מבוא ללוגיקה מתמטית (לוגיקה מסדר ראשון: תחשיב היחסים). מבוסס על הרצאות פרופ' אליהו ריפס בקורס "מבוא ללוגיקה" (80423) האוניברסיטה העברית, סמסטר א' 16 2

תמליל

1 מבוא ללוגיקה מתמטית (לוגיקה מסדר ראשון: תחשיב היחסים). מבוסס על הרצאות פרופ' אליהו ריפס בקורס "מבוא ללוגיקה" (80423) האוניברסיטה העברית, סמסטר א' להערות: נחי תודה למי ששלח הערות ותיקונים: חן אלון, עידו אלישר, עמי אסייג, הדס באר, יעלי ברגר, תומר בראון, ניצן גדו, אלכס גופט, נעם גלר, עדי דוד, אבירם יוסף, יובל יעקבי, בן כהן, דנה כהן, דן כופרא, דניאל לונין, יעל ליבני, סתיו מדינה, עידן מילט, ג'וש מירצ'ין, ניר מרכוס, תמיר סגל, אורן סולטן, נופר סומר, בן פיינשטיין, אור פרדייס, הראל פרקש, מתן רוסנובסקי, עידן רפאלי, דוד שיפרוט. תודה גם לשמעון בן שושן ונגה רוטמן, שנעזרתי בסיכומים המומלצים שלהם לאותו קורס. 1

2 תוכן עניינים 4 לוגיקה מסדר ראשון - תחשיב היחסים I השפה הפורמלית של תחשיב היחסים 1 4 שמות עצם נוסחאות מבנה 2 6 השמה נוסחאות מסופקות משתנים חופשיים וקשורים 3 12 כמתים נוספים ויחס השוויון הצבה פעולת השמה על הצבה 5.1 II נכונות ויסיקות 22 6 תאוריות ומודלים סג ר גלואה לתאוריה ולמודל יסיקות אקסיומות לוגיות הסקה לוגית נאותות III משפט הנאותות 8 27 חלק א: הוכחת משפט הנאותות לאקסיומות לוגיות חלק ב: הוכחת משפט הנאותות לכללי היסק 8.2 חלק ג: הוכחת משפט הנאותות לכל נוסחה יסיקה טאוטולוגיה IV פרולוג: טאוטולוגיה ויסיקות מצומצמת הערכה היגררות טאוטולוגית משפט הנאותות המצומצם משפט הטאוטולוגיה של פוסט (Post) בדיקת טאוטולוגיות (של נוסחאות מסוג מסוים) כללי היסק נגזרים למת האיווי הוכחת משפט הטאוטולוגיה של פוסט אפילוג: טאוטולוגיה ויסיקות מצומצמת 12 2

3 51 היסק על ידי כמתים V 51 כלל הכנסת כמת של הכולל כלל ההכללה הצבה של משתנים מרובים כלל ההצבה משפט ההצבה כלל הפילוג משפט הדדוקציה הרחבה של שפה על ידי קבועים שכתוב נוסחה משפט הקבועים משפט השקילות משפט הווריאנט משפט הסימטריה משפט השוויון משפט הקידומת שלמות VI עקביות ס ג ר של נוסחה משפט השלמות של גדל (Gödel) חלק א: המבנה הקנוני חלק ב: משפט השלמות לתאוריה עקבית ושלמה עם תכונת הנקין חלק ג: הרחבה שמרנית חלק ד: הרחבה שלמה (משפט לינדנבאום) הלמה של טייכמולר טוקיי הוכחת משפט לינדנבאום סיום הוכחת משפט השלמות מסקנה: משפט הקומפקטיות (לתחשיב היחסים) 26.6 VII תת מודלים תת מבנה משפט טרסקי לוס נספחים VIII 89 נספח :1 אקסיומות פיאנו נספח :2 מורפיזמים ושקילות אלמנטרית משחקי Ehrenfeucht-Fraisse נספח :3 משפט לובנהיים סקולם, ופרדוקס סקולם 31 3

4 חלק I לוגיקה מסדר ראשון - תחשיב היחסים 1 השפה הפורמלית של תחשיב היחסים הגדרה: שפת תחשיב היחסים היא שפה שאלו רכיביה:.1 משתנים -... z, x, y, (בכמות לא מוגבלת) 2. קשרים לוגיים (א) איווי - (ב) שלילה - 3. כמתים (א) כמת קיום - בהמשך ניצור כמתים נוספים מתוך השפה (למשל כמת כולל - )..4 סמלי פונקציות -... h, f, g, (כאשר פונקציה היא n מקומית, עבור 0.(n 1.5 סמלי יחסים -... R, P, Q, (כאשר יחס הוא n מקומי, עבור 0.(n.6 סוגריים -,() ופסיק -, הגדרה: הסיגנטורה של השפה היא אוסף סמלי הפונקציות, סמלי היחסים והסוגריים שיש בשפה. הגדרה: ביטוי בשפה הוא סדרה סופית של מרכיבים בשפה. דוגמה: f(g fff x הוא ביטוי. ניכר שהביטוי בדוגמה לא מעניין. אותנו יעניינו שתי משפחות מסוימות של ביטויים - שמות עצם ונוסחאות. ביטויים מסוג זה נגדיר באמצעות סדרות יצירה. כלומר, באמצעות קבוצה של אובייקטים בסיסיים ואוסף של חוקים קבועים מראש, באמצעותם ניתן ליצור מהאובייקטים הבסיסיים עוד שמות עצם ונוסחאות. הערה: מעתה והלאה, בכל מקום שנדבר על "שפה" נתכוון לשפה של תחשיב היחסים שהגדרנו עתה, אלא אם כן נאמר אחרת. 1.1 שמות עצם הגדרה: סדרת יצירה של שמות עצם היא סדרה סופית s 1,,... s n של ביטויים פורמליים בשפה, כך שלכל i n 1 מתקיים אחד מהתנאים הבאים:.1 i s משתנה. 2. קיים סמל פונקציה m מקומית f בשפה, וכן u 1,,... u m שמות עצם, כך שמתקיים ) m.s i = f (u 1,..., u 1 פונקציה n מקומית היא פונקציה שמקבלת n שמות עצם. בפרט, פונקציה שמקבלת 0 שמות עצם היא קבוע. 4

5 הגדרה: ביטוי פורמלי s בשפה ייקרא שם עצם, אם קיימת סדרת יצירה של שמות עצם.s = s n כך שמתקיים,(s 1,..., s n ) הערה: בפרט גם כל קבוע הוא שם עצם, שכן הוא סמל פונקציה 0 מקומית. טענה: (תרגיל) בכל שם עצם בשפה, מספר הסוגריים הימניים שווה למספר הסוגריים השמאליים. דוגמה: אם f סמל פונקציה 2 מקומית, g סמל פונקציה 1 מקומית, u 1, u 2, u 3 שמות עצם, אז f (f (u 1, g (u 2 )), g (f (u 1, g (u 3 )))) הוא שם עצם, שסדרת היצירה שלו היא u 1, u 2, u 3, g (u 2 ), g (u 3 ), f (u 1, g (u 2 )), f (u 1, g (u 3 )), g (f (u 1, g (u 3 ))), f (f (u 1, g (u 2 )), g (f (u 1, g (u 3 )))) כלומר, בכל שלב השתמשנו רק בשמות עצם שכבר הוגדרו, עד שהגענו בסדרת היצירה לביטוי המבוקש. 1.2 נוסחאות הגדרה: יהי P סמל יחס n מקומי בשפה ויהיו u 1,..., u n שמות עצם. אז ) n P (u 1,..., u נקראת נוסחה אטומית. הגדרה: סדרת יצירה של נוסחאות היא סדרה סופית ) n A) 1,,... A של ביטויים פורמליים בשפה, כך שלכל i n 1 מתקיים אחד מהתנאים הבאים:.1 i A נוסחה אטומית..2 קיימים j, k < i כך שמתקיים.A i = A j A k.3 קיים j < i כך שמתקיים.A i = A j.4 קיים j < i כך שמתקיים.A i = ( x) A j הגדרה: ביטוי פורמלי A בשפה ייקרא נוסחה, אם קיימת סדרת יצירה של נוסחאות ) n A), 1,,... A כך שמתקיים.A = A n טענה: בכל נוסחה בשפה, מספר הסוגריים הימניים שווה למספר הסוגריים השמאליים. הוכחה: (באינדוקציה על אורך סדרת היצירה) אם סדרת היצירה של הנוסחה היא מאורך = 1 n, אז מדובר בנוסחה אטומית מהצורה ) n.p (x 1,..., x ידוע כי לשמות עצם x 1,..., x n יש מספר שווה של סוגריים ימניים ושמאליים, וכאן נוספו סוגר ימני אחד ושמאלי אחד, ולכן הטענה נכונה עבור.n = 1 נניח שהטענה נכונה עבור נוסחאות שסדרות היצירה שלהן מאורך 1 n ותהי נוסחה עם סדרת היצירה מאורך n מהצורה ) n A), 1,,... A אזי או ש A n אטומית או שהיא מורכבת מהנוסחאות שלפניה לפי הכללים, ולכן מקיימת את הנדרש. 5

6 2 מבנה הגדרה: מבנה M המתייחס לשפה מסדר ראשון, הוא שלשה המעניקה "משמעות" לסמלים שבשפה הפורמלית. שלשה זאת כוללת את קבוצת המבנה, פירושי סמלי הפונקציות שבשפה ופירושי סמלי היחסים שבשפה, כאשר: קבוצת המבנה: מסומנת M והיא אינה הקבוצה הריקה. 2 פירושי הפונקציות: פירושי הפונקציות הם פונקציות המוגדרות ומסומנות כך: אם f סמל פונקציה n מקומית, אז הפירוש של f במבנה M, הוא f M : M M... M M }{{} n times ובקיצור, M.f M : M n 3 פירושי היחסים: פירושי היחסים הם פונקציות המוגדרות ומסומנות כך: אם P סמל יחס n מקומי, אז הפירוש של P במבנה M, הוא P M : M M... M {T, F} }{{} n times ובקיצור, F}.P M : M n {T, הקבוצה {F,T} נקראת קבוצת ערכי האמת והיא כוללת שני עצמים פורמליים.(T True", F "False") דוגמה: נגדיר מבנה N עם קבוצת מבנה...} 3, {1, 2, = N N = (המספרים הטבעיים) ועם פירוש N S N : N המוגדר להיות פונקציית העוקב, כלומר 0 N = 0, S N (m) = m + 1 ועם פירוש יחס הסדר F} < N : N N {T, המוגדר להיות m < N k = T אם m < k ואילו m < N k = F אם.m k 2.1 השמה הגדרה: תהי L שפה מסדר ראשון. V ar היא קבוצת המשתנים של T erms L; היא קבוצת שמות העצם של F ormulas L; היא קבוצת הנוסחאות של L. מההגדרות שהזכרנו לעיל נובע כי V. ar T erms הגדרה: יהי M מבנה על שפה L. השמה היא פונקציה מהצורה σ : V ar M 2 הסימון בהקשר זה אינו קשור לסימון המקובל לגודל של קבוצה. 3 אם c סמל פונקציה 0 מקומית (קבוע), אז M c. M 6

7 הגדרה: בהינתן השמה M σ, : V ar נרחיב את הגדרתה להיות על כל שמות העצם, σ : T erms M באופן הבא:.1 עבור u משתנה, נגדיר (u). σ (u) = σ.2 עבור h קבוע, נגדיר. σ (h) = h M 3. עבור סמל פונקציה n מקומית f, עבור x 1,,... x n שמות עצם, נגדיר σ (f (x 1, x 2,..., x n )) := f M ( σ (x 1 ), σ (x 2 ),..., σ (x n )) מהכללים הללו מתקבלת אינדוקטיבית הגדרה כללית לכל שמות העצם בשפה. 4 הגדרה: בהינתן השמה σ, נגדיר על כל הנוסחאות פונקציה לקבוצת ערכי האמת, σ : F ormulas {T, F} באופן הבא:.1 עבור P יחס n מקומי ועבור x 1,..., x n שמות עצם, נגדיר σ (P (x 1,..., x n )) := P M ( σ (x 1 ),..., σ (x n )) σ ( A) := σ (A) 2. עבור A נוסחה, נגדיר כאשר מתייחסים לסמל כאל פונקציה מהצורה : {T, F} {T, F} T = F F = T המוגדרת על ידי (נשים לב כי משמש בשני תפקידים נפרדים לחלוטין: בביטוי (A ) σ הוא סמל בשפה, ובביטוי (A) σ הוא פונקציה). 4 נשים לב שיש להשתמש באינדוקציה כדי להוכיח שסעיף 3 מוגדר. 7

8 σ (A B) := (σ (A), σ (B)) 3. עבור,A B נוסחאות, נגדיר כאשר מתייחסים לסמל כאל פונקציה מהצורה : {T, F} {T, F} {T, F} (T, T) = T (T, F) = T (F, T) = T (F, F) = F המוגדרת על ידי (נשים לב כי משמש בשני תפקידים נפרדים לחלוטין: בביטוי (B σ A) הוא סמל בשפה, ובביטוי (B) σ (A) σ הוא פונקציה). σ (( x) A) := a M σ [x/a] (A) 4. עבור A נוסחה, נגדיר כאשר: (א) M σ [x/a] : V ar היא השמה חדשה המוגדרת על ידי { a y = x σ [x/a] (y) = σ (y) y x (ב) כך שמתוך ההשמה [x/a] σ מתקבלת F} σ [x/a] : F ormulas {T, המוגדרת לנוסחאות (כפי שתיארנו לעיל באופן כללי). M. הוא איווי שרץ על כל איברי a M כלומר, יהי F} S a {T, לכל M,a אז אם קיים M a 0 שעבורו S a0 = T נגדיר S a = T a M ואם לא קיים כזה, כלומר S a = F לכל M a, נגדיר S a = F a M מהכללים הללו מתקבלת אינדוקטיבית הגדרה כללית לכל הנוסחאות בשפה. 8

9 2.2 נוסחאות מסופקות הגדרה: אומרים כי מבנה M מספק נוסחה A, ומסמנים זאת M, A אם לכל השמה M,σ : V ar מתקיים σ (A) = T דוגמה: נתבונן בשפה הכוללת את 0 (סמל פונקציה 0 מקומית), S (סמל פונקציה חד מקומית),,+ (סמלי פונקציות דו מקומיות), < (סמל יחס דו מקומי), יחד עם קבוצת המבנה {...,3,0},1,2 = M, המפרשת את סמלי הפונקציות על ידי 0 M = 0 S M (n) = n M (n, m) = n + m < M (n, m) = M (n, m) = n m { T F n < m n m כאשר נשים לב היטב כי סימני ה 0,>,,+ בצד שמאל משמשים כסמלים בשפה, ובצד ימין משמשים כפעולות המוכרות לנו על המספרים הטבעיים. נראה כי (0)) S.M < (0, תהי M σ : V ar השמה כלשהי, אזי σ (< (0, S (0))) = < M ( σ (0), σ (S (0))) = < M ( 0 M, S M ( 0 M)) = < M ( 0, S M (0) ) = < M (0, 1) = T נראה עוד כי x)).m (< (x, תהי M σ : V ar השמה כלשהי, אזי σ ( (< (x, x))) = (σ (< (x, x))) = ( < M ( σ (x), σ (x)) ) = ( < M (σ (x), σ (x)) ) = F = T 9

10 3 משתנים חופשיים וקשורים הגדרה: אומרים כי משתנה x הוא בעל הופעה קשורה בכמת בנוסחה, אם בסדרת היצירה של הנוסחה מופיע כמת x לפני המשתנה. אם לא, אומרים כי x משתנה חופשי. דוגמה: בנוסחה ((y,z) x)) ( x) >),x) >), המשתנה x הוא בעל שתי הופעות: הראשונה הופעה חופשית והשנייה הופעה הקשורה בכמת. משפט המשתנים החופשיים: תהי A נוסחה ויהיו M,σ τ : V ar שתי השמות. אם לכל משתנה x בעל הופעה חופשית בנוסחה A מתקיים (x) σ, (x) = τ אזי σ (A) = τ (A) כדי להוכיח את המשפט ננסח תחילה טענת עזר. טענת עזר: אם u שם עצם, אם לכל משתנה x המופיע ב u מתקיים (x) σ, (x) = τ אזי σ (u) = τ (u) הוכחת טענת העזר: נוכיח באינדוקציה על אורך סדרת היצירה של שם העצם. נבחן את כל המרכיבים האפשריים בסדרת יצירה של שם עצם..1 u משתנה,.u = x במקרה כזה σ (u) = σ (x) = σ (x) = τ (x) = τ (x) = τ (u).2 ) n u = f (u 1,..., u עבור f סמל פונקציה n מקומית, u 1,..., u n שמות עצם. במקרה כזה σ (u) = σ (f (u 1,..., u n )) = f M ( σ (u 1 ),..., σ (u n )) (Induction) = f M ( τ (u 1 ),..., τ (u n )) = τ (f (u 1,..., u n )) = τ (u) כנדרש. הוכחת המשפט: נוכיח באינדוקציה על אורך סדרת היצירה של הנוסחה. נבחן את כל המרכיבים האפשריים בסדרת יצירה של נוסחה..1 A נוסחה אטומית, כלומר ) n A = P (u 1,..., u עבור P סמל יחס n מקומי ועבור u 1,,... u n שמות עצם. לפי תנאי המשפט, כל x המופיע בשמות העצם 10

11 u 1,..., u n מופיע בצורה חופשית ב A, ולכן (x).σ (x) = τ במקרה כזה σ (A) = σ (P (u 1,..., u n )) = P M ( σ (u 1 ),..., σ (u n )) = P M ( τ (u 1 ),..., τ (u n )) = τ (P (u 1,..., u n )) = τ (A) כאשר השוויון בשורה השלישית נובע מטענת העזר..2 B A = עבור B נוסחה. במקרה כזה, σ (A) = σ ( B) = σ (B) (Induction) = τ (B) = τ ( B) = τ (A).3 C A = B עבור B, C נוסחאות. במקרה כזה, σ (A) = σ (B C) = σ (B) σ (C) (Induction) = τ (B) τ (C) = τ (B C) = τ (A).4 B A = ( x) עבור B נוסחה. במקרה כזה, σ (A) = σ (( x) B) = σ [x/a] (B) = a M a M τ [x/a] (B) = τ (( x) B) = τ (A) כאשר השוויון בשורה השלישית נובע מכך שמתקיים, { a y = x σ [x/a] (y) = σ (y) y x { a y = x = τ (y) y x = τ [x/a] (y) 11

12 והשוויון בשורה השנייה הוא מטענת העזר. הגדרה: נוסחה A נקראת נוסחה סגורה, אם כל ההופעות של משתנים בה הן הופעות הקשורות בכמת. כלומר, לא מופיעים ב A משתנים חופשיים. מסקנה: אם A נוסחה סגורה, אז לכל זוג השמות M,σ, τ : V ar מתקיים σ (A) = τ (A) היות שתנאי המשפט שהראינו מתקיימים באופן ריק (אין ב A משתנים חופשיים). מסקנה: עבור נוסחה סגורה A, אם קיימת השמה M σ : V ar כלשהי שעבורה,σ (A) = T אזי M A 4 כמתים נוספים ויחס השוויון הגדרה: נגדיר את כמת כולל שיסומן, לכל שם עצם x ולכל נוסחה A, ( x) A := (( x) ( A)) דוגמה: את הנוסחה A = (( x) ( (( y) (< (x, y))))) ניתן לכתוב A = ( x) ( y) (< (x, y)) הגדרה: נגדיר גימום שיסומן, לכל זוג נוסחאות,A, B (A B) := (( A) ( B)) הגדרה: נגדיר גרירה או פעולת חץ שתסומן, לכל זוג נוסחאות,A, B (A B) := ( A) B הגדרה: נגדיר גרירה דו כיוונית שתסומן, לכל זוג נוסחאות,A, B (A B) := (A B) (B A) 12

13 הגדרה: נרצה שהסיגנטורה של השפה תכיל את יחס השוויון כסמל יחס דו מקומי. נסמן אותו (הסימן = משמש לשוויון רגיל המשתמש אותנו בשפת היום יום). כדי לפרש את היחס במסגרת מבנה M, תמיד נבחר לפרש אותו כשוויון איברי קבוצת המבנה M. כלומר, { M T a = b (a, b) = F a b טענה: יהי מבנה M ותהי השמה M σ. : V ar אזי לכל שם עצם x ולכל נוסחה A, σ (( x) A) = σ [x/a] (A) a M S a0 כאשר a M הוא גימום שרץ על כל איברי M. כלומר, יהי F} S a {T, לכל M,a אז אם קיים M a 0 שעבורו = F נגדיר S a = F a M ואם לא קיים כזה, כלומר S a = T לכל M a, נגדיר S a = T a M σ (( x) A) = σ ( (( x) ( A))) = σ (( x) ( A)) = σ [x/a] ( A) a M = a M = a M ( σ [x/a] ( A)) ( (A)) σ [x/a] הוכחה: נחשב ננתח את הביטוי שהתקבל. 13

14 , כלומר σ [x/a] (A) = T לכל M,a אז a M אם σ [x/a] (A) = T ), ולכן a M (σ [x/a] (A) = F לכן,a M לכל σ [x/a] (A) = F a M ( (A)) σ [x/a] = T, כלומר σ [x/a] (A) = F לאיזה M,a 0 אז a M אם σ [x/a] (A) = F ), ולכן a M (σ [x/a] (A) = T לכן, σ [x/a] (A) = T a M ( (A)) σ [x/a] = F כנדרש.,σ (( x) A) = a M ולכן בכל מקרה (A) σ [x/a] דוגמה: נתבונן במבנה...} 3, {0, 1, 2, =, M ובנוסחאות A = ( x) ( y) (< (x, y)) B = ( x) ( y) (< (y, x)) נראה כי (1) A.M B (2),M 1. נחשב, σ (A) = σ (( x) ( y) (< (x, y))) = σ [x/a] (( y) (< (x, y))) = = a M a M b M a M b M (σ [x/a]) [y/b] (< (x, y)) ( ( )) < M (σ [x/a]) [y/b] (x), (σ [x/a]) [y/b] (y) כעת ניזכר בהגדרה הכללית של [x/a] σ, ונפעיל אותה פעמיים, ונקבל שמתקיים 14

15 באופן כללי עבור משתנה z, (σ [x/a]) [y/b] (z) = (σ [x/a]) [y/b] (z) { b y = z = σ [x/a] (z) y z { b = a z = x σ (z) z x = a z y, z = x σ (z) z y, z x b z = y z = y z y מכך נקבל כי σ (A) = = a M b M a M b M (σ [x/a]) [y/b] (x) = a (σ [x/a]) [y/b] (y) = b ומכאן נמשיך את החישוב ונקבל ( ( )) < M (σ [x/a]) [y/b] (x), (σ [x/a]) [y/b] (y) ( < M (a, b) ) b M. ידוע כי ביחס הסדר על הטבעיים האי נתבונן בערך של (b,a) < שוויון a < b מתקיים לכל M a N = עבור איזשהו M b N = גדול b M עבור כל,a M = N ולכן נובע מספיק, ולכן (a, b) = T < σ (A) = T = T σ (B) = a M a M b M < M (b, a) כלומר.M A 2. באמצעות חישוב זהה נקבל, b M. ידוע כי עבור M N =,0 מתקיים נתבונן בערך של (a,b) b M, ולכן (b, 0) = F ולכן,b N = M לכל < (b, 0) = F < (b, a) = F a M b M כלומר.M B 15

16 5 הצבה הגדרה: תהי A נוסחה, יהי x משתנה ויהי v שם עצם. הצבה של שם עצם v במקום משתנה x בנוסחה A, היא סדרת סמלים בשפה, אותה נסמן [v] A, x המוגדרת על ידי החלפת כל הופעה חופשית של משתנה x בשם העצם v. טענה: נניח כי u שם עצם, x משתנה, v שם עצם, אז [v] u x הוא שם עצם. הוכחה: באינדוקציה על אורך סדרת היצירה של שם העצם u. אם,u = y x אז u x [v] = y = u וזה אכן שם עצם. אם u = x אז u x [v] = v וזה אכן שם עצם. אם u = h סמל פונקציה 0 מקומי, אז u x [v] = h וזה אכן שם עצם. אם ) m u = f (z 1,..., z כאשר f סמל פונקציה m מקומית, z 1,..., z m שמות עצם, אז u x [v] = f (z 1x [v],..., z mx [v]) וזה אכן שם עצם כי [v] z jx שם עצם לפי הנחת האינדוקציה. הגדרה: אם A נוסחה, x משתנה, v שם עצם, ההצבה [v] A x מוכרזת חוקית, אם כל המשתנים החופשיים שמופיעים ב v, לא נקשרים בכמת ב [ v ] A. x כלומר, הצבה [v] A x כנ"ל היא לא חוקית, אם קיים משתנה y בעלת הופעה חופשית ב v, כך שההופעה של y בנוסחה [v] A x קשורה בכמת. דוגמה: עבור הנוסחה ההצבה A = y (x y) A x [y] = y (y y) אינה חוקית, כי המשתנה y שהיה חופשי ב v, הפך להיות קשור בכמת. טענה: אם A נוסחה, x משתנה, v שם עצם, אם הצבת v במקום x בנוסחה A היא חוקית, אז [v] A x היא נוסחה. הוכחה: באינדוקציה על אורך סדרת היצירה של הנוסחה A. A נוסחה אטומית: כלומר ) n,a = P (u 1,..., u כאשר P סמל יחס n מקומי, A x [v] = P (u 1x [v],..., u nx [v]) שמות עצם. על ידי הטענה הקודמת, u 1,..., u n נוסחה אטומית, ובפרט נוסחה. B A = עבור B נוסחה: מתקיים [v],a x [v] = B x ומהנחת האינדוקציה זו נוסחה. C A = B עבור B, C נוסחאות: מתקיים [v],a x [v] = B x [v] C x ומהנחת האינדוקציה זו נוסחה. B A = (y ) עבור B נוסחה ועבור y משתנה. נבחן שני מקרים, אם y, x מכיוון שהופעות חופשיות של x ב B וב A מתאימות זו לזו, מחוקיות ההצבה נקבל כי [v],a x [v] = ( y) B x ולכן זו נוסחה. אם y, = x היות שזו אינה הופעה חופשית של x ב A, אז A, x [v] = A ולכן זו נוסחה. 16

17 5.1 פעולת השמה על הצבה טענה: אם u שם עצם, x משתנה, v שם עצם, אז לכל השמה M σ, : V ar σ (u x [v]) = σ [x/ σ (v)] (u) הוכחה: באינדוקציה על אורך סדרת היצירה של שם העצם u. 1. אם u הוא משתנה u, = z נבדוק שני מקרים, אם z, x אין מופעים של v ב u, ולכן u x [v] = z = u σ (u x [v]) = σ (z) = σ (z) (Denition of σ [x/y]) = σ [x/ σ (v)] (z) = σ [x/ σ (v)] (z) = σ [x/ σ (v)] (u) ולכן אם z, = x נחליף כל מופע של x ב v, u x [v] = v σ (u x [v]) = σ (v) (Denition of σ [x/y]) = σ [x/ σ (v)] (x) = σ [x/ σ (v)] (x) = σ [x/ σ (v)] (u) ולכן.2 אם ) n u = f (v 1,..., v עבור f סמל פונקציה n מקומי, t 1,..., t n שמות עצם, אז u x [v] = f (t 1x [v],..., t nx [v]) σ (u x [v]) = σ (f (t 1x [v],..., t nx [v])) = f M ( σ ( (t 1x [v]),..., σ (t nx [v])) ) (Induction) = f M σ [x/ σ (v)] (t1 ),..., σ [x/ σ (v)] (tn ) (Denition of σ) = σ [x/ σ (v)] (f (t1,..., t n )) = σ [x/ σ (v)] (u) ולכן 17

18 אם כך הראינו את הטענה לכל אחד הרכיבים של סדרת היצירה של שמות עצם, ולכן ברור כיצד להסיק אותה לכל שם עצם, באינדוקציה על אורך סדרת היצירה שלו. טענה: אם A נוסחה, x משתנה, v שם עצם, ונניח כי [v] A x הצבה חוקית, אז לכל השמה,σ : V ar M σ (A x [v]) = σ [x/ σ (v)] (A) הוכחה: באינדוקציה על אורך סדרת היצירה של הנוסחה A..1 אם A נוסחה אטומית, כלומר ) n A = P (u 1,..., u עבור P סמל יחס n מקומי, u 1,..., u n שמות עצם, אז A x [v] = P (u 1x [v],..., u nx [v]) σ (A x [v]) = σ (P (u 1x [v],..., u nx [v])) ולכן = P M ( σ ( (u 1x [v]),..., σ (u nx [v])) ) (By previous claim) = P M σ [x/ σ (v)] (u1 ),..., σ [x/ σ (v)] (un ) = σ [x/ σ (v)] (P (u 1,..., u n )) = σ [x/ σ (v)] (A).2 אם,A = B σ (A) = σ ( B) = σ (B) ולכן σ (A x [v]) = σ ( (B x [v])) = σ (B x [v]) ( ) Induction: The = σ [x/ σ (v)] (B) length of B is shorter = σ [x/ σ (v)] ( B) = σ [x/ σ (v)] (A) σ (A) = σ (B C) = σ (B) σ (C).3 אם,A = B C 18

19 ולכן σ (A x [v]) = σ (B x [v] C x [v]) = σ (B x [v]) σ (C x [v]) ( ) Induction: The lengths = σ [x/ σ (v)] (B) σ [x/ σ (v)] (C) of B, C are shorter = σ [x/ σ (v)] (B C) = σ [x/ σ (v)] (A).4 אם,A = ( z) B נחלק לשני מקרים - x z = או.z x (א) אם z: = x במקרה זה A, = (x ) B והיות כי x אינו בעל הופעה חופשית ב A אין שינוי לאחר ההצבה, ומתקיים A. x [v] = A ואז מצד אחד, σ (A x [v]) = σ (A) = σ (( x) B) = σ [x/a] (B) a M σ [x/ σ (v)] (A) = σ [x/ σ (v)] (( x) B) = (σ [x/ σ (v)]) [x/a] (B) a M (σ [x/ σ (v)]) [x/a] (B) = σ [x/a] (B) ומצד שני, ולכן מספיק להראות כי נשתמש במשפט המשתנים החופשיים, ונראה כי (σ [x/ σ (v)]) [x/a] (y) = σ [x/a] (y) לכל משתנה y המופיע בצורה חופשית ב B. ואכן, ניזכר בהגדרה של [x/a] σ, ונשים לב כי לכל M a, { a y = x (σ [x/ σ (v)]) [x/a] (y) = σ [x/ σ (v)] (y) y x { a y = x = σ (v) y = x y x σ (y) y x { a y = x = σ (y) y x = σ [x/a] (y) 19

20 כנדרש. (ב) אם z, x אז ( Induction: The length of B is shorter A x [v] = (( z) B) x [v] = ( z) (B x [v]) נשים לב כי מצד אחד, σ (A x [v]) = σ (( z) B x [v]) = σ [z/a] (B x [v]) ) = a M a M [ σ [z/a] x/ σ ] [z/a] (v) (B) כאשר נשים לב כי השוויון השלישי הוא הפעלת הנחת האינדוקציה על ההשמה [z/a].σ וכמו כן מצד שני, σ [x/ σ (v)] (A) = σ [x/ σ (v)] (( z) B) = σ [x/ σ (v)] [z/a] (B) a M ולכן מספיק להראות כי [ σ [x/ σ (v)] [z/a] (B) = (σ [z/a]) x/ σ ] [z/a] (v) (B) שוב נשתמש במשפט המשתנים החופשיים, ונראה כי [ σ [x/ σ (v)] [z/a] (y) = (σ [z/a]) x/ σ ] [z/a] (v) (y) לכל משתנה y המופיע בצורה חופשית ב B. ניזכר בהגדרה של [x/a] σ, ונשים לב כי לכל M a, { a y = z (σ [x/ σ (v)]) [z/a] (y) = σ [x/ σ (v)] (y) y z = = σ (v) y = x σ (y) y x and y z { a y = z a σ (v) y = x σ (y) y x y z y = z 20

21 באותו אופן, לכל M a, [ (σ [z/a]) x/ σ ] [z/a] (v) (y) = = = { σ [z/a] (v) y = x σ [z/a] (y) y x { σ [z/a] (v) y = x a y = z y x σ (y) y z σ [z/a] (v) y = x a y = z σ (y) y x and y z ולכן ההשמות הללו זהות למעט - לכאורה - על המשתנה y. = x נראה כי אכן (v) σ. (v) = σ [z/a] טענה זו אינה נכונה באופן כללי, אולם דרשנו שההצבה [v] A x תהיה חוקית, כלומר שכל ההופעות החופשיות של משתנים ב v לא ייקשרו בכמת בנוסחה [v] A, x ודרישה זו תפתור את הבעיה. נחלק לשני מקרים אפשריים, x לא מופיע בצורה חופשית ב B : הצבה פועלת רק על משתנים חופשיים, ולכן במקרה זה ההצבה לא משנה דבר ומתקיים, A x [v] = (( z) B) x [v] = ( z) B x [v] = ( z) B = A מקרה זה כיסינו לעיל ( 4 א). x מופיע בצורה חופשית ב B : במקרה זה, כדי שההצבה תהיה חוקית בהכרח יש להניח כי z לא מופיע ב v (אחרת הצבת v במקום x הייתה קושרת את z בכמת z והופכת את ההצבה ללא חוקית). נשים לב כי (y) σ (y) = σ [z/a] לכל משתנה y שמופיע ב v, שכן המקרה היחיד שבו זה לא מתקיים הוא y, = z וזה לא ייתכן לפי ההנחה כי z לא מופיע ב v. לכן לפי משפט שהראינו לעיל נובע כי כנדרש., σ (v) = σ [z/a] (v) 21

22 חלק II נכונות ויסיקות רקע: תחילה נתאר דרך לקבוע "נכונות" של נוסחה במסגרת של "תאוריה" (נגדיר מיד מהי תאוריה ונתאר את קבוצת הנוסחאות הנכונות - "סג ר גלואה"), ובנפרד נתאר דרך "להסיק" נוסחה במסגרת של תאוריה (נגדיר בהמשך מהי הסקה). לאחר מכן נציג שני משפטים חשובים שיזהו בין שני אוספי הנוסחאות הללו. כלומר, האחד יקבע כי כל נוסחה נכונה במובן שנגדיר היא ניתנת להסקה (משפט השלמות של גדל), והאחר יקבע כי כל נוסחה שניתנת להסקה בצורה שנגדיר היא נכונה (משפט הנאותות). 6 תאוריות ומודלים הגדרה: תאוריה היא מחלקה של נוסחאות. הגדרה: תהי T תאוריה. מבנה M נקרא מודל של T, אם לכל M. A A, T דוגמה: את הטרנזיטיביות של היחס < על המספרים הטבעיים, ניתן לכתוב A 1 = ( x) ( y) ( z) ((< (x, y) < (y, z)) < (x, z)) את העובדה שכל זוג מספרים הם "ברי השוואה" ביחס >, ניתן לכתוב A 2 = ( x) ( y) (< (x, y) (x, y) (< (y, x))) וכן את התכונה האנטי רפלקסיבית של היחס >, ניתן לכתוב A 3 = ( x) ( < (x, x)) אם M מבנה המספק את,A 1, A 2, A 3 כלומר M = A 1 וכן M = A 2 וכן M, = A 3 אז M הוא מודל של יחס סדר לינארי. כלומר, יחס הסדר < המתפרש כסמל נוסחה דו מקומית במבנה M, הוא יחס סדר לינארי. את התכונה של העדר איבר מקסימלי ביחס >, ניתן לכתוב B = ( x) ( y) (< (x, y)) 22

23 6.1 סג ר גלואה לתאוריה ולמודל הגדרה: נניח כי T תאוריה. נגדיר את ) T) Mod להיות מחלקת כל המבנים שהם מודלים של T (זו התאמה.(Mod : T heories Models הגדרה: נניח כי M מחלקה של מבנים. נגדיר את (M) T h לכלול כל נוסחה A, כך שלכל.(T h : Models T heoris התאמה (זו M A,M M מינוח: ההתאמות Mod, T h הן התאמות גלואה. כלומר, אם מתבוננים בעולם של מחלקות המבנים (Models) ובעולם התאוריות,(Theories) לאחר שהפעלנו פעם אחת את ההתאמות הללו, ניתן להמשיך ללכת בין העולמות הללו באופן חופשי באמצעות ההתאמות.Mod, T h ננסח ונוכיח טענה זו מיד. עבור T תאוריה, סג ר גלואה של T, היא התאוריה (( T) T. h (Mod עבור M מחלקה של מבנים, סג ר גלואה של M, היא המחלקה של המבנים ((M).Mod T) h תכונות: נתבונן בתכונות הבאות של ההתאמות,Mod, T h אותן קל להוכיח..1 לכל תאוריות,T 1, T 2 אם,T 1 T 2 אז ) 2.Mod (T 1 ) Mod (T.2 לכל מחלקות של מבנים,M 1, M 2 אם,M 1 M 2 אז ) 2.T h (M 1 ) T h (M.3 לכל תאוריה.T T h (Mod (T )),T.4 לכל מחלקה של מבנים.M Mod (T h (M)),M טענה: ההתאמות Mod, T h הן התאמות גלואה בין T. heories, Models Mod (T ) = Mod (T h (Mod (T ))) T h (M) = T h (Mod (T h (M))) כלומר, לכל תאוריה T, וכן לכל מחלקה של מבנים M, מסקנה: ברור שניתן להמשיך את השוויון, ולקבל שהפעלה נוספת של Mod T h או הפעלה נוספת של T h Mod אינן משנות. היות שמתכונה 3 מתקיים )) (T,T T h (Mod מתכונה 1 נובע ) (T Mod ))) (T.Mod (T h (Mod נותר להראות את ההכלה ההפוכה. עבור ) (T M := Mod מתכונה 4 מתקיים (M)),M Mod (T h כלומר Mod (T ) Mod (T h (Mod (T ))) Mod (T ) = Mod (T h (Mod (T ))) הוכחה: ומשתי ההכלות נקבל כי 23

24 היות שמתכונה 4 מתקיים (M)),M Mod (T h מתכונה 2 נובע (M) T h (M))).T h (Mod (T h נותר להראות את ההכלה ההפוכה. עבור (M) T := T h מתכונה 3 מתקיים )) (T,T T h (Mod כלומר ומשתי ההכלות נקבל כי T h (M) T h (Mod (T h (M))) T h (T ) = T h (Mod (T h (M))) 7 יסיקות רקע: בהינתן תאוריה כלשהי, ראינו מהו סגור גלואה שלה (באמצעות M, od T h כלומר מחלקת כל הנוסחאות שמסופקות על ידי כל המבנים שהם מודלים של התאוריה). נשתמש במערכת חדשה כדי לתאר "הסקה" של נוסחה מתוך תאוריה, ונראה בהמשך שמערכת זו מספקת תאור מלא של סגור גלואה. כלומר, אם נתייחס לסגור גלואה כאל "מחלקת הנוסחאות הנכונות" של התאוריה, אז כל טענה יסיקה מהתאוריה היא נכונה בתאוריה (משפט הנאותות) וכל טענה נכונה בתאוריה היא יסיקה מהתאוריה (משפט השלמות של גדל). 7.1 אקסיומות לוגיות נגדיר ארבע אקסיומות, כלומר נוסחאות שאותן נקבל כנתונות תמיד: 1. אקסיומה פסוקית: אם A נוסחה, אז A A 2. אקסיומת ההצבה: לכל נוסחה A, לכל משתנה x ולכל שם עצם u, אם [u] A x היא הצבה חוקית, אז A x [u] ( x) A 3. אקסיומת הזהות: אם x משתנה, אז (x, x) או בקיצור, x x 24

25 .4 אקסיומת השוויון: אם f סמל פונקציה n מקומית, וכן x 1,..., x n, y 1,..., y n סמלי משתנים, אז (x 1 y 1 ) ((x 2 y 2 )... ((x n y n ) (f (x 1,..., x n ) f (y 1,..., y n )))) כמו כן, אם P סמל יחס n מקומי, וכן x 1,..., x n, y 1,..., y n סמלי משתנים, אז (x 1 y 1 ) ((x 2 y 2 )... ((x n y n ) (P (x 1,..., x n ) P (y 1,..., y n )))) הערה: היות שהאיווי כפונקציה של קבוצת ערכי האמת מקיים אסוציאטיביות, נשמיט את הסוגריים. למשל, A 1 A 2 A 3 = A 1 (A 2 A 3 ) במקרה של אסוציאטיביות האיווי אכן לא משנה כיצד נכתבים הסוגריים, אבל לעתים יש לזה חשיבות רבה, כמו במקרה של החץ: מוסכמה: פעולת "החץ" (כפונקציה על קבוצת ערכי האמת) אינה אסוציאטיבית, ולכן נסכים על סוגריים מנורמלים לימין. למשל, A B C = A (B C) בפרט נוכל לכתוב את אקסיומת השוויון עבור סמל פונקציה, (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 )... (x n y n ) f (x 1,..., x n ) f (y 1,..., y n ) ובדומה עבור סמל יחס, (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 )... (x n y n ) (P (x 1,..., x n ) P (y 1,..., y n )) 7.2 הסקה לוגית הגדרה: נגדיר 5 כללי היסק,.1 כלל ההרחבה: A B A.2 כלל הצמצום: A A A.3 כלל האסוציאטיביות: A (B C) (A B) C.4 כלל החתך: {A B, A C} B C.5 כלל הכנסת הכמת: מהנוסחה,A B ( x) A B בתנאי שהנוסחה B אינה מכילה הופעות חופשיות של המשתנה x. הגדרה: אם T תאוריה (אולי ריקה), סדרת היסק ב T היא סדרת נוסחאות A 1,,... A n בשפה, כך שלכל i n 1 מתקיימת אחת מהאפשרויות הבאות, A i T.1 25

26 .2 i A אקסיומה לוגית 3. i A מתקבלת מתוך אחד מחמשת כללי ההיסק. כלומר, (א) מכלל ההרחבה: קיים,i > j כך ש B A j = וגם A i = C B (ב) מכלל הצמצום: קיים,i > j כך ש B A j = B וגם A i = B A j וגם קיים i > j כך ש ( D = B (C (ג) מכלל האסוציאטיביות: A i = (B C) D (ד) מכלל החתך: קיימים i > j, h כך ש C A h = B וכן A j = B D וגם A i = C D i A A j וגם = קיים i > j כך ש C = B (ה) מכלל הכנסת הכמת: x. חופשיות של המשתנה הופעות כאשר אין ב C (x ), B C הגדרה: אם T תאוריה (אולי ריקה), אומרים שניתן להסיק נוסחה A מתוך T, או כי A יסיקה מתוך,T אם קיימת סדרת היסק A 1,..., A n ב,T כך שמתקיים.A = A n T A A במקרה כזה מסמנים זאת אם T ריקה, נסמן 26

27 חלק III נאותות 8 משפט הנאותות משפט הנאותות: תהי T תאוריה. לכל M מודל של T, לכל נוסחה A שעבורה T, A בהכרח גם.M A כלומר, לכל תאוריה T, אם מבנה M מספק את כל הנוסחאות שבתאוריה, אז הוא מספק את כל הנוסחאות שיסיקות מהתאוריה. מסקנה: בסימונים שהראינו לעיל, T h (Mod (T )) {A T A} היות שבהינתן,T A מהמשפט נובע שלכל ) (T,M A,M Mod כלומר.A T h (Mod (T )) מבוא להוכחת משפט הנאותות: איך בנויה ההוכחה? הוכחת משפט הנאותות יחסית קלה אבל ארוכה ועלולה לבלבל היות שהיא דורשת בדיקה של מקרים רבים. לשם כך נחלק את ההוכחה לשלושה חלקים. נציג את המטרה: ברקע נתונה תאוריה T כלשהי ונתון M כלשהו מודל של T (כלומר.(M T תהי A נוסחה כלשהי שעבורה,T A נרצה להראות כי.M A איך מראים זאת? נזכור כי T A אם יש לה סדרת היסק, כאשר סדרת היסק בנויה משלושה סוגי רכיבים: אקסיומות לוגיות, נוסחאות התאוריה T וכללי היסק. לפיכך, כדי לבדוק שעבור A המקיימת T A אכן מתקיים M, A עלינו לבדוק זאת עבור שלושת סוגי הרכיבים: עבור A שהיא אקסיומה לוגית, עבור A T ועבור A המתקבלת מכלל היסק. נשים לב שמההגדרה של מודל ברור שהמשפט נכון עבור נוסחאות התאוריה, לכן העבודה תהיה להוכיח את המשפט לאקסיומות לוגיות ולכללי היסק. מתוך נכונות משפט הנאותות עבור נוסחאות הבנויות מאחד משני הרכיבים הללו, יהיה קל להוכיח את נכונות המשפט לכל נוסחה יסיקה, באינדוקציה על אורך סדרת ההיסק שלה. בסיס האינדוקציה הוא הוכחת הטענה עבור האקסיומות הלוגיות ונוסחאות התאוריה T, וצעד האינדוקציה הוא הוכחת הטענה עבור כללי היסק. 8.1 חלק א: הוכחת משפט הנאותות לאקסיומות לוגיות יש ארבע אקסיומות לוגיות. נבדוק כל אחת. לאקסיומה פסוקית נניח כי A אקסיומה פסוקית, כלומר.A = B B 27

28 σ (A) = σ ( B B) = σ ( B) σ (B) = σ (B) σ (B) = ( σ (B), σ (B)) = T לכל השמה M,σ : V ar כלומר.M A לאקסיומת הזהות נניח כי A אקסיומת הזהות, כלומר x).a = (x לכל השמה M,σ : V ar σ (A) = σ (x x) = M ( σ (x), σ (x)) = M (σ (x), σ (x)) { T σ (x) = σ (x) (General interpretation of ) = F otherwise = T כלומר.M A 28

29 לאקסיומת השוויון נשתמש בהוכחה זו בעובדה שעבור,A B מתקיים (B),σ (A B) = σ (A) σ כאשר פעולת החץ משמשת כאן כפונקציה {F,T} {F,T} : (אלו שני חיצים בעלי משמעות שונה), המוגדרת על ידי (a, b) = ( a) b (T, T) = T (T, F) = F (F, T) = T (F, F) = T או באופן מפורש, ואז נקבל מההגדרה,A B = ( A) B σ (A B) = σ (( A) B) = σ ( A) σ (B) = ( σ (A)) σ (B) = σ (A) σ (B) הערה: נוכיח לאקסיומת השוויון עם סמל פונקציה n מקומי, והוכחה כמעט זהה תהיה נכונה גם עבור אקסיומת השוויון עם סמל יחס n מקומי. נניח A אקסיומת השוויון עם סמל פונקציה n מקומי f, כלומר A = (x 1 y 1 )... (x n y n ) (f (x 1,..., x n ) f (y 1,..., y n )) לכל השמה M,σ : V ar σ (A) = σ ((x 1 y 1 )... (x n y n ) (f (x 1,..., x n ) f (y 1,..., y n ))) = σ (x 1 y 1 )... σ (x n y n ) σ (f (x 1,..., x n ) f (y 1,..., y n )) = ( x 1 M y 1 )... ( xn M y n ) ( f M (σ (x 1 ),..., σ (x n )) M f M (σ (y 1 ),..., σ (y n )) ) := Q 1... Q n f M (σ (x 1 ),..., σ (x n )) M f M (σ (y 1 ),..., σ (y n )) Q i := { T F x i = y i otherwise כאשר מסמנים עבור i n,1 נראה כי ערך האמת של הביטוי שהתקבל הוא תמיד T, ולשם כך נחלק לשני מקרים. 29

30 אם Q i = T לכל i n,1 כלומר x i = y i לכל i n,1 אז ) i σ (x i ) = σ (y לכל i n,1 ולכן f (σ (x 1 ),..., σ (x n )) = f (σ (y 1 ),..., σ (y n )) σ (A) = T כלומר Q j = F אם יש j n 1 שעבורו אז נניח ללא הגבלת הכלליות כי j הוא האינדקס הראשון שעבורו Q, j = F ואז נקבל כי היות שבאופן כללי,F T = T Q j Q j+1... Q n f M (σ (x 1 ),..., σ (x n )) M f M (σ (y 1 ),..., σ (y n )) = T Q 1... Q j... Q n f M (σ (x 1 ),..., σ (x n )) M f M (σ (y 1 ),..., σ (y n )) = T ולכן כנדרש. לאקסיומת ההצבה נניח כי A אקסיומת ההצבה, כלומר B).A = (B x [v] ( x) לכל השמה M,σ : V ar σ (A) = σ (B x [v] ( x) B) = σ (B x [v]) σ (( x) B) = σ [x/ σ (v)] (B) a M σ [x/a] (B) כאשר השוויון השני מוסבר בתיבה שבראשית ההוכחה הקודמת - לאקסיומת השוויון, והשוויון השלישי הוא מטענה שהראינו לגבי פעולת השמה על הצבה. כעת נקבל, F T = כי באופן כללי, a M אם,σ [x/ σ (v)] (B) = F אז σ [x/a] (B) = T.T אם,σ [x/ σ (v)] (B) = T אז עבור האיבר M a 0 := σ (v) נקבל = (B) σ [x/a 0 ]. a M σ [x/a] (B) = T כלומר,T כלומר.M A 30

31 8.2 חלק ב: הוכחת משפט הנאותות לכללי היסק לכלל ההרחבה נניח כי A מתקבלת מכלל ההרחבה, כלומר מסיקים את A = B C מתוך C. לכל השמה M,σ : V ar σ (A) = σ (B C) = σ (B) σ (C) = σ (B) T = T כלומר.M A לכלל הצמצום נניח כי A מתקבלת מכלל הצמצום, כלומר מסיקים את A = B מתוך B. B לכל השמה M,σ : V ar σ (A) = σ (B) = T כלומר.M A לכלל האסוציאטיביות נניח כי A מתקבלת מכלל האסוציאטיביות, כלומר מסיקים את A = B) (C D מתוך.B (C D) לכל השמה M,σ : V ar σ (A) = σ ((B C) D) = σ (B C) σ (D) = σ (B) σ (C) σ (D) = σ (B) σ (C D) = σ (B (C D)) = T כלומר.M A לכלל החתך נניח כי A מתקבלת מכלל החתך, כלומר מסיקים את A = C D מתוך B C וגם. B D לכל השמה M,σ : V ar σ (A) = σ (D C) = σ (D) σ (C) 31

32 מצד שני, נתון כי T = σ (B C) = σ (B) σ (C) ולכן אם,σ (B) = F בהכרח,σ (C) = T ולכן במקרה זה.σ (A) = T אבל גם נתון כי T = σ ( B D) = σ ( B) σ (D) = σ (B) σ (D) ולכן אם,σ (B) = T כלומר, σ (B) = F בהכרח,σ (D) = T ולכן במקרה זה.σ (A) = T מתקיימת בדיוק אחת משתי האפשרויות הבאות: σ (B) = F או σ, (B) = T ולכן בכל מקרה,σ (A) = T כלומר.M A לכלל הכנסת הכמת נניח כי A מתקבלת מכלל הכנסת הכמת, כלומר מסיקים את A = (x ) B C מתוך x. שאין בה הופעות חופשיות של המשתנה C עבור נוסחה B, C לכל השמה M,σ : V ar σ (A) = σ (( x) B C) = σ (( x) B) σ (C) = σ [x/a] (B) σ (C) a M a M, אז היא גוררת כל נוסחה, כי באופן כללי כל גרירה אם σ [x/a] (B) = F מהצורה F T היא בעלת ערך אמת T. לכן במקרה זה σ. (A) = T.σ [x/a 0 ] (B) = T שעבורו a 0 M אז יש, a M אם σ [x/a] (B) = T נשים לב שנתון כי,M B C לכן בפרט עבור ההשמה ] 0,σ [x/a T = σ [x/a 0 ] (B C) = σ [x/a 0 ] (B) σ [x/a 0 ] (C) σ [x/a 0 ] (C) = T ולכן כעת, נשים לב שהיות שבנוסחה C אין הופעות חופשיות של x, לכל M a מתקיים σ [x/a] (C) = σ (C) 32

33 כי המקרה היחיד שייתכן כי (y) σ (y) σ [x/a] הוא עבור y, = x אבל x אינו בעל הופעה חופשית ב C ולכן σ (C) = σ [x/a 0 ] (C) = T.σ (A) = T ולכן, a M כלומר, בכל מקרה σ [x/a] (B) σ (C) = T 8.3 חלק ג: הוכחת משפט הנאותות לכל נוסחה יסיקה נוכיח באינדוקציה על אורך סדרת ההיסק. תהי A המקיימת,T A עם סדרת היסק A 1,..., A n כך שמתקיים.A = A n עבור = 1 n, כלומר A היא אקסיומה לוגית או נוסחה ב T. אם A אקסיומה לוגית הוכחנו כי M. A אם A, T אז היות M מודל של T, מהגדרה נובע כי M מספק את כל נוסחאות T. כעת, אם המשפט נכון עבור סדרות מאורך 1 n, הרי ש A n אקסיומה לוגית, נוסחה ב T או מתקבלת מכלל היסק. עבור כל המקרים הללו ראינו כי M, A n ולכן המשפט נכון עבור.A 33

34 חלק IV טאוטולוגיה 9 פרולוג: טאוטולוגיה ויסיקות מצומצמת לעיל עסקנו באוסף הנוסחאות (( T) T h (Mod עבור תאוריה T, וכעת נעסוק בתת אוסף מתוכו, הנוסחאות הטאוטולוגיות של T. במקביל, במקום להתבונן באוסף הנוסחאות היסיקות מתוך T, נצטמצם לתת אוסף מתוכו, הנוסחאות היסיקות במצומצם מתוך T. נגדיר בהמשך מהן הנוסחאות הללו, ונראה כי נוכל להשיג תוצאה שמזהה בין שני תתי האוספים הללו: נוסחה A היא טאוטולוגיה, אם ורק אם היא יסיקה במצומצם מתוך T. כלומר, היות שהצטמצמנו רק לחלק מסוים מנוסחאות (( T) T, h (Mod נקבל איפיון מלא שלהן על ידי היסק מצומצם, כלומר היסק שכולל רק חלק מהאקסיומות וכללי ההיסק שהגדרנו לעיל. את הכיוון הראשון של התוצאה החדשה ישיג משפט פוסט (כל נוסחה טאוטולוגית היא יסיקה במצומצם), ואת הכיוון השני ישיג משפט הנאותות המצומצם (כל נוסחה יסיקה במצומצם היא טאוטולוגיה). 10 הערכה הגדרה: נוסחה A בשפה נקראת אלמנטרית, אם היא נוסחה אטומית, או שהיא מהצורה.A = ( x) B טענה: ניתן לבטא כל נוסחה באמצעות נוסחאות אלמנטריות, על ידי שימוש בקשרים לוגיים בלבד של שלילה ואיווי. הוכחה: באינדוקציה על אורך סדרת היצירה של נוסחה. תהי A נוסחה בעלת סדרת יצירה.A 1,..., A n אם = 1 n אז ) m A = P (u 1,..., u עבור P סמל יחס m מקומי ועבור u 1,..., u m שמות עצם, ולכן A עצמה נוסחה אלמנטרית. עבור n כללי, אם הטענה נכונה עבור סדרות יצירה מאורך קטן מ n, אז.1 אם ) m A = P (u 1,..., u עבור P סמל יחס m מקומי ועבור u 1,..., u m שמות עצם, אז A עצמה נוסחה אלמנטרית..2 k A = A j A עבור n > j, k כלשהם, אז A מתקבלת מנוסחאות אלמנטריות (מהנחת האינדוקציה) על ידי איווי..3 j A = A עבור n > j כלשהו, אז A מתקבלת מנוסחה אלמנטרית (מהנחת האינדוקציה) על ידי שלילה..4 j A = ( x) A עבור n > j כלשהו, אז A עצמה נוסחה אלמנטרית. הגדרה: הערכה היא העתקה ν הנותנת לכל נוסחה אלמנטרית A ערך אמת כלשהו (A) ν.{t, F} 34

35 .1 היות שכל נוסחה ניתנת לביטוי על ידי נוסחאות אלמנטריות באמצעות הקשרים הלוגיים של איווי ושלילה, נתיחס לכל הערכה כמוגדרת על כל הנוסחאות בשפה, על ידי הדרישה שהיא תכבד את הקשרים הלוגיים, כלומר ν (A B) = ν (A) ν (B) ν ( A) = ν (A).2 הערה: כל השמה היא הערכה, כפי שנובע מהגדרה של השמה. 11 היגררות טאוטולוגית הגדרה: נוסחה A נקראת גרירה טאוטולוגית מתוך תאוריה T, אם לכל הערכה ν, אם לכל.ν (A) = T אז גם,ν (B) = T,B T טענה: תהי A נוסחה ותהי T תאוריה. אם A גרירה טאוטולוגית של T, אזי A.T h (Mod (T )) הוכחה: צריך להראות שלכל ) (T.M A,M Mod כלומר, σ (A) = T לכל השמה.σ : V ar M תהי M σ : V ar השמה. מהיות M מודל של T נובע כי σ (B) = T לכל B. T אבל כל השמה היא הערכה, ולכן מהגדרת גרירה טאוטולוגית גם כנדרש.,A T h (Mod (T )) כלומר קיבלנו כי.σ (A) = T הגדרה: תהי T תאוריה ותהי A נוסחה. נאמר כי A יסיקה במצומצם מתוך T, ונסמן זאת T, A אם A יסיקה מתוך T (כלומר T) A על ידי סדרת היסק שמכילה אקסיומה פסוקית בלבד (ולא אקסיומת ההצבה, אקסיומות השוויון, או אקסיומת הזהות) וכן שמכילה את כלל ההרחבה, הצמצום, האסוציאטיביות והחתך (ולא כלל הכנסת כמת). במקרה בו T ריקה, נסמן A משפט הנאותות המצומצם משפט הנאותות המצומצם: תהי A נוסחה ותהי T תאוריה. אם T, A אז A גרירה טאוטולוגית של T. הוכחה: מהנתון T A נובע כי מתקיימת אחת מהאפשרויות הבאות, T. עצמה גרירות טאוטולוגיות של T ברור כי כל נוסחאות A. T 1. 35

36 .2 אקסיומה פסוקית:.A = B B אז לכל הערכה,ν ν (A) = ν ( B B) = ν ( B) ν (B) = ν (B) ν (B) = T 3. A מתקבלת מאחד מכללי ההיסק הבאים, (א) כלל ההרחבה: מסיקים את A = C B מתוך B. אז לכל הערכה ν, ν (A) = ν (C B) = ν (C) ν (B) = ν (C) T = T (ב) כלל הצמצום: מסיקים את A = B מתוך B. B אז לכל הערכה ν, ν (A) = ν (B) = T (ג) כלל האסוציאטיביות: מסיקים את (B C) D מתוך D).A = B (C אז לכל הערכה ν, ν (A) = ν (B (C D)) = ν (B) ν (C D) = ν (B) ν (C) ν (D) = ν (B C) ν (D) = ν ((B C) D) = T (ד) כלל החתך: מסיקים את A = C D מתוך B C וגם. B D אז לכל הערכה ν, ν (A) = ν (C D) = ν (C) ν (D) 36

37 T = ν ( B D) = ν ( B) ν (D) = ν (B) ν (D) = T ν (D) = F ν (D) אם,ν (B) = T אז מתוך הנתון נובע כי,ν (D) = T ולכן במקרה זה.ν (A) = T אם,ν (B) = F אז מתוך הנתון T = ν (B C) = ν (B) ν (C) = F ν (C) נובע כי,ν (C) = T ולכן גם במקרה זה.ν (A) = T כעת ברור כיצד ניתן להסיק את המשפט לכל נוסחה, על ידי אינדוקציה על אורך סדרת ההיסק משפט הטאוטולוגיה של פוסט (Post) הערה: נוסחה A נקראת טאוטולוגיה, אם היא גרירה טאוטולוגית של התאוריה הריקה. במילים אחרות, לכל הערכה.ν (A) = T,ν הערה: נוסחאות אלמנטריות בהכרח אינן טאוטולוגיות, כי בהינתן נוסחה אלמנטרית A, ניתן להגדיר הערכה ν המקיימת ν (A) = F (ועל כל שאר הנוסחאות האלמנטריות היא יכולה להיבחר שרירותית, למשל להיות T). משפט פוסט: תהי A נוסחה ותהי T תאוריה. אם A גרירה טאוטולוגית של T, אז T. A הערה: בפרט נובע מכך כי T. A בדיקת טאוטולוגיות (של נוסחאות מסוג מסוים) מבוא: נתחיל להתבונן רק בנוסחאות מהצורה A 1 A 2... A n נרצה לנסח אלגוריתם לבדיקה האם נוסחה נתונה מהצורה הנ"ל היא טאוטולוגיה. הראינו שכל נוסחה A ניתנת להיכתב על ידי נוסחאות אלמנטריות תוך שימוש בקשרים לוגיים של איווי ושלילה, ולכן עבור נוסחה נתונה A, היינו יכולים לעבור על כל הנוסחאות האלמנטריות שמרכיבות אותה, נאמר שיש n כאלה, ולהתבונן בכל ההערכות האפשריות על נוסחאות אלמנטריות אלה, יש 2 n כאלה, ובכך לבחון האם A טאוטולוגיה. אך זו דרך לא יעילה, היות שמספר הפעולות בה ) n 2) הוא גדול למדי. ננסח אלגוריתם יעיל יותר לבדיקה האם נוסחה היא טאוטולוגיה. כמו כל נוסחה, גם הנוסחה A 1... A n ניתנת להיכתב על ידי נוסחאות אלמנטריות וקשרים לוגיים, ולכן מתקיימת בדיוק אחת מהאפשרויות הבאות: 37

38 1. לכל A i 1, i n היא נוסחה אלמנטרית או שלילה של נוסחה אלמנטרית. 2. קיים j n 1, עבורו A j אינה נוסחה אלמנטרית ואינה שלילה של נוסחה אלמנטרית. מקרה זה מתפצל לבדיוק אחת משלוש אפשרויות: (א) A j = B C (ב) C) A j = (B (ג) A j = B נשתמש במיון זה כדי להצביע על קיום אלגוריתם לבדיקה האם נוסחה A מהצורה הנ"ל היא טאוטולוגיה. משפט: לכל נוסחה A מהצורה,A = A 1 A 2... A n ניתן לקבוע האם היא טאוטולוגיה מבלי לעבור על כל ההערכות האפשריות. הוכחה: נחלק למקרים באופן שהסברנו במבוא, ונוכיח לכל אחד. 1. נניח שלכל A i 1, i n היא נוסחה אלמנטרית או שלילה של נוסחה אלמנטרית. למה: במקרה זה, A היא טאוטולוגיה אם ורק אם קיימים,i j n 1 שונים, כך שמתקיים כי A i נוסחה אלמנטרית וכן.A j = A i הוכחת הלמה: (כיוון ראשון) נניח כי A היא טאוטולוגיה. נניח בשלילה שלא קיימים,i j כנ"ל. נגדיר הערכה ν באופן הבא: נשים לב שלכל A i 1, i n נוסחה אלמנטרית או שלילה של כזאת. לפיכך, לכל i n,1 אם A i נוסחה אלמנטרית נגדיר,ν (A i ) = F ואילו אם A i = B עבור B נוסחה אלמנטרית כלשהי, אז ν (B) = T ולכן שוב.ν (A i ) = F נשים לב שתחת הערכה זו שהגדרנו, לכל,ν (A i ) = F,1 i n כלומר,ν (A) = F בסתירה להיות A טאוטולוגיה. (כיוון שני) נניח כי קיימים,i j כנ"ל. מכאן כי לכל הערכה ν, אם ν A) i ) = T אז,ν (A) = T ואם ν (A i ) = F אז,ν (A j ) = ν (A i ) = T ואז שוב.ν (A) = T כלומר A טאוטולוגיה. כלומר, מצאנו כי עבור המקרה הזה המשפט מתקיים. 2. קיים j n 1, עבורו A j אינה נוסחה אלמנטרית ואינה שלילה של נוסחה אלמנטרית. נבחן את שלושת תתי המקרים של מקרה זה, כפי שהסברנו במבוא. לצורך כך נשתמש באינדוקציה על מושג חדש שנגדיר כעת. הגדרה: תהי A נוסחה. נגדיר עבורה את (A) l באופן הבא: אם A נוסחה אטומית, l (A) = 1 l (A) = l (B) + l (C) + 1 אם,A = B C 38

39 אם,A = B l (A) = l (B) + 1 אם,A = ( x) B l (A) = 1 אם,A = A 1 A 2... A n נגדיר עבורה (A),m m (A) = l (A 1 ) + l (A 2 ) l (A n ) כעת נוכיח באינדוקציה על (A) m את שלושת תתי המקרים הנותרים. בסיס האינדוקציה הוא עבור = 1 (A),m כלומר,A = A 1 ולכן A נוסחה אלמנטרית. המשפט בבירור נכון לנוסחאות אלמנטריות, כי אף נוסחה אלמנטרית אינה טאוטולוגיה, שכן ניתן להגדיר הערכה ν. A) 1 ) = F ν, לכן הבדיקה האם נוסחה אלמנטרית היא טאוטולוגיה - טריוויאלית. ) אם כך, נניח באינדוקציה כי.m המשפט נכון עבור כל נוסחה Ã שעבורה (A) Ã) < m (א) נניח.A j = B C נניח כי = 1,j כלומר.A 1 = B C 5 במקרה זה, A = (B C) A 2... A n m (A) = l (B C) + l (A 2 ) l (A n ) A := B C A 2... A n כעת נתבונן בנוסחה אחרת, m (A ) = l (B) + l (C) + l (A 2 ) l (A n ) נשים לב כי הגדרנו l (B C) = l (B) + l (C) + 1 ולכן m (A ) < m (A) ומהנחת האינדוקציה ניתן לקבוע האם A טאוטולוגיה. למה: A טאוטולוגיה אם ורק אם A טאוטולוגיה. 5 נשים לב כי הבחירה = 1 j אינה משפיעה על ערך האמת של A תחת כל הערכה ν, היות שהצורה של A היא.A = A 1 A 2... A n 39

40 ν (A) = ν ((B C) A 2... A n ) = ν (B C) ν (A 2... A n ) הוכחת הלמה: לכל הערכה ν, = ν (B) ν (C) ν (A 2... A n ) ν (B) ν (C A 2... A n ) = ν (B C A 2... A n ) = ν (A ) ולכן ניתן לקבוע האם A טאוטולוגיה על ידי הקביעה האם A טאוטולוגיה..A 1 6 נניח כי = 1,j כלומר C) = (B 6.A j (ב) נניח C) = (B במקרה זה, A = (B C) A 2... A n m (A) = l ( (B C)) + l (A 2 ) l (A n ) = l (B C) l (A 1 ) l (A n ) כעת נתבונן בזוג נוסחאות אחרות, A 1 := B A 2... A n A 2 := C A 2... A n m (A 1) = l ( B) + l (A 2 ) l (A n ) = l (B) l (A 2 ) l (A n ) m (A 2) = l ( C) + l (A 2 ) l (A n ) = l (C) l (A 2 ) l (A n ) נשים לב כי גם כאן, m (A 1) < m (A), m (A 2) < m (A) ומהנחת האינדוקציה ניתן לקבוע האם 2 A A,1 טאוטולוגיות. למה: A טאוטולוגיה אם ורק אם 2 A A,1 שתיהן טאוטולוגיות. 6 נשים לב כי הבחירה = 1 j אינה משפיעה על ערך האמת של A תחת כל הערכה ν, היות שהצורה של A היא.A = A 1 A 2... A n 40

41 הוכחת הלמה: (כיוון ראשון) נניח כי A טאוטולוגיה. תהי ν הערכה. נתון כי,A = A 1... A n ולכן קיים גורם כלשהו A i שעבורו.ν (A i ) = T אם > 1,i בבירור ν (A 1) = T, ν (A 2) = T ν (A 1 ) = T T = ν (A 1 ) = ν ( (B C)) = ν (B C) = (ν (B) ν (C)) וסיימנו. לכן נניח כלומר, ולכן ν (B) = F וגם.ν (C) = F מכאן כי ν ( B) = T וגם.ν (A 2) = T וגם ν (A 1) = T ולכן,ν ( C) = T (כיוון שני) נניח 2 A A 1, שתיהן טאוטולוגיות. תהי ν הערכה. אם קיים > 1 i שעבורו,ν (A i ) = T אז ν (A) = T וסיימנו. לכן נניח שלכל > 1,i.ν (A i ) = F במקרה זה היות שנתון = 1) (A ν T וגם,ν (A 2) = T בהכרח ν ( C) = T וגם.ν ( B) = T כלומר ν ( (C B)) = ואז,ν (C B) = F ולכן ν (B) = F,ν (C) = F.ν (A) = T ולכן,T ולכן ניתן לקבוע האם A טאוטולוגיה על ידי הקביעה האם 2 A A,1 טאוטולוגיות. (ג) נניח.A j = B נניח כי = 1,j כלומר.A 1 = B 7 במקרה זה, A = B A 2... A n m (A) = l ( B) + l (A 2 ) l (A n ) A := B A 2... A n כעת נתבונן בנוסחה אחרת, m (A ) = l (B) + l (A 2 ) l (A n ) נשים לב כי הגדרנו l ( A) = l (A) + 1 ולכן m (A ) < m (A) ומהנחת האינדוקציה ניתן לקבוע האם A טאוטולוגיה. 7 נשים לב כי הבחירה = 1 j אינה משפיעה על ערך האמת של A תחת כל הערכה ν, היות שהצורה של A היא.A = A 1 A 2... A n 41

42 למה: A טאוטולוגיה אם ורק אם A טאוטולוגיה. הוכחת הלמה: לכל הערכה ν, ν (A ) = ν (B A 2... A n ) = ν (B) ν (A 2... A n ) = ν (B) ν (A 2... A n ) = ν ( B) ν (A 2... A n ) = ν ( B A 2... A n ) = ν (A) ולכן ניתן לקבוע האם A טאוטולוגיה על ידי הקביעה האם A טאוטולוגיה. אם כך בחנו את כל המקרים האפשריים, ובאינדוקציה הראינו כי ניתן לבחון האם A טאוטולוגיה על ידי בחינת נוסחאות בעלות ערך m קטן מ ( A ) m כללי היסק נגזרים מבוא: להלן נציג כמה כללי היסק שניתן היה להוסיף אותם לכללי ההיסק המקוריים שהגדרנו (הרחבה, צמצום, אסוציאטיביות והכנסת כמת), אולם היות שהם נובעים מתוך האקסיומות הלוגיות וכללי ההיסק המקוריים נתיחס אליהם כאל תוצאות מהכללים המקוריים, כפי שנראה מיד. תזכורת: להלן האקסיומות והכללים שנשתמש בהם לצורך הוכחת הכללים הנגזרים. הסימונים הם רק בפרק זה, ולצורך הפשטות במהלך (חלק מ)ההוכחות. A A אקסיומה פסוקית: :AS A B A כלל ההרחבה: :RE A A A כלל הצמצום: :RR A (B C) (A B) C כלל האסוציאטיביות: :RA {A B, A C} B C כלל החתך: :RS טענה: את כללי ההיסק הבאים ניתן לגזור מתוך כללי ההיסק המקוריים שהגדרנו לעיל..1 כלל הקומוטטיביות: A B B A.2 כלל הניתוק: {A, A B} B.3 כלל הניתוק המוכלל: {A 1,..., A k, A 1... A k B} B.1 מאקסיומה פסוקית. A A לכן על ידי כלל החתך A} {A B, A.B A הוכחה: 42

43 .2 נתון.A B = A B על ידי כלל ההרחבה,A B A ועל ידי כלל הקומוטטיביות.A A B כעת על ידי כלל החתך,{A B, A B} B B ועל ידי כלל הצמצום.{A B, A B} B 3. באינדוקציה על k. בסיס האינדוקציה עבור = 1 k הוא כלל הניתוק. עבור {A 1, A 1 (A 2... A k B)} נשים לב כי מכלל הניתוק,k > 1 {A 2,..., A k, A 2... A k B} כעת, מהנחת האינדוקציה מתוך.(A 2... A k B).B למת האיווי טענה: לכל n} {i 1,..., i m } {1, 2,..., כלשהם,.A i1... A im A 1... A n הוכחה: תחילה נוכיח עבור = 1 m, ואז עבור = 2 m, ולבסוף עבור כל > 2 m. עבור = 1,m יש להראות כי A i A 1... A n עבור n}.i {1,..., A i (RE) (A i+1... A n ) A i (Comutaive rule) A i (A i+1... A n ) (Agreed standard) = A i A i+1... A n (RE) A i 1 (A i A i+1... A n ) (Agreed standard) = A i 1 A i A i+1... A n. (Repeat this i 1 times) A 1... A i... A n עבור = 2,m יש להראות כי A i A j A 1... A n עבור n}.{i, j} {1,..., אם,i = j נשים לב כי A i A i A i (כלל הצמצום), וחזרנו למקרה = 1.m לכן נניח.i j נניח ללא הגבלת הכלליות,i < j כי A i A j A j A i (מכלל הקומוטטיביות). נשתמש באינדוקציה על n, כאשר בסיס האינדוקציה = 2 n. נשים לב שעבור = 2 n ברור כי,A 1 A 2 A 1 A 2 וזהו בסיס האינדוקציה. נניח > 2,n כלומר צריך להראות A i A j A 1... A n עבור i < j ועבור > 2 n. נחלק את הדיון למקרים. A i A j (Induction) A 2... A n (RE) A 1 (A 2... A n ) (Agreed standard) = A 1... A n אם > 1,i 43

44 אם > 2 j,i = 1, A 1 A j (Induction) A 1 A 3... A n (Comutative rule) (A 3... A n ) A 1 (RE) A 2 ((A 3... A n ) A 1 ) (RA) (A 2 (A 3... A n )) A 1 (Comutative rule) A 1 (A 2 (A 3... A n )) (Agreed standard) = A 1... A n אם = 2 j,i = 1, A 1 A 2 (RE) (A 3... A n ) (A 1 A 2 ) (RA) (A 3... A n A 1 ) A 2 (Comutative rule) A 2 ((A 3... A n ) A 1 ) (RA) (A 2 (A 3... A n )) A 1 (Comutative rule) A 1 (A 2 (A 3... A n )) (Agreed standard) = A 1... A n עבור > 2 m, נראה את הטענה באינדוקציה על m (מספר גורמי האיווי). נשים לב שבאופן כללי על ידי,RA A i1... A im (A i1 A i2 ) A i3... A im נשים לב כי קיבלנו מימין ביטוי בעל 1 m גורמי איווי, שכן A i1 A i2 הוא גורם אחד. 8 נסמן B, =: A i1 A i2 ונקבל מהנחת האינדוקציה כי,B, A i3,..., A im B A 1... A n 9 כלומר (A i1 A i2 ) A i3... A im (A i1 A i2 ) A 1... A n A := A 1... A n לצורך הקיצור נסמן 8 נשים לב שלא ניתן להסיק מיד את A, 1... A n כי הגורם A i1 A i2 אינו מופיע בה בהכרח. 9 אין זה משנה שהסקנו + 1 n גורמי איווי, שכן האינדוקציה היא על m (מספר גורמי האיווי בנוסחה שממנה מסיקים) ולא על n (מספר גורמי האיווי בנוסחה שאותה מסיקים). 44

45 וכעת נסיק, (A i1 A i2 ) A (Comutative rule) A (A i1 A i2 ) (RA) (A A i1 ) A i2 (Induction for m = 2) (A A i1 ) A (Comutative rule) A (A A i1 ) (RA) (A A) A i1 (Induction for m = 2) (A A) A (RR) A A (RR) A = A 1 A 2... A n (AS) ( A) ( A) (Comutative rule) ( A) ( A) כנדרש. 10 טענה: A B ( A) B הוכחה: נשים לב כי, כעת נשים לב כי ( A) {A B, ( A) ( A)} B (מכלל החתך), וכעת הקומוטטיביות). (מכלל B ( A) ( A) B (AS) (A B) (A B) טענה: { A C, B C} (A B) C A B (A B) הוכחה: נשים לב כי, כאשר ההיסק השני הוא מלמת האיווי. כעת, {A (B (A B)), A C} (B (A B)) C (מכלל החתך), וכעת, (B (A B)) C (Cumutative rule) C B (A B) B C (A B) 10 חשוב לשים לב היטב לשימוש במקרה = 2 m. נסביר את הפעם הראשונה שזה מופיע בהיסק, והפעם השנייה דומה לה: נסמן,B 1 := A A i1 נסמן B 2 := A i2 ונסמן.B := B 1 A 1... A i2... A n נשים לב כי B 1, B 2 הם שני גורמי איווי (2 = m) מתוך האיווי הארוך B, ולכן השימוש בהנחת האינדוקציה מאפשר להסיק.B 1 B 2 B 1 A גם כאן אין זה משנה שהסקנו נוסחה בעלת + 1 n גורמי איווי, שכן האינדוקציה היא על m ולא על n. 45

46 כאשר ההיסק האחרון הוא מלמת האיווי. כעת, {B (C (A B)), B C} (C (A B)) C (מכלל החתך), וכעת, (C (A B)) C (Comutative rule) C C (A B) (A B) C כאשר ההיסק האחרון הוא מלמת האיווי הוכחת משפט הטאוטולוגיה של פוסט משפט (מקדים): תהי A נוסחה מהצורה.A = A 1 A 2... A n אם, A אז A. 11 הוכחה: ניזכר במיון שיצרנו לכל הנוסחאות מהצורה הנ"ל, 1. לכל A i 1, i n היא נוסחה אלמנטרית או שלילה של נוסחה אלמנטרית. 2. קיים j n 1, עבורו A j אינה נוסחה אלמנטרית ואינה שלילה של נוסחה אלמנטרית. מקרה זה מתפצל לבדיוק אחת משלוש אפשרויות: (א) A j = B C (ב) C) A j = (B (ג) A j = B נשתמש במיון זה כדי להראות כי אם A טאוטולוגיה אז A..1 נניח כי,A = A 1... A n כאשר כל A i היא נוסחה אלמנטרית, או שלילה של נוסחה אלמנטרית. הראינו כי A כנ"ל היא טאוטולוגיה אם ורק אם קיימים i < j n 1, עבורם.A j = A i נוסחה אלמנטרית וכן A i אם כך תהי A i נוסחה אלמנטרית וכן A, j = A i אז נובע, (AS) A i A i (A j= A i) A j A i A 1 A 2... A n כאשר ההיסק האחרון הוא מלמת האיווי..2 נניח כי,A = A 1... A n כאשר קיים A j שהוא איננו נוסחה אלמנטרית וגם איננו שלילה של נוסחה אלמנטרית. היות שטאוטולוגיה אינה תלויה בסדר הגורמים, נניח בלי הגבלת הכלליות כי = 1 j. כאמור, במקרה זה מתקיימת בדיוק אחת מתוך שלוש אפשרויות, 11 תזכורת: תהי A נוסחה. נאמר כי A יסיקה במצומצם, ונסמן זאת A (ללא תלות בתאוריה מסוימת T), אם A יסיקה על ידי סדרת היסק שמכילה אקסיומה פסוקית בלבד (ולא אקסיומת ההצבה, אקסיומות השוויון, או אקסיומת הזהות) וכן שמכילה את כלל ההרחבה, הצמצום, האסוציאטיביות והחתך (ולא כלל הכנסת כמת). 46

47 (א) אם,A 1 = B C A = (B C) A 2... A n נגדיר A := B C (A 2... A n ) ברור כי A טאוטולוגיה אם ורק אם A טאוטולוגיה. 12 נזכור שהגדרנו n m (A) = l (B C) + l (A i ) i=2 = l (B) + l (C) m (A ) = l (B) + l (C) + n l (A i ) i=2 n l (A i ) ולכן (A),m (A ) < m ומהנחת האינדוקציה A. כעת, מתוך )) n A = B (C (A 2... A נובע C) A = (B ) n (A 2... A (אסוציאטיביות). (ב) אם,A 1 = B i=2 A = ( B) A 2... A n נגדיר A := B A 2... A n ברור כי A טאוטולוגיה אם ורק אם A טאוטולוגיה. 13 כמו כן ברור כי (A),m (A ) < m ולכן מהנחת האינדוקציה A. מטענה קודמת, באופן כללי מתוך A, B (A ) B ולכן מתוך. A = ( B) A 2... A n נובע A = B A 2... A n (ג) אם C),A 1 = (B A = ( (B C)) A 2... A n A 1 := ( B) A 2... A n נגדיר A 2 := ( C) A 2... A n הראינו בטענה על בדיקת טאוטולוגיות למה הקובעת כי A טאוטולוגיה אם ורק אם 2 A A 1, שתיהן יחד טאוטולוגיות. 12 ניתן לבדוק כי לכל הערכה.ν (A) = ν (A ),ν 13 ניתן לבדוק כי לכל הערכה.ν (A) = ν (A ),ν 47

48 כמו כן הראינו כי (A) m (A 1) < m וגם (A),m (A 2) < m ולכן מהנחת האינדוקציה 1 A וגם 2 A. מטענה קודמת, באופן כללי,{ B D, C D} (B C) D ולכן גם כאן נובע.{A 1, A 2} A מסקנה (משפט פוסט לתאוריה סופית): תהי A נוסחה ותהי T תאוריה סופית. אם A גרירה טאוטולוגית של,T אז.T A הוכחה: נסמן } m T := {B 1, B 2,..., B ונניח כי A גרירה טאוטולוגית של.T נגדיר נוסחה,C := B 1 B 2... B m A ונשים לב כי C היא טאוטולוגיה. זאת כי לכל הערכה,ν אם ν (B i ) = T לכל i m,1 אז מהיות A גרירה טאוטולוגית של,T גם,ν (A) = T ולכן,ν (C) = T וכמו כן אם קיים j m 1 שעבורו,ν (B j ) = F אז שוב.ν (C) = T נשים לב כי,C = B 1 B 2... B m A ולכן מהמשפט המקדים נובע כי C. כעת על ידי כלל הניתוק המוכלל T {C} A (ונשים לב כי כלל הניתוק המוכלל מתבסס רק על אקסיומות וכללים השייכים להיסק המצומצם), כלומר T. A משפט: אם A גרירה טאוטולוגית של T, אז קיימת T 0 T תת קבוצה סופית, כך ש A גרירה טאוטולוגית של T. 0 הערה: משפט זה משתמש באקסיומת הבחירה. הוכחה: נניח בשלילה שלכל תת קבוצה סופית A T, α T איננה גרירה טאוטולוגית של T. α נראה כי A אינה גרירה טאוטולוגית של T, בסתירה להנחה. יהיו C 1,..., C k כל הנוסחאות האלמנטריות המופיעות בתוך.A תהי T α T סופית. נסמן } t.t α := {B 1,..., B נניח שנוסחאות T α מכילות את הנוסחאות האלמנטריות.D 1,..., D s בלי הגבלת הכלליות נניח כי C 1,..., C k, D 1,..., D s היא רשימת נוסחאות אלמנטריות שונות (אחרת נעדכן את.(D 1,..., D s נבנה טבלה המתאימה לתת הקבוצה T, α המכילה את כל ההערכות האפשריות על קבוצת הנוסחאות האלמנטריות הנ"ל, C 1... C k D 1... D s A B 1... B t 1 T/F... T/F T/F... T/F T/F T/F... T/F l α T/F... T/F T/F... T/F F T... T k+s T/F... T/F T/F... T/F T/F T/F... T/F נשים לב כי k + s העמודות הראשונות קובעות את t העמודות האחרונות. מההנחה כי A איננה גרירה טאוטולוגית של T, α נובע שקיימת השורה l, α שבה t העמודות האחרונות מקבלות ערך T, ואילו בעמודה המתאימה ל A הערך הוא F. שורה זו מייצגת הערכה שנסמן ν α שמעידה על כך כי A אינה גרירה טאוטולוגית של.ν α (A) = F אבל,1 j t לכל ν α (B j ) = T כלומר,.T α 48