Prof. Yuri Lurie Dept. of Electrical and Electronics Engineering פרופ' יורי לוריא המחלקה להנדסת חשמל ואלקטרוניקה Tel: 97 966 67 Fa: 97 966 8 e-ail: lurie@ariel.ac.il הקורס החדש: "מערכות ספרתיות" "מערכות ספרתיות" )הישן( "תכן לוגי"
ש ( מבנה הקורס: הרצאות "ש( תרגול "ש( ש ( דרישות קדם : אין דרישות הקורס: הצלחה במבחן מבוא: מערכות ספרתיות. ייצוג מספרים: ייצוג מספרים לייצוג ספרות עשרוניות, קודים אריתמטיות בבסיס בינארי. אלגברת להצגתן רכיבים יחידות מבוא ;שיטת זיכרון. מיתוג מפות בוליאנית קרנו צירופיים: למעגלי עקיבה: בבסיסים שוני והעברת מספרים בין הבסיסים; קודים בינאריים אלפה-נומריים, קוד ;Gra ייצוג מספרים שליליים ופעולות ומעגלים (Karnaugh) צירופיים: פונקציות בינאריות לצמצום פונקציות; שערים לוגיים ומימוש וצורה קנונית מעגלים. יחידות אריתמטיות )מחברים, מכפילים(, משווים, בוררים, מפענחים, מערכת סינכרוניות וא-סינכרוניות, מכונות Meal ו- Moor, דיאגראמת מצבים וטבלת מצבים; פעולת מערכת א-סינכרונית ומרוצים. מערכות עקיבה סינכרוניות: רכיבי זיכרון מדורבנים )מסונכרנים(; צמצום מצבים של מערכת סינכרונית; מימוש מערכת סינכרונית. מעגלי עקיבה: אוגרים, יחידות זיכרון ומונים.
G. Langholz, A. Kandel and J.L. Mott: Foundation of Digital Logic Design, World Scientific (998). מקורות ספרותיים: ספר עזר: הנדסת אלקטרוניקה מתח, תש"ע - 9. ומחשבים: מערכות ספרתיות,
ייצוג הזמן ייצוג הזמן מערכת )אלקטרונית( ספרתית מערכת שמציגה אותות בצורה ספרתית שעון אנלוגי )תקבילי( שעון ספרתי זמן זמן המרה ראשונית )דגימה(, בדרך כלל, מוסיפה עיוותים לאות )רעשי דגימה( המשך הפעולות ניתן לבצע במדויק )שיחזור האות; העברת האות בתקשורת( עיבוד אות סיפרתי קל יותר וניתן לתכנות, כך שמערכת ספרתית אחת יכולה לבצע פעולות שונות בהתאם לתוכנות שונות )לדוגמה, מחשב(
Nuber sstes פרופ' יורי לוריא: מערכות ספרתיות פרק I: מערכות ייצוג מספרים Nuber sste מערכת ייצוג Decial Binar עשרונית בינארית בסיס המערכת ( r ) Sbols (digits) ספרות,,,,, 5, 6, 7, 8, 9, Octal אוקטאלית 8,,,,, 5, 6, 7 Headecial הקסאדצימלית 6 A (), B (), C (), D (), E (), F (5) nibble bit Bte 8 bit kbit bit bit kbte Bte Bte MBte kbte kbte GBte MBte Mbte TBte GBte TBte בסיס בינארי:
6 םלש רפסמ לש ךרע n לעב( :)תורפס ( ) ( ) n i i i n n n n r n n r r b r b r b r b r b b b b b N :תואמגוד ( ) 7 5 8 57 8 ( ) ( ) 6 967 6 5 6 6 6 9 9 F D A A D F ( ) ( ) 6 6 6 6 6 5 5 ( ) ( ) 5 5 5 r b i
7 םלש אל רפסמ לש ךרע n לעב( -ו םלש קלחב תורפס :)רבשב תורפס ( ) ( ). n i i i n n n n r n n r r b r b r b r b r b r b r b r b b b b b b b b N םלש קלח n( תורפס ) רבש ( )תורפס r b i
דוגמאות: --- ( 5.7) 5 7 - - ( AF. C ) 6 6 6 5 6 6 ( 975.76565) A F 6 C 6 ---- (. ) (. ) 85 --- ( 7.5) 7 8 8 8 5 8 8 ( 59. ) 8 58 8
העברת מספרים מבסיס לבסיס בסיס r בסיס t בסיס עשרוני לבצע החישובים בבסיס עשרוני ( N ) r ( bn bn b b. b b b ) r שבר שיטת המכפלה החוזרת חלק שלם שיטת החלוקה החוזרת 9
( 9 A D F ) ( ) 8 6 שיטת החלוקה החוזרת: ( 9 A D F ) 96 6 6 5 6 ( ) 6 967 A D F 967 8 955 8 69 8 77 8 9 8 9 955 69 77 7 5 967 9558 7 ( 9 A D F ) ( ) 8 6 57 8
--- (.8) ( ) 8 6 שיטת המכפלה החוזרת: (.8) 6 86 6 6 (. 5878965 ).5878965 8.75.75 8.565.565 8.5.5 8.. (.8) 6 (. ) 8
(.68) ( ).68.6 שיטת המכפלה החוזרת:.5.6.7.7.8.65.8.896.896.79 5 6.6565.79.58.58.68.68.6 7. 67875.6796875.6.67.67.. 686665 (.68) (. )
( 9 A D F.8) ( ) 8 6 ( 9 A D F ) ( ) 8 6 57 (.8) 6 (. ) 8 שילוב של שתי השיטות: )שיטת החלוקה החוזרת( )שיטת המכפלה החוזרת( ( 9 A D F.8) 6 ( 57.) 8
n( שלם( העברת מספרים בין בסיסים r n בסיס Decial r עשרוני Binar בינארי
Decial עשרוני 5 6 7 Octal אוקטאלי 5 6 7 Binar בינארי 5
F 5 E D C B A 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 Binar יראניב Headecial ילמיצדאסקה Decial ינורשע
( d ) ( b, b, b, b קוד ) d קודים בינאריים: קודים שקולים קודים לייצוג ספרות עשרוניות Decial Digit 5 6 7 8 9 סיביות( b b b b Binar Coded Decial ( 8 ) Aiken Code ( ) ( (,, ) ( 8 ), 8 8 ( ) BCD ( 6) ( ) ( ) ( ) 8 ( 6) ( ) BCD ( 7) ( ) 8 ( ) ( ) לא קיים : 6 6
השלמה ל- 9 : ( ) ( ) BCD ( ) ( ) BCD ( 5) ( ) BCD ( 9) ( ) BCD ( 7) ( ) BCD ( ) ( ) BCD ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( ) ( 9) ( ) ( 7) ( ) ( ) ( ) קוד שקול בעל השלמה ל- 9 : 9 8
קודים נוספים קוד לא שקול קוד שקול לא שקול בעל השלמה ל- 9 9 Decial Digit Ecess Bi-quinar 5 Two-out-of-five ( IBM 77 ) 5 6 7 8 9
:םייראניב םידוק Gra דוק םירפסמ גוצייל ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Gra BCD Gra BCD 7 8 7 Gra n n n n n n g g g g g b b b b b ) ( ) ( n g n b i i i i i b b b b g n b n g "" of odd nuber -,, "" of even nuber -,, i n i i n i i g g g g g g b ) ( ) ( b b b b b g g g g g n n n Gra n n n
Decial Nuber Gra 5 6 7 8 9 5 ( ) Gra ( ( ) ( ) ) Gra ( ) ( ( ) Gra ( ) Gra )
קודים בינאריים: קודים אלפא-נומריים ASCII: Aerican Standard Code for Inforation Interchange
EBCDIC: Etended Binar Coded Decial Interchange Code
םיילילשו םייבויח םירפסמ גוציי ( ) ( ). n i i i r n n r r b b b b b b b b N ןמיס תרפס n :יבויח רפסמ ינמיס ןיא \ -!!עובק טמרופ
מספר שלילי: שיטת "גודל וסימן" ספרת סימן ( N ) r ( N ) r ( ( r ) bn bn b b. b b b ) r ספרת סימן ספרת סימן ( 687 ) ( 6 8 7) ( 687) ( 9 6 8 7) (.) (. ) (.) (. ) ( A BC ) 6 ( A B C ) 6 ( ABC ) 6 ( F A B C ) 6 5 n i i ( N ) b r r i
מספר שלילי: שיטת משלים ל- ( - r) ספרת סימן ( N ) r ( N ) r ( ( r ) bn bn b b. b b b ) r bi ( r ) bi n r ( ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ). ( r ) ( r ) ( r )) r r ( 9 9 9 9. 9 9 9) ( ) ( ) ( n ) N r N r r r ( N ) r 6 n i i ( N ) b r r i יש לחזור לספרות של המספר החיובי!
ספרת סימן 9 9 9 9 משלים ל- ) - (r ספרת סימן ( 687 ) ( 6 8 7) ( 687) ( 6 8 7) ( 9 ) ( ABC ) ( A B C ) 6 FFFFFFF ( ABC ) 6 ( A B C ) 6 ( F 5 E D C) 6 6 7 (.) (. ). (.) (. ) (. ) בסיס בינארי בהשלמה ל- : מחליפים את כל הסיביות "" ב-" ", ו-" " ב-" "
( ) ( ) n N N r ( N ) ( N ) r r r מספר שלילי: שיטת משלים ל- r משלים r) ( ל r r ( N ) r ( N ) r ( ( r ) bn bn b b. b b b ) r bi ( r ) bi b r b ( r ) b ( N ) b r n i i r i יש לחזור לספרות של המספר החיובי! 8 ספרת סימן ספרת סימן 9 9 9 9 ( 687 ) ( 6 8 7) ( 687) ( 6 8 7) ( 9 )
( ABC ) ( A B C ) 6 FFFFFFF ( ABC ) 6 ( A B C ) 6 ( F 5 E D D) 6 6 משלים ל- r (.) (. ). (.) (. ) (. ) בסיס בינארי בהשלמה ל- : מתחילים מימין, ומשאירים את כל הסיביות של "" עד לסיבית הראשונה של "" שגם אותה משאירים; מתחיל מין הסיבית הבאה, מחליפים את כל הסיביות "" ב-" ", ו-" " ב-" "
תויטמתירא תולועפ 7 8 7 :ינורשע סיסב :ילמיצדאסקה סיסב :ןמיס אלל םירפסמ רוביח 9 8 9 6 7 6 6 6 9 (7) 8 (5) 6 () 6 5 B F E D C B A () () () () () () () () :יראניב סיסב
חיבור מספרים עם סימן: ( ) ( ) ( ) ( 66) ( ) ( ) ( ) ( 66) ( ) ( ) ( ) ( 8) חיבור וחיסור מספרים עם סימן זאת אותה הפעולה! ( ) ( ) ( ) ( 8) השוואה בין סימני המספרים השווה בין הערכים של המספרים סכום או הפרש המספרים סימן התוצאה... יותר מדאי פעולות! שיטת "גודל וסימן" לא פותרת את הבעיה!
( ) n ( ) ( ) ( ) n N r N N N r r r r r במקום! : שיטת משלים ל- r ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6) ( ) end carr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6) end carr
( ) ( ) ( ) 6 -ל םילשמ תטיש (r - ) : end carr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r n n r r r n r r r r r r r N N N r r N. ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) end carr
( ) ( ) : שיטת משלים ל- ( - r) ( ) ( 57) ( 75) ( ) שגיאת Overflow קיבלנו מספר שלילי! ( ) ( )( ) ( )( ) משלים ל ( )( ) ( )( ) משלים ל
5 :ןמיס ילעב םירפסמ לש הקולחו הלפכמ b a b a b a b a / / ןמיסה לשו טלחומה ךרעה לש האיצמ תולועפ!תודרפנ 5 5 5 5 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ל םילשמ ל םילשמ 5 5
6 5 8 8 9 5 7 8 9 8 6 8 9 5 8 8 9 5.767 7. 8
7 ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 7.. ( ) ( ) ( ) 7 767588 5. 5.75785 8 6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ל םילשמ ל םילשמ... 7 / 8
פרק :II אלגברת מיתוג בוליאנית ומעגלים צירופיים Input קלט פרופ' יורי לוריא: מערכות ספרתיות מערכת ספרתית Output פלט סיבית "" או "" "אמת" או "שקר" ענף מתמטיקה העוסק בערכים בינאריים הנו אלגברת מיתוג או אלגברה בוליאנית )86 - ב ול ג'ורג' )85 מתמטיקאי ופילוסוף אנגלי ממציא האלגברה הבוליאנית
פעולות חיבור, הכפלה והשלמה באלגברת מיתוג OR AND ניתן לבצע כל פעולה אפשרית באלגברת מיתוג באמצעות שלוש הפעולות ' NOT
סיכום: באלגברת מיתוג, כל משתנה וכל פונקציה יכולים "" או "" )משטנים ופונקציות בינאריים(. מוגדרות הפעולות של חיבור, הכפלה והשלמה. שימו לב: )!( משני אחד לקבל פעולת חיבור באלגברת מיתוג שונה מפעולת החיבור הרגילה! סדר הפעולות באלגברת מיתוג: פעולות בסוגריים; פעולות השלמה הכפלה חיבור ( z) w z שתי פונקציות של אותו מספר משתנים זהות, אם הערכים שלהן זהים בכל צירוף אפשרי של המשתנים. ערכים בדיקה: ע"י התמרות אלגבריות, או ע"י טבלת אמת
גותימ תרבגלא לש םייסיסב םיללכ.I ךופיהה יללכ.II הלופכ המלשה תלועפ ( ).III תוליפכה יללכ.IV ספאה יללכ.V הדיחיה יללכ.VI ףוליחה יללכ.VII ץוביקה יללכ ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z.viii גוליפה יללכ ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z
( ) ( ).IX כללי הצמצום ( ) ( ) X. כללי דה מורגן אוגוסטוס דה מורגן Augustus De Morgan 87-86
עקרון דואליות: מכל ביטוי נכון של אלגברת מיתוג ניתן לבנות ביטוי דואלי לו ע"י ההפיכה "" "" "" "" "" "" "" ""
שלמות פונקציונלית אוסף פעולות אלגבריות נקרא שלם פונקציונלית, אם כל פונקציה של אלגברת מיתוג ניתנת להצגה ע"י פעולות האוסף בלבד. פעולות שלם אוסף פונקציונלית },, { ( ) כלל דה מורגן: { }, אוסף פעולות שלם פונקציונלית ( ) אוסף פעולות שלם כלל דה מורגן: }, { פונקציונלית
NOR ( ) : ) NOT OR ( פעולת NOR ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : NOT : OR פעולת פעולת )לבד!( מהווה אוסף פעולות שלם פונקציונלית NOR פעולת NAND ( ) : ) NOT AND ( פעולת NAND ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : : NOT AND פעולת פעולת )לבד!( מהווה אוסף פעולות שלם פונקציונלית NAND פעולת
קבוע "" AND XOR OR ( ( NOR XNOR ( ( NAND קבוע "" פונקציות בינאריות של שני משטנים ל- n משטנים, קיימות n פונקציות בינאריות שונות F F F F F F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F F F F F F 5
7 תויראניב תויצקנופ לש ינונק גוציי לש היצקנופל תולפכמ n n :םינתשמ ( ) n n n n n n n ( ) ( ) j j j j n i b b b b b b i,,,, םיילאמינימ םירביא inters
8 n לש היצקנופל םימוכס n :םינתשמ ( ) M M M M M M n n n n n n n ( ) ( ) j j j j n i b b b b b b i M,,,, םיילאמיסקמ םירביא Maters
( 8 ) דוגמה: פונקציה של משתנים b b b איברים מינימאליים (inters) איברים מקסימאליים (Maters) z M z z M z z M z z M z z M z 5 5 z M 5 z 6 6 z M 6 z 7 7 z M 7 z 9
איברים מינימליים n- n n n n ( ) n n - 5
5 n- n - םיילמיסקמ םירביא n M M n M n ( ) n M n
5 ( ) ( ) ( ) ( ) : if onl i b b b n n n i ( ) ( ) ( ) ( ) : if onl i b b b M n n n i j i j i i j i j i M j i M M i j i i i i i M M
F( ) דוגמה: M M 5 M 5 6 M 6 7 7 F (, ) (,,, 7), הצגה קנונית סכום של מכפלות (SOP) Su-Of-Products
F( ) דוגמה: M M 5 M 5 6 M 6 7 7 F (, ) (,,5, 6), הצגה קנונית מכפלת סכומים (POS) Product-Of-Su
> ניתן פונקציה לכל לבנות טבלת אמת )POS( פונקציה כל קנוני לייצוג ניתנת סכום של מכפלות )SOP( או מכפלת סכומים F הרשימות המשלימות זו את זאת SOP POS, (, ) (,,,7) (,,5, ) 6 (, ) (,,5,6) (,,, ) F 7, i M M i i i 55
56
57
58 תויראניב תויצקנופ םוצמצ ( ) ( ) 5 5,,,5,,,,5,,, F AND ירעש 8 םע דחא לכ תוסינכ 8 םע OR רעש תוסינכ XNOR רעש םע דחא תוסינכ
59 ( ) ( ) 7 5 7,,,,5,,, F ( ) ( ) ( ) ( ) 7 5 7 ( ) 7 5 7 5 7 5 7,, F
6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 8 9 8 8,9,,,,, F םיילאמינימ םירביא 8 9 םימצמטצמו םהלש םיירשפאה םיכרעה לכ תא םירבוע םינתשמה
F (,,, ) (,5,6,7,,,,5) (,,,,,,, ) (,,, ) (, ) ( ) 6
שיטה גרפית של מפות Karnaugh מפת Karnaugh הנה טבלה של n משבצות )n מספר המשתנים של הפונקציה(. כל משבצת שייכת לאיבר מינימאלי או מקסימאלי אחד, כאשר המשבצות מסודרות כך שמעבר בין משבצת אחת לבין משבצת אחרת צמודה לה בשורה או בעמודה גורם לשינוי של סיבית אחת בלבד באינדקס האיבר. בכך, צירוף של שתי משבצות צמודות מוביל לצמצום משתנה אחד השייך לשינוי האינדקס במעבר בין שתי המשבצות. א' משתנה אחד 6
ב' שני משתנים 6
ג' שלושה משתנים 5 7 6 6
ד' ארבעה משתנים 5 7 6 5 8 9 65
66
5 ה' חמישה משתנים 5 7 6 5 8 9 5 6 7 9 8 8 9 67 5 7 6
68
ו' שישה משתנים האיור מתוך הספר: Design G. Langholz, A. Kandel and J.L. Mott: Foundation of Digital Logic
פונקציות ללא הגדרה שלמה פונקציה של n משתנים נקראת בעלת הגדרה מ- n ערכי הפונקציה; שאר ערכי הפונקציה לא שלמה, אם מוגדרים פחות יכולים לקבל כל ערך "" או.) don t care ( "" 7 F( ) X 5 X 6 7 X F (,, ) (,,,6) (,5, ) d 7 don' t care X X X
7 POS תגצהב תויצקנופ םוצמצ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,, M M F הנתשמה םצמטצה,ולש םיירשפאה םיכרעה לכ תא רבעש ) ( ( ) ( ) ( ) 7,,,5,6,,,, F
(,, ) (,6,7,5) (,,5,) (,,8,9,,,,) (,,5, ) F, d d (,6,7,5) (,,5,) (,,8,9,,,,) (,,5,) d ( ) ( ) d X X X X X X X X 7 SOP POS 5
F (,, ) (,,,,) ( 5,6,7,8) G, d ( 9,,,,,,5) ( 5,6,7,8) (,, ) (,,8,,) (,5,5), (,,6,7,9,,,) (,5,5) d d d F G F G FG???????? F F 7 G G (,,,,) ( 5,6,7,8) (,,8,,) (,5,5) (,) d (,5,8 ) (,,6,7,9,,,,,,5 ) d (,5,8 ) משותף "" "" d "?" "" "?" "?" הרשימה הכוללת... "" (,,,,) ( 5,6,7,8) (,,8,,) (,5,5) d d "?" "" "?" "?" (,,,,,8,,) ( 5,6,7,5) ( 9,,,) ( 5,6,7,5) הרשימה הכוללת... "" d "?" "" "?" "?" משותף "" "" d d "?" "" "?" "?"
שערים לוגיים Gates( )Logic בסיסיים ומימוש מעגלים ספרתיים AND XOR OR NOT NAND ( ) NOR ( ) ( ) ( ) XNOR (Equivalence) מניחים, כי קיימים שערים לוגיים עם כל מספר כניסות שנדרש
דוגמה: מסך 7 אלמנטים לייצוג ספרות הקסאדצימליות מערכת בקרה A B C DE F G DP 75
76 DP G F E D C B A 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 A B C D E 5 F
A (,, ), (,,,5,6,7,8,9,,,,5) A (,, ), 77
A (,, ) (,,, ), ( ) ( ) ( ) ( ) A (,, ), 78
D (,, ), (,,,5,6,8,9,,,,) D (,, ), 79
D (,, ) (,,7,, 5), ( ) ( ) ( ) ( ) D (,, ), 8
8 G F E D C B A 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 A B C D E 5 F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d A,,,,,5,,,,,,5,,,5,6,7,8,9,,, ךסמ :המגודה ךשמה גוצייל תוינורשע תורפס דבלב
A (,, ), (,,,5,6,7,8,9) (,,,,,5) d X X X X X X A (,, ), 8
8 ( ) ( ) 5,,,,,,, F F F I t II t III t ( ) ( ) ( ) 5,,,,,,, F תכרעמה לש תומר רפסמ :הלועפה תוריהמ
F (, ) (,5,6, 7), סיכון במעגל צירופי () F () זמני השהיה במסלולי )( ו-) ( שונים! F ( ) ( ) ( ) ( ) F F ( )() ( )() סיכון! 8 t
מניעת סיכון: F 85
86 ירעש תועצמאב תויצקנופ שומימ NAND -וא NOR דבלב ( ) ( ) k k n P P P P P P F...,,, * * * n l i P :SOP הגצה
l n P P F l n P P F P k P k ( ) 87
88
89 ( ) ( ) k k n S S S S S S F...,,, * * * n l i S :POS הגצה
l n S S F l n S S F S k S k ( ) 9
9
פרופ' יורי לוריא: מערכות ספרתיות פרק :III רכיבים צירופיים Binar Full Adder יחידות אריתמטיות מחבר בינארי שלם C z z (input carr) FA C (output carr) C S S (su) z ( C S) 9
S (,, z) (,,, 7) z z z z z C S 5 6 7 9 ( ) z ( ) z ( ) z ( ) z (,, z) (,5,6, ) C 7 ( ) z ( ) z z z
S (,, z) z ( ) C,, z ( ) z ( ) z S C z (input carr) FA C (output carr) 9 S (su)
bit Parallel Adder מחבר מקבילי סיבית C C C A B S C A B S C A B S A B S C B A B A B A B A FA C FA C FA C FA C C S S S S 95
96 P P P P C C ליפכמ תיביס bit ultiplier FA P P FA P P
bit ultiplier מכפיל סיבית FA FA FA FA FA FA P 6 P 5 P P P P
Coparators משווים ) bit coparator( דוגמה: משווה סיביות A A A A A ( A A A A ) A > B A B A < B bit coparator B B B B B ( B B B B ) 98
99 A B A B, A B, A B, A B,,,,, i B A B A B A B A B A B A X i i i i i i i i i i i i i B A B A X X X X E,,
A > B A >B A B, A >B A B, A B, A B, A >B A B, A B, A >B B A B A X B A X X B A X X X B A B A B A X X X B A X X B A X B A G,, A < B B A B A B A X X X B A X X B A X B A L,,
B B B B bit coparator A A > B A A A A B A < B A > B A B A < B G in E in L in E in X X X X E G in X X X X B A X X X B A X X B A X B A G L in X X X X B A X X X B A X X B A X B A L
משווה 8 סיביות coparator( )8 bit : A 7 A 6 A 5 A A A A A A > B A B A < B bit coparator A > B A B A < B A > B A B A < B bit coparator A > B A B A < B B 7 B 6 B 5 B B B B B
נתונים Multipleers מרבבים I I I... MUX n I (n -) n - sn- s s s F כתובת
I I I MUX F s s F I I I I s s I F ( s I s ) I ( s s ) I ( s s ) I ( s s ) מרבב n MUX F n k k ( s,, s, s s ) n, I k
5 ) ( ) ( ) ( ) ( I E s s I E s s I E s s I E s s F בברמ MUX הלועפ רושיא תסינכ )Enable( s s E F I I I I
I I I I MUX חיבור מרבבים: דרך כניסת Enable E s s F I I 5 I 6 I 7 s s s E MUX s s
I I I I MUX s s דרך מרבב נוסף I I 5 I 6 I 7 I 8 I 9 I I MUX s s MUX s s MUX s s s s F I I I I 5 MUX s s 7 s s
8 םיבברמ תועצמאב תויצקנופ שומימ ( ),,,, n k k n k I s s s s F ( ) ( ) 5 8 5,,,5,8,,,5,,, F MUX 6 5 6 7 8 9 5 s s s s
( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,,,5,8,,,5,,, 5 8 5 5 8 5 F
( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,,,5,8,,,5,,, 7 6 5 F MUX 8 5 6 7 s s s F
I כתובת I I I 7 I I 6 I 5 I I I I I כתובת I I 5 I 7 I 6
כתובת F (,, ) (,,,5,8,,, 5), כתובת
I I I I כתובת F (,, ) (,,,5,8,,, 5), I I I MUX F I s s
F (,, ) (,,,,5,,, 5), I I I I MUX s s F מסקנה: מרבב n MUX למימוש פונקציות של רכיבים נוספים. מאפשר מימוש פונקציות יותר משתנים באמצעות של ) n) משתנים או פחות. מרבב, n בדרך כלל נדרשים
(,,8,,) (,5, ) G(,,, ) d 5 כתובת : X X X : כתובת X X X 5
כתובת : X X X : כתובת X X X 6
: כתובת X X X MUX G s s 7
Decoders & Encoders מפענחים ומצפנים מפענחים )decoders( n... n- Decoder n E (enable) 5... - D D D D D D 5 D - n n מפענח שלם < n מפענח לא שלם 8 D i (,,, ) i,,, ( ) i n
n... n- Decoder n E (enable) 5... - D D D D D D 5 D - n n מפענח שלם < n מפענח לא שלם D i (,,, ) i,,, ( ) M i n 9
Decoder 8 E (enable) 5 6 7 D D D D D D 5 D 6 D 7 דוגמה: מפענח 8 D D D D D D 5 D 6 E D 7
Decoder 8 E (enable) 5 6 7 D D D D D D 5 D 6 D 7 דוגמה: מפענח 8 D D D D D D 5 D 6 E D 7
Decoder 8 E (enable) 5 6 7 D D D D D D 5 D 6 D 7 חיבור מפענחים: Decoder 8 E (enable) 5 6 7 D 8 D 9 D D D D D D 5
מימוש פונקציות באמצעות מפענחים (,,, n) ( ) i j k Di Dj Dk F n... n- Decoder n E (enable) 5... - D D D D D D 5 D - D D i j D k F
F (,,, n) ( ) Mi M j Mk Di Dj Dk n... n- Decoder n E (enable) 5... - D D D D D D 5 D - D D i j D k F
דוגמה: מימוש פונקציות של שלושה משתנים באמצעות מפענח 8 F F F (,, ) (,,,) (,5,6,7) (,, ) (,,,6) (,,5,7) (,, ) (,,6,7) (,,,5) Decoder 8 E (enable) 5 6 7 F F 5 F
F F F (,, ) (,,,) (,5,6,7) (,, ) (,,,6) (,,5,7) (,, ) (,,6,7) (,,,5) Decoder 8 E (enable) 5 6 7 F F 6 F
7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 7 5 7 5 7 6 5 7 6 5,,,5,,,,5,7,,,5,6,7,, M M M M F M M M M F M M M M F Decoder 8 E (enable) 5 6 7 F F F
8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 6 7 6 6 6,,6,7,,,,,6,,,,,,, M M M M F M M M M F M M M M F F F F Decoder 8 E (enable) 5 6 7
)DeMUX( מפענח בתפקיד DeMultipleer Decoder 8 E (enable) 5 6 7 D D D D D D 5 D 6 D 7 E DeMultipleer 8 5 6 7 D D D D D D 5 D 6 D 7 כתובת 9
I I I I I I 5 I 6 I 7 5 6 7 MUX 8 s s s I k k( ) D i DeMultipleer 8 5 6 7 D k I k i k
D i D j j i בו-זמנית "" רק בכניסה אחד! מצפנים :(Encoders( n כניסות D D D D D D 5 D - 5... - Encoder n... n- n- n יציאות דחיסה קידוד הצפנה...
דוגמה: מצפן אוקטאלי Encoder( (Octal יציאות כניסות D D D D D D 5 D 6 D 7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 7 5 5 7 6 7 6 5 D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D תוסינכ תואיצי D D D D D D 5 D 6 D 7 Priorit Encoder
Meor Devices רכיבי זיכרון Read Onl Meor (ROM) זיכרון נתון לקריא בלבד Decoder 8 E (enable) 5 6 7 F F F F F F (,, ) (,,,) (,, ) (,,,6) (,, ) (,,6,7) כתובת תוכן הזיכרון F F F ROM מילה בינארית bit
n n... n- Decoder n n 5... n - מערך חיבורים )מתוכנת או נצרב( n כתובות E (enable) -... ROM n bit 5 סיביות( יציאות )מילה בינארית באורך
חיבור מקבילי של יחידות :ROM ROM E (enable) 8 מילות בינאריות באורך 6 סיביות ROM E (enable) ROM 8bit 6
חיבור תורי של יחידות :ROM ROM E (enable) 6 מילות בינאריות באורך סיביות ROM 8bit ROM E (enable) 7
Decoder 8 E (enable) 5 6 7 F F F F F F 8 F F F (,, ) (,,,, ) (,, ) (,,5, ) 7,,,,, 6 ( ) ( ) 5
n כניסות Prograable Logic Arra (PLA) מערך חיבורים מערך חיבורים 9 יציאות
( ),,, F F F F ( ),,, F ( ),,, F F F F
Prograable Arra Logic (PAL) מערך חיבורים
F
פרופ' יורי לוריא: מערכות ספרתיות מבוא למעגלי עקיבה פרק :IV z n מעגל צירופי Cobinational circuit z z z z n מעגל עקיבה Sequential circuit יחידת זיכרון Y z z z יחידת זיכרון Y יחידת k זיכרון Y k
z Input n מעגל עקיבה קלט Sequential circuit z z z Output פלט Present state k יחידת זיכרון יחידת זיכרון יחידת זיכרון המצב הנוכחי Y Y Y k Net state המצב הבא PS {,,, k } NS { Y, Y,, Y k } PS NS PS' NS' t
n מעגל עקיבה Sequential circuit z z z z Y i Y i (,,, n ;,,, k ) i,,,k מכונת :Meal z i z i (,,, n ;,,, k ) i,,, יחידת זיכרון יחידת זיכרון Y Y מכונת :Moore z i z i (,,, k ) i,,, )יציאת המערכת אינה תלויה בכניסה הנוכחית( יחידת k זיכרון Y k שעון clock מערכת סינכרונית:
תיאור פעולה של מערכת עקיבה ע"י דיאגראמת מצבים או ע"י טבלת מצבים דוגמה: a / z b / c / d / e / מכונת מור (Moore) מערכת סינכרונית PS a b c d e a a b גלאי סידרה ללא חפיפה z PS a b c d e c d e z עם חפיפה
a / b / c / d / e / 8 PS NS z a a b b c b c d b d a e e c b טבלת מצבים גלאי סידרה ללא חפיפה גלאי סידרה עם חפיפה PS NS z a a b b c b c d b d a e e a b
/ z z / / / a f / / / / / e b / / / / / / / d c / / / 9 מכונת מילי (Meal) מערכת א-סינכרונית / NS / z z דוגמה: PS a / -- d / a / c / b / -- d / b / e / c f / / -- f / c / d f / d / b / / -- e f / / -- f / e / f f / d / f / e /
מעגלי עקיבה א-סינכרוניים z דוגמה: Y Y ( ) 5 Y z
Y z אופן הפעלת מערכת א-סינכרונית: הפעלה באופן בסיסי ode( )fundaental אין לשנות את הקלט מתוך מצבים לא יציבים אין לשנות שתיים או יותר סיביות של הקלט בבת אחת 5
Y Y Y / z / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 5 / / / / מרוץ )לא קריטי( מרוץ קריטי זמזם )buzzer( ליקויים במבנה המערכת
פרופ' יורי לוריא: מערכות ספרתיות פרק V: מערכות עקיבה סינכרוניות n מעגל עקיבה Sequential circuit z z z z מצב ג' מצב ב' מצב א' t שעון clock k יחידת זיכרון יחידת זיכרון יחידת זיכרון Y Y Y k כול המצבים של מתחלפים בו זמנית לפי אין מרוצים רכיבי הזיכרון פעימת השעון כל מצב המערכת מתקיים בין פעימת שעון אחת לבין הפעימה הבאה כול המצבים של מערכת סינכרונית הם "יציבים" )אין מצבים יציבים ולא יציבים(
צמצום טבלאות מצבים: שיטת שקילות מצבים מצבים שקולים מצבים זהים שני מצבים הם שקולים )זהים( זה לזה במידה ו: יציאות המערכת בשני המצבים הן יציאות זהות; המצבים הבאים אליהם המערכת עוברת מתוך שני המצבים, הם גם כן מצבים שקולים למצבים שקולים: מצב שקול לעצמו: A A B A,A B שקילות היא יחס קומוטטיבי )חילופי(: אם אז A C כלל משולש: אם וגם, אז B C A B 5
דוגמה: PS NS / z z a b / a / c / d / b c / b / a / d / c b / c / d / d / d c / d / b / a / a d b c A{a, d} B{b, c} PS NS / z z A B / A / B / A / B B / B / A / A / 55
b c d e f {b,g} {d,i} {c,e} g {a, f } h i {d, i} {h, i} PS a b c d e f g h i b / h / c / e / e / g / h / c / e / NS / z z i / a / g / h / g / d / f / h / d / f / b / d / a / i / a / b / f / a / c / e / h / g / i / e / e / b / b / {c, e} {a, f} {b, g} {d, h} {c, e} {b, g} {d, h} {a, f} a b c d e f g h
PS a b c d e f g h i b / h / c / e / e / g / h / c / e / NS / z z i / a / g / h / g / d / f / h / d / f / b / d / a / i / a / b / f / a / c / e / h / g / i / e / e / b / b / h g i איור שקילות מצבים a b c d f e 57 PS {a, f } A {b, g } B {c, e } C {d, h, i } D B / D / C / C / NS / z z D / A / B / D / A / B / D / A / C / C / D / B /
PS a b c d b / c / b / -- c / NS / z z a / -- b / c / d / c / a / -- d / / -- d / d / d / a / צמצום טבלאות מצבים: שיטת תיאום מצבים צמצום טבלאות מצבים בעלות גמישות פנימית רבה PS a b c d b / c / b / c / NS / z z a / b / c / d / c / a / d / d / d / d / d / a / אין מצבים שקולים PS a b c d b / c / b / c / NS / z z a / b / c / d / c / a / d / c / d / d / d / a / A{a, d} B{b, c}
b c {d, e} {a, b} PS a b c d e {a, d} d {a, b} e / a / d / -- / -- d / e {a, d} {a, b} a b c d NS / z z d / e / / -- d / / -- b / d / a / -- b / -- a / -- {a, d} {b, c} {b, e} {c, e} c / / -- c / / -- c / e איור מצבים תואמים a d דוגמה: c b 59 PS {a, d} A {b, c, e} B B / A / NS / z z A / B / B / A / B / B /
{a, d} {b, c, e} e איור מצבים תואמים a d c b שאינם תואמים a e d איור מצבים b q q q {a, b} {a, c} {a, e} {b, d} {c, d} {d, e} c q q 5 q 6 a( q ( k in), n ) k תנאי סגירה דוגמה: תנאי סגירה אינו מתקיים דוגמה: תנאי סגירה מתקיים PS A{a, b} B{c, d} a, b (a b, b a) a NS d c, d (c c, d d) PS A{a, b} B{c, d} a, c a NS d b, d
b c (d, e) d (c, f ) (c, f ) (d, e) e (d, e) (c, g) f (c, f ) (d, h) (e, h) (d, h) g (d, e) ( f, g) (d, e) PS a b c d e f g h ( f, g) (e, h) a / a / - a / / - a / a / - a / / - (e, h) NS / z c / - / - c / f / - g / - f / g / f / - (c, f ) ( f, g) h (c, f ) (d, h) ( f, g) (e, h) (e, h) a b c d e f g / - d / - e / - d / e / h / - e / - h / b / - b / / - b / - b / - / - / - b / - {a, b} {a, c} {a, d} {a, f } {a, h} {b, d} {c, f } {c, h} {e, f } {e, g} {e, h} { f, g} { f, h} { g, h}
g {a, b, d} {a, c, f, h} {e, f, g, h} איור מצבים תואמים a h b f d e איור מצבים שאינם תואמים a h b c g c f d e k a( q ) {b, c, e} {b, c, g} {c, d, g} PS a, b, d c e, f, g, h תנאי סגירה a a a NS c, f c f, g d e e, h b b PS a b c d e f g h a / a / - a / / - a / a / - a / / - NS / z c / - / - c / f / - g / - f / g / f / - / - d / - e / - d / e / h / - e / - h / b / - b / / - b / - b / - / - / - b / -
PS a, c b, d e, f, g, h a a a NS c f f, g e d e, h b b b PS a b c d e f g h a / a / - a / / - a / a / - a / / - NS / z c / - / - c / f / - g / - f / g / f / - / - d / - e / - d / e / h / - e / - h / b / - b / / - b / - b / - / - / - b / - PS NS / z A {a, c} A / A / C / - B / - B {b, d} A / - C / - B / B / C {e, f, g, h} A / C / C / B / - 6
רכיבי זיכרון סינכרוניים )flip-flop )דלגלג כניסות נתונים שעון Q Q' מצב Set מצב Reset Q Q 6
שיטות תזמון )סנכרון( של רכיבי זיכרון סינכרוניים Negative edge-triggered מתוזמן לירידת השעון Positive edge-triggered מתוזמן לעלית השעון Pulse-triggered מתוזמן לפולס (aster-slave) t כניסות נתונים Q כניסות נתונים Q שעון Q' שעון C Q' כניסות נתונים Q t setup t hold שעון 65 Q' t
D Q(t ) הטבלה האופיינית Characteristic table Q(t) Q(t ) D טבלת עירור Ecitation table D flip-flop דלגלג D Q(t ) D המשוואה האופיינית clock שעון D Q Q' clock שעון D Q Q' clock שעון D C Q Q' 66
Active-High SR flip-flop דלגלג SR פעיל בגבוה Q(t ) R' Q(t) S S R המשוואה האופיינית )בתנאי ההפעלה הנכונה!( S R Q(t ) Q(t) הטבלה האופיינית Characteristic table Q(t) Q(t ) S R טבלת עירור Ecitation table clock שעון S R Q Q' clock שעון S R Q Q' clock שעון S C R Q Q' 67
Q(t ) K Q(t) J Q (t) JK flip-flop דלגלג JK המשוואה האופיינית J K Q(t ) Q(t) Q (t) הטבלה האופיינית Characteristic table Q(t) Q(t ) J K clock שעון J K Q Q' clock שעון J K Q Q' טבלת עירור Ecitation table clock שעון J C K Q Q'
T Q(t ) Q(t) Q (t) הטבלה האופיינית Characteristic table Q(t) Q(t ) T טבלת עירור Ecitation table דלגלג T flip-flop T Q(t ) T Q(t) T Q (t) T Q(t) המשוואה האופיינית clock שעון T Q Q' clock שעון T Q Q' clock שעון T C Q Q' 69 T clock שעון J K Q Q'
Asnchronous inputs in flip-flop דלגלגים עם כניסות א-סינכרוניות clock שעון PreSet J K Clear Q Q' PreSet Clear לא מוגדר Set / Q(t) / ReSet / Q(t) / לא משפיע 7
דוגמה )ניתוח מעגל(: J Q z K Q' J Q z K Q' clock J K J K Y Y z z PS a a b b c c d d J K Q(t ) Q(t) Q (t) NS z z b a b a a a a a b b c c b a b a
: z : דוגמה )תכנון מערכת(: מסננת סיביות a / b / / / g e / / / / / d f / PS a b c d e f g NS / z b / b / e / b / g / b / b / c / d / c / f / c / c / c / c / / 7
b c d {d, f } e {e, g} f PS a b c d e f g NS / z b / b / e / b / g / b / b / c / d / c / f / c / c / c / g a b c d e f {a, f, g} 7 PS a b c d e NS / z b / b / e / b / a / c / d / c / a/ c /
Y Y Y / z a / / b / / c / / d / / e / / z ' ' 7 Y ' ' Y ( ' ' ) Y ' ' ' ' '
75 ןורכיז יביכרל תוסינכ )JK( :תוינייפוא תואוושמב שומיש. ( ) ( ) ( ) t J Q Q t K t Q ' ' ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' J K Y J K K ' ' ' J ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' J K Y J K ' K J ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' J K Y J K K ' ' ' J
Y Y Y J K J K J K. שימוש בטבלאות עירור: Q(t) Q(t ) J K J K ' ' J K ' J ' ' K '
J ' ' K J K ' J ' ' ' K z ' ' z J Q J Q J Q K Q' K Q' K Q' clock שעון 77
? {,, } הדלקה: כל מצב אפשרי! מה קורה במצבים J J ' J ' ' / / d e ' ' K K K / b / c ' / a Y Y Y J K J K J K J K J K J K מצבים מיותרים )מצבים ללא שימוש בהם( z ' ' מערכת מתחילה בעצמה: מכל מצב קיים במערכת )כולל מצבים "מיותרים" ללא שימוש בהם(, המערכת עוברת לפעולה תקינה שלה תוך מספר סופי של פעימות השעון
אם מערכת אינה מתחילה בעצמה?. הגדרה שרירותית של המצבים ה-"מיותרים" PreSet Y Y Y J K J K J K clock שעון J K Q Q'. שימוש בכניסות א-סינכרוניות של רכיבי זיכרון )איפוס בתחילת הפעולה( Clear
I )parallel registers( S Q I רכיבי זיכרון: אוגרים מקביליים S Q פרק פרופ' יורי לוריא: מערכות ספרתיות :VI מעגלי עקיבה I R S Q' Q I R S Q' Q Clear פעולה איפוס א-סינכרוני של הזיכרון R Q' R Q' פעולה רגילה I clock S R Q Q' Load Clear I clock S R Q Q' Load פעולה שמירת מצב הזיכרון שמירת נתונים חדשים
A B מערכת מערכת I S Q I S Q R Q' R Q' I S Q I S Q R Q' R Q' I S Q I S Q R Q' R Q' Load Clear clock Load Clear
רכיבי זיכרון: אוגרי הזזה registers( )shift Serial Input D Q D Q D Q D Q Serial Output CL CL CL CL Clock Clear Serial Input D Q D Q D Q D Q Serial Output CL CL CL CL Clock Clear 8
control Serial Input (shift right) I I I I MUX MUX MUX MUX Serial Input (shift left) s s No change Shift left Parallel load D Q D Q D Q D Q Shift right CL CL CL CL Clock Clear Serial Output (shift left) Serial Output (shift right) z z z z
control A B מערכת מערכת SI SO SI SO clock 8
מפענח MAR זיכרון נתון לקריאה ולשמירת נתונים Read-Write eor Rando Access Meor (RAM) Store Load MAR Meor Enable I Y S E I Y S E I Y S E I Y S E I Y S E I Y S E Input Store יחידת זיכרון Meor Cell D Q Output ( Y ) I Y S E I Y I Y S E I Y I Y S E I Y S E S E S E Enable R / W I Y Load MBR S E MBR D Q D Q D Q
מפענח MAR Store Load MAR Meor Enable I Y S E I Y S E I Y S E I Y I Y I Y S E S E S E I Y I Y I Y S E S E S E I Y I Y I Y S E S E S E קריאה מתוך הזיכרון Read R / W Load MBR 86 D Q D Q D Q
מפענח MAR Store Load MAR Meor Enable I Y S E I Y S E I Y S E I Y I Y I Y S E S E S E I Y I Y I Y S E S E S E I Y I Y I Y S E S E S E שמירה בזיכרון Write R / W Load MBR 87 D Q D Q D Q
s 7 s s מונים )counters( יציאה PS NS s s s s 6 s s s s s s s s 5 s s s s s s s 5 s s 5 s 6 s 5 Modulo od-8 Modulo n Natural odulo מודול טבעי s 6 s 7 s 6 s 7 s s 7 איתות סיום מחזור כניסה Counter יציאת איתות Mod-8 סיום מחזור מצב המונה
Counter Mod-8 Counter Mod-8 5 מונה od-6 חיבור מונים: od- od-n od-( n) שימוש במונים: ספירת פעימות; מדידת תדר של פעימות )מספר הפעימות חלקי משך הזמן(; חלוקת תדר של פעימות. 89
מונה סינכרוני מעגל סינכרוני רגיל בתפקיד של מונה מונים מונה א-סינכרוני )מעלה אדווה counter )ripple מעגל סינכרוני בנוי דלגלגים,)flip-flops( בחלק מין הדלגלים לא מחוברות לשעון ביציאות של דלגלגים אחרים אמנם כניסות החיצוני אלה השעות תלויות Clock (count pulses) T CL Q T Q T Q CL CL T CL Q Clear z z z z 9 מונים טבעתיים מונים מתבססים אוגרי הזזה )ring counters(
clock Clock (count pulses) T CL Q T Q T Q CL CL T CL Q מונה א-סינכרוני ripple counter Clear z z z z t z z z z 5 6 7 8 9 5
clock Clock (count pulses) T CL Q T Q T Q CL CL T CL Q ספירה לאחור down counting Clear z z z z t z z z z 5 9 8 7 6 5 5
) up / down counting ( \ מונה אוניברסאלי: ספירה רגילה לאחור Control ) up, down ( Clock (count pulses) T CL Q Q T CL Q Q T CL Q Q T CL Q Q Clear z z z z t Δt Δt Δt Δt Δt Δt Δt Δt השהיה מצטברת לאורך המונה
clock Clock (count pulses) T CL Q T Q T Q CL CL T CL Q מונה od- z z z z clear t z z z z 5 6 7 8 9 5 6 7 8
MUX 6 Decoder 6 Clock (count pulses) T CL Q T Q T Q CL CL T CL Q Clear z z z z s s s s 5 6 7 8 9 5 5 6 7 8 9 5 MSB LSB Modulo selection
z z z z Count pulses TPRQ TPRQ TPRQ TPRQ CL CL CL CL Load I I I I 96 Load Count pulses z z z z Pre-settable Counter I I I I
Load Count pulses z z z z Pre-settable Counter I I I I Load Count pulses z z z z Pre-settable Counter I I I I od-5 מונה מונה od-5,,,, הסופר ברצף: הסופר ברצף: 5, 6, 7, 8, 9 97
Serial Input PR Q D D Q D Q D Q Serial Output מונה טבעתי ring counter Clock CL CL CL Load מונה טבעתי כפול twisted ring counter Serial Input D Q D Q D Q D Q Serial Output CL CL CL CL Clock Load
Y Y Y T T T T T T מונים סינכרוניים דוגמה: מונה od-8 )מודול טבעי( z z z יציאת איתות סיום מחזור T Q T Q T Q 99 Count pulses
)od-( דוגמה: מונה עשרוני קוד BCD Y Y Y Y J K J K J K J K Q(t) Q(t ) J K 5 6 7 8 9
Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ
J K J J J ' K K K J Q K Q z J Q K Q z J Q K Q z Count pulses J Q K Q z
J K J K J K J K Y Y Y Y 5 ' K J K J K J K J
Count pulses 5 6 7 8 9 חלוקת תדר: Tc f c t T c f f c T c f f c t t 6 8 לא מחזורי c f T f c t t
z 5 5 6 7 8 9 z Χ Χ Χ Χ Χ Χ 5 Count pulses מספר מתחלק ב:,5, חלוקת תדר פי 5? מונה BCD z z z z f c f c f c z 5 f c 5