שיטות הסתברותיות ואלגוריתמים חוברת התרגילים 25 באוקטובר 2015 חוברת זו מכילה תרגילים נבחרים מהיסטוריית הקורס ופתרונם. בשעות האימון יוצג מבחר מהתרגילים

תמליל

1 שיטות הסתברותיות ואלגוריתמים חוברת התרגילים 5 באוקטובר 05 חוברת זו מכילה תרגילים נבחרים מהיסטוריית הקורס ופתרונם. בשעות האימון יוצג מבחר מהתרגילים בחוברת. מרחק בין התפלגויות קרבה בין התפלגויות עבור שתי מידות הסתברות,P Q מעל {n [n] =,}..., נגדיר את המרחק ביניהן לפי.Variation בספרות מרחק זה קרוי ה Distance.d (P, Q) P Q = n i= Pr P [i] Pr Q [i] א. הראו שלכל מאורע E מתקיים Q. Pr P [E] Pr Q [E] P ב. הראו שקיים E עבורו מתקיים Q. Pr P [E] Pr Q [E] = P התפלגויות מותנות נניח ש X ו Y הם שני משתנים מקריים (לא ב ת) מעל אותו מרחב הסתברות, אשר מקבלים ערכים ב { n,...,}. נניח שקיים מאורע E כך ש ɛ,pr[e] ושאם E מתקיים אז X = Y (ז א = E].(Pr[X = Y הראו שהמרחק בין ההתפלגות על ערכי X לבין ההתפלגות על ערכי Y הוא לא יותר מ ɛ, כלומר הראו כי מתקיים. n i= Pr[X = i] Pr[Y = i] ɛ התפלגויות מותנות הכיוון השני נניח ש p,..., p n ו q,..., q n הם ווקטורי התפלגות (סדרות של מספרים אי שליליים שסכומן ( שעבורם מתקיים. הראו שקיים מרחב ההסתברות, ושני מ מ X ו,Y כך שלכל i מתקיים Pr[X = i] = p i n i= p i q i = ɛ ו,Pr[Y = i] = q i וכן המאורע X = Y מתקיים בהסתברות ɛ בדיוק. מכפלה של הסתברויות יהי µ מרחב הסתברות על קבוצת המחרוזות הבינאריות מאורך k, המוגדר כך שלכל i הביט ה i נבחר להיות בהסתברות α i באופן בלתי תלוי בבחירת הביטים האחרים. יהי ν מרחב הסתברות על אותה קבוצה, המוגדר באופן זהה, פרט לכך שלכל i הביט ה i נבחר להיות בהסתברות β i (באופן בלתי תלוי באחרים). הראו שהמרחק. k i= α i β i לכל היותר הוא ו ν µ בין (variation distance)

2 פתרונות לתרגילים על מרחק בין התפלגויות קרבה בין התפלגויות א. נסמן ב E את המאורע המשלים ל E. מתקיים [E],Pr P [ E] Pr Q [ E] = Pr Q [E] Pr P כי = [E].Pr P [ E] + Pr P [E] = Pr Q [ E] + Pr Q מכאן מתקבל: Pr P [E] Pr Q [E] = Pr P [E] Pr Q [E] + Pr P [ E] Pr Q [ E] = (Pr P [i] Pr Q [i]) + P [i] Pr Q [i]) i E i E(Pr Pr P [i] Pr Q [i] + Pr P [i] Pr Q [i] i E i E = Pr P [i] Pr Q [i] = d(p, Q) i [n] ב. נגדיר את [i]}.e = {i [n] : Pr P [i] > Pr Q במקרה זה מתקיימים (Pr P [i] Pr Q [i]) = i E (Pr P [i] Pr Q [i]) = i E i E (Pr P [i] Pr Q [i]) = i E (Pr P [i] Pr Q [i]) = i E i E Pr P [i] Pr Q [i] Pr P [i] Pr Q [i] ולכן מתקבל שוויון בפיתוח למעלה, ז א Q). Pr P [E] Pr Q [E] = d(p, התפלגויות מותנות משתמשים בנוסחת ההסתברות השלמה, משפט Bayes ולבסוף באי שוויון המשולש:

3 n Pr[X = i] Pr[Y = i] = n Pr[(X = i) E] + Pr[(X = i) E] i= Pr[(Y = i) E] Pr[(Y = i) E] = n Pr[X = i E]Pr[E] + Pr[X = i E]Pr[ E] i= Pr[Y = i E]Pr[E] Pr[Y = i E]Pr[ E] n Pr[X = i E]Pr[E] Pr[Y = i E]Pr[E] i= + n Pr[X = i E]Pr[ E] Pr[Y = i E]Pr[ E] i= = n Pr[X = i E] Pr[Y = i E] Pr[ E] i= ( n ) n Pr[X = i E] + Pr[Y = i E] Pr[ E] i= i= ɛ = ɛ i= התפלגויות מותנות הכיוון השני לכל i n נגדיר } i.m i = min{p i, q מכיוון שמתקיים, p i q i = p i + q i m i מתקיים גם n m i = n ( p i + i= i= n q i i= n p i q i ) = ɛ עתה צריך לשים לב ששלושת הסדרות המוגדרות באופן הבא הן ווקטורי התפלגות (ז א שהערכים כולם אי שליליים וסכומם הוא ). i= m i = m i /( ɛ) p i = (p i m i )/ɛ q i = (q i m i )/ɛ מרחב ההסתברות שלנו יוגדר עתה לפי ערכי המ מ X ו Y המוגרלים באופן הבא: בהסתברות ɛ אנו נבחר גם ל X וגם ל Y ערך המוגרל מתוך n},... {, לפי ווקטור ההתפלגות.m,..., m n בהסתברות הנותרת ɛ אנו נבחר באופן בלתי תלוי ל X ערך המוגרל לפי,p,..., p n ול Y ערך המוגרל לפי.q,..., q n כדאי עתה לשים לב שלא קיים i עבורו גם p i וגם q i אינם אפס (מכיוון ש m i שווה לאחד מ p), i, q i ולכן ההסתברות למאורע X = i Y = j שווה בדיוק ל m i אם,i = j ושווה ל ɛ /( (p i m i )(q j m j אם.i j מכאן נובע שההסתברות של המאורע X = Y היא בדיוק ɛ. 3

4 נותר עוד להוכיח שלמשתנים X ו Y יש את ההתפלגויות (הבלתי מותנות) הרצויות. נראה זאת לדוגמה עבור X (עבור Y ההוכחה זהה): Pr[X = i] = ( ɛ) m i + ɛp i = m i + (p i m i ) = p i מכפלה של הסתברויות אפשר לפתור את השאלה באמצעות חישוב ישיר, אולם במקום זאת נראה כאן דרך המשתמשת בתוצאות שהוכחנו בתרגילים הקודמים. נגדיר מרחב הסתברות על זוגות של מחרוזות x,..., x k, y,..., y k באופן הבא: לכל i נבחר את x i ואת y i באופן ב ת בבחירות עבור i אחרים (אולם באופן תלוי זה בזה). אם α i > β i אז בסיכוי β i נבחר = i,x i = y בסיכוי α i β i נבחר = i x ו 0 = i,y ובסיכוי α i נבחר = 0 i.x i = y אם α i β i אז בסיכוי α i נבחר = i,x i = y בסיכוי β i α i נבחר = i y ו 0 = i,x ובסיכוי β i נבחר = 0 i.x i = y נשים לב עתה שההתפלגות (הלא מותנה) על x,..., x k זהה ל µ, ושההתפלגות (הלא מותנה) על y,..., y k זהה ל ν. כמו כן, לכל i מתקיים x i y i בהסתברות i, α i β ולכן ההסתברות ש x,..., x k אינה זהה k לפי איחוד מאורעות. מכאן (ע פ התרגיל על התפלגויות מותנות) ל y,..., y k חסומה ע י i i= α i β שזהו חסם על המרחק בין µ ל ν. הערה: אם נשים לב שהמאורעות x i y i ב ת זה בזה, נוכל לחסום את ההסתברות ש x,..., x k אינה זהה. k ל y,..., y k על ידי ) i i= ( α i β השיטה הבסיסית חיפוש סופה של רשימה מקושרת נתונה רשימה מקושרת list) (linked כך שלאיברי הרשימה יש אינדקסים המסודרים בסדר עולה, וכך שיש לאלגוריתם גם את האפשרות לבחירה מקרית של איבר מהרשימה. נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת האיבר האחרון: מתחילים מהאיבר הראשון. בכל שלב בוחרים איבר אקראי בהסתברות אחידה, ומשווים את האינדקס שלו לאינדקס של האיבר העוקב לאיבר שנבחר בשלב הקודם. בוחרים את האיבר בעל האינדקס הגבוה יותר מביניהם עבור השלב הבא. עוצרים כאשר האיבר שנבחר הוא האחרון (אין לו איבר עוקב). האלגוריתם יעצור בזמן (n )O; הסיקו מכך שתוחלת זמן הריצה היא (n )O, א. הראו שבהסתברות לפחות כאשר n מסמן את אורך הרשימה. ב. הראו שתוחלת זמן הריצה של האלגוריתם היא (n )Ω. אוטומורפיזמים בגרף מקרי, o() ז א, שבהסתברות. o() אין אוטומורפיזם לא טריביאלי בהסתברות G(n, הראו שלגרף המקרי ) לכל פרמוטציה של הצמתים של G שאינה פונקצית הזהות תהיה קשת שתעבור לזוג צמתים שאינו קשת (או זוג שאינו קשת שיעבור לקשת). 4

5 ניחושים מול שקרן קיים מספר טבעי לא ידוע k שאותו צריך לנחש (אין מראש הגבלה על גודלו). השאלה היחידה שמותר לשאול היא מהסוג האם המספר שווה ל a? כאשר a מספר טבעי כל שהוא. אם a k אז התשובה תמיד תהיה לא, אבל 3 התשובה תהיה כן, ובסיכוי 3 התשובה בכל זאת תהיה לא. כתבו אלגוריתם אשר אם a = k אז רק בסיכוי יצליח למצוא את המספר הנכון (ז א לקבל תשובה של כן ) לאחר ביצוע מספר ניחושים שתוחלתו היא O(k) לכל k, והוכיחו זאת. סימולציה של הסתברות נתון מספר ממשי < α < 0. הראו אלגוריתם (עם הוכחה) אשר משתמש אך ורק במ מ מקריים ב ת שמקבלים ערך מ {,0} באופן יוניפורמי ( מטבעות הוגנים ), ופולט בהסברות α בדיוק ו 0 בהסתברות α. תוחלת מספר המטבעות שהאלגוריתם משתמש בהם צריכה להיות חסומה ע י קבוע שאינו תלוי ב α. רמז: אפשר לבצע סימולציה של בחירה יוניפורמית של β 0, ולעצור את הסימולציה ברגע שהשאלה האם β < α או β α היא בעלת תשובה וודאית. גרף מקרי ויחיד נגדיר את משפחת ההתפלגויות על גרפים אינסופיים (p G,N) באופן הבא קבוצת הצמתים של הגרף היא N, ולכל i, < j N קשת (לא מכוונת) תחבר ביניהם בהסתברות p באופן ב ת בזוגות האחרים. הראו כי שני גרפים (,N G ( הם איזומורפיים בהסתברות. איזומורפיזם כאן הוא G ו H הנבחרים באופן ב ת לפי ההתפלגות פונקציה חח ע ועל בין קבוצות הצמתים (האינסופיות) שמקיימת את התנאי הרגיל ש v,u היא קשת אם ורק אם f(v) f(u), היא קשת. פתרונות לתרגילים על השיטה הבסיסית חיפוש סופה של רשימה מקושרת האלגוריתם יעצור לאחר n שלבים. תהי A קבוצת n האיברים האחרונים א. נראה שבסיכוי לפחות ברשימה המקושרת. הסיכוי שבלפחות אחד מ n השלבים הראשונים האלגוריתם בחר איבר מ A (בכל שלב ( ) n n > האלגוריתם מבצע גם מעקב אחרי הרשימה וגם בחירה אקראית של איבר) הוא לפחות עבור n גדול דיו. במידה ואיבר מ A נבחר, האלגוריתם יעצור לאחר לא יותר מ n שלבים נוספים, ומכאן החסם. באשר לתוחלת זמן הריצה, נחזור על החישוב עבור הסיכוי שהאלגוריתם יעצור לאחר יותר מ k n שלבים. האלגוריתם יעצור לאחר k n שלבים לכל היותר אם באחד מ n k) ( השלבים הראשונים יבחר איבר מ n האיברים האחרונים, וכך ההסתברות שנעצור לאחר k n שלבים לכל היותר חסומה מלמטה על ידי.. לכן התוחלת חסומה ע י k= k k n = 4 n ( n ) (k ) n > e (k ) > k לחישוב הסכום הנ ל (וסכומים דומים) כדאי לדעת את השוויון השימושי הבא המוכח ע י חילוף משתנים בסכום:. למשל נובע מזה שמתקיים למ מ X המקבל ערכים i= i α i = ( i ) i= j= α i = ( ) j= i=j α i.e[x] = i= i Pr[X = i] = j= טבעיים בלבד השוויון [j Pr[X האלגוריתם יעצור לאחר n שלבים לכל היותר; מכך נובע שתוחלת זמן הריצה ב. נראה שבסיכוי לא יותר מ. נסמן את A כמקודם. הסיכוי שהאלגוריתם בחר איבר מ A באחד מ n השלבים הראשונים היא לפחות 4 n 5

6 הוא בוודאי לא יותר מ (פשוט חוסמים את סכום הסיכויים למציאת איבר כזה). אם איבר כזה לא נבחר, אז האלגוריתם לא יעצור בשלבים אלו: אם נסמן ב i את השלב האחרון שבו האיבר הנבחר אקראית היה בעל אינדקס גדול מהאיבר העוקב לזה של השלב הקודם, אז מכך שאיבר זה אינו ב A נובע שהאלגוריתם לא היה יכול להגיע עד סוף הרשימה בשלבים הנותרים עד n. אוטומורפיזמים בגרף מקרי לכל פרמוטציה σ : V V שאינה הזהות, נסמן ב E σ את המאורע שהיא אוטומורפיזם של הגרף הנבחר G, ואז נראה שסכום ההסתברויות על כל הפרמוטציות האפשריות הוא ()o כנדרש. אם נסמן ב ( k(σ את מספר זוגות הצמתים של G שהפרמוטציה מזיזה (ז א מספר הזוגות {v,u} עבורם σ(v)},u}), {v {σ(u), אז נשים לב שמתקיים k(σ)/.pr[e σ ] הסיבה לכך היא שאפשר לקחת k(σ)/ l = זוגות } l {u, v },..., {u l, v כך שאף זוג לא מועבר ע י σ לא לעצמו ולא לאף זוג אחר (אפשר לעשות זאת ע י אלגוריתם חמדן), ואז המאורע ש { u} i, v i נמצא באותו סטטוס (קשת/לא קשת) כמו {( i {σ(u i,( σ(v הוא בלתי תלוי במאורעות המקבילים לכל j. i השלב הבא הוא שתי הטענות הבאות: לכל פרמוטציה σ שאינה הזהות, n.k(σ) הסיבה לכך היא שאם נבחר צומת u כך ש u,σ(u) אז לכל v השונה מ u ומ ( σ(u יתקיים σ(v)},u} {v {σ(u), (כן יתכן אבל שהזוג σ(u)},u} מתהפך במקום לעבור לזוג שונה). לכל פרמוטציה σ המעבירה לפחות n צמתים ממקומם,.k(σ) n 3/ / הסיבה לכך היא שאם ניקח צמתים u,..., u n המועברים ממקומם, וצמתים n/ v,..., v כך שאף v j לא שווה לאף u i ולאף ) i,σ(u אז כל הזוגות האפשריים } j {u i, v מקיימים )} j.{u i, v j } {σ(u i ), σ(u עתה לא נותר אלא לסכם את ההסתברויות: מספר הפרמוטציות אשר מעבירות פחות מ n צמתים ממקומם ( n n, ולכן הסיכוי שאחת או יותר מתוכן תהיה אוטומורפיזם חסום לפי איחוד ) ( n)! n log n חסום ע י מאורעות על ידי o() n log n (n )/ =. מספר כל שאר הפרמוטציות חסום ע י,n! n log n והסיכוי שאחת או יותר תהיה אוטומורפיזם חסום ע י ()o. n log n n3/ 4/ = לסיכום קיבלנו שאיחוד כל המאורעות E σ מתקיים בהסתברות ()o, כמבוקש. ניחושים מול שקרן האלגוריתם: בשלב ה l (מתחילים מ 0 = l) האלגוריתם שואל את השקרן את כל l השאלות החל מ האם המספר הוא = k? ועד האם המספר הוא k?. = l כמובן שהאלגוריתם עוצר בפעם הראשונה שהוא מקבל תשובה כן. הוכחת התוחלת: יהי k r. = log האלגוריתם בטוח יבצע את r השלבים הראשונים, והסיכוי לביצוע השלב ה l עבור l > r הוא 3, r l שזהו הסיכוי שהתשובה עבור k (המספר הנכון) היתה לא שקרי בכל l r הפעמים הקודמות שהאלגוריתם נשאל זאת. מכאן אפשר לקבל חסם עבור תוחלת מספר השאלות הכולל: r i + 3 j r+j = ( r+ ) + r ( 3 )j = ( r+ ) + r < r+ < 8k i=0 j= j= 6

7 סימולציה של הסתברות נבצע סימולציה של בחירה יוניפורמית של β 0, ונעצור את הסימולציה ברגע שהשאלה האם β < α או β α היא בעלת תשובה וודאית. באופן פורמלי: נתחיל עם = 0 0 β ו = k. בכל שלב (תוך שימוש ב הטלת נקבע k β k = β ובהסתברות נקבע.β k = β k + k אם β k α מטבע חדשה בודדת), בהסתברות אז נעצור מיידית ונחזיר 0. אם β k + k < α אז נעצור מיידית ונחזיר. בכל מקרה אחר נגדיל את k ב ונעבור לשלב הבא. על מנת להראות שתוחלת מספר השלבים (ולכן גם מספר הטלות המטבע) חסומה ע י מספר קבוע, נראה שבכל שהאלגוריתם יעצור. אם האלגוריתם לא עצר בשלב ה k (או קודם) אז לפי תנאי העצירה שלב יש סיכוי של שנבדק שם מתקיים.β k < α β k + k אם,α β k + k אז נעצור בשלב הנוכחי אם ורק אם קבענו,β k = β k + k ואם α > β k + k אז נעצור בשלב הנוכחי אם ורק אם קבענו k.β k = β בשני. המקרים נעצור בהסתברות עתה נחשב את הסיכוי הכולל שהאלגוריתם יעצור בסופו של דבר עם התשובה. אנחנו יודעים מהפסקא הקודמת שהסיכוי שהאלגוריתם לא עצר עד סוף השלב ה k הוא בדיוק k, וזה כולל את המקרה 0 = k (האלגוריתם בסיכוי יבצע את השלב הראשון). נראה באינדוקציה שאם,l k α < (l + ) k אז בסיכוי l k בדיוק האלגוריתם יעצור עד סוף השלב ה k עם תשובה. זה אומר שהסיכוי שהאלגוריתם יעצור בשלב כל שהוא עם תשובה הוא α בדיוק. נניח אם כן ש,l k α < (l + ) k ובאינדוקציה שהסיכוי שהאלגוריתם עצר עם עד השלב ה k הוא l k בדיוק (שימו לב שההנחה נכונה עבור הבסיס = k עם = 0 l). אנו גם יודעים שהמאורע (הזר) שהאלגוריתם הגיע לראשית השלב ה k הוא k. במקרה הנ ל אנו יודעים גם ש β k = l k (ברור ש k β הוא כפולה שלמה של k, והמכפיל הוא לפי התנאי שהאלגוריתם בדק בשלב ה k). נותר רק לבדוק את שני המקרים: אם α β k + k אז l l = ואכן ההתפלגות (המותנה על הגעה לשלב ה k ) שהאלגוריתם יענה בשלב זה היא אפס. אם α > β k + k אז + l l = וההתפלגות (המותנה) שהאלגוריתם יענה עתה היא, אשר בחישוב הכולל תיתן תנו את הסכום המבוקש l k עבור ההסתברות לתשובה בשלב כל שהוא עד סוף השלב ה k. גרף מקרי ויחיד ראשית נוכיח כי עבור גרף מקרי כזה התנאי הבא מתקיים בהסתברות : לכל קבוצת צמתים סופית U ולכל,U U קיים צומת כל שהוא v U כך ש U כולם שכניו ו U U \ כולם לא שכניו. בהינתן קבוצה סופית מסויימת U מגודל k, תת קבוצה U U וצומת v, U הסיכוי ש v יהיה מחובר לכל צמתי U ואינו מחובר לכל צמתי U U \ הוא בדיוק k. נסמן מאורע זה ב.A v קבוצת המאורעות A v : v U היא בלתי תלויה לחלוטין, ולכן הסיכוי שאף אחד מהם לא יקרה הוא 0 (כגבול של k ) l ) עבור l). נסמן ב B U,U את המאורע שאין צומת v כנדרש. ההסתברות למאורע זו היא 0, ומכיוון שיש מספר בן מניה של מאורעות U,U B אפשריים, הסיכוי שיש אילו שהם U,U ללא v מתאים הוא 0 (החסם על איחוד מאורעות עובד כל עוד מספרם הוא בן מניה). הערה: במרחבי הסתברות אינסופיים יש הבדל בין מאורע בהסתברות 0 לבין מצב שאינו אפשרי. אפשר לתאר גרפים אינסופיים עבורם לא לכל U,U יש v מתאים, אבל ההסתברות שיתקבל גרף דווקא מקבוצה זו היא 0. עתה נניח ש G ו G הם שני גרפים שנבחרו לפי ).G(N, בהסתברות, לכל U סופית ו U U יש צומת v U כך שב G יש קשתות ממנו ל U ולא ל U,U \ וצומת v U כך שב G יש קשתות ממנה ל U ולא ל U U. \ נסמן את הצמתים הנ ל ב v U,U ו U,U v בהתאמה (אם יש יותר מאפשרות אחת, נבחר את זו עם האינדכס הנמוך ביותר). W ופונקציות חח ע ועל עתה נבנה באינדוקציה קבוצות W i ו i W,f i : W i כך שיתקיימו הדברים הבאים: i 7

8 לכל i < j מתקיים,W j W j,w i W j ו f j Wi = f i (ז א ש f j היא הרחבה של.(f i W (ז א לכל i הפונקציה f i היא איזומורפיזם מהגרף המושרה ע י G על W i אל הגרף המושרה ע י G על i שלכל uv,u, v W i היא קשת של G אם ורק אם (v) f i (u)f i היא קשת של.(G. i N W i = i N W מתקיים i = N לאחר הבניה הנ ל ניתן לבנות את האיזומורפיזם f : N N ע י כך שלכל v N נבחר את f(v) להיות שווה ל ( v ) f i עבור i המקיים v. W i הפונקציה f מוגדרת על כל N בגלל הסעיף השלישי למעלה, ומוגדרת היטב בגלל הסעיף הראשון למעלה. היא חח ע כי לכל u v ניתן לבחור i כך ששניהם ב W i ולבדוק את f, i היא על כי לכל w ניתן לבחור i כך ש i w W (קיים לפי הסעיף השלישי) ולמצוא את (w),f (w) = fi והיא איזומורפיזם בין גרפים לפי הסעיף השני למעלה. W ואת הפונקציות.f i בסיס האינדוקציה יהיה = 0,W 0 = W כאשר נותר אם כן לבנות את הקבוצות W i ו i f 0 היא ה פונקציה הטריביאלית ביניהן. נניח שבנינו את הקבוצות והפונקציה עבור i, ונראה את הבניה עבור + i. אנו נפצל למקרים לפי הזוגיות של i. כאן נשתמש במוסכמה שהמספרים הטבעיים מתחילים מ 0. W ו.f k+ = f k אחרת, ראשית נסמן עבור,i = k אם k W k אז פשוט נגדיר k+ = W k,w k+ = W k W k+ = W k {k} נגדיר עתה.f k את התמונה שלהם לפי U ב U k את קבוצת השכנים של k ב k,w וב k W k,f k+ (k) = v ובשאר המקומות k+ f תהיה זהה ל.f k הנחת W k,u נגדיר.W k ו { k k+ = W k {v W k,u W) מבטיחה שהבניה תתן את הקבוצות והפונקציה המבוקשות. האינדוקציה והידוע על v W k U, (כולל זה שאינו ב k k W ו.f k+ = f k אחרת, ראשית נסמן k+ = W k,w k+ = W k אז פשוט נגדיר k W עבור + k,i = אם k W, וב U k W k את קבוצת המקורות שלהם לפי f k (זכרו שזוהי פונקציה ב k U את קבוצת השכנים של k ב k,f k+ (v Wk,U k ובשאר ) = k נגדיר.W k+ = W k {v Wk,U k W ו { חח ע ועל). נגדיר עתה {k} k+ = W k v W k,u k (כולל זה שאינו ב (W k מבטיחה שהבניה המקומות +k f תהיה זהה ל f. k הנחת האינדוקציה והידוע על גם כאן תתן את הקבוצות והפונקציה המבוקשות. כל התנאים המבוקשים פרט לדרישת האיחוד בסעיף השלישי יתקיימו באינדוקציה, וכן לכל k מובטח שהוא נמצא ב k+ W וב +k W, וכך מתקיימת גם דרישת האיחוד. בזאת סיימנו את המבוקש. לינאריות התוחלת גרפים רחוקים המרחק בין שני גרפים G ו H מוגדר כמספר הקשתות המינימלי שיש להוריד ו/או להוסיף ל H כך שיהפוך להיות m ) n קשתות אז הגרף הרחוק ביותר מ G הוא או ) גרף איזומורפי ל G. הראו שאם ל G יש n צמתים ו p( ( n ) הגרף המלא או הגרף הריק. רמז: אפשר להראות לכל H שהמרחק שלו מ G חסום ע י (m + ) p)m עבור p 0 מתאים. סיפוק חלקי של נוסחת CNF נתונה נוסחת CNF עם m פסוקיות, כל אחת מהן דיסיונקציה ( או ) בין כמה ליטרלים (משתנים או שלילתם). מובטח כי לא קיימות פסוקיות ריקות, וכי לא קיים משתנה x i עבורו מופיעות שתי הפסוקיות x i, x i (כלומר עבור כל שתי פסוקיות נתונות, ניתן לספק את שתיהן בו זמנית). הוכיחו כי קיימת השמה שמספקת לפחות ) ) = α מהפסוקיות. הערה: תרגיל זה הוא משפט של,Specker אך ההוכחה המקורית אינה משתמשת 5 בשיטה ההסתברותית. 8

9 פתרונות לתרגילים על לינאריות התוחלת גרפים רחוקים נסמן ב V את קבוצת הצמתים של G וב V את קבוצת הצמתים של H כל שהוא (כאשר שתי קבוצות הצמתים f : V V נבחר עתה פונקציה חח ע ועל.H היא קבוצת הקשתות של E כאשר p = E / ( n ) מגודל n). נסמן באופן יוניפורמי (מתוך קבוצת כל הפונקציות הנ ל), ונחשב את תוחלת מספר הזוגות,u v V שיש עבורם הבדל בין השיוך ל E (קבוצת הקשתות של G) של,u v לבין השיוך ל E של f(v).f(u), נשים לב כי הפונקציה f עם הכי מעט הבדלים קובעת את המרחק בין הגרפים. נסמן ב X u,v את משתנה האינדיקטור שיקבל אם יש כזה הבדל, ו 0 אחרת. התוחלת שלו היא p אם,u v אינו קשת של G, ו p אם,u v כן קשת של G. לכן, תוחלת מספר ההבדלים הכולל היא E[ X u,v ] = p + ( ) n ( p) = p( m) + ( p)m u,v uv E uv E בפרט זהו חסם עליון על המרחק בין G ל H, כי קיימת f אחת לפחות שבה מספר ההבדלים אינו עולה על התוחלת, ולכן בפרט בזו האופטימלית מספר ההבדלים חסום על ידי ערך זה.,m > ( n ומקבלת אותו ) עתה נשים לב שהפונקציה הנ ל של p מקבלת את המקסימום שלה עבור = 0 p אם m). = n במקרה הראשון הגרף הרחוק ביותר היחידי ( ) < m (כזכור הנחנו שלא מתקיים n ( ) עבור = p אם הוא הגרף הריק, שהוא היחידי עבורו = 0 p (קל לראות שהמרחק ממנו אכן שווה לחסם במקרה זה), ובמקרה השני הגרף הרחוק ביותר היחידי הוא הגרף המלא, שהוא היחידי עבורו = p. סיפוק חלקי של נוסחת CNF ראשית, בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח את ההנחות הבאות (שימו לב כי אנחנו כן מרשים לאותה פסוקית להופיע מספר פעמים בנוסחא): אין אף פסוקית מהצורה x, i שכן במקרה כזה נסמן y i x i ונחליף את כל מופעי x i ב y. i נזכר כי נתון שאם מופיעה הפסוקית x, i אז לא מופיעה הפסוקית x. i בכל פסוקית המכילה ליטרל חיובי (כלומר לא בתוך שלילה) לא קיימים ליטרלים (חיוביים או שליליים) אחרים. ניתן להשיג זאת על ידי השמת סדר כלשהו על המשתנים, ולכל פסוקית בה יש מספר ליטרלים חיוביים בוחרים את המינימלי מבחינת הסדר ומסירים את כל הליטרלים האחרים מהפסוקית. ברור כי כל השמה שמספקת את הפסוקית החדשה מספקת גם את המקורית. כל פסוקית ללא ליטרלים חיוביים מורכבת משני ליטרלים שליליים בדיוק. שוב, אם יש יותר, ניתן לשמור רק את שני הליטרלים השליליים המינימליים מבחינת הסדר ולהסיר את כל הליטרלים האחרים מהפסוקית. α = ( ) כעת ניתן להשתמש בלינאריות התוחלת. נבחר כל משתנה באופן בלתי תלוי להיות בהסתברות 5 ולהיות 0 בהסתברות המשלימה α. פסוקית מהצורה x i תסתפק בהסתברות.α פסוקית מההצורה x i x j תסתפק בהסתברות α = ( ) 5 4 = ( 5 ) = = α 9

10 ( 5 ) כך מלינאריות התוחלת תוחלת מספר הפסוקיות המסופקות היא שמספקת לפחות כמספר הזה של פסוקיות. מהפסוקיות, ולכן קיימת הצבה הגרלה עם תיקונים קבוצות ב ת בהיפרגרפים עבור היפרגרף 3 יוניפורמי (ז א מבנה עם קבוצת צמתים V וקבוצת קשתות E שבה כל קשת היא תת קבוצה של V בת שלושה צמתים בדיוק) בעל n צמתים ו m קשתות, כאשר m, 3n הראו כי קיימת קבוצת צמתים בלתי. n3/ תלויה (ז א קבוצה V V שאינה מכילה אף קשת מ E ) שגודלה לפחות 3 3m מספרי רמזי לא סימטרים נסמן ב ( k,4)r את מספר הצמתים המכסימלי שעבורו אפשר לבנות גרף שאינו מכיל קליק עם 4 צמתים או קבוצה ב ת בת k צמתים. הראו כי ) k).r(4, k) Ω((k/ log. k n עבור,( n k )k ( ) n k < ( en נזכיר אי שוויון שיכול לעזור כאן ובשאלות אחרות על גרפים: k k( פתרונות לתרגילים על הגרלה עם תיקונים קבוצות ב ת בהיפרגרפים נסתכל על הפרוצדורה הבאה: ראשית נגריל קבוצת צמתים U ע י כך שכל צומת ב V יבחר באופן ב ת בהסתברות α (את ערכו של α נבחר אח כ). עתה נקבל ממנה קבוצת צמתים ב ת W ע י כך שמכל קשת של ההיפרגרף המוכל ב U נחסר את אחד מצמתיה. אם נסמן ב X את מספר הצמתים ב U וב Y את מספר הקשתות המוכלות ב U, הרי שגודל W הוא לפחות X Y (יתכן שהוא גדול יותר). נחשב אם כן את תוחלת הפרש זה:.E[X Y ] = E[X] E[Y ] = αn α 3 m עתה נבחר את ה α שלנו: ע י גזירה לפי α וחיפוש נקודה המאפסת α = n (כאן חשוב שיתקיים m 3 n כדי שנקבל.(α ע י הצבה נקבל עבור ערך זה 3m את הנגזרת נקבל,E[X Y ] = n3/ ומכאן שקיימת בחירה ספציפית של U שעבורה הפרש מספר הצמתים ומספר המשולשים 3 3m אכן אינו יורד מביטוי זה. הקבוצה W שנקבל מ U תקיים אם כן את המבוקש. מספרי רמזי לא סימטרים נסתכל על הגרף G בעל n הצמתים שבו כל זוג נבחר להיות קשת באופן ב ת בהסתברות / n. תוחלת מספר ), n ולכן בהסתברות לפחות 5 6 קיימים 4) העותקים של K 4 (הגרף השלם בעל 4 צמתים) בגרף זה היא (n / ) 6 < n = n (כאשר הלוגריתם כאן הוא בבסיס טבעי), 6 ( k ln k ) בנוסף, אם עותקים שונים של.K 4 n ב G לא יותר מ אז הסיכוי שיש ב G קבוצת צמתים ב ת כל שהיא בגודל k חסום (עבור k גדול דיו) ע י ( ) n ( n / en ) (k ) < ( k k )k e n / ( k ) < (ek) k e (k ) ln k = e k(+ln k) (k ) ln k = o() n עותקים של ולכן עבור כל k גדול דיו קיים גרף G בעל n צמתים שבו אין קבוצה ב ת מגודל k וכן אין יותר מ.K 4 עתה נבחר את G להיות הגרף המתקבל מ G ע י כך שלכל עותק של K 4 נסיר את אחד מצמתיו מ G. ב G אין לא עותקים של K 4 ולא קבוצות ב ת מגודל,k ומספר צמתיו הוא לפחות ) k). n = Ω((k/ ln 0

11 למת הבידוד קיום מסלול בגרף מכוון עבור גרף מכוון בעל n צמתים G וצמתים,s t נרצה לבדוק האם קיים מסלול מ s ל t. הראו קיום רדוקציה הסתברותית (ועם סבוכיות מקום (LogSpace של קלט של הבעיה הכללית,G,s t לקלט t G, s, בעל הפרמטרים הבאים: אם אין מסלול ב G מ s ל t, אז גם אין אף מסלול ב G מ s ל t (בהסתברות ), ואם יש מסלול ב G, אז בהסתברות לפחות ) 3 Ω(n יש ב G מסלול יחידי מ s ל t. הערה: רדוקציה זו משמשת בהוכחה של Wigderson לכך שמתקיים.NL/poly L/poly בידוד של שני מבנים נניח ש A קבוצה בת m איברים, וש F היא משפחה של תתי קבוצות של A. הראו שאם מגרילים באופן מקרי 3m n לפחות גם האיבר ב F בעל המשקל ויוניפורמי (וב ת) פונקצית משקל n},w : A {,..., אז בסיכוי המינימלי וגם האיבר ב F בעל המשקל השני הכי קטן הם יחידים. בידוד רב קבוצות נניח כי F היא משפחה של רב קבוצות הנלקחת מהקבוצה {n A, =,}..., כשכל איבר מ A רשאי להופיע עד F F ונקבע לכל a A לכל w (a) {,..., c} באופן מקרי יוניפורמי משקל נבחר פעמים באיבר מ F. r w F) ) = a F כאשר כל איבר נסכם כמספר מופעיו בקבוצה. הוכיחו את המשקל המושרה עליו, כלומר (a) w rn c קיים איבר יחיד ב F עם משקל מינימום. כי בהסתברות של לפחות. n c כמו כן, הציגו דוגמא למקרה בו ההסתברות לקיום איבר יחיד עם משקל מינימום היא פחות מ פתרונות לתרגילים על למת הבידוד קיום מסלול בגרף מכוון אם נגריל לכל קשת ב G משקל שנבחר יוניפורמית ובאופן ב ת מהתחום }, n...,}, אז במידה ויש בגרף מסלול יהיה עתה מסלול יחידי עבורו סכום המשקלות הוא כל שהוא מ s ל t, לפי למת הבידוד בהסתברות של לפחות מינימלי; מכיוון שמסלול מינימלי הוא בהכרח פשוט, אפשר לראות כל מסלול כתת קבוצה של הקשתות. בנוסף, המשקל של המסלול המינימלי בוודאי לא יעלה על n. 3 את הרדוקציה מ G לגרף החדש G נבצע עתה באופן הבא. ראשית, נבחר באופן יוניפורמי מספר l n 3. לכל צומת v בגרף המקורי, יהיו בגרף החדש + l צמתים שיסומנו (l,v).,(0...,,v) עתה לכל קשת,u v בגרף המקורי נבחר יוניפורמית את המשקל (v w(u, שלה מתוך.0 i l w(u, v) עבור (u, i), (v, i + w(u, v)),...,{, ונצרף לגרף החדש את כל הקשתות מהטיפוס n } הרדוקציה היא ב LogSpace בגלל שאפשר לשכוח את (v w(u, מייד לאחר כתיבת הקשתות המתאימות לה ב G, ולשחרר את הזיכרון עבור משקל הקשת הבאה (אגב, בהרבה מודלים חשוביים מתירים לאלגוריתם עם מקום מוגבל לקבל מראש רשימה של כל הטלות המטבע שלא על חשבון הזיכרון שלו, אולם זה לא היה נוסח השאלה כאן). עתה נבחן מה הסיכוי שיש ב G מסלול יחידי מ ( 0,s) ל ( l,t). אם בגרף G אין מסלול מ s ל t, אז לא קשה לראות שאין בגרף החדש כל מסלול מ ( 0,s) ל ( l,t). מצד שני, אם יש בגרף G מסלול כזה, אז מספר המסלולים בגרף החדש זהה למספר המסלולים ב G שעבורם סכום המשקלות הוא בדיוק l (כולל מסלולים לא פשוטים).

12 יהיה מסלול יחידי בעל משקל מינימלי. במידה וזה אכן קרה, אם ב G היה מסלול, אז בהסתברות של לפחות ההסתברות ש l יהיה שווה לאורך המסלול המינימלי היחיד היא 3 n. לכן בהסתברות ) 3 Ω(n 3 n = שני המאורעות יקרו, ובמצב זה יהיה מסלול יחידי מ ( 0,s) ל ( l,t). בידוד של שני מבנים ההוכחה נעשית בדומה להוכחה של למת הבידוד המקורית. עבור פונקציה המשקל שנבחרה w. נגדיר לכל a A את הערכים הבאים: W a יהיה המשקל המינימלי מבין כל איברי F המכילים את W a a. יהיה המשקל המינימלי מבין אלו שאינם מכילים את W a a. יהיה המשקל של האיבר בעל המשקל השני הכי קל מאלו שמכילים את a. a. יהיה המשקל של האיבר השני הכי קל מאלו שאינם מכילים את W a נקרא לאיבר a חד משמעי ביותר אם גם W a W a וגם W a W a וגם.W a W a בדומה להוכחת הלמה המקורית, הערכים W a w(a),w a,w a ו ( w(a W a כולם אינם תלוים בערך,w(a) אלא רק בערכים של, n ומכאן w עבור האיברים ב { a } A. \ על כן כל אחד מאי השוויונים הרצויים מתקיים בהסתברות לפחות. 3 n לכן (שוב ע י שימוש בחסם על איחוד מאורעות) בהסתברות לפחות שכולם יתקיימו בהסתברות לפחות 3m n כל איברי A הם חד משמעיים ביותר. עתה כל שנותר להוכיח הוא שבהינתן שכל איברי A מקיימים זאת, גם האיבר של F בעל המשקל המינימלי וגם האיבר בעל המשקל השני הכי קטן הם יחידים. האיבר בעל המשקל המינימלי הוא יחיד מכיוון שע פ ההנחה, כל איברי A הם בפרט חד משמעיים במובן של ההוכחה המקורית של למת הבידוד. נסמן איבר זה ב F. עתה, נניח בסתירה שיש שני איברים G, G F בעלי אותו משקל שהוא השני הכי קטן ב F. בלי הגבלת הכלליות, נניח שקיים איבר a A השייך ל G ואינו שייך ל G. עתה קיימים שני מקרים. אם a, F אז ) W, a = w(g מכיוון שמבין כל איברי F המכילים את a האיבר F הוא (היחיד) בעל המשקל המינימלי ו G הוא בעל המשקל השני הכי קטן. בנוסף לכך, ) W, a = w(g ) = w(g מכיוון שמבין האיברים שאינם מכילים את a האיבר G יהיה בעל המשקל המינימלי (שהרי F אינו נמצא שם). בזאת קיבלנו סתירה ל.W a W a באותו האופן, עבור המקרה a F נקבל סתירה ל a,w a W ושני המקרים ביחד מסיימים את ההוכחה. בידוד רב קבוצות ההוכחה דומה להוכחה של למת הבידוד הרגילה, רק כאן נצטרך לשמור + r ערכים לכל a A במקום שניים. נסמן W a,0,..., W r,a כאשר W s,a הוא משקל הרב קבוצה מ F בעלת משקל המינימום מבין אלה המכילות את a בדיוק s פעמים. נאמר ש a רב משמעי אם קיימים s < t כך ש.W s,a = W t,a נניח כי ישנן שתי רב קבוצות F, F F כך שמשקלן מינימלי. קיים איבר a שנמצא ב F בדיוק s פעמים וב F מספר פעמים אחר.t כך = ) W s,a = w (F,w (F ) = W t,a כלומר a רב משמעי. כעת נסמן (a).v s,a = W s,a s w ערך זה נקבע לחלוטין על ידי משקלי חברי {a}.a\ כעת, W s,a = W t,a אם ורק אם (a),v t,a V s,a = (s t) w וכמו בהרצאה, זה קורה בערך אחד c לכל היותר. של (a) w לכל היותר ולכן מתרחש בהסתברות של, n ( r+ ) מחסם האיחוד על פני,s,t a נקבל שההסתברות לקיום איבר בעל משקל מינימלי יחיד ב F היא לפחות c אבל אנחנו רוצים חסם חזק יותר. לשם כך אנחנו נקבע פונקציית משקל w על {a} \A ונראה כי למעשה ישנם לכל היותר r ערכים אפשריים ל (a) w שיהפכו את a לרב משמעי. נקבע את המשקלות כאמור, ונאמר כי i מרבה את s עבור a אם קיים t > s כך שקביעת w (a) = i גורמת לכך ש W s,a = W t,a ושניהם מינימליים מבין.W 0,a,..., W r,a נראה כי לכל r > s יש לכל היותר i אחד שמרבה אותו עבור a. נניח על דרך השלילה כי i < j שניהם מרבים את s עבור a. נקבע את (i) W k,a להיות W k,a כאשר

13 אנחנו בוחרים.w (a) = i עבור w (a) = j נקבל W k,a (j) = W k,a (i) + (j i) k כי משקל יתר הקבוצה נשאר זהה, ורק הוספנו j i למשקל של a, שיש לו k מופעים. לכן לכל t > s אנחנו מקבלים W t,a (j) W s,a (j) = W t,a (i) W s,a (i) + ( t s ) (j i) > W t,a (i) W s,a (i) 0 כשהאי שוויון האחרון הוא מכיוון ש i מרבה את s ולכן (i) W s,a הוא מינימלי מבין ה ( i ) W. k,a לכן אין אף t שיכול לגרום לכך ש j ירבה את s עבור a. n c. הדוגמא תהיה עם = 3 c n =, וההסתברות כעת נראה את הדוגמה שמראה שלא נוכל לשפר זאת ל תהיה 0. נראה משפחה של רב קבוצות מעל {b A =,a} עבורה כל פונקציית משקל {3,}, A w : תתן שתי רב קבוצות ממשקל זהה. נסמן ב (j,i) את הרב קבוצה המכילה i מופעים של a ו j מופעים של b. המשפחה שנגדיר היא 3)} (0,, 0) (,, 8) (,, 5) (4,, 4) (5,, ) (8,, ) (0,, 0) {(3, =.F אפשר לוודא את התכונה על פני מעבר על פני תשע פונקציות המשקל האפשריות. המומנט השני הפרדה ע י פונקציה לינארית תהי A,0} { n קבוצה כל שהיא בת k איברים בקוביה הבוליאנית ה n מימדית. הראו שקיימת פונקציה לינארית f : Z Z כך שמתקיים עבור מספר האיברים ב A המאפסים את הפונקציה הבוליאנית f אי השוויון. {v A f(v) = 0} = k ± O( k) תתי גרפים של גרפים צפופים נתון גרף G כל שהוא אשר מספר הקשתות שלו הוא αn עבור < α 0 מתאים. נגריל תת גרף מושרה, באופן ב ת בצמתים האחרים. הראו מקרי H, ע י כך שכל צומת של G תיבחר להיות צומת של H בהסתברות שבסיכוי o() מספר הקשתות ב H הוא ). 4 αn + o(n פסוקיות לא מאוד מסופקות הראו שלכל ɛ קיים קבוע C, כך שלכל נוסחת 3-NAE-SAT עם n משתנים ו Cn m > פסוקיות קיימת הצבה ( 3 4 ולא יותר מ ɛ)m + 4 ( 3 מהפסוקיות. פסוקית של 3-NAE-SAT מסתפקת אם לא כל המספקת לפחות ɛ)m שלושת הליטרלים מקבלים אותו ערך (ז א אם לא כולם אפס ולא כולם אחד), וההנחה היא שכל פסוקית תלויה בדיוק בשלושה משתנים שונים. ריכוז במרחב נביט במרחב הוקטורי Z n p (מעל השדה (Z p עבור 3 p ראשוני ו.n נתונה קבוצה {0} \ p A Z n כך pn A. = נבחר תת מרחב U ממימד יוניפורמית. הראו, עבור p גדל ובאופן ב ת ב n, כי בהסתברות ש. ( ( לבין ) o ()) (p + o ()) (p ) הוא בין A U מתקיים שגודל החיתוך o () 3

14 פתרונות לתרגילים על המומנט השני הפרדה ע י פונקציה לינארית אנו נגריל את f באופן מקרי. כזכור, כל פונקציה לינארית מ Z) ) n ל Z נתונה ע י ווקטור u, Z כך שלכל v (Z ) n מתקיים f(v) = u v (הכפל הוא כפל ווקטורי מעל.(Z אנו נגריל את u באופן יוניפורמי (כל קורדינטה באופן ב ת באחרות). לכל v A נסמן ב v X את משתנה האינדיקטור עבור המאורע ש 0 =.f(v) מתקיים = ] v,e[x וכן לכל v w המ מ X v ו X w הם בלתי תלויים בזוגות. להוכחת הטענה השניה נניח בלי הגבלת הכלליות שמתקיים ו w ), v נחליף את (אחרת ב w ולא שמתאפסת ב v i ניתן להניח בה כ שקיימת קורדינטה w: n = ו v n = 0 והטיעון הוא זהה אם.i = n עתה נחשב (למשל) את ] = w Pr[X v = X באמצעות נוסחת ההסתברות השלמה באופן הבא: Pr[X v = X w = ] = = α,...,α n v (α,...,α n,0)= α,...,α n v (α,...,α n,0)= Pr[u = α,..., u n = α n ]Pr[w (α,..., α n, u n ) = ] n = n n = 4 מכך נובע שהמ מ המתאר את מספר איברי A המאפסים את f, הנתון ע י X, = v A X v מקיים E[X] = k וכן.V[X] = k 4 ממשפט צ בישף נובע עתה שבהסתברות גדולה מ 0 יתקיים (למשל) X, k k ולכן קיימת פונקציה f המקיימת את המבוקש. תתי גרפים של גרפים צפופים נסמן את קבוצת הקשתות של G ב E, ולכל e E נגדיר את המשתנה X e להיות שווה ל אם הקשת e מוכלת בתת הגרף H שנבחר (ז א ששני שצמתים שלה נבחרו כצמתים של H), ושווה ל 0 אחרת. לבסוף נגדיר את X, = e E X e ונשים לב שמ מ זה זהה בערכו למספר הקשתות של H. מלינאריות התוחלת,.V[X] עתה נחסום את.E[X] = e E E[X e] = 4 αn נרשום ] f.v[x] = e,f E Cov[X e, X אם e ו f זרות צמתים אז = 0 ] f,cov[x e, X ואחרת עדיין מתקיים כאן < ] f Cov[X e, X (לא צריך כאן חסם יותר טוב). סה כ קיבלנו.V[X] < E n n 3 ממשפט צ בישף נובע עתה / n,pr [ X 4 αn > n 7/4] < ז א שבסיכוי o() מתקיים ) X = 4 αn ± n 7/4 = 4 αn + o(n כנדרש. פסוקיות לא מאוד מסופקות אנו נגריל הצבה לקבוצת המשתנים x,..., x n של המשתנים באופן יוניפורמי וב ת. נסמן ב X i את משתנה X = m את המ מ של מספר הפסוקיות שהסתפקו. האינדיקטור עבור המאורע הפסוקית ה i הסתפקה, וב i =i X באופן דומה למה שחושב עבור SAT בכתה מתקיים,E[X] = 3 4m ומייד נוכיח עבור בחירה מתאימה של C שיתקיים.V[X] 4 ɛ m מכאן ינבע לפי חוק צ בישף שבסיכוי לפחות 3 4 ההצבה שלנו תהיה כנדרש. ראשית נחשב את ] j Cov[X i, X לפי ניתוח למקרים: 4

15 אם לפסוקיות ה i וה j אין יותר ממשתנה אחד משותף, אז שני מאורעות ההסתפקות הם בלתי תלויים זה בזה (בגלל שידיעת ערך של משתנה אחד אינה משנה את סיכוי ההסתפקות של פסוקית,NAE ולכן מתקיים.Cov[X i, X j ] = 0 אם לשתי הפסוקיות יש שלושה משתנים משותפים וזו אינה אותה פסוקית אז הקווריאנס אינו חיובי, 0 ] j.cov[x i, X אם זוהי אותה פסוקית, ז א ש j i, = אז הקווריאנס זהה לשונות של X, i שהיא קטנה מ (הערה: היפוך שלושת הליטרלים מביא אותנו למצב של אותה פסוקית, אם כי זה לא משנה הרבה את החישוב אם אנו מרשים כאלו כפילויות גם). אם יש שני משתנים משותפים בדיוק, אז למרות שניתן לחסום באופן יותר מדוייק נסתפק בחסם הפשוט 4m(n 3) < מספר הזוגות המקסימלי של פסוקיות כאלו הוא.Cov[X i, X j ] = E[X i X j ] ( 3 4 ) < 4mn (עבור פסוקית מסויימת יש 3 בחירות של זוג משתנים להחתך בהם איתה, ולכל אחת מהן 4 אפשרויות לסימנים עבורם, 3 n דרכים לבחור את האיבר הנוסף במי שחותך את הפסוקית, ושתי אפשרויות לסימן שלו). עתה ניתן לחסום את השונות של X: V[X] = Cov[X i, X j ] < 0 + m + 4mn < 5mn i,j m לסיום ההוכחה, בוחרים 00ɛ,C = על מנת שיתקיים.5mn = 4 ɛ Cnm < 4 ɛ m ריכוז במרחב משתמשים בשיטת המומנט השני, מסתכלים על תת המרחב כתוצאה מבחירה יוניפורמית של שני ווקטורים ב ת,u v Z n p ומעבר לתת המרחב הנפרש (מספר הבסיסים הפורשים זהה לכל תת מרחב אפשרי ממימד, ולכן זו תהיה בחירה יוניפורמית של תת המרחב), ואז עבור כל,α β שאינם שניהם 0 מגדירים את X α,β כמשתנה האינדיקטור עבור המאורע A αu. + βv נשים לב גודל החיתוך של תת המרחב עם A נתון ע י = X.E[X] = (p ) ולכן α, β לכל E[X α,β ] וכן שמתקיים =, α,β Z p X α,β המשתנים X α,β ו X α β, הם ב ת (כזוג) אם (β,α) ו ( β α), הם ב ת (כזוג ווקטורים ב p Z). זה אומר שיש לא יותר מ ( p) p)( זוגות משתנים תלויים, ולאלו הקווריאנס חסום ע י. על כן מתקיים עבור p גדול דיו ) 3/.V[X] = α,α,β,β Cov[X α,β, X α,β ] (p )(p ) < (p עתה אפשר לסיים ע י שימוש באי שוויון צ בישף: o(),pr[ X (p ) > (p ) 7/8 ] < (p ) /4 = כאשר בפרט ).(p ) 7/8 = o(p חסימת סטיות גדולות חיפוש בינארי עם מעט שקרים נזכיר את האלגוריתם (הדטרמיניסטי) לחיפוש איבר נתון ברשימה ממוינת בת n איברים באמצעות n log השוואות: מתחילים מהתחום {n,...,}. בכל שלב משווים את האיבר הנתון עם האיבר האמצעי בתת הרשימה המתאימה לתחום, ובהתאם עוברים לתת תחום שגודלו כחצי מגודל התחום בסוף השלב הקודם. עתה נניח שאנו רוצים לחפש איבר נתון ברשימה ממוינת, אולם כל פעם שאנו משווים את האיבר הנתון עם איבר ברשימה, בסיכוי של % נקבל את התשובה ההפוכה לאמת. ליתר דיוק: אין לנו יכולת לקרוא את האיברים 5

16 מהרשימה אלא רק להשוות אותם. אם תוצאת ההשוואה היא < אז בסיכוי % נקבל את התשובה >, ואם תוצאת ההשוואה היא > אז בסיכוי % נקבל את התשובה <. לא יהיו תשובות שגויות אף פעם ביחס ל =. כתבו אלגוריתם שמוצא את האיבר ברשימה הממוינת, אשר רץ בתוחלת זמן שהיא עדיין (n.o(log מותר להניח שהאיבר הנתון אכן קיים ברשימה, ויש להקפיד שניתוח זמן הריצה אכן יהיה נכון ביחס לתוחלת (לא רק בהסתברות גבוהה הזמן הוא קצר ). מחלקות סיבוכיות המחלקה BPP מוגדרת כמחלקת השפות שעבורן קיים אלגוריתם הסתברותי אשר רץ בזמן פולינומי, ונותן. 3 המחלקה P/poly מוגדרת כמחלקת השפות כך שלכל n קיים אלגוריתם את התשובה הנכונה בהסתברות דטרמיניסטי אשר רץ בזמן פולינומי ונותן את התשובה הנכונה לכל קלט מאורך n: שימו לב שבניגוד ל P, זה אינו חייב להיות אותו אלגוריתם ל n שונים; חסם הזמן הפולינומי חייב להיות אחיד לכל ה n, וכן הוא חייב לחסום את אורך התיאור של האלגוריתם הספציפי ל n. הוכיחו שמתקיים.BPP P/poly תתי קבוצות מקריות נניח שאנו מגרילים n תתי קבוצות מגודל 3 של {n,...,}, כשכל קבוצה לכשעצמה מוגרלת יוניפורמית מכל תתי הקבוצות האפשריות באופן ב ת בקבוצות האחרות. הראו שבסיכוי Θ(n) e ניתן לבחור n קבוצות מתוכן כך שאף איבר של {n,...,} לא יופיע ביותר מ 40 קבוצות שונות. קליקים בממוצע נבחר גרף לפי (,n G. ( הראו כי לכל k קבוע בהסתברות של לכל היותר Θ(n) e מספר ה k קליקים בגרף יהיה או פחות מ (k ) (n) k. ( k )+ (n k) יותר מ פתרונות לתרגילים על חסימת סטיות גדולות חיפוש בינארי עם מעט שקרים נבצע כאן גרסא של אלגוריתם החיפוש הבינארי הרגיל, אולם עם תוספת אפשרות של חזרה לאחור : בשלב הראשון נתחיל עם הקטע {n,...,} כמו באלגוריתם הרגיל. עתה בכל שלב, כאשר בידינו הקטע {b,a},..., a+b כמו באלגוריתם הרגיל, אולם בנוסף לכך נבצע השוואה גם עם נבצע השוואה עם איבר הרשימה במקום ה המקום ה a וגם עם המקום ה b. אם קיבלנו שוויון, נעצור כמו באלגוריתם הרגיל (זכרו את ההנחה בשאלה שאף פעם אין תוצאה שקרית ביחס לשוויון). אם תוצאות שלושת ההשוואות מתאימות להנחה שהאיבר נמצא בתחום }, a+b אז נעבור לחצי הקטע המתאים כפי a+b +,..., b} או נמצא בתחום המקומות {a,..., המקומות { שהדבר נעשה באלגוריתם החיפוש הבינארי. לבסוף, אם תוצאות ההשוואות מראות שהאיבר המבוקש אינו נמצא כלל בתחום {b,a},..., או ששלושת התוצאות אינן קונסיסטנטיות, אז נחזור לאחור : במקרה זה אנו נגדיל את הקטע חזרה למה שהיה לפני ההקטנה האחרונה (בכל שלב אנו נשמור את ההסטוריה של כל הקטעים עד הקטע הנוכחי שלא חזרנו מהם). אם מצב זה קורה עבור הקטע {n,...,} אז אי אפשר לחזור לאחור, ואז פשוט נשאיר אותו כמות שהוא לאיטרציה הבאה. עתה ננתח את תוחלת זמן הריצה. אנו נקרא לצעד של האלגוריתם נכון אם קרה אחד משני הדברים הבאים: או שהאיבר המבוקש אכן נמצא בתחום המקומות {b,a}..., ואנו אכן חצינו את הקטע לתת הקטע המכיל את 6

17 האיבר, או שהאיבר אינו נמצא בתחום {b,a}..., ואנו אכן בצענו צעד לאחור. לכל אפשרות אחרת נקרא צעד לא נכון. לשם פשטות הניתוח, כאשר האלגוריתם מוצא את האיבר ועוצר, אנו נניח שהוא ממשיך לבצע צעדים נכונים בהסתברות. שימו לב שבכל שלב של האלגוריתם, ההסתברות לצעד נכון היא לפחות 97% (ההסתברות הספציפית יכולה להיות תלויה בצעדים קודמים, אבל לא החסם). בנוסף לכך, ברגע שההפרש בין מספר הצעדים הנכונים ומספר הצעדים הלא נכונים עולה על n log לטובת הנכונים הרי שהאלגוריתם עצר בהצלחה (יתכן כי הוא כבר עצר בהצלחה קודם לכן). לפי חסימת סטיות גדולות, הסיכוי שזה לא קרה עבור t 0 log n צעדים (שימו לב שתוחלת ההפרש ( 94 הוא לא יותר מ 0/t e (בעצם הרבה פחות אבל התעלמנו בין הצעדים הנכונים ללא נכונים היא לפחות 00t כאן מקבועים מדויקים): מביטים בסדרת משתנים מקריים המקבלים בצעד נכון ו בצעד לא נכון, וחוסמים בעזרת חסם סטיות גדולות מתאים. נסמן לבסוף ב T את המ מ שמקבל את מספר הצעדים שלקח לאלגוריתם לעצור, ונקבל: E[T ] = tpr[t = t] = t= 0 log n + 0 log n + j= i= t= 0 log n t= 0 log n j Pr [T = j] = Pr[T t] Pr[T t] t= e t/0 = O(log n) מחלקות סיבוכיות נניח ש L היא שפה השייכת ל BPP, ונוכיח שהיא ב P/poly. נניח ש ( p(n הוא חסם זמן פולינומי עבור אלגוריתם הסתברותי המכריע את L, וכן נניח שאלגוריתם זה משתמש רק בבחירות יוניפורמיות ב ת מתוך {,0} ( הטלות מטבע ). לכל n נבנה אלגוריתם דטרמיניסטי שנותן תשובות נכונות עבור כל המילים מאורך n, כך שגם זמן הריצה וגם אורך התיאור שלו חסומים ע י החסם הפולינומי.O(np(n)) האלגוריתם ההסתברותי המקורי משתמש עבור מילים מאורך n בלא יותר מ ( p(n מטבעות (הגרלות יוניפורמיות ב ת מ {,0}), ולכן ניתן לתאר אותו ע י בחירה מקרית יוניפורמית של מחרוזת ב p(n) {,0}, שבהסתמך עליה ועל הקלט האלגוריתם מגיע להכרעה דטרמיניסטית (כל פעם שהאלגוריתם אמור להטיל מטבע, קוראים במקום זאת את הערך הבא מהמחרוזת שהוגרלה). עתה נגריל באופן ב ת 00n מחרוזות בינאריות מאורך p(n) שנסמנן,α,..., α 00n ונבחן את 00n ההרצות האפשריות של האלגוריתם המתקבלות מהן. אם a,0} { n היא מילה בשפה, אז לפי חסימת סטיות גדולות, הסיכוי שהיא תתקבל עבור לא יותר מ 5n מההרצות הנ ל חסום ע י n (ולמעשה פחות מכך). בדומה לכך, אם a,0} { n אינה ב L אז הסיכוי שהיא תתקבל עבור לא פחות מ 49n מההרצות חסום ע י n. מכאן נובע שקיימת בחירה של α,..., α 00n שעבורה לכל מילה w,,0} { n מילה זו מתקבלת ע י רב ההרצות המתאימות ל α,..., α 00n אם ורק אם w. L עתה אנו יכולים להרכיב את האלגוריתם שלנו עבור מילים מאורך n עבור הבחירה הנ ל (שתהווה חלק מתיאור האלגוריתם): בהינתן w,,0} { n לכל α i נבצע את ההרצה המתאימה (באופן דטרמיניסטי בהסתמך על a ו α) i ונכתוב את התשובה. האלגוריתם שלנו יקבל את w אם ורק אם לפחות 50n מההרצות הנ ל קיבלו את המילה a. 7

18 תתי קבוצות מקריות נסמן את תתי הקבוצות המקריות ב,A,..., A n ולכל i n נסמן ב X i את המאורע ש A i מכילה לפחות איבר אחד מ { n,... {, שמוכל בלפחות 40 מהקבוצות i.a,..., A אם בסוף נבחר את תתי הקבוצות {0 = i A}, i X הרי שאלו יקיימו את התנאי הנדרש על מספר המופעים של איברי {n,...,}, ולכן עלינו להוכיח.X = n שבסיכוי חסום ע י Θ(n) e בלבד יהיו פחות מ n קבוצות כאלו, דבר השקול לביטוי =i X i > n לפי ספירה פשוטה, מספר האיברים מ { n,... {, המשתתפים בלפחות 40 קבוצות מ i A,..., A לעולם אינו 9 ] i Pr[X i = X,..., X (לכל סדרת. 3 על כן, אפילו ש X i תלוי ב i,x,..., X יתקיים 0 עולה על 0n ערכים אפשרית עבור i.(x,..., X X = n נגדיר Y,..., Y n אשר יהיו ב ת זה בזה לחלוטין (אבל תלויים ב על מנת לחסום את =i X i = 9 ] i.pr[y נבנה את אלו באינדוקציה, את Y i נגדיר לאחר (X,..., X n ושעבורם יתקיים Y i X i וכן 0 שהוגרלו X,..., X i ו i Y,..., Y (ונדאג לאי תלות של ההסתברויות עבור Y i בערכים של i.(y,..., Y בהינתן הערכים i X = α,..., X i = α ו [ i,p i = Pr[X i = X = α,..., X i = α נבדוק עתה את 9 0p i 0( p i ) ובהסתברות Y נגדיר = 0 i ערך.X i אם = i X אז נגדיר = i,y ואם = 0 i X אז בהסתברות ) i 0( p X,. [ 9 באופן ב ת בערכי i, X.. נגדיר = i Y. הדבר לשים לב אליו הוא ש i Y יהיה שווה ל בהסתברות 0 i ].(Pr j= (Y j = ) = ( 9 או ערכי i.y,..., Y לכן קבוצת כל ה Y i היא ב ת (במובן שמתקיים למשל )i 0,Pr[ n וזה חסום ע י Θ(n) e באמצעות חסימת סטיות גדולות. עתה ניתן לחסום את n] Pr[X > ע י n] i= Y i > קליקים בממוצע נראה כאן באינדוקציה שלכל k ו 0 > c > קיים > 0 (k α(c, כך שעבור n גדול דיו, בהסתברות של לכל היותר ) ( ) + c) (k.( טענת השאלה נובעת n k או יותר מ ( c) ( k ) ( ) n k יהיה פחות מ מספר ה k קליקים e, αn מהצבת = c. בסיס האינדוציה, = k, הוא טריביאלי (תמיד יהיו בדיוק n קליקים ). נניח שהטענה הוכחה עבור k. ראשית נראה שלכל > 0 c > ו n גדול דיו, בהסתברות של לכל היותר,e βn עבור > 0 k) β(c, מתאים, ישנה קבוצה רעה U בת k צמתים כך שמספר הצמתים v U אשר מחוברים לכל איברי U לא נמצא בין k) c) k (n + ( ל ( k + c) k (n + ( (כלומר חורג מהאמור בטענה). נסמן ב A v,u את המאורע ש U v / מחובר לכל צמתי,Pr [A v,u ] = k.u ועבור U קבוע, המאורעות U} {A v : v V \ הם ב ת לחלוטין זה בזה. לכן, מחסימת סטיות גדולות, קיים > 0 k) β (c, כך שבהסתברות לכל היותר e β n מספר הצמתים v / U המחוברים לכל איברי U לא נמצא בין k) c) k (n + ( ( n, ניתן להפעיל את חסם האיחוד k ) ל ( k + c) k (n +.( מכוון שמספר הקבוצות U הרלוונטיות הוא ולקבל כי קיים > 0 (k β(c, כך שעבור n גדול דיו בהסתברות של לכל היותר e βn קיימת קבוצה רעה. אם עתה נספור את כל הזוגות של k קליק פלוס צומת נוסף המשלים אותו ל k קליק, נקבל מהטענה לעיל והנחת האינדוקציה (מופעלים שניהם עם 3/c) שעבור n גדול דיו ההסתברות שמספר הזוגות לא יהיה ( + c) (k ) k n ( היא חסומה ע י ) k לבין ( c) ( k ) k ( n k ) (n + k) = ( c) ( k ( ) k n k) בין.(0 < c < תחת ההנחה ש ( c/3) ו c ( + c/3) + c (שכן e α(c/3,k )n + e β(c/3,k)n אם נשים לב שמספר הזוגות הנ ל הוא בדיוק k פעמים מספר ה k קליקים בגרף, נוכל לסיים ע י ההצבה.α(c, k) = min{α(c/3, k ), β(c/3, k)} 8

19 מרטינגלים הילוך מקרי על הקוביה על הקוביה הבוליאנית { n,0} נגדיר הילוך מקרי מהראשית: (0) x יהיה הווקטור שכולו אפסים, ובהינתן (i) x, נגדיר את (+i) x ע י זה שנבחר באופן יוניפורמי (וב ת בבחירות קודמות) אינדקס j i n, ואז נהפוך את ערכו של האיבר ה j i ב (i) x. נסמן ב d i את המרחק מהראשית של (i) x, ז א את מספר האחדות שבו. הראו שמתקיים: [ Pr d n < ] E[d n] Ω(n) הערה: אפשר לפתור זאת מבלי לחשב במדויק את ] n,e[d אבל כמובן שצריך לדאוג לאיזה שהוא חסם על גודל התוחלת הנ ל. מרחק מקבוצת נקודות 99 מנקודות הקוביה } n {0, 00 n נקודות. הראו שלפחות נניח ש A {0, } n היא קבוצה בת לפחות 00 n נמצאות במרחק שאינו עולה על n 8 מ A, כאשר המרחק בין שתי נקודות מוגדר ע י מספר הקורדינטות שבהן הן נבדלות (מרחק Hamming ללא נרמול). בחירה של תתי קבוצות נתון ש A היא ת ק מקרית של {n,...,}. לא נתון כלום על מרחב ההסתברות שלפיו בוחרים את A, פרט לכך שזוהי בהסתברות קבוצה בת k איברים שונים זה מזה (k הוא קבוע נתון), וכן שלכל i n מתקיים.Pr[A S] = k ±o() מתקיים S {,..., n} מתתי הקבוצות ( o()) n הראו שעבור.Pr[i A] = k n רמז: ניתן להסתכל על [S Pr[A כעל כמות התלויה ב S, ולנתח את ההתפלגות עבור בחירה מקרית יוניפורמית של S. פתרונות לתרגילים על מרטינגלים הילוך מקרי על הקוביה אנו נגדיר מרטינגל חשיפה D 0,..., D n עבור המרחק הסופי,d n כאשר בצעד ה i חושפים את (i).x (0),..., x שימו לב שבד כ D i אינו שווה ל d i עבור i < n (אבל כמובן D). n = d n לא קשה לראות שמרטינגל זה יקיים את תנאי ליפשיץ עם קבוע ליפשיץ, ולכן לפי משפט אזומה יתקיים לכל > 0 α החסם Ω(n).Pr[D n < E[D n ] αn] על מנת להשלים את ההוכחה על כן צריך רק להראות שמתקיים Ω(n).E[D n ] = ( n n) ( (הסיכוי שיבחר לפחות פעם אחת n ) הסיכוי שאיבר i נבחר בדיוק פעם אחת הוא לפחות n ) ( מחסם האיחוד), עבור n גדול דיו ערך n ( n והסיכוי שיבחר פעמיים ומעלה הוא לכל היותר n n) הוא.E [D n ] n 0, ולכן מלינאריות התוחלת עבור n גדול דיו מתקיים 0 זה הוא לפחות 9

20 מרחק מקבוצת נקודות הרעיון כאן הוא להראות שכאשר מגרילים באופן יוניפורמי נקודה ) n x = (x,..., x מ } n,{0, בהסתברות 99 המרחק שלה מ A לא יעלה על n 8. לשם כך נסתכל על הנקודה המקרית כעל פונקציה מקרית לפחות 00 באופן יוניפורמי מ { n,...,} ל {,0}, ונבנה מרטינגל חשיפה ביחס לפונקצית המרחק של x מ A. המרטינגל יחשוף קורדינטה אחת בכל שלב, ז א שהחשיפה תיעשה ביחס לתחום i} D i = {,..., לכל i n.0 שימו לב שבמרטינגל X 0,..., X n המתקבל כך, הערך של X i אינו מקבל את המרחק של הצמצום ) i (x,..., x מהצמצמום המתאים של נקודות A. הערך של X i שווה לתוחלת המותנה של המרחק הכולל בהינתן הערכים של x,,..., x i בהתאם להגדרה של מרטינגל חשיפה. בחירת ערכי x על הקורדינטות היא ב ת, ולכן לא קשה לראות שמתקיים תנאי ליפשיץ עבור המרטינגל מקיום תנאי ליפשיץ עבור התחומים: אם שתי נקודות נבדלות ביניהן רק על {i} D, i \ D i = אז המרחקים שלהן מ A בוודאי לא נבדלים ביותר מ. מכאן נובע ע י אי שוויון Azuma שהסיכוי שמרחק זה יהיה קטן מהתוחלת שלו המרחק המתקבל הוא 0, כי זהו הסיכוי < 8 e. מצד שני, בסיכוי לפחות 00 ביותר מ n 4 אינו עולה על (ע י שימוש נוסף ש A x, ולכן תוחלת המרחק של x מ A אינה עולה על 4. n מכאן נובע שבסיכוי לפחות 00 באי שוויון,(Azuma המרחק של x מ A אינו עולה בעצמו על n 8. בחירה של תתי קבוצות לכל n} S {,..., נגדיר S],p(S) = Pr[A ונגדיר את X 0,..., X n להיות מרטינגל החשיפה של S כאשר מחשיבים אותה כפונקציה מקרית מ { n,...,} ל [,0] (ז א ש X i יתאר את התוחלת המותנה של p(s) עבור.(S {,..., i} מקרית בהינתן S ברור שמתקיים X 0 = E[p(S)] = k (כי הסיכוי ל A S הוא k לכל A בגודל,(k וכן מתקיים בהסתברות התנאי X : i X i k n זה מתקיים בגלל קיום של תנאי ליפשיץ מתאים, שהרי אם S ו S נבדלות ביניהן רק על הקואורדינטה ה i, ונניח בלי הגבלת הכלליות ש { i },S = S \ אז מתקיים p(s) p(s ) Pr[i A] = k n.0 מאי שוויון Azuma נובע עתה שבהסתברות ()o (עבור n גדול דיו ביחס ל k ) המרחק בין X s ל X 0 הוא ()o כנדרש. הלמה הלוקלית צביעת קשתות בגרפים הראו שלכל d קיים c כך שאם G הוא גרף מדרגה מקסימלית d (ומספר צמתים כל שהוא), אז ניתן לצבוע את הקשתות של G ב c צבעים כך שבכל המעגלים הפשוטים בגרף יהיו קשתות משלושה צבעים לפחות ( מעגלים מאורך אינם נחשבים). קיום תת גרף ספציפי בגרף צפוף הראו קיום קבוע גלובלי c עם המאפיין הבא: אם H הוא גרף בעל m צמתים ודרגא מקסימלית לכל היותר d, ( קשתות, אז G מכיל עותק של H כתת גרף (לא בהכרח ו G הוא גרף בעל n > cm צמתים ולפחות cd n( מושרה). הערה: יש משפט ידוע של Erdös ו Stone על קיום תת גרף כזה עם תנאי אופטימלי על מספר הקשתות של G, אבל עם חסם רע בהרבה על n המינימלי, אשר משתמש בלמת הרגולריות על גרפים (שאותה לא נלמד בקורס זה). 0

21 שיפור קל של החסם על משפט רמזי הראו שקיים גרף בעל /k e/ o())k ( צמתים ושאין בו קליק או קבוצה בלתי תלויה בת k צמתים. צביעות חסכוניות הראו שגרף G עם דרגה מקסימלית ניתן לצביעה (של הצמתים) ב ( )Θ 3/ צבעים, כך שאין קשתות מופרות (מונוכרומטיות) ובנוסף לכך אין צומת עם שלושה שכנים מאותו צבע. מילים לא חזרתיות מילה y Σ m נקראת חזרה אם קיימת מילה x Σ m כך ש xx.y = מילה w Σ n נקראת חזרתית אם היא מכילה תת מילה רצופה שהיא חזרה, ואחרת היא נקראת לא חזרתית. הוכיחו כי מעל א ב גדול דיו, קיימות מילים לא חזרתיות ארוכות כרצוננו. כלומר, הוכיחו כי קיים k N כך שלכל n N קיימת מילה לא חזרתית מעל א ב בן k איברים שאורכה הוא לפחות n. פתרונות לתרגילים על הלמה הלוקלית צביעת קשתות בגרפים נגריל לכל קשת בגרף צבע מ { c,...,} באופן יוניפורמי וב ת, ונוכיח שבהסתברות חיובית אין מעגל מונוכרומטי. לכל מעגל C בגרף נבחר באופן שרירותי שלוש קשתות עוקבות בו, ונסמן ב A C את המאורע ששלושת הקשתות לא צבועות בשלושה צבעים שונים. בנוסף לכך, אם לשני מעגלים C, C בחרנו את אותן שלוש קשתות, אז נרשום את המאורע המתאים רק פעם אחת (נניח שרק ל C, ואז נתעלם מ C). מספיק להראות עתה שבהסתברות חיובית אף אחד מהמאורעות A C לא יקרה. לכל C מתקיים 3c.Pr[A C ] בנוסף לכך, כל A C הוא ב ת בכל המאורעות אשר נרשמו עבור קשתות הזרות לקשתות שנבחרו מ C. על כן A C הוא ב ת בכל המאורעות האחרים פרט ללא יותר מ 9d מהם (יש 9 חפיפות קשת אפשריות בין שני מסלולים מאורך 3, ומכיוון ש d היא הדרגה המקסימלית יש לא יותר מעוד d אפשרויות לבחור קשתות המשך למסלול החופף). בחירת של c = 00d (למשל) תבטיח עתה שיתקיים < ),e 3c (9d כך שנוכל להשתמש במקרה הסימטרי של הלמה הלוקלית ולסיים את ההוכחה. קיום תת גרף ספציפי בגרף צפוף ניתן להוכיח את המבוקש עם = 0 c, ואת זאת נעשה עתה. אנו נגריל פונקציה f מ ( H ) V, קבוצת הצמתים של H, לתוך (G) V, ע י כך שלכל צומת u של H נבחר את f(u) באופן מקרי וב ת מ ( G ) V (בשביל ששאר הטיעון יעבוד, אי אפשר עדיין לבחור את f בלי חזרות ). לכל קשת,u v של H נגדיר את המאורע E uv בתור המאורע ש ( f(v f(u), אינה קשת ב G. < ] uv,pr[e וכן שמאורע זה ב ת בכל המאורעים האחרים (ז א באלגברה הנוצרת על 0d נשים לב עתה שמתקיים ידם) פרט לאלו הקשורים בקשתות של H המכילות את u או v. מהסוג האחרון יש פחות מ d מאורעות, ולכן ניתן להפעיל את המקרה הסימטרי של הלמה הלוקלית ולקבל שבהסתברות חיובית אף מאורע לא קורה. אבל.( להמשך הטיעון צריך גם להשתמש בחסם (הקטן) שהלמה נותנת על ההסתברות, שהוא d )md/ > m לסיכום, נחסום עתה את ההסתברות למאורע ש f אינה חד חד ערכית. לפי איחוד מאורעות (עם הנתון על n) ) (. מכאן שבהסתברות חיובית גם f חד חד ערכית וגם כל הקשתות של H עוברות m זה חסום ע י /n < m לקשתות של G, ז א שב G חייב להיות עותק של H כתת גרף.

22 שיפור קל של החסם על משפט רמזי על מנת להראות את תוצאת השאלה, צריך להראות בעצם שלכל C < e/ ולכל k גדול דיו (כפונקציה של ההפרש בין C ו /e ), קיים גרף בעל /k Ck צמתים ושאיו בו קליק או קבוצה ב ת בת k צמתים. G(n, עבור k/,n = Ck ולכל קבוצת U בת k צמתים נגדיר את המאורע A U שקבוצה נסתכל על הגרף ) זו מהווה קליק או קבוצה ב ת. הסיכוי למאורע זה הוא ( k). כמו כן, כל מאורע A U אינו תלוי בקבוצת כל )( ( הוא חסם על מספר הקבוצות k n ( k ) מתוכם (כי k )( n k ) המאורעות האחרים הנ ל פרט ללא יותר מ מגודל k אשר חותכות את U ב מקומות לפחות, ול > k המספר האמיתי קטן ממש מהחסם). אנו נרצה להשתמש בגרסה הסימטרית של הלמה הלוקלית על מנת להוכיח שבסיכוי חיובי אף אחד מהמאורעות הנ ל אינו )( ( ( e. k) שימוש בחסמים הידועים על בינומים ישלים את k n k ) קורה, ולשם כך עלינו להוכיח שמתקיים < ההוכחה (שימו לב שהשוויון האחרון נכון רק תחת ההנחות על C): ( )( ) k n e (k ) k < e +k/ k / k k = e +k/ k / k k ( en k )k ( eck k k/ ) k = (k k)e k k/ C k ( + k )k = O(k ( ec ) k ) = o() ז א שעבור k גדול דיו המכפלה הנ ל אכן קטנה מ. צביעות חסכוניות נבצע צביעה אקראית של הגרף G ב k צבעים (אחר כך נקבע את ערך k, אבל כבר נניח שהוא לפחות 3), ונגדיר את המאורעות ה רעים על מנת להשתמש בלמה הלוקלית. ישנם שני סוגים של מאורעות כאלו. לכל קשת uv E נגדיר את המאורע A uv שהיא מונוכרומטית. מתקיים.Pr[A uv ] = k לכל שלושה צמתים,u,v w שיש עבורם שכן משותף, נגדיר את המאורע מתקיים כי = ] uvw.pr[b k B uvw שלשלושתם אותו צבע. אנו נראה את קיום תנאי הלמה הלוקלית בגרסא הלא סימטרית ה נוחה לשימוש שהוכחה בתרגול. ההסתברות של כל המאורעות קטנה מ עבור 3 k, ועתה נבדוק לכל סוג מאורע את קיום התנאי השני. מאורע A uv מהסוג הראשון יהיה בפרט בלתי תלוי באלגברה הנוצרת ע י כל המאורעות המתייחסים אך ורק לצבעים של הצמתים {u} V. \ יש לכל היותר מאורעות שמתיחסים ל u מהסוג הראשון (לא כולל A uv, וזה k + ( )( ) k ) ) מאורעות שמתיחסים ל u מהסוג השני. לכן צריך להתקיים 4 עצמו) ו מתקיים בפרט לכל בחירה 8} max{ 3/,.k מאורע B uvw מהסוג השני יהיה בלתי תלוי באלגברה הנוצרת ע י כל המאורעות שאינם מתיחסים ל u או v. ) ( מהסוג השני (יש כאן קצת ספירה מאורעות שמתיחסים ל u או v יש לכל היותר מהסוג הראשון, ו.k max{8 3/, 64}, וזה יתקיים למשל לכל k + ( )( ) k 4 כפולה של מאורעות). לכן צריך להתקיים סה כ, על מנת שהלמה הלוקלית תתן לנו סיכוי חיובי שאף אחד מהמאורעות המוגדרים לא יתקיים (ואז הצביעה היא כנדרש) ניתן למשל להציב ) 3/ Θ(.k = max{8 3/, 8} =

23 מילים לא חזרתיות נקבע ערך n N כל שהוא, ונסמן ב A i,m את המאורע שתת המחרוזת i+m w i, w i+,... w היא חזרה. בבירור מתקיים.Pr[A i,m ] = k m כמו כן, המאורע A i,m בהכרח בלתי תלוי בכל המאורעות A j,p עבורם = } p.{i, i +,..., i + m } {j, j +,..., j + מספר הקטעים מאורך l שנחתכים עם הקטע שמתאים ל A i,m הוא לכל היותר m. + l נסמן ב N i,m את קבוצת האינדכסים שעבורם הקטעים המתאימים נחתכים עם } m.{i, i +,..., i + אנו נשתמש בגרסא הכללית ביותר של הלמה הלוקלית. נקבע = i,m x, ונראה שאכן תנאי הלמה מתקיימים: 6 m + 6 m + (j,p) N i,m ( ) 6 p + 6 m + n/ l= n/ 6 m + l= ( ) m+l 6 l + ( exp n/ = 6 m + exp l= ( 6 m + exp m ) m + l 6 l + m + l 6 l + l= ) 6 l + l 6 l + l= 6 m exp ( 4m 5) exp ( m) + x i,m (j,p) N i,m ( x j,p ) = 6 m + A j,p N i,m לכן אם k e נקבל לכל i, m כי ( ) 6 p k m = Pr[A i,m ] + כנדרש (חישובים זהירים יותר יניבו חסם סביר יותר על k). קורלציות שוויון אצל קלייטמן מצאו דוגמא (מעל S מתאים) שבה P(S),A B הן משפחות מונוטוניות עולות, שתיהן אינן ריקות ואינן שוות ל ( P(S, ומתקיים B. A B = S A אי שוויון אצל קלייטמן נתון ש ( P(S,A B הן משפחות מונוטוניות עולות לא ריקות, וכן ששתיהן כוללות אך ורק תתי קבוצות של S מגודל גדול מ S. הראו שבהכרח מתקיים B. A B < S A 3

24 חיתוך של מאורעות א. הראו שאם A,..., A k סידרה של תכונות מונוטוניות עולות של גרפים בעלי קבוצת הצמתים V (ז א שאם E) G(V, מקיים את A i ו E E אז ) E G(V, גם מקיים את,(A i אז עבור גרף מקרי p) G = G(n, מתקיים פירושו לצורך הענין הוא ש G G = A (הסימון Pr[G = A,..., G = A n ] k אי השוויון i] i= Pr[G = A מקיים את התכונה A). n כאשר (ii) מכיל משולש. G הגרף Ω(n3) בהסתברות לפחות (i) :G(n, ב. הוכיחו או הפריכו עבור ). n הוא אי זוגי, בהסתברות לפחות n הדרגה המינימלית של הגרף היא לפחות פונקציות מונוטוניות תהי } {0, n f : {0, } פונקציה מונוטונית לא יורדת (אם x, y {0, } n שני וקטורים המקיימים את אי השוויונות x y,..., x n y n אז מתקיים ) n.(f(x,..., x n ) f(y,..., y הראו שהפונקציה המונוטונית לא עולה הקרובה ביותר ל f במרחק Hamming היא פונקציה קבועה (ליתר דיוק שאחת מהפונקציות הנ ל היא פונקציה קבועה, יש מקרים בהם זו אינה פונקציה יחידה). משפט קלייטמן לרב קבוצות יהיו,A B משפחות של רב קבוצות מעל קבוצה S, כאשר כל איבר מ S יכול להופיע לכל היותר r פעמים באיברים של A או B. נניח גם כי משפחות אלה מונוטוניות עולות, כאשר הכלה כוללת גם שמספר המופעים של איבר בקבוצה המכילה גדול או שווה לזה בקבוצה המוכלת. הראו שבמקרה זה B A. B r) + ( S A פתרונות לתרגילים על קורלציות שוויון אצל קלייטמן נבחר k} S = {,..., עבור k כל שהוא. נבחר את A להיות המשפחה A} {A S : ואת B להיות. A B = k = S A B חישוב ישיר מראה עתה שמתקיים.{A S : A} אי שוויון אצל קלייטמן כזכור, בהוכחה של אי שוויון קלייטמן משתמשים במשפט ארבעת הפונקציות על מנת להראות שהמשפחות המונוטוניות מקיימות את אי השוויון B. A B A B A כמו בהוכחה המקורית מתקיים עבור שתי המשפחות המונוטוניות העולות A, B = A B שלנו ידוע גם שהיא אינה ריקה (היא כוללת את S כי המשפחות המקוריות לא היו ריקות ולכן כללו את S). עבור A B ידוע לנו שהיא אינה מכילה את הקבוצה הריקה, מכיוון ש A וגם B מכילות אך ורק קבוצות מגודל גדול מ S, וחיתוך של כל שתי קבוצות כאלו אינו ריק. על כן B A, B A B < S A ובזאת סיימנו את ההוכחה. 4