מתמטיקה לכיתה ח פונקציה קווית חלק ב מערכות משוואות הרחבה

גודל: px
התחל להופיע מהדף:

Download "מתמטיקה לכיתה ח פונקציה קווית חלק ב מערכות משוואות הרחבה"

תמליל

1 מתמטיקה לכיתה ח פונקציה קווית חלק ב מערכות משוואות הרחבה

2 צוות המתמטיקה במטח: ראש תחום מתמטיקה: ד"ר שרה הרשקוביץ מנהלת צוות פיתוח מתמטיקה לבית הספר העל יסודי: ד"ר בבה שטרנברג צוות הפיתוח: רגינה אובודנקו, ד"ר אלכס אוליצין, אסנת אפרת, ד"ר אילנה ארנון, ד"ר שושנה גלעד, ד"ר מורין הוך, ד"ר ילנה זריא, הלית חפר, דורית כהן, טובי מגדל, רותי מירון, ד"ר איבי מכמנדרוב, ילנה נפתלייב, ד"ר מיכל סוקניק, ענת פלדמן, אנטולי קורופטוב, הגר רובינק. קרא והעיר: ע פר ילין עריכה לשונית: חוה בן זקן, מיכל פרנקל, יעל רגב עריכת מגדר: דליה בסון צוות גרפיקה: שירה בכר, איילת גוטרמן, לאה גלס, ישי יגיל ריכוז הפעלה: ד"ר אלכס אוליצין מזכירות הצוות: לילך רון, סוהא חג' יחיא עיצוב גרפי: ביצועים עיבודי מחשב בע"מ הבאה לדפוס: גדי נחמיאס הוצאה לאור: המרכז לטכנולוגיה חינוכית הודפס בשנת 2008 תודתנו נתונה לבתי הספר שהשתתפו בניסוי הסדרה: "אהבת ישראל - בנים" - ירושלים, "חט"ב אלון" - רעננה, "אמירים" - כפר ורדים, "מקיף אפרים קציר" - חולון, "מקיף שחר מעין" - עין החורש, "עירוני משה שרת" - נתניה. כל הזכויות שמורות למטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית קריית משה רואו, רח קלאוזנר 6 תל אביב, ת ד 3953, מיקוד 6394 צוות המתמטיקה - טל , דוא ל,math@cet.ac.il אתר באינטרנט מוקד תמיכה טלפוני של מטח בשעות 8:00-8:00 המספק תמיכה מקצועית: זכויות הקניין הרוחני, לרבות זכויות היוצרים והזכות המוסרית של היוצר/ים בחוברת זו מוגנות. אין לשכפל, להעתיק, לסכם, לצלם, להקליט, לתרגם, לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, אופטי, מכני או אחר, כל חלק שהוא מחוברת זו. כמו כן, אין לעשות שימוש מסחרי כלשהו בחוברת זו, בכולה או בחלקים ממנה, אלא אך ורק לאחר קבלת רשות מפורשת בכתב ממטח והמרכז לטכנולוגיה חינוכית(.

3 תוכן העניינים פונקציה קווית - חלק ב א. שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות ב. מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית ג. השתנות בקצב קבוע ד. פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות מחשבים ולא רק... ה. תרגול נוסף מערכות משוואות א. משוואה עם שני משתנים ב. מערכת של שתי משוואות עם שני משתנים ג. שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות ה. פתרון בעיות מילוליות בעזרת מערכת משוואות 9 95 תשובות עיקר הדברים סמלים לציון פעילויות מסוגים שונים: חיזוק, הרחבה, אתגר, דיון

4 פונקציה קווית - חלק ב א. שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות מה נלמד? מציאת שיפוע של פונקציה קווית על פי שתי נקודות על גרף הפונקציה א 2 3 פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות לפניכם גרף של הפונקציה הקווית.f() בגרף מצוירות שלוש מדרגות, וליד כל מדרגה מצוין הרוחב שלה. ליד המדרגה האמצעית מצוין גם הגובה שלה. א. האם לדעתכם אפשר לדעת מהם הגבהים של שתי המדרגות האחרות? ב. מהו שיפוע הפונקציה?f() 2 מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית על פי המדרגה הנתונה: ב בניסוי שערכו במעבדה חיממו נוזל בקצב קבוע. פעמיים במהלך הניסוי נמדדה הטמפרטורה של הנוזל. ענו על פי הנתונים בגרף: א. באיזה קצב חיממו את המים? הסבירו. ב. מה הייתה טמפרטורת הנוזל כעבור 9 דקות מתחילת הניסוי? ג. מה הייתה טמפרטורת הנוזל כשהתחילו לחמם אותו? ד. מהו שיפוע הפונקציה המתארת את השתנות הטמפרטורה של הנוזל כתלות בזמן שעבר מתחילת הניסוי? זמן שעבר מתחילת הניסוי )בדקות( טמפרטורה )במעלות צלזיוס( )0, 4( )7, 55( 4 6 f() 4

5 דוגמה ג 4 בכל סעיף, מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית על פי שתי הנקודות הנתונות על הגרף שלה. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות M(2, 7) K(, 2) כיצד נמצא שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות הנמצאות על הגרף שלה? כדי למצוא את השיפוע של פונקציה קווית, יש למצוא את הגובה של מדרגה שרוחבה. ננסה למצוא שיפוע של פונקציה קווית שהגרף שלה עובר דרך הנקודות: D(3, -8) ב R(0, 4) P(6, 7) N(-3, 2) A(2, ) B(5, -8) תחילה נסמן בסרטוט את שתי הנקודות ואת המדרגה הנוצרת ביניהן. רוחב המדרגה בין A ל B הוא,3 כי = 3 2 ; 5 - גובה המדרגה בין A ל B הוא -9, כי -9 = -8 - ; כדי למצוא את השיפוע ניצור מדרגה שרוחבה. לשם כך נסרטט במקום המדרגה הגדולה 3 מדרגות שרוחבן. )הסבירו למה דווקא 3 מדרגות.( הגובה של מדרגה שרוחבה הוא 3-, כי 3- = לכן השיפוע של הפונקציה הוא 3-. *** גם ללא סרטוט אפשר לחשב את שיפוע הפונקציה הקווית f() על פי שתי הנקודות (,2)A ו ( 8 -,5)B. נארגן את הנקודות בטבלה כך ששיעורי ה יופיעו בסדר עולה, וכך נוכל לחשב את רוחב 3 f() A(2, ) 2 5 f() B(5, -8) המדרגה ואת גובהה: השיפוע של הפונקציה f() 3- = 3 גובה המדרגה בין A ל B רוחב המדרגה בין A ל B א 5

6 5 בכל סעיף: חשבו את רוחב המדרגה ואת גובהה. מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית. רשמו ייצוג אלגברי של הפונקציה. טבלת ערכים גרף של f(), נקודות על פי הטבלה והמדרגות ביניהן שיפוע הפונקציה הקווית ייצוג אלגברי של הפונקציה הקווית א. f() (?,?) 8-3 (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) f() f() f() פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות ב. ג. ד. 6

7 6 לשלוש בריכות התחילו להזרים מים באותה השעה. המים הוזרמו בקצב קבוע, עד שהבריכות התמלאו. הטבלאות שלפניכם מתארות את כמות המים בבריכות במשך זמן המילוי. f(t) כמות המים )מ"ק( t הזמן שעבר מתחילת המילוי )בשעות( g(t) כמות המים )מ"ק( t הזמן שעבר מתחילת המילוי )בשעות( (t) כמות המים )מ"ק( בריכה t הזמן שעבר מתחילת המילוי )בשעות( בריכה בריכה 3 6 א. האם הפונקציות,f(t) g(t) ו ) )t הן פונקציות קוויות? הסבירו. ב. מהו קצב הזרמת המים לכל בריכה? ג. מצאו את הערכים החסרים בטבלאות. הסבירו איך מצאתם. ד. מה הייתה כמות המים בכל אחת מהבריכות ברגע שהתחילו למלא אותה? ה. רשמו ייצוגים אלגבריים של הפונקציות,f(t) g(t) ו ( (t. 7 גרף של פונקציה קווית עובר דרך שתי הנקודות )2-,0( ו ) 0,7-(. א. מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית. ב. רשמו ייצוג אלגברי לפונקציה הקווית. 8 גרף הפונקציה הקווית שלפניכם מתאר את השכר השבועי של אמיר כתלות במספר השעות השבועיות שהוא עובד. הנקודות בגרף מתארות את שעות העבודה השבועיות והשכר השבועי של אמיר במקרה שיעבוד 0 שעות בשבוע ובמקרה שיעבוד 20 שעות בשבוע. כמה כסף משתכר אמיר בשעה? 9 מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית m() על פי טבלת הערכים שלה: 0 מצאו את הערכים החסרים בטבלת הערכים של הפונקציה הקווית,h() אם ידוע שהשיפוע שלה הוא 3. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות )0, 75( )20, 350( שעות עבודה שבועיות m() -3-5 h() 5 שכר שבועי )בש"ח( 7

8 בתחנת דלק משלמים תוספת קבועה עבור השירות בלילה בנוסף למחיר לכל ליטר דלק. המחיר ל 0 ל' בלילה הוא ; 55 המחיר ל 5 ל' בלילה הוא. 80 א. הפונקציה f() מתארת את מחיר התדלוק בלילה כתלות בכמות הדלק שנקנתה. מצאו את השיפוע של,f() והסבירו את משמעותו בסיפור. ב. חשבו את שיעורי הנקודה K שבסרטוט והסבירו מה משמעותם בסיפור. מחיר התדלוק )בש ח( K כמות הדלק )בליטרים( f() פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות חיזוק 2 חברי מועדון שחייה משלמים בתחילת הקיץ סכום קבוע תמורת ההצטרפות למועדון, ולאחר מכן הם משלמים על כל כניסה לבריכת המועדון מחיר מוזל. בסרטוט שלפניכם מוצג גרף הפוקציה,f() המתארת את המחיר הכולל שמשלם חבר מועדון במשך העונה כתלות במספר הפעמים שהגיע לבריכה. א. מה המשמעות של שיעורי הנקודות B A, ו K בסיפור? ב. מהו המחיר של כל כניסה לבריכה לחברי המועדון? ג. מהו מחיר ההצטרפות למועדון? 3 חברות להשכרת רכב גובות סכום התחלתי כדמי טיפול, וסכום קבוע נוסף לכל קילומטר שהרכב נוסע. הפונקציות הבאות מתארות את השתנות מחיר השכירות של רכב בחברות שונות כתלות במספר הקילומטרים שנוסעים ברכב. g() ש ח חברה א ק מ חברה ב f() = א. מה המחיר לכל קילומטר ומהו הסכום ההתחלתי בכל אחת מהחברות? ב. הסבירו באיזו חברה כדאי לשכור רכב בהתאם למרחק הנסיעה המתוכנן. 4 מצאו את שיפועי הפונקציות הקוויות: הפונקציה f() g() k() h() m() s() חברה ג m() 20 מספר הביקורים בבריכה שתי נקודות על גרף הפונקציה (0,) (-3, 4) (-2,) (-3, 4) (4, 8) (0, -2) (, -8) (3, -9) (-, -5) (, ) (2, -2) (4, -2) המחיר הכולל לעונה )בש"ח( K f() A B )30, 300( )22, 260( 8

9 5 גרף הפונקציה הקווית f() עובר דרך שתי הנקודות )-,0( ו ) -,5(. גרף הפונקציה הקווית g() עובר דרך שתי הנקודות )7-,-( ו ) -,5(. א. איזו מבין שתי הפונקציות עולה, ואיזו יורדת? הסבירו. ב. מצאו את השיפוע של כל אחת מהפונקציות. ג. הנקודה )?, 3( נמצאת על גרף הפונקציה.f() מצאו את הערך החסר. ד. הנקודה (6-,?) נמצאת על גרף הפונקציה.g() מצאו את הערך החסר. 6 נתונים גרפים של שלוש פונקציות קוויות. א. מצאו לכל פונקציה את השיפוע שלה, ורשמו ייצוג אלגברי של הפונקציה. ב. סרטטו סקיצות של שלוש הפונקציות האלה במערכת צירים אחת. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות h() r() g() 7 בשעה 8:00 בבוקר יצא חיים במשאיתו מנמל אילת ונסע עד קריית שמונה )מרחק של 600 ק"מ(. באותה שעה יצא יניב במשאיתו מקריית שמונה לאילת. שני הנהגים נסעו לאורך אותו הכביש. לפניכם גרפים המתארים את מרחקו של כל אחד מהנהגים מאילת לאורך הכביש כתלות בזמן שעבר מהשעה 8:00 בבוקר. א. התאימו בין הגרפים לנהגים. ב. מהי מהירות הנסיעה של חיים? מהי מהירות הנסיעה של יניב? ג. האם המשאיות נפגשו זו עם זו במהלך הנסיעה? אם כן - מתי, ובאיזה מרחק מאילת? ד. רשמו ייצוג אלגברי לכל אחת מהפונקציות והיעזרו בו כדי לענות על השאלות הבאות: באיזו שעה הגיע כל נהג ליעדו? 2 מה היה המרחק בין שתי המשאיות בשעה 9:20 בבוקר? 3 באיזה מרחק מאילת נמצא חיים כאשר יניב הגיע לאילת? 4 באיזו שעה היה המרחק בין חיים ליניב 50 ק"מ? זמן שעבר מהשעה 8:00 )בשעות( מרחק מאילת לאורך הכביש )בק מ( 600 f(t) )4, 240( g(t) 9

10 8 דן ונטע גרים בבניין אחד, הנמצא במרחק 270 ק"מ מים המלח. הם החליטו לצאת לים המלח, כל אחד ברכבו, ולנסוע באותה הדרך. דן יצא לדרך בשעה 8:00 בבוקר, ונטע בשעה 0:00 בבוקר. נסו לענות על השאלות, בהנחה שגם דן וגם נטע נסעו במהירות קבועה לאורך כל הדרך. אפשר להיעזר בגרף, בטבלת ערכים או בייצוג אלגברי של פונקציות. א. אם עד שעה :30 עברה נטע מרחק של 8 ק"מ, ודן עבר מרחק של 89 ק"מ - האם הם כבר נפגשו בדרכם לים המלח? ואם לא - האם הם ייפגשו בדרך? הסבירו. ב. אם עד שעה :30 עברה נטע מרחק של 90 ק"מ ודן עבר מרחק של 89 ק"מ - האם הם כבר נפגשו בדרכם? האם ייפגשו בהמשך הנסיעה? הסבירו. ג. אם בשעה :30 נטע עברה מרחק של 35 ק"מ ודן עבר מרחק של 89 ק"מ - האם הם כבר נפגשו בדרכם? האם ייפגשו בהמשך הדרך? הסבירו. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות הרחבה הרחבה 9 חשבון מים חודשי כולל תשלום קבוע וכן תשלום עבור צריכה שוטפת: על כל מ ק מים משלמים. 4 בחודש ינואר צרכה משפחת רז 6 מ ק מים. היא שילמה תמורתם. 3 א. מהו התשלום הקבוע שמשלמים בכל חודש? ב. כתבו ביטוי של פונקציה המתארת את התשלום כתלות בכמות המים שנצרכה. ג. צריכת מים רגילה היא צריכה של עד 8 מ ק מים בחודש. צריכה גבוהה יותר מוגדרת צריכה חריגה. בחודש פברואר שילמה משפחת רז חשבון מים על סך. 48 האם הצריכה של משפחת רז בחודש זה הייתה רגילה או חריגה? 20 בטיול הקרוב מתכננים חברי חוג סיור ללכת לאורך מסלול בשמורת טבע, ולעצור לפיקניק ליד המעיין שבלב השמורה. כדי לקבוע את לוח הזמנים של הטיול, ערכו שניים ממתכנני הטיול סיור מקדים בשמורה, והציעו תכנית לטיול כמתואר בגרף. א. מה ניתן ללמוד מהגרף על לוח הזמנים, על המרחקים ועל מהירות ההליכה המתוכננים בקטעים השונים של הדרך? ב. לחברים אחרים בוועדת התכנון היו השגות על התכנית המוצעת. הנה השינויים שהם ביקשו לערוך בתכנית: אורית: "הזמן שהוקצה לאוכל ומנוחה אינו מספיק לדעתי. אני מציעה לעצור לשעתיים." בני: "אני מציע שבחלק הראשון של הטיול, עד המעיין, כאשר אנחנו רעננים - נלך בקצב של 6 קמ"ש; ובחלק השני, כאשר החום בשיאו, נאט ונלך בקצב של 3 קמ"ש." גלית: "אני חושבת שחשוב שהטיול לא יימשך יותר משש שעות, כמו בתכנון המקורי." הציעו תכניות לטיול אשר ישלבו את הבקשות של שניים מהחברים. 2 האם תוכלו להציע תכנית לטיול אשר תשלב את כל שלוש הבקשות? זמן )בשעות( )3,2( )6,8( )4,2( 3 לכל אחת מההצעות סרטטו גרף מתאים, ותארו במילים את הזמן, את אורך קטעי המסלול השונים ואת מהירות ההליכה בחלקים השונים של הטיול לפי אותה הצעה. אורך הדרך )בק"מ( 0

11 2 מדינה מפותחת מתאפיינת ברמת חיים גבוהה וברמה טובה של השכלה וטכנולוגיה. מדינה פחות מפותחת מתאפיינת ברמת חיים נמוכה, ברמת תשתיות ירודה וברמת טכנולוגיה נמוכה. א. תנו דוגמה למדינה שלדעתכם היא מדינה מפותחת, ודוגמה למדינה שלדעתכם היא פחות מפותחת. ב. לאיזו משתי הקבוצות - המדינות המפותחות או המדינות הפחות מפותחות - שייכת ישראל לדעתכם? ג. בשנת 950 חיו במדינות הפחות מפותחות כ 2,500 מיליונים של בני אדם. בשנת 990 חיו בהן כ 6,500 מיליון בני אדם. כתבו את המספרים האלה בעזרת ספרות, בלי שימוש במילים. ד. לפניכם הייצוג הגרפי של הפונקציה g() המתארת )בערך( את גידול האוכלוסייה במדינות הפחות מפותחות כתלות במספר השנים שעברו משנת 950. מצאו את שיפוע הפונקציה.g() 2 רשמו ייצוג אלגברי לפונקציה שיכולה להתאים לגרף. 3 אם גידול האוכלוסייה במדינות הפחות מפותחות יימשך באותו קצב, באיזו שנה בערך יהיו במדינות אלו 0 מיליארד בני אדם? ה. לפניכם ייצוג גרפי של הפונקציה k() המתארת )בערך( את גודל האוכלוסייה משימות לסיכום ג 22 בכל סעיף נתון ייצוג גרפי של פונקציה קווית. מצאו את השיפוע של כל אחת מהפונקציות. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות M(4, 9) A(-2, 6) B(4, -6) ב P(0, ) R(2, 3) N(-4, 3) תזכורת: מיליארד הוא 000 מיליונים, כלומר, מיליארד הוא המספר.,000,000,000 מספר בני האדם במיליארדים מספר השנים 60 שעברו מ 950 g() מספר בני האדם במיליארדים במדינות המפותחות כתלות במספר השנים שעברו משנת 950. מה אפשר ללמוד מהגרף על גידול האוכלוסייה במדינות אלו? 3 2 כתבו ייצוג אלגברי שיכול להתאים לפונקציה.k() 2 k() מספר השנים 60 שעברו מ 950 א

12 23 נתונות טבלות ערכים של 4 פונקציות: f() g() h() p() א. אילו מהטבלאות יכולות לתאר פונקציה קווית? ב. בכל טבלה שציינתם בסעיף א מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית המתאימה. ג. האם בין הפונקציות הקוויות מצאתם כאלה שהגרפים שלהן מקבילים זה לזה? הסבירו. ד. האם בין הפונקציות הקוויות מצאתם כאלה שהגרפים שלהן מתלכדים זה עם זה? הסבירו. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות 24 לפניכם גרף של הפונקציה הקווית.h() א. כתבו ביטוי לפונקציה.h() ב. כתבו דוגמה לביטוי של פונקציה g() שהגרף שלה מקביל לגרף של.h() 25 א. כיצד אפשר לדעת על פי מדרגה נתונה של פונקציה קווית אם הפונקציה עולה או יורדת? ב. כיצד אפשר לדעת על פי השיפוע של פונקציה אם הפונקציה עולה או יורדת? למתעניינים: צוללים במים, ממריאים באוויר 26 כאשר צוללים במים מרגישים לחץ באוזניים. הלחץ הזה נמדד ביחידה הנקראת אטמוספרה )אטמ'(. הלחץ הזה גדל ככל שמעמיקים במים, כמפורט בטבלה: א. תכננו מערכת צירים שתתאים לתיאור המידע בטבלה, וסמנו בה את הנקודות ששיעוריהן מופיעים בטבלה. איזה משתנה בחרתם בתור משתנה בלתי תלוי? ב. האם אפשר להעביר קו ישר דרך כל הנקודות שסימנתם? האם תוכלו לענות על השאלה מבלי לבדוק בגרף? ג. דג פלמידה נמצא בעומק 3.5 מטרים. האם נוכל לדעת את עוצמת הלחץ שהדג נתון בו? הסבירו. ד. רופאת הצלילה של שירה הזהירה אותה להימנע מלחץ שעולה על.2 אטמוספרות. האם תוכלו להדריך את שירה עד לאיזה עומק היא רשאית לצלול? ה. צוללת תוכננה כך שתוכל לעמוד בלחץ של 50 אטמוספרות. האם תוכלו להדריך את הצוות עד לאיזה עומק הצוללת יכולה לצלול? לחץ )באטמוספרות( A(0, ) h() B(5, 6) עומק )במטרים(

13 27 כאשר ממריאים במטוס, או אפילו כשנוסעים ממישור החוף לירושלים - מרגישים באוזניים תת לחץ )לחץ נמוך מ אטמ'(. ככל שמגביהים מעל פני הים הלחץ יורד )ותחושת התת לחץ מתגברת(, כמפורט בטבלה: א. הפונקציה p(h) מבטאת את הלחץ p כתלות בגובה h. האם p(h) היא פונקציה קווית? הסבירו. ב. רופא הצניחה של חיים הזהיר אותו להימנע מלחץ נמוך מ 0.6 אטמ'. האם יוכל חיים לצנוח מגובה 5,800 מ'? הסבירו. לחץ )אטמ'( גובה מעל פני הים )מ'( משימות נוספות 28 בכל סעיף: א ב ג חשבו את רוחב המדרגה ואת גובהה. מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית. רשמו ייצוג אלגברי של הפונקציה. טבלת ערכים של פונקציה קווית גרף של f(), נקודות על פי הטבלה והמדרגות ביניהן שיפוע הפונקציה הקווית ייצוג אלגברי של הפונקציה הקווית פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) f() f() f() 4-2 3

14 3 5 9 f() 8 h() k() השיפוע של כל אחת מהפונקציות,f() h() ו ( k( שווה 29 4 לשיפוע הפונקציה.g() = א. השלימו את הערכים החסרים בטבלת הערכים של כל אחת מהפונקציות. ב. אילו מן הגרפים של שלוש הפונקציות מקבילים לגרף הפונקציה g() ואילו מתלכדים א תו? נסו לענות בלי לסרטט את הגרפים, והסבירו באילו ייצוגים נעזרתם בתשובתכם, וכיצד. ג. סרטטו את הגרפים של,f() h() ו ( k(, ובדקו את תשובותיכם בסעיף ב. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות הרחבה הרחבה 30 בשעה 6:00 בבוקר יצאה מכונית פרטית מנמל חיפה לאילת )מרחק של 480 ק"מ לאורך הכביש(. באותה שעה יצאה משאית מתל אביב, ונסעה לאילת לאורך אותו הכביש )מרחק של 390 ק"מ לאורך הכביש(. באיור מוצגים גרפים המתארים את מרחקיהם של שני כלי הרכב מאילת )לאורך הכביש( במהלך הנסיעה. א. התאימו גרף לכל כלי רכב. ב. מהי מהירות הנסיעה של המכונית הפרטית? מהי מהירות הנסיעה של המשאית? ג. האם שני כלי הרכב נפגשו בדרך? אם כן - מתי, ובאיזה מרחק מאילת? ד. באיזו שעה הגיע כל אחד מכלי הרכב לאילת? ה. מה היה המרחק בין שני כלי הרכב בשעה 8:00 בבוקר? ו. כאשר המכונית הפרטית הגיעה לאילת - באיזה מרחק מאילת נמצאה המשאית? ז. כתבו ייצוג אלגברי לכל אחת מהפונקציות הקוויות המיוצגות בסרטוט. ח. ענו שנית על סעיפים ה-ו בעזרת הייצוג האלגברי שרשמתם. 3 מכונית נסעה מצפון דרומה לאורך כביש העובר דרך חיפה. כעבור 2 שעות מיציאתה הייתה המכונית במרחק 200 ק מ מדרום לחיפה. כעבור 5 שעות מיציאתה הייתה המכונית במרחק 40 ק מ מדרום לחיפה. הניחו שהמכונית נוסעת במהירות קבועה. א. מה הייתה מהירות הנסיעה של המכונית? ב. האם לדעתכם המכונית יצאה מחיפה? אם לא - האם מקום היציאה שלה נמצא מדרום לחיפה, או מצפון לה? 32 אוטובוס יצא מבאר שבע ונסע במהירות קבועה של 60 קמ ש. בשעה 0:00 היה האוטובוס במרחק 320 ק מ מבאר שבע. האם ייתכן שהאוטובוס יצא מבאר שבע בשעה 7:30 בבוקר? אם כן - הסבירו. אם לא - מצאו את שעת היציאה של האוטובוס מבאר שבע. זמן שעבר מהשעה 6:00 בבוקר )בשעות( מרחק מאילת 480 )בק מ( 390 )4.5, 20( 4

15 ב. מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית מה נלמד? מציאת ייצוג אלגברי לפונקציה קווית על פי השיפוע שלה ונקודה הנמצאת על גרף הפונקציה מציאת ייצוג אלגברי לפונקציה קווית על פי שתי נקודות הנמצאות על גרף הפונקציה. דיון בכל סעיף קבעו אם הנתונים המפורטים מתארים פונקציה קווית יחידה, או שהם מתארים יותר מפונקציה אחת, או שהם אינם מתארים שום פונקציה קווית. הסבירו את התשובה ותנו דוגמאות. דיון א. הנקודה )7,3( נמצאת על גרף הפונקציה. ב. שיפוע הפונקציה הוא. 2.5 ג. הנקודה )3,-( נמצאת על גרף הפונקציה, ושיפוע הפונקציה הוא. 4 ד. הנקודות ),0( ו ) 4,( נמצאות על גרף הפונקציה. ה. הנקודות )5-,2( ו ) 7 -,4( נמצאות על גרף הפונקציה. ו. הנקודות ),(, )2,2( ו ) 7,3( נמצאות על גרף הפונקציה. ז. הנקודות )3,(, )5,2( ו ) 9,4( נמצאות על גרף הפונקציה. מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית על פי נקודה ושיפוע 2 לבריכה לא ריקה הזרימו מים בקצב קבוע של 2 מ"ק לשעה. כעבור 3 שעות מפתיחת הברז הראה מד הכמות 9 מ"ק. f() היא פונקציה המתארת את כמות המים בבריכה כתלות בזמן שעבר מתחילת המילוי. א. האם f() היא פונקציה קווית? הסבירו. ב. מהו השיפוע של?f() ג. נסו לרשום ייצוג אלגברי לפונקציה.f() g() 3 היא פונקציה קווית שהשיפוע שלה הוא 3, והגרף שלה עובר דרך הנקודה )7,5(. נסו לרשום ייצוג אלגברי של הפונקציה.f() פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 5

16 כיצד נמצא ייצוג אלגברי לפונקציה קווית לפי השיפוע שלה ונקודה על גרף הפונקציה? כאשר נתונה נקודה הנמצאת על הגרף של פונקציה קווית, וידוע שיפוע הפונקציה - אפשר למצוא את ערכי a ו b ולרשום ייצוג אלגברי לפונקציה בצורה. f() = a + b דוגמה נמצא ייצוג אלגברי לפונקציה קווית,f() שהשיפוע שלה הוא 2 והגרף שלה עובר דרך הנקודה (5-,3)A: 2 = a, כיוון שנתון ששיפוע הפונקציה הקווית הוא. 2 אם כך,.f() = 2 + b כדי לחשב את b ניעזר בנקודה הנתונה (5-,3)A. מאחר שהנקודה נמצאת על גרף הפונקציה, חייב להתקיים התנאי -5 =,f(3) כלומר -5 = b. f(3) = נפתור את המשוואה -5 = b )פתרו!( ונקבל - =.b עתה ניתן לרשום את הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית שחיפשנו: - 2. f() = כתבו בכל סעיף ייצוג אלגברי של פונקציה קווית לפי הנתונים. 4 ייצוג אלגברי של הפונקציה נקודה על גרף הפונקציה שיפוע הפונקציה הקווית (2, 5) -2 א (-, 3) 5 ב (-2, -4) 0 ג (0, 5) -0.3 ד (2, 0) ה 4 (0, 0) -7 ו ( 3, 2) -6 ז 5 במחברת של אסנת היו רשומים ייצוג אלגברי של פונקציה קווית בצורה,f() = a + b f() = 2 + וטבלת ערכים של הפונקציה; אבל על המחברת נשפך דיו. f() האם תוכלו לעזור לאסנת לשחזר את הייצוג האלגברי של הפונקציה?f() הסבירו. 2 7 בכל סעיף נתונות נקודה ומדרגה. רשמו ייצוג אלגברי לפונקציה קווית שהנקודה הנתונה נמצאת על הגרף שלה, 6 והמדרגה הנתונה מתארת את קצב ההשתנות שלה. 5) (0, א 3) (2, ב 7) (-2, ג -4) (.5, ד פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 6

17 7 רשמו ייצוג אלגברי לכל אחת מהפונקציות הקוויות הנתונות בייצוג גרפי: r() ה ג א h() g() h() r() ו ד ב g() פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 8 שיפוע הפונקציה הקווית f() הוא 2-, וגרף הפונקציה עובר דרך הנקודה )4,-(. א. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה.f() ב. מצאו ייצוג אלגברי לפונקציה קווית,g() שהגרף שלה עובר דרך הנקודה )3-,2-( ומקביל לגרף של.f() 9 בכל סעיף, שתיים מבין הנקודות הנתונות נמצאות על גרף הפונקציה,f() והשלישית לא. מצאו בכל סעיף את הנקודה שאיננה על גרף הפונקציה, ורשמו ייצוג אלגברי של פונקציה חדשה,g() שהגרף שלה עובר דרך נקודה זו ומקביל לגרף של.f() א M(2, 5) K(, 5) P(0.2, 6.6) f() = ב C(2, -3) B(, -5) A(0.2, 6.5) f() = 0 בכל סעיף רשמו ייצוג אלגברי שיכול להתאים לפונקציות שבסרטוט. )שימו לב: בכל סעיף אפש ריות תשובות רבות.( א ב ג ד

18 א מכוניות מאבדות מערכן הכספי בכל שנה של חייהן. לדורית יש מכונית בת 5 שנים. דורית קראה בכתב העת אוטומון שמכונית מהדגם שיש לה מאבדת כל שנה מערכה, 8,000 וששווייה של מכונית כזו בגיל 5 הוא. 50,000 א. כתבו ביטוי לפונקציה המתארת את מחיר המכונית של דורית כתלות ב גיל שלה. ב. מה היה מחירה של המכונית בשוק לפני חמש שנים? אפשר להיעזר בפונקציות אם רוצים. 2 בכל סעיף רשמו ייצוג אלגברי של פונקציה קווית לפי המדרגה שלה ונקודה שגרף הפונקציה עובר דרכה. חיזוק 4( ), א 2 5( )0, ב 2 3( )2, ג ( ).5, ד 4 ב 4 2 פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 3 מרים החליטה לייצר מאווררים תעשייתיים. לפני תחילת הייצור היה עליה להשקיע השקעה ראשונית בתשתיות. עלות הייצור של כל מאוורר היא. 40 לאחר שייצרה את 25 המאווררים הראשונים הגיעו הוצאותיה של מרים ל א. עלות הייצור היא פונקציה קווית של מספר המאווררים. הסבירו. ב. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה המתארת את הוצאותיה של מרים כתלות במספר המאווררים שייצרה. ג. מה היה גובה ההשקעה הראשונית של מרים לפני תחילת הייצור? ד. מה היו הוצאותיה של מרים לאחר שייצרה 70 מאווררים? ה. מהו מספר המאווררים שייצרה מרים אם הוצאותיה הגיעו ל 0,240? 4 זיו שתל צמח מטפס. באנציקלופדיה כתוב שקצב הגידול של צמח זה הוא 0.5 ס מ בכל שבוע. 2 שבועות אחרי שתילת הצמח מצא זיו שאורך הצמח הוא 5 ס מ. א. כתבו ביטוי לפונקציה המתארת את גובה הצמח כתלות במספר השבועות שעברו מהשתילה. ב. מה היה גובה הצמח בעת השתילה? 8

19 מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית על פי שתי נקודות דיון 5 התחילו לרוקן בריכה בקצב קבוע. 3 שעות לאחר שהתחילו לרוקן את הבריכה, היו בה 40 מ"ק מים. אחרי 6 שעות מרגע שהתחילו לרוקן את הבריכה היו בה 25 מ"ק מים. א. באיזה קצב רוקנו את הבריכה? הסבירו. ב. כמה מים היו בבריכה לפני שהתחילו לרוקן אותה? הסבירו. ג. כתבו ייצוג אלגברי המתאר את כמות המים )במ"ק( בבריכה, כתלות בזמן )בשעות( שעבר מרגע שהתחילו לרוקן אותה. ד. תוך כמה שעות התרוקנה הבריכה? דיון 6 גרף של פונקציה קווית עובר דרך הנקודות )2,5( ו ) 6 -,4(. א. מהו שיפוע הפונקציה? ב. השתמשו בנקודה )2,5( שעל הגרף ובשיפוע שחישבתם בסעיף א, וכתבו ייצוג אלגברי מהצורה f() = a + b לפונקציה זו. ג. השתמשו בשיפוע שחישבתם בסעיף א ובנקודה )6-,4) שעל הגרף, וכתבו ייצוג אלגברי לאותה פונקציה. ד. בדקו אם בסעיפים ב וג קיבלתם אותו ייצוג אלגברי. דוגמה כיצד נמצא ייצוג אלגברי לפונקציה קווית לפי שתי נקודות הנמצאות על הגרף שלה? תחילה נחשב על פי שתי הנקודות הנתונות את שיפוע הפונקציה, כפי שלמדנו ביחידה הקודמת; לאחר מכן נשתמש בשיפוע שמצאנו ובאחת הנקודות הנתונות לכתיבת ייצוג אלגברי פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית מהצורה,f() = a + b כפי שכבר למדנו. נמצא ייצוג אלגברי של הפונקציה הקווית f() שהגרף שלה עובר דרך הנקודות (4-,3)A ו (8,-)B. a = תחילה נחשב את שיפוע הפונקציה: -3 = 8 - (-) אם כך,. f() = -3 + b כעת נחשב את b. לשם כך ניעזר באחת הנקודות הנתונות, למשל בנקודה (4-,3)A, ובשיפוע שחישבנו. מאחר שהנקודה נמצאת על גרף הפונקציה, חייב להתקיים התנאי -4 =,f(3) כלומר -4 = b f(3) = נפתור את המשוואה -4 = b )פתרו!( ונקבל: = 5 b. עתה ניתן לרשום את הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית שחיפשנו: f() = *** ומה היה קורה אילו השתמשנו לצורך התהליך הזה בנקודה B ולא בנקודה A? נחשב שנית את b, הפעם בעזרת הנקודה (8,-)B והשיפוע שחישבנו: מאחר שהנקודה (8,-)B נמצאת על גרף הפונקציה, חייב להתקיים התנאי = 8 (-)f, כלומר = 8 b. f(-) = -3 (-) + נפתור את המשוואה = 8 b + (-) -3 )פתרו!( ונקבל שוב: = 5 b 7 גרף של פונקציה קווית עובר דרך הנקודות )6,0( ו ) 0,4(. א. מהו שיפוע הפונקציה? ב. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה. 9

20 8 בחברה לייצור מכשירי טלפון הוחלט, שבעקבות עלייה ברווחי החברה יועלה שכרם חיזוק של פועלי הייצור לפי כלל מסוים. כתוצאה מכך, פועל שמשכורתו הייתה 3,000 קיבל תוספת של, 530 ופועל שמשכורתו הייתה 6,600 קיבל תוספת של. 566 את הכלל שלפיו העלו את המשכורות אפשר לתאר על ידי פונקציה קווית. א. מצאו ביטוי של הפונקציה. ב. איזו תוספת שכר יקבל פועל שמשכורתו לפני ההעלאה הייתה? 4,200 9 המחיר שבית דפוס גובה תמורת הדפסת ספר מורכב ממחיר מסוים לכל עמוד ותוספת קבועה לכריכה. הדפסת ספר בן 200 עמודים עולה. 30 הדפסת ספר בן 40 עמודים עולה. 27 א. מצאו ביטוי אלגברי לפונקציה המתארת את מחיר ההדפסה של ספר כתלות במספר העמודים בספר. ב. מהו המחיר של הדפסת הכריכה? ג. כמה עולה הדפסה של ספר אחד בן 300 עמודים? ד. כמה עמודים יש בספר שהדפסתו עלתה? 48 "גיל" המכונית )בשנים( מחיר המכונית )בש"ח( מכוניות מאבדות מערכן הכספי בכל שנה מחייהן ,000 לפני 6 שנים קנה צבי מכונית חדשה. 6 50,000 בטבלה שמשמאל, שהתפרסמה בעיתון אוטומון, מוצגים השינויים בערכה של מכונית זו. א. אם המכונית מאבדת מערכה בקצב קבוע, מהי הפונקציה שמתארת את מחיר המכונית כתלות בגילה? כתבו את הביטוי של הפונקציה. ב. כמה שילם צבי על מכוניתו כשקנה אותה? בכל סעיף מצאו ייצוג אלגברי לפונקציה הקווית המתוארת בטבלה. 2 א f() ג g() ה h() ב m() ד k() ו s() בכל סעיף נתונים גרפים של פונקציות קוויות ושתי נקודות שנמצאות עליהם. רשמו בכל סעיף ייצוג אלגברי מתאים. 22 א (3, 9) (, 5) ב ג (-3, -4) (-3, -5) (7, -5) (4, -) פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 20

21 23 הפונקציה הקווית f() מקיימת: -2 = f(5).f() = 8, א. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה.f() ב. מצאו את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר X ועם ציר Y. 24 יין משביח עם השנים, ומחירו עולה בכל שנה במידה קבועה. בקבוק יין מעיין משנת הייצור 980 עלה בשנת, ובשנת 2005 היה מחירו של אותו בקבוק. 50 א. כתבו פונקציה המתארת את מחיר הבקבוק כתלות ב גילו. ב. מה היה מחירו של בקבוק היין בשנת 980? ג. אם מחירו של היין ימשיך להשתנות באותו קצב, כמה יעלה בקבוק כזה בשנת 2020? 25 מירי נבדקת ב בדיקת מאמץ - הדופק שלה )מספר פעימות הלב בדקה( נמדד כמה פעמים בזמן מאמץ. אחרי 2 דקות של מאמץ היה הדופק 82 פעימות לדקה. אחרי 3 דקות נוספות של מאמץ היה הדופק שלה 88 פעימות לדקה. א. אם נניח שהדופק עולה במהלך הבדיקה בקצב קבוע, מה יהיה הדופק של מירי אחרי 0 דקות מתחילת הבדיקה? ב. מה היה הדופק של מירי לפני הבדיקה? 26 בשנת 990 הייתה תוחלת החיים של נשים בארץ 79.2 שנים. בשנת 2005 הייתה תוחלת החיים של נשים בארץ 82.5 שנים. נניח שתוחלת החיים עולה בקצב קבוע בקירוב. א. מה תהיה תוחלת החיים של נשים בארץ בשנת 2030? ב. באיזו שנה בערך תהיה תוחלת החיים גדולה מ 00 שנה? 27 המלח הוא רכיב מזון חשוב מאוד לגופנו. צריכת המלח עולה בהתמדה. בשנת 2008 נמכרו בארצות הברית כ 25,000,000 טונות של מלח. הכמות הזאת גדולה ב 8,000,000 טונות מהכמות שנמכרה בארצות הברית בשנת 996. אם קצב העלייה במכירת המלח הוא קבוע - כמה טונות של מלח יימכרו בארצות הברית בשנת 20? ובשנת 2020? 28 בפסטיבל אוכל מוכרים מנה סינית לפי משקל. רוני קנתה מנה שמשקלה 200 גרם ושילמה תמורתה 2 ש"ח. מאיה קנתה מנה של 300 גרם ושילמה 5 ש"ח. א. כמה שילם רועי, שקנה מנה של 250 גרם? ב. קבוצת אנשים קנו למסיבה מנה של.25 ק"ג. כמה עלתה הקנייה הזו? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 2

22 משימות לסיכום 29 בכל סעיף נתונה פונקציה קווית. מצאו את הפרטים החסרים בטבלה. (אם חסרים לכם נתונים - הוסיפו נתונים משלכם ). ייצוג אלגברי של הפונקציה הקווית א שתי נקודות על נקודת אפיון נקודת גרף הפונקציה חיתוך עם חיתוך עם (עולה / שאינן נקודות יורדת / ציר X ציר Y קבועה) החיתוך עם הצירים f() = ב ג ) (0, -3 קבועה ) (0, -0.3 ד ) )?,?( (, 3 יורדת ה פונקציה קווית - חלק ב (הרחבה) ו סקיצה של גרף הפונקציה ) f( f() = -2(3-8) - 3 ) (0, 8 ז ) (-4, 0 ) f( -3 ח ט f() = -8 - י ) f( 5 עולה 4 יא מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 30 ) f( -3 יוסי רשם במחברתו ייצוג אלגברי של פונקציות קוויות בצורה,a + b וכן כמה ערכים של הפונקציות. העט של יוסי הכתים את הדף. האם ניתן לשחזר את המידע שהיה רשום במחברת? אם אפשר לשחזר, שחזרו; אם אי אפשר לשחזר - הסבירו מדוע אי אפשר. g(3) = )=2 ( g 2 4 = ) f( +7 g() = -5 + f(2) = 5 = ) f(-

23 3 המרחק בין העיר A לעיר D הוא 20 ק"מ. מכונית אדומה יצאה מ A ונסעה ל D במהירות קבועה. שעה אחריה יצאה מכונית ירוקה מהעיר B, הנמצאת במרחק 0 ק"מ מ A )ראו בציור(, ונסעה גם היא ל D. היא נסעה במהירות של 80 קמ"ש, וכעבור הניחו שכל מכונית נוסעת במהירות קבועה. א. קבעו איזה מהגרפים שבסרטוט מתאים לכל אחת מהמכוניות. ב. מצאו את שיעורי הנקודות החסרים בסרטוט לפי נתוני השאלה. ג. כתבו לפי הנתונים ייצוג אלגברי לפונקציה המתאימה למכונית הירוקה. ד. באיזה מרחק מהעיר A עקפה המכונית הירוקה את המכונית האדומה? ה. באיזו מהירות נסעה המכונית האדומה? ו. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה המתאימה למכונית האדומה. ז. כעבור כמה שעות מתחילת נסיעתה של המכונית האדומה הגיעה כל אחת מהמכוניות לעיר D? A B D 3 4 שעה מתחילת נסיעתה עקפה את המכונית האדומה. M)?,?( g() f() C)?,?( N)?,?( מרחק מ A )בק"מ( P)?,?( זמן שעבר מרגע היציאה של המכונית האדומה)בשעות( פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית f() u() w() משימות נוספות לפניכם טבלות ערכים של פונקציות קוויות. 32 א. קבעו על פי הטבלאות אילו מן הפונקציות עולות ואילו יורדות. ב. אילו סרטטנו את כל הפונקציות במערכת צירים אחת, לאילו מן הפונקציות היה אותו גרף? לאילו מהן היו גרפים מקבילים? ג. לכל פונקציה רשמו ייצוג אלגברי מתאים. ד. בכל סעיף מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ה. לכל פונקציה מצאו את ערך הפונקציה עבור = 80. ו. לכל פונקציה מצאו ערך שעבורו ערך הפונקציה הוא g() h() n() k() s() z() j() r() p()

24 33 במערכת הצירים מסומנות 4 הנקודות C B, A, ו D. Y. הסימטרייה הוא ציר כשציר ל C, סימטרית ו B סימטרית ל D A A B C D א. נתון: 9) D(7, A(-7, 9) B(-3, 5) C(3, 5) הראו בייצוג גרפי ובייצוג אלגברי, שגרף הפונקציה הקווית העובר דרך הנקודות A ו B וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך הנקודות D ו C חותכים את ציר Y באותה נקודה. מהי נקודת החיתוך הזאת? 2 הראו בייצוג גרפי ובייצוג אלגברי, שגרף הפונקציה הקווית העובר דרך הנקודות A ו C וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך הנקודות D ו B חותכים את ציר Y באותה נקודה. מהי נקודת החיתוך הזאת? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית ב. בחרו ערכים אחרים לשיעורי הנקודות C B, A, ו D, כך ש A תהיה סימטרית ל D ו B תהיה סימטרית ל C )ביחס לציר Y, כמו בציור(. האם גם הפעם גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו B וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך C ו D חותכים את ציר Y באותה נקודה? אם כן - מהי הנקודה? 2 האם גם הפעם גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו C וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך D ו B חותכים את ציר Y באותה נקודה? מהי הנקודה? ג. הראו כי בכל בחירה של 4 נקודות כמתואר בסעיף הקודם, יתקיימו שתי התכונות: גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו B וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך C ו D חותכים את ציר Y באותה נקודה. 2 גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו C וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך D ו B חותכים את ציר Y באותה נקודה. ד. בכל אחד מהסעיפים הבאים, בחרו ערכים של נקודות C B, A, ו D כך ש A תהיה סימטרית ל D ו B תהיה סימטרית ל C )ביחס לציר Y(, וכך שיתקיימו הדרישות המפורטות בסעיף. גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו B וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך C ו D עוברים בראשית הצירים. 2 גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו B וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך C ו D חותכים את ציר Y בנקודה )7-,0(. 3 גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו C וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך D ו B חותכים את ציר Y בנקודה )0,0(. 4 שתי הדרישות הקודמות יתקיימו. השתמשו בייצוג האלגברי של הפונקציות שסרטטתם כדי לבדוק את תשובותיכם. 24

25 34 הרחבה כרטיס חנייה נטען הוא אמצעי לתשלום דמי חנייה : מטעינים את הכרטיס מראש בסכום התחלתי כלשהו; כשחונים, היתרה בכרטיס יורדת בקצב קבוע בהתאם למשך זמן החנייה. מיכל הטעינה את הכרטיס שלה בסכום מסוים. בפעם הראשונה השתמשה מיכל בכרטיס לחנייה בת 23 דקות. אחרי הפעם הזו נשארה בכרטיס יתרה של אחרי חנייה נוספת, של 35 דקות, נשארו בכרטיס א. כמה זמן (בדקות) נמשכו שתי החניות של מיכל יחד? ב. סדרו את הנתונים בטבלה כמו זו שלפניכם, ומלאו אותה. ) f( הסכום שנשאר אחרי החנייה (בשקלים) הזמן המצטבר (בדקות) אחרי החנייה הראשונה החנייה הראשונה והחנייה השנייה יחד 35 חיזוק פונקציה קווית - חלק ב (הרחבה) ג. מהו המחיר לדקת חנייה? ד. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה ) f( שמתארת את היתרה בכרטיס החנייה הנטען כתלות בזמן החנייה המצטבר. ה. אם בפעם הבאה תצטרך מיכל לחנות למשך 40 דקות - האם יספיק לה הסכום שנשאר בכרטיס? ו. באיזה סכום התחלתי הטעינה מיכל את הכרטיס? במחברת של דנה היו רשומים ייצוגים אלגבריים של פונקציות קוויות בצורה,a + b וטבלות ערכים מתאימות. העט של דנה הכתים את הדף. עזרו לדנה לשחזר את מה שהיה כתוב. אם אפשר - שחזרו; אם אי אפשר - הסבירו מדוע אי אפשר. - 3 = ) k( ג + = ) g( ב f() = -2 + א מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית ) k( ) g( ) f(

26 ג. השתנות בקצב קבוע מה נלמד? קשר בין קצב קבוע של תהליך לאירוע מסוים בתהליך הזה. שלושה תלמידים מדדו את מהירות ההליכה שלהם: מהירותה של אורנה: 3 מטרים בשנייה מהירותו של בוריס: 2.5 מטרים בשנייה מהירותה של ענת: 2 מטרים בשנייה א. אם שלושת הילדים י צאו בו זמנית מבית הספר למתנ"ס וילכו באותו מסלול, באיזה סדר הם יגיעו למתנ"ס? ב. באיזה מרחק מבית הספר יהיה כל אחד מהם דקה אחת אחרי יציאתם? ג. אם המרחק של המתנ"ס מבית הספר הוא 0.9 ק"מ, כמה זמן תימשך ההליכה של כל אחד מהם למתנ"ס? 2 במכולה היו 5 טונות גרגרי חיטה. רוקנו את המכולה באמצעות צינור, שהעביר לאסם 75 ק ג גרגרי חיטה בדקה. כעבור כמה זמן התרוקנה המכולה? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( השתנות בקצב קבוע 3 בטבלה שלפניכם מופיעים נתונים על תנועה במהירות קבועה של הולך רגל, של אופנוע ושל מכונית. מצאו את המספרים החסרים בטבלה. הולך רגל אופנוע מכונית 4 בכל דקה נולדים בעולם כ 50 בני אדם. א. כמה בני אדם נולדים בכל שעה? ב. כמה בני אדם נולדים בכל יום? ג. בכמה זמן בערך נולדים 2,000,000 בני אדם? 4 5 מכונות מייצרות 40 פריטים מסוג מסוים ב 4 ימים. אורך הדרך )s( ק"מ מהירות )v( קמ"ש 4 זמן )t( שעות כמה זמן דרוש ל 6 מכונות כאלה לייצר 60 פריטים מאותו סוג? 26

27 6 המרחק בין שני יישובים הוא 60 ק מ. נהגת מכונית, רוכב אופנוע ורוכב אופניים יצאו בשעה 8:00 מאחד היישובים ונסעו ליישוב האחר. נהגת המכונית נסעת במהירות 90 קמ ש, רוכב האופנוע נסע במהירות 30 קמ ש, ורוכב האופניים נסע במהירות 20 קמ ש. א. תוך כמה זמן הגיע כל אחד מהנוסעים ליעדו? ב. באיזו שעה הגיע כל אחד מהנוסעים ליעדו? דיון 7 המרחק בין שני יישובים בכביש מסוים הוא 520 ק מ. שתי מכוניות יצאו זו לקראת זו משני היישובים באותה שעה. מכונית א נסעה במהירות 70 קמ ש, ומכונית ב נסעה במהירות 60 קמ ש. א. מה היה המרחק בין המכוניות כעבור שעה מתחילת הנסיעה? ב. מה היה המרחק בין המכוניות כעבור שעה וחצי מתחילת הנסיעה? ג. כעבור כמה שעות מתחילת הנסיעה היה המרחק בין המכוניות 260 ק מ? ד. כעבור כמה שעות מתחילת הנסיעה נפגשו המכוניות? מכונית א מכונית ב 520 ק"מ 8 המרחק בין תל אביב לזיכרון יעקב הוא 74 ק מ. המרחק בין זיכרון יעקב לצפת הוא 02 ק מ. אוטובוס ומונית יצאו בו בזמן מזיכרון יעקב לשני כיוונים שונים: האוטובוס - לצפת, והמונית - לתל אביב. האוטובוס נסע במהירות 60 קמ ש, והמונית נסעה במהירות 80 קמ ש. א. מה היה המרחק בין כלי הרכב אחרי חצי שעה מתחילת הנסיעה? ב. כתבו משוואה שבעזרתה אפשר למצוא כמה זמן אחרי היציאה של כלי הרכב היה ביניהם מרחק של 50 ק מ. ג. מי הגיע ראשון ליעדו - האוטובוס או המונית? 9 נגרית מייצרת 4 כיסאות ביום. המתלמד שלה מייצר 2 כיסאות ביום. בכמה זמן ייצרו הנגרית והמתלמד יחד 60 כיסאות? זיכרון יעקב צפת תל אביב פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( השתנות בקצב קבוע 27

28 0 יוני יכול לסייד 3 חדרים ב 6 ימים. טלי יכולה לסייד 3 חדרים כאלה ב 3 ימים. א. אם יוני וטלי יסיידו יחד את שלושת החדרים, האם העבודה תיקח יותר או פחות מ 3 ימים? הסבירו. ב. בכמה זמן יכול יוני לסייד 2 חדרים? ג. בכמה זמן יכולים יוני וטלי לסייד 6 חדרים אם יעבדו יחד? רינה ודן נסעו מתל אביב לחיפה )מרחק של 00 ק"מ( בכביש מסוים. כל אחד מהם נסע במהירות קבועה. א. דן עבר את 80 הק מ הראשונים ב.2 שעות. בכמה זמן עבר דן את 20 הק מ הנותרים? ב. במשך 42 הדקות הראשונות עברה רינה 60 ק מ. כמה ק מ נסעה רינה ב 2 הדקות הבאות? 2 מאגר מים מכיל 7500 ליטר מים. בשעה תשע בבוקר התחילו לרוקן את המאגר באמצעות שני צינורות: האחד הזרים 40 ליטר מים בשעה, והאחר הזרים 0 ליטר מים בשעה. 3 4 שעה מתחילת הריקון? א. מהי כמות המים שנשארה בבריכה כעבור ב. כעבור כמה זמן התרוקנה הבריכה? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( השתנות בקצב קבוע אורן ומירי יצאו לרכוב על אופניים. 3 0 הגרף שלפניכם מתאר את ההשתנות בזמן של המרחק שלהם )בק"מ( מנקודת המוצא. א. הסתמכו על הגרף וספרו על נסיעתם של אורן ומירי פרטים רבים ככל האפשר. ב. באיזה מרחק מנקודת המוצא היה אורן חצי שעה 2 השעה אחרי תחילת הנסיעה? ג. מה הייתה המהירות של אורן בשעה הראשונה? ובשעה השנייה? ד. מה הייתה מהירותה של מירי בשעה השלישית? מירי 9 ה. אילו היה אורן עובר את כל הדרך במהירות קבועה השווה למהירותו בשעה הראשונה - מי היה מגיע לייעד קודם: אורן או מירי? הסבירו. ו. מה היה המרחק בין אורן למירי בשעה 9 בבוקר? כיצד מצאתם זאת? אורן המרחק מנקודת המוצא )ק"מ( 28

29 ד. פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות מה נלמד? שימוש בסקיצות של פונקציות ובייצוג האלגברי לפתרון בעיות מילוליות. יעל וניר רכבו על אופניים על הכביש שבין העיר A לעיר B. לפניכם סקיצות של הפונקציות הקוויות f() ו ( g( המתארות את המרחק של כל רוכב מהעיר A )לאורך הכביש( כתלות בזמן שעבר מיציאתו של ניר. מצאו אילו סקיצות יכולות להתאים לכל אחד מהתיאורים שלמטה, והסבירו. f() g() מרחק מ A 3 )בק מ( מרחק מ A )בק מ( מרחק מ A )בק מ( 2 g() f() f() g() זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( מרחק מ A )בק מ( זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות f() g() 6 g() f() זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( מרחק מ A )בק מ( 5 א. יעל יצאה לדרך אחרי ניר. ד. יעל וניר רכבו באותו כיוון. ב. יעל וניר יצאו שניהם לדרך מהעיר A. ה. יעל וניר רכבו בכיוונים נגדיים. ג. יעל וניר יצאו לדרך באותו הזמן מהעיר A. ו. יעל וניר נפגשו במהלך הנסיעה. 2 בכל סעיף, סרטטו במערכת צירים אחת )כמו זו הנתונה בציור( גרפים המתאימים לסיפור שבסעיף. א. משאית כבדה יצאה מצפת ונסעה לבית שאן דרך טבריה, במהירות 72 ק"מ לשעה. באותה שעה יצאה מכונית פרטית מטבריה, המרוחקת 40 ק"מ מצפת; המכונית נסעה לבית שאן לאורך אותו כביש, במהירות 48 ק"מ לשעה. שני כלי הרכב הגיעו בו בזמן לבית שאן. f() g() זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( מרחק מ A )בק מ( ב. משאית כבדה יצאה מצפת ונסעה דרך טבריה לבית שאן במהירות 48 ק"מ לשעה. כעבור שעתיים יצאה מכונית 4 דיון פרטית מטבריה, המרוחקת 40 ק"מ מצפת, ונסעה לבית שאן לאורך אותו כביש במהירות 72 ק"מ לשעה. שני כלי הרכב הגיעו בו בזמן לבית שאן. זמן שעבר מיציאת המשאית )שעות( מרחק מצפת )ק מ( 29

30 סרטוט סקיצה לפי סיפור דוגמה מכונית פרטית יצאה מאשקלון ונסעה דרך נתניה לחיפה, במהירות 75 ק"מ לשעה. כעבור שעה יצאה משאית כבדה מנתניה, המרוחקת 90 ק"מ מאשקלון, אשקלון נתניה חיפה ונסעה לחיפה לאורך אותו כביש, במהירות 60 ק"מ 90 ק מ לשעה. שני כלי הרכב הגיעו ביחד לחיפה. נסרטט במערכת צירים אחת סקיצות המתארות את השתנות המרחק של כל אחד מכלי הרכב מאשקלון, כתלות בזמן: א. המכונית הפרטית יצאה ראשונה לדרך, לכן נתחיל מתיאור התנועה שלה: נסרטט סקיצה של פונקציה קווית,f() המתארת את מרחקה של המכונית מאשקלון כתלות בזמן שעבר מיציאתה. שימו לב: הגרף עובר בראשית הצירים )הסבירו מדוע!(. f() מרחק מאשקלון )בק מ( פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות דיון ב. כעת נבנה באותה מערכת צירים סקיצה של פונקציה קווית,g() שתתאים למשאית: נקודת ההתחלה של גרף הפונקציה היא הנקודה M. שיעור ה של הנקודה M הוא, כי המשאית יצאה שעה אחת אחרי יציאת המכונית הפרטית. שיעור ה של הנקודה M הוא 90, כי המשאית יצאה מנתניה, המרוחקת 90 ק"מ מאשקלון. אם כן, שיעורי הנקודה M הם (90,)M. כדי לדעת אם הנקודה M נמצאת מעל לגרף של f() או מתחתיו, נחשב את שיעור ה של הנקודה K. לשם כך נחשב באיזה מרחק מאשקלון הייתה המכונית הפרטית כעבור שעה מתחילת נסיעתה. זמן שעבר מיציאת המכונית הפרטית )שעות( זמן שעבר מיציאת המכונית הפרטית )שעות( מרחק מאשקלון )בק מ( M K g() f() R המרחק הזה הוא 75 ק"מ )הסבירו מדוע!( לכן נסמן את הנקודה M מעל לגרף.f() מהירות המשאית קטנה ממהירות המכונית הפרטית, לכן נסרטט מהנקודה M קו ישר שהשיפוע שלו קטן מהשיפוע של f(). נמשיך אותו עד לנקודת החיתוך שלו עם הגרף של,f() ונסמן את נקודת החיתוך באות R. מה המשמעות של שיעור ה של הנקודה R בסיפור? מה המשמעות של שיעור ה של הנקודה R בסיפור? 3 משאית יצאה מצפת ונסעה לבאר שבע במהירות 48 קמ"ש. כעבור שעתיים יצאה מכונית פרטית מאותו מקום בצפת, ונסעה לבאר שבע לאורך אותו כביש במהירות 72 קמ"ש. שני כלי הרכב הגיעו לבאר שבע בו זמנית. א. סרטטו במערכת צירים אחת סקיצות, המתארות את השתנות המרחק של כל כלי רכב מצפת כתלות בזמן. ב. רשמו ייצוגים אלגבריים לפונקציות שבסרטוט. ג. היעזרו בייצוגים האלגבריים שרשמתם כדי למצוא: כעבור כמה זמן מתחילת נסיעתה של המשאית הגיעו שני כלי הרכב לבאר שבע? 2 מהו המרחק )בנסיעה על הכביש( בין צפת לבאר שבע? 30

31 פתרון בעיה המתארת שני תהליכים שלכל אחד מהם מתאימה פונקציה קווית דוגמה מכונית פרטית יצאה מאשקלון ונסעה דרך נתניה לחיפה, במהירות 75 ק"מ לשעה. כעבור שעה יצאה משאית כבדה מנתניה, המרוחקת 90 ק"מ מאשקלון, ונסעה לחיפה לאורך אותו כביש, במהירות 60 ק"מ לשעה. שני כלי הרכב הגיעו ביחד לחיפה. פתרון כעבור כמה זמן מיציאתה של המכונית הפרטית הגיעו שני כלי הרכב לחיפה? 2 מהו המרחק )בנסיעה על הכביש( בין אשקלון לחיפה? א. נסרטט סקיצה המתארת את השתנות המרחק של כל אחד מכלי הרכב מאשקלון כתלות בזמן )כמו שהסברנו בעמוד הקודם(. ב. נציין על הישרים את השיפועים והנקודות המתאימים לנתונים בסיפור )נסו בעצמכם!(. הפונקציה,f() המתארת את נסיעתה של המכונית הפרטית, היא פונקציה קווית ששיפועה 75 )כי המכונית נסעה במהירות קבועה של 75 קמ"ש(, והגרף שלה עובר בראשית הצירים )כי המרחק של המכונית מאשקלון בזמן יציאתה לדרך היה 0(. הפונקציה,g() המתארת את נסיעתה של המשאית, היא פונקציה קווית ששיפועה 60 )כי היא מתארת נסיעה במהירות קבועה של 60 קמ"ש( והגרף שלה עובר דרך הנקודה (90,)M )כי המשאית יצאה לדרך שעה אחת לאחר יציאתה של המכונית הפרטית, והיא יצאה מנתניה, המרוחקת 90 ק"מ מאשקלון(. ג. לכל אחת מהפונקציות f() ו ( g( נמצא ייצוג אלגברי לפי הנקודה והשיפוע שמצאנו בשלב הקודם )נסו בעצמכם!(. הייצוגים הם: כעת נוכל לחזור לשאלות שנשאלנו. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות f() = 75 g() = כיצד נחשב את הזמן שעבר מאז יציאתה של המכונית הפרטית עד ששני כלי הרכב נפגשו? עבור ערך ה של הנקודה R, המייצג את הזמן עד הפגישה, ערך הפונקציה f() שווה לערך הפונקציה g() )כי בזמן הפגישה שני כלי הרכב נמצאים באותו המרחק מאשקלון(. לכן ניתן למצוא את הזמן המבוקש על ידי פתרון המשוואה f(). g() = נפתור את המשוואה = )פתרו!( ונקבל = 2. אם כך, שני כלי הרכב נפגשו שעתיים לאחר יציאתה של המכונית הפרטית לדרך. 2 כיצד נחשב את המרחק מאשקלון לחיפה לאורך כביש זה? כיוון ששני כלי הרכב נפגשו בחיפה, הם נפגשו 2 שעות לאחר יציאתה של המכונית הפרטית לדרך. לכן אפשר לחשב את המרחק על ידי מציאת ערך הפונקציה f() )או ערך הפונקציה )g() עבור = 2. )חשבו, והסבירו מדוע שתי הדרכים אפשריות!( נמצא ש = 50 f(2) ; אם כך, המרחק מאשקלון לחיפה לאורך הכביש הוא 50 ק"מ. זמן שעבר מיציאת המכונית הפרטית )בשעות( מרחק מאשקלון )בק מ( M ), 90(,g() שיפוע 60,f() שיפוע 75 R 3

32 4 המרחק מאילת לנתניה לאורך כביש העובר דרך ירושלים הוא 42 ק"מ. מונית יצאה מאילת ונסעה בכביש זה לירושלים במהירות 86 קמ"ש. כעבור שעתיים יצאה לקראתה מכונית פרטית מנתניה, ונסעה באותו כביש לירושלים במהירות 74 קמ"ש. שני כלי הרכב הגיעו לירושלים באותה שעה. א. סרטטו במערכת צירים אחת סקיצות של גרפים המתארים את השתנות המרחק של שני כלי הרכב מאילת כתלות בזמן שעבר מתחילת נסיעתה של המונית. ב. כתבו לכל גרף את השיפוע שלו ואת השיעורים של אחת הנקודות הנמצאות עליו. ג. רשמו ייצוג אלגברי לכל אחת מהפונקציות שתיארתם בסעיף א. ד. היעזרו בייצוגים האלגבריים שרשמתם כדי למצוא: כעבור כמה זמן מיציאתה של המונית הגיעו שני כלי הרכב לירושלים? 2 מה המרחק בין אילת לירושלים לאורך הכביש המתואר? ירושלים אילת נתניה פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות רוכבת אופניים יצאה ממטולה לחיפה במהירות 24 קמ"ש. כעבור שלוש שעות יצאה 5 מכונית פרטית ממטולה לחיפה, ונסעה באותה הדרך במהירות 72 קמ"ש. שני כלי הרכב הגיעו לחיפה באותו הזמן. א. כעבור כמה זמן מיציאתה של רוכבת האופניים הגיעו שני כלי הרכב לחיפה? ב. מהו המרחק )על הכביש( בין מטולה לחיפה? בעיר הוקמה שכונת אביב. האוכלוסייה באביב ג ד לה בקצב של 600 איש בשנה. 6 שנתיים לאחר הקמת אביב הוקמה שכונת יחדיו. האוכלוסייה ביחדיו ג ד לה בקצב של 900 איש בשנה. א. באיזו שכונה יהיו יותר תושבים 5 שנים אחרי הקמת אביב? בכמה תושבים יותר? ב. כעבור כמה שנים מהקמת אביב יהיה בשתי השכונות מספר שווה של תושבים? כמה תושבים יהיו בכל שכונה באותה שנה? תל אביב קריית גת דן יצא על קטנועו מתל אביב למטולה במהירות 36 קמ"ש. כעבור 7 82 ק מ שעתיים יצאה רינה מקריית גת ונסעה במכוניתה דרך תל אביב למטולה במהירות 80 קמ"ש, בעקבות דן. דן ורינה הגיעו למטולה ביחד. המרחק בין קריית גת לתל אביב במסלול הנסיעה של רינה הוא 82 ק"מ. א. כעבור כמה זמן מרגע יציאתו הגיע כל אחד מכלי הרכב למטולה? ב. כמה קילומטרים נסע כל כלי רכב ממקום יציאתו ועד שהגיע למטולה? רוכב אופניים יצא מביתו בשעה 8.00 בבוקר, ורכב במהירות 40 קמ"ש. בשעה 9.30 בבוקר יצאה 8 אחותו מאותו בית, ורכבה על אופנוע בעקבות אחיה במהירות 80 קמ"ש. באיזו שעה ובאיזה חיזוק מרחק מהבית השיגה רוכבת האופנוע את אחיה רוכב האופניים? מטולה 32

33 9 המרחק בין עכו לבאר שבע הוא 224 ק"מ. שני נהגים, רמי וגדי, יצאו משתי הערים זה לקראת זה באותו מסלול. רמי יצא מעכו בשעה 7 בבוקר, ונסע במהירות של 92 קמ"ש, וגדי יצא מבאר שבע בשעה 7:30 בבוקר, ונסע במהירות 86 קמ"ש. א. באיזו שעה נפגשו? ב. מתי היה המרחק ביניהם 89 ק"מ? 0 בחברה להשכרת מכוניות רכשו מכונית שמחירה. 50,000 בכל שנה מחיר המכונית הזו יורד ב 0,000. שנה לאחר קניית המכונית הראשונה רכשו מכונית מדגם אחר, שמחירה. 30,000 בכל שנה מחיר המכונית מהדגם הזה יורד ב 8,000. האם ייתכן שאחרי כמה שנים יהיו המחירים של שתי המכוניות שווים? אם כן - אחרי כמה שנים? אם לא - הסבירו מדוע. הרחבה על כל גוף המכיל אוויר מופעל לחץ אוויר מבחוץ ומבפנים. הלחץ מבפנים מופעל על ידי האוויר הנמצא בתוך הגוף. אחת היחידות למדידת לחץ אוויר נקראת פסקל. בניסוי במעבדה בדקו מה קורה למ כ ל כאשר הלחץ החיצוני גדול מהלחץ הפנימי או שווה לו. בתחילת הניסוי היה הלחץ החיצוני על המכל 20 פסקל, והלחץ הפנימי היה שווה ל 0. התחילו להפחית את הלחץ החיצוני בקצב של 2 פסקלים לשנייה, ובאותו זמן התחילו להגביר את הלחץ הפנימי בקצב של פסקל לשנייה. כעבור כמה זמן היה הלחץ החיצוני על המכל שווה ללחץ הפנימי? 2 התשלום היומי שגובות שתי חברות אינטרנט נקבע בהתאם למשך זמן הגלישה: חברת "גלישה ישירה" גובה.5 ש"ח לכל שעת גלישה. חברת "גלישה מהירה" גובה תשלום קבוע של 2 ש"ח ליום, ותוספת תשלום לפי שעות הגלישה: 3 שעות הגלישה הראשונות בכל יום הן ללא תשלום נוסף, ועל השעות שאחריהן התעריף הוא 2.5 ש"ח לשעת גלישה. עבור כמה שעות גלישה ביום גובות שתי החברות אותו סכום? ב ל ז פסקל ) , Pascal )Blaise היה מדען צרפתי שעסק רבות בנושא לחץ האוויר, והיחידה למדידת לחץ אוויר נקראת על שמו. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות 33

34 3 רוני הקימה אתר אינטרנט שמטרתו לגייס מתנדבים שיפעלו לשיפור איכות הסביבה. הרחבה היוזמה הצליחה: בכל שבוע הצטרפו 7 מתנדבים. 3 שבועות אחרי הקמת האתר של רוני, הקים טל אתר שמטרתו לגייס מתנדבים לעבודה עם ילדים בקהילה. כשהאתר נפתח נרשמו 6 חברים של טל, ובכל שבוע הצטרפו 0 מתנדבים. א. האם ייתכן שבשבוע מסוים מספר המתנדבים באתר של רוני יהיה שווה למספר המתנדבים באתר של טל? אם כן - מתי זה יקרה? ב. אם מספר המתנדבים בשני האתרים ימשיך לגדול באותו הקצב, כמה מתנדבים יהיו בכל רשימה 0 שבועות אחרי הקמת האתר של רוני? ג. אם מספר המתנדבים בשני האתרים ימשיך לגדול באותו הקצב, כמה מתנדבים יהיו בכל רשימה 0 שבועות אחרי הקמת האתר של טל? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות אתגר דיון 4 במכל א היו 320 מ ק מים ובמכל ב היו 320 מ ק מים. התחילו לרוקן את מכל א, וכעבור שעתיים התחילו להזרים מים למכל ב: ממכל א רוקנו את המים בקצב של 80 מ ק לשעה. למכל ב הזרימו מים בקצב של 60 מ ק לשעה; א. כעבור כמה זמן מתחילת הריקון של מכל א היו בשני המכלים כמויות שוות של מים? ב. מה הייתה כמות המים בכל אחד מהמכלים כשהכמויות היו שוות? 5 דנית ואחותה הקטנה מזל אוהבות לרוץ על שביל שאורכו 50 מטרים. מהירותה של דנית היא 3 מטרים בשנייה, ומהירותה של מזל היא מטר בשנייה. א. מזל לא רוצה להגיע תמיד שנייה, ולכן היא מבקשת שדנית תתחיל את המרוץ כמה שניות אחריה. כמה שניות אחרי מזל צריכה דנית להתחיל לרוץ כדי ששתיהן יגיעו יחד לסוף השביל? הסבירו. ב. בפעם אחרת מזל מבקשת להתחיל לרוץ באותו זמן שדנית מתחילה, אבל לא מאותה נקודת זינוק בקצה השביל, אלא בנקודה כלשהי בהמשך השביל. באיזה מרחק מתחילת השביל צריכה מזל להתחיל לרוץ כדי ששתיהן יגיעו לסוף השביל יחד? הסבירו. 6 מיכל יצאה לטיול ממצפה רמון לדימונה, מרחק של 66 ק"מ. תחילה רכבה על אופניים במהירות 5 קמ"ש, ולאחר זמן מה החליטה להמשיך את הדרך בהליכה במהירות 3 קמ"ש. הדרך כולה ארכה 6 שעות. א. סרטטו גרף המתאר את השתנות המרחק של מיכל ממקום יציאתה כתלות בזמן שעבר מהיציאה לדרך. ב. כמה זמן רכבה מיכל על אופניים וכמה זמן הלכה ברגל? ג. באיזה מרחק מנקודת היציאה החלה ללכת ברגל? ד. כמה קילומטרים היא הלכה ברגל? * משימה חלופית למשימה 6 מופיעה באתר המתמטיקה של מטח: "לראות מתמטיקה: פונקציות" פונקציה קווית העתקת גרף "תופסת" 34

35 תהליך אחד המתואר על ידי שתי פונקציות קוויות דוגמה יוסי יצא מתל אביב לזיכרון יעקב, מרחק של 72 ק"מ. חלק מהדרך הוא רכב על אופניים במהירות 20 קמ"ש, ובהמשך הדרך הלך ברגל במהירות 4 קמ"ש. הוא שהה בדרך 6 שעות. א. סרטטו סקיצה המתארת את השתנות המרחק של יוסי ממקום היציאה כתלות בזמן שעבר מיציאתו לדרך. ב. כעבור כמה זמן מיציאתו לדרך החל יוסי ללכת ברגל? ג. באיזה מרחק מתל אביב החל יוסי ללכת ברגל? פתרון התנועה בסיפור מורכבת משני חלקים שבכל אחד מהם נעים במהירות אחרת; לכן נתאר את הנסיעה באמצעות שתי פונקציות, f() ו ( g(, המתארות את השתנות המרחק מתל אביב בכל אחד מקטעי הדרך, כתלות בזמן: f() היא פונקציה המתאימה לפרק הזמן שבו יוסי רכב במהירות 20 קמ"ש; g() היא פונקציה המתאימה לפרק הזמן שבו יוסי צעד במהירות 4 קמ"ש. השיפוע של f() הוא 20, והשיפוע של g() הוא 4. הנקודה C מתאימה לסיום המסע. שיעור ה של הנקודה C הוא 6 )כי הזמן שעבר מהיציאה לדרך עד ההגעה ליעד הוא 6 שעות(. שיעור ה של הנקודה C הוא 72 )כי כאשר יוסי הגיע לזיכרון יעקב הוא היה במרחק 72 ק"מ מתל אביב(. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות לכן שיעורי הנקודה C הם (72,6)C. הנקודה K מתאימה להתחלת הצעידה ברגל. שיעור ה של הנקודה K מתאר כעבור כמה זמן מיציאתו לדרך החל יוסי ללכת ברגל. שיעור ה של הנקודה K מתאר באיזה מרחק מתל אביב החל יוסי ללכת ברגל. את שיעור ה של הנקודה K אפשר למצוא בעזרת המשוואה g() : f() = הייצוג האלגברי של f() הוא f() = 20 )הסבירו!(. את הייצוג האלגברי של g() ניתן לחשב לפי הנקודה (72,6)C והשיפוע 4 )נסו למצוא!(. הייצוג האלגברי של g() הוא g() = פתרו את המשוואה וענו על סעיפים ב וג שבדוגמה. 7 דבורה יצאה מבאר שבע לסדום, מרחק של 84 ק"מ, ועברה את הדרך ב 5 שעות. חלק מהדרך היא רכבה על אופניים במהירות של 20 קמ"ש, ואת החלק הנותר עברה בהליכה ברגל במהירות של 4 קמ"ש. א. כעבור כמה שעות מרגע יציאתה מבאר שבע התחילה דבורה ללכת ברגל? ב. כמה קילומטרים עברה ברכיבה על אופניה? 6 זמן מהיציאה לדרך )שעות( מרחק מתל אביב )בק מ( 72 A f() K g() C 35

36 במשימות הבאות הניחו, לצורך החישוב, שקצב שינוי הוא קבוע אלא אם כן נאמר אחרת. 8 במושב הותקנה מכולה חדשה. במשך כמה ימים הכניסו למכולה 3.5 טונות תבואה ביום. לאחר מכן מכרו את התבואה בקצב של.5 טונות ליום עד שהמכולה התרוקנה. תהליך המילוי והפינוי של המכולה נמשך 0 ימים. א. סרטטו סקיצה המתארת את השתנות תכולת המכולה מהרגע שהתחילו למלא אותה ועד הרגע שהמכולה התרוקנה. ב. במשך כמה ימים מילאו את המכולה? במשך כמה ימים רוקנו אותה? ג. כמה טון תבואה היו במכולה כשהייתה מלאה? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות הרחבה דיון 9 שליח יצא מאילת למסור חבילה בחיפה, ונסע לשם במהירות 70 קמ"ש. אחרי נסיעה של 362 ק"מ הגיע לתל אביב )ראו באיור( ומבלי לעצור בה המשיך בדרכו לחיפה. הוא מסר את החבילה ומיד נסע חזרה לתל אביב באותה הדרך במהירות 62 קמ"ש. זמן הנסיעה הכולל של השליח מאילת לחיפה וחזרה לתל אביב היה 8 שעות. א. כעבור כמה זמן מיציאתו מאילת הגיע השליח לחיפה? ב. כמה קילומטרים עבר השליח בדרכו מאילת לחיפה? 20 בשעה 8:00 בבוקר התחילו לחמם נוזל שהטמפרטורה ההתחלתית שלו הייתה 30 C. חיממו אותו בקצב קבוע של 5 מעלות לדקה. לאחר זמן מה החלו לצנן את הנוזל בקצב של 8 מעלות לדקה. במהלך צינון הנוזל, בשעה 8:5, הייתה הטמפרטורה שלו 40 C. א. באיזו שעה החלו לצנן את הנוזל? ב. מה הייתה טמפרטורת הנוזל כאשר החלו לצננו? חיפה 2 בבוקר הייתה בריכה א ריקה ובריכה ב הכילה 20 מ"ק מים. התחילו למלא את בריכה א בקצב של 60 מ"ק לשעה. כעבור 4 שעות התחילו למלא את בריכה ב בקצב של 80 מ"ק לשעה. ה משיכו למלא את שתי הבריכות עד שכמויות המים בהן היו שוות. לפניכם סקיצה המתארת את כמות המים בכל בריכה כתלות בזמן שעבר מרגע שהתחילו למלא את בריכה א. א. הסבירו מה מתארים הגרפים של הפונקציות,f() g() ו ( h( בסיפור. ב. על פי הנתונים המספריים רשמו את שיעורי הנקודות ואת שיפועי הישרים בסרטוט. ג. רשמו ייצוג אלגברי לפונקציות,f() g() ו ( h(. ד. מצאו מתי השתוו כמויות המים בשתי הבריכות. ה. מצאו מה הייתה כמות המים בכל בריכה כאשר הכמויות השתוו. תל אביב 362 ק מ אילת M N P כמות המים )במ ק( h() f() g() זמן שעבר מהשעה 8:00 בבוקר )בשעות( 36

מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית

מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית צוות המתמטיקה במטח: ראש תחום מתמטיקה: ד"ר שרה הרשקוביץ מנהלת צוות פיתוח מתמטיקה לבית הספר העל יסודי: ד"ר בבה שטרנברג צוות הפיתוח: רגינה אובודנקו, ד"ר אלכס אוליצין, אסנת

קרא עוד

מתמטיקה לחטיבת הביניים ÌÈappleÂÂÎÓ ÌÈ ÙÒÓ ÂÏÂÚÙ È ÂÁÂ ÈÓˆÚ Â Ú ÂÁ

מתמטיקה לחטיבת הביניים ÌÈappleÂÂÎÓ ÌÈ ÙÒÓ ÂÏÂÚÙ È ÂÁÂ ÈÓˆÚ Â Ú ÂÁ מתמטיקה לחטיבת הביניים ÌÈappleÂÂÎÓ ÌÈ ÙÒÓ ÂÏÂÚÙ È ÂÁÂ ÈÓˆÚ Â Ú ÂÁ מתמטיקה לחטיבת הביניים ÌÈappleÂÂÎÓ ÌÈ ÙÒÓ ÂÏÂÚÙ È ÂÁÂ תוכן העניינים א. מספרים מכוונים על ציר המספרים................. ב. השוואת מספרים

קרא עוד

Microsoft Word - beayot tnua 3 pitronot.doc

Microsoft Word - beayot tnua 3 pitronot.doc ק( בעיות מילוליות - בעיות תנועה.7 פתרון: א. נסמן : קמ"ש קמ"ש מהירותו של הולך הרגל. מהירותו של רוכב האופניים. משך זמן הליכתו של הולך הרגל מקיבוץ א' לקיבוץ ב'. משך זמן רכיבתו של רוכב האופניים מקיבוץ א' לקיבוץ

קרא עוד

Microsoft Word - beayot hespek 4 pitronot.doc

Microsoft Word - beayot hespek 4 pitronot.doc בעיות מילוליות - בעיות הספק.6 פתרון: נסמן: מספר המכשירים שתיקן טכנאי א' בשעה אחת (קצב עבודתו). ( ) כל אחד מהטכנאים תיקן מספר המכשירים שתיקן טכנאי ב' בשעה אחת (קצב עבודתו). 0 מכשירים, לכן: 0 שעות משך זמן

קרא עוד

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, 635863 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 תלמיד קנה 11 מחברות דקות ו- 4 מחברות עבות,

קרא עוד

בגרות עז יולי 17 מועד קיץ ב שאלון ,000 א. ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב-. 25% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי,

בגרות עז יולי 17 מועד קיץ ב שאלון ,000 א. ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב-. 25% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי, ,000 א ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב- 5% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי, 5% לכן, המחיר החדש הוא: 5,000 00 5 5 00 שקלים ממחירו הקודם 0005 תשובה: מחיר הספה לאחר ההתייקרות הוא

קרא עוד

עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה אפריל 5105 קשה בלימודים, קל במבחנים, קל בחיים עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה יש לפתור את כל השאלות

עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יחל פסח תשעה אפריל 5105 קשה בלימודים, קל במבחנים, קל בחיים עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יחל פסח תשעה יש לפתור את כל השאלות עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה יש לפתור את כל השאלות על דפים משובצים. רשמו את שמכם על כל אחד מהדפים הפתרונות יוגשו אחרי חופשת הפסח. מומלץ לכתוב דואר אלקטרוני, Whatspp כאשר נתקלים בקושי. מישהו

קרא עוד

טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נ

טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נ טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נתון כלשהו.. אין צורך לענות על השאלות לפי סדר הופעתן.

קרא עוד

Microsoft Word - hedva 806-pitronot-2011.doc

Microsoft Word - hedva 806-pitronot-2011.doc ו- ( ( השייכים לתחום ההגדרה שאלה פתרון: א. לפי ההגדרה, f היא פונקציה זוגית, אם לכל ( ) שלה, מתקיים. f f נציב את במקום בפונקציה הנתונה ונקבל: ( ) ( ) ( ) + + + + ( ) f f f כלומר, הפונקציה היא זוגית. על

קרא עוד

Microsoft Word - beayot kniya-1.doc

Microsoft Word - beayot kniya-1.doc בעיות מילוליות - בעיות קנייה ומכירה 1.01 סוחר בגדים קנה חולצות בסכום כולל של 1575 ש"ח. הוא מכר 5 חולצות בהפסד של 5 ש"ח על כל חולצה. את שאר החולצות הוא מכר ברווח של 15 ש"ח על כל חולצה. בסך הכול הסוחר הרוויח

קרא עוד

יחידה 8: שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות שיעור 1. שיקוף בציר x תלמידים התבקשו לשרטט פרבולה שכל הערכים שלה שליליים. y יואב ש רטט כך: y תומר אמר: אי-אפשר

יחידה 8: שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות שיעור 1. שיקוף בציר x תלמידים התבקשו לשרטט פרבולה שכל הערכים שלה שליליים. y יואב ש רטט כך: y תומר אמר: אי-אפשר יחידה 8: שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות שיעור 1. שיקוף בציר תלמידים התבקשו לשרטט פרבולה שכל הערכים שלה שליליים. יואב ש רטט כך: תומר אמר: אי-אפשר זיו ש רטט כך: מי צודק? נשקף בציר את הגרף של, = ונלמד את

קרא עוד

Microsoft Word פרק 16 - פתרון משוואות רמה א

Microsoft Word פרק 16 - פתרון משוואות רמה א 0.0. דף עבודה פתרון משוואות ושאלות מילוליות נתונות שתי משוואות שקולות. 8 60 הסבירו מדוע המשוואות שקולות. 6) 4( שקולה למשוואות אלו? האם המשוואה 8 מצאו שתי משוואות נוספות השקולות למשוואות בסעיף. () משוואות.

קרא עוד

פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה עבודת קיץ לבוגרי כיתה ז' קבוצת מיצוי " שכונה מערבית, רח' הפסגה 17 כרמיאל דוא"ל:

פסגות עש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה עבודת קיץ לבוגרי כיתה ז' קבוצת מיצוי  שכונה מערבית, רח' הפסגה 17 כרמיאל דואל: עבודת קיץ לבוגרי כיתה ז' קבוצת מיצוי " סדר פעולות חשבון עם מספרים מכוונים )1( כמובן יש להראות את דרך פתרון. תרגיל 0 1 : ( 3) 1 ( ) פתרו. שימו לב לסדר פעולות החשבון. תשובה 1 )( )3( )4( )5( )6( )7( )8( 30

קרא עוד

פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה -

פסגות עש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה - פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה יחס פרופורציה וקנה מידה נוסחאות הכפל המקוצר ופירוק לגורמים פתרון משוואות, אי שוויונות ומערכת משוואות ממעלה ראשונה שאלות מילוליות משוואות ריבועיות שברים

קרא עוד

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם י

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם י עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם יודעים כיצד לפתור אותן. את העבודה יש להגיש במהלך השבוע

קרא עוד

Microsoft Word - two_variables3.doc

Microsoft Word - two_variables3.doc משימה שני תלמידים פתרו את מערכת המשוואות הבאה y 7 2y 2. שי פתר בשיטת השוואת מקדמים: I. 2x y 7 II. 2x 2y 2 דנה פתרה בשיטת הצבה: I. 2x y 7 II. 2x 2y 2 I. y = 7 2x II. 2x 2(7 2x) = 2 2x 4 + 4x = 2 6x 4 =

קרא עוד

2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק

2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך( כלל השרשרת S ( z) z + על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק מקביל : f ( ) + הפונקציה מוגדרת וגזירה ברציפות בכל M( ) שאלה נתון פרבולואיד אליפטי P ( z) + 6 + z + 8 למישור

קרא עוד

<4D F736F F D20F4F2E5ECE5FA20EEE5EEF6E0E5FA20312E646F63>

<4D F736F F D20F4F2E5ECE5FA20EEE5EEF6E0E5FA20312E646F63> 1 תרגול פעולות מומצאות ( ( $ מה מהתשובות לא יכולה להיות תוצאה של הפעולה ) ( $ 1 הוגדרה פעולה חדשה $ + 1 1 + 10 + () () מה תוצאת הפעולה ) ( @ @ 10 = הוגדרה הפעולה החדשה 10 1 () 10 () 10 $ 19 $ 17 a) ( $

קרא עוד

פיתוח עירוני בסביבות תחנות הרכבת בתל אביב

פיתוח עירוני בסביבות תחנות הרכבת בתל אביב פיתוח עירוני מוכוון תחבורה ציבורית בסביבות תחנות הרכבת בתל אביב 20.6.16 מציגה: אירית לבהר גבאי מתכננת תנועה ארוך טווח, אגף התנועה עורכי התכנית עיריית תל אביב: אגף תכנון עיר: ניר דוד כהן אגף התנועה משרד

קרא עוד

Limit

Limit פרק אינטגרל כפול לכן לפי משפט 55 )ראו גם את ההערה( שאלות :5 d cos( ) d [ ] [] שאלות עם פתרון שאלה 5 חשבו: פתרון 8 הפונקציה ) f ( ) cos( מתקיים: רציפה במלבן d cos( ) d d cos( ) d עדיף לחשב את האינטגרל השני:

קרא עוד

א. מערכות צירים א. 1. מערכת צירים - זוגות סדורים ושיעורים מגלים לומדים 10. פונקציות מגלים ולומדים במערכת הרחובות ברובע מנהטן בניו-יורק יש שני סוגים של

א. מערכות צירים א. 1. מערכת צירים - זוגות סדורים ושיעורים מגלים לומדים 10. פונקציות מגלים ולומדים במערכת הרחובות ברובע מנהטן בניו-יורק יש שני סוגים של א. מערכות צירים א.. מערכת צירים - זוגות סדורים ושיעורים מגלים לומדים. פונקציות במערכת הרחובות ברובע מנהטן בניו-יורק יש שני סוגים של רחובות: שדרות בכיוון מאונך ויותר מ- רחובות בכיוון מאוזן. ראו דוגמה. לרחובות

קרא עוד

סדרה חשבונית והנדסית

סדרה חשבונית והנדסית .2 סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות n = 5 טבעי על-ידי כלל הנסיגה: + = an + 3. סדרה מוגדרת לכל n רשמו את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה. הסבירו מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית עולה. מצאו את האיבר ה- 57 בסדרה.

קרא עוד

Microsoft Word - 01 difernziali razionalit

Microsoft Word - 01 difernziali razionalit פונקציות רציונליות 5 יחידות מתוך הספר 806 כרך ד' 0, כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי חל איסור מוחלט לתרגם, להעתיק או לשכפל חוברת זו או קטעים ממנה, בשום צורה ובשום אמצעי אלקטרוני, אופטי או מכני (לרבות

קרא עוד

Microsoft Word - עבודת פסח לכיתה י 5 יחל.doc

Microsoft Word - עבודת פסח לכיתה י 5 יחל.doc עבודת פסח במתמטיקה לכיתה י' (5 יחידות) תרגילים שבעבודה על החומר שנלמד בכיתה ומיועדים לחזרה יש לעשות לא פחות מ- תרגילים מכל פרק אלגברה פתור את מערכת המשוואות הבאות: y x 1 y y 1 x y m x 1 x עבור אילו ערכים

קרא עוד

תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: כל הזכויות שמורות

תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: כל הזכויות שמורות תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: st.negishut@weizmann.ac.il תוכן העניינים מטרות התיק... 3 זמני עבודה משוערים... 3 החומרים והעזרים הדרושים... 4 רקע... 5 הצעה למהלך העבודה...

קרא עוד

חלק א' – הקדמה

חלק א' – הקדמה ספרות עזר: סירס-זימנסקי/פיסיקה תיכונית, קול וחום, פרקים ו- ; 3 חשמל ומגנטיות א', 5.8 Resnick & Halliday /Physics, part I,.4 Sears & Zemansky /Univesity Physics, 15.1, 16.6, 17.10, 8.8-8.9.1..3 מבוא מצבי

קרא עוד

א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש בגרות סט יולי 09 מועד קיץ ב שאלון CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף

א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש בגרות סט יולי 09 מועד קיץ ב שאלון CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש 3 CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף, E בהתאמה. לכן, הנקודה BE.3: לצלעות AE מחלקת את ו- AB ביחס של ע"פ נוסחת חלוקת קטע ביחס נתון

קרא עוד

פשוט חשבון כיתה ו - ספר שני שם תלמיד: שם מורה: דואר אלקטרוני תלמיד: דואר אלקטרוני מורה: תאריך הגשה: ציון: דפי עבודה מקוונים - כיתה ו', ספר שני, יחידה

פשוט חשבון כיתה ו - ספר שני שם תלמיד: שם מורה: דואר אלקטרוני תלמיד: דואר אלקטרוני מורה: תאריך הגשה: ציון: דפי עבודה מקוונים - כיתה ו', ספר שני, יחידה פשוט חשבון כיתה ו - ספר שני שם תלמיד: שם מורה: דואר אלקטרוני תלמיד: דואר אלקטרוני מורה: תאריך הגשה: ציון: דפי עבודה מקוונים - כיתה ו', ספר שני, יחידה 2. פתרו את השאלות, לחוד או בזוגות. תעדו את דרך הפתרון.

קרא עוד

1 מבחן משווה בפיסיקה כיתה ז' משך המבחן 90 דקות מבנה השאלון : שאלון זה כולל 4 שאלות עליך לענות על כולן.כתוב את הפתרונות המפורטים בדפים נפרדים וצרף אותם

1 מבחן משווה בפיסיקה כיתה ז' משך המבחן 90 דקות מבנה השאלון : שאלון זה כולל 4 שאלות עליך לענות על כולן.כתוב את הפתרונות המפורטים בדפים נפרדים וצרף אותם 1 מבחן משווה בפיסיקה כיתה ז' משך המבחן 90 דקות מבנה השאלון : שאלון זה כולל 4 שאלות עליך לענות על כולן.כתוב את הפתרונות המפורטים בדפים נפרדים וצרף אותם בהגשה לטופס המבחן. חומרי עזר: 1.מחשבון. נספח הנוסחאות

קרא עוד

Microsoft Word - 38

Microsoft Word - 38 08.05.6-80 - פתרון מבחן מס' 8 (ספר מבחנים שאלון 0580) t (v 75) (א) מהירות ההתקרבות של שני הרוכבים היא לכן הזמן שעבר מיציאת הרוכבים ועד הפגישה: קמ"ש, שעות 60 v 75 לפי הנתון בשאלה, נרכיב את המשוואות: 60

קרא עוד

פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד

פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה 2-7012610-3 תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד ב' שם המרצה: ערן עמרי, ענת פסקין-צ'רניאבסקי חומר עזר:

קרא עוד

1 בגרות עח יולי 18 מועד קיץ ב שאלון x b 2 2 y x 6x שיעור ה- א x לכן, של קדקוד הפרבולה, ו-, מתקבל על ידי הנוסחה a. C(3, 9) ובהתאם, y. (3, 9) 2 C

1 בגרות עח יולי 18 מועד קיץ ב שאלון x b 2 2 y x 6x שיעור ה- א x לכן, של קדקוד הפרבולה, ו-, מתקבל על ידי הנוסחה a. C(3, 9) ובהתאם, y. (3, 9) 2 C 8 מועד קיץ ב שאלון 58 x b y x x שיעור ה- א x לכן של קדקוד הפרבולה ו- מתקבל על ידי הנוסחה a C( 9) ובהתאם y ( 9) C 9 C הם x C ( ) תשובה: שיעורי קדקוד הפרבולה B A y x x ב הישר y 5 חותך את הפרבולה בנקודות

קרא עוד

Microsoft Word - 28

Microsoft Word - 28 8-6-7-8 - פתרון מבחן מס' 8 (ספר לימוד שאלון 87) y M (, ) y מרכז המעגל החוסם את המשולש נמצא בנקודת חיתוך האנכים האמצעיים y y לצלעות המשולש: y M _, y y R M ( M) ( M) () R M y m 9 9 69 9 9 9 9 (ב) משוואת

קרא עוד

מתמטיקה של מערכות

מתמטיקה של מערכות מתמטיקה של מערכות פתרון לתרגיל נגזור את שני האגפים לפי ונקבל : ) ולכן נתון ש- אז א ) e e נתון ש- א ) נגזור את שני האגפים לפי ונקבל: e, ולכן ) e e e ונקבל: נחלק את שני האגפים ב- נתון ש- ו- וגם ש- פונקציות

קרא עוד

HaredimZ2.indb

HaredimZ2.indb יחידה :31חופפים משולשים נחפוף משולשים ונוכיח תכונות של אלכסוני משולשים שווה שוקיים ואלכסוני המלבן. שיעור.1חופפים במשולש שווה שוקיים נחקור ונוכיח תכונות של משולש שווה שוקיים נתון משולש שווה שוקיים שבו.

קרא עוד

סט נובמבר 08 מועד מיוחד - פתרונות עפר.doc

סט נובמבר 08 מועד מיוחד - פתרונות עפר.doc נפתור את מערכת המשוואות y+ 3 = 5 5 7 3 2y + = 8 3 נארגן את המשוואה הראשונה 1/ 5/ y+ 3 5 = 5 1 y+ 3= 5(5 ) y+ 3= 25 5 8+ y= 25 /5 נארגן את המשוואה השנייה 3 1 3 / / / 2y 7 3 8 + = 1 3 1 6y+ 7 3= 24 7+ 6y

קרא עוד

המכללה האקדמית לחינוך ע"ש דיו ילין

המכללה האקדמית לחינוך עש דיו ילין ירושלים, אייר, תשע"ה למנהלי בתי הספר ולרכזי ומורי המתמטיקה שלום רב אנו מבקשים לעניין אתכם בתכנית " הכשרת מורים להוראת תלמידים ברוכי כישרון במתמטיקה ובמדע ומסגרת לטיפוח תלמידים ברוכי כישרון במתמטיקה ובמדע"

קרא עוד

ע 001 ינואר 10 מועד חורף פתרונות עפר

ע 001 ינואר 10 מועד חורף פתרונות עפר בגרות ע 00 ינואר 0 שאלון 50 הציר האופקי, ציר ה-, x מתאר את הזמן שעובר, בשניות, מתחילת השחייה כל משבצת היא בת 0 שניות הציר האנכי, ציר ה - y, מתאר את המרחק מקצה הבר כה כל משבצת היא בת 0 מטר כאשר הקו עולה

קרא עוד

עב 001 ינואר 12 מועד חורף פתרונות עפר

עב 001 ינואר 12 מועד חורף פתרונות עפר ק( נסמן ב- את מהירות המשאית שיצאה מעיר A (קמ"ש, קבועה) בגרות עב ינואר מועד חורף שאלון 35 נסמן ב- y את מהירות המכונית שיצאה מעיר B (קמ"ש, קבועה) B A נסמן ב- s את המרחק מעיר לעיר "מ) s v עד מפגש ראשון משאית

קרא עוד

פרויקט "רמזור" של קרן אביטל בס "ד מערך שיעור בנושא: "פונקציה" טליה קיפניס והדסה ערמי, מאולפנת צביה פרטים מקדימים על מערך השיעור: השיעור מהווה מבוא לנו

פרויקט רמזור של קרן אביטל בס ד מערך שיעור בנושא: פונקציה טליה קיפניס והדסה ערמי, מאולפנת צביה פרטים מקדימים על מערך השיעור: השיעור מהווה מבוא לנו בס "ד מערך שיעור בנושא: "פונקציה" טליה קיפניס והדסה ערמי, מאולפנת צביה פרטים מקדימים על מערך השיעור: השיעור מהווה מבוא לנושא הפונקציות הנלמד בכתה ט' בכל הרמות. עזרי ההוראה בהם נשתמש: מחשב, ברקו, דפי עבודה

קרא עוד

אשכול: מדעים וחברה לכיתה י'

אשכול: מדעים וחברה לכיתה י' אשכול מדעים וחברה כיתה י' אשכול זה מהווה אשכול כניסה לתכנית של החטיבה העליונה. בהתאם לכך, הדגש המושם בו הוא שימור של הידע הרלוונטי מחטיבת הביניים. באשכול זה נלמדים התכנים המתמטיים בהקשרים של תופעות מתחומי

קרא עוד

תרגול 1

תרגול 1 תרגול rcsin d rcsin t d שאלה חשב את האינטגרלים המסוימים הבאים: sin cos d rcsin d sin cos d א ב ג פתרון שאלה סעיף א נציב dt sin d t cos עבור נקבל t cos cos עבור נקבל sin cos d tdt סעיף ב נפתור תחילה בעזרת

קרא עוד

סז 002 נואר 07 מועד חורף פתרונות עפר

סז 002 נואר 07 מועד חורף פתרונות עפר הציר האופקי מציג את מספר פעימות המונה הציר האנכי מציג את המחיר שגובה חברת הטלפונים (שקלים) ב. א. יש למצוא מהו המחיר ל- 00 פעימות המונה הראשונות בחודש. הנקודה המסומנת בגרף, בעיגול, מראה כי עבור 00 פעימות

קרא עוד

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות)

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות) 5 עבודת קיץ לתלמידי כיתה ט' העולים לכיתה י )רמה יחידות( את העבודה יש להגיש למורה למתמטיקה תחילת שנה הבאה. בשבועיים הראשונים של שנת הלימודים יתקיים מבחן לפי העבודה. לעבודה חלקים:. תרגול בסיסי לתלמידי 5

קרא עוד

הכנס השנתי של המכון לחקר הגורם האנושי לתאונות דרכים

הכנס השנתי של המכון לחקר הגורם האנושי לתאונות דרכים אופניים חשמליים סקירה ותחזית ד"ר שי סופר המדען הראשי משרד התחבורה והבטיחות בדרכים הכנס השנתי של המכון לחקר הגורם האנושי לתאונות דרכים יולי 2015, אוניברסיטת בר אילן רקע שוק הרכב במדינת ישראל ובעיקר בערים

קרא עוד

מבחן חוזר במכניקה 55 א יא יח""ללח פתור 3 מהשאלות 1-5 לכל שאלה 33%. חומר עזר מותר מחשבון ונוסחאון של בגרות. v m sec משך הבחינה 105 דקות. שאלה מספר 1 4

מבחן חוזר במכניקה 55 א יא יחללח פתור 3 מהשאלות 1-5 לכל שאלה 33%. חומר עזר מותר מחשבון ונוסחאון של בגרות. v m sec משך הבחינה 105 דקות. שאלה מספר 1 4 מבחן חוזר במכניקה 55 א יא יח""ללח פתור 3 מהשאלות 1-5 לכל שאלה 33%. חומר עזר מותר מחשבון ונוסחאון של בגרות. v sec משך הבחינה 105 דקות. שאלה מספר 1 4 גוף נע לאורך ציר X כך שברגע. x הוא נמצא 0 t 0-10 16 19

קרא עוד

שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימ

שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימ שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימודי מתמטיקה בשנה א. אין מבחני כניסה לקורסים אלו, אולם

קרא עוד

מרוץ סובב בית שמש , יום שישי 26

מרוץ סובב בית שמש , יום שישי 26 אליפות שוהם ה II- בסייקלו-קרוס מרוץ ראשון בסבב 2017 יום שישי 27.10.2017 מועדון אופניים ת"א,TACC מועצה מקומית שוהם ואיגוד האופניים בישראל שמחים להזמין אתכם למרוץ הראשון של סבב הסייקלו-קרוס בישראל. ביום

קרא עוד

שם המסמך

שם המסמך החברה להגנות ים המלח בע"מ תכנית מס' 565-0254458 - בנית בתי מלון בתוך מי בריכה 5 חוות דעת סביבתית ירושלים - יוני 2016 תוכן העניינים פרק א 1.1 1.2 1.3 1.4 פרק ב 2.1 2.2 2.3 2.4 פרק ג 3.1 3.2 תוכן העניינים...

קרא עוד

<4D F736F F D20F4E9E6E9F7E420FAF8E2E5ED20ECF2E1F8E9FA20E4E2E4E420F1E5F4E9FA20496C616E2E646F63>

<4D F736F F D20F4E9E6E9F7E420FAF8E2E5ED20ECF2E1F8E9FA20E4E2E4E420F1E5F4E9FA20496C616E2E646F63> מתקף ותנע מבוא תרשים 1 כשמפעילים מתקף על גוף כלשהו, התנע שלו משתנה. שינוי התנע שווה למתקף, שהוא השטח מתחת לגרף הכוח כתלות בזמן: Δp = F dt 51 m v m v1 = dt 2 F כאשר F הוא הכוח המופעל על הגוף, p הוא השינוי

קרא עוד

מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יח"ל. פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטרי

מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יחל. פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטרי מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ - 015 הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יח"ל פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטריה האנליטית: ישר, מעגל, אליפסה ופרבולה בראיה מוכללת נושא

קרא עוד

התפלגות נורמלית מחודש

התפלגות נורמלית מחודש התפלגות נורמלית בקובץ זה מופיעות שאלות בנושא התפלגות נורמלית שמחליפות את שאלות המאגר ותוספותיו, הקיימות עד כה שאלות אלה יכולות להיפתר מבלי להמיר את ערכי המשתנה לציוני תקן, ומבלי להשתמש בטבלת ההתפלגות הנורמלית

קרא עוד

Microsoft Word - בעיות הסתברות 1.doc

Microsoft Word - בעיות הסתברות 1.doc תרגול בעיות הסתברות. גולן מטיל פעמים קובייה הוגנת, מה ההסתברות שבכל אחת מהפעמים יקבל תוצאה שונה? () () () הילה קוראת ספר לפני השינה פעמים בשבוע, יוני סופר כבשים לפני השינה פעמים בשבוע, מה הסיכוי שהיום

קרא עוד

תרגיל 5-1

תרגיל 5-1 תרגיל 1 יחסי העדפה, פונקציות תועלת, עקומות אדישות וקווי תקציב כל השאלות להלן מתייחסות לצרכן שהעדפותיו מוגדרות על סלי צריכה של שני מוצרים. העדפות אלה הן רציונאליות (ז"א, מקיימות את תכונות השלמות והטרנזיטיביות).

קרא עוד

תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L

תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L, K סימני יחס חד מקומיים,R לכל אחד מהביטויים הבאים,

קרא עוד

בארץ אחרת

בארץ אחרת בארץ אחרת כתבה טל ניצן איירה כנרת גילדר הוצאת עם עובד בע"מ 3112 על הספר זהו סיפור על ילדה שמגיעה יחד עם הוריה לעיר גדולה בארץ ארץ חדשה. הסיפור כתוב בגוף ראשון ומתאר חוויות ראשונות מן העיר הגדולה: גודלה

קרא עוד

Algorithms Tirgul 1

Algorithms Tirgul 1 - מעגלי אוילר ומסלולי אוילר תרגול 1 חידה: האם אפשר לצייר את הציורים הבאים בלי להרים את העיפרון מהנייר? 1 קצת אדמיניסטרציה אופיר פרידלר ophir.friedler@gmail.com אילן כהן - ilanrcohen@gmail.com שעות קבלה

קרא עוד

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות)

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות) עבודת קיץ לתלמידי כיתה ט' העולים לכיתה י )רמה יחידות( את העבודה יש להגיש למורה למתמטיקה תחילת שנה הבאה. בשבועיים הראשונים של שנת הלימודים יתקיים מבחן לפי העבודה. לעבודה חלקים:. תרגול בסיסי לתלמידי יחידות

קרא עוד

מבדק מס' 1 - חומרים: תכונות, שימושים, שינויים בחומר, היבטים טכנולוגיים

מבדק מס' 1 - חומרים: תכונות, שימושים, שינויים בחומר, היבטים טכנולוגיים משרד החינוך המינהל למדע וטכנולוגיה הפיקוח על הוראת מדע וטכנולוגיה שם התלמיד/ה: כיתה: משימת הערכה מספר 1- כיתה ד נושאים: מערכות ותהליכים ביצורים חיים ומערכות אקולוגיות )בעלי חיים( הנחיות: קראו היטב את השאלות.

קרא עוד

תאריך הבחינה 30

תאריך הבחינה   30 אוניברסיטת בן-גוריון בנגב מדור בחינות 9//8 תאריך הבחינה : ד"ר ס. סמית, דר' דבורה שמות המורים : פרץ, פרופ' גריגורי דרפל מבחן ב: חדו"א ג' --9 מס' הקורס: מיועד לתלמידי: ביולוגיה, כימיה וגאולוגיה ב מועד: א

קרא עוד

Microsoft Word - SDAROT 806 PITRONOT.doc

Microsoft Word - SDAROT 806 PITRONOT.doc 5 יח"ל - תרגילים הכנה לבגרות תרגיל 8 נסמן ב- את האיבר הראשון ונסמן ב- את מנת הסדרה. על פי הנתון מתקיים: 6 ( S6 89 89 0 5 0 5 S0 S5 ( 0 5 0 t t 0 6 (. לפיכך, 89 5 נסמן t ונקבל: 5 t או או או 5 t נפסול את

קרא עוד

עמוד 1 מתוך 5 יוחאי אלדור, סטטיסטיקאי סטטיסטיקה תיאורית + לוחות שכיחות בדידים/רציפים בגדול מקצוע הסטטיסטיקה נחלק ל- 2 תחומים עיקריים- סטט

עמוד 1 מתוך 5 יוחאי אלדור, סטטיסטיקאי סטטיסטיקה תיאורית + לוחות שכיחות בדידים/רציפים בגדול מקצוע הסטטיסטיקה נחלק ל- 2 תחומים עיקריים- סטט עמוד מתוך + לוחות שכיחות בדידים/רציפים בגדול מקצוע הסטטיסטיקה נחלק ל- תחומים עיקריים- וסטטיסטיקה היסקית; בסטטיסטיקה היסקית משערים השערות, משווים בין קבוצות באוכלוסיה ועוד, אך גם מ ניתן ללמוד הרבה על האוכלוסיה-

קרא עוד

תרגול מס' 7 – חזרה על MST ואלגוריתם Dijkstra

תרגול מס' 7 – חזרה על MST ואלגוריתם Dijkstra תרגול מס' 10 תכנון ליניארי תכנון לינארי הינו כלי שימושי במדעי המחשב. בקורס ראינו כיצד ניתן להציג בעיות שונות במסגרת תכנון לינארי. בנוסף, ראינו שימושים לדואליות של תוכניות לינאריות, אשר מקשרת בין בעיות

קרא עוד

עיריית מפקד תכנון אסטרטגי ומחקר אוכלוסין חיפה

עיריית מפקד תכנון אסטרטגי ומחקר אוכלוסין חיפה עיריית מפקד תכנון אסטרטגי ומחקר אוכלוסין - 2008 חיפה הקדמה תוכן עניינים תכנון אסטרטגי ומחקר בעלון זה מוצגים נתונים על העיר חיפה שמבוססים על נתוני מפקד האוכלוסין שנערך על ידי הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה בשנת

קרא עוד

חשבונאות ניהולית שיעור תמחיר ABC תמחיר זה אומר כי בגלל שלאורך השנים יותר משמעותיות מאשר בעבר צריך למדוד אותן בצורה טובה יותר לוקחים את העלוי

חשבונאות ניהולית שיעור תמחיר ABC תמחיר זה אומר כי בגלל שלאורך השנים יותר משמעותיות מאשר בעבר צריך למדוד אותן בצורה טובה יותר לוקחים את העלוי חשבונאות ניהולית שיעור..0 תמחיר ABC תמחיר זה אומר כי בגלל שלאורך השנים יותר משמעותיות מאשר בעבר צריך למדוד אותן בצורה טובה יותר לוקחים את העלויות העקיפות שיש בחברה ו, בגלל סיבות טכנולוגיות, העלויות העקיפות

קרא עוד

" תלמידים מלמדים תלמידים."

 תלמידים מלמדים תלמידים. " תלמידים מלמדים תלמידים." פרוייקט של צוות מתמטיקה, בית ספר כפר-הירוק איך הכל התחיל... הנהלת בית הספר העל-יסודי הכפר הירוק יזמה פרויקט בית ספרי: "למידה ללא מבחנים- הוראה משמעותית", צוות המתמטיקה החליט

קרא עוד

תכנון אלגוריתמים עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 02: , בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 003 מתרגל אחראי: אורי 0

תכנון אלגוריתמים עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 02: , בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 003 מתרגל אחראי: אורי 0 22 עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 2: 622, בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 3 מתרגל אחראי: אורי הוראות כלליות: כל עוד לא נאמר אחרת, כאשר הנכם מתבקשים לתאר אלגוריתם יש לספק את הבאות: תיאור

קרא עוד

הטכניון מכון טכנולוגי לישראל אלגוריתמים 1 )443432( סמסטר חורף הפקולטה למדעי המחשב תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגור

הטכניון מכון טכנולוגי לישראל אלגוריתמים 1 )443432( סמסטר חורף הפקולטה למדעי המחשב תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגור תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגוריתמים לפתרון בעית מסלולים קלים מציאת מסלולים קלים ביותר מצומת ביותר ממקור יחיד. כלומר, V לכל צמתי הגרף. בעיה אחרת הקשורה לבעיה זו היא בעית ה-(

קרא עוד

נושא: צפיפות חומרים

נושא: צפיפות חומרים נושא: צפיפות חומרים רצף מערכי שעורים כיתה ז: נפח מסה משקל וצפיפות מילכה ברקו גרש 3.11.2011 מושגים בסיסיים: נפח ומסה מסה=כמות החומר. מכשיר מדידה: מאזניים. יחידות: ק"ג, גרם, טון. נפח= המקום שהגוף עשוי החומר/ים

קרא עוד

מבחן סוף סמסטר מועד ב 28/10/08 מרצה אחראית: דר שירלי הלוי גינסברג מתרגלים: גלעד קותיאל, גדי אלכסנדרוביץ הוראות: א. בטופס המבחן 6 עמודים (כולל דף זה) ו

מבחן סוף סמסטר מועד ב 28/10/08 מרצה אחראית: דר שירלי הלוי גינסברג מתרגלים: גלעד קותיאל, גדי אלכסנדרוביץ הוראות: א. בטופס המבחן 6 עמודים (כולל דף זה) ו מבחן סוף סמסטר מועד ב 28/10/08 מרצה אחראית: דר שירלי הלוי גינסברג מתרגלים: גלעד קותיאל, גדי אלכסנדרוביץ הוראות: א. בטופס המבחן 6 עמודים (כולל דף זה) ו 4 דפי נוסחאות. בדקו שכל העמודים ברשותכם. ב. משך המבחן

קרא עוד

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות)

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות) עבודת קיץ לתלמידי כיתה ט' העולים לכיתה י )רמה - יחידות( את העבודה יש להגיש למורה למתמטיקה תחילת שנה הבאה. בשבועיים הראשונים של שנת הלימודים יתקיים מבחן לפי העבודה. התייחסות רצינית להכנת העבודה היא תנאי

קרא עוד

SFP6603NRE Dolce Stil Novo תנור פירוליטי 60 ס"מ, זכוכית שחורה +A דרגת אנרגיה EAN13: רכיבים בגימור נחושת פונקציות בישול 10 פונקציות ניקוי

SFP6603NRE Dolce Stil Novo תנור פירוליטי 60 סמ, זכוכית שחורה +A דרגת אנרגיה EAN13: רכיבים בגימור נחושת פונקציות בישול 10 פונקציות ניקוי תנור פירוליטי 60 ס"מ, זכוכית שחורה +A דרגת אנרגיה EAN13: 8017709217440 רכיבים בגימור נחושת פונקציות בישול 10 פונקציות ניקוי: פירוליטי/פירוליטי חסכני מתכונים ניתנים לתכנות 10 תוכניות אפיה אוטומטיות 50 פונקציית

קרא עוד

בחינה מספר 1

בחינה מספר 1 תוכן העניינים בחינה מספר 1 4 אלגברה: 4 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: בחינה מספר 6 אלגברה: 6 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: 7 בחינה מספר 3 8 אלגברה: 8 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: 9 בחינה מספר 41 אלגברה: 01 חשבון

קרא עוד

Microsoft Word - mimun-kraus-test2.doc

Microsoft Word - mimun-kraus-test2.doc ב"ה בוחן במימון מספר קורס: 03-01-911-74 אסור להשתמש בחומר עזר. מותר להשתמש בלוחות ההיוון ובמחשב כיס. יש לענות על כל אחת מהשאלות הבאות. ניקוד זהה לכל השאלות. משך הבוחן שעה וחצי. 1) לקחת הלוואה בסך 10,000

קרא עוד

Microsoft Word - Sol_Moedb10-1-2,4

Microsoft Word - Sol_Moedb10-1-2,4 הפקולטה למתמטיקה - הטכניון חיפה מד''ח - 48 חורף תשע''א - בחינה סופית מועד ב' שאלה : תהי נתונה המד"ח הבאה: u + uu = y א. מצא את העקומים האופייניים של משוואה זו בצורה פרמטרית. ב. פתור את המד"ח הנתונה לעיל

קרא עוד

<4D F736F F D20EEF9E5E5E0E5FA20E3E9F4F8F0F6E9E0ECE9E5FA2E646F63>

<4D F736F F D20EEF9E5E5E0E5FA20E3E9F4F8F0F6E9E0ECE9E5FA2E646F63> משוואות דיפרנציאליות מושגי ייסוד: משוואה המקשרת את גורם הפונקציה עם הפונקציה והנגזרות שלה או הדיפרנציאלים שלה, נקראת "משוואה דיפרנציאלית רגילה" לפתור משוואה דיפרנציאלית פירושו, למצוא את הפונקציה המקיימת

קרא עוד

על נתונייך ירושלים מצב קיים ומגמות שינוי

על נתונייך ירושלים מצב קיים ומגמות שינוי תיירות אורחים ו ירושלים בהשוואה למקומות נבחרים בישראל מאפייני התיירים 99 61% 73% 44% תיירים וישראלים* במלונות בירושלים, 2017-2000 ביקור של תיירים באתרים נבחרים בירושלים*, לפי דת, 2016 הכותל המערבי 16%

קרא עוד

SF4604MCNR Dolce Stil Novo תנור קומפקטי משולב מיקרוגל זכוכית שחורה EAN13: רכיבים בגימור נחושת פונקציות בישול 13 פונקציית ניקוי פירוליטי

SF4604MCNR Dolce Stil Novo תנור קומפקטי משולב מיקרוגל זכוכית שחורה EAN13: רכיבים בגימור נחושת פונקציות בישול 13 פונקציית ניקוי פירוליטי תנור קומפקטי משולב מיקרוגל EAN13: 8017709217853 רכיבים בגימור נחושת פונקציות בישול 13 פונקציית ניקוי פירוליטי באדים מתכונים ניתנים לתכנות 10 תוכניות אפיה אוטומטיות 50 פונקציית הפשרה, התפחה, הפעלת שבת בקרת

קרא עוד

כובע קסמים מאת לאה גולדברג איורים: רינת הופר עיצוב: אבנר גלילי הוצאת ספרית פועלים 2005 על הספר כובע הקסמים הוא התגשמות חלומה של ילדה: חפץ מופלא שימלא

כובע קסמים מאת לאה גולדברג איורים: רינת הופר עיצוב: אבנר גלילי הוצאת ספרית פועלים 2005 על הספר כובע הקסמים הוא התגשמות חלומה של ילדה: חפץ מופלא שימלא כובע קסמים מאת לאה גולדברג איורים: רינת הופר עיצוב: אבנר גלילי הוצאת ספרית פועלים 2005 על הספר כובע הקסמים הוא התגשמות חלומה של ילדה: חפץ מופלא שימלא את משאלות ליבה. בעזרת כובע הקסמים הדמיוני, מגשימה הילדה

קרא עוד

שואב אבק רובוטי XIAOMI דגם - Vacuum Mi Robot מק"ט ספק 8223 תכנון מסלול חכם שאיבה חזקה שליטה חכמה ע"י Wi-Fi מרחוק בעל 21 חיישנים למיפוי מושלם של הבית צ

שואב אבק רובוטי XIAOMI דגם - Vacuum Mi Robot מקט ספק 8223 תכנון מסלול חכם שאיבה חזקה שליטה חכמה עי Wi-Fi מרחוק בעל 21 חיישנים למיפוי מושלם של הבית צ שואב אבק רובוטי XIAOMI דגם - Vacuum Mi Robot מק"ט ספק 8223 תכנון מסלול חכם שאיבה חזקה שליטה חכמה ע"י Wi-Fi מרחוק בעל 21 חיישנים למיפוי מושלם של הבית צפייה במפת הניקיון בזמן אמת סוללה חזקה 5200MAH לזמן

קרא עוד

mivhanim 002 horef 2012

mivhanim 002 horef 2012 מבחן מספר 1 (שאלון 00 חורף תשע"ב) בשאלון זה שש שאלות. תשובה מלאה לשאלה מזכה ב- 5 נקודות. מותר לך לענות, באופן מלא או חלקי, על מספר שאלות כרצונך, אך סך הנקודות שתוכל לצבור לא יעלה על. 100 אלגברה (x+ 5)

קרא עוד

מסע מדע ו - מסע ברכב שטח ביבשות רחוקות

מסע מדע ו - מסע ברכב שטח ביבשות רחוקות הנחיות הורדה ותפעול לספרים דיגיטלים. הוצאת כנרת, זמורה ביתן שמחה להגיש לכם, התלמידים, ספר דיגיטלי. הספרים עצמם הינם בקבצי PDF הניתנים להורדה ללא עלות וללא צורך ברישום לאתר למשתמשי סדרת פשוט חשבון. בספרים:

קרא עוד

Microsoft Word Viewer - Acoustic_Report_ doc

Microsoft Word Viewer - Acoustic_Report_ doc ==================================================== ד"ר יולי קלר בע"מ תכנון אקוסטי ואלקטרו-אקוסטי בקרת רעש, רעידות ואינפרא-אדום ת.ד. 5030 קרית ים 9500 טל. 04-8759875 פקס 04-8760079 רחוב אצ"ל 34/0, חולון

קרא עוד

08-78-(2004)

08-78-(2004) שאלון 00 מיקוד במתמטיקה מהדורת חורף תשס"ט 009 כתיבה: זיקרי אלברט, שמש שלמה - shemesh4@walla.co.il צוות עריכה מקצועית: ריטרבנד אוהד, נאות רז, מן מנחם, דוד ניר, ארביב עמוס, שטולבך אירית, שניידר איתן, כהן

קרא עוד

תוכנית הוראה תשע"א, לפי מרצה

תוכנית הוראה תשעא, לפי מרצה מבנה הלימודים תוכנית לימודים במ"א תשע"ג תוכנית לימודים מחייבת למחזור תשע"ג נא לשמור עד סיום הלימודים קורסי חובה של המגמה חובת בחירה קורסי מחקר )ראה פירוט( )ראה פירוט( )חובה לכולם בשנה ב( שיטות מחקר )88

קרא עוד

1

1 איך לבנות שגרות ניהוליות? מה זה שגרות ניהוליות? פעולות המבוצעות ב קבועה, לצרכי ניהול משימות ואנשים. למה זה חשוב? ניהול עם שגרות קבועות ועקביות מאופיין בסדר, ארגון ושליטה. השגרות מאפשרות למנהל להיות בקיא

קרא עוד

Dia 1

Dia 1 משרד האוצר אגף תקציבים - עיר מודל לתחבורה בת-קיימא אשדוד משלבים לירוק תחבורה חכמה מזניקה עיר 7 במרץ 2013 החזון עיר שתאפשר איכות חיים ונגישות לכלל תושביה ובאיה ותהווה מודל מוצלח לעירוניות מתחדשת בישראל

קרא עוד

Microsoft Word - 14

Microsoft Word - 14 9-5-27-4 - פתרון מבחן מס' 4 (ספר לימוד שאלון 3586) קמ"ש $ y קמ"ש % ppleסמן ב- קמ"ש את מהירות המכוppleית וב- y קמ"ש את מהירות המשאית () $ y 4 המשאית הגיעה ל- B לאחר המפגש עם המכוppleית כלומר ppleקבל את

קרא עוד

Microsoft Word - ExamA_Final_Solution.docx

Microsoft Word - ExamA_Final_Solution.docx סמסטר חורף תשע"א 18 בפבואר 011 הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצה: מתרגלים: רן אל-יניב נועה אלגרבלי, גיא חפץ, נטליה זילברשטיין, דודו ינאי (אחראי) סמסטר חורף תשע" מבחן סופי פתרון (מועד

קרא עוד

אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: נעמה טוויטו, מחמוד שריף מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשע"ב בחינת סיום, מועד א', הנחי

אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: נעמה טוויטו, מחמוד שריף מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשעב בחינת סיום, מועד א', הנחי אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: נעמה טוויטו, מחמוד שריף מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשע"ב בחינת סיום, מועד א', 6.2.2012 הנחיות: 1. משך הבחינה: 120 דקות. 2. היציאה מהכיתה במהלך

קרא עוד

התאחדות מגדלי בקר בישראל ISRAEL CATTLE BREEDER S ASSOCIATION 12 באוגוסט, 2018 דוח מנכ"ל ימי קרב ומתיחות בעוטף עזה מלחמת ההתשה הנערכת ברחבי הדרום כבר מ

התאחדות מגדלי בקר בישראל ISRAEL CATTLE BREEDER S ASSOCIATION 12 באוגוסט, 2018 דוח מנכל ימי קרב ומתיחות בעוטף עזה מלחמת ההתשה הנערכת ברחבי הדרום כבר מ 12 באוגוסט, 2018 דוח מנכ"ל ימי קרב ומתיחות בעוטף עזה מלחמת ההתשה הנערכת ברחבי הדרום כבר מספר חודשים, כולל ימי קרב מורכבים, "תפסה" את המערכות התומכות בענף ברמת מוכנות גבוהה. השיקולים של שמירה על נהלים רגילים

קרא עוד

ע 003 מרץ 10 מועד מיוחד פתרונות עפר

ע 003 מרץ 10 מועד מיוחד פתרונות עפר בגרות ע מרץ 0 מועד מיוחד שאלון 5005. x א. () יש למצוא את הערך של m שעבורו גרף + ) mx f ( x) mm ( 6) x + ( כאשר נציב m או 6 m נקבל 0 0 ונקבל פונקציה עולה ובהתאם הישר לא מקביל לציר ה - הוא ישר המקביל לציר

קרא עוד

מדיניות אכיפה הועדה המקומית לתכנון ובניה מצפה רמון צוות הועדה: יו"ר הועדה וראש המועצה: מר רוני מרום מהנדס הועדה: מר גלעד חזן יועמ"ש הועדה: עו"ד חן אבי

מדיניות אכיפה הועדה המקומית לתכנון ובניה מצפה רמון צוות הועדה: יור הועדה וראש המועצה: מר רוני מרום מהנדס הועדה: מר גלעד חזן יועמש הועדה: עוד חן אבי מדיניות אכיפה הועדה המקומית לתכנון ובניה מצפה רמון צוות הועדה: יו"ר הועדה וראש המועצה: מר רוני מרום מהנדס הועדה: מר גלעד חזן יועמ"ש הועדה: עו"ד חן אביטן מפקח בניה: מר דימיטרי חנוכייב נכתב בסיוע גבי בנדרסקי

קרא עוד

שקופית 1

שקופית 1 שלומית לויט "עץ החשיבה" שלמה יונה- העמותה לחינוך מתמטי לכל מציגים: "ימין ושמאל- לומדים חשבון" 4 מקורות קושי להתמצאות במרחב אצל ילדים תפיסה אפיזודית התנהגות ייצוגית מוגבלת. היעדר מושגים ומונחים. אגוצנטריות.

קרא עוד

תוצאות סופיות מבחן אלק' פיקוד ובקרה קיץ 2014

תוצאות סופיות מבחן  אלק' פיקוד ובקרה קיץ  2014 תוצאות סופיות למערכות אלק' פיקוד ובקרה להנדסאים וטכנאים מועד קיץ תשע"ד 7/2014 פותר המבחן: מתי דוד למרות מאמצי לפתור נכון, יתכן ונפלו טעויות בפתרון, אשמח לקבל הערותיכם בדוא"ל : @hotmail.com ההצלחה שלי היא

קרא עוד

לדרך... מה נלמד? תרגילים חיבור מספרים מכוונים נלמד את כללי החיבור של מספרים מכוונים. )תשובות לתרגילים בפרק זה-בעמ' (.Ⅰ

לדרך... מה נלמד? תרגילים חיבור מספרים מכוונים נלמד את כללי החיבור של מספרים מכוונים. )תשובות לתרגילים בפרק זה-בעמ' (.Ⅰ -28- לדרך... מה נלמד? תרגילים חיבור מספרים מכוונים נלמד את כללי החיבור של מספרים מכוונים. )תשובות לתרגילים בפרק זה-בעמ' 107-105(.Ⅰ 5 656 הסבר נדב יצא מביתו )נקודה (, צעד 5 ק"מ לכיוון מזרח, והגיע למסעדה

קרא עוד

<4D F736F F D20FAF8E2E5EC20E0ECE2E1F8E420EEF2E5F8E D F9E0ECE5FA2E646F63>

<4D F736F F D20FAF8E2E5EC20E0ECE2E1F8E420EEF2E5F8E D F9E0ECE5FA2E646F63> < 0 a b b a > 0 נתון: מכאן ניתן לומר בוודאות כי -. a < b ab < 0 a 0 b > לא ניתן לקבוע בוודאות.. ( 0)?. לא ניתן לדעת. + ( + ) ( ) + + נתון: כמה ערכי שונים מקיימים את המשוואה?. אינסוף 0 +. תשובות ו נכונות

קרא עוד

Slide 1

Slide 1 1 התחדשות עירונית מתחם שלמה המלך, יולי 2013 2 צוות התכנון : תכנון נוף נספח הצללה כבישים אדריכל אבינעם לוין אדריכלית נטליה אלפימוב אדריכלית טל לוין אדריכל משה אוחנה : רינה קרוגליאק, אדריכלית נוף : לשם -

קרא עוד

דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n 1. y' n x n, y הנגזרת x.1 נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- (. x א. נחסר אחד מהחזקה. ב

דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n 1. y' n x n, y הנגזרת x.1 נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- (. x א. נחסר אחד מהחזקה. ב דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n n n, y הנגזרת נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- ( א נחסר אחד מהחזקה ב 7 y כאשר גוזרים כופלים בחזקה, 7 כלומר נרשום אותה משמאל ל-, ובחזקה של

קרא עוד

דיודה פולטת אור ניהול רכש קניינות ולוגיסטיקה

דיודה פולטת אור ניהול רכש קניינות ולוגיסטיקה דיודה פולטת אור ניהול רכש קניינות ולוגיסטיקה מחזור 64 שירה עזרא דיודה פולטת אור דיודה הינו רכיב אלקטרוני בעל שני חיבורים הפועלים כחד כיווני ומאפשר מעבר זרם חשמלי בכיוון אחד בלבד. ניתן לבצע שינוים בגוון

קרא עוד