Microsoft Word - SDAROT 806 PITRONOT.doc

תמליל

1 5 יח"ל - תרגילים הכנה לבגרות תרגיל 8 נסמן ב- את האיבר הראשון ונסמן ב- את מנת הסדרה. על פי הנתון מתקיים: 6 ( S S0 S5 ( t t 0 6 (. לפיכך, 89 5 נסמן t ונקבל: 5 t או או או 5 t נפסול את התוצאה כי לפי ההגדרה של סדרה הנדסית נציב במשוואה ונקבל: תרגיל הגוף הראשון עבר 6 מטרים בשנייה הראשונה, בשנייה השנייה הוא עבר 0 מטרים ובשנייה השלישית הוא עבר 4 מטרים. המרחק שעבר הגוף כעבור שניות - טבעי S הוא הסכום הבא: נביע באמצעות את המרחק שעבר הגוף: d 4 S S S ( 4 שניות, המרחק שעבר הגוף השני כעבור שניות הוא לפיכך מתקיים: 8. שני הגופים יפגשו כעבור ( 4 8 : (

2 .04 תרגיל לפי הנתון, סכום שלושה איברים ראשונים בסדרה הנדסית הוא לפיכך מתקיים: נתון כי האיבר השני בסדרה הנדסית הוא האיבר החמישי בסדרה חשבונית, כמו כן האיבר השלישי בסדרה הנדסית הוא האיבר ה- 7 בסדרה חשבונית. מכאן נקבל: ( 4d 4d d 4 6d 6d ( d 6 ( ( ( 4 נציב במשוואה ונקבל: 04 8 ; 8 4 ; 8 7. ( ( ( שים לב, ניתן למצוא את בשיטה אחרת: 4d 6d 4 תרגיל 4 נסמן ב- את האיבר הראשון, ונסמן ב- את מנת הסדרה. על פי הנתון מתקיים: 4 4 ( ( ( S ( ( 40 ( נחלק משוואה ( במשוואה ( ונקבל: , 40 ( (. נתון כי המספרים הם שלמים, לכן נפסול את 40 במשוואה ( ונקבל נציב במשוואה ( ונקבל 5. לפיכך המספרים הם:. אם נציב התוצאה

3 5, 5, 45, 5 :d ל- תרגיל 5 נמצא את המשוואה הראשונה המקשרת בין S d( S ( d 6 04 d 4 ( לפי הנתון, 5, 7, הם איברים עוקבים בסדרה הנדסית, מכאן נקבל: 7 5 6d 4d d 6d 0 d d 0 (d 0 d ( d 4 d d 6 ( ו- :( 0 00d נפתור את מערכת המשוואות נחשב את : 0 תרגיל 6 נסמן ב- את האיבר הראשון, ונסמן ב- את מנת הסדרה. לפי הנתון נתקיים: 4 נחלק משוואה ( S ( 56 ( 56 ( במשוואה ( ונקבל: ( ( , ,,, 7,, 6, ( ונקבל: נציב נציב במשוואה במשוואה לכן הסדרה היא: 7. מכאן שהסדרה היא: ( ונקבל:

4 תרגיל 7 : bb. d א. סדרה חשבונית מקיימת: נמצא את המנה b d ( b d( d d d b,b,...,b היא סדרה הנדסית. b d מספר קבוע, לכן שמנתה d הוא קבוע. לפיכך ואיברה הראשון הוא d(... b, b,..., b ( b, b,..., b ( d נמצא את המכפלה:. d 4, מכאן נקבל: נתון כי תרגיל 8 לפי הנתון 5, ו- 9 הם איברים עוקבים בסדרה הנדסית. לכן מתקיים: 5 9 4d 8d 8 d 6d 8 d 6d 0 d 4d 4d 5 0 (d > 0 4d 5 0 ( 4 איברים. האיבר הראשון האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים יוצרים סדרה חשבונית שבה הוא והפרשה. d נסמן ב- S את סכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים: S 06 4 ( d 06 d 74 d d 74 4d 74 ( 4d 5 0 4d 74 4, d 5. S 9 S נפתור את מערכת המשוואות ( ו- (: סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא נחשב את הסכום: S9 S 9 9 ( 8d 06 ( סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא 0. 4

5 תרגיל 9 א. S את סכום נסמן ב- כלומר האיברים הראשונים הנמצאים במקומות האי-זוגיים,. S... נמצא את הסכום: S d( 8( S 4 נסמן ב- S את סכום האיברים הראשונים הנמצאים במקומות הזוגיים,. S... 4 דהיינו נמצא את הסכום: S d( 48( S 4 סכום האיברים הראשונים הוא: S S S 4 4 S 4. S S סכום הסדרה מקיים: בהסתמך על סעיף א' נקבל: S d S הוא חיובי כי הוא נמצא במקום האי-זוגי. מכאן נקבל: תרגיל 0 על פי הנתון, האגף השמאלי הוא סדרה הנדסית אינסופית שבה cosx, cos x cos x < בתחום 0< x <π מתקיים ולכן זאת סדרה הנדסית אינסופית יורדת. cosx S cos x cos x cos x cos x cos x או x cos x cos x 4cos cos x x ± π πk 6 או 5 ( 0< x < π x π, x π x ± π πk 6 5

6 ( (. < < <.,,, 4,... תרגיל נסמן ב- את מנת הסדרה הסדרה לפי הנתון,...,, מקיימת: קיבלנו שהמנה היא מספר קבוע, לפיכך הסדרה היא הנדסית. לפי הנתון לכן. S,,,... ולכן זאת סדרה יורדת. סכום של הסדרה הוא מתקיים: נביע את סכום הסדרה באמצעות R ו-. T, היא,, היות שמנת הסדרה הנתונה היא ומנת הסדרה,... ( ( 4 S R T : תרגיל א. נתבונן בהפרש p p p p p p p p קיבלנו כי ההפרש הוא מספר קבוע, לכן הסדרה היא חשבונית. p., d, על פי הנתון וסעיף א' מתקיים: p p p נביע את מספר איברי הסדרה באמצעות : p p d( ( p p p p p p על סמך הנתון סכום הסדרה שווה ל-, 9 לפיכך מתקיים: p p p S ( 9 9 p p p 9 p 5 6

7 { } תרגיל לאחר שמכניסים בין כל שני איברים של הסדרה הנדסית חדשה שלושה איברים נוספים, מתקבלת סדרה. b לפיכך מתקיים: 5, b שבה b 5 b 9 ± S b 4 ( S 8 S8 S ( S 8 S8 { } b עבור עבור נקבל: נקבל: m m.(m < תרגיל 4 בסדרה הנדסית מתקיים: מכאן נקבל: נפתור מערכת משוואות הבאה: , 4 או או , , 4 מתקיים: ± ( > 0 עבור נמצא את : 7

8 4 0, מתקיים: ± ( > : עבור נמצא את..,,...,,,, 4,..., תרגיל 5 נסמן ב- את מנת הסדרה המקורית לפיכך מנת הסדרה נסמן ב- היא S את סכום הסדרה המקורית ונסמן ב- S את סכום הסדרה החדשה. מכאן נקבל: ( S ; S, S m S על סמך הנתון, לכן מתקיים: S m : m m S mm m m ( m m m m. b b b > 0. b b, b b לפיכך, b תרגיל 6 נסמן: b נראה כי b b b b b b b b (b > 0, b > 0 >. b b b קיבלנו כי > 0 b b b ולכן 8

9 P S S P S Q S Q S. P S S לכן מתקיים: תרגיל 7 Q לפי הנתון, S ו- ( d S d( ( d d d ( d d S S d d d d d d S d נמצא את היחס המבוקש: P S d( ( 4 ( P Q S d Q ( תרגיל 8. S א. סכום של סדרה הנדסית אינסופית יורדת הוא לפי הנתון מתקיים: T 4... T T T T... T T... T T : T { } T < T : T נמצא את היחס קיבלנו כי היחס הוא קבוע. נמצא את סכום הסדרה: לפי הנתון לכן היא סדרה הנדסית יורדת. T T T... T... 9

10 תרגיל 9 נסמן ב- את האיבר הראשון ונסמן ב- d את הפרש הסדרה. d m d Sm S Sm S 0 m 0 m d m m d 0 m d m m 0 m d m m m 0 ( m ( m d( m 0 ( m d( m 0 :( m d( m d( m 0 ( m ( m 0 S 0 m תרגיל 0 היות שהסדרה היא סדרה חשבונית, מתקיים: p r p r ( p r( p ( r p ( ( r ( p r( r ( p r( p p ( ( r ( p r( p r p pr r p p pr r pr r p pr r p r p pr r p r כתוצאה מכך, המספרים מהווים סדרה חשבונית. r,, p 0

11 : נתבונן ביחס b b b : b b b..({ b } b, b תרגיל א. לפי הנתון, (כאשר קיבלנו שהיחס הוא מספר קבוע, לכן היא מנת הסדרה היא סדרה הנדסית שמנתה,,..., b b b. S ( b { } b סכום הסדרה הוא: על סמך סעיף א' מתקיים: T b b T b b b b b T b ( S b b b S T T S : T : b b b ( נמצא את היחס

12 } m.{ b מכאן נקבל: { } תרגיל א. נסמן ב- d את הפרש הסדרה ונסמן ב- d את הפרש הסדרה 7 b 7 6d b 6d 6d 6d d d (,{ }.{ b m } את סכום האיברים הראשונים של הסדרה את סכום m האיברים הראשונים של הסדרה לפיכך מתקיים: ( S נסמן ב- נסמן ב- T m 5 S ( 4d ( 7d 5 5 ( T 6 b d 6 6 ( d 6 6 d d ( 7d 5 5 ( d 6 6 :( d.5, d נפתור את מערכת המשוואות ( ו- m נמצא את מספר האיברים בכל סדרה: 5 d b b d m m m 7 נחשב את סכום האיברים בכל סדרה: 5 S S b b7 T T7 55

13 תרגיל נביע את באמצעות d: d d d 6 d d 6 6 d 4d 4 6 d d d 0 ( ±, d, d 8 d d( 6 S 6 6 8d d d( S 7d. S S 6 סכומם של ארבעת האיברים האחרונים הוא: S S 56d 6 d עבור עבור נקבל: מתקיים: d d 6 8 S6 6 4d S6 S 5.5d ( d d( 8 S 6.5d d 8

14 תרגיל 4 לפי הנתון לפיכך מתקיים: d 00 d (, S 00 סכום חמשת האיברים האחרונים הוא 95. נשים לב לכך שבסכום זה האיבר הראשון הוא 4, האיבר האחרון הוא ומספר האיברים הוא 5. מכאן נקבל: d 5 d 78 d 6 78 ( 90 d d 90 d 90 ( :( d 6 78 d( 90 ( משוואה סכום שני האיברים האחרונים שווה ל- 90 : ( ו-.( נפתור את מערכת המשוואות נחסר ממשוואה d d 4 : באמצעות ( נציב את 4 d במשוואה ונביע את ( ונקבל: 5 4 כעת, נציב 4 d ו- במשוואה , נפסול.5, לסיכום: כי מספר טבעי לפיכך האיבר הראשון בסדרה הוא מכאן ש-, הפרשה שווה ל- 4 ומספר האיברים הוא. 4

15 , 8, 4, 6, 48,,..., 4, 48,... ( Ι 8,6,,... ( ΙΙ c, m m c תרגיל 5 נעתיק את הסדרה בצורה הבאה: במקומות האי-זוגיים נמצאים המספרים הבאים: במקומות הזוגיים נמצאים המספרים הבאים: לפי הנתון, הסדרה ( Ι ואיברה הראשון הוא היא סדרה הנדסית כי כאשר היא מנת הסדרה b, m m b. לפי הנתון, הסדרה ΙΙ ( היא סדרה הנדסית כי ואיברה הראשון הוא 8. סכום האיברים הראשונים בסדרה הוא: כאשר היא מנת הסדרה ( S ( S 8 8 S S 8 0 ( Ι ( ΙΙ סכום האיברים הראשונים בסדרה נמצא את הסכום המבוקש: הוא: 5

16 תרגיל ,., ( i ( ii א. א. קל לראות כי הטענה נכונה עבור הראינו את נכונותה עבור..., דהיינו:... נניח כי הטענה נכונה עבור טבעי, כלומר: על סמך הנחת האינדוקציה נוכיח כי הטענה מתקיימת עבור הוכחה: ( ( ( (... ( ( ( ( (.,,,4 לסיכום: בדקנו את נכונות הטענה עבור טבעי, הוכחנו את נכונותה עבור על סמך ההנחה שהטענה נכונה עבור ולכן הטענה נכונה לכל טבעי., 6

17 תרגיל 7 לפי הנתון מתקיים: א d 4( d d ( 5d d 6d 4, d 5 נחשב את :S 5 d 5 5 S S5 5 S d 4d m 0d בסדרה חשבונית מתקיים: 7 6d m 6d d m d 7 6d 6d בסדרה הנדסית מתקיים: b b b b b m b b b b ( ( ( m m 4 0d 6 d 6 d m b b b מכאן נקבל: 0d 80d d 5d d 4d 0d dd 80d 5d4d 0 0 b b b b b m m m 7

18 :, תרגיל 8 נבדוק את נכונות הטענה עבור : : הנחת האינדוקציה: נניח כי הטענה נכונה עבור ( טבעי, דהיינו נניח כי:..., כלומר יש להראות כי:... על סמך הנחת האינדוקציה נוכיח כי הטענה נכונה עבור... d d d d d d( dd,, הראינו כי נכונות הטענה עבור הוכחה: לסיכום: בדקנו את נכונות הטענה עבור ( טבעי גוררת את נכונותה עבור. לכן הטענה נכונה לכל טבעי. 8

19 b 4 5 b b ( b b ( ( b b { } b : bb תרגיל 9 א. לפי הנתון מתקיים: נמצא את המנה לפי הנתון < לכן <. מכאן ש- היא סדרה הנדסית אינסופית יורדת. b. T מנת הסדרה החדשה היא, לכן סכום הסדרה החדשה הוא. S סכום הסדרה המקורית הוא מכאן נקבל: b T 4.S ( ( ( 4. 4.( , 4, לפיכך 0.8. על סמך הנתון < 9

20 . תרגיל 0 א. סדרה הנדסית מקיימת מכאן נקבל: si x cos x cosx si x cos x cosx cos x cos x או או ( cosx cosx cos x cos x.5 π x ± πk ( 0< x < π x π :S,,. מכאן ש-. נמצא את 6 S S6 על סמך סעיף א', מתקיים: (. S.5 S תרגיל לפי הנתון, מכאן נקבל: נמצא את מכפלתם של האיברים הראשונים:... ( ( ( ( 0

21 0 תרגיל נסמן ב- d את הפרש הסדרה. לפי הנתון מתקיים: d d d 0 d d 0 d 0 d d 0 S S 0 S :S 0 נמצא את,b, b, b,... S תרגיל א. האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הם: קל לראות שזאת סדרה הנדסית שבה איבר ראשון הוא ומנת הסדרה היא. b S את סכום של האיברים הראשוניים במקומות האי-זוגיים: נסמן ב- ( b b האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים הם: 4, b, b, b,... קל לראות שזאת סדרה הנדסית שבה איבר ראשון הוא ומנתה. b S את סכום של נסמן ב- סכום נתון: האיברים הראשוניים במקומות הזוגיים: b S b האיברים הראשונים של הסדרה הנתונה הוא: ( b ( b ( ( b S S S S b b b.s b,. יש לחשב את 6 6 ( 6 4( S S 5

22 תרגיל 4 א. b c האיבר העוקב לו הוא:, האיבר הכללי בסדרה הוא: b c : נמצא את היחס b c c b c b. c קיבלנו שהיחס הוא מספר קבוע, לכן זו סדרה הנדסית שהמנה שלה b נמצא את כאשר. b c c c b b b ( c b b b S b S c cb cb b b ( c b S c b 5 והפרשה, לכן. S. b,b,b,... b S ג. כאשר b c הסדרה הנתונה היא: סכום תרגיל 5 האיברים הראשונים בסדרה זו הוא: נסמן ב- את איברה הכללי של הסדרה (. האיבר הראשון בסדרה זו הוא Ι d 5, 4 לכן: m 6 והפרשה ΙΙ. האיבר הראשון בסדרה הוא b 6 4 m b 4m m נסמן ב- b m את איברה הכללי של הסדרה, b האיברים המשותפים מקיימים m מכאן נקבל: 4m m ( 4 m ו- הם מספרים טבעיים, לכן השוויון ( מתקיים עבור - 4 טבעי. זאת אומרת, לכל איבר 4 בסדרה ( Ι יש איבר זהה b בסדרה ΙΙ - ( טבעי ( 4( 4 ( 4 4 ( 4 4 קיבלנו כי בסדרה המורכבת מהאיברים המשותפים, ההפרש הוא מספר קבוע ולפיכך הסדרה היא סדרה חשבונית שהפרשה שווה ל-.

23 .{ b } { } תרגיל 6 א. נסמן ב- d את הפרש הסדרה לפי הנתון, מתקיים: ונסמן ב- d את הפרש הסדרה b 8 d b 7d 7 b0 6d b 9d 4d d d d b d. נראה כי b d b d d b d d b d b b צ"ל: b ( b b b... נוכיח כי האגף השמאלי של השוויון, שווה לאגף הימני: ( b d b b b d b b... b b ( b b...b... ( b b... b

24 תרגיל 7 א. נחשב את הפרש הסדרה: d ( 5 d( 00 d לפיכך מתקיים: ( ( ( ( ( ( ( ( 4 ( 4... ( ( d( d(... d( d( d נפתור מערכת משוואות הבאה: b b b 6 b 6 ( b b b 5b 7b b 5 5b 7b b 5 b 6 b 5b 04 b 6 b b 6 5b 7 6 b 5 5b b 04 6 b 4 5b 04 b 96 0 b 4 0 > b b ± ( או b b b,b 6,b 8 לפיכך נקבל: 4

25 ,, מהווים סדרה תרגיל 8 היא מנת הסדרה ההנדסית מכאן נקבל: נסמן ב-,,, 4 את ארבעת המספרים. על פי הנתון הנדסית ו-,, 4 מהווים סדרה חשבונית. נניח כי ו- d הוא הפרש הסדרה החשבונית. נתון כי ( d 48 d d d 96 ( 48 d( d 48 d 48 ( כמו כן, נתון כי 64. לפיכך מתקיים: 4 ( d 64 d 4 d 64 d d 64 d 4 ( נפתור את מערכת המשוואות ( ו- (: d 48 d 48 d 4 48 d 48 4 d 6 4 נציב את d במשוואה (: ( ,. d 6 46 עבור נקבל: מכאן שהמספרים הם: 64,, 6,4 0 4,, 6,4 60 עבור נקבל: 4 d. מכאן שהמספרים הם: 5

26 תרגיל 9 נסמן ב- את שלושת המספרים ונסמן ב- d את הפרש הסדרה. על-פי הנתון, מתקיים: 64 d d 64 ( d ( d d d 64 5d 4d t d,, ניתן לפתור את המערכת הנ"ל בשיטה הבאה: נסמן ונציב בכל אחת מהמשוואות: ( d t t 64 t d td d 64 t d 5td 4d d ( t 5t 4 ( נחלק משוואה ( במשוואה (: 7 t t 4 t 5t 4 6t t 0 t t 4 t 5t 4 7 t, t d או d במשוואה ( ונקבל: נציב d d d d 64 4d 64 d 6 4 על פי הנתון הסדרה היא סדרה עולה לכן > 0 d ולכן 4 d. מכאן נקבל:, 6, 0 d נציב כעט, במשוואה ונקבל: 4 8 d d d 64 d 64 d 7 d> 0 d ,, 4 קיבלנו כי: 6

27 . b, b m תרגיל 40. לפיכך על פי הנתון: נסמן: b לסדרה חשבונית, לכן מתקיים: כמו כן נתון כי האיברים שייכים b d d( b dd d b d m d( m b dmd m d ( d b d d : m b b d b d b b m d d d d ( b b d b d b b m d d d d ( ( ( ( b d d ו- m : m m m b b b : d m m d d d b m נתבונן בהפרשים נמצא את היחס 7

28 : תרגיל 4 א. נבדוק את נכונות הטענה עבור הנחת האינדוקציה: נניח כי הטענה נכונה עבור ( טבעי, כלומר:..., דהיינו יש להראות כי: על סמך הנחת האינדוקציה נוכיח כי הטענה נכונה עבור... הוכחה: על פי הנחת האינדוקציה נקבל:... ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( d d ( ( ( ( d d d d d d d טבעי. לסיכום: בדקנו את נכונות הטענה עבור טבעי גוררת את נכונותה עבור, הראינו כי נכונות הטענה עבור לכן הטענה נכונה לכל. : 8 7 4( 0 8, d 4, 7 על סמך הנתון לפי סעיף א' נקבל: נחשב את (

29 . z x d, y x z y d תרגיל 4 נסמן ב- d את הפרש הסדרה הנתונה. ניעזר בנוסחה מתקיים: b b b ונקבל: b x y x xy y x y y x x y xy xy d d ( x z( x xz z x z xz x z z x x z d d y z y yz z y z z y y z yz yz d d כל סדרה חשבונית מקיימת: מכאן נקבל: ( x y xy ( y z yz ( x z xz y x z y x y xy y z yz z x z x d d d d מ.ש.ל. תרגיל 4 א. נניח שבסדרה ישנם איברים. המספר הסידורי של האיבר האמצעי הוא:, כלומר הוא האיבר האמצעי. נמצא את סכום הסדרה: d( S ( d ( ( S לפי הנתון, מכאן נקבל: מ.ש.ל. S. S m m S d d( S m m m d( m m d m m dm d m m d m m m d m d 9

30 m : m m נתבונן היחס d d m m m m מ.ש.ל (, (,,, (,,,,, (,...,, ,,,,,... תרגיל 44 א. הסדרה הנתונה מקיימת: האיברים הראשונים בכל קבוצה הם: נתבונן בסדרת החזקות:...,0,,4,9,6. נשים לב לכך שסדרת ההפרשים בין החזקות היא:...,,,5,7 זאת סדרה חשבונית שהפרשה. ניעזר בנוסחה: S כאשר 0 ו- סכום של איברים בסדרה החשבונית: S S 0. מכאן שהאיבר הראשון בקבוצה ה- -ית הוא:. קיבלנו כי.,,5,7,... מספר האיברים בקבוצות יוצר סדרה חשבונית יש איברים. לכן בקבוצה ה- תי- לפי הנתון וסעיף א' הקבוצה ה- -ית היא סדרה הנדסית שבה האיבר. נמצא את סכומם של ומנת הסדרה היא הראשון הוא איברים: b S S ( S 0

31 y A R A A O R R M M B B B M x תרגיל 45 א. נסמן ב- A וב- B את נקודות ההשקה M עם הצירים ה- y וה- x של המעגל OAMB הוא ריבוע. לכן בהתאמה. נסמן ב- A וב- B את. OM R נקודות ההשקה של המעגל M עם הצירים ה- y וה- x בהתאמה.. OAM OAM לפיכך מתקיים: R OM R OM M M R OM R OM R R R R R R ( MM R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R ( ( ( R R R. OA M OA M באופן דומה מכאן נקבל: R OM R OM MM ( MM R R OM R OM R R R R R R R R R R R. OA M OA M באופן דומה לפיכך מתקיים: R OM R OM M M OM R R OM R OM MM R R R R R R R R R R R R. כתוצאה מכך קיבלנו שהסדרה R, R,..., R היא סדרה הנדסית שמנתה: : באמצעות R R נביע את הרדיוס

32 R R R R R 6 4 R. d, בשורה השנייה רשומה תרגיל 46 א. בשורה הראשונה רשומה סדרה חשבונית שבה d, וכך הלאה. ומספר האיברים הוא. סדרה חשבונית שבה שבה בשורה ה- רשומה סדרה חשבונית ( ( : ו- בעזרת d, נביע את סכום האיברים בשורה ( S ( S ( ( ( ( ( ( ( ( 4 ( S S 0 S S 4 ( S ( ( S ( נתבונן בסכום האיברים בכל שורה, ניעזר בתוצאה של סעיף א': כדי למצוא את סכום של כל האיברים בטבלה, נחבר בנפרד את כל המקדמים. ושל לפיכך מתקיים: ( ( S... S (... ( 0... ( ( ( 4 ( לפי הנתון, הסכום של כל המספרים בטבלה שווה ל- 5. נחשב את : , של הוא מספר טבעי לכן