מתמטיקה של מערכות

תמליל

1 מתמטיקה של מערכות פתרון לתרגיל נגזור את שני האגפים לפי ונקבל : ) ולכן נתון ש- אז א ) e e נתון ש- א ) נגזור את שני האגפים לפי ונקבל: e, ולכן ) e e e ונקבל: נחלק את שני האגפים ב- נתון ש- ו- וגם ש- פונקציות גזירות של t נתון גם ש- כאשר / אז נגזור את המשוואה לפי t ונקבל : ואחרי שנחלק ב- המשוואה המתקבלת היא, כאשר נקבל את ± נציב במשוואה ולכן כדי לחשב את : ) ) ±, /, ו- / ±, ולכן ± 8 cos כאשר פונקציה גזירה של t נתון גם ש- כאשר נתון ש- נקבל ש - אז לפי כלל השרשרת, ) sin כאשר ) sin

2 א ) כאשר נקבל a ולכן, ) a a שהוא השיפוע של המשיק לעקומה ב- a אז השיפוע של a) a) a a a a ) הנורמל הוא של הנורמל היא והנורמל עובר דרך הנקודה,a לכן המשוואה a) ) a, a 8a a ) a) 8a, a a a a ) a ) 8a כלומר a a a ), ) לכן 7, כלומר כאשר אז השיפוע של המשיק שווה 7 כאשר 7 ) 9 ± אז ולכן ז"א ש-, ולכן המשוואה ) ) ), היא כאשר נקבל של המשיק דרך הנקודה ) 7 באופן דומה, כאשר נקבל, ולכן המשוואה של המשיק דרך ) ) ), היא 7 ) הנקודה המשוואה המתקבלת היא 9 נגשור את הפונקציה הסתומה של במשוואה

3 ה 9, ולכן 9 9 ) השיפוע של המשיק הוא, בנקודה ולכן השיפוע של הנורמל הוא ) אזי המשוואה של המשיק דרך הנקודה היא, ) היא, והמשוואה של הנורמל דרך הנקודה ד) המשיק לעקומה cos הוא אופקי בנקודות שבהן הנגזרת שווה ל- ; כלומר, sin ) cos הדרך הפשוטה ביותר לפתור את המשוואה היא להשתמש בזהות טריגונומטרית: sin cos sin אז עבור מספר שלם כלשהו k לכן התשובה היא k כאשר k מספר שלם k הנגזרת, לפי כלל המכפלה וכלל השרשרת, שווה ל- e נתוןש- cos e sin ) e ) cos e sin cos ) e ) sin cos ) e אז השיפוע של המשיק ב- / הוא ) ) ) e )

4 המשיק עובר דרך הנקודה ולכן המשוואה של המשיק היא ) e, ) e e ) ) ) נחשב את כאשר נחשוב על כפונקציה סתומה של ה ) נתונה העקומה, ln ln אז נגזור את שני האגפים לפי ונקבל: ln ln ln ) ln, ואז נבודד את : ln ln, ln ln כאשר נציב במשוואה, ln ln נקבל כלומר ln ואז ln ln ונקבל: נציב ו- במשוואה ln ln ) כלומר, אז המשוואה של המשיק היא ) ) ונמצא את פולינום המקלורין ממעלה מסביב ל- א) נתון ש- ) ) ) ) ) ) ) ) ) 5 ) ) ) ) ) ) 8

5 5 )! לכן הפולינום הוא ) ) ) ) ) 8!! 8 והתשובה היא cos ונמצא את פולינום המקלורין ממעלה מסביב ל- ) נתון ש- ) cos ) ) ) sin ) cos ) ) sin ) ) ) ) cos )! )! ) ) ) ) ) לכן הפולינום הוא!! והתשובה היא נמצא את פולינום המקלורין ממעלה 5 מסביב ל- ונציב נתון ש- ) e ) ) ) ) ) e e ) e ) ) e

6 ) ) 5 ) ) ) ) e ) ) 5 e לכן הפולינום הוא ) 5 ) ) ) ) ) ) )!!!! 5! 5 ) ) 5 ) כאשר הערך של הביטוי הזה הוא e הערה: הערך המדוייק של הוא cos lim lim ], cos O [ ולכן O [ ] O[ ] lim אנו רואים ש- lim O א) מתרגיל [ ] נחשב את פולינום הטיילור ממעלה של arcsin ואת פולינום הטיילור ממעלה של arctan מסביב ל- ) ) arcsin ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

7 א 7 arcsin )! ) ) )!! O[ ] לכן [ ] O [ ] O g ) g ) ) arctan g ) ) g g ) g g ) g ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) arctan g ) ) g! ) g ) g!! O[ ] לכן arcsin arctan lim ) O[ ] lim O [ ] O עכשיו נציב בגבול: [ ] [ ]) O lim O [ ] lim O[] ) 5 נחקור את הפונקציה תחום ההגדרה: מוגדרת עבור כל מספר ממשי שעבורו המכנה שונה מ- לכן תחום ההגדרה של הוא כל ±

8 ד ו ה 8 ) ), ולכן תחום עליה ותחום ירידה: ) ) ) ) המכנה חיובי עבור כל בתחום של, לכן הסימן של יהיה הסימן של המונה זאת אומרת ש - ו- > ) לכל < כך ש- אז, כך ש- לכל > ) <, ),,,) ו- ) עולה לכל ) יורדת לכל ) ) ) נקודות קיצון: הנגזרת מוגדרת עבור כל בתחום של, ו- רק כאשר מכיוון ש- אנחנו מסיקים:, < יורדת כאשר < ) ו- < עולה כאשר < ) יש נקודת מקסימום מקומי ב- ואין נקודת מינימום מקומי ) ) ) ) ) ), לכן ) ) ) ) ) קמירות וקעירות : ) ) הפעם המונה תמיד חיובי, לכן הסימן של הסימן שיש ל- זאת אומאת ש- יהיה כמו הסימן של המכנה יש ל- אותו ) ) ) ) < < ו- > כאשר > או < אז כאשר ) ) < הגרף של קמור כלפי מעלה כאשר > או <, והוא קמור כלפי מטה כאשר < < נקודות פיתול: הנגזרת השניה מוגדרת עבור כל בתחום של והיא אף פעם אינה שווה ל-, לכן אין נקודות פיתול מכיוון ש- lim ) lim וגם ), lim אז אסימפטוטות אופקיות: וגם עבור הוא אסימפטוטה אופקית גם עבור

9 ז ח ט 9 אסימפטוטות אנכיות: האפשרויות היחידות הן בנקודות אי-רציפות של הפונקציה, כלומר ב- וב- כאשר שואף לשני הערכים האלה המכנה שואף ל- והמונה אינו שואף ל- אז יש אסימפטוטות אנכיות ב- וב-, אבל עדיין עלינו לחשב גבולות חד-צדדיים כדי להחליט מתי הפונקציה שואפת ל- ומתי ל- מכיוון שכבר מצאנו את תחומי העליה והירידה, קל להחליט מהו הסימן הנכון למשל, כאשר, אז שייך לתום הירידה של הפונקציה, ואז לא יתכן ש- lim אי-אפשר לרדת ל-!) אז ) ) חייב להיות שהגול החד-צדדי הוא בופן דומה, lim כי עדיין שייך לתחום הירידה של הפונקציה, ולכן הפונקציה "יורדת מ- " אז:, lim ), lim ) lim, lim ) ו- ), ) ) נקודות חיתוך עם הצירים וערכים נוספים של הפונקציה:, לכן היא נקודת, לכן אין נקודות חיתוך של החיתוך של הגרף עם ציר ה- אין פתרון למשוואה הגרף עם ציר ה- נחשב עוד כמה ערכים של הפונקציה כדי לשרטט את הגרף, למשל 8 ו- ) ) ) ) שרטוט של הגרף של הפונקציה: יחד עם כל האינפורמציה שגילינו בסעיפים הקודמים, אפשר לראות שהגרף של הפונקציה הוא:

10 א c ) t ) cos t ) sin c t) אז t נתון ש- c הגרף של ) t בצבע כחות ושל t) c בצבע סגול : ) c t כאשר c t מקסימלי, כאשר t K 7,,, 5K ) כלומר כאשר > t, c למשל כאשר < t < c t עולה, ) ) כאשר t c יש ל- מינימום מקומי t מקסימומ מקומי או c ) גודל האוכלוסיה בזמן N הוא t, N לכן r ) N e N e N N 7 dn N e rt r rn בנוסף, נתון ש- rt t) N e ולכן מכלל השרשרת נובע ש - N

11 t t d t t N ) 8 נתון ש- ) N N t) אז N ) N ) ln ) אז dn d ) קצב גידול המושבה לראש הוא N dn t N) N ln ln