה תשובה:. CD =, AB = מקבילית. D C A B במקבילית ABCD נתון: הצלע AD מונחת על הישר הצלע DC מונחת על הישר = + 6 = + קודקוד C נמצא על ציר ה- (ראה ציור). מצא את שיעורי קודקוד C. מצא משוואת הישר שהצלע BC מונחת עליו. נתון גם כי האלכסון DB מקביל לציר ה-. מצא את השיעורים של נקודת מפגש האלכסונים במקבילית. ג. תשובה: ) C(0, ג. = + (,5) 9

30 מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלה מספר : גאומטריה אנליטית מעגל נוסחאות וכללים ( a) + ( b) = R משוואת מעגל שמרכזו b) (a, ורדיוסו :R על -מנת למצוא את משוואת המעגל, יש לחשב את המעגל R ואת נקודת מרכז.(a, b) R חישוב של - חישוב ריבוע המרחק בין מרכז המעגל ונקודה על היקף המעגל. מציאת (a, b) - המקרים הנפוצים הם: מציאת אמצע קטע כאשר נתון קוטר. כאשר מרכז המעגל נמצא על החיתוך של שני ישרים. כאשר מרכז המעגל נמצא על אחד הצירים. ג. 0

31 שאלון 00 דוגמה מספר :. ( 4) + ( + ) נתון מעגל שמשוואתו: = 00 האם הישר = חותך את המעגל הנתון? נמק. פתרון: ( ) ( ) = = = 0 נציב את = במשוואת המעגל:, ( ) 6 ± 56 6 ± = 5 = = = - הווה אומר שהישר הנתון כן חותך את הגענו לשתי נקודות חיתוך בין המעגל לציר (, ( (5, ( המעגל. דוגמה מספר :. ( 4) + ( 5) נתון מעגל: = 69 המעגל חותך את ציר ה- בנקודות A ו- C בנקודות B ו- D (ראה ציור). חשב את שטח המרובע.ABCD חשב את היקף המרובע. ואת ציר ה- ( ) ( ) = 69 :0 פתרון: נחשב את שיעורי הקודקודים של המרובע. הנקודות C ו- A נמצאות על ציר ה- ולכן שיעור ה- שלהן יהיה

32 מיקוד חורף תשס"ט 009 ( ) ( ) 4 = = 44 4 = ± = ± + 4 = 6; = 8 ( ) ( ) ( 5) = = 69 :0 הנקודות D ו- B נמצאות על ציר ה-, ולכן שיעור ה- שלהן יהיה 5 = ± 5 = ± = 7.69; = 7.69 AC AC ( ) ( ) d = 6 ( 8) = 576 d = 576 = 4 BD BD ( ) ( ) d = ( 7.6) d = = SABCD = = D(0,7.6),C( 8,0),B(0, 7.6),A(6,0) קדקודי המרובע :ABCD כעת נחשב את אורכם של האלכסונים: שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים שווה למחצית מכפלת אלכסוניו, ולכן: כדי לחשב את היקף המרובע, נחשב את אורכי הצלעות: ( ) ( ) dab = ( 7.6) = 7.6 ( ) ( ) dbc = 0 ( 8) = 0.87 ( ) ( ) dcd = = 9. ( ) ( ) dad = =.6 נחבר את כל אורכי הצלעות ונקבל את היקף המרובע :ABCD = 7. היקף המרובע הוא 7. יחידות.

33 שאלון 00 ) ( ) ( עובר דרך ראשית הצירים. דוגמה מספר : המעגל = 5 K + מצא את השיעורים של מרכז המעגל (מצא את שתי האפשרויות). רשום את משוואת המעגל עבור שיעורי מרכזו ברביע הרביעי. האם המעגל שבסעיף ב' עובר דרך הנקודה (-, )? נמק. ג. פתרון: ( ) ( ) K = 5 + = K = 6 9 K 5 K = 4; K = 4 (, -4) (, 4) :((0,0) נמצא את שיעורי מרכז המעגל. נציב את ו- כ -0 במשוואת המעגל (נתון שהמעגל עובר דרך שתי האפשרויות של שיעורי מרכז המעגל: ( ) ( ) = 5. (, 4) ] משוואת המעגל עבור שיעורי מרכזו ברביע הרביעי: הנקודה,(,-) ג. כדי לבדוק אם המעגל עובר דרך הנקודה נציב את שיעורי הנקודה במשוואתו: ( ) + ( + 4) = = 5 ניתן לראות שהמשוואה שהתקבלה אינה מקיימת את משוואת המעגל ולכן הנקודה (-,) אינה נמצאת על המעגל כלומר, המעגל אינו עובר דרכה. *הסבר על הרביעים + II + + I III I + V

34 מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלות נוספות ) ( ) ( (ראה ציור). נתון מעגל, שמשוואתו = במעגל הנתון חסמו מלבן, שצלעותיו מקבילות לצירים. אחד מקודקודי המלבן הוא בנקודה (8 ),. מצא את שלושת הקודקודים האחרים של המלבן.. תשובה:. (, ), (,8 ), (, ) דרך נקודת החיתוך של הישרים = 0 7 ו- = 4 5 עובר מעגל, שמרכזו בנקודה ( -), M. מצא את משוואת המעגל.. ( ) ( ) תשובה: + + = 6 4

35 שאלון 00 שאלה מספר : חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי סרטוט גרפים על-פי תנאים נתונים נוסחאות וכללים < 0 () f ' נגזרת שלילית פונקציה יורדת > 0 () f ' נגזרת חיובית פונקציה עולה = 0 () f ' פונקציה קבועה או נקודת קיצון f( )= 4 =, = 4 דוגמה מספר : הפונקציה f() מוגדרת בתחום 0 עבור < f '() < 0 0. הנגזרת '() f של הפונקציה מקיימת את התנאים: f '() = 0 f '() > 0 עבור < < 7 f '(7) = 0 עבור < 7 באילו תחומים הפונקציה f() יורדת? סרטט סקיצה של,f() אם נתון ש: f '() < 0 פתרון:.f() = ו- f(0) = 5 הפונקציה יורדת בתחומים שבהם הנגזרת הראשונה שלה שלילית, כלומר כאשר 0 <. 7 < או כאשר נסמן נקודות ציון על הסקיצה על-פי הנתונים: נקודה ראשונה (0,5); נקודה שנייה (,). על-פי האמור בסעיף א', הפונקציה יורדת מהנקודה הראשונה ועד ל- =. כאשר =, הנגזרת שווה ל- 0, כלומר זו נקודת מינימום. כאשר < 7 < נגזרת הפונקציה חיובית ועל כן הפונקציה עולה עד ל- = 7 שזוהי נקודת מקסימום. מנקודה זו, ועל-פי האמור בסעיף א', הפונקציה יורדת עד לנקודה השנייה. נסרטט את האמור על גבי הגרף: 5

36 מיקוד חורף תשס"ט בתחום 8 f() שאלות נוספות סרטט גרף של הפונקציה המקיימת:. 0 < < < 5 5 עבור עבור עבור f(0) = f '() < 0 f '() = 0 f '() > 0 f '() = 0 תשובה: (0,) 5 8 f '() הפונקציה f() מוגדרת בתחום 5 0 מקיימת: 0 עבור < f '() < 0 עבור = f '() = 0 < עבור 5 f '() > 0 באיזה תחום הפונקציה עולה? באיזה תחום הפונקציה יורדת? ג. סרטט סקיצה של,f() אם וחיובית בכל תחום הגדרתה. פונקציית הנגזרת.f(5) = 4 ו- f(0) = 7. תשובה: (0,7) < 5 0 < ג. (, ) (5,4) 6

37 שאלון 00 שאלה מספר : חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ( ) ' = n n n נוסחאות וכללים כללי גזירה פולינום מקדם ומספר במכנה לא גוזרים שיפוע המשיק בנקודה = ערך הנגזרת של הפונקציה בנקודה משוואת משיק = משוואת קו ישר משוואת הישר המשיק ) = m( ו-,m יש למצוא את בנגזרת ) = m = f ' ( מציבים בפונקציה לפני הגזירה ) = = f( מציבים = מוצאים או מקבלים. חיתוך בין שתי פונקציות או בין שני ישרים, יש לפתור תזכורת שתי משוואות בשני נעלמים, או להשוות פונקציות. (,0) חיתוך עם ציר ה- = 0 ( 0, ) חיתוך עם ציר ה- = 0 נוסחאות וכללים = ' = 6 k k = ' = k k( )' = ' = ( ) ( ) ' = = = ' = = ' = = 5 ' = 0 = ' = 7

38 מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלה מספר : חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי שיפוע משיק פונקצית פולינום נוסחאות וכללים טיפ על-מנת למצוא את כאשר נתון שיפוע משיק יש לגזור ולהשוות לשיפוע הנתון, לפתור את המשוואה המתקבלת. הנקודות שקיבלנו הן נקודות ההשקה. דוגמה מספר : נתונה הפונקציה + 7. = לגרף הפונקציה מעבירים שני משיקים, ששיפוע כל אחד מהם הוא 5. מצא את נקודת ההשקה לגרף הפונקציה של כל אחד ממשיקים אלו. פתרון: שיפוע המשיקים שווה לנגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה, ועל כן נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל- = 7 + ' = 7 7 = 5 = / : = 4 = ± :5 ערכי ה- של נקודות ההשקה הם המתאימים: שיעורי נקודות ההשקה הם (5-,) ו-. ± נציב אותם במשוואת הפונקציה ונמצא את ערכי ה- = 7 + = 7 + = 5 = ( ) 7 ( ) + = 7. ( -,7) 8

39 שאלון 00 = -4 = דוגמה מספר : מצא את משוואת המשיק לפונקציה = בנקודה (8 )., הראה שהמשיק שמצאת בסעיף א' חותך את גרף הפונקציה פתרון: בנקודה נוספת, שבה = נמצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודה. נגזור את הפונקציה: בנקודה (8 )., שיפוע המשיק שווה לנגזרת הפונקציה ' = ' ( ) = ( ) = ( ) = m 8 = ( ) 8 = 4 = 6 = 6 = ( ) ( ) : = 6:. = -4 4 = 4 = 64 ( 4) = ( 4) 6 = 64 = 4 נציב = בנגזרת: שיפוע המשיק הוא = m. נציב את השיפוע = m ואת הנקודה (8 ), במשוואת הישר: משוואת המשיק: נראה שהמשיק שמצאנו בסעיף א' והפונקציה נחתכים בנקודה נמצא את ערכי ה- של המשיק והפונקציה בנקודה 4- =. מצאנו כי ערכי ה- שווים, ולכן המשיק חותך את הפונקציה בנקודה שבה 9

40 מיקוד חורף תשס"ט 009 דוגמה מספר : = 9 הישר = חותך את הפרבולה בשתי נקודות. מצא את המשוואות של המשיקים לפרבולה בנקודות החיתוך עם הישר. מצא את נקודת החיתוך של שני המשיקים שמצאת בסעיף א'. = = 9 פתרון: נמצא את משוואות המשיקים לפרבולה נקודת החיתוך בין הגרפים על-ידי השוואת הפונקציות. נשווה בין הפונקציות: בנקודות החיתוך שלה עם הישר נמצא את = 9 = 6 = 4 = 4 = 9 ' = ' ( 4) = ( 4) = 8 ( ) = m = 8 ( 4) = 8 + = נקודות החיתוך: ) ( 4,, ).(4, שיפוע המשיק שווה לנגזרת הפונקציה באותה נקודה. נגזור את הפרבולה: נמצא את שיפוע המשיק לפרבולה בנקודה ( 4):, שיפוע המשיק: 8 =.m נציב את הנקודה ( 4), והשיפוע 8 = m במשוואת המשיק: ' ( 4) = ( 4) = 8 ( ) = m = 8( ( 4)) = ( + 4) = 8 + = נחשב את שיפוע המשיק לפרבולה בנקודה ( 4 ):, שיפוע המשיק: = 8.m נציב את הנקודה ( 4 ), והשיפוע = 8 m במשוואת המשיק: 40

41 שאלון 00 = = משוואת המשיק בנקודה ( 4):, משוואת המשיק בנקודה ( 4-):, = = 0 / : ( 6) נמצא את נקודת החיתוך של שני המשיקים שמצאנו בסעיף א' על-ידי השוואת הפונקציות: = 0 נמצא את שיעור ה- של נקודת החיתוך על-ידי הצבת = 0 במשוואת אחד המשיקים: ( 0) = 8 ( 0) + 5 = 5 נקודת החיתוך: 5) (0, 4

42 מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלות נוספות נתונה הפונקציה:. f () = מצאו את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-. מצאו את משוואת המשיקים בנקודות שמצאתם. ג.מצאו את נקודת החיתוך בין שני המשיקים שמצאתם.. תשובה: ג. (6, 0),(, 0) = 8, = + 9 (4.5, 4.5) B A נתונה הפונקציה:. f () = ישר משיק לגרף הפונקציה בנקודה A שבה = 4 (ראו ציור). מצאו את שיפוע הישר המשיק לפונקציה בנקודה A. ישר אחר מאונך למשיק שאת שיפועו מצאתם בסעיף א', ומשיק לגרף הפונקציה בנקודה B (ראו ציור). מצאו את שיפוע הישר המשיק לפונקציה בנקודה B. () מצאו את שיעור ה- של הנקודה B. (). תשובה: ג. ma = mb = = הישר = חותך את הפרבולה: = בשתי נקודות. מצאו את המשוואות של המשיקים לפרבולה בנקודות החיתוך עם הישר. מצאו את נקודת החיתוך של שני המשיקים שמצאתם בסעיף א'.. תשובה: 6+ = 6 +, = ) (0, 4

43 שאלון 00 שאלה מספר : חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי נקודות קיצון נוסחאות וכללים ' > 0 ' > 0 ' = 0 נקודת פיתול - פונקציה יורדת פונקציה עולה פונקציה עולה min. ' < 0 פונקציה יורדת נק ' ' < 0 ' = 0 ' > 0 ' = 0 פונקציה עולה פונקציה יורדת ' < 0 ma. נק' ' = 0 ' > 0 ' < 0 פונקציה פונקציה יורדת עולה הערה - נקודת פיתול אינה נקודת קיצון. חישוב נקודות קיצון מקומיות: ' = 0 '' > 0 '' < 0 נשווה נגזרת ראשונה לאפס, נפתור את המשוואה ונקבל -ים חשודים, את ה- י- ם החשודים נציב בנגזרת שנייה. חיובית "מחייכת" נקודת מינימום. שלילית "בוכה" מקסימום. ניתן לבדוק את סוג נקודות הקיצון גם על-ידי סימן נגזרת ראשונה לפני ואחרי נקודות החשודות. טיפ אין צורך למצוא את הערך של הנגזרת השנייה, די לבדוק את סימנה. "תחומים" - הכוונה לערכי ה-. "עלייה וירידה" - הכוונה לערכי ה-. 4

44 מיקוד חורף תשס"ט 009. = דוגמה מספר : נתונה הפונקציה מצא את נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה. באילו תחומים הפונקציה עולה, ובאילו תחומים היא יורדת? פתרון: ' = ' = 0 = 0 ± ( ) 4 ( ) " = ( ) < " ( ) > 0 " 0 = = נקודות קיצון: גוזרים: :0 משווים ל פותרים משוואה: בדיקת מקסימום ומינימום ע"י נגזרת שנייה. הצבה בנגזרת שנייה לקביעת סימן. מקסימום מינימום, - מינימום, - מקסימום 6 שיטה נוספת לקביעת מקסימום ומינימום ע"י טבלת ערכים לנגזרת(שיטת הנחש): ' = ( ) ( ) > 0 ' = () () < 0 ' = () () < m a m in < - < < < עליה: >, < -, ירידה: < < - 44

45 שאלון 00. = b - g דוגמה מספר : הציור שלפניך מתאר את גרף הפונקציה לפונקציה מקסימום מקומי בנקודה A ומינימום מקומי בנקודה B. מצא את שיעורי הנקודות A ו- B. עבור אילו ערכי k הישר = k חותך את גרף הפונקציה בשלוש נקודות? עבור אילו ערכי k הישר = k חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות? ג. עבור אילו ערכי k הישר = k חותך את גרף הפונקציה בנקודה אחת? ד. פתרון: נמצא את שיעורי נקודות הקיצון A ו- B על-ידי גזירת הפונקציה והשוואת הנגזרת ל- 0. נפתח סוגריים: ( ) ( ) = = + = + ' = = = 0 נגזור את הפונקציה ונשווה ל- 0 : על-פי נוסחת השורשים: b± b 4ac a =, = " = (4)± (-4) 4()() () " = = 4 + = " ( ) = ( ) = = נמצא את סוג הקיצון בנקודות על-ידי הצבתן בנגזרת השנייה: < 0 ", ולכן בנקודה שבה = יש מקסימום. > 0,"() ולכן בנקודה שבה = יש מינימום. ניתן לוותר על בדיקת סוג הקיצון מאחר וניתן לקבל מהציור את סוג הקיצון. נמצא את שיעורי ה- של נקודות הקיצון על-ידי הצבת ערכי ה- בפונקציה: 4 4 = = = = 9 7 ( ) = ( ) = ( 0) = 0 45

46 מיקוד חורף תשס"ט 009 בעזרת הסרטוט ניתן לראות, כי כאשר ערכי ה- k נמצאים בגבולות ערכי ה- של שתי נקודות הקיצון (שאותן מצאנו בסעיף א'), הישר = k חותך את גרף הפונקציה בשלוש נקודות. כלומר, ערכי ה- k המתאימים הם:. 4 0 < k < 7 ג. כאשר ערכו של k שווה לערכי ה- בנקודות הקיצון, אזי הישר = k חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות בלבד. כלומר:. 4 k = או k = 0 7. ד. כאשר ערכי ה- k גדולים מערכי ה- של נקודות הקיצון, אזי הישר = k חותך את גרף הפונקציה בנקודה אחת בלבד. כלומר, ערכי ה- k המתאימים הם: < 0 k או 4 k > 7 46

47 שאלון 00 שאלות נוספות. נתונה הפונקציה = 5 מצא באילו נקודות מתאפסת הנגזרת של הפונקציה. קבע את סוגן של הנקודות שמצאת בסעיף א' (מינימום, מקסימום, לא מינימום ולא מקסימום). רשום שיעורי נקודה שבה הפונקציה יורדת. ג.. = 0, =. ma(-,). (-,) < <, למשל תשובה: 6, ו- 7 6, min ו- 7 ג. כל נקודה בתחום וכן הלאה.... נתונה הפונקציה + f () = + + מצא את הנקודה שעבורה = 0 ()' f. הראה שהנקודה שמצאת בסעיף א' איננה נקודת קיצון.. תשובה: בנקודה - =. f '() = 0, הוכחה. נתונה הפונקציה = מצא את נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה. באילו תחומים הפונקציה עולה ובאילו תחומים היא יורדת?. < (, 9), תשובה: מינימום: מקסימום: ירידה: עלייה: < או < < 47

48 מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלה מספר : חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי נקודות קיצון בתחום סגור נוסחאות וכללים תחום סגור - סימון: [0,5 [ ים בין 0 ל- 5 כולל או מציאת נקודת קיצון מוחלט: נגזור, נשווה לאפס ונפתור משוואה. ל -ים שמצאנו נמצא את ערכי ה-. נציב את קצות התחום בפונקציה המקורית ונמצא את ערכי ה-. נבדוק את כל הנקודות שקיבלנו. לנקודה בעלת ה- הגדול ביותר נקרא מקסימום מוחלט. לנקודה בעלת ה- הקטן ביותר נקרא מינימום מוחלט. טיפ לא לשכוח למצוא את נקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציה. דוגמה מספר : נתונה הפונקציה f () = + 5 בקטע סגור [4 ;.[ מצא את המקסימום המוחלט ואת המינימום המוחלט של הפונקציה בקטע הסגור [4 ;.[ האם לפונקציה f() הנתונה יש בקטע [4 ; מוחלט? נמק. פתרון: [ נקודת מקסימום מקומי, שאינה מקסימום f () = + 5 f '() = 6 נמצא את נקודות המינימום והמקסימום המקומיות של הפונקציה. נגזור את הפונקציה: נמצא את נקודות הקיצון על-ידי השוואת הנגזרת ל- קיבלנו משוואה ריבועית: :0 48

49 שאלון 00 6 = 0 ( ) 6 = 0 6 = 0 = = 0 או f () = + 5 f () = = 5 f () = + 5 = f "() = < = "(0) f נקודת מקסימום מקומי (0,5) 0 > 6 6 = "() f נקודת מינימום מקומי (,) f = + 5 = + 5 = f (4) = =. (4, ) למציאת ערך הפונקציה נציב 0 ו- בפונקציה: קיבלנו את שיעורי הנקודות (0,5) נגזור שנית לקביעת סוג נקודת הקיצון: ו- (,). נבדוק את ערכי הפונקציה בנקודות הקצה של תחום ההגדרה:. (,) קיבלנו את שיעורי הנקודות 4, ו- (4,). 7 מינימום מוחלט של הפונקציה נמצא בנקודה מקסימום מוחלט נמצא בקצה תחום ההגדרה בנקודה הנקודה (0,5) היא נקודת מקסימום מקומי. 49

50 מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלות נוספות הפונקציה = + 5 והמוחלטות של הפונקציה. מוגדרת בתחום הסגור [5, 0]. מצא את נקודות הקיצון המקומיות. תשובה: מקומי ומוחלט, מקסימום ומוחלט.(5,80) 4 min, מקומי, ma(0,5) 7 הפונקציה = מוגדרת בתחום הסגור.[0,4] מצא את נקודות הקיצון הפנימיות והמוחלטות של הפונקציה, את נקודות הקיצון הפנימיות שאינן מוחלטות וקבע את סוגן.. תשובה: מקסימום מקומי ומוחלט: מינימום מקומי ומוחלט:, (4, 4) (,4) (0,0) (,0) 50

51 שאלון 00 דוגמה מספר : מציאת פרמטר נוסחאות וכללים טיפ גוזרים, מציבים את ה-, משווים לשיפוע ופותרים משוואה בה יש לבודד את הפרמטר. לפרמטר מתייחסים כאל מספר קבוע (מלבד -) כאשר נתונות יש להשוות את הנגזרת ל-.0 נקודות קיצון, או מקסימום או מינימום,ז נתונה הפונקציה (A פרמטר). = A ידוע כי שיפוע הישר, המשיק לגרף של פונקציה זו בנקודה =, הוא. חשב את הערך של A. מצא נקודה נוספת, שבה המשיק לגרף הפונקציה יוצר זווית בת 45 עם הכיוון החיובי של ציר ה- פתרון: נחשב את A. שיפוע המשיק שווה לנגזרת בנקודת ההשקה. נציב = בנגזרת: נשווה את התוצאה ל- : נגזור את הפונקציה: ' = A = A ( ) ( ) ( ) ' = A = A 9 6 = 7A 8 7A - 8 = ; 7A = 9 / : 7 9 A = = 7 A = נמצא נקודה נוספת, שבה המשיק לגרף הפונקציה יוצר זווית בת 45 עם הכיוון החיובי של ציר ה-. נגזרת הפונקציה בנקודה שווה לשיפוע המשיק בנקודה זו. שיפוע המשיק שווה ל- tg הזווית, אשר יוצר המשיק עם הכיוון החיובי של ציר ה-. 5

52 מיקוד חורף תשס"ט 009 m=tg (45 ) = עבור זווית של : 45 = A בנגזרת:. נציב A = מצאנו בסעיף א': ' = A = ' = = = 0 נשווה את הנגזרת ל- : =, = ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) + = =, לפי נוסחת השורשים: הנקודה הנוספת שקיבלנו היא הנקודה ששיעור ה- שלה - =. נמצא את שיעור ה- בנקודה זו, על ידי הצבת (-) = בפונקציה: הנקודה המבוקשת: 5

53 שאלון 00 שאלות נוספות. = פרמטר) יש נקודת קיצון ב- (a f () = a 4 לפונקציה מצא את, a בדוק האם הנקודה היא נקודת מינימום או מקסימום.. תשובה: הנקודה היא מינימום a = 4 = נתונה הפונקציה + 4 = a +. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה בה. שווה ל-. מצא את. a מצא נקודה נוספת על גרף הפונקציה, שבה שיפוע המשיק שווה ל-. תשובה: = a (0,4) = a) ו- c הם פרמטרים). לפונקציה: f( ) = a + c יש נקודת קיצון ב- מצאו את ערך הפרמטר a. נתון: = ) f(. מצאו את 0) f(.. תשובה: a = 4 = 0) f( 5

54 מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלה מספר : חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי = הפונקציה נוסחאות וכללים כללי גזירה פונקציה מורכבת k k k = ' = k k( )' = ' = ( ) ( ) מספר כלשהו נוסחאות וכללים תחום הגדרה יש להשוות את המכנה לאפס. המספר שמאפּ ס את המכנה לא שייך לתחום ההגדרה נקודת אי - הגדרה. אסימפטוטות אסימפטוטה אנכית: ה- שמאפס את המכנה נקרא אסימפטוטה אנכית.( = 0 0 מספר שמאפס = (למעט המקרה שמקבלים אסימפטוטה אופקית: מציינת את הערך אליו מתקרבת הפונקציה כאשר ערכי ה- -ים גדולים מאוד או קטנים מאוד. תזכורת טיפ על-מנת למצוא כאשר נתון השיפוע יש לגזור, להשוות לשיפוע ולפתור משוואה. על-מנת למצוא אסימפטוטה אופקית ניתן להציב במחשבון מספרים גדולים מאוד ולבדוק מהו הערך של הפונקציה המתקבל. הנושאים המודגשים ירדו במיקוד חורף תשס"ט

55 שאלון 00 דוגמה מספר :. 4 =. A = + נתונה הפונקציה: שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ג. ד. ה. מצא את. A הצב את A בפונקציה ומצא: נקודות קיצון. תחום הגדרה. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. מצא את האסימפטוטה המקבילה לציר ה-. הוא פתרון: A = 4 4 A = A =. 4 נגזור, נציב מכנה משותף: = בנגזרת ונשווה את הנגזרת לשיפוע A = \ = + = = 0 / / = 0 / = 0 = 0 ւ = = ± ց = = נציב את A בפונקציה המקורית ובנגזרת. למציאת נקודות קיצון: נשווה את הנגזרת לאפס למציאת נציב בפונקציה המקורית את הנקודות החשודות. 55

56 מיקוד חורף תשס"ט 009 = = () + = (, ) () = = ( ) + = (, ) ( ) לקביעת סוג הקיצון (מקסימום או מינימום) נגזור נגזרת שנייה חלקית לקביעת סימן. '' = =, '' = () > 0 min(, ) =, ''( ) < 0 ma(, ) שיטה נוספת לקביעת מקסימום ומינימום ע"י טבלת ערכים לנגזרת(שיטת הנחש): ma min ' = > 0 ( ) ' = < 0 ( 0.5) ' = < 0 ( 0.5) ( ) ' = > 0 ג. 0 ד. (, ) (, ) ה. = 0 56

57 שאלון 00. = + 4 דוגמה מספר : נתונה הפונקציה מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכת לציר ה-. מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה. ג. הראה כי לפונקציה אין נקודות חיתוך לא עם ציר ה- ולא עם ציר ה-. ד. = + 4 ց 0, 4 0 0, 4 k k()'. = () () = + 4 ' = = + ' ( ) ( 4 ) ( 4 ) ' = + 4 ( ) פתרון: מכנה שונה מאפס: תחום הגדרה: 4 0, נקודות הקיצון של פונקציה מתקבלות כאשר הנגזרת שווה ל ו נגזור את הפונקציה. את הביטוי נגזור על-פי הכלל שלפיו ( 4 ) / / 0 = + / ( 4 ) 0 = ( ) ( ) ( ) = = ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 4 + (6 8 + ) ( ) 4 0 = = = = 0. נשווה ל 0 את הנגזרת: 57

58 מיקוד חורף תשס"ט 009 : = + 4 =,, = + = (, ) 4 שיעור ה- בנקודת הקיצון: =. מציאת ערכי ה של הנקודות החשודות (נציב בפונקציה) = ( + 6)' = 6 = 6 > 0 min(, ) לקביעת סוג נקודות קיצון, נבצע נגזרת שנייה חלקית לקביעת סימן: לכן הנקודה שבה = היא נקודת מינימום. + 6 ' = 4 שיטה נוספת לקביעת מקסימום ומינימום ע"י טבלת סימנים לנגזרת הראשונה: ) ( הערה: מספיק להציב במונה מאחר והמכנה חיובי לכל 4 0, + 6() ' = < 0 4 ( ) + 6() ' = > 0 4 ( ) m in :( ג. אסימפטוטה אנכית לציר ה- מייצגת את התיאור הגרפי של תחום ההגדרה( 4 0, = 0, = 4 אסימפטוטות : ד. חיתוך ציר יש להציב = 0 בפונקציה. מאחר ותחום ההגדרה 0 אין חיתוך עם ציר = 0 4 / / 0 = + / (4 ) 4 0 = 4 + = = 8 ( ) = 0 בפונקציה. חיתוך ציר אין חיתוך עם ציר יש להציב 58

59 שאלון 00 9 = ' = = = 0 / 9 / = 0 / ' = = 0 9 = 0 = 9 = ± 9 9 =, = + () 6 (, 0) () : דוגמה מספר : 9 נתונה הפונקציה 6. = + מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. מצא את החיתוך עם ציר ה-. ג. מצא תחומי עלייה וירידה. ד. מצא את אסימפטוטה המאונכת לציר ה-. ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ו. פתרון: מכנה שונה מאפס: תחום הגדרה 0 נקודות הקיצון של פונקציה מתקבלות כאשר הנגזרת שווה ל- 0. ' k k : = 9 = =, = + ( ) 6 (, ) ( ) = = () > 0 min(, 0) = ( ) < 0 ma(, ) 9 נגזור את הפונקציה. את הביטוי נשווה לאפס את הנגזרת: שיעורי ה- בנקודות הקיצון: נגזור לפי הכלל. =, = מציאת ערכי ה של הנקודות החשודות (נציב בפונקציה) לקביעת סוג נקודות קיצון, נבצע נגזרת שנייה חלקית לקביעת סימן: נציב את שיעורי ה- שמצאנו בנגזרת השנייה: לכן הנקודה שבה = היא נקודת מינימום. 59

60 מיקוד חורף תשס"ט ' = 9 ' = + > 0 4 ( ) 9 ' = + < 0 ( ) 9 ' = + < 0 ( ) 9 ' = + > 0 ( 4) 9 0 = + 6 / / / = + / = = 0 a =, b = 6, c = 9 לכן הנקודה שבה = היא נקודת מקסימום. שיטה נוספת לקביעת מקסימום ומינימום ע"י טבלת סימנים לנגזרת הראשונה: ma min ג. חיתוך עם ציר ה- נשווה את הפונקציה לאפס., (,0) 6 ± ( 6) 4()(9) 6 ± 0 = = = () = = או < 0 < ד. תחומי עליה וירידה נסתכל בטבלה או בגרף: תחומי ירידה 0 < < תחומי עלייה < < או < < + :( ה. אסימפטוטה אנכית לציר ה- מייצגת את התיאור הגרפי של תחום ההגדרה( 0 אסימפטוטה היא = 0 ו. על מנת לשרטט יש להשתמש בנקודות שמצאנו. לא לשכוח להתייחס לתחום ההגדרה 0 ( -, -) (, 0) 60

61 שאלון 00.5 = A = דוגמה מספר 4: נתונה הפונקציה (A פרמטר). שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מצא את הערך של A. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. ג. מצא את אסימפטוטה המאונכת לציר ה-. ד. הוא A = A ' = + A A '( ) = ( ) + = + ( ) A A + = 5 = 54 A = 08. פתרון: שיפוע הפונקציה בנקודה נגזור את הפונקציה. את הביטוי = שווה לנגזרת הפונקציה באותה נקודה. ' k k = נגזור על-פי הכלל שלפיו נתון = : נגזור ונציב = נשווה את הביטוי ל- = 54 m בנגזרת. ונפתור משוואה בה הנעלם הוא A: = = 54 ' = + נציב = 08 A בנגזרת ובפונקציה: ונמשיך לסעיפים הבאים. מכנה שונה מאפס: תחום הגדרה 0 ג. נקודות הקיצון של פונקציה מתקבלות כאשר הנגזרת שווה ל = = 0 / / = 0 / ' = = = 0 = 54/ : = 7 = 7 = נשווה לאפס את הנגזרת: 6

62 מיקוד חורף תשס"ט : = 54 =, = () (, 7) () שיעור ה- בנקודת הקיצון: =. מציאת ערכי ה של הנקודות החשודות (נציב בפונקציה) = 8 = 8() < 0 ma(, 7) לקביעת סוג נקודות קיצון, נבצע נגזרת שנייה חלקית לקביעת סימן: נציב את שיעורי ה- שמצאנו בנגזרת השנייה: לכן הנקודה שבה = היא נקודת מינימום. 54 ' = + שיטה נוספת לקביעת מקסימום ומינימום ע"י טבלת סימנים לנגזרת הראשונה: 54 ' = () + > 0 ( ) 54 ' = (4) + < 0 ( 4) m a :( ד. אסימפטוטה אנכית לציר ה- מייצגת את התיאור הגרפי של תחום ההגדרה( 0 אסימפטוטה היא = 0 6

63 שאלון 00 6 = 6 ' = 6 0 = 6 = 0 / 6 / 6 דוגמה מספר 5: 6. = נתונה הפונקציה מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. מצא תחומי עלייה וירידה. ד. מצא את אסימפטוטה המאונכת לציר ה-. ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ו. פתרון: מכנה שונה מאפס: תחום הגדרה 0 נקודות הקיצון של פונקציה מתקבלות כאשר הנגזרת שווה ל- 0. ' k k : = = 0 / ' = = 0 = 4 ր 6 = 0 = 6, = ± 6 ց = 4 6 נגזור את הפונקציה. את הביטוי נשווה לאפס את הנגזרת: נגזור לפי הכלל 6 : = 6 = 4, = (4) (4, 8) (4) 6 = 4, = ( 4) ( 4, 8) ( 4). = 4, = 4 שיעורי ה- בנקודות הקיצון: מציאת ערכי ה של הנקודות החשודות (נציב בפונקציה) 6

64 מיקוד חורף תשס"ט 009 = = (4) < 0 ma(4, 8) = ( 4) > 0 min( 4, 8) לקביעת סוג נקודות קיצון, נבצע נגזרת שנייה חלקית לקביעת סימן: נציב את שיעורי ה- שמצאנו בנגזרת השנייה: לכן הנקודה שבה 4 = היא נקודת מינימום. לכן הנקודה שבה = 4 היא נקודת מקסימום. 6 ' = שיטה נוספת לקביעת מקסימום ומינימום ע"י טבלת סימנים לנגזרת הראשונה: 6 ' = < 0 ( 5) 6 ' = > 0 ( ) ( ) ( 5) 6 ' = > 0 6 ' = < ג. min ma תחומי עליה וירידה נסתכל בטבלה או בגרף: < < 4 תחומי עלייה תחומי ירידה + < < 4 או 4 < או < 0 0 < < 4 :( ד. אסימפטוטה אנכית לציר ה- מייצגת את התיאור הגרפי של תחום ההגדרה( 0 אסימפטוטה היא = 0 ה. על מנת לשרטט יש להשתמש בנקודות שמצאנו. לא לשכוח להתייחס לתחום ההגדרה 0 (-4, 8) (4, -8) 64

65 שאלון 00 שאלות נוספות נתונה הפונקציה:. = + 4 מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה. ואת שיעור ה- של נקודת המינימום ושל נקודת המקסימום של מצאו את שיעור ה- הפונקציה. לפניכם ארבעה גרפים. ג. איזה גרף: III,II I, או,IV יכול לתאר את הפונקציה הנתונה? נמקו.. IV III II I תשובה: 0 4) min(, ma(, 4), ג. גרף מספר I = הוא.5 = + A נתונה הפונקציה: (A פרמטר). שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה. מצאו את הערך של A. תשובה: A = 9 65

66 מיקוד חורף תשס"ט 009 נתונה הפונקציה:. = + 4 מצאו את תחום ההגדרה. מצאו נקודות חיתוך עם הצירים. מצאו נקודות קיצון. ג. מצאו תחומי עלייה וירידה. ד. מצאו אסימפטוטה אנכית. ה. סרטטו סקיצה של גרף את הפונקציה. ו.. תשובה: 0 ג. אין ma(, 4), min(, 4) < < 0 0 < < ירידה: < ד. ה. ו. עלייה: או > או = 0 (, 4 ) (,4 ) 66

67 שאלון 00 נתונה הפונקציה = + 7 מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. מצא תחומי עלייה וירידה. ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד..4 תשובה: או < 0 < 7 0 min(7, ), ma( 7, ) ג. ד. תחומי עלייה או < 7 0 < תחומי ירידה < 7. < 7 נתונה הפונקציה. = 4 + מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. מצא תחומי עלייה וירידה. ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד..5 תשובה: או < 0 < 0 < < 0 min(, 4), ma(, 4) תחומי עלייה או <. תחומי ירידה < ג. ד. 67

68 מיקוד חורף תשס"ט נתונה הפונקציה + 5. = + מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. מצא את החיתוך עם ציר ה-. ג. מצא תחומי עלייה וירידה. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ה. עבור איזה ערכים של k הישר = k לא חותך את הפונקציה. ו..6 תשובה: או < 0 < 0 min(, 9), ma(,) (, 0), ( 4,0) ג. ד. ה. תחומי עלייה או < 0 < תחומי ירידה <. < (, ) (, 9) ו. < 9 k < 68

69 שאלון 00. = נתונה הפונקציה. = + + a שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה בה שווה ל.7 ג. ד. מצא את. a הצב את ה a הגדול בפונקציה והוכח שהערך המקסימלי של הפונקציה הוא. ג מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה. ד. הראה שאין אסימפטוטה מקבילה לציר ה. תשובה: a =, a = ma(,) תחומי עלייה <. תחומי ירידה מכנה שונה מאפס לכל. <. = + 8. נתונה הפונקציה מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא עבור אילו ערכים של הנגזרת של הפונקציה שווה ל- ג. מהי האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה-. 4? תשובה: ג. = 0, = 4 = נתונה הפונקציה +. f () = + מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? באילו נקודות שיפוע המשיק לגרף הפונקציה הוא? 4 ג. מהי האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה-?.9 תשובה: ג. =, = = 69

70 מיקוד חורף תשס"ט 009 נתונה הפונקציה. = הוכח שהערך המקסימלי של הפונקציה הוא. מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה. הראה שאין אסימפטוטה מקבילה לציר ה. ג..0 תשובה: ד. ma(, ) תחומי עלייה <. תחומי ירידה מכנה שונה מאפס לכל. < (a ) = 4 +. נתונה הפונקציה = '() f נתון: מצא את. a מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. ג. מצא תחומי עלייה וירידה. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ה.. תשובה: 0 < < a = 4 0 min(, 4), ma(, 4) תחומי עלייה או < < ג. ד. ה.. תחומי ירידה או < < 0 70

71 שאלון 00 שאלה מספר : חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי פונקצית שורש נוסחאות וכללים = k k ' = k מספר קבוע k = k ( ) ' = ( )' ( ) מציאת כאשר נתון שיפוע דוגמה מספר :..( > 0) נתונה הפונקציה = מצא באיזו נקודה שיפוע הגרף של הפונקציה הוא פתרון: = ' = = 6. על מנת למצוא את שיעורי הנקודה נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל- kb'. ' = B נגזרת שורש מהצורה = K B נשווה את הנגזרת ל- ניתנת על-ידי הנוסחה: כפל בהצלבה = נקבל = = () = ( ) = = 9 : נחלק ב- ונעלה בריבוע את שני האגפים = = 9 = 9 מציאת : 7

72 מיקוד חורף תשס"ט 009 חקירת פונקציה נוסחאות וכללים תחום הגדרה שורש למספר שלילי, לא מוגדר. יש לפתור אי-שוויון פשוט 0 ) ( ) ( = נקודות קיצון = 0 ' מינימום מקסימום.'' > 0.'' < 0 חיתוך עם הצירים חיתוך עם ציר חיתוך עם ציר (,0) = 0 ( 0, ) = 0 = ( ) = תזכורת דוגמה מספר : חקור את הפונקציה תחום הגדרה. נקודות קיצון. תחומי עלייה וירידה. ג. חיתוך עם הצירים. ד. סקיצה של הגרף ה. = לפי הסעיפים האלה: פתרון: ' = 0 נמצא תחום הגדרה. הפונקציה כוללת ביטוי בתוך שורש ולכן נדרוש שהביטוי בתוך השורש לא יהיה שלילי: תחום הגדרה: 0 נמצא נקודות קיצון. על-ידי גזירת הפונקציה והשוואת הנגזרת ל- 0. נגזור את הביטוי לפי הכלל : ( ) ' = 7

73 שאלון 00 0 נשווה את הנגזרת ל- 0: נפתור משוואה : = / / = 0 = 0 / = = = ( ) נעלה את שני האגפים בריבוע: = 4 נמצא את סוג נקודת הקיצון על-ידי הצבת ערכי בנגזרת השנייה של המונה לקביעת סימן ( נגזור את המונה( ( )' = "( ) = < 0 min 4 4 = 4 4 = = = ma, 4 4 סימן נגזרת השנייה שלילי לכן הנקודה היא מקסימום:נמצא את ערך ה- על-ידי הצבת בפונקציה: 7

74 מיקוד חורף תשס"ט 009 ' 6 = = = = 6 ' ( ) = = = דרך נוספת: נמצא את סוג נקודת הקיצון על-ידי הצבת ערכי סמוכים בנגזרת: נציג זאת בטבלה: 6 4 ' מקסימום התנהגות הפונקציה = 4 = 4 על-פי הטבלה, בנקודה יש נקודת מקסימום. נמצא את ערך ה- על-ידי הצבת בפונקציה: 4 = = = ma, 4 4 ג. נמצא תחומי עלייה וירידה. 0 < 4 תחומי עלייה : > 4 תחומי ירידה : 74

75 שאלון 00 0 = = = = 0 ( ) = 0 = 0, = ד. חיתוך עם הצירים: נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- על-ידי הצבת = 0 :.((0,0) נעלה את האגפים בריבוע: הנקודות הן (0,0) ו-(,0 ). (את נקודת החיתוך עם ציר ה- מצאנו כבר ma( 0.5, 0.5 ) ה. סקיצה של גרף:

76 מיקוד חורף תשס"ט = + 8 דוגמה מספר : הפונקציה ג. מוגדרת בתחום מצא את שיעורי הנקודה שבה נגזרת הפונקציה מתאפסת, וקבע את סוג הקיצון. מצא את ערכי הפונקציה בקצות תחום ההגדרה שלה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הגדרתה. פתרון: 6 = + 8 k f '() ' = = f () = ' = ' = = = 0 = 8 = 4. k f '() ' = f () = 4 = (4) + 8(4) = (4, ) נגזרת של פונקציה מהצורה () = k f נגזור את הפונקציה בהתאם לנוסחה: נשווה את הנגזרת לאפס: מציאת נציב ניתנת על-ידי הנוסחה: = 4 בפונקציה המקורית: ) ma(4, '' = < 0 חלקית לקביעת סימן קביעת סוג נקודת קיצון ע"י נגזרת שנייה של המונה לקביעת סימן: ג. נציב את הקצוות בפונקציה המקורית: = = + = () 8() 0 (, 0) 6 (6) 8(6) 0 (6, 0) = = + = 76

77 שאלון 00 (4,) שרטוט של גרף הפונקציה הערה : במקרה זה ניתן לקבוע את סוג הקיצון מהגרף (,0) (6,0) היות והפונקציה מוגדרת רק בין ל- 6, לא ממשיכים את הפונקציה. 77

78 מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלות נוספות נתונה הפונקציה. f () = + 6 מצא את שיעורי הנקודות בהן הנגזרת של הפונקציה שווה לאפס, וקבע את סוגן. תשובה: min (,.) ma (,.58) הפונקציה ג. = מוגדרת בתחום. 9 מצא את שיעורי הנקודה שבה נגזרת הפונקציה מתאפסת, וקבע את סוג הקיצון. מצא את ערכי הפונקציה בקצות תחום ההגדרה שלה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הגדרתה.. תשובה: ג. (4,5) ma(4, 5) (9, 0), (, 0) (-,0) (9,0) 78

79 שאלון 00 נתונה הפונקציה: ג.. 0 מוגדרת בתחום 0 f () = 0 מצא את שיעורי הנקודה, שבה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה הוא אפס וקבע את סוגה. מצא את החיתוך עם ציר ה של הפונקציה. עבור אילו ערכי k הישר = k חותך את הפונקציה פעמיים.. תשובה: 5) ma(5, 0) (0,, 0) (0, ג. 0 k < 5 79

80 מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלה מספר : חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי מציאת פרמטר נוסחאות וכללים על-מנת למצוא פרמטר כאשר נתון שיפוע יש לגזור, להציב את בנגזרת ולהשוות לשיפוע. תזכורת: k = k ( ) ' = ( )' ( ) תזכורת: כאשר ידוע שבנקודה יש מקסימום או מינימום או נקודת קיצון אז השיפוע שווה לאפס. דוגמה מספר : נתונה הפונקציה = a (a הוא פרמטר). נתון כי שיפוע הישר, המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה = 7, הוא 7. מצא את הערך של a. מצא את שיעורי ה- של הנקודה, שבה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה הוא אפס. קבע את סוג הנקודה (מינימום, מקסימום, לא מינימום ולא מקסימום). : k f '() ' = f () = k f () פתרון: נגזור את הפונקציה מהצורה בעזרת הנוסחה נציב נגזור: = a ' = = a a = 7 ונשווה לשיפוע m = 7 נציב נתונים אלו בנגזרת הפונקציה, שאותה מצאנו בסעיף הקודם, ונחלץ את כפל בהצלבה :a '(7) = (7) = 7 a (7) 7 a (7) = 7 7 = 7 a 49 / : 7 80

81 שאלון 00 a 49 () = a 49 = a 49 a = 50 = ( ) ' = = = 50 = 0 = 0 נשווה את הנגזרת לאפס(נציב בנגזרת את הערך של ). a קביעת סוג הנקודה ע"י סימן נגזרת שנייה של המונה מאחר והמכנה חיובי. כפל בהצלבה 0) = ma( " = < 0 חלקית לקביעת סימן שיטה נוספת לקביעת מקסימום ומינימום ע"י טבלת ערכים לנגזרת(שיטת הנחש): ( ) 50 ( ) () 50 () > 0 < m a 8

82 מיקוד חורף תשס"ט 009 דוגמה מספר : נתונה הפונקציה (a חיובי). = a הוכח כי הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה שלה. מצא את a, אם ידוע כי שיפוע הישר, המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה =, הוא 6. פתרון: כדי להוכיח כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה, נגזור את הפונקציה מהצורה יש להראות כי הנגזרת בנקודות אלו גדולה מ-.0 = k f () בעזרת הנוסחה = a ' = > 0 a : k f '() ' = f () ניתן לראות, כי נגזרת זו גדולה מ- 0 עבור כל בתחום ההגדרה שלה. הביטוי במונה הוא חיובי עבור כל והביטוי במכנה הוא חיובי עבור כל בתחום ההגדרה של הפונקציה. כלומר, הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. (הנגזרת אינה יכולה להיות שווה ל- 0, אם נציב = 0 נקבל בתוך השורש a 0 זה לא יתכן מאחר ו- a חיובי לפי הנתון). שיפוע הישר בנקודה = שווה לנגזרת הפונקציה באותה נקודה. = נציב בנגזרת ונשווה את הנגזרת ל 6 ונחלץ את '() = = 6 a :a כפל בהצלבה 8 a = 6 = 8 a / : = 8 a = 8 a a = 7 8