<4D F736F F D20EEF9E5E5E0E5FA20E3E9F4F8F0F6E9E0ECE9E5FA2E646F63>

תמליל

1 משוואות דיפרנציאליות מושגי ייסוד: משוואה המקשרת את גורם הפונקציה עם הפונקציה והנגזרות שלה או הדיפרנציאלים שלה, נקראת "משוואה דיפרנציאלית רגילה" לפתור משוואה דיפרנציאלית פירושו, למצוא את הפונקציה המקיימת את המשוואה הנתונה. סדר המשוואה סדר המשוואה נקבע לפי הנגזרת בעלת הסדר הגבוה ביותר. למשל, '' + ' + = 4+ ' = + המשוואה: 5 שני. היא מסדר ראשון, והמשוואה: היא מסדר מעלת המשוואה מעלת המשוואה תלויה בחזקה הגבוהה ביותר המופיעה, המופיעה בנגזרת מהסדר הגבוה ביותר שבמשוואה הדיפרנציאלית. למשל, ' = + המשוואה: 5 המשוואה: מסדר ראשון וממעלה ראשונה. מסדר ראשון וממעלה שנייה. ( ') = + 5 ( '') + ' = + המשוואה: משוואות מסדר ראשון וממעלה ראשונה משוואה פרידה או מסדר שני וממעלה שלישית. משוואה דיפרנציאלית הניתנת להפרדת משתנים אם ניתן להציגה בצורה: (1) d = f ( ) g( ) d ' = f ( ) g( ) f ( ) g ( ) d+ f ( ) g ( ) d= () 1 1 (a) d = + sin d 1 (1 + ) d (1 + ) d = דוגמאות: (b) פתרון על-ידי כפל בגורם אינטגרציה כדי לבצע הפרדת משתנים יש למצוא גורם כזה (גורם אינטגרציה) שאם נכפיל את שני אגפי המשוואה בגורם זה, נוכל לרשום את המשוואות (1) ו- () בצורה הבאה: 1 (1.1) ( ) g( ) d = f d f (.1) 1( ) g1( ) d + d = f ( ) g ( )

2 1 + sin d = d ( + d= d sin ) דוגמא : (1 + ) d + d = d d + = 1+ פתרון דוגמאות דוגמא 1: ( + d= d sin ) d + d = d sin d d + = 1+ ln + arctan + C cos = + C דוגמא 4: (1 + ) d (1 + ) d = 1 d+ d= דוגמא : d d = d d = ln(1 ) ln(1 ) + + = C 1+ ln = lnc = C d+ d= d+ d = 1 d + d = + ln = C 1) d d = ) (1 + ) d + (1 ) d = תרגילים ) (1 + ) d d= 4) (1 + ) d+ (1 ) d= 5) (1 + d ) (1 d ) = 6) d + tan d =

3 תנאי התחלה פתרון פרטי בפתרונות שקיבלנו בדוגמאות הקודמות, מופיע הקבוע C ולכן הם כלליים. בכדי לקבל פתרון (1) = פרטי יש למצוא את הקבוע C וזה אפשרי אם קיים לדוגמה: פתור את המשוואה: מפתרון המשוואה מקבלים: "תנאי התחלה". d=, d+ כאשר נתון תנאי התחלה + = C נציב את תנאי ההתחלה: = = 1; ונקבל כי.5 = C d 1) + = ; (1) = d d ) = ln ; () = 1 d תרגילים: ' = f(, ) משוואה הומוגנית משוואה דיפרנציאלית מהצורה: תקרא משוואה הומוגנית, אם בכל מחובר של המשוואה סכום המעריכים של הגורמים שווה, אזי ניתן להביאה לצורה: ו-, = u( ). = f ( ) = ) ( u, מכאן ' = u+ u' לצורך הפתרון, ניתן להשתמש בהצבה: נגזור את הפונקציה ונקבל: לאחר ההצבה במשוואה המקורית, נקבל משוואה פרידה הניתנת לפתרון באמצעות הפרדת משתנים.

4 דוגמה: ' = u+ u' ' = 1+ ( u+ u') = 1+ u ( ) = ) ( u, נקבל + ' = פתרון: נסמן: נציב במשוואה ונקבל: u' = 1 u+ u du = (1 u) d du = (1 u) d 1 du = d (1 u) 1 du = d (1 u) = ln + lnc 1 u = ln( C ) 1 = ln( C ) = ) ( u ונקבל: נציב בחזרה : 1) ( ) d d + = ) ( ) תרגילים d+ d= ) (8 + 1 ) d + (5 + 7 ) d = 4) d + = d 5) d + d = 6) d d ( ) + =

5 משוואה ליניארית מסדר ראשון משוואה ליניארית היא משוואה מסדר ראשון וממעלה ראשונה שבה גם הפונקציה המקורית ממעלה ראשונה, וכמובן אין גם מכפלה בין ל '. הצורה הכללית של משוואה ליניארית מסדר ראשון נתונה על-ידי: ' + ( ) = q ( ),ללא קבוע משום שדי לנו בפונקציה d ( ) μ( ) = פתרון המשוואה: כופלים את המשוואה בגורם אינטגרציה אחת ( )μ שעוזרת לנו לפתור את המשוואה, ומבצעים אינטגרל על שני האגפים (עם קבוע). ניתן למצוא נוסחה כללית לפתרון משוואות כאלו: d ( ) q ( ) + C = d ( ) כאשר C קבוע שרירותי. ' + = ( ) = ; q ( ) = d ( ) = d= d ( ) q ( ) + C + C = = d ( ) דוגמה: נתונה המשוואה הליניארית: פתרון: 1) ' cos = ) = ( + C) = 1+ C ' + = ) ' + = תרגילים: 4) 'cos + sin= 1 5) 1) = (sin + C) ) ' = 6) ' = = ( + C) ) = ( + C) תשובות: 4) = sin + C cos 5) = + C 6) = + C

6 משוואה ליניארית מסדר ראשון עם מקדם קבוע הצורה הכללית של משוואה ליניארית מסדר ראשון עם מקדם קבוע, נתונה על-ידי: ' + a = q ( ) a μ ( ( = ומבצעים אינטגרל על שני האגפים (עם פתרון המשוואה: כופלים את המשוואה בגורם אינטגרציה קבוע). ניתן למצוא נוסחה כללית לפתרון משוואות כאלו: a q ( ) C = + a כאשר C קבוע שרירותי. ' + 4 = 6 a= 4; q( ) = 6 ( ) דוגמה: נתונה המשוואה הליניארית: a 4 q ( ) + C 6 + C a = 4 = C = 1.5+ C = פתרון: משוואה ליניארית הומוגנית מסדר ראשון עם מקדם קבוע הצורה הכללית של משוואה ליניארית הומוגנית מסדר ראשון עם מקדם קבוע, נתונה על-ידי: ' + a = פתרון המשוואה הוא מהצורה: = C a כאשר C קבוע שרירותי. 1) ' = ) ' + = ) ' + = 4) ' + 5 = sin 5) ' = 1 6) ' + 6= תרגילים:

7 תרגילים: משוואות דיפרנציאליות ליניארית הומוגנית מסדר שני עם מקדמים קבועים. n '' + a ' + a = ( n) 1, a כאשר ( n ) a r הצורה הכללית של המשוואה: n נרשום פולינום אופייני לפי ונמצא את שורשיו. המקרים השונים הם: א. שורשים ממשיים ושונים מייצג נגזרת מסדר = c + c r 1 1 r 1 α = ( c cosβ + c sin β ) = c + c r 1 r r 1 ב. הפתרון הכללי של המשוואה יהיה: r1, r1= r = r r = c + c 1 = c1 + c ( cos sin ) = c + c 1 ג. שורשים קומפלקסים = α ± jβ הפתרון הכללי של המשוואה יהיה: שורשים עם ריבוי (שורש יחיד) הפתרון הכללי של המשוואה יהיה: '' 5 ' + 6 = r 5r+ 6= 1 דוגמה 1: הפולינום האופייני נתון ע"י: שורשי הפולינום: = r r = ; לכן, הפתרון הכללי של המשוואה הוא: '' 4 ' + 5 = דוגמה : r 4r+ 5= הפולינום האופייני נתון ע"י: r = + j1 ; r = שורשי הפולינום: j1 1 r לכן, הפתרון הכללי של המשוואה הוא: '' + ' + = + r+ 1= דוגמה : הפולינום האופייני נתון ע"י: שורשי הפולינום: = 1 r r1= לכן, הפתרון הכללי של המשוואה הוא:

8 1) '' + ' = ) '' = ) '' + 5 ' + 4= 4) '' + 9 ' = 5) 4 '' + ' + 4= 6) '' + 4= משוואות דיפרנציאליות ליניארית מסדר שני בלתי הומוגניות עם מקדמים קבועים '' + a ' + a = f( ) 1 הצורה הכללית של המשוואה: משפט: את הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית הבלתי הומוגנית ניתן לקבל ע"י צירוף של פתרון פרטי כלשהו שלה אל הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית n במידה והאיבר של המשוואה ( f ( הינו סכום של פונקציות, והיות והמשוואה היא ליניארית ועבורה קיים עקרון הסופרפוזיציה (הרכבה), נוכל למצוא פתרון פרטי של המשוואה כסכום של פתרונות אשר כל אחד מהם מספק את המשוואה כאשר באגף הימני שלה מופיעה אחת מ- n הפונקציות הנ"ל. שיטת מציאת הפתרונות נקראת שיטת המקדמים ובה ניתן להשתמש כאשר הפונקציות המופיעות באגף הימני של המשוואה הדיפרנציאלית הן בעלות נגזרות המוגבלות במספר, או n cos, sin,, ומכפלותיהם. m הנבדלות זו מזו בגורם מספרי בלבד, כגון: = c + c '' 5 ' + 6 = 1 '' 5 ' + 6 = 1 r 5r+ 6= דוגמה 1: פתרון משוואה הומוגנית מהצורה: 1 הפולינום האופייני נתון ע"י: שורשי הפולינום: = r r = ; לכן, הפתרון של המשוואה ההומוגנית הוא: חישוב פתרון פרטי של המשוואה הבלתי הומוגנית: f ( ) = 1 = A A = = + = c + c + היות ובאגף הימני קיים: נחפש פתרון פרטי מהצורה: בסיכום, הפתרון הכללי של המשוואה הנתונה יהיה: 1 דוגמה :

9 = c + c '' 5 ' + 6 = 1 '' 5 ' + 6 = 6 r 5r+ 6= פתרון משוואה הומוגנית מהצורה: 1 הפולינום האופייני נתון ע"י: שורשי הפולינום: = r r = ; לכן, הפתרון של המשוואה ההומוגנית הוא: חישוב פתרון פרטי של המשוואה הבלתי הומוגנית: f ( ) = 6 = A + + B C היות ובאגף הימני קיים: נחפש פתרון פרטי מהצורה: על מנת לחשב את ערכם של B A, ו- C נציג את הפתרון למשוואה הנתונה: '' = A ; ' = A+ B ; = A + B+ C '' 5 ' + 6 = 6 A 5 ( A + B) + 6 ( A + B + C) = 6 A 5 ( A + B) + 6 ( A + B + C) = 6 על-ידי השוואת מקדמים נקבל: : 6A= 6 A= 1 : 1A+ 6B= B= 1: A 5B+ 6C= C= = ולכן הפתרון הפרטי יהיה: בסיכום, הפתרון הכללי של המשוואה הנתונה יהיה: = + = c + c

10 = c + c '' 5 ' + 6 = 1 '' 5 ' + 6 = sin r 5r+ 6= דוגמה : פתרון משוואה הומוגנית מהצורה: 1 הפולינום האופייני נתון ע"י: שורשי הפולינום: = r r = ; לכן, הפתרון של המשוואה ההומוגנית הוא: חישוב פתרון פרטי של המשוואה הבלתי הומוגנית: f ( ) = sin = Asin + Bcos היות ובאגף הימני קיים: נחפש פתרון פרטי מהצורה: על מנת לחשב את ערכם של A, ו- B נציג את הפתרון למשוואה הנתונה: '' = Asin Bcos ; ' = Acos Bsin ; = Asin + Bcos '' 5 ' + 6 = sin Asin Bcos 5 ( Acos Bsin ) + 6 ( Asin + Bcos ) = sin על-ידי השוואת מקדמים נקבל: Asin Bcos 5 ( Acos Bsin ) + 6 ( Asin + Bcos ) = sin sin : 5A+ 5B= 1 cos : 5A+ 5B= A=.1 ; B=.1 =.1sin +.1cos ולכן הפתרון הפרטי יהיה: בסיכום, הפתרון הכללי של המשוואה הנתונה יהיה: = + = c + c sin.1cos 1) '' + ' = ) '' 4= sin ) '' + ' 4= 5 תרגילים: 4) '' + ' = cos 5) '' ' 4 + = 6) '' + 4= +