rizufim answers

תמליל

1 ÌÈÙÂˆÈ מדריך למורה פעילות זו היא פעילות חקר לבדיקת כל אפשרויות הריצוף שבהן סידור מצולעים סביב קודקוד הוא זהה. המצולעים שבהם ישתמשו התלמידים הם: משולש שווה צלעות, משושה משוכלל וריבוע - כולם בעלי צלע באותו האורך. במהלך הפעילות יגלו התלמידים כי הסידורים היחידים של המצולעים האלה סביב קודקוד משותף שניתן להמשיך ולרצף ולשמור על אותו סידור הם: הערות מקדימות: 1. ביחידה זו משימות אחדות וחשוב לעשותן לפי הסדר שבו הן מופיעות. כדאי לעשות את רובן, אך אפשר גם להפסיק בכל שלב, לפי הזמן העומד לרשות המורה והתלמידים. 2. במהלך העבודה התלמידים מתבקשים להציג את הריצופים שהכינו. אפשר להציגם בדרכים שונות: גזירה והדבקה, ציור על לוח, הרכבת החלקים על השולחן וכדומה. העובדים במחשב יציגו את עבודתם ביישומון. (ראו סעיף הכנה למשימות) הכנה למשימות: לעובדים במחשב - לעריכת ריצופים השתמשו ביישומון המופיע בכתובת האינטרנט: לעובדים בכיתה - על כל ילד (או זוג ילדים) להצטייד במצולעים משוכללים, שהצלע שלהם באותו האורך: - לפחות 5 משושים שווי צלעות (רצוי באותו הצבע). - לפחות 8 משולשים שווי צלעות (רצוי באותו הצבע). - לפחות 5 ריבועים (רצוי באותו הצבע). 1

2 ÁÈ Ù ÂÏÈÚÙ ÌÈ È ÌÈÙÂˆÈ דוגמה זו אינה מקיימת את הכלל שלפיו סביב כל קודקוד בריצוף יהיה אותו סידור זהה של מצולעים, כי: - סביב הקודקוד המודגש בשחור יש 4 ריבועים. - סביב הקודקוד המודגש בוורוד יש שני 2 ריבועים ו 3 משולשים. גם דוגמה זו אינה מקיימת את הכלל שלפיו סביב כל קודקוד בריצוף יהיה אותו סידור זהה של מצולעים, כי: - סביב הקודקוד המודגש בשחור יש 2 משולשים ו 2 משושים. - סביב הקודקוד המודגש בוורוד יש 6 משולשים. דוגמה זו מקיימת את כל הכללים שנקבעו. דוגמה זו אינה מקיימת את הכלל השלישי, כי: - המלבנים אינם צמודים זה לזה לאורך צלע שלמה. דוגמה זו מקיימת את כל הכללים שנקבעו, כי: סביב הקודקוד הלבן הסידור הוא: סביב הקודקוד הצהוב הסידור הוא: סביב הקודקוד הכחול הסידור הוא: סביב הקודקוד הירוק הסידור הוא: יש לשים לב כי על אף שהסידור סביב כל קודקוד נראה אולי שונה, כל הסידורים הללו נחשבים זהים, כי הם מתקבלים מסיבוב של סידור כלשהו במישור. 2

3 ± ÓÈ Ó ÂÚψ È ÌÈ ÏÂ Ó Âˆ ÂÙˆ Ó מאחר שסכום הזוויות סביב כל קודקוד הוא 360, 0 וכל זווית במשולש שווה צלעות היא של 60, 0 מספר המשולשים סביב כל קודקוד צריך להיות: 6= : 60 סידור המשולשים סביב הקודקוד נראה כך: אפשר ליצור ריצוף ובו סביב כל קודקוד מופיע סידור זהה של משולשים. למשל: ÓÈ Ó ÌÈÚÂ È Âˆ ÂÙˆ Ó ÛÂˆÈ מאחר שסכום הזוויות סביב כל קודקוד הוא 360, 0 ובריבוע - כל זווית פנימית היא של 90, 0 מספר הריבועים סביב הקודקוד הוא: = : 90 הריבועים סביב הקודקוד נראים כך: אפשר ליצור ריצוף שבו סביב כל קודקוד מופיע סידור זהה של ריבועים. למשל: 3

4 ÓÈ Ó ÌÈÚÂ È Â ÂÚψ È ÌÈ ÏÂ Ó Ï Â Âˆ ÂÙˆ Ó 1. ריצוף בדוגמת "בתים". דוגמת "בתים" היא דוגמה של ריצוף תקין. - סביב הקודקוד המסומן יש 3 משולשים שווי צלעות ושני ריבועים, לכן סכום הזוויות סביב הקודקוד הוא: = סידור זה מופיע סביב כל קודקוד בריצוף של יובל. לעתים הסידור מסובב, כמו זה סביב הקודקוד האדום: אולם הוא נחשב לאותו הסידור כמו סביב הקודקוד השחור. 2. ריצוף דוגמה אחרת. התשובה היא: כן. אפשר לסדר 3 משולשים שווי צלעות ו 2 ריבועים סביב קודקוד משותף בסידור אחר. לדוגמה, הסידור הזה: אפשר להכין ריצוף תקין חדש באמצעות הסידור הזה: הריצוף המתקבל: 4

5 מסקנה: יש שתי אפשרויות בלבד לסדר 3 משולשים שווי צלעות ו 2 ריבועים סביב קודקוד משותף. שני הסידורים היחידים האפשריים הם: באמצעות כל אחד מהסידורים האלה סביב קודקוד אחד ניתן להכין ריצוף תקין. הריצופים המתקבלים הם: 5

6 ÓÈ Ó ÂÚψ È ÌÈ Ï ÓÓ ÌÈÚÂ È Ó ÌÈÙÂˆÈ ÂÚ אי אפשר לסדר סביב קודקוד משותף מספר אחר של משולשים שווי צלעות וריבועים. הנימוק: בכל מצב אחר סביב קודקוד צריך להופיע לפחות משולש אחד ולפחות ריבוע אחד. בטבלה שלפניכם נציג כל אחת מהאפשרויות שבהן ישנם כמה משולשים סביב הקודקוד, ונבדוק אם הריבועים והמשולשים יכולים להשלים ביחד זווית של סביב קודקוד משותף. סך כל המשולשים סביב קודקוד בדיקה: האם אפשר להשלים את הזווית הנותרת סביב הקודקוד בעזרת ריבועים? = : 90 0 =3(30 0 ) = : 90 0 =2(60 0 ) אפשר/ אי אפשר אי אפשר, כי: שלושת הריבועים אינם משלימים זווית של סביב הקודקוד. נשארת זווית לא מכוסה של 30 0 אי אפשר, כי: שני הריבועים אינם משלימים זווית של סביב הקודקוד. נשארת זווית לא מכוסה של 1 2 אפשר, כי: שני ריבועים משלימים זווית של סביב הקודקוד. לא נשארת זווית לא מכוסה = : 90 0 = 2 6

7 אי אפשר, כי: ריבוע אחד אינו משלים זווית של סביב הקודקוד. נשארת זווית לא מכוסה של = :90 0 =1(30 0 ) 4 לפי הבדיקות מתברר, כי אי אפשר לסדר סביב קודקוד משותף מספר אחר של משולשים וריבועים מזה שהציע יובל. האפשרות היחידה היא שסביב קודקוד משותף יהיו 3 משולשים ושני ריבועים - המשלימים לזווית של סביב הקודקוד. 7

8 µ ÓÈ Ó ÌÈÏÏÎÂ Ó ÌÈ Â Ó ÂÚψ È ÌÈ ÏÂ Ó Ï Â Âˆ ÂÙˆ Ó ÛÂˆÈ הפתרון מבוסס על 3 שלבים: בשלב א נבדוק כמה משושים וכמה משולשים צריכים להיות סביב קודקוד כדי שישלימו לזווית של בשלב ב נבדוק סידורים פנימיים שונים של המשולשים והמשושים שמצאנו בשלב א. בשלב ג נבדוק אם כל אחד מהסידורים שמצאנו יכול ליצור ריצוף תקין שבו הסידור של המשולשים והמשושים יהיה זהה סביב כל קודקוד. שלב א נבדוק את כל האפשרויות הכוללות גם משולשים וגם משושים. סך כל המשולשים סביב קודקוד בדיקה: האם אפשר להשלים את הזווית הנותרת סביב הקודקוד בעזרת משושים? = : =2(60 0 ) אפשר/ אי אפשר אי אפשר, כי: שני משושים אינם משלימים לזווית של סביב הקודקוד. נשארת זווית לא מכוסה של אפשר, כי: שני המשושים משלימים לזווית של סביב הקודקוד. לא נשארת זווית לא מכוסה. אי אפשר, כי: משושה אחד אינו משלים לזווית של סביב הקודקוד. נשארת זווית לא מכוסה של = : = = : =1(60 0 ) 2 3 8

9 אפשר, כי: משושה אחד משלים לזווית של סביב הקודקוד. לא נשארת זווית לא מכוסה = :120 0 =1 4 לפי החישובים האלה מתברר שיש שתי אפשרויות שונות למספר המשולשים והמשושים שאפשר לסדר סביב קודקוד: 1. סביב הקודקוד יש שני משולשים ושני משושים. 2. סביב הקודקוד יש 4 משולשים ומשושה. שלב ב נבדוק כמה סידורים פנימיים שונים ייתכנו לכל אפשרות שהתקבלה בסעיף א. מבדיקת האפשרויות מתברר שיש שני סידורים אפשריים: גם לגבי סעיף ב נשאלת השאלה: כמה צירופים שונים של שני משולשים ושני משושים ייתכנו סביב הקודקוד? מבדיקת האפשרויות מתברר שיש רק סידור אפשרי אחד של משושה ו 4 משולשים סביב הקודקוד. הסידור הוא: 9

10 שלב ג ננסה לבדוק אם אפשר ליצור ריצוף באופן שבו סביב כל קודקוד יישמר הסידור הזה: בגלל סימטריות הצורה אפשר לראות שבכל כיוון אפשר להניח את הצורה כך שסביב כל קודקוד יתקבל אותו סידור של משולשים ומשושים. הריצוף התקין המתקבל על ידי סידור זה של שני משולשים ושני משושים סביב הקודקוד הוא: אם ננסה לרצף את המשטח על ידי שני משולשים ושני משושים כך שסביב כל קודקוד יישמר הסידור הזה, נגלה שהדבר לא אפשרי. אפשר לנמק מדוע אי אפשר לבצע ריצוף שנשמר בו סידור כזה סביב כל קודקוד. הנימוק: ישנן שתי אפשרויות בלבד להמשיך את הריצוף סביב הקודקוד הירוק: אפשרות א - להמשיך את הריצוף סביב הקודקוד כך: בניסיון זה נשמר הסידור סביב הקודקוד הירוק, אך סביב הקודקוד האדום מתקבל סידור הכולל 3 משולשים; כלומר בדרך זו לא נשמר הסידור שרצינו לשמור כשהמשכנו את הריצוף בדרך זו. 10

11 אפשרות ב - להמשיך את הריצוף סביב הקודקוד הירוק כך: בניסיון זה לא נשמר הסידור סביב הקודקוד הירוק. קיבלנו סידור שבו סביב הקודקוד הירוק לשני המשולשים אין צלע משותפת כמו בסידור הנדרש. מאחר שאין אפשרות נוספת להמשיך את הריצוף, הראינו שאין ריצוף תקין שיש בו סידור כזה של שני משושים ושני משולשים סביב קודקוד. הערה: קיים ריצוף לא תקין כאשר בחלק מהקודקודים מופיע סידור זה של משולשים ומשושים, ובחלק מהקודקודים הסידור הזה: הריצוף הוא: מסקנה: מהסידור הזה של 5 משולשים ומשושה אחד: הנה ריצוף כזה: אפשר ליצור ריצוף תקין. 11

12 ÓÈ Ó ÌÈÏÏÎÂ Ó ÌÈ Â Ó ÌÈÚÂ È Ï Â Âˆ ÂÙˆ Ó נבדוק בעזרת הטבלה: אפשר/ אי אפשר אי אפשר, כי: שני משושים אינם משלימים ל זווית של סביב הקודקוד. נשארת זווית של 30 0 לא מכוסה. אי אפשר, כי: משושה אחד לא משלים לזווית של זווית של סביב הקודקוד. נשארת זווית של סך כל הריבועים סביב קודקוד בדיקה: האם אפשר להשלים את הזווית הנותרת סביב הקודקוד בעזרת משושים? = : =2(30 0 ) = : =1(60 0 ) 1 2 מהטבלה עולה כי אין אפשרות לסדר ריבועים ומשושים סביב קודקוד כך שהם ישלימו לזווית של מסקנה: אין אפשרות לרצף באמצעות משושים וריבועים בלבד. 12

13 ÓÈ Ó ÌÈÏÏÎÂ Ó ÌÈ Â Ó ÌÈÚÂ È ÂÚψ È ÌÈ ÏÂ Ó Ï Â Âˆ ÂÙˆ Ó שלב א במשימה זו סביב כל קודקוד יופיעו ריבוע, משולש ומשושה. סכום הזוויות המתקבל משלוש צורות אלה סביב הקודקוד הוא: = לפיכך, בריצוף כזה, האפשרות היחידה שתיתכן היא שסביב כל קודקוד יהיה משושה אחד, משולש אחד ושני ריבועים: שלב ב נשאלת השאלה: כמה סידורים שונים של משושה אחד, משולש אחד ושני ריבועים ייתכנו סביב קודקוד? מצאנו סידור אחד: אך מבדיקת הסידורים השונים עולה כי גם הסידור הזה: אפשרי. שלב ג מסידור זה: מתקבל הריצוף התקין הזה: 13

14 אך כל ניסיון לריצוף תקין באמצעות משושים, ריבועים ומשולשים עם סידור כזה: סביב כל קודקוד - לא יצליח. הנימוק: ישנה אפשרות אחת בלבד להמשיך את הריצוף סביב הקודקוד הורוד כך שהסידור הקודם יישמר גם סביב קודקוד זה. המשך הריצוף הוא (מימין לשמאל): התבוננו בסידור המצולעים באיור השמאלי, סביב הקודקוד הצהוב וסביב הקודקוד הורוד יש סידור שונה של מצולעים (סביב הקודקוד הצהוב אין ריבועים). 14

15 מכאן שאין אפשרות לערוך ריצוף תקין הכולל משולשים שווי צלעות, משושים משוכללים וריבועים כך שסביב כל קודקוד נשמר הסידור הזה: הריצוף הזה הוא לא תקין (כי רק בחלק מן הקודקודים מתקיים הסידור הנ"ל). 15