חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 1

גודל: px
התחל להופיע מהדף:

Download "חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 1"

תמליל

1 חשבון אינפיניטסימלי מתקדם הסיכומים של דינה מבוסס על הרצאות ותרגולים מאת: פרופ' רז קופרמן מר אורי שפירא ירושלים 007

2 תוכן עניינים מרחבים מטריים 3 נספח א' נספח ב' הגדרות ודוגמאות 3 קבוצות מיוחדות במרחב מטרי 6 מרחבים מטריים קומפקטיים סיכום הגדרות 6 סיכום משפטים, טענות ולמות 7 נספח ג' משפטים מרכזיים ותמציות הוכחות 8 אינדקס 9

3 י" מרחבים מטריים הגדרות ודוגמאות כאשר d ( קבוצה לא ריקה ו- d : פונקציה כך הגדרה : מרחב מטרי הוא זוג,, yz, מתקיימות התכונות הבאות: שלכל d(, y = d( y, סימטריה : = y ושוויון אמ"מ 0 d(, y חיוביות : ולש, ( +, (, ( d z d y d y z 3 אי שוויון המש : לפונקציה d קוראים מטריקה על המרחב דוגמאות: ההוכחה שאכן מדובר במרחבים מטריים היא פשוטה ומושארת לקורא, d זוהי המטריקה הטבעית y = y הקבוצות, הן מרחבים מטריים אם מגדירים ( על מרחבים אלה וכאשר נאמר " (או ( כמרחב מטרי" ללא לציין מטריקה במפורש הכוונה תהיה למטריקה זו, d אפשרית משום שמדובר במרחבים מטריים (בפרט הם y = נשים לב שההגדרה y מרחבים נורמיים אבל מלכתחילה אין דרישה שמרחב מטרי יהיה מרחב וקטורי F : פונקציה מונוטנית עולה ממש אזי הקבוצה = עם המטריקה תהי F (, = ( d y y זו = ( ( =, ( היא מרחב מטרי d y F F y מרחב מטרי עם המטריקה האוקלידית שמוגדרת ע כמרחב מטרי ללא לציין במפורש מטריקה ומעתה כשנדבר על המטריקה הטבעית על מסויימת הכוונה תהיה למטריקה הטבעית ניתן להגדיר מטריקה באופן הבא : לכל קבוצה 4 0 = y d(, y = = y קל לראות שאכן מדובר במטריקה מטריקה זו נקראת המטריקה הדיסקרטית והמרחב נקרא מרחב דיסקרטי זו אינה מטריקה מעניינת במיוחד אך היא משמשת פעמים רבות לבניית דוגמאות נגדיות { 0,} ניקח = עם המטריקה m { a : b } a b d( a, b = 0 a = b המרחק בין שתי סדרות קטן ככל שיש להן רישות משותפות ארוכות יותר קל להוכיח שזו אכן מטריקה 3 5 3

4 מ" הגדרה : מרחב נורמי הוא זוג, ( כאשר מרחב וקטורי ו - : פונקצייה שמקיימת :, y את התכונות הבאות לכל ושוויון אמ = 0 t = t + y + y 0 חיוביות: הומוגניות: לכל סקלר t 3 אי שוויון המשולש : הפונקציה נקראת נורמה על המרחב דוגמאות: כל מרחב נורמי (מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב מטרי אם מגדירים (, y = y d = = מטריקה זו נקראת המטריקה המושרית ע"י הנורמה כמובן, לא כל מרחב מטרי הוא מרחב נורמי = מרחבים נורמיים עם הנורמה, l = כאשר = ma (, { l כאשר } לכל מגדירים 3 = (, 4 = הוא מרחב נורמי אוסף הסדרות הממשיות האינסופיות שעבורן > = שמסומן l [0, C קבוצת כל הפוקנציות הרציפות מעל הוא מרחב נורמי תחת הנורמה המוגדרת [ 0,] f = ma 0 [ ( ע"י } f { הערה: באופן טריוויאלי ברור שכל תת קבוצה של מרחב מטרי גם היא מרחב מטרי עם מטריקה שהיא המטריקה המקורית מצומצמת לתת הקבוצה q a b ab + q = q אזי אי שוויון יאנג: לכל, ab 0 ולכל < < נגדיר הוכחה א ': נסתכל על גרף הפונקציה y = (כאן מוצג גרף קמור אבל קל להיווכח שההוכחה נכונה גם במקרה שהגרף קעור ברור שמתקיים ab S + S אבל שטחים אלה אנחנו יכולים 5 6 לחשב בקלות: וכן a a a S = d= = 0 0 b q b + b = = + = 0 S d = l a, y = ql b 0 q הוכחה ב ': יהיו (הם מוגדרים היטב משום ש-, ab חיוביים אזי e תחת הגדרות אלה אנו רוצים להוכיח ש- y q = b ובאותו אופן e l a = e =e l a = a 4

5 y q q e e y + y y q e e y e = e e + = + = e + e q q t ידוע ש- f ( t = e פונקציה קמורה ולכן לכל t t ולכל 0,] [ מתקיים (, ( ( ( ( ( e = f t + t f t + f t = e + e t + t t t ( ואז ש- < < מתקבל < 0<, e אבל זה בדיוק מה שרצינו להוכיח t =,t ו- = (מאחר בפרט זה נכון עבור = y + y y e + e אז אי שוויון הולדר: יהיו,,, y,, y 0 אז לכל ו- מתקיים q = < < q q y y = = = הוכחה : נשים לב ששני אגפי אי שוויון הומוגניים ב- וב- y לכן ניתן להניח ש- = y = q, אבל זה נובע מאי שוויון יאנג: = q q y y = = = = צריך להוכיח ש- y y + = + = + = q q q y, TI אכן נורמה טענה: לכל החיוביות וההומוגניות ברורות נראה שמתקיים אי שוויון המשולש יהיו אם > < נשתמש בתוצאות הקודמות: TI + y = + y = + y + y = = Hlder + y + y = + y + y + y = = = Hlder q q q q + y + y + y ( ( = = = = = + y + y + y ונקבל את הדרוש TI + y = + y + y = + y = + y = = = = = נחלק את שני האגפים ב- אם = זה ברור: זה גם כן ברור: { } { } { } { } אם = TI + y = ma + y ma + y ma + ma y = + y 5

6 קבוצות מיוחדות במרחב מטרי הגדרה: יהי d (, מרחב מטרי נגדיר את הקבוצות הבאות: S(, a = { y : d( y, = a} ספירה ברדיוס a סביב הנקודה - B ( a, = { y : d( y, < a} כדור פתוח ברדיוס a סביב הנקודה - ( a = { y d( y כדור סגור ברדיוס a סביב הנקודה הנקודה {a - B, :, (, דוגמאות: כדורי היחידה תלויים בנורמה!!, ( 0, (, B B ( 0, B ( 0, (, d הגדרה: יהי מרחב מטרי תת קבוצה תיקרא חסומה אם קיימים < r 0 ו- תיקרא פתוחה ב- אם לכל קיים < r 0 כך ש- כך ש-( r B, נסכים ש- קבוצה פתוחה ב- B (, r } { כך ש- r קיימים = משפט: בכל מרחב מטרי מתקיים: כל חיתוך סופי של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה כל איחוד של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה כדור פתוח הוא קבוצה פתוחה 3 קבוצה היא פתוחה אמ"מ היא איחוד של כדורים פתוחים 4 = { r } 0< r = m ברור ש- B( r, כלומר קבוצה (, = קיים < r 0 כך ש- B r β = α יהי - = יהיו } { קבוצות פתוחות ב לכל ניקח לכל ולכן α לכן (, B r (, (, B r B r { α } α I פתוחה יהיו עבור קבוצות פתוחות ב- יהי קבוצה פתוחה ב- β (, y נטען ש- B r α β I כלשהו אבל B ( r, (, (, יהי כדור פתוח ב- תהי, < r d( 0 שהרי לכל y ראשית נציין שברור ש- B yr d y B r כעת, אם, (, (, (, d y מתקיים < r z B y r d y אז (, y B r 3 6

7 , (, ואז (, (, = לכן z B r B r ( < ( אבל אז d z, y r d, y y,, d z, d z, y + d y, < r d, y + d כלומר כך ש- B r B r ( r, = r ( נניח פתוחה ב- אזי לכל קיים { } (,r אבל ברור ש- = B כלומר היא איחוד של כדורים פתוחים לפי סעיף ( איחוד כלשהו של כדורים פתוחים הוא קבוצה פתוחה לכם אם היא איחוד של כדורים פתוחים אז פתוחה 4 הגדרה: יהי d (, - פתוחה ב תיקרא סגורה אם מרחב מטרי קבוצה טענה: בכל מרחב מטרי מתקיים: כל חיתוך סופי של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה כל איחוד של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה כדור פתוח הוא קבוצה פתוחה 3 נובע מהמשפט הקודם ומשימוש בכללי דה מורגן כנ"ל, ( קבוצה פתוחה יהי, r B ( כדור סגור ב- נראה ש-{ >, ( : { =, y { y : d( אז, (, (, ( y נטען שאם {r > r < d( y, מתקיים y B(, r שהרי לכל 0 < d( y, ברור ש- r y, d( z, y < d( אבל אז r אזי z B ( y, d( y, r z B(, r כלומר d(, z d(, y d( y, z > r B r y d y r B yd y r B r ראשית, כעת, יהי הערות: הקבוצות, הן גם פתוחות וגם סגורות פתוחה לפי ההגדרה ולכן, d לכל = סגורה מצד שני גם עצמו תמיד קבוצה פתוחה ולכן = סגורה קיימות קבוצות שאינן פתוחות ואינן סגורות, למשל קטעים חצי פתוחים חצי סגורים ב- a, B ( כך ש- נסתכל על, ab ] הקטע אינו פתוח כי עבור a לא קיים כדור פתוח ε (b B,a ε,a אבל הקטע גם אינו סגור משום שמסיבה דומה הקבוצה אינה פתוחה [ [ ab, = { : < a b} = (, a [ b, חיתוך אינסופי של קבוצות פתוחות אינו בהכרח קבוצה פתוחה למשל נסתכל על הסדרה =, וזוהי כמובן קבוצה סגורה ברור ש- {} 0, = 3 3 I = Iγ כך ש- Γ של קבוצות וקבוצ אינדקסים { α : α I} משפחה לא ריקה, γ Γ כללי דה מורגן: בהינתן קבוצה α α = = α α אזי: 7

8 באותו אופן איחוד אינסופי של קבוצות סגורות אינו בהכרח קבוצה סגורה למשל נסתכל על זוהי סדרה של קבוצות סגורות ב- אבל ] 0, ( =, וזאת לא הסדרה, = קבוצה סגורה 4 (, r = d y אז { } טענה: יהי d (, נסתכל על מרחב מטרי כל יחידון y אז y ולכן הוא קבוצה סגורה ב-, < d 0 ניקח y {} {} אם (, { } B yr מסקנה: יהי d (, מרחב מטרי אזי כל קבוצה סופית היא סגורה ב- היא סופית ולכן היא איחוד סופי של יחידונים, כלומר היא איחדו סופי של קבוצות סגורות אבל איחוד סופי של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה טענה: יהי d (, היא גם פתוחה וגם סגורה מרחב מטרי בדיד אזי כל ראינו שכל יחידון הוא סגור אבל ברור גם שכל יחידון הוא פתוח, כי לכל מתקיים B, = {} {} כל קבוצה היא איחוד של יחידונים פתוחים ולכן היא פתוחה אבל גם היא איחוד של יחידונים פתוחים ולכן פתוחה ולכן סגורה ( מרחב מטרי סדרה (, d = lm במקרה זה נסמן d( הגדרה: יהי או נקראת מתכנסת אם קיימת נקודה נקרא הגבול של הסדרה כך ש- ו- lm, = 0 ( טענה: יהי d (, מרחב מטרי תהי סדרה מתכנסת אזי הגבול הוא יחיד ( ', d נניח בשלילה ש-' ניקח = ε < 0 קיים ' וגם נניח ש- d( ', N כך שלכל ' אבל גם קיים d(, < מתקיים N < כך שלכל N (, ' d( ', N = ma { N אזי לכל N < מתקיים גם, N ' N' מתקיים < d יהי } > d( ', d( ',, d( וגם < ' d(, אבל זה לא יכול להיות יהי N < כלשהו אז < d(, ' d(, ' ' d(, ' d(, + d(, ' < + = d(, וזו סתירה, (, d ( משפט: יהי מתכנסת תת קבוצה אזי סגורה ב - אמ"מ לכל סדרה מרחב מטרי תהי סדרה מתכנסת כך ש- lm מתקיים נניח בשלילה ש- (, כך ש- B ε ( סגורה תהי ( נניח ש- אבל כלומר קבוצה פתוחה לכן קיים < ε 0 אבל עבור ε זה 8

9 י",, B בסתירה לכך קיים N כך שלכל N < מתקיים, d < ε כלומר ε, ( לכל ש- מתקיים נראה ש- פתוחה נניח שהיא כך שלכל < ε 0 נניח שלכל סדרה מתכנסת y אינה פתוחה אזי קיים מתקיים B נבנה סדרה באופן ( y, ε y אבל y, כלומר 0 d( y, y < 0 y אזי B y, הבא: לכל נבחר y ואילו y בסתירה להנחה (, הגדרה: יהי d מרחב מטרי תהי תת קבוצה הפנים של מוגדר ע י" = B B Bs e = B B s lsed = \ = B הסגור של השפה של מוגדר ע"י מוגדרת ע הפנים הוא איחוד של קבוצות פתוחות ולכן הוא קבוצה פתוחה ברור לפי ההגדרה שזו הקבוצה הפתוחה המקסימלית שמוכלת ב- הסגור הוא חיתוך של קבוצות סגורות ולכן הוא קבוצה סגורה ברור לפי ההגדרה שהסגור הוא הקבוצה הסדורה המינימלית שמכילה את השפה היא חיתוך של שתי קבוצות סגורות ולכן היא קבוצה סגורה הערות: 3 לכן דוגמה: נסתכל על כמרחב מטרי ועל תת הקבוצה לא קיימת קבוצה פתוחה על הישר אשר מוכלת ברציונליים ולכן = מצד שני הקבוצה הסגורה היחידה שמכילה את כל הממשיים היא עצמה = \ = מכאן השפה של הרציונליים היא = טענה: יהי d (, מרחב מטרי ותהי תת קבוצה אזי פתוחה וסגורה ב- אמ"מ = = = \ = \ ( נניח ש- פתוחה וסגורה אזי = = לכן = ( נניח ש- = אם = אזי כמובן = ולכן היא פתוחה וסגורה אחרת, = = ומכאן ש- פתוחה וסגורה אבל ולכן טענה: יהי d (, מרחב מטרי ותהי שהן גבול של סדרה המוכלת ב- נגדיר B = תת קבוצה אזי הסגור של הוא אוסף כל הנקודות ונראה ש- B = נניח שלא קיים < ε 0 { : ( } B ( נראה ש- B קבוצה סגורה יהי, B אזי כך ש- = B ε y אבל B סגורה ולכן לא יכול להיות ברור ש- y B, לכל ניקח B שהגבול של B הוא B מכאן ש- B סגורה מצד שני, ברור ש- B כי לכל נובע ש- B y ניתן לקחת כעת מהמינימליות של 9

10 אבל, ברור שגם ( כך ש- שהרי ( ( יהי B ותהי סגורה ולכן כלומר B ( בפרט B B טענה: יהי d (, יהי מרחב מטרי ויהיו B, אזי כך ש- ולכן B אזי קיימת סדרה B מכאן ש- B B ולכן B וכן הערה: ההכלה בכיוון השני לא תמיד מתקיימת למשל, נסתכל על כמרחב מטרי ועל B = 0,, אבל = B ברור ש- = = B= [ ] [ ] { } [ 0,, (, ] (, ( (, B r B r מרחב מטרי אזי לכל ( d B ( r, B( r, B ( r, B(, r, r B ( r, B( ו-(, (, ( 0 < r ולכל טענה: יהי, וכדור פתוח הוא קבוצה פתוחה לכן לפי ההגדרה ו- B r B r הערה: מה שחשוב בטענה הקודמת הוא להבין שאין שוויונים (בניגוד לאינטואיציה האוקלידית שלנו, B אבל B, = ולכן למשל, במרחב דיסקרטי, d מתקיים = { } ו-{} =, ( B ( B (, (, d תת מרחב מטרי של ( Yd, = טענה: יהי אזי תת קבוצה Y פתוחה ב- Y אמ"מ היא חיתוך של Y עם קבוצה פתוחה ב- - Y היא איחוד של כדורים פתוחים ב- Y אזי לפי משפט קודם Y פתוחה ב- ( נניח ש- Y Y = B אבל ( yα, rα Y ( α, α { : ( α, α} { : ( α, α} ( α, α B y r = y Y d y y < r = y d y y < r Y = B y r Y B היא קבוצה ( yα, rα rα = ( B( yα, והרי Y = B( yα, rα כלומר Y פתוחה ב- ( נניח ש- = B Y כאשר B קבוצה פתוחה ב- יהי אזי B ולכן קיים < r 0 כך ש- B B r, אזי B r, Y B Y אבל Y (, = { :, < } = B r Y y Y d y r B r ומכאן ש-, B r, B Y= כלומר Y, Y פתוחה ב- 0

11 מרחבים מטריים קומפקטיים ( הגדרה: מרחב מטרי d (, נקרא קומפקטי אם לכל סדרה קבוצה K נקראת קומפקטית אם היא קומפקטית כמרחב מטרי מושרה קיימת תת סדרה מתכנסת תת ( Kd, K [ ab, ] דוגמאות: כל קטע סגור הוא קבוצה קומפקטית לפי משפט בולצאנו ויירשטראס לכל סדרה [ ab, ] יש תת סדרה מתכנסת ב- (שהרי הקטע חסום מאחר שהקטע סגור לא קיימת תת סדרה לכן כל תתסדרה של ( תוח, ( ( [ ab, ] הגבול הוא בעצמו בקטע כל קטע ( ab, אינו קבוצה קומפקטית למשל לסדרה a+ = מתכנסת ב-(, ab ( ב- הסדרה מתכנסת ומתקיים a ab לכן בתוך הקטע הפ, a a מתכנסת גם היא לאותו גבול אבל (b, ( לא קיימת תת סדרה מתכנסת כל קבוצה סופית היא קומפקטית, שהרי בסדרה שקבוצת האיברים שלה סופית לפחות אחד מהאיברים חייב לחזור על עצמו אינסוף פעמים וזאת תהיה תת סדרה מתכנסת (, d 3 טענה: יהי קומפקטית אמ"מ סופית מרחב דיסקרטי אזי כלשהו נמשיך אינסופית יהי קומפקטית ונניח בשלילה ש- ( תהי,, כך שלכל j אינסופית ולכן יש בה אינסוף j באינדוקציה נניח שבחרנו כך ש- לכל באופן הזה בנינו סדרה + + איברים שונים לכן קיים d(, לכן לא יכולה j מתקיים = j מאחר שכל איברי הסדרה הם שונים לכל להיות קיימת תת סדרה מתכנסת של, בסתירה להנחת הקומפקטיות כבר אמרנו זאת בדוגמה (3 = } { קבוצות קומפקטיות טענה: יהי d (, מרחב מטרי ותהיינה K אזי K קבוצה קומפקטית K j = j ( K = תהי כלומר קיימת תת סדרה סדרה קיים כך שאינסוף מאיברי הסדרה נמצאים ב- K j קבוצה קומפקטית ולכן קיימת תת סדרה מתכנסת אבל ( K K אבל תת סדרה של כלומר מצאנו תת סדרה של ( שמתכנסת ל- אבל בגלל j ( l l j = K K טענה: יהי d (, תהי K מרחב מטרי ותהי K תת קבוצה קומפקטית אזי K סגורה וחסומה סדרה מתכנסת כל תת הסדרות שלה מתכנסת לאותו גבול, נניח K לכן K סגורה K ( הקומפקטיות של מתקיים j

12 , K B( נניח כדי להראות ש- K חסומה יש להראות שקיים וקיים < r 0 כך ש- (r כלשהו כך שלכל a K יהי K / B(, בשלילה שלכל K ולכל < r 0 מתקיים r K ולכן קיימת נקודה K / B( a, (, + d(, (, מתקיים כך ש- d a לכל ולכל, d a d a לכן אין תת סדרה של מתקיים חסומה המתכנסת ל- בניגוד להנחת הקומפקטיות לכן K הערה: אם קבוצה היא סגורה וחסומה זה לא בהכרח אומר שהיא קומפקטית למשל, במרחב דיסקרטי כל היא סגורה וחסומה (למשל ע"י, B עבור כלשהו אבל ראינו שקבוצה קבוצה במרחב דיסקרטי היא קומפקטית אמ"מ היא סופית וזה לא בהכרח נכון טענה: יהי d (, מרחב קומפקטי אזי תת קבוצה K היא קומפקטית אמ"מ היא סגורה ( ( ראינו בטענה הקומת שכל קבוצה קומפקטית היא סגורה ( נניח ש- K סגורה תהי K בפרט, אבל קומפקטי ולכן קיימת תת סדרה מכאן ש- K קומפקטית K סגורה לכן היא קומפקטית אמ"מ היא סגורה וחסומה K ו- ( m כך ש- אבל K m ( משפט: נסתכל על כמרחב מטרי כל ( את הכיוון הזה כבר ראינו בטענה קודמת נניח ש- סגורה וחסומה אזי קיים כך שלכל = מתקיים ע"י הפעלה חוזרת m פעמים פעם j j ( m,, 0 < M (( m,, ( (, ma j d 0 m j m תהי = לכל j m j < M לכל קואורדינטה של משפט בולאנו ויירשטראס ניתן לבחור תת סדרה כך ש- לכל ב- לכן קומפקטית ( m,, נגדיר = אזי j m כלומר, אבל בגלל הסגירות m נגדיר את המרחק בין a ל- B,, a הגדרה: יהי d (, המרחק בין מרחב מטרי ויהיו ואת (, = f d( a, z d a z ( d, B = f d, y y B ל- B ע"י : B, טענה: יהי d (, מרחב מטרי ויהיו תת קבוצות זרות, סגורות ולפחות אחת מהן 0 < d(, קומפקטית אזי (B, d( 0 נניח בשלילה ש- 0 = B d(, אזי בה"כ קומפקטית ברור ש- (B כך ש- 0 y d, אבל כי זו תת סדרה ( y d y אבל B סגורה ולכן, y B ( y y B לכן קיימות סדרות f d, = 0 קומפקטית ולכן קיימת לה תת סדרה מתכנסת אבל 0, של סדרה מתכנסת ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות חייב להיות גם B בסתירה לכך ש- = B

13 {( = ו- B=, :0< ברור,0 : } דוגמה: נסתכל על הקבוצות זה לא בא בסתירה לטענה הקודמת משום שאף ש- = B אבל בכל זאת מתקיים α { } d(, B = 0 אחת מהקבוצות אינה קומפקטית, שהרי הן אינן חסומות הגדרה: יהי d (, מרחב מטרי אוסף F של תת קבוצות של נקרא כיסוי של אם α כיסוי נקרא סופי אם יש בו מספר סופי של קבוצות כסוי נקרא פתוח אם לכל α I α = פתוחה ב- תת כיסוי הוא אוסף חלקי של F שמכסה את F הוא כיסוי פתוח של, אבל כל {(, : } = +, שהרי כל הקבוצות בכיסוי חסומות ואילו אינו חסום דוגמה: נסתכל כמרחה מטרי אזי תת אוסף סופי של F אינו כיסוי של 0 < ε קיים { α } α I למה: יהי d (, מרחב מטרי קומפקטי ויהי מוכל באחת מהקבוצות המכסות כיסוי פתוח כך שכל כדור α B (, ε נניח בשלילה שלכל קיים כדור קומפקטי, אז תהי תת סדרה כך ש-, B שאינו מוכל באף קבוצה כיסוי לכן קיים α I כך ש- וגם < r { } α ( r, ( B קיים כך ש- α כך ש- 0 < r פתוחה אז קיים α α אבל בסתירה להנחה B, B(, r α r, d( לכן < למה: יהי d (, פתוחים ברדיוס ε יהי מרחב מטרי קומפקטי אזי לכל < ε 0 קיים כיסוי סופי של בעזרת כדורים ( B ε, B ε = סיימנו אחרת, קיימת נקודה כלשהו אם, (, ε (, ε ( B B אם = אחרת נקבל סדרה סיימנו אחרת נמשיך באותו אופן אם התהליך נגמר אז סיימנו (, j כך שלכל d ε j ואז לא ייתכן שיש לה תת סדרה מתכנסת בסתירה להיות קומפקטי לכן התהליך חייב להיות סופי הערה: הכיוון השני אינו בהכרח נכון למשל את הקטע (0, ( באורך ε אבל הוא אינו קומפקטי ניתן לכסות ע"י מספר סופי של קטעים משפט היינה בורל: יהי d (, מרחב מטרי אזי שלוש התכונות הבאות שקולות: קיים תת כיסוי סופי { F α } α I { α } α I קומפקטי לכל כיסוי פתוח לכל אוסף של קבוצות סגורות מתקיים ש- כך שכל חיתוך סופי של איברים מהאוסף אינו ריק, F אינו ריק α 3 3

14 מסמל קבוצה סגורה ו- J מסמל קבוצה סופית F : F = J I st F = { } α α α α J { Fα} : F J I st F α = α = α J F : F = J I st F = { } α α α { } F : J I F F α α α,} = {, ברור שלכל סדרה כלשהי נתבונן בתת הקבוצות + באותו אופן קל לראות שכל חיתוך = m m > אז m לכן אם F α ( בשלב זה 3 ( + תהי 3 מתקיים סופי אינו ריק אבל ולכן גם כל חיתוך סופי של הסגורים אינו ריק מהנתון נובע ש- כך ש- לכן לכל לכל כלומר קיים קיימת נקודה = כלומר מצאנו תת סדרה מתכנסת לכן קומפקטי ולכן d(, < ( ( נניח ש- קומפקטי ו- כיסוי פתוח מלמה קודמת קיים < ε 0 כך שלכל כדור,, a כך ש - a מלמה אחרת קיימות נקודות B { α } α I (, ε α α I כך ש- (, ε קיים, = = B (, ε = B a α = הגדרה: יהי d (, נקראת צפופה אם מרחב מטרי תת קבוצה טענה: יהי d (, מרחב מטרי ותהי אזי צפופה אמ"מ כל קבוצה פתוחה ב- חותכת את ( נניח שקיימת B פתוחה כך ש- = B ב- B קיימת נקודה פנימית כלשהי מאחר שזו נקודה פנימית לא יכולה להיות סדרה ב- שמתכנסת ל- אבל = וזאת סתירה ( נראה שלכל קיימת כך ש- לכל נסתכל על הכדור הפתוח וברור ש- לפי ההנחה בכל אחת מאלה יש נקודה B, הגדרה: מרחב מטרי d (, נקרא ספרבילי אם הוא מכיל קבוצה צפופה בת מניה טענה: יהי d (, לכל מרחב מטרי קומפקטי אזי נבחר מספר סופי של נקודות ספרבילי = B אזי כך ש-, = נראה שלכל {,, } = {,, } הקבוצה = בת מניה נטען שקבוצה זו צפופה ב - יהי קיים y כך ש- d, y < ε ומכאן ינבע שקיימת סדרה כך ש-, y y 0 < ε 4

15 B y, B כך ש - y, כלומר = ואכן, יהי כך ש- < ε קיים כדור פתוח d( y, לכן < ε < y, לכל, ρ אזי ρ ρ ( y, סדרה של מרחבים מטריים קומפקטיים כך ש- ρ (, y ρ(, y = (,( y = ((, = = טענה: תהי נגדיר ולכל (, מגדירה מטריקה על ρ : מרחב מטרי, כלומר ש- ρ מרחב מטרי קומפקטי ראשית יש להראות ש- ρ סימטריה: ברור מהסימטריה של חיוביות: ברור מההגדרה ש- y ρ ((,( 0 כמו כן ברור שאם y ( = ( אז ρ(, y לכל ולכן = 0 y ρ ((,( וכן מאחר שהמחוברים אי שליליים = 0 y ρ, אז כל אחד מהמחוברים חייב להתאפס מה שבתורו מעיד על כך כולם אם = 0 ( = ( y או לכל ש- y = אי שוויון המשולש: יהיו (,( y,( z אזי ((,( = ρ(, ( ρ(, + ρ(, d z z y y z = = ρ,,,, = = ( y ρ ( y z d( ( ( y d( ( y ( z = + = + = כעת נראה שהמרחב קומפקטי ( ( = תהי סדרה לכל ( = נשים לב,, נסמן את הקואורדינטות, מתכנסת ל- y ( ( = מתקיים ש- m m = שלכל תהי ( סדרה עולה של טבעיים כך ש- סדרה במרחב קומפקטי נמשיך באינדוקציה + ( תת m ( m m= ( m,,( m m= m= נניח שמצאנו סדרה של ולכל < סדרות עולות ממש של טבעיים כך שלכל מרחב קומפקטי ולכן לסדרה + את התהליך הזה ניתן לעשות כל מספר m m y + m + y + m יש תת סדרה מתכנסת ( m ( m + + גדול ככל שיהיה (אך סופי פעמים 5

16 נספח א' סיכום הגדרות 6

17 נספח ב' סיכום משפטים, טענות ולמות 7

18 נספח ג' משפטים מרכזיים ותמציות הוכחות 8

19 אינדקס 9

מטלת מנחה (ממ"ן) 11 הקורס: חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות 2,1 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות סמסטר: ב 2007 מו

מטלת מנחה (ממן) 11 הקורס: חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות 2,1 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות סמסטר: ב 2007 מו מטלת מנחה (ממ"ן) הקורס: - חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות, 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות 337 סמסטר: ב 7 מועד אחרון להגשה: אנא שים לב: מלא בדייקנות את הטופס המלווה לממ"ן בהתאם לדוגמה

קרא עוד

פתרונות לדף מס' 5

פתרונות לדף מס' 5 X הוכיחו כי קבוצה X סגורה אמ"מ פתוחה P נקודה כלשהי עלינו למצוא כך ש- X P X פתרון: תהא X קבוצה סגורה ניקח נניח בשלילה כי לא קיים כזה, ז"א לכל קיימת כך ש- X מכיוון ש- P P נסיק כי d P, P סגורה מתקיים P B

קרא עוד

תורת החישוביות תרגול הכנה לוגיקה ותורת הקבוצות מה יש כאן? בקורס תורת החישוביות נניח ידע בסיסי בתורת הקבוצות ובלוגיקה, והכרות עם מושגים בסיסיים כמו א"ב

תורת החישוביות תרגול הכנה לוגיקה ותורת הקבוצות מה יש כאן? בקורס תורת החישוביות נניח ידע בסיסי בתורת הקבוצות ובלוגיקה, והכרות עם מושגים בסיסיים כמו אב תורת החישוביות תרגול הכנה לוגיקה ותורת הקבוצות מה יש כאן? בקורס תורת החישוביות נניח ידע בסיסי בתורת הקבוצות ובלוגיקה, והכרות עם מושגים בסיסיים כמו א"ב, מילה ושפה לטובת מי ששכח חומר זה, או שלא למדו מעולם,

קרא עוד

<4D F736F F D20F4FAF8E5EF20EEE5F2E320E020F1EEF1E8F820E120FAF9F2E3>

<4D F736F F D20F4FAF8E5EF20EEE5F2E320E020F1EEF1E8F820E120FAF9F2E3> האקדמית תל אביב-יפו מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות מועד א' סמסטר ב' תשע"ד הפתרון לא נכתב על ידי גורם רשמי ובהחלט יכול להיות שנפלו טעויות פה ושם עשיתי כמיטב יכולתי אבל תשימו לב ותפעילו שיקול דעת אשמח לשמוע

קרא עוד

מבנים בדידים וקומבינטוריקה סמסטר אביב תשע"ט מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s, הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול(, קיים

מבנים בדידים וקומבינטוריקה סמסטר אביב תשעט מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s, הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול(, קיים מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול( קיים תת-גרף שלם K s שצבוע בכחול או שקיים תת-גרף שלם K t שצבוע באדום. הגדרה שקולה: עבור גרף עם לפחות (t

קרא עוד

אנליזה מתקדמת

אנליזה מתקדמת א) א) ג) -- אוניברסיטת בן- מדור בחינות מס' גוריון בנגב תאריך הבחינה: 7/0/00 שם המרצים: פונף, בסר, טקצ'נקו, ליידרמן חדו"א א בחינה ב: 0--00 מס' הקורס: מתמטיקה,מדעי המחשב, הנדסת תכנה מיועד לתלמידי: א' מועד:

קרא עוד

מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: סמסטר: א תשע"ח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מו

מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: סמסטר: א תשעח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מו מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: 26.01.2018 2 סמסטר: א תשע"ח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מורכבת מ- 6 שאלות. כל שאלה מזכה ב- 20 נקודות כך הנקודות

קרא עוד

áñéñ åîéîã (ñéåí)

áñéñ åîéîã (ñéåí) מתו% 5 בסיס ומימד סיום) במסגרת הוכחת משפט של בסיסי לכל שני בסיסי של אותו מ"ו יש אותו מספר איברי ), הוכחנו בעצ יותר: משפט: א V מ"ו נוצר סופית, A V קבוצה בת"ל, B V קבוצה פורשת אז. A B הערה: מרחב וקטורי הוא

קרא עוד

מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignment 2 solution - Finding Roots of Nonlinear Equations y cos(x) שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y x 3 1 ושל ממש פתרונות

מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignment 2 solution - Finding Roots of Nonlinear Equations y cos(x) שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y x 3 1 ושל ממש פתרונות מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignmnt 2 solution - Finding Roots of Nonlinar Equations y cos() שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y 3 1 ושל ממש פתרונות בעזרת שיטת החצייה ובעזרת Rgula Falsi )אין צורך לפתור אנליטית(

קרא עוד

תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L

תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L, K סימני יחס חד מקומיים,R לכל אחד מהביטויים הבאים,

קרא עוד

Microsoft Word - SDAROT 806 PITRONOT.doc

Microsoft Word - SDAROT 806 PITRONOT.doc 5 יח"ל - תרגילים הכנה לבגרות תרגיל 8 נסמן ב- את האיבר הראשון ונסמן ב- את מנת הסדרה. על פי הנתון מתקיים: 6 ( S6 89 89 0 5 0 5 S0 S5 ( 0 5 0 t t 0 6 (. לפיכך, 89 5 נסמן t ונקבל: 5 t או או או 5 t נפסול את

קרא עוד

Microsoft Word - hedva 806-pitronot-2011.doc

Microsoft Word - hedva 806-pitronot-2011.doc ו- ( ( השייכים לתחום ההגדרה שאלה פתרון: א. לפי ההגדרה, f היא פונקציה זוגית, אם לכל ( ) שלה, מתקיים. f f נציב את במקום בפונקציה הנתונה ונקבל: ( ) ( ) ( ) + + + + ( ) f f f כלומר, הפונקציה היא זוגית. על

קרא עוד

מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות

מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות תורת הקבוצות מושגים בסיסיים מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות חוברת תרגילים כתוב באופן מפורש את הקבוצות הבאות: 5 2x + 3< היא קבוצת המספרים השלמים המקיימים : 7 B היא קבוצת האותיות הקודמות לאות f באלף-בית הלטיני.

קרא עוד

תכנון אלגוריתמים עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 02: , בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 003 מתרגל אחראי: אורי 0

תכנון אלגוריתמים עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 02: , בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 003 מתרגל אחראי: אורי 0 22 עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 2: 622, בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 3 מתרגל אחראי: אורי הוראות כלליות: כל עוד לא נאמר אחרת, כאשר הנכם מתבקשים לתאר אלגוריתם יש לספק את הבאות: תיאור

קרא עוד

2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק

2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך( כלל השרשרת S ( z) z + על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק מקביל : f ( ) + הפונקציה מוגדרת וגזירה ברציפות בכל M( ) שאלה נתון פרבולואיד אליפטי P ( z) + 6 + z + 8 למישור

קרא עוד

תרגול מס' 7 – חזרה על MST ואלגוריתם Dijkstra

תרגול מס' 7 – חזרה על MST ואלגוריתם Dijkstra תרגול מס' 10 תכנון ליניארי תכנון לינארי הינו כלי שימושי במדעי המחשב. בקורס ראינו כיצד ניתן להציג בעיות שונות במסגרת תכנון לינארי. בנוסף, ראינו שימושים לדואליות של תוכניות לינאריות, אשר מקשרת בין בעיות

קרא עוד

תאריך הבחינה 30

תאריך הבחינה   30 אוניברסיטת בן-גוריון בנגב מדור בחינות 9//8 תאריך הבחינה : ד"ר ס. סמית, דר' דבורה שמות המורים : פרץ, פרופ' גריגורי דרפל מבחן ב: חדו"א ג' --9 מס' הקורס: מיועד לתלמידי: ביולוגיה, כימיה וגאולוגיה ב מועד: א

קרא עוד

עב 001 ינואר 12 מועד חורף פתרונות עפר

עב 001 ינואר 12 מועד חורף פתרונות עפר ק( נסמן ב- את מהירות המשאית שיצאה מעיר A (קמ"ש, קבועה) בגרות עב ינואר מועד חורף שאלון 35 נסמן ב- y את מהירות המכונית שיצאה מעיר B (קמ"ש, קבועה) B A נסמן ב- s את המרחק מעיר לעיר "מ) s v עד מפגש ראשון משאית

קרא עוד

. שאלה 1: ה אי x] T : R 4[ x] R 4[ אופרטור ליניארי מוגדר על-ידי T( ax bx cx d) bx ax cx c )13 נק'( א( מצאו את הערכים העצמיים, המרחבים העצמיים

. שאלה 1: ה אי x] T : R 4[ x] R 4[ אופרטור ליניארי מוגדר על-ידי T( ax bx cx d) bx ax cx c )13 נק'( א( מצאו את הערכים העצמיים, המרחבים העצמיים שאלה : ה אי x] : R4[ x] R4[ אופרטור ליניארי מוגדר על-ידי ( ax bx cx d) bx ax cx c )3 נק'( א( מצאו את הערכים העצמיים המרחבים העצמיים והפולינום המורכב מוקטורים עצמיים של R [ [x האופייני של מצאו בסיס של 4

קרא עוד

אוניברסיטת בן-גוריון המחלקה למדעי המחשב בוחן במבנים בדידים וקומבינטוריקה פרופ' מתיא כ"ץ, ד"ר עופר נימן, ד"ר סטוארט סמית, ד"ר נתן רובין, גב'

אוניברסיטת בן-גוריון המחלקה למדעי המחשב בוחן במבנים בדידים וקומבינטוריקה פרופ' מתיא כץ, דר עופר נימן, דר סטוארט סמית, דר נתן רובין, גב' אוניברסיטת בן-גוריון המחלקה למדעי המחשב בוחן במבנים בדידים וקומבינטוריקה 0-- פרופ' מתיא כ"ץ, ד"ר עופר נימן, ד"ר סטוארט סמית, ד"ר נתן רובין, גב' יעל שטיין טל באומל, לילך חייטמן-ירושלמי, נתי פטר, ד ר סטוארט

קרא עוד

Limit

Limit פרק אינטגרל כפול לכן לפי משפט 55 )ראו גם את ההערה( שאלות :5 d cos( ) d [ ] [] שאלות עם פתרון שאלה 5 חשבו: פתרון 8 הפונקציה ) f ( ) cos( מתקיים: רציפה במלבן d cos( ) d d cos( ) d עדיף לחשב את האינטגרל השני:

קרא עוד

Microsoft Word - ExamA_Final_Solution.docx

Microsoft Word - ExamA_Final_Solution.docx סמסטר חורף תשע"א 18 בפבואר 011 הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצה: מתרגלים: רן אל-יניב נועה אלגרבלי, גיא חפץ, נטליה זילברשטיין, דודו ינאי (אחראי) סמסטר חורף תשע" מבחן סופי פתרון (מועד

קרא עוד

א"ודח ב2 גרבימ הרש 1 רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא 13 בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא L יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע (x(t)

אודח ב2 גרבימ הרש 1 רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא 13 בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא L יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע (x(t) א"ודח ב גרבימ הרש רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע ttt t r רשאכ ttt :עטקב תופיצר תורזגנ תולעב [ab]. יהי F תופיצר תורזגנ

קרא עוד

הטכניון מכון טכנולוגי לישראל אלגוריתמים 1 )443432( סמסטר חורף הפקולטה למדעי המחשב תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגור

הטכניון מכון טכנולוגי לישראל אלגוריתמים 1 )443432( סמסטר חורף הפקולטה למדעי המחשב תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגור תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגוריתמים לפתרון בעית מסלולים קלים מציאת מסלולים קלים ביותר מצומת ביותר ממקור יחיד. כלומר, V לכל צמתי הגרף. בעיה אחרת הקשורה לבעיה זו היא בעית ה-(

קרא עוד

תרגול 1

תרגול 1 תרגול rcsin d rcsin t d שאלה חשב את האינטגרלים המסוימים הבאים: sin cos d rcsin d sin cos d א ב ג פתרון שאלה סעיף א נציב dt sin d t cos עבור נקבל t cos cos עבור נקבל sin cos d tdt סעיף ב נפתור תחילה בעזרת

קרא עוד

Microsoft Word - עבודת פסח לכיתה י 5 יחל.doc

Microsoft Word - עבודת פסח לכיתה י 5 יחל.doc עבודת פסח במתמטיקה לכיתה י' (5 יחידות) תרגילים שבעבודה על החומר שנלמד בכיתה ומיועדים לחזרה יש לעשות לא פחות מ- תרגילים מכל פרק אלגברה פתור את מערכת המשוואות הבאות: y x 1 y y 1 x y m x 1 x עבור אילו ערכים

קרא עוד

מתמטיקה של מערכות

מתמטיקה של מערכות מתמטיקה של מערכות פתרון לתרגיל נגזור את שני האגפים לפי ונקבל : ) ולכן נתון ש- אז א ) e e נתון ש- א ) נגזור את שני האגפים לפי ונקבל: e, ולכן ) e e e ונקבל: נחלק את שני האגפים ב- נתון ש- ו- וגם ש- פונקציות

קרא עוד

Algorithms Tirgul 1

Algorithms Tirgul 1 - מעגלי אוילר ומסלולי אוילר תרגול 1 חידה: האם אפשר לצייר את הציורים הבאים בלי להרים את העיפרון מהנייר? 1 קצת אדמיניסטרציה אופיר פרידלר ophir.friedler@gmail.com אילן כהן - ilanrcohen@gmail.com שעות קבלה

קרא עוד

Microsoft Word - solutions.doc

Microsoft Word - solutions.doc תחרות גיליס 009-00 הרי פוטר הגיע לחנות הדובשנרייה בהוגסמיד. הוא מגלה, שהכסף שלו מספיק בדיוק ל- סוכריות קוסמים ול- 5 קרפדות שוקולד, או בדיוק ל- 0 קרפדות שוקולד ול- 0 נשיקות מנטה, או בדיוק ל- 45 נשיקות מנטה

קרא עוד

משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון אינטגרל מסוים i שאינו תלוי בחלוקה ] [ ובחירה m. S f סכום אינטגרלי + f + K i lim S כאשר i 0. I f I הגדרה אם קיים נקרא אינטגרל מסוים ומסומן הצבה.[ רציפות ב- ] אז הוא f g g g כאשר f g g כאשר udv uv vdu g

קרא עוד

א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש בגרות סט יולי 09 מועד קיץ ב שאלון CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף

א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש בגרות סט יולי 09 מועד קיץ ב שאלון CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש 3 CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף, E בהתאמה. לכן, הנקודה BE.3: לצלעות AE מחלקת את ו- AB ביחס של ע"פ נוסחת חלוקת קטע ביחס נתון

קרא עוד

<4D F736F F D20EEF9E5E5E0E5FA20E3E9F4F8F0F6E9E0ECE9E5FA2E646F63>

<4D F736F F D20EEF9E5E5E0E5FA20E3E9F4F8F0F6E9E0ECE9E5FA2E646F63> משוואות דיפרנציאליות מושגי ייסוד: משוואה המקשרת את גורם הפונקציה עם הפונקציה והנגזרות שלה או הדיפרנציאלים שלה, נקראת "משוואה דיפרנציאלית רגילה" לפתור משוואה דיפרנציאלית פירושו, למצוא את הפונקציה המקיימת

קרא עוד

Microsoft Word - tutorial Dynamic Programming _Jun_-05.doc

Microsoft Word - tutorial Dynamic Programming _Jun_-05.doc הטכניון מכון טכנולוגי לישראל אלגוריתמים (3447) סמסטר חורף 006/007 הפקולטה למדעי המחשב תכנון דינאמי תרגיל תת מחרוזת משותפת ארוכה ביותר תת-מחרוזת z k שקיימת סדרה עולה ממש,... z = z של מחרוזת נתונה x m,...,,

קרא עוד

בגרות עז יולי 17 מועד קיץ ב שאלון ,000 א. ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב-. 25% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי,

בגרות עז יולי 17 מועד קיץ ב שאלון ,000 א. ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב-. 25% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי, ,000 א ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב- 5% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי, 5% לכן, המחיר החדש הוא: 5,000 00 5 5 00 שקלים ממחירו הקודם 0005 תשובה: מחיר הספה לאחר ההתייקרות הוא

קרא עוד

<4D F736F F D20FAF8E2E5EC20E0ECE2E1F8E420EEF2E5F8E D F9E0ECE5FA2E646F63>

<4D F736F F D20FAF8E2E5EC20E0ECE2E1F8E420EEF2E5F8E D F9E0ECE5FA2E646F63> < 0 a b b a > 0 נתון: מכאן ניתן לומר בוודאות כי -. a < b ab < 0 a 0 b > לא ניתן לקבוע בוודאות.. ( 0)?. לא ניתן לדעת. + ( + ) ( ) + + נתון: כמה ערכי שונים מקיימים את המשוואה?. אינסוף 0 +. תשובות ו נכונות

קרא עוד

פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד

פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה 2-7012610-3 תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד ב' שם המרצה: ערן עמרי, ענת פסקין-צ'רניאבסקי חומר עזר:

קרא עוד

. [1,3] ו = 0 f(3) f(1) = עמוד 1 מתוך 6 דר' ז. אולחא מס' הקורס 9711 חדו''א הנ מכונות 1 f ( x) = ( x 1)( x 2)( x 3) c= f c = c (1,3), c תשובות I 1) פונ

. [1,3] ו = 0 f(3) f(1) = עמוד 1 מתוך 6 דר' ז. אולחא מס' הקורס 9711 חדו''א הנ מכונות 1 f ( x) = ( x 1)( x 2)( x 3) c= f c = c (1,3), c תשובות I 1) פונ . [,] ו 0 f() f() עמוד מתוך 6 ז. אולחא מס' הקורס 97 חדו''א הנ מכונות f ( ) ( )( )( ) f (,), תשובות I ) פונ' לכן קיים פתרון רציפה וגזירה בקטע כך ש 0 ) (? f ( ) +, ± ± 0.58 (, ),.58,.4 יש n פעמים להשתמש

קרא עוד

Microsoft Word - 28

Microsoft Word - 28 8-6-7-8 - פתרון מבחן מס' 8 (ספר לימוד שאלון 87) y M (, ) y מרכז המעגל החוסם את המשולש נמצא בנקודת חיתוך האנכים האמצעיים y y לצלעות המשולש: y M _, y y R M ( M) ( M) () R M y m 9 9 69 9 9 9 9 (ב) משוואת

קרא עוד

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, 635863 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 תלמיד קנה 11 מחברות דקות ו- 4 מחברות עבות,

קרא עוד

ðñôç 005 î

ðñôç 005 î ו - משופר נספח לשאלון 005 9005 תוכן עניינים: עמ' סדרות תוספת לאי-שיוויונים ממעלה שניה יישומים 40 (כולל יישום במשפט ויאטה לעומת הנספח הקודם, השאלות הבאות הוחלפו : עמ ' שאלה עמ ' שאלה עמ ' שאלה 6,7,8,9 0,

קרא עוד

! 1! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) xyy = 1 x y xy 2 = 2xy 2 מצא את הפתרו' הכללי: x y y = 3 א) y ג) ב) ד) y tan x = y (1 ( x+ y

! 1! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) xyy = 1 x y xy 2 = 2xy 2 מצא את הפתרו' הכללי: x y y = 3 א) y ג) ב) ד) y tan x = y (1 ( x+ y !! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) tan ( a a z 0 a z s ds dt (רמז: cos d d ז) d ( ) d ( ) ח) ) מצא את הפתרונות המקיימי :. () 0 ( ). (). () 0 d ( ) d ( ) π. sin ln ) tan cos d cos d

קרא עוד

סיכום אינפי 2 28 ביולי 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה ב

סיכום אינפי 2 28 ביולי 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה ב סיכום אינפי 2 28 ביולי 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך..אינני לוקחת אחריות על מה שכתוב מטה. השימוש

קרא עוד

תכנון אלגוריתמים, אביב 1021, תרגול מס' 4 תכנון דינאמי תכנון דינאמי בתרגול זה נדון בבעיית הכפלת סדרת מטריצות (16.1.(CLR ראשית נראה דוגמא: דוגמא: תהינה

תכנון אלגוריתמים, אביב 1021, תרגול מס' 4 תכנון דינאמי תכנון דינאמי בתרגול זה נדון בבעיית הכפלת סדרת מטריצות (16.1.(CLR ראשית נראה דוגמא: דוגמא: תהינה תכנון דינאמי בתרגול זה נדון בבעיית הכפלת סדרת מטריצות (6..(CLR ראשית נראה דוגמא: דוגמא: תהינה ארבע מטריצות:. A, A, A, A נסמן את גודל המטריצות בסדרה ע"י סדרת גדלים כאשר, p 5 5 p היא בגודל A {,,,5,}, P כלומר

קרא עוד

Microsoft Word B

Microsoft Word B מרצה: שולי וינטנר. מתרגל: שלמה יונה מבוא למדעי המחשב מועד ב', סמסטר א' תשס"ג, 17/2/03 משך המבחן: שעתיים וחצי. חומר עזר: מותר כל חומר עזר, מלבד מחשב. הנחיות: 1. ודאו כי בטופס שבידיכם 8 עמודים. יש לכתוב

קרא עוד

תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: כל הזכויות שמורות

תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: כל הזכויות שמורות תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: st.negishut@weizmann.ac.il תוכן העניינים מטרות התיק... 3 זמני עבודה משוערים... 3 החומרים והעזרים הדרושים... 4 רקע... 5 הצעה למהלך העבודה...

קרא עוד

Microsoft Word - 38

Microsoft Word - 38 08.05.6-80 - פתרון מבחן מס' 8 (ספר מבחנים שאלון 0580) t (v 75) (א) מהירות ההתקרבות של שני הרוכבים היא לכן הזמן שעבר מיציאת הרוכבים ועד הפגישה: קמ"ש, שעות 60 v 75 לפי הנתון בשאלה, נרכיב את המשוואות: 60

קרא עוד

ע 003 מרץ 10 מועד מיוחד פתרונות עפר

ע 003 מרץ 10 מועד מיוחד פתרונות עפר בגרות ע מרץ 0 מועד מיוחד שאלון 5005. x א. () יש למצוא את הערך של m שעבורו גרף + ) mx f ( x) mm ( 6) x + ( כאשר נציב m או 6 m נקבל 0 0 ונקבל פונקציה עולה ובהתאם הישר לא מקביל לציר ה - הוא ישר המקביל לציר

קרא עוד

שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימ

שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימ שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימודי מתמטיקה בשנה א. אין מבחני כניסה לקורסים אלו, אולם

קרא עוד

Microsoft Word - 01 difernziali razionalit

Microsoft Word - 01 difernziali razionalit פונקציות רציונליות 5 יחידות מתוך הספר 806 כרך ד' 0, כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי חל איסור מוחלט לתרגם, להעתיק או לשכפל חוברת זו או קטעים ממנה, בשום צורה ובשום אמצעי אלקטרוני, אופטי או מכני (לרבות

קרא עוד

67865 כלים מתמטיים 7 בינואר 2014 מרצה: מיכאל בן אור מתרגל: צור לוריא איני לוקחת אחריות על מה שכתוב כאן, so tread lightly אין המרצה קשור לסיכום זה בשום

67865 כלים מתמטיים 7 בינואר 2014 מרצה: מיכאל בן אור מתרגל: צור לוריא איני לוקחת אחריות על מה שכתוב כאן, so tread lightly אין המרצה קשור לסיכום זה בשום 67865 כלים מתמטיים 7 בינואר 2014 מרצה: מיכאל בן אור מתרגל: צור לוריא איני לוקחת אחריות על מה שכתוב כאן, so tread lightly אין המרצה קשור לסיכום זה בשום דרך הערות יתקבלו בברכה nogarotman@gmailcom אהבתם?

קרא עוד

סז 002 נואר 07 מועד חורף פתרונות עפר

סז 002 נואר 07 מועד חורף פתרונות עפר הציר האופקי מציג את מספר פעימות המונה הציר האנכי מציג את המחיר שגובה חברת הטלפונים (שקלים) ב. א. יש למצוא מהו המחיר ל- 00 פעימות המונה הראשונות בחודש. הנקודה המסומנת בגרף, בעיגול, מראה כי עבור 00 פעימות

קרא עוד

Microsoft Word - ex04ans.docx

Microsoft Word - ex04ans.docx 1 אריאל סטולרמן סטטיסטיקה / תרגיל #4 קבוצה 03 Φ2. ההתפלגות הנורמלית (1) Φ2.2. Φ2.22. Φ1.5 1Φ1.5. Φ0. Φ5 1Φ5 1Φ4.417. Φ 1Φ 1Φ4.417. נתון: ~ 0,1 ( a )להלן חישוב ההסתברויות: 2.22 1.55 Φ1.55 Φ2.22 Φ1.55 1Φ2.22

קרא עוד

Microsoft Word - Sol_Moedb10-1-2,4

Microsoft Word - Sol_Moedb10-1-2,4 הפקולטה למתמטיקה - הטכניון חיפה מד''ח - 48 חורף תשע''א - בחינה סופית מועד ב' שאלה : תהי נתונה המד"ח הבאה: u + uu = y א. מצא את העקומים האופייניים של משוואה זו בצורה פרמטרית. ב. פתור את המד"ח הנתונה לעיל

קרא עוד

Untitled

Untitled 2 אגודת הסטודנטים, בן-גוריון 3 פתרון מבחן מועד ב', חדו"א 2 להנדסת חשמל, סמסטר ב', תשע"ו שאלה : א הטור המגדיר את fx הוא טור טלסקופי. הסכומים החלקיים של טור זה הם S n x n k kxe kx k xe k x nxe nx x fx lim

קרא עוד

HaredimZ2.indb

HaredimZ2.indb יחידה :31חופפים משולשים נחפוף משולשים ונוכיח תכונות של אלכסוני משולשים שווה שוקיים ואלכסוני המלבן. שיעור.1חופפים במשולש שווה שוקיים נחקור ונוכיח תכונות של משולש שווה שוקיים נתון משולש שווה שוקיים שבו.

קרא עוד

תכנות דינמי פרק 6, סעיפים 1-6, ב- Kleinberg/Tardos סכום חלקי מרחק עריכה הרעיון: במקום להרחיב פתרון חלקי יחיד בכל צעד, נרחיב כמה פתרונות אפשריים וניקח

תכנות דינמי פרק 6, סעיפים 1-6, ב- Kleinberg/Tardos סכום חלקי מרחק עריכה הרעיון: במקום להרחיב פתרון חלקי יחיד בכל צעד, נרחיב כמה פתרונות אפשריים וניקח תכנות דינמי פרק 6, סעיפים -6, ב- Kleinberg/Tardos סכום חלקי מרחק עריכה הרעיון: במקום להרחיב פתרון חלקי יחיד בכל צעד, נרחיב כמה פתרונות אפשריים וניקח בסוף את הטוב ביותר. סכום חלקי sum) (subset הקלט: סדרה

קרא עוד

שאלה 2. תכנות ב - CShell

שאלה 2. תכנות ב - CShell ביה"ס למדעי המחשב 4.2.2018 האקדמית נתניה מבחן מועד א' יסודות מערכות פתוחות סמסטר חורף, תשע"ח משך המבחן: שלוש וחצי שעות. יש לענות על כל השאלות. מותר השימוש בחומר עזר כלשהו, פרט למחשבים, (מחשבונים מותר).

קרא עוד

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation מבוא למדעי המחשב תירגול 6: כתובות ומצביעים 1 תוכנייה מצביעים מצביעים ומערכים, אריתמטיקה של מצביעים 2 3 מצביעים תזכורת- כתובות זיכרון הזיכרון כתובת התא #1000 #1004 #1008 ערך השמור בתא תא 10-4 לא מאותחל

קרא עוד

תאריך פרסום: תאריך הגשה: מבנה נתונים תרגיל 5 )תיאורטי( מרצה ומתרגל אחראים: צחי רוזן, דינה סבטליצקי נהלי הגשת עבודה: -את העבודה יש לה

תאריך פרסום: תאריך הגשה: מבנה נתונים תרגיל 5 )תיאורטי( מרצה ומתרגל אחראים: צחי רוזן, דינה סבטליצקי נהלי הגשת עבודה: -את העבודה יש לה תאריך פרסום: 01.01.15 תאריך הגשה: 15.01.15 מבנה נתונים תרגיל 5 )תיאורטי( מרצה ומתרגל אחראים: צחי רוזן, דינה סבטליצקי נהלי הגשת עבודה: -את העבודה יש להגיש בזוגות. -העבודה חייבת להיות מוקלדת. -הקובץ חייב

קרא עוד

אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,653 באר-שבעISRAEL 10584P.O.B. 653, BEER SHEVA , המזכירות האקדמית המרכז ללימודים

אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,653 באר-שבעISRAEL 10584P.O.B. 653, BEER SHEVA , המזכירות האקדמית המרכז ללימודים אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,65 באר-שבעISRAEL 058P.O.B. 65, BEER SHEVA 8 05, המזכירות האקדמית המרכז ללימודים קדם אקדמיים אלגברה - נוסחאות הכפל מקוצר גיליון תרגילים מס'

קרא עוד

Microsoft Word - dvar hamaarehet_4.8.docx

Microsoft Word - dvar hamaarehet_4.8.docx מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי المرآز القطري لمعلمي الرياضيات في المرحلتين الاعدادية والثانوية מרובע חסום ועקשן, או נכדי מסר לטיפולי בעיה בגיאומטריה מדור: כתב: תקציר: זה קרה לי בכיתה אברהם

קרא עוד

פתרון וחקירת מערכות של משוואות לינאריות שאלות: 1( מצא אילו מהמערכות הבאות הן מערכות שקולות: 2x+ y= 4 x+ y= 3 x y = 0 2x+ y = 3 x+ 10y= 11 א. 2x 2y= 0

פתרון וחקירת מערכות של משוואות לינאריות שאלות: 1( מצא אילו מהמערכות הבאות הן מערכות שקולות: 2x+ y= 4 x+ y= 3 x y = 0 2x+ y = 3 x+ 10y= 11 א. 2x 2y= 0 פתרון וחקירת מערכות של משוואות לינאריות שאלות: 1( מצא אילו מהמערכות הבאות הן מערכות שקולות: x+ y= x+ y= 3 x y = 0 x+ y = 3 x+ 10y= 11 x y= 0 x y= 7 x y= 1 ד x = 3 x+ y = z+ t = 8 רשום את המטריצות המתאימות

קרא עוד

דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n 1. y' n x n, y הנגזרת x.1 נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- (. x א. נחסר אחד מהחזקה. ב

דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n 1. y' n x n, y הנגזרת x.1 נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- (. x א. נחסר אחד מהחזקה. ב דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n n n, y הנגזרת נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- ( א נחסר אחד מהחזקה ב 7 y כאשר גוזרים כופלים בחזקה, 7 כלומר נרשום אותה משמאל ל-, ובחזקה של

קרא עוד

סדרה חשבונית והנדסית

סדרה חשבונית והנדסית .2 סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות n = 5 טבעי על-ידי כלל הנסיגה: + = an + 3. סדרה מוגדרת לכל n רשמו את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה. הסבירו מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית עולה. מצאו את האיבר ה- 57 בסדרה.

קרא עוד

פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה -

פסגות עש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה - פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה יחס פרופורציה וקנה מידה נוסחאות הכפל המקוצר ופירוק לגורמים פתרון משוואות, אי שוויונות ומערכת משוואות ממעלה ראשונה שאלות מילוליות משוואות ריבועיות שברים

קרא עוד

שיעור 1

שיעור 1 שיעור קצב גדילת פונקציות אנחנו בודקים את היעילות האסימפטותית של האלגוריתם, כיצד גדל זמן הריצה כאשר גודל הקלט גדל ללא גבול. בדר"כ אלגוריתמים עם "סיבוכיות" ריצה טובה יותר יהיו יעילים יותר מלבד לקלטים קצרים

קרא עוד

עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה אפריל 5105 קשה בלימודים, קל במבחנים, קל בחיים עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה יש לפתור את כל השאלות

עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יחל פסח תשעה אפריל 5105 קשה בלימודים, קל במבחנים, קל בחיים עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יחל פסח תשעה יש לפתור את כל השאלות עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה יש לפתור את כל השאלות על דפים משובצים. רשמו את שמכם על כל אחד מהדפים הפתרונות יוגשו אחרי חופשת הפסח. מומלץ לכתוב דואר אלקטרוני, Whatspp כאשר נתקלים בקושי. מישהו

קרא עוד

מקביליות

מקביליות תכונות בטיחות Safety Properties גרא וייס המחלקה למדעי המחשב אוניברסיטת בן-גוריון 2 תזכורת: תכונות זמן ליניארי Linear Time Properties תכונות זמן-ליניארי מתארות קבוצת עקבות שהמערכת צריכה לייצר מכוונים ללוגיקה

קרא עוד

אוניברסיטת בן גוריון בנגב תאריך המבחן: שם המרצה: מר אלכסנדר שקולניק, בשפת JAVA מבחן ב: מבוא לתכנות מס' הקורס : מיועד לתלמידי : הנד

אוניברסיטת בן גוריון בנגב תאריך המבחן: שם המרצה: מר אלכסנדר שקולניק, בשפת JAVA מבחן ב: מבוא לתכנות מס' הקורס : מיועד לתלמידי : הנד אוניברסיטת בן גוריון בנגב תאריך המבחן: 29.01.19 שם המרצה: מר אלכסנדר שקולניק, בשפת JAVA מבחן ב: מבוא לתכנות 202.1.9031 מס' הקורס : מיועד לתלמידי : הנדסת תעשיה וניהול שנה תשע"ט א' סמ' א' מועד 3 שעות משך

קרא עוד

פרויקט "רמזור" של קרן אביטל בס "ד מערך שיעור בנושא: "פונקציה" טליה קיפניס והדסה ערמי, מאולפנת צביה פרטים מקדימים על מערך השיעור: השיעור מהווה מבוא לנו

פרויקט רמזור של קרן אביטל בס ד מערך שיעור בנושא: פונקציה טליה קיפניס והדסה ערמי, מאולפנת צביה פרטים מקדימים על מערך השיעור: השיעור מהווה מבוא לנו בס "ד מערך שיעור בנושא: "פונקציה" טליה קיפניס והדסה ערמי, מאולפנת צביה פרטים מקדימים על מערך השיעור: השיעור מהווה מבוא לנושא הפונקציות הנלמד בכתה ט' בכל הרמות. עזרי ההוראה בהם נשתמש: מחשב, ברקו, דפי עבודה

קרא עוד

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation מה הם הגורמים שקובעים את רמת הפעילות הכלכלית, שער הריבית, רמת המחירים ורמת התעסוקה? הפעילות המשותפת במספר שווקים: פעילות ריאלית שוק הסחורות: CIGX-M עקומת IS (r,) שיווי משק ל פעילות מונטרית שוק הכספים:

קרא עוד

<4D F736F F D20F4F8F720E7F9E9E1E420EBEEE5FAE9FA203120E9E5ECE E646F63>

<4D F736F F D20F4F8F720E7F9E9E1E420EBEEE5FAE9FA203120E9E5ECE E646F63> הסברים לפרק כמותי : :úåðåëðä úåáåùúä 0 9 8 7 6 5 5 0 9 8 7 6 5. התשובה הנכונה היא: (). עלינו לקבוע איזה מהביטויים שבתשובות אינו זוגי. משום שהשאלה עוסקת בתכונת הזוגיות, ננסה ללמוד מהנתון על זוגיותם של x

קרא עוד

משוואות דפרנציאליות רגילות /ח

משוואות דפרנציאליות רגילות /ח qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty Version 10 uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq משוואות דפרנציאליות רגילות /ח wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

קרא עוד

מצגת של PowerPoint

מצגת של PowerPoint שלום לתלמידי י"א חמש יחידות מתמטיקה גיל קרסיק מורה למתמטיקה בשעה וחצי הקרובות נדבר על שאלון 806 סדרות הנדסיות וחשבוניות ארבעה תרגילים שהיו בבחינות בגרות ארבעה טיפים )טיפ אחד אחרי כל תרגיל שנפתור הערב(

קרא עוד

מספר זהות: סמסטר ב' מועד א' תאריך: 11102/4// שעה: 9:22 משך הבחינה: 3 שעות חומר עזר: אין מותר השימוש במחשבון פשוט בחינה בקורס: מבני נתונים מרצה: הדר בי

מספר זהות: סמסטר ב' מועד א' תאריך: 11102/4// שעה: 9:22 משך הבחינה: 3 שעות חומר עזר: אין מותר השימוש במחשבון פשוט בחינה בקורס: מבני נתונים מרצה: הדר בי מספר זהות: סמסטר ב' מועד א' תאריך: 11102/4// שעה: 9:22 משך הבחינה: 3 שעות חומר עזר: אין מותר השימוש במחשבון פשוט בחינה בקורס: מבני נתונים מרצה: הדר בינסקי הנחיות: יש לענות על כל השאלות. יש לענות על כל

קרא עוד

סט נובמבר 08 מועד מיוחד - פתרונות עפר.doc

סט נובמבר 08 מועד מיוחד - פתרונות עפר.doc נפתור את מערכת המשוואות y+ 3 = 5 5 7 3 2y + = 8 3 נארגן את המשוואה הראשונה 1/ 5/ y+ 3 5 = 5 1 y+ 3= 5(5 ) y+ 3= 25 5 8+ y= 25 /5 נארגן את המשוואה השנייה 3 1 3 / / / 2y 7 3 8 + = 1 3 1 6y+ 7 3= 24 7+ 6y

קרא עוד

<4D F736F F D20F4F2E5ECE5FA20EEE5EEF6E0E5FA20312E646F63>

<4D F736F F D20F4F2E5ECE5FA20EEE5EEF6E0E5FA20312E646F63> 1 תרגול פעולות מומצאות ( ( $ מה מהתשובות לא יכולה להיות תוצאה של הפעולה ) ( $ 1 הוגדרה פעולה חדשה $ + 1 1 + 10 + () () מה תוצאת הפעולה ) ( @ @ 10 = הוגדרה הפעולה החדשה 10 1 () 10 () 10 $ 19 $ 17 a) ( $

קרא עוד

1 בגרות עח יולי 18 מועד קיץ ב שאלון x b 2 2 y x 6x שיעור ה- א x לכן, של קדקוד הפרבולה, ו-, מתקבל על ידי הנוסחה a. C(3, 9) ובהתאם, y. (3, 9) 2 C

1 בגרות עח יולי 18 מועד קיץ ב שאלון x b 2 2 y x 6x שיעור ה- א x לכן, של קדקוד הפרבולה, ו-, מתקבל על ידי הנוסחה a. C(3, 9) ובהתאם, y. (3, 9) 2 C 8 מועד קיץ ב שאלון 58 x b y x x שיעור ה- א x לכן של קדקוד הפרבולה ו- מתקבל על ידי הנוסחה a C( 9) ובהתאם y ( 9) C 9 C הם x C ( ) תשובה: שיעורי קדקוד הפרבולה B A y x x ב הישר y 5 חותך את הפרבולה בנקודות

קרא עוד

שיעור מס' 6 – סבולות ואפיצויות

שיעור מס' 6 – סבולות ואפיצויות שיעור מס' 6 סבולות ואפיצויות Tolerances & Fits Tolerances חלק א' - סבולות: כידוע, אין מידות בדיוק מוחלט. כאשר אנו נותנים ליצרן חלק לייצר ונותנים לו מידה כלשהי עלינו להוסיף את תחום הטעות המותרת לכל מידה

קרא עוד

Microsoft Word - אלגברה מעורב 2.doc

Microsoft Word - אלגברה מעורב 2.doc תרגול אלגברה? ( ), (6 ) 6 9 נתון:. מהו ערכו של. () () () (). למה שווה? a ai. נתון: a + 9 + 6a () () 7 () () אף תשובה אינה נכונה?. ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( ) () () () (). נתון: + 0 z z z iz

קרא עוד

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם י

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם י עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם יודעים כיצד לפתור אותן. את העבודה יש להגיש במהלך השבוע

קרא עוד

Microsoft Word - vaidya.doc

Microsoft Word - vaidya.doc Preconditioners של וואידיה ברצוננו לפתור Axb כאשר המטריצה A היא מטריצה סימטרית חיובית (כל הערכים העצמיים שלה חיוביים) ודלילה (רוב הערכים בה הם אפס). דרך אחת לפתור מערכת לינארית כזאת היא הדרך הישירה: מציאת

קרא עוד

מקביליות

מקביליות תכונות שמורה Invariant Properties גרא וייס המחלקה למדעי המחשב אוניברסיטת בן-גוריון 2 בדיקות מודל Checking( )Model מערכת דרישות מידול פירמול בדיקות מודל )Model Checking( מודל של המערכת תכונות פורמליות סימולציה

קרא עוד

אי שוויונים ממעלה ראשונה לארבע יחידות

אי שוויונים ממעלה ראשונה לארבע יחידות אי שיוונים ממעלה ראשונה ל יח"ל. נעמי ברנס/כהן. המחברות: מיטל מתלון/מיכאלי. רטל חדד/בן רחמים הנחיות לשימוש בחוברת "אי שויונים ממעלה ראשונה" לתלמידי יח"ל החוברת מיועדת ללימוד עצמאי למי שלא למד את הנושא.

קרא עוד

פתרונות לשאלות ממבחנים עוזי וישנה, 1996 השאלות לקוחות ממבחנים של פרופ' א. רואן. הפתרונות מוצגים באופן תמציתי, ויתכן שבמבחן כדאי להרחיב יותר. קובץ זה נ

פתרונות לשאלות ממבחנים עוזי וישנה, 1996 השאלות לקוחות ממבחנים של פרופ' א. רואן. הפתרונות מוצגים באופן תמציתי, ויתכן שבמבחן כדאי להרחיב יותר. קובץ זה נ פתרונות לשאלות ממבחנים עוזי וישנה, 1996 השאלות לקוחות ממבחנים של פרופ' א. רואן. הפתרונות מוצגים באופן תמציתי, ויתכן שבמבחן כדאי להרחיב יותר. קובץ זה נכתב במקור בתוכנת,Oren ותורגם באופן אוטומטי למחצה ל

קרא עוד

אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב.5.6 מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשע"ז בחינה סופית מועד א', מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: סמאח אידריס, ראמי עילבו

אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב.5.6 מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשעז בחינה סופית מועד א', מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: סמאח אידריס, ראמי עילבו אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב.5.6 מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשע"ז בחינה סופית מועד א', 31.1.2017 מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: סמאח אידריס, ראמי עילבוני, דולב שרון הנחיות: 1. משך הבחינה: 120 דקות. 2. היציאה

קרא עוד

טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נ

טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נ טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נתון כלשהו.. אין צורך לענות על השאלות לפי סדר הופעתן.

קרא עוד

מבוא למדעי המחשב

מבוא למדעי המחשב מבוא כללי לתכנות ולמדעי המחשב 1843-0310 מרצה: אמיר רובינשטיין מתרגל: דין שמואל אוניברסיטת תל אביב סמסטר חורף 2017-8 חלק ב - מבוא לקריפטוגרפיה שיעור 5 (offset מונחים בסיסיים צופן קיסר (היסט,.1.2 1 Today

קרא עוד

שיטות הסתברותיות ואלגוריתמים חוברת התרגילים 25 באוקטובר 2015 חוברת זו מכילה תרגילים נבחרים מהיסטוריית הקורס ופתרונם. בשעות האימון יוצג מבחר מהתרגילים

שיטות הסתברותיות ואלגוריתמים חוברת התרגילים 25 באוקטובר 2015 חוברת זו מכילה תרגילים נבחרים מהיסטוריית הקורס ופתרונם. בשעות האימון יוצג מבחר מהתרגילים שיטות הסתברותיות ואלגוריתמים חוברת התרגילים 5 באוקטובר 05 חוברת זו מכילה תרגילים נבחרים מהיסטוריית הקורס ופתרונם. בשעות האימון יוצג מבחר מהתרגילים בחוברת. מרחק בין התפלגויות קרבה בין התפלגויות עבור שתי

קרא עוד

תרגיל בית מספר 1#

תרגיל בית מספר 1# תרגיל בית מספר - 3 להגשה עד 15 באפריל בשעה 23:55 קיראו בעיון את הנחיות העבודה וההגשה המופיעות באתר הקורס, תחת התיקייה.assignments חריגה מההנחיות תגרור ירידת ציון / פסילת התרגיל. הגשה: תשובותיכם יוגשו בקובץ

קרא עוד

פונקציה מסדר ראשון; הגדרת קו ישר: - הצגה ע"י ביטוי אלגברי וגרפי

פונקציה מסדר ראשון;  הגדרת קו ישר: - הצגה עי ביטוי אלגברי וגרפי המרכז לחינוך מדעי תל אביב-יפו פתח דבר ספר זה שלפניכם, "מתמטיקה לפיזיקאים" הוא פרי יוזמה של חברי צוות חמד"ע, המתמודדים כל שנה עם הצורך בהתאמת הידע המתמטי של תלמידי הפיזיקה לדרישות הלימודים. תודתי העמוקה

קרא עוד

מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יח"ל. פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטרי

מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יחל. פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטרי מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ - 015 הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יח"ל פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטריה האנליטית: ישר, מעגל, אליפסה ופרבולה בראיה מוכללת נושא

קרא עוד

MathType Commands 6 for Word

MathType Commands 6 for Word 0 אלגברה לינארית גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות

קרא עוד

îáçï îúëåðú îñ' 1

îáçï îúëåðú îñ'  1 5 יח"ל מבחני חזרה במתמטיקה - במתכונת בחינות הבגרות לפי מיקוד הבחינה - קיץ 003 "כדי לקלוע למטרה צריך לכוון קצת למעלה ממנה" בעריכת: סרור אסעד אפריל 003 (úåãå ð 50) 'ñî úðåëúî ïçáî 'à ìç äøáâìà,øåùéîä úñãðä

קרא עוד

Slide 1

Slide 1 גישת ההעדפה הנגלית נושאי השיעור העדפה נגלית הפן התיאורטי הפן המעשי סטאטיקה השוואתית מדדי כמויות מיסים עקיפים לעומת מיסי גולגולת מדדי מחירים הקשרים בין המדדים השונים 2 הפן התיאורטי אנו צופים בסלים אותם

קרא עוד

מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית

מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית צוות המתמטיקה במטח: ראש תחום מתמטיקה: ד"ר שרה הרשקוביץ מנהלת צוות פיתוח מתמטיקה לבית הספר העל יסודי: ד"ר בבה שטרנברג צוות הפיתוח: רגינה אובודנקו, ד"ר אלכס אוליצין, אסנת

קרא עוד

Microsoft Word - Questions Booklet Spring 2009

Microsoft Word - Questions Booklet Spring 2009 אלגוריתמים 1 חוברת תרגילים נא לשלוח כל הערה לגיל כהן במייל cohen@cs.technion.ac.il מפתח שאלות לפי נושאים 1, 45, 54, 55, 56, 76 5, 63 :BFS :DFS מיון טופולוגי: 17, 31, 32, 57, 67, 68 2, 25, 26, 28, 50 21,

קרא עוד

פייתון

פייתון שיעור 12: מילונים ברק גונן 1 או מילון, :hash table או,dictionary זוגות של מפתחות keys וערכים values מילון מוגדר על ידי סוגריים מסולסלים { } לדוגמה: מילון שמכיל ציונים, המפתח הוא מספר ת.ז ערך מפתח הגדרה

קרא עוד

מבוא למדעי המחשב - חובלים

מבוא למדעי המחשב - חובלים אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מבוא למדעי המחשב סמסטר ב' תשע"ב בחינת סיום, מועד ב',.02..9.7 מרצה: אורן וימן מתרגלים: נעמה טוויטו ועדו ניסנבוים מדריכי מעבדה: מחמוד שריף ומיקה עמית משך המבחן: שעתיים חומר

קרא עוד