<4D F736F F D20EEFAEEE8E9F7E420E020ECEBECEBECF0E9ED202D20E0E9F0E1F8F1E9E8FA20FAEC20E0E1E9E12E646F63>

גודל: px
התחל להופיע מהדף:

Download "<4D F736F F D20EEFAEEE8E9F7E420E020ECEBECEBECF0E9ED202D20E0E9F0E1F8F1E9E8FA20FAEC20E0E1E9E12E646F63>"

תמליל

1 מתמטיקה א' לכלכלנים גיא סלומון

2 סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפני קורס חשוב זה. הספר עוסק בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (חדו"א ) והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה אוניברסיטאות או מכללות. הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד, בהתאם לתוכניות הלימוד השונות. הניסיון מלמד כי ל תרג ל בקורס זה חשיבות יוצאת דופן, ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו. לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי. הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה. לדוגמאות: תקוותי היא, שספר זה ישמש מורה-דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה. גיא סלומון

3 תוכן פרק - פונקציה ממשית... פרק - גבול של פונקציה... פרק - רציפות של פונקציה, משפט ערך הביניים... פרק - 4 גזירות של פונקציה, הגדרת הנגזרת... פרק - 5 חישוב נגזרת של פונקציה... פרק - 6 חישוב נגזרת של פונקציות מיוחדות... פרק - 7 בעיות משיקים... פרק - 8 כלל לופיטל... פרק - 9 חקירת פונקציה... פרק - חקירת פונקציה ("שאלות מסביב" והוכחת אי שוויונים)... פרק - מינימום ומקסימום מוחלטים לפונקציה... פרק - בעיות מקסימום ומינימום... פרק - פתרון משוואות (משפט ערך הביניים, משפט רול, משפט ניוטון רפסון)... פרק - 4 משפט לגרנג'... נספח - דפי נוסחאות...

4 תרגילים פרק פונקציה ממשית ( ) ( ) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות: 4+ = = = ( ( 4 ( = 4 (6 = (5 = (4 = = + = + (9 (8 (7 + + = e ( = log + ( = ln( + ) ( log = cot 4 (5 = tn (4 = log ( + 4) ( = rccos( + ) (8 = rcsin( 4) (7 = rctn( + 4) (6 4. h( ) =, g( ) =, f ( ) = נתונות הפונקציות הבאות: 4 () () חשב את הפונקציות המורכבות הבאות: h( h( )) (6 f ( f ( )) (5 h( f ( )) (4 f ( g( )) ( h( g( f (5))) ( f ( g()) ( () בתרגילים הבאים הוכח שהפונקציה הנתונה היא חח"ע בתחום הגדרתה ומצא את הפונקציה ההפוכה לה. בנוסף מצא את התמונה של הפונקציה. + f ( ) = 4 ( ) (4 f ( ) = ( f ( ) = ( f ( ) = ( (4) מצא איזה מבין הפונקציות הבאות הן אי זוגיות ואיזה 4 = (4 = ( = + ( = 4 ( זוגיות: = sin cos (8 = ln + (7 = (6 = + sin (5 (5) מצא את המחזור של כל אחת מהפונקציות הבאות: = = = + + = sin (4 tn ( 5 sin(4 ) ( sin ( * רשום כל אחת מהפונקציות הבאות כפונקציה מפוצלת ושרטט את גרף הפונקציה. (4 ( ( ( = = + = + = * יש הקוראים לפונקציה "מפוצלת", פונקציה "מוטלאת" או פונקציית "תפר" או פונקציה "לפי מקרים". (6)

5 4 פתרונות פרק (), (5 או < >( π k (5 4,, (4 < < (9 π + π k (4 ( כל (8 כל < ( < < (8 ± ( או (7 ( כל < < 5 (7 ( כל 4 (6 < ( (6 כל () 4 4 (6 8 (5 (4 4 ( 4 ( ( (), f ( ) = (, f ( ) = (, כל f ( ) = + ( 4, f ( ) = + 4 (4 (4) זוגיות,,5,8 אי זוגיות,4 כלליות.6,7 (5) π (4 π ( ( π ( π (6) + = ( = ( < < > + = (4 = ( < + <

6 5 תרגילים פרק גבול של פונקציה () חשב את הגבולות הבאים (הצבה): + + lim (4 lim + ( lim ( lim + + ( + 4 () חשב את הגבולות הבאים (צמצום/פירוק לגורמים): n lim (4 lim ( lim ( lim ( () חשב את הגבולות הבאים (כפל בצמוד): lim (4 lim ( lim ( lim ( lim (7 lim (6 lim (5 4 4 :( sin lim (4) חשב את הגבולות הבאים (היעזר בגבול הטריגונומטרי = cos sin( ) sin( ) lim ( lim ( lim ( sin sin(4 ) 4 + sin cos tn sin cos lim (6 lim (5 lim (4 cos sin sin cos( cos ) lim (9 lim (8 lim (7 4 (5) חשב את הגבולות הבאים (פונקציה השואפת לאינסוף): ( ) + 4 lim (4 lim ( lim ( lim ( ( )( 5) ( ) ln lim e (8 lim ((ln ) + ln ) (7 lim ln( ) (6 lim (5 + + lim ln cot ( lim ( lim ( lim (

7 6 (6) חשב את הגבולות הבאים ( שואף לאינסוף): 4 + ln lim ( lim rctn + e ( lim ( e ) ( lim (6 lim (5 lim ( lim (9 lim (8 lim ( lim ( lim ( lim ( lim (5 lim (4 lim ( lim e (8 lim ln ( ) 5 + ( ) ( + + ) ( + k ) ( ) 4 (7 lim ( lim + 5 ( lim 5 ( lim sin (9 5 b+ + lim (4 lim ( lim ( ( ) ( ) :( lim + = lim + = e lim 4 lim + + b (6 ( + + ) (5 (7) חשב את הגבולות הבאים (העזר בגבול של אוילר + lim ( lim + ( lim ( + + ( + ) lim sin (6 lim (5 lim ( lim + tn (9 lim (8 lim (7

8 7 (8) חשב את הגבולות הבאים (ע"י שימוש בכלל הסנדויץ'): + sin cos(+ ) sin lim ( lim ( lim ( 4+ cos + + sin lim cos( ln ) (6 lim sin (5 lim (4 + cos + rctn( ) lim [ ] (9 lim (8 lim (7 4+ rctn( ln ) lim [ ] ( lim f ( ) (9) חשב את הגבול של הפונקציות הבאות (גבול של פונקציה מפוצלת): + sin 4 > > = f ( ) = ( = f ( ) = ( < 4+ e < ( ) ( ) = f ( ) = (4 = f ( ) = ( ( ) ( ) = f ( ) = (5 ( ) הערה חשובה מאוד! במרבית קורסי החדו"א לומדים בהמשך את כלל לופיטל לחישוב גבולות (ראה פרק 8). בעזרת כלל זה ניתן לחשב ללא מאמץ את הגבולות המופיעים בשאלות, ו- 4.

9 8 פתרונות פרק 4 (4 ( ( ( n (4 6 ( ( ( (7 (6 (5 (4 ( 4 ( ( (9 4 (8 (7 (6 (5 (4 ( ( ( (9 φ (8 (7 (6 (5 φ (4 ( φ ( φ ( ( φ ( ( (9 (8 (7 5 (6 (5 (4 4 ( ( ( e (8 ln (7 (6 (5 4 (4 (.5 ( (.5 ( b 9 5 (6 / (5 / (4 / ( k / (.5 ( (**) ( (9 e (9 e (8 e (7 e (6 e (5 e (4 e ( ( e ( (9 4 (8.75 (7 (6 (5 (4.75 ( ( ( π () () () (4) (5) (6) (7) (8) ( (9) (5 (4 φ ( φ ( 4 ( (**) בשאלה 6 תרגיל יש להפריד לשלושה מקרים: lim= 5 b (I b lim= >, b= (II lim= <, b= (III

10 9 תרגילים פרק רציפות ומשפט ערך הביניים רציפות * () בדוק את רציפות הפונקציות הבאות ב"נקודת התפר" שלהן: (בסעיפים ו- 4 שרטט את גרף הפונקציה). sin > sin 4 > f ( ) = = ( f ( ) = ( + e < + e < 4 + f ( ) = (4 f ( ) = ( < 5 > sin < ( ) < f = < < (6 f ( ) = (5 = < > * נקודת התפר היא הנקודה בה נוסחת הפונקציה משתנה. למשל, נקודת התפר בתרגיל היא =. : () מה צריך להיות הערך של הקבוע k על מנת שהפונקציות הבאות תהינה רציפות לכל + k + f ( ) = ( f ( ) = ( 5k 6 > k = k + 5 f ( ) = (4 f ( ) = ( > k = הערה: על סעיף 4 תוכל לענות רק אחרי שתלמד את כלל לופיטל (פרק 8).

11 b מה צריך להיות הערך של הקבועים ו- על מנת שהפונקציות הבאות תהינה רציפות () בתחום הגדרתן : b + + < sin f = b + f = < < π + 4 > cos π ( ) ( ) ( ( ) ( > < + e ( ) ln( + ) + b f ( ) = + b (4 f ( ) = ( < ( ) > + 4 הערה: על סעיפים ו- 4 תוכל לענות רק אחרי שתלמד את כלל לופיטל (פרק 8). (4) עבור כל אחת מהפונקציות בשאלה () רשום עבור כל נקודת אי רציפות מאיזה סוג היא. (5) הוכח או הפרך:. סכום שתי פונקציות לא רציפות הוא פונקציה לא רציפה.. הפרש שתי פונקציות לא רציפות הוא פונקציה לא רציפה.. מכפלת שתי פונקציות לא רציפות היא פונקציה לא רציפה. 4. מנתן של שתי פונקציות לא רציפות היא פונקציה לא רציפה. רציפה ו- g לא רציפה. האם f רציפה? הוכח את טענתך. + g (6) ידוע ש- f

12 משפט ערך הביניים (של קושי) (7) צטט את משפט ערך הביניים של קושי והסבר אותו גרפית. (8) הוכח שלמשוואות הבאות יש לפחות פתרון אחד: = = + =.5sin 7 ( ln ( 4 ( b c d (9) הוכח שלמשוואה = יש לפחות פתרון אחד. () הוכח שלמשוואות הבאות יש לפחות שני פתרונות: = ( e 5= (. f () =, f () = פונקציה רציפה לכל המקיימת: () תהי f = f ( ) + sin = הוכח שלמשוואה 4 יש לפחות פתרון אחד. () מצא קטע שאורכו אינו עולה על יחידה אחת בו למשוואה יש פתרון.. f ( ) = + () נגדיר א. חשב () f. f (),. (,) + = ב. האם ניתן להסיק לפי משפט ערך הביניים שלמשוואה יש פתרון בקטע פתרונות פרק,=, לא רציפה. k= 4 (. k = (5 (4 ( לא רציפה. ) לא רציפה. רציפה. רציפה. לא רציפה בנק' רציפה בנק': ( (). =. =, b= b= =, או סליקה. סליקה. 5) מסוג ( ( (4) ( א. = 5 () f. f () =,. =, b= (6 רציפה בנק' =. ( (). = e /, b= e / ().[.,] (4. k= () ( () בנקודה =. (4. k =. = e, b= e (6 ( ( ראשון. סליקה. ב. לא.

13 א) תרגילים פרק 4 גזירות של פונקציה, הגדרת הנגזרת. תאר שתי דרכים שונות לבדיקת גזירות של פונקציה מפוצלת בנקודת הפיצול (תפר) שלה. השתמש בבפונקציה מסעיף ב.. שלהלן כדי להדגים שתי שיטות אלה. בנוסף, הסבר מתי עליך להשתמש בכל אחת מהשיטות שתיארת. ב. בדוק גזירות הפונקציות הבאות בתחום הגדרתן בכל דרך שתבחר. בנוסף רשום נוסחה עבור הנגזרת של כל אחת מהפונקציות. ) 5 4 f ( ) = ( f ( ) = ( 4 < 4 < ln(+ ).5< < + 8 f ( ) = (4 f ( ) = ( + + < f = + + f = + ( ) (6 ( ) 4 (5 sin > sin > f ( ) = (8 f ( ) = ( 7 () +. f ( ) = + < נתונה הפונקציה. א. עבור איזה ערך של הקבוע הפונקציה רציפה בנקודה = ב. עבור ערך ה- שקיבלת בסעיף א בדוק על פי הגדרת הנגזרת האם הפונקציה הנתונה גזירה בנקודה =. (). f ( ) = + < ( ) נתונה הפונקציה. = א. האם הפונקציה רציפה? ב. בדוק על פי הגדרת הנגזרת האם הפונקציה הנתונה גזירה בנקודה

14 (4) עבור איזה ערכים של הקבועים ו- b יהיו הפונקציות הבאות גזירות בנקודת התפר. עבור ערכים אלה, רשום נוסחה עבור הנגזרת. e < f ( ) = + b > ln < e f ( ) = + b > e א) ב) (5) חשב על פי הגדרת הנגזרת את נגזרות הפונקציות הבאות: f f f + ( ) = sin 4 ( ( ) = ( ( ) = ( f ( ) = + (6 f ( ) = ln (5 f ( ) = e (4 * בתרגיל זה אסור להשתמש בכלל לופיטל. (6) חשב את '() f עבור כל אחת מהפונקציות הבאות: f ( ) = ( )( )( ) L( 44) ( f ( ) = ( + ) + + ( 4 sin ( 4) (+ tn ) cos( + sin ) f ( ) = ( ( ) ( ) ) נתון ( z() =,lim z( ) = 4 : f ( ) = z( ) (4 f = + 4 ( ) sin( ) (5. (7) בדוק האם הפונקציה משאלה () סעיף 4) גזירה פעמיים בנקודה = (8) הוכח או הפרך (אם הטענה נכונה, הוכח אותה. אם לא הבא דוגמה נגדית לטענה):. f = g+ h, ו- g א. אם h גזירה ב- אינה גזירה ב- אז אינה גזירה ב-. f = g+ h, ו- g ב. אם h אינה גזירה ב- אינה גזירה ב- אז אינה גזירה ב-. f = g h, ו- g ג. אם h אינה גזירה ב- אינה גזירה ב- אז אינה גזירה ב-. f = g h, ו- g ד. אם h גזירה ב- אינה גזירה ב- אז אינה גזירה ב-

15 4 פתרונות פרק 4 () 5 > 4 > f '( ) = ( f '( ) = ( < <.5< < + 8 f '( ) = + (4 f '( ) = ( < > f '( ) = (6 f '( ) = (5 4 < 4 < sin cos > sin cos > f '( ) = (8 f '( ) = (7 < לתשומת לבך! בתחומים בהם קיימת נוסחה לנגזרת, הפונקציה גזירה. בנקודות בהן הנגזרת לא קיימת הפונקציה לא גזירה. למשל, בסעיף הפונקציה גזירה עבור. ) לא גזירה. = ( () רציפה ) ) לא גזירה. (). = e, b= א) b=. = / e, ב) (4) (5) f '( ) = 4cos( 4 ) ( f '( ) = ( f '( ) = + 4 ( ( + ) f '( ) = (6 f '( ) = (5 f '( ) = e (4 + (5 4 (4 (.4 ) ( ( 44! ( (6) (7) לא גזירה פעמיים.

16 5 תרגילים פרק 5 גזירה של פונקציה () גזור פעמיים את הפונקציות הבאות (בסעיפים 7-9 גזור פעם אחת): f ( ) = ( f ( ) = ( f ( ) = ( ( + ) + + f ( ) = (6 f ( ) = (5 f ( ) = (4 ( + ) 4 ln ln f ( ) = ln (9 f ( ) = (8 f ( ) = (7 f f f ( ) = ln + ln ( ( ) = ln ( ( ) = ln ( f ( ) = ( + ) e (5 f ( ) = e (4 f ( ) = ln + ( ln ( ) = (8 ( ) = (7 ( ) = (6 f f f e f = f = f = 4 ( ) cos( ) ( ( ) sin( ) ( ( ) ( ) (9 f = f = f = ( ) ln(cos ) (4 ( ) tn( ) ( ( ) sin ( sin f = + f = f = ( ) ( ) (7 ( ) rctn( ) (6 ( ) rcsin (+ ) (5 f ( ) = cos (9 f ( ) = sin (8 ln ( ) ( )

17 6 פתרונות פרק 5 ( ( f '( ) =, f ''( ) = f '( ) =, f ''( ) = (+ ) (+ ) 4 (4 ( ( ) 4 ( + 4) 4 4( ) f '( ) =, f ''( ) = f '( ) =, f ''( ) = 4 ( 4) ( 4) ( + ) ( + ) (6 (5 6( + ) ( + )( + ) ( + ) 6 f '( ) =, f ''( ) = f '( ) =, f ''( ) = ( ) ( ) ( + ) ( + ) (8 (7 ln ln 8 ln ln f '( ) =, f ''( ) = f '( ) =, f ''( ) = ( (9 f '( ) = (ln + ), f ''( ) = ln + f '( ) = ln +, f ''( ) = ( ( ln f '( ) = (ln + ), f ''( ) = f '( ) =, f ''( ) = ( ) (4 ) ( ( ln ) (ln ) (ln ) (ln ) f '( ) =, f ''( ) = 4 (ln ) (ln ) 5 + f '( ) = e, f ''( ) e (5 = 4 (4 + f '( ) = e, f ''( ) e = 4 (6 f '( ) = e ( 4 ), f ''( ) = 4 e ( 4 ) (7 f '( ) =, f ''( ) = 4 9 (8 f '( ) =, f ''( ) = 5/ ( ) ( ) ( f '( ) =, f ''( ) = 9 4 ( 4 f '( ) = cos( ), f ''( ) = 9 sin( ) + 6 cos( )

18 (7 sin sin '( ) f = cos ln( + ) + + (9 ln ln(cos ) f '( ) = ( cos ) tn ln 7 ( f '( ) = sin( ) 4, f ''( ) = 6 cos( ) sin( ) ( f '( ) = sin cos, f ''( ) = 6sin cos sin ( cos ( ) 8 cos( )sin( ) f '( ) =, f ''( ) = 4 cos ( ) cos ( ) (4 4 f '( ) = tn( ) ( ), f ''( ) = tn( ) cos ( ) (5 + f '( ) =, f ''( ) = ( ) / (6 4 6 f '( ) =, f ''( ) = ( ) (8 f '( ) = sin ln(sin ) + cot ( ) ( )

19 8 תרגילים פרק 6 נגזרות של פונקציות מיוחדות לתשומת ליבכם, שאלות,,6 אינן בחומר הלימוד של אוניברסיטת ת"א. נגזרת הפונקציה ההפוכה () הוכח, בעזרת כלל הנגזרת של הפונקציה ההפוכה, את הנוסחאות הבאות: rctn ' = ( rcsin ' ( ' ( + = = ( ) ( ) ( ) ( n, f של הפונקציות הבאות: ) ( ) נגזרות מסדרים גבוהים, נוסחת לייבניץ () חשב את הנגזרת ה-, n 4 + ( )( ) + +. = (4 = ( = ( = ( () () חשב את הנגזרת העשירית,, של הפונקציות הבאות: = = e sin 5 ( ( נגזרת של פונקציה סתומה (4) גזור את הפונקציות הסתומות הבאות ומצא את ' : = + = + = 5 sinh ( 4 ln ln ( ( + = (6 = (5 = (4. '' (5) נתונה פונקציה סתומה = +. מצא את ערך בנקודה = נגזרת של פונקציה הנתונה בצורה פרמטרית (6) חשב את הנגזרת הראשונה והשנייה של הפונקציות הבאות הנתונות בצורה פרמטרית. ( t) = t cos t ( t) = t sin t ( ( ( t) = t ( t) = t cost h() g() נגזרת של פונקציה מן הצורה (7) גזור את הפונקציות הבאות: sin f ( ) = cos ( f ( ) = + ( f ( ) = sin ( ln ( ) ( ) ( )

20 9 פתרונות פרק 6 ( n) n n n = n ( + ) ( 6 ) ( ) ( ) ( )!(( ) ( ) ) ( ) ( n) n n n n n () ( n) n n = ( ) n!( + ) ( ( )! 5( ) 7( ) ( ( n) n n n n = ( ) n! ( ) ( + ) + ( ) ( ' = ( ) ( + ) '' = + ( ) ( + ) = + > (4 ( ) ( ) () () 9 9 () e = e ( sin 5 = 5 sin cos sin cos5 ( (4) ( + cosh ) 4 ' = ( ' = ( ' = ( 4 ( cosh ) ( ) 5 ln ( ) ' = (6 ' = (5 ' = (4 ln ln, 8 (5) (6) cost t sin t '( ) = cost ( sin t tcos t)( cos t) sin t(cost tsin t) ''( ) = ( cos t) t '( ) = cost t sin t (cost tsin t) t( sin t t cos t) ''( ) = (cost tsin t) ( ( (7) ראה פתרון שאלות 7-9 בפרק 6.

21 תרגילים פרק 7 בעיות משיקים (המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת) (. f ( מצא את b ואת נקודת ההשקה. = e משיק לגרף הפונקציה = + () הישר b 4+ = משיק לגרף הפונקציה + = ). f ( מצא את b ואת נקודת ההשקה. () הישר b (. f ( מצא את b ואת נקודת ההשקה. () הישר = משיק לגרף הפונקציה = + b. c ו- מצא את. בנקודה = g( ) (4) הישר + = משיק לגרף הפונקציה = + c. = (5) מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f ( ) = ln בנקודה e. (6) מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה + f ( ) = בנקודה =. (, 4) + = 5 (7) מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה k ו- = + k משיקות זו לזו. מצא את ואת נקודת ההשקה. = (8) הפונקציות (9) מצא את נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק לגרף העקומה העובר דרך הנקודה הנתונה. (,) = (, ) = + א) ב) () מצא את משוואת המשיקים המשותפים לפונקציות הבאות:. 4 = = ו- 5. = g( ) = = f ( ) = () מצא את הזווית בין הפונקציות ו-. = + = 8 () מצא את הזווית בין המעגל והפרבולה נחתכות בזוית ישרה. = + () הוכח שהאליפסה = 8 וההיפרבולה

22 פתרונות פרק 7. = + () נקודת ההשקה היא (,) ומשוואת המשיק היא. = 4+ () נקודת ההשקה היא (,5 ( ומשוואת המשיק היא 9 () נקודת ההשקה היא (4,) ו- = 4 b. (4) נקודת ההשקה היא ) (, ומשוואת המשיק היא +. = 8 (5) משוואת המשיק היא. = e. (6) משוואת המשיק היא = 5 = (7) משוואת המשיק היא., נקודת ההשקה (,) k=.5 (8) = 6 5, (4,9), = +, (,) 9) א) ( ב). = + המשיק: (9,), 6 =, = () 7.57 o () 7.56 o ()

23 תרגילים פרק 8 () חשב את הגבולות הבאים: כלל לופיטל n 5 6 lim ( lim ( lim ( lim (6 lim (5 lim ( e lim (9 lim (8 lim (7 e e b lim ( lim ( lim (, b> ) ( + ln lim (5 lim (4 lim ( ln ( + ) + ln + + sin( ) sin( ) tn lim (8 lim (7 lim (6 sin( b) b + sin cos tn sin sin lim ( lim ( lim (9 sin sin( ) e sin ( + ) cos( cos ) lim (4 lim ( lim ( 4 4 rctn( + ) ln(cos ) lim tnh (7 lim (6 lim (5 4 rcsin( 4 ) + cosh sin lim ( lim (9 lim + + sinh cos (8 lim (ln ) ln ln e ( lim ( lim ( e

24 lim e e ln(sin ) (6 lim (5 lim (4 + ln(tn ) lim + tn (9 lim (8 lim ln (7 ln e lim ( 9) ln( ) (4 lim ln (4 lim( cos ) cot ( lim (45 lim + (44 lim ln (4 sin [ ] ln lim + + (48 lim ln( ) ln(sin 5 ) (47 lim (46 + lim ( ) ( > ) (5 lim (5 lim (49 + sin + lim (54 lim (5 lim ( + + 4) (5 4 tn lim(cos ) (57 lim (56 lim(+ tn ) (55 + cot tn tn lim( ) (6 lim (59 lim (sin ) ( sin cot tn lim (6 lim ( + ) (6 lim ( + sin ) (6 + +

25 4 () כל אחד מהגבולות הבאים הוא מן הסוג לופיטל אינו ישים, לבסוף חשב את הגבול.. הראה זאת והסבר מדוע למרות כך, כלל + + sin lim ( lim ( lim ( 4 4 cos פתרונות פרק 8 () 5 5 (7 (6 (5 4 (4 n ( ( ( (4 ( ( ( ln ( (9 (8 6 b ( ( (9 (8 (7 (6 (5 6 b b (8 (7 (6 (5 (4 ( ( 4 8 (5 (4 ( ( ( ( (9 (4 (4 (4 (9 (8 (7 ( 6 (49 ln (48.5 (47 (46.5 (45 6 (44 (4 5 (56 e (55 (54 (5 (5 e (5 (5 / / (6 (6 (6 (6 (59 (58 (57 e e e e e /6 (65 e (64 ().75 (.5 ( (

26 5 תרגילים פרק 9 חקירת פונקציה () חקור את הפונקציות הבאות חקירה מלאה לפי הפירוט הבא: תחום הגדרה ורציפות, נקודות ** * חיתוך עם הצירים, זוגיות, אסימפטוטות אנכיות, אופקיות ומשופעות, נקודות קיצון, תחומי *** עליה וירידה, נקודות פיתול, תחומי קמירות וקעירות, גרף. f f f ( ) ln ln ( 4 ( ) = ( ( ) = ( ( ) = ( 9) ( f ( ) = (6 f ( ) = (5 f ( ) = (4 ( + ) 4 ( + ) 4+ + f ( ) = (9 f ( ) = (8 f ( ) = (7 4 ( )( 5) f = + ln ln f ( ) = ( f ( ) = ( f ( ) = ( 5 f ( ) = ln (4 f ( ) = ln ( f ( ) = e (8 f ( ) = ln + (7 f ( ) = 4ln 4ln (6 ln f ( ) = e ( f ( ) = ( + ) e ( f ( ) = e (9 ( ) f ( ) = (4 f ( ) = ( ) ( f ( ) = ( + f ( ) = rctn (7 f ( ) = (6 f ( ) = (5 f f f ( ) = 8cos + cos ( ( ) = cos sin (9 ( ) = rcsin(sin ) (8 ( π) ( π) הערות:. בשאלה 8 מצא את החיתוך רק לאחר השרטוט. * בשאלה 7 אין צורך למצוא חיתוך עם ציר ** בתרגילים,,8,9, אין צורך למצוא אסימפטוטות (וגם אין). *** בתרגילים 9,7 אין צורך למצוא נקודות פיתול אלא אם כן למדתם ניוטון רפסון. בתרגיל 8 אין צורך למצוא נקודות פיתול אלא אם כן למדתם לפתור משוואה ממעלה שלישית.

27 6 פתרונות פרק 9 () ( ( (4 ( (6 (5 (8 (7

28 7 ( (9 ( ( (4 ( (6 (5

29 8 (8 (7 ( (9 ( ( (4 (

30 9 (6 (5 (8 (7 ( (9

31 תרגילים פרק חקירת פונקציה "שאלות מסביב" ().. ידוע שהנקודה = f ( ) = + א) נתונה הפונקציה נקודת קיצון. מצא את הקבוע. ידוע שהנקודה (,) נקודת קיצון. f ( ) = + b ב) נתונה הפונקציה., מצא את הקבועים b.. ידוע שהנקודה = f ( ) = + ג) נתונה הפונקציה נקודת פיתול. מצא את הקבוע. ידוע שהנקודה (,) נקודת פיתול. f ( ) = + b ד) נתונה הפונקציה., מצא את הקבועים b הוא. f ( ) = + ה) נתונה הפונקציה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה = מצא את. (,9) הוא. f ( ) = + b ו) נתונה הפונקציה. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה., מצא את b. ידוע שהישר 4= f ( ) = ז) נתונה הפונקציה אסימפטוטה לגרף הפונקציה. מצא את. =.5+. ידוע שהישר f ( ) = + b+ 4 ח) נתונה הפונקציה אסימפטוטה לגרף הפונקציה. מצא את ואת. b f ( ) = ט) נתונה הפונקציה ידוע שהישר = אסימפטוטה לגרף הפונקציה. מצא את.

32 () לפניך גרף הפונקציה f ( ) = א. ב. ג. ד. ה. ו. ז. ח. מהו מספר הפתרונות של המשוואה = 5 ). f ( מהו מספר הפתרונות של המשוואה = ). f ( מהו מספר הפתרונות של המשוואה =.5 ). f ( ( f ( יש בדיוק פתרון אחד. עבור איזה ערך של k למשוואה = k ( f ( יש בדיוק שני פתרונות. עבור איזה ערך של k למשוואה = k ( f ( יש בדיוק שלושה פתרונות. עבור איזה ערך של k למשוואה = k ) f ( אין פתרון. האם קיים ערך של k עבורו למשוואה = k מצא את התחומים בהם הפונקציה היא חח"ע. (-,) (,-) () הוכח את אי השוויונים הבאים לגבי התחום הרשום לידם: π ( ) ( ) 4 < < < sin ( < < ( ln( + ) (4 > + < + ( ( ) ( ) פתרונות פרק = ב) = 4. b= 6, ג) = () א) = b=,. = ד) =. b=, ה) ו) = 7 =.5 ז) = 8 ח) ט) ב) ג) ( ) א ( < k <. k=±. k < ד) k> או ה) ו) < < לא ז) ח) > או או <

33 תרגילים פרק מקסימום ומינימום מוחלטים של פונקציה () מצא את נקודות המינימום המוחלט והמקסימום המוחלט של הפונקציות הבאות בתחומים הרשומים לידן (אם יש כאלה): ( ) ( ) 4 5 ( ( ) ( 4 < f = f = ( )( ) 7 ( ) ( ) f = + + f = + / ( ) (4 ( ) ( ) ( < < f = f = ( ) (6 5 ( ) 9 (5 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 (7 < < f = + () הוכח את אי השוויונים שמימין לגבי התחום הרשום בסוגריים משמאל. ( ) e ( ( ) e ( (לכל ( e 7 e ( פתרונות פרק () מינימום מוחלט, (,9) מקסימום מוחלט. (, 7) ( מינימום מוחלט, מינימום מוחלט, (,) מקסימום מוחלט. (5,) (,) ( מינימום מוחלט, מינימום מוחלט, (48,8) מקסימום מוחלט. (, ) (,) ( מינימום מוחלט, (,) מקסימום מוחלט. (.5,.5) (4 מינימום מוחלט, (5,7 ( מקסימום מוחלט. (,) (5 (4, ( מקסימום מוחלט. אין מינימום מוחלט. (6 7) אין מקסימום ואין מינימום. הערת סימון: [, b) < b, (, b) < < b, [, b] b

34 ס 5 תרגילים פרק בעיות מקסימום ומינימום הערה: בפרק זה, סומנו התרגילים הקשים יותר בכוכבית * בעיות בהנדסת המישור () בטרפז שווה-שוקיים (AB CD) ABCD אורך השוק D C הוא 4 ס"מ ואורך הבסיס הקטן הוא 6 ס"מ. DE הוא הגובה מקדקוד D (ראהציור). מה צריך להיות אורך הקטע DE כדי ששטח הטרפז A E B יהיה מקסימלי? נתון מלבן. ABCD נסמן ב- את אחת מצלעות () המלבן (ראה ציור). A B א) אם היקף המלבן הוא 6 ס"מ בטא באמצעות את שטח המלבן. ב) אם היקף המלבן הוא p מצא מה צריכים להיות D אורכי צלעות המלבן כדי ששטחו יהיה מקסימלי C (הבע את אורכי הצלעות באמצעות ). p נתון מלבן ABCD "מ = BC, AD = כך ש- () A P B ס"מ = CD. AB = על צלעות המלבן מקצים Q S CR= AP= AQ= CS= (ראה ציור). קטעים : מה צריך להיות ערכו של כדי ששטח D R C המקבילית PQRS יהיה מקסימלי?

35 4 E ( C= 9 ) במשולש ישר זווית ABC סכום (4) A אורכי הניצבים הוא 8 ס"מ. על היתר AB בונים ריבוע.ABDE מה צריכים להיות אורכי הניצבים, D כדיששטח המחומש AEDBC יהיה מינימלי. C B בחצי עיגול שרדיוסו 8 ס"מ חוסמים מלבן (5) D A 8 B C, ABCD כך שהצלע AB של המלבן מונחת על הקוטר, והקדקודים C ו- D מונחים על הקשת(ראה ציור). מה צריך להיות אורך הצלע AB כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? A B= (, סכום 9 ) (6) במשולש ישר-זווית ABC אורכי הניצבים הוא ס"מ. AD הוא תיכון לניצב BC (ראה ציור). B D C חשב מה צריכים להיות אורכי הניצבים, על מנת שריבוע אורך התיכון יהיה מינימלי. 8 בחוברת פרסום, שטח כל עמוד הוא 6 סמ"ר. רוחב השוליים בראש העמוד ובתחתיתו הוא 8 ס"מ, ורוחב השוליים בצדדים הוא ס"מ. מצא מה צריך להיות האורך והרוחב של כל עמוד, (7) כדי שהשטח המיועד לדפוס יהיה מקסימלי (השטח המקווקו בציור).

36 5, F Gנמצאות, על הצלעות (8) בריבוע ABCD הנקודות E CF =CG, BE =BF כך ש- DCבהתאמה,, BC, AB (ראה ציור). A E B נתון כי האורך של צלע הריבוע הוא 6 ס"מ. F א. סמן ב- את BFואת, BE והבע באמצעותאת הסכום של שטחי המשולשים EBFו- FCG (השטח המקווקו בציור). D G C ב.. מצא אתשעבורו סכום שטחי המשולשים הוא מינימלי. ב.. חשב את הסכום המינימלי של שטחי המשולשים. E נתון ריבוע ABCDשאורך צלעו ס"מ. Eהיא נקודה * ( 9) A M N B כלשהי מחוץ לריבוע, כך שהמשולש DECהוא שו"ש AB שוקי המשולש חותכים את הצלע.(ED =EC) בנקודות M ו- N (ראה ציור). מצא מה צריך להיות אורך הקטע AMכדי שהסכום של שטחי המשולשים D C BNCיהיה, AMD, EMN מינימלי. נתון מעגל שרדיוסו. R במעגל זה חסום טרפז שו"ש, * ( ) כך שהבסיס הגדול של הטרפז הוא קוטר במעגל (ראה ציור). מבין כל הטרפזים החסומים באופן זה, הבע באמצעות R מקסימלי. את אורך הבסיס הקטן בטרפז ששטחו

37 ס ס 4 6 O נתונה גזרה של רבע עיגול שמרכזו Oורדיוסו ס"מ. בונים מלבן,ABCD כך שרבע המעגל משיק לצלע DC * ( ) A D C B בנקודת האמצע שלה, והקודקודים A ו- Bנמצאים על הרדיוסים התוחמים את הגזרה (ראה ציור). מבין כל האלכסונים של המלבנים ABCDשנוצרים באופן זה, מצא את אורך האלכסון הקצר ביותר. A ABCDEהוא מחומש המורכב ממשולש ABEוממלבן EBCD (ראה ציור). * ( ) E B, "מ = =AE. AB נתון: "מ = BC מצא את השטח של המחומש ששטחו מקסימלי. D C A מתבוננים בכל המשולשים ישרי הזווית ABC החוסמים חצי מעגל שרדיוסוRכמתואר בציור. מהן זוויות המשולש שסכום הניצבים שלו הוא * ( ) B C מינימלי? 7 במעגל שרדיוסוRחסומים משולשים כך שהגודל של π אחת הזוויות בכל אחד מהמשולשים הוא. 5 מצא את הזוויות במשולש בעל ההיקף המקסימלי. * ( 4)

38 7 בעיות בהנדסת המרחב (5) גובהו של "מגדל" הבנוי שמתי קוביות( לאו דווקא שוות) הוא 8 ס"מ. מה צריך להיות אורך המקצוע ש הקובייה התחתונה כדי שנפח המגדל (סכום נפחי הקוביות) יהיה מינימלי? (6) בונים תיבה שגובההס"מ, ובסיסה ריבוע, שאורך צלעוס"מ (ראה ציור), כך שההיקף של כל אחת מהדפנות הצדדיות שווה ל- ס"מ. מה צריך להיות אורך צלע הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי? (7) יש לבנות תיבה פתוחה מלמעלה, שבסיסה ריבוע ושטח פניה 75 סמ"ר ) במקרה זה שטח הפנים מורכב מבסיס אחד ומארבע פאות צדדיות). מכל התיבות שאפשר לבנות, מצא את ממדי התיבה (צלע הבסיס וגובה) שנפחה מקסימלי. (8) יש להכין מחוט תיל "שלד" (מסגרת) של תיבה, שבסיסה ריבוע ונפחה סמ"ק. מהו האורך המינימלי של החוט הנחוץ ליצירת התיבה? (9) מחוט שאורכוס"מ יש לבנות מנסרה משולשת ישרה, שבסיסה הוא משולש שווה צלעות. מצא איזה חלק מאורך החוט יש להקצות לצלע הבסיס ואיזה חלק לגובהכדי שיתקיים: א. שטח המעטפת של המנסרה יהיה מקסימלי. ב. נפח המנסרה יהיה מקסימלי.

39 8 מכל הפירמידות המרובעות, המשוכללות והישרות, * ( ) שאורך המקצוע הצדדי שלהן הוא, מצא את נפחה של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי. מכל הפירמידות הישרות, שבסיסן ריבוע ושטח * ( ) הפנים שלהן הוא סמ"ר, חשב את נפחה של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי. () אלכסון החתך הצירי של גליל ישר הוא ס"מ (ראה ציור). מצא מה צריכים להיות גובה הגליל ורדיוס בסיסו כדי שנפחו יהיה מקסימלי. () נתון מיכל גלילי פתוח מלמעלה שקיבולו 64 מ"ק. המיכל עשוי כולו מפח. הראה כי שטח הפח הוא 4 מינימלי כאשר רדיוס הבסיס הוא מטר. π (4) מבין כל החרוטים שאורך הקו היוצר שלהם הוא ס"מ (ראה ציור), מהו נפח החרוט שנפחו מקסימלי?

40 9 בעיות בפונקציות וגרפים (5) מנקודה, A הנמצאת על גרף הפונקציה C A = + 5, מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן ABOC (ראה ציור). א. מה צריכים להיות שיעורי הנקודהAכדי שהיקף O B המלבן יהיה מקסימלי? ב. מה צריכים להיות שיעורי הנקודהAכדי שהיקף המלבן יהיה מינימלי? בפרבולה = 9 חוסמים מלבן, ABCD כך שהצלע ABמונחת על ציר ה- (ראה ציור). (6) D A C B מה צריך להיות אורך הצלע CDכדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? = 9 (7) טרפז ABCDחסום בין גרף הפרבולה D A לבין ציר ה- (ראה ציור). א. מה צריכים להיות שיעורי הנקודהAכדי ששטח C B הטרפז ABCD יהיה מקסימלי? ב. חשב את השטח המקסימלי של טרפז.ABCD

41 4 (8) נתונה הפרבולה +. = ישר המקביל לציר ה- A את הפרבולה בנקודות חותך ו- B (ראה ציור). B A מחברים את הנקודות A ו- Bעם ראשית הצירים, O. א. מה צריך להיות אורך הקטע ABכדי ששטח המשולש AOB יהיה מקסימלי? ב. מהו השטח המקסימלי של המשולש? AOB A = וגרף של הישר לפניך גרף של הפונקציה e. = e ישר המקביל לציר ה- חותך את (9) B הגרפים בנקודות Aו- B (ראה ציור). א. מצא לאילו ערכיאורך הקטע ABיהיה מינימלי. ב. האם יש ערך שלשעבורו אורך הקטע ABהוא מקסימלי? P Q נתונים הגרפים של שתי פרבולות :. = +, = קו מקביל לציר ה- חותך את שתי הפרבולות בנקודות P ו- Q (ראה ציור). () מבין כל הקטעים המתקבלים באופן זה, מצא את האורך המינימלי של הקטע.PQ

42 4 M =. על ציר ה- נתונה נתון גרף הפונקציה הנקודה (,4.5)A (ראה ציור). מצא על גרף הפונקציה נקודה M, כך שריבוע המרחק () A(4.5,) AMיהיה מינימלי. f ( ) = מצא על הישר 4 את הנקודה הקרובה (). ביותר לנקודה (,) בציור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות:. g( ) = 6 6, f ( ) = מלבן חסום בין הגרפים של הפונקציות ובין ציר ה-, * ( ) כמתואר בציור. מצא את השטח הגדול ביותר האפשרי למלבן שחסום באופן זה. דרך איזו נקודה על הפרבולה = + צריך להעביר משיק, כדי ששטח הטרפז, הנוצר על ידי * ( 4) =, המשיק והישרים: = ו- = (השטח המקווקו שבציור) יהיה מינימלי?

43 4 נקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה = ברביע * ( 5) הראשון. Aהיא הנקודה (,) כאשר ידוע כי <.5 (ראה ציור). A א. בטא באמצעותאת שיעורי הנקודה B, שעבורה B המרחק AB הוא מינימלי. ב. מצא עבור איזה ערך שלהמרחק המינימלי. הוא =, ונתון משיק לפרבולה נתונה הפרבולה * ( 6) 6. = בנקודה שמשוואתו היא 9 הפרבולה מעבירים משיק נוסף לפרבולה. ) t ( t, שעל המשיקים נחתכים בנקודה M (ראה ציור). (t,t ) M ב. א. הבע את משוואת המשיק הנוסף באמצעות. t מצא את tשעבורו אורך הקטע, המחבר את הנקודה Mעם קודקוד הפרבולה יהיה מינימלי. A(,) במערכת צירים נתונות הנקודות (,)A ו- (,)B. ראשית הצירים היא בנקודה M.Oהיא * ( 7) O M נקודה על ציר ה- בתחום <. מה צריכים להיות B(,-) שיעורי הנקודה M, כדי שהסכום: OM +MA +MB יהיה מינימלי?

44 ס 4 ס 4 ס 5 4 פתרונות פרק. =.75 cm ()..5 p א. ) (. ב. כל צלע שווה ל- (). AE=.7 cm () (7) אורך: 4 ס"מ. B= 6, BC= 4 cm cm (6). AB= cm (5). AC= BC= 4 cm (4). AM = 5 / 9 סמ"ר. (9). =. = S רוחב: 5 ס"מ. (8) א. ב.. ב... 45, 45, 9 סמ"ר. () (). 4 5 cm (). R () בסיס קטן = (7) "מ. (6) "מ. צלע הבסיס: "מ. גובה:.5 (5). π, π, π 5 (4). 4 7 (). 4. סמ"ק. = = 9 (4). =, = 6 ס"מ. (9) ס"מ. (8) א. גובה: ס"מ. רדיוס: ב. 4 ס"מ. 48 () סמ"ק. 5 ().. A(,8) (7).CD= (6) A(, ) א. 6) A(,. ב. או 5) A(5,. א. ב. (5). PQ=4 (). = (9). S = 6 AOB א. AB=4. ב. א. אין. ב. (8). (.5,.75) (4).8 (). (.5,.5) (). M (4, ) ().t= / 7. = t t (6) ב א. ב. (5) א. ) /,( ). B( ( ) /. M (.845,) (7)

45 44 תרגילים פרק פתרון משוואות (משפט ערך הביניים, מונוטוניות (משפט רול), ניוטון רפסון ( () הוכח שלמשוואות הבאות יש בדיוק פתרון אחד: + + = = = + = (4.5sin 7 ( ln ( 4 (. b < c b c d () נתונה המשוואה = ונתון כי מהו מספר הפתרונות של המשוואה? הוכח את תשובתך. () עבור כל אחת מהמשוואות הבאות מצא את מספר הפתרונות ופתור אותה. e + sin = cos (4 ln( + 5) 4 = ( rctn = ( = (. f '( ), f () =, f () = פונקציה גזירה לכל המקיימת: (4) תהי f f ( ) + sin = הוכח שלמשוואה 4 יש בדיוק פתרון אחד. (5) הוכח שלמשוואות הבאות יש בדיוק שני פתרונות: + 4 = 8 ( = ( e 5= ( 4 (6) בכל אחת מהמשוואות הבאות מצא קשר בין הפרמטרים על מנת שלמשוואות יהיה בדיוק פתרון אחד (הנח שכל הפרמטרים שונים מאפס) = ( + + = ( b c d b c n> odd + b + c d = + b = n n n 4 ( 4, ) (4 cos( ) ( פתור את המשוואות הבאות (סעיפים, בשיטת ניוטון רפסון): + + = + = + + = ( 4 8 ( 7 6 ( (7) פתרונות פרק =. (4 = 4 ( = ( () פתרון יחיד. () ( = או < b b > ( 4b c< ( b 4c= ( (6) b n nc n ( ) 4 ( 4) < (4 =.5576, =.967 (. פתרון מדויק = פתרונות מקורבים ( (7) ( פתרון מקורב =.8459

46 45 תרגילים פרק 4 משפט לגרנג' () הוכח את אי השוויונים הבאים בתחום הרשום לידם: ( ) ( ) ( ) b b b < < < ln < ( b ( b) b b < < b < b < ( b ( ) π b b < < b< < tn b tn < ( cos cos b b b < b ( b) e < e e < ( b) e (4 b b < < b < rctn b rctn < (5 + b + b b < < b< < rcsin b rcsin < (6 b b rcsinh( b) rcsinh( ) b < < < < (7 + b b + ( b) b b < < b< < rc tnh( b) rc tnh( b) < (8 b ( ) n b n n n b < < b b < b < (9 n b n ( ) b( b ) b + ( b ) < < < ln ( < b ( b) ( ) ( ) ( ) () הוכח את אי השוויונים הבאים בתחום הרשום לידם: π > < rctn < ( tn ( < < < < + cos > < rc sinh( ) < (4 < < < rcsin < ( + > < ln( + ) < (6 < < < rc tnh( ) < (5 + ( ) ( ) ( ) ( ) > sin (8 > + < e < + e (7 π < < > + < < ( ) * rctn ln( ) ( tn < 4 (9

47 א) 46 () הוכח את אי השוויונים הבאים: cos cos ( sin sin ( * tn tn 8 sin sin ( 4 rctn rctn < ( (4) הוכח את אי השוויונים הבאים: + < <.5 ( < ln < ( π π π 4 π + < rcsin(.6 ) < + (4 + < rctn ( < f '( ) 5 תהי ) f ( פונקציה גזירה לכל המקיימת. 5). ידוע כי = 8 (4) f. f () =, הוכח כי = 8 () f. f '( ) 7 תהי ב. ) f ( פונקציה גזירה לכל המקיימת. ידוע כי = 8 (4) f. f () =, הוכח כי () f 4 * תרגיל סעיף ותרגיל סעיף 4 עוסקים במשפט קושי שהוא הכללה של משפט לגרנג', ולפיכך רלוונטיים רק אם למדת משפט זה.

48 47 נוסחאות גבולות = = =, = = + e e e e = = = = = ln + ln( ) = ln( ) = π π = rctn tn( ) = tn() = tn( ) = =, > = = = = = = =, < < = sin sin = = cos cos = sin = tn = = + e (from right) e = ( + ) e + = = = = = = Defined Limits: =, ( ) =, + =, ± =, ( ± ) =±, / ( ± ) =± Undefined Limits :,,,,,,

49 48 נוסחאות נגזרות. = ' =. = f n ' = n f n f '. = e f ' = e f f ' 4. = f ' = f f ' ln 5. = ln f ' = f ' f 6. = sin f ' = cos f f ' 7. = cos f ' = sin f f ' 8. = tn f ' = f ' cos f 9. = cot f ' = f ' sin f. = rcsin f ' = f ' f. = r cos f ' = f ' f. = rctn f ' = f ' + f. = r cot f ' = f ' + f 4. = sinh f ' = cosh f f ' 5. = cosh f ' = sinh f f ' 6. = tnh f ' = f ' cosh f 7. = coth f ' = f ' sinh f = = g( ) g( ) 8. f ( ) ' f ( ) ( g( ) ln( f ( ))'

50 49 נוסחאות אינטגרלים d= + c n+ n+ n n ( + b) d= + c n ( + b) d= + c n n+ n+ d= ln + c d ln b c = b + b + b e d= e + c e d= e + c k + b k d= + c + b k ln k k d= + c ln k cosd= sin + c cos( + b) d= sin( + b) + c sin d= cos+ c sin( + b) d= cos( + b) + c tn d= ln cos + c tn( + b) d= ln cos( + b) + c cot d= ln sin + c cot( + b) d= ln sin( + b) + c d= tn + c d tn( b) c cos = + + cos ( + b) d= cot + c d= cot( + b ) + c sin sin ( + b) d= ln + tn + c d ln cot c cos cos = + sin sin d= rctn c d ln c + = d= rcsin + c d= ln + ± + c ± f ' = + f = + d ln f c f f ' d f c f f e f ' d= e + c cos f f ' d= sin( f ) + c f ' sin f f ' d= cos( f ) + c d= f + c f f f ' d= f + c u v' d= u v u ' vd

51 sin α+ cos α = 5 נוסחאות טריגו sinα tnα = cosα cosα cotα = sinα sin α = sinα cosα α α α α α + tn α = cos α cos = cos sin = sin = cos + cot α = sin α sin α = ( cos α) cos α = (+ cos α) sinα cosβ = ( sin( + β ) + sin( α β )) sinα sinβ = ( cos( β ) cos( α+ β )) cosα cosβ = cos( + β ) + cos( α β ) ( ) = α+ π k sin = sinα = ( π α) + π k = α+ π k cos = cosα = α + π k tn = tnα = α+ π k cot = cotα = α+ π k sin = = π k π cos = = + π k

52 5 נוסחאות אלגברה ( + b) = + b+ b + b = ( + b) b ( b) = b+ b b = ( b)( + b) ( b) = b+ b b b = ( b)( + b + b) ( + b) = + 4 b+ 6 b + 4b + b b = ( + b ) b ( b) = 4 b+ 6 b + 4b + b b = ( b )( + b ) ( + b) = + b+ b + b + b = ( + b)( + b b) m n m+ n >, b> = m ln + ln b= ln b m n = n ln ln b= l n n m mn ( ) = b ln=, ln e= n n n ( b) = b n ln e = n n n n = ln = nln ( > ) n b b ln e = = b bln = e n k = ln n = k = e m n m n =, = = b = ln b if = = if b < = d b c b = b c d = b b b c e f d f d e < < < d e f = b + c h i g i g h > < or > g h i

53 5 נוסחאות - טורי מקלורן של פונקציות חשובות תחום התכנסות טור מקלורן e n = = n!!!! n= < < n+ 5 7 n sin = ( ) = < < (n+ )!! 5! 7! n= n 4 6 n cos = ( ) = < < ( n)!! 4! 6! n= n+ 4 n ln( + ) = ( ) = n+ 4 n= < rctn = n= n+ 5 7 n ( ) = n+ 5 7 n = = < < n=... m m( m )... ( m n+ ) n ( + ) = + n= n! m( m ) m( m )( m ) = + m+ + +!!... ( m> ) < ( < m< ) < < ( m ) m,,,,...

Microsoft Word - shedva_2011

Microsoft Word - shedva_2011 שיטות דיפרנציאליות ואינטגרליות הפקולטה להנדסה אוניברסיטת תל אביב גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה

קרא עוד

Microsoft Word - עבודת פסח לכיתה י 5 יחל.doc

Microsoft Word - עבודת פסח לכיתה י 5 יחל.doc עבודת פסח במתמטיקה לכיתה י' (5 יחידות) תרגילים שבעבודה על החומר שנלמד בכיתה ומיועדים לחזרה יש לעשות לא פחות מ- תרגילים מכל פרק אלגברה פתור את מערכת המשוואות הבאות: y x 1 y y 1 x y m x 1 x עבור אילו ערכים

קרא עוד

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, 635863 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 תלמיד קנה 11 מחברות דקות ו- 4 מחברות עבות,

קרא עוד

Microsoft Word - hedva 806-pitronot-2011.doc

Microsoft Word - hedva 806-pitronot-2011.doc ו- ( ( השייכים לתחום ההגדרה שאלה פתרון: א. לפי ההגדרה, f היא פונקציה זוגית, אם לכל ( ) שלה, מתקיים. f f נציב את במקום בפונקציה הנתונה ונקבל: ( ) ( ) ( ) + + + + ( ) f f f כלומר, הפונקציה היא זוגית. על

קרא עוד

א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש בגרות סט יולי 09 מועד קיץ ב שאלון CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף

א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש בגרות סט יולי 09 מועד קיץ ב שאלון CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש 3 CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף, E בהתאמה. לכן, הנקודה BE.3: לצלעות AE מחלקת את ו- AB ביחס של ע"פ נוסחת חלוקת קטע ביחס נתון

קרא עוד

Microsoft Word - 38

Microsoft Word - 38 08.05.6-80 - פתרון מבחן מס' 8 (ספר מבחנים שאלון 0580) t (v 75) (א) מהירות ההתקרבות של שני הרוכבים היא לכן הזמן שעבר מיציאת הרוכבים ועד הפגישה: קמ"ש, שעות 60 v 75 לפי הנתון בשאלה, נרכיב את המשוואות: 60

קרא עוד

מתמטיקה של מערכות

מתמטיקה של מערכות מתמטיקה של מערכות פתרון לתרגיל נגזור את שני האגפים לפי ונקבל : ) ולכן נתון ש- אז א ) e e נתון ש- א ) נגזור את שני האגפים לפי ונקבל: e, ולכן ) e e e ונקבל: נחלק את שני האגפים ב- נתון ש- ו- וגם ש- פונקציות

קרא עוד

טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נ

טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נ טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נתון כלשהו.. אין צורך לענות על השאלות לפי סדר הופעתן.

קרא עוד

îáçï îúëåðú îñ' 1

îáçï îúëåðú îñ'  1 5 יח"ל מבחני חזרה במתמטיקה - במתכונת בחינות הבגרות לפי מיקוד הבחינה - קיץ 003 "כדי לקלוע למטרה צריך לכוון קצת למעלה ממנה" בעריכת: סרור אסעד אפריל 003 (úåãå ð 50) 'ñî úðåëúî ïçáî 'à ìç äøáâìà,øåùéîä úñãðä

קרא עוד

עב 001 ינואר 12 מועד חורף פתרונות עפר

עב 001 ינואר 12 מועד חורף פתרונות עפר ק( נסמן ב- את מהירות המשאית שיצאה מעיר A (קמ"ש, קבועה) בגרות עב ינואר מועד חורף שאלון 35 נסמן ב- y את מהירות המכונית שיצאה מעיר B (קמ"ש, קבועה) B A נסמן ב- s את המרחק מעיר לעיר "מ) s v עד מפגש ראשון משאית

קרא עוד

2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק

2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך( כלל השרשרת S ( z) z + על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק מקביל : f ( ) + הפונקציה מוגדרת וגזירה ברציפות בכל M( ) שאלה נתון פרבולואיד אליפטי P ( z) + 6 + z + 8 למישור

קרא עוד

Microsoft Word - 01 difernziali razionalit

Microsoft Word - 01 difernziali razionalit פונקציות רציונליות 5 יחידות מתוך הספר 806 כרך ד' 0, כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי חל איסור מוחלט לתרגם, להעתיק או לשכפל חוברת זו או קטעים ממנה, בשום צורה ובשום אמצעי אלקטרוני, אופטי או מכני (לרבות

קרא עוד

ע 003 מרץ 10 מועד מיוחד פתרונות עפר

ע 003 מרץ 10 מועד מיוחד פתרונות עפר בגרות ע מרץ 0 מועד מיוחד שאלון 5005. x א. () יש למצוא את הערך של m שעבורו גרף + ) mx f ( x) mm ( 6) x + ( כאשר נציב m או 6 m נקבל 0 0 ונקבל פונקציה עולה ובהתאם הישר לא מקביל לציר ה - הוא ישר המקביל לציר

קרא עוד

תרגול 1

תרגול 1 תרגול rcsin d rcsin t d שאלה חשב את האינטגרלים המסוימים הבאים: sin cos d rcsin d sin cos d א ב ג פתרון שאלה סעיף א נציב dt sin d t cos עבור נקבל t cos cos עבור נקבל sin cos d tdt סעיף ב נפתור תחילה בעזרת

קרא עוד

תאריך הבחינה 30

תאריך הבחינה   30 אוניברסיטת בן-גוריון בנגב מדור בחינות 9//8 תאריך הבחינה : ד"ר ס. סמית, דר' דבורה שמות המורים : פרץ, פרופ' גריגורי דרפל מבחן ב: חדו"א ג' --9 מס' הקורס: מיועד לתלמידי: ביולוגיה, כימיה וגאולוגיה ב מועד: א

קרא עוד

בחינה מספר 1

בחינה מספר 1 תוכן העניינים בחינה מספר 1 4 אלגברה: 4 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: בחינה מספר 6 אלגברה: 6 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: 7 בחינה מספר 3 8 אלגברה: 8 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: 9 בחינה מספר 41 אלגברה: 01 חשבון

קרא עוד

עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה אפריל 5105 קשה בלימודים, קל במבחנים, קל בחיים עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה יש לפתור את כל השאלות

עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יחל פסח תשעה אפריל 5105 קשה בלימודים, קל במבחנים, קל בחיים עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יחל פסח תשעה יש לפתור את כל השאלות עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה יש לפתור את כל השאלות על דפים משובצים. רשמו את שמכם על כל אחד מהדפים הפתרונות יוגשו אחרי חופשת הפסח. מומלץ לכתוב דואר אלקטרוני, Whatspp כאשר נתקלים בקושי. מישהו

קרא עוד

סט נובמבר 08 מועד מיוחד - פתרונות עפר.doc

סט נובמבר 08 מועד מיוחד - פתרונות עפר.doc נפתור את מערכת המשוואות y+ 3 = 5 5 7 3 2y + = 8 3 נארגן את המשוואה הראשונה 1/ 5/ y+ 3 5 = 5 1 y+ 3= 5(5 ) y+ 3= 25 5 8+ y= 25 /5 נארגן את המשוואה השנייה 3 1 3 / / / 2y 7 3 8 + = 1 3 1 6y+ 7 3= 24 7+ 6y

קרא עוד

. [1,3] ו = 0 f(3) f(1) = עמוד 1 מתוך 6 דר' ז. אולחא מס' הקורס 9711 חדו''א הנ מכונות 1 f ( x) = ( x 1)( x 2)( x 3) c= f c = c (1,3), c תשובות I 1) פונ

. [1,3] ו = 0 f(3) f(1) = עמוד 1 מתוך 6 דר' ז. אולחא מס' הקורס 9711 חדו''א הנ מכונות 1 f ( x) = ( x 1)( x 2)( x 3) c= f c = c (1,3), c תשובות I 1) פונ . [,] ו 0 f() f() עמוד מתוך 6 ז. אולחא מס' הקורס 97 חדו''א הנ מכונות f ( ) ( )( )( ) f (,), תשובות I ) פונ' לכן קיים פתרון רציפה וגזירה בקטע כך ש 0 ) (? f ( ) +, ± ± 0.58 (, ),.58,.4 יש n פעמים להשתמש

קרא עוד

אנליזה מתקדמת

אנליזה מתקדמת א) א) ג) -- אוניברסיטת בן- מדור בחינות מס' גוריון בנגב תאריך הבחינה: 7/0/00 שם המרצים: פונף, בסר, טקצ'נקו, ליידרמן חדו"א א בחינה ב: 0--00 מס' הקורס: מתמטיקה,מדעי המחשב, הנדסת תכנה מיועד לתלמידי: א' מועד:

קרא עוד

מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יח"ל. פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטרי

מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יחל. פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטרי מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ - 015 הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יח"ל פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטריה האנליטית: ישר, מעגל, אליפסה ופרבולה בראיה מוכללת נושא

קרא עוד

1 בגרות עח יולי 18 מועד קיץ ב שאלון x b 2 2 y x 6x שיעור ה- א x לכן, של קדקוד הפרבולה, ו-, מתקבל על ידי הנוסחה a. C(3, 9) ובהתאם, y. (3, 9) 2 C

1 בגרות עח יולי 18 מועד קיץ ב שאלון x b 2 2 y x 6x שיעור ה- א x לכן, של קדקוד הפרבולה, ו-, מתקבל על ידי הנוסחה a. C(3, 9) ובהתאם, y. (3, 9) 2 C 8 מועד קיץ ב שאלון 58 x b y x x שיעור ה- א x לכן של קדקוד הפרבולה ו- מתקבל על ידי הנוסחה a C( 9) ובהתאם y ( 9) C 9 C הם x C ( ) תשובה: שיעורי קדקוד הפרבולה B A y x x ב הישר y 5 חותך את הפרבולה בנקודות

קרא עוד

Limit

Limit פרק אינטגרל כפול לכן לפי משפט 55 )ראו גם את ההערה( שאלות :5 d cos( ) d [ ] [] שאלות עם פתרון שאלה 5 חשבו: פתרון 8 הפונקציה ) f ( ) cos( מתקיים: רציפה במלבן d cos( ) d d cos( ) d עדיף לחשב את האינטגרל השני:

קרא עוד

מטלת מנחה (ממ"ן) 11 הקורס: חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות 2,1 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות סמסטר: ב 2007 מו

מטלת מנחה (ממן) 11 הקורס: חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות 2,1 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות סמסטר: ב 2007 מו מטלת מנחה (ממ"ן) הקורס: - חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות, 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות 337 סמסטר: ב 7 מועד אחרון להגשה: אנא שים לב: מלא בדייקנות את הטופס המלווה לממ"ן בהתאם לדוגמה

קרא עוד

Microsoft Word - 28

Microsoft Word - 28 8-6-7-8 - פתרון מבחן מס' 8 (ספר לימוד שאלון 87) y M (, ) y מרכז המעגל החוסם את המשולש נמצא בנקודת חיתוך האנכים האמצעיים y y לצלעות המשולש: y M _, y y R M ( M) ( M) () R M y m 9 9 69 9 9 9 9 (ב) משוואת

קרא עוד

Microsoft Word - solutions.doc

Microsoft Word - solutions.doc תחרות גיליס 009-00 הרי פוטר הגיע לחנות הדובשנרייה בהוגסמיד. הוא מגלה, שהכסף שלו מספיק בדיוק ל- סוכריות קוסמים ול- 5 קרפדות שוקולד, או בדיוק ל- 0 קרפדות שוקולד ול- 0 נשיקות מנטה, או בדיוק ל- 45 נשיקות מנטה

קרא עוד

משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון אינטגרל מסוים i שאינו תלוי בחלוקה ] [ ובחירה m. S f סכום אינטגרלי + f + K i lim S כאשר i 0. I f I הגדרה אם קיים נקרא אינטגרל מסוים ומסומן הצבה.[ רציפות ב- ] אז הוא f g g g כאשר f g g כאשר udv uv vdu g

קרא עוד

פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה עבודת קיץ לבוגרי כיתה ז' קבוצת מיצוי " שכונה מערבית, רח' הפסגה 17 כרמיאל דוא"ל:

פסגות עש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה עבודת קיץ לבוגרי כיתה ז' קבוצת מיצוי  שכונה מערבית, רח' הפסגה 17 כרמיאל דואל: עבודת קיץ לבוגרי כיתה ז' קבוצת מיצוי " סדר פעולות חשבון עם מספרים מכוונים )1( כמובן יש להראות את דרך פתרון. תרגיל 0 1 : ( 3) 1 ( ) פתרו. שימו לב לסדר פעולות החשבון. תשובה 1 )( )3( )4( )5( )6( )7( )8( 30

קרא עוד

בגרות עז יולי 17 מועד קיץ ב שאלון ,000 א. ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב-. 25% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי,

בגרות עז יולי 17 מועד קיץ ב שאלון ,000 א. ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב-. 25% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי, ,000 א ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב- 5% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי, 5% לכן, המחיר החדש הוא: 5,000 00 5 5 00 שקלים ממחירו הקודם 0005 תשובה: מחיר הספה לאחר ההתייקרות הוא

קרא עוד

mivhanim 002 horef 2012

mivhanim 002 horef 2012 מבחן מספר 1 (שאלון 00 חורף תשע"ב) בשאלון זה שש שאלות. תשובה מלאה לשאלה מזכה ב- 5 נקודות. מותר לך לענות, באופן מלא או חלקי, על מספר שאלות כרצונך, אך סך הנקודות שתוכל לצבור לא יעלה על. 100 אלגברה (x+ 5)

קרא עוד

MathType Commands 6 for Word

MathType Commands 6 for Word 0 אלגברה לינארית גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות

קרא עוד

08-78-(2004)

08-78-(2004) שאלון 00 מיקוד במתמטיקה מהדורת חורף תשס"ט 009 כתיבה: זיקרי אלברט, שמש שלמה - shemesh4@walla.co.il צוות עריכה מקצועית: ריטרבנד אוהד, נאות רז, מן מנחם, דוד ניר, ארביב עמוס, שטולבך אירית, שניידר איתן, כהן

קרא עוד

<4D F736F F D20EEF9E5E5E0E5FA20E3E9F4F8F0F6E9E0ECE9E5FA2E646F63>

<4D F736F F D20EEF9E5E5E0E5FA20E3E9F4F8F0F6E9E0ECE9E5FA2E646F63> משוואות דיפרנציאליות מושגי ייסוד: משוואה המקשרת את גורם הפונקציה עם הפונקציה והנגזרות שלה או הדיפרנציאלים שלה, נקראת "משוואה דיפרנציאלית רגילה" לפתור משוואה דיפרנציאלית פירושו, למצוא את הפונקציה המקיימת

קרא עוד

HaredimZ2.indb

HaredimZ2.indb יחידה :31חופפים משולשים נחפוף משולשים ונוכיח תכונות של אלכסוני משולשים שווה שוקיים ואלכסוני המלבן. שיעור.1חופפים במשולש שווה שוקיים נחקור ונוכיח תכונות של משולש שווה שוקיים נתון משולש שווה שוקיים שבו.

קרא עוד

Microsoft Word - Sol_Moedb10-1-2,4

Microsoft Word - Sol_Moedb10-1-2,4 הפקולטה למתמטיקה - הטכניון חיפה מד''ח - 48 חורף תשע''א - בחינה סופית מועד ב' שאלה : תהי נתונה המד"ח הבאה: u + uu = y א. מצא את העקומים האופייניים של משוואה זו בצורה פרמטרית. ב. פתור את המד"ח הנתונה לעיל

קרא עוד

ע 001 ינואר 10 מועד חורף פתרונות עפר

ע 001 ינואר 10 מועד חורף פתרונות עפר בגרות ע 00 ינואר 0 שאלון 50 הציר האופקי, ציר ה-, x מתאר את הזמן שעובר, בשניות, מתחילת השחייה כל משבצת היא בת 0 שניות הציר האנכי, ציר ה - y, מתאר את המרחק מקצה הבר כה כל משבצת היא בת 0 מטר כאשר הקו עולה

קרא עוד

סז 002 נואר 07 מועד חורף פתרונות עפר

סז 002 נואר 07 מועד חורף פתרונות עפר הציר האופקי מציג את מספר פעימות המונה הציר האנכי מציג את המחיר שגובה חברת הטלפונים (שקלים) ב. א. יש למצוא מהו המחיר ל- 00 פעימות המונה הראשונות בחודש. הנקודה המסומנת בגרף, בעיגול, מראה כי עבור 00 פעימות

קרא עוד

1 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי II גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון

1 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי II גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל-   כתב ופתר גיא סלומון חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי II גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד שאלות

קרא עוד

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות)

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות) 5 עבודת קיץ לתלמידי כיתה ט' העולים לכיתה י )רמה יחידות( את העבודה יש להגיש למורה למתמטיקה תחילת שנה הבאה. בשבועיים הראשונים של שנת הלימודים יתקיים מבחן לפי העבודה. לעבודה חלקים:. תרגול בסיסי לתלמידי 5

קרא עוד

יחידה 8: שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות שיעור 1. שיקוף בציר x תלמידים התבקשו לשרטט פרבולה שכל הערכים שלה שליליים. y יואב ש רטט כך: y תומר אמר: אי-אפשר

יחידה 8: שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות שיעור 1. שיקוף בציר x תלמידים התבקשו לשרטט פרבולה שכל הערכים שלה שליליים. y יואב ש רטט כך: y תומר אמר: אי-אפשר יחידה 8: שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות שיעור 1. שיקוף בציר תלמידים התבקשו לשרטט פרבולה שכל הערכים שלה שליליים. יואב ש רטט כך: תומר אמר: אי-אפשר זיו ש רטט כך: מי צודק? נשקף בציר את הגרף של, = ונלמד את

קרא עוד

! 1! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) xyy = 1 x y xy 2 = 2xy 2 מצא את הפתרו' הכללי: x y y = 3 א) y ג) ב) ד) y tan x = y (1 ( x+ y

! 1! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) xyy = 1 x y xy 2 = 2xy 2 מצא את הפתרו' הכללי: x y y = 3 א) y ג) ב) ד) y tan x = y (1 ( x+ y !! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) tan ( a a z 0 a z s ds dt (רמז: cos d d ז) d ( ) d ( ) ח) ) מצא את הפתרונות המקיימי :. () 0 ( ). (). () 0 d ( ) d ( ) π. sin ln ) tan cos d cos d

קרא עוד

פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה -

פסגות עש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה - פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה יחס פרופורציה וקנה מידה נוסחאות הכפל המקוצר ופירוק לגורמים פתרון משוואות, אי שוויונות ומערכת משוואות ממעלה ראשונה שאלות מילוליות משוואות ריבועיות שברים

קרא עוד

<4D F736F F D20FAF8E2E5EC20E0ECE2E1F8E420EEF2E5F8E D F9E0ECE5FA2E646F63>

<4D F736F F D20FAF8E2E5EC20E0ECE2E1F8E420EEF2E5F8E D F9E0ECE5FA2E646F63> < 0 a b b a > 0 נתון: מכאן ניתן לומר בוודאות כי -. a < b ab < 0 a 0 b > לא ניתן לקבוע בוודאות.. ( 0)?. לא ניתן לדעת. + ( + ) ( ) + + נתון: כמה ערכי שונים מקיימים את המשוואה?. אינסוף 0 +. תשובות ו נכונות

קרא עוד

מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignment 2 solution - Finding Roots of Nonlinear Equations y cos(x) שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y x 3 1 ושל ממש פתרונות

מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignment 2 solution - Finding Roots of Nonlinear Equations y cos(x) שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y x 3 1 ושל ממש פתרונות מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignmnt 2 solution - Finding Roots of Nonlinar Equations y cos() שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y 3 1 ושל ממש פתרונות בעזרת שיטת החצייה ובעזרת Rgula Falsi )אין צורך לפתור אנליטית(

קרא עוד

שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימ

שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימ שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימודי מתמטיקה בשנה א. אין מבחני כניסה לקורסים אלו, אולם

קרא עוד

מבחן חוזר במכניקה 55 א יא יח""ללח פתור 3 מהשאלות 1-5 לכל שאלה 33%. חומר עזר מותר מחשבון ונוסחאון של בגרות. v m sec משך הבחינה 105 דקות. שאלה מספר 1 4

מבחן חוזר במכניקה 55 א יא יחללח פתור 3 מהשאלות 1-5 לכל שאלה 33%. חומר עזר מותר מחשבון ונוסחאון של בגרות. v m sec משך הבחינה 105 דקות. שאלה מספר 1 4 מבחן חוזר במכניקה 55 א יא יח""ללח פתור 3 מהשאלות 1-5 לכל שאלה 33%. חומר עזר מותר מחשבון ונוסחאון של בגרות. v sec משך הבחינה 105 דקות. שאלה מספר 1 4 גוף נע לאורך ציר X כך שברגע. x הוא נמצא 0 t 0-10 16 19

קרא עוד

Microsoft Word - madar1.docx

Microsoft Word - madar1.docx משוואות דיפרנציאליות רגילות גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות

קרא עוד

תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: כל הזכויות שמורות

תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: כל הזכויות שמורות תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: st.negishut@weizmann.ac.il תוכן העניינים מטרות התיק... 3 זמני עבודה משוערים... 3 החומרים והעזרים הדרושים... 4 רקע... 5 הצעה למהלך העבודה...

קרא עוד

<4D F736F F D20F4F8F720E7F9E9E1E420EBEEE5FAE9FA203120E9E5ECE E646F63>

<4D F736F F D20F4F8F720E7F9E9E1E420EBEEE5FAE9FA203120E9E5ECE E646F63> הסברים לפרק כמותי : :úåðåëðä úåáåùúä 0 9 8 7 6 5 5 0 9 8 7 6 5. התשובה הנכונה היא: (). עלינו לקבוע איזה מהביטויים שבתשובות אינו זוגי. משום שהשאלה עוסקת בתכונת הזוגיות, ננסה ללמוד מהנתון על זוגיותם של x

קרא עוד

Microsoft Word - 14

Microsoft Word - 14 9-5-27-4 - פתרון מבחן מס' 4 (ספר לימוד שאלון 3586) קמ"ש $ y קמ"ש % ppleסמן ב- קמ"ש את מהירות המכוppleית וב- y קמ"ש את מהירות המשאית () $ y 4 המשאית הגיעה ל- B לאחר המפגש עם המכוppleית כלומר ppleקבל את

קרא עוד

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות)

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות) עבודת קיץ לתלמידי כיתה ט' העולים לכיתה י )רמה יחידות( את העבודה יש להגיש למורה למתמטיקה תחילת שנה הבאה. בשבועיים הראשונים של שנת הלימודים יתקיים מבחן לפי העבודה. לעבודה חלקים:. תרגול בסיסי לתלמידי יחידות

קרא עוד

פונקציה מסדר ראשון; הגדרת קו ישר: - הצגה ע"י ביטוי אלגברי וגרפי

פונקציה מסדר ראשון;  הגדרת קו ישר: - הצגה עי ביטוי אלגברי וגרפי המרכז לחינוך מדעי תל אביב-יפו פתח דבר ספר זה שלפניכם, "מתמטיקה לפיזיקאים" הוא פרי יוזמה של חברי צוות חמד"ע, המתמודדים כל שנה עם הצורך בהתאמת הידע המתמטי של תלמידי הפיזיקה לדרישות הלימודים. תודתי העמוקה

קרא עוד

Microsoft Word - dvar hamaarehet_4.8.docx

Microsoft Word - dvar hamaarehet_4.8.docx מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי المرآز القطري لمعلمي الرياضيات في المرحلتين الاعدادية والثانوية מרובע חסום ועקשן, או נכדי מסר לטיפולי בעיה בגיאומטריה מדור: כתב: תקציר: זה קרה לי בכיתה אברהם

קרא עוד

Untitled

Untitled 2 אגודת הסטודנטים, בן-גוריון 3 פתרון מבחן מועד ב', חדו"א 2 להנדסת חשמל, סמסטר ב', תשע"ו שאלה : א הטור המגדיר את fx הוא טור טלסקופי. הסכומים החלקיים של טור זה הם S n x n k kxe kx k xe k x nxe nx x fx lim

קרא עוד

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות)

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות) עבודת קיץ לתלמידי כיתה ט' העולים לכיתה י )רמה - יחידות( את העבודה יש להגיש למורה למתמטיקה תחילת שנה הבאה. בשבועיים הראשונים של שנת הלימודים יתקיים מבחן לפי העבודה. התייחסות רצינית להכנת העבודה היא תנאי

קרא עוד

אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,653 באר-שבעISRAEL 10584P.O.B. 653, BEER SHEVA , המזכירות האקדמית המרכז ללימודים

אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,653 באר-שבעISRAEL 10584P.O.B. 653, BEER SHEVA , המזכירות האקדמית המרכז ללימודים אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,65 באר-שבעISRAEL 058P.O.B. 65, BEER SHEVA 8 05, המזכירות האקדמית המרכז ללימודים קדם אקדמיים אלגברה - נוסחאות הכפל מקוצר גיליון תרגילים מס'

קרא עוד

מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית

מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית צוות המתמטיקה במטח: ראש תחום מתמטיקה: ד"ר שרה הרשקוביץ מנהלת צוות פיתוח מתמטיקה לבית הספר העל יסודי: ד"ר בבה שטרנברג צוות הפיתוח: רגינה אובודנקו, ד"ר אלכס אוליצין, אסנת

קרא עוד

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם י

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם י עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם יודעים כיצד לפתור אותן. את העבודה יש להגיש במהלך השבוע

קרא עוד

<4D F736F F D20F4F2E5ECE5FA20EEE5EEF6E0E5FA20312E646F63>

<4D F736F F D20F4F2E5ECE5FA20EEE5EEF6E0E5FA20312E646F63> 1 תרגול פעולות מומצאות ( ( $ מה מהתשובות לא יכולה להיות תוצאה של הפעולה ) ( $ 1 הוגדרה פעולה חדשה $ + 1 1 + 10 + () () מה תוצאת הפעולה ) ( @ @ 10 = הוגדרה הפעולה החדשה 10 1 () 10 () 10 $ 19 $ 17 a) ( $

קרא עוד

מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות

מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות תורת הקבוצות מושגים בסיסיים מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות חוברת תרגילים כתוב באופן מפורש את הקבוצות הבאות: 5 2x + 3< היא קבוצת המספרים השלמים המקיימים : 7 B היא קבוצת האותיות הקודמות לאות f באלף-בית הלטיני.

קרא עוד

Microsoft Word - SDAROT 806 PITRONOT.doc

Microsoft Word - SDAROT 806 PITRONOT.doc 5 יח"ל - תרגילים הכנה לבגרות תרגיל 8 נסמן ב- את האיבר הראשון ונסמן ב- את מנת הסדרה. על פי הנתון מתקיים: 6 ( S6 89 89 0 5 0 5 S0 S5 ( 0 5 0 t t 0 6 (. לפיכך, 89 5 נסמן t ונקבל: 5 t או או או 5 t נפסול את

קרא עוד

תרגול מרובעים- מקבילית נתונה מקבילית בעלת היקף בגודל 33 ס"מ, כמו כן אחת מצלעות המקבילית שווה ל- 8 ס"מ. מהו גודלה של שאר צלעות המקבילית בס"מ?.1 8 נתונה

תרגול מרובעים- מקבילית נתונה מקבילית בעלת היקף בגודל 33 סמ, כמו כן אחת מצלעות המקבילית שווה ל- 8 סמ. מהו גודלה של שאר צלעות המקבילית בסמ?.1 8 נתונה תרגול מרובעים- מקבילית נתונה מקבילית בעלת היקף בגודל 33 ס"מ, כמו כן אחת מצלעות המקבילית שווה ל- 8 ס"מ. מהו גודלה של שאר צלעות המקבילית בס"מ?.1 8 נתונה מקבילית שצלעותיה שוות ל- 3 ס"מ ול- 7 ס"מ. מהו הטווח

קרא עוד

פתרונות מלאים לשלב א' אולימפיאדה ארצית במתמטיקה חטיבה כיתות ז' 1. נתונה המשוואה השגויה הבאה: הזיזו גפרור אחד בלבד כדי שהמשוואה תהיה נכונה. פתרון לחידו

פתרונות מלאים לשלב א' אולימפיאדה ארצית במתמטיקה חטיבה כיתות ז' 1. נתונה המשוואה השגויה הבאה: הזיזו גפרור אחד בלבד כדי שהמשוואה תהיה נכונה. פתרון לחידו פתרונות מלאים לשלב א' אולימפיאדה ארצית במתמטיקה חטיבה כיתות ז'. נתונה המשוואה השגויה הבאה: הזיזו גפרור אחד בלבד כדי שהמשוואה תהיה נכונה. לחידות גפרורים יש לעיתים פתרונות רבים. אנו הצענו במחוון אחד: ישנו

קרא עוד

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות)

עבודת קיץ לתלמידים כיתה ט' העולים לכיתה י (רמה 4-5 יחידות) - עבודת קיץ לתלמידי כיתה ט' העולים לכיתה י )רמה יחידות( את העבודה יש להגיש למורה למתמטיקה תחילת שנה הבאה. בשבועיים הראשונים של שנת הלימודים יתקיים מבחן לפי העבודה. לעבודה חלקים:. תרגול בסיסי לכל תלמידי

קרא עוד

ðñôç 005 î

ðñôç 005 î ו - משופר נספח לשאלון 005 9005 תוכן עניינים: עמ' סדרות תוספת לאי-שיוויונים ממעלה שניה יישומים 40 (כולל יישום במשפט ויאטה לעומת הנספח הקודם, השאלות הבאות הוחלפו : עמ ' שאלה עמ ' שאלה עמ ' שאלה 6,7,8,9 0,

קרא עוד

<4D F736F F D20F4FAF8E5EF20EEE5F2E320E020F1EEF1E8F820E120FAF9F2E3>

<4D F736F F D20F4FAF8E5EF20EEE5F2E320E020F1EEF1E8F820E120FAF9F2E3> האקדמית תל אביב-יפו מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות מועד א' סמסטר ב' תשע"ד הפתרון לא נכתב על ידי גורם רשמי ובהחלט יכול להיות שנפלו טעויות פה ושם עשיתי כמיטב יכולתי אבל תשימו לב ותפעילו שיקול דעת אשמח לשמוע

קרא עוד

<4D F736F F D20EEE4F4EA20EEE0E420F9ECE5F9E9ED20E5F9E1F22E646F63>

<4D F736F F D20EEE4F4EA20EEE0E420F9ECE5F9E9ED20E5F9E1F22E646F63> 1 ----- ואלה עיקריו של המהפך במתמטיקה - 1 הוא המספר האי רציונלי היחידי, וכל שאר המספרים הם רציונליים. בפיסיקה - מסלולי התנועה הטבעיים של כוכבים, הם מסלולים בורגיים. בגיאומטריה - פאי משתנה ואינו קבוע. המהפך

קרא עוד

אי שוויונים ממעלה ראשונה לארבע יחידות

אי שוויונים ממעלה ראשונה לארבע יחידות אי שיוונים ממעלה ראשונה ל יח"ל. נעמי ברנס/כהן. המחברות: מיטל מתלון/מיכאלי. רטל חדד/בן רחמים הנחיות לשימוש בחוברת "אי שויונים ממעלה ראשונה" לתלמידי יח"ל החוברת מיועדת ללימוד עצמאי למי שלא למד את הנושא.

קרא עוד

תרגול מס' 7 – חזרה על MST ואלגוריתם Dijkstra

תרגול מס' 7 – חזרה על MST ואלגוריתם Dijkstra תרגול מס' 10 תכנון ליניארי תכנון לינארי הינו כלי שימושי במדעי המחשב. בקורס ראינו כיצד ניתן להציג בעיות שונות במסגרת תכנון לינארי. בנוסף, ראינו שימושים לדואליות של תוכניות לינאריות, אשר מקשרת בין בעיות

קרא עוד

במתמטיקה בגרויות + פתרונות וידאו מלאים (3 יח ל שאלון 182/183) וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL פתרונות הבחינות הראשונות במתנה! שתי אפליק

במתמטיקה בגרויות + פתרונות וידאו מלאים (3 יח ל שאלון 182/183) וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL פתרונות הבחינות הראשונות במתנה! שתי אפליק במתמטיקה בגרויות + פתרונות וידאו מלאים ( יח ל שאלון 8/8) וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MYGEVACOIL פתרונות הבחינות הראשונות במתנה! שתי אפליקציית MYGEVA חדש! אותי מאחור חפשו לשנת 08-09 עדכני הקדמה מורים

קרא עוד

מבנים בדידים וקומבינטוריקה סמסטר אביב תשע"ט מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s, הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול(, קיים

מבנים בדידים וקומבינטוריקה סמסטר אביב תשעט מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s, הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול(, קיים מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול( קיים תת-גרף שלם K s שצבוע בכחול או שקיים תת-גרף שלם K t שצבוע באדום. הגדרה שקולה: עבור גרף עם לפחות (t

קרא עוד

rizufim answers

rizufim answers ÌÈÙÂˆÈ מדריך למורה פעילות זו היא פעילות חקר לבדיקת כל אפשרויות הריצוף שבהן סידור מצולעים סביב קודקוד הוא זהה. המצולעים שבהם ישתמשו התלמידים הם: משולש שווה צלעות, משושה משוכלל וריבוע - כולם בעלי צלע באותו

קרא עוד

Algorithms Tirgul 1

Algorithms Tirgul 1 - מעגלי אוילר ומסלולי אוילר תרגול 1 חידה: האם אפשר לצייר את הציורים הבאים בלי להרים את העיפרון מהנייר? 1 קצת אדמיניסטרציה אופיר פרידלר ophir.friedler@gmail.com אילן כהן - ilanrcohen@gmail.com שעות קבלה

קרא עוד

Microsoft Word - ExamA_Final_Solution.docx

Microsoft Word - ExamA_Final_Solution.docx סמסטר חורף תשע"א 18 בפבואר 011 הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצה: מתרגלים: רן אל-יניב נועה אלגרבלי, גיא חפץ, נטליה זילברשטיין, דודו ינאי (אחראי) סמסטר חורף תשע" מבחן סופי פתרון (מועד

קרא עוד

שם כיף עם ג'ף מאגר פעילויות חלק א' חוברת של פעילויות מתמטיות: העשרה, העמקה, משחקים ואתגרים כיתה

שם כיף עם ג'ף מאגר פעילויות חלק א' חוברת של פעילויות מתמטיות: העשרה, העמקה, משחקים ואתגרים   כיתה שם כיף עם ג'ף מאגר פעילויות חלק א' חוברת של פעילויות מתמטיות: העשרה, העמקה, משחקים ואתגרים www.kefwithjeff.org כיתה Happy New Year 8 0 80 80 0 8 8 8 8 8 08 8 0 0 בכל שורה ובכל טור יש את המספרים עד כולל.

קרא עוד

פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד

פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה 2-7012610-3 תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד ב' שם המרצה: ערן עמרי, ענת פסקין-צ'רניאבסקי חומר עזר:

קרא עוד

תשובות 1. משתנה וביטוי אלגברי 1 א פרצוף שמח, פרצוף עצוב וכו'... ב פרצוף שמח. ג - 8 עצוב, - 15 שמח. ד שמח, עצוב. עמ' 2 2 א תכלת. ב 5. ג אי-

תשובות 1. משתנה וביטוי אלגברי 1 א פרצוף שמח, פרצוף עצוב וכו'... ב פרצוף שמח. ג - 8 עצוב, - 15 שמח. ד שמח, עצוב. עמ' 2 2 א תכלת. ב 5. ג אי- 1. משתנה וביטוי אלגברי 1 א פרצוף שמח, פרצוף עצוב וכו'... ב פרצוף שמח. ג - 8 עצוב, - 15 שמח. ד - 567 שמח, - 784 עצוב. עמ' 2 2 א תכלת. ב 5. ג אי-זוגיים. ד זוגיים. ה 10, כתום. א 9. 4, 1, ב מספר המבנה בריבוע.

קרא עוד

שיעור 1

שיעור 1 שיעור קצב גדילת פונקציות אנחנו בודקים את היעילות האסימפטותית של האלגוריתם, כיצד גדל זמן הריצה כאשר גודל הקלט גדל ללא גבול. בדר"כ אלגוריתמים עם "סיבוכיות" ריצה טובה יותר יהיו יעילים יותר מלבד לקלטים קצרים

קרא עוד

א"ודח ב2 גרבימ הרש 1 רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא 13 בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא L יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע (x(t)

אודח ב2 גרבימ הרש 1 רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא 13 בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא L יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע (x(t) א"ודח ב גרבימ הרש רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע ttt t r רשאכ ttt :עטקב תופיצר תורזגנ תולעב [ab]. יהי F תופיצר תורזגנ

קרא עוד

דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n 1. y' n x n, y הנגזרת x.1 נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- (. x א. נחסר אחד מהחזקה. ב

דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n 1. y' n x n, y הנגזרת x.1 נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- (. x א. נחסר אחד מהחזקה. ב דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n n n, y הנגזרת נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- ( א נחסר אחד מהחזקה ב 7 y כאשר גוזרים כופלים בחזקה, 7 כלומר נרשום אותה משמאל ל-, ובחזקה של

קרא עוד

1 מבחן משווה בפיסיקה כיתה ז' משך המבחן 90 דקות מבנה השאלון : שאלון זה כולל 4 שאלות עליך לענות על כולן.כתוב את הפתרונות המפורטים בדפים נפרדים וצרף אותם

1 מבחן משווה בפיסיקה כיתה ז' משך המבחן 90 דקות מבנה השאלון : שאלון זה כולל 4 שאלות עליך לענות על כולן.כתוב את הפתרונות המפורטים בדפים נפרדים וצרף אותם 1 מבחן משווה בפיסיקה כיתה ז' משך המבחן 90 דקות מבנה השאלון : שאלון זה כולל 4 שאלות עליך לענות על כולן.כתוב את הפתרונות המפורטים בדפים נפרדים וצרף אותם בהגשה לטופס המבחן. חומרי עזר: 1.מחשבון. נספח הנוסחאות

קרא עוד

הטכניון מכון טכנולוגי לישראל אלגוריתמים 1 )443432( סמסטר חורף הפקולטה למדעי המחשב תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגור

הטכניון מכון טכנולוגי לישראל אלגוריתמים 1 )443432( סמסטר חורף הפקולטה למדעי המחשב תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגור תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגוריתמים לפתרון בעית מסלולים קלים מציאת מסלולים קלים ביותר מצומת ביותר ממקור יחיד. כלומר, V לכל צמתי הגרף. בעיה אחרת הקשורה לבעיה זו היא בעית ה-(

קרא עוד

תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L

תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L, K סימני יחס חד מקומיים,R לכל אחד מהביטויים הבאים,

קרא עוד

מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: סמסטר: א תשע"ח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מו

מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: סמסטר: א תשעח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מו מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: 26.01.2018 2 סמסטר: א תשע"ח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מורכבת מ- 6 שאלות. כל שאלה מזכה ב- 20 נקודות כך הנקודות

קרא עוד

Microsoft Word פרק 16 - פתרון משוואות רמה א

Microsoft Word פרק 16 - פתרון משוואות רמה א 0.0. דף עבודה פתרון משוואות ושאלות מילוליות נתונות שתי משוואות שקולות. 8 60 הסבירו מדוע המשוואות שקולות. 6) 4( שקולה למשוואות אלו? האם המשוואה 8 מצאו שתי משוואות נוספות השקולות למשוואות בסעיף. () משוואות.

קרא עוד

תכנון אלגוריתמים עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 02: , בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 003 מתרגל אחראי: אורי 0

תכנון אלגוריתמים עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 02: , בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 003 מתרגל אחראי: אורי 0 22 עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 2: 622, בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 3 מתרגל אחראי: אורי הוראות כלליות: כל עוד לא נאמר אחרת, כאשר הנכם מתבקשים לתאר אלגוריתם יש לספק את הבאות: תיאור

קרא עוד

Microsoft Word - אלגברה מעורב 2.doc

Microsoft Word - אלגברה מעורב 2.doc תרגול אלגברה? ( ), (6 ) 6 9 נתון:. מהו ערכו של. () () () (). למה שווה? a ai. נתון: a + 9 + 6a () () 7 () () אף תשובה אינה נכונה?. ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( ) () () () (). נתון: + 0 z z z iz

קרא עוד

תרגיל 5-1

תרגיל 5-1 תרגיל 1 יחסי העדפה, פונקציות תועלת, עקומות אדישות וקווי תקציב כל השאלות להלן מתייחסות לצרכן שהעדפותיו מוגדרות על סלי צריכה של שני מוצרים. העדפות אלה הן רציונאליות (ז"א, מקיימות את תכונות השלמות והטרנזיטיביות).

קרא עוד

חלק א' – הקדמה

חלק א' – הקדמה ספרות עזר: סירס-זימנסקי/פיסיקה תיכונית, קול וחום, פרקים ו- ; 3 חשמל ומגנטיות א', 5.8 Resnick & Halliday /Physics, part I,.4 Sears & Zemansky /Univesity Physics, 15.1, 16.6, 17.10, 8.8-8.9.1..3 מבוא מצבי

קרא עוד

מומנט התמדה

מומנט התמדה מומנט התמדה מילות מפתח: גוף קשיח, מומנט התמד,)nertia( מומנט כוח,)Torque( מטוטלת פיסיקלית, מטוטלת פיתול הציוד הדרוש:, דיסקת אלומיניום תלויה על תייל, גלילים פליז תלויים על תייל, - גלילי פליז עם הברגה, משקלות

קרא עוד

פיסיקה 1 ב' מרצים: גולן בל, משה שכטר, מיכאל גדלין מועד ב משך המבחן 3 שעות חומר עזר: דף נוסחאות מצורף, מחשבון אסור בהצלחה! חלק א'

פיסיקה 1 ב' מרצים: גולן בל, משה שכטר, מיכאל גדלין מועד ב משך המבחן 3 שעות חומר עזר: דף נוסחאות מצורף, מחשבון אסור בהצלחה! חלק א' פיסיקה 1 ב' 203-1-1391 מרצים: גולן בל, משה שכטר, מיכאל גדלין מועד ב 03.08.2017 משך המבחן 3 שעות חומר עזר: דף נוסחאות מצורף, מחשבון אסור בהצלחה! חלק א' - שאלות אמריקאיות (כל שאלה - 5 נק') - יש לסמן תשובה

קרא עוד

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation מה הם הגורמים שקובעים את רמת הפעילות הכלכלית, שער הריבית, רמת המחירים ורמת התעסוקה? הפעילות המשותפת במספר שווקים: פעילות ריאלית שוק הסחורות: CIGX-M עקומת IS (r,) שיווי משק ל פעילות מונטרית שוק הכספים:

קרא עוד

משוואות דפרנציאליות רגילות /ח

משוואות דפרנציאליות רגילות /ח qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty Version 10 uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq משוואות דפרנציאליות רגילות /ח wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

קרא עוד

<4D F736F F D20F4E9E6E9F7E420FAF8E2E5ED20ECF2E1F8E9FA20E4E2E4E420F1E5F4E9FA20496C616E2E646F63>

<4D F736F F D20F4E9E6E9F7E420FAF8E2E5ED20ECF2E1F8E9FA20E4E2E4E420F1E5F4E9FA20496C616E2E646F63> מתקף ותנע מבוא תרשים 1 כשמפעילים מתקף על גוף כלשהו, התנע שלו משתנה. שינוי התנע שווה למתקף, שהוא השטח מתחת לגרף הכוח כתלות בזמן: Δp = F dt 51 m v m v1 = dt 2 F כאשר F הוא הכוח המופעל על הגוף, p הוא השינוי

קרא עוד

סיכום אינפי 2 28 ביולי 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה ב

סיכום אינפי 2 28 ביולי 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה ב סיכום אינפי 2 28 ביולי 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך..אינני לוקחת אחריות על מה שכתוב מטה. השימוש

קרא עוד

סדרה חשבונית והנדסית

סדרה חשבונית והנדסית .2 סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות n = 5 טבעי על-ידי כלל הנסיגה: + = an + 3. סדרה מוגדרת לכל n רשמו את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה. הסבירו מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית עולה. מצאו את האיבר ה- 57 בסדרה.

קרא עוד

תכנות דינמי פרק 6, סעיפים 1-6, ב- Kleinberg/Tardos סכום חלקי מרחק עריכה הרעיון: במקום להרחיב פתרון חלקי יחיד בכל צעד, נרחיב כמה פתרונות אפשריים וניקח

תכנות דינמי פרק 6, סעיפים 1-6, ב- Kleinberg/Tardos סכום חלקי מרחק עריכה הרעיון: במקום להרחיב פתרון חלקי יחיד בכל צעד, נרחיב כמה פתרונות אפשריים וניקח תכנות דינמי פרק 6, סעיפים -6, ב- Kleinberg/Tardos סכום חלקי מרחק עריכה הרעיון: במקום להרחיב פתרון חלקי יחיד בכל צעד, נרחיב כמה פתרונות אפשריים וניקח בסוף את הטוב ביותר. סכום חלקי sum) (subset הקלט: סדרה

קרא עוד

עמוד 1 מתוך 5 יוחאי אלדור, סטטיסטיקאי סטטיסטיקה תיאורית + לוחות שכיחות בדידים/רציפים בגדול מקצוע הסטטיסטיקה נחלק ל- 2 תחומים עיקריים- סטט

עמוד 1 מתוך 5 יוחאי אלדור, סטטיסטיקאי סטטיסטיקה תיאורית + לוחות שכיחות בדידים/רציפים בגדול מקצוע הסטטיסטיקה נחלק ל- 2 תחומים עיקריים- סטט עמוד מתוך + לוחות שכיחות בדידים/רציפים בגדול מקצוע הסטטיסטיקה נחלק ל- תחומים עיקריים- וסטטיסטיקה היסקית; בסטטיסטיקה היסקית משערים השערות, משווים בין קבוצות באוכלוסיה ועוד, אך גם מ ניתן ללמוד הרבה על האוכלוסיה-

קרא עוד

תוצאות סופיות מבחן אלק' פיקוד ובקרה קיץ 2014

תוצאות סופיות מבחן  אלק' פיקוד ובקרה קיץ  2014 תוצאות סופיות למערכות אלק' פיקוד ובקרה להנדסאים וטכנאים מועד קיץ תשע"ד 7/2014 פותר המבחן: מתי דוד למרות מאמצי לפתור נכון, יתכן ונפלו טעויות בפתרון, אשמח לקבל הערותיכם בדוא"ל : @hotmail.com ההצלחה שלי היא

קרא עוד