מדריך למורה לכיתה ו' פ ש וט ח ש ב ון מתמטיקה לבית הספר היסודי הממלכתי והממלכתי דתי ד ר רותי שטיינברג הדסה גינת מירב יוסף טלי דגן דיצה בונופיאל 2358

תמליל

1 מדריך למורה לכיתה ו' פ ש וט ח ש ב ון מתמטיקה לבית הספר היסודי הממלכתי והממלכתי דתי ד ר רותי שטיינברג הדסה גינת מירב יוסף טלי דגן דיצה בונופיאל 8

2 המדריך למורה נלווה ל"פשוט חשבון", לכיתה ו' כותבות את המדריך: ד"ר רותי שטיינברג, מירב יוסף, הדסה גינת, דיצה בונופיאל, וטלי דגן צוות הכתיבה של הסדרה "פשוט חשבון": דיצה בונופיאל, איריס בליזובסקי, ד"ר רינה גפני, הדסה גינת, טלי דגן, שרה הוכנר, רינה חזון, אביבה פשחור, ניצה רוזנבלום וד"ר איריס רוזנטל ד"ר רותי שטיינברג ייעוץ מדעי ופדגוגי: ד"ר מיכאל קורן ייעוץ מתמטי: תמי פרמונט הפקה: הספר מאושר ע"י גף אישור תוכניות לימודים במשרד החינוך אישור מס 8 מיום אין לשכפל, להעתיק, לצלם להקליט, לתרגם לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או אמצעי אלקטרוני, אופטי או מכני או אחר כל חלק שהוא מהחומר שבספר זה. שימוש מסחרי מכל סוג שהוא בחומר הכלול בספר זה אסור בהחלט אלא ברשות מפורשת בכתב מהמו"ל הכנה לדפוס: ח.ש. חלפי בע"מ הפקה במפעלי כנרת, זמורה-ביתן דביר-מוציאים לאור בע"מ רח' התעשייה 0 אור יהודה 60 כל הזכויות שמורות להוצאת כנרת 009

3 תוכן העניינים תכנון שיעורים, פיתוח ותרגול מיומנויות, שאלות אתגר ואתגר מיוחד, פעילויות בחירה, פיתוח חשיבה ותובנה מתמטית, שיעורי בית, אקלים כיתה, דיון, דרכי פתרון של ילדים, דרכי ארגון כיתה, הערכה, תכנים בכיתה ו'. תכנית עבודה שנתית בהלימה לתכנית הלימודים החדשה התאמת נושאי הלימוד בספר לתכנית הלימודים החדשה נספחים בסוף מדריך חלק ראשון וחלק שני יש פעילויות נוספות לתלמידים העשרה ותרגול נוספים: דפים לצילום. משחקים, הצעות למרכזונים, הצעות לתצוגה לקיר "מפעיל". )מספרי היחידות בנושא ניתנים בסוגריים. יחידה היא בערך שיעור אחד של דקות(. הקדמה: ספר ראשון 8 מספרים עשרוניים חזרה יחידות 7 כפל עשרוניים ב- 0, ב שלמים כפל מאונך חזרה יחידות פתרון בעיות בשלמים יחידה 0 כפל עשרוניים יחידות 6 גופים יחידות 6 8 שברים חזרה; השבר כמנת חילוק שלם בשלם יחידות 6 6 כפל שברים יחידות 9 6 פיתוח תובנה מתמטית חוקיות והכללות יחידה 0 6 חקר נתונים יחידה 67 חגים ראש השנה: לוח השנה הכללית, הלוח המוסלמי והשנה העברית, שנה מעוברת חנוכה )הנושא: חקר נתונים וסיכויים( סך הכול: יחידות 7 נספחים לספר ראשון ספר שני 8 שברים פשוטים: חלק של כמות יחידות 6 מציאת ערך החלק, חישוב החלק, מציאת השלם, כפל 9 חילוק מספרים עשרוניים יחידות 9 7 חזרה על "חילוק ארוך" במספרים שלמים שבר עשרוני מחזורי

4 0 פיתוח תובנה מתמטית ואלגברית יחידות 6 0 עיגול ומעגל היקף, שטח, פאי יחידות 7 חילוק שברים יחידות 9 אחוזים יחידות 0 8 חקר נתונים וסיכויים יחידות חגים: יחס וקנה מידה ט"ו בשבט; פורים יחידות סך הכול: יחידות נספחים לספר שני: משחקים לשברים, דפי עבודה בשברים, אחוזים, עשרוניים ספר שלישי 0 אחוזים יחידות 6 הנדסה: חזרה על גופים, חישובי נפח של מנסרה, פירמידה, גליל, חרוט וכדור 66 יחידות גופים משוכללים 7-86 יחס וקנה מידה יחידות חזרה: שלמים, שברים עשרוניים יחידות 8 חקר נתונים וסיכויים יחידות 0 הכללות, מציאת חוקיות ותובנה אלגברית יחידות 6 8 הנדסה: חזרה יחידות 8 7 מרובעים, זוויות, משולשים, שטח מקבילית ומשולש 0 פתרון בעיות אינטגרטיביות וחזרה יחידות 0 9 פארק שעשועים: פעילויות אינטגרטיביות, מעגל, קנה מידה חגים: פסח, יום העצמאות, שבועות סך הכול: שיעורים מבחנים, מחוונים וטבלאות לרישום נתוני הילדים במבחנים: לספר הראשון: מבחן תחילה שנה )מחוון וטבלה( מבחן עשרוניים )ליחידות -( )מחוון וטבלה( 6 מבחן גופים )מחוון( 66 מבחן מסכ ם סוף ספר ראשון )מחוון( לספר השני: 76 מבחן חילוק מספרים עשרוניים ליחידות -7 )מחוון וטבלה( 8 מבחן העיגול והמעגל )מחוון( 86 מבחן מסכם לספר שני )מחוון וטבלה( לספר השלישי: 9 מבחן מסכם אחוזים )מחוון וטבלה( 0 מבחן מסכם לשנה עשרוניים )מחוון וטבלה( 08 מבחן מסכם סוף כיתה ו', חלק א', חלק ב )מחוון וטבלה( 7 מבחן מסכם סוף כיתה ו', חלק ג' )מחוון(

5 הקדמה סדרת המתמטיקה "פשוט חשבון" מבססת מיומנויות יסוד ומפתחת חשיבה מתמטית. הסדרה מתאימה לתוכנית הלימודים החדשה של משרד החינוך והתרבות, וכוללת את כל התכנים הנדרשים בחשבון ובהנדסה. נוסף על הספרים יש גם ערכת עזרים שהיא חיונית להוראה משמעותית. תכנון שיעורים אנו מציעים בספר לתלמיד ובמדריך למורה, רעיונות לבנייה של מהלך השיעורים. כלומר יש חשיבה על מבנה יעיל של יחידת שיעור והצעות למורה איך לבנות כל שיעור. "יחידה" אחת בספר מקיפה שיעור אחד בערך, לפעמים נדרש לה פחות זמן, לפעמים יותר, אך זה נותן מושג על קצב סביר. הספר מבוסס על שעות שבועיות של לימודי מתמטיקה )עם הנדסה(, לפי ההצעה המופיעה בתוכנית הלימודים של משרד החינוך כ- שעות בשנה. חמש שעות בשבוע כולל הנדסה אמורות להספיק לכסות את כל התכנית. בהצעות למבנה של כל יחידת הוראה, הבאנו בחשבון מגוון של שיקולים פדגוגיים. בדרך כלל השיעור נפתח בדיון או בשיחה כיתתית, שיש לה תפקידים רבים. יש חלק מהשיעור המוקדש לפעילויות חקר, לגילוי ולפיתוח תובנה מתמטית ויש חלק המוקדש לעבודה עצמאית יותר לבד או בזוגות הבא פעמים רבות לחיזוק מיומנויות. חשבנו על שיעורים מגוונים, מעניינים ומשמעותיים. הצעות למורה ההטרמות המופיעות בחלק מהיחידות. הן בעלות מסר מסוגים שונים: מסירת מידע למורה על קשיים העלולים "להתעורר" במהלך השיעור, והכנתו על ידי כך לקבלת ההחלטות הנכונות במהלך השיעור, ולעבודה על תובנה מתמטית לצד פיתוח מיומנויות. מידע על הציוד שנדרש להכינו למהלך השיעור. לתזכורת, קיים רקע מתמטי לחלק מהנושאים. פעילויות לפיתוח ותרגול מיומנויות בספר יש מגוון רב של פעילויות תרגול. המיומנויות נרכשות תוך הבנה משמעותית, תוך קישור למצבים מוכ רים מהחיים ותוך שימוש מתאים באמצעי המחשה ובייצוגים חזותיים לאורך זמן. אתגר ופיתוח יכולת פתרון בעיות בצד פיתוח מיומנויות היסוד והיכולת החישובית בשלמים ובשברים, חשוב לאפשר לילדים לפתור בעיות מסוגים שונים שיש בהן אתגר וחקר. הילדים מתרגלים להתמודד עם בעיות שצריך לחשוב עליהן, ונהנים מההתמודדות ומפיתוח היכולת לפתור בעיות. חלק מהפעילויות מסומנות בספר בסמל של אתגר )ראו הסבר לסמלים בתחילת הספר(. סמל האתגר מצוין על ידי ילד שהולך על חבל. מהניסיון ומהמחקר אנחנו יודעים שגם ילדים מתקשים יכולים להתמודד בהצלחה עם בעיות מאתגרות, ובעיות האתגר מיועדות לכל ילדי הכיתה ועוזרות לפתח את החשיבה המתמטית. אנחנו רוצים לעודד כל ילד וילדה לפתור בעיות בדרכים ייחודיות להם, ולתת לגיטימציה לדרכי הפתרון השונות )כולל שימוש באמצעי המחשה, שימוש בידע בעל פה, ציור וכתיבה במילים ובתרגילים, שימוש בדרכים לא פורמליות כולל שימוש בפילוג, ובדרכים סטנדרטיות(. לפעמים תיווך של המורה או של הילדים מאפשר לילד לפתור. אפשר גם לבקש מהילדים לעבוד בזוגות או בשלשות ולעזור זה לזה בתהליכי הפתרון. חשוב להתחיל ללמוד נושאים חדשים תוך שימוש באמצעי המחשה, ייצוגים וציורים, וכל ילד יכול

6 לגשת לפתרון מהרמה שבה הוא נמצא. עם הזמן נפתח אצל התלמידים דרכים מופשטות ויעילות יותר. פיתוח חשיבה ותובנה מתמטית נוסף על מיומנויות החישוב שהילדים רוכשים בעל פה, באומדן, במאוזן ובמאונך, בשלמים, בשברים, בהנדסה ובמדידות, יש דגש רב בסדרה על פיתוח חשיבה ותובנה מתמטית. הילדים לומדים להבין משמעות של שאלה או מצב מתמטי, כולל שאלה מורכבת, ולייצג אותה בדרכים מתאימות. עם הזמן מעודדים את הילדים להתמיד בפתרון בעיה קשה, גם אם בהתחלה לא ברור איך לפתור אותה. הילדים לומדים לחפש אלטרנטיבות, לבנות על ידע קודם, להתייעץ עם חברים, להשתמש באמצעי המחשה, ציור או ייצוג אחר מתאים, ועל ידי כך לפתח את הביטחון, שגם אם השאלה קשה, בסופו של דבר, הם יצליחו לפתור אותה! אתגר מיוחד: בספר מוצגות גם בעיות המסומנות כ"אתגר מיוחד" )סמל המציין טיפוס על הר(. פעילויות אלה מיועדות לילדים מתעניינים. בסוף המדריך למורה מוצעות פעילויות נוספות לשדרוג עבור ילדים שמסיימים פעילויות מהר או מתעניינים בפעילויות אתגריות יותר. פעילויות בחירה בנוסף, יש פעילויות או יחידות שלמות שמוגדרות כפעילויות בחירה. פעילויות אלו הן לפעמים פעילויות אתגריות יותר מהאחרות )ואז הן גם מסומנות בסמל אתגר(, ולפעמים הן מכילות נושא מעניין שמתאים לדרגת הכיתה וקשור לנושא הנלמד, אך אין צורך להגיע בו לשליטה. לפעמים הפעילות דורשת חשיבה מופשטת יותר. לפי שיקול דעת המורה אפשר לעסוק בפעילויות הבחירה עם כל הכיתה או רק עם תלמידים מסוימים. כמו כן, במדריך למורה מוצעות עוד פעילויות. חלק מהפעילויות מיועדות לתרגול נוסף וחלק הן בעיות אתגר והעשרה. שיעורי בית בחלק גדול מיחידות ההוראה מוצעות פעילויות שמתאימות לעבודה בבית )סמל בית(. פעילויות אלה אינן מטילות עומס מיוחד על הילדים, אלא מאפשרות חזרה על החומר הנלמד או ביסוסו. ההצעות לבחירת כל מורה לפי הצרכים. לדעתנו, זה ההיקף המתאים של שיעורי בית שמאפשר חזרה ותרגול, ועם זאת אינו מעיק או מכביד. אקלים כיתה חיובי חשוב שהמורים יעזרו לפתח בכיתה אקלים חיובי, שבו תשרור אווירה מעודדת, סבלנית וסובלנית, כזו שמקבלת כל ילד ואת דרכיו הייחודיות. חשוב לעודד את כל הילדים לפתח ביטחון עצמי ביכולתם ללמוד מתמטיקה ולהתלהב מהעשייה המתמטית. חשוב שכל מורה י/תכיר את דרכי החשיבה של התלמידים וי/תלמד את דרכי הפתרון שלהם. ידע מסוג זה עוזר מאוד למורה בהוראה ומאפשר לקדם את התלמידים בצורה הטובה ביותר. העזרה של המורה לתלמידים נעשית משמעותית יותר ומותאמת לכל תלמיד לפי הבנתו ולפי צרכיו. המורה לומד להשתמש בידע שרכש על חשיבת התלמידים בתהליך ההוראה. לאורך הספר ובמדריך למורה הראינו דרכים שונות שבאמצעותן עשויים תלמידים בכיתה ו לפתור בעיות שונות, והצענו למורה איך להתבסס בדיון על רעיונות שדרכי חשיבה אלה מזמנות. היכרות עם דוגמאות אלה עשויה לעזור למורה להכיר טוב יותר את התלמידים בכיתה. תכנון שיעור ודגמים לעבודה בכיתה יש דרכים שונות לארגון לימוד המתמטיקה בכיתה, וכל והמורים יבחרו כל אחד את זו המתאימה להם. אנחנו מציעים כאן במדריך כלים שיכולים לעזור למורה בתכנון יחידות הוראה והפעלת תלמידים

7 בכיתה הטרוגנית בדרכים מעניינות, מגוונות, מובנות וברורות ותוך בניית דיונים מתמטיים חשובים. ביחידות הוראה שונות אנחנו מציעים דגמים שונים לעבודה לפי התכנים וסוג ההפעלות. ( פתיחות שיעורים אנחנו מציעים רעיונות לפתיחות שיעורים או לדיונים בזמן אחר של השיעור. בתחילת השיעור, הרעיונות לפתיחת הנושא מיועדים פעמים רבות לזמן של כ- 0 עד 0 דקות. הפתיחות בדרך כלל קשורות לנלמד באותו השיעור, ובתוך כדי פיתוח שיחה מתמטית, הן עוזרת להבנה משמעותית של הרעיונות הנלמדים ומפתחות יכולת חישוב בעל פה ואומדנה, תוך שימת דגש על פיתוח התובנה המתמטית. אנחנו מציעים גם פעילויות שבהם התלמידים מבצעים משימה ורק אחרי שסיימו מתנהל דיון. לפתיחת השיעור ולדיון מתמטי יש מטרות רבות, מהקנייה או בירור של רעיונות או מושגים חדשים, דרך בדיקת שיעורי הבית, דיווח של תלמידים על דרכי חשיבתם, ועד להכוונה של התלמידים לעבודה עצמאית בספר ועוד. חשוב מאוד שתלמידים יציגו לפני שאר תלמידי הכיתה את אסטרטגיות הפתרון שלהם לבעיות מגוונות. למידת חומר חדש, סיכום, הסברים על אופן ביצוע הפעילויות התחלת השיעור היא גם זמן טוב ללמידת רעיונות חדשים. אנחנו מעוניינים שהילדים ירכשו חלק גדול מהרעיונות המתמטיים בתוך כדי פתרון בעיות והתנסות, ולא רק בדרך של הקניה ישירה. דבר זה יכול להיעשות באמצעות חיפוש דרכים שונות לפתרון בעיות מילוליות או על ידי משימות מתמטיות אחרות. כמובן, לאמצעי ההמחשה יש תפקיד מרכזי בהקניית מושגים מתמטיים לילדים. לפעמים נרצה להקנות רעיון חדש או לפתח שיחה עם ילדים סביב רעיונות מתמטיים. פתיחת השיעור היא זמן טוב לכך. כדאי גם לחשוב על הפעילויות המופיעות בספר הילדים. לגבי אחדות מהפעילויות חשוב להסביר איך פועלים בהן. לפעמים הדגמה קצרה במליאת הכיתה מקילה את עבודת הילדים בהמשך ומאפשרת להם להיות עצמאים יותר. המורה יכול/ה להתפנות ולשבת עם קבוצות קטנות של ילדים. בהמשך המדריך למורה אנחנו מציעים על אלה מהפעילויות חשוב לתת הסבר מראש לכיתה או באילו רעיונות מקדימים להם כדאי לדון בהתחלת השיעור. ההצעות מופיעות ביחידות הלימוד השונות. פעילויות נוספות לפתיחות שיעורים במדריך מובאות הצעות רבות איך לפתוח שיעורים בפתיחה של יחידות. ההצעות כוללות פעילויות מעניינות, הצעות לדיון מתמטי, הקניה של רעיון מתמטי חדש, והצגה של פתרונות של ילדים. השאלות יכולות להתחלף בהתאם לתוכן המתמטי הנלמד. בדקות האלו של השיעור יכולה להתרחש למידה הזדמנותית רבה. אפשר גם לחזור על חלק מהפתיחות, עם תכנים אחרים בכל פעם. מתאים לעשות תרגילים מהירים בעל פה, ושאלות ותרגילים שמפתחים תובנה מתמטית. יש גם משחקים שמוצעים בספר או במדריך ואפשר לחזור עליהם. אפשר לרשום על הלוח סדרות שבהן מוצגים שלושת המספרים הראשונים של הסדרה, או שאחד הילדים מציע סדרה והאחרים ממשיכים אותה. זה יכול להיות לדוגמה במספרים עשרוניים או בשברים. אפשר לעשות חקירה של מספר או "תעודת זהות למספר". לדוגמה, מה אפשר לומר על המספר 0.8? אילו תרגילים אפשר לחבר לו? מהו המבנה העשורי שלו? איך הוא ישתנה אם נוסיף לו עשירית? אם נוסיף אלפית? וכן הלאה. כמה חסר עד

8 ל-.? כמה חסר עד 0.8? אילו תרגילי כפל אפשר לרשום לו וכן הלאה. תוך כדי הצעות אפשר לדון במושגים המתמטיים שעולים. גם בשברים פשוטים )בדומה לחקירת מספר בשלמים( אפשר לערוך חקירת שבר פשוט, מיון שברים פשוטים, השוואת שברים, כגון שבר שקטן מחצי, גדול מחצי, שווה לחצי, שווה ל-, גדול מ- וכדומה. בספר ניתן ביטוי לנושא אומדן ועיגול, והוא בעל חשיבות רבה. כדאי לערוך מדי פעם בתחילת השיעור תרגילי אומדן בעל פה. גם חידות "מי יוצא דופן", כהדגמה לפעילות שיש בה הרבה אפשרויות לתשובות, מעניינות ומעודדות חשיבה יצירתית. ( שאלות מילוליות ומשימות אחרות שמתאימות לעבודה עם הכיתה כולה בספר מוצגות שאלות מילוליות או משימות אחרות שמתאימות לעבודה עם כל הכיתה. הילדים מקבלים בעיה הכתובה על הלוח או בספר )בדרך כלל בתחילת השיעור(. הם פותרים אותה עצמאית או בזוגות. תפקיד המורה בזמן זה הוא לעבוד עם ילדים מסוימים לשם תיווך ולבירור דרכי הפתרון שלהם. ילד שסיים פונה להמשך העבודה בספר. לאחר שהילדים סיימו לפתור, עוד באותו השיעור את המשימה או המשימות המוצעות, מתקיימים דיווח ודיון סביב פתרון השאלה. דיון כיתתי שניים שלושה ילדים יכולים לדווח לכיתה איך הם פתרו, ומתנהל דיון בפתרונות וברעיונות המתמטיים המתאימים. פעמים רבות אנחנו מציעים בספר התלמיד ובמדריך למורה שאלות לדיון בעקבות השאלות והרעיונות על מה כדאי לשוחח עם הילדים. בבתי ספר שיש בהם מטול שקפים, כדאי שהילדים יכינו בשקפים את הסבריהם, או שיצלמו את דף ההסבר מהמחברת על שקף. הילדים יכולים להביא את אמצעי ההמחשה שעבדו איתם להדגמה בפני הכיתה )גם כאן רואים טוב יותר אם יש מטול שקפים(. אם אין מטול, ייעשה הדיווח על ידי הסבר שייתן הילד לכיתה והדגמה על הלוח. במקרה כזה כדאי שכמה ילדים יכינו את פתרונותיהם על הלוח לפני הדיווח, כדי שהדיווח יהיה מהיר יותר והילדים לא יתעייפו. כדי לעודד אווירה מקבלת ותומכת, כדאי להרגיל את הילדים לתת משוב חיובי ולהתייחס לדברי המציגים. אפשר לומר דברים כמו: "הסברת ברור," "הדרך שלך קצרה יותר וזה יפה," "תסביר שוב מה עשית שם?" אפשר גם לשאול אם "היה לך קשה בדרך? מה עזר לך?" המורה יכולה לעזור לילדים לראות אם הבינו את ההסברים. אפשר לבקש מהילדים לומר מה דומה ומה שונה בדרכי הפתרון שלהם, ולדון ברעיונות המתמטיים שעולים או לשאול שאלות את הילד המדווח ולהציע הצעות. פתרונות מגוונים של תלמידים המוצגים בספר בחלק מהשאלות שמוצגות לכל הכיתה מופיע בספר גם דיווח ובו דוגמאות פתרון של ילדים אחדים. לדוגמה בספר הראשון עמודים. כדאי לראות את הדרכים שמוצגות בספר ולהשוות אותן לדרכי הפתרון שהציגו הילדים, ולהשתמש בהן להובלת הדיון. כל מורה יפעיל שיקול דעת בשימוש בדרכי פתרון אלה. אם את הדרכים האלה הציעו התלמידים בכיתה והדיון בדרכים שהילדים הציגו היה ממצה, אפשר גם לדלג על הדוגמאות שבספר. הדיון בספר עשוי למקד דיון סביב רעיונות נוספים מומלצים. אנחנו ממליצים מאוד על עבודה בזוגות לפתירת חלק מהפעילויות. עבודה בזוגות לאורך זמן

9 עוזרת מאוד, היא מקדמת, פותרת ומונעת קשיים של תלמידים. התלמידים עוזרים זה לזה להבין את ההוראות לפעילויות ואת הרעיונות לפתרון. ( שאלות מילוליות ומשימות אחרות לעבודה של המורה עם קבוצה קטנה בסבב השבועי בכיתות א עד ה הצענו בספרי "פשוט חשבון" גם עבודה בקבוצות קטנות עם המורה. העבודה היא על שאלות מילוליות או מטלות אחרות שהוצגו לילדים על המדבקות ובמהלך הסבב. כל יום, במשך 0 דקות פתרו הילדים בקבוצה שאלות מאתגרות ודיווחו על דרכי חשיבתם תוך דיון בקבוצה ולאחר מכן גם במליאת הכיתה. בספר של כיתה ו לא בנינו דגם כזה והצענו בעיקר דגם עבודה על פעילויות רבות, בזוגות או בקבוצות קטנות, ודיון כיתתי שבא אחריו, כפי שהוא מוצג בדגם הקודם )דגם (. אנחנו ממליצים למורה, למרות העובדה שלא הכנסנו זאת לתוך העבודה השוטפת בספר, גם למצוא זמן לעבוד מדי פעם עם ילדים בקבוצות קטנות )רצוי בקבוצות הטרוגניות( ולהבין בדרך טובה יותר את חשיבתו של כל תלמיד, עם אפשרות לעזרה אישית יותר. גם בדיון הכיתתי אפשר לבנות על הידע שנצבר על חשיבת הילדים השונים, באופן שהוא הרבה יותר איכותי לאחר העבודה עם התלמידים בקבוצות קטנות. אפשר לבחור פעילות שמוצעת לעבודה עם כל הכיתה בזוגות או ביחידים, עם דיון כיתתי אחריה באותו השיעור ולעשותה בקבוצות קטנות במשך השבוע, כל יום קבוצה אחרת בסבב )או כל משימה אחרת מהספר, רצוי משימה אתגרית שעדיין אינה מוכרת לילדים ברמה של מיומנות, אלא משימה שצריך לחשוב בה ולגייס ידע קודם(. בערכת העזרים צירפנו דף עם שאלות על מדבקות שאפשר להשתמש בהן לעבודה עם קבוצה קטנה. השאלות נלקחו מהספר. מניסיוננו הרב, ומהמחקר, העבודה בקבוצות מקדמת מאוד את התלמידים ואת הבנת המורה, דבר שתורם ביותר להוראה יעילה, והזמן שמושקע בזה גורם לרווח רב בזמן ופחות צורך בהוראה מתקנת בהמשך. אפשר בתחילת השיעור להסביר, אם דרוש הסבר, בנוגע לעבודה עצמית בספר או בזוגות. בזמן שהתלמידים עובדים עצמאית יכול להתאפשר למורה לשבת עם קבוצה קטנה של 6 תלמידים בתוך הכיתה או במסדרון ולעבוד 0 דקות רק עם הקבוצה. מורים רבים עובדים בהצלחה בדגם זה גם בכיתות נמוכות ובוודאי שתלמידים בכיתה ו יכולים להיות יותר עצמאיים ולאפשר למורה זמן איכות עם קבוצה קטנה. בסבב, כל יום מגיעה קבוצה אחרת למורה, בזמן שהאחרים ממשיכים בפעילויות של אותו שיעור בספר. ( עבודה עצמאית ובזוגות בפעילויות הספר בספר לתלמידים מוצעות פעילויות רבות שבהן הילדים יכולים לעסוק באופן עצמאי בזמן שהמורה עובד/ת עם קבוצה קטנה או עם ילדים אחרים בכיתה. הם יכולים לעסוק בזה ביחידות או בזוגות או בקבוצות קטנות. הפעילויות באות לפתח הבנה משמעותית של הרעיונות תוך שימוש באמצעי המחשה וייצוגים מתאימים, ומאפשרות גם תרגול מגוון של מיומנויות. לפעמים נדרש הסבר של המורה או דיון מקדים לגבי אופן העבודה בפעילויות. הסבר זה יכול להיעשות בהתחלת שיעור. במדריך למורה ניסינו לכוון לנקודות שבהן חשוב להכין את הילדים לפעילויות מסוימות. עם זאת, ברוב הפעילויות שבספר, לפעמים אחרי הסבר קצר על מה שנדרש לעשות, הילדים יכולים לפעול באופן עצמאי או בזוגות לפי הצורך. הצעה לעזרה לתלמידים מתקשים אפשר לתת להם לעבוד עם מחשבון לצורך פתרון השאלות, ולבקש מהם לבצע חלק מהמשימות בהתאם ליכולתם. רצוי מאד לעבוד בזוגות, כך שילד מתקשה

10 יעבוד עם ילד שאינו מתקשה, בעיקר בחלק של קריאת ההוראות והדיבור על מה שנדרש בשאלה, מה יודעים ומה צריך, איך משתמשים בנוסחה. בזמן שהילדים עובדים, המורה יכול/ה להתפנות לשבת ליד ילדים שונים ולראות אם הם צריכים עזרה. תכנים של כיתה ו בתוכנית הלימודים החדשה הנושאים העיקריים של השנה הם: כפל וחילוק שבר עשרוני ושבר פשוט וחלק של כמות, מידות עשרוניות וכן חזרה על עבודה עם מספרים שלמים. אחוזים, יחס וקנה מידה, חקר נתונים וניתוח סיכויים. בהנדסה הנושאים המרכזיים הם: הכרת גופים וגופים משוכללים ובמדידות מעגל ועיגול וחישובי נפחים. פרקי ההנדסה כלולים בתוך הספרים תוך חלוקה של שליש מהחומר בהנדסה ובמדידות לכל ספר. אנחנו מציעים ללמד את הנושאים האלו בריכוז של שבוע או יותר, אך אפשר ללמדם גם כשעה בשבוע לאורך השנה )מומלץ פחות(. לקראת הכללות וחשיבה אלגברית לאורך כל הסדרה, וגם בכיתה ו, אנחנו עוסקים עם הילדים גם בהכללות וברעיונות שהם בסיס לפיתוח חשיבה אלגברית. לאורך זמן )מכיתה א( פיתחנו רעיונות המעודדים הכללה וחשיבה אלגברית בכל דרגה של כיתה. עסקנו במתן משמעות לסימן השווה לא רק כמקום לרשום את התשובה לידו, אלא מתוך הבנה שהביטויים משני צדדי הסימן שווים, ולומדים לראות את הקשרים ביניהם. עוסקים רבות בקשר בין מספרים וביטויים. מדי פעם אנחנו עוסקים עם הילדים בסדרות גדלות של צורות או מספרים, תוך חיפוש החוקיות וההכללה של הסדרה. ההכללה יכולה להיאמר במילים, להיות מיוצגת בציור או במספרים, ואפילו בהתחלה של רישום נוסחה באותיות באנגלית כפי שאנחנו רושמים באלגברה, או בצורות )סמלים( שבאות במקום מספרים )כמו ריבוע לייצג מספר חסר(. פעילויות כאלה מפתחות את החשיבה האלגברית. בנושאים מתמטיים שונים עוסקים גם בהכללות ובהפשטה של הרעיונות המתמטיים תוך דיון בשאלות, כגון: האם זה תמיד נכון? האם זה נכון במקרים מסוימים? מתי זה לא יהיה נכון? )דוגמאות: אם נגדיל גורם אחד במכפלה פי 0, צריך להקטין את התוצאה בתרגיל החדש פי 0 כדי לקבל תשובה לתרגיל המקורי. האם כפל תמיד מגדיל? מה יקרה לנפח תיבה אם נגדיל את אחת הצלעות פי? מה הקשר בין מספר פאות המעטפת לעומת מספר הצלעות בכל מנסרה?(. פיתוח התובנה המתמטית בכלל ולקראת חשיבה אלגברית בפרט מודגשים בכיתה ולאורך כל השנה בפרקים שונים. בכמה יחידות יש דגש על הכללות ורישום הכללות. אמצעי המחשה ועזרים בכיתה ו בערכת עזרים לכיתה ו: פריסות גופים וגופים משוכללים דפים לגזירה להנדסה, לצביעה ולסימון בפרקים אחרים חומרים למשחקים, כולל קוביית משחק דף מדבקות עם שאלות מילוליות לעבודה בקבוצה קטנה )לבחירת המורה( מחברת חשבון גדולה כדאי שהילדים ירכשו מחברת פוליו גדולה. במחברת זו הם יפתרו את הבעיות המילוליות, ויעשו פעילויות נוספות שהספר מייעד לעבודה במחברת. כאמור, רצוי שהמחברת תהיה גדולה, כך יוכל הילד לרשום ללא קושי את דרך הפתרון שלו. המחברת תאפשר 0

11 לעקוב אחר התקדמותו של הילד לאורך זמן. אפשר להראות את המחברת להורים באסיפות הורים, ומדי פעם בפעם לשלוח אותה הביתה. )כמובן, שהדבר נתון לשיקול דעת המורה וגם מחברות אחרות עשויות להתאים.( כתיבה בספר ודפים בערכת עזרים לפי הוראות משרד החינוך לאחרונה, לא כותבים בספר בכיתה ו, לכן יש הפניה רבה לעבודה במחברת. אין צורך להעתיק את השאלות בדרך כלל, והמורה צריך לתת הנחיות לילדים איך לעבוד במחברת. בערכת העזרים יש דפים נוספים לצורך משימות שקשה להעתיקן למחברת, כמו דיאגרמות, צירי מספרים, דפי גזירה, משחקים, עזרים בהנדסה ועוד. בספר יש הפניה במקומות המתאימים לדפים אלה. נספחים לעתים ניתנה הרחבה של פעילות או של רעיון, לדוגמה, להעביר את המשימה בדרך של התנסות כמרכזון שולחן או "קיר מפעיל" לפי שיקול דעת המורה. כמו כן, יש בנספחים דפי עבודה, להרחבת פעילות או לצורך שדרוג של פעילויות מספר הילדים. הערכה ומבחנים בסוף המדריך למורה יש כמה מבחנים ומבדקים לאורך השנה, מצורף להם גם מחוון עם הוראות לבדיקת המבחן ובחלק מהמבחנים מצורפת גם טבלה לרישום הישגי הילדים. כל מורה יחליט כמה מבחנים ואילו מבחנים או מבדקים מתאימים לכיתתו במהלך השנה. אין הכרח לעשות את כל המבחנים, וחשוב לא לתת הרבה מבחנים בשנה כדי ליצור אווירה מקבלת ותומכת ולא מלחיצה מדי. אפשר להשתמש בחלק מהמבדקים גם כדף סיכום שנעשה בכיתה או בבית. אפשר גם שהתלמידים יבדקו את עצמם עם דף בדיקה ויראו איפה שגו )אפשר בדיקה ותיקון בזוגות(. הערכה חלופית יחד עם קיום המבחנים חשוב ביותר להכיר את דרכי החשיבה והפתרון של כל תלמיד. זה יכול להיעשות על ידי שאילת התלמידים איך הם פתרו, אם כשהמורה ניגש/ת לשולחן התלמיד ואם כשתלמידה מציגה פתרון של שאלה לכל הכיתה, ואם מדי פעם בעבודה בקבוצה קטנה עם המורה. חשוב שהילדים יסבירו את דרכי חשיבתם גם בכתב במחברת שתשמש כפרוטפוליו של הילד )תיעוד עבודה(. המורה יוכל או תוכל להבין את דרכי הפתרון וההתקדמות של הילד מהסתכלות במחברת. מדי פעם אפשר לבקש מהתלמידים לכתוב הסבר במילים, מה הם מבינים על מושגים שונים. כמו כן, אפשר לבקש מהם לכתוב על פתקים או במחברת קשר איך הם מרגישים לגבי למידת מתמטיקה. האם יש דברים שהם לא מבינים, או לא בטוחים בהם. האם יש להם שאלות שלא עלו בכיתה וכן הלאה. מה מידת הביטחון שלהם בלמידת מתמטיקה. זו דרך מצוינת לקבל תמונה על מצב הכיתה מזווית הראייה של התלמידים ומאפשרת התייחסות לתלמידים מסוימים בזמן אמת ולפני שנוצרים פערים לימודיים או תחושה של חשש מלימודי מתמטיקה. חשוב שהמורה יתעד )תתעד( במחברת המורה את עבודת הילדים והתקדמותם. יחידות הספר: בחלק הבא של המדריך נעסוק בכל אחת מיחידות הלימוד. נציע הצעות לפתיחות שיעור ולארגון השיעורים, נתייחס לדרכי הפתרון של ילדים במקומות המתאימים, ונרחיב לגבי השימוש באמצעי ההמחשה. כמו כן נתייחס לחלק מהפעילויות. במקומות רבים במדריך ניתנות גם התשובות לפעילויות השונות, לנוחיות המורה.

12 תוכנית עבודה שנתית כיתה ו' פשוט חשבון בהלימה לתוכנית הלימודים החדשה ספר ראשון לוחות זמנים הנושא יחידות בספר נושאים, תכנים, מיומנויות הערות וחומרים הערכה ובקרה מבחן תחילת שנה יחידה שימוש בדפי גזירה מהעזרים משמעות השבר העשרוני. קריאה ושימוש בייצוגים שונים של מספר עשרוני. הכרת המונחים: עשיריות, מאיות, אלפיות. השוואה בין מספרים עשרוניים וצפיפות מספרים. חיבור וחיסור מספרים עשרוניים. - חזרה - מספרים עשרוניים הלימוד יתבסס על הבנת המבנה העשרוני כפל ב- 0, ב- 00, וכו' מבוצע ע"י "הזזת הנקודה העשרונית ימינה" במידה המתאימה. 6 כפל מספרים עשרוניים ב 0, 000,00 מפתיחת שנה עד אחרי סוכות ספטמבר- אוקטובר כ- 0-7 שעות חילוק ב- 0, ב- 00, וכו< מבוצע ע"י "הזזת הנקודה העשרונית שמאלה" במידה המתאימה. 7 חילוק מספרים עשרוניים ב- 000,00,0 ראש השנה ולוח השנה העברי. שנה מעוברת. לוח כללי ומוסלמי בסוף הספר - ש' ראש השנה יחידה - 9 שימוש בדף גזירה כפל מספרים דו ספרתיים במספרים דו ספרתיים ותלת ספרתיים 0-8 כפל במספרים שלמים - חזרה מבדק מספרים עשרוניים כפל במאוזן, אומדן, כפל במאונך, האם כפל מגדיל? כשמגדילים את אחד הגורמים או שניהם, צריך להקטין את המכפלה בהתאם. כפל עשרוניים - מבדק גופים משתמשים בפריסות מערכת העזרים, בלוח משחק וקלפים הכרת הגופים: תיבה, קובייה, חרוט, פירמידה, גליל, כדור, חזרה - חישוב נפח תיבות, חישוב שטח פנים. הכרת המנסרה: פריסות וחישוב נפחים של מנסרות, הכרת פאונים הנדסה - גופים -6 שבועות ראשונים של נובמבר -0 שעות

13 משתמשים בצירי המספרים מדפי הגזירה דף גזירה מבחן סוף ספר ראשון )כולל הנדסה( חזרה מיון שברים, ציר מספרים, צמצום והרחבה, חיבור וחיסור, השוואה, שבר כמנת חילוק סוף נובמבר עד אמצע שברים פשוטים - דצמבר כ- 8- ש' כפל: שלם בשבר, שבר בשבר, מספרים מעורבים, האם כפל מגדיל? כפל שברים 9- - ש' פיתוח תובנה 0 פיתוח תובנה מתמטית והכללה. מציאת חוקיות. - ש' חקר נתונים ממוצע, שכיחות, שכיחות יחסית. - ש' חג חנוכה בסוף הספר חקר נתונים וסיכויים סה"כ 6- שיעורים

14 מבחן סוף ספר שני מבדק היקף ושטח עיגול מבדק חילוק מס' עשרוניים אפשר גם מבדק מסכם עשרוניים כאן או בסוף שנה הערכה ובקרה שימוש בסרגל ובמחוגה שימוש בסרגל ובמחוגה יחס וקנה מידה חילוק מספר שלם בשבר, חילוק במספר שלם, חילוק שבר בשבר. כפל מחולק ומחלק במספר כדי שהמחלק יהיה מספר שלם. משמעות אחוזים, קשר לשברים ולמספרים עשרוניים, מציאת ערך החלק, מציאת האחוז, מציאת השלם. קנה מידה ויחס פיתוח יכולת הכללה, היכרות עם חוקי הפעולה, התחלת רישום בסמלים ובאותיות היכרות עם עיגול ומעגל ותכונותיו, היקף ושטח עיגול חילוק שתוצאתו במספרים עשרוניים חילוק מספר עשרוני במספר שלם חילוק מספר עשרוני במספר עשרוני מעבר משבר פשוט למספר עשרוני בעזרת "חילוק ארוך" מיומנויות חלק של כמות, מציאת החלק, מציאת השלם. "חילוק ארוך" )הכנה לחילוק עשרוניים( ספר שני יחידות בספר בסוף הספר בסוף הספר חקר נתונים וסיכויים חג פורים פיתוח תובנה מספרית אחוזים חילוק שברים מספרים עשרוניים מחזוריים חגים: ט"ו בשבט פיתוח תובנה מתמטית ואלגברית הנדסה - עיגול הנושא שברים חזרה - חילוק ארוך שלמים חילוק מספרים עשרוניים לוחות זמנים ינואר, כ- 6 ש' ינואר כ- ש' ינואר כ- ש' ינואר כ- ש' פברואר כ- ש' פברואר כ- ש' פברואר כ- 8 ש' פברואר מרס כ- ש' מרס כ- ש' מרס כ- 8 ש' מרס כ- ש' מרס כ- ש' סה"כ - ש'

15 מבחן סוף שנה בחשבון ונפרד בהנדסה מבחן מסכם מספרים עשרוניים אם לא עשו בספר מבדק אחוזים הערכה ובקרה משפחת המרובעים, סוגי משולשים, שטחים במשולש ובמקבילית היקף מעגל, שאלות רב שלביות בשלמים, קנה מידה, אחוזים, עשרוניים סכום זוויות במצולעים. פעולות החשבון בשלמים, סדר הפעולות, עיגול מספרים, פעולות בשברים, פעולות החשבון במספרים עשרוניים. מיומנויות לקראת יחס ערך אחוז, מציאת אחוז, הוזלה והתייקרות, אחוזים בחיי היום יום חזרה עשרוניים, שברים גופים: חזרה, חישוב נפחים: מנסרה, פירמידה, גליל, חרוט, כדור. חיתוך גופים וגופים משוכללים תובנה ופתרון בעיות יחס, יחס מצומצם, טבלאות יחס, יחס ישר ויחס הפוך, שימושים בחיי יום יום ספר שלישי יחידות בספר בסוף הספר 6- בסוף הספר חקר נתונים וסיכויים מציאת חוקיות, הכללות ותובנה אלגברית חזרה - הנדסה שאלות אינטגרטיביות קנה מידה חזרה - שלמים, שברים, עשרוניים הנושא חגים: פסח אחוזים חגים: יום העצמאות גופים ונפחים גופים משוכללים יחס לוחות זמנים אפריל - ש' אפריל מאי 9-6 ש' מאי ש' מאי 9-7 ש' מאי - ש' מאי, יוני -9 ש' יוני - ש' יוני 8-7 ש' יוני - ש' יוני - ש' יוני - ש' יוני - ש' סה"כ 60- ש'

16 התאמת נושאי הלימוד בספר "פשוט חשבון" כיתה ו' לתכנית הלימודים החדשה מספרי עמודים בספרים: הנושא א. שברים. שבר כמנת חילוק חלק ראשון חלק שני חלק שלישי הערות,8, , 8,,-0,7-6,,09,7-6 8,, ,8-7,6-8. שברים פשוטים ומספרים עשרוניים על ישר המספרים צפיפות המספרים, חזרות על נושאים מכיתה ד' ו-ה' -. כפל בשברים כפל שלם בשבר, כפל שבר בשבר, כפל במספר מעורב האם כפל מגדיל?. כפל וחילוק מספרים עשרוניים ב- 0, 00 וכו' 6, 6 9,-,-6 7-6,- -7,88-8,8-67,0, ,9-89,8 0-9, ,-,,9,- 8,-,0,8-9,7, ,- -9,8-,7-, ,- 7-7, כפל מספרים עשרוניים אומדן תוצאות 7. חילוק מספרים עשרוניים 8. חלק של כמות: מציאת ערך החלק 9. חלק של כמות: חישוב החלק והכמות היסודית 0. חילוק שברים פשוטים. מספר עשרוני מחזורי ב. אחוזים משמעות חישוב ערך האחוז חישוב האחוז חישוב הכמות הכוללת ג. יחס הגדרת יחס ותכונותיו חלוקת כמות לפי יחס נתון 6

17 הנושא ד. מידות עשרוניות מעבר בין יחידות חלק ראשון חלק שני חלק שלישי הערות -0,-,,0,7-, 7-7,8-0 7,-, 0-9,- 6,-,7,8-6,,6,8-7, ,99-9, ,00 7, , ,9,7-6,,8,6,9-8 8, ,, ,8-7,7-7 6, ,9-8,,, -,9,,66-6,6,, ,7-6,9,8 0-00,9,87-8,8,68-67,6,6-79,76-7,8,,-9,,8 7-7, ,87-7,7-69,99-96, ,9,-,-0,,0 6-7,70,9, ,08 ה. קנה מידה ו. מספרים ופעולות קשר בין מערכות המספרים סדר פעולות, חוקים, אומדן תוצאות ז. שאלות כוללות שאלות דו שלביות ורב שלביות חישובים בשלמים תנועה והספק מציאת חוקיות ח. חקר נתונים וניתוח סיכויים חקר נתונים, ממוצע, 68-6 ייצוגים, שכיח, שכיחות, שכיחות יחסית, צפיפות ופיזור , , 9, סיכויים וקומבינטוריקה ט. גופים. הכרת הגופים הכרת המנסרה, הפירמידה, הגליל, החרוט, חיתוך גופים. גופים משוכללים י. מדידות והנדסה. מעגל ועיגול היקף המעגל שטח העיגול. חישוב נפחים נפח תיבה + שטח פנים נפח מנסרה, נפח גליל נפח פירמידה נפח חרוט, נפח כדור. חזרות בהנדסה מרובעים, משולשים, שטח משולש ומקבילית 7

18 מדריך למורה לספר ראשון יחידות בספר הראשון של ו: בחלק של "חגים" מוצעות פעילויות יפות בנושא לוח השנה, שמתאימות מאוד לתחילת שנה, לראש השנה, או לחגי תשרי וחודש הלימודים הראשון. הפעילויות מעניינות וחשובות להשכלה כללית של כל אדם. נערוך היכרות עם הלוח העברי והקשר שלו ללוח הכללי )הלועזי( והלוח המוסלמי. נראה איך בנוי הלוח העברי, מה זו שנה מעוברת ואיך מוצאים מתי יש שנה מעוברת. איך לוח השנה קשור למדידות ולידע שנצבר עם השנים על הזמן שנדרש לירח להקיף את כדור הארץ ולזמן שנדרש לכדור הארץ להקיף את השמש. פעילויות אלה מחברות את העיסוק המתמטי בהקשר של התרבות שלנו. במהלך החלק הזה יילמדו גם רעיונות מתמטיים חשובים לכיתה ו, כמו איך לבצע חילוק עם שארית במחשבון. אנחנו מאוד ממליצים לבצע פעילויות אלה שהזמן הנדרש להן עשוי להיות שני שיעורים. חלק מהפעילויות אתגריות יותר, ויש הנחיות איך לבצען. בנוסף, יש הצעה לפעילות בחירה, לערוך תצפיות במשך חודש על מראה הירח )ראו בחלק של "חגים" במדריך, בסוף הספר הראשון(. מספרים עשרוניים )יחידות עד ( בפרק זה תזכורת ואימון של רעיונות על מספרים עשרוניים שנלמדו בכיתה ה: משמעות מספר עשרוני וצורת הרישום, כתיבת המספר העשרוני כסכום של חלקיו בפירוק עשרוני כגון: = שימוש באמצעי המחשה להדגמת המספרים העשרוניים והקשר שלהם לשברים. לבני עשרוניים, ריבוע מחולק ל- 0 ול- 00 חלקים, ציר מספרים. עשיריות, מאיות, אלפיות, וחלקי עשרת אלפים, רישום בטבלת מספרים, סדר וצפיפות של מספרים עשרוניים, חיבור וחיסור מספרים עשרוניים במאוזן ובמאונך, הרחבה וצמצום משבר פשוט לשבר עם מכנה 00 0, או,000 והצגה במספר עשרוני של שברים. עיגול מספרים עשרוניים. כפל וחילוק מספרים עשרוניים ב- 0, ב- 00, ב-,000. נושא חדש בפרק זה הוא כפל במספרים עשרוניים. לשם כך, יש תזכורת של כפל במספרים שלמים במאוזן ובמאונך. יש עיסוק בכפל של מספר תלת ספרתי במספר דו ספרתי ותלת ספרתי מיומנויות נדרשות כדי לכפול מספרים עשרוניים. יש גם פיתוח התובנה המתמטית לגבי הרעיון שלא תמיד כפל מגדיל בהקשר של מספרים עשרוניים. יחידה מטרת היחידה: פעילויות אלה מהוות תזכורת לתלמידים בנושא מספרים עשרוניים. הן דנות במשמעות המספר העשרוני, ייצוגו, הרכב המספר, קריאת מספרים עשרוניים וכתיבתם, סדרות, והשוואת מספרים עשרוניים. הצעה: לפני השיעור כדאי להכין טבלה ובה כותרות לשיבוץ המספרים )הטבלה תלווה אותנו במהלך השיעורים. )ראו הצעה בנספח בעמוד 7(. אפשר לשתמש לפעילויות נוספפות בכרטיסיות בנספח עמודים 7-7. כותרות בטבלה: אלפיות מאיות עשיריות יחידות עשרות מאות אלפים התלמידים יסמנו גם את מיקום הנקודה העשרונית. 8

19 9 פעילות פתיחת היחידה: התלמידים למדו על מספר עשרוני בכיתה ה. לכן, נתחיל את השנה בפעילות המשלבת ידע קודם של התלמידים, שישמש כבסיס לפתיחה בנושא של מספרים עשרוניים: חלק יהיה חזרה וחלק חדש )כפל מספרים עשרוניים(. כדאי לתת לתלמידים לבצע את פעילות בעמוד 6 כפעילות פתיחה. רצוי לתת לתלמידים לעבוד בזוגות או בקבוצות קטנות ולענות על השאלות בסעיפים א עד יא. אפשר לבקש גם שיכתבו כמה דברים נוספים על מספר זה, כולל תרגילים אחדים המתאימים למספר. בסיום הפעילות, כדאי לנהל דיון שבו תלמידים יציגו מה ענו בסעיפים השונים. בתשובות נתייחס למבנה המספר העשרוני )משמאל לנקודה נכתוב את השלמים ומימין לה את השברים, שכתובים כשברים שהמכנה שלהם 0 וחזקותיו(. בשיחה, התלמידים יאמרו דברים שונים על המספר. נרכז את תשובותיהם על הלוח ובמידת הצורך, נוכל להרחיב את הדיון בעזרת הסעיפים המוצעים בהמשך עמוד 6. נציג לתלמידים את טבלת המספרים ונדגים בה את המספר.08. נקודות להתייחסות בדיון: מיקום הספרה, אמירת המספר במילים, כתיבת תרגיל למספר, 8 ( או )0X + X + 0X0. + 8X0.0 + X0.00 ייצוג המספר בלבנים, מעבר ממספר עשרוני לשבר פשוט ולהיפך. כדאי להתייחס להדגמה בתחתית עמוד 6 המראה הפרדת המספר לחלקים שמהם הוא מורכב. יש חשיבות לפעילות זו מאחר שיש תלמידים שחושבים בטעות שאם יש אלפיות במספר הוא קטן יותר מאשר אם יש עשיריות במספר. הם עושים הכללת יתר וחושבים על המצב שהשלם חולק ליותר חלקים, ולכן כל חלק הוא קטן יותר )זה כמובן נכון, אם רק משווים 0.00 עם 0.(. על ידי רישום המספר כסכום המרכיבים שלו מראים שאמנם אלפיות קטנות מ- מאיות ומ- עשיריות, אך במספר נכלל הסכום של כולם, כלומר, 0.00 מצטרף למספרים הגדולים יותר, כמו ו- 0. :. = הערה: בסעיף ח כשהתלמידים מתבקשים לכתוב את המספר כמספר מעורב, נבקשם לכתוב בעזרת שברים פשוטים. פעילות נוספת לפתיחת השיעור לבחירת המורה: נחזור ונזכיר את השימוש באמצעי המחשה. נציג לתלמידים בעזרת לבני 0 את השבר )אם אין לכם בכיתה ניתן להיעזר בהמחשות שבספר 0 בעמודים 7 8(. את הלבנים התלמידים הכירו כבר בכיתה ה, אבל כעת אנו מחליטים שלבנת ה 00.) ) ולבנת ה תהיה לבנת מאית ( תהיה שלם, לבנת ה 0 תהיה לבנת עשירית ( 00 0 נשאל את התלמידים מה השבר שמיוצג. בעזרת התלמידים נכתוב אותו כמספר עשרוני וכשבר פשוט. נזכיר את העקרונות של מעבר ממספר עשרוני לשבר פשוט ולהיפך. ניתן לתרגל עם מספר נוסף. אפשר להשתמש בהדגמה בספר )עמודים 7 8( ולהראות ריבוע מחולק ל- 0 חלקים שווים ול- 00 חלקים שווים, והמחשה של עשיריות ומאיות, וכמו כן, ניסיון להראות בריבוע המחולק אלפיות וחלקי 0,000 )עמוד 8(. מזכירים בעזרת המחשה והדגמה בציור את הקשר בין מספר עשיריות ומספר מאיות, בהשוואה לקשר שבין עשיריות לעומת 0 מאיות, כש- מאיות גדול מ- עשיריות.

20 בסוף חלק זה של הדיון כדאי להתייחס לנושא הסדרות שמופיע בסוף השיעור: להזכיר מהי סדרה חשבונית ושיש בה קפיצות בדילוגים שווים, להבדיל בין סדרה עולה לסדרה יורדת ולבקש מהתלמידים לבצע את פעילות 8 שבה יש מספרים שיש בהם שלמים, עשיריות ומאיות. התלמידים יוכלו לעבוד באופן עצמאי בפעילויות המוצעות בספר. פעילות : כוללת רישום שברים כמספרים עשרוניים וההיפך. פעילות : כוללת שיבוץ המספרים הרשומים במילים כשבר פשוט וכמספר עשרוני. פעילות : כוללת שיבוץ מספרים עשרוניים בטבלה וביסוס מבנה המספר העשרוני. פעילויות 6:,, כוללות גם הן רישום שברים כמספרים עשרוניים וההיפך. פעילות 7: פעילות הבנויה על תכונות מספרים עשרוניים. פעילות 8: עוסקת בסדרות במספרים עשרוניים. בפעילות 9: יש חזרה על "הרחבת" שברים, משברים עם מכנה 0 לשברים עם מכנה 00. שיעורי בית: מוצעים פעילויות., 0, בפעילות 0 נדרשים להפריד מספר עשרוני לסכום מרכיביו, בפעילות מקשרים בין שבר פשוט ועשרוני ובפעילות שואלים מה מייצגת כל ספרה במספר. יחידה מטרת היחידה: השיעור עוסק בהשוואת מספרים עשרוניים וצפיפות מספרים. נשתמש להמחשה של חלק מהרעיונות במערכת הדגמה כמותית )לבני 0 (, שנקראת כעת בהקשר של מספרים עשרוניים "ערכת לבנים עשרוניים". כל לבנה בערכה זו מקבלת שם בהתאם: "שלם", "לבנת עשירית" או "עשירית", ולבנת "מאית". בנוסף, נשתמש להדגמה בריבוע מחולק ל- 0 ול- 00 חלקים, בציר מספרים ובהשוואה ישירה בין המספרים. פתיחת השיעור נשאל את התלמידים מה גדול יותר: 0.0 או 0. כפי שמוצע בעמוד, ונבקש מהם הסבר. נסכם את ההשוואה תוך הסתכלות בהמחשות המוצגות בספר. עורכים את ההשוואה בעזרת ציור של ריבוע המחולק ל- 00 חלקים ובצביעה מתאימה, בעזרת ציר מספרים ובעזרת השוואת המספרים ספרה ספרה. בעזרת הדרך השלישית של השוואת מספרים מדגימים השוואה של מספרים נוספים. אפשר לרשום את המספרים הבאים על הלוח: כדאי לבקש מהתלמידים לעבוד בזוגות ולראות באילו מהמספרים ניתן להשמיט 0 או אפסים מבלי לשנות את ערך המספר. כדאי שזוג או שניים יציגו מה קיבלו לכיתה, ויסבירו מדוע מותר להשמיט אפסים במספרים שבחרו. נדון עם התלמידים על תפקידו וחשיבותו של האפס. נתייחס לחשיבותו כ"שומר מקום" משמאל לנקודה העשרונית ומימין לנקודה העשרונית, ונראה שכאשר הספרה האחרונה מימין לנקודה העשרונית היא 0, נוכל להשמיטה בלי לשנות את המספר. אפשר לבקש לסדר את המספרים המודגמים בעמוד , 0.9, 0.60, : ולהיעזר בהדגמה בעמוד לצורך דיון עם התלמידים. נבקש מה תלמידים לבצע את פעילות בעמוד, ולאחר מכן נקיים דיון. כשהמספרים העשרוניים ניתנים בהקשרים יום יומיים כמו מדידת גובה כאן, יש לתלמידים ידע שיכול לעזור בהבנת המספרים העשרוניים. אפשר לחשוב כאן על הגבהים של הקפיצה לגובה, שהם מעבר ל- מ' כעל 0

21 מטר ועוד כמה סנטימטרים. חשוב כאן לקשר את. מ' עם.0 מ' ) מ' ו- 0 ס"מ(. כך גם 0.90 מ' הם 90 ס"מ ואפשר לרשום גם כ- 0.9 מ'. בהשוואה בין 0.8 ו- 0.9 אפשר לקשר את 0.9 מ' ל- 90 ס"מ )ולדון מדוע זה לא 9 ס"מ( זה 9 עשיריות כל עשירית של מטר זה 0 ס"מ. השוואה כזו חשובה והחיבור עם מצב מוכר מהחיים עשוי לעזור כאן. תלמידים רבים חושבים ש- 0.8 גדול מ תלמידים אלה אינם מראים תובנה טובה של מספר עשרוני ועושים "הכללת יתר" משלמים. הם חושבים על 8 כגדול מ- 9 ומסיקים מכך ש- 0.8 גדול מ חשוב גם לקשר לעשיריות, וכן לקשר גם למטרים ולסנטימטרים. בסעיף ג עוסקים בשאלה מה גדול יותר:.0 מ' או. מ'. שוב זו שאלה חשובה מאוד לביסוס המשמעות של המספר העשרוני. פעילות בעמוד תינתן כעבודת כיתה בהמשך השיעור, בפעילות זו נפתח את הדיון בשיעור הבא. רצוי לתת את הפעילות לעבודה בזוגות כפי שמצוין בספר לתלמיד. התלמידים יפעלו בפעילויות עד 8 באופן עצמאי בשיעור. לשיעורי בית מוצעות פעילויות 9 ו- 0 סידור מספרים עשרוניים לפי גודל שלהם )מציאת המספר הגדול והקטן בכל שורה(, והשלמה של סדרות במספרים עשרוניים. בחלק מהסדרות יש רק עשיריות אחרי הנקודה העשרונית, בחלק אחר מאיות ואלפיות. השינוי בין מספר למספר בסדרה חל כל פעם בספרה אחרת. לפי שיקול דעת המורה, כדאי להכין את המרכזון המוצע בנספח ליחידה )עמוד 76 ופתרון בעמוד 7(. המרכזון הוא חידה אתגרית הנמצא בספר ביחידה )פעילות 9 שיבוץ מספרים במשולש(. אם רוצים לעשותו חגיגי יותר, עם אפשרות להזיז את המספרים בתוך כדי פתרון, אפשר להכין את המרכזון מהנספח גדול יותר ועם כרטיסים להזזה )אפשר לעבוד לבד או בזוגות(. יחידה מטרת היחידה: היחידה עוסקת בחיבור ובחיסור מספרים עשרוניים. )אפשר להיעזר בנספח - בעמודים 7-7( פתיחת השיעור דיון בפעילות מהשיעור הקודם )יחידה (, עמוד. בסעיף ב כדאי להקפיד שהילדים יסבירו במילים כיצד החליטו למי השבר קרוב יותר, ל- או ל-. לדוגמה, אם ילד כתב את המספר.78 הוא יכול לנמק שהמספר גדול מ- ו- עשיריות ולכן הוא יעגל למספר הגבוה יותר. אפשרות נוספת, שהילד יאמר שהמרחק מ- הוא 0. ומהמספר המרחק 0.78 ולכן הוא קרוב יותר ל-. סעיף נוסף שכדאי לבקש בו הסבר, הוא סעיף ד. בסעיף זה נדגיש את ההמרה וכדאי להגיע להכללה. לדוגמה, אם נוסיף מאיות ל-.78, נגיע למספר עם עוד עשירית. ההכללה: כל מספר שנוסיף, שהוא בין מאיות ל- 9 מאיות, יגרום להוספת עשירית נוספת למספר ואולי גם מאיות. עם סיום הדיון בפעילות מהיחידה הקודמת, חשוב לעבור עם התלמידים גם על הדוגמאות של חיבור מספרים עשרוניים במאוזן ובמאונך המוצעים בעמוד 7. כדאי להזכיר לתלמידים שפעמים רבות )במיוחד בחיסור( נוח לרשום עוד אפסים מימין לספרות הרשומות מימין לנקודה העשרונית. רישום של אפסים נוספים אינו משנה את המספר, ועוזר לחישוב כשמספר הספרות אחרי הנקודה שווה בשני המחוברים בחיבור, או בשני המספרים בתרגיל חיסור. לדוגמה:

22 חשוב להזכיר לתלמידים להעתיק את התרגילים כשהנקודה מתחת לנקודה וכך הספרות מסתדרות היטב זו מתחת לזו. רצוי מאד להדגים איך לפתור תרגיל חיסור מסוג התרגילים שנמצאים בפעילות. במיוחד כדאי להזכיר איך לרשום עוד אפסים מימין לספרות שמימין לנקודה העשרונית ואיך להתמודד עם פריטה, במיוחד אם יש 0. חשוב לעודד את התלמידים לבדוק את סבירות התוצאה בעזרת אומדן. לדוגמה, בתרגיל ה' בפעילות התרגיל קרוב ל-. פחות, והתוצאה תהיה קרובה ל-...ה הערה: כדאי להזכיר שסכום הוא תוצאה של תרגיל חיבור ושהפרש הוא תוצאה של תרגיל חיסור. המלצה: אפשר לתלות כרטיס ניווט עם המושגים המתמטיים בכיתה. ראה נספח, עמוד 7. פעילויות :, מתרגלות חיבור וחיסור במאונך. פעילות : ברצוננו להתייחס כאן לסוג השאלות ואיך לעזור לתלמידים מתקשים: בפעילות זו מוצגות שאלות מילוליות מגוונות הכוללות חיבור וחיסור במספרים עשרוניים. המורה יכול/ה לעבור בין התלמידים ולראות איך הם מתמודדים עם השאלות ולעזור במידת הצורך. שאלה א, היא שאלה דינמית של חיבור עם נעלם. דרכים אפשריות לפתרון: חיבור עם נעלם וחיסור. אין לחייב את כל התלמידים לפתור דווקא בחיסור. ניסוח השאלה מאפשר פתרון קל יותר דווקא בחיבור עם נעלם. לדוגמה: נחבר את = או בחיסור: שאלה ב משלבת מצב של השוואה ושל חיבור. שאלה ג היא שאלה מורכבת יותר. גם כאן יש מצב השוואה והוא מסוג אתגרי יותר: אחרי הצהריים מכרה איילת 9. ק"ג יותר מה 9. ק"ג שמכרה לפני הצהריים. בשאלה נתון גודל הכמות הקטנה וההפרש ושואלים על גודל הכמות הגדולה )כמה ק"ג מכרה איילת אחרי הצהריים(. עזרה לתלמיד מתקשה: גם בכיתה ו' יש תלמידים שמתקשים להבין שאלה כזו ומפרשים את המילה "יותר" בכך שצריך לחבר 8. עם 9. )ולא רואים שאחר כך צריך לחבר את התוצאה שמתקבלת(. הם מפרשים את 9. ק"ג ככמות שמכרה אחר הצהריים ולא מפרשים את המילה "יותר" כמכוונת ליותר מהכמות שנמכרה לפני הצהריים )במובן של השוואה(.

23 אפשר להציע לתלמיד מתקשה לרשום בדרך שממחישה את הנתונים. ליד כותרת של "איילת מכרה לפני הצהריים" התלמיד ירשום: "9. ק"ג תפוזים". אפשר לשאול כמה היא מכרה אחרי הצהריים. אם התלמיד עונה 9. ק"ג, יש להבהיר לו שזה 9. ק"ג יותר ממה שהיא מכרה בבוקר. האם היא מכרה יותר קילוגרמים ממה שמכרה בבוקר? כן. אם היא מכרה בבוקר 9. ק"ג אפשר לבקש שהתלמיד ייתן דוגמה למספר כלשהו של הקילוגרמים שהיא הייתה יכולה למכור אחרי הצהריים, מספר שהוא גדול מהמספר בבוקר. כל תוצאה שהיא גדולה מהמספר בבוקר תקדם כאן את התלמיד. גם אם הוא אומר 0 ק"ג או ק"ג. עתה, רצוי להדגיש שזה גדול יותר ב- 9. ק"ג )כמעט ב- 0 ק"ג יותר(. אחרי שהתלמיד מחשב כמה מכרה איילת אחרי הצהריים, אפשר לבקש ממנו לרשום את התוצאה תחת הכותרת "איילת מכרה אחרי הצהריים". עתה, לכוון את התלמיד לרשום תחת הכותרת "נשאר לה בסוף היום" 8.7 הק"ג שנשארו. רק לאחר ש- משקלים אלה יהיו רשומים, יהיה לתלמיד קל הרבה יותר להבחין שצריך לחשב את סכום שלושת המספרים אלה. דרך נוספת לעזור לילדים מתקשים, היא להציע לעבוד בזוגות, תלמיד מתקשה עם תלמיד חזק או בינוני ולהבהיר זה לזה מה משמעות השאלה. פעילות : כדאי לעבוד בזוגות. החידות אתגריות בעיקר בהבנה של דרך הניסוח שלהן. ניסוחים כאלה הם התנסות חשובה כהכנה לניסוחים דומים שבהם ייתקלו התלמידים באלגברה בחטיבת הביניים והתיכון. כאן מתרגלים אותם במספרים בלבד, בהמשך, התלמידים יצטרכו להבין שפה דומה בהקשר של נעלמים ומשוואות. פעילות : ממשיכה לתרגל חיבור וחיסור במאונך. פעילויות 6 8: מוצעות לשיעורי בית ועוסקות בהשוואה ודירוג מספרים עשרוניים. בפעילות 8 צריך לזהות מספרים שנמצאים בין 0. ו עזרה לתלמיד מתקשה )אפשר לבדוק ביחידה הבאה אם התלמידים כולם פתרו פעילויות אלו נכון ואפשר להציע עזרה לתלמידים גם ביחידה הבאה(: מכיוון שבמספרים 0. ו- 0.6 ה וה 6 מאיות הן ספרות עוקבות, יש תלמידים שמתקשים להבין אילו מספרים ניתן לשבץ בין שני המספרים. אפשר להציע לתלמיד כזה את ציר המספרים הבא: תזכורת: = ו = 0.6 בין 0.0 ל יש עוד אין סוף מספרים ביניהם 0. 0., וכן הלאה. יחידה מטרת היחידה: היחידה עוסקת בנושאים שונים הקשורים למספרים עשרוניים: פתרון תרגילים עם נעלם, השוואת מספרים, מעבר ממספר עשרוני לשבר פשוט ולהפך, וצפיפות על גבי ציר המספרים. פתיחת השיעור כדאי להתייחס בשיחה במליאה לפעילות החידות מהשיעור הקודם )יחידה ( בפעילות. כדאי לבחור סעיפים, לבדוק אותם ולראות אם התלמידים הבינו את המושגים והצליחו להתאים ביטוי חשבוני נכון. הפעילות מזמנת פתרון תרגילים עם נעלם. נבנה את המשוואה עם התלמידים ונשמע את דרכי הפתרון.

24 לדוגמה: סעיף ג. בשלב הראשון התלמידים צריכים לחשב כמה הם = לאחר שהגיעו לתוצאה 0.77 הם יבנו את המשוואה הבאה: = תרגיל זה ניתן לפתור בחיבור או בחיסור: = או על ידי השלמה אם התלמיד יחבר את כל המספרים שהוסיף )המודגשים(, הוא ימצא את הנעלם )0.(. אם יש תלמידים שמתקשים להבין כיצד לפתור תרגילים עם נעלם, ניתן להדגים להם בעזרת שימוש במספרים קטנים ) = + (. התלמידים מבינים את הפעולה שיש לבצע בין ל- כדי למצוא את הנעלם, ומכאן קל להם ליישם ולדעת כיצד לפתור את התרגיל עם המספרים העשרוניים )בחיסור או בחיבור(. אפשר להתחיל מפעילות בעמוד 0, ולבקש מהתלמידים לומר דברים המתאימים למספר.0.07 אפשר להמשיך ולענות על השאלות מ-א עד ח או לפתור במהירות בעל פה במליאה, בשיחה עם כל התלמידים, ואפשר גם לתת קצת זמן לתלמידים בודדים או בזוגות להתייחס לסעיפים השונים ואז לדווח "על איך מצאו". סעיף ח אתגרי יותר, כי שואלים מהו חצי של מכיוון שספרת האלפיות היא 7 ספרה אי זוגית יש כאן צורך לרשום ספרות אחרי הנקודה: הצעה לפעילות בזוגות. אפשר לכתוב על הלוח שברים פשוטים ולבקש מהתלמידים להפוך אותם למספרים עשרוניים: 8,,, 00, 0 לאחר מכן נקיים דיון )ניתן להיעזר בעמודים 0 ( ונדגים, כי לצורך המעבר למספרים עשרוניים יש להרחיב או לצמצם את השברים, כך שבמכנה שלהם יהיה כתוב 0 או אחד מחזקותיו. )00,,000 וכדומה( כדאי להזכיר ש- 8 כפול זה,000, ולא קיים מספר טבעי שבו נוכל לכפול ולהגיע ממכנה 8 למכנה 0 או למכנה 00. הערה: בהמשך היחידה התלמידים יכולים לעבוד באופן עצמאי בכיתה ובבית. כדאי שלפעילות 9 בעמוד יינתן זמן ממושך יותר, כדי שהתלמידים יוכלו להתנסות בו כמרכזון שולחן )ראו נספח בעמודים 76-7(. לאחר שהתלמידים מצליחים לשבץ את המספרים, הם יתעדו את עבודתם במחברת. כדאי להזכיר לתלמידים להביא מחשבונים לשיעור הבא. יחידה מטרת היחידה: ביחידה זו נמשיך לעסוק במספרים עשרוניים )הרכב מספר, עיגול מספרים, השוואה וכדומה(. לצורך ביצוע חלק מהמשימות נדרש מחשבון. פתיחת השיעור פעילות : ליחידה זו כדאי לדאוג לאמצעי המחשה כמותיים )לבנים עשרוניים( לשם הדגמה. הילדים יכולים לצייר לעצמם לבני עשרוניים. נבקש מהתלמידים לבצע את פעילות בעמוד.

25 לאחר כל סעיף רצוי לקיים דיון. כדאי להדגיש בפני התלמידים את ההבדל בין ספרה לכמות. לדוגמה, בסעיף א, ספרת העשיריות במספר 0. היא, ויש גם עשיריות בכל המספר )וגם מאיות(. בסעיף ב, ספרת העשיריות במספר. היא. בכל המספר יש עשיריות הרשומות בספרת העשיריות, אך יש גם 0 עשיריות שיש ב- השלמים. כך שבכל המספר יש עשיריות, בספרת העשיריות יש עשיריות. בדיון כיתתי כדאי לדון בעיגול מספרים עשרוניים. רצוי להיעזר בהדגמה שבעמוד )אפשר להראות לתלמידים את הדוגמאות בספר(. נדון כיצד לעגל ל- ספרות אחרי הנקודה העשרונית. נחזור על הכלל לעיגול המספרים במידת הצורך. כדאי להזכיר ולהראות לילדים את סימן האומדן או ~. התלמידים יתרגלו עיגול מספרים פעילויות : עיגול מספרים עשרוניים לשני מקומות אחרי הנקודה העשרונית. פעילות : בפעילות יש שאלות על כמה שקלים שווים ל- דולר אמריקאי בזמנים שונים, ועיגול המספר לשני מקומות אחרי הנקודה. העיסוק בשאלה מחיי היום יום עשויה להמחיש לתלמידים את הצורך לעגל. פעמים רבות אין לנו צורך בדיוק גדול כל כך של ו- ספרות אחרי הנקודה, ולרוב צרכינו אנו מסתפקים ב- מקומות אחרי הנקודה )כמו בחישוב כמה שקלים יש בדולר(. בפעילויות ו- : מחזקים את ההבנה של שבר כמנת חילוק. בעזרת מחשבון, מחלקים, לדוגמה, ב- 8. אם מתקבלת תוצאה עם יותר מ- ספרות אחרי הנקודה, מעגלים ל- ספרות אחרי הנקודה. יש חשיבות רבה בהכרת מיומנויות השימוש במחשבון. פעמים רבות נקבל ספרות רבות אחרי הנקודה בתוצאה במחשבון, אך אין לנו צורך בדיוק כה רב בפעילויות רבות, ויש חשיבות ללמוד לעגל. פעילות 6: נעשית בזוגות. זוהי פעילות חקר. בעזרת ספרות 9,, 0, ונקודה עשרונית התלמידים בונים מספרים שונים לפי תנאים מסוימים )הגדול ביותר, הקטן ביותר וכן הלאה(. פעילות 7: גם זו פעילות מתאימה לעבודה בזוגות. הפעילות אתגרית והתלמידים פחות מורגלים בעבודה עם אי שיוויונים: מה אפשר להוסיף ל- כדי לקבל מספר שקטן מ-.0. התלמידים מתבקשים למצוא מספרים אחדים כאלה. פעילויות 9 ו- 0 שיעורי בית: מוצאים סדר גודל של מספרים עשרוניים וסידור המספרים מהקטן לגדול. כדאי להכין מרכזון שולחן לקראת יחידה 7 פעילות 0. )נספח, עמוד 77( יחידה 6 נושא היחידה: כפל מספרים עשרוניים ב- 0, ב- 00, וב-,000 פתיחת השיעור פעילות ו- : המורה י/תכתוב את השאלה המילולית על הלוח ותבקש מהתלמידים להעתיק אותה למחברת ולפתור אותה )לפני שהתלמידים פותחים את הספר(. בשלב זה המורה י/תעבור בין התלמידים לצפות ולעזור לתלמידים מתקשים. לאחר שסיימו לפתור תזמין המורה שניים שלושה תלמידים שיספרו לכיתה כיצד פתרו את השאלה. המורה תרשום דוגמאות נוספות של כפל מספר עשרוני ב- 0 )כמו במסגרת בפעילות ( ותנחה את התלמידים למציאת ההכללה: כשכופלים מספר ב- 0 הנקודה העשרונית "זזה מקום אחד" ימינה. אפשר להפנות את התלמידים בזמן ההדגמה למוצג בספר בדיון בעמוד 8 או להראות דברים דומים על הלוח ובשיחה עם התלמידים. המשך הדיון. הדגמה בעמוד 9. התלמידים יגלו שכאשר אנו כופלים ב- 00 הנקודה "זזה" מקומות ימינה וכדומה. מכאן ניתן להגיע להכללה שכאשר כופלים ב- 0 וחזקותיו הנקודה "תזוז"

26 ימינה כמספר המעריך של החזקה. 0=00 המעריך של 0 הוא ולכן כאשר נכפל ב- 00 הנקודה "תזוז" מקומות. אפשר למנות את מספר האפסים שיש במספר שבו אנו כופלים, ולפי זה לקבוע. למשל אם נכפל ב-,000 מספר שיש לו אפסים הנקודה "תזוז" מקומות ימינה. פעילות : תרגול כפל מספר עשרוני ב- 0. פעילות : תרגול כפל מספר עשרוני ב- 00. פעילות : לאחר שהתלמידים גילו את החוקיות, והתנסו בה ותרגלו אותה בכמה פעילויות, הם יוכלו גם להכליל לכפל ב-,000. מוצע לעבוד בזוגות. פעילות 6: התלמידים מתרגלים את הכפל ב- 0, 00, ו-,000 בעזרת שאלות מחיי היום יום בנושא של קניות. פעילויות 8: 7, תרגול נוסף במגוון פעילויות. בפעילות 9: כדאי לתת לתלמידים להסביר איך פתרו את סעיפים א, ב, ה, ו-ו ולדון כיצד הגיעו לתשובות. פעילות : 0, תרגול נוסף במגוון פעילויות. פעילות : היא אתגרית וכדאי לעבוד בה בזוגות. אפשר לפי שיקול דעת המורה, שתלמידים מתקשים לא יבצעו פעילויות אלה. כדי לפתור את הפעילות צריך להכליל את העקרונות של "תזוזת" הנקודה העשרונית בכפל ב- 0, ב- 00, וב-,000. לפי תזוזת הנקודה צריך להבין באיזה מספר כפלו. מוצע לדון בפתרונות של פעילות בתחילת היחידה הבאה. יש שם התייחסות נוספת לפתרונות ולדרך דיון בנושא. סעיף ג הוא אתגרי במיוחד. מצד שמאל כופלים ב-,000 מספר שיש בו 0 שלמים ו- ספרות אחרי הנקודה שאין יודעים מהן והם מיוצגות בצורות )פרח, כוכב, ירח(. בצד ימין של סימן השווה, הנקודה "זזה" שני מקומות ימינה וצריך למצוא את המספר שבו כופלים כדי שזה יקרה. אפשר לחשוב על הצד השמאלי שגדל פי 00 )כי הנקודה בביטוי בצד הימני של סימן השווה עם הצורות "זזה" מקומות ימינה( ולכן צריך לכפול את הביטוי שמימין במספר קטן פי 00 מ-,000, שכופל את צד שמאל. כדאי להציע לתלמידים לרשום במקום הצורות ספרות ולהתנסות איתן. לדוגמה: אם אנחש ספרות במקום הצורות אקבל: 0. X,000 =. X 0 התשובה בדרך דומה עם הצורות: 0. x 000 = x 0.ג פעילות, שיעורי בית: המשך תרגול כפל מספרים עשרוניים ב- 0, ב- 00, ב-,000. יחידה 7 נושא היחידה: חילוק מספרים עשרוניים ב- 0, ב- 00, ב-,000. פתיחת השיעור ניתן לפתוח את היחידה בדיון על פעילות מהיחידה הקודמת )יחידה 6(. הדיון יהווה חזרה על כפל ב- 0 וחזקותיו. התלמידים יצטרכו לנמק את החלטתם, מדוע כפלו ב- 0, ב- 00 וב-.,000 תשובות: בסעיף א' כפלו ב- 0 היות שהנקודה "זזה" מקום אחד ימינה. 6

27 7 בסעיף ב' כפלו ב- 00 היות שהנקודה "זזה" מקומות ימינה. סעיף ג' יכול להוות מקור לקושי היות שצריך להתייחס לשוויון תרגילים. הנעלם החסר במשוואה הוא 0, על מנת שהנקודה תהיה ספרה אחת אחרי הירח, כפי שהיא נמצאת בתוצאה המתקבלת מהכפל בצד שמאל של המשוואה, כאשר כופלים ב-,000 )ראו דיון והתייחסות בסוף היחידה הקודמת(. בסעיף ד' התלמידים צריכים לרשום 0 מימין למספר היות שאין נקודה עשרונית בין הסמלים. כפי שקורה במספרים שלמים. פעילות : נבקש מהתלמידים לבצע את סעיפים א ג ולאחר מכן אפשר לקיים דיון. אפשר גם שהתלמידים יפתרו את כל הסעיפים )א-ו( והדיון יתקיים אחרי זה. רצוי שהתלמידים יעבדו על פעילות זאת בזוגות. בסעיף ג' התלמידים יסדרו את המספרים העשרוניים לפי גודלם: , 0.,.0, 0, יש להניח שהתלמידים שיסבירו איך סידרו את המספרים, יתייחסו לשאלה אם יש שלמים, אם יש עשיריות וכדומה. סעיף ב' מזמן דיון נוסף בתפקידו של האפס. למעשה, רק בשני מספרים ניתן להוריד את האפס מבלי לשנות את המספר: ב-.0 ו לפני סעיף ד' כדאי להזכיר את המושגים "פי" ו"ב" ולהבחין ביניהם בשימוש הלשון. ניתן לתת לילדים סימן לזכור את ההבדל: במילה כפל יש את האות פ, ולכן אם נאמר "גדול פי" נכפול. גם ל"ב" יש סימן והוא האות ב מצויה במילה חיבור, ולכן כשיהיה כתוב "גדול ב" נחבר. כמובן, צריך להיות כאן זהירים, כי התלמיד צריך להבין את הטקסט הכולל בכל שאלה, ולפעמים כשיהיה כתוב "גדול ב" נצטרך לחסר דווקא. הסימן נוח להבחנה בין "פי" ו"ב", אך התלמידים צריכים להתרגל לראות את הביטויים האלה בהקשרים שונים ולהבינם מההקשר. סעיפים ה', ו' יכולים להתבצע על ידי הילדים באופן עצמאי בהמשך העבודה. )סעיף ו אתגרי יותר, אך בעבודה בזוגות, אחרי שנחשפו לסעיפים הראשונים, רוב הילדים יוכלו ליצור סדרה משל עצמם כמבוקש בסעיף ו.( דיון מורה )הפנייה להצעות לדיון המוצגות בעמודים בספר התלמיד, שנערכות עם פתרון פעילויות ו- (. אלה פעילויות לביצוע התלמידים בהדרכה וסיכום של המורה. התלמידים יגלו את החוקיות, שכאשר מחלקים ב- 0 הנקודה העשרונית "זזה" מקום אחד שמאלה, כשמחלקים ב- 00 הנקודה "זזה" מקומות שמאלה וכדומה. בפעילות התלמידים מתבקשים להגיע להכללה שכל ספרה מימין קטנה מהספרה שמשמאלה פי 0. כשמחלקים מספר ב- 0 הנקודה העשרונית "זזה-מקום אחד" שמאלה. =. 0. : פעילויות 8: בהמשך היחידה יש מגוון של פעילויות לתרגול החילוק והכפל ב- 0, ב- 00, וב-,000. התלמידים יכולים לעבוד באופן עצמאי בעצמם. בפעילות יש שאלות חילוק ב- 0, ב- 00 וב-,000 בנושאים מחיי היום יום. פעילות 9: מפתחת את התובנה שאם כופלים ומחלקים באותו מספר, התוצאה לא משתנה, שאם כופלים ב- 00 ומחלקים ב-,000 התוצאה תהייה קטנה יותר )פי 0(. בנוסף לתרגול כפל וחילוק ב- 00 וב-,000, התלמידים מפתחים תובנה שאם כופלים במספר קטן ומחלקים במספר גדול ממנו, התוצאה תהיה קטנה יותר, ולהפך, אם כופלים במספר גדול יותר ומחלקים במספר קטן יותר, התוצאה תהיה גדולה יותר. באופן דומה, אם נכפול מספר ב- התוצאה תהיה גדולה יותר. לכפול ב- חצאים משמעותו לכפול ב- ולחלק ב-, כלומר, לכפול ב- ולחלק במספר שקטן מ-.

28 פעילות 0: מוצע לעבוד בזוגות הפעילות מאתגרת יותר. בעמוד 6 מציע פעילות אתגרית. כדאי להמליץ לתלמידים לעבוד בזוגות. אפשר גם לפתוח אותו כמרכזון שולחן )נספח בעמוד 77(. אם הפעילות ניתנת כמרכזון ומכינים רק מספר מועט של עותקים ממנו, כדאי להביא בחשבון שנוכל לדון בו רק בעוד כשבועיים, כשכל תלמידי הכיתה יתנסו בו. בהחלט מתאים לבדוק פעילות זו גם מאוחר יותר. הסעיפים האתגריים הם ד ז. פתרונות: בסעיף ג' נצפה שהתלמידים יכתבו את המספר.07, בסעיף ד' נצפה שהתלמידים יכתבו את המספר 0.7: כאשר כופלים ב- 0 מתקבל המספר.7 שהוא הקרוב ביותר ל-. בסעיף ה' נצפה שהתלמידים יכתבו 0.7: כאשר כופלים ב- 00 נקבל 7. שהוא המספר הקרוב ביותר ל- 7. בסעיף ו' נצפה שהתלמידים יכתבו 70.. כאשר נחלק מספר זה ב- 0 נגיע ל- 7.0 שהוא הקרוב ביותר ל- 7. בסעיף ז' נצפה שהתלמידים יכתבו 0.7. כאשר נחלקו ב- 00 נקבל.07 שהוא הקרוב ביותר ל-. בסעיף ח' התשובות הן: 0. ו-.7 או 0.7 ו-. בסעיף ט' ניתן לכתוב על מנת להגיע לתשובה קרובה ל-. פעילות : מוצעת כשיעורי בית, תרגול של כפל וחילוק ב- 0, ב- 00, וב-,000. כפל במספרים שלמים יחידות 8 עד 0 עוסקות בחזרה ובתרגול של כפל במספרים שלמים גדולים. חלק זה של הפרק נמצא כאן כהכנה לכפל של מספרים עשרוניים. ביחידות אלה נחזק את הידע של כפל בעזרת חוק הפילוג, כפל במאונך תוך פירוט כל המכפלות בשורות נפרדות, וכפל מאונך )בדרך המקובלת(. יש גם עיסוק בכפל של מספרים תלת ספרתיים במספרים תלת ספרתיים. הדבר חיוני כיוון שבכפל של מספרים עשרוניים שיש בהם עשיריות או מאיות נדרש פעמים רבות כפל של ספרות ב- ספרות. יחידה 8 נושא היחידה: חזרה על כפל במספרים רב-ספרתיים, מספר דו ספרתי כפול מספר דו ספרתי, כפל מספר דו ספרתי במספר תלת ספרתי. התרגילים מודגמים בעזרת חוק הפילוג, ועל ידי כפל מאונך. האומדן מוצע כדרך לבקרה על חישוב התרגיל. פתיחת השיעור: פעילות פתיחה כדאי להתחיל בבדיקה של פעילות 6 בעמוד מהיחידה הקודמת, כדי לוודא שהילדים אכן הפנימו את ההבדל בין כפל וחילוק ב- 0, ב- 00, ב פעילות פתיחה ניפתח את השיעור בתזכורת כיצד נכפול מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי בעזרת חוק הפילוג ובטור מאונך. אפשר לתת לילדים שאלה שתזמן כפל מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי: לדוגמה: עמוד, פעילות, סעיף א. תחילה יכולים הילדים לבצע את האומדן. הילדים מצופים לומר שהתרגיל שמתאים לבעיה הוא X 9 ולכן אפשר לאמוד את התשובה בעזרת התרגיל: 0 X 0 = 00 לאחר מכן נבקש מהילדים חישוב מדויק, ונדון בדרכי החישוב השונות. ניתן להיעזר לצורך תזכורת איך כופלים מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי בהדגמה בעמוד 8 או דרך דיווחי התלמידים על איך פתרו את השאלה. חשוב גם בשלב זה לדבר על הכפל המאונך במונחים משמעותיים ולהזכיר מתי המספר שכופלים הוא ומתי הוא עשרות. 8

29 בעמוד 9 בספר לתלמיד יש הדגמה איך פותרים תרגיל כפל של מספר תלת ספרתי במספר דו ספרתי. לתלמידים יש פחות ניסיון עם תרגילים כאלה ויש צורך להגיע לתרגל פתרון תרגילים כאלה כי כשכופלים מספרים עשרוניים, פעמים רבות יש צורך במספר תלת ספרתי אם יש לדוגמה ספרות אחרי הנקודה. נתחיל מפתרון בעזרת חוק הפילוג. כדאי להזכיר את החוק ולהציע להפריד קודם רק גורם אחד, ואז את הגורם השני. זוהי דרך קלה לראות את כל המכפלות )ניתן, כמובן, להפריד מיד את שני הגורמים אם התלמידים מיומנים בכך(. בהמשך ניתן לילדים להתנסות בפתרון תרגיל כפל של מספר תלת ספרתי במספר דו ספרתי. ניתן להיעזר בעמודים 9 לצורך ההסבר. שימו לב שבעמודים -0 יש התייחסות לכפל של גורם שאחת מספרותיו היא אפס. הערה: בטרם נפנה את הילדים לעבודה, כדאי לוודא שהם מבינים את הפעלת חוק הפילוג בפעילויות 6 ו- 7. ביחידה הבאה יש הצעה לפתוח את השיעור עם דיון בפעילות 6. אפשר לראות שם עוד התייחסות לפעילות זו. פעילות : תרגול כפל בטור של מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי. פעילויות :,, תרגול כפל בטור של מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי ובמספר תלת ספרתי. פעילות : סעיף א. הוצע לדון בפעילות זו בתחילת השיעור. אם זה נעשה, אפשר לדלג על הפעולות כאן. תחילה יכולים התלמידים לבצע את האומדן. התלמידים מצופים לומר שהתרגיל שמתאים לבעיה הוא X 9 ולכן אפשר לפתור אותו באומדן בעזרת התרגיל: = X לאחר מכן נבקש מהתלמידים חישוב מדויק, ונדון בדרכי החישוב השונות. פעילויות 7: 6, השימוש בחוק הפילוג כאן מוכר ואמור להיות לא קשה. בפעילות 7, צריך להסיק לפי הרשום מימין מהו התרגיל המקורי. זוהי פעילות אתגרית יותר מפעילות 6. אחרי שהתלמידים יתנסו בפעילות 6, יש להניח שפעילות 7 תהיה פחות קשה. לתלמידים מתקשים מומלץ לעבוד בזוגות עם תלמידים חזקים יותר. פעילויות 8 ו- 9 : מוצעות כשיעורי בית. תרגול של כפל מאונך של מספרים דו ספרתיים ותלת ספרתיים. יחידה 9 נושא היחידה: כפל מספר תלת ספרתי במספר תלת ספרתי, כפל מספר דו ספרתי במספר תלת ספרתי, חזרה על כפל וחילוק ב- 0, ב- 00, ב-, פתיחת השיעור נבדוק תחילה את פעילות 6 מיחידה 8 עמוד. פעילות זו מזמנת דיון בחוק הפילוג, כאשר הדגש על כך שכדאי להפריד בהתחלה רק מספר בצד אחד על מנת שלא לטעות. הסעיף השגוי בתרגיל X 9 הוא סעיף ג. התרגיל = 9 0 X 0 + X אינו שווה לתרגיל המקורי. X 9 ניתן לשאול את הילדים מדוע הוא לא נכון, ובסעיפים האחרים להתמקד בשאלה איזה גורם הפרדנו ומדוע. )חשוב להשתמש במונח המתמטי "גורם" ולהזכיר לילדים את המונחים המתמטיים המתקשרים לתרגיל כפל. מכפלה = גורם X גורם(. בתרגיל X 8 סעיף ד הוא הסעיף השגוי. כדאי לדון בסעיפים ב, ג. בסעיף ב היתה הפרדה של שני הגורמים ובסעיף ג במקום לכפול X 8 בוצע פילוג נוסף ל- 8 0 X ו- 8. X

30 ניתן לזמן לילדים תרגילים של כפל מספר תלת ספרתי במספר תלת ספרתי ולבקש מהם לפתור אותם. לאחר מכן נדון בדרכים השונות לפתרון. ניתן להיעזר בהדגמת כפל במספרים גדולים בעמודים ; בשלב שני, אפשר לתת לילדים לבצע את עמוד 6 פעילות סעיף א' ולבדוק עם כל הכיתה. פעילויות :, תרגול כפל מספר תלת ספרתי במספר תלת ספרתי. פעילות : שאלה מילולית דו שלבית המזמנת כפל מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי וכפל מספר דו ספרתי במספר תלת ספרתי. פעילות : חישוב באומדן של תרגילי כפל מספרים דו ספרתיים במספרים תלת ספרתיים. פעילות : חזרה על כפל וחילוק ב- 0, ב- 00, ב-,000. פעילות 6: חזרה על כפל וחילוק במספרים עשרוניים ב- 0, ב- 00, ב-,000. פעילות - 7 שיעורי בית: כפל מספר תלת ספרתי בתלת ספרתי. יחידה 0 נושא היחידה: פתרון בעיות מורכבות שמזמנות חילוק, כפל, חיבור וחיסור. קיים תרגול נוסף של כפל מספרים רב ספרתיים והשוואת תרגילים של כפל וחילוק בעשרות / מאות / אלפים שלמים. פתיחת היחידה בראשית היחידה ניתן לילדים מחירון שבו מופיעים נתונים של מחירי מוצרי חשמל. מחירון זה יסייע להם בפתרון הבעיות בפעילות בעמודים 9 0. אפשר לבקש מהילדים בתחילת השיעור להתנסות בפתרון חלק מהבעיות. כדאי לבחור בעיות, לתת לילדים לבצע אותן בזוגות או לבד ולאחר מכן לקיים דיון. בהמשך השיעור ניתן לתת לילדים להמשיך להתמודד עם פתרון הבעיות. תשובות לשאלות בפעילות בעמודים 9 0: סעיף א: בכל תשלום שילמו,600 ש"ח. סעיף ב: בית המלון הראשון שילם עבור המוצרים,90 ש"ח, ובית המלון השני שילם 8,9 ש"ח, לכן הוא שילם יותר ב-,69 ש"ח. סעיף ג: משפחת דרור קנתה מדפסת לייזר צבעונית. סעיף ד: בית ספר שורק הזמין מדפסות לייזר. סעיף ה: מנהל המשרד קנה 0 מחשבים נייחים. סעיף ו: הסכום שדורון היה צריך לשלם עבור המוצרים הוא,00 ש"ח. אם יקנה מוצר בשווי 00 ש"ח, כמו לדוגמה, מדפסת דיו, הוא יקבל 00 ש"ח הנחה, משמע המדפסת תעלה לו רק 00 ש"ח. ניתן לקבל בסעיף זה כל הסבר מנומק של הילדים. סעיף ז: אתגר! מחיר כל טלוויזיה שישית יהיה 798 ש"ח )חמישית מ-,990 ש"ח(. כלומר, על טלוויזיות תשלם מחיר מוזל )מתוך 0 טלוויזיות, על 8 טלוויזיות יהיו טלוויזיות מוזלות. על הטלוויזיות הנוספות מ- 8 עד 0 טלוויזיות אין הנחה.( המחיר של טלוויזיה מוזלת אחת אחרי ההנחה הוא,9 ש"ח. מחיר הטלוויזיות המוזלות הוא 9,76 ש"ח. מנהלת בית המלון שילמה על 7 טלוויזיות מחיר מלא ועל טלוויזיות מחיר מוזל. סך כל התשלום 70, ש"ח. פעילות : תרגול כפל דו ספרתי בתלת ספרתי וכפל תלת ספרתי בתלת ספרתי. פעילות שיעורי בית: השוואת תרגילים של כפל וחילוק בעשרות / במאות / באלפים שלמים. 0

31 יחידה נושא היחידה: חקר מכפלות )כיצד הן מושפעות מהגורמים והאם כפל תמיד מגדיל?( כפל מספר עשרוני על ידי אומדן, התמודדות עם פתרון בעיית כפל במספרים עשרוניים, כפל וחילוק מספרים עשרוניים ב- 0, ב- 00, וב-,000 וצפיפות מספרים על גבי ציר המספרים. פתיחת השיעור ניתן לפתוח את השיעור בבדיקת שאלה או שתיים מיחידה 0. )כדאי לבחור בשאלה שהייתה קשה לחלק גדול מתלמידי בכיתה( ביחידה התלמידים יתנסו בפעילות בזוגות וינהלו דיון לאחר הפעילות במשימת החקר, שפותחת פתח לתובנה ולתחושה שאם כופלים בכל פעם מספר כמו 8, לדוגמה, במספר קטן יותר, התוצאה בכל פעם תהיה קטנה יותר. כשמגיעים ל- 8 כפול התוצאה היא 8. אם נמשיך ונכפול במספר קטן יותר מ- לפי החוקיות שראינו במכפלות סביר יהיה להניח שהתוצאה תהייה קטנה מ- 8. כלומר לא תמיד תוצאה של תרגיל כפל גדולה מהגורם. בשלב זה נרצה להתחיל לפתח את התובנה והתחושה לגבי כפל של מספר במספר שהוא בין 0 ל-, אך לא ננסה להגיע ממש למסקנות ברורות בנושא. ביחידה, שהיא היחידה האחרונה בפרק זה, אנחנו עוסקים בנושא זה באופן ישיר: "האם כפל תמיד מגדיל?" "מתי כפל אינו מגדיל?" מה קורה למספר אם נכפול אותו במספר גדול מ-? בין 0 ל-?? פעילות : המורה י/תפתח את הפעילות בכך שי/תראה על הלוח את תרגילי הכפל ב- 8 כמו בטבלה בספר לתלמיד עמוד. ואז רצוי לשאול מה יהי התרגיל הבא? לאחר קבלת תשובה מהתלמידים הם יפתרו את משימות א' עד ד' )בזוגות(. כדאי לתת לתלמידים להתנסות בפעילות בלי שלימדנו עדיין איך לכפול מספר שלם במספר עשרוני, התלמידים יחפשו דרכים כדי לחשוב מה יכולה להיות תוצאה של תרגיל כמו 8 כפול 0.. אפשר לחשוב על זה כ- 8 פעמים עשירית או 8 עשיריות ולרשום זאת כמספר עשרוני. נקיים דיון ונראה לאילו מסקנות הגיעו התלמידים. אפשר גם שלא לסכם את הנושא של "האם תוצאת תרגיל הכפל תהיה גדולה מהגורם הראשון". כאמור, ביחידה נושא זה יטופל בהרחבה. אפשר שהתלמידים יראו נקודות אלה או חלקן:. כאשר מקטינים את אחד הגורמים בתרגיל, המכפלה נעשית קטנה יותר עד שמגיעים למספר כפול.. כאשר כופלים גורם בגורם שני קטן שהוא בין 0 ל-, המכפלה תהיה קטנה מהגורם הראשון. פעילות : חישוב אומדן של תרגילי כפל של מספר עשרוני במספר שלם ומספר עשרוני במספר עשרוני בעזרת עיגול מספרים. פעילות : חשוב לתת לתלמידים להתמודד באופן עצמאי עם השאלה המילולית המזמנת כפל מספר שלם במספר עשרוני, ובשיעור הבא לקיים עליה דיון. פעילויות :, התלמידים יחזרו על כפל של מספרים עשרוניים ב- 0, ב- 00, וב-,000 ועל חילוק במספרים אלה. תוצאת תרגילי החילוק נותנת אף היא מספרים עשרוניים. את פעילות 6 רצוי לעשות בזוגות ולהיזכר בסדר הגודל בהשוואה בין מספרים עשרוניים ובשיבוץ שלהם על ציר מספרים.

32 פעילות 7: חזרה על מיקום מספרים עשרוניים על ציר המספרים. פעילות 8: חזרה על ייצוג של מספרים עשרוניים בעזרת לבני עשרוניים. פעילות 9: מוצעת לשיעורי בית, שוב מתבקשים התלמידים למצוא חישובים של אומדן כדי לפתור תרגילי כפל של כפל במספרים עשרוניים. יחידה נושא היחידה: כפל מספרים עשרוניים. פתיחת השיעור רצוי לפתוח בדיון על השאלה שבפעילות מהיחידה הקודמת, בעמוד )אורך החבלים(. לאחר שכמה תלמידים יתארו את דרכי הפתרון השונות שהובילו אותם לפתרון השאלה לפני הכיתה, מתאים להתבונן יחד בעמוד ולראות אם הם השתמשו באסטרטגיות הדומות לאלה המוצעות בעמוד על ידי תלמידים אחרים. נדגיש כי עדי השתמשה בחיבור חוזר, שי השתמש בחוק הפילוג וחן השתמש בידע שלו על כפל וחילוק ב- 0. "הדרך של חן" היא דרך מצוינת ללמוד לכפול מספרים עשרוניים בעזרת תובנה ולא באופן טכני בלבד. חשוב להדגיש כי אם כפלנו את אחד הגורמים ב- 0, כדי לא לשנות את התוצאה של התרגיל, נחלק את המכפלה ב- 0. ניתן לשאול את הילדים מה היה קורה לו היו לנו שני מספרים עשרוניים והיינו כופלים כל אחד מהם פי 0? איזו פעולה היינו צריכים לבצע במכפלה על מנת שתוצאת התרגיל המקורי לא תשתנה? )לחלק ב- 00 (. אחרי ההסבר כדאי לתת לילדים להתנסות בתרגילים בעמוד 6 למעלה לנהל דיון אחרי כל תרגיל. בפעילויות ו- : ובהמשך יש תרגול בדרך פתרון זו. רצוי שהתלמידים יעבדו בזוגות בפעילות ובשאלות המכוונות בסוף עמוד 7. תרגילי הכפל במספרים עשרוניים רשומים במאונך. בעזרת חצים קל מאוד לראות שכפלו מספר אחד ב- 0 והתוצאה של התרגיל החדש גדולה פי 0 מתוצאת התרגיל המקורי. בעזרת חץ נוסף רואים שצריך להקטין את התוצאה של התרגיל החדש פי 0 כדי לשמור על תוצאה לתרגיל המקורי. בחלק מהתרגילים צריך לכפול גורם בתרגיל ב- 00, ולהקטין את התוצאה החדשה פי 00. בעמוד 7 למטה יש הפנייה לעבודה בזוגות כדי לדון בנקודה חשובה נוספת: על תפקידו של האפס, ועל היכולת במקרים מסוימים להשמיטו מבלי לשנות את המספר. בסוף עמוד 7 אחרי פעילות התלמידים מתבקשים לגלות חוקיות. הם עובדים בזוגות אחרי שפתרו את התרגילים והם בודקים כמה ספרות יש אחרי הנקודה בכל גורם, וכמה ספרות אחרי הנקודה יש במכפלה. את הסיכום בנושא גילוי החוקיות הזאת אנחנו מציעים לעשות בדיון כיתתי בתחילת היחידה הבאה. בפעילות : פועלים בדרך דומה, גם כשהתרגילים רשומים במאוזן. גם כאן, התלמידים חוקרים ומגלים את החוקיות של מספר הספרות אחרי הנקודה בגורמים ובתוצאה. פעילות : נתונות הספרות של התוצאה והתלמידים מתבקשים למצוא איפה לשים את הנקודה העשרונית. הם יכולים להיעזר באומדן או בחישוב של כפל ב- 0 או ב- 00 וחילוק התוצאה ב- 0 או ב- 00. רצוי שהתלמידים יעבדו בזוגות בפעילות זו וישוחחו ביניהם על סבירות התוצאה ועל הדרכים למצוא אותה. פעילויות 6:, תרגול מגוון של כפל מספרים עשרוניים ושאלות נושא קניות.

33 פעילות 7: מחזקת את הבקרה של התלמיד על מיקום הנקודה העשרונית בתוצאת כפל עשרוני. הפעילות מאמנת את התלמידים בעזרת אומדן למקם נכון את הנקודה העשרונית במכפלה. פעילות 8 שיעורי בית: תרגול כפל מספר שלם במספר עשרוני. יחידה נושא היחידה: כפל מספרים עשרוניים. פתיחת השיעור כדאי להתחיל בבדיקת בעיה אחת לבחירתכם מהיחידה הקודמת עמוד 60 פעילות 7. נראה את הדרכים השונות לפתרון ונעורר שאלות אומדן. נבצע עם התלמידים את הפעילות המוצעת בעמודים 6 6 )ההצעה להקנייה בספר ופעילויות ו- (. פעילות זו חוזרת ומדגישה כפל של אחד הגורמים ב- 0 או ב- 00 וחילוק התוצאה ב- 0 וב- 00. חשוב לסכם עם התלמידים את החוקיות שהם מצאו ביחידה הקודמת לגבי מספר הספרות אחרי הנקודה בגורמים ובמכפלה. הכלל בנוגע לכך מנוסח בסוף עמוד 6 ואפשר להיעזר בו. כדאי להדגים עם דוגמאות מספריות. פעילויות :, בעמוד 6. בודקים בזוגות מה קורה לתוצאות של תרגילים שבהם כופלים כל אחד משני הגורמים פי 0. יש התמקדות בכך, היות שהגדלנו כל גורם פי 0, בסך הכול התוצאה של התרגיל החדש תהיה פי 00 מתוצאת התרגיל המקורי, ולכן נחלק את המכפלה החדשה ב- 00 כדי לקבל תוצאה לתרגיל המקורי. אפשר להדגיש בפני התלמידים ולהיעזר לשם כך בסיכום שבעמוד 6 באמצע כי: הקטנה פי 0 והקטנה נוספת פי 0 זו הקטנה פי X 0 0 או הקטנה פי 00. פעילות : פותרים גם בעזרת תרגיל חדש וגם בעזרת אומדן. חשוב לעבוד בזוגות. סעיף ג אתגרי יותר כי צריך לכפול גורם אחד ב- 00 ואת הגורם השני ב- 0. רוב התלמידים יוכלו להגיע להכללה בעצמם או בעבודה בזוגות. התלמידים יגלו שחילוק ב- 0 וחילוק ב- 00 שווה חילוק ב-,000. פעילות : שאלות מילוליות המזמנות כפל מספר שלם במספר עשרוני, ומספר עשרוני במספר עשרוני )יש גם דיון בשאלות אלו בתחילת היחידה הבאה(. פעילות : תרגול כפל מספרים עשרוניים עם הסבר כיצד למקם את הנקודה העשרונית. פעילות 6: יש דיון בשאלות מפעילות זו בתחילת היחידה הבאה. בשאלות אלו הגיוני מהיכרות עם מצבים מחיי היום יום שמשתמשים בפעולת כפל כדי לקנות מספר ק"ג ושמשתמשים בפעולת כפל גם כשקונים פחות מ- ק"ג. נראה הגיוני שהמחיר במקרה כזה יהיה נמוך ממחיר ק"ג. פעילות 6: בפעילות זו ניתן לפתור את תרגילי הכפל בעזרת המכפלה של התרגיל הראשון. הפעילות מעודדת את התלמידים לראות היכן ממוקמת הנקודה העשרונית בגורמי התרגיל וכיצד מיקומה ישפיע על המכפלה. לאחר סיום פתרון התרגילים ינסו התלמידים בעבודה בזוגות למצוא את הכלל המתאים. פעילות - 7 שיעורי בית: תרגול נוסף של כפל במספרים עשרוניים. שיעורי בית: איסוף קופסאות לפרק גופים: כדאי לבקש מהילדים לאסוף קופסאות שונות )קופסאות של ממתקים, קורנפלקס, תרופות, קופסת משחת שיניים, גלילים וכדומה( לקראת הפרק של גופים.

34 יחידה נושא היחידה: כפל מספרים עשרוניים פתיחת השיעור כדאי לקיים דיון לפי המוצע בעמוד 66. דיון זה מתייחס לטבלה שאותה מילאו התלמידים ביחידה הקודמת בפעילות 6 בעמוד 6. כדאי ל"עמוד" על הקשר בין התרגיל המודגש ליתר התרגילים. ניתן לראות שבמכפלות השונות יש את אותן הספרות, רק מיקום הנקודה השתנה. כדאי לדון עם התלמידים ולהסביר מה גורם לשינוי במיקום הנקודה ולקשר זאת למספר הספרות אחרי הנקודה בגורמים ובתוצאה של כל תרגיל. חוזרים ומסכמים את החוקיות בכפל עשרוניים. אפשר להראות איך לכפול מספרים עשרוניים כאילו הם מספרים שלמים בהתחלה, ואז לשבץ את הנקודה העשרונית. אפשר לעשות זאת באחת מ- הדרכים שנלמדו: אומדן לפי מספר הספרות שיש בכל גורם ובמכפלה לפי "פי כמה כפלנו" את הגורמים כשכפלנו במספרים שלמים כדאי לקרוא עם הילדים את הדוגמה בעמוד 67 לפעילות ואחר כך לבקש מהם לבצע את סעיף ד, לחזק את ההכללה לקשר בין מיקום הנקודה בגורמים למיקום הנקודה במכפלה. התלמידים ימשיכו את כל פעילות בעצמם. פעילות : פעילות אתגרית לעבודה בזוגות בנושא כפל מספרים עשרוניים. חיזוק הכלל: מספר הספרות מימין לנקודה בגורמים, הוא מספר הספרות מימין לנקודה במכפלה )לפני הורדת אפסים מיותרים(. פעילות : אם יש צורך לכוון תלמידים לפתרון פעילות, אפשר לכוונם לראות איך המספרים משני צדי סימן השווה מתייחסים זה לזה. לדוגמה, בסעיף א: 0. שמימין קטן פי 0 מ- שמשמאל. כדי לשמור על שוויון, המספר החסר שמימין צריך להיות גדול פי 0 מ.7 שמשמאל, כלומר, 7. )אם חילקנו גורם אחד ב- 0 וכפלנו את הגורם השני ב- 0 המכפלה לא השתנתה(. יהיה כדאי לדון בפתרונות של פעילות בתחילת היחידה הבאה. יהיו תלמידים שבמקום לראות את הקשרים משני צידי סימן השווה, ינסו לחשב את המכפלה בצד אחד )כשאפשר( ויפעלו בצד השני להגיע מגורם אחד למכפלה זו. גם זו דרך טובה ודיווח עליה יתרום להבנת התלמידים. פעילות : שאלות מילוליות המזמנות כפל מספר שלם במספר עשרוני, ומספר עשרוני במספר עשרוני. פעילות : תלמידים שמתקשים להבין פעילות זו כדאי להפנותם שוב לדוגמה ולעשות איתם יחד את התרגיל הראשון. פעילות 6: שאלות מילוליות המזמנות כפל מספר שלם במספר עשרוני, ומספר עשרוני במספר עשרוני. פעילות 7 שיעורי בית, תרגול כפל מספרים עשרוניים. חיזוק הכלל: מספר הספרות מימין לנקודה במכפלה, הוא מספר הספרות מימין לנקודה בגורמים )לפני הורדת אפסים מיותרים(.

35 יחידה נושא היחידה: תכונות הכפל. האם הכפל תמיד מגדיל? בפעילות חקר התלמידים יגלו שלא תמיד הכפל מגדיל. אם כופלים גורם במספר בין 0 ל- התוצאה קטנה מהגורם. בנוסף, יתנסו התלמידים בהשוואת תרגילים של כפל מספרים עשרוניים. במשך שנים רבות התלמידים פיתחו הבנה שפעולת הכפל )בשלמים( נותנת תוצאה )מכפלה( גדולה יותר מהגורמים. ידע זה חזק מאוד ואינטואיטיבי. כשעוסקים בכפל של שברים / מספרים עשרוניים, יש לתלמידים ציפייה שידע אינטואיטיבי זה יתקיים גם כאן. הרעיון שאם נכפול שני מספרים נקבל תוצאה שהיא קטנה לפחות מאחד המספרים, נראית "לא סבירה" ומנוגדת לאינטואיציה. לכן, יש חשיבות כשעוסקים בשבר פשוט ובמספרים עשרוניים, להתייחס ישירות לשוני בתחום זה בנושא הכפל ולעזור לבנות תובנות חדשות. ההתנסות והדיון גם בשאלות מילוליות מחיי היום יום, שבאות לחזק הבנה זו, תורמות מאוד לבנייה של תובנה חדשה. השאלות ביחידה הקודמת בפעילויות ו- 6, מציגות דוגמאות שבהן נראה הגיוני שהמכפלה תהיה קטנה מאחד הגורמים. לדוגמה, אם תמר הולכת. ק"מ בשעה, הגיוני שאם היא הולכת חצי שעה יהיה המרחק שהיא הולכת קטן מ-. ק"מ. קשה כאן לראות שזו פעולת כפל. לכן, יש בפעילות ביחידה הקודמת מצבים שבהם תמר הולכת שעות ו- שעות וחצי. רואים שם שזו פעילות כפל ונראה הגיוני שאפשר לפתור את כל השאלות הדומות בעזרת כפל, גם אם המספר בין 0 ו-. גם בפעילות 6 שביחידה הקודמת, נראה הגיוני לכפול אם קונים מספר שלם של קילוגרמים של עוגיות ) ק"ג של עוגיות יהיה כפול (. גם כאן יש לקוות שהתלמידים יכלילו ויכפילו גם כשיש 0.6 ק"ג. הגיוני מאוד לחשוב ש- 0.6 ק"ג יעלה פחות מקילוגרם שלם. נחזק את ההבנה שכפל במספר בין 0 ל- נותן מכפלה קטנה מהגורם גם כשנעסוק בכפל של שברים פשוטים בהמשך. פתיחת השיעור פעילות ו- : בפעילויות אלה התלמידים מתנסים במשימת חקר, לצורך גילוי האם הכפל תמיד מגדיל. לשם הבהרת הנושא כדאי שהתלמידים יבצעו את פעילות, בעמוד 7 )בזוגות(. הם ימיינו תרגילים שבהם המכפלה גדולה מהגורם הראשון ותרגילים שבהם המכפלה קטנה מהגורם הראשון. לאחר מכן חשוב לקיים דיון מתי הכפל מגדיל ומתי הוא מקטין את הגורם הראשון. אפשר להגיע עם התלמידים לסיכום )אפשר להיעזר במסגרת בעמוד 7(: כאשר כופלים גורם אחד )מספר טבעי( בגורם שני גדול מ-, המכפלה גדולה מהגורם הראשון )הכפל "מגדיל"( כשכופלים גורם אחד )טבעי( בגורם שני שהוא מספר בין 0 ל-, המכפלה קטנה מהגורם הראשון )הכפל "מקטין"(. כשכופלים גורם אחד בגורם שני שהוא, המכפלה שווה לגורם הראשון. בפעילות סעיף ג', שואלים אם יש תרגילים בטבלה שהתוצאה שלהם קטנה מכל אחד משני הגורמים שבתרגיל ומה מאפיין אותם. אפשר לראות שהתוצאות בשני התרגילים האחרונים קטנות מכל אחד מהמספרים: = X.ז = X.ח

36 ברוב העיסוק ביחידה זו התלמידים יבדקו אם המכפלה גדולה, קטנה או שווה לגורם הראשון בתרגיל. בהמשך הדיון, כדאי לבדוק את פעילות מהיחידה הקודמת ולדון עם התלמידים לפי הנקודות המוצעות בעמוד 7 למעלה. פעילות : בעזרת הסימנים <, >, = יתרגלו התלמידים את כללי הכפל בגורם גדול מ-, קטן מ- או שווה ל-. פעילות : התלמיד יתרגל כתיבת תרגילי כפל לפי תנאים. רצוי לעבוד בזוגות. פעילות : גם כאן יש שאלה של קניות ומטרתה לעזור לילדים לראות שכופלים גם כשקונים יותר מקילוגרם אחד וגם כשקונים פחות מקילוגרם אחד. כמו כן, זה עוזר לפתח את התובנה שאם קונים יותר מקילוגרם אחד )כופלים במספר גדול מ- ( משלמים יותר ממחיר קילוגרם אחד וכן הלאה. פעילות 6: חשוב לעודד את התלמידים לכתוב את סימני האי שוויון בלי לחשב, אלא בעזרת קישור מספרים בצד אחד של סימן השוויון למספרים בצד השני. אפשר לבקש מהם להתנסות בתרגיל א או להמציא תרגיל דומה. מה אפשר לומר על המספרים משני הצדדים של הסימן המבוקש? לדוגמה, )חילקו אותו ב- 0 ( 0. )כפלו אותו ב- 0 ( אם גורם אחד חילקו ב- 0 וגורם שני כפלו ב- 0, משמע, נשמר השוויון. באותה הדרך נבקש לפתור את שאר אי השיוויונים בפעילות. פעילות 7: בסעיף א מתבקשים התלמידים לבחור במכפלה הקטנה ביותר ובמכפלה הגדולה ביותר וזאת כדי לאמן את התלמידים להפעיל חוש מספרי sense(.)number התלמידים יזהו מתי התוצאה של התרגיל תהיה גדולה או קטנה מהגורם הראשון. הם יכולים בעזרת אומדן לחשוב על סדר גודל התשובה, הם יכולים לחשוב איפה תהיה הנקודה העשרונית בתשובה וכן הלאה. בסעיף ב תרגול כפל מספרים עשרוניים. פעילות - 8 שיעורי בית: תרגול נוסף של כפל מספרים עשרוניים עם דגש על מיקום הנקודה העשרונית. גופים )יחידות 6 ( הפרק עוסק בנושא גופים. הנושא מחולק לשני פרקים גדולים: הפרק הראשון בספר הראשון והפרק השני בספר השלישי. בפרק גופים בספר הראשון בספר זה עוסקים ב- 8 יחידות בהיכרות ובתזכורת של גופים שונים והתכונות שלהם, זיהוי ונתינת שם לגופים, הקשר בין הפריסה של הגוף לגוף הבנוי, היכרות עם הגופים ותכונותיהם: פירמידה, תיבה, קובייה, מנסרה, פאון, גליל וחרוט )שאינם פאונים(. נערכת חזרה על תיבות, כולל נפח ושטח פנים של תיבות. נרחיב בנושא מה קורה לנפח תיבה כשאורך אחת הצלעות או אורך של או צלעות גדל. בפרק זה נעסוק גם בנפח של מנסרה. בספר השני נעסוק בהרחבה בנושא של עיגול ומעגל. ידע זה יידרש בפרק הגופים בספר השלישי כדי לחשב נפחים של גליל וחרוט )ושל כדור(. בפרק גופים בספר השלישי נערוך חזרה על רעיונות על גופים שנלמדו בפרק בספר הראשון, ונעסוק בנפחים של חרוט וגליל, ושל פירמידה ומנסרה )ושל כדור(. כמו כן נעסוק בגופים משוכללים. מושגים שיעלו בפרק הראשון על גופים: פאה היא חלק שטוח בפאון. צלע או מקצוע קטע שבו נפגשות שתי פאות. קודקוד נקודת מפגש בין יותר משני מקצועות. 6

37 פריסה של גוף צורה שאפשר לקפל לגוף הסגור. פאון גוף הבנוי מפאות שהן מצולעים. התיבה, הפירמידה והמנסרה הן כולן פאונים. כך גם הגוף הדומה לגוף שבציור: מנסרה המנסרה היא פאון. יש לה שני בסיסים שהם מצולעים חופפים זה לזה ומקבילים זה לזה, ומעטפת הבנויה ממלבנים. )בפרק זה נעסוק רק במנסרה "ישרה", כזו המורכבת ממלבנים במעטפת(. שם המנסרה נקבע על פי צורת בסיסיה. מנסרה שבסיסיה הם משושים, נקראת "מנסרה משושה". דוגמאות למנסרות: )יש גם מנסרות לא ישרות, שמורכבות ממקביליות במעטפת, אולם באלה לא נעסוק בבית הספר היסודי(. פירמידה הפירמידה היא גוף שבנוי מבסיס שהוא מצולע, וממעטפת המורכבת ממשולשים בעלי קודקוד משותף. שמה של הפירמידה נקבע על פי בסיסה. לדוגמה, פירמידה שהבסיס שלה משולש נקראת "פירמידה משולשת". גליל לגליל יש שני עיגולים חופפים ומקבילים, שהם בסיסים ומעטפת המקיפה אותם. בסיס מעטפת בסיס חרוט החרוט הוא גוף הבנוי מעיגול, מנקודה הנמצאת מחוץ למישור של העיגול )נקראת ראש החרוט( וממעטפת המקיפה אותם. העיגול נקרא "בסיס החרוט". בחרוט יש מרחק קבוע מכל נקודה על מעגל הבסיס עד לקודקוד ולכן אם פורסים את המעטפת במישור מקבלים גזרה של עיגול. מעטפת קודקוד 7 בסיס

38 תיבה: גם הקובייה היא תיבה )תיבה מיוחדת שכל הפאות שלה הן ריבועים(. תיבה תיבה שהיא קובייה חשוב לדבר על קובייה כתיבה ולא להציגן כשני דברים נפרדים. ביחידה הראשונה הילדים יבנו חלק מהפריסות מערכת עזרים ויעבדו עם גופים שיאספו ויביאו מהבית. חשוב לדאוג לכך שיהיה מגוון של קופסאות לפני תחילת הפרק. כדאי לאסוף לא רק קופסאות שהן תיבות, אלא גם קופסאות שוקולד או עוגיות עגולות או בצורות אחרות מעניינות, ואפילו גליל של נייר טואלט )שכמובן, איננו גליל סגור(, קופסת שימורים וכן הלאה. בערכת העזרים יש פריסות לגופים עבור שני הפרקים של הגופים: בספר הראשון ובספר השלישי. בספר השלישי נעסוק במדידות ובחישובים של נפח של פירמידה, מנסרה, חרוט, גליל וכדור. נזדקק בספר השלישי לגופים שבערכת העזרים כדי לבדוק נפח לזוגות של גופים )ונשתמש לשם כך בגופים מערכת הספר הראשון(. לכן, בגלל הצורך להשתמש בהם בהמשך, חשוב לשמור על תקינות הגופים, לא להדביק אותם או לחבר אותם בשדכן )מכלב(, אלא לבנות אותם כנדרש, ובסיום הפעילות לשוב ולפרק ואז לשמור אותם בערכה לקראת הפעילות ביחידה שבספר השלישי. )את החרוט ואת הגליל יש צורך לחבר בעזרת שדכן או נייר דבק. יש שני גופים מכל סוג, אחד לספר הראשון ואחד לספר השלישי(. ואלה הגופים שיש לשמור לספר השלישי: גופים משוכללים ) גופים כאלה ייבנו רק בספר השלישי(. מדובר בגופים העשויים ממחומשים ומהרבה משולשים )גופים (, 0, פירמידה מרובעת )הצבועה בורוד תכלת(, תיבה אדומה 9, קובייה )הצבועה בורוד תכלת(, פירמידה משולשת, מנסרה משולשת, פירמידה מחומשת, מנסרה מחומשת 7 בנוסף, לאסוף גלילים ריקים של נייר טואלט הערות:. אין צורך לשמור את הגליל ואפשר להדביקו ולהשתמש בשדכן או נייר דבק כדי לחזקו )ויש עוד גליל וחרוט לבנייה נוספת בספר השלישי(.. על הפריסה של הקובייה שבה השתמשנו גם בכיתות קודמות רשום "דבק" כדאי לא להדביקה כעת, אלא רק לבנותה ולראות איך היא נראית ומה תכונותיה ואיך נראית הפריסה. כאמור, נזדקק לקובייה גם בחלק שבו נעסוק בגופים משוכללים בספר השלישי וחשוב לשמור את הפריסה של הקובייה.. את החרוט אין צורך לשמור לספר השלישי, נספק שם חרוט נוסף. את החרוט שבונים כאן כדאי לחזק עם שדכן למטה ובאמצע, או עם נייר דבק או עם מדבקות )מערכת העזרים(.. את הגופים הפתוחים שבונים מנייר ביחידה אפשר להדביק עם מדבקות מערכת העזרים או נייר דבק.. רצוי לבנות את הגופים מהפריסות לפי ההמלצות שביחידות השונות בספר, אין צורך לבנות הכול מראש. 8

39 6. במקום לפרק ולבנות מחדש, אפשר להציע לילדים לשמור את הגופים שבנו בקופסת נעליים )או בקופסה אחרת( שהביאו מהבית, ולשמור את הקופסאות בכיתה עם שמות הילדים עליהן עד לזמן למידת הפרק "גופים" )על קופסת הנעליים נרשום כמובן "תיבה"(. יחידה 6 נושא היחידה: היכרות עם גופים באופן אינטואיטיבי. עזרים: ביחידה כל קבוצה תשתמש באוסף של גופים שהתלמידים אספו או שיש בכיתה ונבנה גופים מפריסות מערכת העזרים. בונים את הפירמידה המשולשת, את המנסרה המשולשת ואת החרוט. ביחידה זו התלמידים עובדים ומכירים את הגופים באופן אינטואיטיבי. כיוון שכבר הייתה לתלמידים התנסות בשנים קודמות בגופים, ניתן ורצוי להשתמש במונחים המתמטיים: פאה, צלע )מקצוע(, בסיסים, פאות מקבילות, פאות חופפות )שוות(, פריסה, פירמידה, חרוט, גליל, קובייה, תיבה וכדומה לתיאור הגופים. רצוי במהלך היחידה לתת לתלמידים להתנסות בכל פעילות, לדון ולתאר את התכונות של הגופים. רצוי לקיים דיון בסיום פעילות על פעילויות עד ולהזכיר שמות של גופים. אפשר להיעזר בהצעות לדיון ובציורי הגופים בעמוד 7 למטה ובעמוד 76 למעלה. פעילות : כל קבוצה מקבלת גופים שנאספו לכיתה וכל אחד בונה גופים מהפריסות שבערכת העזרים. פעילות : במהלך המיון, התלמידים יכולים לבוא עם כל מיני מיונים והם אינם צריכים להיות פורמליים. אין כוונה שביחידה זו הילדים ימיינו לפי קבוצות: פירמידות, מנסרות וכדומה, אלא שיתקיים מיון אינטואיטיבי על פי תכונות. דוגמאות למיונים: גופים שיש בהם עיגול וגופים שאין בהם עיגול גופים שיש להם בסיסים לעומת בסיס אחד גופים שאפשר לגלגל אותם גופים שאפשר לבנות אותם אחד על השני גופים שיש להם מצולעים גופים שיש להם מלבנים גופים שכל הפאות שלהם חופפות )שוות( כמו פירמידה משולשת או קובייה. גופים שיש להם "שפיץ" )קודקוד( אחד מעל לבסיס )בחרוט ובפירמידה( גופים שיש בהם משולשים גופים שיש בהם סוגים של מצולעים )פירמידה מרובעת, מנסרה מחומשת( מיון לפי מספר פאות, מקצועות, קודקודים וכן הלאה. 9 פעילות : התלמידים יבחרו כמה גופים ויתארו אותם במחברת. מבקשים מהם גם לצייר את הגוף בערך. לא קל לצייר גוף מרחבי, גם אם רואים אותו. עם זאת, המחקר מראה שאם תלמידים מתנסים בציור ובהתבוננות איך נראה הגוף מכיוונים שונים, הידע שלהם על גופים משתפר וגם הציור משתפר. אפשר גם ללמד את התלמידים קצת טכניקות בציור גופים. פעילות : הגופים זוכים כאן לשמות חביבים ומוטל על התלמידים לנחש לפי מה מיינו את הגופים. אין הכוונה כאן דווקא למיון על פי השמות המקובלים של הגופים, אלא מתייחסים רק לתכונות. לדוגמה: אפשר לומר ש"מדלוקים" הם גופים עגולים או שיש בהם חלק עגול, ואילו גופים שהם "לא מדלוקים" יש בהם רק מצולעים. מי שכבר מכיר את המונח "פאונים" יכול לתאר את ה"לא מדלוקים" כפאונים. אין צורך להקנות את מושג הפאון כאן הוא יטופל ביחידה. לפי שיקול דעת המורה, אפשר גם כאן לדבר על פאונים.

40 בשורה השנייה של הגופים בפעילות, בעמוד 7 למטה, שני הגופים הימניים הם "מדלוקים", כיוון שהם עגולים. בעמוד 7 אנחנו רואים את ה"גולים". אפשר לומר שלכל אחד מהם יש פאות מלבניות. בשורה השנייה, הגופים הימני והשמאלי הם "גולים", כיוון שיש בהם פאות מלבניות. אפשר גם לומר על "גולים" שהם גופים שיש להם בסיסים חופפים ומקבילים הבנויים ממצולעים. כלומר, אפשר לומר על ה"גולים" שהם מנסרות )כולל הגוף השמאלי שמונח על פאה ולא על בסיס(. לפי שיקול דעת המורה, אפשר לבחור אם לדבר על השם והתכונות של מנסרות כבר כאן. נרחיב את הלימוד על מנסרות ביחידה ואפשר לחכות ולהקנות את המונח שם. פעילויות 6-: תרגול זיהוי גופים והיכרות עם שמותיהם בפעילות סעיף ב: לגוף שיש שמות זו הקובייה )יד( שהיא גם תיבה. יחידה 7 נושא היחידה: פירמידה עזרים: פירמידה משולשת שהתלמידים בנו ביחידה הקודמת. בונים בזוגות את הפירמידה המרובעת )בצבע תכלת וורוד( ואת הפירמידה המחומשת מהפריסות שבערכת העזרים. ביחידה זו התלמידים חוקרים את פריסת הפירמידה, ההבדלים בין הפירמידות והקשר שבין:. צורת הבסיס למספר הפאות )מספר הפאות שווה למספר הצלעות במצולע הבסיס(.. הקשר בין צורת הבסיס למספר הקודקודים של הפירמידה. )מספר הקודקודים שווה למספר קודקודי המצולע בבסיס ועוד.(. הקשר בין מצולע הבסיס למספר המקצועות. )מספר צלעות הבסיס כפול.( פעילות :,, כדאי לתת לתלמידים להתנסות בפעילויות אלה בזוג. חשוב לעודד את התלמידים לחקירה עצמאית במהלך השיעור וכך להתכונן לדיון הכיתתי שיתקיים בשיעור הבא. בפעילות : התלמידים גם ימלאו את הטבלה שתיראה כך: שם הפירמידה משולשת מרובעת מחומשת משושה מתומנת )8 צלעות בבסיס( מצולע הבסיס משולש מרובע מחומש משושה מתומן מספר משולשים בפאות הצידיות במעטפת 6 8 מספר קודקודים מספר צלעות יחידה 8 נושא היחידה: דיון והמשך ההיכרות עם הפירמידות. היכרות עם פריסות של גופים והקשר בין הפריסה לגוף, הסתכלות בגופים מכיוונים שונים וזיהוי הצורות השונות שאפשר לראות בגוף. פתיחת השיעור חשוב לדון בגילויים של התלמידים מפעילויות,,, בעמודים 77 78, מהיחידה הקודמת )7(. ניתן להיעזר בעמוד 79 ולסכם את תכונות הפירמידה. פעילות : התלמידים יפעלו בפעילות וכדאי לדון בה. תלמיד שסיים, יכול להתקדם לפעילויות ו- עד לקיום הדיון. הילדים מנתחים באופן אינטואיטיבי את ההבדלים בין פירמידה למנסרה )בלי לעסוק ממש בנושא המנסרה(. 0

41 תשובות אפשריות לסעיף א': * ב' יוצא דופן מבין השלושה כי הוא הגוף היחידי שאין בו פאות משולשות. * א' יוצא דופן מבין השלושה כי מספר הקודקודים שלו הוא אי זוגי. * א' יוצא דופן מבין השלושה כי הוא היחידי בעל בסיס אחד. אילו רק חלק מהתשובות האפשריות לסעיף זה. תשובות אפשריות לסעיף ב': הדומה בין א' ל-ג': המצולעים הבונים אותם הם מאותו הסוג. )משולשים, מלבן ]ב א' יש מלבן שהוא ריבוע[(. השונה בין א' ל-ג': בגוף א' המעטפת היא של משולשים "שנפגשים" בקודקוד משותף. ב-ג' המעטפת היא של מלבנים )המשולשים הם הבסיסים המקבילים והחופפים(. בגוף א' יש רק בסיס אחד )ריבוע(, בגוף ג' יש שני בסיסים חופפים )משולשים(. תשובות אפשריות לסעיף ג': השוואה בין גופים ב' ו-ג'. שני הגופים הם מנסרות. לשניהם יש בסיסים חופפים ומקבילים, ומעטפת של מלבנים. ההבדל ביניהם הוא צורת הבסיסים החופפים )בגוף ב' הבסיסים יכולים להיות ריבועים או מלבנים אחרים תלוי מה מחליטים שהוא בסיס בתיבה; בגוף ג' הבסיסים הם משולשים.( פעילות : מסתכלים על הגופים מכיוונים שונים ועל הפריסות. פעילות : מזהים אילו צורות יש בגופים. שם הגוף תיבה קובייה פירמידה מרובעת פירמידה משולשת פירמידה מחומשת פירמידה משושה האות של המצולעים הנמצאים בו ה ד א ב ג ו פעילות : גוף פריסה פירמידה מרובעת ד גליל ה תיבה ג קובייה ו פירמידה משולשת א פירמידה משושה ב פעילות : פריסה ג'. עבור תלמידים שמתלבטים בין פריסה ב' ל-ג' תמליץ המורה להעתיק את הצורה על דף חלק לגזור את הפריסה מהדף ולקפל אותה למנסרה מרובעת. חשוב לעודד את התלמידים לדמיין איך יראה הגוף אחרי שיקפלו את הפריסה. לדוגמה, את פריסה ג', אפשר לדמיין שהריבוע נשאר לעמוד על השולחן. ונקפל את המשולשים כלפי מעלה לקודקוד אחד. רואים שמקבלים פירמידה מרובעת. גם פריסה ג' היא של פירמידה מרובעת. בפריסה ג' יש רק משולשים ו- צלעות, כך שהשרטוט אינו פריסה.

42 פעילות 6: פריסה ב'. פעילות - 7 שיעורי בית: תשובה נכונה: פריסה ב'. כדאי להמליץ לתלמידים להיעזר בציור, גזירה וקיפול כדי לבדוק איזה שרטוט מתקפל לפירמידה משולשת. אפשר להיעזר בפריסה של פירמידה משולשת )הוורודה( שהיא כמו פריסה ב'. אפשר לקפלה ולראות איך מתקבלת פירמידה משולשת. יחידה 9 נושא היחידה: תכונות הגליל ופריסתו פעילויות : אחרי ההתנסויות בעמוד 8 כדאי לקיים דיון ולסכם בו מהם תכונות הגליל. פעילות : התלמידים יעבדו בזוגות או בקבוצות קטנות ויכינו רשימה של דברים בחיי היום יום שיש להם צורה של גליל. פעילות 6: התלמידים יעבדו בזוגות או קבוצות קטנות. רצוי לדון בפעילות 6 אחרי התנסות התלמידים. תשובות אפשריות לסעיף ג' יכולות להיות מגוונות: גוף א יוצא דופן, כיוון שהוא בנוי כולו ממצולעים. ניתן גם להגיד שיש לו קודקודים ולאחרים אין. תשובות אפשריות ל-ב': ניתן לומר על הגליל שהוא יוצא דופן כיוון שיש לו בסיסים מקבילים וחופפים. תשובות אפשריות ל-ג': ניתן לומר על ג' שהוא יוצא דופן כי יש לו שני בסיסים שאינם חופפים. פעילות 7: התלמידים יתרגלו זיהוי של פריסת גליל. פעילות 8: התלמידים יאספו תמונות של גלילים. כדאי לעודד את התלמידים לצלם תמונות בעצמם כפעילות בכיתה )אם מתארגנים עם מצלמות( או בבית. אפשר להכין תערוכה מהתצלומים שהתלמידים יצלמו ומהתמונות שיאספו. יחידה 0 נושא היחידה: החרוט, תכונות ופריסות פעילויות ו- : עיסוק בחקר תכונות החרוט. רצוי לקיים אחרי פעילויות אלה דיון ובו להזכיר לילדים את המושגים: בסיס, מעטפת וקודקוד של החרוט. אפשר להיעזר בהדגמה בעמוד 8 למטה. פעילות : גוף ב' יוצא דופן משום שהמעטפת שלו אינה מתוחה )הוא אינו חרוט(. פעילות : כדאי לבצע עם התלמידים את פעילות ולהתייחס למושגים רדיוס )מחוג( וגזרה של עיגול. עושים זאת פשוט באמצעות בניית חרוטים בלי בסיסים מעיגולי נייר שמכינים לבד. הפעילות מדגישה מאוד את הפריסה של החרוט שהיא גזרה של עיגול. אפשר לשנות את החרוט בעזרת סגירתו יותר או פחות. כמו כן, יש כאן התנסות בגזרה כל פעם גזרה אחרת של עיגול ובניית חרוט ממנה. פעילות : בפעילות זו נדון בהבדלים בין חרוט לגליל. פעילות 6: זיהוי פריסות של "חרוט פתוח". פעילות 7: זיהוי פריסות של חרוט. ג אינו פריסה. פעילות - 8 שיעורי בית: זיהוי חרוטים.

43 יחידה נושא היחידה: תיבות, נפח ושטח פנים, נפח נוזלים. בפתיחת השיעור )עמוד 88( מוצעת חזרה בדיון כיתתי על חישוב נפח תיבה. כדאי לקרוא עם התלמידים את עמודים ולבצע את המשימות המוצעות. חשוב להסב את תשומת לב התלמידים לחשיבות שבכתיבת יחידות המידה. מתחילים מתזכורת של הבנה משמעותית של דרך חישוב נפח התיבה: כמה קוביות של סמ"ק ניתן לשים בשכבה אחת של קוביות. כמה שכבות יש וכמה קוביות נכנסות לכל התיבה. בהמשך, נזכיר איך מגיעים מרעיון מילוי הקוביות בשכבות לנוסחה מתאימה לחישוב נפח תיבה. הנוסחה מוצגת בשתי דרכים: נפח התיבה הוא שטח בסיס התיבה כפול הגובה. נפח התיבה הוא אורך הבסיס X רוחב הבסיס X גובה מגיעים לכך משום שגובה קובייה בשכבה הוא ס"מ. אם שואלים מה הנפח של שכבה אחת של קוביות )או כמה קוביות נכנסות בשכבה אחת שגובהה ס"מ( זה שווה לשטח הבסיס )אורך בסיס התיבה ]כמה קוביות יכנסו לאורך הבסיס[ כפול רוחב בסיס התיבה [ מספר הקוביות שיכנסו ברוחב הבסיס[(. נפח התיבה יהיה שטח הבסיס כפול הגובה )מאחר שגובה כל שכבה הוא ס"מ(. רצוי להמשיך את הדיון בהדגמה מעמוד 89. בנוסף, לדבר על יחידות של סמ"ק ומ"ק ויחידות של נוזלים ליטרים, מיליליטרים וסמ"ק. פעילות : חזרה על מספר קוביות של סמ"ק בנפח של תיבה. כמו כן, רצוי לחזור על דרך חישוב שטח פנים של תיבה )הדגמה בעמוד 89 למטה(. פעילות ו- : ניתן לבחור בעיות מפעילויות ו-, לתת לילדים לבצע אותן ולדון בהם. פעילויות 9-: התלמידים יכולים לעבוד בפעילויות בספר באופן עצמאי. פעילויות 8 ו- 9 : ילדים מתקשים או אטיים רשאים לא לפתור את פעילויות 8 ו- 9 או לעשותם עם מחשבון. פעילות 8: תשובה לסעיף א': הסירופ יספיק ל- 0 ימים. = : תשובה לסעיף ב': למציאת נפח של הקופסה נעשה =. X. X נפח התיבה הוא סמ"ק. סמ"ק = מ"ל כלומר סמ"ק = מ"ל. תשובה: יתכן שיש בבקבוק 0 מ"ל. פעילות 9: המידות הרשומות על התיבות של קופסאות החלב והמיץ נמדדו מקופסאות קיימות במציאות. על כל הקופסאות האלה רשום שיש ליטר נוזל בתוכם. יחד עם זאת בחישוב בחלק מהקופסאות מקבלים שיש פחות נוזל מ- ליטר. יתכן שההבדל נובע מאי דיוק במדידת הקופסה. נתנו כאן קריטריון של עד סמ"ק שאם כמות הנוזל מאד קרובה ל-,000 סמ"ק ) ליטר( שאפשר לומר שזה כמעט ליטר ויתכן שההפרש נובע מטעות קטנה במדידה. תשובות: א. = X 7 X הקופסה מכילה פחות מ- ליטר חלב. ב. = X 6 X הקופסה יכולה להכיל ליטר חלב סויה. ג. = X 6 X

44 אין בקופסה,000 סמ"ק ) ליטר( מיץ תפוזים. יחד עם זאת זה קרוב ונמצא בקריטריון שזה קרוב פחות מ- סמ"ק ל- ליטר. לכן אפשר לומר שזה מאד קרוב ויתכן שהמדידה שלנו לא מדויקת )חסר סמ"ק( ויש כמעט ליטר בקופסה. ד. 076.= 6 9. X 9. X הקופסה יכולה להכיל ליטר חלב אורז. הצעות לשידרוג השאלות: לתלמידים מתעניינים או לאלה שמסיימים מהר או מחפשים עוד אתגר, אפשר לתת את השאלות האלה: א. תלמידי כיתה ו עוזרים בבניית פינת חי בבית הספר. הם הכינו כלוב לתוכיים בצורת תיבה. ידוע שאורך צלע אחת של הרצפה הוא מ', הגובה מ' והנפח הוא 90 מ"ק. חשבו את אורך הצלע השנייה של הרצפה. תארו את דרך הפתרון. ב. התלמידים קיבלו אקווריום לדגים שצורתו תיבה. ידוע שבסיס התיבה הוא ריבוע. גובה האקווריום 0 ס"מ וניתן להכניס בו 0 ליטר. מה מידות צלעות הבסיס? יחידה נושא היחידה: יחידת בחירה, פעילות חקר: מה קורה לנפח התיבה כאשר מגדילים את אורך הצלעות? אפשר לבצע את היחידה עם כל התלמידים יש כאן אימון טוב לחישובים של תיבה. עם זאת, אפשר שתלמידים מתקשים לא יעשו יחידה זו, ובמקום זאת, יחזרו על החומר שלמדו בכיתה עד כאן, וישלימו במקומות שלא סיימו, או בפעילויות שלא היו ברורות להם. בשיעור הזה, לאחר הסבר איך פועלים בשיעור ואחרי שהתלמידים מבינים ומתחילים לעבוד, המורה יכול/ה להתפנות ולשבת עם תלמידים מתקשים ולבדוק שהחומר שנלמד עד כאן בנושא הגופים מובן להם. אפשר לתת להם בשיעור זה גם תרגול פשוט יותר בחישוב נפחים של תיבות ואת פעילות. פעילות : התלמידים יפעלו בפעילות )עמוד 9 ו- 9 למעלה(, ומומלץ לקיים בסיומה דיון ולהסיק מסקנות. ניתן לחזור באמצעות המשימה על נושא החזקות. בפעילות מגדילים מימד אחד פי ואחר כך מוסיפים מימד נוסף הגדל פי עד להגדלת שלושת המימדים. המסקנה מהיחידה: כשנגדיל כל אחת מהצלעות פי, )אורך, רוחב וגובה( נפח התיבה יגדל פי ( 8.) פעילות : פועלים בדרך דומה לפעילות. בפעילות כל אורך צלע גדל כל פעם פי, ובדקו מה קורה לנפח; בפעילות כל אורך צלע גדל כל פעם פי 0. פעילות : מגדילים פי את האורכים של שלושת המימדים בקובייה. פעילות - שיעורי בית: מציאת נפח תיבה ושטח פנים של תיבה )הפעילות מתאימה לכולם(. יחידה נושא היחידה: המנסרה פתיחת היחידה: כדאי לתת לתלמידים להתנסות בפעילות )עמוד 97( ולדון בתכונות מנסרה. אפשר להיעזר בהדגמה בעמוד 97 למטה ובעמוד 98 למעלה. לאחר מכן התלמידים יפעלו בפעילות ורצוי לדון בקשרים בין מספר הפאות למספר צלעות הבסיס והקודקודים. אפשר לראות קשרים אלה: מספר הפאות שווה למספר צלעות הבסיס ועוד. מספר המקצועות הוא פי ממספר צלעות מצולע הבסיס.

45 מספר הקודקודים הוא פי ממספר צלעות מצולע הבסיס. מספר פאות המעטפת הוא ממספר המקצועות של המנסרה. ממספר הקודקודים. מספר פאות המעטפת הוא פעילות : תרגול זיהוי מנסרות. פעילות : חזרה על שיום המנסרות. פעילות : חזרה על תכונות המנסרה. פעילות 6: זיהוי פריסות של מנסרה. תשובות: א', ב', ג', פעילות 7: התאמת שם מנסרה לשרטוט שלה ולפריסה שלה. תשובות: מנסרה מרובעת מנסרה משולשת מנסרה מחומשת שם שרטוט א' ג' ב' פריסה מנסרה משושה ד' פעילות 8: ניתן לומר על גוף א' שהוא יוצא דופן היות שהבסיס שלו מרובע )ב-ב המשולש הוא הבסיס(. על גוף ב' ניתן לומר שהוא יוצא דופן, כי הוא מנסרה והיתר פירמידות. על גוף ג' ניתן לומר שהוא יוצא דופן, כי הוא גוף משוכלל )ארבעון(. ציוד לשיעור הבא: כוס חד פעמית, חול או אורז )או שעועית( שהתלמידים התבקשו להביא לכיתה או הובאו על ידי המורה. הם ישמשו את התלמידים בפעילויות 7 6, ביחידה הבאה לשם מדידה ישירה של נפח של גופים. אפשר שכל קבוצה של תלמידים תדאג לציוד לקבוצה. אחד יביא כמה כוסות חד פעמיות, תלמיד אחר יביא אורז או שעועית או ידאג לחול, תלמיד שלישי יביא מגש או תבנית )או קערה( לפעול עליה. חשוב גם שיהיו מספריים, ונייר דבק או מדבקות. יחידה נושא היחידה: חישוב נפח מנסרה נפח המנסרה יילמד בדרך דומה לזה שנלמד נפח תיבה. נפח של שכבה אחת, ומספר שכבות. גובה כל שכבה יהיה ס"מ. לכן נפח המנסרה מחושב בדרך הבאה: שטח בסיס המנסרה X גובה המנסרה. )כי נפח של שכבה אחת יהיה שטח הבסיס כפול ס"מ(. כאשר התלמידים יעבדו עם מנסרות שהבסיס שלהן משולש או ריבוע או מלבן הם יכולים לחשב בעצמם את שטח הבסיס. במקרים אחרים, כאשר הבסיסים יהיו שונים, שטח הבסיס יהיה נתון להם. )כדאי להזכיר לילדים כיצד מחשבים שטח משולש ושטח משולש ישר זווית.( שטח משולש = אורך צלע X גובה לאותה צלע שטח משולש ישר זווית = ניצב X ניצב נפח המנסרה = שטח בסיס המנסרה X גובה המנסרה

46 פתיחת השיעור: לימוד חישוב נפח מנסרה מתבסס על הידע שרכשו התלמידים לחישוב נפח תיבה, שהיא מנסרה מלבנית. ניתן להסביר בדיון כיתתי, תוך היעזרות בעמוד 00, ולתת להם להתנסות בפעילות. לאחר מכן כדאי להזכיר לילדים כיצד מחשבים שטח משולש ושטח משולש ישר זווית לפני פעילויות ו- המתרגלות זאת. אפשר להיעזר בסיכום בעמוד 0 פעילות : תרגול מציאת נפח של מנסרה. פעילות :, תרגול מציאת נפח של מנסרה משולשת. פעילות : פתרונות שטח בסיס המנסרה סמ"ר 0 סמ"ר סמ"ר 6 סמ"ר גובה המנסרה ס"מ ס"מ ס"מ 7 ס"מ נפח המנסרה 7 סמ"ק 0 סמ"ק 60 סמ"ק סמ"ק פעילויות 6 ו- 7 : בפעילות זו התלמידים משווים נפח של גופים ללא בסיסים שהם בונים בהתחלה. הם משווים את הנפח באמצעות מדידה באמצעות אמצעי מתווך )כמות אורז או חול(, ובהמשך בדרך של חישוב )סעיף ג(. רצוי לעבוד בזוגות או בקבוצות קטנות של תלמידים. התלמידים גוזרים את המעטפת של קובייה, של תיבה ושל מנסרה משולשת מדף שבערכת העזרים. מקפלים את המעטפת לפי הקווים ומדביקים עם נייר דבק או מדבקות )מערכת העזרים(. ממלאים כוס באורז, או בחול או בגרגרים אחרים )כגון שעועית( ובודקים לאיזו מעטפת של גוף נכנסת כמות גדולה יותר, כלומר למי יש נפח גדול יותר. שימו לב ששטח בסיס המנסרה ניתן והוא רשום ליד המנסרה המשולשת )7.89 סמ"ר(. יש צורך לכפול במספר עשרוני כאן. לפני ביצוע הפעילות אפשר לשאול את התלמידים אם יש להם הצעה כיצד להשוות את הנפחים בין שלושת הגופים. אחרי הפעילות אפשר לשוחח על מה מצאו התלמידים. כמו כן, מומלץ להתייחס בדיון להשוואה בין שטח הפנים של שלושת הגופים לנפח )לגופים שווי שטח פנים אין בהכרח נפח שווה.( גופים אלה הם שווי שטח פנים מכיוון שהם בנויים מרצועות שוות של נייר )חופפות(. פעילות 7: תשובות חישוב א. קובייה X X = תשובה: סמ"ק ב. תיבה 7 X X = 0 תשובה: 0 סמ"ק ג. מנסרה משולשת 8 X 6 X = 0 תשובה: 0 סמ"ק פעילות - 8 שיעורי בית: תרגול מציאת שטח של מנסרה. 6

47 יחידה נושא היחידה: פאונים עזרים: לפעילות 8 משחק גופים, יש לקחת את לוח המשחק מערכת העזרים ואת עמוד הקלפים של גופים מערכת העזרים )צריך לגזור אותו(. כמו כן, יש לקחת קוביית משחק ו- ניצבים )שמסמלים מיקום כל שחקן(, ניצב לכל שחקן )מומלץ לקחת מהסביבה הקרובה(. כדאי שהתלמידים יבצעו את פעילויות ו- ורצוי לקיים דיון בפעילויות בהתאם למוצע בעמוד 0 למטה. בפעילות זו ניתן שם למושג "פאון", והתלמידים יחקרו ויאפיינו את המושג הזה. בהמשך, התלמידים יכולים לעבוד באופן עצמאי. פעילות : התאמה בין שם הגוף, תיאורו במילים, האם הוא פאון או לא ושרטוט הגוף )מתחת לטבלה(. פעילות : פעילות בזוג. מציאת יוצא הדופן מבין גופים. תשובות אפשריות: א' היחידי שבנוי גם מפאות מלבניות וגם מפאות משולשות. ב' היחידי שבנוי מצלעות מלבניות בשתי מידות. ג' היחידי שבנוי רק ממשולשים. ד' היחידי שבנוי מריבועים שווים. פעילות : התאמת פריסה לגוף. תשובה: הפריסה של מנסרה משולשת )ב(. פעילות 6: זיהוי פריסה של תיבה. פעילות 7: כדאי לבדוק עם התלמידים פעילות זו שהיא אתגרית יותר, ורצוי שהתלמידים יעסקו בה בזוגות. להלן, מוצגת פעילות 7 עם תשובות בכתב מודגש בסוגריים, לנוחיות המורה )הפתרונות מוצגים באותיות שאחרי השאלה ובסוגריים כתבנו את סוג הגוף או הגופים המתאימים(: פעילות 7: הביטו בסרטוטים הבאים וגלו: מי אנחנו? )לכמה מהחידות יש יותר מתשובה אחת נכונה (. א. אני בנוי מארבע פאות, ט )פירמידה משולשת( ב. יש לי שני בסיסים עגולים: א, ה, ו )גליל וחרוט קטום )חתוך(( ג. יש לי שלושה זוגות של פאות מלבניות בגדלים שונים. ד )תיבה( ד. אני פירמידה, אך איני בנויה רק ממשולשים, ב )פירמידה מרובעת( ה. יש לי בסיס, קודקוד אחד ומעטפת. אין לי צלעות. ג, יא )חרוט( ו. יש לי 9 צלעות. יב )מנסרה משולשת( ז. יש לי הכי הרבה קודקודים מכל הגופים שבציור. ח )מנסרה משושה( ח. אין לי פאות, קודקודים, או מקצועות )צלעות(. י )כדור( ט. יש לי מקצועות וכל הפאות שלי ריבועים ז )קובייה( י. יש לי פאות משולשות אך איני פירמידה, יב )מנסרה משולשת( יא. אפשר לבנות מ- כמוני אחד גדול כמוני. ד, ז )תיבה, קובייה( א, ה )גליל(, ח )מנסרה משושה(, יב )מנסרה משולשת( זו אפשרות שעשויה להיות קשה לתלמידים לגלות, הם צריכים לחשוב על כיוון אחר למנסרה, כשהיא "עומדת" על הבסיס. בציור המנסרה מונחת על אחת מפאות המעטפת ויש כאן צורך לשנות את זווית הראייה. 7 הערות: בהמשך הילדים חוזרים על הנלמד בעזרת הפעילויות. פעילות 8: משחק: "גופים מטיילים." גוזרים את הקלפים של הגופים מערכת העזרים ולוקחים את קרטון המסלול למשחק הגופים וקוביית משחק. תלמידים משחקים במשחק )כדאי לעקוב אחרי ההוראות(. המשחק מסתיים כשתלמיד מגיע לסוף המסלול.

48 פעילות 9: סעיף ג: כדאי לתת פעילות זו לתלמידים שיכולים להתמודד עם אתגר. בסעיף זה הילדים מחשבים את נפח המים לפני הכנסת האבן )0 סמ"ק(. לאחר מכן הם מחשבים את הנפח החדש לאחר הכנסת האבן )00 סמ"ק(, ולכן נפח האבן הוא 0 סמ"ק )או חישוב נפח המים בחלק שעלה לעומת קודם ביחידות סמ"ק: = 0 0 (. x אפשר גם להיעזר בהסבר ובמידע על נפח גופים לא חלולים ועל גילוי ארכימדס בספר של "פשוט חשבון" כיתה ג, חלק שלישי, עמודים. אפשר גם להיעזר באתרי האינטרנט כדי להרחיב בנושא של גילויי ארכימדס לגבי מדידת נפח של גוף לא חלול. אפשר למצוא על ארכימדס ופעלו גם בכמה ספרים: אונגרו ש. 989, תולדות המתמטיקה, חלק א, הוצאת משרד הביטחון. ארבל ב. 006, קיצור תולדות המתמטיקה, מכון מופת. ברגמיני ד. 970, מתמטיקה, הספריה המדעית של לייף. גזית א. 00, מצאתי על אנשים שאהבו לחשוב ולחשב, הוצאת גייסט דותן פ. 00, המעלית של איינשטיין, מדענים ששינו את העולם, הוצאת תמר פעילות 0: תשובות. לגוף א' ו-ב' יש 9 פאות.. לגוף א' ו-ב' יש 9 קודקודים.. לגוף א' ו-ב' יש 6 צלעות. שברים פשוטים )יחידות 6 9( הפרק כולל שני חלקים: חזרה על שברים ושבר כמנת חילוק )יחידות 6 ( כפל שברים )יחידות 9( יחידה 6 נושא היחידה: חזרה: מיון שברים, הפיכת מספר מעורב לשבר והפיכת שבר גדול מ- למספר מעורב, שבר כמנת חילוק. פתיחת השיעור פעילות : בתחילת השיעור, או לאחר שהילדים יבצעו בזוגות את פעילות, נדון ונזכיר את המושגים שבעמוד )מספר מעורב, שבר גדול / קטן מ-, שבר שווה ל- (. פעילות : תרגום ציור לשבר מעורב או שבר גדול מ-. פעילות : התלמידים יפתרו את השאלות בעצמם או בזוגות. בסיום, ניתן לקיים דיון על השאלות, ובמיוחד על שאלה ב. התלמידים ידווחו איך הם פתרו את השאלות. ניתן להיעזר לצורך הדיון גם בעמודים. התלמידים יכולים להמשיך לפעילויות הבאות עד שכל התלמידים יסיימו את פעילות, ויוכלו לקיים את הדיון על פעילות. התלמידים יפתרו את השאלות בכל דרך מתאימה, ורבים מהם יציירו ויחלקו. )מומלץ למורה שלפני עבודת התלמידים בכיתה יעיין בדיון בעמודים ובדרכי הפתרון המוצעות שם על ידי תלמידים כדי לקבל רעיונות לדרכים שתלמידים עשויים לפתור בהן ומידע איך לכוון תלמידים בזמן הפתרון, אם צריך.( בדיון בעמוד נראה כי שלשת התלמידים פתרו את התרגיל :6 בדרכים שונות. כמובן, יש להניח שאותם רעיונות יעלו גם בדיווח של ילדי הכיתה. אפשר לקיים את הדיון רק בעקבות הרעיונות שדווחו 8

49 9 על ידי התלמידים. אפשר גם להתייחס לפתרונות בספר ולשאלות הדיון בעקבות הפתרונות )עמוד למטה ועמוד (. להלן הפתרונות המוצעים )עמ' (: אמיר הגיע לתשובה כלומר, כל ילד קיבל חצי חבילה ועוד שישית חבילה. אמיר מצא + 6 דרך לחלק את הפלסטלינה באופן שווה והתשובה שלו הניתנת כתרגיל נכונה ומתאימה. אין צורך לבקש ממנו לבטא את התרגיל בשבר אחד. עם זאת, בדיון הכיתתי, אחרי שאחד הילדים שפתר כך או אחרי שמציגים את הפתרון של אמיר מהספר, אפשר לבקש מהתלמידים למצוא שבר אחד שמתאים במקום התרגיל הזה. הם עשויים לפתור בעזרת מציאת מכנה משותף וזו הזדמנות לחזור על כך: ומכאן = = 6 שרית חילקה כל חבילה ל- 6 חלקים שווים וכל ילד קיבל שישית מכל חבילה, ויחד קיבל שישיות של חבילה אחת. אורית השתמשה ברעיונות המבוססים על יחס כדי לפתור את השאלה. המחקר מראה כי כשנתונים בשאלה כזו מספרים כמו לחלק ל- 6, הם עשויים לעודד את התלמידים לתת פתרון המבוסס על יחס. כאן אורית מחלקת כל שתי חבילות פלסטלינה ל- ילדים. כלומר, היא מבינה שהחלוקה של חבילות ל- ילדים תהיה שווה גם כשתבוא לחלק את שתי החבילות שנותרו ל- הילדים הנותרים, כך שכל ילד יקבל כמות שווה. התשובה של אורית, שכל ילד יקבל שלישים של חבילת הפלסטלינה, מזמנת גם דיון בשאלה האם בחלוקה שעשתה שרית שבה כל ילד קיבל שישיות של החבילה ובחלוקה של אורית שבה כל ילד קיבל שלישים של חבילה קיבל כל ילד את אותה הכמות של הפלסטלינה )השאלות לדיון מוצעות בעמוד באמצע; השאלה שנשאלת שם כללית יותר: האם בכל אחת מהחלוקות קיבל כל ילד את אותה כמות(. ההשוואה בין התוצאה של אורית לתוצאה של שרית בשאלה זו, מזמנת את הדיון על שברים. ההשוואה יכולה להתבצע באופן ישיר על ידי הציורים רואים לדוגמה בציור של שווים: 6 = שרית ש- שישיות שוות שני שלישים. כמו כן ניתן להזכיר את נושא הרחבת השברים ולהראות שבמקרה זה גורם ההרחבה הוא. יתכן שהתלמידים יעלו את הרעיון בפעילות זו של השבר כמנת חילוק ויבחינו בקשר: = 6 6. : אם הרעיון יעלה, מהתלמידים כמובן, זו תהיה הזדמנות יפה לעסוק בו. אם הרעיון אינו מגיע מהתלמידים, אנחנו ממליצים לחכות איתו עד שנעסוק בו בהרחבה בעוד יחידות מספר )ביחידה (; חשוב לא להראות רעיון זה מהר מדי, כדי שהתלמידים עדיין יוכלו להתנסות במגוון דרכים בפתרון של שאלות מסוג זה, ולהמשיך לפתח תובנה רחבה יותר בנושא זה. התלמידים יוכלו לעבוד עצמאית בשאר הפעילויות ביחידה זו, שעוסקות בעיקר בתרגול של מספרים מעורבים ומעבר לשברים גדולים מ-. פעילות : הפיכה משבר גדול מ- למספר מעורב. פעילות : ניסוח התובנה בדבר סוגי השברים השונים. ניסוח איך יודעים לפי המונה והמכנה אם שבר גדול מ-, קטן מ- או שווה ל-. פעילות 6: הפיכת מספר מעורב לשבר גדול מ-. פעילות - 7 שיעורי בית: מיון שברים לפי כותרות.

50 יחידה 7 נושא היחידה: חזרה על נושא השברים על ציר המספרים. כמו כן נעסוק בשברים כחלק משלם )שטח( ושבר כמנת חילוק. פתיחת השיעור הציוד הנדרש: דף ציר מספרים מערכת העזרים כדאי לקרוא עם הילדים את התזכורת בעמוד לגבי איך בנוי ציר מספרים עם שברים ולבקש מהם לבצע ביחד את פעילות, סעיף ב. לאחר מכן לתת להם לפתור בעצמם את שאר הפעילות. פעילות : התלמידים יפתרו את השאלות ויתעדו את דרך עבודתם. המספרים בשאלות הם כאלה שידוע שהם מעודדים גם פתרונות של יחס מצד התלמידים. בשאלה ד ניתן גם מספר גדול לחלק למספר קטן ) לחלק ל- 6 (, דבר שמביא לסוג אחר של פתרונות ולהרחבת התובנה בסוג שאלות כזה. דיון כיתתי: לאחר סיום העבודה כדאי לקיים דיון. )אם יש תלמידים שסיימו מהר את הפעילות, ניתן לתת להם להמשיך לפעילויות.(, בדיון ניתן לבחור שתיים או יותר שאלות מפעילות ולדון בהן. כמה תלמידים ידווחו לשאר תלמידי הכיתה איך הם פתרו את השאלות. כדאי להתייחס לשאלה ד המזמנת חילוק עם שארית. בסעיף זה הילדים מתבקשים לחלק )שארית ( = 6. : התלמידים התבקשו לחלק גם את השארית ולתת מספר מעורב כתשובה: = 6 6 : )כל ילד יכול לפתור את תרגיל החילוק בדרכו(, ולהגיע לתוצאה = 6. : 6 פעילות : תרגול ציור לשבר גדול מ- ולמספר מעורב. פעילות : שיבוץ שברים על ציר המספרים. פעילות : פעילות זו אתגרית ורצוי לעבוד בזוגות. להלן התשובה לסעיף א' עמוד : יאיר אכל את חלק א. אבי אכל את חלק ב, תמר אכלה את חלק ג, שי אכלה את חלק ד ושקד אכלה את חלק ה. להלן התשובה לסעיף ב' עמוד : * יאיר אכל יותר מרבע נכון * יאיר ואבי אכלו בין חצי לשלושת רבעי עוגה נכון * שלוש הבנות אכלו יחד בין רבע לחצי עוגה נכון * יאיר ואבי אכלו יחד חצי עוגה לא נכון * תמר ושי אכלו יותר מרבע עוגה לא נכון פעילות 6: השאלות המסומנות כאתגר דורשות רישום של חיבור שני שברים ומציאת הסכום, כגון: בסעיף ח' צבועים חמישית ועוד חצי מחמישית או עשירית. צריך לחבר חמישית ועוד עשירית. אפשר לעשות זאת בדרכים שונות, על ידי הרחבה ומכנה משותף, או בציור על ידי העברת קו באמצע לאורך המלבן, שיחלק את כל המלבן לעשיריות. כך יהיה קל לראות שצבועות עשיריות ועוד עשירית. פעילות 7: שיבוץ שברים על ציר המספרים. 0

51 יחידה 8 נושא היחידה: חזרה על צמצום והרחבת שברים פתיחת השיעור כדאי לחזור על רעיונות של הרחבה וצמצום שברים. אפשר להיעזר בהדגמה בעמוד 7 במידת הצורך. חשוב שוב להדגיש את רעיון ההרחבה והצמצום לא רק מההיבט הטכני של כפל המונה והמכנה באותו מספר, אלא גם את העקרונות שעומדים מאחורי המושג. חשוב שוב להבהיר שעל ידי כפל או חילוק של המונה או המכנה באותו מספר, השבר אינו משתנה, ומקבלים שבר שווה לו. כמו כן, חשוב להראות שוב בציור, כפי שמוצג בעמוד 7, את משמעות ההרחבה. בציור ב יש פי חלקים ) במקום שיש בציור א(. בציור ב יש פי חלקים צבועים מאשר בציור א ) חלקים במקום חלק אחד בציור א(. השטח הצבוע שווה בשני הציורים. כלומר החלק הצבוע מבטא חלק שווה בשני הציורים,. ציור אחד רק חולק ליותר חלקים ונצבעו יותר חלקים ממנו. שווה ל- פעילויות :,, התלמידים יתרגלו הרחבה וצמצום באופן עצמאי. פעילות : כדאי לתת לילדים להתמודד באופן עצמאי עם השאלות בסעיף א ג. ד אתגרי יותר. סעיף א: אם יש צורך בתיווך, אפשר לשאול את התלמידים: כמה קבוצות שוות של יש ב- 0? היות שיש 6 קבוצות כל קבוצה מהווה. ניתן גם להראות לילדים דרך כתיבה נוספת ל- 6 מתוך 0 ולרשום כשבר. 0 כשנצמצם נקבל. 6 סעיף ד השאלה )עמוד 9 למעלה( מזמנת השוואת שברים על ידי הרחבה או צמצום או מציאת מכנה משותף. השאלה בנויה משני חלקים. בחלק הראשון של השאלה שואלים אם דנה מהקליעות של כל אחת לסל. אפשר ורונית קלעו את אותו החלק של קליעות. משווים בין ובין 8 כאן לפתור בעזרת הרחבה וצמצום: אם כפלנו את שבמכנה ב- כדי לקבל, נכפול גם את מהקליעות שלה, היא הייתה קולעת במונה ב- ונקבל 9. כלומר, אם רונית הייתה קולעת 9 מהקליעות שלה, היא קלעה חלק קטן יותר את אותו חלק כמו רונית. מכיוון שהיא קלעה רק 8 מהחלק שקלעה דנה. )כמובן, אפשר להשוות את השברים גם על ידי מכנה משותף(. פעילות : מציאת זוגות שברים שווים. פעילות 6: תרגול במיון שברים ששווים למספר שלם, גדולים מ- או קטנים מ-. פעילויות 8: 7, המשך התרגול בצמצום ובהרחבה כהצעה לשיעורי בית. מומלץ: להכין מרכזון ליחידה. הצעה לכך בנספח 7.

52 יחידה 9 נושא היחידה: חזרה על צמצום והרחבת שברים פתיחת השיעור ביחידה זו יש חזרה על חיבור וחיסור שברים פשוטים על ידי מציאת מכנה משותף. כדאי לנהל דיון כיתתי עם הרעיונות המוצגים בדיון בעמודים 0 למעלה. דיון זה חשוב ביותר. בודקים עם התלמידים דרכים למציאת מכנה משותף ורואים את סוגי התרגילים. מתי יש צורך להחליף שבר אחד כדי להגיע למכנה משותף לשני השברים בסכום )לבצע הרחבה או צמצום(, מתי יש צורך להחליף את שני השברים ומתי אין צורך להחליף. יש התייחסות למציאת מכנה משותף לשברים שיש להם מכנים קרובים, כמו 0,, ומציאת מכנה משותף לשברים שהמכנים שלהם זרים, דוגמת, ו- 7 או לשברים עם מכנים שיש להם גורם משותף כמו 6 ו- 9. כמובן, יש שברים עם מכנים שווים שאין צורך לשנות אף שבר. לצורך מציאת המכנה המשותף מוצעות לתלמידים דרכים: מציאת כפולות של המכנים, ומציאת כפולה משותפת. ניסיון לצמצם שברים כמידת האפשר כדי להגיע למכנים קרובים או זהים. הכפלת המכנים. כדאי להתייחס לשאלה מציאת מכנה משותף לתרגיל בעמוד ולהסביר מדוע לתרגיל זה = התאימו שלוש הדרכים )רמז לשניהם גורם משותף (. ניתן לדון בדרכים השונות ולהיעזר בעמודים 0 לצורך הדגמה. ההשוואה בין סוגי התרגילים המוצגים בתחילת עמוד 0, חוזרת ומזכירה לתלמידים שבכל המצבים מחפשים שיהיה אותו המכנה לשני השברים )מכנה משותף( כדי שאפשר יהיה לחבר חלקים מאותו סוג )עשיריות עם עשיריות וכן הלאה(. בתרגיל שבו יש מכנים קרובים כמו 0 ו-, מספיק להחליף את אחד המכנים: נרחיב את חמישית לעשיריות. במקום המכנה, נרשום מכנה 0. בתרגילים אחרים צריך להחליף את שני המכנים במכנה שאפשר להרחיב אליו )או לצמצם( את שני השברים. חשוב להדגיש שתמיד ניתן למצוא מכנה משותף על ידי כפל של שני המכנים, ולא תמיד המכנה המשותף הזה יהיה המכנה הקטן ביותר. התלמידים יכולים לעבוד באופן עצמאי בשאר פעילויות היחידה שמתרגלות חיבור וחיסור שברים ומספרים מעורבים במצבים שבהם נדרש למצוא מכנה משותף. תלוי כמה זמן יערך הדיון. אם עדין יש מספיק זמן, אפשר לתת לילדים להתמודד עם פתרון שתי שאלות. אם הדיון לקח זמן רב אפשר לעבור ישר לתרגול מציאת מכנה משותף במצבים שונים בפעילויות בספר. שאלה אחת אחת מזמנת מציאת מכנה משותף של שברים קרובים, והשנייה של מכנים זרים. לדוגמה: א. נירה קנתה ק"ג תפוחים ו- 7 8 ק"ג בננות. כמה ק"ג פירות קנתה נירה בסך הכול? ב. קבוצת קוטפים קטפה תפוחים. בבוקר קטפה מחלקת התפוחים. בשעות הצהריים קטפה 9 מחלקת התפוחים. כמה נשאר להם לקטוף אחר הצהריים כדי לסיים את קטיף התפוחים בחלקה?

53 הערה: פעילות בעמוד מזמנת פריטה. קיימות שתי אפשרויות, האחת לתת לילדים להתמודד ללא תזכורת והשנייה, להיעזר בתזכורת בעמוד, בטרם הילדים יתמודדו עם פתרון הבעיה. פעילויות :,, חזרה על חיבור וחיסור שברים עם מכנה משותף. פעילויות :, שתי שאלות מילוליות המזמנות חיבור וחיסור שברים עם מכנה משותף. )ראו הערה לפעילות בפתיחת השיעור( פעילויות - 7 6, שיעורי בית: תרגול נוסף בחיבור וחיסור שברים עם מכנה משותף. יחידה 0 נושא היחידה: חזרה על השוואת שברים, שבר כמנת חילוק. אפשר להכין מרכזון לקראת יחידה פעילות 6 מנספח 6 מעמוד 78. פתיחת השיעור פעילות : כדאי לתת לתלמידים להתנסות בפעילות ולאחר מכן לקיים עליה דיון על פי המוצע בהמשך עמוד. 8 =, נימוק: < דוגמאות לנימוקים: סעיף ג < 8 נימוק: < >, סעיף ד < בדרך כלל ברור לתלמידים מדוע גדול פעילות : בפעילות זו בעמוד > > אך קשה להם למצוא שבר ביניהם. אם יש צורך בתיווך נציע, היות שהם יודעים ש = מ- ואז יהיה להם קל יותר למצוא שבר 8 = 6 לתלמידים להרחיב את השברים. לדוגמה, = 8 ביניהם. ככל שהתלמידים ירחיבו את השברים למכנים שבהם המספר גדול יותר, כך יוכלו למצוא 6 =, 9 יותר שברים בין שני השברים המוצעים. לדוגמה, = פעילות : אחרי שהתלמידים יסיימו את פעילות נקיים דיון כיתתי ובו נדון בשאלה. )ילד שסיים להתמודד עם פתרון הבעיה יכול להמשיך לפעילויות., עד למועד הדיון( תלמידים יציגו איך פתרו את השאלות. כדאי לבקש מתלמידים שפתרו בדרכים שונות להציג את הפתרון שלהם לפני הכיתה. שתי החלוקות הראשונות: בריסטולים ל- 6 תלמידים ו- 6 בריסטולים ל- 0 תלמידים מובילות למגוון גדול יותר של דרכי פתרון, יהיו תלמידים שכבר יראו מיד וירשמו את השבר כמנת חילוק, כגון שישיות לקבוצה א', 6 עשיריות לקבוצה ב' וכו'. בסעיף ב' נתעכב על הדרכים שיכולות לעזור בהשוואת שלושת השברים שהתקבלו בסעיף א'. פעילויות 6:,, עוסקות בהשוואת שברים, סידור שברים מהקטן לגדול ומציאת שבר בין שני שברים נתונים. התלמידים יכולים לעבוד בהן עצמאית. פעילות - 7 שיעורי בית: תרגול נוסף בהשוואת שברים.

54 יחידה נושא היחידה: חזרה על שבר כמנת חילוק פתיחת השיעור: כדאי לתת לילדים לבצע את פעילות ולאחר מכן לקיים דיון לפי המוצע בעמוד 6. כדאי להתייחס לתרגילים שמתאימים לשאלות על מנת לחזק את משמעות השבר גם כדרך נוספת להצגת מספר כמנת שני מספרים טבעיים. פעילות : כאן צריך להגיע לכך שכמות שווה של צבע תספיק למספר שונה של פסי גדר. רצוי לדבר עם התלמידים איך יכול להיות מצב כזה במציאות. אפשר לדבר על צבע שיש לו מרקם שונה רשמנו שקנו צבע מחברות שונות. כך שיתכן שסוג צבע אחד מספיק לצבוע משטח גדול יותר. לפעמים, אם הצבע בהיר או כהה הוא מכסה שטח אחר. פעילות : חזרה, צביעת חלק מכל צורה בהתאם לשבר הנתון. פעילות : התלמידים מתבקשים לרשום תרגילי חילוק כשברים. התרגילים באים לחזק את ההבנה שלהם שניתן לרשום מצב חילוק גם בדרך של שבר. פעילות : חזרה, צפיפות המספרים, מציאת שברים בין שני שברים נתונים. פעילות 6: יש לשבץ את השברים הבאים בעיגולים כך שסכום המספרים על כל צלע יהיה שווה. שיבוץ המספרים,,,,, יש להניח שרוב התלמידים יפתרו את השאלה בדרך של ניסוי וטעייה. תוך כדי התנסות יעלו שיקולי דעת שונים. חשוב שהתלמידים יציגו לכיתה את שיקולי הדעת שהנחו אותם לפתרון. לדוגמה, לא כדאי לשים את כל המספרים הגדולים על צלע אחת כי יישארו מספרים קטנים מדי לצלעות אחרות, או לחפש מספרים שמשלימים בשלמים כמו רבעים עם רבעים, וכן הלאה. מוצגת כאן הצעה לפתרון יותר שיטתי: בהתאם לדרכי הפתרונות שהתלמידים יציגו אפשר גם להראות לתלמידים שיטה זו לפתרון. השיטה לא קלה להבנה ויתכן שלא כל התלמידים יקלטו אותה, גם בהמשך הם יוכלו להמשיך לפתור בעזרת ניסוי וטעייה. הדרך השיטתית יותר: מוצאים את סכום כל המספרים שצריך לשבץ והוא 8. סכום המספרים בשלוש הצלעות הוא 0.. ההפרש בין שני סכומים אלה הוא.. מדוע סכום המספרים קטן מסכום המספרים בשלוש הצלעות? כי את המספרים שבקודקודים סופרים למעשה פעמיים כי כל מספר שבקודקוד שייך לשתי צלעות. הוא נספר פעם בצלע אחת ופעם בצלע השנייה. ההפרש של. הוא הסכום של המספרים שנספרו פעמיים. כלומר, יש לשבץ סכום של. בקודקודים של המשולש ובשאר העיגולים להשלים ל-..

55 הערה: את פעילות 6 אפשר לתת גם כמרכזון שולחן או כ"קיר מפעיל" )נספח, 6 עמוד 78(. פעילויות - 0 9, 8, 7, שיעורי בית: תרגול נוסף בחיבור וחיסור שברים עם מכנה משותף. יחידה נושא היחידה: השבר כחלק מכמות; בעיות מסוגים שונים )השבר כמנת חילוק, משמעות השבר( פתיחת השיעור: היחידה "פותחת" במציאת חלק מכמות, על ידי הדגמת המשמעות בעזרת ציורים. בחלק זה, כדי לבסס את ההבנה של התלמידים בנושא, התלמידים מתבקשים למצוא חלק מכמות רק באופן מוחשי בעזרת ציורים ובעזרת חישובים הגיוניים, כמו מציאת חלק אחד ואז מציאת חלקים. הם אינם נדרשים בפרק זה לרשום תרגילי כפל של שבר בשלם. ההצגה של רישום תרגילי כפל למצבים של חלק מכמות תבוא בספר השני. התלמידים יתמודדו עם הבעיות בעמוד 9, תוך המחשה בעזרת ציורים או בדרך חישובית של היגיון. פעילות ב: נדרשים התלמידים להגיד איזה חלק מכל ראשי הכרוב אכל הפילון. ניתן להסב את תשומת לבם של הילדים שכאשר הם נשאלים על "חלק" התשובה תהיה שבר. פעילות : בפעילות זו מגוון שאלות שמזמנות התמודדות עם חיבור, חיסור, כפל וחילוק שברים פשוטים, זאת למרות שחלק מן הנושאים לא נלמדו בעבר. נצפה שהילדים יתמודדו באופן אינטואיטיבי עם פתרון הבעיות )לעתים ייעזרו בציור או בידיעותיהם על כפל כחיבור חוזר, על חילוק בדרך של ציור, או כפעולה הפוכה לכפל וכדומה.( כל תשובה נכונה מנומקת תתקבל. לתלמידים ה"חזקים" ניתן לשדרג את הבעיות לבעיות אתגריות יותר המוצגות בנספח 7, עמוד 79. הערות לסעיפים בפעילות : בסעיפים ב, ג ניתנות בעיות המזמנות חיבור שברים פשוטים, ובנוסף, בעיית השוואה. כדאי לבדוק אם הילדים אכן שמו לב שבסעיף ב ורד רצה ביום השני 0 ק"מ יותר מהיום הראשון, משמע היא רצה ק"מ ובסך הכול. 6 לתלמידים המתקשים ב- סביר להניח שיהיה קושי בהתמודדות עם פתרון בעיות השוואה. אפשר לעזור לתלמידים אלה בדרכים שונות: בזמן העבודה על הבעיות, לעזור לתלמידים מסוימים בכיתה להבין את השפה הנדרשת בשאלות, או לבקש מהתלמידים לעבוד בזוגות ולעזור זה לזה להבהיר את משמעות השאלות. הצעה נוספת היא לתת בעיות קלות יותר. בנספח 8, עמוד 80 מוצעות כמה בעיות חלופיות. בחרו בהתאם לרמת התלמיד. סעיף ד מזמן כפל שברים פשוטים. נצפה שהתלמידים יסתמכו על ידע קודם. ייתכן שיאמרו שבשלם יש 8 שמיניות ויוסיפו עוד פיצה, שממנה יהיה צורך לקחת עוד חתיכות ( (. יהיה 8 צורך בקניית מגשי פיצות ויישארו 6 חתיכות שהן 6 פיצה או לאחר הצמצום. דרך נוספת 8 שייתכן והתלמידים יעבדו בה היא חיבור חוזר של 0, פעמים. )ביחידה הילדים ילמדו את 8 הפרוצדורה של כפל שלם בשבר.( סעיף ה מזמן חילוק של מספר מעורב בשלם. עד עתה התנסו התלמידים בחלוקת מספר שלם במספר שלם, ועכשיו יצטרכו להתנסות באסטרטגיה אחרת )ייתכן שיתנסו בציור(. סעיף ו: התלמידים צריכים לחלק את ל- חלקים שווים. אם יש להם קושי למצוא מה גודלו של כל חלק, נבקש מהם להשלים לשלם, ואז לקבוע מה ערכו של כל חלק. במצב זה הם יראו שהשלם מחולק ל- 6 חלקים שווים, זאת אומרת שהחברות אכלו נשארו 6 שהם מהעוגה. 6 והיות שהייתה רק חצי עוגה

56 סעיפים ז, ח מזמנים חילוק שברים פשוטים. סביר להניח שהתלמידים יסתמכו על חיבור חוזר. בסעיף ז יש צורך ב- 0 חבילות ובסעיף ח הדלק יספיק למורה ל- 8 ימים. פעילות : תרגול נוסף בחיבור וחיסור שברים עם מכנה משותף. פעילות : הציוד הנדרש דף 6 מערכת העזרים. לתת לילדים לצבוע עליו. פעילות 6: הציוד הנדרש דף 6 מערכת העזרים. תרגול שבר כמנת חילוק. פעילות - 7 שיעורי בית: חזרה הפיכת שבר גדול משלם למספר מעורב. כפל שברים )יחידות עד 9( בפרק זה נעסוק בנושאים: כפל שלם בשבר, כפל שבר בשבר )שברי יחידה ושברים אחרים(, כפל במספרים מעורבים, צמצום בתשובה וצמצום במהלך החישוב, ובפיתוח התובנה בנושא "האם כפל תמיד מגדיל?" את הנושא של כפל שבר בשלם במובן של "חלק מכמות" התלמידים כבר למדו באופן אינטואיטיבי בכיתות ד, ה ו-ו בעזרת ציורים והיגיון, פעמים רבות בעזרת מציאת שבר יחידה קודם. הקישור בין מצב של חלק של כמות לבין תרגיל כפל של שבר בשלם, ייעשה בפרק שברים בספר השני של כיתה ו. שם נרחיב את הנושא גם למציאת החלק ומציאת השלם. יחידה נושא היחידה: כפל שלם בשבר פתיחת השיעור: נפתח את השיעור בשאלה ד' מעמוד 0 ביחידה הקודמת. השאלה מזמנת כפל מספר שלם בשבר. שניים, שלושה תלמידים יספרו כיצד פתרו שאלה זו. בפעילות : התלמידים יפתרו את שלוש השאלות בפעילות זו. תלמידים שסיימו יכולים להמשיך ולבצע גם את פעילויות, עד לדיון. פעילות : פעילות זו מזמנת חיבור חוזר של שבר או בצורה המקוצרת בתרגיל כפל. ממחיש לתלמידים ש- פעמים שווה. פעילות : היא תרגיל בזוגות, שבו הילדים מנסים להבין כיצד כופלים, מה הקשר בין הגורמים למכפלה, ולהגיע לחוקיות האומרת שכאשר כופלים שלם בשבר, המונה במכפלה מתקבל על ידי הכפלת השלם במונה של הגורם השני )השבר( והמכנה הוא מכנה השבר. דיון כיתתי: לאחר ביצוע שלוש הפעילויות, נקיים דיון על השאלות בפעילות, אפשר להיעזר לניהול הדיון בעמוד ועל החוקיות המסתמנת בפעילות בעמוד. ניתן להיעזר במהלך הדיון בכתוב במסגרת בעמוד. התלמידים ידווחו איך פתרו את פעילויות ו- ואיזו חוקיות מצאו בפעילות. מגיעים עם התלמידים להכללה לגבי פתרון תרגיל של כפל מספר שלם בשבר. המונה של המכפלה הוא השלם כפול מונה השבר. המכנה הוא המכנה של השבר. סיכום זה רשום גם עבור התלמידים בעמוד למטה בספר התלמיד. פעילות : תרגול כפל שלם בשבר. פעילות : שאלות מילוליות המזמנות כפל שלם בשבר. פעילות 6: תרגול נוסף של תרגום ציור לכפל שלם בשבר. 6

57 פעילות 7: פעילות אתגרית בה צריך להשלים את אחד מהגורמים או את שני הגורמים כאשר המכפלה כתובה. תשובות לפעילות זו: x.א 8 = 6 8 x 6 = 6.ה.ג x 6 = 8 = x = = או.ו.ד.ב x = 0 = x x = = = = פעילות 8: שיעורי בית, תרגול נוסף של תרגום ציור לכפל שלם בשבר. פעילות 9: שיעורי בית, תרגול נוסף כפל שלם בשבר. 7 יחידה נושא היחידה: חישוב כפל שבר בשבר )ו"חלק של חלק"( פתיחת השיעור: ניתן לפתוח את השיעור בדיון על פעילות 7 מעמוד מהיחידה הקודמת )(. כדאי להזכיר לתלמידים כיצד מחשבים שטח של ריבוע ושטח של מלבן ולשאול מה היה המצב אילו נתנו את צלעות המלבן באורכים של שברים, אם גם אז היה מתאים לכפול. רצוי להשתמש בדוגמה מתחילת היחידה בספר. אם אותו ריבוע מוצג פעם כ- 00 ס"מ באורכו ופעם כ- מ', זה אותו הריבוע. כך גם לגבי השטח של המלבן הצבוע בכל אחד מהריבועים. שטחו אותו השטח, גם כשהוא מיוצג פעם במטרים ופעם בסנטימטרים. לאורך הפרק, התלמידים ייחשפו לחישובי שטח של מלבן, שאורך צלעותיו הם שברים. מוסכם שגם כשאורך הצלעות הם שברים, אפשר לרשום תרגיל כפל לחישוב השטח. כדי לפתח תובנה לגבי כפל של שברים, התחלנו בנושא של שטח של מלבנים, נושא שבו נראה לתלמידים הגיוני שמדובר על כפל. במהלך הפרק הם גם ייחשפו למצבים של "חלק של חלק", אותו ימצאו בהתחלה על ידי ציור. בעמוד 7, בדיון הכיתתי, יש הדגמה של קישור ציור של "חלק של חלק" עם אורכי המלבן שמתקבל, כשמוצאים חלק של חלק. כך אפשר למצוא את התשובה,"למה שווה שטח מלבן של 'חלק של חלק'" בעזרת הציור, ולקשר תשובה זו לרישום תרגיל שאורכי הצלעות שלו הן השברים המתאימים. התלמידים יגלו אחרי מספר התנסויות את החוקיות שבמציאת המכפלה של שני שברים: בהתחלה, שברי יחידה ואחר כך שברים כלשהם. חשוב לא להקנות את החוקיות של כפל שברים מהר מדי ולאפשר לתלמידים להתנסות בפעילויות השונות ולגלות את החוקיות במהלכן. אמצעי ההמחשה לאורך פרק זה הם ציורים. יש שימוש בריבוע יחידה שבו אורך כל צלע מוגדר כ- יחידת אורך. התלמידים יפעלו בזוגות בפעילות ובאופן עצמאי בפעילות ו-. הם יעבדו בזוגות בפעילות וירשמו את כל תרגילי הכפל מפעילויות עד שלהם מצאו פתרונות בעזרת הציור, וינסו לגלות את החוקיות של התרגילים. לאחר מכן רצוי לקיים דיון כיתתי שבו יציגו התלמידים את החוקיות שגילו וייערך סיכום על כפל שברי יחידה.

58 פעילות : רצוי לבקש מהתלמידים להתמודד בזוגות עם פתרון השאלות בפעילות. אין צורך לערוך הקניה לגבי הנושא בשלב זה, נרצה לראות איך התלמידים ניגשים לפתור את השאלה ויש להניח שהם יציירו ויגיעו לרעיונות בעצמם. כדאי לערוך דיון כיתתי ובו להציג את הדרכים השונות שבהן התלמידים פתרו את השאלה. ניתן להיעזר בעמוד 7 למטה. פעילות : דומה לפעילות בשברים אחרים. פעילות : תרגול נוסף בשאלה של מציאת חלק של חלק בעזרת ציור והיגיון. אם התלמידים כבר הבחינו בחוקיות הם יכולים כמובן להשתמש בה. פעילות : כדאי שהתלמידים יתנסו בפעילות ויגלו חוקיות בין הגורמים למכפלה, בתרגיל כפל של שבר בשבר )ביחידה זו נעסוק רק במקרים של כפל של שני שברי יחידה, עם במונה(: מונה המכפלה מתקבל מכפל מספר במונה במספר במונה, ומכנה המכפלה מתקבל מכפל מספר במכנה במספר במכנה. במקרה של כפל שברי יחידה המכפלה של המספרים במונים היא. כלומר גם במכפלה המונה הוא. לתלמידים שמתבלבלים בכפל שלם בשבר, ניתן בשלב זה להציע לכתוב את השלם כשבר, כמנת שני מספרים לדוגמה = ולשמור על ידי כך על החוקיות של כפל מונה במונה ומכנה במכנה. אנחנו ממליצים לא למהר לתת הצעה זו לתלמידים ולהמשיך ולנסות להבין משמעות של כפל שלם בשבר עוד מספר פעמים. פעילויות 7: תרגול נוסף בזיהוי וביצירה של ציורים בריבוע ביחידה של "חלק של חלק," ורישום של תרגיל כפל של שברים לפי אורכי הצלעות. התלמידים יפתרו את התרגילים לפי הכלל ויבדקו אם התשובה שקיבלו נכונה לפי הציור. הערה למורה: אם המורה רוצה לעבוד עם קבוצות קטנות של תלמידים, אפשר להתחיל ביחידה זו סבב על בעיה מפעילות יחידה 7 ולקיים דיון בה עם כולם ביחידה 7. יחידה נושא היחידה: כפל שבר בשבר פתיחת השיעור: מומלץ לפתוח את השיעור עם הסבר וסיכום החוקיות לגבי כפל שבר בשבר של שברי יחידה. אפשר להיעזר במודגם בספר בעמוד 0. פעילויות :, התלמידים יעבדו בזוגות ויתמודדו עם שאלה מורכבת שבה כפל של שברים ישמש לביטוי של שטח של מלבנים. התלמידים יפתרו את המצבים של כפל שברים בעזרת ציורים. הם ייווכחו מהציור )ומההיגיון( ששטח מלבן שאורכי צלעותיו הן שלישים ורבע הוא פי בשטחו ממלבן שאורכי צלעותיו הן שליש ורבע. )אם קשה לתלמידים בפעילות לצייר הכול יחד באותו מלבן, ניתן לצייר כל חלק לחוד.( תשובות לסעיפים: מהמגרש השלם. סעיף א לאופנועים הקצו שטח של סעיף ב 6. כפלו את אורך הצלע פי ולכן גם השטח גדל פי. סעיף ג מהמגרש הוקצה למכוניות העובדים. סעיף ד מהמגרש הוקצה למכוניות העובדים. כפלו את אורך הצלע פי ולכן גם השטח גדל פי. סעיף ה למכוניות של הלקוחות הקצו מהמגרש. 6 סעיף ו אם נכפיל פי את השטח למכוניות של הלקוחות יהיה להם מגרש ואז כל המגרש יהיה תפוס, כי סך כל החלקים יהיו שווים ל- שלם. 8

59 אם חלק מהתלמידים סיימו את פעילויות,, אפשר לתת להם להמשיך לפעילויות עד שכל התלמידים יסיימו לפתור ויוכלו להשתתף בדיון. דיון כיתתי: במהלך הדיון כדאי להתייחס לחוקיות שבכפל שבר בשבר. ניתן להיעזר לצורך הדיון בעמודים. יש לסכם עם התלמידים את הכלל לכפל שברים גם במקרה שהמונים אינם. אפשר להיעזר בסיכום שבעמוד למטה. פעילות : התאמת תרגילי כפל לחישוב שטח צבוע מתוך ריבוע, ופתרון התרגילים. פעילות : תרגול כפל שברים פשוטים )שברי יחידה(. פעילות : התאמת תרגילי כפל לחישוב שטח מלבן צבוע מתוך ריבוע, ופתרון התרגילים. פעילות 6: תרגול כפל שברים פשוטים. פעילות - 7 שיעורי בית: תרגול נוסף כפל שברים פשוטים. יחידה 6 נושא היחידה: כפל שבר בשבר פתיחת השיעור: ניתן לפתוח בדיון על פעילות בעמוד מהיחידה הקודמת ולהיעזר בהנחיות לדיון שבעמוד. דיון זה יתמקד בחוקיות של חישוב "חלק של חלק" )כפל מונה במונה ומכנה במכנה.( כדאי לבקש מהתלמידים לפתור את הבעיה בסוף עמוד )שליש של חצי מים בבקבוק.( השאלה מכוונת פחות לדימוי של ריבוע או מלבן וחשוב להתנסות בייצוגים נוספים. פעילות : חישוב ערך שטח צבוע בציורי מלבנים צבועים בעזרת תרגיל כפל. פעילות : תרגול כפל שברים פשוטים. פעילות : חישוב ערך שטח צבוע בציורי מלבנים צבועים בעזרת תרגיל כפל. פעילות : שימו לב, סעיף ח הוא אתגרי יותר היות שבתרגיל הכפל הילדים נדרשים להתמודד עם כפל של מספר מעורב בשלם. צריך להסב את תשומת לב הילדים לכך שכל בקבוק מכיל ליטר וחצי, וכמו כן, שבשאלה הם אינם נשאלים כמה בקבוקים ישתו הילדים ביום השני, אלא כמה ליטרים. אסטרטגיות צפויות: ייתכן שילדים אחדים יכפלו בקבוקים שנשארו אחרי היום הראשון בליטר וחצי תוך שימוש בחוק הפילוג. = X X = סך הכול נותרו ביום השני 6 ליטרים. עכשיו יחשבו כמה ליטרים זה מתוך 6 ויגלו שהם שתו 6 ליטר אחד. הנושא של רישום תרגיל לחלק של כמות כמו שישית של 6 יילמד באופן מסודר בספר השני, כאן נרצה שיחשבו זאת בעל פה ללא תרגיל. אם רוצים לשדרג את הבעיה, אפשר במקום לשאול כמה ליטרים שתו ביום השני, לשאול כמה ליטרים נשארו להם ליום השלישי. פעילות - שיעורי בית: תרגול נוסף כפל שברים פשוטים. פעילות - 6 שיעורי בית: פעילות זו מהווה הכנה לפרק של חקר נתונים ביחידה 0. חשוב לקרוא יחד עם התלמידים את המשימה, כדי להבטיח שהילדים אכן יאספו את הנתונים,! לצורך הצלחת משימת החקר בהמשך. 9

60 יחידה 7 נושא היחידה: כפל מספרים מעורבים פתיחת היחידה: התלמידים ינסו להתמודד לבד או בזוגות עם בעיה המזמנת כפל מספרים מעורבים בפעילות. ניתן לעבוד על הבעיה בקבוצה קטנה, להתחיל כבר ביחידה לעבוד בקבוצות קטנות, וכשנגיע ליחידה 7 לקיים דיון. אפשרות נוספת היא כפי שמוצע בספר, לתת לתלמידים אפשרות לפתור באותו שיעור, ואחר כך לקיים דיון על האסטרטגיות השונות לפתרון. בפתרון נצפה שחלק מהתלמידים יפתרו על ידי פילוג. צריך להסב את תשומת לבם לכפול בכל הגורמים. התלמידים צריכים לכפול: לדוגמה, בתרגיל x. X, X, X, X קל להפוך את המספרים המעורבים לשברים גדולים מ- ולכפול מונה כפול מונה ומכנה כפול מכנה, לפי הכלל שהתלמידים כבר למדו. חשוב במהלך הדיון להתייחס לצמצום במהלך הפתרון ולעמוד על חשיבותו. כמו כן, חשוב להדגיש שהצמצום במהלך התרגיל יכול להתקיים רק בתרגיל כפל כפי שמובא בדוגמה ובהדגמה בעמוד 0. תלמידים רבים מתבלבלים במהלך הזמן ו"מצמצמים" במקומות שאסור לצמצם, כמו בחיבור ובחיסור. חשוב לנסות לפתח את התובנה המתמטית של התלמידים בנושא הצמצום. מותר להחליף מקום בין הגורמים במכנה )בתרגיל כפל( ובין הגורמים במונה. מותר לרשום כפל שברים ככפל של המונים במונה וכפל של המכנים במכנה. מותר גם ללכת בכיוון ההפוך ולהפריד מכפלה מעל קו שבר ומכפלה מתחת לקו שבר כך שייווצר כפל של שני שברים )בנפרד(, כפי שמודגם בתחתית עמוד 0. רואים ש- חלקי זה ולכן מותר לצמצם ולרשום במקום זאת. ננסה גם לראות את הרעיונות בעזרת כפל מספרים )במונה( וחילוק במספרים )במכנה(. אם כפלנו ב- וחילקנו ב-, כאילו כפלנו ב-. לא חשוב הסדר שבו מופיע הכפל והחילוק. בדוגמה בעמוד 0, יש במונה כפל של 0 ב- ובמכנה יש כפל של ב- 8. כלומר כפלנו ב- וכפלנו ב- 0 וחילקנו ב- וחילקנו ב- 8. אפשר לראות שכפלנו ב- וחילקנו ב- ולמעשה כפלנו ב-. פעילות : תרגול כפל במספרים מעורבים. פעילויות :, תרגול כפל במספרים מעורבים עם דרישה לצמצום התשובה ככל האפשר. פעילות : שאלות מילוליות מחיי היום יום המזמנות כפל מספרים מעורבים. פעילויות - 7 6, שיעורי בית: תרגול נוסף של כפל מספרים מעורבים, ופתרון שאלות מילוליות. פעילות 8: תזכורת לתלמידים: אספו את הנתונים על שיחות בטלפון שניתנו ביחידה הקודמת והביאו לכיתה. יחידה 8 נושא היחידה: כפל מספרים מעורבים בפתיחת השיעור מוצגת שאלה פעילות. אפשר לכתוב את השאלה על הלוח ולבקש מהתלמידים לעבוד בזוגות, ובסיום העבודה לבקש מהם שידווחו לכיתה איך הם פתרו את השאלה. בדיון כדאי להבנות ידע של תלמידים ולדון ברעיונות המתמטיים שעולים מהדיווח. גם בספר מוצגים פתרונות של תלמידים בעמוד. אפשר להיעזר בפתרונות אלה להמשך הדיון. אם הרעיונות שמוצגים כאן כבר עלו מדיווח הילדים, אין צורך לדון בהם שוב. חשוב שהמורה 60

61 י/תכיר פתרונות אלה מראש ותוכל/יוכל לבדוק שילובם בדיון. מומלץ במהלך הפתרון להתייחס גם לפתרון באמצעות פילוג, ולהדגיש את חשיבות הצמצום במהלך פתרון תרגילי הכפל. רצוי להסב את תשומת לב התלמידים לכך ש- וחצי לחלק ל- שווה ל- וחצי כפול חצי. לחלק ב- שווה לכפול בחצי. בזמן הדיון אפשר גם לחזור על הדרך שבה אפשר לצמצם במהלך הפתרון. אפשר להיעזר בהדגמה שבעמוד למטה. פעילות : כפל בעזרת חוק הפילוג. פעילות : תרגול כפל במספרים מעורבים עם דרישה לצמצום התשובה ככל האפשר. פעילות : פעילות יותר אתגרית כפל שברים כשהמכפלה ניתנת ויש להשלים את אחד הגורמים )השבר כולו( או מונה או מכנה של אחד הגורמים. תשובות: X.ד = 9 X = 8.ז = 9 X 6 =.א.ב X.ה = X.ח = X = 8.ג 0 6 X 8.ו = X = פעילויות 6:, שאלות נוספת, המזמנות מציאת חלק, כפל שברים פשוטים, סעיף א': פתרון: ב- הימים הרכיבו מהפאזל. נותר מהפאזל. ביום הרביעי הרכיבו של. + 0 = 6+ = כלומר 0 או 0 מהפאזל. ב- הימים הראשונים הרכיבו ביום החמישי. נשאר להרכיב 0 פעילות - 7 שיעורי בית: תרגול כפל שברים וכפל במספרים מעורבים. פעילות 8: תזכורת לתלמידים: איספו את הנתונים על שיחות בטלפון שניתנו ביחידה 6 והביאו לכיתה. 6 יחידה 9 נושא היחידה: האם כפל תמיד מגדיל? )הערה, בסוגיה זו התלמידים עסקו בראשית הספר בהקשר של מספרים עשרוניים.( במהלך שיעור זה התלמידים יתנסו בפעילות חקר לצורך גילוי ופיתוח התובנה בנושא זה. ציוד: צריך את דף 7 מערכת העזרים לפעילות 7. דף לתרגול נוסף וחזרה בנושאי יחידה זו ופרק השברים וקצת מנושא העשרוניים נמצא בנספח 9, עמוד 8. פתיחת השיעור: בטרם נפנה את התלמידים לפעילות, כדאי לקיים שיחה בכיתה תוך הצגת השאלה: האם כפל מגדיל? נבקש מהתלמידים לנמק את דעתם וחשוב להעלות את כל הדעות, עדיין מוקדם לסכם מהי התשובה הנכונה לשאלה. מוצע לרכז את התשובות והנימוקים על הלוח ולהשאירם

62 עד לאחר קיום הפעילות, ואז לבחון אילו מהנימוקים היו נכונים. לאחר דיון מטרים קצר כדאי לתת לתלמידים לבצע את פעילויות :, בעמוד 7 ולאחר מכן לדון במסקנות. מתוך הפעילות התלמידים לומדים, שכאשר כופלים את הגורם הראשון במספרים גדולים מ-, המכפלה גדולה מהגורם הראשון והכפל "מגדיל". כשכופלים בגורם הראשון שבר בין 0 המכפלה תהיה קטנה מהגורם הראשון. כשכופלים את הגורם הראשון ב-, המכפלה תהיה שווה לגורם הראשון. )רק כאשר הגורמים יהיו שברים בין 0 המכפלה תהיה קטנה משני הגורמים.( מוצע לקרוא בעמוד 8 את ההסבר מדוע הכפל מגדיל, וחשוב להדגיש, שכאשר כופלים בשבר קטן מ- המונה קטן מהמכנה. לכן כשכופלים מונה במונה, כופלים במספר קטן )יחסית למכנה( ומחלקים במספר גדול יותר )ביחס למונה(. כשכופלים במספר ומחלקים במספר גדול יותר, המספר יהיה קטן יותר מזה שבו התחלנו. לעומת זאת, כשכופלים במספר גדול מ- )אם נכתוב אותו כשבר( המונה בו גדול מהמכנה. לכן כופלים במספר גדול ומחלקים במספר קטן והתוצאה תהיה גדולה יותר מזו שבה התחלנו. כשכופלים בשבר ששווה ל- כופלים ומחלקים באותו מספר, ולכן לא יהיה שינוי במספר הנכפל. פעילות : יש להוסיף את הסימנים >, >,= בין תרגילי הכפל לתוצאה. פעילויות :, כדאי לעבוד בזוגות, חיבור תרגילי כפל שהתוצאה שלהם קטנה מהגורם הראשון, להיעזר באומדן ולסדר את המכפלות מהקטנה לגדולה. פעילות 6: שאלות מילוליות המזמנות כפל שברים וכפל מספרים עשרוניים. יש להיעזר באומדן. פעילות 7: הציוד הנדרש דף 7 מערכת העזרים, לתת לצביעה. פעילויות - 9 8, שיעורי בית: תרגול נוסף בו יש להוסיף את הסמנים >, >,= בין תרגילי הכפל לתוצאה. הוספת מספרים כדי לקבל תרגיל נכון. פעילות 0: תזכורת לתלמידים: אספו את הנתונים על שיחות בטלפון שניתנו ביחידה 6 והביאו לכיתה. יחידה 0 נושא היחידה: פיתוח תובנה מתמטית, מציאת חוקיות והכללות פתיחת השיעור: אפשר לפתוח בדיווח על השאלות מהיחידה הקודמת )יחידה 9(, פעילות 6, עמוד 60, ולפני מתן הפתרון לדון בשאלה, האם התוצאה תהיה קטנה יותר מ- ש"ח. חשוב לבקש מהתלמידים לנמק את תשובתם. אפשר לשוחח עם התלמידים על פעילות 9 משיעורי הבית )יחידה 9, עמוד 6( ולהציג פתרונות שונים. כדאי לחזור על המסקנות מהיחידה הקודמת בנושא: מתי כפל "מגדיל" ומתי "מקטין" )עמוד 8(. היחידה עוסקת במציאת חוקיות והכללות לפי דגם מתפתח. פעילות זו זורעת זרעים של התחלת חשיבה אלגברית. המטרה של הפעילות היא לפתח אצל תלמידים יכולת הכללה שניתן לבטאה הן בתיאור מילולי והן בתיאור כמותי. הפעילות עשויה להימשך שיעור שלם. פעילות זו מאפשרת לגלות חוקיות הקיימת בקשר שבין מספר קורות העץ ומספר המסמרים ליחידות הגדר, בדרך חזותית. כמו כן, הפעילות מאפשרת תרגום רעיונות חזותיים למילים ומספרים. פעילות : כדאי שהתלמידים יעבדו בזוגות. בתחילת העבודה ביחידה אפשר לעבור עם התלמידים על ההוראות לפעילות, ולהסב את תשומת לבם לציורים של הגדר, שיכולים 6

63 לסייע בראשית עבודתם ובהמשכה לצורך החישובים. נבקש מהם לבצע את הפעילות כולל סעיפים ב-ד. לתלמידים המסיימים פעילות אפשר לתת משימת המשך, כפי שמוצע בנספח 0, עמוד 8. בהתאם לשיקול דעת המורה. לתלמידים המתקשים כדאי לתת להשלים רק את הטבלה ולבקש מהם למצוא את הקשר שבין מספר קורות העץ ומספר המסמרים למספר יחידות הגדר. תלמידים שסיימו את עבודתם בנספח לפני שהאחרים סיימו את פעילות, ניתן להפנותם להמשך עבודה בפעילות בעמוד 6. לאחר שכל התלמידים סיימו את פעילות, חשוב לקיים דיון ולהגיע להכללות ולגילוי החוקיות בהתאם לרמת הכיתה. אם יש תלמידים שמצאו חוקיות בדרכים שונות, כדאי להזמינם לדווח על כך בפני הכיתה כולה. הצעה לפתרון המשימה ונימוקים אפשריים: יחידות גדר 6 7 מספר קורות עץ מספר מסמרים נקודות לדיון: התלמידים יכולים לומר שמספר קורות העץ גדל ב- כשעוברים מיחידה ליחידה. כמו כן, מבדיקת מספר קורות העץ בטבלה הם יגלו שכל פעם מתקבל מספר אי זוגי. מכאן שהתשובה לשאלה ג היא שלא ייתכן שיהיו 0 קורות עץ. תלמידים יכולים לנמק בדרך נוספת את התשובה לסעיף ג בקשר שבין מספר יחידות הגדר למספר קורות העץ: מספר יחידות הגדר כפול ועוד, לכן מספר קורות העץ אינו יכול להיות כפולה של ולא יתכן שיש 0 קורות עץ בגדר. אפשר להעמיק בדיון ולדבר על קשרים נוספים בטבלה. הילדים יכולים לחשוב על הקשר שבין מספר המסמרים למספר יחידות הגדר. הקשר שבין מספר המסמרים למספר יחידות הגדר הוא מספר היחידה כפול ועוד. תשובה לסעיף ד: הקשר בין מספר קורות העץ למספר המסמרים ומספר יחידות הגדר כאשר נפחית ממספר יחידות הגדר נקבל את ההפרש בין מספר קורות העץ למספר המסמרים. לדוגמה, אם מספר יחידות הגדר הוא, ההפרש בין מספר קורות העץ למסמרים הוא. היות שחוץ מיחידת הגדר הראשונה קטן כל מספר המסמרים ממספר קורות העץ, תמיד נצטרך להפחית ממספר קורות העץ את המספר שמצאנו )במקרה זה (. מכיוון שאנו יודעים לחשב את מספר קורות העץ לפי מספר יחידות הגדר )במקרה זה = 7 (, X + נחסר מ- 7 את ונמצא את מספר המסמרים. 6

64 פעילות : קורות העץ הצהובות מהקורה השנייה מונחות בחפיפה זו על זו. רוחב החפיפה הוא 8 ס"מ )כרוחב הקורה החומה(. א. כמה קורות עץ בצבע צהוב צריך וכמה הן עולות? רוחב קורת העץ החומה ה"עומדת" הוא 8 ס"מ. ברוחב של.6 מ' של הגדר, כמה קורות צהובות יכנסו? אורך הקורה הראשונה הצהובה הוא 0 ס"מ )הקורה השמאלית(. האורך הנוסף של הקורה הצהובה השנייה הוא ב- 8 ס"מ קצר מאורך הקורה, כי יש חפיפה של 8 ס"מ. כלומר, הקורה הצהובה השנייה מוסיפה ס"מ. כל קורה צהובה בהמשך, גם כן מוסיפה ס"מ. באורך גדר של.6 מ' )6 ס"מ( אפשר להכניס קורה אחת צהובה באורך 0 ס"מ ועוד קורות צהובות שמוסיפות כל אחת ס"מ )סך הכל קורות(. החישוב בס"מ: 0 + X = = 6 באורך גדר של מ' )00 ס"מ(, אפשר להכניס עוד שתי קורות צהובות שכל אחת מוסיפה ס"מ: 6 + X = 00 כלומר, לחלק הגדר שאורכה מ' צריך 6 קורות צהובות. יש חלקי גדר באורך מ' ולכן צריך קורות עץ צהובות לקטעים אילו. בקטע הרביעי של הגדר שאורכה 7 ס"מ אפשר להכניס מספר קורות עץ צהובות: 0 + = 7 כלומר, צריך קורות עץ צהובות לקטע גדר זה. בסך הכל מספר קורות העץ הצהובות שצריך לאורך כל הגדר הוא: + + = 8 מחיר כל קורת עץ צהובה הוא ש"ח. מחיר כל קורות העץ הצהובות בשקלים הוא: 8 X = 6 ב. מספר קורות העץ הכתומות הוא פי ממספר קורות העץ הצהובות. אם יש 8 קורות עץ צהובות יש 6 קורות כתומות. מחירן בשקלים: 6 X 8. = 06 ג. מספר קורות העץ החומות גדול ב- ממספר קורות העץ הצהובות, כלומר צריך 9 קורות עץ חומות. מחירם בשקלים: 9 X.0 = 86.9 ד. מחיר כל קורות העץ מכל הסוגים ש"ח = דיון כיתתי: תלמידים אחדים יספרו לתלמידים איך פתרו את פעילויות ו-. הצעה למשימת אתגר נוספת לתלמידים: א. נסחו כלל לגבי הקשר בין מספר קורות העץ הצהובות למספר קורות העץ הכתומות. ב. נסחו כלל לגבי הקשר בין מספר קורות העץ הצהובות למספר קורות העץ החומות. 6

65 ג. אתגר מיוחד: נסחו כלל לגבי הקשר בין מספר קורות העץ הכתומות למספר קורות העץ החומות, או את הקשר בין מספר קורות העץ החומות למספר קורות העץ הכתומות. כדי להגיע לקשרים השונים, אפשר להציע לתלמידים לארגן את הנתונים בטבלה. תלמידים המנסחים כללים יכולים לרשום אותם במילים או בשילוב של מילים ומספרים, אפשר גם ללמד איך לרשום את הכלל ברישום אלגברי בעזרת אותיות באנגלית. חשוב לדבר על המשמעות שעומדת מאחרי אותיות אלה. לדוגמה: נסמן ב- y )תחילת שם הצבע הצהוב באנגלית )yellow את מספר קורות העץ הצהובות: א. מספר קורות העץ הכתומות הוא פי ממספר קורות העץ הצהובות, לכן בדרך אלגברית הקשר יסומן כך: ) x y פעמים או פעמיים y או פעמיים מספר קורות העץ הצהובות(. ב. מספר הקורות החומות הן ב- יותר ממספר הקורות הצהובות, לכן בדרך אלגברית הקשר יסומן כך: + y )מספר קורות העץ הצהובות ועוד (. ג. את הקשר בין מספר קורות העץ הכתומות למספר קורות העץ החומות אפשר להציג בכמה דרכים: נסמן באות o )תחילת שם הצבע הכתום באנגלית )orange את מספר קורות העץ הכתומות, כדי למצוא את מספר קורות העץ החומות, נחלק את מספר קורות העץ הכתומות ב- ונוסיף, נכתוב את הקשר כך: : + o או + o. למציאת הקשר בין מספר קורות העץ החומות למספר קורות העץ הכתומות, נסמן את מספר קורות העץ החומות באות b. )תחילת שם הצבע החום באנגלית.)brown כדי למצוא את מספר קורות העץ הכתומות, אפשר להוריד קורה אחת חומה ואז לכפול את מספר הקורות החומות ב-. חוץ מהקורה הראשונה. לדוגמה, מעל לכל קורה חומה יש קורות כתומות. בדרך אלגברית נכתוב כך: (-b) X 6 יחידה נושא היחידה: חקר נתונים יחידה זו עוסקת בחקר נתונים. ביחידות הקודמות, התלמידים התבקשו לאסוף נתונים כחלק משיעורי הבית. בשיעור זה התלמידים ירכזו נתונים בטבלאות, יחשבו ממוצע, שכיחות, שכיחות יחסית וילמדו להשוות בין קבוצות. מאחר שביחידה פעילות רבה ריכוז נתונים בקבוצות, ניתוחן על פי הוראות והצגתן בכיתה, ריכוז נתונים כיתתי וניתוחו ייתכן שלא יספיק הזמן לבצע את כל הפעילויות בשיעור אחד. במקרה כזה אפשר לחלק את היחידה לשני שיעורים. דרך נוחה לחלוקה לשני שיעורים: עבודה בפעילויות בעמודים 6 66 בשיעור אחד, ובפעילויות בשיעור השני )או לפי שיקול דעת המורה(. מושגים חזרה ופעילות הטרמה לפני השיעור: לפני הפעילות, מומלץ להזכיר לתלמידים, מושגים שיעזרו להם בביצוע המשימה: ממוצע מחברים את סכום המספרים הרלוונטיים ומחלקים למספר המספרים. )כדאי להדגים.( לדוגמה, אם נתונים המספרים, 0,, נחשב את הסכום שלהם ונחלק ב-, כי יש מספרים. הממוצע יהיה 7. שכיחות היא מספר הפעמים שנתון מסוים מופיע בקבוצת נתונים. לדוגמה: אם נתבונן בטבלה בפעילות בעמוד 6 ונשאל: "מה השכיחות של שיחה עם בן משפחה אצל גאיה?" התשובה תהיה.

66 שכיחות יחסית היא החלק היחסי של נתון מתוך כלל הנתונים. לדוגמה, השכיחות היחסית של כמות שיחות עם בן משפחה, היא כמות השיחות שיש בקבוצה עם בן משפחה מתוך סך כל כמות השיחות שנעשו בקבוצה. שכיחותו של נתון סך כל כמות הנתונים מסמנים שכיחות יחסית באחוזים או בשברים. לדוגמה: אם נשאל לפי הטבלה בעמוד 6, מה השכיחות היחסית של שיחה עם חבר מסך כל השיחות, תהיה התשובה: סך כל השיחות בקבוצה הוא, מתוכם 0 שיחות עם חבר כלומר 0 או. חצי היא השכיחות היחסית של שיחה עם חבר. המלצות למהלך היחידה: לצורך פעילות זו כדאי לחלק את הכיתה לקבוצות. חשוב להסביר לתלמידים את פעילות בעמודים 6 6 ולתת להם מספיק זמן לביצוע הפעילות. לאחר מכן כדאי לעשות פסק זמן ולהסביר את פעילות ולתת להם לעבוד בקצב שלהם על פעילות ו-. כדאי להביא לשיעור זה בריסטולים או דפי נייר גדולים וטושים עבים, כדי שכל קבוצה תרכז את נתוני הטבלה מעמוד 6 על חצי בריסטול, ואחר כך את נתוני הטבלה של סעיף על חצי בריסטול נוסף )אם קיימת בעיה בהשגת בריסטול ניתן להסתפק בדף בגודל A(. את הבריסטולים ניתן להדביק בכיתה, ובהמשך השיעור או בשיעור הבא לסכם על הלוח בטבלה ריכוזית כפי שמוצע בעמוד 67. משלב זה אפשר לתת לתלמידים לבצע במליאה או בעבודה קבוצתית את פעילות, סעיפים ב-ד ובסיום התלמידים יציגו את הנתונים והחישובים שהתקבלו. בהמשך, נבקש מהתלמידים לבצע את פעילות בה אוספים יחד לטבלה את הנתונים של כל הכיתה הנוגעים לשאלה עם מי נערכו השיחות. כל קבוצה תרשום בטבלה את הנתונים שלה ותסכם את כל הנתונים יחד לכל הכיתה. לפי שיקול דעת המורה, אפשר שכל הכיתה תחשב יחד או שכל קבוצה תעתיק לטבלה דומה לזו המוצגת בפעילות את הנתונים מהלוח ותחשב בעצמה )כדאי למורה לקרוא את ההצעות בספר התלמיד בפעילות (. בסוף הפעילויות רצוי לערוך דיון מסכם על כל התהליך של חקר וניתוח הנתונים ביחידה זו. כדאי לחזור על המושגים ודרכי הביצוע: חישוב הממוצע, שכיחות ושכיחות יחסית. איך השווינו את נתוני הקבוצות. 66

67 פעילות חגים ראש השנה, לוח השנה העברי והלועזי לוח שנה עברי הערה יחידה זו נכללה בעבר בגרסת הניסוי לכיתות ד ה והועברה עתה לכיתה ו בעיקר עקב תוכנית הלימודים של משרד החינוך שלפיה אין משתמשים במחשבונים בכיתות ד וה. תלמידים שכבר למדו יחידות אלו בעבר, אין צורך כמובן שילמדו אותן שוב. יחידה נושא היחידה: היחידה עוסקת במבנה השנה העברית והחודש העברי ובלוח הכללי )האזרחי / הלועזי( והמוסלמי. ליחידה יידרשו כשני שיעורים. בתחילת היחידה יש שני קטעי מידע )עמודים 69 70(. אפשר לבקש מהילדים שיקראו בבית את המידע או אפשר לקרוא אותו ביחד בכיתה, ולשוחח עליו. פעילות בחירה לתלמידים בצעו תצפיות במשך חודש או יותר על הירח וראו איך משתנה צורתו. ציירו בכל יום את צורת הירח בערך, כפי שהיא נראית לכם. כאשר הירח מתחיל להתמלא וצורתו אז כשל בננה דקה )ביום שנקרא "מולד הירח"(, בדקו: באיזה יום בחודש העברי חל המאורע כמה ימים עברו מ"מולד ירח" אחד למשנהו? האם מספר הימים שעברו תואם את מספר הימים שיש בלוח השנה בחודש העברי? הצעה לפעילות בתחילת היחידה: אפשר לשאול: מה התאריך הלועזי )או העברי( היום? מתי החופשה הבאה? כמה זמן יעבור עד אז, איך רואים ומחשבים זאת? מה משתנה במספר של התאריך? אפשר להביא תאריכים חשובים מהעבר ולבחון אותם: כמה זמן עבר עד היום? כמה שנים? כמה חודשים? אפשר לבקש מהתלמידים להביא את רישום תאריך הלידה העברי והלועזי שלהם מתעודת הזהות של הוריהם ולבדוק בכיתה האם יש ילדים שנולדו באותו תאריך. 67 פעילות : מחשבים כמה ימים יש בשנה עברית רגילה על ידי חיבור מספר הימים בחודשים. נתון לוח שממנו ניתן לחבר. אפשר גם לבדוק בלוח השנה של אותה השנה )מתאים לבדוק בלוח של אותה השנה ובתנאי שהשנה אינה מעוברת ]לא נוסף עליה חודש המכונה אדר א'[(. בלוח מופיע שבחודש כסלו יש לפעמים 0 יום ולפעמים 9 יום. אלה הם תיקונים שנעשים מדי כמה שנים, ואין צורך להיכנס כעת לדיון בשינוי הזה. בודקים גם כמה חודשים בני 9 יום יש בשנה העברית )יש 6( וכמה חודשים בני 0 יום )יש 6(. בשנה עברית רגילה יש ימים והילדים מחשבים בפעילות בכמה ימים השנה העברית קצרה מהשנה הכללית )השנה העברית קצרה ב- ימים ממספר הימים המקובל עלינו לפי השנה הכללית, כלומר 6 ימים(. כדאי לבקש מהתלמידים לקרוא את קטע המידע על הלוח הכללי בעמוד 70 ועל הלוח המוסלמי בעמוד 7, או לקרוא את הקטעים יחד עם התלמידים במהלך דיון בכיתה. לגבי הלוח המוסלמי, מצוין שהחגים חלים כל שנה בעונה אחרת, כיוון שהלוח מבוסס על תנועת הירח. גם הלוח העברי מבוסס על תנועת הירח, ומכיוון שכך, ערכו תיקון בלוח כדי שיתאים גם לתנועת כדור הארץ סביב השמש )ולכן הוא מתאים במידה רבה גם ללוח הכללי שמבוסס על תנועת כדור הארץ סביב

68 השמש(, וכל זה כדי לשמור שהחגים היהודיים יחולו תמיד באותן העונות של השנה. נלמד איך מקשרים בין הלוח העברי השמשי / ירחי, ובין הלוח הכללי, השמשי. בהקשר הזה נלמד מה זו שנה מעוברת ואיך בנוי המחזור של שנים מעוברות. פעילות : התלמידים מחשבים כמה ימים יש בשנה רגילה לפי הלוח הכללי. הם רואים שיש חודשים של 0 יום, חודש אחד של 8 יום )פברואר( ו- 7 חודשים של יום. חשוב לדבר על היום הנוסף בפברואר אחת ל- שנים )עם תיקונים נוספים קטנים(. התיקונים שהוכנסו בלוח באים כדי להתאים במדויק למה שידוע היום על האורך המדויק של השנה שהוא 6.89 ימים. לכן, יש שינויים קטנים נוספים: פעמים במהלך כל 00 שנה לא מוסיפים יום בפברואר )ו- 97 פעמים בכל 00 שנה כן מוסיפים יום(. את המידע הזה אין חובה שהתלמידים יזכרו. אולם חשוב לדעת שהמדידות המדויקות שנאספו במהלך השנים על אורך השנה דורשות תיקונים קטנים, כך שעם השנים לא יגדלו הפערים בין אורך השנה המדויקת )הנמדדת בפועל( ולבין אורך השנה שנקבעה בלוח השנה הכללי. פעילות : התלמידים מחשבים שיש 6 ימים בשנה הכללית. ההפרש בין אורך השנה העברית לכללית הוא ימים בשנה )6 (. בהמשך )בעמוד 7(, נעסוק בדרך שבה מוסיפים ללוח העברי כל כמה שנים חודש )אדר א'( ובכך מתואמים שני הלוחות לוח השנה העברית ולוח השנה הכללית. )הפער נוצר מההבדל הקיים במדידות בין פרק הזמן שבו הירח מקיף את כדור הארץ, ששימש בסיס לחישוב הלוח העברי ]והשתנות מראה הירח במהלך חודש[ לבין פרק הזמן שבו כדור הארץ מקיף את השמש, ששימש כבסיס לחישוב הלוח הכללי.( פעילות : השלמת תאריכים בלוח השנה הכללי )במחברת(. בשני החודשים הראשונים הרשומים בלוח יש ימים. אפשר לראות מהטבלה בעמוד 6 שרק יולי ואוגוסט הם שני חודשים רצופים של ימים. לכן, בספטמבר יוצא מיד לאחר לאוגוסט, שהוא החודש השני. תחילת הלימודים אפוא היא ביום א' )שורה 6 בלוח(. פעילות : אפשר לראות בכל טור שהמספרים גדלים ב- 7 )כי יש 7 ימים בשבוע בין יום א', למשל, ליום א' הבא אחריו(. בשורות אפשר לראות שהמספר גדל ב-. פעילות 6: התלמידים יעתיקו מתוך הלוח חלקים ויראו, לדוגמה, איזה מספר יושב מתחת ל- מספר )שגדול מ- ב- 7 (. מי יעמוד מימין ל- וכן הלאה. פעילות 7: מגלים חוקיות בריבועים של ימים בלוח השנה. אם נסתכל על אלכסוני הריבוע )המסומנים בחיצים(, נראה כי סכום המספרים על כל אלכסון הוא )אותו הסכום( אפשר לבדוק שתופעה זו חוזרת גם בריבועים נוספים. אפשר לבקש מהתלמידים לנסות להסביר את החוקיות. הם יכולים למצוא שמתחת לכל מספר יש מספר שגדול ממנו ב- 7, ומשמאל לכל מספר יש מספר שגדול ממנו ב-. כלומר, אם נחבר את עם 0 נחבר את המספר הראשון, והמספר על האלכסון יהיה מספר שגדול ב- )לשמאלו( ועוד 7 )מתחת לזה של שמאלו(. כלומר, = + 0 = פעילות 8: אפשר להיעזר בלוח השנה כדי לפתור את השאלות: פתרונות: א. =, X X 0 = 6 X ש"ח לשבוע שבועות חודשים )רצוי לשוחח עם התלמידים על כך שבחודש שלם אין שבועות בדיוק והדבר משתנה מחודש לחודש לפעמים יש ולפעמים קצת יותר מ-.( 68

69 ב. = : הוא חסך 60 ש"ח לחודש. ג. בשבוע תחסוך ש"ח = 7. + בכמה שבועות תחסוך 7 ש"ח? יידרשו לה שבועות כדי לחסוך את הסכום: = 7 7 : יש להניח שהפעילויות עד כאן ימלאו שיעור שלם. מתי יוצאת שנה מעוברת: הפעילות של החישוב מתי יוצאת שנה מעוברת היא פעילות בחירה בחלקה )עמוד 7 באמצע העמוד(, שבה משתמשים במחשבון, ואנחנו ממליצים לעשותה. הפעילות יפה מאוד ואתגרית במידת מה. כדאי להתנסות בפעילות לפני שעובדים עם התלמידים. הפעילויות כאן מתאימות לתחילת שנה, לקראת ראש השנה או חגי תשרי. איך מתקנים את הלוח העברי? מידע: מומלץ לעבור יחד עם הילדים על קטע המידע העוסק בדרך תיקון הלוח העברי הירחי / שמשי כלומר הבנוי גם לפי מחזוריות הירח וגם לפי מחזוריות השמש )עמוד 7(. הקטע עוסק ברעיון של שנה "מעוברת" המתרחשת בתוך מחזור של 9 שנים, והיא אחת מתוך 7 שנים ההופכות למעוברות במהלכו. עם הוספת החודש הנוסף, הוא אדר א', נקראת השנה "שנה מעוברת". פעילות : מתמקדים באיך כותבים את השנה בלוח העברי. מדגישים שבדרך כלל לא רושמים את ה ה' שבאה לפני השנה המציינת,000 שנה. הילדים מחשבים את הערך המספרי של השנה העברית הנוכחית. פעילות : זוהי פעילות בחירה אתגרית, ויש לשקול אם היא מתאימה ללימוד של כל ילדי הכיתה או רק לכמה תלמידים מתוכה. הדגש בפעילות זו הוא על איך מתאימים את הלוח הירחי ללוח השמשי בלוח העברי. ההתאמות נדרשות כדי שלא יהיה מצב שכל שנה יחולו החגים בעונה אחרת. אורך השנה )מספר הימים בשנה(, כפי שנמדד במהלך השנים לפי גורמי השמים ומדידות אחרות, ארוך יותר מזה שנקבע בלוח השנה העברי על פי הזמן שלוקח לירח להקיף את כדור הארץ. תיקון של חודש נוסף 7 פעמים ב- 9 שנים נועד לסגור פער זה ולשמור שמועד החגים יחול כל פעם באותה עונה. מהי שנה מעוברת ואיך קובעים באיזו שנה תהיה שנה מעוברת? הפעילות )בעמודים 7 למטה עד 77( מתבצעת בעזרת מחשבון. מחלקים את הערך המספרי של השנה הנוכחית ב- 9 ובודקים מה השארית. מחלקים ב- 9 כי במחזור של 9 שנים מתקנים את ההפרש בין השנה הירחית לשנה השמשית בלוח העברי, וקובעים 7 שנים מתוך ה 9, שיהיו השנים המעוברות. השארית מראה כמה שנים מתחילת המחזור עברו ואם צריך לעשות שנה זו לשנה מעוברת. כהקדמה לחישוב, עובדים כאן עם התלמידים על האופן שבו מוצאים שארית בחילוק בעזרת מחשבון. מראים זאת בהתחלה בדוגמה במספרים קטנים )המידע בעמוד 76 למעלה(. אם נחלק מספר שמתחלק בדיוק במחשבון, נקבל נקודה 00 לימין השלמים לדוגמה: : =.00 כשמחלקים מספר שאינו מתחלק בדיוק, מקבלים ספרות אחרי הנקודה. הספרות האלה אינן מבטאות כמובן את השארית. הדרך למצוא את השארית מוסברת במידע בעמוד 76 למעלה. לדוגמה, כשמחלקים ל- מקבלים.. אם נכפול ב- נקבל. מכיוון שחילקנו, נשארת שארית ) פחות (. אפשר להוסיף עוד כמה תרגילים למציאת שארית בעזרת מחשבון. קיבלנו תוצאה של ועוד כאן מראה לנו שמדובר על חלקים מתוך 00, או אם נצמצם נקבל רבע. כלומר, השארית היא ) מתוך (. 69

70 בהמשך עמוד 76 יש הסבר איך למצוא את מספר המחזורים בלוח העברי ואיך למצוא את השארית במחזור. אם יודעים באיזו שנה במחזור הנוכחי נמצאים, יודעים אם היא שנה מעוברת. השנים המעוברות נקבעו לשנים,, 8, 6,, ו- 7 בכל מחזור. בעמוד 76 מודגם איך למצוא בעזרת מחשבון כמה מחזורים עברו ומהי השנה במחזור. לפי השארית שמתקבלת בודקים אם השנה מעוברת )אם היא אחד מהמספרים הרשומים לעיל(. ההדגמה היא על שנת תשס"ה. מומלץ שהתלמידים יבצעו את השלבים בהדגמה וכדאי לשוחח על מה שמוצאים בדרך. בעמוד 77 התלמידים מתבקשים לחשב בדרך דומה אם השנה הנוכחית היא שנה מעוברת. כדאי להמליץ לתלמידים לבצע את הפעילות בזוגות. הפעילות אתגרית, ולכן היא פעילות בחירה. המורה תפעיל שיקול דעת אם כל התלמידים יעשו את הפעילות או רק כמה מהם. דרך אחרת לבדוק אם השנה מעוברת היא לראות כמה שנים עברו מהשנה שאותה חישבנו בספר, לדוגמה בעמוד 76 )שנת תשס"ה(. שנה זו הייתה השנה השמינית למחזור 9 השנים. אפשר לראות יחסית לשנה זו, איזו שנה במחזור היא השנה הנוכחית ולבדוק אם זו שנה מעוברת לפי השנים במחזור שהן שנים מעוברות. פעילות : אפשר גם לבדוק בלוח השנה הנוכחית אם השנה מעוברת. בודקים כמה חודשים יש בשנה רגילה ובשנה מעוברת, וכמה ימים יש בשנה מעוברת )בשנה מעוברת נוספים 0 יום באדר א(. פעילות חגים חג החנוכה הפעילויות עוסקות גם בחקר נתונים וסיכויים )על פי הנדרש בתוכנית הלימודים של כיתה ו(. ניצלנו את העיסוק בחנוכה ללמד נושא חשוב מתוכנית הלימודים. לכן, יש חשיבות לבצע פעילויות אלה מעבר לקשר לחג. חומרים לשיעור: סביבונים. רצוי לבקש מכל תלמיד להביא סביבון או לדאוג שלכל קבוצה יהיה לפחות סביבון אחד. כדאי להזכיר לתלמידים את המושג "ממוצע" )ראו הטרמה ליחידה (. כמו כן, מומלץ שהתלמידים יעבדו בקבוצות. המלצה למהלך העבודה: מומלץ לחלק את הכיתה לקבוצות קטנות של שלושה ארבעה תלמידים, שיבצעו את פעילויות, בעמוד 78. כדאי לערוך דיווח קצר אחרי פעילויות אלה ולהגיע למסקנות הכתובות בעמוד 79. לאחר הדיווח, התלמידים יעברו לפעילות. פעילות : תשובות: א. הסיכויים של כל השחקנים לקבל נקודות אינם שווים. בשם של פנינה יש אותיות )פ, נ, ה( מתוך שמופיעות על גבי הסביבון. בשם של הדס, לעומת זאת, יש אות אחת בלבד )ה( מתוך ארבע האותיות שעל הסביבון, ובשם של גילה יש אותיות )ג, ה( מתוך הארבע שעל גבי הסביבון. ככל שיש בשם יותר אותיות מתוך האותיות המופיעות על הסביבון, הסיכויים לקבל נקודות ולזכות, גדולים יותר. ב. לפנינה יש את הסיכוי הגדול ביותר לזכות, כיוון שבשמה יש אותיות מתוך האותיות, המופיעות על גבי הסביבון. ג. להדס יש את הסיכוי הנמוך ביותר, כיוון שבשם שלה יש אות אחת מתוך הארבע, שמופיעות על גבי הסביבון. א. הסיכוי של פנינה לזכות בנקודות הוא:... = הסיכוי של הדס לזכות בנקודות הוא: הסיכוי של גילה לזכות בנקודות הוא: 70

71 פעילות : כדאי לבקש מהתלמידים לבצע את הפעילות ולדון בה. המשחק אינו הוגן, והסיכוי לנצח אינו שווה בין כולם. כדאי להנחות את הילדים להכין טבלאות כגון אלה המוצגות כאן בהמשך ולרשום בהן את האפשרויות. פנינה מקבלת נקודה אם האותיות שבשני הסביבונים נמצאות בשמה, זה קורה כשהסביבונים נופלים על האות פ בסביבון אחד ועל האות נ בסביבון השני. ועל האותיות ה בסביבון אחד ו-נ בשני או ה בראשון ו-פ בשני. כלומר, מתוך 6 האפשרויות לקבלת תוצאות, על 7 תוצאות מתוכן. היא מקבלת נקודה. לכן, הסיכוי שלה לקבל נקודה הוא 6 7 מתי נוגה מקבלת נקודות? התלמידים ירשמו בטבלה. אם התקבלה האות נ בסביבון אחד, נוגה תקבל נקודה בתנאי שהאות בסביבון השני מופיעה גם כן בשם שלה. היא אינה יכולה לקבל נקודה אם האות נ התקבלה בשני הסביבונים, כיוון שהאות נ בשמה אינה מופיעה פעמיים. היא יכולה לקבל נקודה רק אם בסביבון האחד התקבלה האות נ ובשני האות ג או ה. כך גם בהמשך הטבלה: אם התקבלה האות ג בסביבון אחד, היא תקבל נקודה בתנאי שהתקבלה נ או ה בסביבון השני, וכן הלאה כפי שרשום בטבלה השנייה כאן. רואים בטבלה שנוגה תקבל נקודות ב- 6 מצבים מתוך 6 6 המצבים, ולכן הסיכוי שלה לקבל נקודות הוא: = 6 8 של נגה.( לפנינה סיכויים גדולים יותר לנצח ( 7 6 לעומת 6 6 )ניסוח השאלה עשוי להשאיר מקום לחשוב, שאם בשני הסביבונים מופיעה אות שנמצאת בשם של הילדה, מגיעה לה נקודה. לדוגמה, אם מתקבלת האות נ פעמיים, אפשר לטעות ולחשוב שמגיע לנוגה לזכות בנקודה כי יש בשם שלה את האות נון. כדי למנוע קשיים בפתרון השאלה, כדאי להבהיר בשיחה מקדימה שהכוונה כאן שזוכים בנקודה רק אם שתי האותיות שהתקבלו בסביבונים מופיעות שתיהן בשם(. הסיכויים של פנינה לזכות בנקודות: נ פ ה ג סביבון סביבון נ ג ה פ הסיכויים של נגה לזכות בנקודות: פ ה ג נ סביבון סביבון נ ג ה פ 7

72 נספחים פעילויות נוספות לספר ראשון נספח טבלת מספרים שלב : נכין טבלה לשיבוץ מספרים. ניתן להכינה כ"קיר מפעיל", או כמרכזון שולחן מנוילן. את טבלת המספרים ל"קיר המפעיל" אפשר להכין על לוח לבד בעזרת סקוץ' "זכר". אלפיות מאיות עשיריות יחידות עשרות מאות אלפים שלב : נכין ספרות מ- 0 עד 9. אותן יוכלו התלמידים לשבץ בטבלת המספרים. שלב : נכין כרטיסיות הפעלה לטבלת המספרים. דוגמאות לכרטיסיות )בהמשך(. הפעילויות בכרטיסיות מתאימות לעבודה יחידנית או בזוגות. כרטיסייה בחרו ספרות, שבצו אותן בטבלת המספרים, כתבו את המספר שהתקבל במחברת. בצעו את הפעילות פעמים נוספות עם אותן הספרות וצרו מספרים אחרים. כתבו את המספרים שהתקבלו, ולאחר מכן סדרו אותם מהקטן לגדול. כרטיסייה בנו את המספרים הבאים בטבלת המספרים. כתבו במחברתכם את המספרים במילים ובמספר:. שלוש וארבע מאות חמישים ושתיים אלפיות.. עשרים וחמש מאיות.. אתגר: שלושים ושבע עשיריות. שלוש עשרה עשיריות ושתי אלפיות. 7

73 כרטיסייה בנו את המספר המיוצג בציור בטבלת המספרים וכתבו אותו במילים ובמספר: כרטיסייה לפניכם מספרים עשרוניים. העתיקו את הטבלה למחברת ורשמו את המספרים בטבלת המספרים: המספר ספרת העשיריות ספרת המאיות ספרת האלפיות המספר בשבר פשוט ייצוג המספר בלבנים )ציור( נספח ליחידה המשך כרטיסיות למרכזון בית המספרים, בנושאים חיבור וחיסור מספרים עשרוניים. כרטיסייה חזרו לעבודתכם בכרטיסייה. חשבו את הסכום של המספר הגדול והמספר הקטן שבניתם. חשבו את ההפרש בין המספר הגדול והמספר הקטן שבניתם. כרטיסייה 6 עבדו בזוגות. ענו במחברת: א. מה סכום המספרים של שני המספרים הקטנים ביותר שכל אחד מכם מצא? ב. מה סכום המספרים של שני המספרים הגדולים ביותר שכל אחד מכם מצא? ג. מה ההפרש בין שני המספרים הקטנים ביותר שמצא כל אחד מכם? ד. מה ההפרש בין שני המספרים הגדולים ביותר שמצא כל אחד מכם? 7

74 נספח ליחידה כרטיס ניווט סכום תוצאה של תרגיל חיבור הפרש תוצאה של תרגיל חיסור מכפלה תוצאה של תרגיל כפל מנה תוצאה של תרגיל חילוק 7

75 נספח ליחידה עמוד פעילות 9 למורה: לניילן את דף המשולש, להדביק במרכז כל עיגול סקוץ' "נקבה". לגזור את העיגולים שעליהם מודפסים המספרים, לניילן אותם ולהדביקם מאחורי כל עיגול סקוץ' "זכר". )כדאי להכין שני עותקים כדי שמספר ילדים יוכלו להתנסות במרכזון. משימה זו ניתנת לביצוע לבד או בזוגות.( פתרון פתרון לנספח 7 7

76 נספח ליחידה פעילות 9 עשרוניים במשולש שבצו את המספרים כך שסכום כל צלע במשולש יהיה שווה ל

77 נספח ליחידה 7 עמוד 6 פעילות 0 למורה: לגזור את המספרים והנקודה העשרונית, לניילן אותם ולהדביק מאחוריהם סקוץ' "זכר" לצורך עבודה על קיר לבד. אם אין קיר לבד בכיתה ניתן לעבוד עם המספרים על השולחן. 77

78 "פשוט חשבון" - נספח 6 ליחידה פעילות 6 עמוד 8 שבצו את המספרים בעיגולים כך שסכום המספרים על כל צלע יהיה שברים במשולש 78

79 נספח 7 ליחידה פתרו את השאלות. תעדו את דרך הפתרון: א. אוראל מתאמנת לריצה. ביום הראשון היא רצה ביום השני היא רצה ק"מ. ק"מ יותר מאשר ביום הראשון, וביום השלישי היא רצה ב- יותר מאשר ביום השני. 8 כמה קילומטרים רצה אוראל במשך ימים? מגשי פיצה. ילדים חילקו ביניהם שווה בשווה את ב. על השולחן נשארו הפיצות. איזה חלק קיבל כל אחד מהילדים? ק"מ, וביומיים הנוספים ג. אביב צעד ימים. ידוע שביום הראשון הוא צעד הוא צעד מרחק שווה בכל יום. ב- הימים צעד אביב 8 ק"מ. כמה קילומטרים צעד אביב ביום השני וביום השלישי? ד. רז צעד בטיול ימים. ביום השני הוא צעד ק"מ. ביום השלישי הוא צעד בסך הכל צעד בשלושת הימים 8 ק"מ. כמה ק"מ צעד רז ביום הראשון? ק"מ. 79

80 נספח 8 ליחידה פתרו את השאלות, תעדו את דרך עבודתכם. ק"מ. א. שגיא מתאמן לתחרות ריצה. ביום הראשון הוא רץ ק"מ. כמה קילומטרים רץ שגיא ביומיים? ביום השני הוא רץ ק"מ. ב. קבוצת ילדים יצאה לטיול. ביום הראשון היא צעדה ק"מ. כמה קילומטרים צעדה הקבוצה ביומיים? ביום השני פיצות. הם אכלו בשעה הראשונה של פיצה. ג. משפחת יוסף קנתה כמה פיצה נשארה להם? לאחר מכן הגיעו אורחים ואכלו עוד פיצה. כמה פיצה נותרה? 80

81 נספח 9 ליחידה 9 דף עבודה. שרטטו ציר מספרים. א. מקמו את 7 0., על הקטע שבין 0 ל-. 8 על ישר המספרים ב. מקמו את ג. מקמו בערך את המספרים הבאים על ישר המספרים: 0.080,0.80,0.08,0.8,0.8 ד. מצאו שלושה מספרים בין 0. ל כמה מספרים כאלה יש לדעתכם?. נתון השבר. כתבו שלושה תרגילי כפל שבכל אחד שני מספרים )שני גורמים(. רשמו את השבר הנתון כאחד הגורמים ורשמו גורם נוסף כך ש: א. התוצאה תהיה קטנה מהשבר הנתון. ב. התוצאה תהיה גדולה מהשבר הנתון.. העריכו ללא חישוב איזו מכפלה גדולה יותר 0. או X 7. X 7. הסבירו:. בגינה שתלו 6 פרחים. מהם היו אדומים, 9 מהם היו צהובים והיתר לבנים. חשבו ותעדו את דרך הפתרון: א. כמה פרחים אדומים שתלו בגינה? ב. כמה פרחים צהובים שתלו בגינה? ג. כמה פרחים לבנים שתלו בגינה?. בכיתה ו היו בנות. הן מהוות מהתלמידים בכיתה. כמה תלמידים 8 בכיתה? תעדו את דרך הפתרון. 8

82 נספח 0 ליחידה 0 שאלות נוספות למשימת חקר בפעילות. כמה קורות עץ יהיו ב- 8 יחידות גדר? הסבר. כמה קורות עץ יהיו ב- יחידות גדר? הסבר. כמה מסמרים יהיו ב- יחידות גדר? הסבר. כמה מסמרים יהיו ב- 8 יחידות גדר? הסבר. האם יתכן שיהיו מסמרים? הסבר 8

83 מדריך למורה "פשוט חשבון" חלק שני מתאים לספר ו' פרק כפל שברים 6 שיעורים יחידות 6- פרק זה עניינו תזכורת ואימון במציאת חלק של כמות. נתונים הכמות היסודית )השלם( והחלק מהכמות, ויש למצוא מהי הכמות החלקית מתוך השלם )יחידות (;, מציאת החלק כאשר נתונים הכמות היסודית, והכמות החלקית )יחידות (;, מציאת הכמות היסודית )השלם( כאשר נתונים החלק וגודל החלק )יחידה (; ותרגול היחידות הראשונות: מציאת חלק של כמות, מציאת החלק ומציאת השלם )יחידה 6(. התלמידים כבר הכירו מצבי כפל עם שברים. בספר הראשון של כיתה ו' הוצגו מצבים של כפל של שלם בשבר במשמעות של "חיבור חוזר", כגון: פעמים חמישיות. התלמידים למדו לכתוב תרגיל כפל למצבים אלו. כמו כן, הם הכירו מצבים של כפל שברים במציאת שטח של מלבן. הם גם הכירו מצבים של "חלק של חלק", בהתחלה משטח של מלבן, ובהמשך באופן כללי, תוך שימוש בתרגילי כפל גם שם. הם התנסו גם במצבים של כפל שברים במשמעות של חלק מכמות. כגון: כמה הן חמישיות מ- 0? מצבים אלו של כפל שבר במספר שלם הוצגו רק במצבים של הצגת בעיה או ציור, והתלמידים ח שבו אותם בדרכים לא פורמליות. לא לימדנו כתיבה של תרגיל כפל במצבים אלו. בפרק זה, התלמידים יכירו גם רישום של תרגיל כפל של שבר במספר שלם בהקשר של חלק מכמות. בפרק זה יילמדו גם הנושאים של מציאת החלק בהקשר של כמות, ומציאת שלם על פי החלק שלו. אנחנו מתחילים במצבים מוחשיים, בשאלה או בציור ועוברים לרישום התרגילים. נעסוק בחוק החילוף בכפל ובכך שכפל של שבר במספר שלם שווה לכפל של מספר שלם בשבר, עם זאת, למצבי כפל שונים יש משמעות שונה כמה פעמים חמישיות שונה מכמה הן חמישיות מ- 0. מקובל לרשום תרגיל למצב של מציאת חלק מכמות כשהגורם הראשון הוא השבר והגורם השני הוא הכמות או המספר השלם )מובן שמתמטית, מותר גם להחליף את סדר הגורמים והתוצאה לא תשנה(. אפשר להיעזר בהיכרות של התלמידים עם דרכי החישוב של כפל שלם בשבר גם כאן. בדרך דומה לרישום הפתרון של תרגיל של כפל שלם בשבר, כך גם בכפל שבר בשלם אפשר לרשום את המכפלה של המונה של השבר והשלם במונה, ובמכנה נשאר המכנה של השבר. המושג "חלק של כמות" הוא מושג רווח אך מטעה לעתים. חלק מהכמות )מהשלם( אינו בהכרח קטן מהכמות. לדוגמה: ק"ג תפוזים עולה ש"ח. אם קונים. ק"ג תפוזים, משלמים יותר מאשר משלמים על ק"ג )שהוא הכמות השלמה במקרה זה(: = 7.. x חשוב לשים לב שאם בעולם השלמים החיוביים הכפל תמיד "מגדיל" )כאשר שני הגורמים גדולים מ- (, הרי שב"עולמון" שבו אנחנו נמצאים כעת אם השבר קטן מ-, המכפלה תהיה קטנה יותר מהגורם השני. לדוגמה: x 0 = )הגורם( > 0 )המכפלה( 8

84 8 יחידה חלק של כמות מטרת היחידה: הצגת מצבים של חלק מכמות )פעילויות ו (; כתיבת מצבים אלה כתרגיל כפל של שבר בשלם )פעילויות ו (; לאחר ההתנסויות הנחיה פורמאלית ודרך הכתיבה: כאשר כופלים שבר בשלם כופלים את המונה בשלם והמכנה נשאר כפי שהוא. פתיחת היחידה: חזרה על ידע קודם בעל פה במליאת הכיתה. המורה יכולה לשאול, תלמיד יענה ויסביר כיצד חישב בראש. נתחיל עם שברי יחידה )במונה יש (, ולאחר מכן עם שברים שבהם המונה שונה מ-. דוגמה: חצי של 0, שליש של 60, רבע של 0, שמינית של 80. שני שלישים של 60, שלושה רבעים של 0, חמש שמיניות של 80, שתי שישיות של 0 וכן הלאה. כדאי לשוחח על מצבים מוכרים של כפל שבר בשלם ולרשום אותם. לדוגמה: ק"ג. קילוגרם תפוחים עולה 6 ש"ח. קניתי בכיתה ילדים. שני שלישים מהם מנגנים בכלי נגינה כלשהו. מילדי הכיתה הן בנות. וכן הלאה. חשוב לאחר כתיבת המצבים במלל להראות את דרך כתיבתם כתרגיל; לשוחח על דרך הפתרון ולהראות שהמכפלה יכולה להיות קטנה מ"הכמות השלמה". לדוגמה: = x x = 0 = 6 x = קטן מ-. לאחר ההסבר / התיווך, התלמידים יכולים לעבוד ביחידה באופן עצמאי. פעילות : מציאת חלק מכמות, מוחשי, בעזרת ציורים. עורכים חזרה על הנלמד בכיתה ד, ללא צורך בכתיבת תרגיל כפל מתאים. פעילות : מטרת הפעילות היא להבין מדוע כותבים תרגיל כפל גם במצבים של חלק מכמות. להבנת הנושא משתמשים בידע הקודם של התלמידים בקניית כמויות ומעבירים אותם למצב של קניית חלק מכמות. לדוגמה: ק"ג עוגיות עולה ש"ח. דורון קנה ק"ג עוגיות. התרגיל לחישוב כמה שילם דורון, הוא תרגיל כפל. x לכן אם יונתן קנה ק"ג עוגיות, גם במצב זה נשתמש בתרגיל כפל כדי לדעת כמה הוא שילם:. מומלץ לקרוא את התרגיל: חצי של ש"ח. x = פעילות 6: תרגול וחזרה למציאת חלק מכמות, בשילוב ציור ממחיש לביקורת ובדיקת תוצאות. בפעילות 6 מציאת החלק היא מהכמות שנשארה, ובפעילות מציאת החלק מהכמות ההתחלתית )הראשונה(. פעילות 7: פתרון תרגילי כפל שבר בשלם. בחלק מהתרגילים המכפלות הן מספרים מעורבים )סעיפים ג, ד, ו(. פעילות 8: שאלות בנושא מציאת חלק מכמות. יש לשים לב שבשאלה ב התלמידים מתבקשים

85 למצוא את הכמות החלקית ממספר הבנות שבכיתה, ובשאלה ג ממספר הבנים שבכיתה. פעילויות 9 0: תרגול וחזרה למציאת חלק מכמות בשאלות מחיי התלמידים. פעילות שיעורי בית תרגול פתרון תרגילי כפל שבר בשלם. משחק המתרגל מצב זה הוא "נקה את הלוח", המופיע בנספח, עמודים - במדריך למורה. אפשר לשחק במשחק ביחידה זו וביחידות הבאות לפי שיקול הדעת של המורה. 8 יחידה המשך של כפל שבר בשלם פתיחת היחידה כדאי לחזור על מה שלמדנו ביחידה הקודמת באמצעות בדיקת שיעורי הבית. הצעה נוספת לפעילות אתגר: אם רוצים, אפשר להוסיף פעילות מאתגרת. הפעילות יכולה להתאים לפעילות פתיחה, שבה התלמידים עובדים בזוגות או בקבוצות קטנות, או אפשר לתת את הפעילות לתלמידים חזקים שמסיימים את הפעילויות בספר מהר, כך שהמורה תוכל להתפנות לתלמידים מתקשים: השתמשו בספרות,,, ובנו בעזרתן תרגילי כפל של שבר בשלם, שתוצאתם מספר שלם. כמה תרגילים שונים מצאתם? מתי המכפלה גדולה מהגורם השלם? מדוע? = ; x = ; x ; x = ; x = ; x לדוגמה: = ; x = x = ; x = ביחידה זו נוספת התייחסות לכפל של מספר עשרוני בשלם והשוואה בין שברים פשוטים למספרים עשרוניים )פעילות (. יש גם תרגילים שבהם מספר מעורב כפול שלם )פעילות 9(. ניתן כמובן להשתמש בפילוג ) או לייצג מספר מעורב כשבר גדול מ- ולחשב כפי x = x + )לדוגמה: x ) x 8 = שח שבנו כפל בשברים קטנים מ-. )לדוגמה: = 0 x פעילות : שתי שאלות: האחת מתייחסת להנחות והשנייה להתייקרויות. מבחינה מתמטית צריכה להתגלות לתלמידים, תוך כדי התנסות, עובדה זו: רבע של כמות ועוד רבע של כמות שווים לרבע של סכום הכמויות. דוגמה זו נכונה גם בהנחות וגם בהתייקרויות. x 0 + x 00 = לדוגמה פתרון שאלה א': = 80 0 x כלומר מחיר החולצה והמכנסיים לאחר ההנחה הוא 0 ש"ח. = בשאלה ב' מופיעה גם "הצעה של חן" למצוא מהמחיר במקום לחשב את ההנחה )בסך מהמחיר( ולהוריד את הסכום הזה מהמחיר המלא. השאלה אכן היתה לגבי המחיר לאחר הנחה ולא על גובה ההנחה, ולכן כדאי לעשות: = 0 0 x לאחר פתרון שתי השאלות מתקיים דיון עם המורה על דרכי הפתרון. חשוב לשים לב, שלמרות שמדובר ב"חלק של כמות" )חומר חדש( הפתרון הוא בתרגיל כפל שבר בשלם הידוע כבר לתלמידים.

86 פעילויות -: התנסויות מוחשיות במציאת חלק מהשלם )ללא כתיבת תרגילים(. שימו לב לפעילות ג'. אתגר: תלמידים מציירים וכותבים חידה. פעילויות -: מציאת החלק מהשלם כשהחלק מתבטא הן כשבר פשוט והן כעשרוני. חשוב לשים לב ולהזכיר: = x 0 = 0.80 x x ניתן כמובן לבצע כפל מאונך. פעילויות 8-6: מגוון של משימות בנושא חלק מכמות. פעילות 9 שיעורי בית. חזרה, תרגול נוסף של תרגילי כפל שבר בשלם ושבר בשבר. יחידה המשך של כפל שבר בשלם מטרות היחידה: להעמיק ולבסס את משמעות החלק מתוך השלם, ופתרון של מגוון רחב של מצבים כאלה; להראות את השבר כמבטא חלק מתוך כמות. לדוגמה: 6 מתוך 0 מהווים. 6 0 לתשומת הלב: למרות שאין התייחסות מפורשת לתלמיד חשוב להראות ולבקש בכל פעם את ) 0: 6: צמצום השברים המבטאים חלק מתוך כמות. )דוגמה: = בפתיחת היחידה: כדאי לבדוק את שאלה 6 ואת שיעורי הבית מפעילות 8 מהיחידה הקודמת כדי לקבל הערכה לגבי הבנת החומר והפנמתו עד כה. לאחר מכן, לקראת יחידה, כדאי לעסוק בדוגמאות של שבר המבטא חלק מכמות. 9 מהכיתה; לדוגמה: בכיתה תלמידים. 9 מהם בנות. הבנות מהוות = ; 8 בישראל 9-8 חודשים בשנה לא קר. כלומר: ( = מהשנה לא קר כאן. ;(, 9 שני שלישים עד שלושה רבעים נשאל את התלמידים אם גם הם יכולים לתת דוגמאות שונות. נתייחס, נרשום ונבדוק אם אפשר לצמצם. העבודה ביחידה, לאחר פעילות : כדאי להזמין תלמידים, שעדיין אינם בטוחים בעצמם או שאינם מבינים, לעבודה בקבוצה עם המורה, כאשר שאר התלמידים עובדים באופן עצמי או בזוגות. פעילות : מציאת החלק מתוך כמות, כשהכמות השלמה מוחשית כשהיא מוצגת בציור. קיימת התייחסות גם לייצוג מספרים עשרוניים של החלק )סעיף ה(. בשלב זה, התלמידים אמורים כבר לזהות מיד ש 0. זה רבע. בסעיף ו נדרשים התלמידים למצוא סוכריות ב- צבעים המהווים חצי מכמות הסוכריות, כלומר 8 סוכריות ב- צבעים: הסוכריות הירוקות, החומות והלבנה. פעילות : מציאת החלק מכמות משבצות )המלבן השלם( המוצג באופן מוחשי בציור )משבצות צבעוניות(. בסעיף ב התלמידים נדרשים להציג את החלק הצבוע במספרים עשרוניים. פעילות : שאלות מילוליות בנושא מציאת החלק מכמות. פעילות : הדגישו בפני התלמידים את ההבדל בין איזה חלק הוא 6 מתוך 6 הפעולה תהיה ) לבין כמה הם של 6 הפעולה תהיה כפל. 6( = 6 ) 8 x חילוק ( = 9 פעילות : מגוון שאלות בנושא מציאת חלק משלם ומציאת הכמות החלקית. סעיפים בהם חשוב לעצור ולדון: פעילות ב' ופעילות ה'. 86

87 0 ו. 8 גם אותם פעילות ב': נשווה בין השברים: ו. אם נצמצם נקבל את השברים 0 לא קל להשוות. ולכן < 8 ו = 8 נעשה זאת בעזרת מציאת מכנה משותף = פעילות ה': בחלק הראשון של השאלה יש לחשב כמה גרם הם ק"ג. אם,000 גרם שווים בצנצנת דבש 800 גרם. ל- ק"ג אז 800 = 000 x החלק השני של השאלה הוא: כמה פעמים ק"ג נכנס ב- 0 ק"ג? או מהי המנה: = 800 0,000 : ג' מכיוון שהתלמידים עדיין לא למדו חילוק שלם בשבר, כדאי להפוך לגרמים ולפתור במספרים שלמים, או להישאר בשברים ולצייר כמה פעמים ק"ג נכנס ב- 0 ק"ג. = = = = פעמים שווה ל- ק"ג דבש. אז פעמים שווה ל- 0 ק"ג. = פעילות 6 שיעורי בית. חזרה על כתיבת חלק מכמות, כשהכמות השלמה מוצגת באופן מוחשי בציור. יחידה המשך של כפל שבר בשלם נושאי היחידה: א. מציאת חלק מכמות ב. השבר כביטוי של כמות מתוך כמות )כמו ביחידה קודמת(. פתיחת היחידה: אם התלמידים עבדו באופן עצמאי על הפעילויות ביחידה הקודמת )חוץ מהפעילויות שדנו בהן(, חשוב לשוחח על פעילות ו' ועל שיעורי הבית של פעילות 6. מחיר שיחת טלפון הוא שקל לדקת שיחה. 87 שעה. עדי דיבר עם חן שעה, עם רינה שעה ועם שיר 0 6 כמה כסף שילם עדי על כל אחת מהשיחות? כמה דקות בסך הכול דיבר עדי עם שלושת חבריו? )דקות שיחה: = עלות כוללת: 0 ש"ח( פעילות : היחידה נפתחת בסקר שנעשה בקבוצת מדגם בבית ספר על העדפותיהם של תלמידים בטעמי גלידה. הנתונים באים לידי ביטוי בדיאגרמת עמודות. א. קבוצת המדגם מונה 6 תלמידים )המספר מתקבל כסיכום הנתונים מהדיאגרמה חיבור של מספר התלמידים שהעדיפו כל טעם(. 6=

88 8 9 6 ב. סוג הגלידה שוקולד. החלק שהוא מהווה = חמוץ שוקולד = 6 ג. התשובות לתרגיל: וניל = 6 7 תות = דובדבן = 6 8 ריבת חלב = 6 ד. לפי התרגיל הקודם, ניתן לראות כי שמינית מן הנשאלים מעדיפים טעם תות. ה. כדי לדעת כמה תלמידים מכל תלמידי בית הספר מעדיפים סוגים שונים של גלידה, יש לראות איזה חלק מעדיף גלידה זו בקבוצת המדגם. אם גם כל התלמידים בבית הספר אוהבים גלידה זו כמו שהתקבל בסקר )באותו חלק(, אפשר למצוא כמה הוא החלק הזה של 8 שהם כל תלמידי בית הספר. לדוגמה, התלמידים שאוהבים טעם תות )7 ילדים מתוך 6 במדגם(. איזה חלק הם מתלמידי המדגם? 7 6 של תלמידי המדגם. אם אותו החלק של תלמידים הוא גם 7 6 של.8 נמצא החלק שמעדיפים גלידת תות מכל תלמידי בית הספר, נמצא כמה הם 7 6 x 8 = 8 x 8 = 6 "חלק של" בעזרת כפל: אפשר לצמצם בעזרת חילוק מונה התלמידים יכולים להשתמש במחשבון. 6 7 ומכנה ב- 7. כמה זה שמינית של 8? 6 תלמידים מכל בית הספר אוהבים גלידה בטעם תות. אותו חלק מקבוצת המדגם שמראה כמה תלמידים אוהבים גלידה תות הוא גם החלק מהקבוצה כולה. נושא הסקר מאפשר הצגה של מספר שאלות נוספות. התלמידים עובדים עליהן באופן עצמאי )לאחר הסבר שניתן בתחילה(. לפני פעילות יש שיחה סביב השאלות בפעילות. לאחר השיחה התלמידים ממשיכים בעבודה באופן עצמי או בזוג. תשובות מלאות: 9 6 x 8 = 7 = x 8 8 חמוץ וניל 96 = x x 8 = 9 ריבת חלב שוקולד = 8 8 x דובדבן 8 = 8 8 x תות 6 = 8 8 x ו. כדי למצוא כמה קופסאות מכל סוג כדאי למועצת התלמידים לקנות, נחשב תחילה כמה קופסאות יספיקו לתלמידים הרוצים בסוג זה. מכיוון שלא ניתן לקנות חלק של קופסה, נעגל את התוצאות: 88

89 וניל 96:0=9.6 0 חמוץ 7:0=7. 7 שוקולד :0=. ריבת חלב :0=. דובדבן 8:0=.8 תות 6:0=.6 6 התלמידים יכולים לקבל גם תשובות אחרות, ולהפעיל שיקולי דעת מן החיים. ז. ממוצע מספר התלמידים בכיתה: =8: תלמידים בממוצע בכיתה. פעילות : מתרגלים פתרון תרגילי כפל בשברים, ובמיוחד כפל של שבר בשלם )חלק מכמות(. פעילות : חזרה על מציאת חלק מכמות מבלי להידרש כאן לרישום תרגיל כפל, אלא לעבודה אינטואיטיבית. לדוגמה, אם צריך למצוא בה' תשיעיות של 8, אפשר למצוא תשיעית אחת שהיא ולכפול ב- כדי למצוא תשיעיות. עורכים השוואה בין זוגות של תרגילים. אפשר לערוך דיון על התרגילים ד ו ה בהם התקבלו תוצאות שוות. מה הקשר בין הגורמים לתוצאות? לדוגמה תרגיל ד: של או של.0 גדול פי מ-, ו קטן פי מ- 0. לכן נוצר שוויון בין התרגילים. 89 פעילות : מציאת החלק מכמות וכתיבתו כשבר מצומצם )אם אפשר(. בפעילות הכמות השלמה מוצגת מוחשית בציור. פעילות 6: מציאת חלק מכמות, מציאת הכמות החלקית. פעילות 7: שאלות מילוליות, למציאת חלק מכמות וכתיבתו כשבר.. 0 הצמצום יסייע בהשוואת בפעילות 7 ב': נוצרים שני שברים שצריך להשוות ביניהם: ו 6 ו. 8 קיבלנו שני שברים מצומצמים שאחד מהם גדול מחצי והשני קטן מחצי. 9 השברים: ב-ו' החלק המהווה את הבנות הוא: יותר מחצי. 9 וב-ו' החלק המהווה את הבנות הוא: קטן מחצי. 8 אם לא מספיקים לשוחח על שאלה זו במהלך שיעור זה נעביר את השיחה לשיעור הבא. פעילות 8 שיעורי בית. שאלה המשלבת את מציאת הכמות החלקית ואת מציאת החלק. בתחילה התלמידים מוצאים כמה פרחים כחולים שתלה תמר מציאת הכמות החלקית מהשלם, ובשאלה ב מוצאים את החלק של הפרחים הצהובים מכלל הפרחים )מציאת החלק(. פעילות 9 שיעורי בית. מציאת הכמות החלקית ממספר )כמות(. כאן זה ניתן רק ברמה של מספרים בלי ציור. יחידה מציאת השלם )הכמות היסודית( נושאי היחידה: ביחידה זו נוסף העיסוק של מציאת השלם על פי חלק. לדוגמה: אם ידוע שבתחילת כיתה א' כבר חגגו שישה ילדים יום הולדת של גיל 6 והם מהווים חמישית מילדי הכיתה, זה אומר שיש 0 ילדים בכיתה. פתיחת היחידה אם 7 ב' ביחידה הקודמת לא נידון חשוב לעסוק בו עכשיו. לקראת העבודה ביחידה זו המורה ישוחח עם התלמידים על מצבים מחיי היום יום שבהם ידוע החלק ועל-פיו מוצאים את גודל השלם. לדוגמה:. עד עתה ירדו 0 מ"מ גשם והם מהווים רבע מהכמות השנתית הממוצעת.. ילדים מהכיתה החליטו להירשם לחוג שח והם מהווים ששית מהכיתה.

90 . בלהקת המחול משתתפות 8 בנות והן מהוות שני שלישים מהלהקה כולה. חשוב לאפשר לתלמידים לחשוב ולשוחח ביניהם ולהציע בעצמם מצבים מתאימים. כאשר מספרים על מצבים כאלה חשוב לשוחח גם על הדרך לפתרון. לדוגמה שאלה כאן: 0 מ"מ 8 שאלה כאן: בנות בשלם יש רבעים ולכן הכמות השנתית הממוצעת היא 600=0x מ"מ. בשלם יש שלושה שלישים ולכן שליש מחברי הלהקה הם 9=8: ו שלישים הם 7=9x. הצעה לאפשרות נוספת לפתיחת השיעור: להתייחס לצורות המופיעות בספר בפעילות, ולאפשר לתלמידים לצייר את הצורה השלמה, לפי ההנחיות. קל כאן להדגים את הרעיון של מציאת השלם על פי חלקו בעזרת הציורים. קיימות אפשרויות שונות לציור השלם בכל סעיף. התלמידים יכולים לבנות את הצורה השלמה בעזרת העתקה של הצורה הבסיסית )שבר היחידה( כמספר הפעמים הנדרש. בפעילות א הצורה היא רבע מצורה שלמה. לכן השלם שווה ל- פעמים השטח של הצורה המצוירת. דוגמה לציור שלמים שונים: סעיף ב - עיגולים הם חמישית מציור שלם. בשלם 0 עיגולים אותם אפשר לצייר בדרכים שונות. סעיף ג - משולשים, שהם מציור שלם. בשליש משולשים )חילקנו ב- כדי למצוא שליש אחד( ובשלם 6 משולשים. סעיף ד - ריבועים שהם מציור שלם. בחמישית ריבועים )חילקנו ב- כדי למצוא חמישית אחת( ובשלם ריבועים. לאחר הפתיחה התלמידים ימשיכו ביחידה באופן עצמאי. פעילות : ציור השלם לפי החלק, כפי שנדרשו לצייר בפעילות א. פעילות : ציור השלם לפי החלק, כאשר השלם הוא כמות, בדומה לפעילות סעיפים ב-ד. 90

91 בפעילות ה הכמות היא רבע מהכמות השלמה. כדי למצוא את הכמות השלמה יש לצייר אותה פעמים, כלומר בשלם יהיו 6 עיגולים. פעילות : שאלות מילוליות בנושא מציאת השלם לפי החלק. לתלמידים מתקשים מומלץ לאפשר לעבוד באופן מוחשי בעזרת חפצים או לצייר את הכמות החלקית, ולכתוב ליד הכמות גם את החלק, כפי שהיה בסעיפים הקודמים. אפשרות נוספת להשתמש בציורים: סעיף א 6 ילדים 6 ילדים הם חמישית מהכיתה סעיף ב 0 ש"ח 0 ש"ח הנחה הם רבע מהמחיר 0 ק"ג סעיף ג 0 ק"ג תפוחים הם שתי חמישיות מכמות התפוחים תפוחים סעיף ד 0 דיסקים הם שלוש עשיריות מכמות הדיסקים סעיף ה 0 0 חרוזים כחולים הם שלוש חמישיות מהחרוזים ז י ם ח ר ו 9 ייתכן קושי בשאלה, יש להפנות את תשומת התלמידים כי הכמות והחלק אינם מתייחסים לאותם צבעי חרוזים. פעילות : חזרה על סדר פעולות בשברים ומספרים עשרוניים. התוצאות המתקבלות: ו. 6 ז. ח. 0 צפויים קשיים בפתרון התרגילים. ה. 8 א. 7 8 ב. ג. ד. פעילות 6: מגוון שאלות בנושא חלק של כמות: מציאת החלק, מציאת הכמות השלמה ומציאת הכמות החלקית. אם מתגלה קושי בשאלה 6 ג', כדאי לשוחח במסגרת קבוצה או במליאה. פעילות 7: פעילות מוחשית, בעזרת ציור בנושא חלק של כמות. סעיף א - מציאת החלק וכתיבתו כשבר מצומצם, סעיף ב - מציאת הכמות החלקית ומציאת החלק, סעיף ג - מציאת השלם על פי החלק. פעילות 8 שיעורי בית. מגוון שאלות בנושא חלק של כמות: מציאת הכמות החלקית, מציאת החלק ומציאת הכמות היסודית.

92 יחידה - 6 חלק של כמות, מציאת חלק, מציאת שלם ביחידה זו עושים התלמידים חזרה על כל הנושאים הרשומים בכותרת היחידה. בפתיחת היחידה: אפשר לבדוק יחד את התרגילים בסעיף מהיחידה הקודמת )סכום התוצאות הוא = 0 :0 0.) בתרגילים יש חיבור וחיסור במכנים שונים; יש כפל שבר בהפכי; סדר הפעולות בשברים; בפתיחת היחידה מסופר: "אורן הולך ברגל בקצב קבוע של ק"מ בשעה". רצוי להבהיר במליאה את המצב ולהזכיר את הנתונים הקשורים בו )60 דקות בשעה;,000 מ' בק"מ;(. ציון הזמן )שעות וכו'( עדיף לרשום בשבר פשוט ולא עשרוני: שעות ולא. שעות. )כדי שלא יהיו תלמידים שיקשרו את המספר מימין לנקודה למספר הדקות ולא יטעו לרשום במקום.0. - המספר.0 אכן משמש בנושא הזמן לציון השעה(. בפעילות ב' יש צורך למצוא חמישיות מ-. הדרך היא: = = 6 x ניתן להציע לתלמידים שמתקשים דרך נוספת: להרחיב את השבר ל- עשיריות. עשירית מ- הם. ולכן עשיריות:.8=.x לאחר פעילות מוצע לקיים דיון בדרכים לפתרון השאלות שבסעיף. משימות ג', ד' ו ה' בפעילות הן מציאת השלם על פי חלקו. חשוב מאוד להסתייע בציורים. לדוגמה: כדורים מהווים שני שלישים מהכמות ליטר מהווים רבעי מ כ ל דקות הן חמישית מהזמן הציור מבהיר את דרך החישוב מהחלק לשלם. ג': = 6 : ; שליש הוא 6 כדורים, אז שלישים הם: 8=6x. ד': = 8 : ; רבע מ כ ל הוא 8 ליטר, אז ב- רבעים יש: 6=8x ה': =x; שווה ל- שעות וחמש דקות. גם על כך תתנהל השיחה לאחר פעילות. )ניתן לקיים את השיחה לפני שהתלמידים מסיימים את פעילות, לאחר שסיימו את פעילות ואולי הזריזים כבר יהיו בפעילות (. פעילות : עוסקת בפועל בצמצום שברים לצורך השוואתם. לצורך ההשוואה מתאים להשתמש בקריטריונים שונים. א: הק רבה לשלם; ב', ו': שווים; ג', ה': השוואה לחצי; ד': מונים שווים. אם אין מספיקים לשוחח על כך בשיעור הזה, אפשר לדחות את הדיון לפתיחת השיעור הבא. פעילות : על התלמיד לצייר במחברת ריבוע משובץ x. בהמשך יידרש לפעול בתשומת לב רבה, הוראה אחר הוראה, תוך כדי הצביעה. תוצאת הצביעה: בירוק משבצות; באדום ;6 בכחול ; בצהוב ;6 בכתום ; בצבע אחר ; 9

93 לתלמידים "זריזים" כדאי להציע ליצור בעצמם מלבן משובץ במחברת ולתת הוראות צביעה מתאימות )בנוסח דומה(. פעילות : תרגילים הם כפל שבר בהפכי; שני תרגילים של כפל שלם בשבר; תרגיל אחד של כפל מספרים מעורבים )שנוח לצמצם בו לפני המעבר לשברים( ותרגיל אחד של כפל מעורב בשלם )מתאים להשתמש בחוק הפילוג(. חשוב לשוחח עם התלמידים לאחר ביצוע התרגילים. לדוגמה: מה משותף לכל התרגילים שמכפלתם? באיזה תרגיל נוח לכפול בעזרת פילוג? באיזה תרגיל נוח לצמצם לפני החישוב? פעילות : עוסקת כולה בחישובים של חלק מהשלם. החלק מתבטא לעתים גם בשבר עשרוני. השאלה האחרונה בפעילות זו חוזרת אל השבר כמבטא כמות מתוך כמות. א. תפוחים; אגסים; 0 אפרסקים; 6 משמשים; בננות; ב. תפוחים; אגסים; אפרסקים; משמשים; בננות; 7 החלק הנותר: = 60 0 פעילות 6: כל האפשרויות: אחות אח גדול אח קטן הדרך לקבוע את האפשרויות היא במציאת המכנה המשותף ל- ו )המכנים המופיעים בשאלה(, ואז לרשום את כל כפולותיו בתחום ה 00. כדאי להציע, לפחות לזריזים, למצוא את כל האפשרויות והסכומים שכל אחד מהאחים תרם. אפשר גם להכין טבלה כזו על שקף, ללא הסכומים ה"אישיים" ולהוסיף אותם תוך כדי דיון. נוח לראות בטבלה שחלק אינו משקף כמות )לדוגמה: האחות שילמה בכל מקרה ) ושהכמות החלקית גדלה / קטנה ביחס ישיר למצב הגדל / קטן של הכמות השלמה. )אם הכמות השלמה גדלה פי גם הכמות החלקית גדלה פי וכן הלאה...( פעילות 7: חשוב שהתלמידים יתבוננו בצורות ויבינו איך לציירן באמצעות משבצות המחברת. לדוגמה: ג ב א בעזרת ציורים אילו קל להראות מהי הצורה השלמה אם רבע ממנה הוא הצורה כמו בב', או חמישיות ממנה הן כמו הצורה בג'. מהציור בג' קל גם לראות למה שווה חמישית אחת )ציור אחד של האות "ריש"(. התלמידים יכולים לבנות את הצורה השלמה בעזרת העתקה של הצורה הבסיסית 9

94 )שבר היחידה( כמספר הפעמים הנדרש. לדוגמה, את ציור א' נשכפל פעמים, כי הצורה המצוירת היא שליש. בצורה ג' שהיא מורכבת יותר, נראה למה שווה חמישית אחת ואותה נשכפל פעמים. או ניקח את הציור הקיים בג' ונוסיף לו עוד פעמיים את ה"ריש" ששווה חמישית אחת. קל כאן להדגים את הרעיון של מציאת השלם על פי חלקו בעזרת הציורים. כדאי לשים לב שכדי לצייר את הצורה השלמה שהחלק שלה מצויר כאן לדוגמה, בב' כרבע של הצורה השלמה, אין הכרח לשכפל בדיוק את הצורה המצוירת, אלא למצוא שלם ששווה ל- פעמים השטח של הצורה המצוירת. אם תלמידים רוצים לפרק את הצורה המצוירת, ולדוגמה לצייר את כל הריבועים שיש בצורה בציור ב' בשורה אחת ולצייר שורות כאלה, פתרון זה גם הוא מתאים לדרישת השאלה. אם רעיון זה לא עולה מן התלמידים אין צורך לכוון אליו. נוח כאן לשכפל את הצורות המצוירות וזה מאד ממחיש את הרעיון שאם זה רבע מהו השלם, אם זה חמישיות, מהו השלם? פעילות 8 שיעורי בית. מוצע כאן מגוון של תרגילים שאחדים מהם יכולים לשמש לדיון, במקרה שיש תלמידים שאינם שולטים לגמרי בטכניקת הפתרון. לדוגמה בתרגילים ו': = 0.. x מדובר בחצי של. )ואין צורך בכפל מאונך( ואם: = 8 6 x אז = = x.8. + ראו את המשחק המתרגל חיבור וכפל שברים פשוטים ומעורבים: "הטל וסמן", בנספח בסוף המדריך למורה. פרק חילוק עשרוניים 8 שיעורים יחידות -7 יחידות 7 עד 8 עוסקות בחזרה ובתרגול של חילוק במספרים שלמים גדולים )תזכורת בחילוק מספרים שלמים(. חלק זה של הפרק בא כאן כהכנה לחילוק של מספרים עשרוניים. ביחידות אילו נחזק את הידע של "חילוק ארוך". יחידה 9 מהווה יחידת מעבר בין "חילוק ארוך" עם שארית )עדיין חזרה( ל"חילוק ארוך", שתוצאתו במספרים עשרוניים )חומר חדש(. יחידות 0 עד עוסקות בחילוק מספר עשרוני בשלם, וחילוק מספר עשרוני במספר עשרוני. ביחידות עד תרגילי חילוק שתוצאתם מספר עשרוני סופי ותרגילי חילוק, שתוצאתם מספר עשרוני מחזורי אינסופי. בפרק עוסקים גם במעבר משבר פשוט למספר עשרוני במצבים שלא ניתן או לא קל להרחיב או לצמצם בקלות למכנים של 00, 0,.,000 יחידה 7 "חילוק ארוך" בשלמים, חזרה נושאי היחידה: א. ביחידה זו יש פעילויות שמטרתן ביסוס דרכי חישוב שונות:, ב. יש פעילויות שמטרתן פיתוח תובנה: 6,, ג. ויש תרגול של חילוק ארוך. פתיחת היחידה: פעילות : לצורך פתרון השאלה צריך לחלק =,00: וגם =,00: בהמשך מתקיים דיון על הדרכים שבהן השתמשו התלמידים. אפשרויות לדוגמה: בעזרת פילוג המחולק:,000 : = (,000 +, ) : = 6, = 6,7,00 : =,000 : + 0,00 : =, =,700 בעזרת צמצום:,00: = 00: : = 700 : = 700 9

95 בדיון המורה נתמקד בפתרון בעזרת "חילוק ארוך" הדרך שבה נשתמש בהמשך בחילוק שבר עשרוני בשלם ושבר עשרוני בשבר עשרוני. פעילות : חילוק של מספרים גדולים )ניתן לצמצם ו / או להישען על לוח הכפל. אין צורך ב"חילוק ארוך"(. אחרי הדיון יש תזכורת ל"חילוק הארוך". רצוי להתבונן ולשוחח במקביל )איך מחליטים היכן בדיוק לרשום את המנה? מדוע "מורידים" ספרה ורושמים אותה מימין למה שנותר?(. חילוק ארוך נלמד בכיתה ד' בדרך משמעותית עם אמצעי המחשה, ובכיתה ה' הייתה חזרה על כך. יש להדגיש, כי גם כאן, כשחוזרים על איך לבצע חילוק ארוך יש חשיבות לדבר על התהליך באופן משמעותי. כדאי להיעזר בהדגמה בעמודים 0 ו עם ההסברים שבאים לתת משמעות לתהליך ולא רק לבצע אותו באופן טכני. קל להסביר את החילוק הארוך בהקשר של חילוק לחלקים. אם רוצים לחלק,00 ש"ח ל- תחומים כדאי כל פעם לשאול אם ניתן לתת לכל תחום עשרות אלפים שלמים, אלפים שלמים, מאות שלמות וכן הלאה. מה שלא ניתן, פורטים. בדוגמה, לא ניתן לתת לכל תחום 0,000 ש"ח שלם. לכן נפרוט עשרות אלפים ל- 0 אלפים. יחד עם אלפים נוספים שיש, נחלק אלפים שלמים ל- תחומים. אלפים לחלק ל- הם 6 אלפים שלמים בכל תחום וכן הלאה. פעילות : תרגול פתרון תרגילי "חילוק ארוך", ללא שארית. פעילות : א. אם מתקיימת שיחה לפני העבודה חשוב שהתלמידים, ללא חישוב, יאמרו מה יהיה הממוצע בערך. המשכורת השנייה היא גם שנייה בגודלה והיא תהיה הקרובה לממוצע. ב. דליה והגר נוסעות הלוך וחזור 60 ק"מ. נחלק ב- 0 ונמצא שהן זקוקות ל- 6 ליטר בנזין לנסיעה זו. נכפול ב-.9 מחיר ליטר אחד ונקבל שדליה והגר משלמות.7 ש"ח עבור כל נסיעה )הלוך וחזור( לבית הספר. =.7.9 x 0 : 0 x ג. ניתן גם בפילוג: = 9 : ) (70 + = 7 : ד. גיל סידר באלבום הבולים שלו בולים. גל נתנה 7 בולים לאחותה לכן נשארו לה 8 בולים. = למספר 8 יש מחלקים רבים )פירוש הדבר אפשרויות רבות לסידור הבולים עם מספר שווה של בולים בדף(. המחלקים:,,,, 6, 8,, 6,, 8 פעילות : דרושה התבוננות: כאשר המחולק זהה והמחלק קטן, המנה גדלה ולהפך )מחלק גדל מנה קטנה(. כשהמחלק זהה והמחולק גדל, המנה גדלה ולהפך )מחולק קטן מנה קטנה(. אם חילקו את 6 למספר גדול יותר, המנה, התוצאה, תהיה קטנה יותר. אם חילקו מספר גדול יותר 97 לאותו מספר, החילוק של המספר הגדול ייתן תוצאה גדולה יותר. פעילות 6: דרושה התבוננות והשוואה בתרגילים שבמסגרת: א. המחלק גדל פי המנה קטנה פי ב. המחלק קטן פי המנה גדלה פי ג. המחולק והמחלק גדלו פי אותו מספר המנה לא השתנתה ד. המחולק גדל פי המנה גדלה פי ה. המחולק קטן פי המנה קטנה פי ו. המחולק והמחלק קטנו פי אותו מספר המנה לא השתנתה תשובות לשאלות בעמוד. א. ב ב. א, ה ג. ג, ו 9

96 יחידה 8 "חילוק ארוך" במחלק דו ספרתי בפתיחת השיעור נחזור על השלבים של "חילוק ארוך" כאשר המחלק הוא דו ספרתי. גם כאן, כשחוזרים על איך לבצע "חילוק ארוך" יש חשיבות לדבר על התהליך באופן משמעותי. כדאי להיעזר בהדגמה בעמוד עם ההסברים שבאים לתת משמעות לתהליך. פעילות : תרגול וחזרה של תרגילים בדרך של "חילוק ארוך" ללא שארית, כאשר המחלק הוא חד ספרתי ודו ספרתי. ביחידה זו יש מספר שאלות שכדאי לשוחח על הדרכים לפתרונן. לדוגמה: פעילות : א. =,00 80 <, x,00 =,00 = 07, -, : ב. לפתרון שאלה זו נחלק 6, ב- ונמצא כמה עולה זוג אחד של מכנסיים. את המנה נכפול ב- 0 זוגות נוספים שבעלת החנות רוצה לקנות =,70 0 6, : x ג. = : ( 00) - כל אחד מחבריה של שקד קיבל בולים. פעילות : א. קל לראות בטבלה על פי גודל המספר שמדובר בטניס x 6 + x = + 0 = 9 ב. = = 6) ( = 78) ( x + x ג. נפתור בחילוק ארוך: ילדים הלכו למשחק. פעילות : תובנה מתמטית: להתבוננות על ההשתנות של המחולק והמחלק, ולפי זה לקבוע את סימן היחס. פעילות : תרגול כפל מספרים עשרוניים ב- 0, 00 ו,000. פעילויות 6 7: תרגול פתרון תרגילים ב"חילוק ארוך", כאשר המחלק הוא חד ספרתי ודו ספרתי, ללא שארית. יחידה 9 "חילוק ארוך" שתוצאתו במספרים עשרוניים ביחידה זו נעשה מעבר מחילוק ארוך בשלמים )שבו יכולה להישאר שארית של מספר שלם( לחילוק שבו מחלקים גם את השארית )כלומר, מתקבלת מנה שהיא מספר עשרוני(. טוב לפתוח את היחידה בשיחה על השארית בחילוק. פתיחת היחידה: לשארית יש משמעויות שונות התלויות בהקשר. אם 9 ילדים רוצים להתחלק ל- קבוצות שוות הדבר לא ניתן והקבוצות שייווצרו לא תהיינה שוות. כך זה בשלמים: )שארית )9 = 9 : אין אפשרות שבהקשר זה נשתמש בתוצאה 9.. אם מחלקים פיצות בין שני ילדים לאחר שכל אחד מקבל פיצה אחת מחלקים את הנותרת לשני חצאים. כך זה בשלמים: )שארית ) = : ו כך זה בעשרוני: =. : אם 0 פיתות עולות ש"ח אז כל פיתה עולה יותר משקל ופחות משני שקלים. כך זה בשלמים: )שארית 0=( : ו כך זה בעשרוני: =. 0 : וכן הלאה... מומלץ כאן לבקש מהתלמידים להמציא שאלות מילוליות בחילוק עם שארית ולחשוב יחד איך הם פותרים אותן או מה משמעות הפתרון. בכל מקרה, נבהיר לתלמידים שהידע שיש להם בחילוק ובכתיבת מספרים עשרוניים מאפשר להם כעת לחלק גם את השארית. כלומר, לקבל מנה שאיננה מספר שלם. 96

97 בפתיחת היחידה יש הסבר בנושא זה ואפשר להדגים את החילוק הארוך עם תוצאה עשרונית בעמוד 9. בפעילות מתרגלים זאת. חשוב שהתלמידים יחושו "שהכול נשאר אותו הדבר", אלא שכעת אנחנו פורטים גם לעשיריות, מאיות וכן הלאה, ולכן רושמים נקודה עשרונית. פעילות : תשובות: א. =, = 6,7 8,00 :, 8,00 - כל תשלום: = 9.7 6,7 : ש"ח. ב. = 90 =,700,70 :,00) (90 + -,70 =,0,700 : פעילות : אומדן / תובנה מספרית 0.6. קרוב ל- 0. ולכן התשובה היא ב.. רבע מ-,00 הוא 0 ולכן התשובה היא ג.. התשובה ד.. א- ; ב- ; ג- ; ד- ; פעילות : מתרגלים פתרון תרגילים בדרך של "חילוק ארוך". בפעילות, שיעורי בית, התלמידים צריכים בעצמם להוסיף נקודה עשרונית ואפסים למחולק. 97 יחידה 0 חילוק מספר עשרוני במספר שלם ממשיכים לעסוק ב"חילוק ארוך". בשאלת הפתיחה המחולק הוא מספר עשרוני. פתיחת היחידה: אפשר לשאול שאלות במליאת הכיתה ולתת לתלמיד לענות ולהסביר כיצד חישב בראש. עיגול מספרים עשרוניים כדי לאמוד את התוצאה. נעגל למספרים שלמים לדוגמה: ,.7, 8., פעילות : א. רצוי לאמוד את התוצאה לפני החישוב )קצת יותר מ- 6 ( = : ש"ח. כדאי להדגים לתלמידים בעזרת ההסבר בעמוד. כדאי לחזור ולומר את הטקסטים הרשומים לצדי התרגיל בעל פה. זה מאפשר לחזור ולהסביר משמעותית את ה"חילוק הארוך". ב. אומדן התוצאה: קצת פחות מ-. =. 7.6 : ק"ג ) ק"ג ו 00 גרם( ג. אומדן התוצאה: בערך 0 ש"ח: = = x פעילות : תרגול חילוק עשרוני במספר שלם. פעילות : במספר עשרוני, אפסים שמוסיפים מימין לספרה הימנית ביותר אינם משנים את גודלו. )בשלמים האפסים שמוסיפים מימין מגדילים ואפסים משמאל הם חסרי משמעות.( פעילות : המחלק קבוע. המחולק עשרוני ומשתנה )גדל / קטן פי 00( / 0 המחלק דו ספרתי. לתלמידים שמתקשים יש להציע מחשבון. ו. המסקנה מהחישובים יכולה להיות שאפשר לחלק מספר עשרוני כאילו הוא שלם, ולבסוף לרשום את הנקודה במקום המתאים. שינוי מיקום הנקודה העשרונית משנה את התוצאה. פעילות : אחת האפשרויות: הסכום גבוה מ- 0 וקטן מ- 70 : =. = 8.8 : 6. =. 7. x. :.7 x.9 = 6. הסכום גבוה מ- 70 : = 0.7 = 6.9 :.8 =. 6. x.7 = x. : השיקולים: מחולקים קטנים ככל האפשר. סידור הגורמים במכפלות, כך ששני המספרים הגדולים יהיו כל אחד בתרגיל כפל אחר.

98 פעילות :6 האומדן: :7= :8= :=7 0:= :=8 := פעילות 7 שיעורי בית א. אומדן התוצאה: החישוב: = x ב. אומדן התוצאה: קצת פחות מ-. החישוב: = ג. אומדן התוצאה: קצת יותר מ- 6. החישוב: 6.. : יחידה חילוק מספר עשרוני במספר עשרוני התלמידים משתמשים בהבנה שרכשו בעולם השלמים, ולמדו שכאשר מגדילים את המחולק והמחלק פי אותו המספר המנה לא משתנה. בעזרת הבנה זו קל להגיע למצב שבו המספרים יהפכו לשלמים או לפחות המחלק יהיה מספר שלם. הם כבר יודעים לחלק מחולק עשרוני. כדאי לעבור עם התלמידים על ההדגמה בעמודים 6 עד 8. את הגדלת המחולק והמחלק פי אותו המספר פוגשים כאן התלמידים גם כהרחבה:. : 0. =. 0. =.x 0 0.x0 = = 7 פעילויות ו : תרגול של "ההרחבה" וביצוע החילוק. כופלים מחולק ומחלק באותו המספר. כופלים ב- 0 או 00 או,000 כדי לקבל מספר שלם במחלק. פעילות : השוואה בין זוגות תרגילים )האם הם שקולים. כלומר האם הם נובעים מ"הרחבה": הגדלת המחולק והמחלק פי אותו המספר(. א. כן ב. לא ג. כן ד. כן ה. כן ו. כן ז. לא ח. לא פעילות : דומה לפעילות קודמת, אלא שכאן יש שישה זוגות שקולים שצריך למצוא אותם. פעילות 6 שיעורי בית, שאלות מילוליות. א. 6.=.: ב. 0.=.:6 ג. 9.=7.9: פעילות 7 שיעורי בית. "הרחבה" לתרגיל שקול וחילוק. לבקש מהתלמידים להתחיל לאסוף חפצים עגולים לפרק העיגול, יחידה. תמונות מעיתונים של חפצים עגולים, חפצים וצורות עגולים, ניירות. צריך גם סרגל ומחוגה. יחידה חילוק מספר עשרוני במספר עשרוני מטרת היחידה: תרגול החילוק כפי שנלמד בדרך של תרגילים שקולים )"הרחבה"( וחילוק. פתיחת השיעור: אפשר להתחיל באחת מהשאלות משיעורי הבית )עמוד 9( פעילות 6 סעיפים א ו ג. ניתן להציג את השאלות בהתאמה, אפשר לשאול האם המשקל קטן או גדול מהמשקל המקורי? פי כמה קטן / גדול המשקל החדש? פי כמה קטן המחיר החדש מהמחיר המקורי? לדוגמה סעיף ג: 0.9 ק"ג דגני בוקר עולים 7.9 ש"ח קטן פי קטן פי 0. ק"ג דגני בוקר עולים ש"ח אפשרות נוספת: אפשר לבחור תרגילים מפעילות 7 בשיעורי הבית )עמוד 9( או תרגילים מפעילות ביחידה, במטרה לחזור ולהדגיש פי כמה יש לכפול )"להרחיב"( את התרגילים כדי שאפשר יהיה לפתור את תרגילי החילוק. כדאי להזכיר את המושג "תרגילים שקולים". 98

99 פעילות : חזרה ותרגול פתרון תרגילי חילוק של מספר עשרוני במספר עשרוני, בעזרת תרגילים שקולים )"הרחבה"(. פעילות : השלמת סימני יחס, להבנת המושג תרגילים שקולים. יש לשים לב לתרגיל ד, שם רושמים סימן שווה גם כשה"הרחבה" היתה פי ולא פי 0. חשוב לשים לב שגם כעת יש מקום לאסטרטגיות חילוק אחרות. דוגמאות: פעילות : א': = 7 =0 : 0).=(0. x 0) : (. x 0. : אפשר גם: כל ליטר הם פעמיים.. אז 9 ליטר הם 6 פעמים. = 0.. x + לכן התוצאה היא.7 ב': = 0 = 70 : 00) (7. x 00) : (0. x = : ג': על פי אומדן שתו יותר מ- חברים. נעגל את 9. ל- 0 ונקבל: =. 0 : : 9. = ( x 0) : ( 9. x 0) = 0 : 9 = בבית הקפה שתו חברים. פעילות : לאחר דיון, תרגול פתרון תרגילים בחילוק ארוך, עם תרגילים שקולים. פעילות : בדיקת ותיקון תוצאות תרגילי חילוק בעזרת תרגילים שקולים. פעילות 6: תרגילי חזרה במספרים עשרוניים עם פעולות חשבון. פעילות 7: תרגול פתרון תרגילי חילוק בעזרת תרגילים שקולים. אפשר לבקש מהתלמידים לאמוד לפני הפתרון באיזה תרגיל א או ב תהיה מנה )תוצאה( גדולה יותר? כדאי שהתלמידים יסבירו את הבחירה. אפשרות נוספת לבדוק בתרגילים ג-ה, לאיזה תרגיל תהיה המנה הגדולה ביותר? פעילות 8 שעורי בית. השלמת סימני יחס להבנה המושג תרגילים שקולים. יחידה מספר עשרוני מחזורי כל תלמיד יזדקק למחשבון כל שבר מצומצם, שהמכנה שלו הוא מחלק של חזקה של 0 יתבטא כמספר עשרוני סופי. שברים אילו ניתן להרחיב או לצמצם למכנה של, , 0, מדובר על כל המספרים שבפירוקם לגורמים ראשוניים נקבל את הגורם/ים ו/או. - 0=xx 9 וכו'... = =xx או: = = 00 0 לא ניתן לבטא כשבר לדוגמה: = 0.7 לעומת זאת, את השבר עשרוני סופי משום ש: =x יש בו את הגורם שלא ניתן לכפול אותו במספר שלם, וכך להגיע למכנה של 0 או 00 או,000 וכו'. נסו להקיש במחשבון =. : הצג יתמלא בספרות וגם אם הוא היה גדול עד אינסוף הוא היה מלא בספרות. מה יקרה אם ננסה לחלק בחילוק ארוך? נקבל שבר אינסופי מחזורי. כל פעם נשארת ספרה. לכן נקבל שוב ושוב את אותה השארית. במחזור בתוצאה ישנה ספרה אחת )הספרה ( 99

100 ישנם מחזורים גדולים יותר מאשר ספרה אחת )שמספר ספרות חוזרות על עצמן(. לדוגמה, גודל המחזור של השביעיות הוא 6 ספרות. = נסו מ ח ל ק ים שונים שבפירוקם מתקבלים גורמים שאינם או ותוכלו לראות מחזורים שונים. מעניין במיוחד לחלק ב- 9, ב- 90 ב- 900 ב- 99, ב- 999 וכן הלאה... בפתיחת היחידה: מומלץ לבקש מהתלמידים להיעזר במחשבון כדי למצוא איך כותבים חצי, שליש, רבע, חמישית... עשירית במספר עשרוני. כשתתקבל רשימה, נבקש מהתלמידים שימיינו כרצונם את השברים. אולי הם לא יחשבו על סופי ואינסופי אלא על ספרה אחת )חצי, עשירית(, שתי ספרות )רבע(, שלוש ספרות )שמינית( ויותר ספרות מימין לנקודה. אפשר גם מיון לפי קריטריון נוסף: אלה שגורמים לצג להתמלא בספרות )שליש, שישית, שביעית, תשיעית( ואלה שלא. זו כמובן גם החלוקה לסופיים ואינסופיים. פעילות : הפיכת שבר פשוט לעשרוני לפי שיטת ה"הרחבה" שהתלמידים למדו. פעילות : תרגול הפיכת שבר פשוט למספר עשרוני בדרך של חילוק ארוך. פעילות : ההערה בסעיף א' בעמוד למטה מתייחסת לכך שהמחשבון קוטע בשלב מסוים את רצף הספרות ואי אפשר לראות רק מצג המחשבון אם המספר אינסופי )רק שיש לו הרבה ספרות(. לכן ביקשנו לגבי שישית ושביעית שהתלמידים גם יבדקו בעזרת חילוק ארוך. יתכן שיהיו תלמידים שלא יזהו את הרעיון שיש אינסוף ספרות בשבר עשרוני מחזורי ורק יאמרו שיש הרבה ספרות לעומת מעט ספרות. גם זו תשובה טובה בשלב זה. בדיון אפשר לחדד את ההבחנה. רצוי לעבור עם התלמידים בדיון הכיתתי על הרעיונות שמודגמים בספר בעמודים 6. אפשר שהמורה תערוך שיחה ותדגים על הלוח או תכוון את התלמידים להסתכל בהדגמה בספר תוך כדי דיון ושיחה על הרעיונות. רעיון אחד חשוב שמוצג בהדגמה בספר הוא שיש שברים שאפשר בעזרת הרחבה או צמצום להגיע לשברים שקולים להם עם מכנים של,000 00, 0, וכן הלאה. שברים אלו קל לרשום כשברים עשרוניים. יש שברים כמו שליש שאי אפשר להרחיב אותם ולקבל מכנים של,000 00, 0, וכן הלאה. כשמחלקים ל- בעזרת חילוק ארוך, נשארת בכל פעם שארית, ולכן נקבל שוב ושוב ספרות של בתוצאה )כל פעם בחילוק הארוך מחלקים 0 ל- ומקבלים ושארית (. אפשר להמשיך ולחלק את השארית ומקבלים שבר עשרוני מחזורי כמו:...0. בנוסף, כדאי להדגים לתלמידים איך לרשום מספר עשרוני מחזורי. אפשר להיעזר בהדגמה בעמודים 6 בספר. מודגמות מספר דרכים לרשום מספר עשרוני אינסופי מחזורי: אם ספרה אחת חוזרת שוב ושוב כמו ב...0. אפשר לרשום רק פעם אחת ולרשום נקודה או קו קטן מעליו כדי לסמן שהספרה חוזרת אינסוף פעמים: 00 אפשר גם לסמן בעזרת מספר נקודות אחרי כמה ספרות שחוזרות כמו: חשוב גם לדבר על השוואה בגודל של שני מספרים שאחד או שניהם מחזוריים כפי שמודגם בעמוד 6. אם משווים בין 0.6 לבין 0.6 כשמסומנת נקודה מעל 6. המספר שמשמאל הוא 0.6 או 0. ועוד המספר שמימין הוא מחזורי אינסופי: שמורכב מ- 0. ועוד 0.06 ועוד ועוד וכן הלאה. כלומר, המספר המחזורי האינסופי הזה גדול מ- 0.6 ויש לו חלקים נוספים )וזה לא מסתיים(.

101 פעילות : היא המשך של פעילות. תרגול הפיכת שבר פשוט למספר עשרוני מחזורי אינסופי, בעזרת חילוק ארוך. גם את השברים הנוספים שיש בטור השלישי שרשומים גם כאן בשאלה, התלמידים פותרים בעזרת "חילוק ארוך". כדי לענות האם אפשר לדעת מדרך החילוק שהמספר עשרוני מחזורי אינסופי, התלמידים יכולים לומר משהו כזה, לדוגמה לחילוק של ב- : כל פעם נשארת שארית, וכל פעם מחלקים 0 ל- והתשובה היא ושארית ולכן זה ימשיך בלי סוף. דרך התנסות זו, התלמידים יקבלו את התחושה של השארית החוזרת והמחזוריות. פעילות : תרגול כתיבת מספר עשרוני מחזורי אינסופי בדרך הקצרה. התלמידים צריכים להבחין מהם הספרות החוזרות בכל מספר. פעילות 6: פעילות הפוכה לפעילות. התלמידים כותבים בפירוט את הספרות החוזרות במספרים. פעילות זו היא הכנה לפעילות השוואה בין המספרים העשרוניים השונים )פעילות 7(. פעילות 7: התלמידים משתמשים בהבנת האינסופיות הזאת )שיש ספרות גדולות מ- 0 בלי סוף( לצורך השוואת שברים. פעילות 8: מגוון שאלות מילוליות. התלמיד נדרש להבחין ולהבין מתי מתקיים בשאלה "מצב" )סיטואציה( של חילוק ומתי "מצב" כפל במספרים עשרוניים. אפשר להציע לתלמידים המתקשים להבחין מה הם צריכים לעשות עקב המספרים העשרוניים, להפוך את המספרים למספרים שלמים, וכך להקל עליהם בהבנת ה"מצב". א. = 6. = : 0.. : מזגו ל- 6 כוסות ועוד 0. לכוס שביעית. ב. = : אם נעגל למאיות, כל אחד רץ 0.9 שניות בממוצע. ג. = x אם נעגל לעשיריות נקבל.6 ש"ח. פעילות 9 שיעורי בית. חזרה ותרגול הפיכת שבר פשוט למספר עשרוני בדרך של "חילוק ארוך". חלק מהמספרים הם מספרים עשרוניים סופיים וחלק הם מחזוריים אינסופיים. השבר אינו מצומצם. הוא שווה ולכן הוא סופי. תזכורת לבקש מהתלמידים להתחיל לאסוף חפצים עגולים לפרק העיגול, יחידה. תמונות מעיתונים של חפצים עגולים, חפצים וצורות עגולים, ניירות, סרגל ומחוגה. יחידה עיגול מספרים עשרוניים בפתיחת היחידה: משוחחים על השאלות שנפתרו ביחידה הקודמת בפעילות 8. כדאי לדבר עם התלמידים מתי אנו מעגלים מספרים עשרוניים בחיי היום יום. ניתן לראות שבשאלות מילוליות ניתן לעגל את התוצאה המתקבלת בהתאם לנושא שמדובר עליו. בחיי היום יום, למשל בספורט, נעגל למאיות השנייה ולעתים לאלפיות השנייה; בקניות, בשימוש בכסף, נעגל לעשיריות, כי אין מטבע של אגורה. הערה לגבי דרך הפתרון של "ורד" בספר בתחילת היחידה. פעילויות : התלמידים עוסקים בעיגול מספרים עשרוניים. 0 פעילות : א. = 6.. x ס"מ היקף המחומש. ב. =.0 6. : ס"מ. כלומר, ס"מ ו מ"מ ג. אם זה מחומש היקפו 77. ס"מ = 77.. x אם זה מרובע היקפו ס"מ =. x ד. = : ס"מ אורך צלע הריבוע; שטחו = x בערך 69 סמ"ר;

102 0 פעילות : התלמידים מתבקשים לפתור באמצעות חילוק ארוך את התרגילים : 9 ואת = 9, : ולהמשיך במחשבון. אפשר לבקש מהם לשער תחילה את יתר התוצאות )על סמך מה שפתרו(, לרשום, ואז לבדוק עם המחשבון. פעילות : גם בפעילות זו אפשר להציע, לאחר פתרון תרגיל אחד או שניים לשער, לכתוב ולבדוק. פעילות 6: יישום של סדר הפעולות. לא מחשבים! רק חושבים! פעילות 7 שיעורי בית. תרגול ארבע פעולות החשבון במספרים עשרוניים. פרק פיתוח תובנה מתמטית והתחלה של רעיונות אלגבריים שיעורים יחידות 6- יחידה נושא היחידה: יחידה זו עוסקת בהשוואה, בהצבה ובהכללה, תוך שימוש באותיות לועזיות. זו אחת הפעמים הראשונות שאנחנו חושפים את התלמידים לרישום באותיות באנגלית כמו באלגברה. הם התנסו בהכללות בציורים, במספרים, במילים, ברישום כלל ובייצוגים, כמו עיגול או ריבוע. בפרק זה הם יתנסו גם ברישום באותיות באנגלית. פעילות : חידת השוואה. התלמידים יעבדו בזוגות או בשלשות. הפעילות אתגרית. בהמשך היחידה יתקיים דיון ובו יציגו כמה תלמידים איך הם פתרו את הפעילויות. מההשוואה בין הכתוב בכתם הצבע שבשורה השנייה והשלישית, מתברר שלעוגת שמרים אחת צריך ביצים. כשאופים עוגות שוקולד ו עוגות שמרים משתמשים ב- ביצים. כשאופים עוגות שוקולד ועוגת שמרים אחת משתמשים ב- 8 ביצים. החלק הראשון לגבי עוגות שוקולד שווה, והשוני הוא שבמשפט הראשון יש עוגות שמרים ובשני רק עוגת שמרים אחת. כלומר, ההפרש בין כמות הביצים הנדרשת בשני המצבים נובע מכך שיש עוד עוגת שמרים אחת. מזה נובע שצריך ביצים לעוגת שמרים אחת. וכך אפשר גם לראות שצריך ביצים לעוגת שוקולד אחת: במצב השני, ביצים הן עבור עוגת השמרים ושאר הביצים הם לעוגות השוקולד. נשארות ביצים ואותם צריך לחלק בין עוגות: (8 - ) : = פעילות : הצבה. אם מייצג 9 אז משולש מייצג ; לב מייצג ; ריבוע מייצג ; "ירח" מייצג ; שמש מייצג 6; מעוין מייצג ; תלתן )עלה( מייצג 7; סעיפים ו' ו ז' ייפתרו ודאי בעזרת ניסוי וטעייה )ולא בעזרת האלגברה(. פעילות : פעילות פתוחה בפני התלמידים, להמציא פסוקים חשבוניים בעזרת הצורות וערכן לפי הסעיף הקודם. פעילות : היא פעילות מקדימה להכללות הנדרשות בפעילות הבאה. בכל מסגרת יש כלל / חוק המתאים לכל התרגילים. התלמידים נדרשים רק לפתור את התרגילים, כשבתרגיל האחרון מופיעה צורה במקום מספר, במטרה להגיע להכללה. פעילות : הכללות מילוליות שניתן להסיק מפעילות : א. כל מספר )לבד מ- 0 ( שמחלקים אותו בעצמו מקבלים. )אין משמעות לחילוק ב- 0.( ב. כל מספר שכופלים ב- 0 מקבלים 0

103 ג. כל מספר שכופלים )או מחלקים( ב- אינו משתנה ד. כשמחסרים מספר מעצמו מקבלים 0 ה. כשמוסיפים 0 למספר )או מחסרים( גודלו אינו משתנה בהמשך עוברים לכתיבת ההכללות בעזרת אותיות: "כל מספר" או "מספר כללי" יהיה A. תשובות: א. A 0 A:A= ב. Ax0=0 ג. Ax=A A:=A ד. A-A=0 ה. A+0=A A-0=A פעילות 6: הוספת סימנים להפנמת הכללים שנוסחו בדיון הכיתתי. בסעיף ו' כאשר 0=A הסימן המתאים הוא =; כאשר 0 A הסימן המתאים הוא פעילות 7 שיעורי בית. השוואה והצבה. לפי הנתונים כיסאות עולים 00 ש"ח ולכן כיסא אחד עולה 00 ש"ח. (,0 -,0) : = 00 שולחן + כיסאות )זה כמו שולחן ש"ח( עולים,0 ש"ח ולכן שולחן עולה 0 ש"ח. יחידה 6 יחידה זו מכוונת להתבוננות וחשיבה על המספרים והפעולות ועל גילוי החוקיות והשימוש בה. אפשר לפתוח בפעילות שמטרתה ניסוח הכללה אשר באה לידי ביטוי בפעילות. נבקש מהתלמידים להציע תרגילי חיבור שסכומם נתון. לדוגמה: וכן הלאה... ניתן להבחין שהסכום אינו משתנה כאשר אחד המחוברים גדל באותה מידה שהאחר קטן: = (00 + 0) + (6-0) = = 6 הערה: בדרך זו גם ניתן לפתור תרגיל חיבור ללא שימוש באלגוריתם החיבור המאונך. לדוגמה: = = = פעילות : אפשר לסמן את שעות העבודה בריבוע או ב- A. א. בטבלה, התלמידים ירשמו תרגילים בתבנית של: = 0 + 8A ובמקום A יהיו שעות העבודה. ב. תבנית אלגברית = 0 + 8A ג. = 8 : (00-0). גם אם תלמידים יפתרו בשלבים, חשוב לבקש לרשום תרגיל שרשרת. פעילות : הוספת הסימנים = או לפי תובנה על משמעות המספרים שמחברים או מחסרים. מי שלא רואה מיד מה קורה בלי לחשב, שיחשב וינסה להבין מה קרה בתרגיל. מוצע לעשות את הפעילות בזוגות כדי להגביר את הדיון בין התלמידים. תוצאות: א. נכון; ב. לא נכון; ג. נכון; ד. לא נכון; ה. נכון התלמידים יראו שאם מוסיפים מספר לדוגמה בתרגיל א' ומורידים, למעשה לא שינינו את התוצאה. אם משמאל חיסרנו פעמיים )בתרגיל ג( ומימין חיסרנו 70 חיסרנו משני צידי המשוואה את אותו מספר והמשוואה לא השתנתה שני הצדדים עדיין שווים זה לזה. אפשר לדמות מאזניים. המאזניים יישארו מאוזנות אם נוריד מכל כף במאזניים את אותו גודל. 0

104 0 פעילות : המטרה של פעילות זו היא לעסוק ברעיונות אלגבריים עוד לפני הלימוד של אלגברה. במקום שהתלמידים יפגשו בפעם הראשונה את הרעיון שאם מחברים או מחסרים מספר שווה לשני הצדדים של המשוואה )משני צידי סימן ה"שווה"( בהקשר של אותיות אלגבריות, הם ילמדו רעיון זה כבר בכיתה ו' על מספרים. אם התלמיד אינו בטוח אם הוספת לכל צד כמו שיש בסעיף א' שומרת על השוויון, הם יכולים ממש לחשב את התוצאה משני צידי השווה ולראות שהמשוואה שמרה על שוויון. בפעילות זו התלמידים יגיעו להכללה ולא יצטרכו לחשב בכל פעם. אפשר לדמות כאן שימוש במאזניים. נדגים זאת על סעיף א': נסתכל על המשוואה קודם בלי להתייחס להוספה של בכל צד. אם בצד שמאל של המאזניים נמצאים המספרים 8 ו- 8 ומצד שני של המאזניים נמצאים המספרים 80 ו- 60. התלמידים רואים שהסכום בכל צד של המשוואה שווה. הם גם מפעילים שיקול דעת של קשר בין המספרים. משמאל 8 גדול ב- מ- 80 שמימין. אך 8 משמאל קטן ב- מ- 60 שבצד ימין. בסך הכל 8 ועוד 8 שווה ל- 80 ועוד 60. בצד שמאל מחובר אחד גדול ב- ומחובר שני קטן ב- ובסך הכל מתקיים שוויון. כשמוסיפים לכל צד המאזניים יישארו מאוזנים. השוויון מתקיים בין הסכום משמאל והסכום מימין. בסעיף ב' חיברו משמאל וחיסור מימין למשוואה שהייתה מאוזנת )כלומר צד שמאל היה שווה לצד ימין(. אם נדמה מאזניים, הם לא יישארו מאוזנים. לכף אחד הוספנו ולשנייה הורדנו. אם התלמידים אינם רואים זאת מייד בהגיון, הם יכולים לחשב ולראות זאת מהחישוב. סעיף ג' מחסרים 8 מכל צד. התרגיל נכון )נשמר שיוויון בין שני הצדדים( סעיף ד' לא נכון. בצד אחד מחברים ובצד שני מחסרים. סעיף ה' נכון. מחברים לכל צד. סעיף ו' לא נכון, בצד אחד מחסרים 8 ובצד השני מחסרים 0. סעיף ז' נכון. מחסרים 8 מכל צד. פעילות : א. =; ב. ; ג. =; ד. ; ה. = פעילות : עבודה בזוגות. הכללה של העקרונות בעזרת אותיות אחרי פעילויות ו-. הסימן החסר הוא = כי הוספנו וחיסרנו את אותו מספר )אותה אות( וכך גם בשורה השנייה. לתלמידים מתקשים אפשר להציע לכתוב דוגמאות מספריות, כלומר להחליף את האותיות במספרים, כדי שיוכלו להגיע להכללה. לאחר פעילות מתקיים דיון על משימות קודמות. אפשר להרחיב את היריעה ולבקש הכללות נוספות. לדוגמה: מספר השעות ב- A ימים; מספר הדקות ב- B שעות; מספר הימים ב- X שנים; מספר האגורות ב- D שקלים; וכן הלאה... דיון כיתתי: אחרי שהתלמידים פותרים את פעילויות עד רצוי לקיים דיון כיתתי ושתלמידים יציגו איך פתרו ויתנהל דיון על הרעיונות שעולים. אפשר להיעזר ברעיונות לדיון בספר התלמידים אחרי פעילות. פעילות 6: התלמידים צריכים לגלות את כלל השינוי של המספרים ולהשתמש בו. א. תוספת של. ב. הגדלה פי. ג. הקטנה פי פעילות 7: דומה לפעילות.

105 פרק העיגול 8 שיעורים יחידות -7 בפרק זה נעסוק בהרחבה בנושא העיגול. מציאת היקף ושטח של עיגול. למען הבהירות והדיוק: האקדמיה ללשון החליטה שרשאים לומר "עיגול" גם כאשר מתכוונים לקו התוחם את הצורה )שכינויו היה מעגל(. וכך, כפי שיש היקף ושטח של משולש יש היקף ושטח של עיגול. לפעמים נשתמש במונח "היקף מעגל" ולפעמים "היקף עיגול". מושגים שיעלו בפרק העיגול: רדיוס )מחוג( קטע המחבר את מרכז העיגול עם נקודה על המעגל. אפשר לסמן רדיוס באות האנגלית R. רדיוס קוטר קטע המחבר נקודות על המעגל ועובר דרך מרכז המעגל. אורך הקוטר הוא פי מאורך הרדיוס. קוטר פאי π אות יוונית המייצגת את היחס הקבוע בין היקף המעגל לקוטרו. π שווה. בקרוב.. x קוטר = היקף מעגל. היקף מעגל x. רדיוס = x היקף מעגל. נוסחה של היקף העיגול: x π x R רדיוס x רדיוס = π x שטח עיגול שטח עיגול = π x R x R שטח עיגול = π x R שטח עיגול נוסחה של שטח העיגול: יחידה 7 משרטטים עיגולים ביחידה זו נלמדים המושגים "רדיוס" ו"קוטר של עיגול" והיחס ביניהם: אורך הקוטר גדול פי מאורך הרדיוס. ביחידה מספר פעילויות שמטרתן "להמחיש" את המושגים: רדיוס וקוטר. מספר הרדיוסים ומספר הקטרים בעיגול הוא אינסופי. בפתיחת היחידה: מוצעים עיסוקים שבאמצעותם התלמיד יוכל "להרגיש" את העיגול ואת העובדה שכל הנקודות על קו העיגול מרחקן שווה ממרכז העיגול )פעילות (. כדאי להתחיל בשיחה עם התלמידים לפי הכתוב בעמוד 69. פעילויות : שימוש בחפצים שהתלמידים הביאו מהבית, כדי להכיר את המושגים: מרכז העיגול ורדיוס. המסקנה מהפעילות שכל הרדיוסים באותו עיגול שווים באורכם, ויש אינסוף רדיוסים במעגל. פעילויות : שימוש במחוגה. שרטוט המעגלים יעשה בעזרת מחוגה, כאשר הרדיוסים נתונים. פעילות : שרטוט מעגל בדרך שונה, בעזרת סרגל ועיפרון. בדרך זו התלמיד יכול לחוש ולהבין כי כל הנקודות בהיקף המעגל נמצאות במרחק שווה ממרכז המעגל. ככל שהתלמידים יסמנו מספר רב של נקודות ממרכז המעגל, קל יהיה לחברן אחר כך למעגל. 0

106 ב לאחר שרטוט המעגל ברדיוס ס"מ, נתונות נקודות במרחקים שונים ממרכז המעגל במטרה לחזק את ההבנה כי רק נקודות הנמצאות באותו המרחק מהמרכז תהינה על ההיקף, ואחרות הן מחוץ או בתוך המעגל. דרך נוספת לשרטוט מעגל ללא מחוגה. הציוד הנדרש: נייר ומחורר: עבדו בזוגות. קחו דף נייר, מחורר, עפרונות. גזרו מדף נייר רצועה ברוחב ס"מ. בעזרת מחורר, נקבו חורים ברצועת הנייר שהכנתם, במרחקים שונים. סמנו במחברת נקודה שתהייה מרכז עיגול. אחד מהתלמידים מכניס עיפרון באחד החורים ומחזיק על נקודת המרכז. התלמיד השני מכניס עיפרון בחור אחר ברצועה, ומסובב את הרצועה בעזרת העיפרון. מתקבל ציור של עיגול. שרטטו עיגולים נוספים. סמנו נקודה על היקף המעגל. שרטטו בעזרת סרגל רדיוס מנקודה זו אל נקודת מרכז העיגול. ומדדו את אורך הרדיוס בס"מ. מה מרחק הנקודה שסימנתם ממרכז העיגול. פעילות 6: הכרת המושג קוטר. השאלות מכוונות להבנה כי לכל הקטרים באותו מעגל אורך שווה, יש אינסוף קטרים בכל מעגל וכי הקוטר גדול פי מהרדיוס. פעילות 7: תרגול הקשר בין הקוטר והרדיוס. פעילות 8: שאלות מילוליות. תשובות: 8 א. מידות התיבה: בסיס ריבועי שצלעו קצת יותר מ- ס"מ וגובהה קצת יותר מ- 9 ס"מ. 8 ב. מידות התיבה: הבסיס מלבני.7 x. x 7 )או: קצת יותר מ- 7.( x x 8 ג. קצת יותר מ- x x 8 ד. קצת יותר מ- 8 x 7 x פעילות 9 א: אורך החומה מורכב מ- 6 פעמים הקוטר וחמישה "רווחים": = 6 x ב תלמיד שגובהו. מ' יכול לעמוד מתחת לקשת על נקודת מרכז המעגל. הנקודה הגבוהה היותר של הקשת גבוהה ממנו ב-. מטר כי: =... - פעילות 0: לאורך הצלע הקצרה ניתן להניח שלושה כיסאות. לאורך הצלע הארוכה 6 כיסאות. לפיכך יהיו מסביב 8 כיסאות. גם כאשר מרימים אותם ניתן להניח את כולם על השולחן:.80 מטר ניתן להניח את הכיסאות כך: 0.90 מטר 06

107 פעילות שיעורי בית. חזרה וסיכום המושגים שביחידה. התלמידים מתבקשים לכתוב מה למדו ביחידה. פעילות : הבחנה בין קוטר לרדיוס בשרטוט. חזרה ותרגול המושגים. הזכירו לתלמידים להביא לשיעור הבא חפצים עגולים, חוט או נייר דבק וסרגל. יחידה 8 היקף מעגל ביחידה נלמד איך מחשבים היקף מעגל בקירוב. בפתיחת היחידה: אפשר לשוחח על המושגים שנלמדו בשיעור שעבר ואפשר גם, לקראת שיעור זה שעוסק בקשר בין הרדיוס וההיקף, להעלות את השאלה: אב ובנו נוסעים באופניים. לבן אופניים נמוכים יותר עם גלגלים קטנים יותר. האם בכל פעם שהאב והבן, כל אחד באופניו, ישלימו סיבוב מלא של הפדלים הם יעברו את אותה הדרך? )כל גלגל יעבור בסיבוב אחד דרך השווה להיקפו. כאשר הרדיוס גדול יותר, ההיקף גדול יותר ולכן הדרך שאבא יעבור בסיבוב אחד תהיה ארוכה יותר(. פעילויות ו- : נוסחת היקף העיגול היא:. x π x R כלומר: פעמיים הרדיוס )קוטר( כפול. בערך. התלמידים אמורים להגיע במהלך פעילויות אלה, ליחס בין הקוטר להיקף. ממדידות החפצים העגולים והשלמת הטבלה )פעילות ( התלמידים יסיקו כי היקף המעגל גדול בערך פי מאורך הקוטר )פעילות (. )בשלב זה רצוי להסתפק באומדן של בערך פי ולא לדייק יותר. זה יקל על חישובים בהתחלה ויעזור לתלמידים לזכור את הרעיון של יחס קבוע עם תובנה. בהמשך, התלמידים יכירו את פאי ויחשבו לפי פאי. ויבינו שגם זו תוצאה מקורבת(. פעילות : חיבור הנקודות שיתקבלו בקו ייצור קו ישר בערך. רצוי שהתלמידים, במחברתם, יסמנו ציר אנכי )היקף( שבו לפחות 0 משבצות )משבצת מסמלת ס"מ(, ובציר האופקי )קוטר( 0 משבצות. פעילויות : חישוב היקף מעגלים בקירוב, התנסות בחישוב לפי הנוסחה שנלמדה. פעילות סעיפים ו ז: חשיבה הפוכה. התלמידים צריכים לפי ההיקף לחשב את הקוטר והרדיוס. למציאת הקוטר יש לחלק את ההיקף שבקירוב ל-. לחשוב הרדיוס צריך לחלק את אורך הקוטר שמצאנו ב- או את היקף המעגל לחלק ב- 6. פעילות 6: תרגול היחס בין היקף המעגל לאורך הקוטר והרדיוס, מתוך הבחנה בין משפטים נכונים ושגויים, ותיקון המשפטים השגויים. פעילות 7: זו פעילות יפה וחווייתית שאינה קשורה "מבחינה גיאומטרית" לנושא. הפעילות מעניינת ורצוי שהמורה יתנסה בה לפני שהתלמידים מתנסים בה. השאלות המופיעות בפעילות מיועדות בעיקר יותר לחשיבה. כדאי לצלם את מה שיצא על שקף. כדי לנסות להבין איך מתקבל קו עקום משרטוט של קווים ישרים בסרגל, אפשר להיעזר באחד מתלמידי הכיתה ולהראות ולהדגים לכיתה איך אפשר ליצור מעגל או קו עקום אחר באמצעות קירוב של מצולע עם הרבה צלעות. התלמיד המדגים יכול לצעוד צעד קטן קדימה, לבצע פנייה בזווית קטנה, ולהמשיך לעשות זאת עד שיתקבל קירוב למעגל. אפשר לבקש מקבוצת תלמידים לצייר בגיר על הרחבה מחוץ לכיתה ולראות שהקווים הישרים שעשינו בעזרת סרגל נוטים בכל פעם בזווית קצת אחרת, ולמעשה, הקו שנוצר מראה בכל פעם שינוי זווית במספר מצומצם של מעלות, וכך הקווים שנוצרים הם עקומים. 07

108 א א ב ב ג ג ד ד ה ה ו ו ז ז ח ח ט ט י י פעילות 8 שיעורי בית. הוצאת נתונים מגרף משורטט של קוטר עיגול והיקפו. תוצאת הפעילות )החילוק בעזרת מחשבון( תהיה. בערך. יחידה 9 היקף המעגל ו- π )פאי( בתחילת היחידה יש הסבר על. π בהזדמנות זו מוזכרים המספרים האי רציונליים. אלו אותם מספרים שלא ניתן לרשום אותם כשבר )חילוק בין שני מספרים שלמים(. לדוגמה: גם הוא אינו רציונלי. לא ניתן לבטא אותו כשבר )כמנה של מספרים שלמים(. לו היינו רושמים אותו כמספר עשרוני היו מימין לנקודה אינסוף ספרות ולא נמצא בהן מחזוריות. לעומת זאת, אם נרצה לבטא כמספר עשרוני, אמנם נקבל אינסוף ספרות אך יש בהן 7 מחזוריות: = הוא מספר רציונלי. עניין אחר, שהוא בבחינת חידוש לתלמידים, הוא שכל הנקודות על קו ישר במערכת צירים מבטאות אותו יחס בין שיעור הנקודה בקו האופקי לשיעור הנקודה בקו האנכי. בפתיחת היחידה: כדאי להתייחס להסבר על π לפי העמודים 80 8 בספר. כדאי לדבר על הנוסחה ולהדגים על הלוח איך מחשבים היקף מעגל לפי הנוסחה. מומלץ לצלם את הגרף שבעמוד 8 בהגדלה על שקף ולהתייחס לשאלות בעמוד 8 שבספר. פעילות : תרגול הנוסחה לחישוב היקף מעגל. 08

109 פעילות : שאלות מילוליות. א. המסלול המעגלי גדול יותר מ-,00 מטר ב. היקף הקרוסלה. x x. ג. אורך הגדר: =..) x x. - (. + פעילות : תרגול הנוסחה לחישוב היקף מעגל, כאשר הנתונים מופיעים בטבלה. בשורה בטבלה חשיבה הפוכה, כאשר היקף המעגל נתון וכדי למצוא את הקוטר יש לחלק את ההיקף ב- π )כלומר ב-. (. פעילות : חישוב היקפים של צורות שונות, וחלקי עיגולים. כדאי להדריך לפני התחלת הפעילות את התלמידים שכדי לחשב היקף של צורה הכוללת חלקי מעגל צריך להוסיף את אורך הקטעים )קוטר או רדיוס( הנמצאים בציורים. א. = 0.8 x. : + )מחשבים היקף של חצי עיגול + אורך רדיוס( ב. = 7. x x. : + + )מחשבים היקף של רבע עיגול + רדיוסים( ג. = 8) x + ( + ד. = ) x ( + פעילות : צלע הריבוע מ'; אורכי צלעות המלבן,;,; ועוד... קוטר העיגול קטן מ- וגדול מ- )אורך הרדיוס קטן מ- וגדול מ-. (. פעילות 6: תרגול חישוב היקף מעגלים במספרים גדולים. פעילות 7: חזרה וסיכום מושגים שנלמדו בשיעור. התלמידים כותבים מה למדו במחברת. פעילות 8: חזרה ותרגול של חישוב היקף מעגלים, לפי הנוסחה. יחידה 0 היקף המעגל יחידה זו אינה מוסיפה מושגים, אלא מציעה מצבים לחישוב והשוואה תוך שימוש ב"נוסחה" למציאת היקף המעגל. פעילות : היקף חיצוני של המראה המלבנית: ס"מ = ) x.( היקף חיצוני של המראה העגולה ס"מ = ) x.(0 + ההפרש בין ההיקף החיצוני להיקף הפנימי של המראה המלבנית: = 00 - ההפרש בין ההיקף החיצוני להיקף הפנימי של המראה העגולה: = x כדי למצוא את ההפרש בין ההיקף החיצוני להיקף הפנימי של סוגי המראות מספיק לחשב את היקף המסגרת. היקף מסגרת המלבן הוא: פעמים ס"מ שווה ל- ס"מ. היקף מסגרת העיגול הוא: פעמים ס"מ כפול. שווה ל- 8.8 ס"מ. 09 פעילות : א. ב. ג. ד. בכל אחת מהשאלות אפשר לחשב רק את היקף פס המסגרת שהוא קבוע. x. =.6 פעילות : חישוב היקפים של צורות שונות. א. ס"מ =.. = + + x. : ) ( + + ב. ס"מ = ) x + (6 + ג. ס"מ = 7.7 x : ד. ס"מ = = x + x פעילות : חישוב היקפים של צורות שונות. ;8 x = ; x = ;0 x. = ; x. = היקף מעגל א. הוא הקטן ביותר

110 פעילות : שאלות מילוליות בנושא חישוב היקפי מעגלים. א. ס"מ = 6. 0 x x. x ב. מ' =. (.7 x.0). + יש לשים לב ליחידות המידה השונות. ג. ס"מ = 9. 0 x. x ד. ס"מ = x. x ה. מ' =. x. x. x : פעילות 6: שאלות מילוליות בנושא חישוב היקפי מעגלים. 6 א. ס"מ =.0 x. x 6 ב. ס"מ = 87.9 x. x 6 ג. ס"מ =. 0 x. x 6 ד. אורך הסרט יספיק יחידה שטח העיגול ביחידה זו התלמידים מתמודדים עם מציאת שטח העיגול בערך. פתיחת היחידה היא לבחירתו של המורה: כדי לעזור לתלמידים להתייחס למציאת שטח של צורות, שאינן בעלות צלעות, אפשר להקדים ולפתוח תחילה בפעילות, שבה התלמידים מגלים את שטח כף היד שלהם בערך. הם מניחים את כף היד על דף משובץ בסמ"ר ומסמנים את קו המתאר. לאחר מכן סופרים ומסמנים משבצות מלאות; סופרים ומסמנים משבצות שהן פחות מחצי; סופרים ומסמנים משבצות שהן יותר מחצי; מחברים "זוגות": פחות +יותר מחצי =; אם בוחרים לעשות פעילות זו, רצוי להקדים ולשאול מה היא ההשערה )האישית( של שטח כף היד. התלמיד ירשום את ההשערה ויבדוק. נוח להשתמש בצבעים שונים לסימון השוני בשטחי המשבצות: שווה ל- או גדול / קטן מחצי; 0 פעילות : התנסות במציאת שטח בערך של צורות "מעוגלות" בעזרת משבצות מסומנות. פעילות : מציאת שטחם בערך של עיגולים שונים )הרדיוסים:,,, ס"מ( המשורטטים על משבצות סמ"ר. פעילות : חזרה על חישוב שטח של מלבן. התלמידים מחשבים שטח של מלבנים שונים, שהאחרון בהם הוא ריבוע שצלעו R. )כדי להגיע לכתיבה של R( פעילות : מראה ששטח העיגול קטן משטח הריבוע החוסם אותו )מקיף אותו(. שטח הריבוע החוסם הוא כשטח ריבועים, שכל אחד מהם צלעו היא כאורך הרדיוס. כלומר שטח הריבוע החוסם הוא R. השטח שמחוץ לעיגול ובתוך הריבוע החוסם, קטן משטח הריבוע הנשען על R. כלומר: > R שטח העיגול >.R באופן מדויק יותר, יש בערך משבצות שאינן בתחום העיגול והן חלק מהריבוע R ששטחו 0 מתוך הריבוע. סמ"ר. כלומר שטח העיגול מהווה = = 00

111 שטח הריבוע החוסם הוא R ולכן שטח העיגול הוא בערך 0.80 x R =. R הנוסחה המקובלת ומדויקת היא: π x R א. ס"מ ב. / סמ"ר ג. ד. 00 סמ"ר ה. העיגול ו. 0=x ז. 80=00-0 ח. שטח העיגול בערך על פי הציור הוא 0.80 משטח הריבוע הגדול. כלומר: 0.80 x x R =. x R בהסבר לתלמידים יש הסתפקות בכך ששטח העיגול הוא בערך פי מ- R. ( = R שטח ריבוע רדיוס( פעילויות 8: תרגול חישובים של שטחי עיגולים בקירוב, לפי הנוסחה. יחידה שטח העיגול המשך פתיחת היחידה: כדאי להתייחס למידע ולנוסחה הכתובה בעמוד 9 למציאת שטח העיגול. מומלץ להראות איך מחשבים שטח של עיגול בעזרת הנוסחה. פעילות : תרגול חישובי שטח של עיגולים, לפי הנוסחה. פעילות : הפעלת שיקול דעת וחישובים בנושא שטחים. ב..x90x90= פירושו של דבר. מ"ר ג. השטח הפנוי: מ"ר.6=-. פעילות : מה קורה להיקף ולשטח של עיגול כאשר הרדיוס גדל? ניתנים שלושה זוגות עיגולים, שבכל אחד מהם בעיגול הגדול הרדיוס כפול באורכו. כלומר אם בעיגול הקטן ההיקף הוא πr אז בעיגול גדול הוא πr )פי (; אם שטח העיגול הקטן הוא πr אז שטח העיגול הגדול הוא (R),π כלומר השטח גדל פי =. דוגמה: היקף שטח עיגול שרדיוסו x x. = 6.8. x =. עיגול שרדיוסו x x. =.6. x =. x =.6 בסעיפים ב-ג התלמידים כותבים רק את התרגילים לחישוב היקפי העיגולים. מהתבוננות במספרים הם יגיע למסקנה שכאשר הרדיוס גדל פי ההיקף גדל פי. מומלץ לאפשר לתלמידים לסמן / להדגיש בכל תרגיל את הגורם השונה. שרטוט א: היקף מעגל שהרדיוס ס"מ x x. היקף מעגל שהרדיוס ס"מ x x. שרטוט ב: היקף מעגל שהרדיוס ס"מ x x. היקף מעגל שהרדיוס 6 ס"מ x 6 x. שרטוט ג: היקף מעגל שהרדיוס ס"מ x x. היקף מעגל שהרדיוס 8 ס"מ x 8 x. בסעיפים ה-ו התלמידים כותבים רק את התרגילים לחישוב שטחי העיגולים. מהתבוננות במספרים הם יגיע למסקנה שכאשר הרדיוס גדל פי השטח גדל פי.

112 שרטוט א: שטח עיגול שהרדיוס ס"מ. x x שטח עיגול שהרדיוס ס"מ. x x שרטוט ב: שטח עיגול שהרדיוס ס"מ. x x שטח עיגול שהרדיוס 6 ס"מ. x 6 x 6 שרטוט ג: שטח עיגול שהרדיוס ס"מ. x x שטח עיגול שהרדיוס 8 ס"מ. x 8 x 8 פעילות : שאלה גדולה הדורשת חישוב שטחים והיקפים של עיגולים וחלקי עיגולים. א. שטח השטיח בכל חדר: בחדר של ליהיא: = x. x = 6.8 =.6 : : ) ). x בחדר הורים: = x x : בחדר של חן: =.. x x בחדר של עדי: = 9,0 00.) x ( ב. מחיר השטיחים בש"ח: = 9.. x עלות התפירה 9. ש"ח ג. היקף השטיח בחדר של ליהיא: עלות התפירה 0.8 ש"ח = 0.8 : +.) ) x ההיקף בחדר הורים: עלות התפירה 07. ש"ח = x. : + ההיקף בחדר של חן: עלות התפירה 6.8 ש"ח = 6.8. x ההיקף בחדר של עדי: עלות התפירה הכוללת 66.9 ש"ח מטר. היקף כל השטיחים: נעגל ל- 67 ש"ח ד. תמורת התפירה של כל השטיחים שילמו: חישבנו ב-ג' שעלות התפירה הכוללת היא 67 ש"ח. ה. עלות השטיחים + התפירה + ההובלה: ש"ח = 0,000 9, ו. הסכום לתשלום הוא 0,000 ש"ח. את הסכום חלקו ל- 0 תשלומים שווים. כל אחד בסך,000 ש"ח. שיחה על פעילות דיון כיתתי ההכללות אינן פשוטות לתלמידים. טוב לנסות להמחיש. משמעות נוסחת ההיקף היא שאם לוקחים חוט באורך הקוטר ומקיפים איתו את העיגול רואים שהוא נכנס קצת יותר מ- פעמים. אם מורה רוצה להמחיש את היחס הזה, יפה לראות אותו גם באמצעות גלגל אופניים או גליל כלשהו שמגלגלים על הרצפה / השולחן בסיבוב שלם, מודדים את אורך הדרך שהם עשו ומשווים לקוטר. א. ככל שמוכפל הקוטר מוכפל ההיקף. ב. השטח הוא )רדיוס( π x ולכן הגדלה של הרדיוס מתבטאת בשטח באותה הגדלה בחזקת. לדוגמה: כאשר הרדיוס גדל פי גם ההיקף יגדל פי ואילו השטח יגדל פי וכן הלאה. פעילות : חזרה על חישובי שטחים והיקפי עיגולים. א. האם בעזרת הנוסחה: x π x R מחשבים שטח עיגול? לא נכון. זו נוסחת ההיקף. ב. האם בכל עיגול שטח העיגול שווה להיקף המעגל? לא נכון ג. בערך קצת יותר מ- ריבועי רדיוס מכסים שטח של עיגול. נכון ד. עיגול שהקוטר שלו ס"מ, שטח העיגול הוא. סמ"ר. נכון פעילות 6 שיעורי בית. תרגול של חישובי היקפים ושטחים של עיגולים מסביבת התלמיד.

113 יחידה שטח העיגול המשך היחידה פותחת בהסבר על הדרך שבה הגיע ארכימדס למציאת שטח העיגול. מה שכבר היה ידוע בזמנו זה כיצד למצוא שטח משולש. על סמך זה ידעו למצוא שטח של כל מצולע משוכלל. בתוך עיגול ניתן לצייר אינספור מצולעים משוכללים חסומים. ככל שמספר הצלעות גדול יותר, קרוב שטחו של המצולע לשטח העיגול החוסם אותו )פעילות (. טוב יהיה אם התלמידים יוכלו להגיע לזה לפני שקוראים מה שכתוב ב"דיון מורה". שאלת אתגר נוספת לתלמידים "חזקים": השאלה הבאה מתאימה לתלמידים מתקדמים, אם רוצים לתת להם מטלה נוספת. היא לא נמצאת בספר. צריך למצוא משטח המפית את הרדיוס שלה: על השולחן בבית משפחת צורי מפית עגולה. שטח המפית סמ"ר. מה אורך רדיוס המפית? אפשר לגשת לשאלה כך: = = π x R שטח עיגול. x R = באיזה מספר נכפול את. כדי לקבל? ב- 00. כלומר, סמ"ר = 00. x לכן: סמ"ר = 00 R R = 0 ס"מ א ב ג ד ה פעילות : א. שולחן סלון בקוטר 80 ס"מ: סמ"ר π x 0 ב. שולחן לקפה בקוטר 0 ס"מ: סמ"ר π x ג. שולחן הגשה בקוטר 0 ס"מ: סמ"ר π x 0 ד. שולחן סלוני בקוטר 00 ס"מ: סמ"ר π x 0 ה. בלי קשר לצורת השולחן, אם נחשוב על ריבועים שמידותיהם 0 x 0 ס"מ הרי שניתן ליצור שולחנות כאלה ( בשורה ויש שורות = ) x פעילות : חישובי שטחים של צורות משולבות. התוצאות בסמ"ר x -. x. : = -. x 6. : = = x -. x = 0 -. = x. = = 0.8. x -. x =. x =.7. x x. x. =. x 9 -. x. =. x. =. פעילות : שאלת כדאיות בנושא קנייה ושטחים: א. מחיר העוגה נקבע לפי שטח העוגה. ב. מה שטח של שתי עוגות בקוטר 0 לעומת שטח של עוגה מלבנית 0: x 0 = 68 x. x 0 שטח של שתי עוגות עגולות הוא 68 סמ"ר = x שטח של עוגה מלבנית הוא 600 סמ"ר.

114 לשתי העוגות העגולות ביחד יש יותר שטח מהעוגה המלבנית. על עוגה מלבנית משלמים 70 ש"ח ועל שתי עוגות עגולות משלמים 80 ש"ח. ג. = 00. x 0 =. x 00 = 6 0 x 0 x שתי עוגות מלבניות שטחן קטן יותר ומחירן 0 ש"ח. עוגה עגולה מחירה 0 ש"ח. כדאי יותר לקנות עוגה עגולה קוטר 0. ד. שטח עוגת לב: = 8 = x +. x 0 שטח עוגה מלבנית =,000 0 x ה.. x 0 קטן פי מ-. x 0 מבחינת עלויות: עוגות בקוטר 0 עולות 60 ש"ח ועוגה בקוטר 0 עולה 0 ש"ח. פעילות שיעורי בית. חישוב היקפים. היקף עוגה 0 x 0 הוא 00 ס"מ: = 00 (0+0) x היקף עוגה בקוטר :0 ס"מ = x היקף עוגה בקוטר :0 ס"מ =.6. 0 x היקף עוגה בתבנית : x 0 ס"מ = 0 0) x ) + היקף עוגת לב: היקף המעגל: x. x 0 היקף חצי מעגל בס"מ: =. 0. x היקף עוגת הלב בס"מ: היקף שני חצאי מעגל ועוד הצלעות )היתר( של המשולשים בס"מ: = 6.8 יחידה שטח והיקף העיגול, קישוטים במחוגה וסרגל ביחידה זו נכין דוגמאות וציורים מעיגולים ומחלקי עיגולים ונתנסה בשרטוט בעזרת מחוגה. כמו כן, נמשיך לחשב שטחים והיקפים של עיגול, מלבן ומשולש. פעילויות : הוראות והצעות להכנת קישוטים בעזרת מחוגה. פעילות : חזרה על מציאת שטחים של מלבנים, משולשים ועיגולים א ב ג ד x +. x : = =.7 6 x + x. : = =.7 x + x +. : +. x 0. : = = 0.96 x x + x + x. : +. x = =.6 פעילות : תרגול וחזרה על חישוב היקפי מעגלים בגדלים שונים. קוטר. ס"מ היקף 7.8 ס"מ רדיוס ס"מ היקף.6 ס"מ קוטר ס"מ היקף 9. ס"מ קוטר 6. ס"מ היקף 0. ס"מ רדיוס. ס"מ היקף.7 ס"מ. x x =.. x x =.6 פעילות 6: תרגול וחזרה על חישוב שטחי עיגולים. א ב ג ד

115 פרק חילוק שברים שיעורים יחידות עד 9 בפרק זה של חילוק שברים נוביל את התלמידים בדרך של חקר וגילוי לנוסחה של כפל בהופכי. קיימים שלושה מצבים שבהם יש בתרגיל סימן חילוק ושבר: שלם לחלק לשבר חילוק להכלה: כמה שלישים ב- שלמים = : שבר לחלק לשלם חילוק לחלקים: כמה נקבל אם נחלק שליש ל- חלקים שווים = : שבר לחלק לשבר חלוק להכלה: כמה רבעים בחצי = : בכל אחד משלושת המצבים נמחיש את הנושא בעזרת ציור ומשמעות, דרכים המביאות את התלמידים לראות שניתן לכפול בהפכי. הדרך העיקרית שנלמדת היא על ידי כפל בהפכי. הסיבה: זו הדרך הרווחת והתלמידים יפגשו בה בכל מקרה, בהמשך לימודיהם. יש המחשה והסבר לכפל בהפכי, בשאלה כיצד מסבירים את הכפל בהפכי. דוגמה בתרגיל = : כאשר מחשבים כמה שלישים ב- שלמים אפשר לכפול =x משום שבכל שלם יש שלישים. כאשר מחפשים כמה קבוצות של שלישים ב- שלמים נחלק את התוצאה ב-..x:= בשברים זה ייראה כך: = = x : = x : דרך אחרת להסביר את הכפל בהפכי נשענת על ההבנות האלה: א. כל מספר, אינו משתנה כאשר מחלקים אותו ב- ב. בתרגיל חילוק, כאשר מגדילים או מקטינים את המחולק והמחלק פי אותו המספר המנה אינה משתנה. לדוגמה: 6 : = (6 x ) : ( x ) = 8 : 6 = 6 : = (6 : ):( : ) = : = ולכן: = ( x ) : ) x ( = x = : זו דרך ההסבר ביחידה 9 יחידה חילוק שלם בשבר )הכלה( ביחידה זו מוסבר המצב של חילוק שלם בשבר )חילוק להכלה(. בתחילה המחלק הוא שבר יחידה ולאחר מכן המונה גדול מ-. פתיחת היחידה: כדאי לפתוח את היחידה בפעילות, ו ולאחריהן לקיים דיון עם התלמידים כיצד פתרו את השאלות והתרגילים ולאיזה חוקיות הגיעו. בנוסף, אפשר להתחיל בשאלות במספרים שלמים כמו: כמה פעמים "נכנס" ב- 6? כמה פעמים "נכנס" ב- 0? אילו תרגילים נכתוב לשאלות אילו? בדרך זו אפשר לקשר אחר כך לתרגילים המתאימים לאותן שאלות בשברים. פעילות : מגוון שאלות בחילוק שלם בשבר. א. כמה פעמים מכיל את מכילים שמיניות. =. 8 8 = x 8 : כל שלם מכיל 8 שמיניות ולכן שלמים ב. כמה חמישיות ישנן ב- 0 שלמים: = 0 = 0 x.0 :

116 6 : : ג. כמה רבעים ב- 6 שלמים: = = 6 x ד. כמה רבעים ב- שלמים: = = x ה. כמה פעמים שני רבעים ב- : = 6 = x :. : x וזה ההסבר שניתן בפעילות. את התרגיל = x : ניתן לרשום גם כך: = = x פעילות : א-ג: השברים הם שברי יחידה; ב-ד' מוצאים כמה חמישיות ב- 8 שלמים )0( ומחלקים את זה ל- )משום שהקבוצות הן בגודל חמישיות(. מההתנסות והשאלות בפעילות התלמידים יסיקו שבמקום לחלק מספר ב- הם כפלו ב-. במקום לחלק מספר ב- הם כפלו ב-. פעילות : המחשת תרגילי חילוק שלם בשבר. התלמידים מציירים את המצב בתרגיל; כותבים אותו במילים; רושמים פתרון; בעקבות הפעילות נערך דיון ובו מגיעים עד לכפל בהפכי. פעילות : שאלות מילוליות: א. = 0 0 = x : 0 ב. = = x : 6 : 8 = 6 x 8 : = 6x8 ג. = 6 = 8 : 8 = 6 x פעילות : תרגול פתרון תרגילי חילוק שלם בשבר, מומלץ לתת לתלמידים המתקשים לצייר את התרגיל, כפי שנעשה בפעילות. פעילות 6 שיעורי בית. שאלות מילוליות. יחידה - 6 חילוק שבר בשלם )חילוק לחלקים( 6 : בפתיחת היחידה יש עיסוק בשאלה שניתנה כשיעורי בית והתרגיל שלה הוא: = תוך כדי הדיון מוסבר שוב הכפל בהפכי: כמות הרבעים ב- 6 שלמים היא: = 6 x כמות הקבוצות של רבעים בקבוצה היא: = 6 x : = 6x 6 : במקום לחלק ב- כפלנו ב-. = 6 x הוא שבר הפכי )הפוך ל- (. 6 לאחר מכן עוברים לחילוק שבר בשלם )חילוק לחלקים(. כאשר מחלקים רבע לשני חלקים שווים מקבלים חלקים שאת שמם נדע רק כאשר נגלה כמה חלקים כמוהם יש בשלם. במילים אחרות: לו חלקנו ארבעה רבעים בדרך זו היינו מקבלים 8 חלקים; לכל אחד מהחלקים קוראים שמינית.

117 במצב שבו נראה השלם ננסה להמחיש את : כולו; רבעים; 8 חצאי רבעים; פעילות : מגוון שאלות בחילוק )חלקן חילוק שלם בשבר; חלקן חילוק שבר בשלם; אחת מהן: חילוק שלם בשלם( ו. : ה. : ג. : ד. : ב. : א. : את התרגילים האלה נפתור כך: = : כלומר נחלק חמישיות ל- חלקים שווים ונקבל, חמישיות לחלק ל- אפשר לפתור גם כחצי של חמישיות. במקום כפול אפשר לשנות את סדר הגורמים בתרגיל כפל. מכאן ש: = 0 = = x : במקום לחלק ב- אפשר לכפול ב- : = x = = פעילות : למצוא שברים הפכיים. חשוב להיווכח בעובדה שההפכי של שבר קטן מ- יהיה גדול מ- ולהפך. פעילות : כפל שבר בשלם: המשותף לתרגילים הוא שמחלקים וכופלים באותו המספר ולכן חוזרים ל"התחלה". לדוגמה: = x = : x פעילות : תרגילים לשרטוטים: א. = 9 x שליש משני שלישים הם תשיעיות; = 9 : כשמחלקים שלישים ל- מקבלים תשיעיות. ב. = 8 x רבע מחצי הם שמינית; = 8 : כשמחלקים חצי ל- מקבלים שמינית; ג. = 8 x חצי מ- רבעים הם שמיניות; = 8 : כשמחלקים רבעים ל- מקבלים שמיניות; פעילות : תרגול פתרון תרגילי חילוק שבר בשלם. א. = 0 := x ג. = := x ה. = 0 := x 9 ז. := 8 8 ט. := ב. = := 6 x 6 := 6 := 6 ו. ד. 8 ח. := 6 6 י. := 7

118 6 : = 6 x = 6x 6 : או: = 8 פעילות :6 שאלות מילוליות א. = 8 = 6 x : ב. = 8 = 6 = x 6 : ג. = = 9 = 9 x = 9 : : פעילות 7 שיעורי בית. חזרה על התאמת תרגילים להמחשה כמו בפעילות. ג ב א x = 0 x = = 6 x = = : = x = 0 : = x = = 6 : = x = = פעילות 8 שיעורי בית. פתרון תרגילי חילוק. תרגילים א'-ג' חילוק שבר בשלם המנה קטנה מהמחולק. תרגילים ד'-ו' חילוק שלם בשבר המנה גדולה מהמחולק. יחידה -7 חילוק שבר בשבר )הכלה( היחידה נפתחת בדיון על שני סוגי החילוק, שבאים לידי ביטוי בפעילות 8: חילוק להכלה )שלם לחלק לשבר( וחילוק לחלקים )שבר לחלק לשלם(. חשוב מאוד לשמוע ולהתייחס לסיפורים שנכתבו. הם מעידים על הבנת ההבדל בין שני המצבים. פעילות : חילוק להכלה א. = = 8 = x 8 8 : ב. = = = x = : 8 : ג. = = x 0 0 : ד. = = = x 6 6 : 8

119 פעילות : מצבי חילוק להכלה בשבר לחלק לשבר ודיון על דרכי הפתרון בפעילויות ו. בסופו של דבר נכתבת שוב ההכללה: בחילוק בשברים ניתן לפתור על ידי כפל המחולק בהפכי של המחלק. פעילות : תרגול פתרון תרגילי חילוק שבר בשבר עם מכנים זהים או נכללים. פעילות : תרגילי כפל של שבר בהפכי שלו שווה ל-. פעילות : שאלות מילוליות א. = = = 9 x : חבילות גבינה = 6 x 7 : רצועות ב. = ג. = = 9 = 7 x : מטר אחד ו מטר שהוא מטר ושמונים ס"מ. 8 בקבוקי מים : 0 = 8 טבעות נייר ד. = 8 x ה. = 8 x = 0 x ו. = = x 0 0 : טבעות נייר. ניתן לראות זאת גם ללא חישוב, משום שהמחלק בסעיף ו' גדול פי מהמחלק בסעיף ה', כלומר המנה תהיה קטנה פי. פעילות 6 שיעורי בית. חזרה ותרגול פתרון תרגילי חילוק בשברים )שלושת הסוגים( פעילות 7: מספרים שצריך למצוא הפכיים שלהם. פעילות 8: ממילים לתרגילים חזרה על משמעות החילוק. לקראת פרק האחוזים חשוב לבקש מהתלמידים שיביאו לכיתה דברים שונים שיש בהם התייחסות לאחוזים, כגון מודעות או כתבות מהעיתונים ובהן תוצאות סקרים באחוזים, מכסים של גבינה לבנה, קופסאות או שקיות חלב וכיוצא באלה. יחידה 8 חילוק בשברים היחידה נפתחת בעיסוק במספר כפול המספר ההפכי שלו. פעילות : מגוון שאלות מילוליות בחילוק שברים "עם שארית". התלמידים יפתרו את השאלות בעזרת תרגילי חילוק כפי שלמדו. יש להניח שהם יפתרו בעזרת התרגיל ולא ינסו לפתור בעזרת ציור. חשוב לפרש את התוצאה שהם מקבלים, מה משמעותה. אפשר לנצל את ההזדמנות לפי שיקול דעת המורה או אם זה עולה מדרך פתרון של תלמידים )ההסבר המשמעותי דרך ציורים כאן אינו קל אך חשוב להבנה(. יש לשים לב כי בשאלה א מתייחסים רק לקופסאות המלאות, בעוד בשאלות ג ו ו מתייחסים גם לחלק שנשאר. מודגם כאן איך להמחיש בציורים את השאלות, נתייחס לדרך הפתרון בציור לשאלות ג ו-ו. 9

120 א. = = 7 = 7 8 x : קופסאות וקצת בקופסה שלישית. ה"קצת" הזה הוא שליש קופסה. ב. = 6 = = x 8 8 : ארזו קופסאות. ג. = x : עדי מילא בקבוקים = 8 = ועוד בבקבוק שלישי. המחשת הפתרון: בציור: נכנסים ב- מלבנים פעמיים. כל מלבן מייצג ליטר מים. החלק שנשאר )"השארית"( הוא מבקבוק שלם בבקבוק שלם יש רבעים. כאן יש רבעים. כלומר זה חלקים מתוך חלקים או שלישים. )השארית מהווה של בקבוק(. לא נרשום בתשובה ו רבעים או חצי, כי שואלים כמה בקבוקים שלמים ואיזה חלק מבקבוק מלא מילאו. לא שואלים איזה חלק של ליטר נשאר, אלא איזה חלק מבקבוק של ליטר נשאר. התשובה היא שלישים של הבקבוק הקטן. לא קל להבין רעיון זה. חשוב לשים לב מה השאלה ששואלים. אם שואלים איזה חלק מהבקבוק הקטן נשאר, צריך לחשוב על הרבעים של ליטר שנשארו )שהם חצי ליטר(, איזה חלק זה מבקבוק של ליטר. ד. המחיר בש"ח: = 0 : 8 x מוצאים שמינית מהמחיר וכופלים ב-. : שקיות קפה 0 = x0 = 8 = 0 ה. = 8 ו. = 6 = 6 = 8 = x 8 8 : ועוד שקית שבה שליש מהכמות שיש בשקית מלאה. המחשת הפתרון: ארזו שקית אחת מלאה בציור: 8 נכנסות ב- מלבן פעם אחת. מהשקית של 8 שהקפנו. 0 השמינית שנשארה היא

121 ז. בשקית שלמה יש שמיניות ) חלקים שכל אחד הוא שמינית(. בחלק שנשאר יש רק שמינית אחת או חלק אחד שהוא שמינית. החלק האחד הוא שליש ממה שיש בשקית שלמה. כלומר, התשובה אינה ושמינית )של שלם( אלא ושליש של שקית. כל חבר קיבל שמינית: = 8 8 : : = x = 8 פעילות : כפל שבר בהפכי )א-ה( וכפל שבר בשלם, כופלים באותו המספר שבמכנה השבר ובתוצאה נשאר מונה השבר )ו-י(. פעילות : תרגילי כפל עם נעלם. בעקבות פעילות והמסקנות התלמידים ישלימו את המספרים החסרים. א-ג כפל בהפכי; ד-ו כפל במספר שבו חילקו לדוגמה תרגיל ד': = x פעילות : תרגילי חילוק, שכאשר נכפול בהם בהפכי נקבל מספר שניתן לצמצום. ראו דוגמה בתרגיל א' בספר. פעילות : שאלות. א-ב הכלה; ג חלקים; = = = x : שקיות מלאות ובשקית השישית מילאו רק חצי מהשקית שזה רבע ק"ג א. ב. = 8 = x 0 = x 0 8 : שקיות נארזו = 7 0 : עשיריות בק"ג 00( גרם( ג. = x פעילות 6: תרגול וחזרה על פתרון תרגילי חילוק של שבר בשלם ושלם בשבר. פעילות 7 שיעורי בית/ תרגילים דומים לפעילות 6. יחידה 9 חילוק פיתוח תובנה ביחידה זו מובילים להבנה של הכפל בהפכי דרך שתי ההבנות שהוזכרו בפתיחה לפרק במדריך זה )פרק חילוק שברים(: א. כל מספר, אינו משתנה כאשר מחלקים אותו ב- ב. בתרגיל חילוק, כאשר מגדילים או מקטינים את המחולק והמחלק פי אותו המספר המנה אינה משתנה. )זה אותו רעיון מתמטי כמו בצמצום והרחבה(. ביחידה זו ניתנת דרך נוספת לחילוק שברים. יש להפעיל שיקול דעת אם יחידה זו מתאימה לכל תלמידי הכיתה, או אולי רק לחלק ממנה. רוב הפעילויות ביחידה מתאימות גם לתלמידים מתקשים. אפשר להציע להם בפעילויות, ו לפתור את התרגילים בדרך שלמדו קודם בעזרת כפל בהופכי ולא בדרך החדשה. הדרך החדשה דומה לדרך שבה פתרו חילוק של מספרים עשרוניים, כך שהעיקרון כבר מוכר לתלמידים. גם מהלך הלימוד ביחידה הזאת עשוי לעזור לתלמידים להבין את הדרך החדשה בלי קושי מיוחד. לפי שיקול דעת המורה, אם נראה שהלמידה כאן, של דרכים לפתרון, עשויה להיות קשה לתלמידים מסוימים, אפשר כאמור לכוונם להמשיך לפתור כאן כמו קודם.

122 פעילות : פעילות מקדימה ותזכורת לתרגילים שקולים. מספרים שלמים = 0 : :.א = 0 : 9 0 :.ב 00 : :.ג = 00 :,000 :.ד 0 : 0 :.ה מספרים עשרוניים : :.א = 6 : 0..6 :.ב 0 : 0.0 :.ג = : :.ד =. : 0.. :.ה פעילות : ב. נכון ג. לא נכון ד. נכון ה. לא נכון ו. נכון ז. לא נכון ח. נכון ט. נכון י. נכון יא. נכון בהמשך יש שימוש בכפל המחולק והמחלק כך שהמחלק )בתרגיל חילוק בשבר( הופך משבר לשלם. פעילות : שלם לחלק לשבר. כאשר כופלים את המחולק והמחלק במכנה של המחלק הופך 6 : = )6 x ( : ) המחלק למספר שלם. כלומר: = 9 = 8 : ( x פעילות : חילוק שבר בשלם, לפי הנלמד כפל בהופכי. המסקנות מפתרון התרגילים: המונה בתוצאה )לפני הצמצום( נשאר כמו המונה במחולק, המכנה בתוצאה התקבל מכפל מכנה המחולק : = x בשלם. לדוגמה: = 6 6 פעילות : תרגול פתרון תרגילי חילוק בשברים בעזרת תרגילים שקולים. התרגילים הניתנים בפעילות 6 חוזרים על התרגילים בפעילות. בפעילות זו "מתורגם" תרגיל חילוק שלם בשבר לתרגיל שרשרת בשלמים עם כפל וחילוק: 6 : = 6 x : = 9 אפשרות נוספת ניתן לראות בתרגילי השרשרת את הכפל בהופכי. פרק 6 אחוזים 9 שיעורים יחידות 0 עד 8 פרק האחוזים מציף את הידע המזדמן )מהעיתונות, לדוגמה(, מלמד את משמעות האחוז כמאית מתוך כמות, קושר את האחוז עם השבר הפשוט והמספר העשרוני ומראה את דרך הכתיבה. יש בפרק גם עיסוק באחוזים "נפוצים": 0%, 0%, 0%, % וכן הלאה )עשירית, שתי עשיריות ]חמישית[, חצי, רבע...(. חשוב לבקש מראש מהתלמידים שיביאו איתם לכיתה דברים שיש בהם התייחסות לאחוזים, כגון מודעות בנוגע לתוצאות סקרים באחוזים, מכסים של גבינה לבנה, קופסאות או שקיות חלב וכיוצא באלה. בפרק האחוזים יש שאלות רבות, אשר מזמנות לתלמידים את שלושת המצבים: ערך האחוז אינו ידוע; )יחידות עד (

123 החלק )האחוז מהשלם( אינו ידוע; )יחידה עד 6( השלם )הכמות הכוללת( אינו ידוע; )יחידה 7( המספרים הנתונים מעודדים חשיבה עליהם וזו דרך מאוד יעילה לביקורת ובקרה על תוצאות שהתקבלו כתוצאה מחישוב האחוז בתרגיל פורמאלי. טוב לשוחח עם התלמידים לפני שפותחים את הספר. בשיחה יש מקום ל"למה". למה 0 אחוזים ממשהו הם חצי? אחוזים הם רבע וכדומה... יחידה 0 משמעות האחוזים פעילויות ו- : עוסקות בקריאה, מיון ועריכת רשימה: היכן אנו נתקלים באחוזים בחיי היום יום? ומה התלמידים מבינים מכותרות שיש בהן אחוזים? כדאי להסתכל בעיתונים, לבדוק אריזות מזון ומודעות שונות ולראות באילו משמעויות מוצגים האחוזים. באילו הקשרים בחיי היום יום מדברים על אחוזים? לאחר הדיון הכיתתי התלמידים ימשיכו לעבוד באופן עצמי או בזוג. פעילות : עוסקת בתחושה של אחוזים, לדוגמה בסעיף ד מה פירוש דבר ש 80% מתלמידי הכיתה נהנים לשחק בהפסקה? זה יותר מחצי הכיתה? זה פחות מחצי הכיתה? זה הרוב? פעילות : רישום באחוזים של השטח הצבוע מכל עיגול או של אחוז של חלק מכמות. האחוזים המומחשים "בסיסיים" )0%, 00%, %, 7%( וידועים לתלמידים, הם מהווים חזרה על החלק שנלמד בכתה ה. פעילות 6: סכום האחוזים מהווה 00%, הוא מייצג את כל השלם. בפעילות יש התייחסות לסקרים, שלפעמים כתוצאה מעיגול מספרים הסכום שיתקבל שונה מ- 00%. השינוי הוא של אחוז אחד למעלה או למטה. רצוי לעבור עם התלמידים על הדוגמה בספר שמראה איך כשמעגלים מספרים באחוזים של מספרים לא שלמים, הסכום של כל האחוזים יכול להיות 99% או 0%. אפשר לתת דוגמה נוספת לנושא: הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה פרסמה ב- 007 נתונים של תוצרי החקלאות בישראל. אם נעגל את הנתונים נקבל סכום קטן במעט מ- 00% 99= כדי למצוא נתונים שונים הקשורים למדינה, אפשר להיכנס לאתר של "הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה".

124 פעילויות 7 8: זיהוי אחוז השטח הצבוע בצורות שונות, ייצוג אחוזים ידועים לתלמידים )0%,.)00% פעילות 9: התלמידים גם יתנסו בהבנה של שימוש באחוזים בגרפים ובדיאגרמות. התלמידים יתייחסו לנתונים המופיעים בדיאגרמת עוגה. פעילות 0 שיעורי בית. שאלות מילוליות המתייחסות להבנה שהשלם מהווה סכום של.00% יחידה ערך האחוז במספרים "נוחים" ביחידה זו מוצאים 0%, %, 0%, 0%, מכמויות שונות. מובילים את התלמיד למציאת 0% כמציאת עשירית )חילוק ב- 0 ( וגם על ידי מציאה של אחוז אחד וכפל ב- 0. כשמחפשים % התלמידים יכולים למצוא % כחצי מ- 0% או למצוא אחוז אחד ולכפול ב-. רצוי לכוון את התלמידים לחישובים בעל פה ולפתח תובנה לגבי אחוזים פשוטים. פעילות : מציאת מחיר כל פריט לאחר הנחה של 0% מהמחיר. פעילות : מציאת ההנחה של 0% מכל פריט. פעילות : מחשבים כמה הם 0% טיפ )תשר( במסעדה וכמה הם %. אם רואים ש 0% הם עשירית, קל למצוא אותם בעזרת חילוק הכמות הכוללת ב- 0. אם מחיר הארוחה היה 0 ש"ח, 0% מהמחיר הוא ש"ח. % יהיה 0% ועוד % שהוא חצי ממנו. כלומר ועוד 7 או ש"ח. למרות שקל לחשב 0% בעזרת חילוק ב- 0, ביחידה זו התלמידים מחשבים גם כמה הוא %. דרך זו מהווה בסיס מצוין להבנה ולפתרון של מגוון בעיות, כולל בעיות במספרים לא נוחים. לכן, אנחנו מתחילים ממספרים קלים, שבהם קל להשוות מה מקבלים ממציאת %, ומכאן ממשיכים למציאת 0% לדרך שבה מוצאים מיד כמה הם 0% מחילוק ב- 0. אפשר להיעזר בדיון הכיתתי המוצג בעמוד 6, או לבקש שהתלמידים יציגו את הדרכים בעצמם. פעילות : לאחר הדיון הכיתתי תרגול חישוב 0% ו % טיפ )תשר( מסכום הארוחה. פעילות : חישוב אחוזי הנחה. סעיף א- חישוב הנחה של 0% מהמחיר, סעיף ב - חישוב הנחה של 0% מהמחיר ולאחר מכן הנחה של 0% מהמחיר )פי מההנחה שחושבה קודם(. סעיף ג - דרך נוספת לחישוב הנחה של 0% מהמחיר, כלומר התלמידים צריכים להבין כי 0% מהמחיר שווה לחמישית מהמחיר. פעילות 6: א - נתונות משבצות צבועות בריבועים בני 00 משבצות ויש לייצג את החלק הצבוע באחוזים. סעיף ב - התלמיד מציג באחוזים את החלק שיש עוד לצבוע עד לשלם )השלמה לשלם באחוזים(. יחידה ערך האחוז. סקרים פעילות : היחידה פותחת בנתונים שנאספו בסקר שנערך בקרב 00 תלמידים לגבי סוג הספרות המועדף עליהם. היות שהשלם הוא 00, מספר התלמידים בכל קטגוריה הוא גם האחוז שלהם בקרב הנשאלים. פעילות : הסקר השני נערך בין 00 נשאלים, כלומר כאן כל שני תלמידים מהווים אחוז אחד. טוב מאוד להדגיש את היחס בין 00 ל- 00 ):( ואת מה שמשתמע ממנו. לאחר הפעילויות יש דיון כיתתי, מומלץ להתייחס לסוג השאלות שבפעילות.

125 פעילות : שאלה )השלם הוא 00(: כדי למצוא 0% מ- 00 נחשב = : אור קיבלה 0 ש"ח הנחה ותשלם 90 ש"ח עבור המכנסיים. פעילות 00 : בולים הם 00%. לאחר חישוב % בסעיף א מומלץ להיעזר בו כדי לחשב את שאר האחוזים )סעיפים ב-ג(. א. % מהבולים הם: = : בולים הם אחוז. ב. 0% מהבולים הם: = x אם % שווה ל-, אז 0% שווים ל- 00 בולים. ג. % מהבולים הם: =, x אם % שווה ל-, אז % שווים ל- בולים. או בדרך אחרת: % מהכמות הכוללת )00 בולים( הם רבע מהכמות הכוללת, ולכן = 00 : ד. = 6% % + 0% + % = % 6% - 00% פעילות : נתונים חלקים בשברים ובמספרים עשרוניים. צריך לכתוב אותם באחוזים. הפעילות מחזקת את המעברים בין המספרים השונים. פעילות 6: מציאת 0% ו 0% מכמויות נתונות. מוצאים 0% על ידי חילוק ב- 0 וכופלים ב- כדי למצוא 0%. פעילויות 9-7 שיעורי בית. נתונות משבצות צבועות בריבועים בני 00 משבצות ויש לייצג את החלק הצבוע בשלושת הדרכים; מעברים מעשרוני לפשוט ולהפך; נספח דף תרגול נוסף בשלושת הדרכים; מעברים ממספר עשרוני לשבר פשוט ולאחוזים. יחידה - המשך חישוב ערך האחוז ביחידה זו נעסוק בשתי דרכים לחישוב ערך האחוז. דרך מוצאים קודם כמה שווה % ונעזרים בו כדי למצוא כמה שווים אחוזים אחרים. כדי למצוא 0% של 600. נמצא: כמה הוא?% 6 = : כמה הם?0% 80 = 0 6 x זוהי דרך קלה. תמיד נחלק את הכמות הכוללת ב- 00 כדי למצוא %. החילוק ב- 00 קל לביצוע, וקל להבין איך לחשב 0% אם יודעים כמה שווה %. דרך למצוא איזה חלק )כמה מאיות( של הכמות הכוללת. נחשב כמו בשברים. נחשוב על 0% של 600 כ- 0 מאיות ונמצא כמה הן 0 מאיות של 600. לדוגמה: 0% של 600: 0 00 x 600 = רצוי להראות לתלמידים דרכים לפתור תרגיל כזה. כדאי להזכיר להם איך לצמצם. אם מצמצמים 600 ו- 00, למעשה אנחנו מחלקים את המונה והמכנה ב- 00 בלי שנשנה את השבר. במכנה 00 לחלק ל- 00 זה. במונה 600 לחלק ל- 00 זה 6. נשאר לכפול 0 ב- 6. אפשר גם לכפול מיד 0 ב- 600 ואז לחלק ב- 00. היתרון של דרך זו היא שגם אם המספרים אינם נוחים לחישוב, אפשר לחשב בדרך זו. בפתיחת היחידה: אפשר להיעזר בהדגמת שתי דרכים למציאת ערך האחוז שבעמוד )בדיון כיתתי(. ביחידה זו גם חוזרים על כך שיש שברים שקל להרחיב אותם למכנה של 00 ובדרך זו למצוא כמה אחוזים יש. רצוי לעבור עם התלמידים על ההדגמות שבעמודים 8-7.

126 6 פעילות : תרגול מציאת ערך % מכמויות שונות. בטבלה שורה ערך האחוז מספר שלם, שורה 6 ערך האחוז מספר עשרוני )., 0.(. פעילויות : תרגול מציאת ערך האחוז בדרך - בעזרת חישוב % מהכמות. בשאלה % מ- 0 תלמידים הוא.. נתון זה אומנם הוא מספר עשרוני "לא הגיוני", אך בפתרון השאלה, כמה תלמידים עלו למגדל )סעיף א(, כופלים אותו ב- 80 ומקבלים מספר שלם של תלמידים:. x 80 = 0 פעילויות 7: תרגול מציאת ערך האחוז בדרך - מציאת החלק )כמה מאיות( מהכמות הכוללת. פעילויות 8 9: מעבר בין כתיבת מספר עשרוני לאחוזים ולהיפך. פעילות 0: מעבר משבר פשוט לאחוזים בדרך של הרחבה או צמצום. פעילות שיעורי בית. תרגול מציאת ערך האחוז באחת מהדרכים שנלמדו. כל תלמיד יפתור בדרך הנוחה לו. יחידה פעילות : בפתיחת היחידה יש פעילות תרגול )מעבר משבר פשוט לעשרוני ולאחוזים( ולאחריה שאלות. כדי לחזק את הקשר בין האחוז והחלק שהוא מייצג, אפשר לפתוח את היחידה בפעילות כזו: לפנינו כמויות שונות: ואחוזים שונים: 7% 0% % 0% 0% לכל מספר יש שלוש אפשרויות של חלקים )אחוזים(, שהם מספרים שלמים. לדוגמה: רבע של 0 אינו מספר שלם. חצי, חמישית ועשירית מ- 0 הם מספרים שלמים. ;0% ;0% ;0% 0,0 ;7% ;0% ;% 6,,8 אפשר לבקש מהתלמידים להוסיף מספרים לכל אחת מהקבוצות. כדי לעשות זאת עליהם לזהות שמה שמייחד את 0 ואת 0 הוא שהם כפולות 0 ושאינם מתחלקים ב-, ובקבוצה השנייה ההפך. האם תוכלו למצוא מספר שכל החלקים )האחוזים( שלו יהיו מספרים שלמים? )0, 0...( בפעילות : בכל שש השאלות, נתונה הכמות השלמה )שהיא מספר "עגול" עם 0 בספרת היחידות(, והתלמידים מתבקשים למצוא חלק ממנה באחוזים, שגם הוא מספר עגול )עם 0 ביחידות(. רצוי לשוחח ולהראות את האפשרות למצוא 0% ולכפול במה שנדרש. המשימות הן: 60% מ- 00 ; 80% מ- 0 ; 0% מ-,000 ; 0% מ- 0 ; 0% מ- 0 ; 80% מ- 70 ; פעילות : תרגול של עשרות אחוזים מכמויות וגם של אחוזים בודדים. פעילויות 6: שאלות על מבצעי הנחות. לא כל ההנחות במספרים עגולים. פעילות 7: שאלות המתייחסות ל- 0% ול- %. חשוב להזכיר את הקשר לרבע ולחמישית )כלומר, אפשר לחלק ל- או ל- כדי למצוא את ההנחה בשקלים(. פעילות 8: ניתנים מבחנים בנושאים שונים והתשובות עליהם. במבחן הראשון התלמידים קובעים מה נכון ומה שגוי ונותנים ציון. בשני המבחנים הפתורים האחרים יש סימון של נכון ושגוי ולתלמיד נותר רק לתת ציון. סעיף ב - ניתן להשתמש במחשבון. במבחן האחוזים שאלות. כל תרגיל מהווה חמישית מהציון כלומר הוא 0% מהציון. במבחן "חילוק שברים" של אריה יש 0 תרגילים כל תרגיל מהווה 0% מהציון )מחלקים 00 אחוזים ב- 0 שאלות(. במבחן "כפל שברים" יש 0 תרגילים, כל תרגיל מקבל % מהציון.

127 סעיף ג - נועה במבחן הראשון פתרה נכון תרגילים מתוך. היא פתרה נכון 60% מהמבחן: = = 60% אריה במבחן השני פתר נכון 7 שאלות מתוך 0 במבחן ולכן הציון שלו הוא 70. יוסי פתר נכון 6 תרגילים מתוך 0. הוא פתר נכון 80% מהתרגילים: 6 0 = = = 80% אפשר גם לחשב את ציונו בהכפלת מספר השאלות 6 באחוז לכל שאלה. 6 x = 80 סעיף ד - כדי להגיע לציון "עובר" 60 יש לפתור נכון: תרגילים במבחן האחוזים, כי כל תרגיל הוא 0% מהציון. 6 תרגילים במבחן חילוק שברים. במבחן 0 תרגילים, כל תרגיל נכון מזכה ב- 0%. במבחן של יוסי על כפל שברים כל תרגיל מזכה ב- אחוזים. כדי להגיע לציון 60, צריך לפתור תרגילים נכון. דרך זו שבה התלמידים בודקים מבחנים פתורים, טובה מאוד כחזרה על כל נושא שהוא. לדוגמה, אם מורה רוצה לעשות חזרה על סדר הפעולות, הוא יכול לתת 0 תרגילים פתורים ולבקש מהתלמידים לבדוק ולתת ציון )יכולים להיות גם 0,,, תרגילים(. אפשר גם לבקש מהתלמידים שיתקנו את השגיאות כדי להגיע ל- 00% או שימצאו אפשרויות אחרות לאותן תוצאות. פעילות 9 שיעורי בית. מציאת 0% מכפולות. יחידה חישוב האחוז בתחילת היחידה התלמיד לומד את התרגיל הפורמאלי למציאת ערך האחוז. איך מחשבים כמה אחוזים יש במצבים שבהם לא קל להרחיב למאיות, או לראות באופן פשוט למה שווה האחוז. דרך אחת היא כמובן למצוא כמה שווה השבר במספר עשרוני ולכפול ב- 00. אנחנו יכולים גם לבצע זאת בתרגיל אחד לרשום שבר שהוא חלק של 00%. נושא זה אינו קל, ולכן כדאי לדבר עליו באופן משמעותי, כגון: "מהו החלק של 00%"? לדוגמה: בכיתה ו' תלמידים. 7 מתלמידי הכיתה מרכיבים משקפיים. מהו החלק של התלמידים מרכיבי המשקפיים? מהו אחוז התלמידים שמרכיב משקפיים? תלמידים הם הכמות הכוללת או ה 00%. 7 מתוך תלמידי הכיתה מרכיבים משקפיים. 7 איזה חלק הוא? החלק הוא: איזה אחוז הוא? א. נמצא את האחוז על ידי כפל החלק מהשלם ב x 00 = 700 = 0 = 0%

128 ב. אפשר גם לרשום זאת בשבר מצומצם: 7 x 00 = x 00 = 0% כדאי להזכיר איך מצמצמים. צמצום ב- 7 כאן הוא למעשה חילוק המונה והמכנה ב- 7 ובדרך זו איננו משנים את התרגיל או את התוצאה כי למעשה כפלנו ב-. בדרך הראשונה מבין השתיים )א( רואים שגם מי שלא רואה איך מצמצמים בדרך יכול לכפול ולצמצם בסוף. דרך זו מאפשרת למצוא אחוזים גם כשהמספרים לא קלים או נוחים וגם כשיש מספר לא שלם של אחוזים. אפשר לשאול למשל: איזה חלק הוא 7 חלקי של 00%? 8 כדי לקבל תחושה לגבי סדר הגודל של האחוז אפשר בפתרון שאלה זו גם להתחיל משיחה על המצב הזה )או דומה לו(, ולהגיע בעל פה להבנה שחמישית מהשלם באחוזים היא חמישית של 00 אחוז. אפשר גם להמציא מספר אחר של תלמידים )נאמר 6( ולבקש מהתלמידים להחליט כמה מהם שמאליים; בנים / בנות; מנגנים בכלי כלשהו; אוהבים חשבון ולחשוב איזה אחוז הם מהכיתה )בדיוק או בערך(, לדוגמה: אם 0 תלמידים מנגנים, הם קצת יותר מרבע מהכיתה )מ- 9 (; קצת יותר מ- %. בפעילות : השלם הוא 80. קל לחשב אחוזים של 0. 0, 8, ה נשען על 8+: )%+0%(. או אפשר לחשב איזה אחוזים הם מתוך 0 בדרך שלמדנו בשיעור זה )איזה חלק של 00%(. בפעילות : יש שאלות שבכולן החלק הוא שבר יחידה, שמכנהו מחלק של 00: ה.. המשמעות היא שניתן לפתור את השאלות בעל פה או 0 ד. ב. ג. א. באמצעות הרחבת השבר לשבר שמכנהו 00. חשוב! לאחר החישוב בעל פה, לכתוב את התרגיל כפי שלמדו. לדוגמה: x 00 = 0% פעילות : תרגול המעבר מחלק כשבר לאחוזים )ללא כתיבת תרגילים(. המספרים קלים וניתנים להרחבה למכנה 00 בקלות. פעילויות : שאלות. איך נחשב את אחוז השומן כשיש גרם שומן בגביע של 00 גרם יוגורט לעומת גרם שומן בגביע של 00 גרם יוגורט? ב א' השבר הוא מאיות או מ- 00 ולכן קל לרשום אותו באחוזים כ %. ב ב' וג' התלמידים צריכים להבין שאם לוקחים את אותה כמות שומן גרם מתוך כמות גדולה יותר של יוגורט, אחוז השומן יהיה נמוך יותר. הוא יהיה חצי מ- % או.%. כדי לחשב זאת אפשר לרשום: איזה חלק הוא מתוך 00 של 00%? 00 x 00 = = =.% פעילות 6: נתונים מלבנים משובצים ובהם 0 0,, 0, 00, משבצות. בכל מלבן צריך לקבוע כמה אחוזים מהווה משבצת אחת )ככל שהשלם קטן יותר, כך משבצת

129 אחת מתוכו ערכה גדול יותר באחוזים(. לאחר מכן נשאלים התלמידים שאלות על כל מלבן בנפרד, שמטרתן לעזור לתלמיד במעברים מהחלק לביטויו באחוזים ולערך האחוז. כל המשימות נוחות גם לחישובים בעל פה. פעילות 7 שיעורי בית. שאלה שבה השלם הוא 0 והחלקים הם מחלקים שלו ), 7(., 0, 7 0 =, 0 = כלומר, הם ניתנים לביטוי כשברי יחידה: = 0 =, 0 0 0, 0 לכל שברי היחידה יש מכנים שהם מחלקים של 00 ולכן ניתן גם לחשב בעל פה. x 00 = 0, 0 x 00 =, x 00 = 0, 0 x 00 = 0 יחידה 6 חישוב האחוז פעילות : שאלה ופירוט בתוך טבלה. השלם הוא 0. בטבלה נעשים מעברים משבר פשוט לעשרוני ולאחוזים. חשוב להגיע לשורה התחתונה בטבלה )סעיפים ב' ו ג'( ולראות שסך החלקים הוא בשבר הפשוט והעשרוני, וסך האחוזים הוא 00. חשוב גם להפנות תשומת לב לקשר שבין מספר הכדורים לבין האחוז שהם מהווים: האחוז הוא פי ממספר הכדורים. כדורים הם 0% )כלומר כדור אחד הוא %(. פעילות : השלם הוא,000 כדי למצוא את האחוז צריך לצמצם ב- 0. פעילות : השלם הוא )האחוז בתשובה 80% כי שואלים על ) 0 פעילות : השלם הוא 800 והאחוזים בעשרות שלמות. כלומר: כדאי לכוון למציאת עשירית )0%( ולכפול בהתאם. לדוגמה, אם מצאנו ש 0% הם 80. 0% יהיה 80 כפול. רצוי להוסיף תרגיל פורמאלי כדי לראות שהוא נכתב נכון, וכן את אפשרויות הצמצום. פעילות : החלק שצריך לבטא באחוזים )בערך( הוא, 8 וזה קצת יותר מ-. 8 כלומר קצת יותר מ- %. בדיון מורה, תלמידים יציגו איך פתרו. מספר תלמידים ידווחו איך פתרו את שאלות ו. שאלה זו נפתרת בתחתית העמוד )עמוד 6(. מכיוון שהחישובים כאן קשים, אפשר להשתמש במחשבון. החישוב מוצג גם כאן כמו בספר. 9 החלק של 8 ימי גשם מתוך ימים בחודש הוא: 8 איזה אחוז זה? כדי למצוא אחוזים כפלתי ב- 00 במחשבון )אפשר לשאול איזה חלק הוא 8 חלקי של 00 אחוז(: במחשבון הכנסתי 8, חלקתי ב- וכפלתי ב- 00. קיבלתי: 8 = 00% =.806% עיגלתי את התוצאה.806 ל- 6%

130 0 פעילות 6: חישובים: כמות מתוך כמות כמה זה באחוזים. בכל הסעיפים ניתן להגיע לשברים מצומצמים שהמכנה שלהם הוא מחלק של = 00 פעילות 7: השלם 0 ו מתוכו הם %. פעילות 8: כמו פעילויות 6 7 פעילות 9: התלמיד צריך למצוא את השלם כאשר נתונים חלקיו )השלם - 00 גרם(. פעילות 0: הכמות השלמה נתונה )0( ונתונים אחוזים מתוכה. צריך למצוא את ערך האחוז. 6 א. 6% מ- 0 הם = x 0 ב. יש 0 בני נוער: = x יש 8 ילדים. ג. יש מבוגרים: = החלק של המבוגרים = 0 פעילות : יש מחירים לפני הנחה ואחרי הנחה והתלמידים מחשבים את אחוז ההנחה. פעילות : נתונה הכמות השלמה ),000( והתלמידים צריכים למצוא את תמורת האחוזים הרשומים מתוכה. יחידה 7 במרכזה: מציאת השלם על פי חלקו החלק באחוזים ידוע וגם גודלו ידוע )ערך החלק(, ומחפשים את הכמות השלמה )00%(. בכל השאלות נתונים מספרים המאפשרים גם חישוב בעל פה. רצוי לחשוב בהתאם למספרים בשאלה, מהי הדרך הנוחה לחישוב. כדאי לעבור עם התלמידים על ההדגמה בעמודים 6-6. מודגמות שתי דרכים למצוא את ה 00% או השלם. דרך אחת: אם ידועים אחוזים נוחים כמו 0% או % קל לחשב מהם. אם ידועים 0% או עשירית, הכמות השלמה היא פי 0 מה 0%. אם ידוע % הרי שנתון רבע וצריך למצוא את הכמות השלמה שהיא פי ממנו. הדרך השנייה, מאפשרת לחשב גם אחוזים פחות נוחים לחישוב. בדרך זו מוצאים כמה זה אחוז אחד ואז מוצאים כמה הם 00% בעזרת כפל ב- 00. אחרי ההדגמה ולפני העבודה בשאלות בספר, כדאי שהתלמידים יפתרו עוד שתי שאלות לפחות )לפי בחירתו של המורה(, המייצגות את שתי האפשרויות: א. מציאת % וממנו לחשב את 00% ב. לראות כמה פעמים נכנס החלק הנתון בשלם. אם, ידוע שיש 0%, אפשר לכפול ב- כדי להגיע ל- 00% או למצוא קודם כמה זה % ולחשב ממנו )או למצוא כמה זה 0% ולכפול ב- 0 (. פעילות א': אם הוא 0% )עשירית( מהשלם אז השלם הוא פי 0 או 0. פעילות ג': 6 תוכים הם 80%. נמצא 0%. 80% נחלק ל- 8 כדי להגיע ל- 0%. נחלק ב- 8 גם את 6 ונקבל ש תוכים הם 0% מהתוכים. נכפול ב- 0 כדי לקבל את ה 00% ונקבל שיש 0 תוכים. פעילות : מציאת השלם, מאחוזים נוחים כמו: %, 0%, 0%, %. כדאי לכוון את התלמידים לשאלות בהן יש להגיע ל- 00% דרך מציאת 0% או % כמו: בפעילות ג': ק"מ שרץ אופיר הם 0% מהמסלול. נמצא כמה הם 0%. נחלק ל- כדי להגיע ל- 0%. נחלק ב- גם את הק"מ ונקבל ש ק"מ הוא 0% מהמסלול. נכפול ב- 0 כדי לקבל את 00% ונקבל שיש 0 ק"מ במסלול ריצה.

131 אפשר להשתמש בטבלה כפי שיש בספר בעמוד 6 לפתרון השאלות: אחוזים קילומטרים : 0% : x 0 0 0% x 0 00% פעילות ב': 0 הבולים מישראל הם % מכלל הבולים. נמצא כמה הוא %. נחלק ל- כדי להגיע ל- %. נחלק ב- גם את 0 ונקבל ש בולים הם % מהבולים. נכפול ב- 00 כדי לקבל את 00% ונקבל שיש 00 בולים באוסף של איילת. אחוזים % : קילומטרים 0 : x 00 % x % פעילות 6: בסעיף א': % זה 0 ש"ח. כמה הם 00%? נעשה זאת על ידי חילוק ערך האחוז באחוז ואז נכפול ב- 00. כדי למצוא % נחשב: = 0 : ונקבל ש % שווה ל-. כדי למצוא 00% נחשב: = x ונקבל ש 00% שווה ל- 00. בסעיף ב-ד אפשר לחשב קודם 0% או % ומהם לחשב את 00%. פעילות 7: שאלה המשלבת חישוב השלם )סעיף א(, ערך האחוז )סעיף ב(, ומציאת האחוז )סעיף ג(. פעילות 8: כדי להשלים את הטבלה אפשר לחשב תחילה כמה תלמידים השתתפו בסקר )מציאת השלם(, לפי השורה הראשונה. 0 תלמידים הם 0% מהנשאלים )השלם( השלם הוא פי )כי 00% הם פי מ- 0% (, כלומר בסקר השתתפו 00 תלמידים. בשאר השורות נחשב את ערך האחוז לפי השלם שחישבנו. אפשרות אחרת: לפי השורה הראשונה אפשר לחשב % מהתלמידים. נחלק ב- 0 )לפי האחוזים( כדי להגיע ל- %. נחלק ב- 0 גם את 0 ונקבל ש תלמידים הם % מכלל התלמידים. לפי זה נמשיך ונחשב את שאר השורות בטבלה. פעילות 0 9: ליטר הם 00%. ביום הראשון השתמשו ב- 0% מכמות הדלק. א. 0% מ- 0 זה = 0:0 אז 0% זה = 0 x ביום הראשון השתמשו ב- 0 ליטר. ביום השני השתמשו ב- 0% מכמות הדלק שנותרה אחרי היום הראשון. ב. לאחר היום הראשון נשארו 0 ליטר דלק. זה ה 00% ביום השני. 0% מ- 0 זה = 0 0 : אז 0% זה = x ביום השני השתמשו ב- ליטר. ג. = נותרו 8 ליטר דלק. פעילות 0 שיעורי בית. מציאת השלם מאחוזים. ביחידה הבאה יש עיסוק בנתונים שנאספים על ידי התלמידים לגבי צבעי מכוניות. חשוב להזכיר לאסוף את הנתונים ולהביאם לכיתה.

132 יחידה 8 סקר היחידה נפתחת בטיפול בנתונים שהובאו על ידי התלמידים לגבי צבעי מכוניות. רצוי להכין טבלה על הלוח, כגון זו: שחור ירוק אדום כסף לבן וכן הלאה... קבוצה קבוצה קבוצה סה"כ כמות כל המכוניות פעילות : עיסוק בנתונים שהתלמידים אספו. בפעילויות הבאות פונים לעיסוק בטבלאות שבהם יש נתונים מסקרים אחרים. הנתונים בטבלאות מזמנים גם את המצב שבו צריך למצוא את ערך האחוז וגם את המצב שבו קובעים את האחוז, כשערכו נתון. פעילות : חזרה וחישוב ערך האחוז. פעילות : את הטבלה אפשר להשלים בכמה דרכים: אפשרות אחת, ניתן לפי שורה )הצבע הצהוב( לחשב את השלם, היות ונתון %, ואחר כך לחשב את מספר המכוניות מצבע בדרך של ערך האחוז. אפשרות אחרת לפי % לחשב את שאר האחוזים וגם את השלם. פעילות : אפשר להשלים את הטבלה בכמה דרכים: אפשרות אחת היא למצוא את השלם )משורה ( לפי האחוז הנתון )%(. בהמשך לחשב את ערך האחוז )מכוניות משפחתיות, אופנוע( ואת האחוזים נחשב בדרך של מציאת החלק מתוך השלם )00( ונצמצם ב- )אוטובוס, אופניים(. לדוגמה האוטובוסים הם מתוך 00: 00 = 7 00 = 7% אפשרות אחרת: נתון כי % מכלי הרכב הם 0 משאיות. מנתון זה אפשר לחשב את האחוזים האחרים. לדוגמה 70% הם פי מ- % לכן נכפול את המספר המשאיות 0 ב- ונקבל 0 מכוניות משפחתיות, או 6% הם פי מ- % אחוז, לכן כדי למצוא את מספר האופנועים נכפול את 0 ב- ונקבל 0 אופנועים. השלמת הטבלה: סוג מספר אחוז סוג מספר אחוז סעיף ב' משאית אופנוע % 6% % x x x x % 0 0 משפחתיות משאית סעיף ד - למציאת האחוזים )אוטובוס, אופניים( נשווה את המספרים ונתאים את האחוזים. לדוגמה: מצאנו שיש 0 מכוניות משפחתיות, הם פי 0 ממספר האוטובוסים )(, לכן את אחוזים המכוניות )70%( נחלק ב- 0 למציאת אחוז האוטובוסים )7%(. האחוז שנשאר מ- 00% הם אחוז האופניים מכלל הרכבים.

133 אפשרות נוספת: לחשב כמה זה % ולפי % לחשב את שאר המספרים החסרים בטבלה. אם % מכל הרכבים הן 0 מכוניות, נחלק ב- כדי למצוא %. נחלק גם ב- את 0 המכוניות ונקבל כי מכוניות הן % מכלל הרכבים. מכאן נמשיך ונחשב את האחוזים וכמות מכוניות לפי הסוג. פרק 7 חקר נתונים וסיכויים שיעורים יחידות 9 עד 0 יחידה 9 היחידה עוסקת באיסוף וארגון נתונים ובסיכויים. התלמידים ישתמשו ביחידה זו בקוביות המשחק שבערכת העזרים ובמחשבונים. ניתן לנסות לסיים יחידה זו בתוך שיעור אחד אם כי ייתכן יידרש לכך יותר משיעור אחד. בחלק מהשיעור התלמידים יפעלו בעצמם ובקבוצה קטנה, ויידרש גם איסוף הנתונים מכל הכיתה. שלבים בהפעלת השיעור: פתיחת שיעור: אפשר לפתוח את השיעור בפעילות. אחרי שהתלמידים יענו על השאלות ויקדישו כמה דקות לחשוב עליהן, אפשר לשוחח איתם על כך שהסיכוי לקבל כל ספרה בקובייה שווה, והוא שווה לשישית ( 6 (. בפעילות ב' אפשר לשוחח עם התלמידים שהסיכוי לקבל כל ספרה הוא שווה, ולכן הסיכוי לקבל את הספרה, או יהיה שישית ( ) לכל אחד. 6 בשאלה ד' שואלים על הסיכוי לקבל מספר גדול או שווה ל-. כלומר, אפשר לקבל את המספרים ) או מתוך 6 שישיות ( 6.) 6.,, הסיכוי לקבל ספרות מתוך 6 ספרות אפשריות הוא חצי ( התלמידים יתנסו בפעילות. כל תלמיד יטיל את הקובייה וירשום בטבלה איזו ספרה התקבלה. התלמיד ממשיך להטיל את הקובייה עד שכל 6 הספרות תתקבלנה לפחות פעם אחת. למרות שהסיכוי לקבל כל ספרה שווה, כאשר תלמיד אחד בלבד יטיל את הקובייה 6 פעמים סביר להניח שלא יתקבלו כל 6 המספרים בשש הטלות. התלמידים יתנסו בהטלות קובייה באופן אישי, ברישום הספרות שהיא מראה ובאיסוף נתונים קבוצתי וכיתתי. כדאי בתחילת השיעור או בהמשכו להסביר איך מוצאים בעזרת מחשבון אם ספרה התקבלה שישית מהפעמים או קרוב לכך )מחלקים ל- 6 ומקבלים שאותו אפשר לעגל ל- 0.7 (. בפעילות יש הדגמה והסבר. כל תלמיד לוקח מערכת העזרים קוביית משחק רגילה שבה יש מספרים מ- עד 6. כל תלמיד מכין טבלה כמו זו שמודגמת בתחילת הפעילות שבה רשומות בכותרות 6 הספרות שעל הקובייה ויש מקום לרשום כמה פעמים התקבלה כל ספרה. בטבלה, התלמיד יכול לסמן בקווים כמה פעמים התקבלה כל ספרה ובסוף לרשום את המספר עצמו. יש לצפות למספר הטלות של 0 ברוב הניסיונות. יהיו גם מספר הטלות רב או מועט. במקרים נדירים יהיו תלמידים שיקבלו את כל 6 הספרות ב- 6 הטלות בלבד. )התלמידים אינם צריכים לדעת לחשב את הסיכוי לכך, אך הסיכוי לקבל 6 ספרות ב- 6 הטלות בלבד הוא בערך לכל 6 תלמידים שיטילו את הקובייה(. עם זאת, תלמידים רבים עשויים לצפות שהדבר יקרה ב- 6 הטלות ועשויים לתת תשובה זו גם אם

134 לא קיבלו אותה בפועל. כדאי שהתלמידים יעבדו בזוגות ויעזרו זה לזה. אפשר מראש לומר להם שיש להניח שלא יקבלו זאת ב- 6 הטלות. איסוף נתונים קבוצתי פעילות : בקבוצה של 6- תלמידים, התלמידים יאספו את הנתונים שקיבלו. הם יכינו טבלה כגון זו. הטבלה ממולאת להדגמה: קבוצה מס' כמה פעמים התקבלה כל ספרה? 6 שמות התלמידים נועה ירדן דניאל עדי חן רותם סך הכל האם כל ספרה התקבלה בקבוצה שישית בערך מההטלות? בזמן שתלמידי הקבוצה מסכמים את התוצאות הקבוצתיות בפעילויות 6, נציג מכל קבוצה מביא את הנתונים הקבוצתיים וביחד הנציגים מכינים טבלאות ומחשבים נתונים לכל הכיתה )פעילות 7(. פירוט לדרכים לסכם את הנתונים ולהציגם מכל הכיתה ניתן בפעילות 7. פעילות : תלמידי הקבוצה יכינו דיאגרמה ובה יציגו את מספר הפעמים שבהם התקבלה כל ספרה בקבוצה. דוגמה מוצגת בפעילות. אפשר שהקבוצה תכין דיאגרמה אחת ואפשר שכל תלמיד יעתיק את נתוני הקבוצה למחברת ויכין דיאגרמה בעצמו עם נתוני הקבוצה )לפי שיקול הדעת של המורה(. מהדיאגרמה אפשר לראות חזותית אם מספר ההטלות שהתקבל לכל ספרה הוא בערך שווה. בפעילות : פעילות בקבוצה. מוסבר איך למצוא את השכיחות היחסית בכל ספרה בעזרת מחשבון. ייתכן שיהיה צורך להדגים זאת לתלמידים בזמן זה או בתחילת השיעור. שכיחות - היא מספר הפעמים שנתון מסוים מופיע בקבוצת נתונים. לדוגמה, בטבלה בעמוד 7 שכיחות הספרה בקבוצה היא )הספרה התקבלה פעמים בקבוצה(. שכיחות יחסית היא החלק היחסי של נתון מתוך כלל הנתונים. נחשב שכיחות יחסית: שכיחות הנתון סך כל הנתונים לדוגמה: בקבוצה זו הספרה התקבלה פעמים מתוך 76 הטלות. נמצא איזה חלק הם מ- 76 )זו השכיחות היחסית(. נחלק במחשבון ב- 76 ונקבל: 0.80 נעגל ל- 0.8 בדרך זו נבדוק לגבי כל ספרה איזה חלק מסך כל ההטלות התקבל. נבדוק במחשבון ונחלק מונה במכנה

135 נשווה כל תוצאה לשישית. כמה היא שישית במספר עשרוני במחשבון? נחלק ב- 6. נקבל במחשבון נעגל ל כלומר, שישית היא 0.7 בערך. אם קיבלנו עבור הספרה את הנתון, שהיא התקבלה בקבוצה 0.8 פעמים מההטלות, זה אומר שהיא התקבלה קצת יותר משישית מההטלות. בפעילות 6: התלמידים בקבוצה יחשבו את ממוצע מספר ההטלות של תלמידי הקבוצה. הם יאספו גם את מספר ההטלות שכל אחד קיבל, ימצאו את סכום המספרים האלה בקבוצה, וימצאו את ממוצע מספר ההטלות בקבוצה. בדוגמה כאן, יש 6 תלמידים ולכן הם יחלקו את הסכום שהתקבל 76 ב- 6 כדי למצוא את הממוצע. הם יקבלו שממוצע מספר ההטלות בקבוצה הוא.66, או אם נעגל הטלות. פעילות 7 סיכום נתונים כיתתי: )תעשה על ידי נציגי הקבוצות( קבוצה מס' שמות התלמידים בזמן שהתלמידים בקבוצה יסכמו את הנתונים בקבוצה )פעילויות 6(, יביא נציג מכל קבוצה את הנתונים של הקבוצה והנציגים יחשבו את הנתונים לכל הכיתה. כל נציג מביא: את הנתונים שהתקבלו בקבוצה בשורה התחתונה בטבלה בפעילות. בדוגמה: 6 ספרות שהתקבלו סך כל מספר ההטלות שהתקבלו בקבוצה: כמה הטלות הוטלו נועה 0 ירדן 7 דניאל עדי 7 חן רותם 76 סך הכול: את מספר התלמידים בקבוצה כדי לחשב ממוצע כיתתי. את הטבלה של מספר ההטלות שכל ילד בקבוצה קיבל, כמו בפעילות 7 כאן. קבוצת הנציגים תסכם את הנתונים כך: א( תכין טבלה כמו זו שבפעילות. כל שורה בטבלה תהיה שורת הסיכום של כל קבוצה. טבלה דומה מופיעה בנספח בסוף החוברת וניתנת לצלם אותה עבור הכיתה. 6 קבוצה מספר סך כל הטלות בקבוצה כמה פעמים התקבלה כל ספרה? 9 6 סך הכול חלק מסך כל ההטלות

136 ב( לפי השורה התחתונה של הטבלה, התלמידים יחשבו אם כל ספרה התקבלה שישית בערך מההטלות, כמוסבר בפעילות. במחשבון הם יכניסו כל מספר שיהיה בתחתית הטבלה מימין, ויחלקו כל מספר כזה במספר של סך כל ההטלות של כל הכיתה, שיהיה רשום במשבצת השמאלית ביותר למטה. ג( מחשבים את ממוצע ההטלות של כל הכיתה. מחברים את כל מספר ההטלות של הכיתה )בטבלה: המשבצת משמאל למטה( ומחלקים במספר תלמידי הכיתה. )בדומה לפעילות הקבוצתית בפעילות 6(. ד( מכינים טבלה עם כותרות כאלה. מסכמים מהטבלאות בפעילות 6 של כל הקבוצות את מספר התלמידים בכל עמודה בטבלה. כלומר, כמה תלמידים הטילו בין 6 ל- 8 הטלות עד שקיבלו את כל הספרות. כמה בין 9 ל- וכן הלאה מעל 6 מהטבלה אפשר לראות את הפיזור של מספר ההטלות בכיתה. בדיון הכיתתי, התלמידים יעתיקו את הטבלה הזאת למחברת וכל אחד יכין דיאגרמת עמודות, שמראה את פיזור התוצאות כפי שמוסבר בפעילות 8. נציגי הקבוצות יכינו את הנתונים הכיתתיים להצגה לכל הכיתה. הם ירשמו אותם על הלוח או על בריסטול, או שקף, או יכינו מצגת או הסבר במחשב )אם יש ציוד מתאים בכיתה(. הנתונים הכיתתיים שיוצגו הם )לפי סעיפי העבודה(: ב( השורה התחתונה של הטבלה מפעילות. כלומר, מה השכיחות של קבלת כל ספרה. בנוסף, הצוות יציג גם את החישוב במספר עשרוני, אם השכיחות היחסית של מספר ההטלות של כל ספרה קרובה לשישית )מהחישוב במחשבון(. ג( את הממוצע הכיתתי של מספר ההטלות של כל תלמיד בכיתה. ד( את הטבלה של פיזור התוצאות כמה תלמידים הטילו בין 8-6 הטלות, בין -9 וכן הלאה. דיון כיתתי: אפשר לנהל את הדיון לפי ההצעות הרשומות בעמוד 7 בספר הלימוד של התלמידים. נושאים לדיון: מהי השכיחות היחסית )רצוי להשתמש במונח זה שהתלמידים כבר אמורים להכיר( של מספר ההטלות לכל ספרה שהתקבלה בקובייה? כלומר, האם כל ספרה בקובייה התקבלה שישית בערך מההטלות? תלמידים ידווחו על פי התוצאות של הקבוצות. האם בקבוצות השונות כל ספרה התקבלה שישית בערך? ההשוואה נעשתה בעזרת רישום החלק )השכיחות היחסית( של מספר ההטלות בקבוצה לספרה מסוימת. מחלקים את מספר ההטלות של ספרה מסוימת בקבוצה, במספר כל ההטלות בקבוצה. אם מקבלים שישית, המספר יהיה קרוב ל נשווה את התוצאות של הקבוצות עם התוצאה הכיתתית. ניתן לצפות שככל שיש יותר הטלות )בהסתכלות על כיתה שלמה לעומת קבוצה( התוצאות יהיו קרובות יותר לשישית לכל ספרה )ויהיו גם חריגים לפי תוצאות הקבוצות(. בהטלות של תלמיד אחד, תמיד תהיה ספרה אחת שלה יש רק הטלה אחת הספרה האחרונה, שאם נקבל אותה נפסיק את ההטלות. )ויש להניח שתלמיד בודד לא יקבל שישית או קרוב לכך בכל ספרה, ובוודאי לא בספרה האחרונה שהתקבלה.( אם נסתכל על הנתונים של כל הכיתה זה

137 אמור להתאזן. כל אחד מקבל ספרה אחרת כספרה האחרונה, ולכן השכיחויות היחסיות הכיתתיות לכל ספרה, אמורות להיות קרובות לשישית. ממוצע מספר ההטלות: הקבוצות ידווחו על ממוצע מספר ההטלות בקבוצה ונציגי הקבוצות ידווחו על הממוצע הכיתתי. אפשר לראות מה היה מספר ההטלות הקטן ביותר שהתקבל בכיתה? האם היה מישהו שקיבל 6 הטלות? מה המספר הגדול ביותר שהתקבל? האם הוא קרוב או רחוק מהממוצע של הכיתה? פיזור התוצאות: אפשר להסתכל על הפיזור של התוצאות. מה רואים מהטבלה, שהכינו נציגי הכיתה, לגבי השאלה כמה תלמידים הטילו בין 6 8 הטלות, בין 9 הטלות וכן הלאה. כמה תלמידים הטילו בין 9 ל- הטלות? איזה אחוז הם מהווים ממספר תלמידי הכיתה? כדאי לשוחח עם התלמידים: האם התוצאות מפתיעות ומעניינות? האם ציפו שיקבלו בדיוק 6 הטלות? כדאי לדבר על כך שנדיר למדי לקבל את כל 6 הספרות ב- 6 הטלות בלבד. שרק אחד מכל 6 תלמידים בערך יש לו סיכוי לקבל תוצאה כזו. התלמידים יעתיקו למחברת את הטבלה שהכינו נציגי הכיתה בנושא פיזור התוצאות, וישרטטו דיאגרמת עמודות עם נתונים אלה. את המספרים על הציר המאונך אפשר להתאים לפי התוצאות של הכיתה. ההצעה בספר היא עד 0 הטלות. אפשר גם לתת לתלמידים להשלים את הדיאגרמה בשיעורי בית. כדאי להזכיר לתלמידים להביא לשיעור הבא את מספר המשפחות הגרות בבניין שלהם, כולל הדירה שהם גרים בה, עבור פעילות חקר הנתונים של השיעור הבא. יחידה 0 האם נולדים מספר שווה של בנים ובנות בישראל? יש צורך במחשבון ביחידה זו. פעילות : משלבת עיסוק בחקר נתונים עם עבודה במספרים גדולים )מאות אלפים(. התלמידים נדרשים להשוות ולחבר מספרים גדולים, לחשב ממוצע בעזרת מחשבון ולהסיק מסקנות מנתונים בטבלה. הנתונים על מספר בנים ובנות באוכלוסייה בארץ הם נתונים אמיתיים שנלקחו מהלשכה המרכזית לסטטיסטיקה. בדיון הכיתתי בתום פעילות רשום כיצד לפתור את סעיפים א' עד ג'. פעילות א'. התלמידים מחשבים את השכיחות היחסית של מספר התינוקות הבנים מתוך כל הילדים שנולדו. מחלקים בעזרת מחשבון את מספר הבנים חלקי מספר כל הילדים. בדיון הכיתתי בספר מוצגים חישובים שאפשר להיעזר בהם בסיכום. אפשר גם שהתלמידים יציגו. 76,078 : 8,70 = 0.07 נעגל מספר זה ל- 0.. החלק של התינוקות בנות הוא השלמה לשלם וזה 0.9. רואים שיש קצת יותר בנים מבנות. ב' אפשר גם לרשום את החלק באחוזים % ו 9%. בסעיף ג', שואלים על היחס בין הבנים והבנות. התלמידים נחשפו מעט לנושא היחס והוא עדיין לא מוכר. עם זאת, מתאים לשאול כאן על יחס במצב מחיי היום יום. 7

138 8 בחרנו להראות כאן יחס בין מספר הבנים ומספר הבנות במספרים שלמים. על כל 00 בנות יש 06 בנים. היחס בין מספר הבנים למספר הבנות הוא:. 06 : 00 התלמידים יקבלו תחושה למה הכוונה ויענו על השאלות. אם נולדו 00 בנות, נולדו בנים. אם נולדו,000 בנות, נולדו,060 בנים. התלמידים יכולים לחשב זאת על ידי כפל פי למציאת כמה בנים ל- 00 בנות ופי 0 למציאת,000 בנות. יהיו תלמידים שירשמו כמה נוספו לכל מאה בנות ויחברו זאת. לדוגמה, כשנולדו 00 בנות, נולדו 06 בנים. לכל 00 יש 06, לכן נחבר פעמיים. גם לגבי,000 יהיו תלמידים שייקחו 0 פעמים 00 ו 0 פעמים 06. לא הצגנו דרך אחרת נכונה להראות רישום של יחס כאן:.06 : גם יחס זה מתאים, אך לתלמידים קשה להבין מה הכוונה כאן במספר העשרוני כי לא ניתן לדבר על קצת יותר מילד. מתמטית, נכון לומר זאת כך. בחרנו להציג את אותו היחס כאן בין 06 ל- 00 שהוא הרבה יותר ברור. העיסוק כאן ביחס עוזר לראות שיש קצת יותר בנים מבנות בדרך של חלק מהכמות הכוללת של ילדים וביחס בין מספר הבנים למספר הבנות. הדגמה של רעיונות אלו נמצאת בדיון בעמוד 7. התלמידים יכולים להציג את מה שמצאו ואפשר גם להסתכל בסיכום בספר. פעילות : מתקבל ממצא מפתיע, לפיו בכל אחת משכבות הגיל, שהנתונים שלהם מופיעים בגילאים 0 עד, יש קצת יותר בנים מבנות )למרות שזה נתון כבר בהתחלה זה בכל אופן מפתיע שבכל שכבת גיל יש הבדל בין מספר הבנים והבנות(. אפשר לראות זאת מהשוואת הנתונים עצמם בטבלה במהלך אימון בקריאת מספרים גדולים. לדוגמה, בגילאים 0 עד יש 6,800 בנים ו,00 בנות. רואים מהמספרים שיש יותר בנים. המספרים די קרובים, לכן אם נבדוק מה החלק של הבנים מכל האוכלוסייה אנחנו מצפים שהבנים יהיו קצת יותר מחצי, ונרצה לראות איך רושמים זאת גם במספר עשרוני וגם באחוזים לפי מה שיהיה רשום במחשבון. מחשבים בדרך דומה בסעיף א' - מחלקים את מספר הבנים בכל קבוצת גיל למספר הילדים בקבוצת גיל זו )קבוצת גיל כוללת שנתונים של גיל(, ומעגלים ל- ספרות אחרי הנקודה. דוגמה נוספת לעריכת החישוב ניתנת בעמוד 7 למטה. סעיף ג' מחשבים בעזרת מחשבון ממוצע מספר הבנים וממוצע מספר הבנות בקבוצת גיל )גילאי -0(. 9-, -0, כדי למצוא את ממוצע מספר הבנים לקבוצת גיל מחברים עבור הבנים את המספרים שמראים את כמות הבנים בכל קבוצת גיל ומחלקים ב-. כך גם אצל הבנות. לדוגמה: ממוצע מספר הבנים לקבוצת גיל: )6,800 +, ,00( = :, אפשר לעגל ל-,967. ממוצע מספר הבנות לקבוצת גיל: (,00 +, ,00) : = 6,00 גם כאן רואים שהממוצע של הבנים בשכבת גיל קצת יותר גבוה מהממוצע של הבנות. פעילות ו': התלמידים מזינים את המחשבון במספר הבנים הכולל, לחלק למספר הילדים הכולל. לפני העבודה במחשבון חשוב לבקש מהתלמידים לנבא מה תהיה התוצאה )קצת יותר מחצי הילדים יהיו בנים או קצת יותר מ- 0. (. מקבלים: 0.9 =,97,00 998,00 : או 0. פעילות : הכנה: את הפעילות הראשונה כדאי לתת כמשימת הכנה לפני השיעור. התלמידים צריכים לאסוף

139 נתונים על מספר המשפחות שגרות בבניין המגורים שלהם. אם התלמידים גרים באזור שבו יש בעיקר בתים של קומה אחת ואין שונות בין התלמידים אין טעם לבצע פעילות זו. אפשר שיאספו את מספר הבתים ברחוב של כל אחד. פעילות חוזרים על כל המושגים שנלמדו ביחידה זו וביחידה הקודמת. התלמידים יכינו טבלה של מספר המשפחות בבניין, יבדקו "שכיח" ו"ממוצע", יציירו גרף פיזור, ויחשבו אם הממוצע הוא מספר שמייצג היטב את מספר המשפחות בבניין בכיתתם. התלמידים ישוו את הנתונים ממספר הדירות בבניין שלהם לעומת הנתונים בגרף המשורטט בסעיף ה' בתחתית עמוד 76. כדאי להשוות עם התלמידים בין השכיח ובין הממוצע. בסעיף ד' שואלים על מידת הפיזור של התוצאות. כלומר, האם הרבה תוצאות או רוב התוצאות של תלמידי הכיתה, מרוכזות סביב מספר מסוים? )לדוגמה, האם חלק גדול מהתוצאות של תלמידי הכיתה היה 0 משפחות בבניין?( או שיש פיזור גדול ויש כל מיני מספרי דירות בבניין? כדי לענות על שאלה של פיזור קל יותר להשוות כנגד תוצאות אחרות, לכן בסעיף ה' מוצגות תוצאות של תלמידים מ"כיתה אחרת". אפשר לראות אם הגרף של הכיתה שלנו צפוף יותר או מפוזר יותר מהגרף המצויר בסעיף ה'. פרק 8 חגים ט"ו בשבט ופורים שיעורים יחידות עד ט"ו בשבט מספר רעיונות מתמטיים מטופלים ביחידה: ביחידה זו יש התחלה של עיסוק בנושא יחס וקנה מידה. רושמים יחס בין אורך צלע בתרשים א' )הקטן( לעומת אורך צלע בתרשים ב' )הגדול(. מגיעים ליחס המצומצם. היחס בין אורך קטע בתרשים או במפה לבין האורך במציאות נקרא גם "קנה מידה". התלמידים כבר הכירו רעיונות של יחס בכיתות הנמוכות יותר. הם נחשפו מעט לדרך הפורמאלית של רישום יחס )בפרק של חקר נתונים כשהשוו בין מספר הבנים למספר הבנות(. בספר השלישי יוקדש פרק גדול לנושא היחס וקנה המידה. כאן יש התחלה של היכרות עם הנושא. באופן לא פורמאלי, התלמידים גם יגלו את הקשר בין שטח של מלבן קטן ושטח של מלבן גדול, שהצלעות שלו גדלו פי מספר מסוים. כשהצלעות גדלו פי, השטח גדל פי. התלמידים בודקים ומתנסים באורכים מסוימים ומגלים חוקיות זו. עוסקים גם בהעברה מסמ"ר למ"ר. בפתיחת היחידה: מומלץ לשוחח עם התלמידים. רצוי לשאול את התלמידים מתי משתמשים )לצורך מה( בהקטנה של דברים. )יש גם הגדלה: לדוגמה, בסרט בקולנוע(. אפשר לדבר על תרשימים, כגון: תוכנית דירה, על מפות, על תצלומים / טלוויזיה או ציורים בשביל להסביר / להזכיר את עניין קנה המידה. 9 א. פעילויות - עוסקות בקשר בין היקף ושטח של מלבנים שהיחס בין אורכי הצלעות שלהן הוא : בתרשים זה כל משבצת ריבועית צלעותיה באורך 0. ס"מ. דשא דשא פרחים פרחים פרחים פרחים דשא דשא

140 ב. בתרשים זה אורך כל צלע במשבצת ריבועית הוא ס"מ. התלמידים ישוו ויראו שכאשר האורך גדל פי השטח גדל פי או. דשא פרחים פרחים דשא דשא פרחים פרחים דשא 0 התלמידים יראו פי כמה גדולה הצלע הקצרה במלבן א' לעומת הצלע הקצרה במלבן ב'. הם יבדקו זאת לגבי כל הצלעות במלבן. בפעילות : התלמידים מחשבים את שטח הגינה המלבנית בכל תרשים בסמ"ר. הם בודקים פי כמה גדול השטח בסמ"ר של הגינה שבתרשים ב' משטח הגינה שבתרשים א'. הם יגלו כי כאשר אורך הצלעות גדול פי, השטח גדול פי. התלמידים בודקים ומתנסים באורכים מסוימים ומגלים חוקיות זו. פעילויות -: בפעילויות אלו עוברים לעיסוק בקנה מידה. בתרשים א' קנה המידה : 00 כלומר, כל ס"מ בתרשים שווה ל- 00 ס"מ )או מ'( במציאות. בתרשים ב' קנה המידה הוא, : 00 כל ס"מ בתרשים שווה ל- 00 ס"מ במציאות. בדיון מורה, אחרי פעילות, התלמידים ילמדו לרשום יחס בדרך רישום פורמאלית וילמדו לקרוא זאת. אפשר להראות לתלמידים את ההדגמה בעמוד 79. בתרשים א' אורך הצלע הקצרה היא ס"מ, בתרשים ב' אורך הצלע הקצרה היא 8 ס"מ. אפשר לרשום את היחס בין אורכי הצלעות כ: : 8 נלמד את התלמידים לקרוא זאת: היחס בין אורך צלע בתרשים א' לאורך צלע בתרשים ב' הוא ל- 8. אפשר לצמצם או להרחיב כמו שמצמצמים ומרחיבים שבר ולרשום יחס זה גם כ: : בפעילות ג' אורך צלע ריבוע הדשא בתרשים א' נתון במילימטרים מ"מ. קנה המידה מראה ש מ"מ בתרשים א' שווים פי 00 במציאות, כלומר,000 מ"מ. הנתונים במ"מ מראים שקנה המידה הוא יחס. כל ס"מ בתרשים שווה ל- 00 ס"מ במציאות. ובדרך דומה גם גודל במילימטרים נעשה גדול פי 00 במציאות. דיון כיתתי: אפשר להיעזר בהדגמה בספר בעמודים 79 80: להראות איך רושמים יחס. איך רושמים יחס מצומצם ואיך רושמים קנה מידה, ועל הקשר בין הגודל בתרשים והגודל במציאות, או להיעזר במפה גדולה יותר. ברישום של קנה מידה מתייחסים ליחס של למספר אחר. היחס בין אורך כל קטע בתרשים א' לקטע המתאים לו במציאות הוא ל- 00. כל ס"מ בתרשים מייצג 00 ס"מ במציאות. כל ס"מ בתרשים מייצגים 00 ס"מ במציאות.

141 פעילות : מסמ"ר למ"ר. א. שטח המזרקה בתרשים ב' בסמ"ר הוא 8 סמ"ר = 8 x ב. קנה המידה בתרשים ב' הוא. : 00 שטח המזרקה במציאות בסמ"ר 80,000 סמ"ר. סמ"ר = 80, x ג. שטח המזרקה במציאות גדול פי 0,000 משטח המזרקה בתרשים ב': = 0, ,000 : ד. מידות המזרקה במציאות הם מ' ו מ'. שטח המזרקה במציאות 8 מ"ר. מ"ר = 8 x פורים יחידה זו עוסקת בהשוואה ובהצבה; ביחס ובקנה מידה של אורכי צלעות משולשים ובקשר בין אורך הצלעות ובין השטחים של שני משולשים דומים. נראה שאפשר ללמד את היחידה במהלך שני שיעורים. חשוב לבצעם, כי הם תורמים ללמידה על יחס וקנה מידה. לפתיחה: אפשר שהתלמידים יעבדו בזוגות על פתרון החידה בפעילות, ואז ידונו בדרכי הפתרון במליאה. במליאה, אפשר בהתחלה להתייחס בקצרה לפעילות : שהתלמידים יחשבו וישוחחו במסגרת הקבוצה וייתנו רעיונות איך להתחיל את המטלה. החידה אתגרית. צריך למצוא מקומות שבהם שתי שורות שוות בדברים שיש בהן, אך בשורה אחת יש דבר נוסף, באמצעותו אפשר לחשב את עלויות החפצים. הצעה לדרך חשיבה על פתרון החידה: פעילות חידת פורים: בהשוואה בין חבילה לחבילה בשתי השורות יש כובע ליצן ומסכה. ההבדל בין שתי השורות הוא שבחבילה יש גם רעשן פלסטיק ובשורה יש רעשן עץ. רואים שמחיר חבילה יקר יותר. הוא יקר יותר מחבילה ב-.80 ש"ח. כלומר, רעשן עץ יקר מרעשן פלסטיק ב-.80 ש"ח בהשוואה בין חבילה לחבילה רואים שבשורה יש דברים זהים לשורה : כובע ליצן, מסכה, ורעשן עץ )הם רשומים בסדר אחר(. בחבילה יש פריט נוסף רביעי רעשן פלסטיק. לכן מחיר רעשן הפלסטיק הוא.0 ש"ח. מצאנו מההשוואה בין חבילה ל- שרעשן עץ יקר מרעשן פלסטיק ב-.80, לכן רעשן עץ עולה = ש"ח. על-פי חבילה כובע ליצן ומסכה עולים = על-פי חבילה עולה אף לליצן = ש"ח. )7.0 הם מחיר רעשן עץ שכבר מצאנו ו.0 הם מחיר של כובע ליצן ומסכה יחד שמצאנו בסעיף הקודם(. ש"ח. על-פי חבילה עולה הכובע = מסכה עולה = ש"ח. פעילות : פעילות זו גם היא עוסקת ביחס ובקנה מידה. יש כאן "אוזני המן" משולשים שו ני צלעות. אוזני ההמן ארוזים בקופסאות משולשות, שנראות כמו אוזן ההמן הבודדת. כלומר יש כאן "משולשים דומים". המשולשים בחבילה ב' ובחבילה ג' הם בעלי צלעות הגדולות פי ופי בהתאמה מהצלעות של אוזן ההמן הבודדת. שימו לב, אריזה כזו של אוזני המן תבטיח שאף על

142 פי שהתחלנו עם משולש שונה צלעות בחבילה ב', כל צלע תהיה פי מצלע מתאימה בחבילה א' )אוזן בודדת(, ובחבילה אורך כל צלע יהיה פי מאורך צלע של אוזן המן בודדת. בפעילות סעיף ג', שואלים על היחס בין אורך צלע ירוקה בחבילה א' לאורך צלע ירוקה במשולש ב'. אורך הצלע במשולש ב' גדול פי מאורך הצלע במשולש א', לכן היחס בין אורך צלע במשולש א' ואורך צלע במשולש ב' הוא: : סעיף ד' כמות אוזני ההמן בחבילה ב' היא, כלומר פי מאשר בחבילה א'. סעיף ה' היחס בין כמות אוזני ההמן בחבילה א' לכמות אוזני ההמן בחבילה ב' הוא: : ההסבר לכך הוא שאורך צלע במשולש ג' גדול פי מאורך צלע במשולש א, ושטח המשולש של חבילה ג' גדול פי = )יחס של ( : משטח המשולש בחבילה א'. בהשוואה בין משולש בחבילה ג' לעומת חבילה א', הצלעות גדולות פי והשטח גדול פי 9=. התלמידים לא נדרשים לדעת זאת בדרך זו, אפשר להסתפק בספירת מספר אוזני ההמן. אפשר להזכיר שלמעשה מדברים כאן על גודל השטח. דיון על יחס: כדאי לעבור עם התלמידים על הרישום של יחס במסגרת בעמוד 8. בשאלות לגבי חבילה ג' כדאי לשים לב במיוחד לסעיף ח'. שואלים על היחס בין אורך צלע כחולה בחבילה ג' לאורך צלע כחולה בחבילה ב'. אנחנו רואים ש- קטעים בצלע בחבילה ג' מתייחסים ל- קטעים בצלע בחבילה ב'. כלומר, היחס ביניהם הוא: : והוא אינו ניתן לצמצום. )רושמים את היחס לפי הסדר בו הוא מוצג. אם היו שואלים כאן על היחס בין אורך צלע במשולש ב' לעומת ג' היינו רושמים ל-. מכיוון ששאלו על היחס בין אורך הצלע במשולש ג' לעומת ב' רושמים את ראשון.( בסעיף ט' רואים שיש פי 9 כמות אוזני המן בחבילה ג' מאשר בחבילה א'. כדאי לסכם את מה שהתלמידים מצאו בדיון הכיתתי. אפשר להיעזר בנקודות לדיון המוצגות בעמוד 8 למעלה. פעילות : גם פעילות זו עוסקת ביחס ובחלוקה לא שווה של כמויות. א': כדי להבין מה הנתונים בשאלה זו אפשר להציע לתלמידים להתחיל לצייר. אין הכוונה שהם יציירו את כל 0 אוזני ההמן, אלא יתחילו לצייר כדי להבין מה קורה בשאלה. דרך אחת: אפשר לצייר אוזני המן במילוי פרג ואוזן אחת במילוי תמרים. כלומר, יהיו לנו שלישיות של אוזני המן, מסוג אחד ואחד מסוג שני בכל שלישיה. נמצא, כמה שלישיות יש? נחלק 0 ל- ונקבל 70 שלישיות. כמה אוזני המן במילוי תמרים יש? אחד בכל שלישייה ולכן יש 70. כמה אוזני המן במילוי פרג יש? מכל שלישיה ולכן יש פעמיים 70 או 0. דרך שנייה: אפשר גם לחשוב על כך שיש שלישים של אוזני המן במילוי פרג ושליש אחד במילוי תמרים. אפשר לחשב זאת כך: במילוי פרג: = 0 0 : x במילוי תמרים השאר: = 70 0 :

143 כלומר, היחס הוא : )על כל שתי "אוזניים" במילוי ריבה יש במילוי פעילות ב: = 8 שוקולד(. בדיון כיתתי בסוף השיעור אפשר להיעזר במוצג בעמוד 8. חשוב להדגיש את היחס בין מספר אוזני ההמן במילוי ריבה למספר אוזני ההמן במילוי שוקולד. ניתן לרשום יחס גם כ ל- 8 וגם כ ל-. משמעות היחס המצומצם באופן משמעותי היא שעל כל תלמידים שאוהבים מילוי ריבה יש תלמידים שאוהבים מילוי שוקולד. פעילות : חידה. נוח לפתור חידה זו באמצעות רשימה או טבלה, שבהן מוחקים כל פעם לפי הרמזים את מה שלא מתאים. הטבלה אינה הכרחית: כל אחד אכל מילוי שונה. לכן אם לפזית נשאר מילוי אגוזים אף אחד אחר לא אכל אגוזים ואפשר למחוק אגוזים מהרשימות שלהם. עכשיו נשאר רק לשירה לקבל מילוי פרג, לכן אף אחד אחר לא יכול לקבל מילוי פרג. אחרי הסימונים הנוספים, רק לרון נשאר לקבל את מילוי השוקולד, ובסוף לאביב נשאר מילוי הריבה. הפתרון לפי הרמזים והרישום בטבלה כזו: שירה פרג פזית אגוזים רון שוקולד )פרג ירד מרון אחרי שזה מה שנשאר לשירה( אביב- ריבה )שוקולד ירד אחרי שזה מה שנשאר לרון(

144 מטרה לימודית מציאת חלק מכמות נספחים לספר שני נספח נקה את הלוח משחק ל- - משתתפים חומרים לוח משחק )6X או 6X או 6X או 6X( עם פרטי מנייה )אחד בכל משבצת( )אפשר לצלם לוח מהעמוד הבא( קוביות משחק מסומנות כך:,,,,, וכך:,,,,, מטרת המשחק לנקות את הלוח מפרטי המנייה מהלך המשחק כל משתתף מטיל בתורו את שתי הקוביות ובוחר באחד השברים. הוא מסיר מהלוח את כמות הפריטים המתאימה לתוצאה שקיבל מכפל השבר שבחר במספר הפריטים בלוח. לדוגמה: אם השבר שבחר הוא ובלוח 0 פריטים, עליו להסיר 6 פריטים. אם הקוביות מראות שברים שעל פיהם לא ניתן לבצע את המהלך, התור עובר הלאה. אם לאחר התור יישאר בלוח מספר שהוא ראשוני וגדול מ- 0, בתור הבא יסיר המשתתף פריט אחד ולא יטיל את הקוביות. סיום המשחק כאשר נותר פריט אחד בלוח המנצח זה שבידיו הכי הרבה פריטים כאשר נותר פריט אחד על הלוח

145 נקה את הלוח

146 נספח הטל וסמן משחק ל- - משתתפים מטרות לימודיות: תרגול פעולות בשברים. חיבור חוזר של שבר יחידה )כותבים ככפל שלם בשבר( חיבור שברים עם מכנים שונים )מכנים מוכלים מאותה משפחה כמו רבעים ושמיניות; מכנים שיש להם גורם משותף כמו ו- 6 ; מכנים זרים כמו ו- ( החומרים לוח משחק לכל משתתף; אמצעי המחשה מתאימים )למי שזקוק להם(. לדוגמה: טרפזים, מעוינים כחולים ומשולשים שווי צלעות ללוח משחק עם חצאים, שלישים ושישיות; קובייה מסומנת בהתאם לשברים הרשומים בלוח )כל שבר ירשם בקובייה פעמיים(. )השברים הרשומים אינם אלא דוגמאות. מובן שאפשר ליצור לוחות עם צירופים שונים לחלוטין.( מטרת המשתתפים לצבור את מירב הנקודות מהלך המשחק כל משתתף בתורו מטיל קובייה ומסמן על הלוח שלו את המספר שמראה הקובייה. ברגע שאחד המשתתפים "סוגר" שורה המשחק מסתיים וכל אחד מהמשתתפים מחשב את הנקודות שצבר. דוגמה ללוח משחק אחרי החישובים: הטל וסמן סה"כ X = X = 0 X = = 6 6

147 7.קחשמה םויסב רתויב הובגה םוכסב הכזש הז חצנמה :ימש ןמסו לטה כ"הס :ימש ןמסו לטה כ"הס :ימש ןמסו לטה כ"הס

148 נספח דף תרגול בנושא אחוזים מתאים ליחידה.. מתחו קו ישר בין האחוז לשבר השווה לו. כתבו את רצף האותיות שקבלתם מלמעלה למטה נ מ י מ ה ח ש ו א כ ז 7% 60% 9% % % 0. ף ת מ % מה קיבלתם?. כתבו מהו החלק הצבוע בשבר פשוט, במספר עשרוני ובאחוזים. כל ריבוע הוא השלם והוא מחולק ל- 00 משבצות: השלימו בטבלה: ריבוע א. ב. ג. ד. ה. ו. בשבר פשוט במספר עשרוני באחוזים ו ה ד ג ב א 8

149 דף תשובות לדף בנספח מ נ י מ ה ח ש ו א כ ז 7% 60% 9% % % 0. ף ת מ % מה קיבלתם? ם י ז ו ח א 9

150 0 ספר שלישי פרק אחוזים 6 יחידות עד 6 הפרק "אחוזים" בספר זה מטרתו לחזור ולבסס את הידע שנרכש בפרק "אחוזים" הראשון שנלמד לקראת סוף הספר השני. בפרק זה יש חזרה על מציאת ערך האחוז, מציאת האחוז, ומעט על מציאת השלם על פי חלקו. חשוב במיוחד להדגיש את הפתרונות הלא פורמאליים של מציאת 0% על ידי חילוק ב- 0, של מציאת % על ידי חילוק ב- 0 )כדי למצוא 0%( ועוד % על ידי מציאת חצי ממה שהתקבל מ- 0%. כדאי לחזור ולהדגיש בפני התלמידים שאם מוצאים 0% קל בעזרתו למצוא עשרות שלמות באחוזים. כמו כן, חשוב לחזור על איך מוצאים אחוז. הדבר חשוב במיוחד לילדים שלא מצליחים לזכור את הנוסחאות או להשתמש בהן. יחידה מציאת ערך האחוז פתיחת הפרק והיחידה חזרה על ידע קודם בעל פה במליאת הכיתה. אפשר להיעזר בהדגמה בתחילת היחידה. אפשר לעסוק בעל פה בסוגי החישובים ובדרכים השונות לפתרון, כפי שמודגם בדיון מורה בתחילת היחידה, לאפשר לתלמידים לענות ולערוך דיון סביב הרעיונות שהם השתמשו בהם בפתרונות או להשתמש לשם כך בהדגמה שבתחילת היחידה )אפשר גם אחרי שנערך דיון על פתרונות התלמידים לשוב ולעבור על המודגם ולסכם בעזרתו(. כדאי שהמורה י/תשאל - התלמיד יענה ויסביר כיצד חישב בראש. נתחיל ב- 0% ממספר, שהתשובה עליו היא מספר שלם, ולאחר מכן 0% ממספר שהתשובה עליו היא מספר עשרוני, ואז 0% דרך 0% או % דרך 0% וכן הלאה. לדוגמה: 0% מ- 00, 0% מ- 80, 0% מ- 8, 0% מ- 60, 0% מ- 00 % מ- 0, % מ- 70 וכדומה. תזכורת: אפשר למצוא 0% מ- 60 בעל פה בדרך הבאה: כדי למצוא 0% נחלק 60 ב- 0 : = : נכפול את 6 ב- כדי לקבל = 0% 6 x )כי 0% זה פי יותר מ- 0% ( 0% מ- 60 הם. אפשר למצוא % מ- 60 בעל פה בדרך הבאה: מצאנו ש- 0% של 60 הוא 6. נחלק את 6 ב- כדי לקבל = % 6 : )כי % זה חצי מ- 0% ( % מ- 60 הם. ביחידה זו חוזרים אל מציאת ערך האחוז. לא מציעים לתלמידים נוסחה או אלגוריתם מסוים, אלא מראים כמה אפשרויות. בפתיחת השיעור ולפני שפותחים את הספר רצוי לתת לכל הכיתה את השאלה שמופיעה בהדגמה בדיון, בתחילת היחידה שבספר התלמידים: 0% מ- 00 תלמידי כיתות ה' ו-ו' עוסקים בספורט. כמה ילדים עוסקים בספורט? לאחר שהתלמידים יפתרו, כדאי לקיים שיחה על השאלה. כמה תלמידים יציגו את הדרך שבה פתרו. אם התלמידים לא הזכירו בדרך הפתרון שלהם את אחת מהדרכים המוצגות בדיון מורה

151 בספר, אפשר להראות ולהזכיר דרך זו ולהפנות את התלמידים להסתכל במוצג בספר. הדרכים המוצגות בספר לדיון: אם עלינו למצוא 0% מ- 00 : דרך - מוצאים מאית מהכמות )%( בעזרת חילוק ל- 00 וכופלים באחוז הנדרש )0%(. דרך - מציאת איזה חלק )כמה מאיות( מ- 00. משתמשים לצורך כך בכפל שבר בשלם: 0 0 x 00 0% הם ולכן אפשר לחשב כך: = בדרך זו, אפשר להראות שוב איך מצמצמים רק בתשובה הסופית, ומה כופלים במה. רצוי גם להזכיר שוב איך מצמצמים בדרך )כאן קל לצמצם את 00 במונה ואת 00 במכנה, ולמעשה לכפול את 0 ב- (. הסבר על הצמצום נמצא בספר )עמוד 7(. כדאי לחזור כאן על משמעות הצמצום. במקום לכפול ב- 00 ולחלק ב- 00, כפלנו ב-. אפשר גם להראות את הקשר בין הנוסחה שהתקבלה כאן ובין התהליך שביצענו בדרך. כאן, כפלנו את 0 ב- 00 וחילקנו ב- 00. בדרך, ביצענו את החישוב על ידי כך שקודם חילקנו את 00 ב- 00 ואחר כך כפלנו ב- 0. אפשר להראות בעזרת שינוי מיקום המספרים בתרגיל שזה אותו החישוב - רק בסדר אחר. דרך - נמצא 0% )ע"י חילוק ב- 0 ( ונכפול ב-. )כדאי להדגיש שבשאלה זו, שבה שואלים על 0%, נוח לחשב כמה הם 0% ולהשתמש בחישוב זה. דרך זו נוחה בכל השאלות שבהן שואלים על מספר שלם של עשרות(. התלמידים אינם צריכים לפתור כל שאלה או תרגיל בכל הדרכים המוצעות. חשוב להמשיך לעודד אותם לשים לב למספרים בשאלה ולפתור בדרכים לא פורמאליות פשוטות כשהמספרים נוחים )כמו חישוב דרך 0%(, ולפתח תובנה ושימוש גמיש בבחירת דרך הפתרון. בהמשך הדיון תזכורת לגבי התייקרות )עמוד 7 למטה(: ספר שעלה 80 ש"ח התייקר ב- %. בכמה שקלים התייקר? מה מחירו כעת? גם כאן אפשר למצוא )0.8 % = 00 80( : ולכפול ב-. או אפשר למצוא 8( 0% = 0 )80 : ולחלק ב-. להדגיש את משמעות ההתייקרות כשמחיר עולה המחיר החדש גדול יותר מ- 00%. פעילות - סקרים ותוצאותיהם באחוזים. בסקר ראשון הכמות הבסיסית - 600; בשני - 0; בשלישי - 0; תלמידים שיעדיפו לפתור בעזרת מציאת אחוז בתחילה )חילוק ב- 00 ( ימצאו את עצמם בסקר השני והשלישי עם תוצאה של מספר לא שלם בחילוק ב- 00 ). בסעיף ב', ו-. בסעיף ג'(. מכיוון שהאחוזים בסקר בסעיפים ב' וג' הם מספרים זוגיים הכול "יסתיים בטוב" )מספר שלם של ילדים(. לאחר הפעילות - תזכורת ובה מספרים באחוזים והשווים להם בשברים )עמוד 9 למעלה בספר התלמיד(. חשוב לחזור ולהזכיר מספרים אלו גם בשיחות לפתיחת השיעור, כדי שהתלמידים יזכרו ויוכלו להשתמש בקלות במעברים מאחוזים לשברים ולהפך, במקרים פשוטים: 0% מכמות שווה לחצי, % מכמות שווה לרבע וכן הלאה. כדאי לחזור ולבדוק שהתלמידים מבינים ורואים שמדובר בצמצום שברים: וכן הלאה = 0 00 = 00 = 0 00 =

152 פעילות : התלמידים ייעזרו בציורי העיגולים כדי למצוא באופן פשוט ואינטואיטיבי לכמה שווים האחוזים. מתרגלים כאן את הקשר בין אחוזים קלים לזכירה ומעבר לשברים )0%, 0%, 0%,.)7%,% פעילות : מעמיקים את ההבנה לגבי אחוזים, לדוגמה, אם ניתנת הנחה של 0 אחוז ממחיר בגד, אזי המחיר החדש הוא 70% מהמחיר המקורי. תלמידים שיבינו רעיון זה יוכלו להשתמש בו גם בחישובים. כדי לחשב מחיר אחרי הנחה או התייקרות, במקום לחשב בשני שלבים קודם את ההנחה בשקלים או ההתייקרות ואחר כך למצוא מה המחיר לאחר ההנחה או ההתייקרות, יוכלו לחשב מיד את האחוזים למחיר הסופי. לדוגמה, כדי לדעת מה המחיר לאחר הנחה של 0%, אפשר לחשב 70% מהמחיר ולדעת מיד מה המחיר לאחר ההנחה. פעילות : מחירון שבו צריך למצוא כמה הם 0% הנחה על מחירים. כל התוצאות, מלבד אחת, הן בשקלים שלמים. כלומר- הילדים מוצאים 0% ממספר ומפחיתים את ערכו מהמחיר ההתחלתי )כדי להגיע ל- 90% מהמחיר(. פעילות : תוספת למחיר ניתן לפתור סוג זה של שאלות בשתי דרכים עיקריות: א. למצוא את ערך התוספת ולהוסיף למחיר ההתחלתי: התלמידים יכולים לחשב זאת בשני שלבים: חישוב התוספת ואז בשלב נפרד להוסיף אותה למחיר ההתחלתי, או לכתוב זאת בתרגיל אחד. אין צורך לדרוש שיבצעו את החישוב בתרגיל אחד, אך אפשר להדגים זאת, אם ביוזמת המורה או אם אחד התלמידים פתר כך. לדוגמה, תוספת של 0% ל- 0 : = : ערך התוספת המחיר ההתחלתי ב. לחשב על פי האחוז לאחר ההתייקרות, כלומר, מציאה של 0% מהמחיר המקורי. זהו חישוב שקשה יותר להבנה. רצוי לחשוף אותו לתלמידים, אם ביוזמת המורה או אם אחד מתלמידי הכיתה פתר כך, אך התלמידים יכולים להמשיך ולפתור בשני שלבים, ובוודאי התלמידים המתקשים יותר. דוגמה לחישוב כזה: 0 0 x 0 x 00 0 = 00 = רצוי להדגיש בפני התלמידים ש"תוספת" או "התייקרות" היא עלייה במחיר המקורי, שמשמעותה שהם ישלמו יותר כסף. המחיר החדש יהיה יותר מ- 00% )00% כאן הוא המחיר המקורי(. לעומת "הנחה" או "ירידה" שהיא ירידה במחיר המקורי, ומשמעותה שהם ישלמו פחות כסף. המחיר אחרי ההנחה יהיה פחות מ- 00% )גם כאן 00% הוא המחיר המקורי(. מומלץ לדון עם התלמידים בפתרונות של פעילות זו בתחילת השיעור הבא. בספר התלמידים יש התייחסות להדגמה של דיון כזה ביחידה הבאה. פתרונות לשאלה ב' מודגמים בתחילת היחידה הבאה.

153 פתרון לסעיף ג': ג' דרך חישוב לא פורמאלית: 0% מ- 0 מיליון הם מיליון. % הם חצי מזה או מיליון. התקציב החדש יהיה מיליון ש"ח. דרך פורמאלית יותר לחישוב: 0 x 00 = 0 כדאי להראות את הצמצום בסוף וגם את הצמצום בדרך: כאן אפשר לצמצם את 0 עם 00 בקלות בעזרת חילוק ל- 0. נשאר במכנה 0 ולמעלה. נצמצם את במונה ו- 0 במכנה ויישאר במכנה. לחלק ל- הם מיליון. העלייה היא מיליון ש"ח והתקציב החדש מיליון. פעילות 6: התלמידים ישתמשו בהרחבה או בצמצום על פי הצורך, כדי לרשום בשבר פשוט, מספר עשרוני ואחוזים. יש לשים לב ש- 0% זה יותר מ- 00% או יותר משלם. 0% הם. או ו- עשיריות או חמישית. כמו כן, חשוב שהתלמידים ישימו לב מה ההבדל בין 0.6 לבין 0.06 באחוזים. 0.6 הוא 60% ו הוא 6 אחוז. אפשר לרשום כשבר ולבדוק בעזרתו. 0.6 הם 6 עשיריות או 60 מאיות כבר ניתן במאיות והוא 6 מאיות. רצוי לבדוק את הפעילות בסוף שיעור זה או בתחילת שיעור הבא. פעילות 7: הצעה לשיעורי בית. כל האחוזים הם מספרים עגולים ולכן נוח למצוא 0% ולכפול. תשובות: 8 8 א ד ב ה ג ו ט ח ז כל הסכומים שמתקבלים בכל שורה, בכל טור ובכל אלכסון הם 60. יחידה - מציאת ערך האחוז - המשך בפתיחת היחידה: דיון והסבר שניתן במדריך לפעילות ביחידה הקודמת. חשוב לשמוע - תלמידים שפתרו בדרכים שונות, שיסבירו לתלמידי הכיתה כיצד הם פתרו את השאלה ומה הסבריהם לדרך הפתרון. בעקבות ההסבר של התלמידים יכול/ה המורה להוסיף או להדגיש בהתאם לצורך. אפשר להיעזר בהדגמה של הפתרונות לשאלה זו בדיון מורה המוצג בספר בתחילת יחידה. חשוב להדגיש את הרעיון שאחרי תוספת המחיר, המחיר החדש באחוזים גדול מ- 00%, לדוגמה בשאלה עם תוספת המס, המחיר גדול מ- 00% והוא 6%. בהדגמה שבספר מוצגות דרכים בדומה לדיון ביחידה הראשונה. כאן בהקשר של תוספת של מחיר. פעילות : התייקרות ההתייקרות היא ב- % ולכן אפשר למצוא את ערך האחוז גם בעזרת חישוב של 0% ועוד חצי ממה שנמצא שהוא 0%. כאן יש הזדמנות נוספת להיזכר איך מחלקים ב- 0 כשהתוצאה איננה מספר שלם.

154 לדוגמה: % מ- 8 הם: = : א. 0% מ- 8 : =. 8. : ב. % מ- 8 הם חצי מזה: = ג. - % נחבר: פעילות : בעיה מילולית המזמנת מציאת אחוז מכמויות שונות. שלוש כיתות ו' שבכל אחת מהן מספר שונה של תלמידים. ו' תלמידים, ו' 0 תלמידים ו-ו' תלמידים. בכיתות ו' ו-ו' עברו בהצלחה את מבדק סוף השנה 80% מהתלמידים. ובכיתה ו' עברו בהצלחה 90% מהתלמידים. יש להסב את תשומת לב התלמידים ש- 80% מ- לא שווה ל- 80% מ-. היכן יהיה מספר התלמידים הגדול יותר שהצליח במבדק? 0 תשובות: בכיתה ו' עברו את המבדק 8 תלמידים. 80 x 00 x = 7 = 8 כיתה ו' - 9 בכיתה ו' עברו את המבדק 7 תלמידים. x 00 x 0 = 0 כיתה ו' = 7 - = בכיתה ו' עברו את המבדק 0 תלמידים. x 00 x = 0 = כיתה ו' = - פעילות : תשובות: א' - 0% מ- 0 הם משבצות. 0% מ- 0 הם 9 משבצות. 0% מ- 0 הם משבצות. נשארו משבצות לא צבועות שהן 0% מ- 0. ב' - % מ- 0 הם משבצות. 0% מ- 0 הם משבצות. % מ- 0 הם משבצת. נשארו 0 משבצות לא צבועות שהן 0% מ- 0. ג' - % מ- 6 הם משבצות. 0% מ- 6 הם 8 משבצות. נשארו משבצות לא צבעות שהן % מ- 6. ד' - 0% מ- 0 הם משבצות. 60% מ- 0 הם משבצות. נשארו משבצות שהן 0% מ- 0. פעילות : לכמה מהתלמידים אפשר להציע להציג את הנתונים בטבלה. בכל מקרה בסעיפים ג' ו-ה' נדרשת התייחסות נוספת לנתונים.

155 א פעוטות וילדים 0% הנחה לפני הנחה אחרי הנחה נוער ומבוגרים 0% הנחה לפני הנחה אחרי הנחה בישול % הנחה לפני הנחה אחרי הנחה אנציקלופדיה, מילונים, אטלסים 0% הנחה אחרי לפני הנחה הנחה ב ג x 00 x 0 x 80 0 x 70 ד ה החלק הבא בתוך המסגרת כולל תשובות ודוגמה לפתרון לנוחיות המורים: ************************************************************************************ ג. 0 x 0 00 ההנחה על המילון: = 0 )אפשר להראות שוב איך לצמצם, 0 במכנה עם 0 במונה ועוד 0 במכנה עם - 0 נשאר במונה. כופלים ב- שזה 0( יש לשלם על המילון 00 ש"ח,00 x 0 00 ההנחה על האנציקלופדיה בש"ח: = 60 צריך לשלם על האנציקלופדיה בש"ח: =,00 60,00 - ביחד צריך לשלם בש"ח: =,0 00,00 +,0 x 0 00 כמה שילם במזומן? = 96 כמה נשאר לשלם בתשלומים? = 7 96,0 - כמה שילם בכל תשלום בש"ח? = 7 7 : 80 x 0 00 ד. תשובה: ההנחה על כל ספר בשקלים: = מחיר כל ספר אחרי ההנחה: = מחיר ספרים הוא: = 8 6 x ה. מחיר כל ספר ילדים: ההנחה בשקלים: 0% מ- 70 ש"ח זה 8 ש"ח מחיר אחרי ההנחה: = מחיר 0 הספרים: =,00 0 x,00 x 0 00 מחיר כל אנציקלופדיה: = 00 מחיר אחרי ההנחה: =,00 00,00 - מחיר שתי אנציקלופדיות: =,00,00 x 0 x מחיר כל אטלס אחרי ההנחה: = 0

156 00 6 כאן חו שב ישירות מחיר של 80% לאחר הנחה של 0%. הילדים יכולים להמשיך לפתור בשני שלבים. מציאת ההנחה של 0% והפחתה מ- 0. או ללמוד לחשב באופן ישיר כמה שווה 80%. אפשר גם לעודד לפתור בעזרת חישוב עשרוני דבר שיהיה בהמשך קל בשימוש במחשבון: 0 x 0.8 = 0 מחיר אטלסים: = x מחיר כל הקנייה: =,00 600,00 +,00 + שילמה במזומן: אפשר לראות מיד ש % זה רבע ולמצוא על ידי חילוק ל- :,00 : =,7 x,00 או בעזרת חישוב של =,7 % נשאר לשלם בתשלומים: =,8,7,00 - כל תשלום מ- 0 התשלומים הוא: = 8. 0,8 : ************************************************************************************ יחידה - חישוב האחוז ביחידה זו נתונה הכמות הכוללת )הכמות הבסיסית( וכמות חלקית שלה. התלמיד ימצא את האחוז. פתיחת היחידה: רצוי להזכיר לתלמידים איך מחשבים אחוז של כמות מתוך הכמות הכוללת. אפשר להיעזר בהדגמה של דיון מורה שבתחילת היחידה בספר. לדוגמה: 7 תלמידים מתוך 8 תלמידים הם רבע או %. ובתרגיל: 7 x00 = = 8 x00 הנוסחה שמראה את החלק מתוך 00 אחוזים כפי שהודגמה כאן לגבי 7 תלמידים מתוך 8 תלמידים, מאפשרת לחשב בקלות את האחוז גם כשהמספרים אינם נוחים או כשהתשובה אינה מספר שלם. לכן, תרגול הנוסחה חשוב ויאפשר לתלמידים לפתור במגוון מצבים. אם המספרים נוחים, המספרים בנוסחה יצטמצמו בקלות. כמובן, כשהמספרים נוחים, תלמידים בעלי תפיסה מהירה, יכולים גם למצוא את האחוז בעזרת הרחבה לשבר שמכנהו 00: 7 8 = = 00 = % בספר אין הכוונה למצבים של מציאת אחוז על ידי הרחבה, כי קל יותר להציב תמיד באותה הנוסחה )כמוצג קודם(, ולא לחפש מקרים מיוחדים. אם המספרים נוחים, הם יצטמצמו בקלות בנוסחה. פעילות : דוגמה לפתרון בדרך הנוסחה של חלק של 00%: 9 00 א. =0% = x00 ב. =% x00 = 9 x ד. של 00% זה.60% x00 = = x00 00 ג. = % הראינו בדוגמה ב-א' צמצום בסוף )צמצום התוצאה(. כמובן, אפשר לצמצם גם בדרך )בתרגיל( ולחלק את ה- 00 ב- 0, ונשאר שכופלים את ב- 0.

157 7 אנחנו מצרפים כאן גם פתרונות בדרך של הרחבה למכנה 00 )לתלמידים שבוחרים לעשות זאת, אם הם רואים מיד את הקשר למכנה של 00. אנחנו לא מעודדים דרך זו בשלב זה לכל התלמידים, כי נראה לנו פשוט יותר להשתמש בכל המצבים של מציאת אחוז בנוסחה אחת כפי שהצגנו קודם(: 9 )%( 0 = )0%( ב = 0 א. 00 )60%( = 60 )%( 6 ד. 00 = = 00 ג. פעילות : על פי הדרך שהוסברה בספר )מציאת אחוז כחלק של 00%(: x00 משבצות שוקולד מהוות 6,% משבצות.0% א. = x00 = פעילות : תשובות: 0 = = x00 רבע זה.% 80 x00 00 = צבע אדום מהווה = 0 = = x00 חצי זה.0% 80 x00 00 = 0 צבע ירוק מהווה = = 0 = x00 x00 = עשירית זה.0% צבע לבן מהווה 00 =. = x00 x00 = אחד חלקי ארבעים זה.% צבע צהוב מהווה פעילות : נבטא את שני הצדדים באחוזים. לדוגמה, בסעיף א': % < 60% x00 = 80 x00 = יהיו תלמידים שיתייחסו לפעילות זו כהשוואת שברים )ויסתפקו בהשוואת השברים בלי לרשמם כאחוזים(. זה מתאים וכדאי לקבל את התשובות כנכונות: 0 = 0 ה. = ד. ג. > 0 x00 0 = ב. < א. = 6 ז. > ו. פעילות : תשובה: = 80% x00 = 0 x00 = 80% פעילות 6: תשובות: יהיו תלמידים שאולי במצבים הפשוטים ירחיבו בקלות למכנה 00 בלי להשתמש בנוסחה: = = 00 בשלושת המבדקים תמר ענתה נכון על 80% מהתשובות.

158 פעילות 7: אחוזים לא שלמים תחילת יחידה מוקדשת לדיון כיתתי בנושא אחוזים לא שלמים, כפי שמזמנת שאלה 7. ננצל פעילות זו כדי לדבר על אחוזים לא שלמים, כגון שמינית ששווה ל-.%. אפשר לשאול היכן עוד משתמשים באחוזים לא שלמים בחיי היום-יום )חצי אחוז או.% שומן,.% מס ערך מוסף ועוד(. בפעילות יש הדגמה של איך מוצאים ששמינית של 00% היא.%. אפשר להפנות שוב את תשומת הלב להדגמה זו גם כאן. בתחילת היחידה הבאה מציעים לקיים דיון מורה על פעילות זו. אפשר לראות בספר את ההצעות. פעילות - 8 שיעורי בית: התלמידים יתרגלו מציאת האחוז בעזרת הנוסחה של חלק של 00%. אחרי רישום בנוסחה, קל לצמצם בדרך החישוב )בתרגיל(, כי יש כפל ב- 00 וחילוק ב- 00 במכנה. כלומר, לאחר הצמצום יש חילוק ב-. דוגמה: 8 x00 = 8 00 =6% ייתכן שיהיו תלמידים שיבחינו שבכל פעם התוצאה היא המספר לחלק ל- כפי שמודגם כאן. גם אם מצמצמים בסוף התהליך או מצמצמים בדרך רואים שכופלים ב- 00 ומחלקים ב- 00 וזה למעשה כמו לחלק ב-. יהיו תלמידים שאולי יראו זאת, גם אם במקום שימוש בנוסחה הם יראו שניתן לצמצם, כך שיהיה 9 ) 8 9 הם 9% מכל הכמות או 0.9 או 00 מכנה 00. לדוגמה: 8 מסטיקים ירוקים ( = בשבר פשוט. 0 תשובות: אדום = 0% x00 00 צהוב %, כחול 0%, ירוק 9%, ורוד %, כתום 8%, סגול 7% יחידה חישוב האחוז. המשך חשוב! להזכיר לילדים להביא מחשבון לשיעור הבא. ביחידה זו מראים לילדים גם את האפשרות של כתיבת הנתונים בעמודות בטבלה. דרך זו מוצגת כאן כהדגמה לפתרון שאלה 6 מהיחידה הקודמת: תמר ענתה נכון על 6 שאלות מתוך 0. איזה אחוז זה מהשאלות? כל תשובה נכונה מהווה % כי = 0 00 : ולכן 6 תשובות נכונות מהוות = 80 6 x אחוזים מספר שאלות נכונות %? 8 בטבלה הסתכלנו על כל שורה. 00% גדול פי מ- 0 ולכן גם האחוז יהיה גדול פי מ- 6. מראים את הדרך הזאת בהדגמה שבתחילת היחידה, נוסף על הדרך הרגילה של הצבה בנוסחה

159 של חלק של 00%. המטרה של שימוש בטבלה זו היא בעיקר כדי לעזור לתלמידים לאורך זמן לראות על מה שואלים בשאלה. אם רושמים את הנתונים עם כותרות, קל יותר לראות מה נדרש. האם חסר אחוז? או ערך אחוז כמות חלקית? במשך הזמן התלמידים יכלילו שימוש כזה בטבלה גם למצבים שקשה יותר לראות על מה שואלים בשאלה. ההצבה בטבלה, עוזרת לראות קשרים בין ארבעת המספרים ולהשתמש בהם בדרך גמישה. אפשר כאן להשוות בתוך שורה או בין השורות. בפרק זה נכוון מעט לשימוש בטבלה כזאת. שימוש נרחב יותר לטבלה יהיה בפרק היחס. פעילות : אם נאסוף את הנתונים מסעיפים א', ב' לטבלה נוכל לעשות את ההשוואה בקלות. כדי למלא את הטבלה, מחסרים מהמחיר ההתחלתי את ההנחה. לדוגמה, במשחק אחד, יש 7 ש"ח הנחה מ- 8 ש"ח. כלומר, מחיר המשחק אחרי ההנחה הוא ש"ח. מחיר שני משחקים אחרי ההנחה הוא ש"ח, וכן הלאה: סעיפים ב' ו-ג': אחוזי ההנחה בכל הצעה במבצע. חישוב עבור הבאולינג הוותיק: א. במשחק אחד: אחוז ההנחה: 6 ש"ח מתוך 0 ש"ח: באולינג חדש באולינג וותיק לפני הנחה אחרי הנחה לפני הנחה אחרי הנחה 0 8 משחק אחד 60 6 שני משחקים שלושה משחקים 6 אחוז ההנחה: = 0% 0 x00 = x00 = x 0 בשני משחקים: אחוז ההנחה: ש"ח מתוך 60 ש"ח: x00 = x00 = = % 60 x בשלושה משחקים: אחוז ההנחה: 7 ש"ח מתוך 90: 7 x00 = x 00 = = 0% 90 0 x 0 בבאולינג החדש: במשחק אחד: אחוז ההנחה: 7 ש"ח מתוך 8 ש"ח: 7 x00 = x 00 = = % 8 x בשני משחקים: אחוז ההנחה: ש"ח מתוך 6 ש"ח: x00 = x 00 = % 6 9

160 בשלושה משחקים: אחוז ההנחה: ש"ח מתוך 8 ש"ח: x00 = x 00 = % 8 המחירים אחרי הנחה: באולינג וותיק: משחק אחד: ש"ח )0 פחות 6(, שני משחקים: )60 פחות (, שלושה משחקים: )90 6 פחות 7(. באולינג חדש: משחק אחד: ש"ח )8 פחות 7(, שני משחקים: )6 פחות (, שלושה משחקים: )8 6 פחות (. כלומר, למרות שבבאולינג הוותיק מעודדים את האנשים לשחק שלושה משחקים, כאשר מעלים את אחוז ההנחה משלמים בסופו של דבר )עבור שלושת המשחקים( כמו בבאולינג החדש )שיעור חשוב בקנייה נבונה!(. זול יותר לשחק בבאולינג החדש, אם משחקים משחק אחד או שניים ואם משחקים שלושה משחקים המחיר זהה, לכן עדיף לבחור בבאולינג החדש בכל מקרה. פעילות : מציאת אחוז. כגון: בארנק היו ש"ח והוציאו 8 ש"ח מתוכם. איזה אחוז מהכסף הוציאו. תשובות: א. 7% ב. 0% ג. % ד. 0% ה. % ו. 0% פעילות : בשאלה זו מספר כל התלמידים בבית הספר הוא א. כיתות ב' מהוות את השכבה הגדולה, 0% מכלל הילדים: = 0 x = 00 אפשר למצוא זאת גם על ידי צמצום: ב..% ג. 8% ד. 9% ה. 0% פעילות בחירה לשיקול דעת המורה ניתן לבחור גם בפעילות הבאה או לבחור בה במקום פעילות, המורה )או התלמידים( ימצאו מהו מספר התלמידים בבית ספריכם ומה מספר התלמידים בכל כיתה ויעסקו באיסוף, הצגה וניתוח של מספר התלמידים של בית ספריכם בדרך דומה למוצע בפעילויות בספר עם נתונים שהספר מספק. זוהי משימה מחיי היום-יום של התלמידים. כדאי למורה הבוחר/ת בפעילות זו יכולה גם להביא את הנתונים לכיתה. ערכו סקר בבית ספרכם. היעזרו בטבלה הבאה. אפשר להיעזר במחשבון: שנתון מספר כיתות בבית הספר מספר תלמידים בכל כיתה מספר תלמידים בשנתון א ב ג ד ה ו 60

161 א. איזה שנתון הוא הגדול ביותר בבית הספר? איזה אחוז הוא מהווה מכלל תלמידי בית הספר? ב. איזה אחוז מהווה מספר התלמידים בכיתה שלכם מכלל תלמידי כיתות ו'? ג. איזה אחוז מהווה מספר התלמידים בכיתה שלכם מכלל תלמידי בית הספר? פעילות שיעורי בית: כדאי לעבור עליהם בתחילת יחידה. דוגמה לפתרון של א': מציאת החלק המהווה,000 מתוך 8,000 וכפל החלק ב- 00 כדי למצוא את האחוז )איזה חלק זה מ- 00%?(. ניר משלם % ממשכורתו למסים. 000 x00 = x 00 = % 8000 יחידה בפתיחת היחידה מוסבר התהליך של פתרון תרגיל באחוזים בעזרת מחשבון. חישובי אחוזים הם שכיחים בחיי היום-יום וגם מחשבונים פשוטים מאפשרים אותם. כאשר המספרים אינם נוחים לחישוב - מתאים שנחשב בעזרת המחשבון. החשוב ביותר הוא לתת למחשבון הוראות נכונות לדוגמה, אם נרצה למצוא 70% מ- : x = 70 : 00 x = 70 x : 00 כדאי לעבור על שיעורי הבית מהיחידה הקודמת. דוגמה של פתרון לא' הוצגה שם. פעילות : חישובים למציאת ערך האחוז. אפשר לפתור בעזרת מחשבון. תשובות: 96 x ( x x 9 8 ב. = 0 x ג. = 0 x ד. )= ה. = 66 x 78 = x ו. = x אם פותרים ללא מחשבון ניתן למצוא מהו אחוז אחד, ואז לכפול באחוז, לדוגמה בב': =. 00 = : 8. x ייתכן שצריך להזכיר לתלמידים איך לכפול במספר עשרוני. אפשר גם לרשום שני שלבים אלו בתרגיל אחד: = 8 0 : 00 x ג. = 9 0 : 00 x וכן הלאה. פעילות : גם בפעילות זו קיימות שתי האפשרויות )בעזרת מחשבון או בלעדיו( x = 7 x : 0 פעילות : השאלה אתגרית. אפשר להמליץ לילדים לעבוד בזוגות. א. שאלה מורכבת. רצוי לעסוק בה תוך כדי שיחה על שלבי העבודה. נמצא תחילה את מחיר הנעליים לאחר הנחה בחנות של גילה, ואחר כך נמצא את האחוז שמחיר זה מהווה מתוך.00 0% מ- 70 הם )0% הם 7(. לאחר הנחה: 6 ש"ח. 6 מתוך 00 הם כמו 68 מתוך 00. כלומר אחוז ההנחה ששמעון צריך לתת הוא )00-68=( בתרגיל: = x או כך: = 00 00

162 70-70.=99. x (0 + 0) = 70. ב. בחנות של גילה: 00 0 x = 0 בחנות של שמעון: 00 6 קצת יותר יקר פעילות : זוהי שאלת בחירה אתגרית ואינה מתאימה לכל התלמידים. בעזרת מחיר שהוא גדול משלם )00%( מוצאים את השלם. לא עסקנו באופן פורמאלי בלימוד סוג כזה של שאלות. הפתרון יתבסס על מציאת אחוז וממנו 00 אחוזים. א. בשאלה זו חלה התייקרות של 0% כלומר 08 ש"ח שעולה החולצה הם 0%. אם נמצא כמה זה % נוכל לכפול ב- 00 ולדעת מה היה מחירה הישן של החולצה: = : 0 x ובדרך נוספת: בשאלה זו מדובר על כמות כוללת )בסיסית( שנוספה לה חמישית ממנה )0%(, וכעת יש 6 חמישיות שהן 08 ש"ח. נוכל להסתייע בציור כדי למצוא חמישית אחת ולכפול ב- : : 6 x = 8 x = ב. לאחר ההתייקרות של % הסוודר עולה 0 ש"ח. כלומר 0 ש"ח הם %. נמצא % מ- 0 ונכפול ב- 00 כדי לדעת מה היה מחירו הישן של הסוודר. כדי למצוא % )כשיש,)% נחלק ב-. כדי למצוא 00% נכפול ב- 00. = : x ובדרך נוספת: בסעיף זה נוסף רבע מהכמות וכעת יש רבעים. נמצא רבע אחד על ידי חילוק הכמות ב- ונכפול ב- )כדי לקבל שלם או רבעים(: )כי יש רבעים( : x = 0 פעילות שיעורי בית: השאלה מורכבת ממספר שלבים, אם כי אינה קשה במיוחד. תשובות: בחנות של גילה מחיר זוגות סנדלים הוא 0 ש"ח. הנחה %: x 00 0 = 66 0 כדאי לבדוק שהילדים יודעים לצמצם. אפשר לצמצם 00 ו- 00 ב- 0. אחר כך אפשר לצמצם 0 ו- ב-. למטה נשאר ולמטה. אפשר לצמצם ו- ב- ולמעלה ישאר כפול או 66. אפשר גם להראות זאת בדרכים אחרות. גם שימוש במחשבון מתאים. ההנחה הייתה 66 ש"ח וצריך לשלם 7 ש"ח: = בחנות של שמעון: = אצל שמעון תשלם 7 ש"ח לעומת גילה - 7 ש"ח. כלומר, המחיר בחנות של גילה יצא ב- ש"ח זול יותר מאשר בחנות של שמעון. ההפרש הוא רק ש"ח ולכן לא משנה באיזו חנות תקנה איילת. כמובן, גם התשובה שכדאי לקנות בחנות של גילה מתאימה כי היא קצת יותר זולה.

163 יחידה 6 מציאת האחוז ומציאת ערך האחוז שאלות במצבים מגוונים. פעילות : תוצאה - ידועה הכמות הכוללת )הבסיסית( והכמות שלאחר התוספת, וצריך למצוא את אחוז התוספת. השאלה: מחיר ק"ג אגוזים עלה מ- 60 ל- 7 ש"ח. התוספת היא ש"ח. איזה אחוז הם מתוך?60 % 00= x 60 פעילות : החישובים הם במספרים עשרוניים ויש צורך בחילוק ל- 0 )למציאת 0%(. מצורפות כאן כמה הצעות לחישובים ולשיקולי דעת שמופעלים תוך כדי העבודה. בסעיף ג' שאלת קניית פיצה לכיתה. אפשר להגיע למספר תשובות מתאימות תוך הפעלת שיקולי דעת מחיי היום יום. מצורפת כאן הצעה לפתרון: אפשר לקנות 7 פיצות גדולות במחיר.90 והן תעלנה 00.0 ש"ח. יש להניח שהחנות תוותר על 0 אג'. יש הנחה למי שקונה 6 פיצות גדולות: מחיר 6 פיצות גדולות הוא 7.0 ש"ח: 6 x.90 = 7.0 מקבלים הנחה של 0%, כלומר, צריך לשלם ל- 6 פיצות גדולות: =.66 אפשר לקנות פיצה נוספת שביעית ב-.90 ש"ח ואז צריך לשלם 7.6 ש"ח. נשאר. ש"ח לקנות "תוספות" )00 פחות 7.6(. נשאר כסף מספיק לקנות את רוב או כל התוספות שהתלמידים ירצו ואפשר לגוון כאן. לא כל כך כדאי לקנות פיצות קטנות. אם רוצים לקנות הכי הרבה פיצה בלי תוספות, אפשר להוסיף ב- השקלים שנשארו עוד פיצה קטנה, בכמעט 6 ש"ח. סעיף ד': x.90 + x.90 = =.0 דרך חישוב של + 0% %:. +.6 =.78. : =.6.0 : 0 =. 78 x. = = דרך חישוב של %: הוועד נתן לשליח הפיצה % טיפ שהם.78 ש"ח. ועד ההורים שילם עבור הפיצות 8.98 ש"ח סעיף ה': תשובות: = פיצה קטנה עם חצילים: = פיצה קטנה עם גבינה בולגרית: = פיצה גדולה עם בצל: = פיצה גדולה עם זיתים: = פיצה גדולה עם גבינה צהובה: = מחיר כל הפיצות יחד הוא: מחיר מעוגל של הפיצות : 7 ש"ח. 6 7 מחיר המשלוח: =. = 7 x מחיר הפיצות והמשלוח יחד: =

164 תשלום טיפ לשליח: = 7. = x 0 87 : התשלום עבור כל הארוחה בש"ח: = סעיף ו': מיה אכלה פיצה קטנה עם זיתים: = מחיר הארוחה של מיה היה 0% ממחיר ארוחת כל המשפחה. מה מחיר כל הארוחה )00%(? 0% 00% 8 ש"ח? 0 6 נסתכל בין שתי השורות. 00% הוא פי מ- 0% ולכן גם המחיר המלא של הארוחה יהיה פי מ- 8, כלומר 90 ש"ח לכל הארוחה. דרך נוספת: 0% הם 9 ש"ח. 00% הם פי 0 ולכן המחיר הוא 90 ש"ח. דרך שלישית: % הוא 8 לחלק ל- 0 : 8 לחלק ל- 0 הם 8.8. לחלק ל- 0 הם 0.9. פי 00 זה 90. כדאי שתלמידים שפתרו בדרכים שונות יציגו את הדרכים שלהם, ואפשר דרך שאלה זו לחזור על דרכים שונות לפתרון בהתאם לנוחיות השימוש במספרים. הוסיפו 0% טיפ למלצר כלומר 9 שקלים. ביחד הם שילמו 99 ש"ח. סעיף ז': חישובי אחוז: חשוב לעזור לילדים לראות איך לבצע את החישוב ואיך לצמצם. לילדים מתקשים אפשר לתת לעבוד עם מחשבון. נכפול את 7. ב- 0 ונקבל 7. נחלק 7 ב- 7 ונקבל. x00 = 0% 70 כדאי לעזור בפתרון התרגיל השני שבו יש 7. )כאן(. אם נצמצם ב- 0 את 00 ואת 70 נקבל 7 במכנה ו- 0 במונה. נכפול את 7. ב- 0 ונקבל 7. נחלק 7 ב- 7 ונקבל. 7. x00 = % x00 = 0% סעיף ח': אפשרות אחת: מחיר פיצה גדולה עם פלפל ירוק: = מחיר פיצה בינונית עם גבינה בולגרית: = מחיר פיצה גדולה עם זיתים: = מחיר שלוש הפיצות יחד: = = 00 x חישוב טיפ למלצר: = 8.7 סך כל התשלום בש"ח: = אפשר לשלם % טיפ מכל פיצה בנפרד. גובה הטיפ יהיה זהה. סעיף ט': שאלה פתוחה, תכנון אישי של כל תלמיד בהתאם לגודל משפחתו.

165 פעילות : זוהי פעילות בחירה אתגרית ואינה מיועדת לכל התלמידים. גם כאן מחשבים מחיר של 00% מתוך מחיר של % כמו ב סעיף א'. דרכי החישוב כאן יכולות להיות דומות לשאלה ביחידה. אפשר לחשב בעזרת מציאה של אחוז. כדי למצוא % בשאלה א', נחלק 9 ל-. את התוצאה נכפול ב- 00 כדי לקבל 00%. דרך החישוב מוצגת כאן בשלב אחד, אך מובן שאפשר לבצעה בשני שלבים: 60 9 א. = 80 x00 ב. = 8 x00 פרק גופים 9 שיעורים - יחידות 7 עד פרק זה בנוי משלושה חלקים: חלק ראשון - יחידות 8,7: חזרה על זיהוי גופים, התאמה בין גוף לפריסתו וריענון המושגים שנלמדו על גופים. חלק שני - יחידות :,, 0, 9, נעסוק במציאת נפחים של מנסרה, גליל, חרוט, פירמידה וכדור. חלק שלישי - יחידות, חתכים בגופים וגופים משוכללים. יחידה 7 גופים חזרה פעילות : סעיף א'. תשובות: א. גליל ב. פירמידה משולשת ג. מנסרה מחומשת ד. פירמידה מחומשת ה. חצי כדור ו. תיבה ז. כדור ח. מנסרה מרובעת ט. חרוט י. חרוט חתוך יא. מנסרה מרובעת סעיף ב דוגמאות לתכונות ממיינות בסיס אחד /יותר מבסיס אחד כל הפאות הן מצולעים )פאון( במעטפת יש משולשים יש קודקודים ד, ה, ט בסיס אחד א, ה, ט, י לא פאונים ב, ד יש משולשים ב, ג, ד, ו, ח, ט, יא א, ב, ג, ו, ח, י, יא ב, ג, ד, ו, ח, יא פאונים א, ג, ה, ו, ז, ח, ט, י, יא א, ה, ז, י אין קודקודים פעילות : דוגמאות לתשובות לגבי מה משותף ומה יוצא דופן. ייתכן שהתלמידים ייתנו תשובות נכונות נוספות. א. גופים: א, ג, ו, י. משותף: בסיסים מקבילים. או יש להם בסיסים. י' יוצא דופן כי הבסיסים שלו הם בגדלים שונים )אינם חופפים(. ל-א, ג, ו, יש בסיאסים חופפים. ב. גופים: ד, ה, ט. משותף: יש להם בסיס אחד. ד יוצא דופן הוא פאון. ה', ט, אינם פאונים. ג. גופים: א, ה, ז, ט, י. משותף: יש בהם דברים מעוגלים או אפשר לראות בהם או לשרטט עליהם 6

166 עיגול )לדוגמה, אם חותכים כדור לשני חלקים מקבלים חתך שהוא מעגל, או אם מסתכלים על חצי הכדור רואים מעגל בחלק השטוח(. אפשר גם לומר עליהם שאינם פאונים. ז יוצא דופן כי אין לו בסיס. ל-א, ה, ט, י יש בסיס אחד או יותר. ד. גופים: ב, ג, ו, ח, יא. משותף: הם פאונים. יש לכולם מצולעים בפאות. לכולם יש קודקודים וצלעות. ב יוצא דופן - בנוי ממשולשים במעטפת. ג, ו, ח, יא בנויים ממלבנים במעטפת. ה. גופים: א, ג, ו, ח, יא. משותף: בסיסים מקבילים וחופפים. א יוצא דופן - אינו פאון )אין לו מצולעים, אין לו קודקודים וצלעות(. ג, ו, ח, יא הם פאונים. ו. גופים: ג, ו, ח, יא משותף: כולם פאונים )מורכבים ממצולעים(. יוצא דופן: ו פאון הבנוי רק ממלבנים. ג, ח, יא, פאונים הבנויים ממצולעים מגוונים. יוצא דופן אחר: ח יוצא דופן, כי הוא פאון קעור. )אם הילדים אינם מכירים את המושג, אפשר לדבר על כך שיש לו מצולע קעור, ש"חלק נכנס פנימה".( יוצא דופן שלישי שאפשר לחשוב עליו הוא יא, שהוא בעל דופן שאין לה דופן חופפת לה. פעילות : בפעילות זו על התלמידים לבנות את גופים, ו- מערכת העזרים. במידה וגופים אלה נשארו בנויים מהפרק של גופים בספר הראשון, אפשר לדלג על סעיף א' ו-ג'. תשובות: ד. בשלושת הגופים יש לפחות קודקוד אחד. ה. החרוט יוצא דופן משום ששני הגופים האחרים הם פירמידות. פעילות : פעילות זו מזמנת התאמה בין הגוף לפריסתו. תשובות: פירמידה מרובעת ב, ד. חרוט ג, ו, פירמידה מחומשת ה. פירמידה משולשת א, ז. פעילות : תכונות הפירמידות: א. מספר צלעות המצולע בבסיס הוא מספר המשולשים במעטפת. ב. מספר הקודקודים בפירמידה זהה למספר צלעות המצולע בבסיס +אחד. ג. מספר הצלעות בפירמידה כפול ממספר צלעות המצולע בבסיס. דיון כיתתי. כדאי לחזור על המושגים. אפשר להיעזר בהדגמה שבעמוד. חוזרים על מושגים כמו: קודקוד, פאה, צלע )מקצוע(, בסיס, מעטפת. אפשר לחזור על שמות ותכונות של גופים, כמו פירמידה וסוגי פירמידות, חרוט, גליל, מנסרה, פאון. בדיון רצוי לעבור עם התלמידים על פעילות ו- ולראות אילו תשובות הם נתנו. פעילות 6: התלמידים בנו בשיעור זה את הגופים: פירמידה משולשת, חרוט, פירמידה מרובעת, פירמידה מחומשת. תשובות: א. כל הגופים: הפירמידות והחרוט ב. חרוט ג. פירמידה כלשהי )כל הפירמידות מתאימות( ד. פירמידה משולשת ה. חרוט ו. פירמידה מחומשת ז. פירמידה מרובעת 66

167 פעילות - 7 שיעורי בית. תשובות: א. נכון הפירמידה היא פאון והיא בנויה רק ממצולעים. ב. לא נכון החרוט אינו בנוי ממצולעים ולכן הוא אינו פאון. ג. לא נכון כל פירמידה בנויה במעטפת רק ממשולשים. תזכורת: יש להביא ליחידה 0 שקית קטנה של אורז או עדשים. להביא לכיתה מגש או קופסה, וכוס פלסטיק או מכל ריק של יוגורט או גבינה. יחידה 8 גופים: המשך חזרה מטרת היחידה היא ליצור ידע נוסף מאיסוף מידע על מנסרות, ולחזור על נפח תיבות ושטח הפנים שלהן. בפתיחת היחידה - הילדים בונים מנסרות וגליל ומתייחסים לגופים על פי ההכוונה ביחידה. למנסרה יש שני בסיסים שהם מצולעים חופפים )שווים( זה לזה ומקבילים זה לזה. למנסרה יש גם מעטפת הבנויה ממלבנים. למעשה זהו תיאור של מנסרה ישרה. במנסרה לא ישרה המעטפת היא מקביליות שאינן מלבנים. כביכול, מנסרה שניצבת מוטה. בכיתה ו' אנו עוסקים רק במנסרות ישרות. שם המנסרה נקבע לפי צורת הבסיס. אם הבסיס משולש, המנסרה נקראת מנסרה משולשת. פעילות : ג. המשותף למנסרות ולגליל שיש להם שני בסיסים חופפים. ד, ה - הגליל הוא יוצא דופן משום שאין לו קודקודים וגם משום שאין לו פאות שהן מצולעים )אינו פאון(. פעילות : פריסות א', ה' של תיבה פריסה ב' ו-ח' של גליל פריסה ג' ו-ט' של קובייה פריסה ד' - מנסרה משושה פריסה ו' ו-ז' מנסרה משולשת פעילות : א. פריסה של מנסרה מחומשת ב. פריסה של פירמידה מחומשת פעילות : מטרתה להגיע להכללות לגבי הקשר שבין מספר הקודקודים והפאות במנסרה לבין צורת הבסיסים שלה. תשובות: שם הגוף מנסרה משולשת צורת הבסיס משולש צורת המעטפת מלבנים מספר הפאות מספר הקודקודים מספר צלעות תיבה מרובע מלבנים מנסרה מחומשת מנסרה משושה מחומש משושה מלבנים מלבנים 67

168 68 א. מספר הפאות הוא כמספר צלעות המצולע בבסיס + שניים )מספר הפאות במעטפת שווה למספר הצלעות בבסיס. על זה נוספים שתי פאות של הבסיסים(. ב. מספר הקודקודים הכולל כפול ממספר הקודקודים בבסיס )כי יש אותו מספר קודקודים גם בבסיס השני(. ג. מספר הצלעות )מקצועות( הכולל גדול פי ממספר הצלעות של המצולע בבסיס )כי יש אותו מספר צלעות גם בבסיס שני, וגם במעטפת יש מספר צלעות שמחברות את שני הבסיסים כמספר הצלעות בבסיס(. פעילות : תשובות )יש יותר מאפשרות אחת, ברוב במקרים( א. משותף: כולם גופים מסוג מנסרות. ייתכן שהתלמידים לא יתפסו את המנסרה הקעורה כמנסרה. אפשר להראות את שני הבסיסים החופפים. ייתכן שלא יראו את המנסרה המשולשת כמנסרה, מכיוון שהיא אינה עומדת על הבסיסים. גם כאן, חשוב לעזור לתלמידים למצוא מי הם הבסיסים החופפים, ולדבר על כך שחשוב לזהות אותם גם אם המנסרה אינה "עומדת" עליהם. יוצא דופן: אפשר לחשוב על מספר רעיונות מדוע אחד הגופים הוא יוצא דופן ויש מספר תשובות נכונות. הצעות לתשובות )יתכן שיש עוד(: רק למנסרה המשולשת יש פאות שהן משולשים, או רק למנסרה המשולשת יש פאות שהן גם משולשות וגם מרובעות. אפשרות נוספת, המנסרה המרובעת הקעורה היא היחידה שהיא קעורה. עוד רעיון: רק לקובייה יש פאות שהן ריבועים, ב. משותף: לכולם יש שני בסיסים חופפים. יוצא דופן: רק לגליל אין קודקודים / פאות / מקצועות פעילות 6: יוצא דופן: א. גליל חסר קודקודים. נוסף: לגליל יש שני בסיסים. נוסף: הפירמידה יש לה פאות, קודקודים, מקצועות והיא פאון, או אין לה עיגול. ב. מנסרה מחומשת יש לה שני בסיסים. נוסף: החרוט אין לו מצולעים, יש לו עיגול. פעילות 7: התאמה בין תאור הגוף במילים לשם הגוף. תשובות: א. גליל ב. גליל, מנסרה משולשת, מנסרה מחומשת ומנסרה משושה, תיבה. ג. תיבה. ד. מנסרה משושה ה. מנסרה משולשת. דיון כיתתי: חשוב לסכם בדיון כיתתי את פעילויות 6-. רצוי לסכם את נושא הדומה והשונה בין הגופים ולסכם את תכונות המנסרה. אפשר להיעזר בהדגמה בעמוד. בהמשך הדיון, כדאי לחזור על דרכים לחישוב נפח תיבה ושטח פנים שלה )אפשר להיעזר בהדגמה בעמוד 6(. מופיע איור שמראה ממה נובעת הנוסחה של הנפח )מספר קוביות בשכבה x מספר השכבות(, ולאחר מכן מצוירת תיבה שרק מצוינות בה מידות המקצועות בס"מ. הנפח: x x סמ"ק. הילדים מתבקשים למצוא גם את שטח הפנים של התיבה: חשוב להדגיש שלתיבה יש שש פאות מלבניות, וכל פאות נגדיות שוות וחופפות. לכן אנו יכולים לחשב פאה אחת מכל גודל ולכפול ב-. x ( x ) + x ( x ) + x ( x ) = = 6 כמו כן, חשוב להזכיר את יחידות המידה: לנפח סמ"ק ולשטח פנים סמ"ר.

169 פעילות 8: נתונות תיבות. צריך לחשב את הנפח שלהן; הנפחים: א. = 6 x x נפח הקובייה 6 סמ"ק ב. = 6 x x נפח התיבה 6 סמ"ק ג. = 0 0 x x נפח התיבה 0 סמ"ק ד. = 8 7 x x נפח התיבה 8 סמ"ק פעילות - 9 שיעורי בית. שטח פנים של תיבה א. נפח תיבה א' סמ"ק: = 6 x x נפח תיבה ב' סמ"ק: = x x נפח תיבה ג' סמ"ק: = x x לשלוש התיבות נפח זהה. ב. שאלה זו היא שאלה פתוחה ויש לתת לתלמידים להתבטא ולהסביר לאיזו תיבה שטח הפנים הגדול ביותר לדעתם, לקבל מגוון תשובות ואז להפנות את התלמידים לחשב את שטח הפנים. אחת התשובות הצפויות יכולה להיות התשובה הבאה: התלמידים עשויים לחשוב שהתיבה הארוכה היא עם שטח הפנים הגדול, תיבה ג' שמידותיה. x x ג. תיבה א' שמידותיה: x x 6 שטח הפנים שלה: x ( x ) + x ( x 6) = = 6 תיבה ב' שמידותיה: x x שטח הפנים שלה: x ( x ) + x ( x ) + x ( x ) = = תיבה ג' שמידותיה: x x שטח הפנים שלה: x ( x ) + x ( x ) + x ( x ) = = 76 פעילות בחירה )העשרה( נוסחת אויילר על הקשר בין מספר פאות, מספר קודקודים ומספר צלעות )מקצועות( בפאונים: אפשר להציע לתלמידים לפי שיקול דעת המורה )הפעילות לא קשה( להתנסות בהיכרות תוך כדי משימת חקר של נוסחת אוילר. הנוסחה מקשרת בין מספר הפאות, מספר הקודקודים ומספר המקצועות בפאונים: סכום מספר הקודקודים ומספר הפאות שווה למספר המקצועות ועוד. דוגמאות: בקובייה יש: 6 פאות + 8 קודקודים = מקצועות + = בפירמידה משולשת יש: פאות + קודקודים = 6 מקצועות + = 8 אפשר לתת לתלמידים לחשב את מספר הפאות יחד עם מספר קודקודים ולהשוות זאת למספר הצלעות )מקצועות( ולראות שאם מוסיפים למספר הצלעות זה שווה לסכום מספר הפאות ומספר הקודקודים. אפשר לבדוק גם במנסרות ובפירמידות שונות )אפשר להשתמש בנתונים מהטבלאות ביחידות 7 ו- 8 שהתלמידים כבר מצאו(. ולראות אם הכלל הזה מתקיים אצל כולם. אפשר לבדוק זאת בהמשך גם על הגופים המשוכללים שנבנה שחלקם פאונים אך לא פירמידות או מנסרות ולראות אם הכלל מתקיים גם שם. 69

170 יחידה 9 נפח מנסרה ונפח גליל היחידה עוסקת בנפח מנסרה ונפח גליל. היות שמדובר ב"בסיס x גובה" כדי למצוא שטח של גליל, יש כאן חזרה גם על שטח העיגול. פתיחת יחידה: דיון כיתתי. כדאי להיעזר במודגם בעמודים 9-8. הדרך להראות את הנוסחה של חישוב נפח מנסרה ונפח גליל דומה לדרך בה לימדנו נפח של תיבה. נפח של שכבה בגובה של ס"מ הוא שטח הבסיס. x נפח של המנסרה או גליל הוא שטח הבסיס x גובה. פעילות : תרגול מציאת נפחים של מנסרות שונות. תשובות: א. = 90 6 x ב. = x ג. = 0 8 x ד. = 8 x ה. = 8 7 x כל המכפלות הן בסנטימטר מעוקב )סמ"ק(, יחידות המידה של נפח. פעילות : שטח בסיס המנסרה סמ"ר 0 סמ"ר סמ"ר 8 סמ"ר 0 סמ"ר גובה המנסרה ס"מ 7 ס"מ 9 ס"מ 0 ס"מ 8 ס"מ נפח המנסרה 60 סמ"ק 80 סמ"ק 08 סמ"ק 80 סמ"ק 60 סמ"ק פעילות : תשובות בסמ"ק. א. = x ב. = x ג. =. 8.6 x ד. = x פעילות : חזרה על חישוב שטח של עיגול. נתונה הנוסחה והרדיוס או הקוטר א. = 8.6. x x ב. =.6. x x ג. = 0.. x x ד. = x. x ה. =.. x x )השטחים בסמ"ר( פעילות : חישובי נפחים של גלילים רדיוס )ס"מ( קוטר )ס"מ( שטח בסיס )סמ"ר( גובה הגליל )ס"מ( נפח הגליל )סמ"ק(

171 פעילות 6: במשימה זו הילדים יוצרים משני ניירות זהים בגודלם ובצורתם שני גלילים: האחד ארוך וצר והשני קצר ורחב. אפשר לגזור את הדף מערכת העזרים ולהשתמש בו, או לקחת שני ניירות רגילים של A. כלומר, לשני חלקי הדף יש אותו שטח מעטפת בערך, אך הגלילים שבונים מהם שונים בנפחם. התלמידים ישערו אם הנפח של שני הגלילים הפתוחים שווה, ואז יחשבו אותו. דוגמה לחישוב מדף הגזירה: הרדיוסים שמתקבלים )שהילדים יכולים למדוד בסרגל או לחשב(. דף הגזירה נותן רדיוס של ס"מ ושל ס"מ. התלמידים ימדדו את הקוטר והרדיוס עם סרגל לאחר שהגליל בנוי. ייתכן שיקבלו מספרים קרובים לזה אך לא בדיוק, וזה כמובן בסדר כשרק מודדים. אפשר לעגל את המספרים )בשורה הראשונה לדוגמה, עיגלנו ל 6. סמ"ר(. ילדים שזקוקים במיוחד, יכולים להשתמש במחשבון. שטח העיגול שווה: π x r הגליל קוטר הבסיס )בקרוב( רדיוס הבסיס )בקרוב( שטח בסיס הגליל גובה הגליל נפח הגליל נמוך ורחב 6 ס"מ ס"מ 8.6 סמ"ר.6 ס"מ 6. סמ"ק גבוה וצר ס"מ ס"מ.6 סמ"ר 8.8 ס"מ 6. סמ"ק המידות הניתנות כאן הן של גלילים שנעשו מדף בגודל A. הגליל קוטר הבסיס )בקרוב( רדיוס הבסיס )בקרוב( שטח בסיס הגליל גובה הגליל נפח הגליל נמוך ורחב 9 ס"מ. ס"מ 6.8 ס"מ ס"מ.8 סמ"ק גבוה וצר 6 ס"מ ס"מ 8.6 סמ"ר 0 ס"מ 87.8 סמ"ק הרדיוס משפיע יותר בחישוב נפח של גליל, כי מחשבים אותו בריבוע לעומת הגובה. לכן גליל נמוך ורחב )בעל רדיוס גדול יותר שמעלים אותו בחזקה(, יהיה בעל נפח גדול יותר מגליל גבוה וצר )בעל רדיוס קטן יותר(. רואים מהפעילות שאם מכינים מאותו הגודל של נייר גליל אחד שמגולגל לרוחב ושני שמגולגל לאורך, הנפח של שני הגלילים שונה, אף על פי שיש להם אותו שטח מעטפת. פעילות - 7 שיעורי בית. חישובי נפחים של גופים, כאשר נתונים הגבהים והבסיסים. יש תזכורת להביא לשיעור הבא אורז או עדשים, מגש וכלי פלסטיק למילוי, מדבקות וגופים מערכת העזרים. פריטים אלה ישמשו את הילדים בגילוי הקשר שבין נפחים של מנסרות לנפחים של פירמידות, כאשר הבסיסים שלהן חופפים והגובה שווה. מאוחר יותר יבדקו הילדים את הקשר שבין נפח של גליל לנפח חרוט, כאשר בשניהם הבסיסים חופפים והגובה שווה. 7

172 יחידה 0 נפח מנסרה ונפח פירמידה ביחידה זו בודקים את הקשר בין נפח מנסרה לנפח פירמידה, כאשר לשתיהן בסיסים חופפים וגובה שווה. המסקנה היא פועל יוצא של הפעילות: ממלאים את הפירמידה בעדשים או באורז ומעבירים למנסרה, עד שתתמלא. רואים שזה קורה פעמים, כלומר, נפח המנסרה הוא פי מנפח הפירמידה. טוב לפתוח את היחידה בבנייה של המנסרות והפירמידות )אם הן טרם נבנו( ולשאול את הילדים לדעתם בעניין: כיצד נוכל לדעת אם יש קשר בין הנפחים בכל זוג, וכיצד נוכל לבדוק את זה. הילדים כבר יודעים את נוסחת נפח המנסרה ואם יימצא קשר )יחס( בין המנסרה לפירמידה "בת- זוגה", הם יוכלו לגלות גם את חישוב נפח הפירמידה. הגובה של הפירמידה אינו זהה, כמובן, לאורך המקצוע מהבסיס לקודקוד, אלא הוא קו אנכי מהקודקוד לבסיס. חשוב בפתיחת השיעור להעלות בדיון את השאלה מה דומה / זהה בין שני הגופים שהם "זוג". בגובה הזהה אפשר להיווכח, כאשר מניחים אותם זה ליד זה )כפי שמראים בציור בספר(. בהמשך, יעבדו התלמידים בזוגות על פי ההוראות. פעילות : התלמידים יתאימו פירמידה למנסרה כך שבסיס המנסרה ובסיס הפירמידה יהיו חופפים וגובה המנסרה וגובה הפירמידה שווים. מגופים אלו יש זוגות: פירמידה משולשת )( ומנסרה משולשת )(, פירמידה מרובעת ותיבה )9(, פירמידה מחומשת )( ומנסרה מחומשת )7(. פעילות : התלמידים יראו וישערו למי נפח גדול יותר בכל "זוג". פעילות : התלמידים יכניסו את הפירמידה לתוך המנסרה התואמת לה וינסו לשער לפי המקום שנשאר כמה פירמידות נכנסות למנסרה אחת. פעילות : לאחר שלב ההשערה התלמידים יתנסו ויבדקו כמה פעמים מילוי הפירמידה ימלא את המנסרה. התלמידים יגלו שבכל "זוג" )פירמידה והמנסרה המתאימה לה( המנסרה תתמלא ב- "מילויים" של הפירמידה. כלומר, נפח המנסרה גדול פי מנפח הפירמידה. בדיון הכיתתי חשוב לשמוע מהתלמידים לאיזה גוף יש נפח גדול, ופי כמה גדול נפח המנסרה מנפח הפירמידה. דיון כיתתי: איך נחשב נפח של פירמידה? חשוב לקשר בין התנסות התלמידים לבין הידע הקודם שלהם לגבי חישוב נפח של מנסרה. בעזרת ידע זה הם ימצאו את הנוסחה לחישוב נפח הפירמידה. נפח הפירמידה = x נפח מנסרה מתאימה : נפח המנסרה = נפח הפירמידה 7 כדי למצוא נפח של פירמידה נעשה: גובה x שטח הבסיס או = : )גובה x שטח הבסיס(

173 תזכורת! לשמור ולהביא לשיעור הבא את האורז או את העדשים, את המגש, את כלי הפלסטיק למילוי, את המדבקות ואת הגופים מערכת העזרים. פעילות : תרגול מציאת נפח פירמידות ג. = 6 x : ב. = x : א. = 0 0 x : נפח הפירמידה בסמ"ק פעילות 6: חשוב לעזור לתלמידים לראות, שחישוב נפח של מנסרה הוא שטח בסיס כפול גובה. אם יש פירמידה שיש לה אותו שטח בסיס ואותו גובה, הנפח שלה יהיה נפח המנסרה עם אותו שטח בסיס וגובה לחלק ב-. לדוגמה, המנסרה בשורה הראשונה הנפח שלה 90 סמ"ק, והפירמידה בשורה הרביעית תהיה שליש מנפח זה או 0 סמ"ק. תשובות: הגוף שטח הבסיס גובה נפח 90 סמ"ק 8 סמ"ר ס"מ מנסרה 0 סמ"ק 0 סמ"ר 6 ס"מ מנסרה 0 סמ"ק 0 סמ"ר ס"מ מנסרה 0 סמ"ק 8 סמ"ר ס"מ פירמידה 0 סמ"ק 0 סמ"ר 6 ס"מ פירמידה 0 סמ"ק 0 סמ"ר ס"מ פירמידה.6 סמ"ר 0 ס"מ.6 סמ"ק גליל פעילות 7 לשיעורי בית. א. = 9 6 x ב. = x ג. = 6 x 6 : ד. =8 7 x 9 : ה. = 6 x 6 : כל התוצאות הן בסנטימטר מעוקב )סמ"ק( יחידות המידה של נפח. יחידה בפתיחת היחידה בודקים הילדים את הקשר בין נפח גליל לנפח חרוט שבסיסיהם חופפים והגובה שלהם שווה. תחילה רצוי לשוחח ולהזכיר מה למדנו בשיעור הקודם )על הקשר בין נפח מנסרה ונפח פירמידה שבסיסיהן חופפים וגובהן שווה(. נשאל, לפני שפותחים את הספר, האם לדעת הילדים יתקיים אותו הקשר ):( גם בין הנפח של הגליל והנפח של החרוט. ההנמקות של הילדים, אם ייתנו, הן החשובות בשיחה. לאור ההתנסות ביחידה הקודמת אפשר להישאר עם ספר סגור כל זמן הפעילות והסקת המסקנות, ולפתוח אותו רק כדי לחזק את מה שהסקנו )בדיון המסכם(. דיון כיתתי: איך נחשב שטח של חרוט? חשוב לקשר בין התנסות התלמידים בשיעור זה, והתנסות התלמידים בשיעור הקודם לגבי מציאת נפח של חרוט. נפח החרוט = x נפח הגליל : נפח הגליל = נפח החרוט. )קראו משמאל לימין( 7

174 גובה π x r x כדי למצוא נפח של חרוט נעשה: : )גובה x שטח הבסיס( או = אפשר להיעזר בהדגמה בספר בעמוד 8. מפעילות ואילך הילדים עוסקים בחישובים בעזרת מחשבון. פעילות : א. המשותף לגליל וחרוט בסיס בצורת עיגול. ב הבסיסים חופפים ושטחם שווה. ג. הגובה של שני הגופים זהה. ד. יש לשמוע את השערות התלמידים וההסבר כיצד הגיעו להשערה זו. נפח הגליל גדול מנפח החרוט פי. פעילות : סעיפים א', ב', ג', הוראות כיצד להשוות בין נפח החרוט לנפח הגליל. סעיף ד': יש לשפוך פעמים את האורז מהחרוט לגליל עד שהגליל מתמלא. סעיף ה': נפח הגליל גדול פי מנפח החרוט. פעילות : א. =. x x. x : נפח חרוט א' ב. = 9. x x. x נפח גליל ב' ג. =. x x. x 6 : נפח חרוט ג' ד. = x x. x נפח גליל ד' ה. =.8 x x. x : נפח חרוט ה' ו. = 8.8 x x. x : נפח חרוט ו' פעילות : רדיוס-ס"מ קוטר-ס"מ שטח בסיס - סמ"ר גובה החרוט- ס"מ נפח החרוט- סמ"ק

175 פעילות ו- 7 : בטבלה יש גם חישובי נפח של הבקבוקים שמבקשים למצוא בפעילות 7. כדאי לדבר עם התלמידים שהמידות של התיבות ניתנות בערך. אם מידות הבקבוק כמידות התיבה, נניח שהבקבוק ייכנס בתיבה. שם הבושם גליל גבוה נקי חרוט גבוה פריחה לבנה פירמידה מרובעת גבוהה חלום חרוט נמוך ריח לי פירמידה מרובעת נמוכה אהבה גליל נמוך חזק נפח בקבוק הבושם בסמ"ק xx=8 xx= xx= xx6= xx=6 xx6= נפח התיבה המתאימה לבקבוק הבושם בסמ"ק )מיליליטר( x x 6 חישובים למציאת נפח בקבוקי הבושם )בסמ"ק(: "נקי" = x x x. x. x. x "חלום" = 8 "פריחה לבנה" = 9.. x x x "אהבה" = "ריח לי" =. x x "חזק" = x x x פעילות 6: א. מידות של תיבות שנפחן סמ"ק: ;xx ;xx6 ;xx ב. התיבה שמידותיה xx היא בעלת שטח הפנים הגדול ביותר בנפח הנתון ושטח הפנים שלה הוא 0 סמ"ר. פעילות 7: נפח הגופים המופיעים בפעילות. ) מיליליטר שווה ל- סמ"ק, לכן התוצאות שרשומות בטבלה בסמ"ק הן גם התוצאות במיליליטרים.( 7 שימו לב לציוד שצריך להביא לשיעור הבא. הילדים יבנו חרוטים בעזרתו.

176 יש להביא לשיעור הבא: מחוגה, סרגל, מספריים, אטבי משרד או שדכן, וגליל קרטון שנשאר מנייר טואלט. 76 יחידה נפח גליל ונפח חרוט בפתיחת היחידה התלמידים יעסקו בבנייה מודרכת של חרוטים וימצאו את נפחיהם. אם הם יציירו שני מעגלים זהים ויגזרו אותם לפי ההוראות בספר, הם יקבלו גזרות של עיגול מהן יבנו ארבעה חרוטים, שבהם ככל שהגובה גדול יותר הבסיס קטן יותר. נפחיהם יהיו שונים ותלויים בגזרות שהתלמידים יצרו. העבודה אינה פשוטה ומומלץ לבצע אותה בזוגות. פעילות : בפעילות זו על התלמידים לבנות חרוטים לפי הוראות נתונות. על התלמידים לשרטט שני עיגולים חופפים. כדאי להזכיר לתלמידים שצורות חופפות )עיגולים( הן צורות שאם נשים אותן אחת על גבי השנייה, צורה אחת תכסה בדיוק את הצורה השנייה. תלמידים שמתקשים בשרטוט בעזרת מחוגה יכולים להקיף בעיפרון חפץ עגול לגזור ולקפל כדי למצוא את מרכז המעגל. התלמידים יתנסו בקבלת גזרות שונות של חרוט ללא בסיס מתוך שני העיגולים ששרטטו. התלמידים יסגרו את הגזרות ויקבלו חרוטים פתוחים )ללא בסיס( שונים. התנסות זו של בניית החרוטים חשובה מאד, משום שהיא מאפשרת לתלמידים ליצור את מעטפת החרוט ולא רק התנסות בזיהוי פריסות מוכנות של חרוט. פעילות : פעילות זו עוסקת במציאת נפח החרוטים שהתלמידים בנו. על התלמידים לשרטט את בסיסי החרוטים הפתוחים על דף נייר, לגזור אותם ולמצוא את מרכזו של כל עיגול בעזרת קיפול העיגול פעמיים )פעם אחת לחצאים ופעם נוספת לרבעים(. התלמידים ישרטטו בכל עיגול רדיוס ימדדו אותו ויחשבו את שטחי העיגולים )ניתן להיעזר במחשבון(. התלמידים ימדדו את הגובה בכל חרוט בעזרת סרגלים )כמתואר בציור( ויחשבו את נפח החרוטים לפי שטח הבסיס והגובה שמצאו. פעילות : התלמידים יבחינו שמגזרות שונות של עיגול כפריסה למעטפת החרוט )חרוט פתוח בלי בסיס(, מקבלים חרוטים שונים בעלי נפחים שונים. כשמחשבים את נפח החרוט ונעזרים בנוסחה, הרדיוס והגובה של החרוט קובעים את הנפח. מכיוון שמעלים בריבוע את אורך הרדיוס בנוסחה של חישוב שטח העיגול, פעמים חישוב הנפח מושפע יותר מאורך הרדיוס מאשר מהגובה. אך זה תלוי במספרים עצמם. ב- החרוטים שבונים בפעילות זו, אפשר לומר שככל שהחרוט גבוה יותר ובעל בסיס )עיגול( קטן יותר, נפחו קטן יותר. ככל שהחרוט נמוך אך בסיסו העגול גדול יותר, כך הנפח גדול יותר. פעילות : תשובות בסמ"ק. כדאי לראות שהתלמידים שמים לב שבסעיפים ב', ג' ניתנות מנסרה ופירמידה בעלות אותו בסיס וגובה ולכן נפח הפירמידה יהיה קטן פי מנפח המנסרה. באופן דומה בסעיפים ד' ו-ה' נפח הגליל גדול פי מנפח החרוט. כמו כן תזכורת ש-,000 סמ"ק שווה ל- ליטר.

177 ה ד ג ב א פעילות : תשובות בסמ"ק. לבדוק שהתלמידים שמים לב שניתן קוטר ולא רדיוס. יש למצוא קודם את הרדיוס. א. =,0 0 x x. x כלומר. ליטר ב. = 00, x 0 x. x כלומר ליטר ג. = 678, x 60 x. x כלומר ליטר פעילות 6: על פי הנתונים בשאלה אפשר למצוא את מספר שקיות התערובת כך: נפח המ כ ל הקטן בסמ"ק: = 7, x 0 x נפח המכל הבינוני בסמ"ק: = 80, x 0 x שני המ כ לים יכולים להכיל בסמ"ק: = 07,000 80,000 7,000 + כל שקית תערובת קרקע משובחת מכילה 0 ליטר שהם 0,000 סמ"ק. =.6 0,000 07,000 : כלומר יש לקנות שקיות. אפשר גם להמיר יחידות בכיוון הפוך - 07,000 סמ"ק זה 07 ליטר(. מחיר השקיות הוא 00 ש"ח. = 00 x תזכורת: להביא לכיתה גליל קרטון שנשאר מנייר טואלט. יחידה חישובי נפחים, כדור גם ביחידה זו עובדים עם מחשבון. ביחידה זו הילדים "עושים היכרות" עם כדור ועם נפח של כדור. כדי שהלימוד יהיה מוחשי יותר, רצוי להביא אשכולית או תפוז )פירות שקרובים בצורתם לכדור( ולשאול על הקוטר של הכדור )מה לדעתם נחשב כקוטרו של הכדור(. התלמידים גם יכולים לחתוך את הפרי כדי להראות למה הם מתכוונים. דיון כיתתי. היכרות עם כדור. בתחילת השיעור כדאי לשוחח על תכונות הכדור ואפשר להיעזר במידע שבמסגרת בעמוד בספר התלמיד. נדבר על כך שכל הנקודות שנמצאות על הכדור נמצאות במרחק שווה ממרכז הכדור. אם נחתוך את הכדור באמצע, דרך מרכז הכדור, נראה שצורת החתך היא עיגול. עיגול זה הוא העיגול הגדול ביותר על פני הכדור. הרדיוס או הקוטר של עיגול זה הם הרדיוס או הקוטר של הכדור. רצוי לקיים דיון שני בשיעור זה אחרי שהתלמידים עוסקים בפעילות ובו תוקנ ה נוסחה לחישוב נפח כדור. פעילות נותנת תחושה אינטואיטיבית על תכונות הכדור ועל הקשר בין גודל הכדור ומימדי קופסה בצורת קובייה שהכדור יכנס אליו. התלמידים גם מחשבים את נפח הקוביות בהן אורזים את הכדורים. 77

178 פעילות : נפח קובייה הוא כמו נפח כל תיבה: אורך x רוחב x עומק. בקובייה האורכים שווים ולכן זה אורך הצלע השלישית. לדוגמה: אורך צלע הקובייה ס"מ: נפח 6 סמ"ק = 6 = x x א. מקצוע הקובייה בס"מ כדור קופצני כדור טניס כדור פלסטיק כדור יד כדור ספוג 0 0 =8,000 =,7 =, = =6 ב. נפח הקובייה בסמ"ק 78 ג. בסעיף א כל קופסה בצורת קובייה בה אורזים את הכדור הייתה קצת יותר גדולה כדי שהכדור יוכל להיכנס לתוכה. אורך כל צלע של הקובייה גדול ב- ס"מ מקוטר הכדור. גם בסעיף זה )ג'( בו התלמידים מתבקשים לחשב נפח של קופסאות בצורת קוביות בהן אורזים עוד כדורים הם צריכים לקחת בחשבון שאורך צלע הקובייה גדול ב- ס"מ מקוטר הכדור. נפח הקופסה המתאימה לכדור בעל קוטר של 0 ס"מ: =, נפח הקופסה המתאימה לכדור בעל קוטר של ס"מ: = 6 6 אפשר לחזור עם התלמידים על רישום חזקה. 6 בשלישית הכוונה היא 6 כפול 6 כפול 6. זה בא מכפל של אורך, כפול רוחב, כפול גובה. במקרה של קובייה כל המימדים שווים ולכן מקבלים מספר בחזקת. תשובות נפח הקופסה ניתנות בסמ"ק. דיון שני בהמשך השיעור. חישוב נפח כדור. אפשר להיעזר במידע במסגרת בעמוד עם התלמידים בשיעור. לאחר ההתייחסות לקוטר ולרדיוס מראים את נוסחת נפח הכדור x π x R קשה להמחיש ולהסביר את הנוסחה הזאת ולא נותר אלא לקבלה. אין צורך להסביר לילדים איך מגיעים לחישוב הנוסחה. בדיון הכיתתי: אפשר לשאול מה גדול יותר נפח של קופסה )שצורתה קובייה( שאורך צלעה ס"מ, או נפח של כדור שהרדיוס שלו ס"מ? מציאת נפח של קובייה: אורך צלע x אורך צלע x אורך צלע. נפח הקובייה 7 סמ"ק. = 7 = x x כדי למצוא נפח של כדור יש להשתמש בנוסחה הבאה: x π x R π x R x R x R או בקיצור: x חישוב נפח כדור שהרדיוס שלו ס"מ: x. x נפח הכדור הוא סמ"ק בקירוב )בגלל שהפאי הוא מספר אינסופי לא מחזורי התשובה ניתנת בקירוב(.

179 נחזור לשאלה שפותחת את הדיון מה גדול יותר נפח הכדור או נפח הקובייה? כמובן שנפח הכדור גדול יותר, כדור שהרדיוס שלו ס"מ הקוטר שלו 6 ס"מ כלומר אנו זקוקים לקופסה שאורך הצלע שלה 7 ס"מ כדי שכדור כזה ייכנס לתוכה. כדור קופצני כדור טניס כדור פלסטיק. כדור יד כדור ספוג 9.,89. 7, פעילות : הרדיוס נפח סמ"ק פעילות : א. כלי גליל צבעוני במ"ל: =,6 6. x 9 x 9 x ב. כלי גליל אבן במ"ל: =,70. x 0 x 0 x ג. כלי גליל זכוכית במ"ל: = 70. x. x. x ד. כלי תיבה צבעוני במ"ל: =,7 x 7 x ה. כלי תיבה אבן במ"ל: =,0 0 x x ו. כלי תיבה זכוכית במ"ל: =,600 8 x 8 x ז. =.90,000 :,600) (,6 +, ,7 +,0 + בכל הכלים מלאו יחד.90 ליטר אדמה. פעילות : א. נפח המיחם בסמ"ק: = x 7 x כלומר 8 ליטר. ב. בכל ליטר יש כוסות של 00 מ"ל ולכן יש 0 כוסות במיחם. לא יספיקו המים. א. קובייה ופירמידה ב. גליל וחרוט. x 6 x 6 =.0.0 x 7 = 79.8 ג. מנסרה ופירמידה 6 x 6 = 6 פעילות : שטח הבסיס בסמ"ר נפח גוף תחתון בסמ"ק סמ"ר שטח בסיס תחתון. הוא השטח לבסיס עליון x = 6 6 x 6 x 6 = 6 x 6 = (. x 6 x 6 x ) : = x 8 : = 96 נפח ה"גג" בסמ"ק נפח כל הגוף בסמ"ק 79 פעילות 6: לקראת משימה זו, צריך לחזור ולהסביר, את המעבר מסמ"ק למטר מעוקב: במטר אחד 00 ס"מ במטר רבוע - 0,000 סמ"ר = x במטר מעוקב,000,000 סמ"ק = x 00 x

180 תזכורת: כדי לחלק מספר במיליון נזיז את הנקודה העשרונית 6 מקומות שמאלה. ג. 0 x 80 x 00 =,00,000.0 מ"ק ב. 60 x x 0 = 0, מ"ק א. 90 x 70 x 0 = 76, מ"ק נפח הקופסאות בסמ"ק ד. נפח הקופסאות במ"ק ה. המספרים בסמ"ק גדולים פי מיליון מהמספרים במ"ק. כדי לחלק מספר במיליון נזיז את הנקודה העשרונית 6 מקומות שמאלה. תזכורת: שהתלמידים יביאו גלילים שנשארים מנייר טואלט. יחידה - חיתוך גופים וגופים משוכללים )יש שימוש בפריסות שבערכת העזרים ובמספריים( היחידה נפתחת בחיתוכים בגופים וממשיכה בגופים המשוכללים. חלק א' של היחידה: חתכים בגופים: החלק של חיתוך הגופים הוא העמקה והעשרה ואינו נדרש בתוכנית הלימודים מכל התלמידים. עם זאת הנושא מוצג באורח קל ולא מסובך, כך שאם נותר למורה זמן, כדאי לעשות גם חלק זה עם כל התלמידים. המטרה של חלק זה של החיתוכים היא לפתח חשיבה חזותית ומרחבית. בחלק מהפעילויות, התלמידים יפעלו על ידי חיתוך ממש של הגופים שבערכת עזרים או של גליל ריק של נייר טואלט, ובחלק אחר, התלמידים ידמיינו איך הם חותכים את הגוף ומה יתקבל לאחר החיתוך. אם הילדים יצליחו לעשות חיתוכים מדויקים, פחות או יותר, או ידמיינו היטב בראשם את החיתוך, הם ייווכחו שכאשר החיתוך מקביל לבסיס קו המתאר שלו הוא אותה הצורה של הבסיס בגליל, ובתיבה. בחרוט ובפירמידה, הצורה תהיה אותה צורה כמו הבסיס, אך מוקטנת. כאשר החיתוך אינו מקביל, צורת הבסיס "מתעוותת": לדוגמה, עיגול הופך לאליפסה. חשוב שהתלמידים ישערו לפני הביצוע, ירשמו את ההשערות ויבדקו אותן. פעילות : א. התלמידים יחתכו: פעם אחת, גליל ריק של נייר טואלט במקביל לבסיס ויקבלו עיגול חופף לעיגול הבסיס, ופעם שנייה, בקו נטוי ויקבלו אליפסה בחיתוך. רצוי לעבוד בזוגות או בקבוצות של -. לכל זוג או קבוצה רצוי שיהיו שני גלילי נייר טואלט לפחות. אפשר לנסות לחתוך יותר מחיתוך אחד על גליל אחד אם זה נעשה בזהירות. אפשר לראות את הציור בספר בפעילות. כדאי לפני שחותכים לצייר על הגליל ועל הגופים האחרים בהמשך. הציור עוזר לראות מה מקבלים. 80

181 שאלה לבחירה: איזו צורה תתקבל בחיתוך אם נחתוך את הגליל מלמעלה באמצע, מאונך לבסיס? יתקבל מלבן. קשה לבצע חיתוך זה כי הגליל "ייפתח". אפשר לצייר על הגליל כדי לעזור לדמיין זאת. ב. התלמידים יגזרו חרוט אחד מערכת העזרים במקביל לבסיס, ואחר הם יגזרו בקו נטוי. הם יגלו שאם גוזרים במקביל לבסיס, מקבלים עיגול קטן יותר מהעיגול של הבסיס. כשחותכים בקו נטוי מקבלים אליפסה. ג. גוזרים גם פירמידה מרובעת וגם פירמידה מחומשת - פעם במקביל לבסיס ופעם בקו נטוי. אם חותכים במקביל לבסיס, יתקבל אותו מצולע כמו הבסיס רק קטן יותר, תלוי איך מבצעים את החיתוך; בקו נטוי אפשר לקבל יותר מצורה אחת. בפירמידה מרובעת, אם חותכים צלע מקבילה לבסיס בדופן משולשת אחת, והצלע בדופן שמולה נמוכה יותר, כלומר אם חותכים במישור נטוי - הצלע ה"גבוהה" יותר תהיה קצרה יותר מהנמוכה, ולכן נקבל טרפז. ראו תצלום נלווה )מבט על ציור כזה מלמעלה(. עם התלמידים כדאי לצייר על הגוף ואז רואים יפה את הצורה החדשה שמתקבלת גם ללא חיתוך )ציור א(. א ב אם חותכים לא מצלע אלא מהפינה או מהקודקוד של הצורה שתתקבל בחיתוך, נקבל דלתון. ראו תמונה להדגמה )ציור ב'(. כשנחתוך פירמידה מחומשת, נקבל מחומש דומה למחומש של הבסיס בחיתוך, מקביל לבסיס ולמחומש אחר בחיתוך במישור נטוי. אפשר להיעזר בהדגמה בספר בעמוד 7. חלק ב' של היחידה: התחלת עיסוק בגופים משוכללים. המשכו של נושא זה גם ביחידה. גם נושא זה של גופים משוכללים נחשב כ"פעילות נוספת" בתוכנית הלימודים של משרד החינוך, כלומר לא כל התלמידים חייבים ללמוד אותו. החלק המאתגר יותר להבנה הוא ההסבר, מדוע יש רק חמישה גופים משוכללים בעולם, שיופיע ביחידה הבאה. עם זאת, הפעילויות וההסברים בספר פשוטים, ונראה לנו שאם נותר בידי המורה זמן ללימוד, כדאי לבצע את הפעילויות עם כל התלמידים. בנייה של הגופים המשוכללים )מערכת העזרים(: בנייה של מהגופים המשוכללים היא אתגרית במקצת מבחינה מוטורית )בונים מפריסות של גופים מורכבים, ולפעמים קשה במיוחד בסוף הבנייה לסגור את כל החלקים(. כדאי שהתלמידים 8

182 יעבדו בזוגות או בשלשות כדי לבנות גופים אלו. אפשר גם שכל אחד מהתלמידים בקבוצה יבנה גוף אחר. אנחנו מקציבים בזמן השיעור ביחידה זו וביחידה זמן לבנייה של הגופים, ואיננו ממליצים כאן לבנות את הגופים בבית עקב מורכבות הבנייה של אחדים מהם. יהיו תלמידים שיזדקקו לעזרה מחברים או מהמורה. עם זאת, מובן שכל מורה יפעיל שיקול דעת אם הבנייה של הגופים מתארכת מעבר לשני השיעורים המוקצבים להם כאן בספר, אפשר אולי לסיים חלק מהבנייה בבית. ביחידה זו התלמידים גם יכירו שוב את הפריסות ויבנו גופים משוכללים: קובייה, פירמידה משולשת )הארבעון( )עם הצבעים וורוד וסגול(, ואת הגוף המשוכלל מספר 0 בעל 8 משולשים )תמניון(. ביחידה הבאה הם יבנו גם את שני הגופים המשוכללים הנוספים )גוף ו- (: העשרימון )ממשולשים( והתריסרון )ממחומשים(. ביחידה הבאה התלמידים יתוודעו לכך שקיימים רק גופים משוכללים ואיך אפשר להסביר זאת. ביחידה זו, כהכנה לעיסוק בגופים המשוכללים, נחזור על מצולעים משוכללים. במצולע משוכלל כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות. בגוף משוכלל כל הפאות הן מצולעים משוכללים חופפים ומסביב לכל קודקוד יש מספר קבוע של פאות. 8 לדוגמה: קובייה. כל הפאות הן ריבועים חופפים ומסביב לכל קודקוד יש פאות. כהכנה ללימוד על גופים משוכללים, נחזור על מצולעים משוכללים. בפעילויות ו- חוזרים על סוגים של מצולעים משוכללים ועל ריצוף שטח בעזרת מצולעים אלו. רצוי לקיים דיון ולחזור על המסקנות שנלמדו בשנים קודמות. מאילו מצולעים משוכללים ניתן לבנות ריצוף )מצורה אחת בלבד שמופיעה מספר פעמים(. חוזרים על העיקרון, שכדי ליצור ריצוף במישור סביב נקודה, צריך שסכום הזוויות של המצולעים סביב נקודה יהיה 60 מעלות. באילו מצולעים זה קורה? משולשים: במשולש שווה צלעות גודל הזווית הוא 60 מעלות )80 לחלק ל- (. ניתן לסדר 6 משולשים שווי צלעות סביב קודקוד, כך שייצרו ריצוף. סכום הזוויות יהיה 60 מעלות 6( פעמים.)60 בריבועים אפשר לסדר ריבועים כדי ליצור ריצוף ) פעמים 90 זה 60 מעלות(. במחומש משוכלל הזווית היא 08 מעלות. איננו יכולים לסדר מחומשים כך שיכסו לגמרי את השטח סביב הנקודה וייתנו 60 מעלות, כי סכום זוויות של 08 הוא מעלות. מחומשים כבר ייתנו סכום זוויות גדול מ- 60 מעלות. ניתן לרצף גם עם משושים משוכללים שגודל הזווית בהם הוא 0 מעלות ) פעמים 0 שווה 60(. החזרה על ריצוף במישור תעזור להזכיר את הזוויות שיש במצולעים המשוכללים, ונשתמש בה בהמשך ביחידה הבאה כדי להבין מדוע יכולים להיות רק גופים משוכללים ולא יותר. בהמשך היחידה, נברר עם התלמידים מה הוא גוף משוכלל )כדאי להיעזר בסיכום במסגרת בעמוד.)8 בפעילויות 6- התלמידים יתבוננו בפריסות של גופים משוכללים ויבנו אותם. התלמידים כבר בנו קודם חלק מהגופים. הגופים המשוכללים שעוסקים בהם ביחידה זו הם הפירמידה

183 המשולשת מספר, שהתלמידים כבר בנו, שנקראת גם ארבעון, מכיוון שהיא בנויה מ- משולשים שווי צלעות. הגוף המשוכלל השני הוא קובייה. בונים כאן את הקובייה מהפריסה שלה )משלושה צבעים(. הגוף השלישי המשוכלל שיבנו ביחידה זו הוא גוף מספר 0 התמניון, המורכב מ- 8 משולשים שווי צלעות. התלמידים ילמדו את שמות הגופים שבנו היום כפי שמוצג בספר. בפעילות 7: לכל גוף שהתלמידים בנו היום, התלמידים יתאימו את הפריסה שמתאימה לו. תשובות: לקובייה מתאימה פריסה ב'. לפירמידה המשולשת )הארבעון( מתאימות פריסות א', ו-ד'. לתמניון שמשמאל, שיש לו 8 משולשים, מתאימה פריסה ג'. יחידה - גופים משוכללים ביחידה זו עוסקים הילדים באיסוף נתונים על חמשת הגופים המשוכללים הקיימים. גופים אלו נקראים גם גופים אפלטוניים. כדאי לעבור עם התלמידים על המידע במסגרת שבעמוד 6 בספר התלמיד. התלמידים בונים ביחידה זו את שני הגופים המשוכללים הנותרים )גוף וגוף (. הם ילמדו מדוע ניתן לבנות רק גופים משוכללים ולא יותר )קיימים רק גופים משוכללים(. בתחילת היחידה כדאי להזכיר בדיון מה זה גוף משוכלל ומה למדו התלמידים מהגופים המשוכללים ומהפריסות שלהם, שאיתם עסקו ביחידה הקודמת. רצוי למורה שיקרא לפני השיעור את ההסברים ביחידה בספר התלמיד, מדוע יש רק גופים משוכללים. ניתן שם הסבר צעד-צעד תוך חישובים בדרך. עיקרון ההסבר הוא כזה: כדי לקבל ריצוף סביב נקודה )שטוח(, צריך שסכום הזוויות של המצולעים סביב הנקודה יהיה 60 מעלות. כדי לבנות גוף צריך שסכום הזוויות של המצולעים בכל קודקוד יהיה קטן מ- 60 מעלות. תכונה זו נדרשת כדי ליצור פינה מרחבית ו"לסגור" את הפינה )ראו הסבר בעמוד 6 בספר התלמיד(. התלמידים בודקים את סכום הזוויות בקודקוד ממספר משולשים שווי צלעות, מרובעים, מחומשים, משושים. רצוי למורה לעקוב אחרי ההסברים והפעילויות בעמודים 6 עד 66 בספר התלמיד. מכמה משולשים שווי צלעות בקודקוד אפשר לבנות גוף משוכלל? התלמידים רואים שאפשר מ- משולשים בקודקוד לבנות גוף משוכלל )סכום זוויות בנות 60 מעלות הוא 80 מעלות. זהו סכום שקטן מ- 60 מעלות ולכן אפשר לסגור אותו לגוף(. זהו הארבעון )פירמידה משולשת, שבה יש משולשים בגוף ו- משולשים שווי צלעות בכל קודקוד(. חשוב להפנות את תשומת לב התלמידים להסברים שיש בעמודים 6 ו- 6 בספר התלמיד, שמהם למדים אילו גופים משוכללים ניתן לבנות. בפעילויות ו- : כדאי לבקש מהתלמידים לעבוד בזוגות או בשלשות כדי לבנות את הגופים. יהיו תלמידים שיזדקקו גם ביחידה זו לעזרה בבניית הגופים. פעילות : הערה: אם בבית הספר קיימת מערכת מצולעים משוכללים שניתן להרכיב אותם לגופים אפשר להסתייע בה. 8

184 הגוף ארבעון צורת הפיאות משולש מספר הפאות מספר הקודקודים מספר המקצועות 6 סכום הזוויות מסביב לקודקוד קובייה ריבוע תמניון משולש 0 0 תריסריון מחומש עשרימון משולש פעילות : תשובות להתאמת פריסות לגופים: א - קובייה, ב - עשרימון )גוף שני מימין(, ג תמניון - מתאים לגוף הירוק משמאל שיש בו 8 משולשים משוכללים, ד תריסריון - מתאים לגוף המשוכלל המורכב ממחומשים )שני משמאל(, ה ארבעון הגוף הימני. פעילות : חמשת הגופים המשוכללים שניתן לבנות מוצגים בטבלה בעמוד הבא. אילו מצולעים יש להם בכל קודקוד? אפשר לבנות רק גופים משוכללים. בגופים אלו מספר המצולעים הנפגשים בכל קודקוד כמספר המצולעים שמצוירים בטבלה. כדי שנוכל ליצור גוף )ולא רק משטח(, עלינו להשתמש במצולעים משוכללים כאלה, שכאשר שלושה מהם או יותר "נפגשים" בקודקוד אחד, סכום הזוויות מסביב לקודקוד יהיה פחות מ- 60, 0 משום ש יוצרות משטח )כמו רצפה ממרצפות ריבועיות(. כדאי לעבור עם התלמידים על ההדגמות מדוע יש רק גופים משוכללים גם מהטבלאות שיבנו ומההדגמה בספר בעמודים אילו גופים משוכללים ניתן לבנות ממשולשים? כל זווית במשולש שווה צלעות היא בת לכן, משולשים מסביב לקודקוד ( 0 80( או משולשים מסביב לקודקוד ( 0 0( או משולשים מסביב לקודקוד ( 0 00( מתאימים לתנאי זה )פחות מ- 60(. 0 שם הגוף המצולעים מהם מורכב הגוף מספר המצולעים הנפגשים בקודקוד סכום הזוויות בכל קודקוד )במעלות(; תרגיל שמראה את הסכום ציור המצולעים שבכל קודקוד סכום הזוויות קטן/ גדול/ שווה ל- 60 מעלות 8 אילו גופים משוכללים ניתן לבנות מריבועים? כל זווית בריבוע היא 90 0 ולכן ניתן להפגיש ריבועים מסביב לקודקוד ולא ניתן להפגיש ארבעה ריבועים ( 0 60(. רק הקובייה היא גוף משוכלל מריבועים. אילו גופים משוכללים ניתן לבנות ממחומשים? כל זווית במחומש משוכלל היא בת לכן ניתן להפגיש מחומשים מסביב לקודקוד )סכום זוויות של 08 הוא מעלות(. לכן יש רק גוף אחד משוכלל ממחומשים.

185 גופים משוכללים: ארבעון משולשים קטן מ- 60 מעלות x 60 = 80 תמניון משולשים קטן מ- 60 מעלות x 60 = 0 עשרימון משולשים קטן מ- 60 מעלות x 60 = 00 קובייה ריבועים קטן מ- 60 מעלות x 90 = 70 תריסרון מחומשים קטן מ- 60 מעלות x 08 = האם ניתן לבנות גופים משוכללים ממצולעים בעלי יותר מ- צלעות? כל זווית במשושה משוכלל היא בת 0, 0 ולכן לא ניתן להפגיש משושים מסביב לקודקוד. ככל שנוסיף צלעות למצולע תגדל הזווית )יותר מ- 0(, 0 ופירושו של דבר שניתן ליצור גוף משוכלל רק ממשולשים שווי צלעות, מריבועים וממחומשים משוכללים. מהנאמר כאן מגיעים למסקנה שיש רק גופים משוכללים שניתן לבנות בכלל. 8

186 86 פרק יחס 9 יחידות 6 עד יחידה 6 נושא היחס קשור קשר הדוק לעולם השברים הפשוטים, האחוזים, קנה המידה ועוד. יש לו שימושים רבים בחיי יום-יום. היחס עוסק בקשר שבין כמויות. לפתיחת הנושא רצוי שנשוחח על מצבים מוכרים מחיי היום-יום שיש בהם קשר בין שני גדלים, כגון: בכל שבוע 7 ימים, לכל משולש קודקודים, בכל יממה שעות, וכן הלאה... חשוב מאוד שהילדים ירגישו את הקשר בין הדברים ולא יהיו בתחושה שמדובר בנושא חדש. למעשה, רק דרך הכתיבה היא חדשה. אפשר להיעזר בהדגמה שבתחילת יחידה 6 ולדון על כך עם התלמידים: כשאנחנו משווים בין שני מספרים, התלמידים מכירים השוואה בעזרת תרגיל חיסור )בכמה יש יותר(. היחס מתייחס להשוואה בעזרת חילוק. רקע היסטורי למורים: השימוש ביחס קדם להיכרות עם השברים. היוונים השתמשו ביחס כדי להתמודד עם גדלים מתמטיים ובמיוחד עם גדלים גיאומטריים. רצוי להראות לתלמידים את ההדגמה עם הקוביות בתחילת יחידה 6: מצוירות קוביות צהובות ו- קוביות אדומות. היחס בין מספר הקוביות הצהובות למספר הקוביות האדומות הוא. : היחס בין מספר הקוביות האדומות למספר הקוביות הצהובות הוא:. : אפשר גם לדבר על היחס בין מספר הקוביות הצהובות לכל הקוביות: : בפעילויות -: התלמידים יכתבו יחס במספרים לציורים, יציירו ציור מתאים ליחס במספרים, ויכתבו יחס במספרים לתיאור במילים. פעילות : תשובות: א. מה מתאר יחס של 0 ל- 0 בציור? היחס בין מספר המשבצות הלבנות למספר משבצות הסגולות. ב. יחס של 0 ל- 0 : היחס בין מספר המשבצות הסגולות למספר כל המשבצות. ג. יחס של 0 ל- 0 : היחס בין מספר המשבצות הסגולות למספר המשבצות הלבנות. פעילות 6: זו פעילות הפוכה ל-. התלמידים רושמים במילים ובמספרים את היחסים שבציור. כגון: א. היחס בין מספר המשבצות בתכלת למספר המשבצות בכתום? 8 : פעילות 7: א. 6 נכדים ו- נכדות. ב. היחס בין מספר נכדים למספר נכדות הוא: 6 : ג. היחס בין מספר הנכדות לכלל הנכדים: : 9 בשלב זה עדיין לא נדבר על היחס המצומצם. פעילות 8: א. נתון שהצב הולך מטר בדקה, כלומר בשתי דקות ילך מטרים ובשלוש דקות ילך 6 מטרים. מהירות הצב קבועה. ב. בחצי דקה יעבור מטר אחד. פעילות 9: תשובות: א. כל מספר למטה הוא פי 7 מהמספר שמעליו. ב. המספר למטה הוא פי המספר שמעליו.

187 פעילות - 0 שיעורי בית. א. היחס בין מספר המשבצות הכחולות למספר המשבצות האדומות הוא: : ב. היחס בין מספר המשבצות הכחולות למספר המשבצות בכולל הוא: : ג. היחס בין מספר המשבצות האדומות למספר המשבצות הכולל הוא: : יחידה 7 צמצום והרחבה בנושא היחס המשך נושא היחס עם הדגשה על הקשר לצמצום ולהרחבת שברים. הילדים יעבדו על פעילות ולאחר מכן יתקיים דיון. אם יש ברשות המורה חפצים למנייה )פקקים( או ריבועים או פיסות נייר צבעוניות, ניתן להשתמש בהם כאמצעי עזר נוח למי שזקוק לו. דיון כיתתי: לאחר שהתלמידים יפתרו את השאלות בפעילות כדאי לקיים דיון כיתתי שבו תלמידים יציגו איך פתרו. לפי דיווח התלמידים על הפתרונות שלהם אפשר להחליט אם יש עוד משהו שניתן להוסיף מתוך ההדגמה בספר. אפשר להיעזר בהדגמה של הדיון בעמודים אם רעיונות דומים באים מהתלמידים שמדווחים, אין צורך להוסיף עליהם את הפתרונות של ה"ילדים" בספר. בעזרת הדוגמאות של הפרחים בשאלות אפשר לחזור על מושג היחס ולהדגים דרך רישום. בעקבות שאלה א' של סידור הפרחים, יש הזדמנות להראות יחס לא מצומצם. היחס בין מספר כל הפרחים הצהובים לבין כל הפרחים האדומים בכל האגרטלים הוא - : התלמידים יכולים למצוא זאת בעזרת ציור או רשימה או בדרכים האחרות שהתלמידים יציגו או שמוצגים בספר. אפשר כאן להדגים את הרעיון של יחס מצומצם. בכל אגרטל היחס בין מספר הפרחים הצהובים למספר הפרחים האדומים הוא. : אפשר לראות שגם ה- הפרחים הצהובים ו- הפרחים האדומים מקיימים יחס של. : אפשר גם להראות את הצמצום הפורמאלי יותר ביחס כמו בשברים. ניתן גם לרשום את היחס כשבר כפי שמודגם בתחתית עמוד 7. ביחידה זו יש דיון כיתתי נוסף בעקבות פתרון פעילות. אם לא מספיקים לנהל את הדיון, רצוי לעשותו בתחילת השיעור הבא )של יחידה 8(. חשוב להראות את ההבדל בין היחס שבין כמות כל הקוביות הצהובות לכמות כל הקוביות האדומות, : 8 ואת היחס בכל קופסה בין הקוביות הצהובות לאדומות : )היחס המצומצם(. פעילות : תשובות: א. היחס בין מספר הפרחים הכתומים למספר הפרחים הלבנים הוא: : ב. ענת סידרה בסך הכל 80 פרחים. = x ג. ענת סידרה 0 פרחים לבנים ו- 0 פרחים כתומים. = 80 0 x 0 + x ד. היחס בין מספר כל הפרחים הכתומים למספר כל הפרחים הלבנים הוא: 0 : 0 פעילות : תשובות: א. ארז צריך פרחים צהובים משום שאת 0 הפרחים האדומים הוא שם ב- אגרטלים, פרחים אדומים בכל אגרטל ולכן הוא צריך לשים פרחים צהובים בכל אגרטל מ- אגרטלים. יחד פרחים צהובים. היחס בין הפרחים האדומים לצהובים הוא: : 87

188 ב. עידן רוצה לסדר פרחים באגרטל אחד. = 7 + לעידן יש פרחים בסך הכל לכן הוא צריך אגרטלים. = : עידן שם פרחים סגולים בכל אגרטל לכן ישים ב- אגרטלים פרחים סגולים. עידן שם 7 פרחים כתומים בכל אגרטל לכן ישים ב- אגרטלים פרחים. חשוב להזכיר לתלמידים לבדוק אם קבלו את המספר הכולל של הפרחים משני הצבעים + = ג. ערן יחלק פרחים כתומים בכל אגרטל = 6 : ערן יחלק פרחים צהובים בכל אגרטל = 6 : היחס בין הפרחים הכתומים לפרחים הצהובים הוא:. : בפעילות : תשובות: 8 הן צהובות. א. בארגז יש 0 קוביות. הן אדומות ו- 0 0 ב. היחס בין כמות כל הקוביות האדומות לכמות כל הקוביות הצהובות הוא: : 8 ג. בכל קופסה קטנה יהיו קוביות אדומות ו- קוביות צהובות 8 : 6 = : 6 = בסעיפים ד' ו-ה' כדאי להראות את ההבדל בכתיבה בין איזה חלק לבין מה היחס. ד. הן הקוביות הצהובות מכלל הקוביות שבקופסה הקטנה ו- הן הקוביות האדומות. ה. היחס הוא : 8 ו. כן, = 0 ז. היחס שווה. = : 8 : לדיון כיתתי: אחרי פעילות כדאי לקיים דיון כיתתי בו תלמידים יציגו איך פתרו. אפשר להיעזר בדיון בספר בעמוד 7. פעילות : תשובות יחס של : יחס של : פעילות 6: היחס בין מספר הארגזים למספר הבקבוקים הוא: : כלומר, ב- 8 ארגזים יהיו 0 בקבוקים. = 8 : :.א = : :.ב = : 6. : ג פעילות 7: 88

189 פעילות - 8 שיעורי בית. א. היחס הוא: : ב. ב- אגרטלים יהיו פרחים סגולים ו- 0 פרחים ורודים. ג. 9 פרחים סגולים באגרטל גדול זה פי ממספר הפרחים הסגולים באגרטל קטן. לכן גליה תצטרך לשים פרחים ורודים פי ממספר הפרחים הורודים באגרטל קטן. יחידה - 8 צמצום והרחבה בנושא היחס המשך ביחידה זו נמשיך ונתרגל צמצום והרחבה בנושא היחס. נעשה זאת בעזרת בעיות מילוליות מחיי היום יום. פעילות : א. תלמידים חזקים יוכלו לראות שיש לחלק את 6 הרקדנים לקבוצות של, בכל קבוצה כזו רקדן אחד ו- רקדניות. = 6 : קיבלנו קבוצות כלומר רקדנים ו- רקדניות. תלמידים מתקשים יוכלו להעזר בציור בפתרון השאלה. היחס המצומצם הוא: : ב. בחוג למחשבים 0 תלמידים. על כל בן יש בנות, כלומר, גם עכשו ניתן לחלק את התלמידים לקבוצות של = 0. 0 : קבלנו 0 קבוצות, כלומר, 0 תלמידים ו- 0 תלמידות ישתתפו בחוג למחשבים. היחס הוא: : פעילות : בטבלה חשוב להדגיש את משמעות היחס המצומצם. תשובות לשאלות בכוכבית מתחת לטבלה: כפיות תרכיז על כל כוס מים. : : הוא היחס המצומצם של היחס : פעילות : א. א. ב. ג. ד. ה. ו. ז. מספר השקלים שדנה חוסכת מספר השקלים שרונן חוסך היחס בין החיסכון של דנה לחיסכון של רונן 89 : 6 : 0 : 9 : : 0 9 : 8 : פעילות : א. באקווריום הגדול יש פי דגים יותר משיש באקווריום הקטן. ב. המטפל מכניס לאקווריום הגדול פי גרם אוכל יותר מכמות האוכל שהוא מכניס לאקווריום הקטן.

190 ג. כן. בשני האקווריומים מקבל כל דג אותה כמות של אוכל כי היחס בין כמות הדגים בשני האקווריומים שווה ליחס בין כמות האוכל שהוכנס לכל אקווריום )יש פי דגים באקווריום הגדול ויש גם פי אוכל באקווריום הגדול לעומת הקטן(. )אפשר גם לומר שהיחס בין כמות הדגים בכל אקווריום לכמות האוכל בכל אקווריום שווה בשני האקווריומים(. פעילות : היחס בין מספר התוכיים בכלוב הקטן למספר התוכיים בכלוב הגדול הוא:. : יש פי תוכיים בכלוב הגדול יותר משיש בכלוב הקטן. אם הכניסו לכלואב הקטן ק"ג תערובת לשבוע, יש להכניס לכלוב הגדול פי יותר כלומר: = 0 0 x ק"ג תערובת לכלוב הגדול. פעילות 6: )בדרך כלל בפרסום תוצאות כדורגל, משאירים את היחס בין השערים לא מצומצם. כאן בדקנו גם מה היחס המצומצם( א. יחס השערים הוא: : 0 או 7 : כיחס מצומצם. על כל 7 שערים שהקבוצה הבקיעה היא ספגה שערים. ב. יחס השערים הוא: : 0 או : כיחס מצומצם. על כל שערים שהקבוצה הבקיעה היא ספגה שערים. ג. "מוצלחת" הליגה היא קבוצת "אשלים", שתי הקבוצות ספגו את אותו המספר של שערים, אך קבוצת אשלים הבקיעה יותר שערים. פעילות 7: א. היחס בפעוטון "פשוש" הוא: : 8 וכיחס מצומצם: : 6 כלומר על כל עובדת 6 פעוטות. היחס בפעוטון "דרור" הוא: : 0 וכיחס מצומצם: : כלומר על כל עובדת פעוטות. ב. בפעוטון "דרור" יש יחס טוב יותר בין מספר המטפלות למספר הפעוטות. : פעילות 8: מהו היחס המצומצם בכל סעיף, שמראה את היחס הרשום למעלה? ג. היחס : : : : ב. היחס 6 : : : : א. היחס 0 : 0 : : 0 : 0 ו. היחס : : : : ה. היחס : : : : ד. היחס 0 : 6 : : 0 : 90

191 פעילות - 9 שיעורי בית א. במחיר חבילות גדולות אפשר לקנות חבילות קטנות. במחיר 0 חבילות גדולות, כמה חבילות קטנות אפשר לקנות? היחס בין מחיר חבילות גדולות למחיר חבילות קטנות הוא:. : יש פי 0 חבילות גדולות ולכן יש פי 0 חבילות קטנות. נרחיב פי 0 ונקבל: במחיר 0 חבילות גדולות אפשר לקנות 0 חבילות קטנות. אנו מקבלים אותו יחס. ב. היחס בין כמות המחברות למחיר שלהן הוא:. : יש פי במחיר ולכן יש פי בכמות המחברות. נרחיב פי ונקבל: במחיר 60 ש"ח אפשר לקנות 0 מחברות. אנו מקבלים אותו יחס. ג. היחס בין כוסות המיץ למספר התפוזים הוא:. : 6 או ביחס מצומצם : כלומר לכל כוס מיץ צריך תפוזים. ל- כוסות מיץ צריך 0 תפוזים. ד. היחס בין כוסות המיץ למספר הגזרים הוא: : 8 או ביחס מצומצם : כלומר לכל כוס מיץ גזר צריך גזרים. מ- גזרים אפשר להכין 8 כוסות מיץ. יחידה 9 מציאת יחס בעזרת "טבלה יחס" התלמידים לומדים לכתוב את הנתונים ב"טבלת יחס", שעוזרת למקד מה היחסים בין הנתונים, ומאפשרת פעמים רבות לפתור במהירות בעל פה בעזרת התבוננות בטבלה. אפשר להיעזר בהדגמה שבתחילת יחידה 9 בדיון עם כל הכיתה. )עמודים ( לדוגמה: )עמוד 80 למעלה( בבישול אורז, היחס בין כוסות האורז לכוסות המים הוא:. : לבישול כוס אורז אחת, כמה כוסות מים צריך להוסיף? לבישול. כוסות אורז, כמה כוסות מים צריך להוסיף? כוסות אורז כוסות מים יש פי כוסות מים מכוסות אורז צריך פי כוסות מים מכוסות אורז. x צריך להוסיף מים פי יותר מאורז. לכן צריך כוסות מים לבישול. כוסות אורז. אנו מקבלים אותו יחס. דוגמה נוספת: בכל שבוע יש 7 ימים. כמה ימים ב- שבועות? מספר שבועות מספר ימים x 7 יש פי שבועות ולכן יש פי ימים. נרחיב פי ונקבל: שבועות ל- ימים, אנו מקבלים אותו יחס. 9

192 הצעה לבחירה: ברעיון שלפנינו לא עסקנו בספר עם התלמידים. לפי בחירת המורה, אפשר גם להראות, שאם כופלים את המספרים שיושבים ב"אלכסונים" של טבלת יחס, המכפלות שוות זו לזו. אפשר בדרך זו למצוא את המספר החסר. בשלב זה, מציאת המספר תיעשה בעזרת ניחוש איזה מספר חסר. בהמשך, כשהתלמידים ידעו לפתור משוואות, הם יוכלו לפתור בקלות את המשוואה בעזרת פעולות אלגבריות רגילות. לדוגמה: 800 =00 x x = 00 x 8 ילדים מהווים % פעילות : א. דרך א' ילדים אחוזים 00? שולחנות כיסאות יש פי כיסאות משולחנות צריך פי כיסאות מ- שולחנות שולחן אחד ל- כיסאות כמו שולחנות ל- 8 כיסאות.. ב. x בקבוקי קולה חבילות ופלים x ג. כוסות אורז כוסות מים יש פי כוסות מים מכוסות אורז צריך פי כוסות מים מ-. כוסות אורז. ד. x 9 בריסטולים 8 מחיר בשקלים x 9 9

193 ה. ימי עבודה שכר בשקלים פי 7, 7 ש"ח לכל יום עבודה. 00 : 0 = 7,00 צריך פי 7,0 0 0 x 7 = 0 בשאלה יש הכוונה למציאת השכר ליום עבודה אחד. השכר על כל יום עבודה 7 ש"ח, אז על 0 יום עבודה,0 ש"ח )יש כאן השוואה בתוך שורה. בפעמים אחרות נוח להסתכל בין שורות(. 7 0 פעילות : צבעים 6 0 ש"ח 6 9 כמה יעלה טוש אחד? : 6 6 : 9 : 0 6 = < 6 = 9 0 >. בחבילה השנייה מחיר עיפרון 8 פעילות : בחבילה הראשונה - מחיר עיפרון בש"ח: = 0 באגורות: > 80 7 < 6 בש"ח: = 8 פעילות : פי. א פי 6 ב פי. ג

194 א. פעילות : פעילות זו אתגרית משום שבחלק מהסעיפים יש צורך להשוות מידת מתיקות בין ימים שונים. ולכן יש צורך להשוות כל אחד מהימים לגורם מתווך שהוא: כוס אחת של חלב. בנוסף היחס המצומצם הוא לא במספרים שלמים אלה בשברים. לדוגמה היחס המצומצם בין כוסות החלב לכפיות השוקו ביום הראשון הוא: יום כוסות חלב : מספר כפיות שוקו 8 א' לכל כוסות חלב 8 כפיות שוקו. 8 : = כפיות שוקו א' לכל כוס אחת חלב 7 ב' לכל כוסות חלב 7 כפיות שוקו. 7 : = כפיות שוקו ב' לכל כוס אחת חלב ביום ב' השוקו מתוק יותר משום שלכל כוס חלב אבא הוסיף כפיות שוקו. ביום א' אבא הוסיף רק כפיות שוקו. ב. ביום ב' השוקו שאבא הכין מתוק יותר. ג. ביום ד' השוקו שאבא הכין מתוק יותר. ד. x כוסות חלב כפיות שוקו x ה. אבא צריך להוסיף 6 כפיות שוקו כדי שהשוקו יהיה מתוק כמו ביום ג'. פעילות 6: א. כאשר יש שתי כמויות והאחת גדולה פי מהשנייה אפשר לחלק את הכמות כולה ל- חלקים. = 8. : הבנות ;8 הבנים ; לכל חלק אחד של בנות יש שלושה חלקים של בנים וקבוצה כזו כוללת חלקים. ב- תלמידים יש 8 קבוצות שבכל קבוצה חלק אחד בנות ו- חלקים בנים. = 8 8 x מספר הבנות. = 8 x מספר הבנים.

195 פעילות 7: א. על כל שולחן סידר רן 7 נרות. = 7 + ב. רן סידר נרות כחולים ו- 0 נרות צהובים. = 0 = x = x 7 : ג. היחס הוא: : ד. היחס הוא: : 0 פעילות 8 שיעורי בית. תרגול טבלאות יחס. א. ב. ג ד. ה. ו יחידה 0 המשך נושא היחס במגוון רחב של מצבים מה"חיים": צריכת דלק של מכוניות שונות; ערבוב צבעים; פעילות : שיקול חשוב כשקונים מכונית הוא צריכת הדלק שלה: אם המכונית נוסעת יותר קילומטרים על כל ליטר של בנזין, ההוצאות על קניית דלק נמוכות יותר כי על אותה כמות דלק נוסעים מרחק גדול יותר. לדוגמה: מכונית נוסעת בממוצע על כל ליטר של בנזין ק"מ. כמובן, שזה לא מדויק, נסיעה איטית בתוך העיר צורכת כמות דלק שונה מנסיעה מהירה מחוץ לעיר, אם נוסעים הרבה נוסעים ברכב הוא צורך יותר מאשר אם נוסעים בו מעט נוסעים. אם נוסעים במהירות שווה פחות או יותר לאורך הנסיעה הרכב יצרוך פחות דלק מאשר נסע במהירויות שונות. נתייחס כאן לצריכה ממוצעת של דלק במכונית.. הוצאות הבנזין נמוכות יותר במכונית א'. על כל ליטר בנזין ק"מ. 9

196 ב. מכונית א' ק"מ ליטר בנזין x x 0 מכונית ב' ק"מ ליטר בנזין x 0 0 x ג. במכונית א' תעלה הנסיעה 6 ש"ח: = x במכונית ב' תעלה הנסיעה 7.0 ש"ח: = x ד. : דרך בק"מ זמן נסיעה בשעות = 0. חצי שעה 60 0 : פעילות : א. רצוי לרשום כיחס מצומצם: א. = = : 0 : ב. = = : 0 : ג. = = : 8 6 : ד. = : הירוק שהתקבל מבהיר לכהה: א, ד, ג, ב ב-ג. מתאים לטבלאות יחס: שקיות שקלים שקיות צבע זוהר שקלים 0 00??

197 ד. כמות החולצות כפיות צבע צהוב כפיות צבע כחול היחס בין הצהוב והכחול יחס מצומצם : : : : 6 6 : 8 : 8 : 0 : 0 : 0 : : 0 : : 00 : פעילויות : תשובות כמויות מקוריות של סלט הפירות פי מהכמות המקורית 97 תפוזים 9 אגסים תפוז אגסים 0. שקית צימוקים בננות. שקיות צימוקים 6 בננות פעילות : לפני פעילות זו כדאי שהמורה תחזור על המושגים: פי יותר ופי פחות. א. המתכון המקורי מתאים ל- אנשים. עירית צריכה להכין עוגות ל- 0 אנשים כלומר פי יותר מהמתכון המקורי. לכן עליה להכפיל כל אחד מהמצרכים פי. ב. במתכון המקורי עירית משתמשת ב- כוסות קמח ואילו בבעיה זו יש לה רק כוסות קמח. פי פחות קמח מהמתכון המקורי. יש לחלק כל אחת מהכמויות ב-. פעילות : פעילות זו מזמנת השוואת יחסים. בספר לתלמיד ניתנת דוגמה כיצד לבדוק האם היחס שווה בין הנתונים. מחשבים ל- 8 תלמידים שווה ל- מחשבים ל- 8 תלמידים. היחס שווה. יש פי 6 מחשבים ולכן צריך פי 6 תלמידים. נרחיב פי 6 ונקבל: 8 מחשבים ל- תלמידים, היחס שווה. יש פי מחשבים ולכן צריך פי תלמידים. נרחיב פי ונקבל: מחשבים ל- 00 תלמידים, היחס לא שווה. יש פי 7 מחשבים ולכן צריך פי 7 תלמידים. נרחיב פי 7 ונקבל: מחשבים ל- תלמידים, היחס לא שווה.

198 פעילות 6: משלימים את הטבלאות כדי שהיחס יישאר שווה. יש פי. במחיר ולכן צריך פי. בקופסאות. נרחיב פי. ונקבל: ש"ח ל- 6 קופסאות, היחס שווה. יש פי 6 קופסאות ולכן צריך פי 6 במחיר. נרחיב פי 6 ונקבל: 8 קופסאות ל- 9 ש"ח 6(.)6. x יש פי. במחיר ולכן צריך פי. בקופסאות. נרחיב פי. ונקבל: ש"ח ל- 6 קופסאות,.(.) x יש פי במחיר ולכן צריך פי בקופסאות. נצמצם פי ונקבל: 0 ש"ח ל- 6 קופסאות, (.)8 : פעילות 7: שאלות מתאימות לשימוש בטבלה. כדאי לעתים להתייחס לקשר בין המספרים בשורות, ולעתים בטורים. א ב ג ד ה ו 7 0 0,000 0, , פעילות 8: עיסוק בטבלאות שבהן מתאים לעתים להתייחס לקשר בין המספרים בשורות, ולעתים - בטורים. ב. בשורות: 70 גדול פי. מ- 00 ו- 0 גדול פי. מ- 00 היחס שווה ג. בטורים: קטן פי מ- 0 ו- קטן פי מ- היחס לא שווה ד. בשורות: גדול פי מ- 7 ו- 0 גדול פי מ- 0 היחס שווה ה. בשורות: גדול פי. מ- 6 ו- גדול פי. מ- 0 היחס שווה יחידה חלוקה ביחס נתון )הפרדת כמויות לחלקים לא שווים( פתיחת היחידה דיון כיתתי ופתירת שאלות: ביחידה זו נמשיך לעסוק בנושא היחס. השאלות כאן מנוסחות בכמה דרכים עיקריות: שאלה כמו זו המוצגת למעלה בהדגמה, בתחילת יחידה : התלמידים קטפו 0 תפוחים. על כל תפוחים ירוקים הם קטפו תפוחים אדומים. כמה תפוחים ירוקים ואדומים קטפו התלמידים בסך הכול? 98 כפי שהשאלה מנוסחת אפשר לפתור אותה על ידי ציור, או רשימה או תרגילים ואין הכרח להשתמש ברישום של יחס. התלמידים בכיתה יפתרו שאלה זו ויתקיים דיון כיתתי שבו מספר תלמידים יציגו איך הם פתרו את השאלה. אפשר לבצע חלק זה כשהספר סגור. אחרי שהתלמידים ידווחו על דרכי פתרונותיהם, רצוי להראות להם את הקישור לכתיבה של יחס. בשאלה זו היחס בין מספר התפוחים הירוקים למספר התפוחים האדומים הוא : )על כל תפוחים ירוקים יש תפוחים אדומים(.

199 חשוב להראות לתלמידים שאם אותה השאלה המנוסחת כך: "על כל תפוחים ירוקים יש תפוחים אדומים", היתה מנוסחת כך: "היחס של מספר התפוחים הירוקים ומספר התפוחים האדומים הוא ", : היה אפשר גם את שאלה זו לפתור באותו האופן. אפשר לחשוב על הקבוצה הקטנה ביותר שבה מתקיים היחס הזה. זו קבוצה של תפוחים שבה יש תפוחים ירוקים ו- תפוחים אדומים. התלמידים יתוודעו לשני ניסוחי שאלה זו תוך התנסות בפתרון מגוון שאלות. שאלות מסוג זה אינן קלות. אם התלמידים מציירים או רושמים, הדבר מסייע להם לפתור את השאלה הקשה. אם התלמידים רק חושבים ומגיבים לניסוח השאלה, פעמים רבות הם טועים. דוגמה לדרך נוספת של ניסוח שאלות מסוג זה, שגם היא אינה קלה להבנה, אפשר לראות בשאלה הבאה: בקבוצה של ילדים, גדול מספר הבנות פי ממספר הבנים. כמה בנים וכמה בנות בקבוצה? כדי לפתור רצוי למצוא את מספר הקבוצות שבהן בכל קבוצה יש את המספר הקטן ביותר שמאפשר את היחס המוצע בשאלה. בשאלה הזו, עלינו לחלק את ב- כדי למצוא את מספר הקבוצות שבהן מתקיים שיש פי בנות מבנים. היחס הוא. : כלומר, הקבוצה הקטנה ביותר שיחס זה מתקיים בה היא ) בנים ובת אחת(. יש קבוצות כאלה ולכן: = 8 x בנות, = x בנים. בגלל ניסוח השאלה הנטייה של תלמידים רבים היא לחלק ב- ולא ב-. אם מספר הבנות גדול פי עלינו לחלק ב-, וכן הלאה... בפתיחת היחידה נשוחח על שיעורי הבית. לאחר מכן נעסוק בשאלות המנוסחות בדרכים שונות. פעילות : א. היחס בין כמות התרגילים שפתרה דפנה לכמות התרגילים שפתר אוהד הוא: : דפנה פתרה תרגילים ואוהד תרגילים. = 8 ) ( + : 6 x 8 = x 8 = ב. היחס בין מספר הבנות למספר הבנים בחוג: : בחוג 6 בנים ו- 8 בנות. = 8 6 = 6 x 6 = 6 x ) ( + : ג. היחס בין מספר הספרים באנגלית למספר הספרים בעברית הוא: : מספר הספרים בעברית,00. מספר הספרים באנגלית 800. ד. היחס בין העצים הזכריים לעצים הנקביים הוא: : מספר העצים הזכריים הוא 0 ומספר העצים הנקביים הוא 0. ה. דפים במחברת דקה דפים המחברת עבה x x 8 99

200 פעילות : כמו השאלות בפעילות ב-ד. התלמידים יכולים לעבוד בזוגות. בשאלות שבהן ניתן היחס, כמו למשל ב- ב', דרך החישוב נשענת על גודל הקבוצה הקטנה שבה מתקיים היחס המצומצם. לדוגמה, הקבוצה הקטנה ביותר שבה מתקיים היחס של : היא, ולכן מחלקים את 7 ל- ומקבלים "קבוצות", שבכל אחת מהן חולצות ו- מכנסיים. כלומר 0 חולצות ו- זוגות מכנסיים. פעילות : פעילות בחירה אתגרית. בדרך זו יפתרו הילדים גם את שאלות האתגר בפעילות. אלו שאלות לבחירה המכילות אתגר מיוחד, והן אינן מיועדות לכלל התלמידים. שאלה א. = 0 ) ( + : 0 = 0 0 x = 0 0 x לאחר הפסד של גולה/ות, המספר אמור להיות כפולה של 7 כי היחס בין הגולות הירוקות לאדומות הוא ל-. נחבר את ו- ליצור את הקבוצה הקטנה ביותר שהיחס מתקיים בה: )+(. המספר גם יהיה קטן מ- 0 )כי זה המספר שהיה לו בהתחלה(: האפשרויות הן: 7,,,8,,,9 שאלה ב. =,00 ( +) :,00,00 גרם אבטיח ו-,800 גרם קליפה. אפשר להפוך מק"ג לגרמים כפי שהדגמנו כאן, או לחלק. ק"ג ל-. שאלה ב' אינה קשה כל כך כמו שאלה א'. אפשר להציע ליותר תלמידים לפתור אותה. יחידה ביחידה זו עוסקים ב"קנייה" הכדאית מהצד הכספי. כלומר, משווים מחיר של פריט אחד בכל אחת מהאפשרויות. אפשר לעשות זאת בעזרת טבלה או באמצעות השוואת שברים, או בחישוב של "בערך" / סדר גודל. רצוי לתת לתלמידים להתנסות בשאלות המוצגות בהדגמה בתחילת היחידה ולדון בדרכים שבהן פתרו. הדגמה ראשונה היא בעמוד 9. חשוב לשוחח עם התלמידים על שיקולים נוספים מחיי היום-יום הקשורים להחלטה על קנייה כדאית )לא רק שיקולים כספיים(. אפשר לשלב שיקולי דעת שמערבים אומדן. חשוב לשוחח עם התלמידים שאפשר להשוות מחירים רק אם משווים את אותה הכמות. כמו כן, רצוי לשוחח על שיקולים נוספים מחיי היום-יום, שלפיהם לא תמיד נבחר דווקא את האריזה הזולה ליחידת משקל )כגון אם יש מעט אנשים בבית ודברים עשויים להתקלקל, אם הצריכה המשפחתית אינה גדולה דיה )לדוגמה: שותים מעט שוקו(, ייתכן שעדיף לקנות שקית בודדת כדי שהשוקו לא יתקלקל עם הזמן. קניית כמות גדולה ממוצר שהטריות שלו עלולה לפגום בטעמו או אם אין מקום לאחסן וכן הלאה(. ניקח לדוגמה את השאלה שמודגמת בעמוד 9: אריזה של סוכריות על מקל עולה. ש"ח. אריזה של סוכריות זהות עולה 8 ש"ח. באיזו אריזה כל סוכרייה עולה פחות? 00 אפשר לעבור עם התלמידים על ההדגמה שבספר או לשאול אותם איך לפתור שאלה זו ולהתייחס לפתרונותיהם. בטבלה המוצגת בספר רואים בשורה העליונה שמחיר הסוכריות הוא פי. מכמות הסוכריות. סוכריות עולות. ש"ח. לכן, סוכריות גם כן יעלו פי. מכמות הסוכריות והן תעלנה 7. ש"ח.

201 אם המחיר יישאר באותו יחס עבור סוכריות בתפזורת, נשלם עבורן 7. ש"ח. סוכריות באריזה אחת עולות 8 ש"ח. כלומר, לא כדאי לקנות את הסוכריות באריזה. זול יותר לקנותן בבודדים במקרה הנבדק. כדאי לשוחח עם התלמידים שבדרך כלל אריזות גדולות זולות יותר מאותו מוצר. בהדגמה: אם נשמר אותו היחס המחיר בפועל ש"ח סוכריות פעילות : שאלות אלו אפשר לפתור בעזרת טבלת יחס או באמצעות השוואת שברים. אפשר להסתפק באומדן פעמים רבות ולראות אם הקנייה כדאית או לא גם בלי לחשב זאת במדויק. א. כמות פיתות 0 מחיר בש"ח 6 פי פיתות עולות פי שקלים. היחס נשמר. ב. אם נשמר אותו היחס המחיר בפועל ש"ח קרטון מיץ 9 6 כמה יעלו קרטוני מיץ אם נשמור על אותו יחס? 9 ש"ח. בפועל אריזה של עולה רק 6 ש"ח, כלומר, זול יותר, כדאי לקנות את האריזה הזולה. ג. מחיר כל גליל מעל שקל מחיר כל גליל מתחת לשקל המחיר בשורה זול יותר לגליל. מחיר כמות הגלילים ד. יחס משקל העוגיות. : כלומר משקל של קופסה גדולה הוא פי ממשקל הקופסה הקטנה. מחיר אריזה גדולה גדול יותר פי. אם המחיר של קופסה קטנה היה 0 ש"ח, פי במחיר, נקבל 60 ש"ח. אך מחיר אריזה קטנה נמוך יותר מ- 0 ש"ח ולכן עדיף לקנות אריזות קטנות של. ק"ג, ומחירן יהיה זול יותר מאריזה אחת של. ק"ג. אריזה קטנה זולה יותר ליחידת משקל.

202 0 ה. יחס משקל הקפה : )משקל אריזה גדולה של 00 גרם גדול פי ממשקל אריזה קטנה של 00 גרם(. יחס המחירים פחות מ- )מחיר 00 גרם נמוך מפעמיים מחיר של 00 גרם(. לכן אריזה גדולה יותר זולה יותר ליחידת משקל. ו. משקל השקדים בתפזורת ב- ק"ג הוא פי ממשקל השקדים בשקית של 00 גרם. אריזה גדולה יותר "זולה" יותר. מחיר חבילות קטנות הוא 8 ש"ח ) פעמים 6.60(. מחיר ק"ג בתפזורת הוא 68.90, כלומר זול יותר ליחידת משקל. ז. 8 שקיות שוקו באריזה עולות: 6.8 ש"ח, כלומר.06 ליחידה. שקית בודדת עולה.0 ש"ח. לכן באריזה יותר זול. בהמשך יכולות השאלות להיפתר בנקל גם ללא טבלת יחס או שברים. פעילות :. המכונית תיסע בשעתיים 80 ק"מ. = x. המכונית תיסע בשלוש שעות 70 ק"מ. = x. המכונית תיסע בשעה וחצי ק"מ. =. 90 x. המכונית תיסע בחצי שעה ק"מ. = x. המכונית תיסע ב- 0 דקות ( שליש שעה( 0 ק"מ. = 0 פעילות : א. מיה תרוץ 0 מטר בדקה 60( שניות(. = 0 60 x ב. מיה תרוץ 70 מטר ב- דקות. = 70 0 x ג. מיה תרוץ 00 מטר ב- דקות. = 00 0 x ד. מיה תרוץ 0 מטר בחצי דקה )0 שניות(. = 0 0 x ה. מיה תרוץ 60 מטר ברבע דקה ) שניות(. = 60 x פעילות :. הברדלס יעבור ק"מ בדקה. = 60 0 :. הברדלס יעבור ק"מ בחצי דקה. = = x x 90 = 90 יחידה ביחידה זו עוסקים בשאלות תנועה ומגיעים לנוסחה: זמן x מהירות = אורך הדרך )כשהמהירות קבועה(. הנוסחה מתקבלת בעקבות התנסות בשאלות תנועה. ברוב השאלות אפשר לפתור בעזרה היגיון פשוט בלי שימוש בנוסחה. אין שום צורך בשלב זה בשינון הנוסחה או בהוספת הנוסחאות האחרות )זמן=... מהירות=...(, כל מה שנדרש כדי לפתור נלמד כבר קודם, עוד לפני שהגיעו לבעיות תנועה. אנחנו מדגימים את הרעיונות של "יחס ישר" ו"יחס הפוך" גם בשאלות על מהירות וגם בשאלות על הספק עבודה, שבאות בהמשך. אנחנו מזכירים מונחים אילו בספר. אין צורך שהתלמידים ישננו את המונחים. חשובה ההתנסות בשאלות משני הסוגים. בהדגמה ביחידה זו אפשר לראות דוגמה ליחס ישר במציאת מהירות: ככל שיש יותר זמן, עוברים דרך ארוכה יותר. או: ככל שהמהירות גדולה יותר גם הדרך ארוכה יותר. דוגמה ליחס הפוך בנושא מהירות: אם המהירות קטנה יותר, יידרש זמן רב יותר לעבור את אותה הדרך.

203 לאחר שאלות התנועה באות שאלות הספק / עבודה. בשאלות אלה מתקיים לעתים יחס ישר ולעתים יחס הפוך. לדוגמה: אם פועל חופר במשך שעה מטרים של תעלה, פירושו ששני פועלים שעובדים באותו הקצב יחפרו 8 מטרים תעלה בשעה; זה יחס ישר: עוד פועלים עוד עבודה; אבל, אם את אותם המטרים חופרים שני פועלים שעובדים באותו הקצב תידרש להם רק חצי שעה. זה יחס הפוך: יותר פועלים פחות זמן. כאשר רושמים נתונים של שאלה ביחס הפוך ב"טבלת יחס" לא נשמרת מערכת היחסים בין המספרים כמו זו שמתקיימת ביחס ישר. לדוגמה: יחס הפוך: כמה זמן תיערך חפירה של מ'? זמן בשעות פועל 0. יחס ישר: עבודה במשך שעה פועל אורך התעלה 8 לאורך כל היחידה יש שאלות מורכבות. ייתכן שכדאי לסייע במסגרת של קבוצה לחלק מהילדים. אפשר גם לוותר על חלק מהשאלות, לילדים מסוימים. רצוי להיעזר בהצעות לדיון כיתתי בעמודים פעילות : שאלות תנועה. פעילות זו מזמנת שאלות תנועה עם יחס ישר. ככל שנוסעים או רצים יותר זמן במהירות קבועה הדרך ארוכה יותר x x x = 80 א. המרחק בין תל אביב לחיפה 00 ק"מ. = 00 = 0 ב. חווה צועדת ק"מ. = x = 6 x ג. טלי צועדת. ק"מ. = ד. גילי רץ 6 ק"מ. = 6 8 x גילי ירוץ 0 ק"מ בשעתיים וחצי. =. 8 0 : נתון שגילי רץ בשעה 8 ק"מ. מצאנו שבשעתיים הוא רץ 6 ק"מ אז בעשרים ק"מ הוא ירוץ שעתיים )6 ק"מ( ועוד חצי שעה יעבור את הק"מ שנותרו בין 6 ל- 0. פעילות : 0 70 ק"מ 70 ק"מ 80 ק"מ 80 ק"מ ירושלים אילת 00 ק"מ לאחר שעה עברו המכוניות יחד 0 ק"מ )80 ועוד 70(. אחרי שעתיים שתי המכוניות תעבורנה ביחד עוד 0 ק"מ ויעברו ביחד דרך ששווה ל- 00 ק"מ, שהיא כל הדרך מירושלים לאילת. 0 x + 8 x = + = 9 פעילות : רוכב האופניים עבר מרחק של 9 ק"מ.

204 פעילות : א. הרכבת נסעה 0 דקות )בלי העצירות(.= 0 x 0 60 = 6 הרכבת נסעה שני שליש של שעה. = 0 ב. המרחק בין בית שמש לתל אביב הוא 60 ק"מ. = 60 = x 90 0 x פעילות : שאלה זו מזמנת שאלת מרחק עם יחס הפוך. הרכבת נסעה ביום זה 6 שעות. מהירות הרכבת היה חצי מהמהירות הרגילה )איטית מהרגיל( ולכן הזמן הנסיעה יהיה כפול מהזמן הרגיל. פועלים חופרים בור במשך שלוש שעות. בכמה שעות יחפרו בור כזה 6 פועלים? מהירות מהירות קבועה זמן 8 שעות 6 שעות פי פחות חצי מהמהירות הקבועה פי יותר זמן בדיון הכיתתי )עמוד 98( המתקיים לפני שאלות ההספק חשוב לחזור על המושגים הבאים: יחס ישר בין שני נתונים מספריים מתקיים כאשר אחד מהם הוא כפולה של המספר השני במספר קבוע. דוגמה מחיי היומיום: המרת יחידות: היחס בין אורכו של מוט במטרים לאורכו של אותו מוט בסנטימטרים הוא יחס ישר. יחס הפוך בין שני מספרים מתקיים כאשר מספר אחד הוא ביחס ישר להופכי של המספר השני דוגמה מחיי היומיום: כאשר מחלקים עוגה, גודל הפרוסה נמצא ביחס הפוך למספר המשתתפים. פי יותר: פעולת כפל פי פחות: פעולת חילוק פעילות 6: פעילות זו מזמנת הספק עבודה ביחס הישר, ככל שיש יותר אנשים הספק העבודה יותר גדול. )כמות המטרים ) א. 8 מטר. פי יותר אנשים מטר גדר מטר 8 מטר פי יותר ב. מטר. פי יותר אנשים 6 מטר גדר מטר מטר פי יותר ג. 6 מטר. פי יותר זמן שעה שעתיים מטר גדר 8 מטר 6 מטר פי יותר 0

205 פעילות 7: פעילות זו מזמנת הספק עבודה ביחס הפוך. ככל שיש יותר פועלים מספר ימי העבודה ימי עבודה מספר פועלים יותר קטנים. פי 6 פחות 6 פי 6 יותר 6 פעילות 8: פעילות זו מזמנת הספק עבודה ביחס הפוך, ככל שיש יותר מזכירים, זמן העבודה יותר קצר. פי יותר מספר מזכירים 0 מעטפות זמן 90 דקות דקות 0 דקות 8 דקות 9 דקות פי פחות פעילות 9: ב. יחס ישר ג. יחס ישר ד. יחס הפוך ה. יחס ישר יחידה בפתיחת היחידה משוחחים / פותרים את השאלה על שתי מכוניות שנסעו זו לקראת זו מירושלים לאילת. )השאלה ניתנה בפעילות ביחידה הקודמת(. פעילות : אם בסקר השתתפו 00 תלמידים מתוך,000, אז גם את התוצאות צריך יהיה לכפול ב-. א. ו-ב. היחס בין 7 ל- : 7 : 7 = = : ג. היחס המצומצם אומר שעל כל תלמידים שהיו נגד תלבושת אחידה, היו תלמידים שהיו בעד. זה נכון עבור כל תלמידים וגם עבור כל התלמידים. ד. כל התלמידים שהשתתפו במדגם הם: 7 ועוד, וסך הכול 00 ילדים. איזה חלק הצביעו נגד תלבושת אחידה? 7 מתוך 00: 7 00 = 8 אפשר גם לראות זאת מהיחס של ל-. בקבוצה אחת הקטנה ביותר שהיחס מתקיים יש 8 תלמידים ) נגד ו- בעד תלבושת אחידה(. איזה חלק הצביעו בעד תלבושת אחידה? שמיניות. 0

206 לפיכך, אם המדגם מייצג, אז אותו חלק מכל האוכלוסייה של בית הספר יצביע באופן דומה נגד ובעד תלבושת אחידה. שמיניות של המדגם היו נגד תלבושת אחידה. כמה תלמידים זה מתוך,000? 8 x,000 נגד תלבושת אחידה: = 7 = x בעד תלבושת אחידה: = 6 7,000 פעילות : כמה פרסים קנו שתיהן יחד? = מה מחיר כל פרס? נחלק את הסכום לכמות הפרסים ונקבל: 600 : 0 = אפשר גם לרשום את שני השלבים בתרגיל אחד: = (6 8) + : 600 כל פרס עולה ש"ח. יעל שילמה: = 60 6 x שירה שילמה: = 0 8 x פעילות : אפשר לחשוב שאם אחד יקבל חלקים שווים והשני יקבל 7 חלקים שווים מהכסף, ביחד הם יקבלו 0 חלקים. כל חלק הוא,00 לחלק ב- 0 : חלק אחד בשקלים הוא: = 0 0,00 : חלקים הם: = x חלקים הם: =, x פעילות : אפשר לחשוב ששני הפועלים יחד עובדים 7 ימים. נברר כמה עולה יום עבודה אחד. נחלק 60 ל- 7 ונקבל 80 ש"ח ליום. פועל אחד קיבל: x 80 = 0 פועל שני קיבל: x 80 = 0 פעילות : הפעילות מזמנת שאלת הספק ביחס הפוך ככל שיש יותר פועלים הם יעשו את העבודה בפחות זמן. פי יותר מספר פועלים 0 ימי עבודה 9. פי פחות פעילות 6: 00 גרם ענבים ירוקים ללא גרעינים 600 גרם ענבים אדומים ללא גרעינים 00 גרם תפוחי עץ ירוקים 0.8 ק"ג סוכר מיץ מ- לימונים 00 גרם צנוברים 60 גרם אגוזי פקאן 600 גרם ענבים ירוקים ללא גרעינים. 900 גרם ענבים אדומים ללא גרעינים 00 גרם תפוחי עץ ירוקים. ק"ג סוכר מיץ מ- לימונים 0 גרם צנוברים 90 גרם אגוזי פקאן 06

207 פעילות 7: א. התקן ל- 00 ילדים צריך להיות יותר מ- 6 מדריכים. ב. עופר צריך 7 מדריכים ל- 00 ילדים ולכן אינו עומד בתקן. ג. עופר צריך 0 מדריכים ל- 0 ילדים. פרק קנה מידה יחידות עד 7 בקנה מידה משתמשים בתרשימים שונים, כמו בשרטוט של תכנון דירה, במפות, בתצלומים, בפרסומות )כשמקטינים חפצים מהמציאות לפרסומת בעיתון או כשמגדילים לפרסום חוצות(, בדגמים ועוד. קנה המידה מציין יחס בין אורך בתרשים, בתמונה, במפה לבין האורך במציאות. קנה המידה הוא מספר "טהור", כלומר חסר יחידות. כדי לקבל אותו נמדוד את המפה ואת המציאות באותן יחידות. אם קנה המידה הוא ל-, יכולנו למדוד קטע במפה בעזרת חוט לדוגמה, ובעזרת אותו החוט למדוד פעמים גודל זה במציאות. לכתיבת קנה המידה משתמשים באותה יחידת מידה לסימון האורך בתרשים והאורך במציאות. בדרך כלל מודדים מפות בסנטימטרים. קנה המידה יקשר מדידה בסנטימטרים במפה לכמות סנטימטרים במציאות )מכיוון שהשתמשנו באותה יחידה ]ס"מ[, היחידות מצטמצמות, ולכן נשאר קנה המידה חסר יחידות(. לדוגמה: מפה שקנה המידה שלה הוא : 0,000 אפשר לומר שכל ס"מ במפה שווה ל- 0,000 ס"מ במציאות. או כל מ' במפה שווה ל- 0,000 מ' במציאות. קנה מידה מבטא יחס של הגדלה או של הקטנה, שבו אחד הגורמים הוא. קוראים את קנה המידה משמאל לימין, כאשר המספר הראשון )משמאל( מייצג את האורך בתרשים והמספר השני את האורך במציאות. קנה מידה המציין כי התרשים הוקטן לעומת המציאות פי נכתב כך: : כדי למצוא את המידה במציאות לפי התרשים, כופלים את אורך הקטע בתרשים במספר שמראה פי כמה גדול אורך הקטע במציאות. קנה מידה המציין כי התרשים הוגדל לעומת המציאות נכתב כך: : 07

208 08 יחידה היחידה עוסקת בכתיבת קנה מידה ומציאת גובהם של בניינים במציאות לפי קנה מידה נתון. בפתיחת היחידה אפשר לשוחח עם התלמידים על תרשים החדר המוצג בפעילות. רצוי להתבונן ולציין מהם החפצים הנמצאים בחדר, באיזו צורה הם מוצגים? אפשר לשאול את התלמידים מתי משתמשים בהקטנה, מתי בהגדלה. בפעילות : התלמידים יבדקו כי אורך הצלעות בציורים של עדי וחן הוגדל פי אותו המספר מאורך הצלעות בציור של המורה, ויכתבו את היחס שהתקבל. סעיף א' כל צלע בציור של עדי גדולה פי מאותה הצלע בציור של המורה. סעיף ב' - כל צלע בציור של חן גדולה פי מאותה הצלע בציור של המורה. סעיף ג'- כל הצלעות בציור של עדי גדולות פי מהצלעות המתאימות בציור של המורה. כל הצלעות בציור של חן גדולות פי מהצלעות המתאימות בציור של המורה. סעיף ד'- בציור של עדי אורך הצלעות גדולות פי מאורך הצלעות בציור של המורה, לכן היחס בין אורך הצלעות בציור של המורה לאורך הצלעות בציור של עדי הוא: : בציור של חן אורך הצלעות גדול פי מאורך הצלעות בציור של המורה, לכן היחס בין אורך הצלעות בציור של המורה לאורך הצלעות בציור של חן הוא : היחס בין אורך הצלעות בציור של עדי לאורך הצלעות בציור של חן הוא : סעיף ה' ניר הגדיל את הציור של המורה פי. כלומר הוא כפל כל צלע בציור של המורה פי. לדוגמה: צלע שמידתה בציור המורה 6 ס"מ תהיה 9 ס"מ בציור של ניר. צלע שמידתה בציור המורה ס"מ תהיה 6 ס"מ בציור של ניר וכן הלאה. סעיף ו' לא כל הצלעות בציור של שקד הוקטנו פי אותו מספר. שקד הקטינה את רב הצלעות פי מהציור של המורה אבל הצלע התחתונה בגג בציור של המורה באורך של 6 משבצות, ובציור של שקד אותה צלע באורך של משבצות ולא משבצות כפי שהיה צריך להיות. סעיף ז'- הציור של שירה שונה מהציור של המורה, הבית נראה כ"מתוח", כי שירה לא שמרה על הגדלה של אורך כל הצלעות פי אותו המספר. אם נגדיל ציור רק בכיוון אחד, משמעות הדבר תהיה שלא כל הצלעות יהיו גדולות מהצלעות בציור השני פי אותו המספר, ונקבל שהציור נראה שונה. אם אורך כל הצלעות בציור אחד גדול פי אותו המספר מאורך הצלעות בציור השני, אנחנו מקבלים למעשה "צורות דומות". אין צורך ללמד את המושג כאן לתלמידים, אם כי אפשר להזכירו. אם הצלעות בציור אחד גדולות פי אותו המספר בכל הצלעות, נשמרות גם הזוויות והצורה נראית בעלת אותה הצורה - רק בגודל אחר. פעילות -: בפעילויות אלו עוברים לעיסוק בקנה מידה. פעילות : בתרשים א' של החדר קנה המידה הוא. : 0 כל ס"מ בתרשים שווה ל- 0 ס"מ במציאות )או כל מ"מ שווה ל- 0 מ"מ במציאות(. בתרשים ב' קנה המידה הוא: : 00 בפעילות ד' התלמידים מחשבים את שטח החדר בכל תרשים. הם יגלו שכשאורך הצלעות מתרשים א' גדול פי מאורך הצלעות בתרשים ב', השטח גדול פי. חשוב לחזור עם התלמידים על יחידות המידה בחישוב שטח. בפעילות התלמידים מחשבים את שטחי החפצים במציאות לפי קנה המידה הנתון שבתרשים א'.

209 דיון כיתתי: דיווח וסיכום פעילויות קודמות. כדאי להראות איך רושמים קנה מידה. לתלמידים שכתבו יחס שונה בפעילות, אפשר להראות איך לצמצם את היחס. מומלץ להתמקד על הקשר בין הגודל בתרשים והגודל במציאות. הרישום של קנה המידה לשרטוט שהוקטן הוא יחס של למספר אחר. כדאי להציג איך מחשבים את אורך אחד החפצים במציאות, לפי קנה המידה. רצוי לחזור עם התלמידים על איך עוברים מרישום בסנטימטרים לרישום במטרים, נושא שיזדקקו לו בהמשך היחידה. פעילות 6: חישוב גובהם של מקומות מפורסמים במציאות ומעבר מסנטימטרים למטרים. ליד כל מבנה משורטט קו. התלמידים ימדדו את אורך הקו שבתמונה בעזרת סרגל ויכפלו במספר שמראה פי כמה גדול אורך הקטע במציאות. קנה המידה לתמונות הוא: :,00 כל ס"מ בתרשים שווה ל-,00 ס"מ במציאות )אפשר להמיר את הסנטימטרים למטרים ואז כל ס"מ בתרשים שווה ל- מטר במציאות(. כל אורך בסנטימטרים שהתלמידים ימדדו בתמונה יוכפל ב-,00 כדי למצוא את גובהו במציאות בסנטימטרים. תשובות: גובה מגדל אייפל בשרטוט ס"מ ובמציאות,00 ס"מ או מטר גובה המגדל,00 ס"מ =,00,00 x מ' = 00,00 : גובה פסל החירות בשרטוט.7 ס"מ ובמציאות 9,0 ס"מ או 9. מטר. גובה הביג בן בשרטוט.8 ס"מ ובמציאות 9,00 ס"מ או 9 מטר. גובה מגדל פיזה בשרטוט. ס"מ ובמציאות,00 ס"מ או מטר. גובה הפירמידה בשרטוט. ס"מ ובמציאות,70 ס"מ או 7. מטר. פעילות 7: חישוב קנה מידה. כל התמונות שוות באורכן, אך קנה המידה שונה, כי כל תמונה הוקטנה ביחס שונה. א. קנה המידה : 60 ב. קנה המידה : 0 ג. קנה המידה : פעילות 8: חישוב גובה המגדלים במציאות לפי קנה מידה נתון ומעבר מסנטימטרים למטרים. כמו פעילות 6. קנה המידה לתמונות :,00 כל ס"מ בתרשים שווה ל-,00 ס"מ במציאות )אפשר לרשום זאת גם במטרים: כל ס"מ בתרשים שווה ל- מטר במציאות(. גובה מגדל עזריאלי העגול שבתמונה. ס"מ ובמציאות 8,700 ס"מ או 87 מטר. ס"מ = 8,700,00. x מטר = ,700 : גובה מגדל משה אביב בתמונה 7. ס"מ ובמציאות,80 ס"מ או.8 מטר. 09

210 0 יחידה 6 היחידה עוסקת בחישוב אורך דרך במציאות לפי אורכה במפה, שרטוט לפי קנה מידה ומציאת קנה מידה. בפתיחת היחידה: אפשר לבדוק את שיעורי הבית מהיחידה הקודמת ולחזור על המושגים שנלמדו: מהו קנה המידה, מה מייצגים המספרים בקנה המידה, מה גובהם במטרים של המגדלים שבתמונות. פעילות : חישוב אורך דרכים במציאות לפי מפה. התלמידים יכולים למדוד את הדרכים בסרגל, או להיעזר במשבצות )כל משבצת באורך 0. ס"מ(, קנה המידה. :,00 לפי קנה המידה הנתון התלמידים יכפלו את אורך הדרכים שמצאו במפה בס"מ ב-,00 כדי לקבל את אורך הדרך במציאות בס"מ. א. שלמה הולך לבית הספר מרחוב דפנה. לפי המפה הוא הולך. ס"מ בדרך הקצרה ביותר )ימינה דרך רחוב צאלון(. במציאות שלמה הולך,99 ס"מ או מ'. ס"מ = 7,0,00. x מטר = ,0 : ב. בדרך חזרה מרחוב החרוב לפי המפה שלמה הולך ס"מ, ובמציאות 9,000 ס"מ או 90 מ'. ג. לפי המפה הדרך של ירון לבית הספר אורכה ס"מ )מרחוב הברוש(. במציאות - אורך הדרך 0,00 ס"מ או 0 מטר. ד. לפי המפה - ורד צועדת עד הגינה ס"מ )מרחוב הערבה( וכלנית 7 ס"מ )מרחוב החרוב(. במציאות - ורד צועדת 7,00 ס"מ או 7 מטר וכלנית צועדת,00 ס"מ או מטר. ה. לפי המפה- אורך הדרך של גאיה שווה ל- 0 ס"מ )מרחוב האורן(. במציאות גאיה הולכת,000 ס"מ או 0 מטר. לפי המפה אורך הדרך של רינה שווה ל- 9. ס"מ )מרחוב הרימון(. במציאות רינה הולכת,0 ס"מ או. מ'. פעילות : מסנטיטמר מרובע )סמ"ר( למטר מרובע )מ"ר( )אפשר להיעזר במחשבון(. המעבר בין סמ"ר ומ"ר אינו קל. כאן אנחנו רוצים שהתלמידים יקבלו תחושה של המעבר. הם אינם נדרשים להפוך מסמ"ר למ"ר באותו חישוב. במקום זה, הם מחשבים בנפרד אורכים בס"מ ומקבלים שטח בסמ"ר, ובנפרד הם מחשבים את אותו החישוב במטרים ומקבלים שטח במ"ר, ובודקים פי כמה גדול המספר של השטח בסמ"ר מהמספר במ"ר. א. שטח הגינה לפי השרטוט הוא 0. סמ"ר = 0.. x ב. קנה המידה בשרטוט הוא. :,00 שטח הגינה במציאות בסמ"ר: סמ"ר = 8,6,000,0 0,00 x מידות הגינה במציאות במטרים התקבלו מכפל של ס"מ ב-,00 וכך התקבל אחד האורכים 0,00, וכפל של. ב-,00 כדי לקבל את,0 מ'. ג. שטח הגינה במציאות גדול פי,0,000 משטח הגינה בשרטוט כי: 8,6,000 : 0. =,0,000 ד. מידות הגינה במציאות הם 0 מ' ו-. מטר. שטח הגינה במציאות-,86. מ"ר =, x ה. שטח הגינה בסמ"ר )סעיף ב'( גדול פי 0,000 משטח הגינה במ"ר )סעיף ד'( 8,6,000 :,86. = 0,000 פעילות : שרטוט לפי קנה מידה.

211 קנה המידה לשרטוט הוא. : 0,000 כלומר, כל ס"מ בשרטוט מייצג 0,000 ס"מ במציאות )או כל מ"מ במפה מייצג 0,000 מ"מ במציאות(. אפשר לומר כי ס"מ בשרטוט מייצג 00 מטר במציאות. כדי לשרטט לפי קנה המידה, נחלק את המידות במציאות )המופיעות במטרים( ל- 00 ונקבל את המידות שיש לשרטט. אפשרות אחרת היא להפוך את גובה המבנים ממטרים לס"מ )לכפול ב- 00 ( ולחלק ל- 0,000 לפי היחידות בקנה המידה, המייצגות את המציאות. במציאות - גובה בניין אמפייר סטייט מטר או,00 ס"מ. בתרשים - צריך לשרטט את הבניין באורך. ס"מ =. 0,000,00 : אפשרות אחרת לחישוב: =. 00 : במציאות - גובה בניין קרייזלר הוא 9 מטר או,900 ס"מ. בתרשים - צריך לשרטט את הבניין באורך.9 ס"מ =.9 0,000,900 : במציאות - גובה בניין טייפי הוא מטר או,00 ס"מ. בתרשים - צריך לשרטט את הבניין באורך. ס"מ =. 0,000,00 : במציאות - גובה מגדלי פטרונס הוא מטר או,00 ס"מ. בתרשים - צריך לשרטט את הבניין באורך. ס"מ =. 0,000,00 : השרטוט במחברת יראה כך: דיון כיתתי: כדאי לעבור עם התלמידים על פעילות בעמוד - שרטוט לפי קנה מידה. עד פעילות זו התלמידים חישבו את האורכים במציאות לפי תרשים. בפעילות זו הם צריכים בפעם הראשונה להפוך את הגודל שבמציאות לתרשים. הם נדרשים להקטין מציאות לתרשים לפי קנה המידה, ולא להגדיל למציאות. כדאי להסב את תשומת הלב ליחידות המידה השונות )המידות במציאות הן במטרים וקנה המידה כתוב בס"מ(, ולהראות שצריך לחשב לפי אותן יחידות מידה יש להפוך את המטרים לסנטימטרים כדי לפעול לפי קנה המידה. אפשר להתייחס למציאת קנה מידה לפי פעילות 7 מעמוד 09 ביחידה הקודמת. ניתן לדבר על היחס בין גובה הכלב בשרטוט לגובה הכלב במציאות, ולהראות שכשמצמצמים מקבלים את קנה המידה. כדאי להתייחס פעם נוספת לרעיון שכדי למצוא את קנה המידה, צריך להעביר את המידות במציאות לאותן היחידות שבהן נשתמש בשרטוט. ההבנה כי יש צורך באותן יחידות מידה תעזור לתלמידים לפתור את הפעילויות הבאות ביחידה. אפשר להיעזר בהדגמה ובסיכום שבעמוד ולבקש מהתלמידים לראות את המודגם שם.

212 פעילות : מציאת קנה המידה. אחרי שממירים את היחידות ממטרים לסנטימטרים, אפשר לכתוב את היחס בין הגובה בשרטוט לגובה במציאות ולצמצם כדי להגיע לקנה המידה. )גורם הצמצום רשום בטור השמאלי בסוגריים( שם בעל החיים פיל גובה במציאות במטרים גובה במציאות בס"מ גובה בשרטוט. ס"מ ס"מ 8 ס"מ ס"מ ס"מ קנה המידה. : 0 = : 00 )נחלק ב-. ( : 0 = : 0 )נחלק ב- ( 8 : 60 = : 70 )נחלק ב- 8 ( : 0 = : 8 )נחלק ב- ( : 60 = : 0 )נחלק ב- (. x 00 = 0. x 00 = 0.6 x 00 = 60. x 00 = 0.6 x 00 = 60. מטר. מטר.6 מטר. מטר.6 מטר יען ג'ירף זברה קנגורו פעילות : חישוב ה"מציאות" לפי קנה מידה, מעבר מסנטימטרים למטרים. פעילות חוזרת לביסוס הנושא של חישובים מתרשים למציאות. קנה המידה של הדגמים. :,00 תשובות: א. בדגם - גובה מצדה 8 ס"מ. במציאות - גובה מצדה,000 ס"מ שווה ל- 0 מ'. ס"מ =,000,00 8 x מטר = 0 00,000 : ב. בדגם - גובה החרמון.6 ס"מ. במציאות- גובה החרמון 8,00 ס"מ השווה ל-,8 מ'. ס"מ = 8,00,00.6 x מטר =,8 00 8,00 : ג. בדגם - גובה התבור. ס"מ. במציאות - גובה התבור 6,0 ס"מ השווה ל- 6. מ'. ד. בדגם- גובה הארבל 7. ס"מ. במציאות - גובה הארבל 8,000 ס"מ השווה ל- 80 מ'. פעילות 6: קנה מידה המציין יחס של הגדלה התמונות בפעילות גדולות יותר מהמציאות, לכן רושמים את קנה המידה מהגדול לקטן בדרך המציינת יחס של הגדלה. לדוגמה, אם מגדילים תמונה פי, נרשום שקנה המידה הוא :

213 ליד כל ציור משורטט "סרגל" כדי להקל על תלמידים למדוד. כל יחידה מציינת ס"מ. א. בתמונה - המחדד באורך 6 ס"מ. במציאות - אורך המחדד ס"מ. קנה המידה 6 : את היחס נצמצם )נחלק ב- ( כדי לקבל את קנה המידה : הציור הוגדל פי לכן גם קנה המידה הוא : כלומר כל ס"מ בציור הוא ס"מ במציאות. ב. בתמונה שבפרסומת - אורך בקבוק נוזל המחיקה ס"מ. במציאות- אורך בקבוק נוזל המחיקה 7 ס"מ. התמונה הוגדלה פי מהמציאות, לכן קנה המידה הוא. : ג. בתמונה - אורך המחק 0 ס"מ. במציאות - אורך המחק ס"מ. התמונה הוגדלה פי מהגודל במציאות לכן קנה המידה הוא : פעילות - 7 שיעורי בית. מציאת קנה המידה. פעילות לתרגול במספרים שאינם דורשים המרת יחידות מידה. אפשר לכתוב בהתחלה את היחס בין השרטוט למציאות, ולצמצם כדי להגיע לקנה המידה, כאשר אחד מהגורמים הוא. שם בעל החיים עכבר סנאי אוגר ארנב בואש נחש אורך הגוף במציאות 8 ס"מ ס"מ 6 ס"מ ס"מ ס"מ 0 ס"מ אורך הגוף בשרטוט ס"מ ס"מ ס"מ ס"מ ס"מ ס"מ קנה המידה : 8 = : )נחלק ב- ( : = : 8 )נחלק ב- ( : 6 = : 8 )נחלק ב- ( : = : )נחלק ב- ( : = : 8 )נחלק ב- ( : 0 = : 0 )נחלק ב- ( תזכורת: להזכיר לתלמידים להביא לשיעור הבא אטלס, לפעילויות בשיעור. יחידה -7 קנה מידה במפות ביחידה זו התלמידים עוסקים בשימוש הנפוץ ביותר בקנה מידה - שימושו במפות. התלמידים יחשבו את המרחקים במציאות שבין יישובים שונים לפי קנה המידה במפות. המרחקים המחושבים הם מרחקים אוויריים, בין נקודות על המפה. בפתיחת היחידה: אפשר לפתוח את האטלס ולבחור במפה הרצויה, ולחפש את קנה המידה המופיע בה. רצוי להפנות את תשומת הלב של התלמידים, כי באטלסים שונים, יש קנה מידה שונה. אפשר לחפש היכן נרשם קנה המידה במפה, ולהראות ייצוגים שונים של קנה המידה המופיע באטלס.

214 קנה מידה במפות יכול להופיע בכמה צורות: קנה מידה מספרי - המוצג כיחס בין האורך במפה לאורך במציאות. קנה מידה מילולי - הקשר בין האורך במפה לאורך במציאות מיוצג במילים. לדוגמה: ס"מ במפה מייצג 0,000 ס"מ במציאות. )לפעמים רושמים במילים קשר בין האורך במפה לאורך במציאות, שהוא לא קנה מידה, לדוגמה, רושמים כמה ס"מ במפה מייצגים כמה ק"מ במציאות - כבר תרגמו את הס"מ במציאות לק"מ(. ייצוג גרפי - מוצג בעזרת קו המחולק ליחידות, המראה איזה אורך במפה מתאים לכמה ק"מ במציאות. אפשרות נוספת: אפשר להשלים את הטבלה בפעילות ולהזכיר את הקשרים בין היחידות. פעילות : מעבר בין יחידות אורך זאת פעילות תזכורת למעברים בין יחידות האורך, ס"מ, מטר, ק"מ. מטרת התזכורת היא לעזור לתלמידים במעברי היחידות בין האורכים במפה )בס"מ( לאורכים במציאות )מטרים, ק"מ(. : 00,000 : 00 סנטימטרים מטרים קילומטרים :,000.,00 0, ,000.,00 0,000,000 00, ,000,000 00,000 פעילות -: חישוב מרחק בין ערים לפי קנה המידה במפה, מעבר מס"מ לק"מ. בפעילות התלמידים יחשבו את המרחק בין ערים בצפון הארץ, לפי המפות מהאטלסים שהביאו. בפעילות נתון קנה המידה והמרחק בין הערים שנמדד באטלס. התלמידים יחשבו את המרחק במציאות בק"מ. קנה המידה במפה : 0,000 כלומר כל ס"מ במפה שווה ל- 0,000 ס"מ במציאות. אפשר גם להמיר יחידות ולראות שכל ס"מ במפה שווה ל-. ק"מ במציאות. א. במפה - המרחק בין רמת גן לכפר סבא 6. ס"מ. במציאות המרחק הוא,6,000 ס"מ השווה ל- 6. ק"מ ס"מ =,6,000 0, x ק"מ = 6. 00,000,6,000 : ב. במפה- המרחק בין רמת גן לנתניה ס"מ. במציאות - המרחק הוא,70,000 ס"מ השווה ל- 7. ק"מ. ס"מ =,70,000 0,000 x ק"מ = 7. 00,000,70,000 :

215 ג. במפה - המרחק בין רמת גן לאור יהודה ס"מ. במציאות - המרחק הוא 00,000 ס"מ השווה ל- ק"מ. ד. במפה - המרחק בין רמת גן לבת ים. ס"מ. במציאות - המרחק הוא 87,000 ס"מ השווה ל- 8.7 ק"מ. פעילות : מציאת קנה מידה במפות ביחידות הקודמות מצאו התלמידים את קנה המידה, כשהתבקשו להפוך מטרים לסנטימטרים. בפעילות זו התלמידים צריכים להפוך קילומטרים למטרים ולסנטימטרים כדי למצוא את קנה המידה. התלמידים יעסקו במספרים גדולים. תשובות: המרחק במציאות בק"מ המרחק במציאות במ' המרחק במציאות בס"מ המרחק במפה קנה המידה 0 :,00,000 = : 0,000 :,000,000 7 :,00,000 = : 00,000 :,00,000 = : 900,000 0 ס"מ ס"מ 7 ס"מ ס"מ,000 x 00 =,00,000 0,000 x 00 =,000,000,000 x 00 =,00,000,000 x 00 =,00,000 x,000 =,000 0 x,000 = 0,000 x,000 =,000 x,000 =,000 ק"מ 0 ק"מ ק"מ ק"מ באר שבע לדימונה אשדוד לראשון לציון ערד לבאר שבע ירושלים לתל אביב 0 :,000,000 = :,00,000 0 ס"מ 0,000 x 00 =,000,000 0 x,000 = 0,000 0 ק"מ ירושלים לחיפה פעילות 7: פעילות בחירה, משרטטים את חדר הכיתה. לפעילות זו יש להביא סרט מידה ארוך )"מטר רץ"(. מומלץ לחלק את הכיתה לשלשות ולזוגות ולכל קבוצה לתת משימת מדידה אחת של חפצים שונים הנמצאים בכיתה. אפשר לאסוף את כל הנתונים, ולרשום על הלוח. כדאי שנציג מכל קבוצה יעתיק את הנתונים למחברת. לפני התחלת השרטוט, כדאי לערוך דיון בנושא מהו קנה המידה המתאים לשרטוט חדר הכיתה, כדי שאפשר יהיה לשרטט את הכיתה במחברת. אפשר להחליט על מספר קני מידה לפי גודל הדף שיש לקבוצה )דף A או דף קטן של מחברת(. בספר יש התייחסות לקנה מידה שעשוי להתאים כמו. : 0 מומלץ להראות איך מקטינים את מידות החפצים שבכיתה לפי קנה המידה שהוחלט. כדאי לעקוב אחרי ההוראות בספר.

216 פרק חזרה יחידות 8 עד פרק זה מיועד לחזרה על נושאים שנלמדו בשנה זו ובשנים קודמות. מומלץ לחזור עם התלמידים בתחילת כל יחידה על אחד הנושאים. אפשר להיעזר בהדגמות שבספר. בפרק יש שילוב של תרגילים, שאלות מילוליות, קישורים לחיי יום-יום וחיזוק ופיתוח תובנה מתמטית. נושאי החזרה בפרק הם: שלמים: פעולות בשלמים, כפל וחילוק בעשרות, מאות שלמות, זמן ושעון, סדר פעולות החשבון, כפל וחילוק ב- 0 וב-, עיגול מספרים, מרחק. שברים: פעולות החשבון, מספרים מעורבים, השוואת שברים, מכנה משותף, הרחבה וצמצום. מספרים עשרוניים: פעולות החשבון, השוואת מספרים עשרוניים, קשר בין עשרוניים לשברים, כפל וחילוק ב- 0, ב- 00, ציר המספרים. שאלות אינטגרטיביות בכל יחידה מוצע נושא שרצוי לחזור עליו עם התלמידים בדיון הכיתתי. ניתנות כאן תשובות לאחדות מן הפעילויות ביחידות 8 עד. יחידה 8 בתחילת היחידה כדאי לערוך חזרה בנושאים הבאים: רצוי להזכיר את השימוש ב- 0 וב- בכפל ובחילוק. את העובדה שאין משמעות בחילוק ב- 0. התלמידים יתרגלו זאת בסעיף. אפשר להיעזר בהדגמה בעמוד. רצוי להזכיר חיבור וחיסור מאונך, אם יש צורך, כפל מאונך, כפל וחילוק בעשרות, מאות שלמות, חילוק ארוך, וסדר פעולות חשבון. בעמוד בספר יש תזכורת על עיגול מספרים. אפשר לחזור על זה בפתיחת השיעור ולהיעזר בהדגמה מהספר. פעילות : תשובות:. א. 98,0 ב.,7,96 ג.,86, ד.,0 ה.,6 ו.,,9 ז. 90,77 ח. 9,909 ט. 8,609 פעילות : המספר הוא:,0 פעילות : = ,000 :.א 00= 0 0,000 :.ב = 6 : 7 700,600 :.ג =,000 : 0 0 9,000 :.ד = 6, x.ה =,000 6,000 x.ו 0 x 0 = 00 x 0.ז 00 x 0 = x,000.ח פעילות : א.,0 ב.,96 ג.,90 ד.,67 ה.,80 ו.,8 6 פעילות : יהיו כאן תשובות שונות. כדאי לחזור על המושגים סכום, הפרש, מכפלה, מנה.

217 פעילות 6: א. =,60 00 = ב. x 7 + x x 7 = 00 x 7 פעילות 7: רותם הכינה שיעורים במשך 0 דקות, ובמשך שעה עשרים וחמש. היא הכינה שיעורים במשך שעתיים ורבע )יותר משעתיים(. ב. כל הנסיעה ארכה שעה ו- דקות. אם האוטובוס הגיע ב 6:0, הרי שהוא יצא שעתיים מינוס חמש דקות קודם, ב :. פעילות 8: =6,88 :.א = :.ב = 8 :.ג = 76 :.ד = 7,0 :.ה = ,066 :.ו = 6, :.ז = 6,067 8,0:.ח פעילות 9: תשובה: תרגיל ד'. פעילות 0: = 6-8 x.א = ) x 6 : ( x x.ב = 6 : ) 7 ( + -.ג = - : 7 +.ד = 7 0 : + :.ה = 8 ) ( + x x -.ו = 0 ) ( 6 : x 0.א = + 0 x.ב = :.ג = 9 9 :.ד חסר משמעות = 0 7 :.ה = 8 8 :.ו פעילות : = 0 ) 6 ( 6 - x.ז חסר משמעות = ) 0 ( : :.ח = 0 7 x ( 8 x 0 ) x.ט פעילות : 7 עיגול לעשרת קרובה א ב. 060,06 ג.,0, ד. 6,60 6,6 ה.,770,769 ו.,780,77 עיגול למאה קרובה א ב.,0,06 ג.,00, ד. 6,00 6,6 ה.,800,769 ו.,800,77

218 פעילות : סעיף ב'. = 6 : 0 0.א = x.ב = :.ג = :.ד = ה פעילות :.ו = x = 7 7 x.ז.ח = 0 :.ט = x.י = 0 0 : יחידה - 9 שברים בתחילת היחידה כדאי לערוך חזרה בנושאים הבאים: יש להזכיר כיצד להפוך מספר מעורב לשבר גדול משלם ולהפך. התלמידים יתרגלו זאת בפעילויות., יש לחזור על השוואת שברים וחיבור וחיסור שברים. אפשר להיעזר בהדגמה בעמוד ו- 6. פעילות :.ז.ה.ג.א = 8 = 9 = 6 0 = 6 6.ח.ו.ד.ב = = 7 = = 7 7 פעילות : 8.א =.ג.ה = 7 =.ז 7 = 0.ב 8 =.ד = 0.ו.ח = 7 = 7 פעילות : תשובות.ז.ד.א 8 > 6 > 6 = 7.ח.ה.ב 7 0 > > <.ט.ו.ג 7 > 0 6 = 9 7 < 0 8

219 פעילות : תשובות ה ד. + 8 פעילות : תשובות 7 ו. 6 ז. 0 ח. 0 ה. ד. 0 ג. א. ב. פעילות 6: לפעילות זו יש אינסוף תשובות. סכום של כל זוג שברים צריך להיות קטן מרבע רצוי מאוד לדבר עם התלמידים על האפשרויות לפעילות זו. פעילות 7: א. = + 0 כדאי מאוד לברר עם התלמידים כיצד הגיעו לסכום הקטן ביותר האפשרי = ק"מ. = פעילות 8: 9 9 = נדב עבר פעילות 9: א ב. הכי קטן הכי גדול ג. 0 9

220 פעילות 0: תשובות ז. 7 ו. 0 ה. 6 יב. 0 ד. 8 יא. 9 7 ג. י. 0 ב. ט. א. ח. יחידה 0 שברים כפל וחילוק בתחילת היחידה כדאי לערוך חזרה בנושאים הבאים: יש להזכיר כיצד לכפול ולחלק שברים. אפשר להיעזר בהדגמה בעמודים 7 ו- 8. רצוי לחזור על חוקי סדר הפעולות ולהראות דוגמה כיצד לפתור תרגילי שרשרת בשברים. התלמידים יתרגלו זאת בסעיף 9. פעילות : התשובות כמספר מעורב מצומצם עד הסוף. 6. ט. 8 6 או. ז. ח. ו. 7 ה. ג. ד. 6 ב. א. פעילות : הפרש בין מספרים סמוכים, א...., ) 6, 6, ההפרש בין מספרים סמוכים )זה ,, ב.... ) 9, 7, ההפרש בין מספרים סמוכים )זה..., 7, ג.... ),, 6 ההפרש בין מספרים סמוכים )זה... 6,, ד.... פעילות : כדי למצוא את השבר החסר יש להרחיב את כל אחד מהשברים הנתונים באותו גורם הרחבה. > 0 > וכו' אפשרויות נוספות לשיבוץ: 0, 6 0, 6, 7 פעילות : בכל אחד מהתרגילים בפעילות זו יש לכפול את המספר במספר ההפכי לו כדי לקבל שלם. דוגמה: x = ה. x ג. = א. = x פעילות : תשובות ה. ו. ז. 6 ח. ט. 9 ד. 0 ג. ב. א. פעילות 6: חשוב לחזור ולדבר עם התלמידים על אומדן בכלל ועל אומדן בשברים בפרט. על שברים פשוטים הקרובים לחצי ועל שברים הקרובים לשלם וכדומה. 0

221 א. אומדן לסכום של רבע ו- חמישיות: הסכום קטן מ- כי כל אחד משני השברים קטן מחצי. לכן שניהם יחד קטנים מ = ב. הסכום קטן מ- בתרגיל: בתרגיל יש שברים שכל אחד מהם קטן מחצי ולכן סכומם קטן מ- וחצי. אין צורך בחישובים כאן. ג. הסכום יהיה קטן מ- 0. סכום השלמים הוא 8. חסרים שלמים ל- 0. מתוך שלושת השברים קטנים מחצי והשבר השלישי שווה חצי. לכן יהיו פחות מ- שלמים. פעילות 7: שאלה מילולית + אימא קנתה ק"ג ממתקים למסיבת יום ההולדת. = פעילות 8: שאלה מילולית כדי לדעת כמה זה רבע מ- 00 ניתן לחשב בשתי דרכים: = 00 : או = 00 = 00 x נשאר לעידו 7 ש"ח לקניית חלק מהפריטים. יש מספר אפשרויות. לדוגמה: אפשרות א': תמונה לחדר ונעלי כדורסל. אפשרות ב': תקליטור, ספר, כדורסל, ותמונה לחדר. פעילות 9: סדר הפעולות בשברים. פתרונות: x ( - ) = x.א = x 9 = = = -.ב x - = 7 - = - 0 = ג. ד. ה. ו. 0 פעילות 0: תרגול פעולות החשבון בשברים. ז ו. ה. 9 יב. 6 ד. ג. י. 9 יא. ב. 6 8 ט. 9 א. 0 ח. 0 יחידה מספרים עשרוניים בתחילת היחידה כדאי לערוך חזרה בנושאים הבאים: יש להזכיר כיצד להפוך שבר פשוט ושבר מעורב למספר עשרוני ולהפך, יש להזכיר כיצד להשוות בין מספרים עשרוניים וכיצד למקם מספרים עשרוניים ושברים על ישר המספרים. חשוב לחזור על מציאת מספר בין שני מספרים אחרים )צפיפות המספרים( התלמידים יתרגלו זאת בסעיף. רצוי לחזור על תרגילי חיבור וחיסור במספרים עשרוניים.

222 פעילות : שברים כמספרים עשרוניים א. 0. ב. 0.6 ג ד. 0. ה. 0. ו. 0.7 ז.. ח..0 ט..8 פעילות : השוואת מספרים עשרוניים א. < ב. = ג.> ד. > ה. > ו. = פעילות : מיקום שברים ומספרים עשרוניים על ישר המספרים. א ב ג פעילות : א. יש למצוא שבר עשרוני בין 0. ל- 0. יש אינסוף אפשרויות. לדוגמה: 0., 0. 0., 0., וכן הלאה. אפשר גם להתייחס למספרים מתאימים כאלה:,0.,0.,0.7,0.6 ב. יש אין סוף אפשרויות לדוגמה:.,.,.,.,., וכן הלאה. ג. התשובות הן: א, ב, ד ד. התשובות הן: א, ג ה. סידור המספרים מהכי קטן עד הכי גדול 0 הכי קטן הכי גדול. 6

223 פעילות : א. לא נכון, ב. נכון, ג.לא נכון, ד. נכון, ה. לא נכון, ו. נכון, ז. נכון, ח. לא נכון, ט. נכון פעילות 6: שאלה מילולית. יוסי שילם 8 ש"ח. = 8 = 0 +. x 0 +. x פעילות 7: שאלה מילולית. x x. = =. טלי שלמה. ש"ח עבור המחברות. 0.6, 0.8,.0,.,.,.6.א 0.07, 0.09, 0., 0., 0., 0.7.ב 0.6, 0.8,.0,.,.,.6.ג., 0.9, 0.6, 0., 0.0.ד.9,.,.,.8,..ה 0.87, 0.8, 0.79, 0.7, 0.7 ו. פעילות 8: פעילות 9: שאלה אינטגרטיבית: א. =.7. x +.7 x + 0. x ב. =.7..7 x מלפפונים בתפזורת עולים.7 וארגז עולה ש"ח, לכן לסבא כדאי לקנות ארגז. ג. לכמות של צנצנת גדולה: לכמות של צנצנת קטנה: 0. ק"ג מלפפונים. ק"ג מלפפונים ראשי שום כוסות מי ברז כפיות מלח כוס חומץ הדרים ראשי שום 0 כוסות מי ברז 0 כפיות מלח כוס חומץ הדרים ד. מציאת נפח של צנצנת עגולה כמציאת נפח של גליל. גובה x רדיוס x רדיוס. x 8 x 8 x = x,8.0 סמ"ק שהם.8 ליטר. בליטר יש,000 סמ"ק. ה. שאלה של יחס. התלמידים ישלימו טבלה של הקשר בין משקל מלפפונים וכמות החומץ הנדרשת. משקל מלפפונים )בק"ג( כמות חומץ )בכוסות(. 0

224 כמה ק"ג מלפפונים צריך ל-. כוסות חומץ? = כמות החומץ היא פי וחצי מ- כוס וגם משקל המלפפונים הוא פי וחצי או משקל של. ק"ג ועוד חצי ממנו. כמה ק"ג מלפפונים צריך ל- 0 כוסות חומץ? יש פי 0 כמות חומץ ופי 0 משקל מלפפונים שזה ק"ג. פעילות 0: חיבור מספרים עשרוניים א..8 ב. 6.9 ג. 6.0 ד..7 ה..9 ו..9 ז.. ח פעילות : חיסור מספרים עשרוניים א..97 ב. 0.0 ג..07 ד..60 ה..8 ו. 0.7 ז.. ח..7 יחידה מספרים עשרוניים המשך בתחילת היחידה כדאי לערוך חזרה בנושאים הבאים: יש להזכיר כיצד לכפול ולחלק במספרים עשרוניים כולל כפל וחילוק ב- 0, ב- 00, ב-,000. רצוי לחזור על חוקי סדר הפעולות ולהראות דוגמה כיצד לפתור תרגילי שרשרת במספרים עשרוניים. התלמידים יתרגלו זאת בפעילות 8. פעילות : כפל מאונך במספרים עשרוניים א.. ב. 66. ג..77 ד..87 ה. 0.9 ו. 0.0 ז ח..68 פעילות : חילוק מספרים עשרוניים ב- 0, ב- 00, ב-,000 א.0. ב. 0. ג ד.. ה ו. 0.0 ז..0 ח פעילות : כפל מספרים עשרוניים ב- 0, ב- 00, ב-,000 א.. ב. 7.0 ג ד. 0.8 ה. 0 ו. 0. פעילות : "חילוק ארוך" שתוצאתו במספרים עשרוניים ,98, 6, פעילות : חילוק מספר עשרוני בשלם פעילות 6: חילוק מספר עשרוני במספר עשרוני פעילות 7: משבר פשוט למספר עשרוני בעזרת "חילוק ארוך" פעילות 8: סדר הפעולות במספרים עשרוניים א. 0 ב. 0. ג. ד.. ה. 0. ו. ז. ח.

225 פעילות 9: הטיול השנתי, שאלה אינטגרטיבית. א. כן, = בשני האוטובוסים יש 0 מקומות. ב. היחס בין מספר המבוגרים למספר התלמידים בעת הטיול הרגלי הוא: שלושה מבוגרים ל- 6 תלמידים. = : 6 80 : ג. עליהם לצאת מבית הספר בשעה שמונה ושלושים. ד. המרחק מבית הספר למקום הטיול הוא: 80 ק"מ. זה ק"מ. - ( + ) = - 7 = ה. לכן מהדרך זה ק"מ ואורך המסלול כולו הוא פי מ- ק"מ או ק"מ. ו. מחיר שיט בכנרת: =,, 80 x + 9 x ש"ח ז. לינה באכסניית נוער: = 9,0 80 9,0 x ש"ח ח. הטיול יעלה בש"ח: = 7, x x + 60 x x + + כל ילד ישלם בשקלים: = , : נעגל זאת ל- 9 ש"ח פרק חקר נתונים וסיכויים יחידות עד יחידה חקר נתונים יחידה זו עוסקת בחקר נתונים בענף ספורט - הקפיצה במוט. פתיחת שיעור: בפתיחת השיעור אפשר להתייחס לענף ספורט הקפיצה במוט ולבקש מהתלמידים להביא לשיעור סיכום קצר על ענף זה. כמו כן, כדאי להתייחס לפרטים המופיעים במסגרות על הקופצים במוט הבולטים בארץ ובעולם, ולדבר על ההישגים המרשימים של הקופץ הישראלי אלכס אברבוך. פעילות : ההישגים של הקופץ במוט הישראלי אלכס אברבוך. א. התלמידים יתנסו בשרטוט דיאגרמת עמודות וקריאתה. תשובות: ב..6 מ' בשנת 00. ג..9 מ' בשנת 00. ד. הגובה השכיח הוא.8 מ'. ה. הישגיו של אברבוך אינם נמצאים כל הזמן בקו עלייה, בחמש השנים הראשונות הישגיו כמעט רק עולים )למעט שנת 00(, לאחר שהשיג שיא אישי בשנת 00 ישנה מגמת ירידה בשנים הבאות. ו. חישוב ממוצע הישגיו של אברבוך ב- 8 השנים הנתונות: = : 8 =.8 פעילות : ההישגים של הקופץ במוט האוקראיני סרגיי בובקה. א. 6. בשנת 99. ב..0 בשנת 98. ג. הגובה השכיח )שחוזר הכי הרבה פעמים( הוא 6.00 מ'. ד. הישגיו של סרגיי בובקה נמצאים בקו עלייה בין השנים 98 עד 988. בין 989 ל- 990 יש סוג של עצירה בהישגים )"עמידה במקום"( ולאחר מכן יש עלייה נוספת בין השנים 99 עד 99. משנת 99 מתחילה ירידה עד שנת 000, שנת סיום הקרירה שלו.

226 ה. הפרשי הגובה משנה לשנה: השנים בין 98 ל- 98 בין 98 ל- 98 בין 98 ל- 98 בין 98 ל- 98 בין 98 ל- 986 בין 986 ל- 987 בין 987 ל- 988 בין 988 ל- 989 בין 989 ל- 990 הפרש בס"מ השנים בין 990 ל- 99 בין 99 ל- 99 בין 99 ל- 99 בין 99 ל- 99 בין 99 ל- 99 בין 99 ל- 996 בין 996 ל- 997 בין 997 ל- 998 בין 998 ל- 000 הפרש בס"מ ו. בתחילת הקרירה שלו בין השנים 98 ל עלייה של ס"מ. ובסוף הקרירה שלו בין השנים 997 ל ירידה של ס"מ. ז. בשיא הקרירה שלו. פעילות : ההישגים של הקופצת במוט הרוסייה ילנה איסינבייבה. א. ההפרש עד שנה שנה 0 ס"מ ס"מ ס"מ ס"מ ס"מ ס"מ ( (ס"מ ס"מ ס"מ ב. ההפרש הגדול ביותר הוא בין השנים 00 ל- 00 ס"מ. ג. ההפרש הקטן ביותר הוא בין השנים 00 ל- 006 הפרש שלילי )0-( ס"מ. ד. לגבי הנתונים של הקופצת איסינבייבה. קצב ההתקדמות של הנשים ושל קופצת זו היה גדול יותר משום שמקצוע הקפיצה במוט לנשים התקבל רשמית רק בשנת 000. בהתחלה, היה שיפור גדול בהישגים וקרוב לודאי ששיא העולם לנשים בתחום זה יישבר בעתיד עוד מספר רב של פעמים. כשהקופצת הגיעה לנתונים גבוהים מבחינתה, השיפור כל פעם היה קטן יותר כי קשה יותר לשפר בגובה זה. 6

227 פעילות : מועדון "6 המטרים" א. ל"מועדון 6 מטר" שייכים קופצים. ב. המספר השכיח הוא 6.00 מטר. ג. גובה הקפיצה שכיחות יחסית בשברים: מספר הקופצים בגובה זה לחלק לסך כל הקופצים 6 = = = = ד. ה. התוצאות צפופות מלבד תוצאה אחת. ו. יש נתון חריג 6. רחוק ב- 0 ס"מ ומעלה מהנתונים האחרים. ז. השיא של קופץ זה גבוה בהרבה משל האחרים באופן יחסי. קופץ זה הוא כמובן סרגיי בובקה. 7

228 יחידה - סיכויים פעילות : א. אפשרות אחת מתוך 6 ב. 6 6 ג. יש מספרים זוגיים מתוך 6 אפשרויות שונות ולכן הסיכוי הוא מתוך 6 או שישיות ( 6.) נצמצם ונקבל חצי ( ) ד. הסיכוי שווה, כי יש מספר שווה של מספרים זוגיים ומספרים אי-זוגיים בקובייה. המספרים הזוגיים:.6,, האי זוגיים:,, ה. צמצום של, 6 כי יש מספרים בקובייה שמתחלקים ב- : 6, ו. כל המספרים שעל הקובייה קטנים מ- 7 לכן תמיד, בכל הטלה נקבל מספר שקטן מ- 7. לכן יש לכך סיכוי של שלם. ז. המספר 7 איננו על הקובייה ולכן אף פעם לא נקבל 7. לכן הסיכוי ל- 7 הוא 0. פעילות : התוצאה היא. הסיכוי שיקבל בהטלה השנייה זהה לסיכוי לקבל כל מספר אחר 6 הוא הסיכוי לקבלת מספר מתוך 6 מספרים, או. אין זה משנה מה התקבל בהטלה הראשונה. 6 לפעמים חושבים בטעות שהסיכוי לקבל הוא עכשיו קטן יותר, אך זה לא נכון. כל הטלה היא נפרדת, והסיכוי לקבל מספר מסוים נשאר. אם קיבלו בהטלה הראשונה, זה לא מקטין את 6 הסיכוי לקבל בהטלה השנייה, וגם לא מגדיל את הסיכוי לכך. פעילות : להלן הטבלה, כפי שהיא מופיעה בספר הלימוד. נתייחס לתשובות: 6,,, 6 א. יש 6 אפשרויות בטבלה. )אפשרות 6 ב. יש רק אפשרות אחת לקבל בהטלה ראשונה ו- בהטלה שנייה. הסיכוי הוא אחת מתוך 6 אפשרויות(. ג., מכיוון שזו רק משבצת אחת מתוך 6 האפשרויות שיש בטבלה. סיכוי זה קטן מהסיכוי 6 לקבל בהטלה אחת, כי כאשר מטילים את הקובייה פעמיים, יש לנו 6 אפשרויות, ואילו 8

229 כשמטילים אותה פעם אחת יש רק 6 אפשרויות. הסיכוי לקבל בשתי ההטלות הוא. 6 כפי שאנחנו רואים בטבלה שמכל 6 האפשרויות, רק אפשרות אחת היא,. כלומר, הסיכוי הוא לקבל תוצאה אחת מתוך 6 תוצאות אפשריות, או. 6, 6 או בצמצום. 6 כפי שרואים בטבלה, קיימות 6 משבצות שבהן יש את אותו המספר ד. 6 6 פעמיים, ולכן התשובה היא. המשבצות שבהן יש את אותו המספר פעמיים מסודרות 6 בטבלה בצורת אלכסון., 6 או בצמצום. 6 כפי שרואים בטבלה, השורה שבו מתקבל בהטלה הראשונה מכיל ה. 6 6 משבצות. הסבר נוסף: ניתן גם להסביר שהסיכוי לקבל בהטלה הראשונה מתוך שתי הטלות זהה לסיכוי לקבל כאשר מטילים את הקובייה רק פעם אחת, משום שבשאלה זו אין זה משנה מה נקבל בהטלה השנייה., כפי שניתן לראות בטבלה. יש אפשרויות מתוך 6, כי אם רוצים למצוא את האפשרויות ו. 6 שבהן יש לפחות פעם אחת 6, עלינו להסתכל על הטור שבו 6 מוטל בפעם השנייה, ועל השורה שבה 6 מוטל בפעם הראשונה. בכל טור ובכל שורה יש 6 מספרים. היינו מצפים לקבל אפשרויות, אך, עקב כך שיש לנו משבצת אחת שהיא משותפת לשורה ולטור, '6,6', יש לנו רק אפשרויות מתוך 6. 6,,,,,, 6,,,,,, 6,,,,,, 6,,,,,, 6,,,,,, 6 6 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 ז. מספר האפשרויות שווה, כפי שניתן לראות בטבלה. המשבצות שמסומנות במלבן הן המשבצות שבהן הסכום הוא זוגי, והמשבצות שמסומנות בקו מעוגל הן המשבצות שבהן הסכום הוא אי-זוגי. נוצר מעין לוח שחמט, כאשר הסיכוי לקבלת סכום זוגי או סכום אי-זוגי הוא, 8 6 או. 9

230 6,,,,,, 6,,,,,, 6,,,,,, 6,,,,,, 6,,,,,, 6 6 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, כפי שניתן לראות בטבלה. אנחנו יכולים לשאול את עצמנו, למה דווקא יצא? ח. 6 התשובה היא כזאת: יש סוגים של משבצות בטבלה כאלה שבהן ההטלה הראשונה גדולה מהשנייה, כאלה שבהן ההטלה השנייה גדולה מהראשונה, וכאלה שבהן שתי ההטלות שוות זו לזו. קיימות 6 משבצות מהסוג השלישי )הטלות שוות(, כפי שענינו בסעיף ד'. לאחר שהורדנו את המשבצות שבהן ההטלות שוות, נשארו לנו 0 משבצות. ההטלות מהסוג הראשון והשני מתחלקות באופן שווה, כלומר יש לנו משבצות מהסוג הראשון ו- מהסוג השני. לכן התשובה היא. 6 מצורפת הצגת התוצאות בטבלה, שבה מסומנות כל המשבצות שבהן ההטלה הראשונה גדולה מההטלה השנייה. 6,,,,,, 6,,,,,, 6,,,,,, 6,,,,,, 6,,,,,, 6 6 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 פרק מציאת חוקיות, הכללות ותובנה מספרית ואלגברית יחידות עד 6 יחידה בפרק זה של שני השיעורים יש עיסוק במציאת חוקיות ובהכללה. נתונות מספר פעילויות חקר וחזרה על תכונות מספרים, כמו כפל וחילוק ב- 0 וב-. ביחידה עוסקים בחקר ובהכללה בעזרת מציאת חוקיות במספרים. עיסוק בפעילות מסוג זה מפתח את התובנה המתמטית והאלגברית. לפי בחירת המורה, אפשר גם להציג חלק מהפתרונות וההכללות באותיות אלגבריות )או בסימנים כמו ריבוע ועיגול במקום המספרים כמשתנים(. 0

231 ביחידה זו עוסקים בפירמידות של מכפלות, שבהן יש כלל אחד קבוע: כל שני מספרים סמוכים מכפלתם נרשמת מעליהם. לפניכם פירמידה בת קומות. בקומה התחתונה נרשמו המספרים.,, מה תהיה המכפלה בראש הפירמידה? האם ניתן להגיע למכפלה גדולה יותר בעזרת אותם מספרים בקומה התחתונה? x x x = 7 x x המספר בראש הפירמידה הוא מכפלה, שבה שני המספרים בקצות הקומה התחתונה ), ( מופיעים פעם אחת כל אחד, והמספר האמצעי מופיע כגורם פעמיים ) (. x אם המספר האמצעי מופיע פעמיים כדי להגיע למכפלה גדולה יותר נרשום במרכז הקומה התחתונה את המספר הגדול ביותר: x x x = 96 x x בפעילות אלו שלוש המכפלות האפשריות. כאשר נמצא במרכז הקומה התחתונה, המכפלה היא הקטנה ביותר. כאשר 7 נמצא במקום זה המכפלה היא הגדולה ביותר נרשום במקום מספרים אותיות כדי לרשום את המכפלות באופן כללי ונקבל: A x B x C A A x B B B x C C המספר בראש הפירמידה הוא מכפלה שבה שני המספרים בקצות הקומה התחתונה )A,C( מופיעים פעם אחת כל אחד, והמספר האמצעי מופיע כגורם פעמיים ( B(. x B = B הילדים אמורים לגלות את הדבר תוך כדי התנסות. המעריכים במכפלה AB C הם: )A B C (,,

232 פעילות : הצבנו את המספר בראש הפירמידה. היכן יש להציב את המספרים,, בשורה התחתונה, כך שבראש הפירמידה יופיע המספר? איך מצאנו את הגורמים שבשורה הראשונה? נפרק את לגורמיו הראשוניים ונקבל: x x x אפשר לרשום זאת גם כך:. x x ואז נשבץ את המספרים בפירמידה. הופיע פעמיים ולכן הוא יהיה באמצע למטה: )אפשר להחליף בין המספרים (, פעילות : 6 90 כאשר אנחנו מעוניינים להגיע ל- 90 בראש הפירמידה, נפרק תחילה את המספר לגורמיו הראשוניים ונקבל:. x x x נשבץ את המספרים בפירמידה כך ש- יהיה במרכז )כי הוא מופיע פעמיים במכפלה למעלה(: פעילות : מה קורה כאשר יש קומות לפירמידה? x x x x x x x = 7,80 x x x x x x x x x x x x x x x x = x x x = 7,80 לו היינו רושמים בקומה התחתונה את המספרים בסדר שונה:,,, המכפלה שהייתה מתקבלת היא: = 8,000 x x x x x x x = x x x )גדולה יותר משום ש- ו- הם בחזקה שלישית ולא ו- (. באותיות תראה הפירמידה כך: A A x B x B x C x B x C x C x D A x B x B x C B x C x C x D A x B B x C C x D B C D A x B x B x C x B x C x C x D = A x B x C x D המעריכים במכפלה A x B x C x D הם:,,, בפירמידה בעלת קומות, היצבנו בראש את המספר,080. אילו מספרים יש להציב בתחתית הפירדמידה, והיכן? )נרשום מספרים ראשוניים ואם צריך גם (, פירוק לגורמים של,080 נותן: =,080. x x x x x x = x x פירושו של דבר שסדר המספרים בקומה התחתונה יהיה.,,,

233 מכיוון שהמספרים במכפלה במשבצת העליונה מראים ש- מופיע פעמים ו- מופיע פעמים, הם יעמדו בשני המקומות הפנימיים בשורה למטה. מופיע פעם אחת, ולכן הוא יעמוד באחד הצדדים. כאן המספר הרביעי, שגם הוא גורם של,080 הוא המספר. הוא יעמוד בצד השני בשורה התחתונה. פעילות : x x x x x x x x x x x x x x x x פעילות 6: xxxxxxxxxxx xxxx xxxxxxx xxxxxxx א. xxx xxx xxx x x x x ב. מספר 6 מספר הפעמים שהוא מופיע כגורם ג. x x 6 x x המספר הופיע הכי הרבה פעמים. המספר שלוש ממוקם במרכז השורה התחתונה. המספרים ו- מופיעים הכי מעט פעמים והם ממוקמים בקצוות של השורה התחתונה. ד. כאשר המספרים נמצאים בקצוות של השורה התחתונה כופלים אותם רק פעם אחת. לעומת זאת המספרים שנמצאים משני צידי המספר האמצעי כופלים אותם פעמים במהלך העליה בשורות הפירמידה ואילו המספר האמצעי יוכפל הכי הרבה פעמים - 6 פעמים במהלך העליה בשורות הפירמידה. פעילות 7: א. מספר שישובץ באמצע יופיע למעלה 6 פעמים. ב. מספר שישובץ שני מימין או שני משמאל יופיע למעלה פעמים. ג. מספר שישובץ בצד יופיע למעלה פעמים.

234 פעילות 8: שאלה אתגרית לבחירה )מתאימה גם לשיעורי בית לפי שיקול דעת המורה(. המספר בראש הפירמידה הוא 8,0. בתחתית הפירמידה ירשמו רק מספרים ראשוניים ואם צריך גם. אם נפרק את המספר שלמעלה לגורמים ראשוניים נקבל:. x x x x x x x x x x x 7= 6 x x x 7 ) מופיע פעם אחת כגורם, 7 מופיע פעם אחת כגורם, מופיע פעמים כגורם ו- מופיע 6 פעמים כגורם. מספר הפעמים שמספר מופיע כגורם נקרא המעריך שלו(. ו- 7 יהיו בקצוות הקומה התחתונה. מופיע 6 פעמים במכפלה ולכן הוא ייכתב במרכז הקומה התחתונה. מופיע פעמים במכפלה למעלה ולכן הוא יהיה לצידו של. ומה בצדו השני? שאינו מעלה ואינו מוריד בכפל. יוצא מזה שסדר המספרים בקומה התחתונה יהיה:.,,,, 7 כמובן שהמספרים ו- 7 יכולים להתחלף במקומות וגם ו- יכולים להתחלף. הקושי שנוסף במשימה זו, אחרי הפירוק לגורמים ראשוניים, הוא לחשוב על הגורם הנוסף שיש כאן והוא. מה קורה כאשר יש קומות לפירמידה? x xxxxxxxxxxxxxxx6 xxxxxxx xxxxxxx6 x x x x x x x x x 6 x x x 6 6 נכתוב את המכפלה בראש הפירמידה בעזרת כתיב החזקה: x x x x x x x x x x x x x x x 6 = x x 6 x x 6 ובאותיות: A A x B x C 6 x D x E A x B x C x D B x C x D x E A x B x B x C B x C x C x D C x D x D x E A x B B x C C x D D x E B C D E המעריכים במכפלה A x B x C 6 x D x E מראים כמה פעמים מופיע כל מספר מהשורה למטה במכפלה למעלה. המספרים הם:., 6,,, הם מראים כמה פעמים השתתף כל מספר במכפלה שלמעלה.

235 מה למדנו? ראשית: שקיימת סימטריה של המעריכים )מספר הפעמים שכל גורם מופיע במכפלה שבראש הפירמידה(. שנית: שהמספר שנכתב בקומה התחתונה באמצע יופיע מספר הפעמים הגדול ביותר )המעריך של החזקה הוא הגדול ביותר(, וככל ש"מתרחקים" לקצות - המעריך הולך וקטן. זה הגיוני, כי המספר באמצע משתתף בשני זוגות בקומה הראשונה וכך נכנס ליותר מכפלות בקומות הבאות. תהליך הגילוי של החוקיות על ידי הילדים אינו פשוט וכרוך בתיווך מורה. חשוב שיהיה ביטוי בתהליך גם לפירוק לגורמים ראשוניים וגם לכתיב החזקות )על פי ההכוונה בספר(. הרחבה למורה: המעריכים )כמות הפעמים שמספר מלמטה שעומד במיקום מסוים מופיע במכפלה למעלה(, כפי שצוינו כאן, מופיעים בשורות במשולש פסקל. לדוגמה: המעריכים בפירמידה בעלת קומות המעריכים בפירמידה בעלת קומות 6 המעריכים בפירמידה בעלת קומות 0 0 המעריכים בפירמידה בעלת 6 קומות

236 יחידה 6 היחידה נפתחת בפעילות שמטרתה ניסוח הכללה, לאחריה מוצעות כמה משימות שתכליתן תובנה מספרית. בפתיחה, מובילים למציאת הקשר בין מספר הצלעות של המצולע לבין סכום הזוויות שלו. נקודת המוצא היא שסכום הזוויות במשולש הוא 80 מעלות. אלכסונים היוצאים מקודקוד אחד בלבד במצולע מחלקים אותו למשולשים שסכום זוויותיהם הוא סכום הזוויות של המצולע. למשולש אין אלכסון, למרובע יש אלכסון אחד )מקודקוד אחד( למחומש שני אלכסונים מקודקוד אחד וכן הלאה... שם המצולע מספר הצלעות ציור מספר המשולשים סכום הזוויות 80 משולש x 80 = 60 מרובע x 80 = 0 מחומש x 80 = 70 משושה 6 x 80 = 900 משובע 7 6 x 80 = מתומן 8 8 x 80 = 0 8 מעושר 0 6

237 ב, ג: מספר האלכסונים מקודקוד אחד יהיה תמיד קטן ב- ממספר הקודקודים )או הצלעות( במצולע, מפני שאין אלכסון מקודקוד לעצמו, וגם לא לשני הקודקודים הסמוכים לו )הקטע המחבר בין קודקוד לקודקוד שכן הוא צלע(. בהכללה נוכל לומר, שכאשר מספר הקודקודים / הצלעות הוא N, אז מקודקוד אחד יוצאים -N אלכסונים. אלכסון אחד במרובע מחלק אותו לשני משולשים. שני אלכסונים במחומש מחלקים אותו לשלושה משולשים. שלושה אלכסונים במשושה מחלקים אותו לארבעה משולשים וכן הלאה... מספר המשולשים גדול ב- ממספר האלכסונים. יש -N אלכסונים ולכן יש +-N משולשים, כלומר -N. סכום הזוויות של -N משולשים הוא (-N) 80. x לדוגמה: במשושה יוצאים אלכסונים מקודקוד אחד ומחלקים אותו ל- משולשים. סכום הזוויות שלהם הוא = x ד. בחירה: מצולע בעל 0 צלעות, מספר המשולשים יהיה 8. סכום הזוויות יהיה 8 x 80 =,0 תובנה מספרית: הפעילויות הבאות הקשורות בתובנה מספרית, כרוכות בהתבוננות במספרים ולא בחישובים בפועל. הן מתאימות לעבודה עצמאית. טוב לשוחח לאחר מכן. עוסקים כאן בפיתוח תובנה מתמטית ב"פעולות מותרות" על משוואות כמו הוספת משני הצדדים של הסימן "שווה". פעילויות אלו שנעשות כאן במספרים מהוות תשתית של הבנה ללימודי אלגברה. כשהתלמידים ילמדו בעתיד שמותר להוסיף בכל צד של המשוואה שבה יש גם משתנים, הרעיון יהיה מוכר להם מהעבודה במספרים. פעילות : רשום תרגיל "מקורי" נכון ונעשים שינויים באגף אחד או בשניהם. התלמידים צריכים להחליט אם נשאר שוויון לאחר השינוי )נכון או לא נכון(. התלמידים יבינו שאם מחברים או מחסרים את אותו המספר משני צידי המשוואה, השוויון לא משתנה ושני הצדדים נשארים שווים. כך גם אם כופלים או מחלקים כל צד של המשוואה באותו המספר. בנוסף, חוזרים על הרעיון שאם מחברים ומחסרים את אותו המספר, לא שינינו דבר וכאילו חיברנו = 99 = א = ב = ג = ד 9 x ( + 6) = 9 x 99.ה = 99 6) x ( +.ו = 99 : 6) ( +.ז = 99 : : 6) ( +.ח = ט = י נכון. משני האגפים הורידו לא נכון. לאחד האגפים הוסיפו 6 נכון. הוסיפו והורידו את אותו המספר באותו צד לא נכון. בצד אחד הורידו ובצד שני הוסיפו נכון. כפלו ב- 9 את שני הצדדים לא נכון. כפלו ב- רק בצד אחד לא נכון. חילקו ב- באחד הצדדים נכון. חילקו באותו מספר בשני הצדדים נכון. הוסיפו וחיסרו אותו מספר באחד הצדדים נכון. הוסיפו את אותו מספר בשני הצדדים 7

238 פעילות : = = = = = 7 א. באגף שמאל צריך להוסיף )שהחסירו מ- 7 ( ב. באגף ימין צריך להוסיף )שהוסיפו משמאל( ג. באגף שמאל צריך לחסר )שהוסיפו ל- 7 ( ד. באגף שמאל צריך להוסיף 0 )שהוסיפו מימין( פעילות : תשובות: א. 0 ב. 6 ג. ד. 6 ה. 0 פרק חזרה בהנדסה יחידות 7 עד 8 בפרק זה חזרה על משפחת המרובעים: מלבן, ריבוע, מעוין, מקבילית, דלתון וטרפז. חזרה גם על סוגי משולשים ועל גבהים ושטחים במשולש ובמקבילית. יחידה - 7 משפחת המרובעים א. המלבנים הם: ב, ג, ד, ו )רצוי להזכיר שגם ריבוע הוא מלבן(. פעילות : ב. ארבע זוויות ישרות יש ל: ב, ג, ד, ו א. צלעות נגדיות במלבן שוות. פעילות : ב. הצלעות הנגדיות במלבן שוות זו לזו. צלעות נגדיות במלבן שוות. המלבן השמאלי )ד( הוא ריבוע שכל צלעותיו שוות. פעילות : צורה א: טרפז שווה שוקיים, זוג אחד של צלעות מקבילות. פעילות : צורה ב: מלבן, זוגות של צלעות מקבילות. צורה ג: משושה משוכלל, זוגות של צלעות מקבילות. צורה ד: ריבוע, זוגות של צלעות מקבילות. צורה ה: דלתון קעור, אין צלעות מקבילות. פעילות : א. מלבן הוא מרובע שיש לו זוויות ישרות, יש לו גם זוגות של צלעות נגדיות שוות ומקבילות. ב. ריבוע הוא מלבן מיוחד כי יש לו גם צלעות שוות. א. התכונה המשותפת היא זוגות של צלעות נגדיות מקבילות ושוות )מקבילית(. פעילות 6: ב. התכונה המשותפת היא זוויות ישרות )מלבן(. ג. ריבוע ב. מלבנים: ב, ג א. מעוינים: ב, ד פעילות 7: תכונות המעוין: א, ג פעילות 9: תכונות הריבוע: א, ב, ג פעילות 0: א. הצלעות הנגדיות במעוין מקבילות, המעוין הוא מקבילית. פעילות : ב. הצלעות הנגדיות בריבוע מקבילות, הריבוע הוא מקבילית. מקביליות: א, ב, ג, ה פעילות : ב. כל הריבועים: ד, ה א. כל המלבנים: א, ד, ה, ו פעילות : ד. כל המקביליות: א, ב, ג, ד, ה, ו, ח ג. כל המעוינים: ב, ד, ה, ח 8

239 פעילות : שייכים למשפחת המעוינים: א כל הצלעות שוות ב- כל הצלעות שוות. צורות ג', ד', ו-ה' אינם מעוינים כי הצלעות אינן שוות. פעילות : אפשר לחשוב על יוצאי דופן שונים. תשובות: א. ב' הדלתון יוצא דופן כי הוא אינו מקבילית ושתי הצורות האחרות כן מקביליות. או ג' יוצא דופן כי כל הזוויות שלו ישרות. או ב' יוצא דופן כי הוא מרובע קעור. ב. א' המקבילית היא יוצאת דופן כי אין לה זוויות ישרות ולשתי הצורות האחרות יש זוויות ישרות. ג. ב' המקבילית היא יוצאת דופן כי היא לא דלתון. ושתי הצורות האחרות הן דלתונים. או א' יוצא דופן כי הוא מרובע קעור. פעילות 6: תשובות: א. נכון ב. נכון ג. נכון ד. נכון ה. לא נכון לא לכל מעוין יש זוויות שוות. ו. נכון יחידה - 8 חזרה על סוגי משולשים ועל גבהים ושטחים במשולש ובמקבילית משולשים שווי צלעות: ג משולשים שוני צלעות: ד, ה משלשים שווי שוקיים: א, ב, ג, ו משלשים ישרי זווית: ב, ה משולשים חדי זוויות: א, ג פעילות : א. אינו גובה כי אינו אנך היוצר 90 מעלות עם הצלע שמול הקודקוד. ב. גובה ג. גובה ד. אינו גובה כי קצהו אינו בקודקוד ה. גובה ו. גובה ז. אינו גובה כי אינו אנך היוצר 90 מעלות עם הצלע שמול הקודקוד 9 פעילות : פעילות : חישוב שטחים במשולשים. = 60 8 x : א. שטח המשולש 60 סמ"ר. =8. 7 x : ב. שטח המשולש 8. סמ"ר. פעילות : א. שטח המשולש סמ"ר. = 8 x 6 : ב. שטח המשולש 0 סמ"ר. = 0 0 x : ג. שטח המשולש 6 סמ"ר. = 6 9 x 8 : פעילות : שטח המקבילית. יש להשתמש באורך צלע 7 ס"מ ובגובה היורד לצלע זו ס"מ. השטח הוא 77 סמ"ר: = 77 7 x פעילות = 0 6: 0 x שטחה של המקבילית העליונה מימין 0 סמ"ר. שטחה של המקבילית העליונה משמאל לא ניתנת לחישוב חסרים נתונים. שטחה של המקבילית התחתונה מימין לא ניתנת לחישוב חסרים נתונים. = 0 8 x שטחה של המקבילית התחתונה משמאל 0 סמ"ר.

240 פעילות 7: ב- המקביליות יש את אותו אורך צלע הבסיס )6 משבצות אורך(. הגבהים במקביליות שונים. במקבילית השמאלית הגובה הוא משבצות )אפשר לראות את הגובה שיורד מהקודקוד הימני העליון להמשך הצלע של הבסיס.( במקבילית הימנית הגובה הוא משבצות. לכן השטח של כל מקבילית יהיה שונה: במקבילית השמאלית השטח הוא 8 משבצות: = 8 6 x במקבילית הימנית השטח הוא משבצות: = 6 x פעילות 8: שטח כל המקביליות שווה מפני שהגובה שווה והצלע המודגשת שווה. שטח המקביליות הוא: סמ"ר. =. x פרק שאלות אינטגרטיביות וקנה מידה יחידות 9 עד 0 בפארק ההרפתקאות. יחידות 9 ו- 0 הן יחידות אינטגרטיביות שמכילות שאלות גדולות הדורשות חשיבה והתאמה למצבים מחיי היום יום. התלמידים ישתמשו במגוון של חישובים וחזרה על מושגים ורעיונות מתמטיים ממספר נושאים. ביחידה 0 יש גם חלק של תכנון תוכנית ושרטוטה על ידי התלמידים לשטח בפארק ההרפתקאות תוך שימוש בקנה מידה. הנושאים המתמטיים ביחידות אילו הם: היקף מעגל, היקף ריבוע, חילוק וחילוק עם שארית, אחוזים, שאלות מגוונות ושאלות רב-שלביות במספרים שלמים. אומדן, קנה מידה, שטח מלבן, חישובים במספרים עשרוניים )כפל וחילוק(. אפשר להציע לתלמידים לעבוד בזוגות לפתרון השאלות ביחידה 9 או לעשות זאת עם הסימון לכך בפעילויות יום הכיף ביחידה 9 )עמוד 70 בספר התלמיד(. ביחידה 0 התלמידים יעבדו בזוגות או בקבוצות קטנות של - תלמידים. יחידה 9 בפארק ההרפתקאות. בפעילות : מוצאים קודם את ההיקף של המעגל כל פעם עם רדיוס אחר שניתן כאן. על היקף זה שמים בערך כל מ' אווירון. כלומר, מחלקים את היקף המעגל ב- ורואים כמה אווירונים נכנסים. המרווחים עשויים להיות לא לגמרי שווים או שמרווח אחד יהיה גדול יותר. אפשר לפתוח את היחידה בתזכורת לנוסחה של חישוב היקף מעגל. תזכורת כזו נמצאת בספר התלמיד בעמוד 68 למטה. תשובות: א. רדיוס של מ'. היקף המעגל. ס"מ: =.. x π x = x. x = 0 x מספר האווירונים: =. : אם נחלק 0 ל- נקבל 0 אווירונים. יישאר רווח נוסף של. מ' ב. רדיוס של 7 מ'. ההיקף.96 מ'. =.96 7 x π x 7 = x. x מספר האווירונים: = =.96 : : יישאר.96 מ' ג. רדיוס של 0 מ'. ההיקף 6.8 ס"מ )אפשר גם לראות שזה פי מההיקף בסעיף א'(: x π x 0 = x. x 0 = 0 x. = 6.8 מספר האווירונים: = = : 60 : יהיו 0 אווירונים ויישאר רווח נוסף של..8 0

241 פעילות : מקימים גדר עגולה במרחק מ' ממיקום האווירונים כשהם מסתובבים. א. הרדיוס לאחר שהמוט עם האווירון מתרומם )בהנחה של קירוב שהמוט יתרומם לגמרי( הוא עבור רדיוס מ' עוד מ' לאורך המוט, כלומר, הרדיוס הוא 8 מ'. רדיוס הגדר ב- מ' יותר או 9 מ'. היקף הגדר כולל השער הוא היקף המעגל שרדיוסו 9 מ' וזה 6. מ': = 6. 9 x π x 9 = x. x עבור רדיוס 0 מ', רדיוס המעגל הוא מ' ורדיוס מעגל הגדר הוא מ'. היקף הגדר הוא 87.9 ש"ח: = 87.9 x π x 9 = x. x ב. הקוטר של הגדר הוא 8 מ' )עבור רדיוס מ' בלי המוט(, או בסך הכול רדיוס הגדר 9 מ' ) (. + + הריבוע הוא עם אורך צלע של 8 מ' או קצת יותר. הקוטר של הגדר השנייה הוא 8 מ' )עבור רדיוס 0 מ' בלי המוט(, רדיוס הגדר מ' ) 0(. + + הריבוע הוא עם אורך צלע של 8 מ' או יותר.. מתקן אווירונים שהרדיוס שלו 7 מ' יש בו אווירונים שבכל אחד מקומות )מפעילות ב'(. יש לכן 8 מקומות בכל מחזור של סיבוב אווירונים. אדם שהוא מספר 87 בתור, כמה סיבובים יחכה? () = 8 87 : הוא יחכה סיבובים )8 אנשים יעלו על האווירונים ב- סיבובים( ואחרי סיבובים יהיה מספרו של האדם בתור והוא יכנס לאווירון השני.. תשובות: מחיר כרטיס לכל תלמיד ש"ח: = 0 : כל תלמיד שילם ש"ח במקום 90 ש"ח, כלומר חצי מחיר ואחוז ההנחה הוא 0 אחוז. שאלות בנושא יום כיף של בית הספר בפארק השעשועים. רצוי לעבוד בזוגות או בקבוצות קטנות של - תלמידים. התלמידים ישתמשו בנתונים לחישובים. א. 0 ילדי בית הספר מגיעים לפארק השעשועים. מחיר הכרטיסים: מחיר הכרטיסים לכל תלמידי בית הספר בשקלים: = 6, x ב. לכל כיתה הצטרפו מלווים, כלומר הצטרפו מלווים. בנוסף, הצטרפו עוד 7 הורים ומורים כך שביחד יש מלווים. על כל תלמידים יכול להיכנס מבוגר בלי תשלום. יש 0 תלמידים, כמה מלווים יכולים להיכנס חינם? = 8 0 : )ייתכן שהתלמידים יפתרו תרגיל זה על ידי חשיבה על פעמיים שזה 0 וכמה פעמים 0 נכנס ב- 0. או כמה פעמים נכנס ב-. אפשר גם לפתור ב"חילוק ארוך"(. כלומר, מלווים יצטרכו לשלם כל אחד 0 ש"ח וביחד 0 ש"ח. קרטיבים: היו 0 תלמידים וקנו לכל אחד קרטיב ב- ש"ח. שילמו בש"ח: 0 x =,680 אוטובוסים: א. יש 0 תלמידים, מלווים, כלומר תלמידים ומלווים )לא כולל הנהג(. בכל אוטובוס יש כ- 0 אנשים ולכן יצטרכו 9 אוטובוסים. ב. מחיר כל אוטובוס 00 ש"ח. מחיר כל האוטובוסים בש"ח: =, x עלות לכל בית הספר: א. נחבר את הסכומים: =,00,00 6, ,680 + ב. יש כיתות בבית הספר. אם כל כיתה תגבה,000 ש"ח, ייגבה מכל בית הספר: x,000 =,000,000 זה סכום מספיק לכסות את העלות של,00 ש"ח.

242 ג. אם כל ילד בכיתה ישלם 00 ש"ח הכיתה תאסוף,00 ש"ח. צריך רק,000 כך שכל ילד ישלם פחות מ- 00 ש"ח. x 00 =,00 אם כל ילד ישלם 60 ש"ח, הכיתה תאסוף =, x אין צורך שכל ילד ישלם יותר מ- 60 ש"ח. 60 ש"ח יספיקו כדי לגבות,000 ש"ח. אם נרצה לגבות סכום מדויק מספיק 7. ש"ח.,000 : = 7. יחידה 0 תכנון פארק הרפתקאות. ביחידה זו התלמידים יתכננו בעצמם תכנית של מתקני פארק הרפתקאות בשטח מלבני של 00 מ' על 0 מ'. הם ישרטטו את התכנון שלהם בדף מחברת או בדף משובץ אחר תוך חישוב קנה מידה. התלמידים גם יכתבו דיווח קצר בו הם יראו את החישובים שעשו. בתכנון התלמידים ישתמשו בנתונים. רצוי לעקוב אחרי ההוראות המפורטות שבספר התלמיד. התלמידים יכולים לשרטט את המתקנים בקנה מידה ולגזור אותם ולהניחם על שרטוט מוקטן בקנה מידה המוצע של המלבן אותו מתכננים. הם יוכלו להזיז את המתקנים עד למציאת תכנון המוצא חן בעיניהם. ייתכנו כאן מגוון רחב של תכנונים. כל קבוצה תסביר בכתב את התכנון שלה ותצייר אותו )או תדביק את המתקנים במלבן(. מספר קבוצות יציגו לכל הכיתה את התכנונים שלהם. כל התהליך יכול לקחת שיעור או שניים. חשוב לתת לתלמידים זמן מספיק. אפשר גם להציג אחר כך בתערוכה את התכנונים של התלמידים. אפשר להרחיב את הדיונים גם לשיחה על איך מתכננים חדר או דירה בעזרת קנה מידה. התלמידים יכולים לשתף מניסיונם או מניסיון הוריהם אם היו מעורבים בתכנון או שיפוץ בדירה. אפשר להציע לתלמידים לאסוף ולהביא לכיתה דוגמאות של תכניות לחדר או דירה )אפשר גם מפרסומות של מכירת דירות כדי לראות אם הם מבינים את התרשים(. את המתקנים העגולים )או אפילו פח אשפה( אפשר לשרטט בעזרת מחוגה. פותחים את רגלי המחוגה לאורך הרדיוס הרצוי. אם הציורים מאד קטנים אפשר להעתיק חפץ עגול או לצייר ביד חופשית. קנה מידה של : 00 אומר שכל ס"מ בציור ייצג 00 ס"מ במציאות, כלומר מטרים. ס"מ שווה לאורך של שתי משבצות במחברת. אפשר להיעזר בדוגמה בטבלה בתחתית עמוד 7 בספר התלמיד כדי לראות איך מחשבים את האורכים לשרטוט מהמרחקים במציאות. בחישובי קנה המידה אפשר להיעזר במחשבון. חשוב להדגיש בפני התלמידים שאם המידות של המתקנים נתונות במטרים, רצוי לרשמן קודם בסנטימטרים ואז קל יותר לחשב את קנה המידה )מחלקים את מספר הסנטימטרים שהתקבלו במציאות ב- 00 כדי לראות כמה סנטימטרים בציור ייצגו אותם(. אפשר להיעזר במחשבון לצורך החישובים האלה )אם כי התלמידים צריכים לחלק ב- 00 בקלות גם בעל פה או בכתב(. כדאי לשוחח עם התלמידים על דרכים לחלוקת עבודה בקבוצה. אולי כל אחד או כל זוג יחשבו את קנה המידה למתקן אחד או לשביל, או למקום לתור וישרטטו אותו ואף יגזרו אותו כדי להניחם אחר כך על השרטוט המוקטן של המלבן אותו מתכננים. לא חייבים להשתמש בכל הנתונים, אפשר להפעיל שיקולי דעת נוספים כמו נוחיות הגישה, קירבת מתקנים מסוימים זה לזה אם זה מתאים, תפיסה אסטטית של מה "נראה טוב יותר", איפה הגישה נוחה יותר ועוד. אנחנו ממליצים למורה להתנסות בעצמו / בעצמה בהכנת תרשים כזה לפני העבודה עם התלמידים.

243 חגים - פסח פעילות : הנושא המתמטי כאן הוא יחס, אך התלמידים אינם נדרשים כאן להשתמש בסימון ובשפה של יחס, אלא לפתור באופן לא פורמאלי. ניתן מתכון של חרוסת שהכמויות בו מתאימות לאירוח של 8 אנשים. בליל הסדר יגיעו אנשים. צריך להשלים את הכמויות במתכון, כך שיתאימו ל- אנשים. התלמידים יראו שנדרשות כמויות שהן פי. מהמתכון המקורי. כדי למצוא את הכמויות החדשות, אפשר להוסיף לכל כמות במרשם חצי ממנה. תשובות: במקום 00 גרם תמרים יצטרכו 70 גרם במקום כוס יין צריך כוס. )רבע ועוד שמינית( 8 תפוח עץ צריך וחצי 0 גרם אגוזים צריך 7 גרם 00 גרם צימוקים צריך 0 גרם ורבע כוס סוכר צריך 7 כוס )כוס ורבע ועוד חצי ועוד שמינית( 8 חצי כפית קינמון צריך רבעים )חצי ועוד רבע( פעילות : גם כאן יחס באופן אינטואיטיבי. צריך לחלק את 0 לשתי כמויות המתייחסות זו לזו ביחס של :. התלמידים אינם נדרשים כאן לפתור בדרך של יחס, אלא הם יכולים לפתור בעזרת ציור או רישום. הם עדיין אינם צריכים לדעת לרשום יחס, אלא אם כן הם כבר הספיקו ללמוד את פרק היחס לפני פסח, שאז אפשר לבקש מהם רישום של יחס. ניתן לצייר או להשתמש בפרטי מנייה לפתרון. לדוגמה: יובל ;y איילת xyy xyy xyy xyy xyy xyy xyy xyy xyy xyy ;x איילת קיבלה 0 ויובל קיבל 0. פעילות : הנושא שברים - מציאת חלק א. מוצאים את החלק שהרוויח כל ילד. כל הילדים יחד הרוויחו אגוזים. איזה חלק קיבל כל ילד? החלק של עירית:, החלק של יניב:, 9 החלק של אופיר: ב. דרך אחת היא להשתמש באותו חלק של כל ילד מתוך 00 האגוזים שמרוויח כל ילד: דוגמה, כמות האגוזים שעירית הרוויחה: = 8 00 x 9 החלק של יניב: = 6 00 x החלק של אופיר: = 6 00 x דרך אחרת לחשב זאת: חילקו ביניהם 00 אגוזים ושמרו על חלקו של כל ילד מהכמות הכללית )כלומר, כל ילד/ה קיבל/ה פי כאן מאשר במשחק הראשון(. עירית יניב אופיר סה"כ

244 פעילות : הנושא מספר אפשרויות )קומבינטוריקה( לצירוף של חרוסת וירק יש אפשרויות שונות: חסה מלפפון עגבנייה גזר חרוסת תמרים תמרים וחסה תמרים ומלפפון תמרים ועגבנייה תמרים וגזר חרוסת תפוחים תפוחים וחסה תפוחים ומלפפון תפוחים ועגבנייה תפוחים וגזר חרוסת תאנים תאנים וחסה תאנים ומלפפון תאנים ועגבנייה תאנים וגזר היות שיש שני סוגי מצה, יוצא שמספר האפשרויות הכללי הוא =. x לכל סוג אחד של מצה אפשר להרכיב אפשרויות כפי שמתואר בטבלה. יום העצמאות מוצג משחק ליום העצמאות. ההוראות נמצאות בספר הילדים. דף המשחק נמצא בערכת העזרים. המשחק מיועד לילד אחד או - משחקים. כשתלמיד אחד משחק לבדו, הוא מנסה לסדר את הכרטיסים כך שייווצר ריבוע שבו השברים הרשומים בצד אחד של הכרטיס שווים לשברים הרשומים בצד של כרטיס שני, הנוגע בכרטיס הראשון בדרך דומה למשחק "דומינו". ההתאמה בין השברים צריכה לחול על כל הצדדים של הכרטיס: למטה, למעלה, מימין ומשמאל. התוכן המתמטי בכרטיסים הוא כתיבה של מספרים בצורות שונות )כאחוזים, כשברים פשוטים, כשברים עשרוניים(. מוצגת כאן דוגמה לפתרון. הכרטיסים בדוגמה מונחים כאן בהתאמה, אך ניתן לסדרם היטב גם אם נניח בפינה השמאלית העליונה כל כרטיס אחר ונניח את שאר הכרטיסים בהתאם. 00% 0. % 0. 0% 0.6 7% 0.7 0% 0. 60% % % 0%

245 =, (א =,8 0,0 - (ב = 7 76 : (ג = 800 6,000 : (ד = 76 X (ה = 9 X (ו = - : X (ז = : 9) ( (ח תאריך : שם התלמיד: המספרים השלמים:. פתרו בדרך הנוחה לכם:. השלימו את המספרים החסרים: פשוט חשבון מבחן תחילת שנה - כיתה ו' = 769 -,00 (א =, ,7 (ב

246 . בתחילת השנה החליטו בבית הספר לחלק לתלמידים כרטיסי ברכה. בבית הספר 7 תלמידים. כרטיסי הברכה נקנו בחבילות של 0 כרטיסים בחבילה. חבילה אחת של כרטיסי ברכה עלתה לבית הספר 0 ש"ח. כמה כסף שילם בית הספר עבור כל כרטיסי הברכה?. רשמו את הסימן המתאים: <, =,> - 0 x 0 )א : x )ב 6 : 6 6 : )ג 0 : )ד x )ה x 0 78 x 0 )ו. מה ממוצע הציונים של תלמיד שקיבל במבחנים את הציונים:?80,80,00,90,70 כיצד חישבתם?.6 הקיפו את המכפלה הגדולה יותר: x x בכמה מכפלה אחת גדולה מהשנייה? הקיפו את התשובה הנכונה: א. ב. ג. ד פתרו. כתבו את כל שלבי הפתרון:.א 0 + =.ג - =.ב + =.ד 6 - = שברים ומספרים עשרוניים: 7. רשמו את הסימן המתאים: <, =,>.א 8.ג.ב 6.ד

247 9. בסל יש 0 כדורים בצבעים שונים. מהכדורים הם בצבע צהוב, 0 מהכדורים הם בצבע אדום ושאר הכדורים לבנים. כמה כדורים מכל צבע בסל? 0. השלימו את הטבלה: א( ב( ג( ד( ה( בשבר )מספר מעורב( )שבר מצומצם( במספר עשרוני , רשמו את הסימן המתאים: <, =,> א ג ב ד.... המשיכו את הסדרות בדילוגים שווים:,,.7,.,., )א,,.068,.066,.067, )ב. לח ן היו 0 ש"ח. הוא קנה חבילת מסטיק ב-. ש"ח, חטיף מלוח ב-.08 ש"ח ושתייה ב ש"ח. כמה כסף נשאר לו?

248 מהשטח. בגינה של משפחת שמש שתלו פרחים ב- 0.6 משטח הגינה, וב- שתלו דשא. איזה שטח גדול יותר שטח הפרחים או שטח הדשא? כיצד חישבתם? = (ב = (א = (ד = + 0. (ג. פתרו: השלימו: הנדסה: 6. אילו מבין הקטעים הבאים הוא גובה במקבילית? )סמנו את הגובה( 7. חשבו את השטח ואת ההיקף של המקבילית הבאה: ס"מ. ס"מ ס"מ שטח המקבילית: היקף המקבילית: 7 ס"מ 8 ס"מ 8. חשבו את השטח של המשולש הבא: )הציור מוקטן( ס"מ שטח המשולש: 8

249 מחוון למבחן תחילת שנה - כתה ו' הסבר ניקוד: לתשובה מלאה: בעבור התוצאה והדרך )אם ביקשו לרשום דרך( יקבל התלמיד את כל הנקודות. אם הדרך נכונה אך התשובה הסופית לא יקבל התלמיד חצי מהניקוד. אם התלמיד לא ענה או אם תשובתו שגויה יקבל 0 נקודות. מס' שאלה 6 7 תחום תוכן פעולות במספרים שלמים. תשובות נכונות ניקוד נקודות כל תרגיל. סה"כ: 6 נקודות. ג. 68 ב. 6,66 א.,0 ו.,0 ה.,0 ד. 80 ח. 6 ז. 8 השלמת א., ב.,7 מספר חסר בעיה מורכבת יש לעגל את מספר התלמידים ל- 80 בי"ס קנה 8 חבילות = : 8 x 0 = 960 בי"ס שילם 960 ש"ח עבור כרטיסי הברכה )או לחלק 7 ב- 0 ולקבל 7. ולדעת שצריך 8 חבילות שלמות( נקודות לכל תרגיל. סה"כ: נקודות נקודות. > x א = x :.ב < 6 : 6 6 :.ג = :.ד > 9 x 9 +.ה x 0 = 78 x 0.ו תכונות ה- 0 ו- ממוצע נקודה אחת לכל תרגיל. סה"כ: 6 נקודות נקודות. הממוצע: 8 ( ):=0:=8 מכפלה תובנה השוואת שברים להקיף את התרגיל x תשובה ד' נכונה: המכפלה גדולה ב- 0..ג.ב.א נקודה נקודות סה"כ: נקודות נקודות לכל תרגיל. סה"כ: 8 נקודות. > 8 = 0 > 6.ד 9 = 6 9

250 חיסור וחיבור שבר פשוט בעיה א. ב. ג. ד. כדורים בצבע צהוב, 6 כדורים בצבע אדום ו- 0 כדורים בצבע לבן. )אפשר לצייר את הבעיה( נקודות לכל תרגיל. סה"כ: 8 נקודות. נקודות מעבר משבר פשוט למספר עשרוני ולהיפך השוואה במספרים עשרוניים א. ב..0 ג. ד. 0. נקודות לכל תרגיל. סה"כ: 0 נקודות. נקודות לכל תרגיל. סה"כ: 8 נקודות. ה..09 א. > ג. > ב. = ד. <.. 0 נקודות. נקודות. נקודות..א.9, 6., 6..ב.069, (,070), נשאר.87 ש"ח. שטח הפרחים גדול משטח הדשא. סדרות בעיה בעיה או: 0.= חיבור וחיסור עשרוני גובה במקבילית שטח והיקף מקבילית שטח משולש פתרו: א..07 ב..9 השלימו: ג. 0.7 ד. 0.7 גובה יוצר זווית ישרה לצלע שאליה יורד. הקטע המסומן הימני הוא הגובה ומסומן גם שיש זווית ישרה בינו לצלע. א. שטח המקבילית 8 סמ"ר ב. היקף המקבילית ס''מ שטח המשולש: 6 סמ"ר נקודות לכל תרגיל. סה"כ: 8 נקודות. נקודות. נקודות לכל תרגיל. סה"כ: נקודות. נקודות. סה"כ: 00 נקודות = - =

251 ח ז המספרים השלמים. מספר חסר ב א שברים פשוטים ומספרים עשרוניים פריסה מבחן תחילת שנה - כיתה ו' כיתה: מורה.6. ממוצע תובנה.. בעיה תכונות ה- 0 ו- ו ה ד ג ב א ב א 7. שברים השוואה ד ג ב א.8 חיבור חיסור שברים ד ג ב א.9 בעיה 0. מעבר משבר פשוט לעשרוני ה ד ג ב א ו ה ד. פעולות ג ב א הציון שם התלמיד

252 דימלתה םש. ינורשע האוושה םיינורשע םירפסמ הסדנה תורעה. תורדס. היעב. היעב. רוסיח רוביח.6 הבוג תיליבקמב.7 ףקיהו חטש תיליבקמב.8 חטש שלושמ א ב ג ד א ב א ב ג ד א ב

253 שם התלמיד/ה: תאריך: כיתה: מבדק פשוט חשבון מספרים עשרוניים. רשמו מספר עשרוני כשבר פשוט )צמצמו ככל האפשר( או רשמו שבר כמספר עשרוני. = 0.6.ג =..ב = 0.0.א 7.ה =.ד =.ו = 0. מה ערכה של ספרה בכל אחד במספרים הבאים: ערך הספרה המספר 06.א 0.6.ב 6.0.ג 6..ד 8.8.ה,7.ו. השלימו את הטבלה: המספר במילים א. עשרים ושש מאיות ב. ג. ד. המספר בשבר פשוט המספר במספר עשרוני השלימו את החסר:.6 =

254 . סמנו על הציר את המקום של המספרים הבאים:.7 0.,., 0 6. פתרו ותעדו את דרך הפתרון: = ב = א = ג = ב 7. השלימו את הסדרות בדילוגים שווים:,.,, 0.9,,.א,,.,.6,.ב 0.,, 0.,,,.ג 0.8 < < < < השלימו מספר מתאים: כתבו אפשרות נוספת: 9. לדנה היו 0 ש"ח. היא קנתה כרטיסי ברכה ב-. ש"ח, מעטפות ב-. ש"ח ובולים ב- שקלים. כמה כסף נשאר לה? החישוב: התשובה:

255 0. השלימו ספרות מתאימות כדי שהאי שיוויון יהיה נכון: >...ג > ב < א > ו. <..ה 6. < 6..ד = :.ב = 00. x.א =.9 0 :.ד = x.ג. פתרו:. סמנו,> <, = 0.8 x x 0.א 90 :, :.ב 6 : 00,000 6 :.ג : :.ד x.ה =.6. x.א אומדן: = x.ב אומדן: =. 7 x.ג אומדן: = 7.. x.ד אומדן:. פתרו ובדקו באמצעות האומדן:. רשמו את נקודה העשרונית במקום הנכון בתוצאה או בתרגיל: = x.ב = 876. x.א =.6 x.ד = x.ג

256 . קובי רץ. סיבובים סביב בית הספר במסלול שאורכו 0. ק"מ לסיבוב. כמה ק"מ רץ קובי סך הכול? החישוב: התשובה: 6. דנה קנתה. ק"ג בורקס במחיר של.0 ש"ח לק"ג ו- 0.7 ק"ג עוגיות חמאה ב ש"ח לק"ג. כמה כסף שילמה דנה סך הכול? החישוב: התשובה: רשות:. פתרו את התרגילים ללא חישוב בעזרת התרגיל שבמסגרת: = x =.. x.א =. x.ב = 0. x.ג =. 0. x.ד. השלימו את המספרים החסרים: x 8 x. = 0.8.א.07 x. = x.ב x 0.07 = 0. x 7.ג x 8. x =.8.ד x x 0.0 =.ה 6

257 מחוון למבדק בנושא מספרים עשרוניים לכיתה ו' ספר ו' יחידות עד למורה: סימון בדף מיפוי המבחנים יהיה כדלקמן: רשמו את הניקוד על פי פתרון התלמיד ובהתאם למפורט במחוון. אי מתן תשובה מקנה 0 נקודות ונסמן )- ) מספר השאלה ניקוד א. ד. 0. ב. ה. 0. תשובות נכונות הערות נקודה לכל תשובה נכונה ומצומצמת. נקודה אחת לשבר לא מצומצם ג. ו. 0.7 א. מאות ב. עשיריות ג. מאיות ד. יחידות ה. אלפיות ו. עשרות נקודה אחת לכל תשובה נכונה. א., 0.6 ב. ארבע עשרה אלפיות, 0.0 ג. שתיים ושתי מאיות, ד. ארבע עשיריות, 0..6 = תשובה בסוף המחוון נקודות לכל תשובה נכונה נקודה אחת לכל תשובה נכונה. נקודה אחת לכל תשובה נכונה. נקודות לכל תשובה נכונה. נקודה אחת לכל תשובה נכונה. 00 = = 0 א..98 ב..07 ג. 0.7 ד..0 א. 0., 0.6, 0.9,.,.,.8 ב..6,.,.8,.,.0 ג. 0., 0., 0., 0., 0., * 6 7 7

258 מספר השאלה ניקוד תשובות נכונות האפשרויות מ- 0.8 עד 0.9 הערות נקודות לכל תשובה נכונה נקודות עבור החישוב ו- נקודות עבור תשובה נכונה ומלאה. התלמידים לא חייבים להציג את החישוב בתרגיל אחד. נקודה אחת לכל תשובה נכונה. נקודות לתשובה נכונה נקודה אחת לכל תשובה נכונה. נקודה אחת לכל תשובה נכונה. נקודה אחת לבדיקה באומדן. 0 - ( ) =. לדנה נשאר. ש"ח א. עד 6 ב. עד 9 ג. עד 9 ד. 6 עד 9 ה. עד 9 ו. עד 9 א. 0 ב. 9.8 ג. 000 ד. 9 א. < ב. = ג. > ד. = ה. > א. 8.6 ב. 0.6 ג. 8. ד. 7. נקודה לכל תשובה נכונה. )ישנן מס' תשובות נכונות לסעיפים ג' ו-ד' חלק הראנו כאן ויש כמובן אפשרויות נוספות נכונות שלא רשמנו. יש לקבל כל תשובה נכונה. נקודות עבור החישוב ו- נקודות עבור תשובה נכונה ומלאה. יש לקבל חישוב של חיבור חוזר. א. = x ב. = x ג. = x אפשר גם: = x ואפשר גם: 86 x 0.09 = 6.7 ד. =.6. x ואפשר גם:. x. =.6 0. x =.6. x 0. =. תשובה: קובי רץ. ק"מ סך הכול. 8

259 נקודות עבור החישוב ו- נקודות עבור תשובה נכונה ומלאה. התלמידים לא חייבים להציג את החישוב בתרגיל אחד. 00 (. x.0) + (0.7 x 9.80) = 0. תשובה: דנה שילמה 0. ש"ח סה"כ נקודה לתשובה נכונה. נקודה אחת לתשובה נכונה א.. ב.. ג.. ד. 0. א. ב ג. 0 ד. 8. x =.8 x 0 ה. x 0.0 = 0 x בונוס בונוס 09 סה"כ )*

260 צפיפות 8 א,ב חיבור וחיסור מס' עשרוניים 6 ד ג ב א השלימו הסדרה 7 ג ב א ציר מס' השלם ו המספר במילים בשבר פשוט ובעשרוני ד ג ב א ציון שם רשמו כשבר פשוט א או עשרוני ה ד ג ב ו א ערך הספרה במספר ה ד ג ב פריסה למבדק מספרים עשרוניים ספר ראשון )יחידות -(

261 מיקום נקודה בעזרת תרגיל א נתון ב ג בונוס ד תרגילי כפל עם נעלמים א ב ג ד 09 שאלה 6 ה כפל עשרוניים + אומדן א ב ג ד א רשמו נקודה עשרונית במקום ב ג ד השוואה >, <, = ד ג ב א 9 א ב שאלה השלמות ספרות באי שוויונים כפל וחילוק ב- 0 וב- 00 ב ג 0 ג ד ה ו א ד שם

262 כיתה: שם: מבחן בנושא גופים לכיתה ו "פשוט חשבון" ספר א. ב. ג.. בחרו מהציורים גופים שונים. כתבו למטה את האות של הגוף שבחרתם. רשמו ליד האות את שם הגוף. ה. ו. ח. ז. 0 נקודות ד. ט. י. יא. יב. יג. יד. טו. האות: שם הגוף: האות: שם הגוף: האות: שם הגוף: האות: שם הגוף: האות: שם הגוף: נקודות. א. לפניכם גופים שונים. הקיפו רק את המנסרות. א. ב. ג. ד. ה. ו. ז. ח. ט. י. יא. יב. ב. בחרו גוף שהקפתם והסבירו מדוע הוא מנסרה. גוף : ג. בחרו גוף שלא הקפתם והסבירו מדוע אינו מנסרה. גוף: 6

263 . רשמו מתחת לכל פריסה את שם הגוף המתאים לפריסה. אם זו פריסה של פירמידה או מנסרה רשמו את סוג הפירמידה והמנסרה. 8 נקודות א. ב. ז. ג. ח. ד. ט. ה. ו. ו. ז. ח. ט.. לפניכם פירמידה: א. רשמו את שם הפירמידה: ב. בפירמידה זו: מספר הפאות הוא: מספר המקצועות הוא: מספר הקודקודים הוא: ג. מה הקשר בין מספר צלעות הבסיס למספר הצלעות בכל הפירמידה?. הקיפו בכל סעיף את הגוף היוצא דופן. כתבו נימוק לבחירתכם )יכולות להיות מספר תשובות, בחרו כל פעם אחת(. 0 נקודות 9 נקודות א. 6 נימוק:

264 ב. ג. נימוק: נימוק: 8 נקודות 6. חשבו את הנפחים של התיבות: )התיבות משורטטות בהקטנה( 7 ס"מ ג. קובייה ב. א. ס"מ 7. בחרו את אחת התיבות מסעיף 6 וחשבו את שטח הפנים של התיבה. תיבה נקודות 8. חשבו את נפח המנסרות: ג. ב. א. 8 נקודות 6

265 מחוון למבחן גופים - כיתה ו' הסבר ניקוד: כל הנקודות יתקבלו כאשר התשובה מלאה: הסבר ונימוק )אם התבקש(. חצי מהניקוד יתקבל כאשר חסר הסבר, או כשהתלמיד עשה חלק מהנדרש בשאלה. 0 נקודות אם התלמיד לא ענה או ענה תשובה שגויה. השאלה תחום תוכן תשובות נכונות ניקוד 6 זיהוי ושיום גופים. מנסרה פריסות גופים שונים מושגים: פאה, מקצוע, קודקוד הכללות, הסקת מסקנות חישוב נפח תיבה חישוב שטח פנים של תיבה חישוב נפח מנסרה ציורים: א, ב, ד, ו, י, יד - תיבה ציורים: ג, יא, טו - גליל ציור ז - קובייה או תיבה ציור יב - פירמידה ציורים: ה, ח, ט - חרוט ציור יג - כדור א. המנסרות הן: א, ג, ה, ז, ח, ט, י, יב ב. הסבר: הגוף הוא מנסרה כי יש לו בסיסים ממצולעים חופפים )שווים( ומעטפת הבנויה ממלבנים. א. פירמידה משולשת. ב. פירמידה משושה. ג. תיבה או מנסרה מרובעת. ד. פירמידה מרובעת. ה. גליל. ו. קובייה או תיבה או מנסרה מרובעת. ז. חרוט. ח. מנסרה משולשת. ט. מנסרה משושה. א. פירמידה מחומשת. ב. מספר הפאות: 6 מספר המקצועות: 0 מספר הקודקודים: 6 ג. מספר הצלעות בכל הפירמידה הוא פי- ממספר צלעות הבסיס. יש מספר אפשרויות ליוצא דופן: א. פירמידה כי יש לה בסיס אחד. או גליל כי אינו פאון )או אין לו קודקודים( ב. פירמידה כי היא פאון. או כדור כי אין לו קודקודים. ג. חרוט כי אינו פאון. א. סמ"ק = 8 7 x x ב. סמ"ק = 0 x x יש לציין גופים שונים נקודות כל שם. סה"כ: 0 נקודות. א. נקודה לכל גוף שהוא מנסרה. סה"כ: 8 נקודות. ב. הסבר הכולל מאפייני המנסרה: נקודות ג. הסבר הכולל שימוש במושגים: בסיס, מעטפת נקודות סה"כ: נקודות נקודות לכל זיהוי נכון. אם חסר זיהוי סוג הפירמידה או המנסרה נקודה. סה"כ: 8 נקודות נקודות כל תשובה. סה"כ: 0 נקודות נקודות לכל סעיף. אם חסר הסבר, 0 נקודות. סה"כ: 9 נקודות כל חישוב 6 נקודות סה"כ: 8 נקודות סה"כ: נקודות כל חישוב 6 נקודות סה"כ: 8 נקודות סה"כ: 00 נקודות ג. סמ"ק = 7 x x א. סמ"ר = 6 8 = x x + x x ב. סמ"ר = 6 x x + x x + x x ג. סמ"ר = 6 x x א. סמ"ק = 0 8 x ב. סמ"ק = 8 x ג. סמ"ק = 0 6 x * 6 7 8

266 כיתה שם מבחן מסכם "פשוט חשבון" כיתה ו' ספר ראשון. לפניכם המספר.07 א. כתבו את המספר במילים ב. מהי ספרת המאיות ג. כמה מאיות בכל המספר ד. מהי ספרת העשיריות ה. כמה עשיריות שלמות בכל המספר. פתרו, תעדו את דרך הפתרון. = א = ב. השלימו את החסר: =.. השלימו את הטבלה: המספר במילים המספר בשבר פשוט או מספר מעורב המספר במספר עשרוני.0 שבע מאות עשרים וחמש מאיות 66. השלימו את הסדרות בדילוגים שווים:,,,.,0.9,.א,,,,,...ב,,,0.7,,0.6,.ג

267 6. השלימו מספר כך שכל אי השיוויון יהיה נכון: 0. > > 0. כתבו אפשרות נוספת: 0. > > פתרו: = 00. X.א =,600.6 X.ב = 0 8. :.ג =. 00 :.ד 8. פתרו:.ב..א 0. X. X בלי לחשב, הקיפו את התרגיל שהתוצאה שלו קטנה מ-. הסבירו את החלטתכם. X. = X 0.6 = X = הסבר: 67

268 0. פתרו את השאלות, תעדו את דרך הפתרון: תמר מתאמנת לקראת צעדה. היא הולכת בקצב קבוע של. ק"מ בשעה. א. ביום הראשון צעדה תמר שעות. כמה ק"מ עברה? ב. ביום השני צעדה תמר שעתיים וחצי. כמה ק"מ עברה? ג. ביום השלישי צעדה תמר חצי שעה. כמה ק"מ עברה? ד. כמה ק"מ צעדה תמר בשלושת הימים? x =. פתרו, תעדו את דרך הפתרון. צמצמו ככל שניתן:.א.ב.ג x = x = 68. במסיבה חילקו מיץ מ- קנקני מיץ ל- 6 ילדים שווה בשווה. איזה חלק של המיץ מהקנקן קיבל כל ילד. הסבירו )רשמו שבר מצומצם(.. הקיפו את התשובות הנכונות: בכיתה ו' יש תלמידים. 8 תלמידים לא יצאו לטיול. איזה חלק של התלמידים לא יצאו לטיול? מהילדים ב. מהילדים לא יצאו לטיול: א. 8 מהילדים ד. מהילדים 8 ג. 6 ה. כל התשובות נכונות.

269 . בבית משפחת ענבר יש גינה מלבנית. ראו את מידותיה בשרטוט: )השרטוט הוקטן( מ' מ' ב- משטח הגינה הם מגדלים ירקות. בבית משפחת עומר גינה מלבנית. ראו את מידותיה בשרטוט. )השרטוט הוקטן( מ' מ' ב- משטח הגינה הם מגדלים ירקות. לאיזו משפחה יש שטח גדול יותר לגידול ירקות? )למשפחת ענבר או למשפחת עומר(? הסבירו:. כתבו ליד כל גוף את שמו. א. ב. ג. 69

270 6. מי מהפריסות הבאות היא של פירמידה מרובעת? הקיפו את האותיות המתאימות. א. ב. ג. 7. בכיתה יש אקווריום לדגים שצורתו תיבה. מידות האקווריום הן 0 ס"מ, 0 ס"מ, 0 ס"מ. א. מה נפח התיבה בסמ"ק? ב. כמה ליטרים מים ניתן להכניס לאקווריום? 8. חשבו את נפח המנסרה הבאה: גובה ס"מ שטח בסיס 6 סמ"ר שאלת בונוס: השלימו את המספרים החסרים מבלי לפתור: א. X X.7 = 0. ב. 8.0 X. = X ג. בחרו אחד מהתרגילים והסבירו איך פתרתם: 70

271 מחוון לכיתה ו' מבחן מסכם ספר ראשון למורה: סימון בדף מיפוי המבחנים יהיה כדלקמן: רשמו את הניקוד על פי פתרון התלמיד ובהתאם למפורט במחוון. אי מתן תשובה מקנה 0 נקודות ונסמן )-( מספר השאלה ניקוד 6 תשובות נכונות א. ארבע ושבע מאיות. )ניתן גם לקבל תשובה של ארבע נקודה אפס שבע.( ב. ספרת המאיות 7 ג. במספר 07 מאיות. ד.ספרת העשיריות היא אפס ה. במספר 0 עשיריות. א ב. 8. א. ב. 0.0 שורה : שלש ועשרים וחמש אלפיות. )ניתן לקבל גם שלש נקודה אפס עשרים וחמש.( הערות נקודה לכל תשובה נכונה. נקודות לכל תשובה נכונה. נקודות לכל תשובה נכונה נקודות לכל תשובה נכונה.., שורה שנייה: שורה שלישית: 7., 7 או נקודה לכל תשובה נכונה. א. 0., 0.6.,.8 ב. (.0)..9,.6,., ג. 0., 0., 0.6, 0.6, 0.7, 0.7, 0.8 ניתן לכתוב את כל המספרים בין 0. ל- 0. א. 0 ב.,000 ג..8 ד. 0 נקודה לכל תשובה נכונה. נקודות לכל תשובה נכונה

272 מספר השאלה בונוס ניקוד תשובות נכונות הערות נקודות לכל תשובה נכונה. נקודה לתשובה נכונה, נקודות להסבר. נקודות לכל תשובה נכונה. נקודות לכל תשובה נכונה. א ב X0.6. הסבר: כאשר נכפל מספר בשבר קטן מאחד, המכפלה תהיה קטנה מהמספר. א..6 ב. 0. ג.. ד.. א. 0 )אם התשובה 7 נוריד נקודה( ב. ג. ב', ד' או בבית משפחת ענבר מגדלים על. מ"ר. )לעומת משפחת עומר שאצלה מגדלים על מ"ר ירקות.(. מנסרה מחומשת. חרוט. פירמידה מחומשת ב ג א.,000 סמ"ק ב. ליטרים נקודה לתשובה נכונה, נקודה להסבר נכון נקודה לכל תשובה נכונה. נקודה לתשובה נכונה, נקודות להסבר נכון. נקודות לכל תשובה נכונה. נקודה לתשובה נכונה. סה"כ: א- נקודות לתשובה נכונה ב- נקודה לתשובה נכונה. נקודות לתשובה נכונה. א- נקודות ב- נקודות ג- נקודה 6 6 סמ"ק א. X.7 = 0. X 7 הקטנו את פי 0 נגדיל את.7 פי 0 ב. 8.0 X. = 0.80 X ג. הגדלנו את. פי 0 נקטין את 8.0 פי 0 7

273 פריסת מבחן סוף שנה ו' שם התלמיד מספרים עשרוניים, הרכב מספר חיבור וחיסור עשר' א ב הרכב עשר' מעבר משבר פשוט למספר עשרוני ולהיפך ד ב ב א ה ד ג ו ה ג ב א א 7

274 אי שוויונים א 6 א ב כפל וחילוק עשרוני ב- 0 וחזקותיו ב 7 ד ג כפל עשרוניים א 8 ב ה ג ד א ב ד ג ב ג סדרות ב ד א ב א א ג שם התלמיד 7

275 ב ג בונוס א פתרון בעיות גופים 8 7 א ב 6 זיהוי גופים א ג ב בעיות חלק מכמות/מספר א כפל שברים פשוטים ג ב תכונות הכפל 0 בעיות כפל עשרוניים 9 א ב ג ד שם התלמיד 7

276 "פשוט חשבון ו" מבחנים לספר שני תאריך: שם: חילוק מספרים עשרוניים )ליחידות -7( )המשך המבחן 0 דקות(. פתרו בעזרת אומדן - מה תהיה התוצאה של כל תרגיל בערך? )עגלו את המספרים( נקודות.0.99 :.א.9 :.ב 6 0. :.ג.8.09 :.ד :.ה 9..0 :.ו. הוסיפו את הסימן = כשהתרגילים שקולים או את הסימן כשהתרגילים אינם שקולים:. : 0. :.א 00 :. 0 :.ב. : 0.. :.ג,0 : :.ד 80. : :.ה, : 0.0. :.ו נקודות 8 נקודות. פתרו את התרגילים. אפשר להיעזר בתרגילים שקולים וב"חילוק ארוך". = :.א = 0.8. : ב = :.ג = :.ד = :.ה = 9 :.ו 76

277 8 נקודות. כתבו את המספרים העשרוניים המחזוריים האינסופיים בדרך המקוצרת: =. 0.א = ב = ג.8787 = 0.ד. כתבו את השברים הפשוטים כמספרים עשרוניים. הציגו את הדרך. =.ד =.א 8.ה =.ב = 6 =.ו =.ג 0 8 נקודות א.....ב.7.7.ג.....ד ה ו נקודות.6 כתבו >, =, < 7. פתרו את השאלות. הציגו את דרך הפיתרון: א. במעדנייה. ק"ג גבינה צהובה פרוסה. המוכר ארז את הגבינה ב- 7 שקיות. כל השקיות שהכין היו במשקל שווה. מה משקל שקית אחת של גבינה? 0 נקודות 77

278 ב. מחיר ק"ג גבינה ש"ח. נועה קנתה חבילות במשקל 0.00 ק"ג כל אחת. כמה שילמה נועה עבור חבילות הגבינה? ג. יאיר קנה אבטיח במשקל 7. ק"ג. הוא שילם עבור האבטיח. ש"ח. כמה עולה ק"ג אבטיח? ד. חן הולך. ק"מ בשעה אחת. אם ימשיך ללכת באותו הקצב כמה קילומטרים ילך ב-. שעות? 78

279 מחוון למבחן חילוק מספרים עשרוניים - כיתה ו' הסבר ניקוד: )משך המבחן 0 דקות(. כל הנקודות יתקבלו כאשר התשובה מלאה: התוצאה והדרך )אם התבקשו( חצי מהניקוד יתקבל כאשר הדרך נכונה אך התוצאה הסופית אינה נכונה )שגיאה חישובית( 0 נקודות אם התלמיד לא ענה או ענה תשובה שגויה. 79 מס' שאלה תחום תוכן אומדן תשובות נכונות ג. =0:6 ב. =: א. =: ו. ה. =8:6 ד. =: :9=6. : 0. :.א = 00 :. 0 :.ב =. : 0.. :.ג,0 : :.ד = 80. : :.ה, : 0.0. :.ו ג.. ב. א. 0. ו. 0. ה. 00 ד.. א. 0. ב השוואה פתרון תרגילי חילוק מספר מחזורי אינסופי מעבר משבר פשוט למספר עשרוני ד ג א = 0. הרחבה ל- 0 /חילוק.ב =0. הרחבה ל- 00 /חילוק = 0.0.ג 0 הרחבה ל- 00 /חילוק.ד הרחבה ל-,000 /חילוק = = 0.8.ה 6 חילוק ארוך.ו = 0.6 חילוק ארוך ניקוד נקודות לכל תרגיל סה"כ: נקודות נקודות לכל תרגיל סה"כ: נקודות נקודות לכל תרגיל סה"כ: 8 נקודות נקודות לכל תרגיל סה"כ: 8 נקודות נקודות לכל תרגיל סה"כ: 8 נקודות

280 <...ד < א. < ה <...ב... = ו <.7.7.ג השוואה נקודות לכל תרגיל סה"כ: נקודות 6 שאלות א. משקל שקית אחת גבינה צהובה 0.0 ק"ג. ב. נועה שילמה 6.0 ש"ח. ג. ק"ג אבטיח עולה. ש"ח. ד. חן הלך 8. ק"מ. נקודות לכל שאלה סה"כ: 0 נקודות סה"כ: 00 נקודות 7 80

281 הציוד הנדרש: סרגל שם: "פשוט חשבון" כיתה ו' ספר שני מבחן בנושא - העיגול והמעגל. בשרטוט מודגש מרכז העיגול. כתבו ליד כל משפט נכון או לא נכון, לפי השרטוט. א. קטע א' הוא קוטר במעגל. ה ד א ב נקודות ב. קטע ב' הוא רדיוס במעגל. ג ג. קטע ג' הוא קוטר במעגל. ד. קטע ד' הוא קוטר במעגל. ה. קטע ה' הוא רדיוס במעגל. ו. בציור משורטטים רדיוסים.. חשבו את ההיקף והשטח של כל אחד מהמעגלים. )בכל שרטוט נתון הרדיוס או הקוטר(. 0 נקודות א. ב. ס"מ 6 ס"מ 8 היקף: שטח: היקף: שטח:

282 . רשמו נכון או לא נכון ליד כל משפט והסבירו. עדי שרטט מעגל שהרדיוס שלו ס"מ. נקודות א. היקף המעגל שעדי שרטט הוא ס"מ בקירוב. ב. קוטר המעגל שעדי שרטט הוא 8 ס"מ. ג. שטח העיגול שעדי שרטט הוא 8 סמ"ר בקירוב. ד. כל הרדיוסים במעגל של עדי שווים ל- ס"מ. ה. למעגל יש הרבה קטרים. הם כולם באותו אורך.. א. שרטטו רדיוסים במעגל. ב. שרטטו קוטר במעגל. ג. השלימו את המשפטים: נקודות הרדיוס מהקוטר פי קטן / גדול כל הקטרים באותו המעגל באורכם. שווים/ שונים כל הנקודות המסומנות על המעגל נמצאות במרחק ממרכז המעגל. שווה/ שונה לחישוב היקף המעגל צריך לכפול את: אורך ב- 6 ס"מ. ענו על השאלות שמתחת לכל שרטוט. הראו את דרך הפיתרון. 6 ס"מ )השרטוטים מצויירים בהקטנה.( א. בשרטוט ריבוע וחצי עיגול רדיוס המעגל הוא: 0 נקודות שטח הריבוע הוא: שטח חצי העיגול הוא: השטח הצבוע: 8

283 ס"מ 8 ס"מ ב. בשרטוט מלבן וחצי עיגול רדיוס המעגל הוא: היקף המלבן הוא: היקף חצי עיגול )לא כולל הקוטר( הוא: היקף כל הצורה: 0 מ' 0 מ' 6. ענו על השאלות. תעדו את דרך הפיתרון. א. בפארק העירוני סללו מסלולי הליכה: מסלול מעגלי שהרדיוס שלו 0 מטר, ומסלול מלבני העובר דרך מרכז המסלול המעגלי )ראו שרטוט(. ביום הראשון הלך חן במסלול המעגלי. כמה מטרים צעד חן ביום הראשון? נקודות 8 ביום השני הלך במסלול המלבני. כמה מטרים צעד חן ביום השני? האם במשך היומיים צעד חן בסך הכול יותר או פחות מ- ק"מ? הסבירו ב. במפעל לשולחנות זכוכית, מצפים את השולחנות בחומר מיוחד המונע שריטות. כדי לדעת כמה חומר לקנות עבור ציפוי השולחנות, מחשבים במפעל את שטח הפנים של המשטח העליון של כל שולחן. מה שטח משטח שולחן זכוכית עגול בקוטר 60 ס"מ? מה שטח משטח שולחן זכוכית ריבועי שאורך הצלע 0 ס"מ? לכל שולחן הכינו מסגרת מנחושת. מה אורך המסגרת של השולחן העגול? )הניחו שהיקף המסגרת שווה להיקף השולחן העגול(. מה אורך המסגרת של השולחן הריבועי? )הניחו שהיקף המסגרת שווה להיקף השולחן הריבועי.(

284 מחוון למבחן העיגול והמעגל - כיתה ו' הסבר ניקוד: )משך המבחן 0 דקות(. כל הנקודות יתקבלו כאשר התשובה מלאה: התוצאה והדרך )אם התבקשו( חצי מהניקוד יתקבל כאשר הדרך נכונה אך התוצאה הסופית אינה נכונה )שגיאה חישובית( 0 נקודות אם התלמיד לא ענה או ענה תשובה שגויה. מס' שאלה תחום תוכן זיהוי מושגים: קוטר, רדיוס חישובי שטח והיקף משרטוט הקשר בין רדיוס לקוטר. חישובי שטח והיקף בקירוב תשובות נכונות ב. לא נכון א. נכון ד. לא נכון ג. לא נכון ו. נכון ה. נכון א. היקף: 8.8 ס"מ שטח: 8.6 סמ"ר ב. היקף:.6 ס"מ שטח:.6 סמ"ר א. לא נכון - ההיקף הוא ס"מ בקירוב, או יש לכפול את הקוטר ב- ולא את הרדיוס. ב. נכון - הקוטר הוא פי מהרדיוס, או תרגיל: = 8 x ג. נכון - אפשר להראות חישוב: x x = 8 אפשר להסביר את החישוב במילים. ד. נכון - כל הרדיוסים באותו המעגל שווים. ה. לא נכון - אפשר לשרטט אינסוף קטרים. ניקוד נקודות לכל תשובה. סה"כ: נקודות נקודות לכל חישוב סה"כ: 0 נקודות נקודות לכל סעיף: מתוכן נקודה לתשובה, להסבר. סה"כ: נקודות 8

285 שרטוט קשר בין המושגים חישוב שטחים והיקפים משולבים שאלות א. שרטוט רדיוס - כל קטע המחבר את מרכז העיגול עם נקודה על המעגל. ב. שרטוט קוטר - כל קטע המחבר נקודות על המעגל ועובר דרך מרכז העיגול. ג. הרדיוס קטן מהקוטר פי- כל הקטרים באותו המעגל שווים באורכם. כל הנקודות המסומנות על המעגל נמצאות במרחק שווה ממרכז המעגל. לחישוב היקף המעגל צריך לכפול את אורך הקוטר ב-. או π א. הרדיוס - ס"מ. שטח הריבוע - 6 סמ"ר שטח חצי עיגול -. סמ"ר השטח הצבוע -.87 סמ"ר ב. הרדיוס - ס"מ. היקף המלבן - ס"מ. היקף חצי עיגול - ס"מ. היקף הצורה - 8 ס"מ. א. ביום הראשון צעד חן 9 מ'. ביום השני צעד 900 מ'. במשך יומיים צעד יותר מ- ק"מ. ב. שטח השולחן העגול,86 סמ"ר. שטח השולחן הריבועי,00 סמ"ר. מסגרת השולחן העגול 88. ס"מ. מסגרת השולחן הריבועי 00 ס"מ. א' ו-ב' נקודות לכל סעיף ג' לכל משפט נקודות סה"כ: נקודות כל סעיף 0 נקודות סעיף א': נקודות לרדיוס. נקודות שטח ריבוע נקודות שטח חצי עיגול נקודות שטח צבוע סעיף ב: נקודות לרדיוס נקודות היקף מלבן נקודות היקף חצי עיגול נקודות היקף הצורה סה"כ: 0 נקודות נקודות לכל חישוב סה"כ: נקודות סה"כ נקודות

286 שם תאריך חלק א'- שברים פשוטים מבחן מסכם "פשוט חשבון" ספר שני כיתה ו' )משך המבחן 90 דקות(. פתרו את השאלה )אפשר להיעזר בציור(. כתבו תרגיל מתאים. בקופסה 0 מסטיקים עגולים צבעוניים. כמה מסטיקים מכל צבע יש בקופסה? א. מהמסטיקים הם בצבע אדום. ב. מהמסטיקים בצבע צהוב. ג. מהמסטיקים בצבע כחול. 0 ד. שאר המסטיקים בצבע ירוק. איזה חלק מכל המסטיקים הם המסטיקים הירוקים? 8 נקודות 8 נקודות. כתבו איזה חלק צבוע מכלל העיגולים בכל ציור. )זכרו לצמצם( ד. ג. ב. א. ד. ג. ב. א. 86

287 . פתרו את התרגילים. הציגו את כל שלבי הפתרון.. פתרו את השאלות. הציגו את דרך הפיתרון. א. במועדון השכונתי נרשמו 0 מבוגרים לחוגים שונים. מהמבוגרים 0 מהמבוגרים נרשמו לחוג פיסול, מהמבוגרים נרשמו לחוג ציור, 8 נרשמו לחוג אפייה ובישול והשאר נרשמו לחוג מחשבים..א.ב.ג.ד.ה.ו x 8 = x = 8 x = : = : = : = נקודות 0 נקודות כמה מבוגרים נרשמו לכל אחד מהחוגים? איזה חלק מהווים הנרשמים לחוג מחשבים מכלל הנרשמים? ב. המדריכים בתנועת הנוער קנו חבל באורך מטר. הם חתכו את 7 החבל לרצועות שוות, באורך מטר כל רצועה. כמה רצועות חבל חתכו המדריכים? 87 כל מטר חבל עולה ש"ח. כמה שילמו המדריכים עבור כל החבל שקנו?

288 חלק ב'- מספרים עשרוניים נקודות. פתרו את התרגילים. היעזרו בתרגיל שקול ד.ג..ב...א 8 נקודות.6 השלימו = או = 8 : :.א 600 : :.ב.6 : 0..6 :.ג 0. : 0. :.ד 7. פתרו את השאלות. תעדו את דרך הפתרון: במועצת התלמידים הכינו מיץ ומילאו מ כל של 6 ליטר. התלמידים מזגו מהמכל לכוסות של 0. ליטר. כמה כוסות מיץ הכינו התלמידים? כל כוס מיץ מכרו התלמידים ב-.0 ש"ח. כמה כסף קיבלו ממכירת כל הכוסות? נקודות 88

289 חלק ג'- אחוזים 8. כתבו איזה אחוז מהשטח צבוע, בכל אחד מהריבועים: ב. א. 0 נקודות 9. השלימו את הטבלה: א. שבר פשוט מספר עשרוני באחוזים 0.0 ב. ג. 0% ד. ה. 0. חשבו והציגו את הדרך: א. כמה הם 0% מ- 70? ב. כמה הם % מ- 60? ג. כמה הם % מ- 0?. פתרו את השאלות. כתבו את דרך הפיתרון: א. במבחן באנגלית היו 0 שאלות. רון פתר נכון שאלות. איזה אחוז מהשאלות פתר רון נכון? 6 נקודות 8 נקודות ב. מחיר ספר 0 ש"ח. לפני החגים הוזילו את מחיר הספר ב- 0% ממחירו. מה מחיר הספר לאחר ההנחה? 89

290 חלק ד' הנדסה וסיכויים. ענו על השאלות: תמיר שרטט מעגל שהרדיוס שלו ס"מ. נקודות א. מה אורך הקוטר של המעגל ששרטט תמיר? ב. מה היקף המעגל ששרטט תמיר? ג. מה שטח העיגול ששרטט תמיר? )אדום(. במשחק קופסה יש חוגת משחק לבחירת צבעים. עיגול הצבעים מחולק לחלקים שווים )כמו בציור(, והצבעים המופיעים בו הם: צהוב, אדום, ירוק, כחול, סגול, ורוד, חום וכתום. בסיבוב מחוגה, מה הסיכוי לקבל צבע אדום? הסבירו. נקודות בונוס: משפחת ספרי אוהבת לקרוא ספרים. יש להם בספריה 0 ספרי ילדים מכלל הספרים של המשפחה. כמה ספרים למשפחת ספרי? שהם נקודות 90

291 מחוון למבחן מסכם ספר - כיתה ו' הסבר ניקוד: כל הנקודות יתקבלו כאשר התשובה מלאה: התוצאה והדרך )אם התבקשו( חצי מהניקוד יתקבל כאשר הדרך נכונה אך התוצאה הסופית אינה נכונה )שגיאה חישובית( 0 נקודות אם התלמיד לא ענה או ענה תשובה שגויה. מס' שאלה תחום תוכן תשובות נכונות ניקוד שברים פשוטים - מציאת הכמות החלקית והחלק א. מסטיקים אדומים ב. 8 מסטיקים צהובים. ג. 6 מסטיקים כחולים. ד. מהמסטיקים ירוקים נקודות לכל סעיף סה"כ: 8 נקודות שברים פשוטים - מציאת החלק א. ב. ג. ד. נקודות לכל סעיף סה"כ: 8 נקודות להוריד נקודה על אי צמצום של פריט אחד או פריטים. להוריד נקודות על אי צמצום של - פריטים. שברים פשוטים - תרגילי כפל ותרגילי חילוק א. ב. ג. ד. 0 ה. ו. נקודות לכל תרגיל סה"כ: נקודות שברים פשוטים - שאלות בכפל וחילוק א. לחוג פיסול נרשמו מבוגרים לחוג ציור נרשמו 8 מבוגרים; לחוג אפייה ובישול נרשמו מבוגרים. מהמבוגרים נרשמו לחוג מחשבים. ב. המדריכים הכינו 8 רצועות של חבלים. המדריכים שילמו 6 ש"ח עבור החבל. שאלה א' - 6 נקודות מתוכן: נקודות למציאת המשתתפים בחוגים נקודות למציאת החלק שאלה ב' - נקודות מתוכן: נקודות לכל חישוב סה"כ: 0 נקודות = 7 9 = 0 9 = 8 = 0 = 8 9

292 ג. 0. ב א. ד : :.א = 600 : :.ב =.6 : 0..6 :.ג 0. : 0. :.ד מספרים עשרוניים - חילוק ארוך מספרים עשרוניים - שוויון/אי שוויון בחילוק מספרים עשרוניים - שאלות אחוזים - חישוב האחוז קשר בין שבר פשוט - מספר עשרוני - אחוז מועצת התלמידים הכינה כוסות מיץ. 7. ש"ח קיבלו עבור מכירת כוסות המיץ. א. 0% מהשטח צבוע ב. % מהשטח צבוע א. = 0. = 0% 0 ב. או = 0.0 = % ג. = 0.7 = 7% 0 00 ד. או = 0. או = 0.0 0% ה. =.6 = 60% נקודות לכל תרגיל סה"כ: נקודות נקודות לכל סעיף סה"כ: 8 נקודות נקודות לכל תשובה סה"כ: 6 נקודות נקודות לכל סעיף סה"כ: נקודות נקודות לכל סעיף ) נקודה לכל מספר( סה"כ: 0 נקודות א. 7 ב. ג.. אחוז - חישוב ערך האחוז אחוזים - שאלות הנדסה - עיגול ומעגל סיכויים א. רן פתר נכון 7% מהשאלות. ב. ש"ח מחיר הספר לאחר ההוזלה. א. אורך הקוטר 0 ס"מ. ב. היקף המעגל. ס"מ. ג. שטח העיגול 78. סמ"ר. הסיכוי לקבל את הצבע האדום הוא. הסבר: יש 8 צבעים וכל צבע מופיע 8 נקודות לכל סעיף סה"כ: 6 נקודות נקודות לכל סעיף סה"כ: 8 נקודות סעיף א' - נקודה סעיף ב' ו-ג'- נקודות כל סעיף סה"כ: נקודות נקודות לחישוב נקודה להסבר סה"כ: נקודות 0 בונוס שברים פשוטים - מציאת השלם פעם אחת. למשפחת ספרי 7 ספרים בספרייה. סה"כ: נקודות סה"כ: 0 נקודות 9

293 9

294 9

295 כיתה: שם: "פשוט חשבון" לכיתה ו ספר שלישי מבחן מסכם "פשוט חשבון" בנושא אחוזים 6 נקודות. כתבו איזה אחוז צבוע בכל אחד מהמלבנים: ג. ב. א. 8 נקודות. השלימו את הטבלה. הציגו את דרך החישוב: א. ב. ג. ד. ה. ו. שבר פשוט מספר עשרוני 0.7. אחוזים דרך חישוב 0% נקודות. הקיפו בכל סעיף את המספר השונה משני המספרים האחרים: 9.ב 0.0 %.א 0. %.ד 0.0 %.ג. 0% 0 00

296 0 נקודות. חשבו כמה הם? הציגו את דרך החישוב: א. 0% של 60 ב. % של 0 ג. 0% של 0 ד. 0% של 0 ה. 7% של 60 נקודות. היעזרו באומדן והקיפו את התשובה הקרובה ביותר לתוצאה. נמקו: 0% של 9 הם בערך: ד. 0 ג. ב. 0 א. 0 נימוק: 6% של 0 הם בערך: ד. 8 ג. ב. א. 0 נימוק: 99% של 8 הם בערך: ד. 8 ג. 0 ב. 8 א. 0 נימוק: 8% של הם בערך: ד. ג. ב. 0 א. נימוק: 96

297 6. פתרו את השאלות. הציגו את דרך הפיתרון: א. במכירת סוף העונה פורסמו ההנחות הבאות: זוג מכנסיים 0 ש"ח במקום 0 ש"ח. חולצה 60 ש"ח במקום 80 ש"ח. צעיף 6 ש"ח במקום 0 ש"ח. דרך פתרון: 6 נקודות חשבו מה אחוז ההנחה של כל פריט לבוש: תשובה: ב. 0 תלמידי בית הספר התבקשו לכתוב מהו המשחק שהם מעדיפים בשעורי הספורט. כמה תלמידים העדיפו כל משחק? דרך פתרון: כדור רגל 0% משחק מועדף בשעורי ספורט כדורסל 0% מחניים 0% 6 נקודות תשובה: ג. 90% מגופה של המדוזה הם מים. מה משקל המים במדוזה שמשקלה 8 ק"ג? דרך פתרון: נקודות 97 תשובה:

298 ד. במבחן בחשבון תרגילים. נוי פתרה נכון 0 תרגילים. במבחן באנגלית 6 שאלות. נוי ענתה נכון על שאלות. באיזה מבחן הצליחה נוי יותר? הסבירו. דרך פתרון: 6 נקודות תשובה: 7. לפניכם כמה נתונים של מספר התלמידים בכיתות בבית ספר "אורן". ענו על השאלות והסבירו איך הגעתם לתשובה: נקודות כיתה א מספר כיתות בבית הספר מספר תלמידים בכל כיתה 8 8 מספר תלמידים בשכבה ב ג ד ה 0 ו 00 סך הכל 6 א. השלימו בטבלה כמה תלמידים בשכבה ה'? אם בכיתה ה' יש תלמידים יותר מאשר בכיתה ה' כמה תלמידים בכל כיתה? ב. איזה אחוז מהווה שכבה ה' מהווה מכלל תלמידי בית ספר? 98

299 ג. איזו שכבת כיתה היא הגדולה ביותר בבית הספר? איזה אחוז היא מהווה מכלל תלמידי בית הספר? ד. איזה אחוז מהווה מספר התלמידים בשכבה ג' מכלל תלמידי בית הספר? ה. איזה אחוז מהווה מספר התלמידים בשכבה ד' מכלל תלמידי בית הספר? ו. איזה אחוז מהווה מספר התלמידים בכיתה ב' מכלל תלמידי בית הספר? ז. איזה אחוז מהווה מספר התלמידים בכיתה א' ממספר התלמידים בשכבת כיתות א'? 8. שאלת בונוס: הציגו את דרך הפיתרון: מחיר ספר התייקר ב- %. המחיר החדש של הספר לאחר ההתייקרות היה 00 ש"ח. מה היה מחיר הספר )לפני ההתייקרות(? נקודות 99

300 מחוון למבחן מסכם באחוזים ספר שלישי כיתה ו' הסבר הניקוד: * כל הנקודות יתקבלו כאשר התשובה מלאה: התוצאה והדרך )אם ביקשו דרך( * חצי מהניקוד יתקבל כאשר הדרך נכונה אך התוצאה הסופית אינה נכונה )שגיאה חישובית( * 0 נקודות אם התלמיד לא ענה או ענה תשובה שגויה )בדרך ובתוצאה(. מס' שאלה תשובות נכונות ניקוד 6 נקודות הערות נקודות לכל סעיף נכון. א. 0% ב. 70% ג. 60%. נקודות לכל תשובה נכונה ) נקודות לשורה נכונה תשובות נכונות לשורה( 8 נקודות א., 7 7% 00 = ב.,0.9 90% ג.,0. % 0 ד., = ה.,0.0 % 8 נקודות 0 נקודות נקודות 6 נקודות ו., 0 0% 00 = ב. 0. ג. % ד. א. 00 א. 6 ב. ג. 6 ד. ה. נקודות לכל סעיף נקודות לכל סעיף לכל סעיף נקודות. נקודה עבור סימון תשובה נכונה, נקודות עבור נימוק נכון. ג. א. 0 ד. 8 ב. 0 א. אחוז ההנחה של מחיר המכנסיים % אחוז ההנחה של מחיר החולצה % אחוז ההנחה של הצעיף 0% נקודות עבור כל תשובה מלאה. 6 00

301 ב. כדורגל 60 תלמידים מחניים תלמידים כדורסל 8 תלמידים ג. משקל המים במדוזה הוא: 7 ק"ג או 7. ק"ג. ד. נוי הצליחה יותר במבחן בחשבון. א. שיכבה ה' מונה 70 תלמידים בכיתה ה' 7 תלמידים, בכיתה ה' תלמידים. ב. שכבה ה' מהווה % מכלל תלמידי בית ספר. ג. שכבה ו' הגדולה ביותר ומהווה 0% מכלל תלמידי בית ספר. ד. שכבה ג' מהווה % מכלל תלמידי בית ספר. ה. שכבה ד' מהווה 9% מכלל תלמידי בית ספר. ו. כיתה ב' מהווה 6% מכלל תלמידי בית ספר. ז. כיתה א' מהווה 0% מכלל התלמידים בשכבת כיתות א'. מחיר הספר לפני ההתייקרות 80 ש"ח סה"כ 6 נקודות עבור דרך + תשובה מלאה. נקודות עבור דרך + תשובה מלאה. 6 נקודות עבור דרך + תשובה מלאה. נקודות עבור דרך + תשובה נכונה נקודות עבור דרך + תשובה נכונה נקודות עבור דרך + תשובה נכונה נקודות עבור דרך + תשובה נכונה נקודות עבור דרך + תשובה נכונה נקודות עבור דרך + תשובה נכונה נקודות עבור דרך + תשובה נכונה נקודות עבור דרך + תשובה נכונה 0 נקודות 7 8 *בונוס 0

302 8 בונוס ב ג ד ה ו ז.7 ד ג א.6 ג ד א ב. ד ה א ב. ב א ד ג.. שם התלמיד. א ב ג א ב ג ד ה ו א ב ג 0 פריסה למבחן מסכם באחוזים ספר שלישי כיתה ו'

303 שם התלמיד: כיתה: "פשוט חשבון" מבחן מסכם לכיתה ו' בנושא מספרים עשרוניים. כתבו את השברים הפשוטים כמספרים עשרוניים. הציגו את הדרך:.ד =.א = 8.ה =.ב 6 0 = 0.ג =. סמנו,>,= < א ב ג נקודות נקודות ד ה המשיכו את הסדרות בדילוגים שווים: א.,,,,, , 0., ב.,,,,,..,.,. רשמו בכל סעיף שלושה מספרים שונים במקומות הריקים, שיקיימו את שני האי שוויוניים: א. <.8 <.7 <.8 <.7 <.8 <.7 6 נקודות ב. <. <. <. <. <. <. נקודות. פתרו: 0 = 0. x.א = 00.6 x.ב =,000.7 x.ג = 0. :.ד = 00.8 :.ה =,000.7 :.ו

304 6. סמנו את מקומם של המספרים שבמסגרת במקומם המתאים בערך על ציר המספרים: נקודות.09,.,.99,., פתרו את התרגילים בעזרת התרגיל: ידוע ש: = 76 8 x 8 נקודות =.8 x.א =.8. x.ב = 0.8. x.ג = 8 0. x.ד נקודות 8. פתרו את התרגילים: =. x.א = x.ב = 0. 8 x.ג =.7 8. x.ד =. x.ה =.. x.ו 9. פתרו בעזרת אומדן - מה תהיה בערך התוצאה של כל תרגיל? )עגלו את המספרים( x.א.99. :.ג x.ב 7..8 :.ד 8 נקודות 0

305 8 נקודות 0. הוסיפו את הסימן = )שווה( או )שונה( : 0.0. :.ב 00 : 0. 0 :.א 8. : :.ד 6. : :.ג 0 נקודות. פתרו. אפשר להיעזר בתרגילים שקולים: = :.ב = 0. 0 :.א =. :.ד = :.ג = 6 :.ה. פתרו את השאלות. הציגו את דרך הפיתרון: א. שני קנתה 9 חבילות טושים. מחיר כל חבילה. ש"ח. כמה עודף קיבלה מ- 00 ש"ח? נקודות ב. שי קנה 8 חבילות טושים במחיר כולל של 7.60 ש"ח. כמה שילם שי עבור חבילה אחת של טושים? ג. במעדנייה גוש גבינה צהובה במשקל.7 ק"ג. המוכר חתך את הגבינה וארז בשקיות במשקל 0. ק"ג כל שקית. כמה שקיות גבינה צהובה ארז המוכר? מחיר ק"ג גבינה צהובה ש"ח. כמה עולה שקית אחת של גבינה שארז המוכר? 0

306 מחוון למבחן מסכם במספרים עשרוניים - כיתה ו' הסבר ניקוד: )משך המבחן 0 דקות(. כל הנקודות יתקבלו כאשר התשובה מלאה: התוצאה והדרך )אם התבקשו( חצי מהניקוד יתקבל כאשר הדרך נכונה אך התוצאה הסופית אינה נכונה )שגיאה חישובית(. 0 נקודות אם התלמיד לא ענה או ענה תשובה שגויה. מס' שאלה תחום תוכן מעבר משבר פשוט למספר עשרוני השוואה סדרות תשובות נכונות.א הרחבה ל- 0 /חילוק = 0..ב חילוק ב- 0 =. 0 הרחבה ל- 00 /חילוק = 0.7.ג הרחבה ל-,000 /חילוק 0.=.ד 8.ה = צמצום והרחבה/חילוק ניקוד נקודות לכל תרגיל סה"כ: 0 נקודות < א נקודה לכל.ד > > ב תרגיל סה"כ:.ה > =.0..ג נקודות א. 0.,0.,0.7,0.9,.,.,.,.7 ב..,.,.,.0,.09,.08,.07,.06 )במקום.0 אפשר גם.( צפיפות המספרים א. השלמת מספרים שונים מספרים בין.7 ל-.8 ב. השלמת מספרים שונים בין. ל-. = 0. x.א = x.ב =,70,000.7 x.ג = :.ד = :.ה = :.ו נקודות לכל סעיף סה"כ: נקודות בכל סעיף נקודה לכל מספר שהושלם. סה"כ: 6 נקודות נקודות לכל תרגיל סה"כ: נקודות כפל/חילוק ב- 0, 00,000 06

307 מקום מספרים על ציר מספרים פתרון תרגילים לפי תרגיל נתון פתרון תרגילי כפל אומדן נקודה לכל מספר סה"כ: נקודות נקודות לכל תרגיל סה"כ: 8 נקודות נקודות לכל תרגיל סה"כ: נקודות נקודות לכל תרגיל סה"כ: ידוע ש: = 76 8 x 0.76=.x0.8.ג 7.6=x.8.א.76=0.x8.ד.76=.x.8.ב א. 7. ב. 0.6 ג ד.. ה. 80 ו.. ב. = 0 x א. = x ד. = 6 7 : ג. = : = 00 : 0. 0 :.א : 0.0. :.ב 6. : :.ג = 8. : :.ד תרגילים שקולים פתרון תרגילי חילוק שאלות 8 נקודות נקודות לכל תרגיל סה"כ: 8 נקודות נקודות לכל תרגיל סה"כ: 0 נקודות נקודות ל-א. ול-ב. 6 נקודות )+( ל-ג. סה"כ: נקודות סה"כ: 00 נקודות 0 א. 00 ב. 8 ג. 0 ד. ה. 0.8 א. שני קיבלה. ש"ח עודף. 9 x. = =. ב. שי שילם.9 ש"ח לחבילת טושים : 8 =.9 ג. המוכר ארז שקיות גבינה..7 : 0. = שקית גבינה צהובה עולה 0.6 ש"ח x 0. = 0.6 אפשר גם לחשוב על 0. ק"ג כרבע ק"ג ולכן מחיר של שקית אחת יהיה רבע של או לחלק ל-. 0 לחלק ל- זה 0, ו- לחלק ל- זה

308 כיתה: שם: מבחן מסכם "פשוט חשבון" סוף כיתה ו' חלק א' - שברים פשוטים, מספרים עשרוניים ואחוזים. שירה ציירה משבצות וקישטה אותם לפי הדוגמה: א. איזה חלק מהמשבצות קישטה בריבועים? ב. איזה אחוז מהמשבצות קישטה בפסים?. פתרו את השאלה )אפשר להיעזר בציור(. כתבו תרגיל מתאים. חן צייר 0 משבצות. הוא צבע אותם בצבעים שונים. כמה משבצות צבע חן מכל צ בע? השלימו בסעיפים א'-ג' וענו ב-ד': א. מהמשבצות צבע באדום. ב. 0% מהמשבצות צבע בצהוב. ג. 0. מהמשבצות צבע בכחול. ד. את שאר המשבצות צבע בירוק. איזה אחוז מכלל המשבצות צבע חן בירוק?. הוסיפו סימנים:,>,= < 0. א. 0. ב. 0. ג. ד ה ו כתבו את המספרים על ציר המספרים במקום מתאים: א. 0.7 ב. ג. 0. ד

309 . פתרו:.א -.ב 0-8 =.ג x 8 =.ד : 6 = 6. פתרו. סדרו את התשובות מהתוצאה הנמוכה ביותר עד הגבוהה ביותר: x.א = +.ב = = :.ג = -.ד הכי נמוכה הכי גבוהה 7. מהמספרים שמתחת לכל תרגיל, סמנו את המספר הקרוב ביותר לתוצאת התרגיל )היעזרו באומדן(: א..0=.987 x א. 0 ב. 8 ג. ד. 0 ב. 0.97=.0 x א. 0 ב. ג. 9 ד. 97 ג. = : א. ב. ג. 6 ד. 09 = א = ב + = 0. x.ג : = 0. 9 :.ד 8. השלימו מספרים מתאימים:

310 8.א x - + : = 9. פתרו: = 6 + x x.ב 0. פתרו את השאלות. הציגו את דרך הפתרון: א. בכיתה 0 תלמידים. מהתלמידים יצאו לתחרויות ספורט, והשאר נשארו בכיתה. כמה תלמידים יצאו לתחרות? איזה אחוז מהתלמידים נשארו בכיתה? ב. עדי הכין עבודה במחשבים. ביום הראשון פתר 0% מהשאלות שנתנה מהשאלות וביום השלישי פתר 0. מהשאלות. המורה. ביום השני פתר האם סיים עדי את העבודה במחשבים? נמקו.. פתרו את השאלות. הציגו את דרך הפתרון: בעקבות עליית מחירי החיטה, העלו במאפיית "עוגילנו" את המחירים ב- 0%. מחיר ק"ג עוגיות שמרים לפני ההתייקרות היה 0 ש"ח. מחיר ק"ג כדורי שוקולד לפני ההתייקרות היה 0 ש"ח. א. ירון קנה ק"ג עוגיות שמרים. לאחר ההתייקרות כמה ישלם בעבור העוגיות? ב. נאוה קנתה ק"ג כדורי שוקולד. לאחר ההתייקרות כמה תשלם בעבורם? 0

311 חלק ב'- מספרים שלמים, יחס, קנה מידה ושאלות שונות. פתרו: = 888,08 -.א = 0 0 x.ב = 8,7 :.ג = 0 + x 0 -,000 :.ד. פתרו את השאלות. כתבו את דרך הפתרון: א. רשמו מה היחס בין מספר הקוביות הצבועות ומספר הקוביות הלא צבועות: ב. בחנות פרחים היו פרחים צהובים ופרחים אדומים. היחס בין מספר הפרחים הצהובים למספר הפרחים האדומים הוא. : בסך הכול היו פרחים משני הצבעים. כמה פרחים צהובים וכמה פרחים אדומים היו? ג. שי מתכוננת לתחרות. היא מתאמנת כל יום. באימונים היא רצה במהירות של 8 קילומטר לשעה. ביום הראשון רצה שי שעתיים וחצי. מה המרחק ששי רצה? ביום השני רצה שי ק"מ. כמה זמן רצה שי? ד. פועל יכול לסיים עבודה ב- ימים. בכמה ימים יסיימו את אותה העבודה פועלים?

312 . קנה מידה א. מפת השכונה בעיר גנים, משורטטת בקנה מידה של. :,000 המרחק במפה מהבית של ירון לבית הספר הוא 9 ס"מ. ב. מה המרחק במטרים במציאות מביתו של ירון לבית הספר? האם זה פחות או יותר מחצי ק"מ? ג. המרחק מהבית של ירון לספרייה הוא 00 מטר. מה המרחק בסנטימטרים על המפה מהבית של ירון לספרייה?. במאפייה "עוגילנו" מכינים כדורי שוקולד ועוגיות שמרים בטעמים שונים. משקל כדור שוקולד 0 גרם, משקל עוגיית שמרים 0 גר'. 0 גרם 0 גרם א. כמה כדורי שוקולד יש בקילוגרם אחד? ב. כמה עוגיות שמרים יש ב- קילוגרם? ג. אמיר קנה 00 גרם כדורי שוקולד ו- קילוגרם עוגיות שמרים. כמה עוגיות וכדורי שוקולד קנה אמיר בסך הכול? ד. עומר קנה כדורי שוקולד ועוגיות במשקל ק"ג. עומר קנה 0 כדורי שוקולד. כמה עוגיות שמרים קנה עומר?

313 מחוון למבחן מסכם בחשבון ו' "פשוט חשבון" כיתה ו' מס' שאלה הנושא התשובות הניקוד שבר כמייצג כמות מתוך כמות; משבר לאחוז; מעברים בין הפשוטים העשרוניים א. ב. 0 כל תשובה נכונה נקודות ) נקודות( א. משבצות באדום ב. 8 בצהוב ג. 6 בכחול ד. 0% בירוק כל תשובה נכונה נקודות )8 נקודות( והאחוזים השוואת שברים עשרוניים ופשוטים כל תשובה נכונה נקודה )6 נקודות( א. < ב. = ג. > ד. < ה. < ו. = מיקום שברים על הציר בין 0 ל- למטה מתחת לטבלה מצויר ציר עם תשובות. 0. אחרי וחצי קווים. חמישיות זה 0. בקו 0.7, בקו,7 ועשירית זה קו אחד אחרי * כל תשובה נכונה נקודה ) נקודות( ארבע פעולות החשבון בשברים פשוטים ארבע פעולות החשבון בשברים פשוטים 7 ד. 6 א. ב. 6 ג. 8 0 כל תשובה נכונה נקודות )8 נקודות( 6 א. ב. ד. 9 ג. 6 כל תשובה נכונה נקודות )0 נקודות( מוסיפים נקודות לסדר כל תשובה נכונה נקודות )6 נקודות( 7 8 עיגול שברים ואמדן תוצאות הכפל ארבע פעולות החשבון בשברים עשרוניים ותובנה מספרית א. ג- ב. ב- ג. ד- א. 0.9 ב.. ג. 0. ד. 90 כל תשובה נכונה נקודות )8 נקודות( 0 = 0% 0 9 0

314 תרגילי שרשרת א. 0 ב. )סדר הפעולות( בפשוטים ובעשרוניים הקשר בין שברים ואחוזים התייקרות באחוזים ארבע הפעולות בשלמים א. יצאו לתחרות תלמידים אחוז הנשארים 60% ב. עדי לא סיים את העבודה. הוא עשה 7% ממנה. כל תשובה נכונה נקודות ) נקודות( נקודות ל-א נקודות ל-ב ) נקודות( כל תשובה נכונה נקודות ) נקודות( כל תשובה נכונה נקודות )8 נקודות( א. נקודה ב. נקודות ג. + נקודות ד. נקודות סה"כ: 9 נקודות כל תשובה נכונה נקודות )6 נקודות( א ו-ב נקודות לכל תשובה ג ו-ד נקודות לכל תשובה )0 נקודות( 00 נקודות א. 8 ב. ב. 6,000 א.,0 ד.,00 ג. 09 יחס יחס / קנה מידה חישובי חילוק )ק"ג וגרם( א. : ב. צהובים- 6 ; אדומים- ; ג. / 0 שעה וחצי ד. א. 60 מ' ב. פחות ג. 0 ס"מ ג. ב. 0 א. 0 ד *

315 פריסה למבחן מסכם בחשבון ו'

316 6

317 תאריך: שם: מבחן מסכם "פשוט חשבון" כיתה ו' חלק ג'- הנדסה. הקיפו את המשפט הנכון בכל סעיף: *כל הזוויות שוות. * כל הצלעות שוות באורכן. א. בכל מקבילית: * כל זוג צלעות נגדיות שוות באורכן. * כל הזוויות שוות. * כל הצלעות שוות באורכן. ב. בכל מלבן: * כל זוג צלעות סמוכות שוות באורכן. ס"מ ס"מ. בשרטוט משולש בתוך ריבוע. אורך צלע הריבוע ס"מ. א. חשבו את שטח הריבוע. ב. חשבו את שטח המשולש. ג. ניר שרטט מלבן ששטחו שווה לשטח הריבוע. כתבו אפשרויות לאורך צלעות המלבן. אורך המלבן רוחב המלבן אורך המלבן רוחב המלבן 6 מ' מ' מ' מ' מ'. בשרטוט מגרש בחניון. א. חשבו את היקף המגרש. ב. חשבו את שטח המגרש. 7

318 . לפניכם שרטוט של תיבה א. חשבו את נפח התיבה: 6 ס"מ ס"מ ס"מ ב. חשבו נפח של פירמידה ששטח בסיסה שווה לשטח בסיס התיבה, וגובהה שווה לגובה התיבה:. באיצטדיון העירוני שני מסלולי ריצה. מסלול מעגלי שהרדיוס שלו 00 מטר, ומסלול ריבועי שאורך הצלע שלו 00 מטר. חן רץ פעם אחת לאורך כל המסלול הריבועי, שקד רצה פעם אחת לאורך כל המסלול המעגלי. מי רץ מרחק גדול יותר, חן או שקד? בכמה מטרים? 6. איזה גוף אפשר לבנות מכל פריסה? רשמו את שם הגוף: א. ב. ג. ד. ה. ו. 8

319 7. א. הקיפו את הגופים שהם פאונים. בחרו את אחד מהגופים שלא סימנתם והסבירו מדוע הוא אינו פאון. ב. רשמו אות או אותיות המתאימות לגופים הבאים: מנסרה גליל חרוט פירמידה 9