Microsoft Word - 01 difernziali razionalit

תמליל

1 פונקציות רציונליות 5 יחידות מתוך הספר 806 כרך ד' 0, כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי חל איסור מוחלט לתרגם, להעתיק או לשכפל חוברת זו או קטעים ממנה, בשום צורה ובשום אמצעי אלקטרוני, אופטי או מכני (לרבות צילום או הקלטה), ללא אישור בכתב מאת הוצאת ""

2 חשבון דיפרנציאלי פונקציות רציונליות פונקציה רציונלית היא פונקציה שניתן להציגה כמנה של שני פולינומים למשל, הפונקציות הבאות הן פונקציות רציונליות: 6 9,, 9 6, לפני שנעבור לעסוק בנגזרת ושימושיה עבור פונקציות רציונליות, כאשר n הוא מספר טבעי n נביא הסבר על הפונקציה n ) = הפונקציה n טבעי) בסעיף זה נעסוק בפונקציות מהצורה n ) טבעי) n n במכנה של פונקציה כזו מופיע הביטוי אם נציב בפונקציה 0 נקבל: ביטוי זה הוא חסר משמעות, לכן הפונקציה אינה מוגדרת 0 עבור, 0 כלומר הפונקציה אינה קיימת ב- 0 נבחן תחילה את גרף הפונקציה כאשר n מספר טבעי אי-זוגי n כאשר n טבעי אי-זוגי כולל למשל את הפונקציות n גרף הפונקציה הבאות:,, כדי להכיר פונקציות מסוג זה נשרטט 5 תחילה את גרף הפונקציה ניעזר בטבלת ערכים פונקציה זו אינה מוגדרת עבור, 0 לכן נבחר ערכי גדולים מאפס וערכי קטנים מ - 0 ונמצא עבורם את שיעור ה אין נסמן את הנקודות במערכת צירים ונקבל את הגרף הבא: 669 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

3 שים לב! גרף הפונקציה אינו עובר ב- 0 ולכן הפונקציה אינה רציפה והיא מורכבת משני ענפים: ענף ברביע הראשון וענף ברביע השלישי בדרך דומה ניעזר בטבלת ערכים ונשרטט את גרף הפונקציה : ניתן לראות שגם גרף זה מורכב משני ענפים: ענף ברביע הראשון וענף ברביע השלישי אין אם נמשיך ונשרטט את הגרפים של הפונקציות, 7 5 או כל גרף אחר מהצורה כאשר n אי-זוגי נוכל לראות שהתנהגות n הגרפים דומה והם נבדלים זה מזה רק במידת התלילות שלהם נעבור לבחון את גרף הפונקציה כאשר n מספר טבעי זוגי n הפונקציה כאשר n טבעי זוגי כולל למשל את הפונקציות n הבאות:,, כדי להכיר פונקציות מסוג זה ניעזר 6 בטבלת ערכים ונשרטט את גרף הפונקציה הפונקציה אינה מוגדרת ב- 0 ולכן נבחר ערכי מימין ל- 0 וערכי משמאל ל- 0 נקבל את התיאור הגרפי הבא: אין 670 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

4 אם נשרטט בדרך דומה כל גרף אחר מהצורה כאשר n טבעי זוגי n נראה שהגרפים מתנהגים באופן דומה, כלומר גרף הפונקציה מורכב משני ענפים: אחד ברביע הראשון ואחד ברביע השני הגרפים נבדלים זה מזה במידת התלילות שלהם גרף הפונקציה n בעזרת טבלת ערכים ניתן גם לשרטט פונקציות מהצורה עבור n n טבעי זוגי או n טבעי אי-זוגי למשל, בציור שמימין מתואר גרף הפונקציה מתואר גרף הפונקציה נסכם: כאשר קיימות ארבע צורות אפשריות לגרף הפונקציה n ובציור שמשמאל a n ו- a חיובי כאשר אי-זוגי כאשר n n ו- a שלילי שים לב! אי-זוגי ראינו כי פונקציה ו- a חיובי n כאשר f() זוגי זוגי ו- a שלילי נקראת פונקציה זוגית אם לכל הגדרתה מתקיים: f() )f ) מכאן נקבל שכאשר n זוגי, a הפונקציה היא פונקציה זוגית כמו כן, פונקציה f() נקראת n פונקציה אי-זוגית אם לכל בתחום הגדרתה מתקיים f() )f ) בתחום a מכאן נקבל שכאשר n אי-זוגי, הפונקציה היא פונקציה אי-זוגית n 67 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

5 שרטט את הגרפים של הפונקציות הבאות (היעזר בטבלת ערכים) תשובות: תחום הגדרה של פונקציה רציונלית תחום הגדרה של פונקציה הוא קבוצת כל הערכים של שניתן להציבם בפונקציה ולקבל ערך של 6 נתבונן למשל בפונקציה הרציונלית אם נציב בפונקציה 6 נקבל 0 ביטוי זה הוא חסר משמעות ולכן הפונקציה אינה מוגדרת עבור 6 ננסח כלל שבעזרתו ניתן למצוא תחום הגדרה של פונקציה רציונלית כלל: כדי למצוא תחום הגדרה של פונקציה רציונלית יש לבדוק האם קיים ערך של שעבורו המכנה של הפונקציה שווה לאפס אם קיים כזה, אז הפונקציה אינה מוגדרת עבורו דוגמה: מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה פתרון: 5 נשווה את המכנה ל- 0 נקבל: 0 פתרון המשוואה הוא המכנה שווה לאפס כאשר ולכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא כל המספרים חוץ מאשר נוהגים לרשום תחום זה בצורה: 67 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

6 5 0 דוגמה: מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה 0 נקבל: פתרון: נשווה את המכנה ל- פתרונות המשוואה הם או המכנה שווה לאפס כאשר או, כלומר תחום ההגדרה ( ) ו-, של הפונקציה הוא כל המספרים חוץ מאשר לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא, מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מהפונקציות הבאות: ( )( ) 5 8 f() א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- f() מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- ( ) נתונות הפונקציות: g(), f() האם הפונקציות זהות זו לזו? נמק כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

7 g() f(), נתונות הפונקציות: ( )( ) האם הפונקציות זהות זו לזו? נמק 6 הפונקציה אינה מוגדרת כאשר מצא את הערך של a 5 a b מצא את ערך הפרמטר מוגדרת עבור הפונקציה b 9, הוא תחום ההגדרה של הפונקציה m n מצא את m ואת n תשובות: 5, מוגדרת לכל 9, 6 מוגדרת לכל 6, 7 8,,, 0 5 לא 6 לא 7 ( ;0),, ב (;0) א, 0 n, m הנגזרת של מנת שתי פונקציות בסעיף זה נלמד למצוא נגזרות של פונקציות רציונליות ניתן למצוא את הנגזרת f() g() המורכבת מהמנה כאשר נתונה פונקציה שלה לפי הנוסחה: ' g() 0 f() f'() g() g'() f() g() g() במילים: הנגזרת של מנת שתי פונקציות שווה לנגזרת הפונקציה שבמונה כפול הפונקציה שבמכנה פחות נגזרת הפונקציה שבמכנה כפול הפונקציה שבמונה ומחלקים את ההפרש המתקבל בריבוע הפונקציה שבמכנה f() נוכיח את הנוסחה לנגזרת של מנת שתי פונקציות נסמן: h() g() h() g() (כאשר ( g() 0 ונקבל: f() 9 נכפול את שני האגפים ב- g() כעת נגזור את שני האגפים כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

8 את אגף שמאל נגזור לפי הנוסחה לנגזרת של מכפלת שתי פונקציות h'() g() f '() g'() h() f '() g'() h() h'() g() g() נקבל: h() h() g() ' h'() g() g'() הנגזרת של אגף ימין היא f'() שני האגפים זהים, לכן גם הנגזרות שלהן זהות h'() g() g'() h() f '() f() g() f() f'() g'() f '() g() g'() f() g() h'() g() : h'() h() נקבל: נבודד את במקום נציב נקבל את זהות (): f() על פי הסימון המקורי מתקיימת הזהות h() שני האגפים זהים, g() ' f() לכן גם הנגזרות שלהן זהות ומכאן נקבל את זהות (): g() h'() ' f() f '() g() g'() f() g() g() 5 7 על פי הזהויות () ו-( ) נקבל: דוגמה: מצא את הנגזרת של הפונקציה פתרון: f'() ונגזרתו היא 5 f() 5 המונה הוא המכנה הוא g() 7 ונגזרתו היא g'() 5( 7) (5 ) ' נציב בנוסחה לנגזרת של מנת פונקציות ונקבל: ( 7) ' ( 7) ( 7) נבצע במונה פתיחת סוגריים וכינוס איברים דומים נקבל: הערה: לאחר שגוזרים לפי הנוסחה לנגזרת של מנת שתי פונקציות, בחלק מהמקרים כדאי לפתוח סוגריים ולכנס איברים דומים במונה בלבד 675 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

9 f'() 5 דוגמה: מצא את הנגזרת של הפונקציה פתרון: המונה הוא f() 5 ונגזרתו היא המכנה הוא g() ונגזרתו היא g'() ( )( ) ( )( 5) ' ( ) ' 8 ( ) נציב בנוסחה ונקבל: במונה נפתח סוגריים ונכנס איברים דומים נקבל: הערות: () כאשר נתונה פונקציה שבמכנה שלה יש מספר קבוע לא חייבים לגזור אותה לפי הנוסחה לנגזרת של מנת שתי פונקציות ' f() f'() פונקציה כזו אפשר לגזור גם לפי הנוסחה: a a ' היא 5 5 למשל, הנגזרת של הפונקציה a בעזרת הנוסחה לנגזרת של מנת ' 0a a a ' a () אם נגזור את הפונקציה שתי פונקציות נקבל: למעשה מתקבלת הנוסחה כמו כן, אם נגזור את הפונקציה של מנת שתי פונקציות נקבל: a בעזרת הנוסחה לנגזרת f() 0f() f '() a a f '() ' f() f() ' a af'() f() (f()) למעשה מתקבלת הנוסחה: כדי לגזור פונקציות מהצורה a a ו-, ניתן להיעזר בנוסחה f() לנגזרת של מנת שתי פונקציות או להיעזר בשתי הנוסחאות שהצגנו 676 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

10 8 דוגמה: גזור את הפונקציה פתרון: דרך א' נגזור לפי הנוסחה לנגזרת של מנת שתי פונקציות המונה הוא f() 8 ונגזרתו היא f'() 0 המכנה הוא g() 0( ) 8 ' 6 ( ) ( ) ' ונגזרתו היא g'() דרך ב' נציב ונקבל: a af'() נגזור לפי הנוסחה f() (f ()), 8( )' ' 8 6 ( ) ( ) ( ) a f() n נקבל: הערה: פונקציות מהצורה a או n אפשר לגזור לפי הנוסחה לנגזרת של מנת שתי פונקציות ואפשר לגזור גם על ידי כך שנרשום את הפונקציה בעזרת מעריך שלילי 6 דוגמה: גזור את הפונקציה נגזור לפי הנוסחה לנגזרת של מנת שתי פונקציות ' ( ) פתרון: דרך א' נקבל: דרך ב' נרשום את הפונקציה בעזרת מעריך שלילי נקבל: 6 5 ' 6 ( ) נגזור ונקבל: גזור את הפונקציות הבאות: כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

11 9 0 ( 7) ( ) 6 6 ( ) ( ) (7 ) ( 5)( 7) ( ) ( ) ( 7) (5 ) גזור את הפונקציות הבאות בשתי דרכים: א כתוב את הפונקציה באמצעות מעריך שלילי וגזור ( 9) (6 ) 9 5 ב גזור באמצעות נוסחת הנגזרת של מנה 8 ( ) 7 ( 6 7) ( 7) 7 ( ) ( ) 8 ( )( ) ( 7) ( 6) 7 0 ( ) 6 ( ) ( ) ( 6) ( ) ( ) 5 תשובות: ( 6) 0 ( ) 5 ( ) (8 5)( 7) (5 ) כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

12 משיק פונקציות רציונליות דוגמה: 6 לגרף הפונקציה מעבירים משיק בנקודה ( ;) א חשב את שיפוע המשיק ב מצא את משוואת המשיק ג מהי הזווית שיוצר המשיק עם הכיוון החיובי של ציר ה-? פתרון: א נגזור את הפונקציה על-פי הנוסחה לנגזרת של מנת שתי פונקציות המונה הוא f() 6 ונגזרתו היא f'() 6 המכנה הוא g() ונגזרתו היא g'() 6( ) 6 ' ( ) ( ) ( ) נקבל: כדי למצוא את שיפוע המשיק בנקודה נקבל: ) (; נציב בנגזרת 6 8 () ' ( ) שיפוע המשיק הוא ב הנוסחה למציאת משוואת ישר היא ( m( והשיפוע נמצא את משוואת המשיק על-פי הנקודה ( ;) וזו משוואת המשיק ומכאן () נקבל: m ג כאשר נתון ישר ששיפועו m והישר יוצר זווית עם הכיוון החיובי של ציר ה- (מלמעלה) m קיים הקשר: tan נציב m נקבל: tan ומכאן 6 דוגמה: מצא שתי נקודות על גרף הפונקציה שבהן שיפוע המשיק 6 לגרף הוא 05 פתרון: נגזור על-פי הנוסחה לנגזרת של מנת שתי פונקציות ( 6) ( ) ' נקבל: ( 6) ( 6) ( 6) על פי הנתון שיפוע המשיק בנקודות הנ"ל הוא 05 ולכן הנגזרת של הפונקציה בנקודות אלה שווה גם היא ל כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

13 (6) (8; 5) נשווה את הנגזרת ל - 05 נקבל: 05 ומכאן ( 6) נפתח סוגריים, נכנס איברים דומים ונקבל: (;5) 6 נציב בפונקציה לסיכום, שיעורי נקודות ההשקה הם (5 ;8) ו- (5;) ערך הנגזרת, שיפוע המשיק פונקציות רציונליות f'(0) א מצא את הנגזרת של הפונקציה ב חשב את ערך הנגזרת של הפונקציה בנקודה מצא את ערך הנגזרת של הפונקציה בנקודה f'() (5)'f חשב את: א f() 7 א חשב את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה ב ג 6 בנקודה 6 בנקודה ב חשב את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f'() מצא את שיעור ה- בנקודות שבהן ערך הנגזרת הוא f() מצא את הנקודות על גרף הפונקציה שבהן מתקיים: כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

14 A f() א מצא באילו נקודות שיפוע המשיק לגרף הפונקציה הוא f() 70 ב מצא באילו נקודות שיפוע המשיק לגרף הפונקציה הוא 5 f() א הוכח שהפונקציה f() היא פונקציה אי-זוגית ב מצא את הנקודות על גרף הפונקציה שבהן ערך הנגזרת הוא אפס f() 9 5 מצא שתי נקודות על גרף הפונקציה שבהן המשיק לגרף הפונקציה מקביל לישר 0 7 מצא את הנקודות שבהן המשיקים לגרף 5 הפונקציה מאונכים לישר 7 5 א מצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה (;)A ב מצא נקודה על גרף הפונקציה שבה המשיק מקביל למשיק בנקודה תשובות: ג ( ; ) (; ) ' א ב 5 א ב 6 ( ) (;9), (; ) 6, 5 ב, (; 8 ב ) א ; 9 ב 8) ( ;, ב א ( ; 5) 7 א (;5), ( ; ), ( ; ) 0 (; 5), (7; 5) 9 68 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

15 משוואת משיק פונקציות רציונליות 6 לגרף הפונקציה מעבירים משיק בנקודה א מצא את שיפוע המשיק ב מצא את משוואת המשיק (;8) א מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה ב מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה ג מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ( ) בנקודה 6 לגרף הפונקציה מעבירים שני משיקים ששיפוע כל אחד מהם הוא א מצא את שיעורי נקודות ההשקה ב מצא את משוואות המשיקים מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה ששיפוע כל אחד מהם הוא 6 לגרף הפונקציה מעבירים משיק בנקודה על הגרף שבה מצא את משוואת המשיק גרף הפונקציה חותך את ציר ה- בנקודה A מצא את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה A א מצא על גרף הפונקציה את שיעורי הנקודות שבהן המשיקים מקבילים לציר ה- ב מצא את משוואות המשיקים מסעיף א' ג חשב את המרחק בין שני המשיקים שמצאת בסעיף ב' כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

16 7 5 מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה לישר העובר בנקודות המאונכים A(; ) B(0;) ו- 9 f() א הוכח שהפונקציה f() היא זוגית ב מצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה ג היעזר רק בסעיפים א' ו-ב' ומצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה הישר חותך את גרף הפונקציה f() בנקודות A ו- B מעבירים לגרף הפונקציה משיקים בנקודות אלה המשיקים נפגשים בנקודה P א מצא את שיעורי הנקודה P ב הוכח שהפונקציה f() היא אי-זוגית B A ג הישר חותך את גרף הפונקציה f() בנקודות C ו- D מעבירים לגרף הפונקציה משיקים בנקודות אלו המשיקים נפגשים בנקודה Q מצא את שיעורי הנקודה Q היעזר בסעיפים קודמים לגרף הפונקציה מעבירים משיק בנקודה 5 א מצא את שיפוע המשיק ב חשב את הזווית שיוצר המשיק עם הכיוון החיובי של ציר ה- לגרף הפונקציה מעבירים משיק בנקודה 0 חשב את הזווית שיוצר המשיק עם הכיוון החיובי של ציר ה- מצא באילו נקודות יוצרים המשיקים לגרף הפונקציה זווית בת 5 עם הכיוון החיובי של ציר ה- 5 א מצא את הזווית הנוצרת בין המשיק לגרף הפונקציה בנקודה (5 ;) לבין הכיוון החיובי של ציר ה- ב מצא נקודה נוספת על גרף הפונקציה, שבה המשיק יוצר אותה זווית (ראה סעיף א') עם הכיוון החיובי של ציר ה כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

17 5 הוכח שכל המשיקים לגרף הפונקציה עם הכיוון החיובי של ציר ה- יוצרים זווית קהה 6 f() נתונים הישר 6 והפונקציה א מצא לאילו ערכים של יש לישר ולפונקציה אותו שיפוע ב הצב בפונקציה f() ובמשוואת הישר הנתון את כל אחד מערכי ה- שקיבלת בסעיף א' וקבע באיזו נקודה הישר הנתון משיק לגרף הפונקציה f() הישר 8 משיק לגרף הפונקציה מצא את שיעורי נקודת ההשקה הגרפים של הפונקציות f() בנקודה הנמצאת ברביע הרביעי א מצא את שיעורי נקודת ההשקה ב מצא את משוואת המשיק המשותף g() ו- משיקים זה לזה f() הפונקציה f() היא נגזרת של הפונקציה אחרת g(), כלומר לפונקציה g() מעבירים משיק ששיפועו מצא את שיעור ה- של נקודת השקה g'() f() g'() f() f() הפונקציה f() היא נגזרת של פונקציה אחרת g(), כלומר לפונקציה g() מעבירים משיק בנקודה מהי הזווית שיוצר המשיק עם הכיוון החיובי של ציר ה-? 75 7 א מצא את הנגזרת הראשונה ' ואת הנגזרת השנייה " ב מצא נקודה שבה ישר מסוים משיק לגרף הפונקציה וגם לגרף הנגזרת כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

18 g() f '() f(), כלומר א 58 f() הפונקציה g() היא נגזרת של הפונקציה הפונקציות f() ו- g() משיקות זו לזו מצא את שיעורי נקודת ההשקה 7 א 7 תשובות: ג ב ב, ב (; ) א (5;8), 6 7 6, 5 7 7, ג 9, ב ( ; ) 8 א (;, ) א ב 0 ג א ג ; ; 0 ב, 7 א (5; ) ב 6, (;) 5 א (; ) ב (;) 8 (;9) 9 א ) (; ב '' ' ( ; ) א, ב 9;75) ( ( 7) ( 7) משיק בעיות עם פרמטרים (פונקציות רציונליות) דוגמה: m שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה הוא מצא את ערך הפרמטר m ( ) ( m) ' m ( ) ( ) פתרון: נגזור את הפונקציה נקבל: השיפוע בנקודה הוא ולכן נציב בנגזרת ונשווה את הנגזרת, כלומר ומכאן m m m 6 ל- נקבל: ( ) f() k שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה הוא א מצא את הערך של k ואת שיעורי נקודת ההשקה ב מצא את משוואת המשיק 685 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

19 f() 9 שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה a א מצא את שני הערכים של a ב עבור הערך הקטן של מצא את משוואת המשיק הנ"ל, a מבין שתי האפשרויות שמצאת, הוא 5 המשיק לגרף הפונקציה בנקודה k מאונך לישר מצא את k ואת משוואת המשיק 6 B המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות ו- מקבילים זה לזה מצא את B 5 m ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה יוצר זווית של עם הכיוון החיובי של ציר ה- א מצא את m ב מעבירים לגרף הפונקציה משיק בנקודה חשב את הזווית שיוצר המשיק עם הכיוון החיובי של ציר ה- A שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה הוא 5 A א מצא את A ב הוכח שהפונקציה f() היא פונקציה אי-זוגית ג היעזר בסעיפים קודמים ומצא את שיפוע המשיק לפונקציה f() בנקודה c הנקודה (;)A נמצאת על גרף הפונקציה b שיפוע המשיק לגרף בנקודה A הוא 05 מצא את הפרמטרים b ו- c B משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה היא 5 A מצא את A ואת B b b מעבירים משיק בנקודה שבה 5 לגרף הפונקציה a משוואת המשיק היא 7 מצא את ערכי הפרמטרים a ו כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

20 6 a משיק לגרף הפונקציה הישר 5 a מצא את הערך של לגרף הפונקציה מעבירים משיק בנקודה שבה n שיפוע המשיק הוא מצא את n a ( a 0, a b) המשיקים לגרף הפונקציה b בנקודות החיתוך שלה עם הצירים מקבילים זה לזה הוכח: a b f() b b, מקביל לישר המשיק b א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה b 5 מצא את הערך של לגרף הפונקציה בנקודה שבה רשום את שתי האפשרויות המתקבלות t שיפוע הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה הוא מצא את הערך של t a משיק לגרף הפונקציה מצא את הישר a ואת שיעורי נקודת ההשקה 6a נתונות שתי פונקציות: g(), f() a 6c נתון כי הפונקציה g() משיקה לפונקציה f() בנקודה מצא את הערך של הפרמטר c b לפונקציות a ו- (b 0) יש משיק משותף באותה נקודה שיעור ה- של נקודת ההשקה הוא מצא את a ואת b כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

21 a מעבירים משיק בנקודה 9 לגרף הפונקציה א הבע באמצעות a את משוואתו של המשיק ב הבע באמצעות a את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים ג הראה ששטח המשולש שיוצר המשיק עם הצירים אינו תלוי ב- a וחשב את גודל השטח לגרף הפונקציה מעבירים משיק בנקודה m ברביע הראשון א הבע באמצעות m את משוואת המשיק ב ידוע שסכום אורכי הקטעים שמשיק זה יוצר עם הצירים הוא 0 מצא את m ברביע הראשון לגרף הפונקציה מעבירים משיק בנקודה שבה t א הבע באמצעות t את משוואת המשיק ב נתון כי המשיק עובר דרך הנקודה (0;) שמחוץ לגרף הפונקציה מצא את שיעורי נקודת ההשקה דרך הנקודה (0;) מעבירים משיק לגרף הפונקציה מצא את שיעורי נקודת ההשקה א דרך הנקודה (8 ;0) מעבירים משיקים לגרף הפונקציה מצא את משוואות המשיקים 5 ב דרך הנקודה (7;) מעבירים משיקים לגרף הפונקציה מצא את משוואות המשיקים k לגרף הפונקציה מעבירים משיק בנקודה שבה המשיק עובר דרך הנקודה ( ;6) שמחוץ לגרף מצא את הערך של k כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

22 m ישר המשיק לפונקציה בנקודה שבה חותך את ציר ה- בנקודה שבה מצא את m 57 f() 58 הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה והנקודה B נמצאת g() על גרף הפונקציה הקטע AB מקביל לציר ה- נתון כי המשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה A מקביל למשיק לגרף הפונקציה g() בנקודה B מצא את שיעורי הנקודות A ו- B ב 6 5 א a 5 או a א 7 7, k תשובות: א, k (;8) ב ב b, a B, A 6 c 5, b 0 9 א ג 5 ) (5; או 6 א ב או, a b, a 5 א ( 7 ;0 ), a 0 8 a a 9 ב או (0; 8, (a;0) ג 8 יח"ר 5 א 8 ב ) a m m 78, ב (;) 5 (; 55 א 8 5 א ) t t B( ; ), A( ;0) ב, כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

23 נקודות קיצון פונקציות רציונליות כאשר למדנו למצוא נקודות קיצון (פנימיות) של פונקציית פולינום ראינו כי כאשר בנקודה על הגרף הנגזרת שווה לאפס, קיימות שתי דרכים עיקריות לפיהן ניתן לקבוע האם הנקודה היא מינימום או מקסימום או שאינה נקודת קיצון דרך א' בעזרת סימן הנגזרת השנייה בנקודה דרך ב' בעזרת טבלת עלייה וירידה גם בפונקציות רציונליות ניתן להיעזר בשתי הדרכים הנ"ל דוגמה: 5 מצא את נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה פתרון: הנגזרת של הפונקציה היא ( 5) 5 ' 5 נשווה את הנגזרת לאפס נקבל: 0 נכפול במכנה המשותף או 5 ומכאן 5 כלומר 5, 5 נקבל: 0 כדי למצוא את שיעורי ה- של הנקודות שקיבלנו נציב את שיעורי ה- בפונקציה 5 נציב 5 ונקבל: נציב 5 ונקבל: הנקודה היא (0;5) ( 5) 5 ( 5; 0) הנקודה היא 0 5 נקבע עבור כל נקודה אם היא מינימום או מקסימום או שאינה נקודת קיצון דרך א' - ניעזר בטבלה כדי למצוא נקודות קיצון של פונקציה רציונלית באמצעות טבלה ניעזר בשלבים הבאים: א נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב נמצא את שיעורי ה- של הנקודות שבהן מתקיים ' 0 ג נסמן על ציר מספרים את שיעורי ה- שבהם הפונקציה אינה מוגדרת ואת שיעורי ה- נבחר ערך כלשהו של שבהם מתקיים ' 0 בכל אחד מהתחומים שנוצרו ונבדוק בעזרתו האם הנגזרת חיובית או שלילית באותו התחום לפי סימן הנגזרת משני צידי הנקודה נקבע האם היא מינימום או מקסימום או שאינה נקודת קיצון 690 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

24 5 נמצא בעזרת טבלה את נקודות הקיצון של הפונקציה הנתונה שלב א' תחום ההגדרה של הפונקציה הוא 0 שלב ב' שיעורי ה- של הנקודות בהן ' הם 0 5 ו- 5 שלב ג' נסמן על ציר מספרים את שיעורי ה- בהם הפונקציה אינה מוגדרת, כלומר 0 כמו כן, נסמן את שיעורי ה- של הנקודות שבהן מתקיים ' 0 שיעור ה- בנקודות אלה הוא 5 ו- 5 נוצרו תחומים התחום הראשון הוא התחום שמשמאל ל- 5 התחום השני הוא התחום שבין 5 ל- 0 התחום השלישי הוא התחום שבין 0 ל- 5 התחום הרביעי הוא התחום שמימין ל- 5 בכל אחד מהתחומים שנוצרו נבחר ערך כלשהו של שים לב! ' 5 ונציב אותו בנגזרת המטרה העיקרית אינה למצוא את הערך של הנגזרת בכל תחום אלא רק לקבוע האם הנגזרת חיובית או שלילית באותו התחום מכיוון שהמכנה של הנגזרת הוא ביטוי שאינו יכול להיות שלילי, הוא אינו משפיע על סימן הנגזרת ולכן ניתן להציב במונה בלבד ולא חייבים להציב בביטוי המקורי של הנגזרת במילים אחרות, נוכל להציב בביטוי 5 שהוא המונה של הנגזרת בכל אחד מהתחומים שנוצרו נציב ערך כלשהו של תחום עלייה תחום ירידה תחום ירידה תחום עלייה נסמן בטבלה את ' ( 6) 50 ( 6) ' () ( ) 560 ' () 560 ( 6) ' 6 50 התוצאות שקיבלנו: במונה של הנגזרת ניתן לראות שבנקודה 5 הפונקציה עוברת מעלייה לירידה ולכן בנקודה זו יש לפונקציה מקסימום כמו כן, בנקודה 5 הפונקציה עוברת מירידה לעלייה ולכן בנקודה זו יש לפונקציה מינימום לסיכום, נקודות הקיצון הן: (0;5) מינימום, ( 5; 0) 6 6 מקסימום 6 69 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

25 דרך ב' - ניעזר בסימן הנגזרת השנייה הנגזרת הראשונה היא נגזור שוב ונקבל: נציב 5 ונקבל: (") ' 5 ( 5) " ( ) " (5) הנגזרת השנייה חיובית בנקודה (0;5) ולכן הנקודה היא מינימום נציב 5 ונקבל: " ( 5) 0 ( 5) 5 הנגזרת השנייה שלילית בנקודה (0 ( ;5 ולכן הנקודה היא מקסימום לסיכום, נקודות הקיצון הן: (0;5) מינימום, (0 ( ;5 מקסימום כלל חשוב! א כאשר הנגזרת הראשונה היא מנה (שבר) שהמכנה שלה הוא ביטוי שאינו יכול להיות שלילי, נוכל לקבוע האם בנקודה החשודה כנקודת קיצון הנגזרת השנייה חיובית או שלילית בצורה הבאה: נגזור רק את המונה של הנגזרת הראשונה ב נציב את שיעור ה- של הנקודה החשודה בביטוי שמצאנו בסעיף א' ועל פי הסימן המתקבל נקבע האם הנקודה היא מינימום או מקסימום ' 5 למשל, בדוגמה זו הנגזרת הראשונה היא המכנה הוא ביטוי שאינו יכול להיות שלילי ולכן נמצא נגזרת שנייה למונה בלבד נקבל : " מונה בלבד (5) " מונה בלבד נציב 5 ונקבל: הנגזרת השנייה חיובית ולכן הנקודה (0;5) היא נקודת מינימום (5) " מונה בלבד נציב 5 ונקבל: ( 5) 0 0 הנגזרת השנייה שלילית ולכן הנקודה (0 ( ;5 היא נקודת מקסימום נוכיח את הכלל הנ"ל נגזרת הפונקציה היא נניח כי הפונקציה היא f() g() f '() g() g'() f() ' g() נסמן ב- h() את המונה של הנגזרת, כלומר אם הנקודה ' h() g() חשודה כנקודת קיצון, אז h( ) 0 אם נגזור את המונה בלבד נקבל נציב " h'() ( ) ונקבל: ) h'( " מונה בלבד מונה בלבד 69 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

26 , נמצא כעת את הנגזרת השנייה h'() g() g() g'() h() " נקבל: g() אם נציב בביטוי של " את שיעור ה- של הנקודה החשודה " ( ) h'( ) g( ) g( ) g'( ) h( ) g( ) h( ) 0 " נקבל: המחובר הימני במונה מתאפס, שהרי g() g() g() h'( ) g( ) 0 h'( ) ( ) נקבל: מאחר והמכנה חיובי בכל תחום ההגדרה, סימן הנגזרת השנייה h'( ) הוא למעשה הסימן של, כלומר זהה לסימן המתקבל כאשר מוצאים נגזרת שנייה רק למונה של הנגזרת הראשונה דוגמה: מצא את נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה פתרון: נגזור את הפונקציה על-פי הנוסחה לנגזרת של מנת שתי פונקציות ( ) ( )( ) ' 6 נקבל: ( ) ( ) 6 0 6, כלומר ( ) נשווה את הנגזרת לאפס נקבל: 0 ומכאן ( ) 0 פתרונות המשוואה הם: 0 או נמצא את שיעורי ה- על-ידי הצבה בפונקציה 0, כלומר 5 הנקודה היא (0;5) נציב 0 נקבל: 0 0 (; 5) הנקודה היא כלומר 5, נציב נקבל: נקבע האם הנקודה היא מינימום או מקסימום או שאינה נקודת קיצון דרך א' - ניעזר בטבלה נסמן על ציר מספרים את שיעורי ה- של הנקודות שבהן מתקיים, ' 0 כלומר 0 ו- כמו כן עלינו נסמן על הציר את ערכי ה- שבהם הפונקציה אינה מוגדרת 69 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

27 כדי למצוא עבור אילו ערכי הפונקציה אינה מוגדרת נשווה לאפס את המכנה של הפונקציה נקבל: 0, נפתור את המשוואה הריבועית נקבל: למשוואה אין פתרון, כלומר המכנה אף פעם לא שווה לאפס ולכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא כל של מאחר והפונקציה מוגדרת לכל ערך, אין סימונים נוספים על הציר נוצרו שלושה תחומים התחום הראשון הוא התחום שמשמאל ל- 0 התחום השני הוא התחום שבין 0 ל- התחום השלישי הוא התחום שמימין ל- בכל אחד מהתחומים שנוצרו נבחר ערך כלשהו של ונבדוק בעזרתו ' 6 חיובית או שלילית ובהתאם לתוצאה האם הנגזרת ( ) נוכל לדעת האם הפונקציה עולה או יורדת באותו התחום הטבלה המתקבלת לאחר ההצבה מתוארת משמאל: ניתן לראות שבנקודה 0 הפונקציה עוברת מעלייה לירידה, לכן בנקודה 0 מתקבל מקסימום כמו כן בנקודה הפונקציה עוברת מירידה לעלייה לכן בנקודה מתקבל מינימום לסיכום, נקודות הקיצון הן (5;0) מקסימום, (5 ;) מינימום דרך ב' - ניעזר בסימן הנגזרת השנייה הנגזרת הראשונה היא: ' 6 ( ) המכנה של הנגזרת הראשונה הוא ביטוי בריבוע, כלומר הוא אינו יכול להיות שלילי, לכן נמצא נגזרת שנייה למונה בלבד: " 6 6 מונה בלבד נציב 0 ונקבל: " מונה בלבד סימן הנגזרת השנייה הוא שלילי ולכן הנקודה נציב ונקבל: (0;5) " מונה בלבד היא מקסימום סימן הנגזרת השנייה הוא חיובי ולכן הנקודה (5 ;) היא מינימום לסיכום, נקודות הקיצון הן: דוגמה: (0;5) מקסימום, 0 5) (; מינימום הוכח שלפונקציה אין נקודות קיצון 69 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

28 ( ) ( ) ' 9 ( ) ( ) 9 ומכאן 90 0 ( ) פתרון: נגזור את הפונקציה ונקבל: נשווה את הנגזרת לאפס נקבל: למשוואה אין פתרון, כלומר הנגזרת אף פעם לא שווה לאפס ולכן 60 לפונקציה אין נקודות קיצון מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות וקבע אם הן מינימום ( ) ( 5)( ) ( ) 6 ( ) 5 8 או מקסימום ( ) ( ) הראה שלפונקציה אין נקודות קיצון א מצא את הנקודות על גרף הפונקציה שבהן מתקיים ' 0 ב קבע עבור כל אחת מהנקודות שמצאת בסעיף א', האם היא נקודת מינימום או נקודת מקסימום או שאינה נקודת קיצון f() נקודה שאינה נקודת קיצון מצא על גרף הפונקציה אך מתקיים בה f'() כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

29 ו- 9 הוכח: המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות את זה בנקודת הקיצון של הפונקציה חותכים זה (; מקסימום, ( ; מינימום 0) (; מקסימום, ) תשובות: ) מינימום (;) מקסימום (;) מקסימום, ; ( מינימום ) (5;8) ) ( ; מינימום ;) ( מקסימום, (;75) מינימום 6 אין ) (; מקסימום, ;) ( מינימום 8 (0;007) מינימום 9 ) ( ; מקסימום (;0) מינימום, ( 5 מקסימום 0 ; 9 ) ) (; מקסימום (;0) מינימום, 8766) 5; ( מינימום 6 ) (; מקסימום, ) ( ; מינימום 5 ) (; מקסימום, (;0) מינימום, ) ; ( מקסימום 7 א (0;0), 7) (; ב 7) (; מינימום, 6 (0;0) אינה נקודת קיצון 8 (0;) לפונקציה נקודות קיצון מציאת פרמטרים יש נקודת קיצון ב- מצא את a a 9 70 m לפונקציה (m 0) יש קיצון בנקודה m א מצא את m (רשום את שתי האפשרויות) ב עבור הערך החיובי של, m מצא את נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה A לפונקציה יש מקסימום בנקודה 8 א מצא את נקודת המינימום של הפונקציה ב מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת המינימום שלה לפונקציה יש קיצון בנקודה 5 m א מצא את m ב לפונקציה יש שתי נקודות קיצון מצא את משוואת הישר העובר דרך שתי נקודות הקיצון כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

30 A ( A) יש קיצון בנקודה שבה לפונקציה הפרמטר A הוא מספר שלם חשב את הערך של a הפונקציות f() b (a) ו- g() b מקבלות ערך קיצון עבור מצא את a ואת b a b לפונקציה יש קיצון כאשר 6 וכאשר מצא את a ואת b (5; ) יש נקודת מקסימום ב - לגרף הפונקציה a b א מצא את a ואת b ב האם יש לפונקציה נקודת מינימום? אם כן, מצא את שיעוריה k לגרף הפונקציה מעבירים בנקודה (0;) משיק ששיפועו t א מצא את t ואת k ב מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה f() 6 a ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שלה הוא א מצא את הערך של a ב הוכח שלפונקציה הנגזרת f'() אין נקודות קיצון k m לפונקציה f() יש נקודת קיצון ב- ) (5; 65 5 א מצא את k ואת m ב הפונקציה f() היא נגזרת של פונקציה אחרת g(), כלומר f() g'() מצא את שיעור ה- של נקודות הקיצון של g() וקבע את סוג הקיצון הנח שתחום ההגדרה של g() זהה לתחום ההגדרה של f() כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

31 f() k היא פונקציה זוגית f() א הוכח שהפונקציה של אחת מנקודות ב לפונקציה יש שתי נקודות מינימום שיעור ה- 6 המינימום הוא בנקודת המינימום השנייה של הפונקציה? מהו שיעור ה - k ג מצא את הערך של (;) 9 0 תשובות: א א ב א או ב ב מינימום, ) ( ; מקסימום b, a 5 k 8 א, t m5 0 א, k 5 7 א b, a ב כן, (0;0) 9 א 8 ב 6 (; ) b, a 6 ב ) ; ( מינימום, ) ( ; מקסימום 9 ב 5 מינימום, 5 מינימום ג נקודות קיצון הבעה באמצעות פרמטרים k 0, k הבע באמצעות k את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוג הקיצון (b ) b א הוכח שהפונקציה מוגדרת לכל ערך של ב הבע באמצעות b את נקודות הקיצון של הפונקציה ג מצא את b אם ערך הפונקציה בנקודת המקסימום שלה הוא 8 m א הוכח: שיעור ה- של נקודות הקיצון של הפונקציה אינו תלוי ב- m ב הבע על ידי m את נקודות הקיצון הנ"ל m 0 m m, f() 0 m () אם א מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה: () אם 0 ב מצא את m אם נקודת הקיצון של הפונקציה נמצאת על הישר כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

32 m ) פרמטר) m א הבע באמצעות m את שני ערכי, שעבורם מתאפסת הנגזרת של הפונקציה סמן אותם ב - וב- כך ש - ב חשב את, m אם ידוע ש- k ( ) : הבע באמצעות k את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה: א אם k ב אם k ג אם k ד אם k k k, מצא את נקודות המינימום k והמקסימום של הפונקציה (במידת הצורך, היעזר בפרמטר ) k f() k k 9, 9 א הוכח שהפונקציה f() היא פונקציה זוגית ב מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה ג קבע לאילו ערכי : k () נקודת הקיצון היא מסוג מינימום () נקודת הקיצון היא מסוג מקסימום מקביל לציר ה- ד ישר המשיק לפונקציה בנקודה שבה מצא את הערך של k תשובות: ) (k; מקסימום ב ) (b; מקסימום, b k ( b; ) מינימום ג ב m) (; מינימום, m) ( ; מקסימום b 5 א () ) (m; מקסימום () ) (m; מינימום ב או m m k ב 7 א ) ; (k מינימום m, 6 א m k k (k ; k ב ) מקסימום ג ) ; k) מינימום ד אין 8 (;) מקסימום, k k k k ד 8 9 () k 9 () מינימום 9 ב ) (0; ג (k ;k 7) כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

33 פונקציות רציונליות תחומי עלייה וירידה כדי למצוא תחומי עלייה וירידה של פונקציה רציונלית נוכל להיעזר בשלבים הבאים: א נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב נמצא את שיעור ה- של הנקודות שבהן מתקיים ' 0 ג נסמן על ציר מספרים את ערכי ה- שעבורם הפונקציה אינה מוגדרת ואת שיעורי ה - שבהם מתקיים ' 0 ונבדוק בכל אחד מהתחומים שנוצרו האם ערך הנגזרת הוא חיובי או שלילי לפי סימן הנגזרת נקבע את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה נסביר זאת באמצעות מספר דוגמאות דוגמה: מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה פתרון: שלב א': נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה נשווה את המכנה לאפס: 0 פתרונות המשוואה הם או, לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא, שלב ב': נמצא את שיעורי ה- נגזרת הפונקציה היא: בנקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס ( ) ( )( ) ' 6 5 ( ) ( ) 65, כלומר 650 נשווה את הנגזרת לאפס נקבל: 0 ( ) פתרונות המשוואה הם: 5 או שלב ג': נסמן על ציר מספרים את שיעור ה- של הנקודות שבהן מתקיים ' 0 שיעור ה- בנקודות אלה הוא 5 ו- כמו כן, נסמן על הציר את ערכי ה- בהם הפונקציה אינה מוגדרת שהם ו- נוצרו חמישה תחומים בכל אחד מהתחומים שנוצרו נבחר ערך כלשהו של האם ערך הנגזרת הראשונה ונבדוק בעזרתו ' 65 הוא חיובי או שלילי ( ) תחום שבו ערך הנגזרת הוא חיובי הוא תחום עלייה של הפונקציה ותחום שבו ערך הנגזרת הוא שלילי הוא תחום ירידה של הפונקציה 700 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

34 שים לב! המטרה העיקרית אינה למצוא את הערך של הנגזרת בכל תחום אלא רק לקבוע האם הנגזרת חיובית או שלילית באותו התחום מכיוון שהמכנה של הנגזרת הוא ביטוי שאינו יכול להיות שלילי, הוא אינו משפיע על סימן הנגזרת ולכן ניתן להציב במונה בלבד ולא חייבים להציב בביטוי המקורי של הנגזרת בכל אחד מהתחומים שנוצרו נבחר ערך כלשהו של תחום ירידה ונציב אותו במונה של הנגזרת () ' מונה ( ) 6( ) 50 תחום ירידה תחום עלייה (0) ' מונה (5) ' מונה תחום עלייה תחום ירידה () ' מונה 650 (6) ' מונה נסמן בטבלה את התוצאות שקיבלנו: על פי הטבלה נוכל לרשום את תחומי העלייה והירידה או תחומי העלייה הם: 5 תחומי הירידה הם: 5 דוגמה: או או מצא את נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ( ) ' 6 6 ( ) ( ) ( ) 6 0 6, כלומר ( ) 0 פתרון: נגזור את הפונקציה: נשווה את הנגזרת לאפס נקבל: 0 ומכאן ( ) 0 פתרונות המשוואה הם: או הנקודה היא (0;0) נציב 0 בפונקציה ונקבל 0 נציב בפונקציה ונקבל 7 הנקודה היא 7) (; כדי לקבוע את סוג הקיצון ניעזר בטבלה נסמן על ציר מספרים את שיעור ה- ' 0 שיעור ה- אלה הוא של הנקודות שבהן מתקיים בנקודות 5 6 ו כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

35 כמו כן, נסמן על הציר את שיעור ה- שבו הפונקציה אינה מוגדרת תחום ההגדרה של הפונקציה הוא 0 בטבלה גם כלומר ולכן נסמן 5 בכל אחד מהתחומים שנוצרו ' 6 ( ) נבחר ערך כלשהו של ונציב אותו במונה של הנגזרת שהיא ירידה ירידה 0' () 6() 8 מונה בלבד () 0' 6 מונה בלבד () ירידה עלייה 0' מונה בלבד (5) () 6 0 ' מונה בלבד על-פי הטבלה, בנקודה הפונקציה עוברת מירידה לעלייה ולכן הנקודה (7 ;) היא נקודת מינימום לעומת זאת, ניתן לראות שהפונקציה יורדת גם מימין לנקודה 0 וגם משמאל לנקודה 0 ולכן בנקודה זו אין קיצון נקודה זו נכללת בתחומי הירידה ולכן או תחומי העלייה הם ותחומי הירידה הם הערה: ראינו כי בנקודה 0 הנגזרת הראשונה שווה לאפס, אך הנקודה אינה נקודת קיצון בהמשך נראה שנקודה כזו היא נקודת 6 70 ( ) פיתול שהמשיק דרכה מקביל לציר ה- עבור כל אחת מהפונקציות הבאות מצא: א תחום הגדרה ב תחומי עלייה וירידה מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציות הבאות: 5 ( )( ) כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

36 עבור כל אחת מהפונקציות הבאות מצא: א תחום ההגדרה ב נקודות קיצון ג תחומי עלייה וירידה 50 8 א הוכח שהפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה עולה בכל תחום הגדרתה ב הוכח שהפונקציה 5 f() א מצא את הנקודות על גרף הפונקציה שבהן f'() 0 וקבע עבור + 6 = - 7 כל אחת מהן אם היא נקודת קיצון ב מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה 0 מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציות הבאות: ( ) = 6 ( + ) ( ) קבע האם הפונקציה עולה או יורדת: 6 ב בנקודה א בנקודה 5 ד בנקודה 5 ג בנקודה א הראה שהפונקציה עולה בנקודה 0 ב עד איזה ערך של הפונקציה ממשיכה לעלות? m הפונקציה עולה עבור ויורדת עבור מצא את m וידוע שנגזרת הפונקציה a מצא את התחום שבו נמצא a הפונקציה עולה בנקודה אינה מתאפסת בנקודה כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

37 5, 0 f() הוא k תחום ההגדרה של הפונקציה א מצא את הערך של k ב הוכח שהפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה g'() f() k f() k k, מצא לאילו ערכים של הפונקציה f() יורדת לכל בתחום ההגדרה שלה f() הפונקציה g() 0 ומקיימת בתחום זה מוגדרת בתחום מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה g() (a 0) f() a : a א הבע באמצעות () תחום הגדרה () נקודות קיצון () תחומי עלייה וירידה ב נתון כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על הישר מצא את הערך של a b א נתון: b 0 מצא: () תחום הגדרה () נקודות קיצון () תחומי עלייה וירידה ב נתון: b 0 מצא: () תחום הגדרה () נקודות קיצון () תחומי עלייה וירידה ( a) a 0, הבע באמצעות a את נקודות ( a) הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() a (a b, b 0, a 0) המשיקים לגרף b הפונקציה בנקודות החיתוך שלה עם הצירים מקבילים זה לזה א הוכח: a b ב הוכח שכאשר a b הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

38 5 ירידה:, א תשובות : ב עלייה: ב עלייה: או, ירידה: או או, א 8, ירידה: א כל ב עלייה: או או או 0 עלייה: 5 או ;, 6 עלייה:, ירידה: או עלייה: או <- ; ירידה: 0 או ירידה: 8 עלייה: אף 0 ירידה: ; או 7 עלייה: או 0 ; או 0 0 ירידה: או או 9 עלייה: 0 א, או או או ג עלייה: או ירידה: ב ) (; מקסימום 9 ב ( ;0) מקסימום,, א ירידה: או או 0 ירידה: או 0 מינימום ג עלייה: ( ; 9 ) א 0 או ב 0;0) ( מינימום, 0) (0; מקסימום או 0 0 ירידה: ; 0 או 0 0 ג עלייה: 0 א 596) ( ; מקסימום; ;596) ( מינימום, (0;0) אינה נקודת קיצון או או ; ירידה: ב עלייה: או 5 עלייה:, ירידה: או או 6 עלייה: או ; ירידה: 8 ; עלייה: ירידה: או א יורדת ב עולה k () אין ב () כל א 5 a a 5 א () ג יורדת ד עולה ב ; (a;a) מינימום () עלייה: a או 0 b, 6 א () b 0 ; ירידה: עלייה: מקסימום, ב (0;0) () 0 a או a ירידה: a b או b () עלייה: אין; ירידה: b או b ( b; b ( b; b מקסימום, ) מינימום () עלייה: ; b b () b b b ירידה: b או עלייה: a או 05a) ( 7a; מקסימום 7 7a a ירידה: ; 7a 705 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

39 פונקציות רציונליות אסימפטוטות אנכיות התנהגות פונקציה בסביבה של נקודת אי הגדרה ראינו כי פונקציה רציונלית אינה מוגדרת כאשר המכנה שלה שווה לאפס נבחן למשל את הפונקציה תחום ההגדרה של הפונקציה הוא בנקודה שבה, כלומר גרף הפונקציה אינו עובר כדי לדעת כיצד מתנהג גרף הפונקציה בסביבה שמימין ל- ובסביבה שמשמאל ל- נבנה טבלת ערכים הקרובים ל - נקבל: ניתן לראות שעבור ערכי והולכים ומתקרבים ל -, ערכי ה- של הפונקציה הולכים וגדלים ושואפים לפלוס אינסוף ) ( היא שכאשר מציבים ערכי הנמצאים מימין ל- הסיבה לכך הנמצאים מימין ל- והולכים ומתקרבים ל -, המכנה הוא מספר חיובי שהולך ומתקרב לאפס מאחר והמונה קבוע ושווה ל -, הרי המנה כולה חיובית והיא הולכת וגדלה ושואפת לפלוס אינסוף ) ( בדרך דומה, עבור ערכי הנמצאים משמאל ל- והולכים ומתקרבים ל -, ערכי ה- של הפונקציה הולכים וקטנים ושואפים מציבים ערכי למינוס אינסוף ) ( הסיבה לכך היא שכאשר, - והולכים ומתקרבים ל הנמצאים משמאל ל- המכנה הוא מספר שלילי שהולך ומתקרב לאפס מאחר והמונה קבוע ושווה ל-, הרי המנה כולה שלילית והיא הולכת וקטנה ושואפת למינוס אינסוף ) ( אסימפטוטה אנכית המאונך לציר ה- נקרא אסימפטוטה הגדרה: ישר מהצורה אנכית לפונקציה f(), אם עבור ערכי שמתקרבים ל- משמאל או מימין, ערכי הפונקציה f() שואפים לפלוס אינסוף ) ( או למינוס אינסוף ) ( על פי הגדרה זו, בפונקציה הישר, שהגרף שלה תואר לעיל, הוא אסימפטוטה אנכית אין כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

40 דוגמה: שרטט פתרון: את גרף הפונקציה הפונקציה אינה מוגדרת ב- בסביבה שמימין ומשמאל ל- 0 0 כדי לדעת כיצד נראה גרף הפונקציה בסביבה שמימין ל- 0 ובסביבה שמשמאל ל - 0, נבנה טבלת ערכים הקרובים ל- 0 נקבל את התיאור הגרפי הבא: והולכים הנמצאים מימין ל- 0 ניתן לראות שעבור ערכי של הפונקציה הולכים וגדלים ושואפים ומתקרבים ל-, 0 ערכי ה- הנמצאים משמאל ל - 0 לפלוס אינסוף ) ) כמו כן, עבור ערכי של הפונקציה הולכים וגדלים והולכים ומתקרבים ל - 0, ערכי ה- שהולכים ומתקרבים לאפס ושואפים לפלוס אינסוף ) ( הסיבה לכך היא שכאשר מציבים ערכי הוא מספר חיובי שהולך ומתקרב לאפס (מימין או משמאל), המכנה מאחר והמונה קבוע ושווה ל -, הרי המנה כולה חיובית והיא הולכת וגם בסביבה וגדלה ושואפת לפלוס אינסוף, גם בסביבה שמימין ל- 0, f() נקרא אסימפטוטה אנכית לפונקציה שמשמאל ל- 0 ראינו כי ישר מהצורה משמאל או מימין, ערכי הפונקציה שמתקרבים ל - אם עבור ערכי שואפים לפלוס אינסוף או למינוס אינסוף f() על פי הגדרה זו, (ציר ה- במקרה שלפנינו הישר 0 הוא אסימפטוטה אנכית לפונקציה שים לב! 075 ( אין א לפונקציה יכולה להיות גם יותר מאסימפטוטה אנכית אחת ב אסימפטוטה אנכית תהיה תמיד קו המקביל לציר ה- (או מתלכד עם ציר ה- ) 707 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

41 השלבים למציאת אסימפטוטות אנכיות לפונקציה רציונלית א משווים את המכנה לאפס ופותרים את המשוואה המתקבלת הפתרונות המתקבלים (אם מתקבלים) יכולים להוות אסימפטוטות אנכיות לפונקציה ב מציבים במונה כל אחד מהפתרונות שהתקבלו בשלב א' אם כאשר מציבים במונה את הפתרון, מתקבל במונה מספר שונה מאפס, אז הישר הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה ג אם כאשר מציבים במונה את הפתרון, המונה מתאפס, קיים חשד שהישר אינו אסימפטוטה אנכית של הפונקציה, אלא נוצר "חור" בגרף בנקודה במצב כזה קיימות שתי דרכים לפיהן נוכל להחליט האם מתקבלת אסימפטוטה או נוצר "חור" בגרף דרך א' מצמצמים את הפונקציה עד כמה שאפשר לאחר הצמצום בודקים אם הערך מאפס את המכנה אם כן, אז הישר הוא אסימפטוטה אנכית, ואם לא, אז הישר אינו אסימפטוטה אנכית, אלא נוצר "חור" בגרף בנקודה דרך ב' מציבים בפונקציה ערכי ההולכים ומתקרבים ל- יותר ויותר אם ערך הפונקציה הולך ומשתנה ומתקרב לפלוס אינסוף או למינוס אינסוף, אז מתקבלת אסימפטוטה אנכית, ואילו אם ערך הפונקציה הולך ומתקרב למספר מסוים, נוצר "חור" בגרף דוגמה: מצא את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה פתרון: כלומר, נשווה את המכנה לאפס נקבל: 0 אם נציב במונה נקבל 6, כלומר הפתרון אינו מאפס את המונה, לכן הישר הוא אסימפטוטה אנכית לפונקציה הערה: לאחר שיודעים שהפונקציה אינה מוגדרת עבור, אפשר להעריך האם קיימת אסימפטוטה אנכית גם לפי התנהגות הפונקציה בסביבת נקודת אי-ההגדרה למשל, אם מציבים בפונקציה ערכי גדולים מ- והולכים ומתקרבים ל-, הוא מספר חיובי המכנה ששואף לאפס, המונה כלומר שואף ל-, 6 ומכאן שהשבר כולו חיובי שואף לפלוס אינסוף ( ) כמו כן, אם מציבים בפונקציה ערכי 708 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

42 קטנים מ- והולכים ומתקרבים ל- ששואף לאפס, המונה, המכנה שלילי ושואף למינוס אינסוף שואף ל-, כלומר הוא מספר שלילי 6 ומכאן שהשבר כולו ( ) על סמך התנהגות הפונקציה בסביבת הנקודה הוא אסימפטוטה אנכית לפונקציה דוגמה: מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה פתרון: ניתן לדעת שהישר 5 9 נשווה את המכנה לאפס נקבל: 0, 9 כלומר 9 פתרונות המשוואה הם או נציב במונה נקבל:, 5 כלומר 6 פתרון זה אינו מאפס את המונה ולכן הישר הוא אסימפטוטה אנכית לפונקציה נציב במונה נקבל 5(), כלומר פתרון זה אינו מאפס את המונה ולכן גם הישר הוא אסימפטוטה אנכית לפונקציה לסיכום, הישרים ו- הם אסימפטוטות אנכיות לפונקציה הערה: כאשר נרצה לשרטט גרף של פונקציה שיש לה האסימפטוטה אנכית, נעדיף לשרטט תחילה את האסימפטוטה האנכית, כלומר נצייר את הישר אחר כך, נבחן את ההתנהגות של גרף הפונקציה בסביבה שמימין לאסימפטוטה ובסביבה שמשמאל לאסימפטוטה (נזכור כמובן שגרף הפונקציה אינו חותך את האסימפטוטה האנכית שלו) מימין לאסימפטוטה, = נציב א כדי לדעת כיצד נראה הגרף בפונקציה ערכי הנמצאים מימין ל- והולכים ומתקרבים ל - () אם ערכי ה - הולכים ומתקרבים לפלוס אינסוף ) (, צורת הגרף בסביבה שמימין לאסימפטוטה תהיה כך: במצב כזה, בסביבה שמימין לאסימפטוטה הפונקציה יורדת () אם ערכי ה - הולכים ומתקרבים למינוס אינסוף ) (, צורת הגרף בסביבה שמימין לאסימפטוטה תהיה כך: במצב כזה, בסביבה שמימין לאסימפטוטה הפונקציה עולה 709 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

43 ב כדי לדעת כיצד נראה הגרף בפונקציה ערכי משמאל לאסימפטוטה, = נציב הנמצאים משמאל ל - והולכים ומתקרבים ל- () אם ערכי ה- הולכים ומתקרבים לפלוס אינסוף צורת הגרף בסביבה שמשמאל לאסימפטוטה תהיה כך:, ( ) במצב כזה, בסביבה שמשמאל לאסימפטוטה הפונקציה () אם ערכי ה- הולכים ומתקרבים למינוס אינסוף ) (, דוגמה: צורת הגרף בסביבה שמשמאל לאסימפטוטה תהיה כך: במצב כזה, בסביבה שמשמאל לאסימפטוטה הפונקציה מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה פתרון: נשווה את המכנה לאפס נקבל: פתרונות המשוואה הם: או עולה יורדת, כלומר הפתרון אינו מאפס נציב במונה נקבל: את המונה, לכן הישר הוא אסימפטוטה אנכית לפונקציה, כלומר 0 הפתרון מאפס את המונה, נציב במונה נקבל: לכן קיימת אפשרות שב - לא מתקבלת אסימפטוטה אנכית, אלא קיים "חור בגרף" נבדוק זאת לפי שתי הדרכים שהצגנו דרך א': תחילה נצמצם את הפונקציה ככל שאפשר נקבל: 68 ( )( ) הפונקציה שהתקבלה לאחר צמצום היא הפתרון אינו מאפס את המכנה, לכן לא מתקבלת בו אסימפטוטה אנכית, אלא נוצר "חור בגרף" לסיכום, לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת והיא הישר גרף הפונקציה נראה כמתואר משמאל: f() שים לב! הפונקציה הנתונה היא 6 8 פונקציה זו מוגדרת עבור, 70 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

44 תוצאת הצמצום היא באופן הבא: למעשה, כאשר, לכן ניתן להגדיר את הפונקציה f() f() f(),, הגרף של זהה לגרף של הפונקציה g() ההבדל בין שני הגרפים הוא ש - g() מוגדרת עבור, ואילו f() אינה מוגדרת עבור ומתקבל בגרף שלה "חור" בנקודה זו נוכל לחשב את שיעורי הנקודה בה מתקבל "חור" על ידי כך שנציב במשוואה g() נקבל:, g() לכן נקודת החור היא (; ) למעשה, כדי לשרטט את הגרף של f(), נוכל לשרטט את הגרף של g(), תוך ציון חור בנקודה (; ) דרך ב': נציב בפונקציה המקורית ערכי שקרובים ל- מימין ומשמאל מימין נציב 00 ונקבל נציב 000 ונקבל ונקבל משמאל נציב נציב 9999 ונקבל ניתן לראות שבסביבה שמימין ל- ערך ה- הולך ומתקרב ל-, 05 וגם בסביבה שמשמאל ל-, ערך ה- הולך ומתקרב ל-, 05 כלומר בסביבה של הגרף אינו שואף לפלוס אינסוף או למינוס אינסוף אלא לערך, 05 ולכן ב- אין אסימפטוטה אנכית, אלא נוצר "חור" בגרף ושיעור ה- של נקודת ה"חור" הוא "בערך" 05 נזכיר כי כאשר צמצמנו את הפונקציה חישבנו במדויק את שיעור ה- של נקודת ה"חור" וקיבלנו ששיעור ה - הוא במדויק 05 בציור מתואר גרף הפונקציה תרגילים 6 א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב מצא את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה ג האם בסביבה שמימין לאסימפטוטה האנכית ערכי הפונקציה שואפים לפלוס אינסוף או שואפים למינוס אינסוף? 7 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

45 בציור מתואר גרף הפונקציה א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב מצא את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה ג קבע האם הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף או למינוס אינסוף בסביבה שמימין ובסביבה שמשמאל לאסימפטוטה האנכית שלה בציור מתואר גרף הפונקציה מצא עבור פונקציה זו: א את תחום ההגדרה ב את האסימפטוטות האנכיות 8 8 ג קבע האם הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף או למינוס אינסוף בסביבה שמימין ובסביבה שמשמאל לאסימפטוטות האנכיות שלה בציור מתואר גרף הפונקציה מצא עבור פונקציה זו: א את תחום ההגדרה ב את האסימפטוטה האנכית 8 ג קבע האם הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף או למינוס אינסוף בסביבה שמימין ובסביבה שמשמאל לאסימפטוטה האנכית שלה עבור כל אחת מהפונקציות הבאות: 5 א מצא את האסימפטוטות האנכיות ב קבע האם הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף או למינוס אינסוף בסביבה שמימין ובסביבה שמשמאל לאסימפטוטות האנכיות שלה כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

46 מצא את האסימפטוטות המאונכות לציר ה- של הפונקציות הבאות: ( ) עבור כל אחת מהפונקציות הבאות: א מצא את תחום ההגדרה ב מצא את האסימפטוטות המאונכות לציר ה- (אם קיימות) ג מצא את שיעורי ה- בהם מתקבל "חור" בגרף הפונקציה (אם קיימים) ( 6) 9 70 עבור כל אחת מהפונקציות הבאות מצא את שיעורי הנקודה בה יש "חור" 6 9 ג בגרף הפונקציה: א ב כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

47 : ג שואפים לפלוס אינסוף א תשובות: א ב ג מימין ל - ב משמאל ל- : שואפת למינוס אינסוף,,, שואפת לפלוס אינסוף א ל- : שואפת לפלוס אינסוף, ב מימין ל- : שואפת למינוס אינסוף, משמאל ג מימין משמאל ל- : שואפת למינוס אינסוף ל- : שואפת לפלוס אינסוף א 0 ב 0 ג מימין ל- 0 : שואפת לפלוס אינסוף, ב מימין ל - : 6 א משמאל ל- 0 : שואפת לפלוס אינסוף 5 א שואפת לפלוס אינסוף משמאל ל- : שואפת למינוס אינסוף ב מימין ל - : שואפת למינוס אינסוף משמאל ל- : שואפת לפלוס אינסוף 7 א 0 ב מימין ל- 0 : שואפת לפלוס אינסוף משמאל : ב מימין ל- ל- 0 : שואפת לפלוס אינסוף 8 א, שואפת למינוס אינסוף משמאל ל- : שואפת לפלוס אינסוף מימין ל- : שואפת לפלוס אינסוף משמאל ל- : שואפת למינוס אינסוף 9 א ב מימין ל- : שואפת לפלוס אינסוף, משמאל ל- : שואפת למינוס אינסוף 0 א, 0 ב מימין ל- : שואפת לפלוס אינסוף משמאל ל- : שואפת למינוס אינסוף מימין ל -0 : שואפת למינוס אינסוף משמאל ל- 0 : שואפת לפלוס אינסוף 5, 0 8 אין 7 אין 6 5, 5, 0 א ג 0 ב, 0 א 0 9 א 6 6 א, 5 ב 0 ג ב אין ג ב אין ב ג ג, 5 א 0 א 0 6 ג ב, א 6 ג 6, 8 א ב ג ב אין ב ג 0 א 6 7 א א 6 ב ג אין ג אין ב ג אין ב ג א, ג, 0 5, 5 5 א ג, 0, ג ב ב 9 א ב, א, 0 א, 0, 5, א 6 ב 5 ג ב ג, ב,, 7 א, ( ; ) (; 7 ב ) ג ( ; 8 א ) 7 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

48 אסימפטוטה אופקית כדי להבין את משמעות המושג אסימפטוטה אופקית נשרטט בעזרת 6 טבלת ערכים את גרף הפונקציה נסמן את הנקודות במערכת צירים, נחבר אותן ונקבל את הגרף שמשמאל: ניתן לראות שעבור ערכי חיוביים הולכים וגדלים השואפים לפלוס אינסוף ועבור ערכי ( ) שליליים הולכים וקטנים, השואפים למינוס אינסוף ) (, שיעור ה- של הפונקציה הולך ומתקרב ל- אם נוסיף למערכת הצירים את הישר נוכל לראות שכאשר שואף ל - או, ערכי הפונקציה הולכים ומתקרבים ל -, (אך אינו נוגע בו) כלומר גרף הפונקציה הולך ומתקרב לישר הגדרה: ישר מהצורה נקרא אסימפטוטה אופקית לפונקציה, אם עבור ערכי חיוביים הולכים וגדלים (ערכי השואפים ל- ( או עבור ערכי שליליים הולכים וקטנים (ערכי השואפים ל- ), גרף הפונקציה הולך ומתקרב לישר הנ"ל הוא אסימפטוטה אופקית בדוגמה הנ"ל, הישר דוגמה: מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה פתרון: 5 5 עלינו לבדוק לאיזה ערך שואף הביטוי כאשר שואף ל- וכאשר שואף ל - כדי לעשות זאת נתבונן במונה ובמכנה ונזהה מהו הביטוי המכיל את החזקה הגבוהה ביותר של במקרה שלפנינו הביטוי הוא והוא מופיע במכנה אחר כך נחלק את המונה ואת המכנה בביטוי המכיל את החזקה הגבוהה ביותר של, כלומר נחלק ב- את המונה ואת המכנה (כמובן שכאשר מחלקים את המונה ואת המכנה באותו ביטוי, לא משתנה ערך הפונקציה) 75 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

49 נקבל: נבדוק את התנהגות הפונקציה כאשר שואף לפלוס אינסוף 5 כאשר שואף לפלוס אינסוף ) ) הביטוי שבמונה שואף לאפס, הביטוי שבמונה שואף לאפס והביטוי שבמכנה שואף לאפס 0 0 נקבל שכאשר, ערך הפונקציה שואף ל -, כלומר שואף 0 הוא האסימפטוטה האופקית של הפונקציה לאפס, לכן הישר 0 למעשה, חישבנו את הגבול של הפונקציה כאשר שואף ל- 5 lim 5 lim 0 0 בצורה מתמטית נרשום זאת כך: 0 0 נבדוק את התנהגות הפונקציה כאשר שואף למינוס אינסוף ) ), כלומר נחשב את הגבול של הפונקציה כאשר שואף למינוס אינסוף 5 lim נקבל: 0 גם כאשר ערך הפונקציה שואף לאפס, כלומר הישר 0 הוא האסימפטוטה אופקית של הפונקציה הערה: באופן כללי צריך לבדוק את הגבול של הפונקציה כאשר שואף lim f () לפלוס אינסוף ובנפרד לבדוק את הגבול של הפונקציה כאשר () lim f עם זאת, נדגיש כי בפרק זה אנו שואף למינוס אינסוף עוסקים בפונקציות רציונליות שבהן הגבול עבור זהה לגבול עבור בהמשך נראה שבפונקציות אחרות הגבולות הנ"ל לא תמיד זהים דוגמה: מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה פתרון: נחלק את המונה ואת המכנה בחזקה הגבוהה ביותר של שהיא 76 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

50 נקבל: נחשב את הגבול של הפונקציה כאשר שואף לאינסוף lim 0 נקבל: 0 קיבלנו שכאשר שואף ל- ערך הפונקציה שואף ל -, לכן הישר הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה נזכיר כי אם נבדוק את הגבול כאשר שואף ל, נקבל אותו גבול כלומר, ומכאן שגרף הפונקציה מתקרב לישר גם עבור ערכי ששואפים לפלוס אינסוף וגם עבור ערכי ששואפים למינוס 9 6 אינסוף דוגמה: מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה פתרון: שהיא נחלק את המונה ואת המכנה בחזקה הגבוהה ביותר של נקבל: שבמונה שואף לאפס, הביטוי שואף ל - ניתן לראות שכאשר שבמכנה שואפים לאפס נקבל שהמונה שואף ל-, 6 9 ו- והביטויים (או ל- ), המכנה כולו שואף לאפס, לכן ערך הפונקציה כולה שואף ל- כלומר אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית נסכם את הכללים למציאת אסימפטוטה אופקית לפונקציה רציונלית כללים למציאת אסימפטוטה אופקית לפונקציה רציונלית כדי למצוא אסימפטוטה אופקית לפונקציה רציונלית נתבונן במונה ובמכנה ונזהה בכל אחד מהם את הביטוי המכיל את החזקה הגבוהה ביותר של 77 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

51 א אם מעריך החזקה הגבוה ביותר במכנה גדול ממעריך החזקה הגבוה ביותר במונה, אז האסימפטוטה האופקית היא 0 (ציר ה- ) ב אם מעריך החזקה הגבוה ביותר במונה גדול ממעריך החזקה הגבוה ביותר במכנה, אז אין אסימפטוטה אופקית לפונקציה (כלומר לא לכל פונקציה רציונלית יש אסימפטוטה אופקית) ג אם מעריך החזקה הגבוה ביותר במכנה שווה למעריך החזקה הגבוה a ביותר במונה, אז האסימפטוטה היא הישר, כאשר a הוא b המקדם של ה- בעל מעריך החזקה הגבוה ביותר במונה ו- b הוא המקדם של ה- בעל מעריך החזקה הגבוה ביותר במכנה נפתור את שלוש הדוגמאות הנ"ל בעזרת הכללים למציאת אסימפטוטה אופקית (ונראה שנקבל אותן מסקנות) עבור הפונקציה 5 : הביטוי עם מעריך החזקה הגבוה ביותר במונה הוא הביטוי עם מעריך החזקה הגבוה ביותר במכנה הוא 5 מכיוון שמעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה, האסימפטוטה האופקית היא ציר ה-, כלומר הישר 0 עבור הפונקציה : הביטוי עם מעריך החזקה הגבוה ביותר במונה הוא הביטוי עם מעריך החזקה הגבוה ביותר במכנה הוא מכיוון שמעריך החזקה הגבוה ביותר במונה שווה למעריך החזקה הגבוה ביותר במכנה נחלק את המקדמים ונקבל שהאסימפטוטה האופקית של הפונקציה היא, כלומר הישר עבור הפונקציה : 9 6 הביטוי עם מעריך החזקה הגבוה ביותר במונה הוא הביטוי עם מעריך החזקה הגבוה ביותר במכנה הוא 9 מכיוון שמעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה, אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית הערות: א אסימפטוטה אופקית היא תמיד קו המקביל לציר ה- (או מתלכד עם ציר ה- ) ב ייתכן מצב שבו גרף הפונקציה יחתוך את האסימפטוטה האופקית שלו (בשונה מאסימפטוטה אנכית שאותה הגרף לא חותך) 78 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

52 למשל אם נשרטט את גרף הפונקציה נוכל לראות שהישר הוא אסימפטוטה אופקית לפונקציה, כלומר עבור ערכי השואפים לפלוס אינסוף או למינוס אינסוף, גרף הפונקציה הולך ומתקרב מבלי לגעת בה ובכל זאת יותר ויותר לאסימפטוטה האופקית קיימת נקודת חיתוך בינו לבין אסימפטוטה זו (הנקודה A שבציור) A( ;) ולכן במשוואת הפונקציה, לקבל ניתן להציב ג כאשר לפונקציה רציונלית יש אסימפטוטה אופקית, אז עבור ערכי חיוביים ששואפים לפלוס אינסוף הפונקציה הולכת ומתקרבת לאסימפטוטה האופקית וגם עבור ערכי שליליים ששואפים למינוס אינסוף הפונקציה הולכת ומתקרבת לאותה אסימפטוטה אופקית למשל: בציור שלמעלה ניתן לראות שגרף הפונקציה הולך ומתקרב לאסימפטוטה, גם עבור ערכי חיוביים ששואפים לפלוס אינסוף וגם עבור ערכי שליליים ששואפים למינוס אינסוף נדגיש כי בהמשך נעסוק בפונקציות שבהן האסימפטוטה האופקית עבור 0 אינה זהה בהכרח לאסימפטוטה האופקית עבור 0 דוגמה: מצא אסימפטוטות מקבילות לצירים לפונקציה פתרון: ( )( ) אסימפטוטות אנכיות נשווה את המכנה לאפס נקבל: ) )( ( 0 נציב במונה נקבל 0 או 0, כלומר 8 הפתרון אינו מאפס את המונה, לכן הישר הוא אסימפטוטה אנכית לפונקציה נציב במונה נקבל, כלומר הפתרון אינו מאפס את המונה, לכן הישר הוא אסימפטוטה אנכית לפונקציה לסיכום, הישרים ו- הם אסימפטוטות אנכיות לפונקציה אסימפטוטה אופקית כדי לזהות את הביטוי עם מעריך החזקה הגבוה ביותר נבצע במכנה פתיחת סוגריים וכינוס איברים דומים נקבל: במונה A 6 8 הביטוי עם מעריך החזקה הגבוה ביותר הוא 79 כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

53 במכנה הביטוי עם מעריך החזקה הגבוה ביותר הוא מכיוון שמעריך החזקה הגבוה ביותר במונה שווה למעריך החזקה הגבוה ביותר במכנה, האסימפטוטה האופקית כלומר הישר, היא את המשמעות הגרפית של האסימפטוטות ניתן לראות בציור משמאל: הערה: ניתן למצוא אסימפטוטה אופקית גם בדרך של הצבה נציב ערכי חיוביים הולכים וגדלים עבור 50 נקבל נקבל 06 עבור 500 נקבל 89 עבור ניתן לראות ששיעור ה - של הפונקציה גדול מ - והולך ומתקרב ל -, כלומר גרף הפונקציה מתקרב יותר ויותר לישר (מלמעלה) אך אינו נוגע בו בדרך דומה, נוכל להציב ולראות שעבור ערכי שליליים הולכים וקטנים שיעור ה- של הפונקציה קטן מ- ומתקרב ל- (מלמטה), 68 ולכן הישר הוא האסימפטוטה האופקית של הפונקציה מצא את האסימפטוטה האופקית של כל אחת מהפונקציות הבאות: 9 ( )( 6) ( ) ( ) ( ) כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

54 עבור כל אחת מהפונקציות הבאות מצא אסימפטוטות מקבילות לצירים: ( 5) ( ) A ( ) ( )( ) 5 ( ) 7 6 א מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה ב מצא את נקודת החיתוך בין האסימפטוטה האופקית לבין גרף הפונקציה (הנקודה A שבציור) לכל אחת מהפונקציות הבאות יש אסימפטוטה אופקית מצא את שיעורי נקודת החיתוך בין אסימפטוטה זו לגרף הפונקציה 6 אין 7 5 אין 0 א ב , 5, תשובות: אין כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי

55 8,, 7, 5 0 (;0),,, 6, 5, 8 א ) ( 5, 0 5 0,, 0, 0, 8 9 0, 5 ( ;) ב ב 5, 0, 0 7 א אסימפטוטות מקבילות לצירים בעיות עם פרמטרים דוגמה: a b b ואת a הם אסימפטוטות לפונקציה מצא את ו- הישרים פתרון: הישר הוא אסימפטוטה אנכית, לכן הערך מאפס את המכנה b, כלומר 8 b0 נקבל: הוא אסימפטוטה אופקית בפונקציה הנתונה מעריך החזקה הישר הגבוה ביותר במונה שווה למעריך החזקה הגבוה ביותר במכנה ולכן a כלומר 6, a a האסימפטוטה האופקית היא נקבל: 7 5 הישר הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה a מצא את הערך של הפרמטר a f() 7 p הוא אסימפטוטה לפונקציה הישר 5 p א חשב את ב האם יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית נוספת? אם כן, מצא אותה 5 7 a 7 5 k 5 ג מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה הישר הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה מצא את הערך של a הישר הוא אסימפטוטה של הפונקציה א מצא את הערך של k ב מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי