12 )א. ב.. Σ F = m tot הכוח הכולל שפועל על המערכת של שני הגופים הוא, F g ולפי החוק השני a F g = ( M0 + m Fg m 1)a a = M 0+m 0+6m1 : M 0 ג. נשתמש

תמליל

1 )א. ב.. Σ F = m tot הכוח הכולל שפועל על המערכת של שני הגופים הוא, F g ולפי החוק השני a F g = ( M0 + m Fg m )a a = M 0+m 0+6m : M 0 ג. נשתמש בשיפוע שהתקבל בגרף על מנת לחלץ את 0.44 = M +m +6m M m [g.46 [g m = 0.44 M 0 = 0 0 ד. הפעם פועל כוח חיכוך על העגלה. f μ N העגלה לא מאיצה בציר האנכי ולכן N = M g = ( M0 + 5 m )g נתייחס אם כך למערכת כאל גוף שפועל עליו כוח הכובד על הסל ימינה וכוח החיכוך על העגלה שמאלה, ואז נקבל כי הכוח הכולל הוא. F g f נדרוש שיתקיים = 0 : F g f

2 ( m 0 + m )g ( M0 + 5 m )g μ,min = 0 μ,min = m 0 +m M +5m = μ נחשב את הכוחות הכוללים על המערכת: ה.מקדם החיכוך הקינטי הוא 0. Σ F = mg Mμ g = ( m 0 + n m )g ( M0 + ( 6 n ) m )μ g = m tot a = ( M0 + m m )a (m +n m ) (M +(6 n) m )μ 0 0 a = M 0+m 0+6m g (m + m ) (M +4 m )μ 0 0 n = : a = M +m +6m g =.7688[ m.[ m 0 0 (m +3 m ) (M +3 m )μ 0 0 n = 3 : a = M +m +6m g = [ m 3.59[ m 0 0 (m +4 m ) (M + m )μ 0 0 n = 4 : a = M +m +6m g = [ m 4.97[ m 0 0 (m +5 m ) (M + m )μ 0 0 n = 5 : a = M +m +6m g = [ m 6.34[ m 0 0 (m +6 m ) (M +0 m )μ 0 0 n = 6 : a = M +m +6m g = 7.796[ m 7.7[ m 0 0 כאשר n מייצג את מספר המשקולות בסל. נציב = 6 n : 3) על המכונית פועל כוח חיכוך קינטי בניגוד לכיוון תנועתה כשהיא בולמת. כוח החיכוך הקינטי שווה לכוח הנורמלי, N כפול מקדם החיכוך הקינטי. מכיוון שהתאוצה בכיוון האנכי שווה אפס, הכוח הכולל שווה גם הוא לאפס, כלומר:, N m g = 0 N = mg ולכן בכיוון האופקי פועל כוח: f = μ N = μ mg. נמיר את מהירות m a mg, F = ma ולכן: g לפי החוק השני של ניוטון: המכונית למטרים לשנייה: v = 90 [ m h 000[ m m 3600[ h = 5 [ m 0 = t brae,ice t brae,ice = 5.48 [ec 0 = t brae,no ice t brae,no ice = 3.9 [ec at ראשית נחשב את זמני הבלימה: : x = x 0 t + כעת, נחשב את מרחקי הבלימה באמצעות Δx with ice = = [m Δx without ice = = 39.8 [m ב. נוסיף שרטוט של הכוחות הפועלים על המכונית קודם כל. עבור מכונית העולה במישור ובולמת:

3 עבור מכונית היורדת במישור ובולמת: נחשב תחילה עבור מכונית שעולה במישור. אם נצמיד מערכת צירים למישור עצמו, ברור כי בציר הy הכוח הכולל צריך להתאפס, ולכן: N mg co( 6 π ) = 0 N = mg co( 6 π ) נאמר כי הכיוון החיובי של ציר הx הוא מעלה המישור, ואז כוח החיכוך שפועל בעת הבלימה יהיה: f = μ N = μ mgco( π 6 ). F x = mgin( 6 π ) μ mgco( π 6 שוב ) = mg(in( 6 π ) + μ co( π 6 הכוח הכולל בציר הx יהיה (( a acend = g(in( 6 π ) + μ co( π 6 )) 0 = ( ) t brae,ice t brae,ice = 4.34 [ec 0 = ( ) t brae,no ice t brae,no ice =.4 [ec נשתמש בחוק השני של ניוטון ונקבל כי התאוצה היא: ראשית נחשב את זמני הבלימה: : x = x 0 t + כעת, נחשב את מרחקי הבלימה באמצעות Δx acending,with ice = ( ) 4.34 = [m at

4 Δx acending,without ice = ( ).4 = 6.7 [m וכעת נחשב עבור מכונית היורדת במישור. הכוחות בציר y הם זהים, וכוח החיכוך בציר x פשוט משנה כיוון לקבלת: F x = mgin( 6 π ) + μ mgco( π 6 ) = mg(in( 6 π ) μ co( π 6 )) a decending = g(in( 6 π ) μ co( π 6 )) ראשית נחשב את זמני הבלימה, כשהפעם נזכור כי המהירות ההתחלתית שלילית: 0 = ( 0. 3 ) t brae,ice t brae,ice = 6.6 [ec שזו תשובה לא פיזיקלית. למעשה, המכונית לא תצליח לבלום בירידה עם קרח על הכביש. 0 = ( ) t brae,no ice t brae,no ice = 3. [ec : x = x 0 t + כעת, נחשב את מרחק הבלימה באמצעות Δx acending,without ice = ( ) 3. = [m ג. הכוח השקול שפועל על המכונית הוא [N 800. תאוצת המכונית: a = = 0.8 [ m ד. הסיבה שקיימת מהירות מקסימלית, היא שהתנגדות האוויר תלויה במהירות וגדלה איתה, עד לרגע שבו הכוח הכולל שווה לאפס, ואז אין תאוצה והמהירות נשארת קבועה וכך גם התנגדות האוויר ולכן גם הכוח הכולל. כך, נפסקת התאוצה והמכונית מגיעה למהירות מקסימלית. הערה: ניתן להשתמש בשאלה זאת ה ) x v = v + a(x כדי לחשב מרחקי בלימה. 0 0 at 4 )א. ב. על מנת להסתובב עם הדבקה, עליו להיות בתנועה מעגלית קצובה שתדירותה היא 90 סיבובים לשנייה. חיכוך סטטי מאופיין על ידי כך שחיכוך סטטי מקסימלי יהיה. μ N אם כך,

5 נשתמש בכוח חיכוך מקסימלי בשביל המרחק המקסימלי מהמרכז. הכוח הכולל בציר הy יהיה אפס ולכן:. N = mg mg a g F x = f = μ = m a = μ בציר x לעומת זאת: = a. התדירות v r = ω r = ( πf) r = 4π על מנת שתתקיים תנועה מעגלית קצובה נדרוש: f r f = 90[ round min 60 [ min =.5[ round בהרץ נמצא על ידי המרה לסיבובים בשנייה: μ g = 4π f R max R max = π.5 = [m = 6.6[cm ג.בגרף אנו רואים כוח חיכוך שעולה עד לערך מקסימלי, ואז צו נח לערך נמוך יותר ונשאר בו. זה מתאים לחיכוך סטטי שמגיע לערך מקסימלי, ואז הגוף מתחיל לנוע והחיכוך הופך להיות חיכוך קינטי שהוא קבוע. את כוח החיכוך הסטטי המקסימלי, הערך B, הראינו בסעיף הקודם וכעת נחשב: B = f,max = μ mg = = [N 0.09[N ולכן: עבור התדירות שמתאימה, קל לראות כי זו התדירות מהסעיף הקודם (בסעיף הקודם דרשנו תדירות וכוח מקסימלי כדי למצוא מרחק, וכעת אנו דורשים את מרחק הזה והחיכוך המקסימלי לכן גם התדירות תהיה זהה). A =.5 =.5 [Hz ד. כן, ניתן למצוא את מקדם החיכוך הקינטי. כמו שראינו, מנקודה A ואילך פועל חיכוך קינטי, N = mg ומצאנו כבר כי, f = μ המטבע מתחיל להחליק). חיכוך קינטי נתון על ידי הביטוי N f = 0.77B = = = μ mg μ = דרך קצרה בהרבה היא פשוט להכפיל את מקדם החיכוך הסטטי ב ה. את כוח החיכוך הסטטי המקסימלי ואת כוח החיכוך הקינטי קל לחשב, שכן עדיין מתקיים : N = mg f,max,new = μ mnew g = 3 f,max,old = [N 0.088[N f,new = 3 f,old = 0.77 f,max,new = [N 0.068[N כעת נחשב את תדירות הסיבוב המקסימלית עבורה הגוף במנוחה ביחס לדסקה. m a = f,max,new a = ω r = 4π f r 4π f new Rmax = μ g f new = μ g =.5[Hz f = max ואנו רואים כי אנו מקבלים את אותה התוצאה. בעצם נקבל גרף ש"נמתח" בציר האנכי פי 3: 4π R

6 5) א. בעצם יש לנו 5 זריקות אופקיות בזוויות שונות. הדרך שבה נבדוק עבור כל תותח אם הוא הצליח לפגוע: נקבע את המיקום ממנו התחילה הזריקה האופקית (המיקום של קצה התותח). לאחר מכן, נבדוק עבור המרחק בין המיקום ההתחלתי לדופן הפריגטה מה הגובה בו נמצא כדור התותח. אם גובה הוא שלילי, זה אומר שכדור התותח פגע במים שלפני הפריגטה (התוצאה שתצא לא מייצגת את מה שקורה בפועל שכן מהרגע שהכדור במים פועלים עליו עוד כוחות, אבל זה לא משנה כי העיקר שפספס את הפריגטה). אם הגובה הוא [m 5 0 זה אומר שכדור התותח פגע בדופן של הפריגטה. אם יוצא ערך שגדול מ [m 5, נבדוק עבור המרחק בין תחילת הזריקה החופשית לדופן ה רחוקה של הפריגטה מה הגובה בו נמצא כדור התותח. אם הגובה גדול מ [m5 זה אומר שהכדור פספס ופגע במים אחרי הפריגטה. אם הגובה קטן או שווה ל [m5, כדור התותח פגע בסיפון. נתחיל לפי הסדר. נגדיר את המיקום שבו מתחילים כל התותחים כ 0 = x ואת פני הים כ = 0 y. תותח :. ( 0 +.5co3, 6 +.5in3 המיקום ההתחלתי: ) ( , = ). ( c o3, in3 המהירות ההתחלתית: ) ( , = ) הציר הx התנועה היא במהירות קבועה ולכן:

7 x left = 750 = x 0 + v t = t t left = = [ בציר הy פועל רק כוח הכובד: mg אבל לפי החוק השני של ניוטון, F = ma ולכן a = g כלפי מטה. וזה נכון לכל מסה. זו תנועה בתאוצה קבועה, ולכן: y left = y 0 t + at = tleft = [m כלומר, הכדור פגע במים לפני הפריגטה. תותח :. ( 0 +.5co4, 6 +.5in4 המיקום ההתחלתי: ) ( , = ). ( c o4, in4 המהירות ההתחלתית: ) ( , = ) gt left הציר הx התנועה היא במהירות קבועה ולכן: x left = 750 = x 0 + v t = t t left = = [ בציר הy פועל רק כוח הכובד: mg אבל לפי החוק השני של ניוטון, F = ma ולכן a = g כלפי מטה. וזה נכון לכל מסה. זו תנועה בתאוצה קבועה, ולכן: y left = y 0 t + at = t left = [m כלומר, הכדור פגע בדופן הקרוב של הפריגטה (+9 פאונד). תותח 3:.( 0 +.5co4.5, 6 +.5in4.5 המיקום ההתחלתי: ) ( , = ). ( c o4.5, in4.5 המהירות ההתחלתית: ) ( , = ) הציר הx התנועה היא במהירות קבועה ולכן: x left = 750 = x 0 + v t = t t left = = [ בציר הy פועל רק כוח הכובד: mg אבל לפי החוק השני של ניוטון, F = ma ולכן a = g כלפי gt left מטה. וזה נכון לכל מסה. זו תנועה בתאוצה קבועה, ולכן: y left = y 0 t + at = tleft = [m נחשב עבור הדופן הרחוקה יותר: x right = 760 = x 0 + v t = t t right = = [ בציר הy פועל רק כוח הכובד: mg אבל לפי החוק השני של ניוטון, F = ma ולכן a = g כלפי gt left מטה. וזה נכון לכל מסה. זו תנועה בתאוצה קבועה, ולכן: y left = y 0 t + at = tleft = [m 3.68 [m כלומר, הכדור פספס את הפריגטה. שני התותחים הנותרים כוונו גבוה יותר ולכן פספסו בוודאות. gt left

8 רק כדור אחד במשקל 9 פאונד יכול לפגוע בפריגטה, ולכן המלחים לא כיוונו כמו שצריך והפריגטה לא יכולה להיות מנוטרלת. ב. רק כדור התותח מהתותח השני מאיים על הפריגטה, ולכן רק תותח הלייזר שמולו יפעל. הלייזר נורה לאחר שנייה והפגיעה התרחשה לאחר שנייה נוספת. ראשית נראה לאן הגיע כדור התותח הרלוונטי לאחר שתי שניות: x ec = = [m g y ec = = [m r cannonball = ( , ) מכאן אם נשתמש ב = t, t = אזי נקבל כי ה"מיקום" של הטיל (אשר נע במהירות קבועה r mile = ( 750 c coθ, 6 + c inθ ) = ( 750 c coθ, 6 + c inθ) 750 c c oθ = c c oθ = c inθ = c inθ = t anθ = θ = c = in.54 = [ m [ [ m 6 m h והיא,c בזווית :( θ נחלק ביניהם: ומהירותם: F = ( 6 x + 8, 4 y 3 ); F = ( 3, 4 ); F 3 = ( y y, xy x ); F 4 = (, 0 ) x f : F = ( du, du (6 א. ) d W = F x d x + F y dy ואז. W = F נתחיל עם המסלול העקום: ב. tot d r x i y i W = 0 ( 6 x + 8)dx 0 y dy x x y 6 ) = [ [ = [ ( 4 [ = 3 W = 0 3dx 0 dy = [ 3x 4y ) [ 4 = [ ( 4 [ = 4 = 0 (y )dx (xy x )dy y = 0 (x )dx (y 3 y )dy = [ x5 x3 0 + [ 4 y 5 y x ( 04) ( 64) y f dx dy הפעם נציב : y = x, x = y = [ [ = = 63.0 W 4 = 0 0 dx 0 dy = [ x = [ 0 8 =

9 קל לראות כי חוץ מאשר ב, המסלול לא השפיע על התוצאה. הכוחות, F, הם F F 4 3 F כן תלויה. = 0 (y )dx (xy x )dy y משמרים והעבודה שלהם לא תלויה במסלול. לעומת זאת, העבודה של = 0 (6x x)dx ( y + 4 y)dy = [ 6x 3 3 x 0 + [ נחשב אותה כעת עבור המסלול הבא, על גבי הישר: : y = 4 x, x = 4 הפעם נציב y y y 0 4 = [ ( 64) [ = = 376 ובמסלול האחרון שמחולק ל : a = (y )dx (xy )dy ( 8 y + 4 )dy = [ 4y + 4y 0 4 = a = 48 y x x = b = 0 (y )dx (xy x)dy y = = 0,tot = = 48 y ) א. גם בשאלה זאת יש שימור אנרגיה. נמצא את המהירות של הכדור בנקודה B m g(h + H ) + 0 = m gh + B v = gh + B v v 0 B = gh + v 0 כאשר כיוון המהירות ככיוון המסילה בנקודה זו, אופקי. מכאן בעצם יש לנו זריקה אופקית: בציר הy מהירות התחלתית 0 ותאוצה g כלפי מטה, בציר הx מהירות התחלתית מה שמצאנו ותאוצה אפס. נבדוק כמה זמן ייקח לכדור להגיע לגובה 0: gt 0 = H t imp = H g x = v B t imp = gh + v 0 H = g 4hH + כעת נבדוק מה המרחק האופקי שהוא עובר בזמן זה: Hv 0 g נעלה בריבוע ונקבל: x Hv = 4 Hh + 0 g ב. כעת, חמושים במה שמצאנו בסעיף הקודם, נוכל לחשב בקלות את גובה השולחן: שיפוע הגרף הנתון הוא : 4H 4 H = 6 0 = 5 H =.5 [m Hv. 0 אם מציבים, אז h = 0 ג. גם כאן נשתמש בביטוי שמצאנו. נשתמש באיבר החופשי שלו, Hv = 0 g =.5v 0 g v = g 0 g מקבלים את האיבר החופשי. בגרף הנתון רואים ש = ) 0 = (h : x.5 v 0 = [ m.98 [ m

10 ד.כעת ידועים לנו המהירות ההתחלתית, הגבהים, והמרחק האופקי הרלוונטי. נחשב את מהירות הכדור בנקודה B, ונבדוק אם בהגיעו למרחק [m.5 הוא מתנגש בכדור מעל הקרקע: v B = gh + v = 0 g [m = = [ m 3.7 [ m גם פה יש זריקה אופקית. נמצא תוך כמה זמן הכדור עובר מרחק אופקי של.5 = t imp t imp = [ 0.40 [ נבדוק אם הכדורים עדיין באוויר בשלב זה (בציר האנכי לשני הכדורים אותם תנאים בדיוק: גובה התחלתי זהה, מהירות התחלתית 0 ותאוצה g כלפי מטה. לכן עד הפגיעה בקרקע הגובה של שניהם זהה ומספיק לבדוק אם אחד מהם עדיין באוויר כדי לדעת אם הם התנגשו לפני שפגעו בקרקע): y imp = H g t imp = [m 0.45 [m אכן הכדורים התנגשו באוויר, בגובה [m0.45 ולאחר [ ה. המהירות בנקודה B לא משתנה. כך או כך, אם הכדור נעצר אזי כל האנרגיה הקינטית שלו הומרה לאנרגיית חום: Δ Q = ΔE = W f = B = m ( gh + v ) 0 זו העבודה שמבצע כוח החיכוך אם הכדור נעצר בדיוק בקצה. עבודה מוגדרת להיות f = μ N = μ mg W f = x μ mg = m ( gh + v ) 0 μ =.5 g ( gh + g.5 ) = 3 h + 5, W = F Δ r ובמקרה הזה: 8) א. הכוחות היחידים שפועלים על המזחלת (כבידה, נורמלי) הם משמרים, לכן האנרגיה המכנית הכוללת נשמרת: mgh A = mgh B + B v = g(h ) [.90[ B A h B v B = g 5 = 98. = 9 m 9 m ב. להיות "חסר משקל" אומר שהכוח הנורמלי שפועל על המזחלת הוא אפס. במקטע העקום = a, אם כוח הכובד יהיה v r הזה המזחלת נוסעת על גבי מעגל. בתנועה מעגלית קצובה מתקיים שווה אז לא יפעל על הגוף כוח נורמלי (נתון שהמזחלת לא מתנתקת מהמסילה). m g = v r g = C 5 v C = 5g = = [ m 7.00 [ m בנוסף, גם בסעיף זה אין איבוד אנרגיה ולכן: mgh A = mgh C + C g = h C g + 5g h C =.5 = 9.5 [m ג. נשרטט את הכוחות שפועלים על הגוף: r

11 כדי שהמזחלת תישאר צמודה למסילה (וגיל צמוד למזחלת), סך הכוחות בציר המאונך לה צריך להתאפס, כלומר צריך להתקיים: N m gco53 = 0 N = c o53 = [N [N וזה מה שמורים המאזניים בנקודה E. ד. נשתמש במשפט עבודה אנרגיה. בעצם העבודה שנעשית על ידי הכוח הכולל כאן, m gin53, שווה להפרש באנרגיות הקינטיות. האנרגיה הקינטית בנקודה E היא אפס (כי f המזחלת נעצרת). עד לנקודה D מתקיים שימור אנרגיה, לכן נחשב מה המהירות של המזחלת כשהיא מגיעה לD : mgh A = mgh D + D v = g(h ) [ 4.69[ D A h D v D = g = 5.8 = m m ולכן ההפרש בין האנרגיות הקינטיות: ΔE = 0 D = 079 = W = F tot Δ r Δ r = את המרחק שהוא עבר נחשב באמצעות טריגונומטריה. = in53 ( mgin53 + f ) = 079 f = in53 f = [N [N ה. עבור מקדם חיכוך מינימלי ניעזר בביטוי לכוח חיכוך סטטי מקסימלי: f,max = μ N = μ m gco53 כאשר את המעבר האחרון הראינו בסעיף ג'.על מנת שהמזחלת לא תנוע לאחר שנעצרה התאוצה שלה צריכה להיות 0, כלומר הכוח הכולל צריך להתאפס: μ m gco53 m gin53 = 0 μ,min = t an53 = ) א. בין הנקודה A לנקודה B האנרגיה נשמרת: mgh A = B v = B gh A. W f = f l BC = ΔE כעת, בקטע המחוספס יש איבוד אנרגיה. עבודת כוח החיכוך: f = μ N = μ mg μ mg l BC = m ( v ) (v gh ) D v = m B D A

12 v = g(h ) D A μ l BC v D = g(h A μ l BC ) ב. כעת ניעזר בטבלה לשרטוט הגרף: g. נחלק ביניהם לדיוק טוב יותר: μ l BC השיפוע אמור לצאת, g והאיבר החופשי μ l BC = = [m 0.5 [m בגובה המינימלי הוא יגיע לנקודה D עם מהירות אפס: 0 = g(h A μ l BC ) H A = μ l BC = = [m 0.5 [m ג. נחשב את האנרגיות המכניות הכוללות בשתי הנקודות A וD וההפרש ביניהן יהיה עבודת כוח החיכוך. E A = mgh A = =.58 [J.6 [J בשביל נקודה D, נוציא מהגרף מה אמורה להיות המהירות שם עבור גובה זה. יוצא. v D כעת נחשב את האנרגיה המכנית הכוללת שם: = [ m 3.47 [ m E D = mgh D + D =.7908 [J.79 [J W f = E D E A = 0.367[J 0.37 [J ד. l BC = = [m.4 [m [ m.5. בציר האופקי מנקודה D ואילך זו ה. מהטבלה המהירות בנקודה D במקרה זה היא, v D ובציר האנכי תנועה עם תאוצה g ומהירות התחלתית תנועה במהירות קבועה של coθ. v D מהנתון אנו יודעים כי המרחק האופקי שעבר הגוף הוא [m 0.8 = והגובה של inθ 0.8 =.5coθ t t imp = 0.3 coθ gt 0. = inθ t 0.3 = inθ 0.3 coθ g ( coθ ) 0 =.5inθ 0.3 coθ g ( 0.3) coθ 0 = 0.8inθcoθ שלו יהיה [m 0.

13 in(θ) = θ = π [rad נציב inθcoθ = 0.5inθ