ðñôç 005 î

תמליל

1 ו - משופר נספח לשאלון תוכן עניינים: עמ' סדרות תוספת לאי-שיוויונים ממעלה שניה יישומים 40 (כולל יישום במשפט ויאטה לעומת הנספח הקודם, השאלות הבאות הוחלפו : עמ ' שאלה עמ ' שאלה עמ ' שאלה 6,7,8,9 0, 9,,4,5,,,5 0 6,7 5, , ,5 5,6,7,8,9, ,6 44,45,46 7,,, ,48,49,50 8 6,7,8,0 8 4,5 5 5,5 9,,5 9,4,5,7 6, 4,, לכן המספור בפרק זה בנוסף, בפרק "תוספת לאי שוויונים" הוצאו השאלות השתנה הוספו שתי שאלות 0 ו -

2 א סדרות 750 סדרה חשבונית נתונים כל המספרים התלת ספרתיים: 00, 0, 0,, 999 מבין המספרים הנתונים מצא כמה מספרים מתחלקים ב- 6 (בלי שארית מבין המספרים הנתונים מצא כמה מספרים אינם מתחלקים ב I נתונות שתי סדרות חשבוניות:,, 6, 9, ו- 4, 48, 46, 44, בשתי הסדרות אותו מספר איברים האיבר האחרון בסדרה הראשונה שווה לאיבר האחרון בסדרה השנייה חשב את סכום האיברים של כל אחת מן הסדרות ( 90, 65 האיבר ה- -י בסדרה חשבונית נתון ע"י הנוסחה: ( + ¾ = לכל טבעי מצא את הפרש הסדרה בסדרה זו 4 איברים מצא את סכום 4 האיברים האחרונים של הסדרה ¼ ( 6 נתונה הסדרה החשבונית: 8, 99, 95, 9, 87, מצא בסדרה זו: 4 שלושה איברים עוקבים שסכומם 69 מצא את מיקומם הסידורי של איברים אלו בסדרה מצא את מיקומו של האיבר השלילי הגדול ביותר בסדרה זו 9, 0, 6 ( 9 7,, 5 בסדרה החשבונית: 80, 88, 84, ישנם שני איברים יותר מאשר בסדרה:,04,6,0 האיבר האחרון בשתי הסדרות שווה מצא את האיבר האחרון מצא את סכום עשרת האיברים האחרונים בסדרה הראשונה 8 ( 60

3 ב( 6 בסדרה נתון: + 8 = הוכח שהסדרה היא חשבונית מצא את סכום עשרת האיברים הראשונים בסדרה הבע באמצעות את סכום האיברים הראשונים בסדרה ( סכום האיברים הראשונים בסדרה החשבונית:,7,,4 שווה לסכום האיברים הראשונים בסדרה החשבונית:,47,5,49 מצא את האיבר האחרון בכל אחת מן הסדרות חשב את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה השנייה 6, ( 4 7 בסדרה חשבונית 0 איברים סכום עשרת האיברים הראשונים הוא 55 וסכום עשרת האיברים האחרונים בסדרה הוא 755 מצא: את הפרש הסדרה את האיבר הראשון את סכום הסדרה 8 ( S0 = 65 ı = d = בסדרה חשבונית 4 איברים הפרש הסדרה הוא סכום 4 האיברים הראשונים בסדרה שווה לסכום 8 האיברים האחרונים חשב את סכום הסדרה ( בסדרה חשבונית נתון: סכום עשרת האיברים הראשונים גדול ב- 500 מסכום = 00 עשרת האיברים הבאים אחריהם מצא את ו- d ( d = -5,ı = 50, 6 = d האיבר האחרון בסדרה קטן ב- 64 מסכום כל נתונה סדרה חשבונית; 68- = ( = 9 האיברים שלפניו מצא כמה איברים בסדרה

4 4 בסדרה חשבונית איברים סכום האיברים האחרונים גדול פי שלושה מסכום האיברים הראשונים האיבר החמישי בסדרה הוא 54 מצא את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה ( d =,ı = 6 האיבר העשירי של סדרה חשבונית שווה ל- 76 סכום האיברים הראשונים בסדרה קטן פי- 4 מסכום האיברים הראשונים חשב את האיבר הראשון של הסדרה ואת ההפרש שלה ( d = 8,ı = , 6,, 6,, 4 נתונה סדרה חשבונית: מצא את סכום 0 האיברים הראשונים המופיעים במקומות האי-זוגיים מצא את סכום 0 האיברים הראשונים המופיעים במקומות הזוגיים מצא את סכום 0 האיברים הראשונים בסדרה בסדרה חשבונית, סכום עשרים האיברים הראשונים המופיעים במקומות האי-זוגיים הוא 660, וסכום עשרים האיברים הראשונים המופיעים במקומות הזוגיים הוא 740 מצא את האיבר הראשון של הסדרה ואת הפרשה ( d = 4,ı = ( 56, 46-78, -8, -86, -9, 6 נתונה סדרה חשבונית: מצא את סכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים מצא את סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים 7 בסדרה חשבונית יש מספר זוגי של איברים סכום האיברים במקומות האי-זוגיים הוא 440 וסכום האיברים במקומות הזוגיים הוא 50 האיבר האחרון גדול ב- 56 מהאיבר הראשון מצא כמה איברים בסדרה ( 40, 48-0, -8, -6, -44, 8 נתונה סדרה חשבונית: מצא כמה איברים בסדרה האם קיים בסדרה איבר השווה לאפס? אם כן, מצא את מקומו ואם לא, נמק מדוע מה מיקומו של האיבר החיובי הראשון בסדרה?

5 5 ד ( 9 5 ד מצא כמה איברים חיוביים יש בסדרה אין ( 9 בסדרה חשבונית האיבר הראשון הוא 54- הפרש הסדרה הוא 4 מצא כמה איברים שליליים בסדרה חשב את סכום האיברים השליליים בסדרה 6 ( 75, 76-4, -7, -4, 0 נתונה סדרה חשבונית: מצא כמה איברים חיוביים בסדרה חשב את סכום האיברים החיוביים בסדרה סכום האיברים הראשונים של סדרה נתונה הוא: S = ² + 7 חשב את S6, S5, 6 רשום ביטוי לאיבר הכללי הראה שהסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית,60 8, ( = נתונה הסדרה: 40-,,00,94,88 כמה איברים עוקבים של הסדרה הנ"ל, החל בראשון, יש לחבר כדי שסכומה יהיה עדיין חיובי? מהו סכומם של כל האיברים השליליים בסדרה? ( חלקיק עובר מסלול שאורכו 4050 מטרים המרחקים שעובר החלקיק בכל דקה מהווים סדרה חשבונית, כך שבכל דקה הוא עובר קטע הקטן ב- 54 מטרים מן הקטע בדקה הקודמת בדקה הראשונה, עבר קטע הגדול פי ארבעה מן הקטע שעבר בדקה האחרונה כמה זמן נמשכה תנועתו של החלקיק? 0 דקות (

6 ש , 46-66, -69, -7, 4 נתונה סדרה חשבונית: מצא את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים מצא את סכום האיברים השליליים בסדרה הנ"ל מהו סכום האיברים החיוביים בסדרה זו המתחלקים ב- 4? בסדרה חשבונית איברים סכום האיברים האחרונים בסדרה זו גדול פי שלושה מסכום האיברים הראשונים בסדרה האיבר השביעי בסדרה הנ"ל שווה ל- 65 מצא את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה הנ"ל ( d = 0, = 5 S = נתונה נוסחת הסכום של איברים ראשונים בסדרה: מצא את האיבר העשירי בסדרה זו הוכח, שהסדרה היא סדרה חשבונית מצא בסדרה זו שלושה איברים עוקבים, שסכומם 5 85 = 975;05;5 ( 0 7 בסדרה חשבונית מספר זוגי של איברים סכום האיברים הראשונים בסדרה גדול פי מסכום האיברים האחרונים הפרש הסדרה הוא - והאיבר האחרון הוא 7 מצא את סכום הסדרה ( 6 ני תלמידים קיבלו מאגר של תרגילים במתמטיקה והיו צריכים להגיש את הפתרונות בסוף חופש סוכות הם החלו לפתור את התרגילים באותו היום אחד התלמידים פתר ביום הראשון 4 תרגילים, ובכל יום שאחריו פתר תרגיל אחד יותר מן היום הקודם לו התלמיד השני עבד בקצב קבוע ופתר בכל יום תרגילים התלמיד השני סיים את העבודה שלושה ימים לפני הראשון כמה תרגילים היו במאגר? 0 או ( מיכל וענת יצאו בו זמנית משני מקומות שהמרחק ביניהם 4785 מטר והלכו האחת לקראת השניה מיכל עברה בדקה הראשונה מרחק של 50 מטר ובכל דקה שאחריה ב- 5 מטר פחות מאשר בדקה שקדמה לה ענת עברה בדקה הראשונה מרחק של 40 מטר ובכל דקה שאחריה ב- 4 מטר פחות מאשר בדקה שקדמה לה

7 7 (0 דקות מצא כעבור כמה דקות ייפגשו מיכל וענת? 0 יניב יוצא מביתו בשעה 9:00 והולך על כביש ישר במהירות קבועה של 5 מטר לדקה בשעה 9:5 יוצא בעקבותיו אחיו גיא, בריצה, במטרה להשיגו ולמסור לו הודעה חשובה גיא רץ בדקה הראשונה 00 מטר ובכל דקה שאחריה ב- 0 מטר פחות מאשר בדקה שקדמה לה כעבור כמה דקות מרגע צאתו יצליח גיא להשיג את יניב, אם ידוע שהמרחק שעברו גדול מ- 4 ק"מ? (5 דקות על שתי קלדניות הוטל להקליד כתב יד הן עבדו יחד וכל אחת הקלידה מחצית מכתב היד קלדנית אחת הקלידה בכל יום 7 עמודים הקלדנית השנייה הקלידה ביום הראשון 0 עמודים, ובכל יום אחרי כן, הקלידה 5 עמודים יותר ממה שהקלידה ביום הקודם הקלדנית השנייה סיימה את עבודתה 0 ימים לפני הקלדנית הראשונה כמה עמודים בכתב היד? 50 עמודים ( בסדרה חשבונית, שהפרשה הוא, יש איברים סכום האיברים הראשונים קטן פי מסכום האיברים הבאים אחריהם האיבר האחרון בסדרה שווה ל- 8 4 איברים ( 680 כמה איברים בסדרה? מצא את סכום כל אברי הסדרה בסדרה חשבונית איברים סכום כל אברי הסדרה גדול פי 4 מסכום האיברים הראשונים סכום האיברים שנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה גדול פי 9 מסכום האיברים הראשונים מצא את מספר אברי הסדרה נתון גם, כי האיבר ה- 5 הוא 87 מצא את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים 0 איברים 60 איברים ( 4 בסדרה חשבונית מספר זוגי של איברים סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים גדול ב- 4 מסכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים האיבר האחרון בסדרה גדול ב- 44 מן האיבר הראשון

8 8 הפרש:,4 מספר איברים: ( מצא את הפרש הסדרה ואת מספר איבריה 5 בסדרה חשבונית 4 איברים האיבר הראשון הוא סכום האיברים הראשונים בסדרה שווה ל- 590, ואילו סכום האיברים האחרונים בסדרה הוא 70 מצא את מספר איברי הסדרה מצא את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים 9 ( 60 (לכל S 6 לפניך נוסחה למציאת סכום האיברים הראשונים של הסדרה: = B + C טבעי הבע את (האיבר ה- -י של הסדרה באמצעות C B, ו- חשב את הערכים של B ו- C, אם ידוע שלכל טבעי, האיבר ה- -י של הסדרה הוא: = ( C = 55,B = -5 = B( - + C ( 4,47,000 7 מצא את סכום כל המספרים הטבעיים בעלי 4 ספרות, שאינם מתחלקים ב- 6 8 נתונה סדרה חשבונית שסכומה 860 בסדרה זו, חיברו כל שלושה איברים עוקבים, והתקבלה סידרה חדשה שסכומה הוכח כי הסדרה החדשה היא סדרה חשבונית מצא את מספר האיברים הסדרה המקורית 0 איברים ( 9 נתונה הסדרה החשבונית: 8, 6, 0, 4, בסדרה זו 4 איברים חשב את ההפרש בין סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים לבין סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים ( 86-0, -9, -85, 40 נתונה הסדרה החשבונית: 5 מהו סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה הנ"ל 89 מהו סכום האיברים החיוביים בסדרה הנ"ל המתחלקים ב-? ( 999

9 9 4 אדם פתח חשבון בבנק והפקיד בו סכום של 0,000 ש"ח בכל חודש הפקיד בחשבון זה את משכורתו בסך 5,000 ש"ח מדי חודש משך מן החשבון סכום כסף הדרוש להוצאותיו הוצאותיו בחודש הראשון היו,000 ש"ח ועלו מדי חודש ב- 00 ש"ח משכורתו נותרה ללא שינוי כעבור כמה חודשים עמד חשבונו לראשונה בחובה? כעבור 9 חודשים (, 7,, 7,, 4 נתונה הסדרה החשבונית: הסכום של 4 האיברים האחרונים בסדרה גדול ב- 5 מסכום האיברים הראשונים מצא את מספר איברי הסדרה ( = 0 4 נתונה הסדרה החשבונית: 5, 5, 0, בסדרה + איברים מצא בסדרה זו איבר, כך שההפרש בין סכום האיברים שאחריו לבין סכום האיברים שלפניו יהיה 50 ( 8 = 90 II סדרה הנדסית מצא שלושה מספרים, המהווים סדרה הנדסית עולה, אם ידוע שמכפלתם 64 וסכומם 4 בסדרה הנדסית אחרת, שמנתה שווה למנת הסדרה שהתקבלה בסעיף א', יש איברים סכום האיברים במקומות האי-זוגיים בסדרה זו הוא 4095 חשב את סכום הסדרה 8, 4, ( 85 בסדרה הנדסית, האיבר השני גדול ב- 6 מן האיבר הראשון האיבר הרביעי גדול ב- 4 מן האיבר השלישי מצא את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה 48 6,, 4, או -8, 6 4, -, ( בסדרה הנדסית עולה האיבר החמישי הוא 48 והאיבר השביעי הוא 9 מצא את האיבר הראשון בסדרה מצא נוסחה לחישוב סכום - האיברים הראשונים בסדרה - ( - ı =

10 0 ספורטאי הלך 7 שעות רצופות בכל שעה עבר מרחק השווה ל- הקודמת בשעה השלישית הוא עבר 4000 מטרים חשב את המרחק שעבר הספורטאי בשעה הראשונה חשב את סך-כל המרחק שעבר הספורטאי ב- 7 שעות 4 5 מהמרחק שעבר בשעה 650 מטרים מטרים ( 4 יש לרשום שלושה מספרים בין המספרים 48 ו- 4 כך שתתקבל סדרה הנדסית שבה חמישה איברים ( 48, _, _, _, 4 מצא את שלושת המספרים הנ"ל, אם ידוע שהסדרה עולה אחד משלושת המספרים שמצאת בסעיף א' הוא האיבר השלישי של סדרה הנדסית אחרת, שמנתה וסכום ששת איבריה הראשונים הוא ( מהו המספר? 7, 08, 6 א 5 האיבר הרביעי בסדרה הנדסית הוא חשב את סכום עשרת האיברים האחרונים בסדרה זו מנת הסדרה היא 4, מספר איברי הסדרה הוא 7 4 ( = 048, 8 7 בסדרה הנדסית מתקיים: = 4096 חשב את מנת הסדרה מצא את S = 0480, = 56 בסדרה זו נתון: 05 ( נתונה סדרה הנדסית עולה שבה: סכום שני האיברים הראשונים הוא החמישי והשישי הוא 4 בסדרה זו 5 איברים חשב את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה 4 סכום האיברים 8 ( בסדרה הנדסית שבה 0 איברים, סכום שבעת האיברים הראשונים הוא האיברים האחרונים בסדרה 590 מצא את האיבר הראשון של הסדרה 86 סכום שבעת ( 9

11 ואילו סכום ששת האיברים א 05 ( 04 בסדרה הנדסית, סכום ששת האיברים הראשונים הוא 06 הבאים אחריהם הוא 5 מצא את מנת הסדרה מצא את האיבר הראשון בסדרה 0 בסדרה הנדסית, האיבר השביעי גדול פי 7 מן האיבר הרביעי מצא את מנת הסדרה נתון גם שסכום ששת האיברים הראשונים הוא 80 מצא את האיבר הראשון בסדרה ב (5 נתונה סדרה הנדסית, שהמנה שלה q ויש בה איברים מצא את היחס: בין סכום הסדרה לבין הסכום המתקבל כאשר הופכים את סימני האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים בין סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים, לבין סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים ( q q + q - ( 6 סכום שני האיברים הראשונים בסדרה הנדסית הוא 48 הסכום של ארבעת האיברים הראשונים בסדרה גדול פי מסכום ארבעת האיברים האחרונים בסדרה האיבר האחרון בסדרה קטן פי 6 מן האיבר הראשון בסדרה מצא את סכום הסדרה 4 נתונים ארבעה מספרים חיוביים המהווים סדרה הנדסית וסכומם 609 ההפרש בין שני המחוברים הראשונים (ז"א ההפרש בין האיבר השני של הסדרה לבין הראשון גדול פי 65 מההפרש שבין שני המחוברים האחרונים (ז"א ההפרש בין האיבר הרביעי של הסדרה לבין השלישי מצא את ארבעת המספרים ( 75,50,60,4

12 ב( 5 נתון טור הנדסי סופי, שבו מספר זוגי של איברים אם מחליפים את סימניהם של כל האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים, מתקבל טור שסכומו קטן פי 5 מסכום הטור הנתון מצא את מנת הטור הנתון סכום הסדרה הנתונה הוא 605 והאיבר האחרון הוא 8 מצא את האיבר הראשון ואת מספר איברי הסדרה q =, 8 איברים ( = 87 6 בסדרה הנדסית איברים סכום האיברים הראשונים בסדרה הוא 480, וסכום האיברים האחרונים בסדרה הוא 440 האיבר השלישי בסדרה גדול ב- 7 מהאיבר השני חשב את מספר איברי הסדרה ( 5 7 הסדרה:,,, בונים סדרה שאיבריה הם: היא סדרה הנדסית שמנתה q b = +, b = +, b = + 4 b היא סדרה הנדסית, b, b, הראה כי הסדרה הבע באמצעות q, ו- את סכום האיברים הראשונים של הסדרה: b, b, b, נתון: האיבר הראשון בסדרת האחרון הוא 640 כל איברי הסדרה חיוביים חשב את סכום הסדרה: הוא 095, האיבר החמישי בסדרה הוא 60 והאיבר b + b + b + = S ( 5475 ( + q(q - q - 8 בסדרה הנדסית יש איברים נתון כי היחס בין סכום האיברים האחרונים בסדרה לבין סכום האיברים הראשונים הוא 5 מצא את היחס בין סכום הסדרה לבין סכום האיברים הראשונים ( 6 9 בסדרה הנדסית איברים סכום האיברים הראשונים הוא סכום האיברים האחרונים הוא 940 האיבר האחרון בסדרה גדול פי 4 מן האיבר החמישי בסדרה מצא את האיבר הראשון בסדרה ( = 0 סכום האיברים הראשונים בסדרה הנדסית, שכל איבריה חיוביים, הוא,0 סכום האיברים האחרונים בסדרה הוא 8,080 סכום שני האיברים הראשונים של הסדרה הוא 6 מצא את מספר איברי הסדרה

13 ב( בסדרה זו, חיברו כל שלושה איברים עוקבים וקיבלו סדרה חדשה הוכח כי הסדרה החדשה היא סדרה הנדסית וחשב את סכומה 0 = ( בסדרה הנדסית איברים היחס בין סכום הסדרה לבין סכום הריבועים של האיברים הראשונים בסדרה, הוא מצא את האיבר השישי בסדרה האיבר השני בסדרה גדול ב- 5 מן האיבר הראשון בסדרה 5 6 = 5 או ( 6 = 60 נתונה סדרה הנדסית אם נחסיר מסכום איבריה הראשונים את האיבר האחרון, נקבל 0 אם נחסר מסכום איבריה הראשונים של הסדרה הנ"ל את האיבר הראשון נקבל 995 ואם נחסיר מסכום איבריה הראשונים של הסדרה הנ"ל את שני האיברים הראשונים נקבל 899 מצא את מנת הסדרה ההנדסית הנ"ל ואת איברה הראשון ( = 64, q = ( 968 נתונה הסדרה ההנדסית: 54, 6, 8, הוכח כי: + S = + נתון כי אחד מאיברי הסדרה הוא 966 חשב את סכום כל האיברים שלפניו S 4 נתונה הנוסחה לחישוב סכום האיברים הראשונים של סדרה: 4 - = הוכח כי הסדרה היא סדרה הנדסית נתון, כי בסדרה זו איברים חשב את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים ב(,56,580 ( 5 נתונה סדרה הנדסית, שכל איבריה חיוביים סכום האיברים האחרונים גדול פי- 7 מסכום האיברים הראשונים האיבר האחרון בסדרה הוא 9845 סכום שני האיברים הראשונים הוא 0 חשב את מנת הסדרה מצא את מספר איברי הסדרה מצא את היחס בין סכום הסדרה לבין הסכום המתקבל כאשר מחליפים את סימני האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים

14 4 0 = q (,,,, 6 נתונות שתי סדרות הנדסיות, בעלות אותו מספר איברים: b, b, b,, b מנתה של הסדרה הראשונה היא ומנתה של הסדרה השניה היא סכום איברי הסדרה הראשונה הוא 80 ואילו סכום הסדרה השניה הוא 765 נתון גם: = 87 מצא את האיבר הראשון בכל אחת מהסדרות ( =, b = 7 בסדרה הנדסית איברים שני האיברים האמצעיים בסדרה הם 7 ו- 8 סכום שני (,9,4845 האיברים הראשונים בסדרה הוא מצא את סכום כל איברי הסדרה 4 79 שמנתה,,,, 8 נתונה סדרה הנדסית: מצא את היחס בין סכום הראשונים בסדרה האיברים האחרונים בסדרה לבין סכום האיברים סכום 4 האיברים הראשונים בסדרה זו קטן ב- 5 מסכום 4 האיברים הבאים אחריהם מצא את האיבר הראשון בסדרה ( 4 = 5 S הוא סכום האיברים הראשונים של הסדרה 9 נתונות שתי סדרות הנדסיות עולות T S = הראשונה: הוא סכום האיברים הראשונים של הסדרה השניה: T המנה של הסדרה השניה שווה לריבוע מנתה של = b + b + b + + b הסדרה הראשונה האיבר הראשון של הסדרה הראשונה גדול פי 64 מן האיבר הראשון של הסדרה השניה ואילו האיבר החמישי של הסדרה הראשונה גדול פי 4 מן האיבר החמישי של הסדרה השניה מצא את מנת הסדרה הראשונה הוכח: 9T 8 = 57S8 (

15 5 בעיות מעשיות 0 קרן אור מאבדת % מעוצמתה כאשר היא עוברת דרך לוח זכוכית בחנות של זגג עומדים 8 לוחות זכוכית בזה אחר זה כמה אחוזים מעצמתה מאבדת קרן העוברת דרך כל הלוחות? (5% נדנדה תלויה החלה להתנדנד ועברה בתנודה הראשונה דרך של 50 ס"מ עקב החיכוך עם האויר, קטנה הדרך שעוברת הנדנדה בכל תנודה ב- 5% לעומת התנודה הקודמת איזו דרך תעבור הנדנדה בעשר התנודות הראשונות? (04 מטר כדור נופל מגובה של 65 מטר, פוגע בקרקע ומתרומם שו לאחר כל פגיעה בקרקע, מתרומם הכדור ל- ס"מ? 5 מן הגןבה ממנו נפל לאחר כמה פגיעות יעלה הכדור לגובה של 6 (4 פגיעות רועי לקח הלוואה בריבית שנתית קבועה כעבור שנתיים היה חובו של רועי,6 ש"ח חמש שנים לאחר קבלת ההלוואה, הגיע החוב ל-,86 ש"ח מצא כמה שקלים לקח יוסי בהלוואה ומה אחוז הריבית השנתית שנדרש לשלם? 0,000 ש"ח ; (6% 4 חלקיק כלשהו שנע במהירות של 50 מטר לשנייה, מוכנס למאיץ המגביר את מהירותו פי מדי שנייה, עד למהירות מרבית של 8 קילומטר בשנייה כעבור כמה זמן יגיע החלקיק למחצית מן המהירות המירבית? כעבור כמה שניות יגיע החלקיק למהירות המירבית? איזה מרחק עובר החלקיק עד הגיעו למהירות המירבית? 9 שניות 0 שניות 5575 ק"מ ( 5 באזור כלשהו התפרצה מחלה מדבקת חשוכת מרפ בשנה מסוימת דווח על 00,000 חולים כעבור חמש שנים גדל מספר החולים ל- 70,800 אם לא תמצא תרופה למחלה, מה יהיה מספר החולים במחלה כעבור 5 שנים נוספות? ( אסף עבד בחופש הגדול והפקיד את שכרו בבנק לאחר שלוש שנים הגיע חשבונו ל שקל לאחר ארבע שנים נוספות, היו בחשבונו 8446 שקל מהו סכום הכסף שהפקיד אסף בבנק? (6000 שקל 7 ערכה של מכונית חדשה יורד ב- 0% בכל אחת משלוש השנים הראשונות לאחר קנייתה החל מן השנה הרביעית, מאבדת המכונית 7% מערכה כל שנה אדם קונה מכונית ב- 80,000 ש"ח

16 6 46,90 מה יהיה ערכה של המכונית בתום שש שנים מאז קנייתה? ש"ח III סדרות מעורבות סכומם של שלושה מספרים המהווים סדרה חשבונית הוא 54 אם נוסיף למספר הראשון ולמספר השלישי 6, נקבל שלושה איברים בסדרה הנדסית מצא את שלושת המספרים הנתונים 0 6, 8, או (, 8, נתונה סדרה הנדסית האיבר הראשון הוא 8 אם מוסיפים לאיבר השני 4 ולאיבר השלישי 6, מתקבלת סדרה חשבונית מצא את שלושת האיברים הראשונים של הסדרה ההנדסית 8, 4, או ( 8,, 8 שלושה מספרים מהווים סדרה הנדסית, שמנתה 4 אם נוסיף לאיבר השני 5 ונחסר 5 מהאיבר השלישי, תתקבל סדרה חשבונית מצא את שלושת המספרים הנתונים לסדרה החשבונית שהתקבלה מוסיפים איברים נוספים מצא בסדרה זו איבר הקטן ב- 095 מסכום כל האיברים שלפניו 5, 0, 80 א ( = 05 נתונה סדרה חשבונית עולה שסכומה 585 סכום שלושת האיברים הראשונים בסדרה הוא 0 אם נוסיף לאיבר השלישי 0 ונחסר מן האיבר השני, נקבל שלושה מספרים המהווים סדרה הנדסית מצא את שלושת איברי הסדרה ההנדסית מצא את מספר איברי הסדרה החשבונית הנתונה א הנדסית:, 9, 7 ( 4 האיבר השני בסדרה = 8 ı לסדרה חשבונית ולסדרה הנדסית עולה אותו איבר ראשון: החשבונית גדול ב- 6 מן האיבר השני בסדרה ההנדסית האיבר השלישי שווה בשתי הסדרות מצא את איברי הסדרות הנ"ל כמה איברים יש לחבר בסדרה החשבונית, כדי שסכומה יהיה גדול ב- 60 מסכום תשעת האיברים הראשונים של הסדרה ההנדסית? 5

17 א 7 הנדסית: 8, 4, 7 7 איברים ( חשבונית: 8, 40, 7 המספרים,,4 b מהווים סדרה הנדסית והמספרים,,5 b מהווים סדרה חשבונית מצא את ו- b ( b =, או = 8 b = 8, = נתונה סדרה חשבונית עולה שסכומה 567 ואיברה הראשון הוא האיברים הראשון, החמישי והאחד-עשר, בסדר זה, מהווים סדרה הנדסית מצא את הפרש הסדרה החשבונית מצא את מספר איברי הסדרה החשבונית א 5 = d ( 6 7 בסדרה חשבונית האיבר הראשון הוא -, ואילו האיבר האחרון הוא 08 האיברים השלישי, הרביעי והשביעי של הסדרה החשבונית הנ"ל יוצרים סדרה הנדסית מצא את סכום איברי הסדרה החשבונית הנ"ל ( S = בסדרה חשבונית איברים האיבר הראשון, החמישי והאחד-עשר של אותה סדרה מהווים סדרה הנדסית האיבר הראשון בסדרה החשבונית הנ"ל הוא 4 מהו האיבר התשיעי בסדרה החשבונית הנ"ל? 4 או ( 48 9 סדרה מורכבת מארבעה מספרים שלושת האיברים הראשונים בסדרה זו מהווים סדרה הנדסית, ואילו שלושת האחרונים סדרה חשבונית סכום האיבר הראשון והרביעי בסדרה הוא 4, סכום השני והשלישי הוא מצא את איברי הסדרה (מצא את שתי האפשרויות, 4, 8, או ( 5, 75, 45, 5 0 סדרה מורכבת מחמישה מספרים שלושת האיברים הראשונים בסדרה זו מהווים סדרה הנדסית, ואילו ארבעת האחרונים סדרה חשבונית סכום ארבעת האיברים האחרונים הוא 0 מכפלת האיבר השני והחמישי הוא 6 מצא את איברי הסדרה הנ"ל 0⅔, 8, 6, 4, ( או 8,, 4, 6, בסדרה חשבונית עולה, נתון כי סכום שלושת האיברים הראשונים הוא 4 מצא את האיבר השני בסדרה נתון גם כי המספרים: + איברי הסדרה ההנדסית -, -, מהווים סדרה הנדסית מצא את שלושת

18 ב, ב( 8 (, 6, = 8 בסדרה יש ארבעה מספרים:,,4, 4 שלושת האיברים האחרונים הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית סכום האיבר הראשון והרביעי הוא 4 סכום האיבר הראשון והשלישי הוא 9 מצא את איברי הסדרה (מצא את שתי האפשרויות 7, 4,, 6 או ( 7, 4, -8, 6 נתון כי הסדרה: מצא את הפרש הסדרה החשבונית,,4 7 היא סדרה הנדסית ( d = 6,9-,, 4 היא סדרה חשבונית והסדרה 4 האיברים של סדרה חשבונית הם שלושה איברים ראשונים של סדרה הנדסית, 6, 5 הוא האיבר הראשון של הסדרה ההנדסית הפרש הסדרה החשבונית הוא d והאיבר הראשון שלה הוא (d 0,d = הראה כי: ( q = מצא את המנה q של הסדרה ההנדסית בסדרה יש ארבעה איברים שלושת האיברים האחרונים הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית ואילו שלושת האיברים הראשונים הם שלושה איברים עוקבים של סדרה חשבונית סכום האיברים השני והשלישי הוא 0 וסכום האיברים הראשון והרביעי הוא מצא את האיברים (מצא את שתי האפשרויות,8 4,8, או ( 75,5,75,45 6 ( נתונה סדרה שבה 5 איברים האיברים הראשונים מהווים סדרה הנדסית ו- 4 האיברים האחרונים, שסכומם 44, מהווים סדרה חשבונית מכפלת האיבר השני באיבר החמישי בסדרה הנתונה היא 40 מצא את חמשת איברי הסדרה הנתונה (את שני הפתרונות האפשריים 05,,8,4,0 או 00 7,0,4,8, 7 רשום בין המספרים 0 ו- 90 שני מספרים, כך ששלושת המספרים הראשונים יהוו סדרה חשבונית, ושלושת האחרונים יהוו סדרה הנדסית מצא את כל הפתרונות 60 40, או -5 5, ( 8

19 9 9 שלושה מספרים:,x,,y z שסכומם 5, יוצרים סדרה הנדסית 4,, x y z המספרים: יוצרים סדרה חשבונית מצא את שלושת איברי הסדרה ההנדסית ( ,, , 0, או נתונה סדרה חשבונית סופית, שבה האיבר הראשון הוא - ואילו האיבר האחרון הוא 08 האיברים השלישי, הרביעי והשביעי של הסדרה החשבונית הנ"ל, יוצרים סדרה הנדסית מצא את סכום איברי הסדרה החשבונית הנ"ל לסדרה חשבונית עולה ולסדרה הנדסית יש אותו איבר ראשון ( 768 ההפרש הקבוע של = 5 הסדרה החשבונית שווה למנה הקבועה של הסדרה ההנדסית סכום שלושת האיברים הראשונים של הסדרה ההנדסית גדול ב- 5 מסכום שלושת האיברים הראשונים של הסדרה החשבונית מכפלת שלושת האיברים הראשונים של הסדרה ההנדסית שווה ל- 6 חשב את הפרש הסדרה החשבונית ( 4 0 סדרה מורכבת מחמישה מספרים שלושת האיברים הראשונים בסדרה זו מהווים סדרה הנדסית, ואילו ארבעת האחרונים סדרה חשבונית סכום ארבעת האיברים האחרונים הוא 0, ומכפלת האיבר השני בחמישי היא 6 מצא את איברי הסדרה הנ"ל (המורכבת מחמישה איברים הבחן בשני מקרים,, 4, 6, 8 או ( 0, 8, 6, 4, בסדרה חשבונית, שמספר איבריה הוא אי זוגי וההפרש שלה הוא 4, נתון: האיבר שנמצא לפני האיבר האחרון גדול פי שלושה מן האיבר השלישי בסדרה אם נוסיף לאיבר הראשון 7 ונוסיף לאיבר האחרון, אזי, האיבר הראשון, האיבר האמצעי והאיבר האחרון יהוו סדרה הנדסית מצא את מספר איבריה של הסדרה החשבונית ( 9 האיבר האחרון בסדרה הוא 8 הפרש הסדרה,,,, 4 נתונה סדרה חשבונית: ( S = 8 מהווים סדרה הנדסית 7, 9, 9 קטן ב- 0 מן האיבר העשירי בסדרה האיברים: מצא את סכום הסדרה החשבונית

20 0 IV סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת סכום שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית אינסופית יורדת הוא 5, סכום כל שאר איברי הסדרה הוא 45 מצא את מנת הסדרה בסדרה הנדסית אינסופית, סכום כל האיברים הוא 8 סכום כל האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה זו הוא 5 מצא את האיבר הראשון בסדרה ( q = ½ ( = בסדרה הנדסית אינסופית נתון: סכום שלושת האיברים הראשונים הוא 8 סכום כל איברי הסדרה גדול פי 45 מן האיבר השני שלה מצא את סכום כל איברי הסדרה 5 ( 54 או ( x = - x x x = נתון: מצא את x 4 סכום של סדרה הנדסית אינסופית יורדת הוא 75 האיבר השני בסדרה קטן ב- מן האיבר הראשון מצא את האיבר השני בסדרה מצא את היחס בין איבר כלשהו בסדרה זו לבין סכום כל האיברים שאחריו = 8 א ( 5 נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה סכום ארבעת האיברים הראשונים בסדרה הוא 0 מהי מנת הסדרה? (מצא את כל הפתרונות ( q = ±½ 6 7 נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת:,,, כאשר מחליפים את סימני האיברים העומדים במקומות הזוגיים מתקבלת סדרה שסכומה קטן פי 5 מסכום הסדרה המקורית (, -,, -4,

21 מצא את מנת הסדרה המקורית נתון כי סכום שני האיברים הראשונים בסדרה המקורית הוא 45 מצא את האיבר הראשון ואת סכום הסדרה המקורית ⅔ = q = 7, ( S = 8 האיבר הראשון של סדרה הנדסית אינסופית יורדת הוא 0 סכום כל איברי הסדרה העומדים במקומות הזוגיים ( הוא חשב את סכום הסדרה חשב את סכום כל אברי הסדרה העומדים במקומות האי-זוגיים 0 ( חשב את סכום הסדרה: השתמש בתוצאה של סעיף א' והפוך את השבר העשרוני 0666 לשבר פשוט ( 6 ( הפוך את השבר העשרוני לשבר פשוט (היעזר בסכום סדרה הנדסית אינסופית יורדת 0 הפוך את השבר העשרוני לשבר פשוט (היעזר בסכום של סדרה הנדסית אינסופית יורדת ( = הוכח: = 9 הוכח: הוכח: = = 7 הוכח: ד הסכום של ארבעת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית אינסופית יורדת הוא 845 סכום הסדרה: המתקבלת מן הסדרה המקורית, כאשר מחליפים את, -, - 4, סימני האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים, קטן פי 9 מסכום הסדרה המקורית

22 ( מהי המנה של הסדרה המקורית? מהו האיבר הראשון? מצא את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי זוגיים בסדרה המקורית = 65, q = האיבר הראשון של סדרה הנדסית אינסופית יורדת הוא 90 סכום כל איברי הסדרה העומדים במקומות הזוגיים הוא 75 חשב את סכום כל איברי הסדרה העומדים במקומות האי-זוגיים ( 05 4 הסכום של סדרה הנדסית אינסופית יורדת הוא 5, וסכום ריבועי האיברים של סדרה זו הוא 6 מצא את האיבר הראשון של הסדרה 5 ( = 4 נתון טור הנדסי אינסופי שסכומו גדול פי 5 מסכום האיברים במקומות הזוגיים פי כמה גדול סכום הטור מסכום האיברים המקומות האי-זוגיים? ב- 8 5 ( פי סכום של סדרה הנדסית אינסופית יורדת, שכל איבריה חיוביים, הוא 7 האיבר השני קטן מהאיבר הראשון מצא את האיבר השני בסדרה מצא את סכום כל האיברים במקומות הזוגיים 6 סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים של סדרה הנדסית יורדת, שכל איבריה חיוביים, הוא 7776 מצא את סכום הסדרה הנ"ל האיבר השלישי בסדרה קטן ב- 66 מהאיבר הראשון ( 88 ( S = הסכום של טור גיאומטרי אינסופי יורד, שכל איבריו חיוביים הוא 08 סכום שני האיברים הראשונים הוא 96 בונים טור חדש, ע"י חיבור כל זוג איברים עוקבים בטור המקורי הראה כי הטור החדש, גם הוא גיאומטרי אינסופי יורד וחשב את סכומו ( S = 44 9, שכל איבריה חיוביים,,, 0 נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת,4

23 סכום ריבועי איברי הסדרה הוא A וריבוע סכום איברי הסדרה הוא B בטא את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון שלה באמצעות A ו- B B - A (q = B + A A B, = A + B נתונות שתי סדרות הנדסיות אינסופיות יורדות שכל איבריהן חיוביים, המקיימות: S = T = b + b + b + ( q = 9 7 מנתה של הסדרה הראשונה היא נתון גם: ומנתה של הסדרה השניה היא q S 7 =, = 6b T מצא את q (מנתה של הסדרה השניה ( 5 = 6 נתונה סדרה הנדסית אינסופית שאיברה הראשון הוא 56 ומנתה מצא בסדרה זו איבר כך שסכום כל האיברים שלפניו גדול פי 0 מסכום כל האיברים, q בה <,,, שאחריו בסדרה הנדסית ( או = 88 = = 78, = 6 נתון: מצא את 4 נתונה סדרה הנדסית שבה < q בסדרה אינסוף איברים היחס בין סכום עשרת האיברים פי ( הראשונים בסדרה לבין סכום חמשת האיברים הראשונים בסדרה הוא מצא, פי כמה גדול סכום הסדרה מן האיבר הראשון שלה 5 סכומם של שני האיברים הראשונים בסדרה הנדסית יורדת גדול פי 8 מסכומם של כל שאר איברי הסדרה

24 4 מצא את מנת הסדרה ( ± ( נתונה סדרה הנדסית אינסופית שמנתה מצא את היחס בין ערכו של איבר כלשהו בסדרה לבין סכום כל האיברים שאחריו 6 7 בטור הנדסי אינסופי שבו < q, כל איבר גדול פי k מסכום כל האיברים שאחריו ( מצא את מנת הסדרה מצא את היחס בין סכום הסדרה הנתונה, לבין הסדרה המתקבלת כאשר מחליפים את סימני האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים q = k + k + k 8 בסדרה הנדסית אינסופית, שבה < q, גדול כל איבר פי- מסכום כל האיברים שאחריו ( 4 מצא את היחס בין סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים לבין סכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים בסדרה זו 9 נתונה סדרה הנדסית אינסופית, המקיימת: < q מסדרה זו יצרו סדרה חדשה, ע"י חיבור כל שלושה איברים עוקבים בסדרה הוכח שהסדרה החדשה היא סדרה הנדסית יורדת היחס בין סכומה של הסדרה החדשה לבין סכומה של הסדרה המקורית הוא מצא את מנתה של הסדרה המקורית 7 6 ( q = 4 האיבר השני של סדרה הנדסית אינסופית יורדת הוא 05 היחס בין סכום הסדרה לבין סכום ריבועי איברי הסדרה הוא 5 מצא את סכום הסדרה המקורית 8 ( 8 0

25 5 הסדרה 9 היא סדרה הנדסית אינסופית שסכומה S ומנתה,,, הסדרה: b, b, b, היא סדרה הנדסית אינסופית שסכומה T ומנתה q < ( q b, בונים סדרה חדשה:, b, b הראה שהסדרה החדשה היא סדרה הנדסית יורדת מצא את q, אם נתון שסכומה של הסדרה החדשה הוא S T ( q = - 7 נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים בין כל שני איברי הסדרה הנתונה מכניסים איבר נוסף, כך שנוצרת סדרה הנדסית חדשה, שכל איבריה חיוביים היחס בין סכום הסדרה הנתונה לבין סכומה של הסדרה החדשה הוא מצא את מנתה של הסדרה המקורית 4 מצא את היחס בין האיבר החמישי בסדרה המקורית לבין האיבר החמישי בסדרה החדשה 9 ( 8

26 6 *בעיות מעשיות מחברים את אמצעי הצלעות של משולש שווה צלעות שצלעו m ומתקבל משולש שווה צלעות נוסף חוזרים על פעולה זו לגבי המשולש הפנימי שוב ושוב ומתקבלת סדרה אינסופית של משולשים שווי צלעות מהו סכום היקפיהם? 6m ס"מ ( כדור נופל מגובה של 0 מטר, פוגע בקרקע ומתרומם שוב לגובה שקטן ב- 5% מן הגובה ממנו נפל מהו סכום כל המרחקים שעובר הכדור? (40 מטר 4 קצה של מטוטלת עובר בתנודה הראשונה דרך של 0 ס"מ כתוצאה מהחיכוך עם האוויר קטנה דרך זו ב- 4% לעומת הדרך הקודמת מהי סה"כ הרך שעובר קצה המטוטלת? (75 מטר מעגל שרדיוסו 8 ס"מ משיק לשוקיה של 5 6 זווית בת 60 o מעגל נוסף, קטן יותר, משיק למעגל הראשון ומשיק גם לשוקיה של אותה זויית וכן הלאה כך נוצרת סדרה של מעגלים (ראה ציור מצא את סכום שטחי כל המעגלים הנוצרים באופן זה 7π סמ"ר (

27 7 V הגדרה ברקורסיה סדרה מוגדרת לכל טבעי ע"י כלל הנסיגה: ı = +ı = (+ נתון: 7 מצא את 8 = מצא את מקומו הסידורי של איבר הגדול פי 5 מן האיבר שלפניו ( 5 ı = c +ı = + - סדרה מוגדרת לכל טבעי ע"י כלל הנסיגה: באיזה מקום נמצא איבר הגדול ב- 9 מהאיבר הקודם לו? האיבר השלישי בסדרה הוא - 4 מצא את c (-8 סדרה מוגדרת לכל טבעי ע"י כלל הנסיגה: ı = +ı = + ² שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית 4 +, + x, חשב את x שעבורו נתון: = 65 מצא את 4 = x (507 4 סדרה מוגדרת לכל טבעי ע"י כלל הנסיגה: ı = 5 +ı = נתון: בטא באמצעות m את 0 = m 0 מצא, בכמה גדול מן האיבר הקודם לו בסדרה 7 + m ( 5

28 א א ב( 8 5 סדרה מוגדרת לכל טבעי ע"י כלל הנסיגה: ı = 4 +ı = חשב את ההפרש: 4 האם קיימים בסדרה שני איברים עוקבים שההפרש ביניהם שווה ל- 70? נמק לא בסדרה נתון: - 4 +ı = + מצא באיזה מקום בסדרה נמצא איבר שההפרש בינו לבין האיבר הקודם לו הוא 8 6 חשב את ההפרש ( בסדרה נתון: +ı = (+ מצא את מקומו הסידורי של איבר הגדול פי 47 מן האיבר הקודם לו 0 חשב את היחס: ( 8 סדרה מקיימת את כלל הנסיגה: ı = + ² - מצא את מיקומו הסידורי של איבר בסדרה השווה לאיבר שלפניו מצא את - + נתון: = 4 5 ( 00 9 בסדרה נתון: +ı = + הבע את + באמצעות (+ = בסדרה נתון: + +ı = = 5 הוכח: חשב את נתון: = ( 78

29 9 + ( ı = -, +ı = בסדרה נתונה נוסחת הסכום של האיברים הראשונים: S = ² - מצא נוסחה ל- כפונקציה של בלבד מצא כלל נסיגה לאיברי הסדרה = סדרה מוגדרת ע"פ הנוסחה: = ² + רשום את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה רשום את כלל הנסיגה לאברי הסדרה + הבע את באמצעות ( = ı =,4,9,48 +ı = סדרה מוגדרת ע"פ הנוסחה: + 5 = מצא את האיבר העשירי בסדרה רשום כלל נסיגה לאברי הסדרה b 7 b מצא את = + - מגדירים סדרה חדשה ע"י: = ı ( = ( = + (- סדרה מוגדרת ע"י: מצא הצגה לסדרה זו ע"י כלל נסיגה לכל טבעי מצא את גודלם של שני איברים סמוכים בסדרה, שההפרש ביניהם הוא 6 = 695, = 6 ı = 4 +ı = + 5 סדרה מוגדרת לכל טבעי ע"י כלל הנסיגה: ı = 9 +ı = + 4 מצא את האיבר ה- 67 בסדרה חשב את סכום 0 האיברים הראשונים בסדרה העומדים במקומות הזוגיים

30 א 0 7 ( 780 = 6 סדרה מוגדרת לכל טבעי ע"י כלל הנסיגה: = , מה צריך להיות ערכו של x, כדי ששלושת המספרים: + x, איברים עוקבים בסדרה חשבונית? מה צריך להיות ערכו של x, כדי ששלושת המספרים איברים עוקבים בסדרה הנדסית? יהיו שלושה 4 x, יהיו שלושה = x = 06 x (, + = 7 בסדרה נתון: מה צריך להיות ערכו של x, כדי ששלושת המספרים: 5 4, + x, יהיו שלושה מספרים עוקבים בסדרה חשבונית? ( 4 סדרה מקיימת לכל טבעי: +,+ı = נתון: = t 8 הם איברים עוקבים בסדרה חשבונית 5, 4, מצא את t אם נתון כי מהווים סדרה חשבונית 5, 4,, עבור t שחישבת קודם, בדוק האם גם = t לא ( סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה: = k +ı = - ² + 4 הבע באמצעות k את מצא את k עבורו ו- 4 4 יהיו איברים עוקבים בסדרה חשבונית,, מצא את הפרש הסדרה החשבונית ד עבור k שחישבת בסעיף ב', מצא איבר בסדרה זו הגדול פי מן האיבר הקודם לו 4 = 5 k = 5 d ד ( 75 = 9k - 5, = k

31 סדרה מוגדרת לכל טבעי ע"י הכלל, = b כאשר: b = הצג סדרה זו ע"י תבנית ע"פ מקום כלומר, מצא נוסחה ל- מצא כלל נסיגה לסדרה זו מצא שני איברים עוקבים בסדרה, שההפרש ביניהם הוא 45 כפונקציה של בלבד ו- 4 ı = = ² + +ı = סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה: ı = 4 4 = ( 0 +ı = מצא נוסחה לאיבר הכללי בסדרה האיבר האחרון בסדרה הוא 787 מצא את מספר איברי הסדרה - נתונה הסדרה: ı = +ı = מצא נוסחה לסכום האיברים הראשונים בסדרה זו בסדרה זו איברים מצא נוסחה לסכום האיברים האחרונים בסדרה ( ( - ( - בסדרה נתון: ı = +ı = + ³ יהיו שלושה איברים עוקבים בסדרה 4 + x,, x = b = + - b חשב את x כך ש- הנדסית מגדירים סדרה חדשה נתון: המקיימת: ( 6 מצא את b = 78

32 4 נתונה נוסחת הנסיגה לכל טבעי:,+ı = + ² - 7 נתון כי: = k,4, מצא את הערך של k עבורו הנדסית ומצא את מנת הסדרה חשב את 6 ע"פ כלל הנסיגה הנתון, וקבע אם גם 5 הם שלושה איברים עוקבים בסדרה 5 ו- 6 יהיו ארבעה,4, איברים עוקבים בסדרה ההנדסית שמצאת בסעיף א' 45 = q k = 08, לא ( = 7 +ı = + 5 סדרה מוגדרת לכל טבעי ע"י כלל הנסיגה: (,, איזה מספר יש להוסיף לכל אחד מהאיברים מספרים עוקבים בסדרה הנדסית? מגדירים סדרה חדשה המקיימת:, כך שיהיו שלושה b = - + b הוכח, ש- b סדרה חשבונית 5 = m,4 = k נתון:,+ = 6 סדרה מקיימת לכל טבעי: מצא את k ו- m אם נתון כי 5, 4, 7 איברים עוקבים בסדרה חשבונית 6 הם איברים עוקבים בסדרה הנדסית ואילו ( m = 4875,k = 45,6,5 4 נתון כי: = p + = 7 נתונה נוסחת הנסיגה לכל טבעי: הם שלושה איברים עוקבים בסדרה ו- 4, ( = 4 6 = 75 q = מצא את הערך של p, עבורו הנדסית מצא את מנת הסדרה ההנדסית + - מצא בסדרה זו איבר, המקיים: = 44,p

33 ב( + = 5 = סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה: - = 4 + הוכח כי: חשב את סכום 40 האיברים הראשונים של הסדרה ( S 40 = = k נתון: = סדרה מקיימת לכל טבעי: 6 7,8 + x מצא, מה צריך להיות ערכו של x, כדי ששלושת האיברים: יהיו שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית? (k=60 7 הוא האיבר x = -5 b, b, b 6 הוא איבר הראשון של הסדרה חשבונית השני שלה נתון = 9 b מצא את k 5 ( 5 = 0 + = + סדרה מוגדרת ע"י כלל נסיגה: הוכח, כי הסדרה המוגדרת ע"י - b = היא סדרה הנדסית יורדת b + b + b היעזר בסעיף א', וחשב את סכום הטור האינסופי: = p, 7 = q נתון: = איברים עוקבים בסדרה הנדסית 6, 7, 8 סדרה מקיימת לכל טבעי: מצא את p ו- q, אם נתון גם ש: ( p = 5, q = 0 איברים עוקבים בסדרה חשבונית 7, ו- 8, 9 = סדרה מקיימת לכל טבעי:

34 ב( = + - הוכח כי לכל טבעי מתקיים: = חשב את הסכום: (68,888 = סדרה מוגדרת לכל טבעי ע"י כלל הנסיגה: ( = 5 - הוא קבוע + הראה כי ההפרש חשב את 40 נתון: = 0 = 4 סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה: = 4 + b היא סדרה הנדסית = + + הוכח כי הסדרה המוגדרת ע"י: b = 768 מצא את סכום איברי הסדרה נתון: ( 55 + = סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה: ( x = 8 יהוו שלושה 5, 6 + x, 7 5 = 8, 7 נתון: = 6, 6 כדי ששלושת המספרים מצא איזה מספר יש להוסיף ל- איברים עוקבים בסדרה חשבונית R = כאשר:, = - + R סדרה מוגדרת ע"י הכלל: ל- מצא לסדרה זו הצגה ע"י תבנית לפי מקום (כלומר, מצא נוסחה כפונקציה של בלבד 6 מצא כלל נסיגה לסדרה זו האם אפשר למצוא בסדרה זו שני איברים עוקבים, שההפרש ביניהם הוא 86?

35 ב( 5 אם כן, מצא את שני האיברים אם לא, נמק מדוע = 4, + = ( 7 = 780, 6 = 694 כן: = = - וע"י כלל הנסיגה: = 4 b = - + b = b + 7 סדרה מוגדרת ע"י: מגדירים סדרה חדשה לפי: הוכח כי: b כפונקציה של בלבד מצא נוסחה ל- k = 656 נתון כי עבור k טבעי כלשהו, מתקיים: b מצא את סכום k האיברים הראשונים בסדרה = b ( 9840, = b סדרה מוגדרת לכל טבעי ע"י הכלל: b כאשר: = ד הצג סדרה זו ע"י תבנית לפי מקום (כלומר, מצא נוסחה ל- כפונקציה של בלבד מצא כלל נסיגה לסדרה זו מצא שני איברים עוקבים בסדרה זו, שההפרש ביניהם הוא 9 מצא את המקיים: = = 6, + = ( = ד = 8 = ו- 4 = 4 סדרה מוגדרת לכל טבעי ע"י כלל הנסיגה: = - 9 = הוכח, כי האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים מהווים סדרה חשבונית, וגם האיברים העומדים במקומות הזוגיים מהווים סדרה חשבונית 99 חשב את

36 ב( 6 ( 99 = 44 = סדרה מוגדרת לכל טבעי ע"י כלל הנסיגה: = + + הוכח, כי לכל טבעי מתקיים: ידוע כי חשב את = האיברים הראשונים של הסדרה, חשב, בהסתמך על סעיף א', את סכום 60 = 0 (S 60 = 940 סדרה מוגדרת לכל טבעי ע"י כלל הנסיגה: = p 4 = הראה כי האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים מהווים סדרה חשבונית וגם האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים מהווים סדרה חשבונית חשב את סכום האיברים הראשונים בסדרה, אם נתון ש- זוגי הראה כי סכום זה בלתי תלוי ב- p ב( ( S = נתונה סדרה שנוסחת האיבר הכללי שלה הוא: = 6- הוכח שהסדרה היא סדרה הנדסית יורדת חשב את סכום הסדרה האינסופית : בסדרה זו כפלו כל זוג איברים עוקבים והתקבלה הסדרה האינסופית:,4,, הוכח שגם סדרה זו היא סדרה הנדסית יורדת וחשב את סכומה 64 ( 68 4 המוגדרת לכל טבעי ע"י כלל הנסיגה:,,, = 6 4 נתונה סדרה

37 ג( ב( 7 = שווה לאיבר,,, (6 היא סדרה הנדסית,, 5, הוכח, שהסדרה החלקית הוכח, שכל איבר הנמצא במקום זוגי בסדרה הנתונה הקודם לו בסדרה מצא את סכום איברי הסדרה האינסופית: = = b נתונה הסדרה: הוכח, כי הסדרה המוגדרת ע"י: b = - היא סדרה הנדסית b כפונקציה של בלבד מצא נוסחה ל- 44 מצא נוסחה ל- כפונקציה של בלבד ( = b = 5 סכום = + נתונה סדרה שנוסחת האיבר הכללי שלה הוא: האיברים הראשונים 45 S בסדרה זו הוא b בסדרה = b b S 645 הוכח שהסדרה היא סדרה הנדסית 9 S הוכח: 45 = b סדרה אחרת, מקיימת: יש שני איברים עוקבים השווים זה לזה מצא את המקום של כל אחד מהאיברים האלה ( b = b 5 4 p k, פרמטרים = p + + k 46 נתונה סדרה המקיימת: = 9, =, = 6 k = + הוכח: בסדרה זו נתון:

38 ב( 8 p=5 ( = 04, k= ( ( 67 ( חשב את p ואת k חשב את סכום 7 האיברים הראשונים בסדרה ב( ( ( נתון כי היחס בין כל שני,, בסדרה, ההפרש ביניהם בטא את איברים עוקבים גדול פי שלושה מן = = + באמצעות + מצא את 4 = 55 נתון כי: או 47 = 0 = סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה: b = היא סדרה חשבונית + הוכח שהסדרה המוגדרת על ידי העזר בסעיף א' ומצא נוסחה לסכום: ( + ( + ( + + ( 4 מצא נוסחה ל- כפונקציה של ( = = 4, = נתונה סדרה שבה: וכן קיימים שני מספרים A ו B, כך שלכל 49 = = A + B 5 + טבעי: מצא את A ו- B מצא נוסחה ל - ו - הוכח כי הסדרה הנתונה מקיימת את כלל הנסיגה: ( = 6 0 5, = B=- A=, סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה: = p =

39 9 b = 8 סדרה אחרת מקיימת: נתון: = 6 b מצא את p b הוכח שהסדרה היא סדרה הנדסית b הוא 8096 מצא את + b + b + +b נתון כי סכום האיברים : ( = 970 =p 6 = 4 6 נתונה סדרה שנוסחת האיבר הכללי שלה היא: הוכח שהסדרה חשבונית S סכום האיברים הראשונים בסדרה הוא 5 b b בסדרה b = + S + 4 סדרה אחרת מקיימת : יש איברים עוקבים השווים זה לזה מצא את מיקומם של איברים אלה ( b = b = b 4 5 ב( = 4 5 נתונה סדרה, שנוסחת האיבר הכללי שלה היא: הוכח שהסדרה היא סדרה הנדסית S סדרה אחרת סכום האיברים הראשונים בסדרה זו הוא ( מקיימת b מצא בכמה גדול האיבר השלישי מן האיבר הראשון זו ב( 0 ( b b = + S + בסדרה

40 40 תוספת לאי-שיוויונים ממעלה שניה יישומים (תוספת אחרי שאלות עד 9 בספר *הערה: שימוש במשפט ויאטה החל מקיץ תשס"ו השאלות בהן יש שימוש במשפט ויאטה מסומנות ב - * עבור המשוואות הרשומות מטה, מצא: ד ה עבור אילו ערכים של הפרמטר יש למשוואה הנתונה שני פתרונות ממשיים שונים? עבור אילו ערכים של הפרמטר, יש למשוואה פתרון אחד? מצא את פתרונות המשוואה עבור כל אחד מערכי הפרמטר שמצאת בסעיף ב' מצא עבור אילו ערכים של הפרמטר אין פתרון למשוואה מצא עבור אילו ערכים של הפרמטר יש למשוואה שני פתרונות ממשיים שוני m = -, m = - 5 (* ו סימן (* מצא עבור אילו ערכים של הפרמטר יש למשוואה שני פתרונות חיוביים (m פרמטר (m פרמטר (m פרמטר (m פרמטר (m + - m²x² + ( mx + = 0 (m² - 9x² + (m + x 5 = 0 (m² - 7m + 6x² - (6 mx = 0 (m² - x² + (m + x + = 0 או או - < m - < m < - 5 ( > m ( ( ( (4 m<- - < m ד 5 5 x = -, x = - 6 או ה <m או ו אף m 5 x =, x = - < m = m m =, ( m m >, <m< ו או m<- m> - ד < m ה x = -, x = m =, m = 8 m, m < או ( > 6 m m< 8 < m 6 ד ה 6<m או ו אף m x = - (4 < m m,- < = m m =, או ה m ו אף >m>- m > ד - m

41 4 (m+x² - (5m 7x + (m = 0 =,x ( x = - m -, m 7 עבור אילו ערכים של m יש למשוואה: שני פתרונות ממשיים? מצא את הפתרונות במקרה שהם שווים m או (* מצא עבור אילו ערכים של הפרמטר,m גרף הפונקציה: - m y = mx - (m - x + חותך את ציר ה- x בשתי נקודות שונות, הנמצאות משני צידי הראשית ( 0 < m < נתונה הפונקציה: + 4x y = (m² - m - 6x² + (m + ד מצא ערך של m שעבורו גרף הפונקציה הוא קו ישר המקביל לציר ה- x מצא ערך של הפרמטר m שעבורו גרף הפונקציה הוא פרבולה המשיקה לציר ה- x עבור אילו ערכים של m, גרף הפונקציה הוא פרבולה החותכת את ציר ה- x בשתי נקודות שונות? עבור איזה ערך של m, גרף הפונקציה הוא פרבולה שאחת משתי נקודות החיתוך שלה (m = - m = 0 ד m, - < m < 8 עם ציר ה- x היא ב- = x? או ( -7 < m< - m = 8 m = - m - y = mx + x + m + m נתונה הפונקציה: מצא עבור אילו ערכים של m, יש לפונקציה שתי נקודות חיתוך שונות עם ציר ה- x, m ( g(x = (m - x + m - x + נתונות שתי פונקציות:, f (x = (m - 4x + 0x + m - 4 עבור אילו ערכי m, אין לגרף הפונקציה ƒ(x נקודות משותפות עם ציר ה- x? עבור אילו ערכים של m, אין לגרף הפונקציה g(x נקודות משותפות עם ציר ה- x? ƒ(x g(x הפונקציה: היא מכפלת הפונקציות הנתונות היעזר בתוצאות סעיפים א' ו-ב', ומצא עבור אילו ערכי m, אין לגרף הפונקציה נקודות משותפות עם ציר ה- x ƒ(x g(x ( m < - או > 9 m או m < - m m < או - m > 9

42 ב( 4 ( 7 נתונה המשוואה: = 0 4x² + ( + 5x + ² + מצא עבור אילו ערכים של, יש למשוואה לפחות שורש ממשי אחד 7 ( m 7 < m - 7 (* נתונה המשוואה: = 0 - m x - x + עבור אילו ערכים של m יש למשוואה לפחות פתרון שלילי אחד? הוכח, כי לכל ערך של הפרמטר, גרף הפונקציה: - 6 f (x = x 4x חותך את ציר ה- x בשתי נקודות שונות (* עבור אילו ערכים של נמצאות שתי הנקודות משמאל לראשית? < 6 נתונה המשוואה: = m x² + (5 mx + m² - הראה, כי לכל ערך של m, יש למשוואה פתרון ממשי 0 ( פרמטר y= נתונה משפחת הפונקציות: + ( + 8 x -( + x + ( ( עבור אילו ערכי, חותך גרף הפונקציה את ציר ה- x בשתי נקודות שונות? עבור אילו ערכים של, נמצא גרף הפונקציה כולו מעל ציר ה- x? > -5-4 < < -5, - ( 5-9 x -( + מצא את ערכי, שעבורם מתקיים אי השוויון: < 0 - x ( < < 6 עבור כל ערך של x ( m < או -6 m ( ( נתונה משפחת הפונקציות: - + m y= m 4 x + לאילו ערכים של m, גרף הפונקציה נמצא כולו מעל לציר ה- x? 4 באיזה תחום צריך להיות הפרמטר, כדי שגרף הפונקציה:

43 ב( 4 ( 5 ( m < - לא יעבור דרך הרביעים הראשון והשני? y = ( - x + ( - x - 5 נתונה הפונקציה: m y = mx² - (m x + מצא, עבור אילו ערכים של הפרמטר m, נמצא גרף הפונקציה כולו מתחת לציר ה- x (m פרמטר f (x = -m x + 5mx - 6 נתונה הפונקציה: הראה, כי לכל m, גרף הפונקציה (x f נמצא כולו מתחת לציר ה- x g (x = (m - x - mx + (m - -m x + 5mx - נתונה הפונקציה: עבור אילו ערכים של m, גרף הפונקציה g(x נמצא כולו מעל לציר ה- x? ( m < g(x = ( - m x + ( - mx - נתונות הפונקציות: + m, f (x = x - mx + מצא עבור אילו ערכי m, גרף הפונקציה (x f נמצא כולו מעל לציר ה- x 7 h(x = f (x g(x נתונה הפונקציה: ( m < - מצא, עבור אילו ערכי m, גרף הפונקציה h(x נמצא כולו מתחת לציר ה- x כל m m או (m פרמטר נתונה הפונקציה: y = mx² + x + - m בלבד מצא עבור אילו ערכים m יש לגרף הפונקציה ולישר = y נקודה משותפת אחת מהי הנקודה המשותפת? הראה, כי לכל ערך של m, גרף הפונקציה והישר = y נפגשים לפחות בנקודה אחת ( (, ( m = -,m = 0 ( א 8 y = ( 9 - m x - ( m + 9 נתונה משפחת פונקציות: + 5 x עבור משפחת הפונקציות הנתונה, מצא עבור אילו ערכים של m, ערכי הפונקציה y חיוביים לכל x ממשי ישר, המקביל לציר ה- x ושייך למשפחת הפונקציות, חותך את כל הפרבולות שבמשפחת הפונקציות בשתי נקודות, שאחת מהן קבועה (אינה תלויה ב- m - m < מצא את שיעורי הנקודה הקבועה (0,5 (

44 ב( 44 g(x =, f (x = ( m - x - x - m ול- g(x נתונות הפונקציות: הראה כי ל- (x f יש נקודה משותפת שאינה תלויה ב- m 0 ול- g(x מצא עבור אילו ערכים של m, יש ל- (x f שתי נקודות משותפות ( m m או g(x = 7x - 0, f (x = x - mx + 5m ול- g(x נתונות הפונקציות: הראה כי ל- (x f יש נקודה משותפת שאינה תלויה ב- m מצא את נקודת החיתוך הקבועה של שתי הפונקציות מצא עבור אילו ערכים של m, נקודת החיתוך השנייה נמצאת משמאל לנקודה הקבועה ב( (5,5 < m ( f (x = (m - x - (m + x + - m ( 4 < m < 8 מצא לאילו ערכים של m, נמצא גרף הפונקציה: כולו מעל לישר: - = y באיזה תחום צריכים להיות ערכי הפרמטר m, כדי שערכי הפונקציה: יהיו קטנים מ- 5 עבור כל ערך של x f (x = (m - 4x + 0x + m + ( m < - נתונה הפונקציה: y = (m - x - (m - x + m עבור אילו ערכים של m נמצא גרף הפונקציה כולו מתחת לציר ה- x? עבור אילו ערכים של m נמצא גרף הפונקציה כולו מתחת לציר ה- x וגם חותך את - 4 = y בשתי נקודות שונות? (עגל לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית ( -687 < m < - m < - הקו 4 עבור אילו ערכים של m יהיה גרף הפונקציה: y = (m x² + 5x + m כולו מתחת לישר 5 ( m < -?y = x

45 45 g(x = x + (m - x + - m מערכי הפונקציה g(x, לכל ערך ( m < נתונות שתי פונקציות: - 5 4mx, f (x = mx + עבור אילו ערכים של m, קטנים ערכי הפונקציה (x f של x? נתונה משפחת הפונקציות: + y = x - ( + x + לאילו ערכים של, גרף הפונקציה הוא פרבולה החותכת את ציר ה- x בשתי נקודות שונות? (* לאילו ערכים של, נמצאות נקודות החיתוך עם ציר ה- x משני צידי הראשית? ( < < 0 0, < 4 א ( - < < - 4 ( נתונה הפרבולה: 4 y = ( x² + ( + 5x מצא לאילו ערכים של נמצא קודקוד הפרבולה ברביע השלישי? 5 > או (m נתונה הפרבולה: + m y = (m x² + (m + 4x + עבור אילו ערכים של הפרמטר m, חותכת הפרבולה את הישר - 4 = y בשתי נקודות < m < ( שונות? עבור אילו ערכי m, שמצאת בסעיף א', נמצא קודקוד הפרבולה מתחת לישר 4 < m m,- <?y = ( m < 4 x 7 ( m< 8 x ממשי x+, mx + mx+ m< mx לכל x, m x + mx > (5m x לכל m מתקיים: m מתקיים: מצא עבור אלה ערכי מצא עבור אלה ערכי ממשי m או 5 0

46 46