. שאלה 1: ה אי x] T : R 4[ x] R 4[ אופרטור ליניארי מוגדר על-ידי T( ax bx cx d) bx ax cx c )13 נק'( א( מצאו את הערכים העצמיים, המרחבים העצמיים

תמליל

1 שאלה : ה אי x] : R4[ x] R4[ אופרטור ליניארי מוגדר על-ידי ( ax bx cx d) bx ax cx c )3 נק'( א( מצאו את הערכים העצמיים המרחבים העצמיים והפולינום המורכב מוקטורים עצמיים של R [ [x האופייני של מצאו בסיס של 4 )6 נק'( ב( בדקו האם הפיך מצאו את כל הפולינומים f ( x) ax bx cx d B[ V ] 03 ax bx cx d 0 0 ( ) 0 0 B[ V ] ( ) 0 0 ( ) 0 ax bx cx d f x x x x ( ) כך ש )) ( ( עבור כל ואת n N ax bx cx d )6 נק'( ג( מצאו את מצאו את n ( ) פתרון חלקי א( נבחרו בסיס ( x x x) [ ] x x x x x x x 0 0 x 0 0 xi [ ] dt( ) ( x )( x ) x ( x ) ( x ) x 0 0 x x ( xi [ ] ) x 3 ( ) ( ) ( ) () 0 V נחשב המרחב העצמי המערכת נציב ואחורי הדירוג במטריצה ונקבל u u 0 u u ו ( xi [ ] ) x V ( I [ ] ) u 0 נחשב המרחב העצמי המערכת נציב ואחורי הדירוג במטריצה ונקבל u u 0 u u 0 ו 3 4 ( xi [ ] ) x 0 ( I [ ] ) u 0 V 0 נחשב המרחב העצמי המערכת נציב ואחורי הדירוג במטריצה ו ונקבל 0 0 B[ V 0 ] ( ) 0 a ( x x x x x ) u u u3 0 [ ] u 0 R [ x] 4 בסיס של המורכב מוקטורים עצמיים של הוא

2 הערה שיטה מהגדרה של נובע כי () 0 ( x ) x ( x x ) x x ( x x ) ( x x ) אזי הערכים העצמיים של ) ( x ) ( x ובסיס של x הם 0 ה פולינום האופייני של R המורכב מוקטורים עצמיים של הוא הוא [ x] 4 a x x x x x ( ) d ) Kr( ) {0} b a c 0 ב( לא הפיך מפני ש )ז"ר ו- k 0 ax bx cx d bx ax cx c x x x ( ) f ( x) x x x d f x x x x Kr x x x Span ( ) ( ) () D D D חופשי שיטה ג( שיטה k 03 k 03 D D D k 0 k ( ax bx cx d) bx ax cx c k ( ax bx cx d) ( ax bx cx d) ( bx ax cx c) ax bx cx c ( x ) ( x ) ( x ) x k 0 3 n 00 () () () 0 ( x ) ( x ) ( x ) x k 03 3 שיטה x x x x n 00 ( ) ( ) ( ) k k k k k ( ax bx cx d) a ( x ) b ( x ) c ( x) d () bx ax cx c ( x ) ( x ) ( x ) x k 0 ( x ) ( x ) ( x ) x k k k k k k ( ax bx cx d) a ( x ) b ( x ) c ( x) d () ax bx cx c v v v3 v4 שיטה 3 שמצאנו בסעיף א ו- D כאשר a a היא מטריצה אלכסונית מסעיף א הם ווקטוררם [ ] [ I] D [ I] n a n a a a [ ] [ I] [ ] [ I] [ v v v v ] D[ v v v v ] n n [ ( ax bx cx d)] [ ] a b c d ו- שאלה : U ( ) 3 4 ידוע כי יהא מעל הוא בסיס אורטונורמלי של מרחב מכפלה פנימית אופרטור ליניארי המוגדר על-ידי : U U C ( a a a a ) ( ia a ) ( ia ia ) ( a ia ) ( a a ) Kr( ) )9 נק'( א( מצאו בסיס אורתונורמלי ל-

3 של הווקטור pr ( ( ) ) Kr ב( מצאו את ההיטל אורתוגונאלי ( Kr ) ל- )8 נק'( * *( ) 3 ג( מצאו את כאשר זהו האופרטור ליניארי הצמוד של )8 נק'( לשם כך אפשר לכתוב את המטריצה המייצגת את לפי הבסיס פתרון: א( ראשית נמצא את ולמצוא את מרחב הפתרונות ( או ה'גרעין' של המטריצה( מתקבלת המטריצה הבאה: נמצא )הערה: יש כאלה שכתבו שמכיוון ש- בסיס וקטור כללי בגרעין אם ורק אם המקדמים של בפיתוח לפי הבסיס שמופיע בשאלה מתאפסים זו טענה שקולה לגמרי ומערכת המשוואות המתקבלת נותנת את אותה המטריצה( דירוג המטריצה או חישוב ישיר מעלים שהגרעין הוא חד מימדי ואפשר לכתוב: היא 0 המרחב הניצב ל- מורכב מהוקטורים שמכפלתם עם הוקטור בהמשך נרצה לעבוד עם וקטורי קואורדינטות לפי הבסיס כדי להקל על החישובים כך למשל הוקטורים במרחב הניצב הם אלה שוקטורי הקואורדינטות שלהם לפי הבסיסהנתונים ע"י מקיימים: כלומר: בעזרת התנאי הזה אפשר למצוא בסיס למרחב המורכב מ- 3 וקטורים למשל: כאשר מתקיים: )זכרו שהמרחב הניצב צריך להיות תלת מימדי במקרה שלנו( Kr( ) קל לראות ששלושת הוקטורים הם בלתי תלויים לינארית ושייכים ל- לשם נוחות כדי לקבל בסיס אורתונורמלי מבצעים את תהליך גראם שמידט על הבסיס שקיבלנו עם המכפלה הסטנדרטית לבין המרחב החישוב נבצע אותו על וקטורי הקואורדינטות )נזכיר שההעתקה ממרחב מכפלה פנימית n -מימדי מעל בסיס אורתונורמלי היא איזומורפיזם של מרחבי מכפלה כאשר המתקבלת מההתאמה פנימית ו אין בעיה לבצע את החישובים על וקטורי הקואורדינטות בהמשך לא נדייק ונסמן את וקטורי הקוארדינטות כמו את הוקטורים עצמם( ראשית מנרמלים את הוקטור הראשון ומקבלים עתה את במילים אחרות בגלל האופן שבו נבחר הבסיס צריך רק לנרמל

4 לבסוף נכתוב: מתקיים: הוקטור כבר מנורמל ו- : לסיכום נכתוב את הבסיס האורתונורמלי למרחב הניצב לגרעין של כוקטורים ב- הערה: הבסיס האורתונורמלי שמתקבל תלוי בבסיס הרגיל שבחרנו למרחב הניצב ושעליו ביצענו את תהליך גראם-שמידט אין כמובן פתרון יחיד לשאלה כי יש אינסוף בסיסים אורתונורמליים למרחב ב(ההיטל של למרחב הניצב נתון ע"י pr ( ( ) ) Kr לשם נוחות החישוב נעבור שוב לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הנתון: pr ( ( ) ) Kr = או באופן יותר מדויק: pr ( ( ) ) Kr דרך אחרת למצוא את ההיטל על המרחב הניצב לגרעין היא לחסר מ- לגרעין: pr ( ( ) ) Kr את ההיטל שלו

5 לשם כך צריך למצוא בסיס אורתונורמלי ל- וזה נתון למשל )בקואורדינטות( ע"י מזה נובע ש- ג( ראינו כבר בפתרון סעיף א' שהמטריצה המייצגת את לפי הבסיס היא מכיוון ש- בסיס אורתונורמלי מתקיים: ו נובע מכאן שבקואורדינטות לפי הבסיס מתקבל: ומכאן נקבל: שאלה 3 ast i ומצאו בסיס st כך שלכל 7 [ ast ( 3 נקי( א( תהא C) ] AM7 7( האם A לכסינה? אם כן מצאו מטריצה אלכסונית D הדומה ל- A 7 של C המורכב מווקטורים עצמים של A אם לא נמקו מדוע לא s s ast i st כך שלכל 0 [ ast ( נקי( ב( תהא C) ] AM0 0( האם A לכסינה? אם כן מצאו מטריצה אלכסונית D הדומה ל- A ומצאו בסיס 0 של C המורכב מווקטורים עצמים של A אם לא נמקו מדוע לא

6 שאלה : R) A M ( כך ש rank( A) אזי בהכרח מתקיים: 33 נתונה מטריצה א מטריצה A ניתנת לליכסון 3 b למערכת המשוואות הליניאריות Ax b קיים פתרון ב לכל R 0 dt( A ) dt( A) ג ד צורה קנונית של A שווה ל- I )מטרצת יחידה( rank ( A) 3 0 פתרון חלקי dt( A ) dt( A) 0 מפני ש S : R R 0 0 שאלה : נתונה העתקות ליניאריות S א S ב ו- 0 S אז בהכרח לא מתקיים: dim(im( )) dim(im( )) 03 dim(im( )) dim(im( )) 03 dim( Kr( )) dim( Kr( S)) 03 dim( Kr( )) dim( Kr( S)) 03 ג ד dim(im( )) dim( Kr( S)) Im( ) Kr( S) פתרון חלקי S 0 dim(im( )) dim(im( S)) dim( Kr( S)) dim(im( S)) 0 03 R dim(im( )) dim(im( S)) 03 בסיס אורתונורמלי במרחב מכפלה פנימית E מעל ( ) a x a x : E R a ( ) a E שאלה יהא לכל נגדיר טרנספורמציה ליניארית ע"י זו המכפלה הפנימית( אז בהכרח מתקיים: )כאשר ( a x) a x Im( a ) R Im( a ) R Im( ) Im( ) R א( ב( ג( ד( חד-חד ערכי Im( ) 0 a Im( a ) R אם ורק אם R הוא תת מרחב של Im( a פתרון חלקי ) a הגדרה של המכפלה הפנימית Im( ) Im( ) Im( ) Im( ) R או a 0 ולפי Im( ) 0 שאלה 4: ( ) 33 נתונה מטריצה א הוא לא ערך עצמי ב כך ש ( I) עם ריבוי אלגברי rank A אזי בהכרח מתקיים: A A M R

7 A ג ד עם ריבוי גיאומטרי A עם ריבוי גיאומטרי dim(im( AI)) פתרון חלקי rank( AI) המימד של המרחב העצמי ששייך A dim( Kr( A I)) 3 לערך עצמי שווה עם ריבוי גיאומטרי * I : U U שאלה 5: יהא U מרחב מכפלה פנימית ויהא p של אז הפולינום האופייני (x ( א ) ( x ב האופרטור הליניארי כך ש יכול להיות xx ( ) ( x 4) xx ( ) ג ד פתרון חלקי מודול של ערך עצמי של אופרטור אוניטרי שווה 0 הם לא ערכים עצמיים של ו- i i יכולים להיות ערכים עצמיים של ) ( x יכול להיות הפולינום האופייני של