הסתברות

תמליל

1 הסתברות

2 תוכן העניינים יסודות ההסתברות 5 פעולות בין מאורעות (חיתוך ואיחוד) - מאורעות זרים ומכילים 4 3 קומבינטוריקה -כלל המכפלה 8 4 קומבינטוריקה- תמורה - סידור עצמים בשורה 5 קומבינטוריקה - תמורה עם עצמים זהים 3 6 קומבינטוריקה- סידור עצמים במעגל 6 7 קומבינטוריקה -דגימה סידורית ללא החזרה ועם החזרה 8 8 קומבינטוריקה - דגימה ללא סדר וללא החזרה 3 9 קומבינטוריקה - שאלות מסכמות 38 הסתברות מותנית-במרחב מדגם אחיד 4 הסתברות מותנית - מרחב לא אחיד 45 דיאגרמת עצים - נוסחת בייס ונוסחת ההסתברות השלמה 5 3 תלות ואי תלות בין מאורעות 53 4 שאלות מסכמות בהסתברות 58 5 המשתנה המקרי הבדיד - פונקציית ההסתברות 6 6 המשתנה המקרי הבדיד - תוחלת - שונות וסטיית תקן 66 7 המשתנה המקרי הבדיד -תוחלת של פונקציה של משתנה מקרי בדיד 69 8 המשתנה המקרי הבדיד- טרנספורמציה לינארית 7 9 תוחלת ושונות של סכום משתנים מקריים 75 התפלגויות בדידות מיוחדות -התפלגות בינומית 79 התפלגויות בדידות מיוחדות -התפלגות גיאומטרית 8 התפלגויות בדידות מיוחדות- התפלגות פואסונית 85 3 התפלגויות בדידות מיוחדות-התפלגות היפרגאומטרית

3 תוכן העניינים 88 4 המשתנה המקרי הבדיד - שאלות מסכמות 95 5 משתנה דו-מימדי בדיד - פונקציית הסתברות משותפת 6 משתנה דו מימדי בדיד - מתאם בין משתנים 8 7 המשתנה המקרי הדו ממדי - קומבינציות ליניאריות 8 המשתנה המקרי הדו ממדי הבדיד - שאלות מסכמות 9 9 המשתנה המקרי הרציף- התפלגויות כלליות (שימוש באינטגרלים) 8 3 התפלגויות רציפות מיוחדות- התפלגות מעריכית 3 3 התפלגויות רציפות מיוחדות-התפלגות אחידה 34 3 התפלגויות רציפות מיוחדות - התפלגות נורמלית 4 33 התפלגות הדגימה ומשפט הגבול המרכזי

4 כללי הסתברות פרק - יסודות ההסתברות י תוכן העניינים

5 פרק יסודות ההסתברות הגדרות יסודיות: רקע: ניסוי מקרי: תהליך לו כמה תוצאות אפשריות התוצאה המתקבלת נודעת רק לאחר ביצוע התהליך למשל: תוצאה בהטלת קובייה, מזג האוויר בעוד שבועיים מרחב מדגם: כלל התוצאות האפשריות בניסוי המקרי לדוגמה, בהטלת קובייה:,,,3,4,5,6 או: מזג האוויר בעוד שבועיים: }נאה, שרבי, מושלג, גשום, מעונן חלקית, אביך{ מאורע: תת קבוצה מתוך מרחב במדגם מסומן באותיות: A, B, C בהטלת קובייה למשל, המאורע 'לקבל לפחות 5' יסומן : A = 5,6 יסומן: B =, 4,6 המאורע 'לקבל תוצאה זוגית' גודל מרחב המדגם: מספר התוצאות האפשריות במרחב המדגם בהטלת קובייה למשל נקבל: 6= גודל המאורע: מספר התוצאות האפשריות במאורע עצמו למשל, בהטלת הקובייה האירועים הקודמים יסומנו : = A B = 3, מאורע משלים: מאורע המכיל את כל התוצאות האפשריות במרחב המדגם פרט, A =,,3,4 לתוצאות במאורע אותו הוא משלים למשל, בהטלת הקובייה : B =,3,5 מרחב מדגם אחיד )סימטרי(: מרחב מדגם בו לכל התוצאות במרחב המדגם יש את אותה עדיפות, אותה סבירות למשל, קובייה הוגנת, אך לא כמו מזג האוויר בשבוע הבא

6 פרק יסודות ההסתברות P ( A) A = הסתברות במרחב מדגם אחיד : במרחב מדגם אחיד הסיכוי למאורע יהיה: A P ( A) = = 6 B 3 P ( B) = = 6 דוגמה: מה הסיכוי בהטלת קובייה לקבל לפחות 5? דוגמה: מה הסיכוי בהטלת קובייה לקבל תוצאה זוגית? f n הסתברות במרחב לא אחיד: תחושב לפי השכיחות היחסית: דוגמה: להלן התפלגות הציונים בכיתה מסוימת : מספר התלמידים השכיחות f הציון x f 5 מה ההסתברות שתלמיד אקראי שניבחר בכיתה קיבל את הציון 8? n = 5 = f מה ההסתברות שתלמיד אקראי שניבחר בכיתה יכשל? 8 n = 5 = הסתברות למאורע משלים: הסתברות לקבוצת המשלים של המאורע ביחס למרחב P A = P למשל, בדוגמה הקודמת הסיכוי לעבור את הבחינה יכול המדגם: A ( ) ( ) 3 P ( A) להיות מחושב לפי הסיכוי להיכשל: = = 5 5

7 פרק יסודות ההסתברות שאלות: מהאותיות F E, ו- G יש ליצור מילה בת אותיות, לא בהכרח בת משמעות א הרכי בו את כל המילים האפשריות רשמו את המקרים למאורע: ב E במילה נמצאת האות i במילה האותיות שונות ii רשמו את המקרים למאורע ג A מטילים זוג קוביות א רשמו את מרחב המדגם של הניסוי האם מרחב המדגם אחיד? ב רשמו את כל האפשרויות לאירועים הבאים: i סכום התוצאות 7 ii מכפלת התוצאות ג חשבו את הסיכויים לאירועים שהוגדרו בסעיף ב' נבחר באקראי ספרה מבין הספרות -9 א מה ההסברות שהספרה שנבחרה גדולה מ -5? ב מה ההסתברות שהספרה שנבחרה היא לכל היותר? 3 ג מה ההסתברות שהספרה שנבחרה היא אי זוגית? להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה עבור כל משפחה בישוב מסוים: ) ) )3 ) מספר משפחות מספר מקלטים נבחרה משפחה באקראי מהישוב א מה ההסתברות שאין מקלטים למשפחה? ב מה ההסתברות שיש מקלטים למשפחה? ג מה ההסתברות שיש לפחות 3 מקלטים למשפחה? להלן התפלגות מספר המכוניות למשפחה ביישוב "עדן": 3 4 מספר משפחות 4 3 מספר מכוניות נבחרה משפחה אקראית מן הישוב א מה ההסתברות שאין לה מכוניות? ב מה ההסתברות שבבעלות המשפחה לפחות 3 מכוניות? ג מה הסיכוי שבבעלותה פחות מ- 3 מכוניות? )5 3

8 פרק יסודות ההסתברות נטיל מטבע רגיל 3 פעמים בצד אחד של המטבע מוטבע עץ ובצד השני פלי א רשמו את מרחב המדגם של הניסוי האם מרחב המדגם הוא אחיד? רשמו את כל האפשרויות לאירועים הבאים: ב התקבל פעם אחת עץ i התקבל לפחות פלי אחד ii מהו המאורע המשלים ל- D? ג חשבו את הסיכויים לאירועים שהוגדרו בסעיפים ב-ג ד )6 תשובות סופיות: = EE, EF, EG, FE, FF, FG, GE, GF, GG A = EE, EF, EG, FE, GE, BEF, EG, FE, FG, GE, GF A = FF, FG, GF, GG (,) (,) ( 3,) ( 5,) ( 4,) ( 6,) (, ) (,) ( 3,) ( 4,) ( 5,) ( 6, ) (,3) (,3) ( 3,3) ( 4,3) ( 5,3) ( 6,3) = (,4 ) (,4) ( 3,4) ( 4,4) ( 5,4) ( 6,4) (,5 ) (,5) ( 3,5) ( 4,5) ( 5,5) ( 6,5) (,6 ) (,6) ( 3,6) ( 4,6) ( 5,6) ( 6,6) (,6 ),(,5 ),( 3,4 ),( 4,3 ),( 5, ),( 6, ), C (,6 ),( 3,4 ),( 4,3 ),( 6,) A= = 9 6 א ב ג א ב ג הסיכוי ל- A : הסיכוי ל- B : ג 5 ב 4 א 4 ג 3 ב 78 א ג 8 ב א PPP, PPE, PEP, EPP, PEE, EPE, EEP, EEE א =,,,,,,,,, D = EEE A = PPE PEP EPP D = PPP PPE PEP EPP PEE EPE EEP 8 ב ג ד ) ) )3 )4 )5 )6 4

9 כללי הסתברות פרק - פעולות בין מאורעות (חיתוך ואיחוד) - מאורעות זרים ומכילים י 5 תוכן העניינים 4

10 פרק פעולות בין מאורעות (חיתוך ואיח פעולות בין מאורעות )חיתוך ואיחוד( ומכילים : מאורעות זרים רקע: פעולת חיתוך: נותנת את המשותף בין המאורעות הנחתכים למאורע יסומן כך: מדובר בתוצאות שנמצאות ב -A חיתוך בין המאורע A A B וגם ב - B B דוגמה: בהטלת קובייה, למשל, האפשרויות לקבל לפחות 5 הן: האפשרויות לקבל תוצאה זוגית הן: החיתוך שביניהם הוא: A = 5,6 B =,4,6 A B= 6 פעולת איחוד: נותנת את כל האפשריות שנמצאות לפחות באחת A מהמאורעות, ומסומנת: B הפעולה נותנת את אשר נמצא ב -A או כלומר, לפחות אחד מהמאורעות קורה B דוגמה: בהטלת קובייה האפשרויות לקבל לפחות 5 הן: האפשרויות לקבל תוצאה זוגית: A = 5,6 B =,4,6 האפשרויות לקבל לפחות 5 וגם תוצאה זוגית: A B=,4,5,6 דוגמה )הפתרון נמצא בהקלטה(: סטודנט ניגש בסמסטר לשני מבחנים מבחן בסטטיסטיקה ומבחן בכלכלה ההסתברות שלו לעבור את המבחן בסטטיסטיקה הוא 9, ההסתברות שלו לעבור את המבחן בכלכלה הוא 8 וההסתברות לעבור את המבחן בסטטיסטיקה ובכלכלה היא 75 מה ההסתברות שלו לעבור את המבחן בסטטיסטיקה בלבד? מה ההסתברות שלו להיכשל בשני המבחנים? מה ההסתברות לעבור לפחות מבחן אחד? 5

11 פרק פעולות בין מאורעות (חיתוך ואיח נוסחת החיבור לשני מאורעות: ההסתברות של איחוד מאורעות תחושב ע"י הקשר הבא: P A B = P A + P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) חוקי דה מורגן לשני מאורעות: A B = A B A B = A B ( ) = ( ) ( ) = ( ) P A B P A B P A B P A B שיטת ריבוע הקסם: השיטה רלבנטית רק אם יש שני מאורעות במקביל בדומה לתרגיל הקודם: B B A ( B) P A ( B) P A P( A) A ( B) P A ( B) P A P( A) P( B) P( B) מאורעות זרים: מאורעות זרים הם כאשר אין להם אף איבר משותף: =B A כלומר, הם לא יכולים להתרחש בו זמנית ( B) = P A ( ) = ( ) + ( ) P A B P A P B A = ההסתברות של חיתוך המאורעות היא אפס: ההסתברות של איחוד המאורעות תחושב: דוגמה: בהטלת קובייה, האפשרויות לקבל לפחות 5 הן: היא: והאפשרות לקבל 3 A B= 5,6, B = 3 ולכן החיתוך ביניהם הוא אפס, כלומר: 6

12 פרק פעולות בין מאורעות (חיתוך ואיח מאורעות מוכלים : A B = B A B = A ( ) = ( ) ( ) = ( ) P A B P B P A B P A נתונים שני מאורעות A ו - B A מוכל במאורע B כלולים במאורע A נאמר שהמאורע המאורע, השונים מאפס אם כל איברי B ונרשום: A B B מכיל את מאורע כל התוצאות שנמצאות ב - B מאורע A מוכלות בתוך מאורע A B קשר זה מסומן באופן הבא: A A = B =,4,6,4 למשל: 7

13 פרק פעולות בין מאורעות (חיתוך ואיח שאלות: מהאותיות F E, ו- G יוצרים מילה בת אותיות לא בהכרח בת משמעות נגדיר את המאורעות הבאים: - במילה נמצאת האות E - במילה אותיות שונות עם א עם ב A B רשמו את כל האפשרויות לחיתוך A רשמו את כל האפשרויות לאיחוד של A B B A תלמיד ניגש בסמסטר לשני מבחנים מבחן בכלכלה ומבחן בסטטיסטיקה נגדיר את המאורעות הבאים: - לעבור את המבחן בסטטיסטיקה - B לעבור את המבחן בכלכלה היעזרו בפעולות חיתוך, איחוד ומשלים בלבד כדי להגדיר את המאורעות הבאים וסמנו בדיאגראמת וון את השטח המתאים: א התלמיד עבר רק את המבחן בכלכלה ב התלמיד עבר רק את המבחן בסטטיסטיקה ג התלמיד עבר את שני המבחנים ד התלמיד עבר לפחות מבחן אחד ה התלמיד נכשל בשני המבחנים ו התלמיד נכשל בכלכלה ) ) ב A נתבקשתם לבחור ספרה באקראי נגדיר את A להיות הספרה שנבחרה היא זוגית נגדיר את B להיות הספרה שנבחרה קטנה מ- 5 א רשמו את כל התוצאות למאורעות הבאים: A B, A B,,, חשבו את ההסתברויות לכל המאורעות מהסעיף הקודם B B )3 A A נסמן ב - את מרחב המדגם וב - קבוצה ריקה נתון כי A הינו מאורע בתוך מרחב המדגם להלן מוגדרים מאורעות שפתרונם הוא או קבעו עבור כל מאורע מה הפתרון שלו : A או,, A A, A, A, A, A, A )4 8

14 פרק פעולות בין מאורעות (חיתוך ואיח הוגדרו המאורעות הבאים: - אדם שגובהו מעל 7 מטר - אדם שגובהו מתחת ל- 8 מטר קבעו את גובהם של האנשים הבאים: א ב A B A B A B ג ד ה A B A B A A B C נגדיר את המאורעות הבאים: - אדם דובר עברית - אדם דובר ערבית - אדם דובר אנגלית השתמשו בפעולות איחוד, חיתוך והשלמה לתיאור המאורעות הבאים: א אדם דובר את כל שלוש השפות ב אדם דובר רק עברית ג אדם דובר לפחות שפה אחת מתוך השפות הללו ד אדם אינו דובר אנגלית ה קבוצת התלמידים שדוברים שתי שפות בדיוק )מהשפות הנ"ל( )5 )6 שתי מפלגות רצות לכנסת הבאה מפלגת "גדר" תעבור את אחוז החסימה בהסתברות של 8 ומפלגת "עתיד" תעבור את אחוז החסימה בהסתברות של בהסתברות של 76% שתי המפלגות לא תעבורנה את אחוז החסימה א מה ההסתברות שלפחות אחת מהמפלגות תעבור את אחוז החסימה? ב מה ההסתברות ששתי המפלגות תעבורנה את אחוז החסימה? ג מה ההסתברות שרק מפלגות "עתיד" תעבור את אחוז החסימה? )7 במקום עבודה מסוים 4% מהעובדים הם גברים כמו כן, % מהעובדים הם אקדמאים % מהעובדים הינן נשים אקדמאיות א איזה אחוז מהעובדים הם גברים אקדמאיים? ב איזה אחוז מהעובדים הם גברים או אקדמאיים? ג איזה אחוז מהעובדים הם נשים לא אקדמאיות? )8 9

15 פרק פעולות בין מאורעות (חיתוך ואיח הסיכוי של מניה A לעלות הנו 5 ביום מסוים והסיכוי של מניה B לעלות ביום מסוים הנו 4 בסיכוי של 7 לפחות אחת מהמניות תעלה ביום מסוים חשבו את ההסתברויות הבאות לגבי שתי המניות הללו ביום מסוים: א ששתי המניות תעלנה ב שאף אחת מהמניות לא תעלנה ג שמניה A בלבד תעלה )9 B A B C מטילים זוג קוביות, אדומה ושחורה נגדיר את המאורעות הבאים: - בקובייה האדומה התקבלה התוצאה 4 ובשחורה - סכום התוצאות משתי הקוביות הוא 6 - מכפלת התוצאות בשתי הקוביות היא מאורעות זרים? א? האם המאורע ב מאורעות זרים? האם A ג מאורעות משלימים? ד ו - B ו - C ו - C האם A האם A מכיל את המאורע A ), P( A ) = 6 עבור המאורעות A ו - B ( B) =, P( B ) = 3 א ב ידועות ההסתברויות הבאות: P A האם A ו - B חשבו את מאורעות זרים? ( B) P A ) A מטבע הוטל פעמיים נגדיר את המאורעות הבאים: - קיבלנו עץ בהטלה הראשונה - קיבלנו לפחות עץ אחד בשתי ההטלות איזו טענה נכונה? א מאורעות זרים ב מאורעות משלימים ג ד A מכיל את B ו - B B - ו A B A B מכיל את A ) בהגרלה חולקו כרטיסים על 3 מהם רשום חופשה ועל מהם רשום מחשב שאר הכרטיסים ריקים אדם קיבל כרטיס אקראי א מה הסיכוי לזכות בחופשה או במחשב? האם המאורעות הללו זרים? ב מה ההסתברות לא לזכות בפרס? )3

16 פרק פעולות בין מאורעות (חיתוך ואיח ב ג ( ) ( ) ( ) נתון כי: = 49 B P A = 3, P B = 5, P A א חשבו את הסיכוי ל -(B )P A האם A ו - B מה ההסתברות שרק A מאורעות זרים? יקרה או שרק B B - ו A מאורעות זרים נתון ש: מה הסיכוי למאורע A יקרה? ( ) ( ) ( ) P B A = P A B = P A B ומה ההסתברות למאורע? B )4 )5 קבעו אילו מהטענות הבאות נכונות: א A B = B A ב ג ד נתון ש -A א ב ג ד ( ) ( ) A B = A B A B C = A B C B ( ) A B C = A B C ו - B מאורעות במרחב מדגם נתון ש - = B, P 3 = האם יתכן ש- 4 = B)? P( A האם יתכן ש- 6 = B)? P( A זרים מה הסיכוי B) P( A אם מכיל את מה הסיכוי (B ( P A?? P A B אם A ו- B A )6 )7 מתוך אזרחי המדינה הבוגרים ל- 3% חשבון בבנק הפועלים ל- 8% חשבון בבנק לאומי ול- 5% חשבון בבנק מזרחי כמו כן נתון כי 6% מחזיקים חשבון בבנק לאומי ובבנק הפועלים ל- 5% חשבון בבנק פועלים ומזרחי ול- 4% חשבון בבנק לאומי ומזרחי כמו כן ל- % מהאוכלוסייה הבוגרת חשבון בנק בשלושת הבנקים יחד א מה אחוז האזרחים להם חשבון בבנק לאומי בלבד? ב מה ההסתברות שאזרח כלשהו יחזיק חשבון בבנק פועלים ולאומי אבל לא בבנק מזרחי? ג מה ההסתברות שלאזרח יהיה חשבון בפועלים או במזרחי אבל לא בבנק לאומי? ד מה אחוז האזרחים שיש להם חשבון בנק אחד בלבד? ה מה אחוז האזרחים שיש להם בדיוק חשבון בשני בנקים בלבד? ו מה ההסתברות שלאזרח בוגר אין חשבון בנק באף אחד מהבנקים הללו? ז לאיזה אחוז מהאזרחים יש חשבון בנק בלפחות אחד מהבנקים הללו? )8

17 פרק פעולות בין מאורעות (חיתוך ואיח חברה מסוימת פרסמה את הנתונים הבאים לגבי האזרחים מעל גיל הנתונים שהתקבלו היו: 4% מהאנשים מחזיקים כרטיס "ויזה", 5% מחזיקים כרטיס "ישראכרט", % מחזיקים כרטיס "אמריקן אקספרס", 5% מחזיקים כרטיס ויזה וגם ישראכרט, 8% מחזיקים כרטיס ישראכרט וגם אמריקן אקספרס ו- 7% מחזיקים כרטיס ויזה וגם אמריקן אקספרס כמו כן, 3% לא מחזיקים באף אחד משלושת הכרטיסים הנ"ל א מה אחוז מחזיקי שלושת כרטיס האשראי גם יחד? ב מה אחוז מחזיקי ישראכרט וויזה אך לא את אמריקן אקספרס? ג מה אחוז מחזיקי כרטיס אחד בלבד? )9 ( ) = ( ) ( ) + ( ) ) הוכי חו: P A B P A P B P A B B - ו A מאורעות במרחב המדגם האם נכון לומר שהסיכוי שיתרחש בדיוק מאורע אחד הוא:? P A + P B P A B ( ) ( ) ( ) )

18 פרק פעולות בין מאורעות (חיתוך ואיח B A B A B תשובות סופיות: A B = { EG, EF, FE, GE} A B = { EG, EF, EE, FE, GE, EG, GF} A B A B B A א ב ב א ב ג ד ה א =,,4,6,8 A, B = 5, 6, 7, 8, 9, B =,,, 3, 4, A B=,, 4, 6, 8,, 3, A B=,, 4 ו ( B) = 7, P A ( B) = 3, P A, A = : A כל גובה אפשרי B :, A B P( B ) = 5, A = A, ב P( B ) = 5, A = A, P( A ) = 5 A =, =, A= A A A=, A A= : A גובה בין 7 ל- 8 א B : ג A = A B ה א גובה לכל היותר 7 ב ד לכל היותר 7 או לפחות 8 ג AB C A B C ( A B C ) ( B C A) ( A C B) P( B A) = 6 ג P( A B) = 4 ג = 5% B) ( ג = 3 B) P( A P A A= A : גובה מעל 7 AB C ד C ה ב ב = 5% B) ( P A ( B) = 3 P A ב א = 4 B) ( א = % B) ( P( A B) א = P A P A א לא א כן ב כן ב ג כן ד לא (( ) ( )) = 43 P A B B A ( B) = 3 P A ( B) = 3 P A ) ) )3 )4 )5 )6 )7 )8 )9 ) ) ( הטענה הנכונה היא ג' )3 א 5 ב 95 ( B) = 6 P A א ב לא ג ג לא נכון ד נכון ג = B P A ד ד 46% ה % ( ) 5 ג 3 ו 4 ג 67% )4 P( B) =, P( A) = 5 5 )5 ב לא נכון 6( א נכון ב לא 7( א כן )8 א 9% ב 5 ז 59% )9 א 5% ב % ( שאלת הוכחה ) נכון 3

19 כללי פרק - 3 קומבינטוריקה -כלל המכפלה הסתברות י 4 תוכן העניינים 3

20 פרק 3 קומבינטוריקה -כלל המכפלה קומבינטוריקה כלל המכפלה: רקע: כלל המכפלה: כלל המכפלה הוא כלל שבאמצעותו אפשר לחשב את גודל המאורע או גודל מרחב המדגם n k n n אם לתהליך יש k שלבים: אפשרויות לשלב אפשרויות לשלב הראשון, אפשרויות לשלב השני n n n3 nk : k מספר האפשרויות לתהליך כולו יהיה: למשל, כמה אפשרויות יש למשחק בו מטילים קובייה וגם מטבע? )הסבר בהקלטה( n = 6, n = n n = 6 = למשל, כמה לוחיות רישוי בני 5 תווים ניתן ליצור כאשר התו הראשון הוא אות אנגלית והיתר ספרות? )הסבר בהקלטה( n = 6, n =, n =, n =, n = n n n n n = 6 = 6,

21 פרק 3 קומבינטוריקה -כלל המכפלה שאלות: חשבו את מספר האפשרויות לתהליכים הבאים: א הטלת קובייה פעמים ב מספר תלת ספרתי ג בחירת בן ובת מכתה שיש בה שבעה בנים ועשר בנות ד חלוקת שני פרסים שונים לעשרה אנשים שונים כאשר אדם לא יכול לקבל יותר מפרס אחד במסעדה מציעים ארוחה עסקית בארוחה עסקית יש לבחור מנה ראשונה, מנה עיקרית ושתייה האופציות למנה ראשונה הן: סלט ירקות, סלט אנטיפסטי ומרק היום האופציות למנה עיקרית הן: סטייק אנטריקוט, חזה עוף בגריל, לזניה בשרית ולזניה צמחונית האופציות לשתייה הן: קפה, תה ולימונדה א כמה ארוחות שונות ניתן להרכיב בעזרת התפריט הזה? ב אדם מזמין ארוחה אקראית חשב את ההסתברויות הבאות: i בארוחה סלט ירקות, לזניה בשרית ולימונדה ii בארוחה סלט, לזניה ותה בוחרים באקראי מספר בין חמש ספרות חשבו את ההסתברויות הבאות: א המספר הוא זוגי ב במספר כל הספרות שונות ג במספר כל הספרות זהות ד במספר לפחות שתי ספרות שונות ה במספר לפחות שתי ספות זהות ו המספר הוא פלינדרום )מספר הנקרא מימין ומשמאל באות הצורה( חישה אנשים אקראיים נכנסו למעלית בבניין בן 8 קומות חשבו את ההסתברויות הבאות: א כולם ירו בקומה החמישית ב כולם ירדו באותה קומה ג כולם ירדו בקומה אחרת ד ערן ודני ירדו בקומה השישית והיתר בשאר הקומות ) ) )3 )4 5

22 פרק 3 קומבינטוריקה -כלל המכפלה במפלגה חמישה עשר חברי כנסת יש לבחור שלושה חברי כנסת לשלושה תפקידים שונים בכמה דרכים ניתן לחלק את התפקידים הבאים אם: א חבר כנסת יכול למלא יותר מתפקיד אחד ב חבר כנסת לא יכול למלא יותר מתפקיד אחד מטילים קובייה 4 פעמים א מה ההסתברות שכל התוצאות תהינה זהות? ב מה ההסתברות שכל התוצאות תהינה שונות? ג מה ההסתברות שלפחות שתי תוצאות תהינה זהות? ד מה ההסתברות שלפחות שתי תוצאות תהיה שונות? יש ליצור מילה בת חמש אותיות, לא בהכרח עם משמעות מאותיות ה- ABC )6 אותיות( א מה ההסתברות שבמילה שנוצרה אין האותיות A D, ו- L? ב מה ההסתברות שבמילה שנוצרה כל האותיות זהות? ג מה ההסתברות שבמילה שנוצרה לפחות שתי אותיות שונות זו מזו? ד מה ההסתברות שהמילה היא פלינדרום? )מילה אשר משמאל לימין, ומימין לשמאל נקראת אותו הדבר( יוצרים קוד עם a ספרות )מותר לחזור על אותה ספרה בקוד( חשבו את ההסתברויות הבאות: )בטאו את תשובותיכם באמצעות א בקוד אין את הספרה 5 ב בקוד מופיעה הספרה 3 ג בקוד לא מופיעות ספרות אי זוגיות )a במשחק מזל יש למלא טופס בו n משבצות כל משבצת מסומנת בסימן V או X בכמה דרכים שונות ניתן למלא את טופס משחק המזל? )5 )6 )7 )8 )9 6

23 פרק 3 קומבינטוריקה -כלל המכפלה תשובות סופיות: א 36 א 36 ב 9 ב ג 7 ב ד 9 9 ii 36 i א 5 א ב 34 ב ג ג 5 ד 9999 ד ה 6976 ו א 3375 א ב ב ג ד א ב ג ד 5 a א ב ג 9 a 9 a n ) ) )3 )4 )5 )6 )7 )8 )9 7

24 כללי הסתברות פרק - 4 קומבינטוריקה- תמורה - סידור עצמים בשורה י 8 תוכן העניינים 7

25 פרק 4 קומבינטוריקה- תמורה - סידור עצ קומבינטוריקה תמורה רקע: תמורה: סידור עצמים בשורה: ( ) n! = 3 n מספר האפשריות לסדר n עצמים שונים בשורה: n הערה:! = דוגמאות )הפתרונות בהקלטה( : בכמה דרכים שונות ניתן לסדר את האותיות:,a?,b,c d בכמה דרכים שונות ניתן לסדר את האותיות:,a,,b,c d כך שהאותיות:,a b יהיו ברצף? בכמה דרכים שונות ניתן לסדר את האותיות:,a,,b,c d כך שהאותיות:,a b יופיעו בתור הרצף?ba 8

26 פרק 4 קומבינטוריקה- תמורה - סידור עצ שאלות: חשבו: בכמה אופנים א אפשר לסדר 4 ספרים שונים על מדף? ב אפשר לסדר חמישה חיילים בטור? ) סידרו באקראי דיסקים שונים על מדף שמתוכם שניים בשפה העברית א מה ההסתברות שהדיסקים בעברית יהיו צמודים זה לזה? ב מה ההסתברות שהדיסקים בעברית לא יהיו צמודים זה לזה? ג מה ההסתברות ששני הדיסקים בעברית יהיו כל אחד בקצה השני של המדף? ) בוחנים 5 בנים ו- 4 בנות בכיתה ומדרגים אותם לפי הציון שלהם בבחינה נניח שאין תלמידים בעלי אותו ציון א מהו מספר הדירוגים האפשריים? ב מהו מספר הדירוגים האפשריים אם מדרגים בנים ובנות בנפרד? מסדרים ספרים שונים על מדף א בכמה אופנים ניתן לסדר את הספרים על המדף? )3 )4 שני ספרים מתוך ה- הם ספרים בסטטיסטיקה ב מה ההסתברות שאם נסדר את הספרים באקראי, הספרים בסטטיסטיקה יהיו צמודים זה לזה? ג מה ההסתברות שהספרים בסטטיסטיקה לא יהיו צמודים זה לזה? ד מה ההסתברות שהספרים בסטטיסטיקה יהיו בקצות המדף )כל ספר בקצה אחר(? אדם יצר בנגן שלו פלייליסט )רשימת השמעה( של שירים שונים 4 בשפה העברית, 5 באנגלית ו- 3 בצרפתית האדם הריץ את הפלייליסט באקראי א מה ההסתברות שכל השירים באנגלית יופיעו כשירים הראשונים כמקשה אחת? ב מה ההסתברות שכל השירים באנגלית יופיעו ברצף )לא חובה ראשונים(? ג מה ההסתברות ששירים באותה השפה יופיעו ברצף )כלומר כל השירים באנגלית ברצף, כל השירים בעברית ברצף וכך גם השירים בצרפתית(? )5 9

27 פרק 4 קומבינטוריקה- תמורה - סידור עצ 4 בנים ו- 4 בנות התיישבו באקראי בשורת כיסאות 8- בקולנוע א מה ההסתברות שיוסי ומיכל לא ישבו זה לצד זה? ב מה ההסתברות שהבנים יתיישבו במקומות האי-זוגיים? ג מה ההסתברות שכל הבנים ישבו זה לצד זה? ד מה ההסתברות שהבנים ישבו זה לצד זה והבנות תשבנה זו לצד זו? )6 תשובות סופיות: א 4 ב ) ג א ב 8 ) א 3688 ב 88 )3 א 3688 ב ג 8 ד 45 )4 46 א ב ג )5 א 75 ב 4 ג ד 35 4 )6

28 כללי הסתברות פרק - 5 קומבינטוריקה - תמורה עם עצמים זהים י תוכן העניינים

29 פרק 5 קומבינטוריקה - תמורה עם עצמים קומבינטוריקה תמורה עם עצמים זהים : רקע: תמורה עם חזרות: n r ו - אם יש בין העצמים שיש לסדר עצמים זהים, יש לבטל את הסידור הפנימי שלהם על ידי חלוקה בסידורים הפנימיים שלהם n זהים מסוג n מהם זהים מסוג, מספר האופנים לסדר n עצמים בשורה, ש - זהים מסוג n! n! n! n! r :r?w, W, T, T, K, K דוגמה )תשובה בהקלטה(: כמה מילים ניתן ליצור מכל האותיות הבאות:

30 פרק 5 קומבינטוריקה - תמורה עם עצמים שאלות: ( במשחק יש לצבוע שתי משבצות מתוך המשבצות הבאות: בכמה דרכים שונות ניתן לבצע את הצביעה? בכמה אופנים שונים אפשר לסדר בשורה את האותיות: ב, ע, ע, ב, ע, ג? ) בבית נורות מקום ל- 6 נורות בחרו שתי נורות אדומות, שתי נורות צהובות ושתי נורות כחולות כמה דרכים שונות יש לסדר את הנורות? )3 נרצה ליצור מספר מכל הספרות הבאות:,,,, 6 כמה מספרים כאלה אפשר ליצור? )4 במשחק בול פגיעה יש משבצות, אדם צובע 4 משבצות מתוך ה- המשתתף השני צריך לנחש אילו 4 משבצות נצבעו מה ההסתברות שבניחוש אחד יהיה בול פגיעה? כמה אותות שונים, שכל אחד מורכב מ- דגלים שונים, ניתן ליצור, אם 4 דגלים הם לבנים, 3 כחולים, אדומים ואחד שחור דגלים שווי צבע זהים זה לזה לחלוטין )5 )6 תשובות סופיות: ) ) )3 )4 )5 )6

31 במעגל הסתברות פרק - 6 קומבינטוריקה- סידור עצמים במעגל י 3 תוכן העניינים סידור עצמים

32 פרק 6 קומבינטוריקה- סידור עצמים במעג קומבינטוריקה סידור עצמים במעגל: n רקע: מספר האפשרויות לסדר הוא: עצמים שונים במעגל בו אין מקומו ת מסומנים ( n )! דוגמה )פתרון בהקלטה(: דנה, רמה ושדה רוצות ליצור מעגל ריקוד בכמה דרכים שונות הן יכולות להחזיק אחת לשנייה את הידיים, כדי ליצור את המעגל? 3

33 פרק 6 קומבינטוריקה- סידור עצמים במעג שאלות: מעצב פנים יצר ללקחותיו מניפת צבעים המוצגת במעגל במניפה צבעים שונים מתוכם 3 בגווני אפור, 3 בגווני לבן, 3 בגווני ירוק ו- 3 בגווני צהוב כמה מניפות שונות ניתן ליצור כאשר: א גווני האפור צמודים זה לזה ב צבעים באותו גוון צמודים זה לזה ) דני יוצר שרשרת חרוזים הבנויה מעשרה חרוזים בצבעים שונים הוא משחיל את עשרת החרוזים באקראי חשבו את ההסתברויות הבאות: א הסידור יהיה בדיוק כמוראה בציור ב החרוז הלבן והכתום יהיו בסמוך זה לזה אבא הכין עוגת יומולדת עגולה הוא סידר 7 נרות כמוראה בשרטוט הנרות זהים ונבדלים זה בזה בצבע: כחולים זהים, אדומים זהים, צהובים זהים ו- כתום סידור הנרות נעשה באקראי חשבו את ההסתברויות הבאות: א הנרות הצהובים סמוכים זה לזה ב נרות באותו צבע סמוכים זה לזה ) )3 n בנים ו- n בנות הסתדרו במעגל באקראי א מה הסיכוי שכל הבנים יסתדרו זה לצד זה בלי להתפצל? ב מה הסיכוי שכל הבנים יסתדרו זה לצד זה בלי להתפצל וגם כל הבנות יסתדרו זו לצד זו בלי להתפצל? ג מה הסיכוי שהסידור יהיה שמימין ומשמאל לכל בן תהיה בת? )4 4

34 פרק 6 קומבינטוריקה- סידור עצמים במעג תשובות סופיות: א 778 ב 7776 ) 9 5 9! א א ב ב 3 ) )3 ( n )!( n! ) ( n )! ( n! ) ( n )! ( n! ) ( n )! א ב ג )4 5

35 כללי הסתברות פרק - 7 קומבינטוריקה -דגימה סידורית ללא החזרה ועם החזרה י 6 תוכן העניינים 5

36 פרק 7 קומבינטוריקה -דגימה סידורית ל קומבינטוריקה החזרה : דגימה סידורית ללא החזרה ועם n רקע: מדגם סידור בדגימה עם החזרה : מספר האפשרויות בדגימת k עם החזרה והמדגם סדור הוא: עצמים מתוך עצמים שונים כאשר הדגימה היא k n דוגמה: בוחרים שלושה תלמידים מתוך עשרה לייצג ועד בו תפקידים שונים, תלמיד יכול למלא יותר מתפקיד אחד כמה ועדים שונים ניתן להרכיב? n=, k = 3, =, 3 ( n k) מדגם סידור ללא החזרה: מספר האפשרויות בדגימת עצמים שונים מתוך המדגם סדור ואין החזרה של עצמים נדגמים הינו: n! n = n n n ( n k k ) = n k! n k עצמים שונים כאשר ( ) ( )( ) ( ) ( ) דוגמה: שלושה תלמידים נבחרים מתוך לייצג וועד בו תפקידים שונים! תלמיד לא יכול למלא יותר מתפקיד אחד: ! = = 6

37 פרק 7 קומבינטוריקה -דגימה סידורית ל שאלות: במפלגה חברי כנסת, מעוניינים לבחור שלושה חברי כנסת לשלושה תפקידים שונים א חבר כנסת יכול למלא יותר מתפקיד אחד כמה קומבינציות ישנן לחלוקת התפקידים? ב חבר כנסת לא יכול למלא יותר מתפקיד אחד כמה קומבינציות יש לחלוקת התפקידים? במשחק מזל יש 4 משבצות ממוספרות מ- A-D )A עד D( בכל משבצת יש למלא סיפרה )-9( הזוכה הוא זה שניחש נכונה את כל הספרות בכל המשבצות בהתאמה א מה ההסתברות לזכות במשחק? ב מה ההסתברות שבאף משבצת לא תהיה את הספרה 3 במספר הזוכה? ג מה ההסתברות שהתוצאה 4 תופיע לפחות פעם אחת במספר הזוכה? קבוצה מונה אנשים, מה ההסתברות שלפחות לשניים מהם יהיה יום הולדת באותו התאריך? שלושה אנשים קבעו להיפגש במלון הילטון בסינגפור הבעיה היא שבסינגפור ישנם 5 מלונות הילטון א מה ההסתברות שכל השלושה ייפגשו? ב מה ההסתברות שכל אחד יגיע לבית מלון אחר? בכיתה 4 תלמידים מעוניינים לבחור חמישה מהם לוועד כיתה בכמה דרכים ניתן להרכיב את הוועד אם: א בוועד 5 תפקידים שונים ותלמיד יכול למלא יותר מתפקיד אחד ב בוועד 5 תפקידים שונים ותלמיד לא יכול למלא יותר מתפקיד אחד ) ) )3 )4 )5 תשובות סופיות: א 8 א 476 א 4 א ב 684 ב 656 ב 48 ב 78,96,96 ג ) ) )3 )4 )5 7

38 כללי הסתברות פרק - 8 קומבינטוריקה - דגימה ללא סדר וללא החזרה י 8 תוכן העניינים 7

39 פרק 8 קומבינטוריקה - דגימה ללא סדר ו קומבינטוריקה דגימה ללא סדר וללא החזרה: רקע: מדגם לא סדור בדגימה ללא החזרה: n מספר האפשרויות לדגום k עצמים שונים מתוך משמעות לסדר העצמים הנדגמים ואין החזרה: עצמים שונים כאשר אין n! n ( n) = = ( n k )! k! k k! k דוגמה: מתוך תלמידים יש לבחור שלושה נציגים לוועד ללא תפקידים מוגדרים:! = = 3 7! 3! הערות: n n = k n k n n = = n n n n = = n ) ) )3 8

40 פרק 8 קומבינטוריקה - דגימה ללא סדר ו שאלות: בכיתה 5 בנות ו- בנים יש לבחור 5 תלמידים שונים מהכיתה לנציגות הכיתה בכמה דרכים אפשר להרכיב את הנציגות, אם: א אין שום הגבלה לבחירה ב מעוניינים ש- 3 בנות ו- בנים ירכיבו את המשלחת ג לא יהיו בנים במשלחת סטודנט מעוניין לבחור 5 קורסי בחירה בסמסטר זה לפניו רשימה של קורסים לבחירה: 5 במדעי הרוח, 3 במדעי החברה, ב מתמטיקה א כמה בחירות שונות הוא יכול ליצור לעצמו? ב כמה בחירות יש לו בהן 3 קורסים הם ממדעי הרוח? ג כמה בחירות יש לו אם מהן לא ממדעי הרוח? ד כמה בחירות יש לו אם ממדעי הרוח, ממדעי החברה ו- ממתמטיקה? בכיתה 3 תלמידים מתוכם תלמידים ו- 8 תלמידות יש לבחור למשלחת 4 תלמידים מהכיתה התלמידים נבחרים באקראי א מה ההסתברות שהמשלחת תורכב רק מבנות? ב מה ההסתברות שבמשלחת תהיה רק בת אחת? ג מה ההסתברות שבמשלחת תהיה לפחות בת אחת? במשחק הלוטו יש לבחור 5 מספרים מתוך 45 המספרים הם -45 א מה ההסתברות שבמשחק הזוכה כל המספרים הם זוגיים? ב מה ההסתברות שבמספר הזוכה יש לכל היותר מספר זוגי אחד? ג מה ההסתברות שבמספר הזוכה לפחות פעם אחת יש מספר זוגי? ד מה ההסתברות שבמספר הזוכה כל המספרים גדולים מ- 3? בחפיסת קלפים ישנם 5 קלפים: 3 בצבע שחור בצורת עלה, 3 בצבע אדום בצורת לב, 3 בצבע אדום בצורת יהלום ו- 3 בצבע שחור בצורת תלתן מכל צורה )מתוך ה- 4 ( יש 9 קלפים שמספרם -, שאר הקלפים הם; נסיך, מלכה, מלך ואס )בעצם מדובר בקופסת קלפים רגילה ללא ג'וקר( שני אנשים משחקים פוקר כל אחד מקבל באקראי 5 קלפים )ללא החזרה( א מה ההסתברות שעודד יקבל את כל המלכים וערן את כל המלכות? ב מה ההסתברות שאחד השחקנים יקבל את הקלף אס-לב? ג מה ההסתברות שערן יקבל קלפים שחורים בלבד ועודד יקבל שני קלפים שחורים בדיוק? ד מה ההסתברות שערן יקבל לפחות 3 קלפים שהם מספר )אס אינו מספר(? ) ) )3 )4 )5 9

41 פרק 8 קומבינטוריקה - דגימה ללא סדר ו במכללה 4 מסלולי לימוד בכל מסלול לימוד 5 מזכירות יש ליצור וועד של 5 מזכירות מתוך כלל המזכירות במכללה יוצרים וועד באופן אקראי חשבו את ההסתברויות הבאות: א כל המזכירות בוועד יהיו ממסלול "מדעי ההתנהגות" ב כל המזכירות בוועד יהיו מאותו המסלול ג מכל מסלול תבחר לפחות מזכירה אחת )6 n n n + + = k k + k + 7( הוכי חו כי: n בנים ו - n בנות מתחלקים ל- קבוצות א בכמה דרכים שונות ניתן לבצע את החלוקה אם שתי הקבוצות צריכות להיות שוות בגודלן ויש בכל קבוצה מספר שווה של בנים ובנות? ב בכמה דרכים ניתן לבצע את החלוקה אם יש מספר שווה של בנים ובנות בכל קבוצה אבל הקבוצות לא בהכרח בגודל שווה )8 תשובות סופיות: א 533 ב 475 ג 33 ) א 5 ב ג ד 6 ) א 7 ב 445 ג 989 )3 א ב 87 ג 97 ד 46 )4 א ב 93 ג 9 ד 837 ) א ב ג 35 )6 7( שאלת הוכחה n i= n i n n א ב )8 3

42 כללי הסתברות פרק - 9 קומבינטוריקה - שאלות מסכמות י 3 תוכן העניינים 3

43 פרק 9 קומבינטוריקה - שאלות מסכמות קומבינטוריקה שאלות מסכמות : שאלות: בכיתה 4 תלמידים מעוניינים לבחור חמישה מהם לוועד כיתה בכמה דרכים ניתן להרכיב את הוועד אם: א בוועד 5 תפקידים שונים ותלמיד יכול למלא יותר מתפקיד אחד ב בוועד 5 תפקידים שונים ותלמיד לא יכול למלא יותר מתפקיד אחד ג אין תפקידים שונים בוועד במשרד 3 עובדים, יש לבחור ארבעה עובדים למשלחת לחו"ל בכמה דרכים ניתן להרכיב את המשלחת? א במשלחת ארבע משימות שונות שיש למלא וכל עובד יכול למלא יותר ממשימה אחת ב כמו בסעיף א' רק הפעם עובד לא יכול למלא יותר ממשימה אחת ג מעוניינים לבחור ארבעה עובדים שונים למשלחת שבה לכולם אותו התפקיד מעוניינים להרכיב קוד סודי הקוד מורכב מ- ספרות שונות ו- 3 אותיות שונות באנגלית )6 אותיות אפשריות( כמה קודים שונים ניתן להרכיב? א כמה קודים שונים ניתן להרכיב אם הקוד מתחיל בספרה ונגמר בספרה? ב כמה קודים ניתן להרכיב אם הספרות חייבות להיות צמודות זו לזו? ג בכמה קודים הספרות לא מופיעות ברצף? ד בארונית 4 מגירות ילד התבקש על ידי אמו לסדר 6 משחקים בארונית הילד מכניס את המשחקים באקראי למגירות השונות כל מגירה יכולה להכיל את כל המשחקים יחד א מה ההסתברות שהילד יכניס את כל המשחקים למגירה העליונה? ב מה ההסתברות שהילד יכניס את כל המשחקים לאותה מגירה? ג מה ההסתברות ש"דומינו" יוכנס למגירה העליונה ויתר המשחקים לשאר המגירות ד מה ההסתברות ש"דומינו" לא יוכנס למגירה העליונה? ) ) )3 )4 3

44 פרק 9 קומבינטוריקה - שאלות מסכמות בעיר מסוימת מתמודדות למועצת העיר 4 מפלגות שונות: "הירוקים", "קדימה", "העבודה" ו"הליכוד" 6 אנשים אינם יודעים למי להצביע, ולכן בוחרים באקראי מפלגה כלשהי א מה ההסתברות שכל ה- 6 יבחרו באותה מפלגה? ב מה ההסתברות שמפלגת ה"ירוקים" לא תקבל קולות? ג מה ההסתברות שמפלגת ה"ירוקים" תקבל בדיוק 3 קולות וכל מפלגה אחרת תקבל קול בלבד? ד מה ההסתברות שמפלגת "הירוקים תקבל קולות, מפלגת "העבודה" תקבל קולות ומפלגת "הליכוד" תקבל קולות? 5 חברים נפגשו ורצו לראות סרט לרשותם ספריה המונה 8 סרטים שונים כל אחד התבקש לבחור סרט באקראי מה ההסתברות שכולם יבחרו את אותו הסרט? א מה ההסתברות שכולם יבחרו את "הנוסע השמיני"? ב מה ההסתברות שכל אחד יבחר סרט אחר? ג מה הסיכוי שלפחות שניים יבחרו את אותו הסרט? ד מה ההסתברות שיוסי וערן ייבחרו את "הנוסע השמיני" וכל השאר ה סרטים אחרים? מה ההסתברות שהנוסע השמיני לא ייבחר על ידי אף אחד מהחברים? ו לקחו את 8 הסרטים ויצרו מהם רשימה נתון שברשימה 3 סרטי אימה, ז מה ההסתברות שברשימה שנוצרה יופיעו 3 סרטי האימה ברצף? בקבוצה אנשים יש ליצור שתי וועדות שונות מתוך הקבוצה: אחת בת 4 אנשים והשנייה בת 3 אנשים כל אדם יכול להיבחר רק לוועדה אחת חשבו את מס' הדרכים השונות ליצירת הוועדות הללו כאשר: א אין בוועדות תפקידים ב בכל וועדה יש תפקיד אחד של אחראי הוועדה ג בכל וועדה כל התפקידים שונים 4 גברים ו -3 נשים מתיישבים על כסאות בשורה של כסאות תיאטרון בכל שורה כסאות בכמה דרכים שונות ניתן לבצע את ההושבה: א ללא הגבלה ב כל הגברים ישבו זה ליד זה וגם כל הנשים תשבנה זו ליד זו ג שני גברים בקצה אחד ושני הגברים האחרים בקצה שני בהגרלה ישנם מספרים מ- עד נבחרו באקראי 5 מספרים מה ההסתברות שהמספר 7 הוא השני בגודלו מבין המספרים שנבחרו? )5 )6 )7 )8 )9 3

45 פרק 9 קומבינטוריקה - שאלות מסכמות n 6 אנשים עלו לאוטובוס שעוצר ב- תחנות כל אדם בוחר באופן עצמאי ואקראי באיזו תחנה לרדת א מה ההסתברות שכל אחד יורד בתחנה אחרת? ב מה ההסתברות שבדיוק 3 ירדו בתחנה החמישית? ג מה ההסתברות שרונית תרד בתחנה השנייה והשאר לא? ד מה ההסתברות שכולם ירדו בתחנות 5,6 ולפחות אחד בכל אחת מהתחנות הללו? ברכבת 4 מקומות ישיבה עם כיוון הנסיעה ו 4 מקומות ישיבה נגד כיוון הנסיעה 4 זוגות התיישבו במקומות אלו באקראי א בכמה דרכים שונות ניתן להתיישב? ב מה ההסתברות שהזוג כהן ישבו זה לצד זה עם כיוון הנסיעה? ג מה ההסתברות שהזוג כהן ישבו זה לצד זה? ד מה ההסתברות שהזוג כהן ישבו כל אחד ליד החלון? )בכל שורה יש חלון( ה מה ההסתברות שהזוג כהן יישבו כך שכל אחד בכיוון נסיעה מנוגד? ו מה ההסתברות שהזוג כהן יישבו אחד מול השני פנים מול פנים ז מה ההסתברות שכל הגברים ייסעו עם כיוון הנסיעה וכל הנשים תשבנה נגד כיוון הנסיעה? ח מה ההסתברות שכל זוג ישב אחד מול השני? סיסמא מורכבת מ- 5 תווים, תווים אלו יכולים להיות ספרה )-9( ואותיות ה- ABC )6 אותיות( כל תו יכול לחזור על עצמו יותר מפעם אחת א כמה סיסמאות שונות יש? ב כמה סיסמאות שונות יש שבהן כל התווים שונים? ג כמה סיסמאות שונות יש שבהן לפחות ספרה אחת ולפחות אות אחת? אנשים רוצים לבחור 3 אנשים לוועדה בכמה דרכים מתוך קבוצה בת שונות ניתן לבצע את הבחירה? בטא את תשובתך באמצעות n בוועדה אין תפקידים ויש לבחור 3 אנשים שונים לוועדה א בוועדה תפקידים שונים וכל אדם לא יכול למלא יותר מתפקיד אחת ב בוועדה תפקידים שונים ואדם יכול למלא יותר מתפקיד אחד ג ) ) ) )3 שני אנשים מטילים כל אחד מטבע n פעמים בטאו באמצעות n שלכל אחד מהם אותו מספר פעמים של התוצאה "ראש" את הסיכוי )4 33

46 פרק 9 קומבינטוריקה - שאלות מסכמות :) a a ספרות )מותר לחזור על אותה ספרה בקוד( יוצרים קוד עם חשבו את ההסתברויות הבאות )בטאו את תשובותיכם באמצעות בקוד אין את הספרה 5 א בקוד מופיעה הספרה 3 ב בקוד לא מופיעות ספרות אי זוגיות ג )5 א ב ג ד זוג קוביות הוטלו מספר פעמים כמה פעמים יש להטיל את זוג הקוביות בכדי שבהסתברות של לפחות 5 תתקבל לפחות הטלה אחת )של הזוג( עם סכום תוצאות? בוחרים באופן מקרי מספר בין 6 ספרות א מה הסיכוי שהספרה 5 תופיע בדיוק פעם אחת במספר? ב מה הסיכוי שהספרה 4 תופיע לפחות פעם אחת וגם הספרה תופיע לפחות פעם אחת במספר? במשרד של דנה 5 תיקיות אותן היא מסדרת באקראי בטור 3 תיקיות הן אדומות ו- תיקיות הן כחולות דנה רשמה שני פתקים ושמה כל פתק במקום אקראי בין התיקיות )לכל פתק יש 4 אפשרויות למיקום( מה הסיכוי ששני הפתקים יהיו במקומות שונים? מה הסיכוי שבין שני הפתקים יש שתי תיקיות אדומות ואין תיקיות כחולות? מה הסיכוי שבין שני הפתקים יש בדיוק תיקיה אחת? מה הסיכוי שבין שני הפתקים יש שתי תיקיות ואחת מהן כחולה? לירון 6 עטים אותם הוא מכניס באקראי ל- 3 קלמרים שונים לכל עט הוא בוחר באופן מקרי קלמר א מה הסיכוי שיש בדיוק קלמרים שבכל קלמר בדיוק עטים? ב מה הסיכוי שיש בדיוק קלמר אחד שבו בדיוק עטים? ג מה הסיכוי שיש בדיוק 3 קלמרים שבכל אחד בדיוק עטים? )6 )7 )8 )9 n מסדרים כדורים שונים ב אחד( מה הסיכוי שבתא i k n תאים שונים )תא יכול להכיל יותר מכדור in) ( יהיו בדיוק כדורים? בתחרות ריצה עלו לגמר 6 מתמודדים רק בשלושת המקומות הראשונים זוכים במדליות נניח שכל המתמודדים מסיימים את התחרות א כמה אפשרויות יש לסיים את התחרות? ב כמה אפשרויות יש לכך שמתמודד מספר 6 יקבל מדליה? ג כמה אפשרויות יש לכך שמתמודד מספר 6 יקבל מדליה או שמתמודד מספר יקבל מדליית זהב? ) ) 34

47 פרק 9 קומבינטוריקה - שאלות מסכמות מטילים קובייה הוגנת פעמים k א מה הסיכוי שהתוצאה הכי גדולה שהתקבלה היא ב מה הסיכוי שהתוצאה הכי קטנה שהתקבלה היא ג עבור, מה הסיכוי שהתוצאה הכי גדולה היא קטנה היא? j?i j?i i j וגם התוצאה הכי ) 35

48 פרק 9 קומבינטוריקה - שאלות מסכמות תשובות סופיות: ב 78,96,96 ב 657,7 ב,44, א,4, א 8, א 4,4, ג 6588 ג 7,45 ג 5,66, ד 8,44, ) ) )3 א 4 ב 98 ג 5933 ד 75 )4 א 98 א ה 5 ב 7798 ב ג 99 ג 5 ד 97 ד 795 3, 768 ו 59 ז )5 )6 א 4, ב 5,4 ג 64,8 )7 א 64,8 ב,88 ג,88 ) א 5 א 4,3 ה 574 ב 4 ב 7 ו 49 ג 59 ג 4 ז 43 ד ד 357 ח 95 )9 ) ) א 6,466,76 ב 45,39,4 ג 48,484,8 ) 3 n ( )( ) n n n n! 3! 3 ( n ) א ב ג )3 n n n 4 i= i )4 5 a 9 a א 9 a ב ג )5 6( לפחות 5 פעמים א 357 ב 759 )7 א 75 ב 75 ג 375 ד 5 ) א ב ג )9 n k ( n ) n n n k ) א 7 ב 36 ג 43 ) 36

49 פרק 9 קומבינטוריקה - שאלות מסכמות k ( 7 i) ( 6 i) 6 k k ב j k ( j ) k k k ( j i + ) ( j i) + ( j i ) 6 k 6 k k א ג ) 37

50 כללי הסתברות פרק - הסתברות מותנית-במרחב מדגם אחיד י 38 תוכן העניינים 37

51 פרק הסתברות מותנית-במרחב מדגם אחיד הסתברות מותנית במרחב מדגם אחיד : רקע: לעיתים אנו נדרשים לחשב הסתברות למאורע כלשהו כאשר ברשותנו אינפורמציה לגבי מאורע אחר הסתברות מותנית הינה סיכוי להתרחשות מאורע כלשהו כאשר ידוע שמאורע אחר התרחש / לא התרחש ההסתברות של A בהינתן ש- B כבר קרה: ( ) P A B ( ) P A B = A B B כשמרחב המדגם אחיד: דוגמה )פתרון בהקלטה(: נטיל קובייה נגדיר: A B - התוצאה זוגית - התוצאה גדולה מ- 3 נרצה לחשב את: P( A B) 38

52 פרק הסתברות מותנית-במרחב מדגם אחיד שאלות: ( נבחרה ספרה זוגית באקראי מה הסיכוי שהספרה גדולה מ- 6? יוסי הטיל קובייה מה הסיכוי שקיבל את התוצאה 4, אם ידוע שהתוצאה שהתקבלה זוגית? ) A הוטלו צמד קוביות נגדיר: - סכום התוצאות בשתי ההטלות הינו 7 - B מכפלת התוצאות חשבו את P( A B) )3 מטבע הוטל פעמיים ידוע שהתקבל לכל היותר ראש אחד, מה הסיכוי שהתקבלו שני ראשים? )4 זוג קוביות הוטלו והתקבל שהתוצאות זהות מה הסיכוי שלפחות אחת התוצאות? 5 )5 זוג קוביות הוטלו והתקבל לפחות פעם אחת 4 מה הסיכוי שאחת התוצאות? 5 )6 נבחרה משפחה בת שני ילדים, שמהם אחד הוא בן מה ההסתברות שבמשפחה שני בנים בקרב הילדים? )7 נבחרה משפחה בת שלושה ילדים, ונתון שהילד האמצעי בן מה הסיכוי שיש בנות בקרב הילדים? )8 בכיתה 6 בנים ו -7 בנות נבחרו 4 ילדים מהכיתה אם ידוע שנבחרו בנים ו- בנות, מה הסיכוי שאלעד לא נבחר? )9 חמישה חברים יצאו לבית קולנוע והתיישבו זה לצד זה באקראי, בכיסאות מספר 5 עד 9 ידוע שערן ודין התיישבו זה ליד זה מה ההסתברות שהם יושבים בכיסאות מספר 6 ו- 7? ) 39

53 פרק הסתברות מותנית-במרחב מדגם אחיד תשובות סופיות: ) ) )3 )4 )5 )6 )7 )8 )9 ) 4

54 כללי הסתברות פרק - הסתברות מותנית - מרחב לא אחיד י 4 תוכן העניינים 4

55 פרק הסתברות מותנית - מרחב לא אחיד הסתברות מותנית מרחב לא אחיד: רקע: הסיכוי שמאורע A יתרחש, בהינתן שמאורע B כבר קרה: ( ) P A B P A = ( B) P( B) במונה: הסיכוי לחיתוך של שני המאורעות, זה הנשאל וזה הנתון שהתרחש במכנה: הסיכוי למאורע נתון שהתרחש דוגמה )פתרון בהקלטה(: נבח רו משפחות שיש להם שתי מכוניות ל -3% מהמשפחות הללו המכונית הישנה יותר היא מתוצרת אירופה ואצל 6% מהמשפחות הללו המכונית החדשה יותר מתוצרת אירופה כמו כן, בקרב 5% מהמשפחות הללו שתי המכוניות הן מתוצרת אירופאית אם המכונית הישנה של המשפחה היא אירופאית, מה ההסתברות שגם החדשה אירופאית? 4

56 פרק הסתברות מותנית - מרחב לא אחיד שאלות: A תלמיד ניגש בסמסטר לשני מבחנים: מבחן בכלכלה ומבחן בסטטיסטיקה נגדיר את המאורעות הבאים: - לעבור את המבחן בסטטיסטיקה - B לעבור את המבחן בכלכלה כמו כן נתון שהסיכוי לעבור את המבחן בכלכלה הנו 8, הסיכוי לעבור את המבחן בסטטיסטיקה הנו 9 והסיכוי לעבור את שני המבחנים הנו 75 חשבו את הסיכויים למאורעות הבאים: א התלמיד עבר בסטטיסטיקה, מה ההסתברות שהוא עבר בכלכלה? ב התלמיד עבר בכלכלה, מה ההסתברות שהוא עבר בסטטיסטיקה? ג התלמיד עבר בכלכלה, מה ההסתברות שהוא נכשל בסטטיסטיקה? ד התלמיד נכשל בסטטיסטיקה, מה ההסתברות שהוא נכשל בכלכלה? ה התלמיד עבר לפחות מבחן אחד, מה ההסתברות שהוא יעבור את שניהם? ) במדינה שתי חברות טלפון סלולארי: "סופט" ו"בל" 3% מהתושבים הבוגרים רשומים אצל חברת "בל", 6% מהתושבים הבוגרים רשומים אצל חברת "סופט" ול- 5% מהתושבים הבוגרים אין טלפון סלולארי כלל א איזה אחוז מהתושבים הבוגרים רשומים אצל שתי החברות? ב נבחר אדם שרשום אצל חברת "סופט", מה ההסתברות שהוא רשום גם אצל חברת "בל"? ג אם אדם לא רשום אצל חברת "בל", מה ההסתברות שהוא כן רשום בחברת "סופט"? ד אם אדם רשום אצל חברה אחת בלבד, מה ההסתברות שהוא רשום בחברת "סופט"? ) במכללה שני חניונים: חניון קטן וחניון גדול בשעה 8: יש סיכוי של 6% שבחניון הגדול יש מקום, סיכוי של 3% שבחניון הקטן יש מקום וסיכוי של % שבשני החניונים יש מקום א מה ההסתברות שיש מקום בשעה 8: רק בחניון הגדול של המכללה? ב ידוע שבחניון הקטן יש מקום בשעה 8:, מה הסיכוי שבחניון הגדול יש מקום? ג אם בשעה 8: בחניון הגדול אין מקום, מה ההסתברות שבחניון הקטן יהיה מקום? ד נתון שלפחות באחד מהחניונים יש מקום בשעה 8:, מה ההסתברות שבחניון הגדול יש מקום? )3 4

57 פרק הסתברות מותנית - מרחב לא אחיד נלקחו שכירים ו- עצמאים מתוך השכירים הם אקדמאיים, ומתוך העצמאיים 3 הם אקדמאיים א בנו טבלת שכיחות משותפת לנתונים ב נבחר אדם אקראי מה ההסתברות שהוא שכיר? ג מה ההסתברות שהוא שכיר ולא אקדמאי? ד מה ההסתברות שהוא שכיר או אקדמאי? ה אם האדם שנבחר הוא עצמאי מהי ההסתברות שהוא אקדמאי? ו אם האדם שנבחר הוא לא אקדמאי, מה ההסתברות שהוא שכיר? )4 חברה מסוימת פרסמה את הנתונים הבאים לגבי האזרחים מעל גיל : 4% מהאנשים מחזיקים כרטיס "ויזה", 5% מחזיקים כרטיס "ישראכרט", % מחזיקים כרטיס "אמריקן אקספרס", 5% מחזיקים ויזה וגם ישראכרט, 8% מחזיקים ישראכרט וגם אמריקן אקספרס ו- 7% מחזיקים כרטיס ויזה וגם אמריקן אקספרס כמו כן, 5% מחזיקים בשלושת הכרטיסים הנ"ל א אם לאדם יש ויזה, מה הסיכוי שאין לו ישראכרט? ב אם לאדם שני כרטיסי אשראי, מה הסיכוי שאין לו ישראכרט? ג אם לאדם לפחות כרטיס אחד, מה הסיכוי שאין לו ישראכרט? )5 43

58 פרק הסתברות מותנית - מרחב לא אחיד תשובות סופיות: ב 9375 ג 65 ד 5 ה 789 ) א 833 ב 833 ג 786 ד 6875 ) א 5% א 4 א להלן טבלה: ב ג 5 ב ד ג 6 ד 3 אקדמאי לא אקדמאי סה"כ )3 )4 8 שכיר 7 עצמאי סה"כ 5 ה 3 ו 7 א 65 ב 33 ג 4 )5 44

59 כללי הסתברות פרק - דיאגרמת עצים - נוסחת בייס ונוסחת ההסתברות השלמה י 45 תוכן העניינים 44

60 פרק דיאגרמת עצים - נוסחת בייס ונ דיאגרמת עצים השלמה: רקע: נוסחת בייס ונוסחת ההסתברות נשתמש בשיטה זו כאשר יש תרגיל שבו התרחשות המאורעות היא בשלבים, כך שכל תוצאה של כל שלב תלויה בשלב הקודם, פרט לשלב הראשון: דוגמה: בחברה מסוימת % מוגדרים בכירים והיתר מוגדרים זוטרים מבין הבכירים 7% הם אקדמאים ומבין הזוטרים % הם אקדמאים נשרטט עץ שיתאר את הנתונים, השלב הראשון של העץ אינו מותנה בכלום ואילו השלב השני מותנה בשלב הראשון 9 8 זוטר בכיר 3 7 ) ) כדי לקבל את הסיכוי לענף מסוים נכפיל את כל ההסתברויות על אותו ענף נבחר אדם באקראי מאותה חברה מה הסיכוי שהוא בכיר אקדמאי? מה הסיכוי שהוא זוטר לא אקדמאי? 7 = = 7 )3 )4 אקדמאי לא אקדמאי אקדמאי כדי לקבל את הסיכוי לכמה ענפים נחבר את הסיכויים של כל ענף )רק אחרי שבתוך הענף הכפלנו את ההסתברויות( לא אקדמאי מה הסיכוי שהוא אקדמאי? 5 = נבחר אקדמאי מה ההסתברות שהוא עובד זוטר? מדובר כאן על שאלה בהסתברות מותנה ולכן נשתמש בעיקרון של הסתברות 9 8 מותנה: = 7 = = ) academay P( zutar

61 פרק דיאגרמת עצים - נוסחת בייס ונ נוסחת ההסתברות השלמה:, i A i = A,,An בהינתן B, מאורע כלשהו, וחלוקה של מרחב המדגם ל- כך ש - n B P( B) = P ( Ai ) P i= Ai אזי: נוסחת בייס : B P( A j ) P A A j j P = n B B P( Ai ) P Ai 46

62 פרק דיאגרמת עצים - נוסחת בייס ונ שאלות: בשקית סוכריות 4 סוכריות תות ו -3 לימון מוציאים באקראי סוכריה אם היא בטעם תות אוכלים אותה ומוציאם סוכריה נוספת, ואם היא בטעם לימון מחזירים אותה לשקית ומוציאים סוכריה נוספת א מה ההסתברות שהסוכריה הראשונה שהוצאה בטעם תות והשנייה בטעם לימון? ב מה ההסתברות שהסוכריה השנייה בטעם לימון? ) באוכלוסייה מסוימת 3% הם ילדים, 5% בוגרים והיתר קשישים לפי נתוני משרד הבריאות הסיכוי שילד יחלה בשפעת במשך החורף הוא 8%, הסיכוי שמבוגר יחלה בשפעת במשך החורף הוא 4% והסיכוי שקשיש יחלה בשפעת במשך החורף הוא 7% א איזה אחוז מהאוכלוסייה הינו קשישים שלא יחלו בשפעת במשך החורף? ב מה אחוז האנשים שיחלו בשפעת במשך החורף? ג נבחר אדם שחלה במשך החורף בשפעת, מה ההסתברות שהוא קשיש? ד נבחר ילד, מה ההסתברות שהוא לא יחלה בשפעת במשך החורף? בכד א' 5 כדורים כחולים ו- 5 כדורים אדומים בכד ב' 6 כדורים כחולים ו- 4 כדורים אדומים בוחרים באקראי כד, מוציאים ממנו כדור ומבלי להחזירו מוציאים כדור נוסף א מה ההסתברות ששני הכדורים שיוצאו יהיו בצבעים שונים? ב אם הכדורים שהוצאו הם בצבעים שונים, מה ההסתברות שהכדור השני שהוצא יהיה בצבע אדום? ) )3 חברת סלולר מסווגת את לקוחותיה לפי 3 קבוצות גיל: נוער, בוגרים ופנסיונרים נתון כי: % מהלקוחות בני נוער, 7% מהלקוחות בוגרים והיתר פנסיונרים מתוך בני הנוער 9% מחזיקים בסמארט-פון, מתוך האוכלוסייה הבוגרת ל- 7% יש סמארט-פון ומתוך אוכלוסיית הפנסיונרים 3% מחזיקים בסמארט-פון א איזה אחוז מלקוחות החברה הם בני נוער עם סמארט-פון? ב נבחר לקוח אקראי ונתון שיש לו סמארט-פון מה ההסתברות שהוא פנסיונר? ג אם ללקוח אין סמארט-פון, מה ההסתברות שהוא לא בן נוער? )4 47

63 פרק דיאגרמת עצים - נוסחת בייס ונ כדי להתקבל למקום עבודה יש לעבור שלושה מבחנים המבחנים הם בשלבים, כלומר לאחר כישלון במבחן מסוים אין אפשרות לגשת למבחן הבא אחריו 7% מהמועמדים עוברים את המבחן הראשון מתוכם, 5% עוברים את המבחן השני מבין אלה שעוברים את המבחן השני 4% עוברים את המבחן השלישי א מה ההסתברות להתקבל לעבודה? ב מועמד לא התקבל לעבודה מה ההסתברות שהוא נכשל במבחן הראשון? ג מועמד לא התקבל לעבודה מה ההסתברות שהוא עבר את המבחן השני? משרד הבריאות פרסם את הנתונים הבאים: מתוך אוכלוסיית הילדים והנוער 8% חולים בשפעת בזמן החורף מתוך אוכלוסיית המבוגרים )עד גיל 65( 6% חולים בשפעת בזמן החורף 3% מהתושבים הם ילדים ונוער 5% הם מבוגרים היתר קשישים כמו כן נתון ש 68% מהאוכלוסייה תחלה בשפעת בחורף א מה אחוז החולים בשפעת בקרב האוכלוסייה הקשישה? ב נבחר אדם שלא חלה בשפעת, מה ההסתברות שהוא לא קשיש? )5 )6 רדאר שנמצא על החוף צריך לקלוט אנייה הנמצאת ב- מ -4 האזורים:,A,B,C D אם האנייה נמצאת באזור A הרדאר מזהה אותה בסיכוי 8, סיכוי זה פוחת ב- ככל שהאנייה מתקדמת באזור כמו כן נתון שבהסתברות חצי האנייה נמצאת באזור D, בהסתברות 3 באזור, C באזור B היא נמצאת בסיכוי, אחרת היא נמצאת באזור A א מה הסיכוי שהאנייה תתגלה ע"י הרדאר? ב אם האנייה התגלתה ע"י הרדאר, מה ההסתברות שהיא נמצאת באזור? C ג אם האנייה התגלתה ע"י הרדאר, מה הסיכוי שהיא לא נמצאת באזור? B סימפטום X מופיע בהסתברות של 4 במחלה A, בהסתברות של 6 במחלה B ובהסתברות של 5 במחלה C סימפטום X מופיע אך ורק במחלות הללו, אדם לא יכול לחלות ביותר ממחלה אחת מבין המחלות הללו לקליניקה מגיעים אנשים כדלקמן: 8% חולים במחלה A, % במחלה B, % במחלה C והיתר בריאים כמו כן נתון שבמחלה A, סימפטום X מתגלה בסיכוי של 8%, ובמחלות,B C הסימפטום מתגלה בסיכוי של 9% בכל מחלה א מה ההסתברות שאדם הגיע לקליניקה וגילו אצלו את סימפטום? X ב אם התגלה אצל אדם סימפטום X, מה ההסתברות שהוא חולה במחלה A? ג אם לאדם יש את סימפטום X, מה ההסתברות שהוא חולה במחלה? A ד אם לא גילו אצל אדם את סימפטום X, מה ההסתברות שהוא בריא? )7 )8 48

64 פרק דיאגרמת עצים - נוסחת בייס ונ k סטודנט ניגש למבחן אמריקאי הסיכוי שהוא יודע תשובה לשאלה מסוימת, ואם הוא לא יודע את התשובה הוא מנחש בכל מקרה הוא עונה על השאלה נתון שלשאלה יש תשובות אפשריות אם הסטודנט ענה נכון על השאלה, מה הסיכוי שהוא ידע אותה? הוא P )9 אדם משחק נגד שני מתמודדים, רונית ודולב האדם צריך לשחק שלושה משחקים ויש לו לבחור איזה סדר משחקים עדיף לו: - דולב, רונית, דולב - רונית, דולב, רונית בכל משחק מישהו חייב לנצח)אין תיקו( האדם ינצח בטורניר רק אם ינצח בשני משחקים ברציפות נתון שדולב שחקן טוב יותר מאשר רונית איזו אפשרות עדיפה יותר על האדם כדי לנצח בטורניר? ) תשובות סופיות: 3 49 א ב 7 ) ג 4 ד ב 58% ) א 6% ב 5 )3 א 544 ב 9375 ג 97 )4 א 9% א 4 ב 3488 ג 44 )5 ב 85 )6 א 7% א 57 ב 358 ג 7543 )7 א 886 ב 889 ג 337 ד 8778 )8 kp + p k ( ) א' )9 ) 49

65 כללי הסתברות פרק - 3 תלות ואי תלות בין מאורעות י 5 תוכן העניינים 49

66 פרק 3 תלות ואי תלות בין מאורעות B תלות ואי תלות בין מאורעות:, P B A נגיד שמאורע ( ) = P ( B) רקע: אם מתקיים ש: הדבר גורר גם ההפך: בלתי תלוי ב -A B - אינו תלוי ב A כלומר, גם, P A B ( ) = P ( A) כשהמאורעות בלתי תלויים מתקיים ש: B) P ( A B) = P ( A) P ( P( A B) P( A / B) = P( A) הוכחה לכך: B) = P( A B) = P ( A) P ( P( B) נשתמש בנוסחאות של מאורעות בלתי תלויים רק אם נאמר במפורש שהמאורעות בלתי תלויים בתרגיל או שמההקשר אפשר להבין ללא צל של ספק שהמאורעות בלתי תלויים למשל, חוקר מבצע שני ניסויים בלתי תלויים הסיכוי להצליח בניסוי הראשון הנו 7 והסיכוי להצליח בניסוי השני הוא 4 P ( A B) = P ( A) P ( B) = 7 4 = 8 ( ) ( ) ( ) ( )( ) P A B = P A P B = 7 4 = 8 א מה הסיכוי להצליח בשני הניסויים יחדו? כיוון שהמאורעות הללו בלתי תלויים : ב מה הסיכוי להיכשל בשני הניסויים? באופן דומה : הרחבה: אי תלות בין n מאורעות: n i = i= n ( ) P A P Ai i= A,, מאורעות An הם בלתי תלויים אם ורק אם: n 5

67 פרק 3 תלות ואי תלות בין מאורעות שאלות: P ( A) =, P ( B) = 5, P ( A B) נתון: = 6 האם המאורעות הללו בלתי תלויים? ) תלמיד ניגש לשני מבחנים שהצלחתם לא תלויה זו בזו הסיכוי שלו להצליח במבחן הראשון הוא 7 והשני 4 א מה הסיכוי להצליח בשני המבחנים יחדו? ב מה הסיכוי שניכשל בשני המבחנים? ) במדינה מסוימת יש 8% אבטלה, נבחרו באקראי שני אנשים מהמדינה א מה ההסתברות ששניהם מובטלים? ב מה ההסתברות שלפחות אחד מהם מובטל? )3 מוצר צריך לעבור בהצלחה ארבע בדיקות בלתי תלויות לפני שיווקו, אחרת הוא נפסל ולא יוצא לשוק הסיכוי לעבור בהצלחה כל אחת מהבדיקות הוא 8 בכל מקרה מבוצעות כל 4 הבדיקות א מה הסיכוי שהמוצר יפסל? ב מה ההסתברות שהמוצר יעבור בהצלחה לפחות בדיקה אחת? )4 במדינה מסוימת יש 8% אבטלה, נבחרו באקראי חמישה אנשים מהמדינה א מה ההסתברות שכולם מובטלים במדגם? ב מה ההסתברות שלפחות אחד מהם מובטל? )5 עבור שני מאורעות A ו - B המוגדרים על אותו מרחב מדגם נתון ש:, P A B =, P ( A B) = 9 האם P( A B ) = 6 ( ) 3 B - ו A מאורעות בלתי תלויים? )6 ( ) = P ( B) P A ( / ) = ( / ) )7 הוכיח שאם:, P A B P B A אז: 5

68 פרק 3 תלות ואי תלות בין מאורעות, לכן: A) ) P ( / ( P A B קבעו אילו מהטענות הבאות נכונות נמק ו! א אם: B), P ( A B) = P ( A) P ( אזי המאורעות בלתי תלויים ( ) P ( B) P A, ב מאורע A כלול במאורע : B ג A ו - B מאורעות זרים שסיכוייהם חיובים לכן הם מאורעות תלויים ד מאורעות תלויים שסיכוייהם חיובים לכן מאורעות זרים B - ו A B - ו A ( ) = ( ) ( ) ה P A B P A P B לכן A ו- B מאורעות זרים )8 תשובות סופיות: ב 8 ב 536 ב 9984 כן א 8 א 64 א א 8 ב 349 לא, הם תלויים שאלת הוכחה א לא נכון ב לא נכון ג נכון ד לא נכון ה נכון ) ) )3 )4 )5 )6 )7 )8 5

69 כללי הסתברות פרק - 4 שאלות מסכמות בהסתברות י 53 תוכן העניינים 5

70 פרק 4 שאלות מסכמות בהסתברות שאלות מסכמות בהסתברות : שאלות: נלקחו משפחות שיש להם שתי מכוניות ל- 3% מהמשפחות הללו המכונית הישנה יותר היא מתוצרת אירופה ואצל 6% מהמשפחות הללו המכונית החדשה יותר מתוצרת אירופה כמו כן 5% מהמשפחות הללו שתי המכוניות הן מתוצרת אירופאית א מה ההסתברות שמשפחה אקראית בת שתי מכוניות תהיה ללא מכוניות מתוצרת אירופה? ב מה ההסתברות שלפחות מכונית אחת תהיה אירופאית? ג ידוע שלמשפחה יש מכונית אירופאית מה ההסתברות שרק המכונית החדשה שלה היא מתוצרת אירופאית? ד אם המכונית הישנה של המשפחה היא אירופאית, מה ההסתברות שגם החדשה אירופאית? ) במדינת "שומקום" 5% מהחלב במרכולים מיוצר במחלבה א', 4% במחלבה ב' והיתר במחלבה ג' 3% מתוצרת מחלבה א' מגיעה חמוצה למרכולים ואילו במחלבה ב' % כמו כן ידוע שבמדינת "שומקום" בסך הכול 75% מהחלב חמוץ א איזה אחוז מהחלב שמגיע למרכול ממחלבה ג' חמוץ? ב אם נרכש חלב חמוץ במרכול מה הסיכוי שהוא יוצר במחלבה ג'? ג ברכישת חלב נמצא שהוא אינו חמוץ מה הסיכוי שהוא יוצר במחלבה א'? ד האם המאורעות: "חלב חמוץ" ו-"יוצר במחלבה א'" בלתי תלויים? רוני ורונה יצאו לבלות במרכז בילוים עם מספר אפשרויות בילוי: בהסתברות של 3 הם ייצאו לבאולינג, בהסתברות של 5 הם ייצאו לבית קפה ובהסתברות של 7 הם יצאו לפחות לאחד מהם )באולינג/קפה( א מה ההסתברות שהם יצאו רק לבאולינג? ב האם המאורעות "לצאת לבאולינג" ו- "לצאת לבית קפה" זרים? ג האם המאורעות "לצאת לבאולינג" ו- "לצאת לבית קפה" תלויים? ד מה ההסתברות שיום אחד הם יצאו רק לבאולינג וביום למחרת לא יצאו לאף אחד מהמקומות? ) )3 53

71 פרק 4 שאלות מסכמות בהסתברות 7% מהנבחנים בסטטיסטיקה עוברים את מועד א' כל מי שלא עובר את מועד א' ניגש לעשות מועד ב', מתוכם 8% עוברים אותו מבין אלה שנכשלים בשני המועדים 5% נרשמים לקורס מחדש, והיתר פורשים מהתואר א מה הסיכוי שסטודנט אקראי עבר את הקורס? ב אם סטודנט אקראי עבר הקורס, מה הסיכוי שעבר במועד ב'? ג מה אחוז הסטודנטים שפורשים מהתואר? ד נבחרו סטודנטים אקראיים רונית וינאי, מה ההסתברות שרונית עברה במועד א' ושינאי עבר במועד ב'? באוכלוסייה מסוימת 4% הם גברים והיתר הן נשים מבין הגברים % מובטלים בסך הכול 3% מהאוכלוסייה מובטלת א מה אחוז האבטלה בקרב הנשים? ב נבחר אדם מובטל, מה ההסתברות שזו אישה? ג נגדיר את המאורעות הבאים: - A נבחר אדם מובטל, - B נבחר גבר האם המאורעות הללו זרים? והאם הם בלתי תלויים? בתיבה מטבעות, מתוכם 7 מטבעות רגילים )ראש, זנב( ו- 3 מטבעות שבשני צדדיהם טבוע ראש אדם בוחר באקראי מטבע ומטיל אותו פעמיים נסמן ב- A את ההטלה הראשונה ראש וב- B את ההטלה השנייה ראש א חשבו את הסיכויים למאורעות A ו- B ב האם המאורע A ו- B בלתי תלויים? ג ידוע שבהטלה הראשונה התקבל ראש, מה ההסתברות שהמטבע שהוטל הוא מטבע הוגן? ערן מעוניין למכור את רכבו והוא מפרסם מודעה באינטרנט ומודעה בעיתון מבין אלה שמעוניינים לרכוש רכב משומש 3% יראו את המודעה באינטרנט, 5% יראו את המודעה בעיתון ו- 7% יראו את המודעה בלפחות אחת מהמדיות א מה אחוז האנשים, מאלה שמעוניינים לרכוש רכב משומש, שיראו את המודעות? ב אם אדם ראה את המודעה באינטרנט, מה ההסתברות שהוא לא ראה את המודעה בעיתון? ג האם המאורעות: "לראות את המודעה באינטרנט" ו-"לראות את המודעה בעיתון" בלתי תלויים? ד אדם שראה את המודעה באינטרנט בלבד יתקשר לערן בהסתברות של 7, אם הוא ראה את המודעה בעיתון בלבד הוא יתקשר לערן בהסתברות של 6 ואם הוא ראה את שתי המודעות הוא יתקשר לערן בהסתברות של 9 i מה ההסתברות שאדם המעוניין לרכוש רכב משומש יתקשר לערן? ii אדם המעוניין לרכוש רכב משומש התקשר לערן מה ההסתברות שהוא ראה את שתי המודעות? )4 )5 )6 )7 54

72 פרק 4 שאלות מסכמות בהסתברות 8( נתונה המערכת החשמלית הבאה: כל יחידה עובדת באופן בלתי תלוי ובהסתברות כדי שהמערכת תפעל צריך לעבור זרם מהנקודה A לנקודה B הוכיחו שהסיכוי שהמערכת תפעל הוא: p ( )( ) P + P P P ליאת מעוניינת לתרגל לבחינה בהסתברות היא מצאה באינטרנט מאגר הכולל 5 שאלות מבחינות השאלות ממוספרות ו- 6 מתוכן עוסקות במשתנה מקרי רציף ליאת החליטה לבחור באקראי 7 שאלות מהמאגר במטרה לפתור אותן כל שאלה שלא עוסקת במשתנה הרציף תיפתר על ידי מיכל בסיכוי של 9%, אך אם השאלה עוסקת במשתנה הרציף היא תיפתר בסיכוי של 6% א מה הסיכוי שהשאלות שנבחרו הן כולן ממוספרות בסדר עוקב? ב מה הסיכוי ששאלה היא השאלה עם המספור המקסימלי מבין השאלות שנבחרו? ג ידוע שליאת בחרה שאלות שעוסקות במשתנה הרציף והיתר לא מה הסיכוי שתצליח לפתור 6 מתוך השאלות שבחרה? נתונים שלושה מאורעות: B, A ו C- ידוע ש: = ) B P( A C ) =, P( A תנו דוגמא ספציפית למאורעות: B, A ו -C שבה המאורעות B ו- C תלויים הוכיחו או הפריכו )על ידי דוגמה נגדית( את הטענה הבאה: אם A ו- B בלתי תלויים, אז A בלתי תלויים ו - B )9 ) ) משחקים משחק מזל פעמיים, כך שבכל משחק בודד יש אפשרות לנצח או להפסיד הסיכוי לנצח בכל משחק הוא P כאשר: P נגדיר את המאורעות הבאים: - A תוצאות המשחקים שונות זו מזו B ה- משחק הראשון היה ניצחון מה ערכו של P, עבורו A ו- B יהיו מאורעות בלתי תלויים? ) 55

73 פרק 4 שאלות מסכמות בהסתברות טל מניח בשורה קוביות בצבעים שונים בין שתי קוביות אקראיות כלשהן ערן מניח מכחול הוכיחו שהסיכוי שהקובייה הכחולה והאדומה יהיו בצדדים N + ( ) 3 N N שונים של המכחול הוא: )3 n n P Ai P Ai i= i= ( ) 4( הוכיחו באמצעות אינדוקציה את אי שוויון בול : 56

74 פרק 4 שאלות מסכמות בהסתברות תשובות סופיות: א 5 ב 75 ג 6 ד 5 ) א ב 67 ג 54 ד תלויים ) א ב אינם זרים ג תלויים ד 6 )3 א 94 ב 55 ג 3 ד 68 )4 ב 69 ג לא זרים ותלויים )5 א 5% א 65 ב תלויים ג 5384 )6 ב 733 ג תלויים )7 א 8% ד ii ד i 8( שאלת הוכחה 7,3 48, , 7 א ב ג 45 )9 ( ראו סרטון ( שאלת הוכחה שאלת הוכחה ) )3 4( שאלת הוכחה 57

75 כללי הסתברות פרק - 5 המשתנה המקרי הבדיד - פונקציית ההסתברות י 58 תוכן העניינים 57

76 פרק 5 המשתנה המקרי הבדיד - פונקציית המשתנה המקרי הבדיד פונקציית ההסתברות : רקע: משתנה מקרי בדיד: משתנה מקרי בדיד הינו משתנה היכול לקבל כמה ערכים בודדים בהסתברויות שונות מתארים את המשתנה המקרי על ידי פונקציית הסתברות פונקציית הסתברות: פונקציה המתאימה לכל ערך אפשרי של המשתנה את ההסתברות שלה סכום ההסתברויות על פונקציית ההסתברות חייב להיות דוגמה )פתרון בהקלטה(: בקזינו יש רולטה כמתואר בשרטוט: אדם מסובב את הרולטה וזוכה בסכום הרשום על הרולטה בש"ח בנו את פונקצי ית ההסתברות של סכום הזכייה במשחק בודד 58

77 פרק 5 המשתנה המקרי הבדיד - פונקציית שאלות: ידוע שביישוב מסוים התפלגות מספר המכוניות למשפחה היא: 5 משפחות אינן מחזיקות במכונית 7 משפחות עם מכונית אחת 6 משפחות עם מכוניות משפחות עם 3 מכוניות בוחרים באקראי משפחה מהיישוב, נגדיר את X להיות מספר המכוניות של המשפחה שנבחרה בנו את פונקציית ההסתברות של X מהאותיות: C, B, A יוצרים קוד דו תווי א כמה קודים ניתן ליצור? ב רשמו את כל הקודים האפשריים ג נגדיר את X להיות מספר הפעמים שהאות B מופיעה בקוד בנו את פונקציית ההסתברות של X ) ) תלמיד ניגש בסמסטר לשני מבחנים: מבחן בכלכלה ומבחן בסטטיסטיקה כמו כן, נתון שהסיכוי לעבור את המבחן בכלכלה הנו 8, הסיכוי לעבור את המבחן בסטטיסטיקה הנו 9 והסיכוי לעבור את שני המבחנים הנו 75 יהי X מספר המבחנים שהסטודנט עבר בנו את פונקציית ההסתברות של X )3 הסיכוי לזכות במשחק מסוים הינו 3 אדם משחק את המשחק עד אשר הוא מנצח אך בכל מקרה הוא לא משחק את המשחק יותר מ -4 פעמים נגדיר את X להיות מספר הפעמים שהוא שיחק את המשחק בנו את פונקציית ההסתברות של X )4 חברה לניהול פרויקטים מנהלת 3 פרויקטים במקביל הסיכוי שפרויקט א' יצליח הינו 7, הסיכוי שפרויקט ב' יצליח הינו 8, והסיכוי שפרויקט ג' יצליח הינו 9 נתון שהצלחת כל פרויקט בלתי תלויה זו בזו נגדיר את X להיות מספר הפרויקטים שיצליחו בנו את פונקציית ההסתברות של X )5 P X k k k A להלן פונקציית הסתברות של משתנה מקרי כלשהו: 4, =, = ) = ( מצאו את ערכו של A )6 59

78 פרק 5 המשתנה המקרי הבדיד - פונקציית בגן ילדים 8 ילדים, מתוכם 5 בנים ו- 3 בנות בוחרים באקראי 3 ילדים להשתתף בהצגה נגדיר את X כמספר הבנים שנבחרו להצגה בנו את פונקציית ההסתברות של X )7 בסקר שנערך בדקו בקרב אנשים האם הם צופים במהדורת החדשות של ערוצים,, להלן הנתונים: % צופים בערוץ 8% צופים בערוץ % צופים בערוץ כמו כן נתון ש % צופים בשלושת המהדורות גם יחד % צופים בשתי המהדורות מתוך השלושה נגדיר את X להיות מספר המהדורות מבין 3 המהדורות המדוברות שאדם אקראי צופה בנו את פונקציות ההסתברות של X )8 6

79 פרק 5 המשתנה המקרי הבדיד - פונקציית תשובות סופיות: 3 להלן טבלה: X ) P( X) ( להלן טבלה: X P( X) להלן טבלה: X ) P( X) 4 3 להלן טבלה: X ) P( X) 5( להלן טבלה: 3 X P( X) )6 4 3 להלן טבלה: X ) P( X) 4 3 להלן טבלה: X ) P( X) 6

80 כללי הסתברות פרק - 6 המשתנה המקרי הבדיד - תוחלת - שונות וסטיית תקן י 6 תוכן העניינים 6

81 פרק 6 המשתנה המקרי הבדיד - תוחלת - ש המשתנה המקרי הבדיד תוחלת, שונות וסטיית תקן : רקע: תוחלת : ממוצע של פונקציית ההסתברות, אם נבצע את התהליך אינסוף פעמים כמה בממוצע נקבל התוחלת היא צפי של המשתנה המקרי מגדירים תוחלת באופן הבא: E ( X ) = x P( x ) = i i i שונות: תוחלת ריבועי הסטיות מהתוחלת נותן אינדיקציה על הפיזור והסיכון של פונקציית ההסתברות מגדירים שונות באופן הבא: V ( X ) = ( x ) P( x ) = x P( x ) = i i i i i i סטיית תקן : שורש של השונות הפיזור הממוצע הצפוי סביב התוחלת מסמנים: STD = דוגמה: בקזינו רולטה כמוראה בשרטוט אדם מסובב את הרולטה וזוכה בסכום הרשום על הרולטה ב- הסתברות לקבלת הסכומים השונים: X ( ) P X EX ( ) = = 5 = V X = x P x = ( ) ( i ) ( i) i = ( 5) 5 + ( 5) 5 + (3 5) 5 = 6875 = x ( ) כדי לחשב את סטיית התקן נוציא שורש לשונות: = = X = V 6

82 פרק 6 המשתנה המקרי הבדיד - תוחלת - ש שאלות: אדם משחק במשחק מזל נגדיר את X להיות סכום הזכייה להלן פונקציית ההסתברות של : X ) X P( X) מהי התוחלת, השונות וסטית התקן של? X בישוב מסוים שני סניפי בנק: בנק פועלים ובנק לאומי מתוך האוכלוסייה הבוגרת בישוב, ל- 5% חשבון בנק בסניף הפועלים, ל- 4% חשבון בנק בסניף לאומי ול- % מהתושבים הבוגרים אין חשבון באף אחד מהסניפים יהי X מס' סניפי הבנק שלבוגר בישוב יש בהם חשבון חשבו את: E( X) ) ידוע של- % מהמשפחות יש חיבור לווייני בביתם בסקר אדם מחפש לראיין משפחה המחוברת ללוויין הוא מטלפן באקראי למשפחה וממשיך עד אשר הוא מגיע למשפחה המחוברת ללוויין בכל מקרה הסוקר לא יתקשר ליותר מ- 5 משפחות נגדיר את X להיות מספר המשפחות שאליהן האדם יתקשר א בנו את פונקציית ההסתברות של X ב חשבו את התוחלת וסטיית התקן של X לאדם צרור מפתחות בצרור 5 מפתחות אשר רק אחד מתאים לדלת של ביתו האדם מנסה את המפתחות באופן מקרי לאחר שניסה מפתח מסוים הוא מוציא אותו מהצרור כדי שלא ישתמש בו שוב נסמן ב- X את מספר הניסיונות עד שהדלת תפתח א בנו את פונקצי ית ההסתברות של X ב חשבו את התוחלת והשונות של X )3 )4 63

83 פרק 6 המשתנה המקרי הבדיד - תוחלת - ש 5( נתונה פונקציית ההסתברות של המשתנה המקרי X: X E( X) כמו כן נתון ש: E( X ) = 4 א מצאו את ההסתברויות החסרות בטבלה ב חשבו את: V( X) משתנה מקרי בדיד מקבל את הערכים 5- ו- 5 נתון שהתוחלת של המשתנה ושהשונות היא מצא את פונקציית ההסתברות )6 7( להלן ההתפלגות של משתנה מקרי : X 3 K P 4 4 מהו הערך שייתן ערך מינימלי לשונות של? X 64

84 פרק 6 המשתנה המקרי הבדיד - תוחלת - ש תשובות סופיות: תוחלת:, שונות: א ראו סרטון א ראו טבלה: ב תוחלת:, 336 סטיית תקן: 63 ב תוחלת:, 3 שונות: X P( X) א ראו טבלה: ב X P( X) ראו טבלה: X P( X) 33 ) ) )3 )4 )5 )6 )7 65

85 ראשי הסתברות פרק - 7 המשתנה המקרי הבדיד -תוחלת של פונקציה של משתנה מקרי בדיד י 66 תוכן העניינים 65

86 פרק 7 המשתנה המקרי הבדיד -תוחלת של פ תוחלת של פונקציה של משתנה מקרי בדיד: g( X) רקע: יהי X משתנה מקרי, ותהי פונקציה של X אז: ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) E g X = g x P X = x + g x P X = x + g x P X = x + = g x i ( ) P( x ) i i כאשר 3, x x, x, הם הערכים שהמשתנה X מקבל X P( X) דוגמה )פתרון בהקלטה(: 3 נתון: 6 Y = X מצאו התפלגות ותוחלת של: 66

87 פרק 7 המשתנה המקרי הבדיד -תוחלת של פ שאלות: מסובבים רולטה עליה המספרים עד 4 יהיה X המספר שהתקבל לאחר סיבוב הרולטה התפלגות X היא כדלהלן: ) X ( ) P X א חשבו את: E, E X X ( ) האם: ב? E = X E X ( ) ( יהי X משתנה מקרי בעל פונקציית ההסתברות הבאה: 75 5 X ( ) P X חשבו את התוחלת של: א ב X X P X k k k A להלן פונקציית הסתברות של משתנה מקרי כלשהו: 4, =, = ) = ( א מצאו את ערכו של ב חשבו את: ) ( A ( ) E X E X )3 ב בכל יום משחק ערן משחק יחיד בכל אחת מהאפליקציות הבאות: TWODOTS ו- PIANOTILES בכל אחד מהמשחקים ישנם שלבים שיש לעבור משחק בודד מסתיים בהצלחה אם ערן עבר את שלב, ובכישלון אם ערן לא עבר את השלב ההסתברות שבאפליקציית TWODOTS ערן יעבור שלב היא 6 בכל יום ההסתברות שבאפליקציית PIANOTILES ערן יעבור שלב היא 35 בכל יום נניח שמעבר שלב בכל אחד מהמשחקים בלתי תלוי במשחק אחר נסמן ב - W את מספר המשחקים שערן יעבור שלב בהם מחר א חשבו את ) ( EW חשבו את 3 EW ( ) )4 67

88 פרק 7 המשתנה המקרי הבדיד -תוחלת של פ יהי X משתנה מקרי בדיד עם תוחלת ושונות סופיים:, Y = ax + b כאשר V ( Y ) = a V ( X ), E ( Y ) = ae ( X ) + b הינם פרמטרים יש להוכיח ש: ab, a אלעד צופה בסדרה בת 6 פרקים 3 פרקים מתוך ה- 6 הם פרקים שצולמו בישראל ו -3 פרקים אחרים צולמו בבולגריה פרק אחד מבין הפרקים שצולמו בבולגריה מצולם כולו ביער אלעד צופה בפרקי הסדרה בסדר אקראי, עד אשר הוא מגיע לפרק שצולם ביער בבולגריה נגדיר את כמספר הפרקים שצולמו בבולגריה שבהם יצפה אלעד א מהי התפלגות ב חשבו: W?W ( ) EW 3 למיקה יש חולצות ו -3 מגירות כאשר מיקה מסדרת את החולצות במגירות היא בוחרת עבור כל חולצה, באופן מקרי ובלתי תלוי בחולצות האחרות, את המגירה אליה תכניס את החולצה )כל אחת מהמגירות יכולה להכיל את כל החולצות( נסמן ב- X את מספר המגירות המכילות בדיוק חולצות מצאו את התפלגות X ואת: E( X + ) 4 X מטבע מוטל פעמים = X מספר הפעמים שהתקבלה התוצאה ראש א בנו את פונקציית ההסתברות של X ב הרווח במשחק הוא מצאו את התוחלת של הרווח במשחק רמז: היעזרו בבינום של ניוטון: n a + b = a b k= k ( ) n n k n k )5 )6 )7 )8 תשובות סופיות: א ב לא E ( X ) = 9, E = 483 X א 3 א א 95 הוכחה א,3) U( ב 345 ב ב ב X E( X + ) = 4659 א ב 5 X B (,5) ) ) )3 )4 )5 )6 )7 )8 68

89 כללי הסתברות פרק - 8 המשתנה המקרי הבדיד- טרנספורמציה לינארית י 69 תוכן העניינים 68

90 פרק 8 המשתנה המקרי הבדיד- טרנספורמצי המשתנה המקרי הבדיד טרנספורמציה לינארית : רקע: טרנספורמציה לינארית היא מצב שבו מבצעים הכפלה של קבוע ו/או הוספה של קבוע על המשתנה המקורי )כולל גם חלוקה של קבוע והחסרה של קבוע( בניסוח מתמטי נאמר כי אם משתנה אקראי Y מיוצג ע"י משתנה אקראי X כאשר הם קבועים כלשהם:, Y = ax + b אזי מתקיימים: ( ) = ( ) + ( ) = ( ) E Y ae X b V Y a V X Y = a x ab, ) ) )3 שלבי העבודה: a נזהה שמדובר בטרנספורמציה ליניארית )שינוי קבוע לכל התצפיות( נרשום את כלל הטרנספורמציה לפי נתוני השאלה נפשט את הכלל ונזהה את ערכי נציב בנוסחאות שלעיל בהתאם למדדים שנשאלים ו - b ) ) )3 )4 דוגמה הרולטה: בהמשך לנתוני שאלת הרולטה נתון שעלות השתתפות במשחק 5 מהי התוחלת והשונות של הרווח במשחק? פתרון )בהקלטה(: חישבנו קודם ש: ( ) = 5 =, V ( X ) = 6875 = E X 69

91 פרק 8 המשתנה המקרי הבדיד- טרנספורמצי שאלות: הX סטודנט ניגש ל- 5 קורסים הסמסטר נניח שכל קורס שסטודנט מסיים מזכה אותו ב- 4 נקודות אקדמאיות חשבו את התוחלת והשונות של סך הנקודות שיצבור הסטודנט כאשר נתון שתוחלת מספר הקורסים שיסיים היא 35 עם שונות תוחלת סכום הזכייה במשחק מזל הינ ה עם שונות 3 הוחלט להכפיל את סכום הזכייה במשחק עלות השתתפות במשחק הינה מה התוחלת ומהי השונות של הרווח במשחק? תוחלת של משתנה מקרי הינה וסטית התקן 5 הוחלט להוסיף למשתנה ולאחר מכן להעלות אותו ב- % מהי התוחלת ומהי סטיית התקן לאחר השינוי? ינו משתנה מקרי כמו כן נתון ש - Y הינו משתנה מקרי חדש, עבורו: ( ) V X = 3 ) ( ו - E X = 4 Y = 7 X חשבו את: V( Y) ו- EY ( ) אדם החליט לבטח את רכבו; שווי הרכב, להלן התביעות האפשריות והסתברותן: בהסתברות של תהיה תביעה טוטאלוסט )כל שווי הרכב( בהסתברות של תהיה תביעה בשווי מחצית משווי הרכב בהסתברות של 5% תהיה תביעה בשווי רבע משווי הרכב אחרת אין תביעה בכלל החברה מאפשרת תביעה אחת בשנה נסמן ב- X את גובה התביעה השנתית, באלפי א בנו את פונקצי ית ההסתברות של X ב חשבו את התוחלת והשונות של גובה התביעה ג פרמיית הביטוח היא 4, מהי התוחלת ומהי השונות של רווח חברת הביטוח לביטוח הרכב הנ"ל? יהי X מספר התשובות הנכונות במבחן בו שאלות פונקציית ההסתברות של X נתונה בטבלה הבאה: ) ) )3 )4 )5 ) X P X ( ) כמו כן, נתון שצפי מספר התשובות הנכונות בבחינה הוא 735 א השלימו את פונקציית ההסתברות ב חשבו את השונות מספר התשובות הנכונות בבחינה ג הציון בבחינה מחושב באופן הבא: כל שאלה נכונה מזכה ב- נקודות לכל שאלה שגויה, מופחתת נקודה מהי התוחלת ומה השונות של הציון בבחינה? 7

92 פרק 8 המשתנה המקרי הבדיד- טרנספורמצי P X k k k A ( = = ), 4, = להלן פונקציית הסתברות של משתנה מקרי כלשהו: א מצא את ערכו של A חשב את התוחלת והשונות של המשתנה הנחקר ב חשב את: ג X 4 ( ) E X ד חשב את התוחלת והשונות של המשתנה הבא: 3 )7 תשובות סופיות:,35 שונות: 85, 775 תוחלת:, 4 שונות: 3 תוחלת: 8, שונות: תוחלת: 3, סטיית תקן: 55 תוחלת:,3 שונות: 3 א להלן טבלה: ב תוחלת: X P( X) ) ) )3 )4 )5 ג תוחלת:, 65 שונות: 85, 775 )6 ב = 875 ) X V( 3 3 ( ) V ( X ) E X = 354, = 6684 ( ) V ( X ) E X = 3, = א = A ב ג )7 ( ) V ( Y ) E Y ד = 5, 5 = 7

93 כללי הסתברות פרק - 9 תוחלת ושונות של סכום משתנים מקריים י 7 תוכן העניינים 7

94 פרק 9 תוחלת ושונות של סכום משתנים מק תוחלת ושונות של סכום משתנים מקריים : X n,, X, X רקע: אם: משתנים מקרים אזי: ( ) = ( ) = ( ) + ( ) + + ( ) E T E X X X E X E X E X n X n,, X, X n אם: משתנים מקריים בלתי תלויים בזוגות, אזי: ( ) = ( ) = ( ) + ( ) + + ( ) V T V X X X V X V X V X n n דוגמה: אדם משחק בשני משחקי מזל בלתי תלויים תוחלת סכות הזכייה של המשחק הראשון היא 7 עם סטיית תקן 3 תוחלת סכום הזכייה של המשחק השני היא - עם סטיית תקן 4 מה התוחלת ומהי השונות של סכום הזכייה הכולל של שני המשחקים יחד? 7

95 פרק 9 תוחלת ושונות של סכום משתנים מק שאלות: הרווח ממניה א' הוא עם תוחלת של 5 ושונות הרווח ממניה ב' הוא עם תוחלת של 4 ושונות ידוע שההשקעות של שתי המניות בלתי תלויות זו בזו מה התוחלת והשונות של הרווח הכולל מהשקעה בשתי המניות יחד? X ו- Y הם משתנים בלתי תלויים, סטיית התקן של X היא 3 סטיית התקן של Y היא 4 מהי סטיית התקן של +X? Y ) ) אדם משחק בשני משחקי מזל בלתי תלויים זה בזה: - X סכום הזכייה במשחק הראשון - Y סכום הזכייה במשחק השני נתון: ( X ) = 3, E( x) = ( Y ) = 4, E( y) = )3 מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של סכום הזכייה בשני המשחקים? ברולטה הסיכוי לזכות ב- 3 הוא חצי, ב- רבע וכך גם ב- מה היא התוחלת והשונות של סכום הזכייה הכולל לאדם המשחק ברולטה 4 פעמים? )4 נתון משתנה מקרי בעל פונקציית ההסתברות הבאה: ( ) K =,3,4,5, P X = K = אחר ת A K א חשבו את התוחלת והשונות של X ב נלקחו n משתנים מקריים בלתי תלויים מההתפלגות הנ"ל בטאו באמצעות n את תוחלת והשונות של סכום המשתנים מצאו את ערכו של A )5 73

96 פרק 9 תוחלת ושונות של סכום משתנים מק תשובות סופיות: תוחלת: 9, שונות: 5 5 תוחלת:, שונות: 5 תוחלת:,9 שונות: 75 A = = 48 5 א ג תוחלת: 9, שונות: 36n ב תוחלת: 9, שונות: 36 ) ) )3 )4 )5 74

97 כללי הסתברות פרק - התפלגויות בדידות מיוחדות -התפלגות בינומית י 75 תוכן העניינים 74

98 פרק התפלגויות בדידות מיוחדות -התפל התפלגויות בדידות מיוחדות התפלגות בינומית: רקע: נגדיר את המושג ניסוי ברנולי: ניסוי ברנולי הנו ניסוי שיש לו שתי תוצאות אפשריות: "הצלחה" ו"כישלון" למשל מוצר פגום או תקין, אדם עובד או מובטל, עץ או פלי בהטלת מטבע וכדומה בהתפלגות בינומית חוזרים על אותו ניסוי ברנולי פעמים באופן בלתי תלוי זה בזה מגדירים את להיות מספר ההצלחות שהתקבלו בסך הכול את הסיכוי להצלחה בניסוי בודד, וב- Q את הסיכוי לכישלון בניסוי בודד ואז נגיד ש: נסמן ב - P n X X (, ) B n p : פונקציית ההסתברות של X n k n k P( X = K ) = p ( p) k =,,,, n k לכל כאשר: לגודל: תוחלת: שונות: n n! = ; n! n ( n ) ( n ) ;! k k! ( n k ) = =! n k ניתן לחשב באמצעות המחשבון E( X ) V ( X ) = np = npq n X ) ) )3 שימו לב, כדי לזהות שמדובר בהתפלגות בינומית צריכים להתקיים כל התנאים הבאים: חוזרים על אותו ניסוי ברנולי באופן בלתי תלוי זה בזה חוזרים על הניסוי פעמים מוגדר כמספר ההצלחות המתקבלות בסך הכול דוגמה )פתרון בהקלטה(: במדינה מסוימת ל- 8% מהתושבים יש רישיון נהיגה נבחרו תושבים אקראיים מהמדינה א מה ההסתברות שבדיוק ל- 9 מהם יש רישיון נהיגה? ב מה ההסתברות שלפחות ל- 9 מהם יש רישיון נהיגה? ג מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של מספר התושבים שנדגמו ושיש להם רישיון נהיגה? 75

99 פרק התפלגויות בדידות מיוחדות -התפל שאלות: X X במדינה % מהאוכלוסייה מובטלת נבחרו 5 אנשים באקראי מאותה להיות מספר המובטלים שהתקבלו במדגם אוכלוסייה נגדיר את? א מהי ההתפלגות של מה ההסתברות שיהיה בדיוק מובטל אחד? ב מה ההסתברות שכולם יעבדו במדגם? ג מה ההסתברות ששלושה יעבדו במדגם? ד ה מה ההסתברות שלפחות אחד יהיה מובטל? מה תוחלת ומהי השונות של מספר המובטלים במדגם? ו ) X X על פי נתוני משרד התקשורת ל- 7% מהאוכלוסייה יש סמארטפון נבחרו כמספר האנשים שנדגמו עם סמארטפון אנשים באקראי נגדיר את? הסבירו א מהי ההתפלגות של מה ההסתברות שבמדגם ל- 8 אנשים יש סמארט-פון? ב מה ההסתברות שבמדגם לפחות ל- 9 יהיו סמארט-פון? ג מה התוחלת ומה סטיית התקן של מספר האנשים שנדגמו ולהם ד סמארט-פון? ) בבית הימורים יש שורה של 6 מכונות מזל מאותו סוג משחק במכונת מזל כזו עולה 5 ההסתברות לזכות ב- בכל אחת מהמכונות היא וההסתברות להפסיד את ההשקעה היא 9 בכל מכונה מהמר נכנס לבית ההימורים ומכניס 5 לכל אחת מ -6 המכונות א מה ההסתברות שיפסיד בכל המכונות? ב מה ההסתברות שיזכה בדיוק בשתי מכונות? ג מה ההסתברות שיזכה ביותר כסף מה- 3 שהשקיע? ד מהן התוחלת וסטיית התקן של הרווח נטו של המהמר )הזכיות בניכוי ההשקעה(? )3 במדינה מסוימת התפלגות ההשכלה בקרב האוכלוסייה מעל גיל 3 היא כזו: תואר II ומעלה תואר I תיכונית נמוכה השכלה 6 פרופורציה )4 נבחרו אנשים אקראיים מעל גיל 3 א מה ההסתברות ש- 5 מהם אקדמאים? ב מה התוחלת של מס' בעלי ההשכלה הנמוכה? 76

100 פרק התפלגויות בדידות מיוחדות -התפל במכללה מסוימת % מהסטודנטים גרים בת"א מבין הסטודנטים שגרים בת"א 3% מגיעים ברכבם, ומבין הסטודנטים שלא גרים בת"א 5% מגיעים ברכבם למכללה א השומר בשער המכללה בודק לכל סטודנט את תיקו בהיכנסו למכללה מה ההסתברות שבקרב 5 סטודנטים שנבדקו ע"י השומר רק מתוכם הגיע למכללה ברכבו? ב בהמשך לסעיף הקודם מה ההסתברות שרוב הסטודנטים בקרב ה- 5 הגיעו למכללה ברכבם? במבחן אמריקאי שאלות סטודנט ניגש למבחן והסיכוי שהוא יודע שאלה כלשהי הוא 8 אם הוא לא יודע הוא מנחש את התשובה לכל שאלה 4 תשובות אפשריות שרק אחת מהן נכונה א מה הסיכוי לענות על שאלה מסוימת נכון? ב מה הסיכוי שיענה נכונה על בדיוק 6 שאלות? ג על כל שאלה שענה נכון התלמיד מקבל 5 נקודות, על כל שאלה ששגה מופחתת נקודה, מה התוחלת ומהי השונות של ציון התלמיד? 5% מקו היצור פגום המוצרים נארזים בתוך קופסת קרטון בכל קופסא מוצרים שונים הקופסאות נארזות בתוך מכולה בכל מכולה קופסאות א מה ההסתברות שבקופסא אקראית לפחות מוצר פגום אחד? ב מה התוחלת ומהי סטיית התקן של מספר הקופסאות במכולה בהן לפחות מוצר פגום אחד? )5 )6 )7 מטבע הוגן מוטל 5 פעמים נגדיר את X חשבו את: כמספר הפעמים שהתקבל עץ E( X ) )8 77

101 פרק התפלגויות בדידות מיוחדות -התפל תשובות סופיות: ב 385 ג 5949 ( = 5, = ) א X B n p ו תוחלת:,5 שונות: 45 ה 4954 ד 79 ד תוחלת:,7 סטיית תקן: 449 ג 493 ב 335 ג 43 ב 984 א 534 ד תוחלת: 8-, סטיית תקן: 4697 ב א 789 ב 453 א 956 ג תוחלת:, 8 שונות: 98 ב 8 א 85 ב תוחלת: 85, סטיית תקן: 93 א 4 75 ) ) )3 )4 )5 )6 )7 )8 78

102 כללי הסתברות פרק - התפלגויות בדידות מיוחדות -התפלגות גיאומטרית י 79 תוכן העניינים 78

103 פרק התפלגויות בדידות מיוחדות -התפל התפלגויות בדידות מיוחדות התפלגות גיאומטרית: רקע: חוזרים באופן בלתי תלוי על אותו ניסוי ברנולי X מוגדר להיות מספר הניסויים שבוצעו עד ההצלחה הראשונה, כולל את הסיכוי לכישלון בניסוי בודד נסמן ב - p X ( ) G p את הסיכוי להצלחה בניסויי בודד וב - q k- ( ) פונקציית ההסתברות: k =,,, P X = k = pq ( ) E X = p תוחלת: q ( ) = V X p שונות: תכונות חשובות: אם X מתפלג על פי התפלגות גיאומטרית, אזי X הוא בעל תכונת חוסר זיכרון, k דהיינו, P( X k ) = q P X = ( n + k ) / X k = P X = n ( ) ( ) דוגמה )פתרון בהקלטה(: בכד כדורים ש -3 מהם ירוקים אדם מוציא באקראי כדור אחר כדור עד שבידו כדור ירוק ההוצאה היא עם החזרת הכדור לכד בכל פעם מחדש מהי ההתפלגות של מספר הכדורים שהוצאו? א מה ההסתברות שהוצאו בדיוק 5 כדורים? ב מה ההסתברות שהוצאו יותר מ 5 כדורים? ג אם הוצאו יותר מ- 3 כדורים מה הסיכוי שהוצאו בדיוק 5 כדורים? ד מה התוחלת וסטיית התקן של מספר הכדורים שהוצאו? ה 79

104 פרק התפלגויות בדידות מיוחדות -התפל שאלות: קו ייצור המוני מייצר מוצרים כך ש- 5% מהם פגומים איש בקרת איכות דוגם באופן מקרי מוצרים מקו הייצור עד אשר בידו מוצר פגום חשבו את ההסתברויות הבאות: א שידגום 3 מוצרים ב שידגום 4 מוצרים ג שידגום 5 מוצרים ד שידגום יותר מ- 7 מוצרים ה שידגום לא פחות מ -8 מוצרים ) צילום שמבוצע במכון הרנטגן "X-RAY" יתקבל תקין בהסתברות של 9 אדם נכנס למכון כדי להצטלם, והוא ייצא מהמכון רק כאשר יש בידו תצלום תקין א מה ההסתברות שיצטלם בסך הכול 3 פעמים? ב מה ההסתברות שהצטלם יותר מ- 4 פעמים? ג מה התוחלת ומה השונות של מספר הצילומים שייבצע? ד כל צילום עולה למכון 5 אדם משלם על צילום תקין מה התוחלת ומה השונות של רווח המכון מאדם שהגיע להצטלם? ) מטילים מטבע עד אשר מתקבלת התוצאה "עץ" א מה ההסתברות להטיל את המטבע לכל היותר פעמים? ב מה ההסתברות להטיל את המטבע לכל היותר 5 פעמים, אם ידוע שהמטבע הוטל לפחות 3 פעמים? ג אם ידוע שבשתי ההטלות הראשונות התקבלה התוצאה "פלי", מה ההסתברות שהאדם הטיל את המטבע 7 פעמים? ד מה תוחלת מספר הפעמים שהתקבלה התוצאה "פלי"? )3 3% מהמכוניות בארץ הן בצבע לבן בכל יום נכנסות לחניון כשלהו מכוניות אקראיות א מה ההסתברות שביום מסוים בדיוק מחצית מהמכוניות בחניון יהיו לבנות? ב מה תוחלת מספר הימים שיעברו מהיום עד שלראשונה מחצית מהמכוניות בחניון יהיו לבנות? )4 8

105 פרק התפלגויות בדידות מיוחדות -התפל אדם משחק במשחק מזל עד אשר הוא מפסיד הצפי הוא שישחק את המשחק פעמים מה הסיכוי להפסיד במשחק בודד? א מה ההסתברות שישחק את המשחק בדיוק 6 פעמים? ב מה ההסתברות שישחק את המשחק לכל היותר פעמים? ג ידוע שהאדם שיחק את המשחק יותר מ -6 פעמים מה ההסתברות ששיחק את המשחק בדיוק פעמים? ד מהי סטיית התקן של מספר הפעמים שישחק את המשחק? )5 במאפייה מייצרים עוגות גבינה ועוגות שוקולד שנארזות באריזות אטומות 4% מהעוגות הן עוגות גבינה והיתר שוקולד התווית על האריזה מודבקת בשלב מאוחר יותר של הייצור אדם נכנס למפעל ובוחר באקראי עוגה א מה ההסתברות שייאלץ לבחור 5 עוגות עד שקיבל עוגות שוקולד? ב אם הוא דגם פחות מ -7 עוגות עד שיקבל עוגת שוקולד, מה ההסתברות שבפועל הוא דגם יותר מ- 4 עוגות? ג האדם דוגם עוגות עד אשר הוא מוצא עוגת שוקולד ידוע שעוגת גבינה עולה ליצרן 5 שקלים ועוגת שוקולד 3 שקלים מהי התוחלת ומהי השונות של עלות הייצור הכוללת של העוגות שדגם? ד בהמשך לסעיף הקודם, מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של מספר עוגת הגבינה שדגם האדם? )6 תשובות סופיות: א 45 א 9 ב 48 ב ד תוחלת: 444, שונות: 385 א 999 א 9 א 6 א 5 ב 875 ב 97 ב 776 ב 5 ג 47 ד 6983 ג תוחלת:, שונות: 34 ג 35 ג 79 ג תוחלת: ד ד 9487 ה , 63 3 שונות: ) ) )3 )4 )5 )6, שונות 54 3 ד תוחלת 8

106 כללי הסתברות פרק - התפלגויות בדידות מיוחדות- התפלגות פואסונית י 8 תוכן העניינים 8

107 פרק התפלגויות בדידות מיוחדות- התפל התפלגויות בדידות מיוחדות התפלגות פואסונית: רקע: התפלגות פואסונית היא התפלגות שמאפיינת את מספר האירועים שמתרחשים ביחידת זמן - פרמטר המאפיין את ההתפלגות הנ"ל הפרמטר מייצג את קצב האירועים ביחידת זמן כלומר, כמה אירועים בממוצע קורים ביחידת זמן: ( X pois( התפלגות פואסונית חייבת להופיע כנתון בשאלה ולכן לא יהיה צורך לזהותה פונקציית ההסתברות של ההתפלגות הפואסונית נתונה: K e ( ) P X = K =, K =,,, K! התוחלת והשונות של ההתפלגות: ( ) ( ) E X = V X = תכונות מיוחדות של ההתפלגות: בהתפלגות הזו הפרמטר אינטרוולי זמן לא חופפים בלתי תלויים זה בזה פרופורציונלי לאינטרוול הזמן שעליו דנים דוגמה )פתרון בהקלטה(: במוקד טלפוני מתקבלות פניות בקצב של 5 פניות לדקה מספר הפניות בדקה מתפלג פואסונית א מה ההסתברות שבדקה כלשהי תתקבל פניה? ב מה ההסתברות שבשתי דקות יגיעו פניות? ג מה ההסתברות שבדקה אחת תגיע פניה ובשתי דקות שלאחר מכן פניות? ד מה התוחלת וסטיית התקן של מספר הפניות בדקה? 8

108 פרק התפלגויות בדידות מיוחדות- התפל שאלות: במוקד טלפוני מתקבלות פניות בקצב של 5 פניות לדקה מספר הפניות בדקה מתפלג פואסונית א מה ההסתברות שבדקה תתקבל פניה? ב מה ההסתברות שבדקה תתקבל לפחות פניה? ג מה ההסתברות שבדקה יתקבלו לכל היותר פניות? ד מה שונות מספר הפניות בדקה? מספר הטעויות לעמוד בעיתון מתפלג פואסונית עם ממוצע של 4 טעויות לעמוד בחלק מסוים של עיתון ישנם 5 עמודים א מה ההסתברות שבחלק זה ישנן בדיוק 8 טעויות? ב אם בעמוד הראשון אין טעויות, מה ההסתברות שבסך הכול בכול החלק ישנן 5 טעויות? ג אם בחלק של העיתון נמצאו בסך הכול 8 טעויות, מה ההסתברות ש- 5 מהן בעמוד הראשון? מספר תאונות הדרכים הקטלניות במדינת ישראל מתפלג פואסונית עם סטיית תקן של תאונות לשבוע א מה תוחלת מספר התאונות בשבוע? ב מהי ההסתברות שבחודש )הני חו שבחודש יש 4 שבועות( יהיה בדיוק שבוע אחד בו יהיו 3 תאונות דרכים קטלניות? לחנות AM:PM השכונתית מספר הלקוחות שנכנסים מתפלג פואסונית עם ממוצע של לקוחות לדקה א מה ההסתברות שבדקה כלשהי יהיו בדיוק 3 לקוחות? ב מה ההסתברות שבדקה כלשהי יגיח לפחות לקוח אחד? ג מה ההסתברות שבדקה כלשהי יהיו לכל היותר שני לקוחות? ד מהי התוחלת ומה סטיית התקן של מספר הלקוחות שנכנסים לחנות בדקה? מספר הלידות בבית חולים מתפלג פואסונית עם תוחלת של 8 לידות ביום א מה ההסתברות שביום א' נולדו תינוקות וביום ב' נולדו 7 תינוקות? ב מיילדת עובדת במשמרות של 8 שעות מה ההסתברות שבמשמרת שלה נולדו 3 תינוקות? ג מהי התוחלת של מספר הימים בשבוע בהם נולדים ביום עשרה תינוקות? ) ) )3 )4 )5 83

109 פרק התפלגויות בדידות מיוחדות- התפל במערכת אינטרנט לתשלום חשבונות, מספר החשבונות המשולמים בשעה מתפלג פואסונית עם תוחלת של 3 א כמה שעות צפויות לעבור עד אשר תתקבל שעה עם בדיוק 33 חשבונות? ב בין השעה 8: ל- 8: היו 8 חשבונות, מה ההסתברות שבין 8: ל- 8: היו בדיוק 6 חשבונות? )6 תשובות סופיות: א 337 א 84 א 4 א 84 א 39 א 67 ב 9933 ב 99 ב 47 ב 8647 ב 96 ב 78 ג 46 ג 5 ג 6767 ג 6948 ד 5 ד תוחלת:, סטיית תקן: 4 ) ) )3 )4 )5 )6 84

110 כללי הסתברות פרק - 3 התפלגויות בדידות מיוחדות-התפלגות היפרגאומטרית י 85 תוכן העניינים 84

111 פרק 3 התפלגויות בדידות מיוחדות-התפלג התפלגויות בדידות מיוחדות התפלגות היפרגאומטרית: פריטים בעלי תכונה מסוימת פריטים, מתוכה רקע : נתונה אוכלוסייה המכילה פריטים ללא החזרה פריטים אלה נקראים "מיוחדים" בוחרים מאותה אוכלוסייה מוגדר להיות מספר הפריטים ה"המיוחדים" שנדגמו X H ( N, D, ( יסומן על ידי: (n משתנה מקרי היפרגאומטרי עם הפרמטרים ) n D N, D, n N X D N D k n k P( X = k ) = N n פונקציית ההסתברות של ההתפלגות: ( ) E X D = n N D D N n V ( X ) = n N N N התוחלת של ההתפלגות: השונות של ההתפלגות: דוגמה )הפתרון בהקלטה(: בכתה 4 תלמידים, שמתוכם בנות והשאר בנים בוחרים קבוצה של ארבעה תלמידים שיסעו למשלחת א כיצד מספר הבנים במשלחת מתפלג? ב מה התוחלת ומהי השונות של מספר הבנים במשלחת? ג מה הסיכוי שבמשלחת יהיו 3 בנים? 85

112 פרק 3 התפלגויות בדידות מיוחדות-התפלג שאלות: בכד 5 כדורים אדומים ו- 4 כדורים ירוקים מוציאים באקראי שלושה כדורים מהכד א בנו את פונקציית ההסתברות של מספר הכדורים האדומים שהוצא בטבלה ב חשבו את התוחלת והשונות של מספר הכדורים האדומים שהוצאו, פעם מתוך פונקציית ההסתברות ופעם מתוך הנוסחאות להתפלגות היפרגאומטרית ג מה הייתה התוחלת והשונות של מספר הכדורים האדומים אם ההוצאה הייתה עם החזרה? ) X בחידון שאלות משלושה תחומים שונים: 3 בתחום הספורט, 4 בתחום הבידור והיתר בתחום המדעים משתתף בחידון שולף באקראי 4 שאלות להיות מספר השאלות מתחום הספורט שנשלפו נגדיר את בנוסחה )לא בטבלה( א בנו את פונקציית ההסתברות של? X מה התוחלת וסטיית התקן של ב P X = X חשבו את ההסתברות הבאה: ג X ( ) ) נדגמו 6 אנשים מתוך אוכלוסייה שבה 6% בעלי רישיון נהיגה אנו מתעניינים במספר האנשים שנדגמו עם רישיון נהיגה זהו בסעיפים הבאים את ההתפלגות, וחשבו לכל התפלגות את התוחלת והשונות: א האוכלוסייה גדולה מאד ב האוכלוסייה בת אנשים )3 בארגון עובדים 7 מהנדסים, 3 טכנאים ו- 5 הנדסאים בוחרים באופן מקרי משלחת של 4 עובדים לכנס במדריד א מהי ההסתברות שייבחרו רק מהנדסים? ב מה תוחלת מספר הטכנאים שייבחרו? )4 86

113 פרק 3 התפלגויות בדידות מיוחדות-התפלג תשובות סופיות: 5 9, 3 שונות: א ב תוחלת: 3 x ) P( x) 7, 3 שונות: ג תוחלת: 3 7 k 4 k 4 א א תוחלת: 36, שונות: 44 ב תוחלת: 5, סטיית תקן: 748 ג 9 ב תוחלת: 36, שונות: 64 ) )3 א 56 ב 8 )4 87

114 כללי הסתברות פרק - 4 המשתנה המקרי הבדיד - שאלות מסכמות י 88 תוכן העניינים 87

115 פרק 4 המשתנה המקרי הבדיד - שאלות מסכ המשתנה המקרי הבדיד שאלות מסכמות : שאלות: W נתון כי: 4,,, 4 X B Y B א חשבו את התוחלת וסטיית התקן של, W = X חשבו את התוחלת וסטיית התקן של 4 ב, חשבו את התוחלת של ג T? האם ניתן לדעת מה סטיית התקן של X T T = X + Y ) ערן משחק בקזינו בשתי מכונות הימורים, בכל מכונה משחק אחד )במכונה א' ובמכונה ב'( הסיכוי שלו לנצח במשחק במכונה א' הינו 8 והסיכוי שלו לנצח רק במכונה א' הינו 5 הסיכוי שלו להפסיד בשני המשחקים ביום מסוים הוא 88 א מה הסיכוי שערן ניצח בשני המשחקים? ב מה התוחלת ומהי השונות של מספר הניצחונות של ערן? ג אם ערן נכנס לקזינו 5 פעמים ובכל פעם שיחק את שני המשחקים, מה ההסתברות שערן ינצח בשני המשחקים בדיוק פעם אחת מתוך חמשת הפעמים? ) לאדם צרור מפתחות בצרור 5 מפתחות אשר רק אחד מתאים לדלת של ביתו האדם מנסה את המפתחות באופן מקרי לאחר שניסה מפתח מסוים הוא מוציא אותו מהצרור כדי לא להשתמש בו שוב נסמן ב- X את מספר הניסיונות עד שהדלת תפתח א בנו את פונקציית ההסתברות של X ב חשבו את התוחלת והשונות של X ג כל ניסיון לפתוח הדלת אורך חצי דקה מה התוחלת ומה השונות של הזמן הכולל לפתיחת הדלת? )3 מספר התקלות בשידור "ערוץ " מתפלג פואסונית בקצב של 6 תקלות ביום א מה ההסתברות שביום מסוים הייתה לפחות תקלה אחת? ב מה ההסתברות שבשבוע )7 ימי שידור( יהיו בדיוק 6 ימים בהם לפחות תקלה אחת? ג מה תוחלת מספר הימים שיעברו מהיום ועד היום הראשון בו לפחות תהיה תקלה אחת? )4 88

116 פרק 4 המשתנה המקרי הבדיד - שאלות מסכ בעל חנות גדולה בקניון שם לב ש- 4% מהמוצרים בחנותו נרכשים עבור ילדים, 35% נרכשים עבור נשים ו- 5% נרכשים עבור גברים % מהמוצרים הנרכשים עבור ילדים הם מתוצרת חוץ, וכך גם 6% מהמוצרים הנרכשים עבור נשים ו- 5% מאלה הנרכשים עבור גברים א מה ההסתברות למכור בחנות זו מוצר מתוצרת חוץ? ב יהי X מספר המוצרים שימכרו בחנות זו מפתיחתה ביום א' בבוקר, עד שלראשונה יימכר מוצר מתוצרת הארץ )כולל( מהי פונקציית ההסתברות של X? ג מהי תוחלת מס' המוצרים מתוצרת חוץ שימכרו, עד שלראשונה יימכר מוצר מתוצרת הארץ? ד ביום ב' נמכרו בחנות 7 מוצרים מה ההסתברות שבדיוק 3 מהם הם מתוצרת חוץ? )5 חברת הפקות של סרטים הפיקה 3 סרטים, אשר הופקו לטלוויזיה המקומית חברת ההפקות מנסה למכור את הסרטים הללו לחו"ל להלן ההסתברויות למכירת הסרטים לחו"ל: הסרט "הצבי" יימכר לחו"ל בסיכוי של 6 הסרט "לעולם לא" יימכר לחו"ל בסיכויי של 7 הסרט "מוות פתאומי" יימכר לחו"ל בסיכוי של ידוע כי כל סרט עלה להפקה חצי מיליון שקלים כמו כן, כל סרט הביא להכנסה של, שקלים מהטלוויזיה המקומית במידה וסרט יימכר לחו"ל, כל סרט יימכר ב- 6, שקלים א בנו את פונקציית ההסתברות של מספר הסרטים שיימכרו לחו"ל ב מהי התוחלת והשונות של מספר הסרטים שיימכרו? ג מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של הרווח )במאות אלפי שקלים( של חברת ההפקה? )6 במפעל מייצרים סוכריות כך ש- % מהסוכריות בטעם תות הייצור הוא ייצור המוני שאר הסוכריות בטעמים שונים, השקיות נארזות ובכל שקית בדיוק 5 סוכריות א נבחרה שקית ונתון שבשקית פחות מ -3 סוכריות אדומות מה ההסתברות שבשקית סוכריה אדומה אחת? ב בוחרים באקראי שקית אחר שקית, במטרה למצוא שקית ללא סוכריות אדומות מה ההסתברות שייאלצו לדגום יותר מ- 6 שקיות? )7 89

117 פרק 4 המשתנה המקרי הבדיד - שאלות מסכ מבחן בנוי משני חלקים : בחלק א' שאלות ובחלק ב' שאלות תלמיד התכונן רק לחלק א' של המבחן ובחלק זה בכל שאלה יש סיכוי של 8 שיענה נכון, בחלק השני לכל שאלה יש 4 תשובות כשרק אחת נכונה בחלק זה הוא מנחש את התשובות א מהי ההסתברות שבחלק הראשון הוא יענה נכון על 7 שאלות בדיוק? ב מהי ההסתברות שבחלק השני הוא יענה נכון על פחות מ- 3 שאלות? ג מה התוחלת ומהי השונות של מספר התשובות הנכונות בחלק הראשון? ד מהי התוחלת ומהי השונות של מספר התשובות הנכונות בבחינה כולה? )8 ( ) V X = ( ) E X = יהי משתנה מקרי המקיים: וכן: ( ) E X 5 X חשבו: )9 הסיכוי לעבור מבחן נהיגה הינו P בוחרים באקראי ארבעה נבחנים ההסתברות ששניים מהם יעברו את מבחן הנהיגה גבוה פי 8 3 מהסיכוי שכל הארבעה יעברו את המבחן א חשבו את ערכו של P ב תלמיד ניגש לבחינה עד אשר הוא עובר אותה מה ההסתברות שיעבור את מבחן הנהיגה רק במבחן הרביעי? ג מה ההסתברות שיאלץ לגשת לפחות לחמישה מבחנים בסך הכול? ד מה התוחלת ומהי השונות של מספר המבחנים שבהם יכשל? ה ידוע שהתלמיד ניגש לשלושה מבחנים ועדיין לא עבר מה ההסתברות שבסופו של דבר יעבור במבחן הנהיגה החמישי? ) רובוט נמצא בנקודה על ציר המספרים הרובוט מבצע צעדים ובכל צעד הוא נע בסיכוי P ימינה ביחידה אחת ובסיכוי שמאלה ביחידה אחת נסמן ב - את המספר עליו עומד הרובוט לאחר צעדים רשמו את פונקציית ההסתברות של באמצעות ו - n n P P n X X ) למטבע יש סיכוי P לקבל את התוצאה ראש מטילים את המטבע אם יוצא ראש בפעם הראשונה מפסידים שקל ומפסיקים את המשחק אחרת, ממשיכים לזרוק וזוכים במספר שקלים לפי מספר הפעמים שהטלנו את המטבע מההתחלה ועד שהתקבל ראש א בנו את פונקציית ההסתברות של רווח המשחק )באמצעות ( P ב בטאו את תוחלת הרווח באמצעות P ג לאלו ערכי P המשחק כדאי? ) 9

118 פרק 4 המשתנה המקרי הבדיד - שאלות מסכ מטבע הוגן מוטל עד שמתקבל פעמים עץ רשמו את פונקציית ההסתברות של מספר הפעמים שהתקבל פלי m + )3 N נתונות מגירות ממוספרות מ - ועד מתוך חולצות, יש לבחור באופן אקראי לכל חולצה מגירה כל מגירה יכולה להכיל את כל החולצות נגדיר את כ- מספר החולצות שהונחו במגירה מספר נגדיר את חשבו את: n N X X N כ- מספר החולצות שהונחו במגירה מספר N ( + X ) V X N )4 n אנשים יושבים במסעדה בזמן שמגיע העת לשלם, האנשים פועלים לפי העיקרון הבא: כל אחד מהם מטיל מטבע הוגן עד אשר אחד מהם מקבל תוצאה שונה מכל השאר והוא זה שמשלם מהי תוחלת מספר הסבבים שיבוצעו עד שימצא משלם? )5 הסיכוי לעבור בקורס מסוים את מועד א' הוא 7 סטודנט שנכשל במועד א' בהכרח ניגש למועד ב' ואז הסיכוי שלו לעבור אותו הוא 8 אם סטודנט נכשל במועד ב' הוא ניגש למועד מיוחד ואחרון נתון שלמועד א' נגשו כל הסטודנטים הרשומים לקורס מהי התפלגות מספר הבחינות שיאלץ המרצה לחבר? )6 i Y i לקניון 3 כניסות שונות בכל כניסה מספר האנשים שנכנסים לקניון מתפלג פואסונית באופן בלתי תלוי בכניסה האחרת מספר האנשים שנכנסים בכניסה ה - מתפלג פואסונית עם קצב של אנשים בשנייה יהי מספר האנשים שנכנסים לקניון בשנייה מכל הכניסות יחדיו מצאו את: E Y + )7 לרני טושים אותם הוא מכניס באקראי ל -3 קלמרים לכל טוש נבחר קלמר באקראי ובאופן בלתי תלוי בטוש אחר כל קלמר יכול להכיל עד טושים נסמן ב- X את מספר הקלמרים שיש בהם בדיוק טושים חשבו את E( x+ 7 ) )8 9

119 פרק 4 המשתנה המקרי הבדיד - שאלות מסכ ב n בשדרות רוטשילד החליטו לשתול ברושים ו- אורנים אחד אחרי השני בשורה סידור העצים בשורה נעשה באקראי נגדיר את להיות מספר הברושים, בין הברוש הגבוה ביותר לברוש הנמוך ביותר שנשתלו א מצאו את ההתפלגות של הוכיחו שהתוחלת של X X היא X n 3 )9 9

120 פרק 4 המשתנה המקרי הבדיד - שאלות מסכ תשובות סופיות: א תוחלת:, סטיית תקן: ג תוחלת: 45, סטיית תקן: לא ניתן א 3 ג 38 א ראו טבלה: ב תוחלת:, סטיית תקן: ב תוחלת: 5, שונות: 875 ב תוחלת: 3, שונות: x P( x) ) ) )3 ג תוחלת: 5, שונות: 5 א 9975 ב 7 ב 6 ג 5 ג 8 ד 8 א 375 א ראו טבלה: ג תוחלת:, סטיית תקן: 468 א 4348 ב 93 ב 556 ב תוחלת: 5, שונות: 6 ג תוחלת: 8, שונות: 6 א 3 ד תוחלת: 5, שונות: 3475 א 6 ב 384 ד תוחלת: 67, שונות: ג 56 ה 4 p p n P X k k n p p + k+ n n k ( = ) = ( ) ( k ) P X = = P ( ) K k = P Pk =,3,, א ב x P( x) )4 )5 )6 )7 )8 )9 ) ) ) p ג 93

121 פרק 4 המשתנה המקרי הבדיד - שאלות מסכ k+ m+ m+ k P( X = k ) =, k =,,, m n N N n n ראו טבלה: e e 675 n k P( X = k ) =, k =,,, n n א ב הוכחה X P( X) )3 )4 )5 )6 )7 )8 )9 94

122 כללי הסתברות פרק - 5 משתנה דו-מימדי בדיד - פונקציית הסתברות משותפת י 95 תוכן העניינים 94

123 פרק 5 משתנה דו-מימדי בדיד - פונקציית משתנה דו מימדי בדיד משותפת : פונקציית הסתברות רקע: התפלגות דו ממדית הינה התפלגות שדנה בשני משתנים נרצה כעת לבנות פונקציית הסתברות דו ממדית, בה יש התפלגות של שני משתנים בו זמנית: ו - Y X דוגמה: תלמיד ניגש בסמסטר לשני מבחנים: מבחן בכלכלה ומבחן בסטטיסטיקה כמו כן, נתון שהסיכוי לעבור את המבחן בכלכלה הנו 8, הסיכוי לעבור את המבחן בסטטיסטיקה הנו 9 והסיכוי לעבור את שני המבחנים הנו 75 יהי X מספר הקורסים שהסטודנט עבר ויהי Y משתנה אינדיקטור המקבל את הערך אם הסטודנט עבר את הבחינה בכלכלה, ו- אחרת בנו את פונקציית ההסתברות המשותפת של ו - Y X נחשב את כל ההסתברויות המשותפות: ( o y ) ( o y ) ( y ) ( y ) ( y ) ( y ) p x =, = = 5 p x =, = = p x =, = = 5 p x =, = = 5 p x =, = = p x =, = = 75 y/ x שימו לב שסכום כל ההסתברויות בפונקציית ההסתברות המשותפת הוא כעת נסכם את השורות ואת העמודות ונקבל את פונקציות הסתברות שוליות: Y / X P X P Y 8 95

124 פרק 5 משתנה דו-מימדי בדיד - פונקציית משתנים בלתי תלויים : Y ו - הבא: X יהיו משתנים בלתי תלויים, אם עבור כל p( x = k, y = l) = p( x = k ) p( y = l) Y X ו - אפשריים התקיים הדבר מספיק פעם אחת שהמשתנים אינם מקיימים תנאי זה אזי הם תלויים דוגמה: p( x =, y = ) = 75 p( x = ) p( y = ) = 75 8 = 6 ככלל, אם יש אפס בתוך פונקציית ההסתברות המשותפת ניתן להבין באופן מידי שהמשתנים תלויים, שאז הרי התנאי לא מתקיים אך אם אין אפס בטבלה, אין זה אומר שהמשתנים בלתי תלויים ויש לבדוק זאת 96

125 פרק 5 משתנה דו-מימדי בדיד - פונקציית שאלות: אדם נכנס לקזינו עם 75 דולר הוא ישחק במכונת מזל בה יש סיכוי של 3 לנצח במקרה של ניצחון במשחק הוא יקבל מהקזינו 5 דולר ובמקרה של הפסד הוא ישלם 5 דולר אותו אדם החליט שיפסיק לשחק ברגע שיהיה לו דולר, אך בכל מקרה לא ישחק יותר מ- 3 משחקים נגדיר את X להיות הכסף שברשות האדם בצאתו מהקזינו ואת כמספר המשחקים שהאדם שיחק א בנו את פונקצי ית ההסתברות המשותפת והשוליות ב מה תוחלת מספר המשחקים שישחק האדם? ג אם האדם יצא מהקזינו שברשותו דולר, מה התוחלת ומהי השונות של מספר המשחקים ששיחק? Y ) Y X להלן פונקציית ההסתברות המשותפת והשוליות של שני משתנים מקריים בדידים: א השלימו את ההסתברויות החסרות בטבלה ב האם ו - תלויים? ג מצאו את הסתברות ש -3 = Y, אם ידוע ש - = X מפעל משווק מוצר הנארז בחבילות בגדלים שונים ישנו מספר שווה של חבילות בנות שני מוצרים ושלושה מוצרים ההסתברות שמוצר מסוים יהיה פגום היא יהי א ב ג ד Y Y Y X מהנדס הייצור בוחר באקראי חבילת מוצרים לשם בקרת איכות מספר המוצרים הפגומים בחבילה מספר המוצרים בחבילה, ו - בהינתן = 3 x מה ההתפלגות של המשתנה כלשהו X הינו בהינתן מה ההתפלגות של המשתנה מהי תוחלת מספר המוצרים הפגומים בחבילות בנות 3 מוצרים? נמקו בנו את פונקצי ית ההסתברות המשותפת K Y / X PY ( ) P( X ) 4 ) )3 97

126 פרק 5 משתנה דו-מימדי בדיד - פונקציית ב ג X מתוך כד עם 3 כדורים ממוספרים במספרים 8 4,, שולפים באקראי שניים ללא החזרה יהי המספר הקטן מבין השניים ו - הגדול מביניהם א חשבו את ההתפלגות של Y ( ) XY, אם המספר המינימאלי שנבחר הוא, מה הסיכוי שהמקסימאלי הוא? 8 חשבו את ההתפלגות המותנית של X בהינתן = 4 Y מצאו: 4) = Y E ( X / )4 ביישוב שני סניפי בנק סניף פועלים וסניף לאומי להלן הנתונים לגבי האוכלוסייה הבוגרת המתגוררת ביישוב:ל- 6% יש חשבון בסניף פועלים של היישוב, ל- 5% יש חשבון בסניף לאומי של היישוב ול- 95% יש חשבון בלפחות אחד מהסניפים Y משתנה X מספר הסניפים בישוב אשר לתושב בוגר יש בהם חשבון, ויהי יהי אינדיקטור: אם יש לתושב חשבון בסניף פועלים אחרת ו - א בנו את פונקציית ההסתברות המשותפת של הוסיפו את פונקציית ההסתברות השולית ב ידוע שלתושב בוגר חשבון בבנק פועלים, מה ההסתברות שיש לו חשבון בנק ג בסניף אחד בלבד? Y X )5 98

127 פרק 5 משתנה דו-מימדי בדיד - פונקציית תשובות סופיות: א להלן טבלה: ב 4 ג תוחלת:, 348 שונות: 575 x\ 3 y P( x) P( y) 3 7 ) א להלן טבלה: ב תלויים ג 5 x\ y 8 P( y) 4 ) P( x) y x = k B n = k, p = x\ y y x 3 B = n = 3, p = א ג 3 ד להלן טבלה: ב P( y) ) P( x) 5 5 א להלן טבלה: ב 5 תוחלת: )4 x\ y 4 P( y) 4 8 P( x)

128 פרק 5 משתנה דו-מימדי בדיד - פונקציית x\ א+ב להלן טבלה: ג 75 y 5 35 P( y) 4 )5 P( x)

129 כללי הסתברות פרק - 6 משתנה דו מימדי בדיד - מתאם בין משתנים י תוכן העניינים

130 פרק 6 משתנה דו מימדי בדיד - מתאם בין משתנה דו מימדי בדיד מתאם בין משתנים : רקע: נרצה לבדוק את מידת ההתאמה הלינארית בין שני המשתנים על ידי מקדם המתאם הלינארי שמסומן ב - מקדם מתאם זה מקבל ערכים בין ל- - מקדם מתאם - או אומר שקיים קשר לינארי מוחלט ומלא בין המשתנים, שניתן לבטאו על ידי הנוסחה: מתאם חיובי מלא )מקדם מתאם ( אומר שקיים קשר ליניארי מלא בו השיפוע יהיה חיובי ואילו מתאם שלילי מלא אומר שקיים קשר ליניארי מלא בו השיפוע שלילי )מקדם מתאם -( מתאם חיובי חלקי אומר שככל שמשתנה אחד עולה לשני יש נטייה לעלות בערכו אבל לא קיימת נוסחה לינארית שמקשרת את ל- באופן מוחלט ואילו מתאם שלילי חלקי אומר שככל שמשתנה אחד עולה לשני יש נטייה לרדת אבל לא קיימת נוסחה לינארית שמקשרת את ל - Y באופן מוחלט a a Y X y = ax + b X חישוב מקדם המתאם: ( xy) cov, = x y הנוסחה של מקדם המתאם היא: השונות המשותפת: תכונות של השונות המשותפת: ( x y) = E ( x )( y ) = E ( xy) E ( x) E ( y) cov, x y ( X Y ) = ( Y X ) ( X X ) = Var ( X ) cov, cov, cov, ) ) משתנים בלתי מתואמים: משתנים בלתי מתואמים הם משתנים שמקדם המתאם שלהם אפס, וכדי שדבר כזה יקרה השונות המשותפת צריכה להתאפס משתנים בלתי מתואמים הם משתנים שכלל אין ביניהם התאמה לינארית משתנים בלתי תלויים הם משתנים שאין ביניהם קשר ולכן גם הם בלתי מתואמים, אך משתנים בלתי מתואמים אינם בהכרח בלתי תלויים

131 פרק 6 משתנה דו מימדי בדיד - מתאם בין השפעת טרנספורמצייה לינארית על מקדם המתאם: ( ax b),( cy d ) ( ) ( ) X, Y if a c + + = X, Y if a c כלומר, טרנספורמציה לינארית על שני משתנים לא משנה את עוצמת הקשר ביניהם היא עלולה לשנות רק את כיוון הקשר דוגמה )פתרון בהקלטה(: נחזור לדוגמה שהוצגה בפרק הקודם: תלמיד ניגש בסמסטר לשני מבחנים מבחן בכלכלה ומבחן בסטטיסטיקה כמו כן, נתון שהסיכוי לעבור את המבחן בכלכלה הנו 8, הסיכוי לעבור את המבחן בסטטיסטיקה הנו 9 והסיכוי לעבור את שני המבחנים הנו 75 יהי X מספר הקורסים שהסטודנט עבר, ויהי משתנה אינדיקטור המקבל את הערך, אם הסטודנט עבר את הבחינה בכלכלה, ו - אחרת נחשב את מקדם המתאם: Y X / Y P X P Y 8 X P X 5 75 ( ) x P( x ) E X = = = = 7 i i i ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i V X = x P x = x P x = + + = = y P Y 8 x ( ) = V X = = ( ) y P ( y ) E y = = + 8 = 8 i i i ( ) ( ) ( ) ( ) V y = y P y = y P y = = 6 = = 6 = 4 y i i y i i i y y i

132 פרק 6 משתנה דו מימדי בדיד - מתאם בין E ( xy ) = = 55 ( x y) E ( x y) E ( x) E ( y) cov, = = = 9 ( xy) cov, 9 = 853 = 5574 = x y כל קורס שהסטודנט מסיים מזכה אותו ב -3 נקודות אקדמאיות מה יהיה מקדם המתאם בין נקודות הזכות שיצבור למשתנה?Y 3

133 פרק 6 משתנה דו מימדי בדיד - מתאם בין שאלות: X הסיכוי שסטודנט יעבור את המבחן במועד א ' בסטטיסטיקה הוא 8 אם הוא נכשל במועד א' הוא ניגש למועד ב' שם הסיכוי לעבור את המבחן מוערך ב- 9 )סטודנט שעובר את א' לא ניגש לב'( במידה והסטודנט נכשל במועד ב' הוא מגיש בקשה למועד ג' אותה מאשרים בסיכוי של, והסיכוי שלו לעבור את מועד ג' הוא 7 להיות מספר המבחנים אליהם ניגש הסטודנט, ונגדיר את נגדיר את להיות מספר המבחנים שנכשל בהם א בנו את פונקצית ההסתברות המשותפת ואת פונ' ההסתברות השולית האם המשתנים הינם בלתי תלויים? ב ידוע שהסטודנט ניגש ליותר ממבחן אחד, מה ההסתברות שהוא נכשל ג בפחות משלושה מבחנים? מלא או חלקי? חיובי או שלילי? ל - האם המתאם בין ד הסבי רו ללא חישוב לבין ה חשבו את מקדם המתאם בין האם המשתנים הם בלתי מתאומים? ו Y Y X Y X ) X להיות מספר העצים המתקבלים נטיל מטבע שלוש פעמים נגדיר את Y להיות מספר העצים המתקבלים בשתי ההטלות הראשונות, ואת ואת פונקציות ו - בשתי ההטלות האחרונות א בנו את פונקציית ההסתברות המשותפת של ההסתברות השוליות הם משתנים בלתי תלויים? ו - האם ב ל - Y האם המשתנים מתואמים? מהו מקדם המתאם בין ג אם בשתי ההטלות הראשונות יצא בדיוק עץ אחד, מה ההסתברות ד שבשתי ההטלות האחרונות יצאו שני עצים? ה אם בשתי ההטלות האחרונות יצא לפחות פעם אחת עץ, מה ההסתברות שבשתי ההטלות הראשונות יצא עץ אחד? Y X X Y X ) נפזר שלושה כדורים שונים בשלושה תאים נגדיר את המשתנים הבאים: - X מספר הכדורים בתא הראשון - Y מספר הכדורים בתא השני א בנו את פונקציית ההסתברות המשותפת ב האם המשתנים בלתי מתואמים? )3 4

134 פרק 6 משתנה דו מימדי בדיד - מתאם בין X קובייה הוגנת הוטלה פעמיים יהי ההטלה הגדולה מבין שתי התוצאות, ויהי מס' ההטלות בהן יצאה תוצאה זוגית א מצאו את פונקציית ההסתברות המשותפת של ו- ב חשבו את מקדם המתאם של X ו - Y ג מצאו את ההתפלגות של Y X Y X = - בהינתן ש Y )4?Y X בבניין שלנו 5 דירות דירות מספר אחת ושלוש הן דירות משופצות והשאר אינן הוחלט לבחור שתי דירות באקראי מבין הדירות בבניין נגדיר את המשתנים הבאים: - מספר הדירות המשופצות שנבחרו Y- מספר הדירות האי זוגיות שנדגמו א בנו את פונקצית ההסתברות המשותפת ואת פונקציות ההסתברות השולית האם המשתנים מתואמים? ב X לבין מה מקדם המתאם בין ג מה יהיה מקדם המתאם: ד בין מספר הדירות המשופצות למספר הדירות הזוגיות שנדגמו i בין מספר הדירות הזוגיות לדירות האי זוגיות שנדגמו ii ה כל דירה משופצת עולה מיליון וכל דירה לא משופצת עולה 5 מיליון מה המתאם בין עלות הדירות שנדגמו למספר הדירות הזוגיות? )5 5

135 פרק 6 משתנה דו מימדי בדיד - מתאם בין תשובות סופיות: ג 994 א להלן טבלה: ב תלויים ד חלקי חיובי x\ y 3 P( y) ) P( x) ה 963 ו מתואמים א להלן טבלה: ב תלויים ג מקדם המתאם: 5, מתואמים x\ y P( x) P( y) ) ד 5 ה 5 א להלן טבלה: ב מתואמים )3 x\ y

136 פרק 6 משתנה דו מימדי בדיד - מתאם בין א להלן טבלה: ב 5 )4 x\ y Y מתואמים א להלן טבלה: X ו - ב ג x\ y P( y) ) P( x) ii 3 ד i ה 7

137 כללי הסתברות פרק - 7 המשתנה המקרי הדו ממדי - קומבינציות ליניאריות י 8 תוכן העניינים 7

138 פרק 7 המשתנה המקרי הדו ממדי - קומבינ המשתנה המקרי הדו מימדי קומבינציות לינאריות : רקע: יהיו שני משתנים מקריים ו - התוחלת והשונות של סכומם היא: Y X ( + ) = ( ) + ( ) ( + ) = ( ) + ( ) + cov (, ) E X Y E X E Y V X Y V X V Y X Y התוחלת והשונות של הפרשם היא: ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) + ( ) cov (, ) E X Y E X E Y V X Y V X V Y X Y קומבינציה ליניארית: יוצרים משתנה חדש שהוא קומבינציה לינארית של שני משתנים אחרים: ) d W = ( ax + b) + ( cy + אזי: ( ax + b) ( cy + d ) = a c ( X Y ) ( ) = (( + ) + ( + )) = ( ) + + ( ) + ( ) = (( + ) + ( + )) = ( ) + ( ) + cov (, ) cov, cov, E W E ax b cy d ae X b ce Y d V W V ax b cy d a V X c V Y a c X Y דוגמה )פתרון בהקלטה (: נתונים שני משתנים מקריים ו - המקיימים: = 8, = 5, = 7, =, cov, = Y X ( ) X X Y Y XY א מצאו את התוחלת והשונות של סכום המשתנים Y ב מצאו את התוחלת והשונות של X ו - ג מצאו את השונות ומה התוחלת של המשתנה W = X + 3Y 8

139 פרק 7 המשתנה המקרי הדו ממדי - קומבינ שאלות: ( נתונה פונקצ יית ההסתברות המשותפת הבאה: Y / X 3 ( ) P X 3 3 ( ) P X 6 א ב ג ד ה ו השלימו את ההסתברויות החסרות האם המשתנים תלויים? האם המשתנים בלתי מתואמים? חשבו את השונות המשותפת חשבו את התוחלת והשונות של סכום המשתנים חשבו את התוחלת והשונות של הפרש המשתנים מבחן בנוי מחלק כמותי וחלק מילולי תוחלת הציון בחלק הכמותי היא, עם סטיית תקן תוחלת הציונים בחלק המילולי היא 9 עם סטיית תקן 5 מקדם המתאם בין הציון הכמותי לציון המילולי הוא 8 א חשבו את השונות המשותפת בין הציון הכמותי לציון המילולי ב חשבו את התוחלת והשונות של סכום הציונים בחלק הכמותי ובחלק המילולי ג חשבו את התוחלת והשונות של הפרש הציונים בין החלק הכמותי לחלק המילולי ד עלות הבחינה שקלים הוחלט לזכות שקל עבור כל נקודה שנצברה בחלק המילולי ושני שקלים עבור כל נקודה שנצברה בחלק הכמותי מהי התוחלת ומהי השונות של עלות הבחינה נטו )העלות לאחר הזיכוי(? נתון: חשבו: ( X + Y ) = ( X Y ) = cov ( XY, ) var 3, var ) )3 n מטילים קובייה פעמים נגדיר את המשתנים הבאים: = X מספר הפעמים שהתקבלה התוצאה 6 = Y מספר הפעמים שהתקבלה התוצאה 5 בטאו את השונות המשותפת באמצעות n )4 9

140 פרק 7 המשתנה המקרי הדו ממדי - קומבינ תשובות סופיות: א להלן טבלה: ב תלויים ג מתואמים ד - ) x\ y 3 ( ) P y P( x) 4 4 ה תוחלת:,44 שונות : 84 א 4 ג תוחלת:, שונות: 45 ו תוחלת:,-4 שונות : 4 ב תוחלת: 9, שונות: 5 ד תוחלת: 7, שונות: n 36 ) )3 )4

141 מסכמות הסתברות פרק - 8 המשתנה המקרי הדו ממדי הבדיד - שאלות מסכמות י תוכן העניינים שאלות

142 פרק 8 המשתנה המקרי הדו ממדי הבדיד - המשתנה המקרי הדו ממדי הבדיד שאלות מסכמות : Y X רקע: משתנים בלתי תלויים: יהיו משתנים X ו- Y הם אפשריים מתקיים: יהיו משתנים בלתי תלויים אם עבור כל p x = k, y = l = p x = k p y = l ו- ( ) ( ) ( ) מקדם המתאם: ( xy) cov, = x y מגדירים את מקדם המתאם: שונות משותפת: מגדירים את השונות המשותפת: ( x y) = E ( x )( y ) = E ( xy) E ( x) E ( y) cov, x y תכונות של השונות המשותפת: ( X Y ) = ( Y X ) cov, cov, ( X X ) = ( X ) cov, var ( ax + b) ( cy + d ) = a c ( X Y ) cov, cov, 3 משתנים בלתי מתואמים: משתנים בלתי מתואמים הם משתנים שמקדם המתאם שלהם אפס וכדי שדבר כזה יקרה השונות המשותפת צריכה להתאפס

143 פרק 8 המשתנה המקרי הדו ממדי הבדיד - ( ax b),( cy d ) השפעת טרנספורמציה לינארית על מקדם המתאם: ( X Y ) ( X Y ), if a c + + =, if a c תוחלת ושונות של סכום משתנים: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) + cov ( X, Y ) ( ) ( ) W = ax + b + cy + d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) קומבינציות לינאריות: נגדיר קומבינציה ליניארית כללית באופן הבא: אזי מתקיים: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cov (, ) E W = E ax + b + cy + d = ae X + b + ce Y + d V W = V ax + b + cy + d = a V X + c V Y + a c X Y

144 פרק 8 המשתנה המקרי הדו ממדי הבדיד - שאלות: X יש ליצור סיסמה בת 3 תווים כל תו יכול להיבחר רק מתוך כלל התווים מספר הפעמים שהספרה מופיעה הבאים:,, C A, B, יהי Y מספר הפעמים שהספרה מופיעה בקצ ה הסיסמה בסיסמה, ויהי )שני הקצוות( כהתפלגויות מיוחדות ו- א זהו את ההתפלגויות השוליות של Y X ושל מצאו את ההתפלגות המשותפת של ב ל - מצאו את מקדם המתאם בין ג? מהו המתאם בין ד Y Y X X 3Y ל X ) X Y במסיבת סוף שנה ישנו ארגז קרח ובתוכו 7 בקבוקי בירה: 4 "מכבי", "גולדסטאר" ו - "טובורג" קרן לקחה 3 בקבוקי בירה באקראי מתוך ארגז הקרח את מספר בקבוקי "מכבי " שנלקחו על ידי קרן, נסמן ב - את מספר בקבוקי "טובורג" שנלקחו על ידי קרן ונסמן ב- ושל א בנו את פונקציית ההסתברות המשותפת של ושל חשבו את התוחלת והשונות של ב ושל מצאו את השונות המשותפת של ג כמספר בקבוקי ה"גולדסטאר" שנלקחו על ידי קרן נגדיר את ד וחשבו את התוחלת והשונות של ו - באמצעות בטאו את על סמך התוצאות שהתקבלו בשני הסעיפים הקודמים בלבד ה מהו מקדם המתאם בין מספר בקבוקי "מכבי" שנלקחו על ידי קרן, למספר בקבוקים שאינם "מכבי" שנלקחו על ידי קרן? W Y X Y Y X X,Y X W W ) במגירה 6 זוגות נעליים יהודה הוציא מהמגירה 4 נעליים )לא בהכרח זוגות( באקראי נסמן ב - W את מספר זוגות הנעליים שהוציא יהודה, את מספר הנעליים השמאליות שהוציא יהודה א מצא את ההתפלגות המשותפת של המשתנים שהוצגו ב האם המשתנים שהוצגו בלתי תלויים? ג מצא את התפלגות מספר הנעליים השמאליות שהוצאו אם בסך הכול הוצא זוג נעלים יחיד על ידי יהודה ד אם ידוע שהוצאו לפחות 3 נעליים שמאליות מה הסיכוי שהוצא לכל היותר זוג אחד? ונסמן ב - R )3 3

145 פרק 8 המשתנה המקרי הדו ממדי הבדיד - X Y בכד 5 כדורים כחולים, 4 כדורים לבנים ו- 3 כדורים ירוקים בוחרים באקראי וללא החזרה 3 כדורים נגדיר את המשתנים הבאים: - מקבל את הערך אם נבחר לפחות כדור אחד כחול, ו - אחרת - מספר הכדורים הלבנים שנבחרו ( א חשבו את ) X ו - Y בנו את פונקציית ההסתברות המשותפת של ב Y, אם ידוע שלא הוצאו כדורים כחולים? מה התוחלת של ג, אם ידוע שהוצא לכל היותר כדור לבן אחד? מה השונות של ד P X = X )4 Y ג ד ביום ההולדת הרביעי של טל הוא מחלק שלושה פרסים שונים באקראי ל- 5 ילדים בכל פעם שטל מחלק פרס הוא בוחר באקראי ילד מתוך ה -5 באופן אקראי ובלתי תלוי בבחירות הקודמות נגדיר את המשתנים הבאים: - X מספר הפרסים שקיבלה יוליה - מספר הילדים שלא קיבלו פרס א בנו את פונקציית ההסתברות המשותפת והשוליות של ו - ב האם ו - הם משתנים בלתי מתואמים? Y X Y X מצאו את התוחלת של X Y מה מקדם המתאם בין מספר הפרסים שקיבלה יוליה, למספר הילדים שקיבלו פרס? )5 קבעו אילו מהטענות הבאות נכונות נמקו א אם שני משתנים הם מתואמים, אזי הם תלויים ב אם שני משתנים הם תלויים, אזי הם מתואמים ג אם שני משתנים הם בלתי תלויים, אזי הם בלתי מתואמים ד אם שני משתנים הם בלתי מתואמים, אזי הם בלתי תלויים במקום עבודה 5 עובדים מתוכם 5 גברים ו- 5 נשים כל עובד נתבקש לבחור מתנה לחג לכל עובד מוצגות 5 אופציות, מתוכן הוא צריך לבחור אחת העובדים בוחרים מתנה באקראי ובאופן בלתי תלוי זה בזה נסמן - X i מספר הגברים שבחרו במתנה i נסמן Y- i מספר הנשים שבחרו במתנה א האם ו - Y הם משתנים בלתי תלויים? אין צורך לחשב רק להסביר ב האם ו - X הם משתנים בלתי תלויים? אין צורך לחשב רק להסביר i X X ג מהי ההתפלגות של? X + X ד האם המתאם בין X ו - X מלא או חלקי? חיובי או שלילי? אין צורך לחשב רק להסביר )6 )7 4

146 פרק 8 המשתנה המקרי הדו ממדי הבדיד - : Z Y ו -, הוכי חו את הזהות הבאה עבור שלושת המשתנים: X cov ( X + Y, Z ) = cov ( X, Z ) + cov ( Y, Z ) )8 מספר העלים שנושרים בסתיו מהעץ בגינה מתפלג פואסונית עם תוחלת של 5 עלים בדקה נסמן ב - Y את מספר העלים שנושרים מהעץ בין : ל- :, ונסמן ב- Q את מספר העלים שנושרים בין :5 ל- :3 א חשבו את: 6), YQ+ cov ( 4 ב מה המתאם בין Y ל - Q? )9 בסל יש כדורים אדומים, ירוקים ו- כחולים מוציאים באקראי מהסל כדורים מצאו את מקדם המתאם בין מספר הכדורים האדומים שהוצאו למספר הכדורים הירוקים שהוצאו ), לכל X נתון ש: p) Y B(, כאשר הוכי חו שאם מתקיים: ) = = ( = ) = = ( אז X ו - Y הם משתנים בלתי תלויים P P X x Y P X x Y ),m Y, )B שאינם תלויים זה בזה וכן: (p X X + Y = k HG ( n + m, n, k ) X B( n, נתון ש -(p הוכי חו שמתקיים: ) 5

147 פרק 8 המשתנה המקרי הדו ממדי הבדיד - תשובות סופיות: ד 86 X / Y 4 3 E ( X ) =, V ( X ) =, E ( Y ) =, V ( Y ) = P X א X B3,, Y B, 5 5 ב להלן טבלה: ג 86 X / Y P X א להלן טבלה: ב P Y P Y ) ) 6 = = 7 49 ( ), V ( W ) E W 8 49 ג א להלן טבלה: ד ב המשתנים תלויים ה - )3 R/ W 3 4 P W P R

148 פרק 8 המשתנה המקרי הדו ממדי הבדיד - ג להלן טבלה: ד Rw= 3 P( R w =) א ב להלן טבלה: ג 74 ד 7 )4 X / Y P Y 3 P X ב X ו -Y בלתי מתואמים 5( א להלן טבלה: X / Y 3 P Y P X ג 48 ד א נכון ב לא נכון ג נכון ד לא נכון )6 7

149 פרק 8 המשתנה המקרי הדו ממדי הבדיד - x+ x B n = 5, p = 5 א בלתי תלויים ד חלקי ושלילי ב תלויים ג )7 8( שאלת הוכחה א ב 36 )9-5 ) ( שאלת הוכחה ( שאלת הוכחה 8

150 כללי הסתברות פרק - 9 המשתנה המקרי הרציף- התפלגויות כלליות (שימוש באינטגרלים) י 9 תוכן העניינים 8

151 פרק 9 המשתנה המקרי הרציף- התפלגויות המשתנה המקרי הרציף )שימוש באינטגרלים( התפלגויות כלליות רקע: בפרק זה נעסוק בהתפלגות של משתנים מקריים רציפים )גובה אדם אקראי, זמן תגובה וכו'( משתנים רציפים הם משתנים שבתחום מסוים מקבלים רצף אינסופי של ערכים אפשריים בניגוד למשתנים בדידים נתאר את המשתנה המקרי הרציף על ידי פונקציה הנקראת פונקציית צפיפות השטח שמתחת לפונקציית הצפיפות נותן את ההסתברות פונקציית צפיפות חייבת להיות לא-שלילית והשטח הכולל שמתחת לפונקציה יהיה תמיד באופן כללי נסמן פונקציית צפיפות של משתנה רציף כלשהו ב - (x ( f הגדרות יסודיות: f יהא משתנה רציף X בעל פונקציית צפיפות (x ( פונקציית התפלגות מצטברת: פונקציית ההתפלגות המצטברת מוגדרת באופן הבא: כמו כן מתקיים: t ( ) ( ) ( ) F t = p X t = f x dx p( a X b) = F ( b) F ( a)- ו ( ) = ( ) p X t F t תוחלת ושונות של משתנה רציף: E ( X ) = X f ( x) תוחלת של משתנה רציף תחושב באופן הבא: dx = V ( X ) = X f ( x) שונות של משתנה רציף תחושב באופן הבא: dx = 9

152 פרק 9 המשתנה המקרי הרציף- התפלגויות g( x) תוחלת של פונקציה של X: תוחלת של פונקציית משתנה רציף X, המסומנת: הבא:, תחושב באופן E ( g ( x) ) = g ( x) f ( x) dx p x p אחוזונים: הוא ערך )נסמן אותו: (, שהסיכוי ליפול מתחתיו הוא ( p ) p X x = p האחוזון ה - p כלומר: ריענון מתמטי: נוסחאות לחישוב שטחים S triangle ha = S ( a) שטח משולש: גובה (h ( שטח מלבן: אורך כפול הבסיס כפול רוחב חלקי : rectangle = ab : ( b) ( a) משוואת קו ישר: משוואת ישר מפורשת תסומן:, y = mx + n כאשר m נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה - הוא שיפוע הישר ו - n היא y y y m = x x m ( x, y ),( x, y ) שיפוע ישר העובר דרך שתי נקודות: הוא:,x ( ושיפועו הוא משוואת ישר שעובר דרך נקודה ספציפית (y הבא: ) x y y = m( x, תחושב באופן

153 פרק 9 המשתנה המקרי הרציף- התפלגויות אינטגרלים מידיים: adx = ax + c n+ ( ax + b) n+ n x n x dx = + c n ( ax + b) dx = n + a n + + c n dx = ln x + c dx ln ax b c x = + + ax + b a x x ax+ b ax+ b e dx = e + c e dx = e + c a x ax+ b x k ax+ b k k dx = + c k dx ln k = a ln k + c cos xdx = sin x + c cos ( ax + b) dx = sin ( ax + b) + c a sin xdx = cos x + c sin ax + b dx = cos a ax + b + c tan xdx = ln cos x + c tan ( ax + b) dx = ln cos ( ax + b) + c a cot xdx = ln sin x + c cot ( ax + b) dx = ln sin ( ax + b) + c a dx = tan x + c dx = tan ( ax + b) + c cos x cos ax + b a ( ) ( ) ( ) dx = cot x + c dx cot ( ax b) c = + + sin x sin ax b a ( + ) dx = ln + tan x + c dx ln cot x c cos x cos x = + sin x sin x x x a dx = arctan + c ln x + a a a dx = + c x a a x + a x dx = arcsin + c dx ln x x a c a = + + a x x a f ' dx = ln f + c f f ' dx f c f = + e f f 3 ( ) f ' dx = e + c cos f f ' dx = sin f + c f ' sin f f ' dx = cos ( f ) + c dx = f + c f f f ' dx = f + c u v ' dx = u v u ' vdx 3

154 פרק 9 המשתנה המקרי הרציף- התפלגויות שאלות: X הינו משתנה רציף עם פונקציית צפיפות כמוצג בשרטוטו: א מצאו את ערכו של c ב בנו את פונקציית ההתפלגות המצטברת ג חשבו את ההסתברויות הבאות: i P P ( ) P( x5) ( 5 x5) P x 4 ( 5 x) מצאו את החציון של המשתנה ii iii iv v ), f ( x) cx x b = else נתון משתנה מקרי רציף A שפונקציית הצפיפות שלו היא: P = 4 ( X ) וידוע ש - א מצאו במפורש את פונקציית הצפיפות של X מצאו את החציון של X ב מה הסיכוי ש- X קטן מ- 5? ג ) נתונה פונקציית צפיפות של משתנה מקרי : Y א מצאו את c ב מצאו את פונקציית ההתפלגות המצטברת של Y ג חשבו את ההסתברויות הבאות: P( Y 4 ), P( 75 Y 55 ), P( Y 3 ), P( Y = 7) y 5 y ד מצאו את העשירון התחתון: הסיקו מהו העשירון עליון:, הרבעון התחתון: והחציון של Y y 9 )3

155 פרק 9 המשתנה המקרי הרציף- התפלגויות 4( נתונה פונקציית צפיפות של משתנה מקרי : X א ב ג מצאו ערך c שעבורו תתקבל פונקציית צפיפות מצאו את פונקציית ההתפלגות המצטברת חשבו את ההסתברויות הבאות: P( X 5 ), P( X ), P( X 4) 5( נתונה פונקציית הצפיפות הבאה: C 5 א מה ערכו של c? ב מצאו אינטרוול )תחום( סימטרי סביב הערך 5, שהסיכוי ליפול בו הינו 5 K = x K (X, f ( המוגדרת מ- עד נתונה פונקציית צפיפות: א מצאו את ערכו של בנו את פונקציית ההתפלגות המצטברת ב חשבו את הסיכוי ש- X לפחות 5 ג מצאו את העשירון התחתון של ההתפלגות ד ה מה התוחלת של X? )6 3

156 פרק 9 המשתנה המקרי הרציף- התפלגויות X, f ( X ) = AX ( X נתונה פונקציית צפיפות הבאה: ) A הינו קבוע חיובי א מצאו את A ב חשב את: P x 5 x ( ) ג מה התוחלת ומהי השונות של? X )7 פונקציית הצפיפות של משתנה מקרי רציף X: x X ln c, f x = 5e ( ) ( ) ד א מצאו את ערכו של c ב מצאו את פונקציית ההתפלגות המצטברת של ההתפלגות ג חשב: P( X ) מהו הרבעון העליון של ההתפלגות? )8 4 נתונה פונקציית הצפיפות הבאה של משתנה מקרי X: א רשמו את נוסחת פונקציית הצפיפות ב בנו את פונקציית ההתפלגות המצטברת ג מצאו את החציון של ההתפלגות ד חשבו את התוחלת והשונות של המשתנה ה חשבו את: 3 E( X ) )9 במפעל מייצרים מוצר A זמן תהליך הייצור של המוצר בשעות הוא בעל פונקציית הצפיפות הבאה: f ( x) = 6x x, x ( ) א מה ההסתברות שזמן הייצור של מוצר A אקראי יהיה קטן מ- דקות? ב מה ההסתברות שזמן הייצור של מוצר A אקראי יהיה בדיוק חצי שעה? ג נבחרו חמישה מוצרים אקראיים מסוג A מה תוחלת מספר המוצרים שזמן הייצור שלהם יהיה גדול מ- דקות? ) 4 ) זמן ההמתנה בדקות של לקוח בתור למכולת השכונתית מתפלג עם פונקציית t F t = e ההתפלגות המצטברת הבאה: ( ) א שרטטו את פונקציית ההתפלגות המצטברת ב מה הסיכוי שזמן ההמתנה יהיה לפחות רבע שעה? ג אם חיכיתי בתור כבר דקות מה ההסתברות שאאלץ לחכות בסך הכול פחות מרבע שעה? ד מהו הזמן ש- 9% מהלקוחות מחכים מתחתיו?

157 פרק 9 המשתנה המקרי הרציף- התפלגויות פונקציית הצפיפות של משתנה מקרי נתונה על ידי הנוסחה הבאה: f ( x) x 4 bx 4b 4 x 5 = b 5 x6 x 6 ) א ב ג מצאו את חשבו את התוחלת של X הוא משתנה אינדיקטור המקבל את הערך אם X קטן מ- 5 מהי השונות של? y b y f ( x) x x = 4 kx x 3 נתונה פונקציית הצפיפות הבאה: א מצאו את ערכו של ב מצאו את פונקציית ההתפלגות המצטברת ג חשבו k P( x 5) )3 f ( x) =, a x b b a להלן משתנה מקרי בעל פונקציית צפיפות הבאה: א מצאו את פונקציית ההתפלגות המצטברת ב חשב את התוחלת והשונות של ההתפלגות X ג מצאו את התוחלת של )4 5

158 פרק 9 המשתנה המקרי הרציף- התפלגויות תשובות סופיות: 5 8 i ( ) F t t ( t ) 5 t = ( t ) t 6 6 t א ב ג ) 3 3 ד 3 6 iv ב 4 6 iii 7 8 b=, c= 5 ii א ג 65 ) ( ) F t t t t 5 = t ( t ) 5 t א ב ג 3,5,8, ד עשירון תחתון: 4, רבעון תחתון: 354, החציון: 5, עשירון עליון: 776 t t t ( t 3) 5 3 t 5 F ( t) = 7 + ( t 5) 5 5 t t ( t 7) 5 7 t t א ב ג 5 )3 )4 )5 א = c ב 546 t ( ) F t = ln t t e t e א e ד 5 ב ה 97 ג 89 )6 א ב 767 ג תוחלת:, 6 שונות: 4 )7 6

159 פרק 9 המשתנה המקרי הרציף- התפלגויות ( ) F t t e t ln = 4 t ln ( ) ( ) א ב ג 75 ד 549 )8 ( ) V x = ( ) F t ( b a) t ( t ) 5 t = ( t ) t 4 8 t 4 ( ) F t x 4 3 = x 4 8 אחר ת א ג ב ד תוחלת: 65, שונות: 697 ה ג א ב א עיין סרטוט בוידאו ג 374 ד 5, שונות: ב 498 ( ) F t 9 ב 5 3 א א ב ג ג 9 ( ) E X a+ b = t 3 t t = 7 t 4 + t 3 t 3 6 t a ( t b) F ( t) = a t b b a t b א ב תוחלת: )9 ) ) ) )3 )4 ln b a b a ג 7

160 כללי הסתברות פרק - 3 התפלגויות רציפות מיוחדות- התפלגות מעריכית י 8 תוכן העניינים 7

161 פרק 3 התפלגויות רציפות מיוחדות- התפל התפלגויות רציפות מיוחדות התפלגות מעריכית: רקע: התפלגות זו היא התפלגות רציפה המאפיינת את הזמן עד להתרחשות מאורע מסוים - הוא ממוצע מספר האירועים המתרחשים ביחידת זמן )אותו פרמטר מההתפלגות הפואסונית(: ) X exp( כאשר התפלגות זו צריכה להיות נתונה בתרגיל או שיאמר שמספר האירועים ביחידת זמן מתפלג פואסונית ואז הזמן עד התרחשות המאורע הבא מתפלג מעריכית פונקציית הצפיפות של ההתפלגות: לכל x x f ( x) = e ( ) ( ) פונקציית ההתפלגות המצטברת: F t = p x t = e t ( + \ ) = ( ) P X a b X a P X b E( x) התוחלת: = השונות: = x) V ( להתפלגות זו יש תכונת חוסר הזיכרון: דוגמה )פתרון בהקלטה(: אורך חיי סוללה מתפלג מעריכית עם תוחלת של 8 שעות א מה ההסתברות שסוללה תחזיק מעמד פחות מ- 9 שעות? ב מה סטיית התקן של אורך חיי הסוללה? ג אם סוללה כבר חייה מעל שעתיים, מה הסיכוי שהיא תחייה מעל 7 שעות בסך הכול? 8

162 פרק 3 התפלגויות רציפות מיוחדות- התפל שאלות: הזמן שלוקח במערכת עד שתקלה מתרחשת מתפלג מעריכית עם תוחלת של 5 שעה א מה הסתברות שהתקלה הבאה תתרחש תוך יותר מ- 5 שעה? ב מה ההסתברות שהתקלה הבאה תתרחש תוך פחות משעה? ג מצא את הזמן החציוני להתרחשות תקלה במערכת ) הזמן שעובר בכביש מסוים עד להתרחשות תאונה מתפלג מעריכית עם תוחלת של 4 שעות א מהי סטית התקן של הזמן עד להתרחשות תאונה? ב מה ההסתברות שהתאונה הבאה תתרחש תוך פחות מיממה? ג מהי ההסתברות שהתאונה הבאה תתרחש תוך לפחות יומיים? ) משך הזמן X )בדקות( שסטודנטים עובדים רצוף על מחשב מתפלג מעריכית עם תוחלת של 3 דקות א מה הסיכוי שעבודת סטודנט על המחשב תארך פחות מרבע שעה? ב מה הסיכוי שעבודת סטודנט על המחשב תארך בין רבע שעה לחצי שעה? ג אם סטודנט עובד על המחשב כבר יותר מ- דקות, מה ההסתברות שמשך כל עבודתו יעלה על 3 דקות? ד מהו הזמן שבסיכוי של 9% הסטודנט יעבוד פחות ממנו? )3 בממוצע מגיעים לחדר מיון 4 חולים בשעה בזרם פואסוני א שולה המזכירה הגיעה לחדר המיון מה ההסתברות שזמן ההמתנה שלה לחולה הבא יהיה יותר מ- דקות? ב אם שולה המתינה יותר מרבע שעה לחולה הבא מה ההסתברות שתמתין בסך הכל יותר מחצי שעה? ג מה ההסתברות שבין החולה הראשון לשני יש להמתין יותר מרבע שעה ובין החולה שני לשלישי יש להמתין פחות מרבע שעה? )4 9

163 פרק 3 התפלגויות רציפות מיוחדות- התפל מערכת חשמלית כוללת 4 רכיבים אלקטרוניים זהים הפועלים במקביל כמתואר בשרטוט: על מנת שהמערכת תפעל בצורה תקינה נדרש שלפחות אחד מהמרכיבים יהיה תקין אורך החיים של כל רכיב מתפלג מעריכית עם ממוצע של שעות א מה ההסתברות שהמערכת תפעל בצורה תקינה במשך שעות לפחות? ב מעוניינים להוסיף במקביל עוד רכיב למערכת עלות הוספת רכיב היא K כמו כן אם המערכת עבדה פחות מ- שעות נגרם הפסד של A מה התנאי שבו יהיה כדאי להוסיף את הרכיב למערכת? )5 תשובות סופיות: ב 865 ג 347 ) א 368 א 4 שעות ב 63 ג 35 ) ד 698 ב 39 ג 53 )3 א 393 ב 368 ג 33 )4 א 64 K 588 A א 843 ב )5 3

164 כללי הסתברות פרק - 3 התפלגויות רציפות מיוחדות-התפלגות אחידה י 3 תוכן העניינים 3

165 פרק 3 התפלגויות רציפות מיוחדות-התפלג התפלגויות רציפות מיוחדות התפלגות אחידה: רקע: b זו התפלגות שפונקציית הצפיפות שלה קבועה בין a לבין X (, ) U a b פונקציית הצ פיפות: f ( x) = b a a x b פונקציית ההתפלגות המצטברת: ( ) F t t a = b a התוחלת : ( ) E X a+ b = V( x) = השונות: ( b a) 3

166 פרק 3 התפלגויות רציפות מיוחדות-התפלג דוגמה )פתרון בהקלטה(: - משתנה מקרי רציף המתפלג באופן אחיד בין ל- 4 X מה הסיכוי ש- X קט ן מ -5? מה התוחלת והשונות של X? a=, b= 4 ( ) X ~ U, 4 5 P( x 5) = f ( 5) א = 5 = 4 ( ) E x ( ) V x + 4 = = 3 ( ) 4 = = 33 3 ב 3

167 פרק 3 התפלגויות רציפות מיוחדות-התפלג שאלות: משך )בדקות( הפסקה בשיעור, X, מתפלג: U ( ) 3,6 א מהי התוחלת ומהי סטית התקן של משך ההפסקה? מהי ההסתברות שהפסקה תמשך יותר מ -5 דקות? ב מהי ההסתברות שמשך ההפסקה יסטה מהתוחלת בפחות מדקה? ג ) רכבת מגיעה לתחנה בשעות היום כל עשר דקות אדם הגיע לתחנה בזמן אקראי א הסבר כיצד מתפלג זמן ההמתנה לרכבת? ב אם זמן ההמתנה לרכבת ארך יותר מ- 5 דקות, מהי ההסתברות שבסך הכל האדם ימתין לרכבת פחות מ- 8 דקות? ג מה תוחלת מספר הימים שיעברו עד הפעם הראשונה שהאדם ימתין לרכבת יותר מ- 9 דקות? ) מכונה אוטומטית ממלאת גביעי גלידה משקל הגלידה לגביע מתפלג אחיד בין - גרם )המשקל הוא של גלידה ללא הגביע( א מה ההסתברות שמשקל הגלידה בגביע יהיה מעל 8 גרם? ב נתון שהגלידה בגביע עם משקל נמוך מ- 7 גרם מה ההסתברות שמשקל הגלידה יהיה מעל 5 גרם? ג מה העשירון העליון של משקל הגלידה בגביע? ד עלות גביע גלידה היא 5 שקל כל גרם של גלידה עולה אגורות מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של עלות הגביע ביחד עם הגלידה? )3 תשובות סופיות: ) א תוחלת: 45, שונות: 866 ב 3 6 ג 3 א ( X U(,) )3 ב ג ב ג 9 א 7 ד תוחלת: 73 אגורות, סטיית תקן: 635 אגורות 33

168 כללי הסתברות פרק - 3 התפלגויות רציפות מיוחדות - התפלגות נורמלית י 34 תוכן העניינים 33

169 פרק 3 התפלגויות רציפות מיוחדות - התפ התפלגויות רציפות מיוחדות התפלגות נורמלית: רקע: התפלגות נורמלית הינה התפלגות של משתנה רציף ישנם משתנים רציפים מסוימים שנהוג להתייחס אליהם כנורמליים כגון: זמן ייצור, משקל תינוק ביום היוולדו ועוד פונקציית הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית נראית כמו פעמון: לעקומה זו קוראים גם עקומת גאוס ועקומה אחת נבדלת מהשנייה באמצעות הממוצע וסטיית התקן שלה אלה הם הפרמטרים שמאפיינים את ההתפלגות:, X N ( ) f ( x) = e ( x ) נוסחת פונקציית הצפיפות: כדי לחשב הסתברויות בהתפלגות נורמלית יש לחשב את השטחים הרלוונטיים שמתחת לעקומה כדי לחשב שטחים אלה נמיר כל התפלגות נורמלית להתפלגות נורמלית סטנדרטית על ידי תהליך הנקרא תקנון התפלגות נורמלית סטנדרטית היא התפלגות נורמלית שהממוצע שלה הוא אפס וסטיית התקן היא אחת, והיא תסומן באות Z N :Z (, ) תהליך התקנון מבוצע על ידי הנוסחה הבאה: Z = X אחרי תקנון מקבלים ערך הנקרא ציון תקן ציון התקן משמעו בכמה סטיות תקן הערך סוטה מהממוצע לאחר חישוב ציון התקן של ערך מסוים נעזרים בטבלה של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית לחישוב השטח הרצוי, ובאופן כללי נתאר את הסכמה הבאה: 34

170 פרק 3 התפלגויות רציפות מיוחדות - התפ X (, ) N Z N P (, ) X Z = בטבלה Ф(a) -Ф(a) a Ф(-a)=- Ф(a) Ф(a) -a 35

171 פרק 3 התפלגויות רציפות מיוחדות - התפ : טבלת ההתפלגות המצטברת הנורמלית סטנדרטית ערכי (z ( (z) z z z (z)

172 פרק 3 התפלגויות רציפות מיוחדות - התפ דוגמה )הפתרון בהקלטה(: משקל חפיסות שוקולד המיוצרות בחברה מתפלג נורמלית עם ממוצע גרם בסטיית תקן של 8 גרם ( מה אחוז חפיסות השוקולד ששוקלות מתחת ל- גרם? ( מה אחוז חפיסות השוקולד השוקלות מעל גרם? 3( מה אחוז חפיסות השוקולד השוקלות מתחת ל 9 גרם? 4( מהו המשקל ש- 9% מהחפיסות בקו הייצור שוקלים פחות מהם? 37

173 פרק 3 התפלגויות רציפות מיוחדות - התפ שאלות: הגובה של אנשים באוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמלית עם ממוצע של 7 ס"מ וסטית תקן של ס"מ א מה אחוז האנשים שגובהם מתחת ל- 84 ס"מ? ב מה אחוז האנשים שגובהם מעל 9 ס"מ? ג מה אחוז האנשים שגובהם בדיוק 736 ס"מ? ד מה אחוז האנשים שגובהם מתחת ל- 7 ס"מ? ה מה אחוז האנשים שגובהם לכל היותר 7 ס"מ? ) נתון שהזמן שלוקח לתרופה מסוימת להשפיע מתפלג נורמלית עם ממוצע של 3 דקות ושונות של 9 דקות רבועות א מהי פרופורציית המקרים בהן התרופה תעזור אחרי יותר משעה? ב מה אחוז מהמקרים שבהן התרופה תעזור בין 35 ל- 37 דקות? ג מה הסיכוי שהתרופה תעזור בדיוק תוך 36 דקות? ד מה שיעור המקרים שבהן ההשפעה של התרופה תסטה מ- 3 דקות בפחות מ -3 דקות? ) המשקל של אנשים באוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמלית עם ממוצע של 6 ק"ג וסטיית תקן של 8 ק"ג א מה אחוז האנשים שמשקלם נמוך מ- 55 ק"ג? ב מהי פרופורציית האנשים באוכלוסייה שמשקלם לפחות 5 ק"ג? ג מהי השכיחות היחסית של האנשים באוכלוסייה שמשקלם בין 6 ל- 7 ק"ג? ד לאיזה חלק מהאוכלוסייה משקל הסוטה מהמשקל הממוצע בלא יותר מ- 4 ק"ג? ה מה הסיכוי שאדם אקראי ישקול מתחת ל- 4 ק"ג? )3 משקל תינוקות ביום היוולדם מתפלג נורמלית עם ממוצע של 33 גרם וסטיית תקן 4 גרם א מצאו את העשירון העליון ב מצאו את האחוזון ה- 95 ג מצאו את העשירון התחתון )4 38

174 פרק 3 התפלגויות רציפות מיוחדות - התפ ציוני מבחן אינטליגנציה מתפלגים נורמלית עם ממוצע ושונות 5 א מה העשירון העליון של הציונים במבחן האינטיליגנציה? ב מה העשירון התחתון של ההתפלגות? ג מהו הציון ש- % מהנבחנים מקבלים מעליו? ד מהו האחוזון ה-? ה מהו הציון ש- 5% מהנבחנים מקבלים מתחתיו? נפח משקה בבקבוק מתפלג נורמלית עם סטיית תקן של מ"ל, ונתון ש- 33% מהבקבוקים בעלי נפח שעולה על 588 מ"ל א מה ממוצע נפח משקה בבקבוק? ב 5% מהבקבוקים המיוצרים עם הנפח הגבוה ביותר נשלחים לבדיקה, החל מאיזה נפח שולחים בקבוק לבדיקה? ג % מהבקבוקים עם הנפח הקטן ביותר נתרמים לצדקה, מהו הנפח המקסימלי לצדקה? )5 )6 אורך חיים של מכשיר מתפלג נורמלית ידוע שמחצית מהמכשירים חיים פחות מ- 5 שעות, כמו כן ידוע ש- 67% מהמכשירים חיים פחות מ- 544 שעות א מהו ממוצע אורך חיי מכשיר? ב מהי סטית בתקן של אורך חיי מכשיר? ג מה הסיכוי שמכשיר אקראי יחיה פחות מ- 46 שעות? ד מהו המאיון העליון של אורח חיי מכשיר? ה % מהמכשירים בעלי אורך החיים הקצר ביותר נשלח למעבדה לבדיקה מעמיקה מהו אורך החיים המקסימלי לשליחת מכשיר למעבדה? )7 להלן שלוש התפלגויות נורמליות של שלוש קבוצות שונות ששורטטו באותה מערכת צירים ההתפלגויות מוספרו כדי להבדיל ביניהן א לאיזו התפלגות הממוצע הגבוה ביותר? במה מבין המדדים הבאים התפלגות ו - זהות? ב בעשירון העליון i בממוצע ii בשונות iii לאיזו התפלגות סטיית התקן הקטנה ביותר? ג i ii 3 iii אין לדעת iv )8 39