Microsoft Word - ExamA_Final_Solution.docx

תמליל

1 סמסטר חורף תשע"א 18 בפבואר 011 הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצה: מתרגלים: רן אל-יניב נועה אלגרבלי, גיא חפץ, נטליה זילברשטיין, דודו ינאי (אחראי) סמסטר חורף תשע" מבחן סופי פתרון (מועד א').( ) מס' סטודנט: שאלה 1 שאלה שאלה שאלה 4 שאלה 5 הערות: מתוך ציון משך המבחן: 10 דקות. 1. בדקו כי ברשותכם 7 דפים כולל דף זה ו- 6 עמודי נוסחאות. הפרדת דפים אסורה!. במבחן 5 שאלות. יש לענות על כל שאלה במקום המיועד לה. אם המקום אינו מספיק -. ניתן לכתוב את המשך הפתרון בגב הדף. תשובות לא מנומקות לא יקבלו ניקוד. אלא אם מצויין אחרת עליכם לנמק את תשובותיכם. 4. מותר להסתמך ללא הוכחה רק על תוצאות שהוכחו בהרצאות או בתרגילים. 5. כל חומר עזר, כולל מכשירים אלקטרוניים, אסור. 6. אין להחזיק טלפונים סלולריים בזמן הבחינה. סטודנט שישתמש באופן כלשהו בטלפון 7. סלולרי, בחינתו תיפסל ויועמד לדין משמעתי. בכל שאלה/סעיף התשובה "לא יודע/ת" תזכה ב- 0% מהניקוד לשאלה/סעיף. 8. בהצלחה!

2 (0 נקודות): שאלה 1 (7 נקודות) נתונים n סלים צבעוניים, ולכל סל צבע אחר. בתוך כל סל יש k זהים הצבועים בצבע הסל. כדורים בכמה אופנים ניתן לבחור קבוצה בת k כתבו תשובה סופית בלבד. כדורים מ- n הסלים? CC k n n+ k 1 = k ניקוד מלא התקבל למי שכתב את אחד הביטויים הללו או שקולים להם. F( n) (8 נקוודות) לכל 0 n טבעי יהי מספר הסדרות באורך n מעל הספרות 0,1, שאינן מכילות ספרות זוגיות סמוכות, כלומר, בסדרה לא יופיעו תתי המחרוזות 00, 0, ו- 0. כתבו משוואת נסיגה ותנאי התחלה מספיקים ולא מיותרים עבור (n. )F כתבו תשובה סופית בלבד. ב. ( ) = ( 1) + F( n ) ( 0) = 1 F( 1) = F n F n F ניקוד: על כל טעות בתנאי התחלה הורדו נקודות. פתרון לא נכון עם תנאי התחלה נכון הורדו 7 נקודות.

3 { 0,1,,...,9} כך שבכל (8 נקודות) מהו מספר המחרוזות באורך 10 מעל הא"ב מחרוזת התווים,5,8 מופיעים לפחות פעם אחת. נמקו את תשובתכם! ג. (ע"י הכלה והפרדה) העולם: כל המחרוזות מעל א"ב בגודל 10 התכונות: מספר לא מופיע מספר 5 לא מופיע מספר 8 לא מופיע מחפשים את *טעויות נפוצות:! : יש בחישוב זה כפילויות.! : זה לא נכון, כי אם מחרוזת לא מכילה רק אחד מהמספרים {,5,8} היא גם לא חוקית. (ניקוד לטעויות אלא נע בין 1 ל נק') (7 נקודות) כמה מעגלים המילטוניים יש בגרף לא מכוון, פשוט, ומלא עם n (כזכור, הגרף המלא מכיל את כל הקשתות האפשריות.) ד. צמתים? נמקו את תשובתכם!! (ראה תרגול 9 שאלה 6) ניקוד: התשובה! קיבלה נקודות והתשובה! קיבלה 5 נקודות.

4 n k= n k n = k n (16 נקודות): שאלה הוכיחו קומבינטורית כי: (4 נק') כתיבת בעיה: מספר אפשרויות לבחור וועד בגודל לפחות מתוך קבוצה של n אנשים כך שבוועד יהיו בדיוק יו"ר. (שקול למספר הווקטורים מעל{ 0,1, } באורך n בהם מופיעים בדיוק שלושה אפסים, וכן שקול למספר האפשרויות לסדר n כדורים שונים לשלושה כדים שונים כך שבכד מס' יהיה בדיוק כדורים וסדר בתוך כד אינו חשוב) ב. (6 נק') צד ימין: נבחר יו''ר ואז לכל שאר האנשים יש אפשרויות: להיות או לא להיות בוועד (עיקרון הכפל). ג. (6 נק') צד שמאל: נבחר וועד בגודל ומתוכו נבחר י''ר. נסכם על כל הערכים האפשריים של, משום שכל המקרים זרים (עיקרון החיבור). *טעות נפוצה: שימו לב שהבעיה הבאה אינה מתאימה לביטוי הנתון: " מה המספר הווקטורים הבינאריים באורך n בהם מופיעים לפחות אחדים." מי שהגדיר את הבעיה הזאת או בעיה שקולה לה קיבל 4 נק'. 4

5 (18 נקודות): שאלה K 17 גרף פשוט לא-מכוון ומלא בעל 17 צמתים. הוכיחו שאם צובעים את הקשתות בגרף ב- יהי 8 צבעים שונים אזי הגרף יכיל לפחות מעגל אחד מונוכרומטי (בעל צבע אחד) באורך כלשהו. רמז: לשאלה זו קיים פיתרון המשתמש בעיקרון שובך היונים. עם זאת, כל פיתרון נכון יתקבל. כתבו הוכחה מנומקת ובהירה. ההוכחה חולקה ל חלקים. (4 נק') מציאת מספר הקשתות בגרף - (7 נק') שימוש בעקרון שובך היונים להוכחה שקיימים לפחות קשתות שצבועות באותו צבע. (7 נק') הוכחה שכל גרף עם 17 צמתים ו 17 קשתות חייב להכיל מעגל: נניח בשלילה שאין מעגלים בגרף מכאן נובע שזה יער אבל ביער מספר הקשתות קטן ממש ממספר הצמתים (אם יש m רכיבי קשירות ביער אז הוא מכיל בדיוק m-17 קשתות) ולכן קיבלנו סתירה. (הוכחה נכונה עבור קיום מעגל בגרף כנ"ל שהוא קשיר, משמע עץ, קיבלה נק' מתוך ה 7 ) ב. ג. טעויות נפוצות: הוכחת קיום מעגל ע"י אלגוריתם למציאת המעגל כמעט תמיד הייתה שגויה. הטעות הכי נפוצה זה להתחיל עם צומת אקראי להראות שבהכרח יש לו לפחות קשתות מאותו צבע וכך להמשיך לצומת הבאה ולהגיד שגם לה יש בהכרח קשתות מאותו צבע וכן הלאה. הבעיה העיקרית היא שזה לא בהכרח אותו הצבע עבור כל צומת ולכן לא נוצר מעגל מונוכרומאטי. בעיה לא פחות חשובה בפתרונות מהסוג של אלגוריתם למציאת המעגל היא שצריך לשים לב שזו הוכחה ולא איזושהי פרוצדורה שלאו דווקא מסתיימת במה שרוצים לקבל. 5

6 (18 נקודות): שאלה 4 n משבצות. על הלוח נע צריח, כאשר בכל צעד יכול הצריח לנוע נתון לוח שחמט בגודל n מספר כלשהו של משבצות במאוזן (כלומר לעבור למשבצת אחרת באותה שורה) או במאונך (לעבור למשבצת אחרת באותה עמודה). רוצים לתכנן סדרת מהלכים של הצריח על הלוח באופן הבא: ב. הצריח יתחיל ויסיים באותה משבצת. לכל זוג משבצות A,Bשנמצאות באותה שורה או אותה עמודה, יהיה בדיוק צעד אחד במהלך שבו הצריח עובר מ Aל B או מ Bל A. כלומר, הצריח יבצע את כל הצעדים האפשריים עבורו בלוח באחד מהכיוונים שלהם. האם הדבר אפשרי? הוכיחו את תשובתכם באופן מלא ובהיר. רמז: חישבו על מידול הבעיה באמצעות גרף. ב. מידול הבעיה: נגדיר גרף פשוט ולא מכוון. לכל משבצת בלוח נשייך צומת שייצג אותה. כל צעד אפשרי ממשבצת A למשבצת B נייצג ע"י קשת לא מכוונת בין A ו B. מהגדרת הגרף נובע כי מעגל העובר על כל הקשתות בגרף פעם אחת בדיוק מייצג סדרת מהלכים המבצעת כל מהלך אפשרי בדיוק בכיוון אחד, וחוזרת למשבצת ממנה החלה. מעגל זה הוא כמובן מעגל אוילר. הוכחת קיום מעגל אויילר (לפי המשפט): צריך להוכיח כי הגרף קשיר, ודרגת כל צומת בו היא זוגית. קשירות: מאחר וניתן להגיע ב- צעדי צריח לכל היותר מכל משבצת בלוח לכל משבצת, מאופן הבניית הגרף ניתן באותו אופן להגיע מכל צומת לכל צומת ע"י מעבר על הקשתות המייצגות את הצעדים המתאימים. לכל צומת דרגה זוגית: מאופן בניית הגרף נובע שהדרגה של כל צומת היא מספר הצעדים האפשריים היוצאים מהמשבצת אותה הוא מייצג. לכל משבצעת יש 1-n משבצעות באותה שורה ועל כן 1-n צעדי צריח אפשריים. בנוסף, לכל משבצעת יש 1-n משבצות באותה עמודה ועל כן 1-n צעדי צריח אפשריים. אין יותר צעדי צריח שאפשריים ממשבצת כלשהי ובס"ה קיבלנו כי מכל משבצת אפשריים בדיוק צעדי צריח. בהתאם לכך זוהי הדרגה של כל צומת ודרגה זו היא זוגית. מש"ל. 6

7 ניקוד: על הגדרה לא מסודרת של הגרף ומה מייצג צומת/קשת הורדו נק' על חוסר הסבר למה מסלול אויילרי מעגלי הוא הרצוי (עובר בכל הקשתות=בכל הצעדים האפשריים, ובכל צעד רק בכיוון אחד) הורדו נק'. על חסר נימוק הדרוש למשפט (קשירות /דרגת כל צומת זוגית) הורדו 6 נקודות לכל נימוק חסר. על נימוק חלקי לקשירות הורדו נקודות. פתרון מלא לצעדי מלך (משמע מעבר רק למשבצות סמוכות ( קיבל 6 נק'. מידול שגוי לא קיבל ניקוד (לרוב מידול ע"י גרף מכוון במקום גרף לא מכוון). 7

8 (18 נקודות): שאלה 5 n (9 נקודות) רשמו את הפונקציה היוצרת בה המקדם של x הוא מספר החלוקות של כאשר לכל k,,1,, תאים שונים הממוספרים ע"י הטבעיים k זהים ל- nכדורים אי-זוגי,,1 k בתא ה- יש לכל היותר מספר אי-זוגי של כדורים שאינו גדול מ-. לכל תא אחר ) זוגי) אין הגבלה. כתבו תשובה סופית בלבד. k / 1 g( x) = (1+ x+ x + ) (x+ x + x ) = (x+ x + x ) 0 even k 0 odd k 1 x 0 odd k ניקוד מלא התקבל למי שכתב את אחד הביטויים הללו או שקולים להם. (9 נקודות) השתשמו בפונ' יוצרות על מנת למצוא את מס' האפשרויות השונות לבחירות 10 כדורים מתוך שק ובו מלאי בלתי מוגבל של כדורים אדומים, שחורים וכחולים כך שיש לכל היותר שני כדורים אדומים. נמקו את תשובתכם! ב. פתרון ללא פונקציות יוצרות לא יתקבל. הפתרון המומלץ כולל שלושה שלבים: ( נק') כתיבת הפונקציה היוצרת H ( x) = (1+ x+ x )(1+ x+ x + x + ) ב. ( נק') פישוט הפונקציה וביטויה כמכפלת שתי פונקציות מוכרות/פשוטות 8

9 1 x 1 x 1 1 x 1 (1 x) H ( x) = = (1 x ) = (1 x ) CC ג. ( נק') שימוש בעקרון ההרכבה (נוסחה ה' בדף הנוסחאות) לחישוב המקדם הנדרש. x g( x) = CC x f ( x) = 1 x H ( x) = f ( x) g( נסמן (x באשר ו- h = + 10 f0g10 fg7 1 9 = 10 7 ב- (x) H 10 ונקבל כי המקדם של x הוא כמובן שגם ניתן היה לפתור באופן דומה באמצעות ההרכבה H ( x) = (1+ x+ x ) CC x 9