מתמטיקה לכיתה ח פונקציה קווית חלק ב מערכות משוואות הרחבה

תמליל

1 מתמטיקה לכיתה ח פונקציה קווית חלק ב מערכות משוואות הרחבה

2 צוות המתמטיקה במטח: ראש תחום מתמטיקה: ד"ר שרה הרשקוביץ מנהלת צוות פיתוח מתמטיקה לבית הספר העל יסודי: ד"ר בבה שטרנברג צוות הפיתוח: רגינה אובודנקו, ד"ר אלכס אוליצין, אסנת אפרת, ד"ר אילנה ארנון, ד"ר שושנה גלעד, ד"ר מורין הוך, ד"ר ילנה זריא, הלית חפר, דורית כהן, טובי מגדל, רותי מירון, ד"ר איבי מכמנדרוב, ילנה נפתלייב, ד"ר מיכל סוקניק, ענת פלדמן, אנטולי קורופטוב, הגר רובינק. קרא והעיר: ע פר ילין עריכה לשונית: חוה בן זקן, מיכל פרנקל, יעל רגב עריכת מגדר: דליה בסון צוות גרפיקה: שירה בכר, איילת גוטרמן, לאה גלס, ישי יגיל ריכוז הפעלה: ד"ר אלכס אוליצין מזכירות הצוות: לילך רון, סוהא חג' יחיא עיצוב גרפי: ביצועים עיבודי מחשב בע"מ הבאה לדפוס: גדי נחמיאס הוצאה לאור: המרכז לטכנולוגיה חינוכית הודפס בשנת 2008 תודתנו נתונה לבתי הספר שהשתתפו בניסוי הסדרה: "אהבת ישראל - בנים" - ירושלים, "חט"ב אלון" - רעננה, "אמירים" - כפר ורדים, "מקיף אפרים קציר" - חולון, "מקיף שחר מעין" - עין החורש, "עירוני משה שרת" - נתניה. כל הזכויות שמורות למטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית קריית משה רואו, רח קלאוזנר 6 תל אביב, ת ד 3953, מיקוד 6394 צוות המתמטיקה - טל , דוא ל,math@cet.ac.il אתר באינטרנט מוקד תמיכה טלפוני של מטח בשעות 8:00-8:00 המספק תמיכה מקצועית: זכויות הקניין הרוחני, לרבות זכויות היוצרים והזכות המוסרית של היוצר/ים בחוברת זו מוגנות. אין לשכפל, להעתיק, לסכם, לצלם, להקליט, לתרגם, לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, אופטי, מכני או אחר, כל חלק שהוא מחוברת זו. כמו כן, אין לעשות שימוש מסחרי כלשהו בחוברת זו, בכולה או בחלקים ממנה, אלא אך ורק לאחר קבלת רשות מפורשת בכתב ממטח והמרכז לטכנולוגיה חינוכית(.

3 תוכן העניינים פונקציה קווית - חלק ב א. שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות ב. מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית ג. השתנות בקצב קבוע ד. פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות מחשבים ולא רק... ה. תרגול נוסף מערכות משוואות א. משוואה עם שני משתנים ב. מערכת של שתי משוואות עם שני משתנים ג. שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות ה. פתרון בעיות מילוליות בעזרת מערכת משוואות 9 95 תשובות עיקר הדברים סמלים לציון פעילויות מסוגים שונים: חיזוק, הרחבה, אתגר, דיון

4 פונקציה קווית - חלק ב א. שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות מה נלמד? מציאת שיפוע של פונקציה קווית על פי שתי נקודות על גרף הפונקציה א 2 3 פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות לפניכם גרף של הפונקציה הקווית.f() בגרף מצוירות שלוש מדרגות, וליד כל מדרגה מצוין הרוחב שלה. ליד המדרגה האמצעית מצוין גם הגובה שלה. א. האם לדעתכם אפשר לדעת מהם הגבהים של שתי המדרגות האחרות? ב. מהו שיפוע הפונקציה?f() 2 מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית על פי המדרגה הנתונה: ב בניסוי שערכו במעבדה חיממו נוזל בקצב קבוע. פעמיים במהלך הניסוי נמדדה הטמפרטורה של הנוזל. ענו על פי הנתונים בגרף: א. באיזה קצב חיממו את המים? הסבירו. ב. מה הייתה טמפרטורת הנוזל כעבור 9 דקות מתחילת הניסוי? ג. מה הייתה טמפרטורת הנוזל כשהתחילו לחמם אותו? ד. מהו שיפוע הפונקציה המתארת את השתנות הטמפרטורה של הנוזל כתלות בזמן שעבר מתחילת הניסוי? זמן שעבר מתחילת הניסוי )בדקות( טמפרטורה )במעלות צלזיוס( )0, 4( )7, 55( 4 6 f() 4

5 דוגמה ג 4 בכל סעיף, מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית על פי שתי הנקודות הנתונות על הגרף שלה. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות M(2, 7) K(, 2) כיצד נמצא שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות הנמצאות על הגרף שלה? כדי למצוא את השיפוע של פונקציה קווית, יש למצוא את הגובה של מדרגה שרוחבה. ננסה למצוא שיפוע של פונקציה קווית שהגרף שלה עובר דרך הנקודות: D(3, -8) ב R(0, 4) P(6, 7) N(-3, 2) A(2, ) B(5, -8) תחילה נסמן בסרטוט את שתי הנקודות ואת המדרגה הנוצרת ביניהן. רוחב המדרגה בין A ל B הוא,3 כי = 3 2 ; 5 - גובה המדרגה בין A ל B הוא -9, כי -9 = -8 - ; כדי למצוא את השיפוע ניצור מדרגה שרוחבה. לשם כך נסרטט במקום המדרגה הגדולה 3 מדרגות שרוחבן. )הסבירו למה דווקא 3 מדרגות.( הגובה של מדרגה שרוחבה הוא 3-, כי 3- = לכן השיפוע של הפונקציה הוא 3-. *** גם ללא סרטוט אפשר לחשב את שיפוע הפונקציה הקווית f() על פי שתי הנקודות (,2)A ו ( 8 -,5)B. נארגן את הנקודות בטבלה כך ששיעורי ה יופיעו בסדר עולה, וכך נוכל לחשב את רוחב 3 f() A(2, ) 2 5 f() B(5, -8) המדרגה ואת גובהה: השיפוע של הפונקציה f() 3- = 3 גובה המדרגה בין A ל B רוחב המדרגה בין A ל B א 5

6 5 בכל סעיף: חשבו את רוחב המדרגה ואת גובהה. מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית. רשמו ייצוג אלגברי של הפונקציה. טבלת ערכים גרף של f(), נקודות על פי הטבלה והמדרגות ביניהן שיפוע הפונקציה הקווית ייצוג אלגברי של הפונקציה הקווית א. f() (?,?) 8-3 (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) f() f() f() פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות ב. ג. ד. 6

7 6 לשלוש בריכות התחילו להזרים מים באותה השעה. המים הוזרמו בקצב קבוע, עד שהבריכות התמלאו. הטבלאות שלפניכם מתארות את כמות המים בבריכות במשך זמן המילוי. f(t) כמות המים )מ"ק( t הזמן שעבר מתחילת המילוי )בשעות( g(t) כמות המים )מ"ק( t הזמן שעבר מתחילת המילוי )בשעות( (t) כמות המים )מ"ק( בריכה t הזמן שעבר מתחילת המילוי )בשעות( בריכה בריכה 3 6 א. האם הפונקציות,f(t) g(t) ו ) )t הן פונקציות קוויות? הסבירו. ב. מהו קצב הזרמת המים לכל בריכה? ג. מצאו את הערכים החסרים בטבלאות. הסבירו איך מצאתם. ד. מה הייתה כמות המים בכל אחת מהבריכות ברגע שהתחילו למלא אותה? ה. רשמו ייצוגים אלגבריים של הפונקציות,f(t) g(t) ו ( (t. 7 גרף של פונקציה קווית עובר דרך שתי הנקודות )2-,0( ו ) 0,7-(. א. מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית. ב. רשמו ייצוג אלגברי לפונקציה הקווית. 8 גרף הפונקציה הקווית שלפניכם מתאר את השכר השבועי של אמיר כתלות במספר השעות השבועיות שהוא עובד. הנקודות בגרף מתארות את שעות העבודה השבועיות והשכר השבועי של אמיר במקרה שיעבוד 0 שעות בשבוע ובמקרה שיעבוד 20 שעות בשבוע. כמה כסף משתכר אמיר בשעה? 9 מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית m() על פי טבלת הערכים שלה: 0 מצאו את הערכים החסרים בטבלת הערכים של הפונקציה הקווית,h() אם ידוע שהשיפוע שלה הוא 3. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות )0, 75( )20, 350( שעות עבודה שבועיות m() -3-5 h() 5 שכר שבועי )בש"ח( 7

8 בתחנת דלק משלמים תוספת קבועה עבור השירות בלילה בנוסף למחיר לכל ליטר דלק. המחיר ל 0 ל' בלילה הוא ; 55 המחיר ל 5 ל' בלילה הוא. 80 א. הפונקציה f() מתארת את מחיר התדלוק בלילה כתלות בכמות הדלק שנקנתה. מצאו את השיפוע של,f() והסבירו את משמעותו בסיפור. ב. חשבו את שיעורי הנקודה K שבסרטוט והסבירו מה משמעותם בסיפור. מחיר התדלוק )בש ח( K כמות הדלק )בליטרים( f() פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות חיזוק 2 חברי מועדון שחייה משלמים בתחילת הקיץ סכום קבוע תמורת ההצטרפות למועדון, ולאחר מכן הם משלמים על כל כניסה לבריכת המועדון מחיר מוזל. בסרטוט שלפניכם מוצג גרף הפוקציה,f() המתארת את המחיר הכולל שמשלם חבר מועדון במשך העונה כתלות במספר הפעמים שהגיע לבריכה. א. מה המשמעות של שיעורי הנקודות B A, ו K בסיפור? ב. מהו המחיר של כל כניסה לבריכה לחברי המועדון? ג. מהו מחיר ההצטרפות למועדון? 3 חברות להשכרת רכב גובות סכום התחלתי כדמי טיפול, וסכום קבוע נוסף לכל קילומטר שהרכב נוסע. הפונקציות הבאות מתארות את השתנות מחיר השכירות של רכב בחברות שונות כתלות במספר הקילומטרים שנוסעים ברכב. g() ש ח חברה א ק מ חברה ב f() = א. מה המחיר לכל קילומטר ומהו הסכום ההתחלתי בכל אחת מהחברות? ב. הסבירו באיזו חברה כדאי לשכור רכב בהתאם למרחק הנסיעה המתוכנן. 4 מצאו את שיפועי הפונקציות הקוויות: הפונקציה f() g() k() h() m() s() חברה ג m() 20 מספר הביקורים בבריכה שתי נקודות על גרף הפונקציה (0,) (-3, 4) (-2,) (-3, 4) (4, 8) (0, -2) (, -8) (3, -9) (-, -5) (, ) (2, -2) (4, -2) המחיר הכולל לעונה )בש"ח( K f() A B )30, 300( )22, 260( 8

9 5 גרף הפונקציה הקווית f() עובר דרך שתי הנקודות )-,0( ו ) -,5(. גרף הפונקציה הקווית g() עובר דרך שתי הנקודות )7-,-( ו ) -,5(. א. איזו מבין שתי הפונקציות עולה, ואיזו יורדת? הסבירו. ב. מצאו את השיפוע של כל אחת מהפונקציות. ג. הנקודה )?, 3( נמצאת על גרף הפונקציה.f() מצאו את הערך החסר. ד. הנקודה (6-,?) נמצאת על גרף הפונקציה.g() מצאו את הערך החסר. 6 נתונים גרפים של שלוש פונקציות קוויות. א. מצאו לכל פונקציה את השיפוע שלה, ורשמו ייצוג אלגברי של הפונקציה. ב. סרטטו סקיצות של שלוש הפונקציות האלה במערכת צירים אחת. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות h() r() g() 7 בשעה 8:00 בבוקר יצא חיים במשאיתו מנמל אילת ונסע עד קריית שמונה )מרחק של 600 ק"מ(. באותה שעה יצא יניב במשאיתו מקריית שמונה לאילת. שני הנהגים נסעו לאורך אותו הכביש. לפניכם גרפים המתארים את מרחקו של כל אחד מהנהגים מאילת לאורך הכביש כתלות בזמן שעבר מהשעה 8:00 בבוקר. א. התאימו בין הגרפים לנהגים. ב. מהי מהירות הנסיעה של חיים? מהי מהירות הנסיעה של יניב? ג. האם המשאיות נפגשו זו עם זו במהלך הנסיעה? אם כן - מתי, ובאיזה מרחק מאילת? ד. רשמו ייצוג אלגברי לכל אחת מהפונקציות והיעזרו בו כדי לענות על השאלות הבאות: באיזו שעה הגיע כל נהג ליעדו? 2 מה היה המרחק בין שתי המשאיות בשעה 9:20 בבוקר? 3 באיזה מרחק מאילת נמצא חיים כאשר יניב הגיע לאילת? 4 באיזו שעה היה המרחק בין חיים ליניב 50 ק"מ? זמן שעבר מהשעה 8:00 )בשעות( מרחק מאילת לאורך הכביש )בק מ( 600 f(t) )4, 240( g(t) 9

10 8 דן ונטע גרים בבניין אחד, הנמצא במרחק 270 ק"מ מים המלח. הם החליטו לצאת לים המלח, כל אחד ברכבו, ולנסוע באותה הדרך. דן יצא לדרך בשעה 8:00 בבוקר, ונטע בשעה 0:00 בבוקר. נסו לענות על השאלות, בהנחה שגם דן וגם נטע נסעו במהירות קבועה לאורך כל הדרך. אפשר להיעזר בגרף, בטבלת ערכים או בייצוג אלגברי של פונקציות. א. אם עד שעה :30 עברה נטע מרחק של 8 ק"מ, ודן עבר מרחק של 89 ק"מ - האם הם כבר נפגשו בדרכם לים המלח? ואם לא - האם הם ייפגשו בדרך? הסבירו. ב. אם עד שעה :30 עברה נטע מרחק של 90 ק"מ ודן עבר מרחק של 89 ק"מ - האם הם כבר נפגשו בדרכם? האם ייפגשו בהמשך הנסיעה? הסבירו. ג. אם בשעה :30 נטע עברה מרחק של 35 ק"מ ודן עבר מרחק של 89 ק"מ - האם הם כבר נפגשו בדרכם? האם ייפגשו בהמשך הדרך? הסבירו. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות הרחבה הרחבה 9 חשבון מים חודשי כולל תשלום קבוע וכן תשלום עבור צריכה שוטפת: על כל מ ק מים משלמים. 4 בחודש ינואר צרכה משפחת רז 6 מ ק מים. היא שילמה תמורתם. 3 א. מהו התשלום הקבוע שמשלמים בכל חודש? ב. כתבו ביטוי של פונקציה המתארת את התשלום כתלות בכמות המים שנצרכה. ג. צריכת מים רגילה היא צריכה של עד 8 מ ק מים בחודש. צריכה גבוהה יותר מוגדרת צריכה חריגה. בחודש פברואר שילמה משפחת רז חשבון מים על סך. 48 האם הצריכה של משפחת רז בחודש זה הייתה רגילה או חריגה? 20 בטיול הקרוב מתכננים חברי חוג סיור ללכת לאורך מסלול בשמורת טבע, ולעצור לפיקניק ליד המעיין שבלב השמורה. כדי לקבוע את לוח הזמנים של הטיול, ערכו שניים ממתכנני הטיול סיור מקדים בשמורה, והציעו תכנית לטיול כמתואר בגרף. א. מה ניתן ללמוד מהגרף על לוח הזמנים, על המרחקים ועל מהירות ההליכה המתוכננים בקטעים השונים של הדרך? ב. לחברים אחרים בוועדת התכנון היו השגות על התכנית המוצעת. הנה השינויים שהם ביקשו לערוך בתכנית: אורית: "הזמן שהוקצה לאוכל ומנוחה אינו מספיק לדעתי. אני מציעה לעצור לשעתיים." בני: "אני מציע שבחלק הראשון של הטיול, עד המעיין, כאשר אנחנו רעננים - נלך בקצב של 6 קמ"ש; ובחלק השני, כאשר החום בשיאו, נאט ונלך בקצב של 3 קמ"ש." גלית: "אני חושבת שחשוב שהטיול לא יימשך יותר משש שעות, כמו בתכנון המקורי." הציעו תכניות לטיול אשר ישלבו את הבקשות של שניים מהחברים. 2 האם תוכלו להציע תכנית לטיול אשר תשלב את כל שלוש הבקשות? זמן )בשעות( )3,2( )6,8( )4,2( 3 לכל אחת מההצעות סרטטו גרף מתאים, ותארו במילים את הזמן, את אורך קטעי המסלול השונים ואת מהירות ההליכה בחלקים השונים של הטיול לפי אותה הצעה. אורך הדרך )בק"מ( 0

11 2 מדינה מפותחת מתאפיינת ברמת חיים גבוהה וברמה טובה של השכלה וטכנולוגיה. מדינה פחות מפותחת מתאפיינת ברמת חיים נמוכה, ברמת תשתיות ירודה וברמת טכנולוגיה נמוכה. א. תנו דוגמה למדינה שלדעתכם היא מדינה מפותחת, ודוגמה למדינה שלדעתכם היא פחות מפותחת. ב. לאיזו משתי הקבוצות - המדינות המפותחות או המדינות הפחות מפותחות - שייכת ישראל לדעתכם? ג. בשנת 950 חיו במדינות הפחות מפותחות כ 2,500 מיליונים של בני אדם. בשנת 990 חיו בהן כ 6,500 מיליון בני אדם. כתבו את המספרים האלה בעזרת ספרות, בלי שימוש במילים. ד. לפניכם הייצוג הגרפי של הפונקציה g() המתארת )בערך( את גידול האוכלוסייה במדינות הפחות מפותחות כתלות במספר השנים שעברו משנת 950. מצאו את שיפוע הפונקציה.g() 2 רשמו ייצוג אלגברי לפונקציה שיכולה להתאים לגרף. 3 אם גידול האוכלוסייה במדינות הפחות מפותחות יימשך באותו קצב, באיזו שנה בערך יהיו במדינות אלו 0 מיליארד בני אדם? ה. לפניכם ייצוג גרפי של הפונקציה k() המתארת )בערך( את גודל האוכלוסייה משימות לסיכום ג 22 בכל סעיף נתון ייצוג גרפי של פונקציה קווית. מצאו את השיפוע של כל אחת מהפונקציות. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות M(4, 9) A(-2, 6) B(4, -6) ב P(0, ) R(2, 3) N(-4, 3) תזכורת: מיליארד הוא 000 מיליונים, כלומר, מיליארד הוא המספר.,000,000,000 מספר בני האדם במיליארדים מספר השנים 60 שעברו מ 950 g() מספר בני האדם במיליארדים במדינות המפותחות כתלות במספר השנים שעברו משנת 950. מה אפשר ללמוד מהגרף על גידול האוכלוסייה במדינות אלו? 3 2 כתבו ייצוג אלגברי שיכול להתאים לפונקציה.k() 2 k() מספר השנים 60 שעברו מ 950 א

12 23 נתונות טבלות ערכים של 4 פונקציות: f() g() h() p() א. אילו מהטבלאות יכולות לתאר פונקציה קווית? ב. בכל טבלה שציינתם בסעיף א מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית המתאימה. ג. האם בין הפונקציות הקוויות מצאתם כאלה שהגרפים שלהן מקבילים זה לזה? הסבירו. ד. האם בין הפונקציות הקוויות מצאתם כאלה שהגרפים שלהן מתלכדים זה עם זה? הסבירו. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות 24 לפניכם גרף של הפונקציה הקווית.h() א. כתבו ביטוי לפונקציה.h() ב. כתבו דוגמה לביטוי של פונקציה g() שהגרף שלה מקביל לגרף של.h() 25 א. כיצד אפשר לדעת על פי מדרגה נתונה של פונקציה קווית אם הפונקציה עולה או יורדת? ב. כיצד אפשר לדעת על פי השיפוע של פונקציה אם הפונקציה עולה או יורדת? למתעניינים: צוללים במים, ממריאים באוויר 26 כאשר צוללים במים מרגישים לחץ באוזניים. הלחץ הזה נמדד ביחידה הנקראת אטמוספרה )אטמ'(. הלחץ הזה גדל ככל שמעמיקים במים, כמפורט בטבלה: א. תכננו מערכת צירים שתתאים לתיאור המידע בטבלה, וסמנו בה את הנקודות ששיעוריהן מופיעים בטבלה. איזה משתנה בחרתם בתור משתנה בלתי תלוי? ב. האם אפשר להעביר קו ישר דרך כל הנקודות שסימנתם? האם תוכלו לענות על השאלה מבלי לבדוק בגרף? ג. דג פלמידה נמצא בעומק 3.5 מטרים. האם נוכל לדעת את עוצמת הלחץ שהדג נתון בו? הסבירו. ד. רופאת הצלילה של שירה הזהירה אותה להימנע מלחץ שעולה על.2 אטמוספרות. האם תוכלו להדריך את שירה עד לאיזה עומק היא רשאית לצלול? ה. צוללת תוכננה כך שתוכל לעמוד בלחץ של 50 אטמוספרות. האם תוכלו להדריך את הצוות עד לאיזה עומק הצוללת יכולה לצלול? לחץ )באטמוספרות( A(0, ) h() B(5, 6) עומק )במטרים(

13 27 כאשר ממריאים במטוס, או אפילו כשנוסעים ממישור החוף לירושלים - מרגישים באוזניים תת לחץ )לחץ נמוך מ אטמ'(. ככל שמגביהים מעל פני הים הלחץ יורד )ותחושת התת לחץ מתגברת(, כמפורט בטבלה: א. הפונקציה p(h) מבטאת את הלחץ p כתלות בגובה h. האם p(h) היא פונקציה קווית? הסבירו. ב. רופא הצניחה של חיים הזהיר אותו להימנע מלחץ נמוך מ 0.6 אטמ'. האם יוכל חיים לצנוח מגובה 5,800 מ'? הסבירו. לחץ )אטמ'( גובה מעל פני הים )מ'( משימות נוספות 28 בכל סעיף: א ב ג חשבו את רוחב המדרגה ואת גובהה. מצאו את שיפוע הפונקציה הקווית. רשמו ייצוג אלגברי של הפונקציה. טבלת ערכים של פונקציה קווית גרף של f(), נקודות על פי הטבלה והמדרגות ביניהן שיפוע הפונקציה הקווית ייצוג אלגברי של הפונקציה הקווית פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) f() f() f() 4-2 3

14 3 5 9 f() 8 h() k() השיפוע של כל אחת מהפונקציות,f() h() ו ( k( שווה 29 4 לשיפוע הפונקציה.g() = א. השלימו את הערכים החסרים בטבלת הערכים של כל אחת מהפונקציות. ב. אילו מן הגרפים של שלוש הפונקציות מקבילים לגרף הפונקציה g() ואילו מתלכדים א תו? נסו לענות בלי לסרטט את הגרפים, והסבירו באילו ייצוגים נעזרתם בתשובתכם, וכיצד. ג. סרטטו את הגרפים של,f() h() ו ( k(, ובדקו את תשובותיכם בסעיף ב. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( שיפוע של פונקציה קווית לפי שתי נקודות הרחבה הרחבה 30 בשעה 6:00 בבוקר יצאה מכונית פרטית מנמל חיפה לאילת )מרחק של 480 ק"מ לאורך הכביש(. באותה שעה יצאה משאית מתל אביב, ונסעה לאילת לאורך אותו הכביש )מרחק של 390 ק"מ לאורך הכביש(. באיור מוצגים גרפים המתארים את מרחקיהם של שני כלי הרכב מאילת )לאורך הכביש( במהלך הנסיעה. א. התאימו גרף לכל כלי רכב. ב. מהי מהירות הנסיעה של המכונית הפרטית? מהי מהירות הנסיעה של המשאית? ג. האם שני כלי הרכב נפגשו בדרך? אם כן - מתי, ובאיזה מרחק מאילת? ד. באיזו שעה הגיע כל אחד מכלי הרכב לאילת? ה. מה היה המרחק בין שני כלי הרכב בשעה 8:00 בבוקר? ו. כאשר המכונית הפרטית הגיעה לאילת - באיזה מרחק מאילת נמצאה המשאית? ז. כתבו ייצוג אלגברי לכל אחת מהפונקציות הקוויות המיוצגות בסרטוט. ח. ענו שנית על סעיפים ה-ו בעזרת הייצוג האלגברי שרשמתם. 3 מכונית נסעה מצפון דרומה לאורך כביש העובר דרך חיפה. כעבור 2 שעות מיציאתה הייתה המכונית במרחק 200 ק מ מדרום לחיפה. כעבור 5 שעות מיציאתה הייתה המכונית במרחק 40 ק מ מדרום לחיפה. הניחו שהמכונית נוסעת במהירות קבועה. א. מה הייתה מהירות הנסיעה של המכונית? ב. האם לדעתכם המכונית יצאה מחיפה? אם לא - האם מקום היציאה שלה נמצא מדרום לחיפה, או מצפון לה? 32 אוטובוס יצא מבאר שבע ונסע במהירות קבועה של 60 קמ ש. בשעה 0:00 היה האוטובוס במרחק 320 ק מ מבאר שבע. האם ייתכן שהאוטובוס יצא מבאר שבע בשעה 7:30 בבוקר? אם כן - הסבירו. אם לא - מצאו את שעת היציאה של האוטובוס מבאר שבע. זמן שעבר מהשעה 6:00 בבוקר )בשעות( מרחק מאילת 480 )בק מ( 390 )4.5, 20( 4

15 ב. מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית מה נלמד? מציאת ייצוג אלגברי לפונקציה קווית על פי השיפוע שלה ונקודה הנמצאת על גרף הפונקציה מציאת ייצוג אלגברי לפונקציה קווית על פי שתי נקודות הנמצאות על גרף הפונקציה. דיון בכל סעיף קבעו אם הנתונים המפורטים מתארים פונקציה קווית יחידה, או שהם מתארים יותר מפונקציה אחת, או שהם אינם מתארים שום פונקציה קווית. הסבירו את התשובה ותנו דוגמאות. דיון א. הנקודה )7,3( נמצאת על גרף הפונקציה. ב. שיפוע הפונקציה הוא. 2.5 ג. הנקודה )3,-( נמצאת על גרף הפונקציה, ושיפוע הפונקציה הוא. 4 ד. הנקודות ),0( ו ) 4,( נמצאות על גרף הפונקציה. ה. הנקודות )5-,2( ו ) 7 -,4( נמצאות על גרף הפונקציה. ו. הנקודות ),(, )2,2( ו ) 7,3( נמצאות על גרף הפונקציה. ז. הנקודות )3,(, )5,2( ו ) 9,4( נמצאות על גרף הפונקציה. מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית על פי נקודה ושיפוע 2 לבריכה לא ריקה הזרימו מים בקצב קבוע של 2 מ"ק לשעה. כעבור 3 שעות מפתיחת הברז הראה מד הכמות 9 מ"ק. f() היא פונקציה המתארת את כמות המים בבריכה כתלות בזמן שעבר מתחילת המילוי. א. האם f() היא פונקציה קווית? הסבירו. ב. מהו השיפוע של?f() ג. נסו לרשום ייצוג אלגברי לפונקציה.f() g() 3 היא פונקציה קווית שהשיפוע שלה הוא 3, והגרף שלה עובר דרך הנקודה )7,5(. נסו לרשום ייצוג אלגברי של הפונקציה.f() פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 5

16 כיצד נמצא ייצוג אלגברי לפונקציה קווית לפי השיפוע שלה ונקודה על גרף הפונקציה? כאשר נתונה נקודה הנמצאת על הגרף של פונקציה קווית, וידוע שיפוע הפונקציה - אפשר למצוא את ערכי a ו b ולרשום ייצוג אלגברי לפונקציה בצורה. f() = a + b דוגמה נמצא ייצוג אלגברי לפונקציה קווית,f() שהשיפוע שלה הוא 2 והגרף שלה עובר דרך הנקודה (5-,3)A: 2 = a, כיוון שנתון ששיפוע הפונקציה הקווית הוא. 2 אם כך,.f() = 2 + b כדי לחשב את b ניעזר בנקודה הנתונה (5-,3)A. מאחר שהנקודה נמצאת על גרף הפונקציה, חייב להתקיים התנאי -5 =,f(3) כלומר -5 = b. f(3) = נפתור את המשוואה -5 = b )פתרו!( ונקבל - =.b עתה ניתן לרשום את הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית שחיפשנו: - 2. f() = כתבו בכל סעיף ייצוג אלגברי של פונקציה קווית לפי הנתונים. 4 ייצוג אלגברי של הפונקציה נקודה על גרף הפונקציה שיפוע הפונקציה הקווית (2, 5) -2 א (-, 3) 5 ב (-2, -4) 0 ג (0, 5) -0.3 ד (2, 0) ה 4 (0, 0) -7 ו ( 3, 2) -6 ז 5 במחברת של אסנת היו רשומים ייצוג אלגברי של פונקציה קווית בצורה,f() = a + b f() = 2 + וטבלת ערכים של הפונקציה; אבל על המחברת נשפך דיו. f() האם תוכלו לעזור לאסנת לשחזר את הייצוג האלגברי של הפונקציה?f() הסבירו. 2 7 בכל סעיף נתונות נקודה ומדרגה. רשמו ייצוג אלגברי לפונקציה קווית שהנקודה הנתונה נמצאת על הגרף שלה, 6 והמדרגה הנתונה מתארת את קצב ההשתנות שלה. 5) (0, א 3) (2, ב 7) (-2, ג -4) (.5, ד פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 6

17 7 רשמו ייצוג אלגברי לכל אחת מהפונקציות הקוויות הנתונות בייצוג גרפי: r() ה ג א h() g() h() r() ו ד ב g() פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 8 שיפוע הפונקציה הקווית f() הוא 2-, וגרף הפונקציה עובר דרך הנקודה )4,-(. א. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה.f() ב. מצאו ייצוג אלגברי לפונקציה קווית,g() שהגרף שלה עובר דרך הנקודה )3-,2-( ומקביל לגרף של.f() 9 בכל סעיף, שתיים מבין הנקודות הנתונות נמצאות על גרף הפונקציה,f() והשלישית לא. מצאו בכל סעיף את הנקודה שאיננה על גרף הפונקציה, ורשמו ייצוג אלגברי של פונקציה חדשה,g() שהגרף שלה עובר דרך נקודה זו ומקביל לגרף של.f() א M(2, 5) K(, 5) P(0.2, 6.6) f() = ב C(2, -3) B(, -5) A(0.2, 6.5) f() = 0 בכל סעיף רשמו ייצוג אלגברי שיכול להתאים לפונקציות שבסרטוט. )שימו לב: בכל סעיף אפש ריות תשובות רבות.( א ב ג ד

18 א מכוניות מאבדות מערכן הכספי בכל שנה של חייהן. לדורית יש מכונית בת 5 שנים. דורית קראה בכתב העת אוטומון שמכונית מהדגם שיש לה מאבדת כל שנה מערכה, 8,000 וששווייה של מכונית כזו בגיל 5 הוא. 50,000 א. כתבו ביטוי לפונקציה המתארת את מחיר המכונית של דורית כתלות ב גיל שלה. ב. מה היה מחירה של המכונית בשוק לפני חמש שנים? אפשר להיעזר בפונקציות אם רוצים. 2 בכל סעיף רשמו ייצוג אלגברי של פונקציה קווית לפי המדרגה שלה ונקודה שגרף הפונקציה עובר דרכה. חיזוק 4( ), א 2 5( )0, ב 2 3( )2, ג ( ).5, ד 4 ב 4 2 פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 3 מרים החליטה לייצר מאווררים תעשייתיים. לפני תחילת הייצור היה עליה להשקיע השקעה ראשונית בתשתיות. עלות הייצור של כל מאוורר היא. 40 לאחר שייצרה את 25 המאווררים הראשונים הגיעו הוצאותיה של מרים ל א. עלות הייצור היא פונקציה קווית של מספר המאווררים. הסבירו. ב. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה המתארת את הוצאותיה של מרים כתלות במספר המאווררים שייצרה. ג. מה היה גובה ההשקעה הראשונית של מרים לפני תחילת הייצור? ד. מה היו הוצאותיה של מרים לאחר שייצרה 70 מאווררים? ה. מהו מספר המאווררים שייצרה מרים אם הוצאותיה הגיעו ל 0,240? 4 זיו שתל צמח מטפס. באנציקלופדיה כתוב שקצב הגידול של צמח זה הוא 0.5 ס מ בכל שבוע. 2 שבועות אחרי שתילת הצמח מצא זיו שאורך הצמח הוא 5 ס מ. א. כתבו ביטוי לפונקציה המתארת את גובה הצמח כתלות במספר השבועות שעברו מהשתילה. ב. מה היה גובה הצמח בעת השתילה? 8

19 מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית על פי שתי נקודות דיון 5 התחילו לרוקן בריכה בקצב קבוע. 3 שעות לאחר שהתחילו לרוקן את הבריכה, היו בה 40 מ"ק מים. אחרי 6 שעות מרגע שהתחילו לרוקן את הבריכה היו בה 25 מ"ק מים. א. באיזה קצב רוקנו את הבריכה? הסבירו. ב. כמה מים היו בבריכה לפני שהתחילו לרוקן אותה? הסבירו. ג. כתבו ייצוג אלגברי המתאר את כמות המים )במ"ק( בבריכה, כתלות בזמן )בשעות( שעבר מרגע שהתחילו לרוקן אותה. ד. תוך כמה שעות התרוקנה הבריכה? דיון 6 גרף של פונקציה קווית עובר דרך הנקודות )2,5( ו ) 6 -,4(. א. מהו שיפוע הפונקציה? ב. השתמשו בנקודה )2,5( שעל הגרף ובשיפוע שחישבתם בסעיף א, וכתבו ייצוג אלגברי מהצורה f() = a + b לפונקציה זו. ג. השתמשו בשיפוע שחישבתם בסעיף א ובנקודה )6-,4) שעל הגרף, וכתבו ייצוג אלגברי לאותה פונקציה. ד. בדקו אם בסעיפים ב וג קיבלתם אותו ייצוג אלגברי. דוגמה כיצד נמצא ייצוג אלגברי לפונקציה קווית לפי שתי נקודות הנמצאות על הגרף שלה? תחילה נחשב על פי שתי הנקודות הנתונות את שיפוע הפונקציה, כפי שלמדנו ביחידה הקודמת; לאחר מכן נשתמש בשיפוע שמצאנו ובאחת הנקודות הנתונות לכתיבת ייצוג אלגברי פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית מהצורה,f() = a + b כפי שכבר למדנו. נמצא ייצוג אלגברי של הפונקציה הקווית f() שהגרף שלה עובר דרך הנקודות (4-,3)A ו (8,-)B. a = תחילה נחשב את שיפוע הפונקציה: -3 = 8 - (-) אם כך,. f() = -3 + b כעת נחשב את b. לשם כך ניעזר באחת הנקודות הנתונות, למשל בנקודה (4-,3)A, ובשיפוע שחישבנו. מאחר שהנקודה נמצאת על גרף הפונקציה, חייב להתקיים התנאי -4 =,f(3) כלומר -4 = b f(3) = נפתור את המשוואה -4 = b )פתרו!( ונקבל: = 5 b. עתה ניתן לרשום את הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית שחיפשנו: f() = *** ומה היה קורה אילו השתמשנו לצורך התהליך הזה בנקודה B ולא בנקודה A? נחשב שנית את b, הפעם בעזרת הנקודה (8,-)B והשיפוע שחישבנו: מאחר שהנקודה (8,-)B נמצאת על גרף הפונקציה, חייב להתקיים התנאי = 8 (-)f, כלומר = 8 b. f(-) = -3 (-) + נפתור את המשוואה = 8 b + (-) -3 )פתרו!( ונקבל שוב: = 5 b 7 גרף של פונקציה קווית עובר דרך הנקודות )6,0( ו ) 0,4(. א. מהו שיפוע הפונקציה? ב. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה. 9

20 8 בחברה לייצור מכשירי טלפון הוחלט, שבעקבות עלייה ברווחי החברה יועלה שכרם חיזוק של פועלי הייצור לפי כלל מסוים. כתוצאה מכך, פועל שמשכורתו הייתה 3,000 קיבל תוספת של, 530 ופועל שמשכורתו הייתה 6,600 קיבל תוספת של. 566 את הכלל שלפיו העלו את המשכורות אפשר לתאר על ידי פונקציה קווית. א. מצאו ביטוי של הפונקציה. ב. איזו תוספת שכר יקבל פועל שמשכורתו לפני ההעלאה הייתה? 4,200 9 המחיר שבית דפוס גובה תמורת הדפסת ספר מורכב ממחיר מסוים לכל עמוד ותוספת קבועה לכריכה. הדפסת ספר בן 200 עמודים עולה. 30 הדפסת ספר בן 40 עמודים עולה. 27 א. מצאו ביטוי אלגברי לפונקציה המתארת את מחיר ההדפסה של ספר כתלות במספר העמודים בספר. ב. מהו המחיר של הדפסת הכריכה? ג. כמה עולה הדפסה של ספר אחד בן 300 עמודים? ד. כמה עמודים יש בספר שהדפסתו עלתה? 48 "גיל" המכונית )בשנים( מחיר המכונית )בש"ח( מכוניות מאבדות מערכן הכספי בכל שנה מחייהן ,000 לפני 6 שנים קנה צבי מכונית חדשה. 6 50,000 בטבלה שמשמאל, שהתפרסמה בעיתון אוטומון, מוצגים השינויים בערכה של מכונית זו. א. אם המכונית מאבדת מערכה בקצב קבוע, מהי הפונקציה שמתארת את מחיר המכונית כתלות בגילה? כתבו את הביטוי של הפונקציה. ב. כמה שילם צבי על מכוניתו כשקנה אותה? בכל סעיף מצאו ייצוג אלגברי לפונקציה הקווית המתוארת בטבלה. 2 א f() ג g() ה h() ב m() ד k() ו s() בכל סעיף נתונים גרפים של פונקציות קוויות ושתי נקודות שנמצאות עליהם. רשמו בכל סעיף ייצוג אלגברי מתאים. 22 א (3, 9) (, 5) ב ג (-3, -4) (-3, -5) (7, -5) (4, -) פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 20

21 23 הפונקציה הקווית f() מקיימת: -2 = f(5).f() = 8, א. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה.f() ב. מצאו את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר X ועם ציר Y. 24 יין משביח עם השנים, ומחירו עולה בכל שנה במידה קבועה. בקבוק יין מעיין משנת הייצור 980 עלה בשנת, ובשנת 2005 היה מחירו של אותו בקבוק. 50 א. כתבו פונקציה המתארת את מחיר הבקבוק כתלות ב גילו. ב. מה היה מחירו של בקבוק היין בשנת 980? ג. אם מחירו של היין ימשיך להשתנות באותו קצב, כמה יעלה בקבוק כזה בשנת 2020? 25 מירי נבדקת ב בדיקת מאמץ - הדופק שלה )מספר פעימות הלב בדקה( נמדד כמה פעמים בזמן מאמץ. אחרי 2 דקות של מאמץ היה הדופק 82 פעימות לדקה. אחרי 3 דקות נוספות של מאמץ היה הדופק שלה 88 פעימות לדקה. א. אם נניח שהדופק עולה במהלך הבדיקה בקצב קבוע, מה יהיה הדופק של מירי אחרי 0 דקות מתחילת הבדיקה? ב. מה היה הדופק של מירי לפני הבדיקה? 26 בשנת 990 הייתה תוחלת החיים של נשים בארץ 79.2 שנים. בשנת 2005 הייתה תוחלת החיים של נשים בארץ 82.5 שנים. נניח שתוחלת החיים עולה בקצב קבוע בקירוב. א. מה תהיה תוחלת החיים של נשים בארץ בשנת 2030? ב. באיזו שנה בערך תהיה תוחלת החיים גדולה מ 00 שנה? 27 המלח הוא רכיב מזון חשוב מאוד לגופנו. צריכת המלח עולה בהתמדה. בשנת 2008 נמכרו בארצות הברית כ 25,000,000 טונות של מלח. הכמות הזאת גדולה ב 8,000,000 טונות מהכמות שנמכרה בארצות הברית בשנת 996. אם קצב העלייה במכירת המלח הוא קבוע - כמה טונות של מלח יימכרו בארצות הברית בשנת 20? ובשנת 2020? 28 בפסטיבל אוכל מוכרים מנה סינית לפי משקל. רוני קנתה מנה שמשקלה 200 גרם ושילמה תמורתה 2 ש"ח. מאיה קנתה מנה של 300 גרם ושילמה 5 ש"ח. א. כמה שילם רועי, שקנה מנה של 250 גרם? ב. קבוצת אנשים קנו למסיבה מנה של.25 ק"ג. כמה עלתה הקנייה הזו? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 2

22 משימות לסיכום 29 בכל סעיף נתונה פונקציה קווית. מצאו את הפרטים החסרים בטבלה. (אם חסרים לכם נתונים - הוסיפו נתונים משלכם ). ייצוג אלגברי של הפונקציה הקווית א שתי נקודות על נקודת אפיון נקודת גרף הפונקציה חיתוך עם חיתוך עם (עולה / שאינן נקודות יורדת / ציר X ציר Y קבועה) החיתוך עם הצירים f() = ב ג ) (0, -3 קבועה ) (0, -0.3 ד ) )?,?( (, 3 יורדת ה פונקציה קווית - חלק ב (הרחבה) ו סקיצה של גרף הפונקציה ) f( f() = -2(3-8) - 3 ) (0, 8 ז ) (-4, 0 ) f( -3 ח ט f() = -8 - י ) f( 5 עולה 4 יא מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית 30 ) f( -3 יוסי רשם במחברתו ייצוג אלגברי של פונקציות קוויות בצורה,a + b וכן כמה ערכים של הפונקציות. העט של יוסי הכתים את הדף. האם ניתן לשחזר את המידע שהיה רשום במחברת? אם אפשר לשחזר, שחזרו; אם אי אפשר לשחזר - הסבירו מדוע אי אפשר. g(3) = )=2 ( g 2 4 = ) f( +7 g() = -5 + f(2) = 5 = ) f(-

23 3 המרחק בין העיר A לעיר D הוא 20 ק"מ. מכונית אדומה יצאה מ A ונסעה ל D במהירות קבועה. שעה אחריה יצאה מכונית ירוקה מהעיר B, הנמצאת במרחק 0 ק"מ מ A )ראו בציור(, ונסעה גם היא ל D. היא נסעה במהירות של 80 קמ"ש, וכעבור הניחו שכל מכונית נוסעת במהירות קבועה. א. קבעו איזה מהגרפים שבסרטוט מתאים לכל אחת מהמכוניות. ב. מצאו את שיעורי הנקודות החסרים בסרטוט לפי נתוני השאלה. ג. כתבו לפי הנתונים ייצוג אלגברי לפונקציה המתאימה למכונית הירוקה. ד. באיזה מרחק מהעיר A עקפה המכונית הירוקה את המכונית האדומה? ה. באיזו מהירות נסעה המכונית האדומה? ו. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה המתאימה למכונית האדומה. ז. כעבור כמה שעות מתחילת נסיעתה של המכונית האדומה הגיעה כל אחת מהמכוניות לעיר D? A B D 3 4 שעה מתחילת נסיעתה עקפה את המכונית האדומה. M)?,?( g() f() C)?,?( N)?,?( מרחק מ A )בק"מ( P)?,?( זמן שעבר מרגע היציאה של המכונית האדומה)בשעות( פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית f() u() w() משימות נוספות לפניכם טבלות ערכים של פונקציות קוויות. 32 א. קבעו על פי הטבלאות אילו מן הפונקציות עולות ואילו יורדות. ב. אילו סרטטנו את כל הפונקציות במערכת צירים אחת, לאילו מן הפונקציות היה אותו גרף? לאילו מהן היו גרפים מקבילים? ג. לכל פונקציה רשמו ייצוג אלגברי מתאים. ד. בכל סעיף מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ה. לכל פונקציה מצאו את ערך הפונקציה עבור = 80. ו. לכל פונקציה מצאו ערך שעבורו ערך הפונקציה הוא g() h() n() k() s() z() j() r() p()

24 33 במערכת הצירים מסומנות 4 הנקודות C B, A, ו D. Y. הסימטרייה הוא ציר כשציר ל C, סימטרית ו B סימטרית ל D A A B C D א. נתון: 9) D(7, A(-7, 9) B(-3, 5) C(3, 5) הראו בייצוג גרפי ובייצוג אלגברי, שגרף הפונקציה הקווית העובר דרך הנקודות A ו B וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך הנקודות D ו C חותכים את ציר Y באותה נקודה. מהי נקודת החיתוך הזאת? 2 הראו בייצוג גרפי ובייצוג אלגברי, שגרף הפונקציה הקווית העובר דרך הנקודות A ו C וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך הנקודות D ו B חותכים את ציר Y באותה נקודה. מהי נקודת החיתוך הזאת? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית ב. בחרו ערכים אחרים לשיעורי הנקודות C B, A, ו D, כך ש A תהיה סימטרית ל D ו B תהיה סימטרית ל C )ביחס לציר Y, כמו בציור(. האם גם הפעם גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו B וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך C ו D חותכים את ציר Y באותה נקודה? אם כן - מהי הנקודה? 2 האם גם הפעם גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו C וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך D ו B חותכים את ציר Y באותה נקודה? מהי הנקודה? ג. הראו כי בכל בחירה של 4 נקודות כמתואר בסעיף הקודם, יתקיימו שתי התכונות: גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו B וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך C ו D חותכים את ציר Y באותה נקודה. 2 גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו C וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך D ו B חותכים את ציר Y באותה נקודה. ד. בכל אחד מהסעיפים הבאים, בחרו ערכים של נקודות C B, A, ו D כך ש A תהיה סימטרית ל D ו B תהיה סימטרית ל C )ביחס לציר Y(, וכך שיתקיימו הדרישות המפורטות בסעיף. גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו B וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך C ו D עוברים בראשית הצירים. 2 גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו B וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך C ו D חותכים את ציר Y בנקודה )7-,0(. 3 גרף הפונקציה הקווית העובר דרך A ו C וגרף הפונקציה הקווית העובר דרך D ו B חותכים את ציר Y בנקודה )0,0(. 4 שתי הדרישות הקודמות יתקיימו. השתמשו בייצוג האלגברי של הפונקציות שסרטטתם כדי לבדוק את תשובותיכם. 24

25 34 הרחבה כרטיס חנייה נטען הוא אמצעי לתשלום דמי חנייה : מטעינים את הכרטיס מראש בסכום התחלתי כלשהו; כשחונים, היתרה בכרטיס יורדת בקצב קבוע בהתאם למשך זמן החנייה. מיכל הטעינה את הכרטיס שלה בסכום מסוים. בפעם הראשונה השתמשה מיכל בכרטיס לחנייה בת 23 דקות. אחרי הפעם הזו נשארה בכרטיס יתרה של אחרי חנייה נוספת, של 35 דקות, נשארו בכרטיס א. כמה זמן (בדקות) נמשכו שתי החניות של מיכל יחד? ב. סדרו את הנתונים בטבלה כמו זו שלפניכם, ומלאו אותה. ) f( הסכום שנשאר אחרי החנייה (בשקלים) הזמן המצטבר (בדקות) אחרי החנייה הראשונה החנייה הראשונה והחנייה השנייה יחד 35 חיזוק פונקציה קווית - חלק ב (הרחבה) ג. מהו המחיר לדקת חנייה? ד. כתבו ייצוג אלגברי לפונקציה ) f( שמתארת את היתרה בכרטיס החנייה הנטען כתלות בזמן החנייה המצטבר. ה. אם בפעם הבאה תצטרך מיכל לחנות למשך 40 דקות - האם יספיק לה הסכום שנשאר בכרטיס? ו. באיזה סכום התחלתי הטעינה מיכל את הכרטיס? במחברת של דנה היו רשומים ייצוגים אלגבריים של פונקציות קוויות בצורה,a + b וטבלות ערכים מתאימות. העט של דנה הכתים את הדף. עזרו לדנה לשחזר את מה שהיה כתוב. אם אפשר - שחזרו; אם אי אפשר - הסבירו מדוע אי אפשר. - 3 = ) k( ג + = ) g( ב f() = -2 + א מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית ) k( ) g( ) f(

26 ג. השתנות בקצב קבוע מה נלמד? קשר בין קצב קבוע של תהליך לאירוע מסוים בתהליך הזה. שלושה תלמידים מדדו את מהירות ההליכה שלהם: מהירותה של אורנה: 3 מטרים בשנייה מהירותו של בוריס: 2.5 מטרים בשנייה מהירותה של ענת: 2 מטרים בשנייה א. אם שלושת הילדים י צאו בו זמנית מבית הספר למתנ"ס וילכו באותו מסלול, באיזה סדר הם יגיעו למתנ"ס? ב. באיזה מרחק מבית הספר יהיה כל אחד מהם דקה אחת אחרי יציאתם? ג. אם המרחק של המתנ"ס מבית הספר הוא 0.9 ק"מ, כמה זמן תימשך ההליכה של כל אחד מהם למתנ"ס? 2 במכולה היו 5 טונות גרגרי חיטה. רוקנו את המכולה באמצעות צינור, שהעביר לאסם 75 ק ג גרגרי חיטה בדקה. כעבור כמה זמן התרוקנה המכולה? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( השתנות בקצב קבוע 3 בטבלה שלפניכם מופיעים נתונים על תנועה במהירות קבועה של הולך רגל, של אופנוע ושל מכונית. מצאו את המספרים החסרים בטבלה. הולך רגל אופנוע מכונית 4 בכל דקה נולדים בעולם כ 50 בני אדם. א. כמה בני אדם נולדים בכל שעה? ב. כמה בני אדם נולדים בכל יום? ג. בכמה זמן בערך נולדים 2,000,000 בני אדם? 4 5 מכונות מייצרות 40 פריטים מסוג מסוים ב 4 ימים. אורך הדרך )s( ק"מ מהירות )v( קמ"ש 4 זמן )t( שעות כמה זמן דרוש ל 6 מכונות כאלה לייצר 60 פריטים מאותו סוג? 26

27 6 המרחק בין שני יישובים הוא 60 ק מ. נהגת מכונית, רוכב אופנוע ורוכב אופניים יצאו בשעה 8:00 מאחד היישובים ונסעו ליישוב האחר. נהגת המכונית נסעת במהירות 90 קמ ש, רוכב האופנוע נסע במהירות 30 קמ ש, ורוכב האופניים נסע במהירות 20 קמ ש. א. תוך כמה זמן הגיע כל אחד מהנוסעים ליעדו? ב. באיזו שעה הגיע כל אחד מהנוסעים ליעדו? דיון 7 המרחק בין שני יישובים בכביש מסוים הוא 520 ק מ. שתי מכוניות יצאו זו לקראת זו משני היישובים באותה שעה. מכונית א נסעה במהירות 70 קמ ש, ומכונית ב נסעה במהירות 60 קמ ש. א. מה היה המרחק בין המכוניות כעבור שעה מתחילת הנסיעה? ב. מה היה המרחק בין המכוניות כעבור שעה וחצי מתחילת הנסיעה? ג. כעבור כמה שעות מתחילת הנסיעה היה המרחק בין המכוניות 260 ק מ? ד. כעבור כמה שעות מתחילת הנסיעה נפגשו המכוניות? מכונית א מכונית ב 520 ק"מ 8 המרחק בין תל אביב לזיכרון יעקב הוא 74 ק מ. המרחק בין זיכרון יעקב לצפת הוא 02 ק מ. אוטובוס ומונית יצאו בו בזמן מזיכרון יעקב לשני כיוונים שונים: האוטובוס - לצפת, והמונית - לתל אביב. האוטובוס נסע במהירות 60 קמ ש, והמונית נסעה במהירות 80 קמ ש. א. מה היה המרחק בין כלי הרכב אחרי חצי שעה מתחילת הנסיעה? ב. כתבו משוואה שבעזרתה אפשר למצוא כמה זמן אחרי היציאה של כלי הרכב היה ביניהם מרחק של 50 ק מ. ג. מי הגיע ראשון ליעדו - האוטובוס או המונית? 9 נגרית מייצרת 4 כיסאות ביום. המתלמד שלה מייצר 2 כיסאות ביום. בכמה זמן ייצרו הנגרית והמתלמד יחד 60 כיסאות? זיכרון יעקב צפת תל אביב פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( השתנות בקצב קבוע 27

28 0 יוני יכול לסייד 3 חדרים ב 6 ימים. טלי יכולה לסייד 3 חדרים כאלה ב 3 ימים. א. אם יוני וטלי יסיידו יחד את שלושת החדרים, האם העבודה תיקח יותר או פחות מ 3 ימים? הסבירו. ב. בכמה זמן יכול יוני לסייד 2 חדרים? ג. בכמה זמן יכולים יוני וטלי לסייד 6 חדרים אם יעבדו יחד? רינה ודן נסעו מתל אביב לחיפה )מרחק של 00 ק"מ( בכביש מסוים. כל אחד מהם נסע במהירות קבועה. א. דן עבר את 80 הק מ הראשונים ב.2 שעות. בכמה זמן עבר דן את 20 הק מ הנותרים? ב. במשך 42 הדקות הראשונות עברה רינה 60 ק מ. כמה ק מ נסעה רינה ב 2 הדקות הבאות? 2 מאגר מים מכיל 7500 ליטר מים. בשעה תשע בבוקר התחילו לרוקן את המאגר באמצעות שני צינורות: האחד הזרים 40 ליטר מים בשעה, והאחר הזרים 0 ליטר מים בשעה. 3 4 שעה מתחילת הריקון? א. מהי כמות המים שנשארה בבריכה כעבור ב. כעבור כמה זמן התרוקנה הבריכה? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( השתנות בקצב קבוע אורן ומירי יצאו לרכוב על אופניים. 3 0 הגרף שלפניכם מתאר את ההשתנות בזמן של המרחק שלהם )בק"מ( מנקודת המוצא. א. הסתמכו על הגרף וספרו על נסיעתם של אורן ומירי פרטים רבים ככל האפשר. ב. באיזה מרחק מנקודת המוצא היה אורן חצי שעה 2 השעה אחרי תחילת הנסיעה? ג. מה הייתה המהירות של אורן בשעה הראשונה? ובשעה השנייה? ד. מה הייתה מהירותה של מירי בשעה השלישית? מירי 9 ה. אילו היה אורן עובר את כל הדרך במהירות קבועה השווה למהירותו בשעה הראשונה - מי היה מגיע לייעד קודם: אורן או מירי? הסבירו. ו. מה היה המרחק בין אורן למירי בשעה 9 בבוקר? כיצד מצאתם זאת? אורן המרחק מנקודת המוצא )ק"מ( 28

29 ד. פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות מה נלמד? שימוש בסקיצות של פונקציות ובייצוג האלגברי לפתרון בעיות מילוליות. יעל וניר רכבו על אופניים על הכביש שבין העיר A לעיר B. לפניכם סקיצות של הפונקציות הקוויות f() ו ( g( המתארות את המרחק של כל רוכב מהעיר A )לאורך הכביש( כתלות בזמן שעבר מיציאתו של ניר. מצאו אילו סקיצות יכולות להתאים לכל אחד מהתיאורים שלמטה, והסבירו. f() g() מרחק מ A 3 )בק מ( מרחק מ A )בק מ( מרחק מ A )בק מ( 2 g() f() f() g() זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( מרחק מ A )בק מ( זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות f() g() 6 g() f() זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( מרחק מ A )בק מ( 5 א. יעל יצאה לדרך אחרי ניר. ד. יעל וניר רכבו באותו כיוון. ב. יעל וניר יצאו שניהם לדרך מהעיר A. ה. יעל וניר רכבו בכיוונים נגדיים. ג. יעל וניר יצאו לדרך באותו הזמן מהעיר A. ו. יעל וניר נפגשו במהלך הנסיעה. 2 בכל סעיף, סרטטו במערכת צירים אחת )כמו זו הנתונה בציור( גרפים המתאימים לסיפור שבסעיף. א. משאית כבדה יצאה מצפת ונסעה לבית שאן דרך טבריה, במהירות 72 ק"מ לשעה. באותה שעה יצאה מכונית פרטית מטבריה, המרוחקת 40 ק"מ מצפת; המכונית נסעה לבית שאן לאורך אותו כביש, במהירות 48 ק"מ לשעה. שני כלי הרכב הגיעו בו בזמן לבית שאן. f() g() זמן שעבר מיציאתו של ניר )בשעות( מרחק מ A )בק מ( ב. משאית כבדה יצאה מצפת ונסעה דרך טבריה לבית שאן במהירות 48 ק"מ לשעה. כעבור שעתיים יצאה מכונית 4 דיון פרטית מטבריה, המרוחקת 40 ק"מ מצפת, ונסעה לבית שאן לאורך אותו כביש במהירות 72 ק"מ לשעה. שני כלי הרכב הגיעו בו בזמן לבית שאן. זמן שעבר מיציאת המשאית )שעות( מרחק מצפת )ק מ( 29

30 סרטוט סקיצה לפי סיפור דוגמה מכונית פרטית יצאה מאשקלון ונסעה דרך נתניה לחיפה, במהירות 75 ק"מ לשעה. כעבור שעה יצאה משאית כבדה מנתניה, המרוחקת 90 ק"מ מאשקלון, אשקלון נתניה חיפה ונסעה לחיפה לאורך אותו כביש, במהירות 60 ק"מ 90 ק מ לשעה. שני כלי הרכב הגיעו ביחד לחיפה. נסרטט במערכת צירים אחת סקיצות המתארות את השתנות המרחק של כל אחד מכלי הרכב מאשקלון, כתלות בזמן: א. המכונית הפרטית יצאה ראשונה לדרך, לכן נתחיל מתיאור התנועה שלה: נסרטט סקיצה של פונקציה קווית,f() המתארת את מרחקה של המכונית מאשקלון כתלות בזמן שעבר מיציאתה. שימו לב: הגרף עובר בראשית הצירים )הסבירו מדוע!(. f() מרחק מאשקלון )בק מ( פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות דיון ב. כעת נבנה באותה מערכת צירים סקיצה של פונקציה קווית,g() שתתאים למשאית: נקודת ההתחלה של גרף הפונקציה היא הנקודה M. שיעור ה של הנקודה M הוא, כי המשאית יצאה שעה אחת אחרי יציאת המכונית הפרטית. שיעור ה של הנקודה M הוא 90, כי המשאית יצאה מנתניה, המרוחקת 90 ק"מ מאשקלון. אם כן, שיעורי הנקודה M הם (90,)M. כדי לדעת אם הנקודה M נמצאת מעל לגרף של f() או מתחתיו, נחשב את שיעור ה של הנקודה K. לשם כך נחשב באיזה מרחק מאשקלון הייתה המכונית הפרטית כעבור שעה מתחילת נסיעתה. זמן שעבר מיציאת המכונית הפרטית )שעות( זמן שעבר מיציאת המכונית הפרטית )שעות( מרחק מאשקלון )בק מ( M K g() f() R המרחק הזה הוא 75 ק"מ )הסבירו מדוע!( לכן נסמן את הנקודה M מעל לגרף.f() מהירות המשאית קטנה ממהירות המכונית הפרטית, לכן נסרטט מהנקודה M קו ישר שהשיפוע שלו קטן מהשיפוע של f(). נמשיך אותו עד לנקודת החיתוך שלו עם הגרף של,f() ונסמן את נקודת החיתוך באות R. מה המשמעות של שיעור ה של הנקודה R בסיפור? מה המשמעות של שיעור ה של הנקודה R בסיפור? 3 משאית יצאה מצפת ונסעה לבאר שבע במהירות 48 קמ"ש. כעבור שעתיים יצאה מכונית פרטית מאותו מקום בצפת, ונסעה לבאר שבע לאורך אותו כביש במהירות 72 קמ"ש. שני כלי הרכב הגיעו לבאר שבע בו זמנית. א. סרטטו במערכת צירים אחת סקיצות, המתארות את השתנות המרחק של כל כלי רכב מצפת כתלות בזמן. ב. רשמו ייצוגים אלגבריים לפונקציות שבסרטוט. ג. היעזרו בייצוגים האלגבריים שרשמתם כדי למצוא: כעבור כמה זמן מתחילת נסיעתה של המשאית הגיעו שני כלי הרכב לבאר שבע? 2 מהו המרחק )בנסיעה על הכביש( בין צפת לבאר שבע? 30

31 פתרון בעיה המתארת שני תהליכים שלכל אחד מהם מתאימה פונקציה קווית דוגמה מכונית פרטית יצאה מאשקלון ונסעה דרך נתניה לחיפה, במהירות 75 ק"מ לשעה. כעבור שעה יצאה משאית כבדה מנתניה, המרוחקת 90 ק"מ מאשקלון, ונסעה לחיפה לאורך אותו כביש, במהירות 60 ק"מ לשעה. שני כלי הרכב הגיעו ביחד לחיפה. פתרון כעבור כמה זמן מיציאתה של המכונית הפרטית הגיעו שני כלי הרכב לחיפה? 2 מהו המרחק )בנסיעה על הכביש( בין אשקלון לחיפה? א. נסרטט סקיצה המתארת את השתנות המרחק של כל אחד מכלי הרכב מאשקלון כתלות בזמן )כמו שהסברנו בעמוד הקודם(. ב. נציין על הישרים את השיפועים והנקודות המתאימים לנתונים בסיפור )נסו בעצמכם!(. הפונקציה,f() המתארת את נסיעתה של המכונית הפרטית, היא פונקציה קווית ששיפועה 75 )כי המכונית נסעה במהירות קבועה של 75 קמ"ש(, והגרף שלה עובר בראשית הצירים )כי המרחק של המכונית מאשקלון בזמן יציאתה לדרך היה 0(. הפונקציה,g() המתארת את נסיעתה של המשאית, היא פונקציה קווית ששיפועה 60 )כי היא מתארת נסיעה במהירות קבועה של 60 קמ"ש( והגרף שלה עובר דרך הנקודה (90,)M )כי המשאית יצאה לדרך שעה אחת לאחר יציאתה של המכונית הפרטית, והיא יצאה מנתניה, המרוחקת 90 ק"מ מאשקלון(. ג. לכל אחת מהפונקציות f() ו ( g( נמצא ייצוג אלגברי לפי הנקודה והשיפוע שמצאנו בשלב הקודם )נסו בעצמכם!(. הייצוגים הם: כעת נוכל לחזור לשאלות שנשאלנו. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות f() = 75 g() = כיצד נחשב את הזמן שעבר מאז יציאתה של המכונית הפרטית עד ששני כלי הרכב נפגשו? עבור ערך ה של הנקודה R, המייצג את הזמן עד הפגישה, ערך הפונקציה f() שווה לערך הפונקציה g() )כי בזמן הפגישה שני כלי הרכב נמצאים באותו המרחק מאשקלון(. לכן ניתן למצוא את הזמן המבוקש על ידי פתרון המשוואה f(). g() = נפתור את המשוואה = )פתרו!( ונקבל = 2. אם כך, שני כלי הרכב נפגשו שעתיים לאחר יציאתה של המכונית הפרטית לדרך. 2 כיצד נחשב את המרחק מאשקלון לחיפה לאורך כביש זה? כיוון ששני כלי הרכב נפגשו בחיפה, הם נפגשו 2 שעות לאחר יציאתה של המכונית הפרטית לדרך. לכן אפשר לחשב את המרחק על ידי מציאת ערך הפונקציה f() )או ערך הפונקציה )g() עבור = 2. )חשבו, והסבירו מדוע שתי הדרכים אפשריות!( נמצא ש = 50 f(2) ; אם כך, המרחק מאשקלון לחיפה לאורך הכביש הוא 50 ק"מ. זמן שעבר מיציאת המכונית הפרטית )בשעות( מרחק מאשקלון )בק מ( M ), 90(,g() שיפוע 60,f() שיפוע 75 R 3

32 4 המרחק מאילת לנתניה לאורך כביש העובר דרך ירושלים הוא 42 ק"מ. מונית יצאה מאילת ונסעה בכביש זה לירושלים במהירות 86 קמ"ש. כעבור שעתיים יצאה לקראתה מכונית פרטית מנתניה, ונסעה באותו כביש לירושלים במהירות 74 קמ"ש. שני כלי הרכב הגיעו לירושלים באותה שעה. א. סרטטו במערכת צירים אחת סקיצות של גרפים המתארים את השתנות המרחק של שני כלי הרכב מאילת כתלות בזמן שעבר מתחילת נסיעתה של המונית. ב. כתבו לכל גרף את השיפוע שלו ואת השיעורים של אחת הנקודות הנמצאות עליו. ג. רשמו ייצוג אלגברי לכל אחת מהפונקציות שתיארתם בסעיף א. ד. היעזרו בייצוגים האלגבריים שרשמתם כדי למצוא: כעבור כמה זמן מיציאתה של המונית הגיעו שני כלי הרכב לירושלים? 2 מה המרחק בין אילת לירושלים לאורך הכביש המתואר? ירושלים אילת נתניה פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות רוכבת אופניים יצאה ממטולה לחיפה במהירות 24 קמ"ש. כעבור שלוש שעות יצאה 5 מכונית פרטית ממטולה לחיפה, ונסעה באותה הדרך במהירות 72 קמ"ש. שני כלי הרכב הגיעו לחיפה באותו הזמן. א. כעבור כמה זמן מיציאתה של רוכבת האופניים הגיעו שני כלי הרכב לחיפה? ב. מהו המרחק )על הכביש( בין מטולה לחיפה? בעיר הוקמה שכונת אביב. האוכלוסייה באביב ג ד לה בקצב של 600 איש בשנה. 6 שנתיים לאחר הקמת אביב הוקמה שכונת יחדיו. האוכלוסייה ביחדיו ג ד לה בקצב של 900 איש בשנה. א. באיזו שכונה יהיו יותר תושבים 5 שנים אחרי הקמת אביב? בכמה תושבים יותר? ב. כעבור כמה שנים מהקמת אביב יהיה בשתי השכונות מספר שווה של תושבים? כמה תושבים יהיו בכל שכונה באותה שנה? תל אביב קריית גת דן יצא על קטנועו מתל אביב למטולה במהירות 36 קמ"ש. כעבור 7 82 ק מ שעתיים יצאה רינה מקריית גת ונסעה במכוניתה דרך תל אביב למטולה במהירות 80 קמ"ש, בעקבות דן. דן ורינה הגיעו למטולה ביחד. המרחק בין קריית גת לתל אביב במסלול הנסיעה של רינה הוא 82 ק"מ. א. כעבור כמה זמן מרגע יציאתו הגיע כל אחד מכלי הרכב למטולה? ב. כמה קילומטרים נסע כל כלי רכב ממקום יציאתו ועד שהגיע למטולה? רוכב אופניים יצא מביתו בשעה 8.00 בבוקר, ורכב במהירות 40 קמ"ש. בשעה 9.30 בבוקר יצאה 8 אחותו מאותו בית, ורכבה על אופנוע בעקבות אחיה במהירות 80 קמ"ש. באיזו שעה ובאיזה חיזוק מרחק מהבית השיגה רוכבת האופנוע את אחיה רוכב האופניים? מטולה 32

33 9 המרחק בין עכו לבאר שבע הוא 224 ק"מ. שני נהגים, רמי וגדי, יצאו משתי הערים זה לקראת זה באותו מסלול. רמי יצא מעכו בשעה 7 בבוקר, ונסע במהירות של 92 קמ"ש, וגדי יצא מבאר שבע בשעה 7:30 בבוקר, ונסע במהירות 86 קמ"ש. א. באיזו שעה נפגשו? ב. מתי היה המרחק ביניהם 89 ק"מ? 0 בחברה להשכרת מכוניות רכשו מכונית שמחירה. 50,000 בכל שנה מחיר המכונית הזו יורד ב 0,000. שנה לאחר קניית המכונית הראשונה רכשו מכונית מדגם אחר, שמחירה. 30,000 בכל שנה מחיר המכונית מהדגם הזה יורד ב 8,000. האם ייתכן שאחרי כמה שנים יהיו המחירים של שתי המכוניות שווים? אם כן - אחרי כמה שנים? אם לא - הסבירו מדוע. הרחבה על כל גוף המכיל אוויר מופעל לחץ אוויר מבחוץ ומבפנים. הלחץ מבפנים מופעל על ידי האוויר הנמצא בתוך הגוף. אחת היחידות למדידת לחץ אוויר נקראת פסקל. בניסוי במעבדה בדקו מה קורה למ כ ל כאשר הלחץ החיצוני גדול מהלחץ הפנימי או שווה לו. בתחילת הניסוי היה הלחץ החיצוני על המכל 20 פסקל, והלחץ הפנימי היה שווה ל 0. התחילו להפחית את הלחץ החיצוני בקצב של 2 פסקלים לשנייה, ובאותו זמן התחילו להגביר את הלחץ הפנימי בקצב של פסקל לשנייה. כעבור כמה זמן היה הלחץ החיצוני על המכל שווה ללחץ הפנימי? 2 התשלום היומי שגובות שתי חברות אינטרנט נקבע בהתאם למשך זמן הגלישה: חברת "גלישה ישירה" גובה.5 ש"ח לכל שעת גלישה. חברת "גלישה מהירה" גובה תשלום קבוע של 2 ש"ח ליום, ותוספת תשלום לפי שעות הגלישה: 3 שעות הגלישה הראשונות בכל יום הן ללא תשלום נוסף, ועל השעות שאחריהן התעריף הוא 2.5 ש"ח לשעת גלישה. עבור כמה שעות גלישה ביום גובות שתי החברות אותו סכום? ב ל ז פסקל ) , Pascal )Blaise היה מדען צרפתי שעסק רבות בנושא לחץ האוויר, והיחידה למדידת לחץ אוויר נקראת על שמו. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות 33

34 3 רוני הקימה אתר אינטרנט שמטרתו לגייס מתנדבים שיפעלו לשיפור איכות הסביבה. הרחבה היוזמה הצליחה: בכל שבוע הצטרפו 7 מתנדבים. 3 שבועות אחרי הקמת האתר של רוני, הקים טל אתר שמטרתו לגייס מתנדבים לעבודה עם ילדים בקהילה. כשהאתר נפתח נרשמו 6 חברים של טל, ובכל שבוע הצטרפו 0 מתנדבים. א. האם ייתכן שבשבוע מסוים מספר המתנדבים באתר של רוני יהיה שווה למספר המתנדבים באתר של טל? אם כן - מתי זה יקרה? ב. אם מספר המתנדבים בשני האתרים ימשיך לגדול באותו הקצב, כמה מתנדבים יהיו בכל רשימה 0 שבועות אחרי הקמת האתר של רוני? ג. אם מספר המתנדבים בשני האתרים ימשיך לגדול באותו הקצב, כמה מתנדבים יהיו בכל רשימה 0 שבועות אחרי הקמת האתר של טל? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות אתגר דיון 4 במכל א היו 320 מ ק מים ובמכל ב היו 320 מ ק מים. התחילו לרוקן את מכל א, וכעבור שעתיים התחילו להזרים מים למכל ב: ממכל א רוקנו את המים בקצב של 80 מ ק לשעה. למכל ב הזרימו מים בקצב של 60 מ ק לשעה; א. כעבור כמה זמן מתחילת הריקון של מכל א היו בשני המכלים כמויות שוות של מים? ב. מה הייתה כמות המים בכל אחד מהמכלים כשהכמויות היו שוות? 5 דנית ואחותה הקטנה מזל אוהבות לרוץ על שביל שאורכו 50 מטרים. מהירותה של דנית היא 3 מטרים בשנייה, ומהירותה של מזל היא מטר בשנייה. א. מזל לא רוצה להגיע תמיד שנייה, ולכן היא מבקשת שדנית תתחיל את המרוץ כמה שניות אחריה. כמה שניות אחרי מזל צריכה דנית להתחיל לרוץ כדי ששתיהן יגיעו יחד לסוף השביל? הסבירו. ב. בפעם אחרת מזל מבקשת להתחיל לרוץ באותו זמן שדנית מתחילה, אבל לא מאותה נקודת זינוק בקצה השביל, אלא בנקודה כלשהי בהמשך השביל. באיזה מרחק מתחילת השביל צריכה מזל להתחיל לרוץ כדי ששתיהן יגיעו לסוף השביל יחד? הסבירו. 6 מיכל יצאה לטיול ממצפה רמון לדימונה, מרחק של 66 ק"מ. תחילה רכבה על אופניים במהירות 5 קמ"ש, ולאחר זמן מה החליטה להמשיך את הדרך בהליכה במהירות 3 קמ"ש. הדרך כולה ארכה 6 שעות. א. סרטטו גרף המתאר את השתנות המרחק של מיכל ממקום יציאתה כתלות בזמן שעבר מהיציאה לדרך. ב. כמה זמן רכבה מיכל על אופניים וכמה זמן הלכה ברגל? ג. באיזה מרחק מנקודת היציאה החלה ללכת ברגל? ד. כמה קילומטרים היא הלכה ברגל? * משימה חלופית למשימה 6 מופיעה באתר המתמטיקה של מטח: "לראות מתמטיקה: פונקציות" פונקציה קווית העתקת גרף "תופסת" 34

35 תהליך אחד המתואר על ידי שתי פונקציות קוויות דוגמה יוסי יצא מתל אביב לזיכרון יעקב, מרחק של 72 ק"מ. חלק מהדרך הוא רכב על אופניים במהירות 20 קמ"ש, ובהמשך הדרך הלך ברגל במהירות 4 קמ"ש. הוא שהה בדרך 6 שעות. א. סרטטו סקיצה המתארת את השתנות המרחק של יוסי ממקום היציאה כתלות בזמן שעבר מיציאתו לדרך. ב. כעבור כמה זמן מיציאתו לדרך החל יוסי ללכת ברגל? ג. באיזה מרחק מתל אביב החל יוסי ללכת ברגל? פתרון התנועה בסיפור מורכבת משני חלקים שבכל אחד מהם נעים במהירות אחרת; לכן נתאר את הנסיעה באמצעות שתי פונקציות, f() ו ( g(, המתארות את השתנות המרחק מתל אביב בכל אחד מקטעי הדרך, כתלות בזמן: f() היא פונקציה המתאימה לפרק הזמן שבו יוסי רכב במהירות 20 קמ"ש; g() היא פונקציה המתאימה לפרק הזמן שבו יוסי צעד במהירות 4 קמ"ש. השיפוע של f() הוא 20, והשיפוע של g() הוא 4. הנקודה C מתאימה לסיום המסע. שיעור ה של הנקודה C הוא 6 )כי הזמן שעבר מהיציאה לדרך עד ההגעה ליעד הוא 6 שעות(. שיעור ה של הנקודה C הוא 72 )כי כאשר יוסי הגיע לזיכרון יעקב הוא היה במרחק 72 ק"מ מתל אביב(. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות לכן שיעורי הנקודה C הם (72,6)C. הנקודה K מתאימה להתחלת הצעידה ברגל. שיעור ה של הנקודה K מתאר כעבור כמה זמן מיציאתו לדרך החל יוסי ללכת ברגל. שיעור ה של הנקודה K מתאר באיזה מרחק מתל אביב החל יוסי ללכת ברגל. את שיעור ה של הנקודה K אפשר למצוא בעזרת המשוואה g() : f() = הייצוג האלגברי של f() הוא f() = 20 )הסבירו!(. את הייצוג האלגברי של g() ניתן לחשב לפי הנקודה (72,6)C והשיפוע 4 )נסו למצוא!(. הייצוג האלגברי של g() הוא g() = פתרו את המשוואה וענו על סעיפים ב וג שבדוגמה. 7 דבורה יצאה מבאר שבע לסדום, מרחק של 84 ק"מ, ועברה את הדרך ב 5 שעות. חלק מהדרך היא רכבה על אופניים במהירות של 20 קמ"ש, ואת החלק הנותר עברה בהליכה ברגל במהירות של 4 קמ"ש. א. כעבור כמה שעות מרגע יציאתה מבאר שבע התחילה דבורה ללכת ברגל? ב. כמה קילומטרים עברה ברכיבה על אופניה? 6 זמן מהיציאה לדרך )שעות( מרחק מתל אביב )בק מ( 72 A f() K g() C 35

36 במשימות הבאות הניחו, לצורך החישוב, שקצב שינוי הוא קבוע אלא אם כן נאמר אחרת. 8 במושב הותקנה מכולה חדשה. במשך כמה ימים הכניסו למכולה 3.5 טונות תבואה ביום. לאחר מכן מכרו את התבואה בקצב של.5 טונות ליום עד שהמכולה התרוקנה. תהליך המילוי והפינוי של המכולה נמשך 0 ימים. א. סרטטו סקיצה המתארת את השתנות תכולת המכולה מהרגע שהתחילו למלא אותה ועד הרגע שהמכולה התרוקנה. ב. במשך כמה ימים מילאו את המכולה? במשך כמה ימים רוקנו אותה? ג. כמה טון תבואה היו במכולה כשהייתה מלאה? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות הרחבה דיון 9 שליח יצא מאילת למסור חבילה בחיפה, ונסע לשם במהירות 70 קמ"ש. אחרי נסיעה של 362 ק"מ הגיע לתל אביב )ראו באיור( ומבלי לעצור בה המשיך בדרכו לחיפה. הוא מסר את החבילה ומיד נסע חזרה לתל אביב באותה הדרך במהירות 62 קמ"ש. זמן הנסיעה הכולל של השליח מאילת לחיפה וחזרה לתל אביב היה 8 שעות. א. כעבור כמה זמן מיציאתו מאילת הגיע השליח לחיפה? ב. כמה קילומטרים עבר השליח בדרכו מאילת לחיפה? 20 בשעה 8:00 בבוקר התחילו לחמם נוזל שהטמפרטורה ההתחלתית שלו הייתה 30 C. חיממו אותו בקצב קבוע של 5 מעלות לדקה. לאחר זמן מה החלו לצנן את הנוזל בקצב של 8 מעלות לדקה. במהלך צינון הנוזל, בשעה 8:5, הייתה הטמפרטורה שלו 40 C. א. באיזו שעה החלו לצנן את הנוזל? ב. מה הייתה טמפרטורת הנוזל כאשר החלו לצננו? חיפה 2 בבוקר הייתה בריכה א ריקה ובריכה ב הכילה 20 מ"ק מים. התחילו למלא את בריכה א בקצב של 60 מ"ק לשעה. כעבור 4 שעות התחילו למלא את בריכה ב בקצב של 80 מ"ק לשעה. ה משיכו למלא את שתי הבריכות עד שכמויות המים בהן היו שוות. לפניכם סקיצה המתארת את כמות המים בכל בריכה כתלות בזמן שעבר מרגע שהתחילו למלא את בריכה א. א. הסבירו מה מתארים הגרפים של הפונקציות,f() g() ו ( h( בסיפור. ב. על פי הנתונים המספריים רשמו את שיעורי הנקודות ואת שיפועי הישרים בסרטוט. ג. רשמו ייצוג אלגברי לפונקציות,f() g() ו ( h(. ד. מצאו מתי השתוו כמויות המים בשתי הבריכות. ה. מצאו מה הייתה כמות המים בכל בריכה כאשר הכמויות השתוו. תל אביב 362 ק מ אילת M N P כמות המים )במ ק( h() f() g() זמן שעבר מהשעה 8:00 בבוקר )בשעות( 36

37 22 בשני מאגרי מים לא מלאים היו ביום ראשון בשעה 8:00 בבוקר כמויות שונות של מים: במאגר א היו 720 מ"ק, ובמאגר ב 300 מ"ק. בשעה 8:00 בבוקר התחילו להזרים מים למאגר א בקצב של 50 מ"ק לשעה; בשעה 9:00 התחילו להזרים מים למאגר ב בקצב של 80 מ"ק לשעה. א. מצאו מתי היו כמויות המים בשני המאגרים שוות. ב. מה הייתה כמות המים בכל אחד מהמאגרים ברגע שהכמויות השתוו? ג. מתי הייתה כמות המים במאגר א גדולה ב 20 מ"ק מהכמות במאגר ב? 23 שני יישובים הוקמו באותו זמן. האוכלוסייה ההתחלתית ביישוב א כללה 5,000 תושבים וביישוב ב 3,000 תושבים. קצב גידול האוכלוסייה של יישוב א בשנתיים הראשונות לקיומו היה 000 תושבים בשנה. אחר כך ירד הקצב ל 500 אנשים בשנה. בכל השנים האלה היה קצב הגידול ביישוב ב,000 תושבים בשנה. א. איזו מבין הסקיצות מתאימה לסיפור? ב. כמה שנים אחרי הקמת היישובים היו האוכלוסיות שלהם שוות בגודלן? דיון זמן )שנים( מס' התושבים פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות 2 זמן )שנים( 24 שני מטוסים יצאו באותו הזמן וטסו במסלולים מקבילים )זה מעל זה( מ A לכיוון B. מס' התושבים המטוס הראשון טס כל הדרך במהירות של 900 קמ"ש. המטוס השני טס במשך שעתיים במהירות 700 קמ"ש, ושאר הדרך במהירות של 950 קמ"ש. שני המטוסים חלפו מעל B באותו הזמן. מצאו את המרחק בין A ל B. 25 בחברת דואר "מי די" גובים 5 שקלים לק"ג עבור חבילות שמשקלן עד 3 ק"ג. עבור כל ק"ג נוסף )מעבר ל 3 הק"ג הראשונים( משלמים 2 שקלים לכל ק"ג. בחברת "מהיר" משלמים דמי משלוח קבועים בסך 6 שקלים לחבילה, ובנוסף.5 שקלים לכל ק"ג. א. מהם משקלי החבילות שכדאי לשלוח בחברת מי די? ב. מהם משקלי החבילות שכדאי לשלוח בחברת מהיר? 37

38 26 מכונית נסעה במשך 3 שעות במהירות 60 קמ"ש. לאחר מכן התעכבה למשך שעה, ואז המשיכה לנסוע במהירות 90 קמ"ש. היא הגיעה ליעדה באותו הזמן שהייתה מגיעה לו המשיכה לנסוע במהירות הראשונה ללא עיכובים. חשבו את זמן נסיעתה של המכונית ואת אורך הדרך שעברה. )שימו לב, בסיפור מתוארות שתי נסיעות שונות ממקום היציאה ליעד: הנסיעה שאכן התרחשה, והנסיעה שהייתה יכולה להתרחש.( 27 שתי חברות התחילו בו בזמן למכור מוצר חדש. הרווח של חברה א מהמכירות היה,500 כל שבוע. הרווח של חברה ב במשך 0 השבועות הראשונים היה 6,500 כל שבוע, אך לאחר מכן היא הפסידה 500 כל שבוע. א. כמה זמן אחרי תחילת המכירה היו הרווחים של שתי החברות שווים זה לזה? ב. מה היה הרווח של כל חברה ברגע שהרווחים היו שווים? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות 28 רוכבת אופניים יצאה מרחובות לבאר שבע במהירות של 6 קמ"ש. לאחר 3 שעות של רכיבה התעכבה הרוכבת למשך שעה אחת ונחה, ולאחר מכן המשיכה לרכוב במהירות 24 קמ"ש. הרוכבת הגיעה לבאר שבע באותו הזמן שהיתה מגיעה לו נסעה כל הדרך במהירות של 6 קמ"ש ללא עיכובים. א. כעבור כמה זמן מיציאתה לדרך הגיעה רוכבת האופניים לבאר שבע? ב. מצאו את המרחק בין רחובות לבאר שבע )במסלול הנסיעה של הרוכבת(. 29 איציק ויוסי גרים באותו בניין. ביום חמישי בשעה 9:00 הם יצאו מביתם ונסעו לים המלח כל אחד במכוניתו. אתגר המרחק מביתם לחוף ים המלח לאורך מסלול הנסיעה שבחרו הוא 200 ק"מ. איציק נהג במהירות של 60 קמ"ש, ויוסי נהג במהירות של 80 קמ"ש. אחרי נסיעה של רבע שעה נזכר יוסי ששכח את בגד הים, והוא חזר הביתה לקחת אותו. אביו מסר לו את בגד הים, ויוסי המשיך מיד בנסיעתו לים המלח. הוא נסע כל הזמן במהירות של 80 קמ"ש. האם יוסי השיג את איציק בדרך לים המלח? אם כן, מצאו מתי; אם לא, הסבירו מדוע. 30 רפי ואסף מתכוונים להשתתף בתחרות הרמת משקולות. משקלו של רפי הוא 63 ק"ג ומשקלו של אסף הוא 78 ק"ג. המאמן מציע לרפי להעלות את משקלו ולאסף - להוריד. רפי ואסף נכנסים למשטר דיאטה והתעמלות. משקלו של רפי עולה כל שבוע ב 0.5 ק"ג. משקלו של אסף נשאר קבוע במשך ארבעת השבועות הראשונים, ולאחר מכן יורד כל שבוע ב.5 ק"ג. א. אצל מי מהשניים תהליך שינוי המשקל הוא בריא יותר? מדוע? ב. המאמן ממליץ לשניהם להגיע למשקל 72 ק"ג. מי משניהם יגיע ראשון למשקל זה? ג. מה יקרה קודם - השגת המשקל הרצוי אצל אחד מהם, או נקודת זמן שבה המשקלים של שני המתעמלים שווים? 38

39 3 רוכבת קטנוע ונהג משאית יצאו מחיפה באותה השעה ונסעו לכיוון תל אביב באותה הדרך. רוכבת הקטנוע דיון רכבה במהירות 40 קמ"ש. נהג המשאית נסע במהירות של 60 קמ"ש. אחרי חצי שעה הוא עצר בשולי הדרך כי נזכר ששכח לקחת מטען חשוב. הוא התקשר למשרד בחיפה, ולאחר שיחה שארכה חצי שעה הוחלט שעליו לחזור לחיפה ולקחת את המטען. הנהג חזר לחיפה במהירות 60 קמ"ש. א. לפניכם שני סרטוטים של סקיצות המתארות את המרחקים של המשאית ושל הקטנוע מחיפה כתלות בזמן שעבר מיציאתם לדרך. איזה מהסרטוטים מתאים לסיפור? הסבירו. 2 מרחק מחיפה )ק מ( מרחק מחיפה )ק מ( E G E G זמן שעבר מתחילת הנסיעה )שעות( זמן שעבר מתחילת הנסיעה )שעות( ב. בסרטוט המתאים רשמו לכל פונקציה ייצוג אלגברי. ג. כעבור כמה זמן מיציאתם נפגשו נהג המשאית ורוכבת הקטנוע? דוגמה פתרון דנה ולימור יצאו בשעה 8:00 מחיפה לתל אביב, כל אחת במכוניתה, ונסעו באותו המסלול. דנה נסעה במהירות 80 קמ"ש ולימור נסעה במהירות 75 קמ"ש. לאחר שעה החליטה דנה 2 לעצור בשוליים כדי לוודא שלקחה עמה את תעודת הזהות. לאחר שעה של חיפוש היא החליטה 4 לחזור לחיפה. היא נסעה חזרה במהירות 90 קמ"ש. מתי והיכן נפגשו לימור ודנה בדרך? סרטוט מתאר את המרחק של דנה מחיפה כתלות בזמן שעבר מהשעה 8:00 בבוקר. מאחר שדנה נסעה במהירות 80 קמ"ש, אחרי שעה היא הייתה במרחק 2 40 ק"מ מחיפה, וגם לאחר 3 שעה ( 2 שעה של נסיעה 4 ו 4 שעה של עצירה בצד הדרך( עדיין הייתה במרחק 40 ק"מ מחיפה. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות לכן שיעורי הנקודות M ו P הם 40) M(, ו 40) P( 3 4,. 2 היכן הייתה לימור בזמן הזה? נבדוק מה ידוע לנו על הפונקציה,s() המתארת את מרחקה של 2 שעה לימור מחיפה כתלות בזמן שעבר מהשעה 8:00 בבוקר. אחרי תחילת הנסיעה היא הייתה במרחק 37.5 ק"מ מחיפה )כי נסעה במהירות 75 קמ"ש(, לכן שיעורי הנקודה R )בסרטוט 2( הם (37.5 )R., אחרי 3 4 שעה מתחילת הנסיעה היא הייתה 2 במרחק ק"מ מחיפה, לכן שיעורי הנקודה B הם (56.25 )B. 3, 4 אם כך, גרף הפונקציה s() חותך את גרף הפונקציה h() )הקטע MP בסרטוט 2(. כדי לענות על השאלה מתי נפגשו לימור ודנה, יש לפתור את המשוואה h(). s() = נסו עתה לענות: מתי והיכן נפגשו לימור ודנה בדרך? זמן שעבר מהשעה 3 8:00 בבוקר )שעות( 4 מרחק מחיפה )ק מ( 40 g() M h() P 2 f() f() s() זמן שעבר מהשעה 8:00 בבוקר )שעות( מרחק מחיפה B )ק מ( M 37.5 h() P R

40 32 מכונית וקטנוע יצאו לדרך מירושלים למטולה באותו זמן. המכונית נסעה במהירות 72 קמ"ש, והקטנוע נסע באותו כביש במהירות 40 קמ"ש. עקב תקלה נעצרה המכונית בשולי הדרך לאחר נסיעה של שעתיים וחצי, למשך שעה. לאחר מכן חזרה לירושלים במהירות 40 קמ"ש. א. כעבור כמה זמן מרגע יציאתם חלפו הקטנוע והמכונית זה על פני זה? ב. באיזה מרחק מירושלים חלפו הקטנוע והמכונית זה על פני זה? 33 מכונית ומשאית יצאו לדרך בו זמנית. המכונית יצאה מהעיר A ונסעה לכיוון העיר B במהירות 72 קמ"ש. לאחר נסיעה של שעתיים וחצי עצרה המכונית A C B בשולי הדרך למשך שעה, ולאחר מכן חזרה לעיר A במהירות 60 קמ"ש. המשאית יצאה מהעיר C המרוחקת 6 ק"מ מ A )ראו ציור( ונסעה באותו כביש לעיר B במהירות 42 קמ"ש. א. כעבור כמה זמן מרגע יציאתן חלפו המשאית והמכונית זו על פני זו? ב. באיזה מרחק מהעיר A חלפו המשאית והמכונית זו על פני זו? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות 34 מאגר א, שיכול להכיל 220 מ"ק מים, היה ריק, ואילו במאגר ב היו 90 מ"ק מים. באותה השעה החלו למלא את מאגר א ולרוקן את מאגר ב. את מאגר ב רוקנו בקצב של 80 מ"ק לשעה. את מאגר א מילאו במשך חצי שעה בקצב של 40 מ"ק לשעה; אז הפסיקו את הזרמת המים למשך שעה, ולאחר מכן חזרו למלא אותו בקצב של 60 מ"ק לשעה עד שהמאגר היה מלא. א. מתי היו כמויות המים בשני המאגרים שוות? ב. מה הייתה כמות המים בכל אחד מהמאגרים כשהכמויות היו שוות? 35 סופת הוריקן היא סופה הנוצרת באוקיאנוס האטלנטי. אתגר העוצמה של ההוריקן נמדדת לפי מהירות הרוח המתמשכת )ולא משב בודד( החזקה ביותר, והיא מתחלקת ל 5 קטגוריות, מקטגוריה המציינת סופה חלשה ועד קטגוריה 5 המציינת סופה חזקה ביותר. לפני מספר שנים התחוללה באמריקה המרכזית סופת הוריקן שנעה ממערב מזרחה. התפתחותה הייתה כזו: במשך 50 השעות הראשונות הייתה מהירות הרוח בממוצע 30 קמ"ש. במשך 30 השעות הבאות הגיעה עוצמת הסופה לקטגוריה 3: המהירות הממוצעת של הרוח הייתה 200 קמ"ש. לאחר מכן שככה הסופה ומהירות הרוח ירדה ל 0 קמ"ש, ואחר כך ל 20 קמ"ש. הבית של מר אנדרסן נמצא במסלול הסופה, במרחק 0,250 ק"מ ממזרח למקור הסופה. 20 שעות לפני תחילת הסופה התחיל מר אנדרסון לנסוע במהירות 20 קמ"ש כדי לברוח מהסופה. האם הסופה השיגה אותו? אם כן - כמה שעות אחרי תחילת נסיעתו? באיזה מרחק מביתו? אם לא - הסבירו מדוע. משימות לסיכום 36 כיצד מתארים סיפור בעזרת סקיצה? 37 אילו סיפורים אפשר לתאר בעזרת קווים ישרים? 38 על סמך מה מסמנים בסקיצה שיעורים של נקודות? 39 כיצד כותבים ביטויים המתאימים לסקיצה? 40

41 משימות נוספות 40 מיכל ודרור רכבו על אופניים לאורך אותו הכביש לכיוון העיר C. מיכל יצאה מהעיר A ורכבה במהירות 24 קמ"ש. דרור יצא שעה אחריה מהעיר B, הנמצאת בין A ל C ומרוחקת 36 ק"מ מ A )ראו באיור(. הוא רכב במהירות של 6 קמ"ש. מיכל ודרור הגיעו ל C ביחד. א. כעבור כמה זמן מיציאתה הגיעה מיכל ל C? ב. כעבור כמה זמן מיציאתו הגיע דרור ל C? ג. מהו המרחק )לאורך הכביש( בין A ל C? A B C 36 ק מ 4 הולך רגל יצא לדרך במהירות של 3 קמ"ש. שעה אחריו יצא מאותו מקום הולך רגל שני, והלך באותה דרך במהירות 5 קמ"ש. א. כמה זמן אחרי שהולך הרגל הראשון יצא לדרך השיג אותו הולך הרגל השני? ב. כעבור כמה זמן היה המרחק ביניהם 2 ק"מ? 42 משאית כבדה יצאה מחיפה ונסעה דרך זיכרון יעקב לבאר שבע במהירות 48 קמ"ש. כעבור שעתיים יצאה מכונית פרטית מזיכרון יעקב, המרוחקת 40 ק"מ מחיפה, ונסעה לבאר שבע לאורך אותו כביש במהירות 72 קמ"ש. שני כלי הרכב הגיעו לבאר שבע באותה שעה. א. כמה זמן ארכה נסיעתה של המשאית מחיפה לבאר שבע? ב. כמה קילומטרים נסעה המשאית? 43 רכבת משא יצאה בשעה 6.30 בבוקר מעיר א לעיר ב במהירות של 45 קמ"ש. בשעה 9.00 בבוקר יצאה רכבת נוסעים, גם היא מעיר א לעיר ב, ונסעה במהירות של 20 קמ"ש. שתי הרכבות הגיעו בדיוק באותו הזמן לעיר ב. מצאו את השעה שבה הגיעו שתי הרכבות לעיר ב, ואת המרחק בין שתי הערים. 44 במפעל יש שתי מכונות לייצור בקבוקים. מכונה א מתחילה לייצר בקבוקים שעה וחצי אחרי הפעלתה. חיזוק היא מייצרת 40 בקבוקים בשעה. מכונה ב מתחילה לייצר בקבוקים חצי שעה אחרי הפעלתה, והיא מייצרת 30 בקבוקים בשעה. בשעה 9:00 בבוקר הפעילו את שתי המכונות. מתי היה מספר הבקבוקים שייצרה מכונה א גדול יותר ממספר הבקבוקים שייצרה מכונה ב? 45 בניסוי במעבדה מדדו את הטמפרטורה של שני נוזלים. בתחילת הניסוי הייתה הטמפרטורה של נוזל א 0 C ושל נוזל ב 0 C. התחילו לחמם את נוזל א בקצב של 2 מעלות לדקה; כעבור שתי דקות התחילו לחמם את נוזל ב בקצב של 4 מעלות לדקה. א. כעבור כמה זמן מתחילת החימום של נוזל א הייתה הטמפרטורה שלו שווה לזו של נוזל ב? ב. איזה מהנוזלים היה בטמפרטורה גבוהה יותר כעבור 8 דקות מתחילת החימום של נוזל א? הסבירו. 46 בבריכה א היו 600 מ ק מים ובבריכה ב היו 20 מ ק מים. בבוקר התחילו לרוקן את בריכה א בקצב קבוע של 50 מ ק לשעה. לאחר שעה וחצי התחילו למלא את בריכה ב בקצב קבוע של 40 מ ק לשעה. כעבור כמה שעות מרגע שהתחילו לרוקן את בריכה א הייתה כמות המים בשתי הבריכות שווה? מה הייתה הכמות הזו? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות 4

42 47 דודי ניפח בריכת פלסטיק לאחיו הקטן, והזרים לתוכה מים בקצב קבוע של 00 ליטר לדקה עד שהבריכה התמלאה. אך מיד עם סגירת הברז שרט חתול את הבריכה, והמים זרמו מבעד לחור שנוצר בקצב של 25 ליטר לדקה. 50 דקות אחרי שדודי התחיל למלא את הבריכה היא הייתה שוב ריקה. א. כמה זמן ארך מילוי הבריכה? ב. כמה מים היו בבריכה המלאה? 48 שליח יצא מנצרת ונסע לבאר שבע במהירות 84 קמ"ש. מיד עם הגיעו לשם מסר חבילה, וחזר באותה הדרך לנצרת במהירות 60 קמ"ש. זמן הנסיעה הכולל היה 6 שעות. א. כעבור כמה זמן הגיע השליח לבאר שבע? ב. כמה קילומטרים עבר השליח בדרכו מנצרת לבאר שבע? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות 49 בבריכה היו בבוקר 20 ליטר מים, ואז החלו למלא אותה בקצב של 0 ליטרים לדקה. כעבור 8 דקות התמלאה הרחבה הבריכה, והילדים הוזמנו להשתעשע בה. לאחר זמן, כשהילדים סיימו לשחק, החלו המפעילים לרוקן את הבריכה בקצב של 29 ליטר לדקה. 38 דקות לאחר תחילת המילוי בבוקר הייתה הבריכה ריקה. א. סרטטו גרף המתאר את השתנות כמות המים בבריכה מהבוקר עד שהבריכה הייתה ריקה. ב. מה הייתה כמות המים בבריכה אחרי המילוי? ג. כעבור כמה זמן מתחילת המילוי החלו לרוקן את הבריכה? ד. כמה זמן השתעשעו הילדים בבריכה? 50 טליה ואורית יצאו באותו זמן מעיר א ורכבו לעיר ב לאורך אותו המסלול. טליה רכבה כל הדרך במהירות של 0 קמ"ש. אורית רכבה במשך 4 השעות הראשונות במהירות של 0 קמ"ש, אחר כך עצרה למשך שעה, ולאחר מכן המשיכה לרכוב במהירות של 2 קמ"ש. אורית הגיעה לעיר ב ביחד עם טליה. א. כעבור כמה זמן מיציאתן הגיעו טליה ואורית לעיר ב? ב. מהו המרחק בין עיר א לעיר ב לאורך מסלול הרכיבה של טליה ואורית? 5 הרכבת מוושינגטון לניו יורק נוסעת בדרך כלל במהירות של 20 קמ"ש. יום אחד, בגלל תנאי מזג אוויר קשים ששררו בחלק מהדרך, נסעה הרכבת במשך השעתיים הראשונות במהירות של 00 קמ"ש. בשאר הזמן היא נסעה במהירות של 60 קמ"ש, וכך הגיעה ליעדה בשעה הרגילה. חשבו את זמן הנסיעה מוושינגטון לניו יורק ברכבת ואת המרחק שבין שתי הערים. 52 במפעל המייצר חלקי אופניים תכננו לייצר מספר מסוים של חלקים שהוזמנו, במכונה המייצרת 60 חלקים כאלה ביום. אחרי יומיים של עבודה רצופה התקלקלה המכונה, ולאחר הפסקה של יום אחד בייצור הוחלט להמשיך את העבודה במכונה אחרת, המייצרת 80 חלקים ביום. הודות לכך הסתיימה העבודה בזמן שנקבע מלכתחילה. א. תוך כמה ימים סיימו לייצר את חלקי האופניים שהוזמנו? ב. כמה חלקים הוזמנו? 53 משאית יצאה מצפת לאילת במהירות 72 קמ"ש. כעבור שעה וחצי עצרה לחצי שעה, ולאחר מכן המשיכה לנסוע במהירות 80 קמ"ש. המשאית הגיעה לאילת באותה שעה שבה הייתה מגיעה אילו נסעה כל הדרך במהירות 72 קמ"ש ללא ההפסקה. א. כעבור כמה זמן מיציאתה מצפת הגיעה המשאית לאילת? ב. כמה קילומטרים עברה המשאית בדרכה מצפת לאילת? 42

43 54 רוכבת קטנוע יצאה בשעה :00 מתל אביב ורכבה לכיוון אילת במהירות של 40 קמ"ש. כעבור 3 שעות עצרה למשך שעה וחצי, ולאחר מכן חזרה לתל אביב במהירות 30 קמ"ש. רוכב אופניים יצא בשעה :00 ממקום הנמצא 40 ק"מ דרומית לתל אביב, ורכב לכיוון אילת באותו המסלול של רוכבת הקטנוע, במהירות 20 קמ"ש, מבלי לעצור. רוכבת הקטנוע ורוכב האופניים נפגשו פעמיים בדרכם. מתי ובאיזה מרחק מתל אביב נפגשו הרוכבים? 55 המרחק בין מפעל בנגב לנמל חיפה הוא 252 ק"מ. משאית ומכונית פרטית יצאו באותו זמן זו לקראת זו: המשאית יצאה מהמפעל ונסעה לנמל חיפה במהירות 60 קמ"ש; כעבור שעה וחצי היא עצרה בשולי הדרך למשך חצי שעה, ולאחר מכן המשיכה בדרכה לחיפה באותה המהירות. המכונית הפרטית יצאה מנמל חיפה ונסעה למפעל במהירות 90 קמ"ש בלי עיכובים. א. כעבור כמה זמן מרגע יציאתם נפגשו שני כלי הרכב? ב. כמה קילומטרים נסע כל אחד מהם ממקום יציאתו עד למקום המפגש? למתעניינים למדידת טמפרטורה משתמשים בעיקר בשלושה סולמות: סולם צלזיוס, סולם קלווין וסולם פרנהייט. סולם צלזיוס מתבסס על נקודת הקיפאון של המים )המסומנת כ 0 ( ועל נקודת הרתיחה שלהם )המסומנת כ 00 (. היחידה צלזיוס מסומנת באות C. סולם קלווין מתבסס על "האפס המוחלט". זוהי הטמפרטורה מינוס מעלות צלזיוס - הטמפרטורה הנמוכה ביותר האפשרית מבחינה פיזיקלית. היחידה קלווין מסומנת באות K. מעלה אחת בסולם זה שווה למעלה אחת בסולם צלזיוס. סולם פרנהייט מתבסס על הטמפרטורה שאליה יורד קרח כתוש כאשר מערבבים אותו במלח. זוהי נקודת ה 0 בסולם הזה. היחידה פרנהייט מסומנת באות F.. האם לדעתכם אתם יכולים לעשות בבית ניסוי שבו תקבלו חומרים בטמפרטורות הבאות? פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת פונקציות א. 0 C ב. 0 F ג. 0 K F = את המעבר ממעלות צלזיוס )C( למעלות פרנהייט )F( מבצעים לפי הנוסחה: + 32 C כתבו נוסחה שבעזרתה אפשר לעבור ממעלות צלזיוס )C( למעלות פרנהייט )F(. 3. במעבדה מודדים טמפרטורה של נוזל אחד במדחום בסולם קלווין, וטמפרטורה של נוזל אחר - במדחום בסולם פרנהייט. שני המדחומים מראים אותה טמפרטורה. מחליפים את שני המדחומים למדחומים בסולם צלזיוס. הטמפרטורה של איזה נוזל תהיה גבוהה יותר? בכמה מעלות צלזיוס? 4. טמפרטורה של נוזל היא 0 K. מהי הטמפרטורה של הנוזל הזה בסולם פרנהייט? 43

44 מחשבים ולא רק...* משימה: אולמות תצוגה במרכז מסחרי נבנו חמישה אולמות תצוגה, הממוקמים לאורך שד רה אחידה, כמתואר בסרטוט. )שימו לב, בכל האולמות הזוויות הן ישרות, פרט לשתי הזוויות שבאולם מספר 5.( כל הקירות של אולמות התצוגה עשויים זכוכית. b a a a a a בעל רשת למכירת בגדי אופנה מעוניין לשכור את אחד מאולמות התצוגה. הוא מתלבט אם לשכור את אולם התצוגה ששטחו הוא הגדול ביותר )כדי שיוכל להכיל בתוכו כמות גדולה ביותר של בגדים למכירה( או לשכור את אולם התצוגה שהיקפו הוא הגדול ביותר )כדי שיוכל להציג בחלון הראווה כמות רבה ככל האפשר של בגדים.(. איזה אולם תצוגה הוא בעל השטח הגדול ביותר? נמקו. 2. איזה אולם תצוגה הוא בעל ההיקף הגדול ביותר? נמקו. 3. איזה אולם תצוגה הוא בעל ההיקף הקטן ביותר? נמקו. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מחשבים ולא רק נסמן ב S את שטחו של אולם תצוגה מס', וב P את היקפו של אולם תצוגה מס'. קבעו אם השטח של כל אחד מאולמות התצוגה האחרים גדול מ S, שווה ל S או קטן מ S, ואם ההיקף של כל אחד מאולמות התצוגה האחרים גדול מ P, שווה ל P או קטן מ P. אולם מס' שטח היקף האם יש שני אולמות תצוגה )או יותר( שיש להם אותו היקף, אך לא אותו שטח?. 6 הציעו שינוי בתכנון של אולם תצוגה מס' 3, כך שיתקיים: א. היקף האולם החדש יהיה זהה להיקף של אולם מס' 3, אך שטחו יהיה קטן יותר משטחו של אולם 3. ב. היקף האולם החדש יהיה גדול יותר מההיקף של אולם מס' 3, אך שטחו יהיה קטן יותר משטחו של אולם 3. ג. היקף האולם החדש יהיה קטן יותר מההיקף של אולם מס' 3, וגם שטחו יהיה קטן יותר משטחו של אולם 3. * לקוח מאתר משרד החינוך לאוריינות מתמטית: Limudim/Math_Chatav/OranutMath/MedidutHide/MUlamot.htm 44

45 אחוזים. בכיתה יש מספר שווה של בנים ובנות. איזה אחוז מהכיתה מהווים הבנים? 2. איזו כמות גדולה יותר, 20% מ 00 ספרים, או 25% מ 80 ספרים? נמקו % מאבטיח הם מים. כמה מים יש באבטיח שמשקלו 4 ק"ג? א ק"ג. ב. 2.8 ק"ג. ג. 3.4 ק"ג. ד ק"ג. 4. בחבילת שוקולד 28 קוביות. אילנה אכלה 3 קוביות ומוטי אכל 4. כמה אחוזים מהחבילה אכלו אילנה ומוטי יחד? א. 7% ב. 0.25% ג. 25% ד. 4 % 5. הצלע של ריבוע היא 4 ס"מ. הגדילו את צלע הריבוע ב 0%. חשבו את שטח הריבוע לאחר הגדלת הצלע. א. בכמה אחוזים גדל שטח הריבוע? ב. האם תשובתכם בסעיף הקודם תשתנה אם צלע הריבוע הייתה בתחילה 5 ס"מ? נמקו. ג. 6. בקורס של משרד החוץ 3 מהמשתתפים הם דוברי אנגלית והשאר הם דוברי צרפתית. 5 מהו אחוז דוברי הצרפתית בקורס? 7. "48% מן המשתתפים בכנס הצביעו בעד ההחלטה." בעד ההחלטה הצביעו: ב. קרוב לחצי מהמשתתפים. רוב המשתתפים. א. ד. לא ניתן לדעת. 48 אנשים. ג. 8. % ממשכורתו של שכיר משולמים למס הכנסה, 2% ממשכורתו לביטוח לאומי ו 4% לביטוח בריאות. מהו אחוז המשכורת הנשאר בידי השכיר? א. כ 20% ב. פחות מ 50% ג. כ 80% ד. כ 20% 9. מס ערך מוסף הוא בגובה 8% מכל עסקה כספית. א. בעל מוסך דורש עבור עבודתו סכום של 400 ש"ח ללא מע"מ. כמה ידרוש מן הלקוח בתוספת מע"מ? ב. לקוח אחר שילם לבעל המוסך עבור תיקון המכונית 708 ש"ח, כולל מע"מ. מה היה מחיר התיקון ללא מע"מ? 0. בשכבה של כיתה ח' יש 50 תלמידים, שמהווים 40% ממספר תלמידי חטיבת הביניים. א. מהו מספר התלמידים בחטיבת הביניים? ב. בשכבה ט' באותו בית ספר יש 20 תלמידים. איזה אחוז מהווים תלמידי כיתות ז' מכלל תלמידי החטיבה? * משימות 0- לקוחות מתוך: פיתוח חשיבה כמותית - פרקי העמקה וחזרה לחטיבות הביניים, חלק א, משרד החינוך, המזכירות הפדגוגית, האגף לתכנון ולפיתוח תכניות לימודים והמרכז הישראלי לחינוך מדעי טכנולוגי, ירושלים התשס ג , עמ כל הזכויות שמורות למשרד החינוך. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מחשבים ולא רק... 45

46 מגדלור (מעובד משאלון 2003( PISA מגדלור עוזר לספינות בים להתמצא בלילה בהתקרבן אל החוף. בראש המגדלור נמצא פנס השולח הבזקי אור לפי חוקיות קבועה. משך כל הבזק ומשך כל הפסקה הוא מספר שלם של שניות. בתרשים שלפניכם אפשר לראות את החוקיות של הזמנים שבהם יש הבזקי אור או חושך. החוקיות הקבועה חוזרת על עצמה. אור חושך זמן )בשניות( כאשר מגלים את משך הזמן להשלמת מחזור של החוקיות אפשר להמשיך את התרשים לפרקי זמן ארוכים יותר. פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( מחשבים ולא רק.... מהו משך המחזור של החוקיות המתוארת? )סמנו את התשובה הנכונה.( א. 2 שניות ב. 3 שניות ג. 5 שניות ד. 2 שניות. 2 חשבו במשך כמה שניות שולח המגדלור הבהובי אור במהלך דקה אחת.. 3 בתרשים שלפניכם הדגימו חוקיות המתאימה למצב שבו: המגדלור שולח אור במשך 36 שניות בדקה; אורך כל מחזור 5 שניות; אין הבזקי אור במשך 3 שניות רצופות זמן )בשניות( אור חושך * לקוח מאתר משרד החינוך לאוריינות מתמטית: Limudim/Math_Chatav/OranutMath/Algebra0Hide/MMigdalur.htm 46

47 ה. תרגול נוסף כל השאלות עוסקות בסיפור שבמסגרת. א. מהם שיעורי הנקודות C B, A, ו D? ב. מה משמעות הנקודה A בסיפור? ג. מה משמעות הנקודה D בסיפור? 2 במשך כמה זמן אבי מסיים את שחייתו )שלוש פעמים הלוך ושוב(? א. 20 שניות ב. 40 שניות ג. דקה ד. 2 דקות שני שחיינים שוחים בבריכה שאורכה 30 מ. השחיינים שוחים מתחילת הבריכה אל סופה וחזרה, שלוש פעמים. אבי שוחה במהירות של.5 מ לשנייה ובן שוחה במהירות של מ לשנייה. אבי ובן התחילו לשחות באותו זמן. לפניכם הגרף המתאים לזמן השחייה של כל שחיין את מרחקו של השחיין מתחילת הבריכה, במהלך שחייה של פעם אחת מתחילת הבריכה אל סופה וחזרה. 3 במשך כמה זמן בן מסיים את שחייתו )שלוש פעמים הלוך ושוב(? הסבירו. המרחק מתחילת הבריכה A B C D 4 העתיקו את הסקיצה למחברותיכם, והמשיכו את הגרף כך שיתאר את כל השחייה. הזמן 5 רשמו נכון או לא נכון. א. מהירות השחייה של אבי גדולה פי.5 ממהירות השחייה של בן. ב. זמן השחייה של אבי גדול פי.5 מזמן השחייה של בן. ג. במהלך השחייה נפגשו אבי ובן לפחות פעם אחת. ד. כאשר אבי סיים לשחות, הספיק בן לסיים שתי "שחיות" )הלוך ושוב כל אחת(. 6 מה היה מרחקו של בן מתחילת הבריכה אחרי 40 שניות מאז שהחל לשחות? א. 0 מ' ב. 20 מ' ג. 30 מ' ד. 40 מ' 7 כעבור כמה שניות מאז שהחלו השחיינים לשחות, הם נפגשו בפעם הראשונה? 8 כמה פעמים נפגשו השחיינים במהלך שחייתם? כמה פגישות נוספות התקיימו? * לקוח מאתר משרד החינוך לאוריינות מתמטית: Math_Chatav/OranutMath/Algebra0Hide/MSachanim.htm פונקציה קווית - חלק ב )הרחבה( תרגול נוסף 47

48 מערכות משוואות א. משוואה עם שני משתנים מה נלמד? פתרון משוואה עם שני משתנים גרף של משוואה עם שני משתנים משוואה קווית עם שני משתנים גרף של משוואה קווית עם שני משתנים. קבוצת חברים אספה 30 למסיבת חנוכה. בכסף זה חברי הקבוצה מתכוונים לקנות סופגניות וקרמבו. המחיר של קרמבו אחד הוא, והמחיר של סופגנייה אחת הוא. 2 א. רוני הציעה לקנות 5 סופגניות. כמה קרמבו יקנו החברים במקרה זה? ב. דני הציע לקנות 2 קרמבו. כמה סופגניות יקנו החברים במקרה זה? ג. הציעו לחברים שתי אפשרויות נוספות לקניית סופגניות וקרמבו לחנוכה בכסף שברשותם. עד עכשיו פתרתם משוואות שבהן משתנה )נעלם( אחד בלבד. דוגמאות m(m - ) = 0 c + 4c = 9c = בפרק זה נעסוק במשוואות עם שני משתנים. דוגמאות משוואה עם שני משתנים ו 3-4 = 7 : משוואה עם שני משתנים a ו b a(a + b) = 2b : ד. סמנו את מספר הסופגניות ב ואת מספר הקרמבו ב, וכתבו משוואה עם שני המשתנים ו המייצגת את המתואר בבעיה. ה. הציעו שני פתרונות שונים למשוואה שכתבתם בסעיף ד. האם לכל פתרון שהצעתם יש משמעות בבעיה המתוארת? הסבירו. ו. מהו לדעתכם פתרון המשוואה? זוג מספרים שהצבתם במשוואה במקום המשתנים יוצרת שוויון מספרי - נקרא פתרון של המשוואה. דוגמה הזוג = 9 = -, הוא פתרון של המשוואה = 6,3 + כיוון שאם נציב את המספרים במשוואה נקבל = (-),3 כלומר שוויון מספרי נכון. שימו לב! פתרון של משוואה עם שני משתנים הוא זוג של מספרים. כששני המשתנים הם ו, נהוג לכתוב את הפתרון כזוג סדור ),(. בדוגמה שלנו הזוג הסדור 9( )-, הוא פתרון המשוואה = 6,3 + כי: = (-) 3 לעומת זאת, הזוג הסדור )-,9( איננו פתרון של המשוואה, כי: בזוג סדור המקום הראשון )השמאלי( מיועד לערך של המשתנה, מערכות משוואות )הרחבה( משוואה עם שני משתנים והמקום השני )הימני( מיועד לערך של המשתנה, ויחד הם פתרון של המשוואה. 48

49 2 נתונה המשוואה: + = 3 6 א. מצאו אילו מהזוגות הסדורים: 3) (3, 0) (0, 3) (-, -3) (, -6) (0, הם פתרונות של המשוואה הנתונה. ב. הציעו דוגמאות לזוגות סדורים נוספים שהם פתרונות של המשוואה הנתונה. דיון 3 נתונה המשוואה: 3 + = 5 - א. כיצד אפשר לדעתכם לפתור את המשוואה? ב. תלמידים דנו בדרכים שונות לפתרון המשוואה: שירי הציעה לסרטט את הגרפים של שתי הפונקציות שבאגפי המשוואה, וכך למצוא את פתרון המשוואה. מה דעתכם על הצעתה של שירי? יוסי הציע להשתמש בפעולות הפוכות. מה דעתכם על הצעתו של יוסי? דיון כאשר פתרתם משוואות עם משתנה אחד השתמשתם בהשוואה בין הפונקציות שבשני אגפי המשוואה. במשוואה עם שני משתנים הביטויים שמופיעים בשני האגפים אינם פונקציות שאתם מכירים, לכן לא נפתור משוואות כאלה על ידי השוואת הפונקציות שבשני האגפים. בפרק זה נציע דרכי פתרון חדשות, המתאימות לפתרון משוואות עם שני משתנים. מערכות משוואות )הרחבה( משוואה עם שני משתנים 4 נתונה המשוואה: = 3 - א. ודאו שזוגות המספרים (2,5) (2-,) (5-,2-) )3-,0( הם פתרונות של המשוואה. ב. סמנו כל זוג כנקודה במערכת הצירים )מערכת צירים אחת לכל הזוגות(. ג. שערו היכן נמצאות כל הנקודות ששיעוריהן הם פתרונות של המשוואה. ד. הציעו פתרונות נוספים למשוואה וסמנו אותם באותה מערכת צירים. האם הסימון מאשר את ההשערה שלכם? ה. כמה פתרונות יש למשוואה הנתונה? ו. תנו דוגמה לזוג מספרים שאיננו פתרון של המשוואה. האם הנקודה נמצאת במקום שתיארתם בסעיף ג? האוסף של כל הנקודות ששיעוריהן הם פתרונות של משוואה כלשהי נקרא גרף המשוואה. 5 נתונה המשוואה: 2 - = 3 א. מצאו אילו מהזוגות הבאים הם פתרונות של המשוואה. )0, 0( (, 4) (2, -2) (, -2) ב. כתבו פתרון נוסף של המשוואה. הסבירו כיצד מצאתם אותו. ג. את הפתרונות שמצאתם בסעיפים הקודמים - סמנו כנקודות על מערכת צירים. ד. האם כל הנקודות שסימנתם נמצאות על קו ישר? לא תמיד גרף של משוואה עם שני משתנים הוא קו ישר. דיון 49

50 2) (, = - א 3) (2, 6 = ב 6 בכל סעיף נתונה משוואה בשני ייצוגים שונים: בייצוג אלגברי ובייצוג גרפי. כמו כן נתון זוג מספרים שהוא אחד מהפתרונות של המשוואה. בכל סעיף: הראו בשני הייצוגים שזוג זה הוא פתרון של המשוואה. בחרו נקודה נוספת על גרף המשוואה, והראו שהיא פתרון על ידי הצבתה במשוואה. הציעו פתרון נוסף של המשוואה ומצאו אותו על מערכת הצירים. בדקו אם הנקודה החדשה אכן נמצאת על גרף המשוואה. בדקו אם הגרף מייצג פונקציה כלשהי, והסבירו. ) (-2, 0 = 2 + ג מערכות משוואות )הרחבה( משוואה עם שני משתנים 7 בכל אחד מהסעיפים א ד מתואר מצב. לכל אחד מהמצבים המתוארים: סמנו במשתנים שני גדלים לפי בחירתכם, וכתבו משוואה מתאימה. הציעו שלושה פתרונות שונים למשוואה שכתבתם. בדקו אם לכל פתרון שהצעתם יש משמעות בסיפור, והסבירו. א. ביישוב חדש קיבלה כל משפחה חלקה מלבנית ששטחה 300 מ"ר. ממדי החלקות שונים זה מזה. ב. במוסד לביטוח לאומי קיבל כל משרד 400 לקניית עפרונות ועטים. המחיר של עיפרון הוא, 2.5 והמחיר של עט הוא. 4 ג. אדריכל ת כנן אולם קולנוע שבו 240 מקומות ישיבה, כך שבכל שורה יש מספר שווה של מקומות. ד. המכפלה של שני מספרים קטנה ב 70 מריבוע המספר הראשון. 8 בכל סעיף נתונים משוואה וזוג סדור של מספרים. בדקו אם הזוג הנתון הוא פתרון של המשוואה. נסו למצוא פתרון אחר למשוואה. כמה פתרונות יש למשוואה זו? הסבירו. -) (-, -8 = 3 ) ( + ה 4) (0, 0 = 2 - ג -5) (-2, - 2 = א 0) (0, 0 = ו 2) (, 3 = 4 - ד 7) (0, 7 = 3 + ב 50

51 לכל משוואה כתבו דוגמה של זוג מספרים שהוא פתרון של המשוואה, 9 וזוג מספרים שאיננו פתרון של המשוואה. הראו על ידי הצבה שצדקתם. הרחבה = א = ד -4 = ז 3 ב ח = ה = 3-3 = 0 = ט = ו = ג 0 א. הציעו דוגמה של משוואה עם שני משתנים שיש לה אינסוף פתרונות. הסבירו. ב. הציעו דוגמה של משוואה עם שני משתנים שיש לה פתרון יחיד. הסבירו. ג. הציעו דוגמה של משוואה עם שני משתנים שאין לה פתרונות. הסבירו. משוואה ממעלה ראשונה עם שני משתנים משוואה ממעלה ראשונה היא משוואה שבה כל משתנה מופיע במעלה ראשונה בלבד, ואין כפל או חילוק של ביטויים אלגבריים. )אם במשוואה מופיע שבר - אין משתנים במכנה.( = 7 דוגמאות = 2 מערכות משוואות )הרחבה( משוואה עם שני משתנים ט = ה = א = 5 אילו מהמשוואות הן משוואות ממעלה ראשונה? = = י = ו = 5 ) 2(2 - ב יא = ז = ג = - ( - 4) = יב 2-2 = 2 ח - = 27 ד 2 כתבו דוגמאות משלכם למשוואות ממעלה ראשונה עם שני משתנים. 5

52 דיון 3 נתונה המשוואה: = א. מצאו את הערך של אם נתון: =. תארו כיצד מצאתם את. ב. מצאו את הערך של אם נתון: 2- =. תארו כיצד מצאתם את. ג. כיצד אפשר למצוא את הערך של אם נתון הערך של? במשוואה = ניתן לבודד את המשתנה, ולבטא אותו באמצעות המשתנה כך: 3 - = = = = למשוואות = = 3 = יש אותם פתרונות. משוואות שיש להן בדיוק אותם פתרונות נקראות משוואות שקולות. למשוואות שקולות יש אותו גרף. הסבירו מדוע. מערכות משוואות )הרחבה( משוואה עם שני משתנים ד. המשוואה = מהווה ייצוג אלגברי של פונקציה קווית: המשתנה הוא פונקציה קווית של המשתנה. מהו השיפוע של הפונקציה? ה. מהו גרף המשוואה = 5 3? - הסבירו. לעתים קרובות משוואה ממעלה ראשונה עם שני משתנים מהווה גם ייצוג אלגברי של פונקציה קווית: משתנה אחד )( הוא פונקציה קווית של המשתנה האחר )(. גרף של משוואה ממעלה ראשונה עם שני משתנים הוא קו ישר. לכן נהוג לקרוא למשוואה ממעלה ראשונה בשם משוואה קווית. 52

53 )0, 2( שתי דרכים לסרטוט גרף של משוואה קווית דרך א: אפשר להציג את אחד המשתנים כפונקציה של המשתנה האחר, ולבנות את גרף הפונקציה. דוגמה נתונה המשוואה: = נציג את המשתנה כפונקציה של המשתנה באמצעות משוואה שקולה למשוואה הנתונה: = 4 2 = 4-3 = שיפוע הפונקציה הוא.5- ונקודת החיתוך עם ציר היא )2,0(. )4, -4( דרך ב: אפשר לסרטט את גרף המשוואה מבלי לעבור למשוואה שקולה - די אם נמצא שתי נקודות ששיעוריהן הם פתרונות של המשוואה, ונמתח ביניהן קו ישר. דוגמה הנקודות 2( )0, ו ) 4 - )4, הן פתרונות של המשוואה = הקו הישר העובר ביניהן הוא גרף המשוואה. 4 סרטטו לכל משוואה את הגרף שלה. ( - 2) = ה = ג = א = ו ( + ) - = 2 ד -8 = 3 + ב דיון מערכות משוואות )הרחבה( משוואה עם שני משתנים 5 נתונה המשוואה: = א. מהו לדעתכם הפתרון של המשוואה? ב. לפניכם זוגות סדורים: (2, 85) (58, 993) (0, 0) (2, 0) (-2, 0) (2, -4) (-5, ) אילו מהזוגות הם פתרונות של המשוואה? הסבירו. מה משותף לכל הזוגות שציינתם? ג. נסו לתאר את כל הפתרונות של המשוואה. ד. סמנו במערכת הצירים כמה מהפתרונות של המשוואה, וסרטטו את גרף המשוואה. 53

54 למשוואה קווית עם משתנה אחד מהצורה a = c )כאשר 0 a ) יש פתרון אחד: = c a כל משוואה עם משתנה אחד מהצורה a = c אפשר להציג כמשוואה עם שני משתנים: (a 0) a + 0 = c כמו לכל משוואה קווית עם שני משתנים, כך גם למשוואה a + 0 = c יש אינסוף פתרונות, שהם זוגות סדורים של מספרים ),(. לכל משוואה, a = c כאשר מציגים אותה כמשוואה עם שני משתנים - יש אינסוף פתרונות שהם זוגות סדורים של מספרים ) (. c, a דוגמה את המשוואה -0 = 5 אפשר להציג כך: -0 = למשוואה הזאת יש אינסוף פתרונות מסוג ),2-(, למשל: 000(,)-2, 0.4(,)-2, ) )-2, 6 נתונה המשוואה הקווית: = דיון א. הציעו שלושה פתרונות למשוואה. ב. סרטטו את הגרף של המשוואה. ג. תארו במילים מה מאפיין את כל הפתרונות של המשוואה. )2, 2( )2, 0( )2, -3( )-3, 2( ), 2( )4, 2( מערכות משוואות )הרחבה( משוואה עם שני משתנים גרף המשוואה a + 0 = c הוא קו ישר המקביל ציר,Y שבכל נקודותיו שיעור ה הוא. = c a דוגמה גרף המשוואה = הוא ישר המקביל לציר,Y ששיעור ה של כל נקודותיו הוא = 2. *** גרף המשוואה + b = c 0 הוא קו ישר המקביל לציר, שבכל נקודותיו שיעור ה הוא. = c b דוגמה גרף המשוואה = הוא ישר המקביל לציר,X ששיעור ה של כל נקודותיו הוא = 2. 54

55 7 בכל סעיף סרטטו את גרף המשוואה. 2 - ( + 2) = ה + + = ג = א = ו + = ד -4 = 2 ב 8 בכל סעיף סרטטו את גרף המשוואה. ה 3( - ) = ג = א = 2( - ) 2 = ו + = ד -2 = 4 ב דיון 9 מה ניתן לומר על הפתרונות של משוואה קווית כגון + 2 = c 0, שבה המקדם של שווה ל 0? כיצד ייראה גרף של משוואה מסוג זה? בכל סעיף הציעו שלוש משוואות קוויות עם שני משתנים בהתאם לתנאי המפורט בסעיף. 20 א. הגרף של המשוואה מקביל לציר X. הרחבה ב. הגרף של המשוואה מקביל לציר Y. 2 בכל סעיף סרטטו את גרף המשוואה = ה ) - 3 = 3( - ג = 3 6 א חיזוק מערכות משוואות )הרחבה( משוואה עם שני משתנים ד = ב )( )2( )3( 3 = + 6 ) + 5( 3-5 = 6 - ו 22 לכל גרף בסרטוט התאימו אחת מהמשוואות האלה: א ב ג = 2-2 = 0 + = משימות לסיכום 23 נתונה המשוואה: = א. כתבו פתרון כלשהו של המשוואה הנתונה. מהו פתרון של משוואה עם שני משתנים? ב. כמה פתרונות יש למשוואה הנתונה? 55

56 24 נתונה המשוואה: = א. האם המשוואה מייצגת פונקציה קווית? אם כן - מהו שיפוע הפונקציה? ב. סרטטו גרף של המשוואה. האם הנקודה )50,35( שייכת לגרף המשוואה? הסבירו. 25 לכל משוואה התאימו אחד מהגרפים שבסרטוט. נמקו! א ב ג 2 - = = 6 2 = 6 (3) (2) () משימות נוספות מערכות משוואות )הרחבה( משוואה עם שני משתנים 26 בכל סעיף נתונים משוואה וזוג סדור של מספרים. בדקו אם הזוג הסדור הנתון הוא פתרון של המשוואה. כתבו פתרון נוסף של המשוואה. כמה פתרונות יש למשוואה זו? הסבירו. = - ה -) (-2, 3 = 2 + ג -) (-2, + 3 = א (-2, ) 2) (-, 5 = ו 2) (2, 5 = 6 - ד 4) (-2, 6 = 5 - ב ) (-3, 5 = 2 - א 27 בכל סעיף נתונה משוואה בשני ייצוגים: ייצוג אלגברי וייצוג גרפי. כמו כן נתון זוג מספרים. בדקו בשני הייצוגים וודאו שהזוג הנתון הוא אכן פתרון של המשוואה. 2) (-3, = ב 97) (3, = ג = 0 - ה = ג = א 2 ב = ד = 2 - ו 2-2 = 3 חיזוק 28 לכל משוואה הציעו פתרון אחד. 56

57 29 בחצר של דודי נמצאים כלבים ואווזים. לכל בעלי החיים יחד יש 24 רגליים. א. סמנו במשתנה את מספר הכלבים בחצר. סמנו במשתנה את מספר האווזים בחצר. כתבו משוואה מתאימה לסיפור. ב. לפניכם שלושה זוגות של מספרים: (-2, 6) (3, 6) (4.5, 3) בדקו כל זוג וקבעו אם הוא פתרון של המשוואה שכתבתם. אם כן, האם יש לפתרון הזה משמעות בסיפור? מהי המשמעות? ג. הציעו שלושה פתרונות נוספים למשוואה. האם לכל פתרון שהצעתם יש משמעות בסיפור? הסבירו. 30 בכל סעיף מופיעים משוואה והגרף שלה. היעזרו בגרף ומצאו שלושה פתרונות של המשוואה. בדקו את תשובתכם על ידי הצבתה במשוואה = 4 ג = ב = א 3 בכל סעיף בטאו את המשתנה כפונקציה של המשתנה. מהו השיפוע של הפונקציה? סרטטו את גרף הפונקציה. מערכות משוואות )הרחבה( משוואה עם שני משתנים = ה = ג = - א + = 0 ו = ד = 0 ) + 5(3 - ב 32 בכל סעיף סרטטו את גרף המשוואה. = ה = + ג = א = 6 + ו + 5 = - 2 ד -4 = 2 - ב 57

58 (2) () (4) (3) 33 במערכת הצירים מסורטטים ארבעה גרפים. קבעו איזו משוואה מתאימה לכל גרף. + 2 = = = 0 = 0-2 א ב ג ד 34 לכל משוואה כתבו שני זוגות סדורים של מספרים שהם פתרונות של המשוואה, ובנו את הגרף. ז = ה = 5 (-2) - ג = 9-3 א ח = 0-2 ו = 4 ד = 0 5 ב 2 = 2 2 = 2 35 בכל סעיף כתבו לכל גרף משוואה מתאימה בשני משתנים. הרחבה א ב () (3) מערכות משוואות )הרחבה( משוואה עם שני משתנים 36 בכל סעיף א ג נתון סיפור. לכל סיפור סמנו במשתנים שני גדלים לפי בחירתכם, והסבירו מה מייצג כל משתנה. כתבו באמצעות המשתנים משוואה המתאימה לסיפור. מצאו שלושה פתרונות שונים של המשוואה שכתבתם. האם לכל פתרון שמצאתם יש משמעות בסיפור? הסבירו. א. קבוצת תיירים עברה מסלול של 80 ק"מ. חלק מהמסלול הקבוצה עברה ברכיבה על אופניים במהירות של 5 קמ"ש, וחלק בהליכה במהירות של 5 קמ"ש. ב. יוסי שילם בקופה בכמה שטרות של, 50 וקיבל עודף. 20 ג. חברה ליבוא של מוצרי מזון החליטה לייבא שוקולד משני סוגים: שוקולד חלב ושוקולד לבן. החברה משלמת למפעל השוקולד 3 לחפיסה של שוקולד חלב ו 5 לחפיסה של שוקולד לבן. ברשותה של החברה סכום של 300,000 לביצוע ההזמנה. () (2) (3) (2) (4) 58

59 ב. מערכת של שתי משוואות עם שני משתנים מה נלמד? מהי מערכת משוואות מהו פתרון של מערכת משוואות שיטה גרפית לפתרון מערכת משוואות קוויות מספר הפתרונות של מערכת משוואות קוויות. דיון בהצבעה שהתקיימה בכיתה ח על ההצעה להקדים את המבחן בהיסטוריה השתתפו 24 תלמידים. דיון א. סמנו את מספר הקולות בעד ההצעה ב, ואת מספר הקולות נגדה ב, כתבו משוואה מתאימה וסרטטו את הגרף שלה. כתבו כמה זוגות סדורים של מספרים שהם פתרונות של המשוואה. בדקו אם לכל פתרון שכתבתם יש משמעות בסיפור, ומהי. ב. מספר הקולות בעד ההצעה גדול ב 6 ממספר הקולות נגדה. השתמשו במשתנים ו, וכתבו משוואה המתארת את הנתון הזה. סרטטו את גרף המשוואה במערכת הצירים שסרטטתם בסעיף א. כתבו כמה זוגות מספרים שונים שהם פתרונות של המשוואה. בדקו אם לכל פתרון שכתבתם יש משמעות בסיפור, ומהי. ג. האם לשתי המשוואות שכתבתם בסעיפים א וב יש פתרונות משותפים? מהם? כיצד אפשר לראות את הפתרונות המשותפים בגרף? בדקו את תשובתכם על ידי הצבת הפתרונות בכל אחת מהמשוואות. ד. כמה תלמידים הצביעו בעד ההצעה? כמה הצביעו נגדה? 2 נתונות שתי משוואות עם שני משתנים: = = 4 + א. לכל משוואה תנו שני פתרונות לדוגמה. ב. כמה פתרונות יש לכל אחת מהמשוואות? ג. ודאו כי הזוג )6-,0-( הוא פתרון משותף לשתי המשוואות. ד. נסו למצוא פתרון משותף נוסף לשתי המשוואות. מערכות משוואות )הרחבה( מערכת של שתי משוואות עם שני משתנים 59

60 מערכת של שתי משוואות )או יותר( נהוג לרשום זו תחת זו, ולקשר ביניהן בסימן סוגר מסולסל: } דוגמה 2 { { = z דוגמה = = (2-4) = z = 0 פתרון של מערכת משוואות הוא פתרון משותף של כל המשוואות במערכת. דוגמה { הזוג 5( ), הוא פתרון של מערכת המשוואות: = = 4 כיוון שהוא פתרון של המשוואה = וגם של המשוואה = 4. - מערכות משוואות )הרחבה( מערכת של שתי משוואות עם שני משתנים 3 בכל סעיף נתונים מערכת משוואות ושלושה זוגות סדורים של מספרים. קבעו אילו מהזוגות הנתונים הם פתרונות של מערכת המשוואות = 7-3 = { 5 - א = 2-4 { ב + 3 = -4 = 2 = 7 { + ג { + ד 4 = = 8 (3, -8) (-, -2) (0, 3) (-3, 5) (4, 0) (, ) (6, ) (6, 2) (3, 4) (2, 4) (4, 2) (-0.5,.5) כשמבקשים לפתור מערכת משוואות - הכוונה למציאת כל הפתרונות של המערכת. שיטה גרפית לפתרון מערכת של שתי משוואות קוויות עם שני משתנים 4 נתונה מערכת המשוואות: = { + 2 = 0 א. כמה פתרונות יש למשוואה = 5 2? - תנו דוגמה לפתרון אחד. ב. כמה פתרונות יש למשוואה = 0 2? + תנו דוגמה לפתרון אחד. ג. סרטטו את הגרפים של שתי המשוואות במערכת צירים אחת. ד. כיצד ניתן למצוא את הפתרון המשותף לשתי המשוואות בעזרת הגרפים? הסבירו. ה. מהו הפתרון של מערכת המשוואות הנתונה לפי הגרפים שסרטטתם? כיצד ניתן לוודא שזה אכן הפתרון של מערכת המשוואות? ו. האם יש למערכת הזו פתרונות נוספים? 60

61 { 5 נתונה מערכת המשוואות: = = 6 א. פתרו את המערכת בדרך גרפית. ב. בדקו את הפתרון שקיבלתם על ידי הצבתו בכל אחת מהמשוואות במערכת. כיצד פותרים מערכת משוואות בשיטה גרפית? א. בונים את הגרפים של כל המשוואות במערכת. ב. מסמנים את הנקודות המשותפות של הגרפים. ג. שיעורי הנקודות שסומנו הם הפתרונות של המערכת = 3 (3, 2) 3-2 = 5 ד. לבדיקה: מציבים את הפתרון בכל אחת מהמשוואות במערכת. { דוגמה = = 3 הנקודה )2,3( היא נקודה משותפת של שני הגרפים, והזוג )2,3( הוא הפתרון של מערכת המשוואות. בדיקה: מערכות משוואות )הרחבה( מערכת של שתי משוואות עם שני משתנים { = = 3 השיטה הגרפית מתאימה גם לפתרון מערכות של משוואות שאינן קוויות. דוגמה בסרטוט מופיע הפתרון של מערכת המשוואות: הפתרון הוא שני הזוגות: (2,0), (0,2). { = = 0 { = = 2 בדיקה: א ב (0, 2) (2, 0) 2 + = 3 ג { 0 = = 9 ד { = 3 { = = 6 פתרו את מערכות המשוואות בשיטה גרפית. בדקו כל פתרון על ידי הצבתו בשתי המשוואות במערכת. 5 + = 2 ה { = 0 { 3 - = 2 = = 4 5(6 + ) = 20 ו { 6 = { = -2 6

62 א 7 בכל סעיף נתונה מערכת משוואות קווית. הרחבה בכל סעיף סרטטו במערכת צירים אחת סקיצות של שתי המשוואות, וענו בעזרת הסרטוט: האם ערך ה של פתרון המערכת הוא חיובי, שלילי או אפס? האם ערך ה של פתרון המערכת הוא חיובי, שלילי או אפס? 2 + = = = = -7 ב ג ד { 4 = 25 { 3-4 = - { 5-2 = -7 { = -2 8 לכל סרטוט התאימו אחת ממערכות המשוואות. א ב ג + 5 = 9 { = = 2 { 2 + = 8 2( - 2) = 2 3 { 2 + = 8 מערכות משוואות )הרחבה( מערכת של שתי משוואות עם שני משתנים 9 זר השזור מ 3 ורדים ו 3 גרברות עולה. 8 זר השזור מ 4 ורדים ו 2 גרברות עולה. 20 א. נסו לנחש את מחיריהם של ורד אחד ושל גרברה אחת. ב. סמנו שני גדלים לפי בחירתכם במשתנים, וכתבו מערכת משוואות שבעזרתה אפשר לחשב את מחירו של ורד אחד ואת מחירה של גרברה אחת. ג. פתרו את מערכת המשוואות שבניתם בדרך גרפית, ובדקו אם לפתרון יש משמעות בסיפור. 0 בקונצרט משמיעים יצירה לתזמורת ואחריה סונ ט ה לפסנתר. משך הקונצרט הוא שעה ו 5 דקות. היצירה לתזמורת ארוכה מהסונטה לפסנתר ב 35 דקות. א. מהו משך הזמן של היצירה לתזמורת? ב. כיצד אפשר לפתור את השאלה בעזרת שני משתנים? כיצד אפשר לפתור את השאלה בעזרת משתנה אחד? מספר הפתרונות של מערכת משוואות קוויות נתונה מערכת המשוואות: = 2 + { = -2 א. בכל משוואה בטאו את המשתנה כפונקציה של המשתנה. מהם השיפועים של הפונקציות? ב. בנו את הגרפים של המשוואות. ג. האם יש למערכת פתרון? הסבירו. 62

63 כאשר גרפים של שתי משוואות מקבילים זה לזה, למערכת המשוואות אין פתרון. = { = -2 + דוגמה נתונה מערכת המשוואות: = { 4-2 = -2 נבטא את המשתנה באמצעות המשתנה בכל אחת מהמשוואות: נבנה את הגרפים של שתי המשוואות: קיבלנו שני גרפים שונים בעלי אותו שיפוע, השווה 2-, אך נקודות החיתוך שלהם עם ציר Y שונות. שני הגרפים מקבילים, כלומר אין להם נקודות משותפות, ולכן למערכת המשוואות הזאת אין פתרון. 2 תלמידי הכיתה החליטו לשקול את ספרי הלימוד שלהם. אסתר אמרה: 3 ספרי מתמטיקה ו 6 ספרי היסטוריה שוקלים יחד 7 ק"ג." דוד אמר: 2 ספרי מתמטיקה ו 4 ספרי היסטוריה שוקלים יחד 3 ק"ג." האם ייתכן ששני הילדים צודקים? היעזרו במערכת משוואות והסבירו את תשובתכם. 3 לפניכם מערכות של משוואות. לאילו מהמערכות אין פתרון? הסבירו = 6 { { - = 4 2 ה + 2 = 5 - = = 9 5 = 2 ו { 3-4 = 8 { 6 = 0 4 כיצד ניתן לקבוע שלמערכת משוואות אין פתרון? הדגימו את תשובתכם. א ב מערכות משוואות )הרחבה( מערכת של שתי משוואות עם שני משתנים 5 + = 7 { -0-2 = 4 ג 5 + = 6 { -2 + = 2 ד דיון דיון 63

64 5 ציינו לאילו מהמערכות אין פתרון, ופתרו את המערכות האחרות. א ב = 6 { + = 3 ג = 5 - { - 2 = 2 ד = 6 { = 5 ה 4-2( - 2) = 8 { 6-3 = 3 ו = 2 { 4( + ) = 2 + { 3 + = = = 9 { - 2 = -3 מערכות משוואות )הרחבה( מערכת של שתי משוואות עם שני משתנים דיון 6 נתונה מערכת המשוואות: א. בכל משוואה: בטאו את המשתנה כפונקציה של המשתנה. מצאו את השיפוע של הפונקציה. בנו גרף לכל אחת מהמשוואות. )בנו את שני הגרפים במערכת צירים אחת.( ב. מצאו פתרון כלשהו של המשוואה = האם הוא גם פתרון של המשוואה 3- = 2? - ג. מצאו פתרון כלשהו של המשוואה 3- = 2. - האם הוא גם פתרון של המשוואה = ? + ד. כמה פתרונות יש למערכת המשוואות הנתונה? כאשר גרפים של שתי משוואות מתלכדים, כל פתרון של משוואה אחת הוא גם פתרון של המשוואה השנייה, והוא פתרון של מערכת המשוואות. במקרה זה למערכת המשוואות יש אינסוף פתרונות. דוגמה נתונה מערכת המשוואות: = { 3 = 3-9 בכל אחת מהמשוואות נבטא את המשתנה באמצעות המשתנה = + 3 : { = + 3 קיבלנו שתי משוואות זהות, לכן הגרפים של שתי המשוואות האלה מתלכדים. א ב 5 + = 7 { -0-2 = -4 ג + = 2 { = 0 - ד 7 כמה פתרונות יש לכל אחת ממערכות המשוואות? הסבירו. 5 + = 6 ה { -2 + = 6 { 4 - = = = 8 5 = 2 ו { 2-3 = 6 { 5 = 0-64

65 דיון 8 א. כיצד ניתן לקבוע שלמערכת משוואות יש אינסוף פתרונות? הדגימו את תשובתכם. ב. אם ידוע שלמערכת משוואות יש אינסוף פתרונות, האם משמעות הדבר שכל זוג מספרים הוא פתרון המערכת? אם כן הסבירו. אם לא תנו דוגמה. מספר הפתרונות של מערכת משוואות קוויות תלוי במצב ההדדי של הגרפים שלה. יש שלושה מצבים אפשריים: הגרפים נחתכים - פתרון יחיד הגרפים מקבילים - אין פתרון הגרפים מתלכדים - אינסוף פתרונות דיון 9 פתרו את מערכות המשוואות בשיטה גרפית. 4-2(3-2) = 6 4-3( - 2) = - ה { = 2-3 { 3-4( + ) = 4-2 א מערכות משוואות )הרחבה( מערכת של שתי משוואות עם שני משתנים = 4 ג { = = 3 2 { + ב = - { + 2 ד 3 - = 2 = 4 { = 6 ו = 20 נתון קו שבור ABCDE שאורכו הכולל 4 ס"מ. אורך הקטע CD גדול ב 2 ס"מ מאורך הקטע.AB אורך הקטע DE גדול פי 2 מאורך הקטע.BC סכום אורכי הקטעים AB ו BC הוא 5 ס"מ. מהו אורכו של כל אחד מהקטעים שמהם מורכב הקו השבור? 2 זאב בוגר עובר את אורך הכלוב שלו ב 8 קפיצות. גור זאבים עובר אותו מרחק ב 24 קפיצות. קפיצה של זאב בוגר ארוכה במטר אחד מקפיצה של גור. מהו אורך הקפיצה של זאב בוגר? A B C E D 65

66 22 לפניכם שתי מערכות משוואות. פתרו את המערכות בשיטה גרפית. בדקו את הפתרון שלכם. אם לא הצלחתם, נסו לחשוב כיצד אפשר למצוא את פתרון המערכת בשיטה אחרת. א = 4 ב { = = 5 { 2-9 = 5 לא כל מערכת משוואות קוויות נוח לפתור בשיטה גרפית. ביחידה הבאה נלמד שיטות נוספות למציאת פתרון של מערכת משוואות קוויות. משימות לסיכום 23 פתרו את מערכת המשוואות = בשיטה גרפית. { + 2 = 0 אם מצאתם פתרון - בדקו אותו על ידי הצבה במערכת המשוואות. 24 נתונה מערכת המשוואות = { 2 = - 6 סרטטו סקיצה של מערכת המשוואות. מערכות משוואות )הרחבה( מערכת של שתי משוואות עם שני משתנים כמה פתרונות יש למערכת? הסבירו. 25 התאימו בין הייצוגים הגרפיים לייצוגים האלגבריים = 2 א { = 4 { = 4 ב = 2 { = 8 ג 3 =

67 משימות נוספות 26 יוסי קנה 5 כל י כתיבה: מחברות ועטים. מחירה של מחברת אחת הוא, 7 ומחירו של עט אחד הוא. 5 יוסי שילם בסך הכול. 29 כמה מחברות וכמה עטים קנה יוסי? עבדו לפי השלבים הבאים: א. סמנו במשתנה את מספר המחברות שיוסי קנה, ובמשתנה את מספר העטים. כתבו משוואה המתארת את מספר כלי הכתיבה שיוסי קנה. ב. לפניכם שלושה זוגות של מספרים: מערכות משוואות )הרחבה( מערכת של שתי משוואות עם שני משתנים (3.5,.5) (4, ) (2, -3) בדקו כל זוג וקבעו אם הוא פתרון של המשוואה שכתבתם. אם כן, האם יש לפתרון זה משמעות בסיפור? מהי? ג. כמה פתרונות יש למשוואה שכתבתם בסעיף א? הסבירו. ד. כתבו משוואה המתארת את הסכום ששילם יוסי עבור כלי הכתיבה. ה. לפניכם שלושה זוגות של מספרים: (7, -4) (3, 2) (2, 3) בדקו כל זוג וקבעו אם הוא פתרון של המשוואה שכתבתם בסעיף ד. אם כן, האם יש לפתרון זה משמעות בסיפור? מהי המשמעות? ו. כמה פתרונות יש למשוואה שכתבתם בסעיף ד? הסבירו. ז. בדקו אם הזוג הסדור )3,2( הוא פתרון משותף של שתי המשוואות. האם יש לפתרון זה משמעות בסיפור? הסבירו. א ב 27 פתרו את מערכות המשוואות בשיטה גרפית. - 2 = 5-2( - 2) = 4 3 = 3 - (2 - ) ג { = 3 { ה = { -3 + = { 2 = 3 { 2 - { - = 0 = 3 ד - 2 = 5 ו = 2 2(2 - )= לכל אחד מהמצבים ההדדיים של גרפים הציעו מערכת משוואות מתאימה. הישרים מתלכדים - אינסוף פתרונות הישרים מקבילים - אין פתרון הישרים נחתכים - פתרון יחיד 67

68 29 קבעו בלי להיעזר בסרטוט כמה פתרונות יש לכל מערכת משוואות. א ב 2( + 4) = = 3 ג ה { = 2-4 { = { = 6 ד { + = = = = 3 { = 8 { 45-5 = 5 ו 3 - = 30 מספר האחיות של דני שווה למספר האחים שלו. אתגר טלי היא אחותו של דני. מספר האחים של טלי גדול פי 2 ממספר האחיות שלה. האם זה ייתכן? אם כן, כמה אחים וכמה אחיות יש במשפחה? מערכות משוואות )הרחבה( מערכת של שתי משוואות עם שני משתנים 3 ההיקף של משולש שווה שוקיים הוא 30 ס"מ. אורך הבסיס קטן מאורך השוק ב 3 ס"מ. א. כתבו מערכת משוואות שבעזרתה אפשר למצוא את אורכי הצלעות של המשולש. ב. כמה פתרונות יש למערכת? האם יש לפתרונות האלה משמעות? 32 היקף של מלבן הוא 0.24 מ'. צלע אחת של המלבן ארוכה פי 3 מהצלע הסמוכה לה. א. כתבו מערכת משוואות שבעזרתה אפשר למצוא את אורכי הצלעות של המשולש. ב. כמה פתרונות יש למערכת? האם יש לפתרונות האלה משמעות? 68

69 ג. שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות מה נלמד? לפתור מערכת משוואות שבאחת המשוואות מופיע רק משתנה אחד לפתור מערכות משוואות קוויות בשיטת ההצבה לפתור מערכות משוואות קוויות בשיטת הנגדת מקדמים. נתונה מערכת המשוואות: - = { = 2 + א. סרטטו גרף המתאר את מערכת המשוואות, ומצאו את הפתרון של המערכת. ב. הציעו כיצד למצוא את הערכים של ו המקיימים את שתי המשוואות, מבלי להיעזר בגרפים. ג. השוו את הפתרונות שקיבלתם בשני הייצוגים. 2 נתונה מערכת המשוואות: = { - 3 = 6 א. למערכת המשוואות הנתונה יש פתרון יחיד. הסבירו מדוע. ב. הציעו כיצד אפשר למצוא את הפתרון מבלי להיעזר בגרפים. ג. אילו מזוגות המספרים 0( )3, -2( )3, 3( ), 0.5( )3, 00( )3, 3( )-, הם פתרונות של המשוואה הראשונה? הציעו פתרון נוסף של המשוואה הראשונה. מה מאפיין את כל הפתרונות של המשוואה הראשונה? ד. הציעו דרך למציאת הערך של, כך שהזוג הסדור ),3( יקיים גם את המשוואה השנייה. מצאו את הערך של. ה. הציבו את הזוג שקיבלתם בכל אחת מהמשוואות במערכת. ודאו שהזוג הסדור שמצאתם בסעיף ד הוא אכן פתרון של מערכת המשוואות הנתונה. לעתים, באחת המשוואות במערכת משוואות יש רק משתנה אחד. במקרה זה אפשר לפתור את המשוואה הזו, ולהציב את פתרונה במשוואה האחרת. לאחר ההצבה אפשר לפתור את המשוואה השנייה, ולמצוא את הערך של המשתנה השני. = 0-2 פתרון: מהמשוואה הראשונה נמצא כי ערך המשתנה הוא 3. דוגמה = 4 2 { 3 - פתרון המשוואה הראשונה מקיים גם את המשוואה השנייה, לכן אפשר להציב את המספר 3 במקום במשוואה השנייה: = 2 = 2 { = 4 { = -4 אל תשכחו לבדוק את הפתרון! בכל שלב של פתרון המערכת כתבנו מערכת חדשה שפתרונה זהה לפתרון המערכת הנתונה. מערכות משוואות בעלות אותם פתרונות נקראות מערכות שקולות של משוואות. מערכות משוואות )הרחבה( שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות 69

70 א ב 3 + = 0 { = 2 ג { 3-2 = 4 ד 5-3 = 5 3 בכל סעיף פ תרו את מערכות המשוואות ובדקו את הפתרון = = 3 { = = 4 2 3( - ) + { ה 5 +2 = ו { 4-5 = 3 { = = 4 4 לטיול הוזמנו אוטובוסים ומיניבוסים. כל אוטובוס יכול להסיע 30 נוסעים, וכל מיניבוס 2 נוסעים. לטיול יצאו 38 מטיילים, וכל כלי הרכב היו מלאים. כמה אוטובוסים וכמה מיניבוסים הסיעו את המטיילים, אם ידוע שבאוטובוסים נסעו סך הכול 90 נוסעים? מערכות משוואות )הרחבה( שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות דיון 5 בשיא העונה היה מחירם של מכנסיים וחולצה יחד. 200 בסוף העונה ירד מחיר החולצה ב 25%, והיא נמכרה ב 45. מחיר המכנסיים לא השתנה. מהו מחיר המכנסיים? למדנו לפתור מערכת משוואות שבאחת המשוואות שלה יש רק משתנה אחד. כל מערכת של משוואות קוויות אפשר להחליף במערכת שקולה לה, שבאחת המשוואות שבה מופיע רק משתנה אחד. בהמשך נלמד לעשות זאת. שיטת ההצבה 6 נתונה מערכת המשוואות: 2-5 = { = א. למערכת המשוואות הזו יש פתרון יחיד. הסבירו מדוע. ב. האם יש לכם רעיון כיצד למצוא את פתרון המערכת? תארו את דרך הפתרון שלכם. אם פתרתם את המערכת, בדקו את הפתרון על ידי הצבתו במערכת. 70

71 שיטת ההצבה - דרך אפשרית לפתרון מערכת משוואות כשבכל אחת מהמשוואות מופיעים שני משתנים 2-5 = דוגמה { = נניח שהפתרון של המערכת הוא זוג המספרים ),(. אם נציב את המספרים האלה במשוואות של המערכת, נקבל במקום כל משוואה שוויון מספרי. השוויון הראשון: = השוויון השני: במקום המספר נציב בשוויון השני את המספר השווה לו, שהוא - 5 2, ונקבל: = 5) - ( נפתור את המשוואה ונקבל: = 3. כעת נחשב את : את המספר 3 שקיבלנו נציב במקום בשוויון הראשון, - 5 2, = ונקבל: = ומכאן: =. מערכות משוואות )הרחבה( שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות קיבלנו את פתרון המערכת: ),3(. בדיקה: = { = שיטת הפתרון הזאת נקראת שיטת ההצבה. 7 נתונה מערכת המשוואות: א. האם למערכת פתרון יחיד? מדוע? 2 + = 7 { + 2 = ב. נניח שזוג המספרים ),( הוא פתרון המערכת. בטאו את המספר באמצעות. ג. נוח יותר לבטא את באמצעות לפי המשוואה הראשונה במערכת. הסבירו מדוע. ד. הציבו במשוואה השנייה במקום את הביטוי שכתבתם בסעיף ב, ומצאו את. ה. פתרו את המערכת ובדקו את הפתרון. 8 נחזור אל מערכת המשוואות: 2 + = 7 { + 2 = א. נניח שזוג המספרים ),( הוא פתרון המערכת. הפעם בטאו את המספר באמצעות. באיזו משתי המשוואות נוח יותר לדעתכם לבטא את באמצעות? במשוואה האחרת, הציבו במקום את הביטוי שכתבתם. מצאו את. ב. פתרו את המערכת ובדקו את הפתרון. האם קיבלתם אותו פתרון כמו במשימה הקודמת? 7

72 נדגים את השלבים של פתרון שיטת ההצבה: דוגמה = 2 { - 2 = = 2 { = (2 + 4) + 4 = 2 { = = 2 { = = - { = = - { = 2 (-) + 4 = - { = 2 =< (-) = 2 { 2-2 (-) = 4 הפתרון הוא (2, -) מערכות משוואות )הרחבה( שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות נתונה מערכת משוואות: שלבי הפתרון נבחר את אחת המשוואות ונבטא בה משתנה כלשהו באמצעות המשתנה האחר: נציב את הביטוי במשוואה האחרת: נקבל משוואה עם משתנה אחד: נפתור את המשוואה: את פתרון המשוואה מהשלב הקודם נציב במשוואה האחרת, ונפתור אותה: זוג המספרים שקיבלנו הוא הפתרון של מערכת המשוואות. נבדוק את הפתרון על ידי הצבתו במערכת המשוואות המקורית: שימו לב: בכל שלב ושלב של הפתרון יש לכתוב מערכת משוואות שקולה למערכת המקורית. - 3 =5 { 4 + = -6 9 נתונה מערכת המשוואות: נניח שזוג המספרים ),( הוא פתרון המערכת. א. השתמשו באחת המשוואות ובטאו את אחד המספרים - או - באמצעות המספר האחר. הציבו במשוואה האחרת ופתרו את המשוואה. ב. פתרו את המערכת ובדקו את הפתרון. 0 בכל סעיף פתרו את מערכת המשוואות בשיטת ההצבה. א ב = 4 { 2 + = 7 ג - 2 = 3 { = ד - + = 5 { = 6 ה + = 2 ו {- - 4 = = 7 { = = 4 { 5 + 4(3 - ) = 7 72

73 בכל סעיף פתרו את מערכת המשוואות בשתי שיטות )בשיטת ההצבה ובשיטה הגרפית(. האם קיבלתם אותו פתרון בשתי השיטות? א ב = 3 { 3 + = 5 ג 5-4 = -80 { + 3 = 3 ד - 2 = 5 ה { 6 + = = 4 - = 6 4( - ) + 5 = 4 { 2-3 = 2 ו { { + 3 = = 0 2 הסכום של שני מספרים הוא 64. ההפרש בין שני המספרים הוא 2. א. מצאו את שני המספרים. ב. האם יש רק זוג מספרים מתאים אחד? 3 ההיקף של משולש שווה שוקיים הוא 22 ס"מ. ההפרש בין אורך השוק של המשולש לבין אורך הבסיס שלו הוא 8 ס"מ. מצאו את אורכי הצלעות של המשולש. עכשיו גילו של אב גדול פי 2.5 מהגיל של בנו. 4 בעוד 0 שנים יהיה הגיל של האב גדול פי 2 מהגיל של הבן. הרחבה בני כמה האב והבן היום? במשפחה של שושי מקובל לשמור בארנק משותף את המטבעות שנשארים בסוף היום. 5 בסוף השבוע מצאה שושי שבארנק יש 24 מטבעות: מטבעות של חצי שקל ומטבעות של חמישה שקלים. הרחבה הכסף הזה הספיק לשושי בדיוק לקניית ספר שעלה 30 שקל. כמה מטבעות מכל סוג היו בארנק המשותף? 6 בכל סעיף פתרו את מערכת המשוואות בשיטה כלשהי ובדקו את הפתרון = = = 0 חיזוק -4 = 3 { + א ה { ג 3 + = { + = 5 2 = ב 7-4(3 - ) = 5 ד 5( - ) - 4( - ) = 7 { 3 + = 0 + 3( - 2) = = 6 מערכות משוואות )הרחבה( שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות { ו { 7 בסרטוט שלפניכם: 0 ס"מ = AF DK = DA היקף המלבן KDEF הוא 25 ס"מ, היקף המרובע KDAF הוא 46 ס"מ. מצאו את היקף המרובע.DEFA D K 0 ס"מ A E F 73

74 עד עתה פתרנו בשיטת ההצבה רק מערכות של משוואות קוויות שיש להן פתרון יחיד. כעת נלמד כיצד שיטת ההצבה מאפשרת להסיק שלמערכת יש אינסוף פתרונות, או שאין לה פתרון. 8 נתונה מערכת המשוואות: = { 3 = 2 - א. בנו גרף של המערכת. למערכת המשוואות יש אינסוף פתרונות. כיצד ניתן לראות זאת בגרף המערכת? ב. בדקו אילו מזוגות המספרים 0) (0, -0) (4, 0) (2, 3) (4, -) (5, הם פתרונות של המערכת. הציעו שני זוגות מספרים נוספים שהם פתרונות של המערכת. ג. כל פתרון של המשוואה הראשונה הוא גם פתרון של המשוואה השנייה. הסבירו מדוע. ד. פתרו את מערכת המשוואות בשיטת ההצבה. כיצד רואים בשיטת ההצבה שלמערכת המשוואות יש אינסוף פתרונות? ה. האם כל זוג מספרים הוא פתרון של המערכת? דיון מערכות משוואות )הרחבה( שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות דיון אם במהלך פתרון של מערכת משוואות בשיטת ההצבה, אחת המשוואות הופכת לשוויון מספרי - למערכת המשוואות יש אינסוף פתרונות = 3 { 8 = = 4-3 { 8 = 6 + 2(4-3) דוגמה נתונה המערכת משוואות: = { 8 = = 4-3 { נפתור את המערכת בשיטת ההצבה: 0 = 0 הערות:. את השוויון המספרי אפשר לרשום כמשוואה כך: = נתונה מערכת המשוואות: אפשר לראות שכל זוג של מספרים הוא פתרון של המשוואה הזאת. לכן כל פתרון של המשוואה האחרת הוא גם פתרון של מערכת המשוואות. למערכת המשוואות הנתונה יש אינסוף פתרונות, והם כל הפתרונות של המשוואה הראשונה. 2. אם למערכת משוואות יש אינסוף פתרונות - אין זה אומר שכל זוג מספרים שנבחר הוא פתרון של המערכת! למשל, זוג המספרים ),( הוא פתרון של מערכת המשוואות, ואילו זוג המספרים )0,0( אינו פתרון שלה. א. בנו גרף של המערכת. 3 - = { 6 = 2-5 למערכת המשוואות אין פתרון. כיצד ניתן לראות זאת בגרף המערכת? ב. פתרו את מערכת המשוואות בשיטת ההצבה. כיצד אפשר להסיק מתהליך הפתרון בשיטה זו שלמערכת המשוואות אין פתרון? 74

75 אם במהלך פתרון של מערכת משוואות בשיטת ההצבה, אחת המשוואות הופכת ל"שוויון" מספרי שגוי - אז למערכת המשוואות אין פתרון. 3 = + 2 { 2 = 6-2 דוגמה נתונה מערכת המשוואות: נפתור את המערכת בשיטת ההצבה: 3 = + 2 { 2 = 6-2 = 3-2 { 2(3-2) = 6-2 = 3-2 { -4 = -2 במשוואה השנייה קיבלנו "שוויון" מספרי שגוי, כלומר אין אף זוג מספרים שמקיים את המשוואה השנייה. לכן למערכת המשוואות אין פתרון. 20 בכל סעיף: בנו את הגרף של מערכת המשוואות, וקבעו כמה פתרונות יש למערכת. בדקו בשיטת ההצבה כמה פתרונות יש למערכת המשוואות. השוו את התשובות שקיבלתם בשתי השיטות. א ב א ב מערכות משוואות )הרחבה( שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות - 2 = 6 { { 3 + = 2 4( - 2) = ג = = 6 - = 4 ד { 5-3( + ) = = - ה { ו { + 2( - 5) = { 3-2 = = = - 2 בכל סעיף פתרו את מערכת המשוואות בשיטת ההצבה. אם מצאתם שלמערכת כלשהי יש אינסוף פתרונות - כתבו שני פתרונות לפי בחירתכם. 5-2 = 3 { 8 + = 9 ג 3-0 = 8 { = ד = ה { + 2 = 5 { = 5-3 = 4 5-3( + 2) = = 3 ו { - 2 = { + = 3( - ) אפשר להשתמש בשיטת ההצבה לפתרון של מערכות משוואות שונות, שהן לאו דווקא קוויות. 75

76 אתגר 22 פתרו את מערכות המשוואות בשיטת ההצבה. בדקו את הפתרון. א = 4 ב { ( - 4) 3 = = { 2 ( - 4) = ג - = 3 { 2-2 = 3 דיון שיטת השוואת מקדמים 23 לפניכם מערכת המשוואות: = 3 { 3-2 = 5 א. נסו לפתור את המערכת בשיטת ההצבה. האם נתקלתם בקושי? פרטו. האם יש לכם רעיון נוסף כיצד לפתור את המערכת? מערכות משוואות )הרחבה( שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות השוואת מקדמים - דרך לפתרון מערכת משוואות שבה המקדמים של אחד המשתנים הם מספרים נגדיים דוגמה = 3 { 3-2 = 5 = וגם = 5 2,3 - לכן הסכום של הביטויים ו הוא :8 סכום שני הביטויים שבאגפי שמאל שווה לסכום שני המספרים שבאגפי ימין: = 3 { 3-2 = 5 (3 + 2) + (3-2) = 8 כלומר = 8 6 ולכן = 3 אם נציב את = 3 באחת המשוואות במערכת המקורית, נמצא את = 3 2 = -6 נציב = 3 במשוואה הראשונה ונקבל: -3 = ב. כתבו את פתרון המערכת כזוג סדור של מספרים, ובדקו אותו. את הערך = 3 שקיבלנו הצבנו במשוואה הראשונה. מה היה קורה אילו היינו מציבים אותו דווקא במשוואה השנייה? ג. הציבו = 3 במשוואה השנייה במערכת המשוואות, ומצאו את. ודאו שקיבלתם אותו פתרון למערכת המשוואות. ד. נסו לפתור את מערכת המשוואות באמצעות חיסור של אגפי המשוואות. ודאו שקיבלתם אותו פתרון. 76

77 24 פתרו את מערכות המשוואות ובדקו את הפתרון. א 2 + = 5 { ב 3 - = = 2 { ג = = -5 { + 3 = 6 דיון 25 באילו מהמערכות כדאי לחבר או לחסר את האגפים של שתי משוואות? בתשובתכם התייחסו למקדמי של המשתנים שבמשוואות. א = 5 { ב = = 9 { ג + 3 = 6 = - 2 { ד 3 = 2-4 2( + ) = + 7 { 5-2( + ) = 3 26 נתונה מערכת המשוואות: מערכות משוואות )הרחבה( שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות 4 + = 6 { = 2 א. האם ניתן לפתור אותה בדומה למערכות הנתונות בשלוש המשימות הקודמות? אם לא, מדוע? ב. האם יש לכם רעיון כיצד אפשר לקבל בשתי המשוואות מקדמים נגדיים של אחד המשתנים? עד עכשיו פתרתם מערכת משוואות שבה המקדמים של אחד המשתנים היו מספרים שווים או נגדיים זה לזה. כעת נלמד כיצד לקבל מקדמים שווים או מקדמים נגדיים של אחד המשתנים בשתי המשוואות במערכת. שיטה זו לפתרון מערכת משוואות נקראת שיטת השוואת מקדמים: בדומה לפתרון משוואות במשתנה אחד, אפשר לכפול את שני האגפים של אחת המשוואות במערכת המשוואות במספר שונה מ 0. דוגמה נתונה מערכת המשוואות: = { = 2 נכפול את שני האגפים של המשוואה הראשונה ב 2 : 6 2 = ) (4 + 2 { = 2 נקבל מקדמים שווים של = 2 : = 2 נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה: (8 + 2) - (3 + 2) = 2-2 { = 2 { 27 א. סיימו לפתור את המערכת שבמסגרת ובדקו את הפתרון שקיבלתם. ב. הסבירו מדוע אין טעם לכפול את אגפי המשוואה ב 0. מה יתקבל אם נכפול ב 0? 77

78 3 + 4 = 2 { + 2 = 4 נדגים את השלבים של הפתרון בשיטת השוואת מקדמים: נתונה מערכת משוואות: שלבי הפתרון דוגמה = 2 { -2-4 = (-2-4) = 2-8 { -2-4 = -8 = -6 { -2-4 = -8 = -6 { -2 (-6) - 4 = -8 נכפול את המשוואה השנייה ב ( 2 -) ונקבל מקדמים נגדיים של המשתנה : נחבר את שתי המשוואות ונכתוב את הסכום במקום המשוואה הראשונה: נפתור את המשוואה הראשונה: את הפתרון שמצאנו נציב במשוואה השנייה: = -6 { = 5 3 (-6) = 2 { = 4 הפתרון הוא 5( )-6, =< מערכות משוואות )הרחבה( שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות נפתור את המשוואה השנייה. זוג המספרים שקיבלנו הוא הפתרון של מערכת המשוואות. נבדוק את הפתרון על ידי הצבתו במערכת המשוואות המקורית: שימו לב: בכל שלב ושלב של הפתרון יש לכתוב מערכת משוואות שקולה למערכת המקורית. 28 בכל סעיף פתרו את מערכת המשוואות בשיטת השוואת מקדמים ובדקו את הפתרון. 3-2 = = = 4 ג { ה { 2 = = 3 { 2 + = = = 4 ד 5-6 = { = = 2 2 = 3-5 א ב { ו { לפעמים כדי לקבל מקדמים שווים או נגדיים נוח יותר לכפול כל אחת מהמשוואות במערכת במספר מתאים. דוגמה נתונה מערכת המשוואות: = { = 2 אם נכפול את המשוואה הראשונה ב ) 3 -( ואת המשוואה השנייה ב 5, המקדמים של יהיו נגדיים = 6 (-3) -5-6 = -48 { = 2 5 { = 05 78

79 29 א. סיימו לפתור את המערכת שבמסגרת )בעמוד הקודם( ובדקו את הפתרון שקיבלתם. ב. פתרו את המערכת שנית: הפעם בצעו השוואת מקדמים של המשתנה. ודאו שקיבלתם אותו פתרון. 30 בכל סעיף פתרו את מערכת המשוואות בשיטת השוואת מקדמים ובדקו את הפתרון. א ב = 8 { = ג 3-4 = 5 { = -3 ד 5(- ) = 4( - ) 2 + 3( - ) = 4(2 + ) ה { 4-3 = { 5-2 = 3 4-2( - 2) = 8 3( - 5) - 2( - 4) = 2 ו { 2-3 = 6 { = 9 חיזוק מערכות משוואות )הרחבה( שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות = בשיטת השוואת מקדמים. { 2-4 = 3 א. נסו לפתור את מערכת המשוואות אם מצאתם פתרון, בדקו אותו על ידי הצבתו במערכת. ב. שערו כיצד ייראו הגרפים של שתי המשוואות. בנו את הגרפים ובדקו את השערתכם. ג. מה מאפיין את המקדמים במערכת הזאת? כתבו מערכת משוואות אחרת שגם בה יש למקדמים אפיונים כאלה = 2 { = 6 32 נתונה מערכת המשוואות: א. נסו לפתור את מערכת המשוואות. כמה פתרונות יש למערכת הזאת? ב. כיצד אפשר למצוא פתרונות שונים של מערכת המשוואות הזו? הסבירו. ג. מה מאפיין את המקדמים במערכת הזאת? כתבו מערכת משוואות אחרת שגם בה יש למקדמים אפיונים כאלה. 33 כשפותרים מערכת משוואות בשיטת השוואת מקדמים - כיצד ניתן לראות שלמערכת המשוואות יש אינסוף פתרונות? כיצד ניתן לראות שאין לה אף פתרון? א ב ג 34 בכל סעיף פתרו את מערכת המשוואות = = 8-2 = 6 { ד - 2 = { ז = 45 { 4( - 2) = = ( - ) = = 8 { ח ה - 2 = 9 { { 4-7 = = = 40-2(4 - ) = = 30 { ו = 5 { ט = -2 { = 2 דיון דיון דיון 79

80 2 35 חטיפי שוקולד ו 6 חטיפים מלוחים עולים יחד. 26 מהו המחיר של חטיף שוקולד אחד אם ידוע שהוא עולה ב יותר מחטיף מלוח? 36 בכל סעיף פתרו את מערכת המשוואות בשתי שיטות )בשיטת ההצבה ובשיטת השוואת מקדמים(. ודאו שבשתי השיטות קיבלתם אותו הפתרון. א = 0 ג { 3 - = = -80 ה { + 3 = 3 { + 4 = 2 + 4( - 3) = 5 ב - 2 = 5 { ד 6 + = = 8 ו { -3 + = { = 3 + = 2 מערכות משוואות )הרחבה( שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות 37 בכל סעיף פתרו את מערכת המשוואות בשיטה שתבחרו, ובדקו את הפתרון. א ב 8 - = 6 { = 3 ג = 6 { = 2 ד = = 24 ה { = 8 { (2 - ) = = 2 ו { { = = - 2 = -2 בסרטוט שלפניכם: 38 הזווית C גדולה ב 27 מעלות מהזווית.BAC הרחבה הקטע AD חוצה את הזווית A. משולש ABD הוא שווה שוקיים AB(.)AD = מצאו את זוויות המשולש.ABC רמז: השתמשו בסכום הזוויות של המשולשים.ABD,ABC = בשיטת ההצבה ובדקו את הפתרון. { 3 = = בשיטת השוואת המקדמים ובדקו את הפתרון. { 5-4 = 8 משימות לסיכום 39 פתרו את מערכת המשוואות 40 פתרו את מערכת המשוואות א A 7 + = 3( - ) ב { 2-2 = 5( + 5) B D C 4 פתרו את מערכות המשוואות הבאות בשיטה שתבחרו: = 0.2 { ג = -0.4 { - 4 = = - 80

81 משימות נוספות 42 פתרו את מערכות המשוואות. א 2 - = 2 ג { + = 8 + = 2 ה { + 4 = 0 { 6-2 = 4 + 3( - ) = ב 3-3 = 5 ד { 2 + = 2 2( - ) = - ו { 3-2 = 8 - = 9 { + = 3( - ) א = 5 { + = - ג 43 פתרו את מערכות המשוואות. - 2 = 5 { { = = 5 ה = 4 ב מערכות משוואות )הרחבה( שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות = 6 ד { = 2 3( - ) = + ו { 8 - = 9 = 3( - ) + 2 { + = 3 44 פתרו כל בעיה בעזרת מערכת משוואות. בדקו את פתרונכם. א. למשפחת גורדון יש גינה מלבנית המוקפת גדר שאורכה 60 מ. אורך הגינה גדול ב 20 מ מרוחבה. מצאו את שטח הגינה. ב. דנה קנתה עפרונות ועטים, ושילמה עבור הקנייה. 40 מחירו של עיפרון אחד הוא, 2.5 ומחירו של עט אחד הוא. 4 כמה עפרונות וכמה עטים קנתה דנה, אם ידוע שסך הכול היא קנתה 3 כלי כתיבה? ג. הסכום של שני מספרים גדול פי 5 מאחד המספרים. אם נגדיל מספר אחד פי 3 ואת המספר האחר נגדיל פי 2 יגדל הסכום ב 72. מצאו את המספרים המקוריים. שימו לב: למשימה זו יש שתי תשובות שונות. מצאו את שתי התשובות. 45 במשולש ABC הזוויות A גדולה פי 2 מהזווית B, וקטנה ב 30 מהזווית C. מצאו את זוויות המשולש.ABC 46 במגירה יש סכינים ומזלגות - 54 פריטים בסך הכול. מספר המזלגות גדול ממספר הסכינים ב 25%. כמה סועדים יוכלו לקבל מתוך המגירה גם סכין וגם מזלג? 8

82 47 פתרו כל מערכת בשיטה שתבחרו = -8 ג { א 6 - = 24 ב { = 8 ד = = 3 { { ה = = + 2 = 4 2-3( + 2) = 5 4-2( - 2) = 8 ו { = 9-2 { 2-3 = 6 48 בכל סעיף קבעו בלי לפתור אם למערכת יש פתרון יחיד, אינסוף פתרונות או שאין לה פתרון כלל. א ב = 4-8 = 6 - = ג { ה { = = 8 { 3( - ) - 2( - ) = 3 + = = 6 ד { 3 - = 6 { (5-2) = 6 2 ו { + 2 = = 6 מערכות משוואות )הרחבה( שיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות דיון 49 תארו דרכים לקבוע כמה פתרונות יש למערכת של משוואות קוויות. 50 כתבו דוגמאות משלכם: למערכת משוואות שיש לה פתרון יחיד. למערכת משוואות שיש לה אינסוף פתרונות. למערכת משוואות שאין לה פתרון. 82

83 ד. פתרון בעיות מילוליות בעזרת מערכת משוואות מה נלמד? לתאר סיפור על ידי מערכת משוואות לענות על השאלות הקשורות בסיפור על ידי פתרון של מערכת משוואות להקפיד על אחידות של יחידות המידה בפתרון בעיות מילוליות לתרגם את התשובה משפה מתמטית לשפת הבעיה ולבצע בדיקה. יעל ועמי קנו חפיסות שוקולד ועוגות מאותם סוגים. יעל קנתה 3 חפיסות שוקולד ו 5 עוגות ושילמה. 47 עמי קנה 4 חפיסות שוקולד ועוגה אחת ושילם. 23 מהו המחיר של חפיסת שוקולד אחת ומהו המחיר של עוגה אחת? עבדו לפי השלבים הבאים: א. סמנו במשתנה את המחיר של חפיסת שוקולד אחת בשקלים. סמנו במשתנה את המחיר של עוגה אחת בשקלים. כתבו מערכת משוואות המתארת את הקניות של עמי ושל יעל. ב. פתרו את מערכת המשוואות, ובדקו את הפתרון על ידי הצבתו במערכת שבניתם. ג. ודאו שפתרונכם מתאים לסיפור של קניית הממתקים. לפתרון בעיות בעזרת מערכת משוואות יש כמה שלבים: בחירת שני המשתנים ובניית מערכת משוואות שמייצגת את המתואר בשאלה פתרון מערכת המשוואות תרגום התשובה משפה מתמטית לשפת הבעיה בדיקה על ידי הצבת הפתרון בבעיה עצמה. שימו לב: בדיקת הפתרון על ידי ההצבה במערכת המשוואות אינה מבטיחה שפתרון המערכת הוא פתרון הבעיה. 2 חנן ואירית ערכו קניות במכולת. חנן קנה 4 גביעי יוגורט ו 3 חטיפים, ושילם תמורתם. 22 אירית קנתה 6 גביעי יוגורט ו 2 חטיפים, ושילמה תמורתם. 23 מהו מחירו של גביע יוגורט אחד? מהו מחירו של חטיף אחד? מערכות משוואות )הרחבה( פתרון בעיות מילוליות בעזרת מערכת משוואות 83