מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: סמסטר: א תשע"ח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מו

תמליל

1 מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: סמסטר: א תשע"ח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מורכבת מ- 6 שאלות. כל שאלה מזכה ב- 20 נקודות כך הנקודות מתחלקות באופן שווה סעיפי השאלה. יש להשיב על 5 שאלות בדיוק אשר תשובה ללא נימוק נחשבת כשאלה ללא תשובה. )2( אין להשתמש בחומר עזר כלשהו וגם לא במחשבון. )3( נא לכתוב בעט שחור או כחול בלבד. )4( אין להעתיק אף שאלה משאלות הבחינה רק לציין את מספרה. שאלה 1: סטודנטים של קורס במתמטיקה דיסקרטית החליטו לחגוג את חופשת סוף הסמסטר. הם נפגשו בקפה דשה והתיישבו סביב m שולחנות עגולים שונים, בכל שולחן יש בדיוק m משובים זהים מסביב לשולחן, כאשר m הוא מספר טבעי. מצאו את מספר האפשרויות להושיב את סטודנטים אשר כל אחד על מושב יחיד בכל סעיף מהסיעפים הבאים: א( ב( ג( ד( ללא תנאים נוספים. יוני ו- יונית שהם מקבוצת הסטודנטים לא ישבו אחד ליד השני. הסטודנטים התיישבו כמו בסעיף א ביום ראשון אך למחרת ביום שני, הסטודנטים התיישבו כך שאין מעגל שבו התיישבו הסטודנטים כמו ביום ראשון. בהנחה של אותה שאלה אך השולחנות הם לא עיגולים, אך שורות וניתן להשיב על כל שולחן m אנשים רק מצד הימין. שאלה 2: )א( גרף G נקרא חד-מעגלי אם הוא גרף קשיר עם מעגל יחיד. יהי G גרף סופי עם קודקודים. הוכיחו G הוא חד-מעגלי אם ורק אם G מכיל בדיוק קשתות. )ב( נתונה קבוצה T בת 10 סטודנטים מקורס אלגברה ליניארית כאשר ידוע שכל סטודנט כזה יש בידו לפחות שקל אחד ולכל היותר 100 שקלים. הוכיחו כי קיימות שתי תתי קבוצות זרות כך שסכום הכסף הנמצא בידי הסטודנטים בקבוצה הראשונה שווה לסכום הכסף הנמצא בידי הסטדונטים בקבוצה השנייה. k=0. k( k)( k )2 שאלה 3: )א( הוכיחו קומבינטורית את השוויון הבא: )ב( ניסחו בעיה קומבינטורית שהפונקציה היוצרת שלה היא = 2 ( ) f(x) = (x + x 2 + x 3 + )(x 2 + x 4 + x 6 + )(x 2 + x 4 + x 6 + )(x + x 2 + x 3 + ) )ג( מצאו את המקדם של x בפונצקיה היוצרת f(x) הנתונה בסעיף )ב(. )ד( נתונה סדרה a המוגדרת על ידי כלל הנסיגה 2 a = 3a 1 + a עם תנאי התחלה = 3 1.a 0 = 1, a ניסחו בעייה קומבינטורית שעוצמת איבריה נתון על ידי a.

2 א) ב) ג) ד) ב) ג) ד) a שאלה 4: נתון ארנב הנמצא על ציר x בנקודה 0. ארנז זה קופץ או בבת אחד 3 צעדים ימינה או 5 צעדים ימינה )אורך כל צעד בדיוק 1 יחידה(. ארנב יכול להחליט אחרי כל קפיצה ימינה או הוא קופץ שוב ימינה באותם תנאים, או לקפוץ שמאלה צעד אחד בידוק. תהי מספר האפשרויות שהארנב מגיע לנקודה..a ) כתבו את ערכי הסדרה a כאשר = 0,1,2,3,4,5 ) מצאו כלל נסיגה לסדרה a.. A(x) = 0 ) מצאו את הפונקציה היוצרת a x ) אם הארנב החליט לא לקפוץ שמאלה באף שלב, אז מה הייתה הפונקציה היוצרת של הסדרה שאלה 5: נועם הנמצא בראשית הצירים על השריג לצעוד או ימינה או למעלה בלבד. Z 2 רוצה לבקר את ההורים שלו הנמצאים בנקודה (q,p), נועם יכול )א( מצאו את מספר האפשרויות למסלולים שונים שנועם יכול ללכת מראשית הצירים עד להגיע להורים שלו. ) מצאו את מספר האפשרויות למסלולים שונים שנועם יכול ללכת מראשית הצירים עד להגיע להורים שלו כך שהוא לא יפגוש החבר שלו הנמצא בנקודה j) (i, כאשר i p, 0 j q.0 ) נניח ש p. = q = ונניח שנועם לא יכול לצעוד שני צעדים ימינה רצופים. מהו מספר המסלולים שנועם יכול ללכת מראשית הצירים עד הנקודה (,). ) נניח ש p = q = ונניח שנועם אינו יורדת מתחת האלכסון y. = x מהו מספר המסלולים שנועם יכול ללכת מראשית הצירים עד הנקודה (,) כך שיבקר את החברה שלו הנמצאת בנקודה (d,d) כאשר d 0. שאלה 6: יהיו,P Q שתי חלוקות של קבוצה { A. =,1,2}, נאמר שקבוצה P היא עידון של קבוצה Q אם ורק אם לכל איבר S P קיים T Q כך ש-.S T א. הראו P עידון של Q אם ורק אם R P R Q כאשר R P, R Q הם היחסים המושרים מהחלוקות P, Q בהתאמה. ב. תהי A קבוצה כלשהי ו H כל החלוקות האפשרויות של A. נגידר R יחס בקבוצה H על ידי PRQ אם ורק אם P עידון של Q. כתבו במפורש את היחס R כאשר = 4. ג. הוכיחו שהיחס R הוא יחס טרנזיטיבי. ד. הראו שהיחס R הוא יחס סדר חלקי. בהצלחה

3 מועד: ב בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: סמסטר: א תשע"ח הוראות לנבחן: )1( הבחינה מורכבת מ- 6 שאלות. כל שאלה מזכה ב- 20 נקודות כך הנקודות מתחלקות באופן שווה סעיפי השאלה. יש להשיב על 5 שאלות בדיוק אשר תשובה ללא נימוק נחשבת כשאלה ללא תשובה. )2( אין להשתמש בחומר עזר כלשהו וגם לא במחשבון. )3( נא לכתוב בעט שחור או כחול בלבד. )4( אין להעתיק אף שאלה משאלות הבחינה רק לציין את מספרה. שאלה 1: נתונה מטריצה של שתי שורות ו עמודות. כל איבר מאיברי המטריצה הוא מספר מהקבוצה {2,,1,2} אשר מופיע בדיוק פעם אחת. א( כמה מטריצות אפשריות יש? ב( כמה מטריצות יש כך שאין עמודה שבה מופיעים שני מספרים מהקבוצה {,,1,2}. ג( כמה מטריצות יש כאשר המספר,j + j לא מופיעים באותה עמודה לכל j. =,1,2, ד( כמה מטריצות יש כאשר השורה השנייה היא סדרה עולה ממש. ה( כמה מטריצות יש כאשר אין מספר זוגי המופיע בעמודה זוגית. שאלה 2: )א( הוכיחו שבכל צביעה של קשתות הגרף השלם K 6 בשני צבעים אדום וכחול יש משולש שכל הקשות שלו צבועות אדום או יש משולש שכל הקשות שלו צבועות כחול. )ב( נתון גרף (E G =,V) סופי כאשר 2 V וכן כי ב G יש קודקוד יחיד עם דרגה 1 ודרגת כל קודקוד אחר היא לפחות 2. הוכיחו כי ב G יש מעגל פשוט. 2 k=0. k(2 k)( 2 k )2 שאלה 3: )א( הוכיחו קומבינטורית את השוויון הבא: )ב( ניסחו בעיה קומבינטורית שהפונקציה היוצרת שלה היא = 4 2 ( ) f(x) = (1 + x)(x + x 2 + x 3 + ) 3 (x + x 3 + x 5 + x 7 + ) )ג( מצאו את המקדם של x בפונצקיה היוצרת f(x) הנתונה בסעיף )ב(. )ד( נתונה סדרה a המוגדרת על ידי כלל הנסיגה a = 2a עם תנאי התחלה = 3 1.a 0 = 1, a ניסחו בעייה קומבינטורית שעוצמת איבריה נתון על ידי a.

4 a שאלה 4: במסיבת סיום סמסטר השתתפו סטודנטים והתיישבו על שולחונות עיגולים כך שכולם התיישבו, אין סדר בין השולחנות אך י סדר ביישבה בתוך השולחן. יהי מסמן מספר הסידורים האפשריים של סטודנטים אלו. = a )רמז, תחילה תניח שיש j שולחנות( j=1 ( 1 א. הוכיחו ש- j 1 ) (j 1)! a j ב. הוכיחו ש- 1 a = a ג. הוכיחו קומבינטורית ש- בצורה אלגברית )רמז היעזר בסעיף א'(.a = a 1 Z 2 שאלה 5: נועם הנמצא בראשית הצירים על השריג רוצה לבקר את ההורים שלו הנמצאים בנקודה (0,2), נועם יכול לצעוד צעד עלייה מהצורה (1,1) או צעד ירידה (1,1). צעד העלייה הוא יכול לעלות אותו בהליכה איטית, או הוא יכול לעלות אותו בריצה מהירה אך צעד הירידה תמיד נועם ירד אותו בהליכה איטית. א. כתבו פונקציה היוצרת עבור מספר המסלולים האפשריים שנועם צעד לביקור ההורים. ב. בעזרת סעיף א' מצאו מספר מסלולים האפשריים שנועם צעד לביקור ההורים. ג. אם נועם לא יכול לרוץ בריצה מהירה שני צעדים רצופים, אז מה מספר מסלולים האפשריים שנועם צעד לביקור ההורים. שאלה 6: א. תהי A קבוצה, ותהי :f A N פונקציה. נגדיר יחס R על קבוצה A על ידי xry אם ורק אם f(y) f(x) < לכל.x, y A )1( הוכיחו כי R הוא יחס טרניזיטיבי וגם אי-סימטרי. )2( הוכיחו שאם R הוא יחס סדר טרנזיטיבי וגם אי-סימטרי אז f חד-חד-ערכית. ב. עבור שני יחסים,S R באותה קבוצה A נגדיר היחס RS על ידי xrsy אם ורק אם קיים z A כך ש xrz וגם zsy. הוכחיו/הפריכו R טרנזיטיבי אם ורק אם R. RR בהצלחה

5 מועד: ג בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: סמסטר: א תשע"ח הוראות לנבחן: )1( הבחינה מורכבת מ- 6 שאלות. כל שאלה מזכה ב- 20 נקודות כך הנקודות מתחלקות באופן שווה סעיפי השאלה. יש להשיב על 5 שאלות בדיוק אשר תשובה ללא נימוק נחשבת כשאלה ללא תשובה. )2( אין להשתמש בחומר עזר כלשהו וגם לא במחשבון. )3( נא לכתוב בעט שחור או כחול בלבד. )4( אין להעתיק אף שאלה משאלות הבחינה רק לציין את מספרה. שאלה 1: )אין קשר בין הסעיפים( א. נתונים כדים צבעוניים, ולכל כד צבע אחר. בתוך כל כד יש k כדורים זהים הצבועיים בצבע של הכד. בכמה אפשרויות ניתן לבחור קבוצה של k כדורים מתוך הכדים. ב. יהי a מספר הסדרות מעל אלפבית {1,2,3} שאין מכילות ספרות אי-זגיות סמוכות. כתבו כלל נסיגה עם תנאי התחלה עבור הסדרה a. ג. מהו מספר המילים באורך 10 מעל האלפבית {9,,0,1,2} כך שכל אות 0,1,2 מופיעה לפחות פעם אחת במילה. שאלה 2: )א( הוכיחו שבכל עץ עם קשת אחת לפחות יש עלה אחת, ואז הוכיחו שיש לפחות שני עלים. )ב( נתון עץ כלשהו. הוכיחו שקיימת צביעה של קודקודיו בשני צבעים כך שאין קשת שמחבר שני קודקודים עם אותו צבע. שאלה 3: )אין קשר בין הסעיפים( )א( הוכיחו קומבינטורית את השוויון הבא 3=j (. k )(k 3 ) = 2 3 ( 3 ) )ב( מצאו את הפונקציה היוצרת של מספר האפשרויות השונות לבחירת מספר כדורים מתוך שק ובו מלאי לא מוגבל של כדורים כחולים, שחורים, ואדומים כך שיש לכל היותר שני כדורים שחורים. )ג( בעזרת הסעיף הקודם מצאו את מספר האפשרויות השונות לבחירת מספר כדורים מתוך שק ובו מלאי לא מוגבל של כדורים כחולים, שחורים, ואדומים כך שיש לכל היוצר שני כדורים שחורים. שאלה 4: יש להושיב > 0 אנשים על שורה של d כסאות כך שבין כל שני אנשים יפרידו לפחות m כסאות ריקים. נתון ש- 1) m(.d + א. הוכיחו/הפריכו שמספר האפשרויות להושיב האנשים בצורה זו הוא d m( 1).! ( ) ב. יהי (d a(, מספר הפתרונות לבעייה הנתונה כאשר m קבוע. מצאו כלל הסיגה ל- (d a(,

6 Z 2 שאלה 5: ספורטאי נמצא בראשית הצירים על השריג רוצה לרוץ עד הנקודה (0,2), הוא יכול לרוץ צעד עלייה מהצורה (1,1) בריצה איטית, או לרוץ צעד (1,1) בריצה מהירה, או צעד ירידה (1,1) בריצה איטית או צעד ירידה (1,1) בריצה מהירה. א. כתבו פונקציה היוצרת עבור מספר המסלולים האפשריים שהספורטאי יכול לרוץ עד הנקודה (0,2). ב. בעזרת סעיף א' מצאו מספר המסלולים האפשריים שהספורטאי יכול לרוץ עד הנקודה (0,2). ג. אם יש תחנת ביניים לספורטאי בנקודה (0,2m) כאשר 1 m 1. אז מה מספר המסלולים האפשריים שהספורטאי יכול לרוץ עד הנקודה (0,2) כך לעצור בתחנת הביניים. שאלה 6: תהי A קבוצת כל הסדרות האינסופיות של מספרים טבעיים. נגדיר יחס R על קבוצה A על ידי xry אם ורק אם החל ממקום מסויים שתי הסדרת,x y מתלכדות )כלומר קיים j כך ש- x m = y m לכל m(. j א. מצאו את עוצמת הקבוצה A. ב. הוכיחו שהיחס R הוא יחס שקילות. ג. מצאו את מחלקת השקילות של הסדרה = 1 x לכל טבעי ומצאו את עוצמת מחלקת שקילות זאת. ד. נתו חסמים לעוצמת קבוצת המנה A/R או חשבו אותה. בהצלחה