מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignment 2 solution - Finding Roots of Nonlinear Equations y cos(x) שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y x 3 1 ושל ממש פתרונות

תמליל

1 מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignmnt 2 solution - Finding Roots of Nonlinar Equations y cos() שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y 3 1 ושל ממש פתרונות בעזרת שיטת החצייה ובעזרת Rgula Falsi )אין צורך לפתור אנליטית( הצג את תוכניותיך, והשווה ביצועים )שימו ושגיאה יחסית מקסימלית 1 3 )מספר איטרציות( תוך שימוש באותם תנאי התחלה של ו לב כי δ אינה חלק מתנאי העצירה של Rgula Falsi באופן רגיל, עליכם "לרמות" לצורך ההשוואה עם שיטת החצייה) function [z,rror,y]=bisct (f,a,b,dlta) % input: f is th function % [a,b] is th intrval % output: z is th root w found % y = f (z) % rror is th rror of z ya= fval (f,a); yb=fval (f,b); if ya*yb>0,rturn, ma=1+round ((log (b-a)-log (dlta))/log(2)); for k=1:ma z=(a+b)/2; if y==0 a=z; b=z; lsif yb*y>0 b=z; yb=y; ls a=z; ya=y; disp ('th currnt stp is:') disp (num2str (z)) הגרפים הנ"ל נחתכים כאשר הפונקציה cos () f() = 3 1 מתאפסת דוגמא לקוד: בשיטת החציה:

2 disp ('th num of itrations is:') disp (num2str (k)) if b-a < dlta, brak, z=(a+b)/2; rror= abs (b-a); disp ('th root is:') disp (num2str (z)) disp ('th num of itrations is:') disp (num2str (k)) לאחר 25 איטרציות מגיעים לניחוש בשיטת רגולה פולסי: function [z,rror,y,k] = rgula (f,a,b,psilon,mai) % Inputs: f is th function % [a,b] is th intrval % mai is th maimum numbr of itrations % Output: z is th root w found % y=f(z) ya=fval (f,a); yb=fval (f,b); if ya*yb>0 disp ('Not: f (a)*f (b)>0'), rturn, for k=1:mai d=yb*(b-a)/(yb-ya); z=b-d; ac=z-a; disp (' th root is:') disp (num2str (z)) disp (' Num of itrations') disp (num2str (k)) if y==0,brak; lsif yb*y>0 b=z; yb=y; ls a=z; ya=y; d=min (abs (d),ac); if abs (y)<psilon,brak,

3 z; rror=abs (b-a)/2; לאחר 13 איטרציות בלבד מגיעים לניחוש לכן שיטה זו טובה יותר שאלה 2 לפונקציה 6 f() = 2 + שורש )אחד משניים( בנקודה = 2 X תכנן fid point itration למציאת שורש זה, אין להשתמש בניוטון ראפסון )רמז: נסו לבודד את ) הוכח התכנסות ומצא תחום התכנסות רציף מקסימלי סביב הנקודה פונקצית נקודת השבת תתכנס לוקלית לשורש p אם ורק אם קיים אינטרוול סביב לשורש זה בו g( ( 1 נבנה פונקציה על בסיס הזהות = 0 f() : ( + 1) = 6 = g() = g 6 () = ( + 1) 2 לכן אם נבחר נקבל כעת נראה מתי הנגזרת סביב השורש בערך מוחלט קטנה מ 1 6 ( + 1) 2 < > או > 6 1 ונקבל שורש 2 נמצא בתחום 6 1 > והאיטרציה תתכנס סביב הנקודה 6 1 < < < ונקבל נחפש תת-תחום בו מתקיימת תכונת גם הכיווץ כלומר < +1

4 f ( ) 2 שאלה 3 אנחנו מעוניינים לחשב את ln(2) באמצעות איטרציית ניוטון עבור מצא מהו תחום ההתכנסות כתוב תוכנית המחשבת את ln(2) עבור מספר של n איטרציות בדוק את תוכנתך עבור 100=n,10=n מניחוש התחלתי מתאים כלשהו f ( ) f '( ) 2 g( ) g'( ) 2 f ''( ) ( 1) נדרוש: 0 כלומר כיווץ יהיה בכל הישר החיובי 2 g( ) 0, או נבדוק כעת שפונקציה אינווריאטית בקטע )"לתוך"( נבדוק האם אי שיוון זה מתקיים לכל חיובי מכאן, שהתכנסות תהיה בכל הישר החיובי שאלה 4 נתונה הפונקציה f() = הוכח כי שיטת ניוטון ראפסון אינה מתכנסת לשורש )0( אם נניח בשלילה שאיטרצית ניוטון מתכנסת לשורש נקבל g() = f() f g() = = g () 1 () = 1 2 כלומר הפונקציה אינה מכווצת בסתירה לכך שאיטרצית ניוטון מתכנסת

5 שאלה 5,0 < t בתחומה ולכל < 1 הגדרה: פונקציה קמורה ממש conv( )strictly היא הפונקציה המקיימת, לכל זוג נקודות y f(t + (1 t)y) < tf() + (1 t)f(y) במלים אחרות, מיתר החוצה את גרף הפונקציה תמיד נמצא מעליה הגדרה שקולה עבור פונקציה הגזירה פעמיים ברציפות היא: f קמורה ממש אמ"מ f '' 0 פונקציה קעורה ממש concav( )strictly היא פונקציה קמורה ממש עם סימן מינוס נניח ( )f הינה פונקציה קמורה ממש המקיימת f ' 0 בכל נקודה הוכח כי ל- ( )f קיים שורש אחד לכל היותר Nwton-Rhapson סדרה המתקבלת ע"י איטרציות בשיטת { n תהי } הינו שרירותי( יהי 0 בסעיף א' )האיבר הראשון n=1 - ) f( עבור בעלת תכונות המתוארות, n1 n וגם n השורש )היחיד( שלה הוכח כי החל מ רמז: ניתן להשתמש בעובדה שעבור שיטת Nwton-Rhapson ידוע כי השגיאה, ε, n = X n α מקיימת: ε n+1 = 1 2 ε n 2 f (ξ) f (X n ), ξ ( n, α) רמז אלטרנטיבי )ניתן לפתור בעזרת רמז זה לבד או בעזרת הרמז הקודם(: ניתן לפתור את הבעיה גם בעזרת שימוש בהגדרה שקולה של קמירות ממש )שיפוע המשיק קטן משיפוע המיתר( f () < f(y) f() y ג הוכח כי הסדרה { n } מתכנסת לשורש f ' 0 ד הסבר בקצרה איך ישתנו אי-השוויונות שהוכחת בסעיף ב' אילו היה נתון כי ישפיע על ההוכחה של סעיף ג'? בכל התחום? האם שינוי זה ה בעזרת סעיפים א-ד, כתוב הסבר מדוע שיטת ניוטון ראפסון מתכנסת עבור פונקציות קמורות ממש ומונוטוניות לכל ניחוש התחלתי אם היו שני שורשים אז בהכרח היתה נקודה בה הנגזרת היתה שווה לאפס בסתירה לכך שהפונקציה גזירה וקמורה ממש נשתמש ברמז השני ונחליף את הנקודה y ב a נקבל תוך כדי שימוש בנתון כי f () < f(y) f() y f () < 0 f() a f ' 0 a < f() f ()

6 בצד ימין יש לנו את איטרצית ניוטון אחרי הפעלה אחת לפחות לכן קיבלנו כי a < n עבור 1 n n1 n בנוסף נרצה לראות כי כלומר n f( n ) < f ( n ) n נקבל תוך כדי שימוש ב 0 f ' שזה מתקיים כאשר ) n < f( 0 וזה בהכרח נכון עבור 1 n מכיוון שהפונקציה מונוטונית עולה, a < n ו- = 0 f(a) ג ד ה מסעיף קודם קיבלנו כי הסדרה } n } מונוטונית יורדת וחסומה מלמטה לכן מתכנסת נסמן גבול זה ב- L ונקבל: L = lim n = lim n+1 = lim ( n f( n) f(l) n n n f ) = L ( n ) f (L) f(l) = 0 מסעיף א' ראינו כי לf יש שורש יחיד לכן L=a המקרים סימטריים לחלוטין כל פעם שהשתמשנו בעובדה ש f חיובים היינו משתמשים בעובדה ההפוכה והופכים את אי השיוויון במידת הצורך נובע ישירות מהסעיפים הקודמים, פונקצייה קמורה ממש היא פונקציה בה או f חיובי בכל התחום-עבור מקרה זה הראנו התכנסות בסעיפים א-ג או פונקציה בה f שלילי בכל התחום-מקרה זה מתואר בסעיף ד' כסימטרי