מתמטיקה לכיתה ח פונקציה קווית חלק ב מערכות משוואות הרחבה

תמליל

1 מתמטיקה לכיתה ח פונקציה קווית חלק ב מערכות משוואות הרחבה

2 צוות המתמטיקה במטח: ראש תחום מתמטיקה: ד"ר שרה הרשקוביץ מנהלת צוות פיתוח מתמטיקה לבית הספר העל יסודי: ד"ר בבה שטרנברג צוות הפיתוח: רגינה אובודנקו, ד"ר אלכס אוליצין, אסנת אפרת, ד"ר אילנה ארנון, ד"ר שושנה גלעד, ד"ר מורין הוך, ד"ר ילנה זריא, הלית חפר, דורית כהן, טובי מגדל, רותי מירון, ד"ר איבי מכמנדרוב, ילנה נפתלייב, ד"ר מיכל סוקניק, ענת פלדמן, אנטולי קורופטוב, הגר רובינק. קרא והעיר: ע פר ילין עריכה לשונית: חוה בן זקן, מיכל פרנקל, יעל רגב עריכת מגדר: דליה בסון צוות גרפיקה: שירה בכר, איילת גוטרמן, לאה גלס, ישי יגיל ריכוז הפעלה: ד"ר אלכס אוליצין מזכירות הצוות: לילך רון, סוהא חג' יחיא עיצוב גרפי: ביצועים עיבודי מחשב בע"מ הבאה לדפוס: גדי נחמיאס הוצאה לאור: המרכז לטכנולוגיה חינוכית הודפס בשנת 2008 תודתנו נתונה לבתי הספר שהשתתפו בניסוי הסדרה: "אהבת ישראל - בנים" - ירושלים, "חט"ב אלון" - רעננה, "אמירים" - כפר ורדים, "מקיף אפרים קציר" - חולון, "מקיף שחר מעין" - עין החורש, "עירוני משה שרת" - נתניה. כל הזכויות שמורות למטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית קריית משה רואו, רח קלאוזנר 6 תל אביב, ת ד 3953, מיקוד 6394 צוות המתמטיקה - טל , דוא ל,math@cet.ac.il אתר באינטרנט מוקד תמיכה טלפוני של מטח בשעות 8:00-8:00 המספק תמיכה מקצועית: זכויות הקניין הרוחני, לרבות זכויות היוצרים והזכות המוסרית של היוצר/ים בחוברת זו מוגנות. אין לשכפל, להעתיק, לסכם, לצלם, להקליט, לתרגם, לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, אופטי, מכני או אחר, כל חלק שהוא מחוברת זו. כמו כן, אין לעשות שימוש מסחרי כלשהו בחוברת זו, בכולה או בחלקים ממנה, אלא אך ורק לאחר קבלת רשות מפורשת בכתב ממטח והמרכז לטכנולוגיה חינוכית(.

3 תוכן העניינים פונקציה קווית - חלק ב א. שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות ב. מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית ג. השתנות בקצב קבוע ד. פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות מחשבים ולא רק... ה. תרגול נוסף מערכות משוואות א. משוואה עם שני משתנים ב. מערכת של שתי משוואות עם שני משתנים ג. שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות ה. פתרון בעיות מילוליות בעזרת מערכת משוואות 9 95 תשובות עיקר הדברים סמלים לציון פעילויות מסוגים שונים: חיזוק, הרחבה, אתגר, דיון

4 פונקציה קווית - חלק ב א. שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות מה נלמד? מציאת שיפוע של פונקציה קווית על פי שתי נקודות על גרף הפונקציה א 2 3 פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות לפניכם גרף של הפונקציה הקווית.f() בגרף מצוירות שלוש מדרגות, וליד כל מדרגה מצוין הרוחב שלה. ליד המדרגה האמצעית מצוין גם הגובה שלה. א. האם לדעתכם אפשר לדעת מהם הגבהים של שתי המדרגות האחרות? ב. מהו שיפוע הפונקציה?f() 2 מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית על פי המדרגה הנתונה: ב בניסוי שערכו במעבדה חיממו נוזל בקצב קבוע. פעמיים במהלך הניסוי נמדדה הטמפרטורה של הנוזל. ענו על פי הנתונים בגרף: א. באיזה קצב חיממו את המים? הסבירו. ב. מה הייתה טמפרטורת הנוזל כעבור 9 דקות מתחילת הניסוי? ג. מה הייתה טמפרטורת הנוזל כשהתחילו לחמם אותו? ד. מהו שיפוע הפונקציה המתארת את השתנות הטמפרטורה של הנוזל כתלות בזמן שעבר מתחילת הניסוי? זמן שעבר מתחילת הניסוי )בדקות( טמפרטורה )במעלות צלזיוס( )0, 4( )7, 55( 4 6 f() 4

5 דוגמה ג 4 בכל סעיף, מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית על פי שתי הנקודות הנתונות על הגרף שלה. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות M(2, 7) K(, 2) כיצד נמצא שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות הנמצאות על הגרף שלה? כדי למצוא את השיפוע של פונקציה קווית, יש למצוא את הגובה של מדרגה שרוחבה. ננסה למצוא שיפוע של פונקציה קווית שהגרף שלה עובר דרך הנקודות: D(3, -8) ב R(0, 4) P(6, 7) N(-3, 2) A(2, ) B(5, -8) תחילה נסמן בסרטוט את שתי הנקודות ואת המדרגה הנוצרת ביניהן. רוחב המדרגה בין A ל B הוא,3 כי = 3 2 ; 5 - גובה המדרגה בין A ל B הוא -9, כי -9 = -8 - ; כדי למצוא את השיפוע ניצור מדרגה שרוחבה. לשם כך נסרטט במקום המדרגה הגדולה 3 מדרגות שרוחבן. )הסבירו למה דווקא 3 מדרגות.( הגובה של מדרגה שרוחבה הוא 3-, כי 3- = לכן השיפוע של הפונקציה הוא 3-. *** גם ללא סרטוט אפשר לחשב את שיפוע הפונקציה הקווית f() על פי שתי הנקודות (,2)A ו ( 8 -,5)B. נארגן את הנקודות בטבלה כך ששיעורי ה יופיעו בסדר עולה, וכך נוכל לחשב את רוחב 3 f() A(2, ) 2 5 f() B(5, -8) המדרגה ואת גובהה: השיפוע של הפונקציה f() 3- = 3 גובה המדרגה בין A ל B רוחב המדרגה בין A ל B א 5

6 5 בכל סעיף: חשבו את רוחב המדרגה ואת גובהה. מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית. רשמו ייצוג אלגברי של הפונקציה. טבלת ערכים גרף של f(), נקודות על פי הטבלה והמדרגות ביניהן שיפוע הפונקציה הקווית ייצוג אלגברי של הפונקציה הקווית א. f() (?,?) 8-3 (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) f() f() f() פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות ב. ג. ד. 6

7 6 לשלוש בריכות התחילו להזרים מים באותה השעה. המים הוזרמו בקצב קבוע, עד שהבריכות התמלאו. הטבלאות שלפניכם מתארות את כמות המים בבריכות במשך זמן המילוי. f(t) כמות המים )מ"ק( t הזמן שעבר מתחילת המילוי )בשעות( g(t) כמות המים )מ"ק( t הזמן שעבר מתחילת המילוי )בשעות( (t) כמות המים )מ"ק( בריכה t הזמן שעבר מתחילת המילוי )בשעות( בריכה בריכה 3 6 א. האם הפונקציות,f(t) g(t) ו ) )t הן פונקציות קוויות? הסבירו. ב. מהו קצב הזרמת המים לכל בריכה? ג. מצאו את הערכים החסרים בטבלאות. הסבירו איך מצאתם. ד. מה הייתה כמות המים בכל אחת מהבריכות ברגע שהתחילו למלא אותה? ה. רשמו ייצוגים אלגבריים של הפונקציות,f(t) g(t) ו ( (t. 7 גרף של פונקציה קווית עובר דרך שתי הנקודות )2-,0( ו ) 0,7-(. א. מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית. ב. רשמו ייצוג אלגברי לפונקציה הקווית. 8 גרף הפונקציה הקווית שלפניכם מתאר את השכר השבועי של אמיר כתלות במספר השעות השבועיות שהוא עובד. הנקודות בגרף מתארות את שעות העבודה השבועיות והשכר השבועי של אמיר במקרה שיעבוד 0 שעות בשבוע ובמקרה שיעבוד 20 שעות בשבוע. כמה כסף משתכר אמיר בשעה? 9 מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית m() על פי טבלת הערכים שלה: 0 מצאו את הערכים החסרים בטבלת הערכים של הפונקציה הקווית,h() אם ידוע שהשיפוע שלה הוא 3. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות )0, 75( )20, 350( שעות עבודה שבועיות m() -3-5 h() 5 שכר שבועי )בש"ח( 7

8 בתחנת דלק משלמים תוספת קבועה עבור השירות בלילה בנוסף למחיר לכל ליטר דלק. המחיר ל 0 ל' בלילה הוא ; 55 המחיר ל 5 ל' בלילה הוא. 80 א. הפונקציה f() מתארת את מחיר התדלוק בלילה כתלות בכמות הדלק שנקנתה. מצאו את השיפוע של,f() והסבירו את משמעותו בסיפור. ב. חשבו את שיעורי הנקודה K שבסרטוט והסבירו מה משמעותם בסיפור. מחיר התדלוק )בש ח( K כמות הדלק )בליטרים( f() פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות חיזוק 2 חברי מועדון שחייה משלמים בתחילת הקיץ סכום קבוע תמורת ההצטרפות למועדון, ולאחר מכן הם משלמים על כל כניסה לבריכת המועדון מחיר מוזל. בסרטוט שלפניכם מוצג גרף הפוקציה,f() המתארת את המחיר הכולל שמשלם חבר מועדון במשך העונה כתלות במספר הפעמים שהגיע לבריכה. א. מה המשמעות של שיעורי הנקודות B A, ו K בסיפור? ב. מהו המחיר של כל כניסה לבריכה לחברי המועדון? ג. מהו מחיר ההצטרפות למועדון? 3 חברות להשכרת רכב גובות סכום התחלתי כדמי טיפול, וסכום קבוע נוסף לכל קילומטר שהרכב נוסע. הפונקציות הבאות מתארות את השתנות מחיר השכירות של רכב בחברות שונות כתלות במספר הקילומטרים שנוסעים ברכב. g() ש ח חברה א ק מ חברה ב f() = א. מה המחיר לכל קילומטר ומהו הסכום ההתחלתי בכל אחת מהחברות? ב. הסבירו באיזו חברה כדאי לשכור רכב בהתאם למרחק הנסיעה המתוכנן. 4 מצאו את שיפועי הפונקציות הקוויות: הפונקציה f() g() k() h() m() s() חברה ג m() 20 מספר הביקורים בבריכה שתי נקודות על גרף הפונקציה (0,) (-3, 4) (-2,) (-3, 4) (4, 8) (0, -2) (, -8) (3, -9) (-, -5) (, ) (2, -2) (4, -2) המחיר הכולל לעונה )בש"ח( K f() A B )30, 300( )22, 260( 8

9 5 גרף הפונקציה הקווית f() עובר דרך שתי הנקודות )-,0( ו ) -,5(. גרף הפונקציה הקווית g() עובר דרך שתי הנקודות )7-,-( ו ) -,5(. א. איזו מבין שתי הפונקציות עולה, ואיזו יורדת? הסבירו. ב. מצאו את השיפוע של כל אחת מהפונקציות. ג. הנקודה )?, 3( נמצאת על גרף הפונקציה.f() מצאו את הערך החסר. ד. הנקודה (6-,?) נמצאת על גרף הפונקציה.g() מצאו את הערך החסר. 6 נתונים גרפים של שלוש פונקציות קוויות. א. מצאו לכל פונקציה את השיפוע שלה, ורשמו ייצוג אלגברי של הפונקציה. ב. סרטטו סקיצות של שלוש הפונקציות האלה במערכת צירים אחת. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות h() r() g() 7 בשעה 8:00 בבוקר יצא חיים במשאיתו מנמל אילת ונסע עד קריית שמונה )מרחק של 600 ק"מ(. באותה שעה יצא יניב במשאיתו מקריית שמונה לאילת. שני הנהגים נסעו לאורך אותו הכביש. לפניכם גרפים המתארים את מרחקו של כל אחד מהנהגים מאילת לאורך הכביש כתלות בזמן שעבר מהשעה 8:00 בבוקר. א. התאימו בין הגרפים לנהגים. ב. מהי מהירות הנסיעה של חיים? מהי מהירות הנסיעה של יניב? ג. האם המשאיות נפגשו זו עם זו במהלך הנסיעה? אם כן - מתי, ובאיזה מרחק מאילת? ד. רשמו ייצוג אלגברי לכל אחת מהפונקציות והיעזרו בו כדי לענות על השאלות הבאות: באיזו שעה הגיע כל נהג ליעדו? 2 מה היה המרחק בין שתי המשאיות בשעה 9:20 בבוקר? 3 באיזה מרחק מאילת נמצא חיים כאשר יניב הגיע לאילת? 4 באיזו שעה היה המרחק בין חיים ליניב 50 ק"מ? זמן שעבר מהשעה 8:00 )בשעות( מרחק מאילת לאורך הכביש )בק מ( 600 f(t) )4, 240( g(t) 9

10 8 דן ונטע גרים בבניין אחד, הנמצא במרחק 270 ק"מ מים המלח. הם החליטו לצאת לים המלח, כל אחד ברכבו, ולנסוע באותה הדרך. דן יצא לדרך בשעה 8:00 בבוקר, ונטע בשעה 0:00 בבוקר. נסו לענות על השאלות, בהנחה שגם דן וגם נטע נסעו במהירות קבועה לאורך כל הדרך. אפשר להיעזר בגרף, בטבלת ערכים או בייצוג אלגברי של פונקציות. א. אם עד שעה :30 עברה נטע מרחק של 8 ק"מ, ודן עבר מרחק של 89 ק"מ - האם הם כבר נפגשו בדרכם לים המלח? ואם לא - האם הם ייפגשו בדרך? הסבירו. ב. אם עד שעה :30 עברה נטע מרחק של 90 ק"מ ודן עבר מרחק של 89 ק"מ - האם הם כבר נפגשו בדרכם? האם ייפגשו בהמשך הנסיעה? הסבירו. ג. אם בשעה :30 נטע עברה מרחק של 35 ק"מ ודן עבר מרחק של 89 ק"מ - האם הם כבר נפגשו בדרכם? האם ייפגשו בהמשך הדרך? הסבירו. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות הרחבה הרחבה 9 חשבון מים חודשי כולל תשלום קבוע וכן תשלום עבור צריכה שוטפת: על כל מ ק מים משלמים. 4 בחודש ינואר צרכה משפחת רז 6 מ ק מים. היא שילמה תמורתם. 3 א. מהו התשלום הקבוע שמשלמים בכל חודש? ב. כתבו ביטוי של פונקציה המתארת את התשלום כתלות בכמות המים שנצרכה. ג. צריכת מים רגילה היא צריכה של עד 8 מ ק מים בחודש. צריכה גבוהה יותר מוגדרת צריכה חריגה. בחודש פברואר שילמה משפחת רז חשבון מים על סך. 48 האם הצריכה של משפחת רז בחודש זה הייתה רגילה או חריגה? 20 בטיול הקרוב מתכננים חברי חוג סיור ללכת לאורך מסלול בשמורת טבע, ולעצור לפיקניק ליד המעיין שבלב השמורה. כדי לקבוע את לוח הזמנים של הטיול, ערכו שניים ממתכנני הטיול סיור מקדים בשמורה, והציעו תכנית לטיול כמתואר בגרף. א. מה ניתן ללמוד מהגרף על לוח הזמנים, על המרחקים ועל מהירות ההליכה המתוכננים בקטעים השונים של הדרך? ב. לחברים אחרים בוועדת התכנון היו השגות על התכנית המוצעת. הנה השינויים שהם ביקשו לערוך בתכנית: אורית: "הזמן שהוקצה לאוכל ומנוחה אינו מספיק לדעתי. אני מציעה לעצור לשעתיים." בני: "אני מציע שבחלק הראשון של הטיול, עד המעיין, כאשר אנחנו רעננים - נלך בקצב של 6 קמ"ש; ובחלק השני, כאשר החום בשיאו, נאט ונלך בקצב של 3 קמ"ש." גלית: "אני חושבת שחשוב שהטיול לא יימשך יותר משש שעות, כמו בתכנון המקורי." הציעו תכניות לטיול אשר ישלבו את הבקשות של שניים מהחברים. 2 האם תוכלו להציע תכנית לטיול אשר תשלב את כל שלוש הבקשות? זמן )בשעות( )3,2( )6,8( )4,2( 3 לכל אחת מההצעות סרטטו גרף מתאים, ותארו במילים את הזמן, את אורך קטעי המסלול השונים ואת מהירות ההליכה בחלקים השונים של הטיול לפי אותה הצעה. אורך הדרך )בק"מ( 0

11 2 מדינה מפותחת מתאפיינת ברמת חיים גבוהה וברמה טובה של השכלה וטכנולוגיה. מדינה פחות מפותחת מתאפיינת ברמת חיים נמוכה, ברמת תשתיות ירודה וברמת טכנולוגיה נמוכה. א. תנו דוגמה למדינה שלדעתכם היא מדינה מפותחת, ודוגמה למדינה שלדעתכם היא פחות מפותחת. ב. לאיזו משתי הקבוצות - המדינות המפותחות או המדינות הפחות מפותחות - שייכת ישראל לדעתכם? ג. בשנת 950 חיו במדינות הפחות מפותחות כ 2,500 מיליונים של בני אדם. בשנת 990 חיו בהן כ 6,500 מיליון בני אדם. כתבו את המספרים האלה בעזרת ספרות, בלי שימוש במילים. ד. לפניכם הייצוג הגרפי של הפונקציה g() המתארת )בערך( את גידול האוכלוסייה במדינות הפחות מפותחות כתלות במספר השנים שעברו משנת 950. מצאו את שיפוע הפונקציה.g() 2 רשמו ייצוג אלגברי לפונקציה שיכולה להתאים לגרף. 3 אם גידול האוכלוסייה במדינות הפחות מפותחות יימשך באותו קצב, באיזו שנה בערך יהיו במדינות אלו 0 מיליארד בני אדם? ה. לפניכם ייצוג גרפי של הפונקציה k() המתארת )בערך( את גודל האוכלוסייה משימות לסיכום ג 22 בכל סעיף נתון ייצוג גרפי של פונקציה קווית. מצאו את השיפוע של כל אחת מהפונקציות. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות M(4, 9) A(-2, 6) B(4, -6) ב P(0, ) R(2, 3) N(-4, 3) תזכורת: מיליארד הוא 000 מיליונים, כלומר, מיליארד הוא המספר.,000,000,000 מספר בני האדם במיליארדים מספר השנים 60 שעברו מ 950 g() מספר בני האדם במיליארדים במדינות המפותחות כתלות במספר השנים שעברו משנת 950. מה אפשר ללמוד מהגרף על גידול האוכלוסייה במדינות אלו? 3 2 כתבו ייצוג אלגברי שיכול להתאים לפונקציה.k() 2 k() מספר השנים 60 שעברו מ 950 א

12 23 נתונות טבלות ערכים של 4 פונקציות: f() g() h() p() א. אילו מהטבלאות יכולות לתאר פונקציה קווית? ב. בכל טבלה שציינתם בסעיף א מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית המתאימה. ג. האם בין הפונקציות הקוויות מצאתם כאלה שהגרפים שלהן מקבילים זה לזה? הסבירו. ד. האם בין הפונקציות הקוויות מצאתם כאלה שהגרפים שלהן מתלכדים זה עם זה? הסבירו. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות 24 לפניכם גרף של הפונקציה הקווית.h() א. כתבו ביטוי לפונקציה.h() ב. כתבו דוגמה לביטוי של פונקציה g() שהגרף שלה מקביל לגרף של.h() 25 א. כיצד אפשר לדעת על פי מדרגה נתונה של פונקציה קווית אם הפונקציה עולה או יורדת? ב. כיצד אפשר לדעת על פי השיפוע של פונקציה אם הפונקציה עולה או יורדת? למתעניינים: צוללים במים, ממריאים באוויר 26 כאשר צוללים במים מרגישים לחץ באוזניים. הלחץ הזה נמדד ביחידה הנקראת אטמוספרה )אטמ'(. הלחץ הזה גדל ככל שמעמיקים במים, כמפורט בטבלה: א. תכננו מערכת צירים שתתאים לתיאור המידע בטבלה, וסמנו בה את הנקודות ששיעוריהן מופיעים בטבלה. איזה משתנה בחרתם בתור משתנה בלתי תלוי? ב. האם אפשר להעביר קו ישר דרך כל הנקודות שסימנתם? האם תוכלו לענות על השאלה מבלי לבדוק בגרף? ג. דג פלמידה נמצא בעומק 3.5 מטרים. האם נוכל לדעת את עוצמת הלחץ שהדג נתון בו? הסבירו. ד. רופאת הצלילה של שירה הזהירה אותה להימנע מלחץ שעולה על.2 אטמוספרות. האם תוכלו להדריך את שירה עד לאיזה עומק היא רשאית לצלול? ה. צוללת תוכננה כך שתוכל לעמוד בלחץ של 50 אטמוספרות. האם תוכלו להדריך את הצוות עד לאיזה עומק הצוללת יכולה לצלול? לחץ )באטמוספרות( A(0, ) h() B(5, 6) עומק )במטרים(

13 27 כאשר ממריאים במטוס, או אפילו כשנוסעים ממישור החוף לירושלים - מרגישים באוזניים תת לחץ )לחץ נמוך מ אטמ'(. ככל שמגביהים מעל פני הים הלחץ יורד )ותחושת התת לחץ מתגברת(, כמפורט בטבלה: א. הפונקציה p(h) מבטאת את הלחץ p כתלות בגובה h. האם p(h) היא פונקציה קווית? הסבירו. ב. רופא הצניחה של חיים הזהיר אותו להימנע מלחץ נמוך מ 0.6 אטמ'. האם יוכל חיים לצנוח מגובה 5,800 מ'? הסבירו. לחץ )אטמ'( גובה מעל פני הים )מ'( משימות נוספות 28 בכל סעיף: א ב ג חשבו את רוחב המדרגה ואת גובהה. מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית. רשמו ייצוג אלגברי של הפונקציה. טבלת ערכים של פונקציה קווית גרף של f(), נקודות על פי הטבלה והמדרגות ביניהן שיפוע הפונקציה הקווית ייצוג אלגברי של הפונקציה הקווית פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) f() f() f() 4-2 3

14 3 5 9 f() 8 h() k() השיפוע של כל אחת מהפונקציות,f() h() ו ( k( שווה 29 4 לשיפוע הפונקציה.g() = א. השלימו את הערכים החסרים בטבלת הערכים של כל אחת מהפונקציות. ב. אילו מן הגרפים של שלוש הפונקציות מקבילים לגרף הפונקציה g() ואילו מתלכדים א תו? נסו לענות בלי לסרטט את הגרפים, והסבירו באילו ייצוגים נעזרתם בתשובתכם, וכיצד. ג. סרטטו את הגרפים של,f() h() ו ( k(, ובדקו את תשובותיכם בסעיף ב. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות הרחבה הרחבה 30 בשעה 6:00 בבוקר יצאה מכונית פרטית מנמל חיפה לאילת )מרחק של 480 ק"מ לאורך הכביש(. באותה שעה יצאה משאית מתל אביב, ונסעה לאילת לאורך אותו הכביש )מרחק של 390 ק"מ לאורך הכביש(. באיור מוצגים גרפים המתארים את מרחקיהם של שני כלי הרכב מאילת )לאורך הכביש( במהלך הנסיעה. א. התאימו גרף לכל כלי רכב. ב. מהי מהירות הנסיעה של המכונית הפרטית? מהי מהירות הנסיעה של המשאית? ג. האם שני כלי הרכב נפגשו בדרך? אם כן - מתי, ובאיזה מרחק מאילת? ד. באיזו שעה הגיע כל אחד מכלי הרכב לאילת? ה. מה היה המרחק בין שני כלי הרכב בשעה 8:00 בבוקר? ו. כאשר המכונית הפרטית הגיעה לאילת - באיזה מרחק מאילת נמצאה המשאית? ז. כתבו ייצוג אלגברי לכל אחת מהפונקציות הקוויות המיוצגות בסרטוט. ח. ענו שנית על סעיפים ה-ו בעזרת הייצוג האלגברי שרשמתם. 3 מכונית נסעה מצפון דרומה לאורך כביש העובר דרך חיפה. כעבור 2 שעות מיציאתה הייתה המכונית במרחק 200 ק מ מדרום לחיפה. כעבור 5 שעות מיציאתה הייתה המכונית במרחק 40 ק מ מדרום לחיפה. הניחו שהמכונית נוסעת במהירות קבועה. א. מה הייתה מהירות הנסיעה של המכונית? ב. האם לדעתכם המכונית יצאה מחיפה? אם לא - האם מקום היציאה שלה נמצא מדרום לחיפה, או מצפון לה? 32 אוטובוס יצא מבאר שבע ונסע במהירות קבועה של 60 קמ ש. בשעה 0:00 היה האוטובוס במרחק 320 ק מ מבאר שבע. האם ייתכן שהאוטובוס יצא מבאר שבע בשעה 7:30 בבוקר? אם כן - הסבירו. אם לא - מצאו את שעת היציאה של האוטובוס מבאר שבע. זמן שעבר מהשעה 6:00 בבוקר )בשעות( מרחק מאילת 480 )בק מ( 390 )4.5, 20( 4

15 ב. מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית מה נלמד? מציאת ייצוג אלגברי לפונקציה קווית על פי השיפוע שלה ונקודה הנמצאת על גרף הפונקציה מציאת ייצוג אלגברי לפונקציה קווית על פי שתי נקודות הנמצאות על גרף הפונקציה. דיון בכל סעיף קבעו אם הנתונים המפורטים מתארים פונקציה קווית יחידה, או שהם מתארים יותר מפונקציה אחת, או שהם אינם מתארים שום פונקציה קווית. הסבירו את התשובה ותנו דוגמאות. דיון א. הנקודה )7,3( נמצאת על גרף הפונקציה. ב. שיפוע הפונקציה הוא. 2.5 ג. הנקודה )3,-( נמצאת על גרף הפונקציה, ושיפוע הפונקציה הוא. 4 ד. הנקודות ),0( ו ) 4,( נמצאות על גרף הפונקציה. ה. הנקודות )5-,2( ו ) 7 -,4( נמצאות על גרף הפונקציה. ו. הנקודות ),(, )2,2( ו ) 7,3( נמצאות על גרף הפונקציה. ז. הנקודות )3,(, )5,2( ו ) 9,4( נמצאות על גרף הפונקציה. מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית על פי נקודה ושיפוע 2 לבריכה לא ריקה הזרימו מים בקצב קבוע של 2 מ"ק לשעה. כעבור 3 שעות מפתיחת הברז הראה מד הכמות 9 מ"ק. f() היא פונקציה המתארת את כמות המים בבריכה כתלות בזמן שעבר מתחילת המילוי. א. האם f() היא פונקציה קווית? הסבירו. ב. מהו השיפוע של?f() ג. נסו לרשום ייצוג אלגברי לפונקציה.f() g() 3 היא פונקציה קווית שהשיפוע שלה הוא 3, והגרף שלה עובר דרך הנקודה )7,5(. נסו לרשום ייצוג אלגברי של הפונקציה.f() פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 5

16 כיצד נמצא ייצוג אלגברי לפונקציה קווית לפי השיפוע שלה ונקודה על גרף הפונקציה? כאשר נתונה נקודה הנמצאת על הגרף של פונקציה קווית, וידוע שיפוע הפונקציה - אפשר למצוא את ערכי a ו b ולרשום ייצוג אלגברי לפונקציה בצורה. f() = a + b דוגמה נמצא ייצוג אלגברי לפונקציה קווית,f() שהשיפוע שלה הוא 2 והגרף שלה עובר דרך הנקודה (5-,3)A: 2 = a, כיוון שנתון ששיפוע הפונקציה הקווית הוא. 2 אם כך,.f() = 2 + b כדי לחשב את b ניעזר בנקודה הנתונה (5-,3)A. מאחר שהנקודה נמצאת על גרף הפונקציה, חייב להתקיים התנאי -5 =,f(3) כלומר -5 = b. f(3) = נפתור את המשוואה -5 = b )פתרו!( ונקבל - =.b עתה ניתן לרשום את הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית שחיפשנו: - 2. f() = כתבו בכל סעיף ייצוג אלגברי של פונקציה קווית לפי הנתונים. 4 ייצוג אלגברי של הפונקציה נקודה על גרף הפונקציה שיפוע הפונקציה הקווית (2, 5) -2 א (-, 3) 5 ב (-2, -4) 0 ג (0, 5) -0.3 ד (2, 0) ה 4 (0, 0) -7 ו ( 3, 2) -6 ז 5 במחברת של אסנת היו רשומים ייצוג אלגברי של פונקציה קווית בצורה,f() = a + b f() = 2 + וטבלת ערכים של הפונקציה; אבל על המחברת נשפך דיו. f() האם תוכלו לעזור לאסנת לשחזר את הייצוג האלגברי של הפונקציה?f() הסבירו. 2 7 בכל סעיף נתונות נקודה ומדרגה. רשמו ייצוג אלגברי לפונקציה קווית שהנקודה הנתונה נמצאת על הגרף שלה, 6 והמדרגה הנתונה מתארת את קצב ההשתנות שלה. 5) (0, א 3) (2, ב 7) (-2, ג -4) (.5, ד פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 6

17 7 רשמו ייצוג אלגברי לכל אחת מהפונקציות הקוויות הנתונות בייצוג גרפי: r() ה ג א h() g() h() r() ו ד ב g() פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 8 שיפוע הפונקציה הקווית f() הוא 2-, וגרף הפונקציה עובר דרך הנקודה )4,-(. א. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה.f() ב. מצאו ייצוג אלגברי לפונקציה קווית,g() שהגרף שלה עובר דרך הנקודה )3-,2-( ומקביל לגרף של.f() 9 בכל סעיף, שתיים מבין הנקודות הנתונות נמצאות על גרף הפונקציה,f() והשלישית לא. מצאו בכל סעיף את הנקודה שאיננה על גרף הפונקציה, ורשמו ייצוג אלגברי של פונקציה חדשה,g() שהגרף שלה עובר דרך נקודה זו ומקביל לגרף של.f() א M(2, 5) K(, 5) P(0.2, 6.6) f() = ב C(2, -3) B(, -5) A(0.2, 6.5) f() = 0 בכל סעיף רשמו ייצוג אלגברי שיכול להתאים לפונקציות שבסרטוט. )שימו לב: בכל סעיף אפש ריות תשובות רבות.( א ב ג ד

18 א מכוניות מאבדות מערכן הכספי בכל שנה של חייהן. לדורית יש מכונית בת 5 שנים. דורית קראה בכתב העת אוטומון שמכונית מהדגם שיש לה מאבדת כל שנה מערכה, 8,000 וששווייה של מכונית כזו בגיל 5 הוא. 50,000 א. כתבו ביטוי לפונקציה המתארת את מחיר המכונית של דורית כתלות ב גיל שלה. ב. מה היה מחירה של המכונית בשוק לפני חמש שנים? אפשר להיעזר בפונקציות אם רוצים. 2 בכל סעיף רשמו ייצוג אלגברי של פונקציה קווית לפי המדרגה שלה ונקודה שגרף הפונקציה עובר דרכה. חיזוק 4( ), א 2 5( )0, ב 2 3( )2, ג ( ).5, ד 4 ב 4 2 פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 3 מרים החליטה לייצר מאווררים תעשייתיים. לפני תחילת הייצור היה עליה להשקיע השקעה ראשונית בתשתיות. עלות הייצור של כל מאוורר היא. 40 לאחר שייצרה את 25 המאווררים הראשונים הגיעו הוצאותיה של מרים ל א. עלות הייצור היא פונקציה קווית של מספר המאווררים. הסבירו. ב. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה המתארת את הוצאותיה של מרים כתלות במספר המאווררים שייצרה. ג. מה היה גובה ההשקעה הראשונית של מרים לפני תחילת הייצור? ד. מה היו הוצאותיה של מרים לאחר שייצרה 70 מאווררים? ה. מהו מספר המאווררים שייצרה מרים אם הוצאותיה הגיעו ל 0,240? 4 זיו שתל צמח מטפס. באנציקלופדיה כתוב שקצב הגידול של צמח זה הוא 0.5 ס מ בכל שבוע. 2 שבועות אחרי שתילת הצמח מצא זיו שאורך הצמח הוא 5 ס מ. א. כתבו ביטוי לפונקציה המתארת את גובה הצמח כתלות במספר השבועות שעברו מהשתילה. ב. מה היה גובה הצמח בעת השתילה? 8

19 מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית על פי שתי נקודות דיון 5 התחילו לרוקן בריכה בקצב קבוע. 3 שעות לאחר שהתחילו לרוקן את הבריכה, היו בה 40 מ"ק מים. אחרי 6 שעות מרגע שהתחילו לרוקן את הבריכה היו בה 25 מ"ק מים. א. באיזה קצב רוקנו את הבריכה? הסבירו. ב. כמה מים היו בבריכה לפני שהתחילו לרוקן אותה? הסבירו. ג. כתבו ייצוג אלגברי המתאר את כמות המים )במ"ק( בבריכה, כתלות בזמן )בשעות( שעבר מרגע שהתחילו לרוקן אותה. ד. תוך כמה שעות התרוקנה הבריכה? דיון 6 גרף של פונקציה קווית עובר דרך הנקודות )2,5( ו ) 6 -,4(. א. מהו שיפוע הפונקציה? ב. השתמשו בנקודה )2,5( שעל הגרף ובשיפוע שחישבתם בסעיף א, וכתבו ייצוג אלגברי מהצורה f() = a + b לפונקציה זו. ג. השתמשו בשיפוע שחישבתם בסעיף א ובנקודה )6-,4) שעל הגרף, וכתבו ייצוג אלגברי לאותה פונקציה. ד. בדקו אם בסעיפים ב וג קיבלתם אותו ייצוג אלגברי. דוגמה כיצד נמצא ייצוג אלגברי לפונקציה קווית לפי שתי נקודות הנמצאות על הגרף שלה? תחילה נחשב על פי שתי הנקודות הנתונות את שיפוע הפונקציה, כפי שלמדנו ביחידה הקודמת; לאחר מכן נשתמש בשיפוע שמצאנו ובאחת הנקודות הנתונות לכתיבת ייצוג אלגברי פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית מהצורה,f() = a + b כפי שכבר למדנו. נמצא ייצוג אלגברי של הפונקציה הקווית f() שהגרף שלה עובר דרך הנקודות (4-,3)A ו (8,-)B. a = תחילה נחשב את שיפוע הפונקציה: -3 = 8 - (-) אם כך,. f() = -3 + b כעת נחשב את b. לשם כך ניעזר באחת הנקודות הנתונות, למשל בנקודה (4-,3)A, ובשיפוע שחישבנו. מאחר שהנקודה נמצאת על גרף הפונקציה, חייב להתקיים התנאי -4 =,f(3) כלומר -4 = b f(3) = נפתור את המשוואה -4 = b )פתרו!( ונקבל: = 5 b. עתה ניתן לרשום את הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית שחיפשנו: f() = *** ומה היה קורה אילו השתמשנו לצורך התהליך הזה בנקודה B ולא בנקודה A? נחשב שנית את b, הפעם בעזרת הנקודה (8,-)B והשיפוע שחישבנו: מאחר שהנקודה (8,-)B נמצאת על גרף הפונקציה, חייב להתקיים התנאי = 8 (-)f, כלומר = 8 b. f(-) = -3 (-) + נפתור את המשוואה = 8 b + (-) -3 )פתרו!( ונקבל שוב: = 5 b 7 גרף של פונקציה קווית עובר דרך הנקודות )6,0( ו ) 0,4(. א. מהו שיפוע הפונקציה? ב. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה. 9

20 8 בחברה לייצור מכשירי טלפון הוחלט, שבעקבות עלייה ברווחי החברה יועלה שכרם חיזוק של פועלי הייצור לפי כלל מסוים. כתוצאה מכך, פועל שמשכורתו הייתה 3,000 קיבל תוספת של, 530 ופועל שמשכורתו הייתה 6,600 קיבל תוספת של. 566 את הכלל שלפיו העלו את המשכורות אפשר לתאר על ידי פונקציה קווית. א. מצאו ביטוי של הפונקציה. ב. איזו תוספת שכר יקבל פועל שמשכורתו לפני ההעלאה הייתה? 4,200 9 המחיר שבית דפוס גובה תמורת הדפסת ספר מורכב ממחיר מסוים לכל עמוד ותוספת קבועה לכריכה. הדפסת ספר בן 200 עמודים עולה. 30 הדפסת ספר בן 40 עמודים עולה. 27 א. מצאו ביטוי אלגברי לפונקציה המתארת את מחיר ההדפסה של ספר כתלות במספר העמודים בספר. ב. מהו המחיר של הדפסת הכריכה? ג. כמה עולה הדפסה של ספר אחד בן 300 עמודים? ד. כמה עמודים יש בספר שהדפסתו עלתה? 48 "גיל" המכונית )בשנים( מחיר המכונית )בש"ח( מכוניות מאבדות מערכן הכספי בכל שנה מחייהן ,000 לפני 6 שנים קנה צבי מכונית חדשה. 6 50,000 בטבלה שמשמאל, שהתפרסמה בעיתון אוטומון, מוצגים השינויים בערכה של מכונית זו. א. אם המכונית מאבדת מערכה בקצב קבוע, מהי הפונקציה שמתארת את מחיר המכונית כתלות בגילה? כתבו את הביטוי של הפונקציה. ב. כמה שילם צבי על מכוניתו כשקנה אותה? בכל סעיף מצאו ייצוג אלגברי לפונקציה הקווית המתוארת בטבלה. 2 א f() ג g() ה h() ב m() ד k() ו s() בכל סעיף נתונים גרפים של פונקציות קוויות ושתי נקודות שנמצאות עליהם. רשמו בכל סעיף ייצוג אלגברי מתאים. 22 א (3, 9) (, 5) ב ג (-3, -4) (-3, -5) (7, -5) (4, -) פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 20

21 23 הפונקציה הקווית f() מקיימת: -2 = f(5).f() = 8, א. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה.f() ב. מצאו את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר X ועם ציר Y. 24 יין משביח עם השנים, ומחירו עולה בכל שנה במידה קבועה. בקבוק יין מעיין משנת הייצור 980 עלה בשנת, ובשנת 2005 היה מחירו של אותו בקבוק. 50 א. כתבו פונקציה המתארת את מחיר הבקבוק כתלות ב גילו. ב. מה היה מחירו של בקבוק היין בשנת 980? ג. אם מחירו של היין ימשיך להשתנות באותו קצב, כמה יעלה בקבוק כזה בשנת 2020? 25 מירי נבדקת ב בדיקת מאמץ - הדופק שלה )מספר פעימות הלב בדקה( נמדד כמה פעמים בזמן מאמץ. אחרי 2 דקות של מאמץ היה הדופק 82 פעימות לדקה. אחרי 3 דקות נוספות של מאמץ היה הדופק שלה 88 פעימות לדקה. א. אם נניח שהדופק עולה במהלך הבדיקה בקצב קבוע, מה יהיה הדופק של מירי אחרי 0 דקות מתחילת הבדיקה? ב. מה היה הדופק של מירי לפני הבדיקה? 26 בשנת 990 הייתה תוחלת החיים של נשים בארץ 79.2 שנים. בשנת 2005 הייתה תוחלת החיים של נשים בארץ 82.5 שנים. נניח שתוחלת החיים עולה בקצב קבוע בקירוב. א. מה תהיה תוחלת החיים של נשים בארץ בשנת 2030? ב. באיזו שנה בערך תהיה תוחלת החיים גדולה מ 00 שנה? 27 המלח הוא רכיב מזון חשוב מאוד לגופנו. צריכת המלח עולה בהתמדה. בשנת 2008 נמכרו בארצות הברית כ 25,000,000 טונות של מלח. הכמות הזאת גדולה ב 8,000,000 טונות מהכמות שנמכרה בארצות הברית בשנת 996. אם קצב העלייה במכירת המלח הוא קבוע - כמה טונות של מלח יימכרו בארצות הברית בשנת 20? ובשנת 2020? 28 בפסטיבל אוכל מוכרים מנה סינית לפי משקל. רוני קנתה מנה שמשקלה 200 גרם ושילמה תמורתה 2 ש"ח. מאיה קנתה מנה של 300 גרם ושילמה 5 ש"ח. א. כמה שילם רועי, שקנה מנה של 250 גרם? ב. קבוצת אנשים קנו למסיבה מנה של.25 ק"ג. כמה עלתה הקנייה הזו? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 2

22 משימות לסיכום 29 בכל סעיף נתונה פונקציה קווית. מצאו את הפרטים החסרים בטבלה. (אם חסרים לכם נתונים - הוסיפו נתונים משלכם ). ייצוג אלגברי של הפונקציה הקווית א שתי נקודות על נקודת אפיון נקודת גרף הפונקציה חיתוך עם חיתוך עם (עולה / שאינן נקודות יורדת / ציר X ציר Y קבועה) החיתוך עם הצירים f() = ב ג ) (0, -3 קבועה ) (0, -0.3 ד ) )?,?( (, 3 יורדת ה פונקציה קווית - חלק ב (הרחבה) ו סקיצה של גרף הפונקציה ) f( f() = -2(3-8) - 3 ) (0, 8 ז ) (-4, 0 ) f( -3 ח ט f() = -8 - י ) f( 5 עולה 4 יא מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 30 ) f( -3 יוסי רשם במחברתו ייצוג אלגברי של פונקציות קוויות בצורה,a + b וכן כמה ערכים של הפונקציות. העט של יוסי הכתים את הדף. האם ניתן לשחזר את המידע שהיה רשום במחברת? אם אפשר לשחזר, שחזרו; אם אי אפשר לשחזר - הסבירו מדוע אי אפשר. g(3) = )=2 ( g 2 4 = ) f( +7 g() = -5 + f(2) = 5 = ) f(-

23 3 המרחק בין העיר A לעיר D הוא 20 ק"מ. מכונית אדומה יצאה מ A ונסעה ל D במהירות קבועה. שעה אחריה יצאה מכונית ירוקה מהעיר B, הנמצאת במרחק 0 ק"מ מ A )ראו בציור(, ונסעה גם היא ל D. היא נסעה במהירות של 80 קמ"ש, וכעבור הניחו שכל מכונית נוסעת במהירות קבועה. א. קבעו איזה מהגרפים שבסרטוט מתאים לכל אחת מהמכוניות. ב. מצאו את שיעורי הנקודות החסרים בסרטוט לפי נתוני השאלה. ג. כתבו לפי הנתונים ייצוג אלגברי לפונקציה המתאימה למכונית הירוקה. ד. באיזה מרחק מהעיר A עקפה המכונית הירוקה את המכונית האדומה? ה. באיזו מהירות נסעה המכונית האדומה? ו. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה המתאימה למכונית האדומה. ז. כעבור כמה שעות מתחילת נסיעתה של המכונית האדומה הגיעה כל אחת מהמכוניות לעיר D? A B D 3 4 שעה מתחילת נסיעתה עקפה את המכונית האדומה. M)?,?( g() f() C)?,?( N)?,?( מרחק מ A )בק"מ( P)?,?( זמן שעבר מרגע היציאה של המכונית האדומה)בשעות( פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית f() u() w() משימות נוספות לפניכם טבלות ערכים של פונקציות קוויות. 32 א. קבעו על פי הטבלאות אילו מן הפונקציות עולות ואילו יורדות. ב. אילו סרטטנו את כל הפונקציות במערכת צירים אחת, לאילו מן הפונקציות היה אותו גרף? לאילו מהן היו גרפים מקבילים? ג. לכל פונקציה רשמו ייצוג אלגברי מתאים. ד. בכל סעיף מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ה. לכל פונקציה מצאו את ערך הפונקציה עבור = 80. ו. לכל פונקציה מצאו ערך שעבורו ערך הפונקציה הוא g() h() n() k() s() z() j() r() p()

24 33 במערכת הצירים מסומנות 4 הנקודות C B, A, ו D. Y. הסימטרייה הוא ציר כשציר ל C, סימטרית ו B סימטרית ל D A A B C D א. נתון: 9) D(7, A(-7, 9) B(-3, 5) C(3, 5) הראו בייצוג גרפי ובייצוג אלגברי, שגרף הפונקציה הקווית העובר דרך הנקודות A ו B וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך הנקודות D ו C חותכים את ציר Y באותה נקודה. מהי נקודת החיתוך הזאת? 2 הראו בייצוג גרפי ובייצוג אלגברי, שגרף הפונקציה הקווית העובר דרך הנקודות A ו C וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך הנקודות D ו B חותכים את ציר Y באותה נקודה. מהי נקודת החיתוך הזאת? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית ב. בחרו ערכים אחרים לשיעורי הנקודות C B, A, ו D, כך ש A תהיה סימטרית ל D ו B תהיה סימטרית ל C )ביחס לציר Y, כמו בציור(. האם גם הפעם גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו B וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך C ו D חותכים את ציר Y באותה נקודה? אם כן - מהי הנקודה? 2 האם גם הפעם גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו C וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך D ו B חותכים את ציר Y באותה נקודה? מהי הנקודה? ג. הראו כי בכל בחירה של 4 נקודות כמתואר בסעיף הקודם, יתקיימו שתי התכונות: גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו B וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך C ו D חותכים את ציר Y באותה נקודה. 2 גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו C וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך D ו B חותכים את ציר Y באותה נקודה. ד. בכל אחד מהסעיפים הבאים, בחרו ערכים של נקודות C B, A, ו D כך ש A תהיה סימטרית ל D ו B תהיה סימטרית ל C )ביחס לציר Y(, וכך שיתקיימו הדרישות המפורטות בסעיף. גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו B וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך C ו D עוברים בראשית הצירים. 2 גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו B וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך C ו D חותכים את ציר Y בנקודה )7-,0(. 3 גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו C וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך D ו B חותכים את ציר Y בנקודה )0,0(. 4 שתי הדרישות הקודמות יתקיימו. השתמשו בייצוג האלגברי של הפונקציות שסרטטתם כדי לבדוק את תשובותיכם. 24

25 34 הרחבה כרטיס חנייה נטען הוא אמצעי לתשלום דמי חנייה : מטעינים את הכרטיס מראש בסכום התחלתי כלשהו; כשחונים, היתרה בכרטיס יורדת בקצב קבוע בהתאם למשך זמן החנייה. מיכל הטעינה את הכרטיס שלה בסכום מסוים. בפעם הראשונה השתמשה מיכל בכרטיס לחנייה בת 23 דקות. אחרי הפעם הזו נשארה בכרטיס יתרה של אחרי חנייה נוספת, של 35 דקות, נשארו בכרטיס א. כמה זמן (בדקות) נמשכו שתי החניות של מיכל יחד? ב. סדרו את הנתונים בטבלה כמו זו שלפניכם, ומלאו אותה. ) f( הסכום שנשאר אחרי החנייה (בשקלים) הזמן המצטבר (בדקות) אחרי החנייה הראשונה החנייה הראשונה והחנייה השנייה יחד 35 חיזוק פונקציה קווית - חלק ב (הרחבה) ג. מהו המחיר לדקת חנייה? ד. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה ) f( שמתארת את היתרה בכרטיס החנייה הנטען כתלות בזמן החנייה המצטבר. ה. אם בפעם הבאה תצטרך מיכל לחנות למשך 40 דקות - האם יספיק לה הסכום שנשאר בכרטיס? ו. באיזה סכום התחלתי הטעינה מיכל את הכרטיס? במחברת של דנה היו רשומים ייצוגים אלגבריים של פונקציות קוויות בצורה,a + b וטבלות ערכים מתאימות. העט של דנה הכתים את הדף. עזרו לדנה לשחזר את מה שהיה כתוב. אם אפשר - שחזרו; אם אי אפשר - הסבירו מדוע אי אפשר. - 3 = ) k( ג + = ) g( ב f() = -2 + א מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית ) k( ) g( ) f(

26 ג. השתנות בקצב קבוע מה נלמד? קשר בין קצב קבוע של תהליך לאירוע מסוים בתהליך הזה. שלושה תלמידים מדדו את מהירות ההליכה שלהם: מהירותה של אורנה: 3 מטרים בשנייה מהירותו של בוריס: 2.5 מטרים בשנייה מהירותה של ענת: 2 מטרים בשנייה א. אם שלושת הילדים י צאו בו זמנית מבית הספר למתנ"ס וילכו באותו מסלול, באיזה סדר הם יגיעו למתנ"ס? ב. באיזה מרחק מבית הספר יהיה כל אחד מהם דקה אחת אחרי יציאתם? ג. אם המרחק של המתנ"ס מבית הספר הוא 0.9 ק"מ, כמה זמן תימשך ההליכה של כל אחד מהם למתנ"ס? 2 במכולה היו 5 טונות גרגרי חיטה. רוקנו את המכולה באמצעות צינור, שהעביר לאסם 75 ק ג גרגרי חיטה בדקה. כעבור כמה זמן התרוקנה המכולה? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( השתנות בקצב קבוע 3 בטבלה שלפניכם מופיעים נתונים על תנועה במהירות קבועה של הולך רגל, של אופנוע ושל מכונית. מצאו את המספרים החסרים בטבלה. הולך רגל אופנוע מכונית 4 בכל דקה נולדים בעולם כ 50 בני אדם. א. כמה בני אדם נולדים בכל שעה? ב. כמה בני אדם נולדים בכל יום? ג. בכמה זמן בערך נולדים 2,000,000 בני אדם? 4 5 מכונות מייצרות 40 פריטים מסוג מסוים ב 4 ימים. אורך הדרך )s( ק"מ מהירות )v( קמ"ש 4 זמן )t( שעות כמה זמן דרוש ל 6 מכונות כאלה לייצר 60 פריטים מאותו סוג? 26

27 6 המרחק בין שני יישובים הוא 60 ק מ. נהגת מכונית, רוכב אופנוע ורוכב אופניים יצאו בשעה 8:00 מאחד היישובים ונסעו ליישוב האחר. נהגת המכונית נסעת במהירות 90 קמ ש, רוכב האופנוע נסע במהירות 30 קמ ש, ורוכב האופניים נסע במהירות 20 קמ ש. א. תוך כמה זמן הגיע כל אחד מהנוסעים ליעדו? ב. באיזו שעה הגיע כל אחד מהנוסעים ליעדו? דיון 7 המרחק בין שני יישובים בכביש מסוים הוא 520 ק מ. שתי מכוניות יצאו זו לקראת זו משני היישובים באותה שעה. מכונית א נסעה במהירות 70 קמ ש, ומכונית ב נסעה במהירות 60 קמ ש. א. מה היה המרחק בין המכוניות כעבור שעה מתחילת הנסיעה? ב. מה היה המרחק בין המכוניות כעבור שעה וחצי מתחילת הנסיעה? ג. כעבור כמה שעות מתחילת הנסיעה היה המרחק בין המכוניות 260 ק מ? ד. כעבור כמה שעות מתחילת הנסיעה נפגשו המכוניות? מכונית א מכונית ב 520 ק"מ 8 המרחק בין תל אביב לזיכרון יעקב הוא 74 ק מ. המרחק בין זיכרון יעקב לצפת הוא 02 ק מ. אוטובוס ומונית יצאו בו בזמן מזיכרון יעקב לשני כיוונים שונים: האוטובוס - לצפת, והמונית - לתל אביב. האוטובוס נסע במהירות 60 קמ ש, והמונית נסעה במהירות 80 קמ ש. א. מה היה המרחק בין כלי הרכב אחרי חצי שעה מתחילת הנסיעה? ב. כתבו משוואה שבעזרתה אפשר למצוא כמה זמן אחרי היציאה של כלי הרכב היה ביניהם מרחק של 50 ק מ. ג. מי הגיע ראשון ליעדו - האוטובוס או המונית? 9 נגרית מייצרת 4 כיסאות ביום. המתלמד שלה מייצר 2 כיסאות ביום. בכמה זמן ייצרו הנגרית והמתלמד יחד 60 כיסאות? זיכרון יעקב צפת תל אביב פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( השתנות בקצב קבוע 27

28 0 יוני יכול לסייד 3 חדרים ב 6 ימים. טלי יכולה לסייד 3 חדרים כאלה ב 3 ימים. א. אם יוני וטלי יסיידו יחד את שלושת החדרים, האם העבודה תיקח יותר או פחות מ 3 ימים? הסבירו. ב. בכמה זמן יכול יוני לסייד 2 חדרים? ג. בכמה זמן יכולים יוני וטלי לסייד 6 חדרים אם יעבדו יחד? רינה ודן נסעו מתל אביב לחיפה )מרחק של 00 ק"מ( בכביש מסוים. כל אחד מהם נסע במהירות קבועה. א. דן עבר את 80 הק מ הראשונים ב.2 שעות. בכמה זמן עבר דן את 20 הק מ הנותרים? ב. במשך 42 הדקות הראשונות עברה רינה 60 ק מ. כמה ק מ נסעה רינה ב 2 הדקות הבאות? 2 מאגר מים מכיל 7500 ליטר מים. בשעה תשע בבוקר התחילו לרוקן את המאגר באמצעות שני צינורות: האחד הזרים 40 ליטר מים בשעה, והאחר הזרים 0 ליטר מים בשעה. 3 4 שעה מתחילת הריקון? א. מהי כמות המים שנשארה בבריכה כעבור ב. כעבור כמה זמן התרוקנה הבריכה? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( השתנות בקצב קבוע אורן ומירי יצאו לרכוב על אופניים. 3 0 הגרף שלפניכם מתאר את ההשתנות בזמן של המרחק שלהם )בק"מ( מנקודת המוצא. א. הסתמכו על הגרף וספרו על נסיעתם של אורן ומירי פרטים רבים ככל האפשר. ב. באיזה מרחק מנקודת המוצא היה אורן חצי שעה 2 השעה אחרי תחילת הנסיעה? ג. מה הייתה המהירות של אורן בשעה הראשונה? ובשעה השנייה? ד. מה הייתה מהירותה של מירי בשעה השלישית? מירי 9 ה. אילו היה אורן עובר את כל הדרך במהירות קבועה השווה למהירותו בשעה הראשונה - מי היה מגיע לייעד קודם: אורן או מירי? הסבירו. ו. מה היה המרחק בין אורן למירי בשעה 9 בבוקר? כיצד מצאתם זאת? אורן המרחק מנקודת המוצא )ק"מ( 28

29 ד. פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות מה נלמד? שימוש בסקיצות של פונקציות ובייצוג האלגברי לפתרון בעיות מילוליות. יעל וניר רכבו על אופניים על הכביש שבין העיר A לעיר B. לפניכם סקיצות של הפונקציות הקוויות f() ו ( g( המתארות את המרחק של כל רוכב מהעיר A )לאורך הכביש( כתלות בזמן שעבר מיציאתו של ניר. מצאו אילו סקיצות יכולות להתאים לכל אחד מהתיאורים שלמטה, והסבירו. f() g() מרחק מ A 3 )בק מ( מרחק מ A )בק מ( מרחק מ A )בק מ( 2 g() f() f() g() זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( מרחק מ A )בק מ( זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות f() g() 6 g() f() זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( מרחק מ A )בק מ( 5 א. יעל יצאה לדרך אחרי ניר. ד. יעל וניר רכבו באותו כיוון. ב. יעל וניר יצאו שניהם לדרך מהעיר A. ה. יעל וניר רכבו בכיוונים נגדיים. ג. יעל וניר יצאו לדרך באותו הזמן מהעיר A. ו. יעל וניר נפגשו במהלך הנסיעה. 2 בכל סעיף, סרטטו במערכת צירים אחת )כמו זו הנתונה בציור( גרפים המתאימים לסיפור שבסעיף. א. משאית כבדה יצאה מצפת ונסעה לבית שאן דרך טבריה, במהירות 72 ק"מ לשעה. באותה שעה יצאה מכונית פרטית מטבריה, המרוחקת 40 ק"מ מצפת; המכונית נסעה לבית שאן לאורך אותו כביש, במהירות 48 ק"מ לשעה. שני כלי הרכב הגיעו בו בזמן לבית שאן. f() g() זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( מרחק מ A )בק מ( ב. משאית כבדה יצאה מצפת ונסעה דרך טבריה לבית שאן במהירות 48 ק"מ לשעה. כעבור שעתיים יצאה מכונית 4 דיון פרטית מטבריה, המרוחקת 40 ק"מ מצפת, ונסעה לבית שאן לאורך אותו כביש במהירות 72 ק"מ לשעה. שני כלי הרכב הגיעו בו בזמן לבית שאן. זמן שעבר מיציאת המשאית )שעות( מרחק מצפת )ק מ( 29

30 סרטוט סקיצה לפי סיפור דוגמה מכונית פרטית יצאה מאשקלון ונסעה דרך נתניה לחיפה, במהירות 75 ק"מ לשעה. כעבור שעה יצאה משאית כבדה מנתניה, המרוחקת 90 ק"מ מאשקלון, אשקלון נתניה חיפה ונסעה לחיפה לאורך אותו כביש, במהירות 60 ק"מ 90 ק מ לשעה. שני כלי הרכב הגיעו ביחד לחיפה. נסרטט במערכת צירים אחת סקיצות המתארות את השתנות המרחק של כל אחד מכלי הרכב מאשקלון, כתלות בזמן: א. המכונית הפרטית יצאה ראשונה לדרך, לכן נתחיל מתיאור התנועה שלה: נסרטט סקיצה של פונקציה קווית,f() המתארת את מרחקה של המכונית מאשקלון כתלות בזמן שעבר מיציאתה. שימו לב: הגרף עובר בראשית הצירים )הסבירו מדוע!(. f() מרחק מאשקלון )בק מ( פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות דיון ב. כעת נבנה באותה מערכת צירים סקיצה של פונקציה קווית,g() שתתאים למשאית: נקודת ההתחלה של גרף הפונקציה היא הנקודה M. שיעור ה של הנקודה M הוא, כי המשאית יצאה שעה אחת אחרי יציאת המכונית הפרטית. שיעור ה של הנקודה M הוא 90, כי המשאית יצאה מנתניה, המרוחקת 90 ק"מ מאשקלון. אם כן, שיעורי הנקודה M הם (90,)M. כדי לדעת אם הנקודה M נמצאת מעל לגרף של f() או מתחתיו, נחשב את שיעור ה של הנקודה K. לשם כך נחשב באיזה מרחק מאשקלון הייתה המכונית הפרטית כעבור שעה מתחילת נסיעתה. זמן שעבר מיציאת המכונית הפרטית )שעות( זמן שעבר מיציאת המכונית הפרטית )שעות( מרחק מאשקלון )בק מ( M K g() f() R המרחק הזה הוא 75 ק"מ )הסבירו מדוע!( לכן נסמן את הנקודה M מעל לגרף.f() מהירות המשאית קטנה ממהירות המכונית הפרטית, לכן נסרטט מהנקודה M קו ישר שהשיפוע שלו קטן מהשיפוע של f(). נמשיך אותו עד לנקודת החיתוך שלו עם הגרף של,f() ונסמן את נקודת החיתוך באות R. מה המשמעות של שיעור ה של הנקודה R בסיפור? מה המשמעות של שיעור ה של הנקודה R בסיפור? 3 משאית יצאה מצפת ונסעה לבאר שבע במהירות 48 קמ"ש. כעבור שעתיים יצאה מכונית פרטית מאותו מקום בצפת, ונסעה לבאר שבע לאורך אותו כביש במהירות 72 קמ"ש. שני כלי הרכב הגיעו לבאר שבע בו זמנית. א. סרטטו במערכת צירים אחת סקיצות, המתארות את השתנות המרחק של כל כלי רכב מצפת כתלות בזמן. ב. רשמו ייצוגים אלגבריים לפונקציות שבסרטוט. ג. היעזרו בייצוגים האלגבריים שרשמתם כדי למצוא: כעבור כמה זמן מתחילת נסיעתה של המשאית הגיעו שני כלי הרכב לבאר שבע? 2 מהו המרחק )בנסיעה על הכביש( בין צפת לבאר שבע? 30

31 פתרון בעיה המתארת שני תהליכים שלכל אחד מהם מתאימה פונקציה קווית דוגמה מכונית פרטית יצאה מאשקלון ונסעה דרך נתניה לחיפה, במהירות 75 ק"מ לשעה. כעבור שעה יצאה משאית כבדה מנתניה, המרוחקת 90 ק"מ מאשקלון, ונסעה לחיפה לאורך אותו כביש, במהירות 60 ק"מ לשעה. שני כלי הרכב הגיעו ביחד לחיפה. פתרון כעבור כמה זמן מיציאתה של המכונית הפרטית הגיעו שני כלי הרכב לחיפה? 2 מהו המרחק )בנסיעה על הכביש( בין אשקלון לחיפה? א. נסרטט סקיצה המתארת את השתנות המרחק של כל אחד מכלי הרכב מאשקלון כתלות בזמן )כמו שהסברנו בעמוד הקודם(. ב. נציין על הישרים את השיפועים והנקודות המתאימים לנתונים בסיפור )נסו בעצמכם!(. הפונקציה,f() המתארת את נסיעתה של המכונית הפרטית, היא פונקציה קווית ששיפועה 75 )כי המכונית נסעה במהירות קבועה של 75 קמ"ש(, והגרף שלה עובר בראשית הצירים )כי המרחק של המכונית מאשקלון בזמן יציאתה לדרך היה 0(. הפונקציה,g() המתארת את נסיעתה של המשאית, היא פונקציה קווית ששיפועה 60 )כי היא מתארת נסיעה במהירות קבועה של 60 קמ"ש( והגרף שלה עובר דרך הנקודה (90,)M )כי המשאית יצאה לדרך שעה אחת לאחר יציאתה של המכונית הפרטית, והיא יצאה מנתניה, המרוחקת 90 ק"מ מאשקלון(. ג. לכל אחת מהפונקציות f() ו ( g( נמצא ייצוג אלגברי לפי הנקודה והשיפוע שמצאנו בשלב הקודם )נסו בעצמכם!(. הייצוגים הם: כעת נוכל לחזור לשאלות שנשאלנו. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות f() = 75 g() = כיצד נחשב את הזמן שעבר מאז יציאתה של המכונית הפרטית עד ששני כלי הרכב נפגשו? עבור ערך ה של הנקודה R, המייצג את הזמן עד הפגישה, ערך הפונקציה f() שווה לערך הפונקציה g() )כי בזמן הפגישה שני כלי הרכב נמצאים באותו המרחק מאשקלון(. לכן ניתן למצוא את הזמן המבוקש על ידי פתרון המשוואה f(). g() = נפתור את המשוואה = )פתרו!( ונקבל = 2. אם כך, שני כלי הרכב נפגשו שעתיים לאחר יציאתה של המכונית הפרטית לדרך. 2 כיצד נחשב את המרחק מאשקלון לחיפה לאורך כביש זה? כיוון ששני כלי הרכב נפגשו בחיפה, הם נפגשו 2 שעות לאחר יציאתה של המכונית הפרטית לדרך. לכן אפשר לחשב את המרחק על ידי מציאת ערך הפונקציה f() )או ערך הפונקציה )g() עבור = 2. )חשבו, והסבירו מדוע שתי הדרכים אפשריות!( נמצא ש = 50 f(2) ; אם כך, המרחק מאשקלון לחיפה לאורך הכביש הוא 50 ק"מ. זמן שעבר מיציאת המכונית הפרטית )בשעות( מרחק מאשקלון )בק מ( M ), 90(,g() שיפוע 60,f() שיפוע 75 R 3

32 4 המרחק מאילת לנתניה לאורך כביש העובר דרך ירושלים הוא 42 ק"מ. מונית יצאה מאילת ונסעה בכביש זה לירושלים במהירות 86 קמ"ש. כעבור שעתיים יצאה לקראתה מכונית פרטית מנתניה, ונסעה באותו כביש לירושלים במהירות 74 קמ"ש. שני כלי הרכב הגיעו לירושלים באותה שעה. א. סרטטו במערכת צירים אחת סקיצות של גרפים המתארים את השתנות המרחק של שני כלי הרכב מאילת כתלות בזמן שעבר מתחילת נסיעתה של המונית. ב. כתבו לכל גרף את השיפוע שלו ואת השיעורים של אחת הנקודות הנמצאות עליו. ג. רשמו ייצוג אלגברי לכל אחת מהפונקציות שתיארתם בסעיף א. ד. היעזרו בייצוגים האלגבריים שרשמתם כדי למצוא: כעבור כמה זמן מיציאתה של המונית הגיעו שני כלי הרכב לירושלים? 2 מה המרחק בין אילת לירושלים לאורך הכביש המתואר? ירושלים אילת נתניה פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות רוכבת אופניים יצאה ממטולה לחיפה במהירות 24 קמ"ש. כעבור שלוש שעות יצאה 5 מכונית פרטית ממטולה לחיפה, ונסעה באותה הדרך במהירות 72 קמ"ש. שני כלי הרכב הגיעו לחיפה באותו הזמן. א. כעבור כמה זמן מיציאתה של רוכבת האופניים הגיעו שני כלי הרכב לחיפה? ב. מהו המרחק )על הכביש( בין מטולה לחיפה? בעיר הוקמה שכונת אביב. האוכלוסייה באביב ג ד לה בקצב של 600 איש בשנה. 6 שנתיים לאחר הקמת אביב הוקמה שכונת יחדיו. האוכלוסייה ביחדיו ג ד לה בקצב של 900 איש בשנה. א. באיזו שכונה יהיו יותר תושבים 5 שנים אחרי הקמת אביב? בכמה תושבים יותר? ב. כעבור כמה שנים מהקמת אביב יהיה בשתי השכונות מספר שווה של תושבים? כמה תושבים יהיו בכל שכונה באותה שנה? תל אביב קריית גת דן יצא על קטנועו מתל אביב למטולה במהירות 36 קמ"ש. כעבור 7 82 ק מ שעתיים יצאה רינה מקריית גת ונסעה במכוניתה דרך תל אביב למטולה במהירות 80 קמ"ש, בעקבות דן. דן ורינה הגיעו למטולה ביחד. המרחק בין קריית גת לתל אביב במסלול הנסיעה של רינה הוא 82 ק"מ. א. כעבור כמה זמן מרגע יציאתו הגיע כל אחד מכלי הרכב למטולה? ב. כמה קילומטרים נסע כל כלי רכב ממקום יציאתו ועד שהגיע למטולה? רוכב אופניים יצא מביתו בשעה 8.00 בבוקר, ורכב במהירות 40 קמ"ש. בשעה 9.30 בבוקר יצאה 8 אחותו מאותו בית, ורכבה על אופנוע בעקבות אחיה במהירות 80 קמ"ש. באיזו שעה ובאיזה חיזוק מרחק מהבית השיגה רוכבת האופנוע את אחיה רוכב האופניים? מטולה 32

33 9 המרחק בין עכו לבאר שבע הוא 224 ק"מ. שני נהגים, רמי וגדי, יצאו משתי הערים זה לקראת זה באותו מסלול. רמי יצא מעכו בשעה 7 בבוקר, ונסע במהירות של 92 קמ"ש, וגדי יצא מבאר שבע בשעה 7:30 בבוקר, ונסע במהירות 86 קמ"ש. א. באיזו שעה נפגשו? ב. מתי היה המרחק ביניהם 89 ק"מ? 0 בחברה להשכרת מכוניות רכשו מכונית שמחירה. 50,000 בכל שנה מחיר המכונית הזו יורד ב 0,000. שנה לאחר קניית המכונית הראשונה רכשו מכונית מדגם אחר, שמחירה. 30,000 בכל שנה מחיר המכונית מהדגם הזה יורד ב 8,000. האם ייתכן שאחרי כמה שנים יהיו המחירים של שתי המכוניות שווים? אם כן - אחרי כמה שנים? אם לא - הסבירו מדוע. הרחבה על כל גוף המכיל אוויר מופעל לחץ אוויר מבחוץ ומבפנים. הלחץ מבפנים מופעל על ידי האוויר הנמצא בתוך הגוף. אחת היחידות למדידת לחץ אוויר נקראת פסקל. בניסוי במעבדה בדקו מה קורה למ כ ל כאשר הלחץ החיצוני גדול מהלחץ הפנימי או שווה לו. בתחילת הניסוי היה הלחץ החיצוני על המכל 20 פסקל, והלחץ הפנימי היה שווה ל 0. התחילו להפחית את הלחץ החיצוני בקצב של 2 פסקלים לשנייה, ובאותו זמן התחילו להגביר את הלחץ הפנימי בקצב של פסקל לשנייה. כעבור כמה זמן היה הלחץ החיצוני על המכל שווה ללחץ הפנימי? 2 התשלום היומי שגובות שתי חברות אינטרנט נקבע בהתאם למשך זמן הגלישה: חברת "גלישה ישירה" גובה.5 ש"ח לכל שעת גלישה. חברת "גלישה מהירה" גובה תשלום קבוע של 2 ש"ח ליום, ותוספת תשלום לפי שעות הגלישה: 3 שעות הגלישה הראשונות בכל יום הן ללא תשלום נוסף, ועל השעות שאחריהן התעריף הוא 2.5 ש"ח לשעת גלישה. עבור כמה שעות גלישה ביום גובות שתי החברות אותו סכום? ב ל ז פסקל ) , Pascal )Blaise היה מדען צרפתי שעסק רבות בנושא לחץ האוויר, והיחידה למדידת לחץ אוויר נקראת על שמו. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות 33

34 3 רוני הקימה אתר אינטרנט שמטרתו לגייס מתנדבים שיפעלו לשיפור איכות הסביבה. הרחבה היוזמה הצליחה: בכל שבוע הצטרפו 7 מתנדבים. 3 שבועות אחרי הקמת האתר של רוני, הקים טל אתר שמטרתו לגייס מתנדבים לעבודה עם ילדים בקהילה. כשהאתר נפתח נרשמו 6 חברים של טל, ובכל שבוע הצטרפו 0 מתנדבים. א. האם ייתכן שבשבוע מסוים מספר המתנדבים באתר של רוני יהיה שווה למספר המתנדבים באתר של טל? אם כן - מתי זה יקרה? ב. אם מספר המתנדבים בשני האתרים ימשיך לגדול באותו הקצב, כמה מתנדבים יהיו בכל רשימה 0 שבועות אחרי הקמת האתר של רוני? ג. אם מספר המתנדבים בשני האתרים ימשיך לגדול באותו הקצב, כמה מתנדבים יהיו בכל רשימה 0 שבועות אחרי הקמת האתר של טל? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות אתגר דיון 4 במכל א היו 320 מ ק מים ובמכל ב היו 320 מ ק מים. התחילו לרוקן את מכל א, וכעבור שעתיים התחילו להזרים מים למכל ב: ממכל א רוקנו את המים בקצב של 80 מ ק לשעה. למכל ב הזרימו מים בקצב של 60 מ ק לשעה; א. כעבור כמה זמן מתחילת הריקון של מכל א היו בשני המכלים כמויות שוות של מים? ב. מה הייתה כמות המים בכל אחד מהמכלים כשהכמויות היו שוות? 5 דנית ואחותה הקטנה מזל אוהבות לרוץ על שביל שאורכו 50 מטרים. מהירותה של דנית היא 3 מטרים בשנייה, ומהירותה של מזל היא מטר בשנייה. א. מזל לא רוצה להגיע תמיד שנייה, ולכן היא מבקשת שדנית תתחיל את המרוץ כמה שניות אחריה. כמה שניות אחרי מזל צריכה דנית להתחיל לרוץ כדי ששתיהן יגיעו יחד לסוף השביל? הסבירו. ב. בפעם אחרת מזל מבקשת להתחיל לרוץ באותו זמן שדנית מתחילה, אבל לא מאותה נקודת זינוק בקצה השביל, אלא בנקודה כלשהי בהמשך השביל. באיזה מרחק מתחילת השביל צריכה מזל להתחיל לרוץ כדי ששתיהן יגיעו לסוף השביל יחד? הסבירו. 6 מיכל יצאה לטיול ממצפה רמון לדימונה, מרחק של 66 ק"מ. תחילה רכבה על אופניים במהירות 5 קמ"ש, ולאחר זמן מה החליטה להמשיך את הדרך בהליכה במהירות 3 קמ"ש. הדרך כולה ארכה 6 שעות. א. סרטטו גרף המתאר את השתנות המרחק של מיכל ממקום יציאתה כתלות בזמן שעבר מהיציאה לדרך. ב. כמה זמן רכבה מיכל על אופניים וכמה זמן הלכה ברגל? ג. באיזה מרחק מנקודת היציאה החלה ללכת ברגל? ד. כמה קילומטרים היא הלכה ברגל? * משימה חלופית למשימה 6 מופיעה באתר המתמטיקה של מטח: "לראות מתמטיקה: פונקציות" פונקציה קווית העתקת גרף "תופסת" 34

35 תהליך אחד המתואר על ידי שתי פונקציות קוויות דוגמה יוסי יצא מתל אביב לזיכרון יעקב, מרחק של 72 ק"מ. חלק מהדרך הוא רכב על אופניים במהירות 20 קמ"ש, ובהמשך הדרך הלך ברגל במהירות 4 קמ"ש. הוא שהה בדרך 6 שעות. א. סרטטו סקיצה המתארת את השתנות המרחק של יוסי ממקום היציאה כתלות בזמן שעבר מיציאתו לדרך. ב. כעבור כמה זמן מיציאתו לדרך החל יוסי ללכת ברגל? ג. באיזה מרחק מתל אביב החל יוסי ללכת ברגל? פתרון התנועה בסיפור מורכבת משני חלקים שבכל אחד מהם נעים במהירות אחרת; לכן נתאר את הנסיעה באמצעות שתי פונקציות, f() ו ( g(, המתארות את השתנות המרחק מתל אביב בכל אחד מקטעי הדרך, כתלות בזמן: f() היא פונקציה המתאימה לפרק הזמן שבו יוסי רכב במהירות 20 קמ"ש; g() היא פונקציה המתאימה לפרק הזמן שבו יוסי צעד במהירות 4 קמ"ש. השיפוע של f() הוא 20, והשיפוע של g() הוא 4. הנקודה C מתאימה לסיום המסע. שיעור ה של הנקודה C הוא 6 )כי הזמן שעבר מהיציאה לדרך עד ההגעה ליעד הוא 6 שעות(. שיעור ה של הנקודה C הוא 72 )כי כאשר יוסי הגיע לזיכרון יעקב הוא היה במרחק 72 ק"מ מתל אביב(. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות לכן שיעורי הנקודה C הם (72,6)C. הנקודה K מתאימה להתחלת הצעידה ברגל. שיעור ה של הנקודה K מתאר כעבור כמה זמן מיציאתו לדרך החל יוסי ללכת ברגל. שיעור ה של הנקודה K מתאר באיזה מרחק מתל אביב החל יוסי ללכת ברגל. את שיעור ה של הנקודה K אפשר למצוא בעזרת המשוואה g() : f() = הייצוג האלגברי של f() הוא f() = 20 )הסבירו!(. את הייצוג האלגברי של g() ניתן לחשב לפי הנקודה (72,6)C והשיפוע 4 )נסו למצוא!(. הייצוג האלגברי של g() הוא g() = פתרו את המשוואה וענו על סעיפים ב וג שבדוגמה. 7 דבורה יצאה מבאר שבע לסדום, מרחק של 84 ק"מ, ועברה את הדרך ב 5 שעות. חלק מהדרך היא רכבה על אופניים במהירות של 20 קמ"ש, ואת החלק הנותר עברה בהליכה ברגל במהירות של 4 קמ"ש. א. כעבור כמה שעות מרגע יציאתה מבאר שבע התחילה דבורה ללכת ברגל? ב. כמה קילומטרים עברה ברכיבה על אופניה? 6 זמן מהיציאה לדרך )שעות( מרחק מתל אביב )בק מ( 72 A f() K g() C 35

36 במשימות הבאות הניחו, לצורך החישוב, שקצב שינוי הוא קבוע אלא אם כן נאמר אחרת. 8 במושב הותקנה מכולה חדשה. במשך כמה ימים הכניסו למכולה 3.5 טונות תבואה ביום. לאחר מכן מכרו את התבואה בקצב של.5 טונות ליום עד שהמכולה התרוקנה. תהליך המילוי והפינוי של המכולה נמשך 0 ימים. א. סרטטו סקיצה המתארת את השתנות תכולת המכולה מהרגע שהתחילו למלא אותה ועד הרגע שהמכולה התרוקנה. ב. במשך כמה ימים מילאו את המכולה? במשך כמה ימים רוקנו אותה? ג. כמה טון תבואה היו במכולה כשהייתה מלאה? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות הרחבה דיון 9 שליח יצא מאילת למסור חבילה בחיפה, ונסע לשם במהירות 70 קמ"ש. אחרי נסיעה של 362 ק"מ הגיע לתל אביב )ראו באיור( ומבלי לעצור בה המשיך בדרכו לחיפה. הוא מסר את החבילה ומיד נסע חזרה לתל אביב באותה הדרך במהירות 62 קמ"ש. זמן הנסיעה הכולל של השליח מאילת לחיפה וחזרה לתל אביב היה 8 שעות. א. כעבור כמה זמן מיציאתו מאילת הגיע השליח לחיפה? ב. כמה קילומטרים עבר השליח בדרכו מאילת לחיפה? 20 בשעה 8:00 בבוקר התחילו לחמם נוזל שהטמפרטורה ההתחלתית שלו הייתה 30 C. חיממו אותו בקצב קבוע של 5 מעלות לדקה. לאחר זמן מה החלו לצנן את הנוזל בקצב של 8 מעלות לדקה. במהלך צינון הנוזל, בשעה 8:5, הייתה הטמפרטורה שלו 40 C. א. באיזו שעה החלו לצנן את הנוזל? ב. מה הייתה טמפרטורת הנוזל כאשר החלו לצננו? חיפה 2 בבוקר הייתה בריכה א ריקה ובריכה ב הכילה 20 מ"ק מים. התחילו למלא את בריכה א בקצב של 60 מ"ק לשעה. כעבור 4 שעות התחילו למלא את בריכה ב בקצב של 80 מ"ק לשעה. ה משיכו למלא את שתי הבריכות עד שכמויות המים בהן היו שוות. לפניכם סקיצה המתארת את כמות המים בכל בריכה כתלות בזמן שעבר מרגע שהתחילו למלא את בריכה א. א. הסבירו מה מתארים הגרפים של הפונקציות,f() g() ו ( h( בסיפור. ב. על פי הנתונים המספריים רשמו את שיעורי הנקודות ואת שיפועי הישרים בסרטוט. ג. רשמו ייצוג אלגברי לפונקציות,f() g() ו ( h(. ד. מצאו מתי השתוו כמויות המים בשתי הבריכות. ה. מצאו מה הייתה כמות המים בכל בריכה כאשר הכמויות השתוו. תל אביב 362 ק מ אילת M N P כמות המים )במ ק( h() f() g() זמן שעבר מהשעה 8:00 בבוקר )בשעות( 36