פתרונות מלאים לשלב א' אולימפיאדה ארצית במתמטיקה חטיבה כיתות ז' 1. נתונה המשוואה השגויה הבאה: הזיזו גפרור אחד בלבד כדי שהמשוואה תהיה נכונה. פתרון לחידו

תמליל

1 פתרונות מלאים לשלב א' אולימפיאדה ארצית במתמטיקה חטיבה כיתות ז'. נתונה המשוואה השגויה הבאה: הזיזו גפרור אחד בלבד כדי שהמשוואה תהיה נכונה. לחידות גפרורים יש לעיתים פתרונות רבים. אנו הצענו במחוון אחד: ישנו עוד שמתרגם את התרגיל ל: מעלים גפרור מאמצע ה- 4 למעלה. אנחנו מניחים שמסתתרים אפילו עוד פתרונות. אם המשוואה נכונה התשובה נכונה. למוטי יש 25 מכוניות צעצוע חלקן אדומות וחלקן לא, חלקן מהירות וחלקן לא. כמות המכוניות המהירות שווה לכמות המכוניות האדומות. בנוסף, אם מכונית אינה אדומה אז היא בהכרח מהירה. למוטי יש 9 מכוניות אדומות שאינן מהירות. כמה מכוניות שהן גם אדומות וגם מהירות יש לו?.2 יש פה נתונים על תתי קבוצות של 25 המכוניות: נסמן A- מכוניות מהירות. B- מכוניות אדומות. נתון כי מספר האיברים בA שווה למספר האיברים בB. בנוסף אמרו כי אין מכוניות שאינן או בA או בB )בסימונים מתמטיים c c (. A B מכיוון שכמות האדומות שווה למהירות, נובע כי כמות המכוניות האדומות שאינן מהירות שווה לכמות המהירות שאינן אדומות. לכן קיבלנו את המצב בציור:

2 מהירות שאינן אדומות גם מהירות וגם אדומות אדומות שאינן מהירות וזה מכסה את כל 25 המכוניות. נתון כי יש 9 אדומות שאינן מהירות, ולכן יש 9 מהירות שאינן אדומות וקיבלנו כי מהירות וגם אדומות = = 7. רותם ודן הם ילדים בכיתה ז' ולמדו לאחרונה על מספרים ראשוניים מספרים שלמים שגדולים מ- ומתחלקים רק ב- ובעצמם )כמו 2,3,5(. רותם: "אני חושב שיש לי דרך לייצר מספרים ראשוניים ממספרים ראשוניים קטנים יותר" דן: "איך?" רותם: "אם p ראשוני אז גם 6p ראשוני" דן: "אני לא חושב שזה נכון" עזרו לדן למצוא דוגמה שתראה לרותם כי הוא טועה..3 יש לכך אינסוף דוגמאות. הנה כמה מהן: , הגעת לחדר ובו 4 דלתות ושומר. השומר אומר לך: "שלום. מאחורי אחת מהדלתות יש אוצר, ומאחורי השלוש האחרות מחכה לך עז. מעל כל דלת יש משפט ואינך יודע\ת אם הוא משפט אמת או משפט שקר. ידוע לך כי המשפט שמעל הדלת עם האוצר הוא משפט אמת." מעל הדלתות כתובים המשפטים הבאים: דלת : בדיוק אחד מהמשפטים של דלתות 3 ו- 4 הוא אמת. דלת 2: שני המשפטים של הדלתות האי-זוגיות הם שקריים. דלת 3: אף לא אחת מהדלתות האי-זוגיות מכילה את האוצר. דלת 4: אחת מהדלתות הזוגיות מכילה את האוצר. באיזה דלת תבחר\י?.4

3 .5 תחילה, לא ייתכן כי דלת 3 מכילה את האוצר, כיוון שאם מה שכתוב עליה הוא אמת, אז היא מעידה על עצמה שהיא לא מכילה את האוצר. על דלת כתוב שקר, כיוון שהיא טוענת ששתי טענות שקולות לוגיות אין מתקיימות במקביל. אם היא משקרת היא אינה מכילה את האוצר. לכן דלת 3 דוברת אמת וכך גם דלת 4 )טענותיהן שקולות(. אז דלת 2 משקרת ויש לנו רק דלת זוגית יחידה שדוברת אמת 4 והיא חייבת להכיל את האוצר. ניתן לקחת קובייה מנייר ולחתוך אותה לאורך חלק ממקצועותיה כך שכשנפריד אותה יהיה ניתן לשטח אותה על דף ולקבל צורה. לצורה המתקבלת מתהליך זה קוראים פרישה של קובייה. לדוגמא: קבעו עבור הצורות הבאות מי פרישה של קובייה, וסמנו בדף התשובות בעיגול את אלו שהן כן פרישה של קובייה: א( ב( ג( ד( איננו הולכים להראות את הקיפולים, אבל רק ג' לא ניתנת לקיפול לקובייה. )x x גדול או שווה ל- y (. נתון גם נתונים שני מספרים דו-ספרתיים, xy כך ש- y שמכפלתם xy היא מספר שכל ספרותיו זהות )כמו 333 או 5555(. מצאו את כל האפשרויות עבור. x.6 מכפלה של שני דו-ספרתיים חייבת להיות 3 ספרתית או 4 ספרתית. אם היא 4 ספרתית אז המספר מתחלק ב 0 שהוא ראשוני ולכן זה לא ייתכן. אז המספרים שמקיימים זאת הם הפירוקים הדו-ספרתים של מספרים אנו נבדוק מקרים ונראה שלא x. מכיוון ש 9 x 3 37 מהצורה. xxx המספר הזה הוא בדיוק x משנה כמה x גדול,. 3x אבל יש סיטואציות בהן x פריק ואפשר לכפול את 37 ב- 2. לדוגמא לכן האופציות הן 37 ו 74.

4 7. נתונה המשוואה הבאה: כאשר D,C,B,A הם ספרות שונות. מצאו את.A+B+C+D A חייב להיות כי. 0 A D D בגלל שהספרות שונות זה אומר שD הוא 9. זה גורר שB קטן יחסית והאופציה היחידה שנשארה זה 0. בודקים מה מתאים לספרה C ויוצא 8. כלומר 089*9=980. על כן סכום הספרות הוא לטיול הכיתתי יצאו בנים ובנות גם יחד. ידוע כי אחוז הבנות שיצאו לטיול מתוך כלל הילדים שיצאו לטיול היה גדול מ 45% אך קטן מ 50%. כמה ילדים לכל הפחות יצאו לטיול? 9 m m עבורם- הוא. צריך לבדוק זאת מספר המספר השלם הקטן ביותר n כך שקיים n 20 n 2 מספר. במקרה זה 5/ מהילדים הם בנות. 9. קבעו מה ההיקף של הצורה הבאה: נשים לב שלכל קיר מסומן יש "מקבילה" יחידה. מצ"ב צביעה שמדגימה את זה:

5 אז כל מספר כזה נספר פעמיים סך הכל נכנה מספר טבעי בשם מספר נחמד אם ברישום שלו מופיעות אך ורק ספרות אי- זוגיות )לדוגמא ו- 53 הם נחמדים, אבל 24 ו- 47 לא נחמדים(. כמה מספרים נחמדים ארבע-ספרתיים קיימים? הספרות אינן תלויות אחת בשנייה, ולכל אחת יש 5 אפשרויות, אז סך הכל מקבלים

6 אלו ארבעת המספרים המחומשים הראשונים: כיתות ח'. תשובה 09 כמה נקודות צריך להוסיף למספר המחומשי ה- 36 כדי להגיע למספר המחומשי ה- 37? ההפרש בין המספר המחומשי ה- n למספר המחומשי ה n הוא.09. לכן בין 37=36+ לבין 36 יש 3n 2. בהישמע הצלצול התלמידים מהרו לחדר האוכל והמורה שלהם אחריהם. כיוון שהתלמידים היו רעבים, הם הלכו מהר יותר ממנו. כשהתלמידים הגיעו לחדר האוכל המורה הספיק ללכת 80 מטרים. מכיוון שמותר להיכנס לחדר האוכל רק עם מורה,התלמידים עשו "אחורה פנה" ונפגשו עם המורה אחרי שהלך עוד 6 מטרים.מה המרחק מהכיתה לחדר האוכל? הערה: התלמידים והמורה נעים במהירות אחידה לאורך כל הזמן המתואר. תשובה סופית: 20 מטר. הסבר נסמן מהירות מורה, מהירות התלמידים, x מרחק מהכיתה לחדר האוכל. אזי לפי הנתונים s t t s v s I. II. v t 80 x v v t 6 x 96 v v t s s משתי המשוואות האלה אפשר לגלות כי. נחלץ את x ונקבל x 20 x x, 5 =5 = נכפול ב v v v v v s 5x 5 96 ונקבל - x הגעת לחדר ובו 4 דלתות ושומר. השומר אומר לך: "שלום. מאחורי אחת מהדלתות יש אוצר, ומאחורי השלוש האחרות מחכה לך עז. מעל כל דלת יש משפט ואינך יודע\ת אם הוא משפט אמת או משפט שקר. ידוע לך כי המשפט שמעל הדלת עם האוצר הוא משפט אמת." מעל הדלתות כתובים המשפטים הבאים: דלת : בדיוק אחד מהמשפטים של דלתות 3 ו- 4 הוא אמת. דלת 2: שני המשפטים של הדלתות האי-זוגיות הם שקריים. דלת 3: אף לא אחת מהדלתות האי-זוגיות מכילה את האוצר. דלת 4: אחת מהדלתות הזוגיות מכילה את האוצר. באיזה דלת תבחר\י?.3

7 תחילה, לא ייתכן כי דלת 3 מכילה את האוצר, כיוון שאם מה שכתוב עליה הוא אמת, אז היא מעידה על עצמה שהיא לא מכילה את האוצר. על דלת כתוב שקר, כיוון שהיא טוענת ששתי טענות שקולות לוגיות אין מתקיימות במקביל. אם היא משקרת היא אינה מכילה את האוצר. לכן דלת 3 דוברת אמת וכך גם דלת 4 )טענותיהן שקולות(. אז דלת 2 משקרת ויש לנו רק דלת זוגית יחידה שדוברת אמת 4 והיא חייבת להכיל את האוצר. x, y, נתון הביטוי. S מצאו את הערך הכי קטן עבור S אם נתון כי x y.) x, y, 5, x y, y, שונים בין ל 5 )כלומר x 5 S מספרים שלמים.4 תשובה: אנחנו רוצים לעשות את S הכי קטן שיש ולכן הביטוי במכנה צריך להיות הכי גדול שאפשר כלומר x y מקסימלי )כדי להשיג זאת צריך לבחור x הכי גדול שאפשר(. לכן y צריך להיות מינימלי )כדי להשיג זאת צריך לבחור y הכי קטן שאפשר(. לכן צריך להיות מקסימלי. המשקל של x יותר משמעותי מהמשקל של ולכן הבחירה המיטבית היא. x 5, y, 4 5. נתנו לכם שני גושי אבן גוש A ששוקל 3 קילוגרם וגוש B ששוקל 2 קילוגרם. בגוש A יש אחוז מסוים של זהב ובגוש B יש אחוז אחר של זהב - לא ידוע לכם מה אחוז הזהב בכל גוש, רק ידוע שהאחוזים שונים. הסבירו איך הייתם מחלקים את גוש A לשני חלקים ואת גוש B לשני חלקים כך שתוכלו להרכיב מארבעת החלקים שני גושים חדשים ששוקלים קילוגרם ו- 4 קילוגרמים ויש בהם את אותו אחוז של זהב. תשובה סופית: את A נחלק לגוש במשקל 400 גרם וגוש במשקל 600 גרם ואת B לגוש במשקל 600 גרם וגוש במשקל 2400 גרם. הסבר אם נחלק את A ואת B ביחס של :4 אז הגושים החדשים ישקלו ק"ג ו- 4 ק"ג ובשניהם יהיה יחס של 2:3 מבחינת סוג הגוש. מכיוון שאחוזי הזהב בגושים המקוריים היו אחידים, בגושים החדשים יהיה אחוז שווה של זהב )עכשיו באופן לא אחיד, אבל זה לא משנה מבחינת החידה(. לקחו 2 מספרים שלמים לאו דווקא שונים - אפשר שיהיו חזרות. סכמו את כולם ויצא 206. לאחר מכן לקחו את המספר הגדול מבין כל המספרים )אם יש כמה כאלה, בחרו אחד מהם באקראי( וכפלו 2 אותו ב ולקחו את המספר הכי קטן )אם יש כמה כאלה, בחרו אחד מהם באקראי( והחסירו ממנו.6

8 9. לאחר מכן סכמו שוב את המספרים ויצא 206 שוב. מה היה הערך של המספר הכי קטן מבין 2 המספרים בהתחלה )לפני השינוי(? תשובה סופית: חלקי 2 יוצא 8. נסמן ב max את המספר הכי גדול וב min,.5 max max לכן. min 8 max אבל 9 המספרים הוא 8, בפרט הקטן ביותר מביניהם. את הכי קטן. מכיוון שהממוצע של max 8 וכל המספרים הם,8.7 כמה מספרים שש-ספרתיים שכל ספרותיהם מאותה הזוגיות יש? לדוגמה: 333 הוא מספר שש ספרתי שכל ספרותיו אי-זוגיות ולכן הוא צריך להיספר מספר שש ספרתי שכל ספרותיו זוגיות ולכן גם הוא צריך להיספר. לעומתם, מספר שש ספרתי שחלק מספרותיו זוגיות וחלק אי-זוגיות ולכן איננו סופרים אותו תשובה: מספר שש ספרתי שמורכב רק מספרות אי-זוגיות יש )6 5 ספרות שלכל אחת מהן 5 אפשרויות ואין מגבלה 5 על חזרות(. מספר שש ספרתי שמורכב מספרות זוגיות יש )5 45 הספרות האחרונות יכולות להיות כל ספרה זוגית כולל 0 אבל הספרה הראשונה, המובילה, חייבת להיות שונה מ 0 ולכן יש לה רק 4 אפשרויות( סך הכל לקחו ריבוע וחיברו כל קדקוד לאחד מאמצעי הצלעות שמולו כפי שמודגם בציור: נתון כי אורך הצלע של הריבוע הגדול הוא 0 מטרים. מה שטחו של הריבוע שנוצר באמצע? תשובה: 20 הוכחה יש כמה דרכים להוכיח זאת. אנחנו נבחר באחת יחסית אינטואיטיבית. הצורה שקיבלנו סימטרית לסיבוב ב 90 מעלות סביב מרכז הריבוע )מפגש האלכסונים(. זה גורר שהקווים מאונכים ומה שיש באמצע הוא באמת ריבוע. נביט במשולשים האלו - שימו לב כי זה משולש ישר זווית )נובע מהסימטריה המדוברת( עם ניצב אחד כפול באורכו של הניצב השני, והאורך הזה של הניצב הוא בדיוק אורך הצלע של הריבוע המרכזי. לכן חילקנו את הריבוע הגדול ל 5 חלקים עם שטח שווה. מכיוון שהריבוע הגדול בעל שטח 00 הריבוע באמצע הוא חמישית מכך, כלומר 20.

9 9. על רחבת הריקודים התאספו 5 בנים ו- 5 בנות. בכמה אופנים שונים ניתן לחלק אותם לחמישיית זוגות שבכל זוג יש בן אחד ובת אחת? הסבר: אם היו רק שתי בנות )נורית וגלית( ושני בנים )יערי וענבר( אז היו רק שתי דרכים לזווג אותם נורית עם יערי וגלית עם ענבר או נורית עם ענבר וגלית עם יערי. אתם צריכים לומר בכמה דרכים ניתן לזווג אותם במקרה של 5 ו- 5. תשובה: 5!=20. הסבר ממקמים את הבנים בשורה ואז הבת הראשונה בוחרת מישהו. יש לה 5 אפשרויות. לאחר מכן הבת השנייה בוחרת מישהו. יש לה 4 אפשרויות. וכן הלאה. סך הכל יוצא שיש !5 20 אפשרויות. 0. נקרא לשני מספרים שלמים חיוביים, xy לדוגמא 6,4 כמעט שכנים כי y x "כמעט שכנים" אם ו- מספרים שלמים. x y x y 6 4., 3 2 כמה "כמעט שכנים" יש למספר 206? תשובה: נפרק את 206 לגורמים ראשוניים: אז ל 206 יש מחלקים שונים. נשים לב שכל מחלק מייצר שני "כמעט שכנים" ל אם 206 d אז 206 d שניהם "כמעט שכנים" של 206. זה נכון לכולם חוץ מל 206 עצמו שמייצר רק "כמעט שכן" יחיד 4032 וזאת כיוון ש 0 אינו מספר חיובי. על כן יש לנו 35 2 כמעט שכנים.

10 .) c b b a כיתות ט' נתונים שלושה מספרים ממשיים חיוביים,, abc המהווים סדרה חשבונית )כלומר נתון גם ש. abc 8 מהו הערך הכי קטן ש- b יכול לקבל?. תשובה: 2 הוא מקסימלי כש x 0 ולכן זה המקרה b x abc b x b b x b b x נשים לב ש 3 שבו b יכול להיות הכי קטן. במקרה הזה b 8 וסיימנו.,y,x מספרים שלמים נתון הביטוי. S מצאו את הערך הכי קטן עבור S אם נתון כי x y.) x, y, 5, x y, y, שונים בין ל 5 )כלומר x 5 S תשובה: אנחנו רוצים לעשות את S הכי קטן שיש ולכן הביטוי במכנה צריך להיות הכי גדול שאפשר כלומר x y מקסימלי )כדי להשיג זאת צריך לבחור x הכי גדול שאפשר(. לכן y צריך להיות מינימלי )כדי להשיג זאת צריך לבחור y הכי קטן שאפשר(. לכן צריך להיות מקסימלי. המשקל של x יותר משמעותי מהמשקל של ולכן הבחירה המיטבית היא. x 5, y, 4 3. לכמה מספרים תלת ספרתיים יש לפחות שתי ספרות זהות? תשובה: 252. משתמשים בעקרון המשלים- יש 900 מספרים תלת ספרתיים. כדי שכל הספרות שלהם יהיו שונות, צריך לבחור את הספרה הראשונה )9 אפשרויות(, שהספרה השנייה תהיה שונה )9 אפשרויות( ושהספרה השלישית תהיה שונה משתי הראשונות )8 אפשרויות(. כלומר

11 4. נתון הציור הבא: מרובע ABCD הוא מלבן ונתון שהאורך של אלכסון המלבן הוא 6. הנקודה P נמצאת על AB ומתקיים.AD=AP הנקודה Q נמצאת על המשך הצלע AD ומתקיים.AB=AQ מצאו את השטח של המרובע.APCQ תשובה: 8 x,. AD BC אז השטח שאנחנו מחפשים הוכחה נסמן את אורכי הצלעות של המלבן ב AB CD y y x y x y x. SCDQ לכן, SAPCD הוא סכום של טרפז APCD ומשולש.CDQ y xy x xy x y. SAPCQ SCDQ SAPCD נתון כי אלכסון המלבן באורך 6 ולכן S לפי פיתגורס. אזי 8 x y 36 APCQ b 2 3x bx נתון כי הפתרונות למשוואה 5 0 שלמים. מצאו את אם נתון שהוא חיובי..5,s. אז לפי נוסחת וייטה - מכפלת את הפתרונות ב s2.נסמן x 2 תשובה סופית: 8. ss כיוון שהפתרונות שלמים ו 5 מספר ראשוני, האופציות 2 5 b x 5 נחלק את המשוואה ב 3 ונקבל 0 3 הפתרונות היא האיבר החופשי מקבלים כי הם: s,2,5 או. s,2, 5 שוב לפי וייטה, סכום הפתרונות הוא מינוס המקדם של x ומקבלים כי b. s כדי שb יהיה חיובי צריך את האופצייה ששני הפתרונות שליליים ואז s2 3 b.b נתון משולש שבו אמצעי שלושת הגבהים שייכים לאותו ישר. מה גודל הזווית הגדולה של משולש זה?.6 תשובה: גודל הזווית הגדולה הוא 90 מעלות.

12 הסבר אמצעי האנכים תמיד נמצאים על ישר האמצעים בין שתי צלעות. ציור להמחשה: אז הם נמצאים על שלוש צלעות שונות במשולש. כדי שהם יהיו על קו אחד שניים מהם חייבים להיות קדקודי המשולש זה אומר שאמצע הצלע ואמצע האנך הם אותה נקודה. כלומר האנך הוא הצלע, כלומר המשולש ישר זווית. במשולש ישר זווית הזווית הגדולה היא הזווית הישרה..7 y x נקרא לשני מספרים שלמים חיוביים, xy "כמעט שכנים" אם ו- מספרים שלמים. x y x y 6 4 לדוגמא 6,4 כמעט שכנים כי., 3 2 כמה "כמעט שכנים" יש למספר 206? תשובה: נפרק את 206 לגורמים ראשוניים: אז ל 206 יש מחלקים שונים. נשים לב שכל מחלק מייצר שני "כמעט שכנים" ל אם 206 d אז 206 d שניהם "כמעט שכנים" של 206. זה נכון לכולם חוץ מל 206 עצמו שמייצר רק "כמעט שכן" יחיד 4032 וזאת כיוון ש 0 אינו מספר חיובי. על כן יש לנו 35 2 כמעט שכנים. אתם נמצאים באי שבו יש אבירים וגנבים. האבירים תמיד אומרים אמת והגנבים תמיד אומרים שקר. אתם נתקלים בג'וני וג'ינה באי. ג'ינה אומרת לכם את המשפט הבא: "אם אני אבירה, אז גם ג'וני הוא אביר". האם ג'וני אביר או גנב? האם ג'ינה אבירה או גנבת? אם אין מספיק מידע כדי להכריע סמנו כי אין מספיק מידע..8 תשובה: שניהם אבירים. אם ג'ינה אבירה אז היא דוברת אמת וג'וני אביר. נראה כי ג'ינה לא יכולה להיות גנבת המשפט של ג'ינה שקול למשפט "ג'ינה גנבת או שג'וני אביר". אם ג'ינה גנבת אז היא שיקרה ולכן "ג'ינה אבירה וגם ג'וני גנב". אבל ג'ינה גנבת. סתירה. 9. מהו המספר הכי קטן של גפרורים שבאמצעותם ניתן ליצור 7 משולשים שווי צלעות: א( במישור? ב( במרחב? את שאלה זו מחבר השאלה הבין באופן הבא: קדקודי הצורה הם קצוות של משולשים וכל המשולשים חופפים. במקרה זה ה בא( הוא 4 ובב( הוא 9. אם מבינים אחרת את השאלה ניתן להוריד את התשובה בא( עד ל גפרורים)!( דוגמה עם 2:

13 לגבי השאלה כמו שהמחבר הבין אותה: שימו לב כי אם כל המשולשים חופפים אפשר לייצר גרף סמיכויות שלהם )בין שני משולשים יש קשת אם הם חולקים גפרור משותף(. המעגלים בגרף הזה הם לכל הפחות מאורך 6. לכן אם יש 7 משולשים הגרף היחיד שיש בו מעגל )שאינו עץ( הוא ההיקף של הצורה במקרה זה היא מינימלית והיא יוצאת באורך 7 גפרורים. לכן זה המקרה עם הכי מעט גפרורים שמשתתפים רק במשולש אחד )המקסימום זה להשתתף ב 2 (. לכן יש 7 גפרורים שמשתתפים במשולש אחד ועוד 7 שמשתתפים ב 2 )סך הכל 2 צלעות של 7 משולשים(. מדובר כמובן בסידור במקרה המרחבי )סעיף ב) ה המינימלי הוא שתי פירמידות משולשיות )טטרהדרונים משוכללים, ארבעונים משוכללים בעברית( שחולקות בסיס משותף. את זה אפשר להוכיח בטענות על ספירת הקדקודים. לא ייתכן שלצורה יש רק 4 קדקודים כי אז זה חייב להיות ארבעון יחיד והוא מייצר רק 4 משולשים. אם יש 5 קדקודים אז יש 0 שלישיות של קדקודים, ואם מורידים קו יחיד מהגרף המלא של 5 קדקודים נשארים עם 7 משולשים 9 צלעות ולכן לא ייתכן לבנות במקרה זה 7 משולשים עם פחות מ 9 צלעות.

14 אם יש 6 קדקודים )או יותר( ולכל קדקוד יש דרגה 3 ומעלה אז שוב, יש יותר מ 9 צלעות. אם יש 6 קדקודים ואחד מהם עם דרגה הוא לא תורם למשולשים ואפשר להעיף אותו. אם יש קדקוד עם דרגה 2 אפשר להוסיף גפרור ו"לפרק" את המשולש שנוצר באמצעות הקדקוד הזה והגפרור הנוסף. במקרה זה הוספנו גפרור והפרדנו את הצורה למשולש וצורה עם 5 קדקודים. שוב, קומבינטורית, אם יש 5 קדקודים ורק 8 צלעות )או פחות( אז יש לכל היותר 5 משולשים ויחד עם המשולש המופרד זה אומר שהיו לנו רק 6 משולשים עם 9 צלעות )לא מספיק(. לכן המקרה שלנו הוא מינימלי. x y x y 2 0. נתון כי xy, מספרים חיוביים כלשהם וש-. מה הערך המינימלי של? 2x xy 2y 2 2 תשובה: 3 אפשר להניח בלי הגבלת הכלליות כי x ואז נתון לנו בעצם כי y x y ( x y) 2 2y 2 y. b 2. 2x זאת פרבולה והיא מקבל מינימום בקדקוד שלה -. אבל לכן הביטוי הוא בדיוק x 2 4 2a. x מכיוון שהפונקציה עולה בכל כיוון שלוקחים מ 0.25, היא עולה בכיוון של x והמינימום הוא y. x. 2 לכן המינימום הוא 2 3