(Microsoft Word - \371\362\370 \354\356\345\370\344.doc)

תמליל

1 .Á... מתמטיקה לבית-הספר היסודי שברים פשוטים משמעויות השבר הפשוט הצגות שונות לשבר השוואה, חיבור וחיסור של שברים ושל מספרים מעורבים מדריך למורה

2 פיתוח שיטת ה.ש.ב.ח.ה: ראש צוות הפיתוח והכתיבה: ייעוץ מדעי: ייעוץ פדגוגי: כתיבת פרקי החוברת: כתיבת מגוון פעילויות לחוברת: צוות הפיתוח והכתיבה: עריכת לשון ומגדר: הבאה לדפוס: עיצוב גרפי: עיצוב שער: פרופ' זמירה מברך פרופ' ברכה קרמרסקי ד"ר אילנה דרוקר ד"ר זיוה דויטש ד"ר אילנה דרוקר מלי שמר רותי ברדוגו ויקי שוחמי אירית קורבליט כרמית בר-און אתי שוחמי מלי שמר רותי ברדוגו אורה הר-אל מיקי אונגר אירית קורבליט מרים בן-דור מרים בן-דור רחל לורנץ אתי אפל ברק פיטוסי השתתפו בפיתוח, בכתיבה ובייעוץ לגרסאות קודמות: סימה ברונשטיין, ויקי שוחמי, נורית רווה, איטה נפתליס, אורלי ששון מזרחי, גילה ארז, תמר דרור, ד"ר מיכאל קורן, פרופ' עמוס ארליך, שמעון פרידקין, דליה שני, מרווה רוט תשע"א, 0 כל הזכויות שמורות למכון לקידום ההוראה, הלמידה והאינטגרציה החברתית, אוניברסיטת בר-אילן. דוא"ל: hashbacha.biu@gmail.com אתר: צוות מתמטיקה: טל': 0-9 שיווק והפצה: בונוס יבנה מוציאים לאור, הירדן ת, "ד א, "ת צפוני, יבנה טל' רב קווי: פקס': 0-90 דוא"ל: bonusbooks@bezeqint.net אתר:

3 עניינים תוכן ניהול הלמידה מבוא שברים פשוטים פרק א פרק ב פרק ג פרק ד משמעויות השבר הפשוט נושא נושא השבר כחלק משלם... ייצוג שברים על ישר המספרים 9... נושא השלמה ל-... נושא נושא מבדק השבר כחלק מכמות... השבר כמנת חילוק הצגות שונות של השבר נושא שברים גדולים מ-... נושא 7 נושא נושא 9 ממספר מעורב לשבר... 7 הרחבת שברים... 7 צמצום שברים 7... נושא 0 מבדק הרחבה וצמצום של שברים השוואה, חיבור וחיסור של שברים ושל מספרים מעורבים נושא נושא נושא נושא השוואת שברים באמצעות מכנה משותף (א) חיבור וחיסור שברים (א)... 0 חיבור וחיסור של מספרים מעורבים (א)... השוואת שברים באמצעות מכנה משותף (ב)... חיבור וחיסור של שברים (ב)... חיבור וחיסור של מספרים מעורבים (ב)... 9 נושא נושא נושא 7 חיסור עם המרה (א)... נושא חיסור עם המרה (ב)... מבדק... מגוון פעילויות...

4 הציוד הנדרש בספר: פרקים א-ג מעטפה ובה "שברים בעיגולים" מערכת האביזרים. מעטפה ובה "רצועות השברים" מערכת האביזרים. פרקים ב-ג מעטפה ובה "רצועות השברים" מדף השקף מערכת האביזרים. פרק ג מעטפה ובה "שברים בריבועים" מדף השקף מערכת האביזרים.

5 ניהול הלמידה ספר הלימוד מסדרת...Á. נכתב ברוח העקרונות המודגשים בתוכנית הלימודים במתמטיקה לכיתות א-ו. על-פי תכנית זו, התלמידים אמורים לרכוש מושגים ומבנים בחשבון ובגאומטריה, ולפתח מיומנויות וכישורים בנושאים הנלמדים: מספרים ופעולות, חקר נתונים, גאומטריה ומדידות. מבנה התכנית מדגיש הוראה לחשיבה מתמטית והבנה, פיתוח תובנה מספרית ותובנה גאומטרית, בניית קשרים בין הידע האינטואיטיבי לידע הפורמאלי לצד שליטה במיומנויות מתמטיות הדורשות תרגול ושינון. חשיבה מתמטית מהי? חשיבה מתמטית כוללת שלושה ממדים: תכנים, תהליכים והקשרים. התכנים מתייחסים לנושאים השונים הנלמדים בשכבת הגיל הרלוונטית. התהליכים מתחילים בסדר חשיבה נמוך: ידע וזיהוי של מושג, עובדה או תכונה ברמה בסיסית וחשיבה אלגוריתמית הכוללת חישובים ופעולות אחרות בעזרת אלגוריתמים מוכרים ושגרתיים. התהליכים ממשיכים בסדר חשיבה גבוה: הכוללים קישור בין מושגים, יישום מודל מתמטי למצבים מוכרים, חקר והנמקה. ההקשרים נעשים במצבים מחיי היום-יום. פיתוח חשיבה מתמטית פיתוח חשיבה מתמטית כולל היבטים אלה: השוואות בין תרגילים, אומדן ופתרון תרגילים המטפחים חשיבה אינטואיטיבית, מציאת אפשרויות שונות לפתרון, חשיבה הפוכה, חיפוש חוקיות, קישור בין תרגילים ומשימות, טיפול בשגיאות (משימות שונות שהתלמידים מתמודדים בהן עם שגיאות צפויות), התייחסות לקונפליקטים וכדומה. פיתוח חשיבה מתמטית באה לידי ביטוי בספר הלימוד מסדרת לכיתה ה כך: שאילת שאלות המעודדות חשיבה על המשימה, כגון: הבנה:? ÈÚ Ó כיצד התלמיד מבין את הבעיה? מטרת שאלה זו היא לסייע לתלמיד להתמקד בתהליך המתואר בבעיה ולסיע בהבנתה על ידי כך שיספר בלשונו את הסיפור המוצג בה ואת משפט השאלה..? Â ÓÂ ÓÂ Ó כיצד התלמיד מקשר בין רעיונות או סעיפים שונים במשימה נתונה. אסטרטגיות: מהן ÌÈÎ או מהם ÌÈÏÏÎ שכדאי להשתמש בהם כדי לפתור את המשימה? מדוע?

6 ניהול הלמידה שאלות קונפליקט שאלות קונפליקט הן שאלות הדורשות מהתלמיד לבחון ולהשוות טענות אחדות, לזהות את התשובה השגויה, לבחור בתשובה הנכונה ולנמק את הבחירה. דוגמה: דור ושירי שיחקו במשחק "מספרים עשרוניים בקלפים". כל ילד בתורו מרים קלף. הילד שעל הקלף שלו רשום מספר גדול יותר זוכה בנקודה. שירי הרימה קלף שעליו רשום המספר 0.09, דור הרים קלף שעליו המספר 0.. כל אחד מהילדים טען שהמספר על הקלף שלו גדול יותר. מי משני הילדים צודק? בהסבר יש להתייחס לשתי הטענות, הן לטענה הנכונה והן לטענה השגויה, ולקשר ביניהן. הסברים ונימוקים הסבר הוא חלק מתהליך המתאר את אופן הפתרון. בהסבר מתארים כיצד תהליכים, מבנים והליכים פועלים. הסבר סיבתי (הנמקה) מספק סיבות להתרחשויות, הוא מבוסס על מושגים ועל פעולות מתמטיות ומכיל, במידת הצורך, מסקנה. ההוכחה לכך שתלמידים הבינו מושג היא היכולת שלהם להסביר אותו במילים שלהם, לנמק ולהצדיק תכונות הקשורות למושג, להביא דוגמאות למושג, להשתמש בו במצבים ובהקשרים חדשים, להכליל וכדומה. ההמללה הן בעל-פה והן בכתב מחייבת שימוש בשפת המושגים המתמטיים, דיוק ובהירות ומסייעת להבנת החומר על-ידי התלמיד... הספר לכיתה ה מחולק ל- חוברות בנושאים אלה: מבנה הספר לכיתה ה שברים פשוטים פעולות במספרים טבעיים וחקר נתונים שברים עשרוניים גאומטריה כל חוברת מחולקת לפרקים וכל פרק מחולק לנושאים. כל חוברת מלווה במדריך למורה. סדר ההוראה המומלץ מספר ישנן אפשרויות לסדר ההוראה. בכל האפשרויות ללמד יש גאומטריה שבוע כל שנת כל במהלך הלימודים.

7 ניהול הלמידה אפשרות א להתחיל את השנה בלימוד החוברת שברים פשוטים כהמשך ללמידה של הנושא שברים פשוטים בכיתה ד. להמשיך בפעולות במספרים טבעיים וחקר נתונים ולסיים בסגירת מעגל בשברים עשרוניים שהם צורת ייצוג נוספת לשברים פשוטים ואופן כתיבת השבר העשרוני הוא המשך שיטת המבנה העשרוני של המספרים הטבעיים. אפשרות ב להתחיל את השנה בלימוד החוברת פעולות במספרים טבעיים וחקר נתונים המהווה חזרה והעמקה על האלגוריתמים של החיבור, החיסור והכפל במספרים טבעיים גדולים, כללי סדר הפעולות והשימוש בסוגריים. להמשיך בשברים פשוטים ולסיים בשברים עשרוניים כמו באפשרות א. אפשרות ג להתחיל את השנה במקביל עם החוברות שברים פשוטים ופעולות במספרים טבעיים וחקר נתונים ולסיים בשברים עשרוניים כמו באפשרות א. תהליך הוראת נושא המורה מובילה ומכוונת את תהליך הלמידה בכיתה. עליה להפעיל שיקול דעת ולהתאים את סגנון הלמידה ואת בחירת המשימות לרמה ולשונות של תלמידי כיתתה. פתיחת הנושא ייחודית לכל מורה. כל מורה על פי שיקול דעתה ובהתאם לכיתתה תבחר כיצד לפתוח את הנושא. במדריך למורה בכל נושא מופיעות הצעות לפעילויות תחת הכותרת "פעילויות לפתיחת הנושא". המורה תבחר ממגוון ההצעות פעילות אחת או יותר, על-פי שיקול דעתה. בחלק גדול מהפעילויות התלמידים כותבים את תשובותיהם על הלוח המחיק, הנמצא בערכה לתלמיד. בדרך זו יש הזדמנות לכל תלמידי הכיתה להיות פעילים, שכן על כל שאלה שמוצגת התלמידים פועלים, חושבים ועונים. הקניה נערכת במליאת הכיתה בדרך כלל אחרי התנסות אישית של התלמיד. בכל נושא יש משימה או משימות הקניה של מושג, תכונה או רעיון המזמנות דיון של מורה ותלמידים. לפני הוראת המושג או הרעיון החדש ניתנת לכל תלמיד האפשרות להתנסות תחילה בפתרון בדרך אינטואיטיבית אישית לפיתוח הגמישות המחשבתית ולחיזוק הביטחון העצמי. לאחר מכן מוצגת דרך פתרון אחת לפחות. בהמשך, בתרגול החוזר ניתנת לכל תלמיד אפשרות לפתור בדרך הנוחה לו. משימות לביסוס וליישום החומר שנלמד ולהעמקה בו מופיעות לאחר ההקניה. המשימות מדורגות מהמוחשי לסמלי ולמופשט, ויש בהן הכוונה לשימוש באמצעי המחשה ובציורים סמליים. המורה לפי שיקול דעתה יכולה לקיים דיון גם במשימות אלו. בין המשימות יש משימות שבהן יש מספר אפשרויות לפתרון, משימות שבהן על התלמידים לגלות חוקיות ולהסיק מסקנות תוך מתן הסברים ונימוקים מתמטיים, משימות שבהן יש הכוונה לדיון בזוגות או בקבוצות כדי לפתח שיח מתמטי ולעודד שימוש בשפה מתמטית, משימות שבהן יש השוואה בין תרגילים, משימות המפתחות תובנה מספרית, משימות שבהן יש שאלות קונפליקט, משימות שבהן בעיות מילוליות, משימות שבהן יש לחבר סיפור חשבוני לתרגיל נתון, משימות שבהן ישנה חשיבה 7

8 ניהול הלמידה הפוכה הבאה לביטוי, למשל, בפתרון משוואות, משימות הממחישות שימוש בכללים מתמטיים, משימות המכוונות למציאת כללים וחוקים מתמטיים ועוד. משימות נוספות המיועדות לתרגול, לביסוס ולהרחבה של המושגים שנלמדו בנושא. המשימות מופיעות בסיום כל נושא והן מיועדות לעבודת בית. בחירת המשימות נתונה לשיקול דעת המורה. המורה, על-פי שיקול דעתה, יכולה להתייחס לאחת ממשימות אלו כפתיח להוראת הנושא הבא, כחזרה לפני תחילת הוראת נושא חדש או כדיון במליאה על משימה שיש בה קושי או מורכבות מיוחדים. מגוון פעילויות במהלך השוטף של ההוראה יש לשלב במשימות הניתנות לתלמידים, גם משימות בנושאים שאינם נלמדים באותה תקופה ונלמדו בעבר, ובמיוחד כאלו שנלמדו בכיתות קודמות. זאת, כדי לרענן את הזיכרון בנושאים שנלמדו בעבר ולשמר את הידע הקודם. בכל אחת מהחוברות לתלמיד (פרט לגאומטריה) מובא פרק נפרד ובו מגוון פעילויות המתמקדות בנושאים שונים. פירוט הנושא או הנושאים שבהם עוסקת כל משימה מופיעים במדריך למורה. חשוב לזמן לתלמידים לפתור את המשימות ללא ידיעה מראש באיזה נושא או נושאים עוסקת המשימה. זאת, כדי שהתלמיד יחליט בעצמו באילו "כלים מתמטיים" עליו להשתמש. מבדקים בסיום כל פרק ניתן לתלמידים מבדק שמטרתו לבדוק את מידת השליטה של התלמידים בחומר הנלמד באותו הפרק. המבדקים נמצאים במדריך למורה. לכל מבדק מצורף תיאור מבנה המבדק על-פי המשימות ועל-פי נושאי ההוראה. ציוד בתחילת כל חוברת מצוין הציוד הנדרש ללימוד בה. כאשר נדרש להביא מהבית ציוד לנושא מסוים, הדבר מצוין בסוף הנושא שלפניו בליווי ההוראה "לקראת הנושא הבא". הציוד מוזכר שוב בתחילת הנושא לצורך היערכות לקראתו. במשימה שבה מופיעה ההערה "אפשר להיעזר באמצעי המחשה", כל תלמיד יכול לבחור את אמצעי ההמחשה כרצונו, אם הוא חש שהוא זקוק להמחשה.

9 ניהול הלמידה מושגים בחלק מהנושאים מופיעה בספר לתלמיד ובמדריך למורה רשימת מושגים חדשים הנלמדים בנושא, שאליהם יש להתייחס בהוראה ובלמידה להרחבת השפה המתמטית. במהלך ההוראה חשוב להסביר לתלמידים את המושגים ולעודד אותם להשתמש בהם בשיח המתמטי המתקיים בעת הדיון בשיעור, בהסברים ובנימוקים הניתנים על ידם. רשימת נושאי הלימוד לכיתה ה על-פי תכנית הלימודים של משרד החינוך, 00 ( ש') (7 ש') (0 ש') ( ש') ) 9 ש (' שברים פשוטים ושברים עשרוניים משמעויות השבר הפשוט (כולל שברים גדולים מ- ומספרים מעורבים). צמצום והרחבה. חיבור וחיסור שברים, השוואת שברים. שאלות חיבור וחיסור שברים. משמעות השבר העשרוני. חיבור וחיסור שברים עשרוניים והשוואתם. מעבר משבר פשוט לשבר עשרוני (במקרים שהשבר העשרוני המתקבל הוא סופי) 7. פעילויות נוספות. פעולות חשבון במספרים טבעיים חיבור, חיסור וכפל חזרה, הרחבה והעמקה. חילוק במספר דו-ספרתי. אומדן תוצאות של פעולות, אומדן כמויות, פיתוח תחושה למספרים גדולים. שאלות כוללות (אינטגרטיביות). פעילויות נוספות.. חקר נתונים, ממוצע מצולעים חזרה על המושגים: אלכסונים, מקביל ת, מאונכ ת, זוויות, מדידה ואומדן של זוויות. מרובעים: ניתוח תכונות, מיון מרובעים, קשרי הכלה. ריצוף במצולעים משוכללים חופפים. גבהים. מדידות שטחים א. ב. ג. ד. ה. את מסמך תכנית הלימודים המפורטת אפשר למצוא בכתובת הזו: 9

10 שברים פשוטים Â Ó קבוצת המספרים הרציונליים קבוצת המספרים הטבעיים כוללת את המספרים {...,,}., כאשר מבצעים פעולות בין מספרים בקבוצה זו מוצאים כי בחיבור ובכפל של כל שני מספרים טבעיים התוצאה היא מספר טבעי. מחסרים שני מספרים טבעיים, לא מקבלים תמיד מספר טבעי. למשל, לתרגיל מספר טבעי. טבעיים לכן, הוגדרה קבוצת מספרים חדשה, תהיה כלולה בקבוצה. רחבה יותר, הקבוצה המורחבת הכוללת כך שתוצאת החיסור לעומת זאת, כאשר את המספרים הטבעיים, אין פתרון שהוא עבור שני מספרים את האפס ואת המספרים הנגדיים לטבעיים,-},- {...- נקראת קבוצת המספרים השלמים...} -, -, -, 0,,,, x,...}. בקבוצת המספרים השלמים יש תשובה לשאלה: "מהו המספר שאם נכפול אותו ב- נקבל :."? לעומת זאת, לשאלה: "מהו המספר שאם נכפול אותו ב-, נקבל :?" אין תשובה בתחום x המספרים השלמים. מכאן עולה הצורך להגדיר קבוצה חדשה, רחבה יותר, קבוצת המספרים הרציונליים. קבוצה זו כוללת את המספרים שאפשר לרשום כמנה של שני מספרים שלמים (פרט למקרה אחד, אין לחלק באפס). מספר רציונלי מוגדר כמספר שאפשר לרשום אותו בצורה זו: a, כאשר a ו- b הם מספרים שלמים b ו- b 0. קבוצת המספרים הרציונלים כוללת בתוכה גם את המספרים השלמים, שכן כל מספר שלם a אפשר לרשום כ- a. לדוגמה, את המספר השלם אפשר לרשום כ- דוגמאות למספרים רציונליים: כ, - 7., 9,, 0 9,, 0, וכו'. בכיתה ד וגם בכיתה ה התלמידים פוגשים את השברים (שהם מספרים רציונליים) שאינם שליליים. מתכנית הלימודים: השבר הפשוט מתוך תכנית הלימודים במתתמטיקה, משרד החינוך, התרבות והספורט לכיתות א-ו בכל המגזרים תזכור של תכנית הלימודים: בכיתה א התלמידים מכירים את החצי במשמעות של חלוקת שלם ל- חלקים שווים, אך בלי להכיר את הסימון הפורמלי. בכיתה ב מרחיבים את הידע והמושג חצי נלמד גם כחלק של כמות. בנוסף התלמידים מכירים את המושג רבע. הם לומדים את היחסים בין החצי, הרבע והאחד. אין הכרח עדיין להשתמש בסמלים. 0

11 שברים Â Ó. בכיתה ג ממשיכים בהרחבת הידע והכרת שברים נוספים- שברים יסודיים שהמונה שלהם ההתמקדות היא במהות השבר כחלק של יחידה מתקבל כאשר מחלקים את השלם לשלושה חלקים שווים, בסדר בין שברים ובהשוואת שברים גדול מ-, ביחסים בין השברים- בחצי יש שני רבעים, בשבר כביטוי חלק של כמות של הוא 7. בכיתה ד התלמידים מכירים מגוון רחב של שברים ופוגשים במשמעות השבר כחלק משלם ובמשמעות השבר כחלק מכמות. הם מרחיבים את הידע לגבי סדר בין שברים והשוואת שברים בדרכים אינטואיטיביות, מכירים שמות שונים לשבר, ולומדים לחבר ולחסר שברים שבהם מכנה אחד הוא כפולה של המכנה האחר. הם גם מחברים ומחסרים מספרים מעורבים שבהם המכנים בחלקים השבריים אחד הוא כפולה של האחר. בביצוע פעולות החיבור והחיסור הם מסתמכים על המחשות ועל הכרת שמות שונים לשבר. בנוסף הם לומדים לכפול שלם בשבר. עם כל הידע הזה הם מגיעים לכיתה ה. בכיתה ה ממשיכים לעסוק בנושאים שנלמדו, מעמיקים במשמעויות של השבר כחלק משלם וכחלק מכמות ומכירים משמעות נוספת של השבר השבר כמנת חילוק. העיסוק במשמעויות אלו כולל שברים גדולים מ-, מספרים מעורבים ופתרון בעיות מילוליות בחיבור וחיסור. כמו כן, הם מכירים דרך לייצוג השבר באמצעות נקודה על ישר המספרים. התלמידים מכירים את פעולות הצמצום וההרחבה שבאמצעותן הם מוצאים מכנה משותף לשני מכנים שאחד מהם הוא כפולה של האחר וגם למכנים שאחד מהם אינו כפולה של האחר. עתה הם יכולים להשוות בין שברים באמצעות מכנה מעורבים. בכיתה ו משותף ולא רק בדרכים אינטואיטיביות ולחבר ולחסר שברים ומספרים מעמיקים במשמעות השבר כמנת חילוק וכחלק של כמות ובייצוג שברים על ישר המספרים, עוסקים בפעולות של כפל שלם בשבר פשוט ובמספר מעורב, כפל שבר בשבר כולל מספרים מעורבים, חילוק שברים פשוטים וחלוקת כמות לפי יחס נתון. מבנה הספר שברים פשוטים לכיתה ה חומר הלימוד בספר שברים פשוטים תואם למטרות, לתכנים ולסדר הנושאים כפי שהם הלימודים של משרד החינוך. בספר שלושה פרקים: הפרק הראשון עוסק בחזרה והעמקה במשמעויות השבר הפשוט. הפרק השני עוסק בהצגות שונות של השבר. הפרק השלישי עוסק בהשוואה, בחיבור וחיסור של שברים ומספרים מעורבים. מופיעים בתכנית

12 שברים Â Ó מטרות התלמידים יבינו שלשבר יש משמעויות שונות: חלק משלם, חלק מכמות ומנת חילוק, יזהו ויסמנו שברים כחלק משלם וכחלק מכמות במודלים שונים, ויכתבו תרגיל חילוק כשבר ושבר כתרגיל חילוק. התלמידים יכירו אסטרטגיות השוואה שונות בין שברים ויישמו אותן בהשוואה בין שברים כדי לדעת איזה מהם גדול יותר. התלמידים יבינו כי באיור שבו מספר החלקים המסומנים קטן מסך כל החלקים שלהם חולק השלם מוצג שבר קטן מ-, כאשר מספר החלקים המסומנים שווה למספר החלקים להם חולק השלם מוצג שבר השווה ל-, וכאשר מספר החלקים המסומנים הוא גדול ממספר החלקים בשלם אחד מוצג שבר גדול מ- וימיינו שברים נתונים לשלוש קבוצות אלו. בהמשך למטרה הקודמת, התלמידים יציגו שבר גדול מ- כמספר מעורב או כמספר שלם ויציגו מספר מעורב כשבר גדול מ-. התלמידים יבינו שכאשר כופלים או מחלקים מונה ומכנה של שבר באותו מספר שלם גדול מ-, ערכו של השבר אינו משתנה ומתקבל שם שונה לשבר ויימצאו שמות שונים לשברים נתונים באמצעות הרחבה ואם אפשר באמצעות צמצום. התלמידים יקשרו בין פעולות ההרחבה והצמצום ובין מציאת מכנה משותף וישוו בין שברים באמצעות מכנה משותף. התלמידים יבינו כי כל אחת מהכפולות המשותפות של המספרים שבמכנים יכולה להיות מכנה משותף למספרים אלו, ויבחרו מכנה משותף למכנים שאחד הוא כפולה של האחר ולמכנים שאחד אינו כפולה של האחר. התלמידים יבינו כי חיבור וחיסור של שברים בעלי מכנים שווים הם הבסיס לחיבור וחיסור שברים, הם ימצאו מכנים שווים לשברים שהמכנים שלהם אינם שווים, ויחברו ויחסרו שברים שאחד המכנים שלהם הוא כפולה של האחר ושברים שאחד המכנים שלהם אינו כפולה של האחר. התלמידים יישמו את הידע שלהם בחיבור וחיסור של מספרים מעורבים ובחיבור וחיסור של שברים בעלי מכנים שונים, ויפתרו תרגילי חיבור וחיסור של מספרים מעורבים שבהם בחלק השברי מכנים שאחד מהם הוא כפולה של האחר ומכנים שאחד מהם אינו כפולה של האחר. התלמידים יבינו שבחיסור שבר או מספר מעורב ממספר שלם יש להמיר מהמספר השלם ולהציגו כשבר שבו המונה שווה למכנה, ויחסרו עם המרה שבר מ-, שבר או מספר מעורב ממספר שלם גדול מ-. התלמידים יבינו את ההמרה שיש לבצע בחיסור שבר או מספר מעורב ממספר מעורב, כאשר החלק השברי במחוסר קטן מהחלק השברי במחסר, ויחסרו שברים או מספרים מעורבים ממספרים מעורבים עם המרה

13 שברים Â Ó נקודות להתייחסות בהוראת הנושא המושג שבר מוצג בפרק א במשמעויות שונות: השבר כחלק משלם, השבר כחלק של כמות והשבר כמנת חילוק. הצגת משמעות השבר כחלק משלם מלווה בהמחשה בכמה מודלים: א. מודלים מוחשיים של "שברים בעיגולים" ו"רצועות שברים". ב. מודלים באיורים של: צורות מגוונות, עיגולים, מלבנים וכו'. ג. מודל ישר המספרים שבו השבר מיוצג באמצעות נקודה על ישר המספרים... בכל אחד מהמודלים השלם מחולק לחלקים שווים באופנים שונים, מיוצגת באמצעות סמל שבו שני מספרים וקו הפרדה (קו השבר). לדוגמה, בשבר חלקים שחלקם מסומנים. חלוקה זו (איור א) המכנה הוא המספר שמתחת לקו השבר, והוא מציין לכמה שווים חילקנו את השלם (חמישה חלקים). המספר במכנה נותן לכל אחד מהחלקים השווים את כינויו לדוגמה: "חמישית". המונה הוא המספר שמעל קו השבר, והוא מונה את מספר החלקים המסומנים (שני חלקים). איור א. שבר יכול להיות חלק מכמות שלמה שחולקה לקבוצות שוות. משמעות זו של השבר כחלק מכמות מוצגת כמספר פריטים מתוך אוסף של פריטים (הכמות השלמה). הנושא השבר כחלק מכמות נלמד בכיתה ד. אז התלמידים מצאו את הכמות החלקית מתוך הכמות השלמה ואת הכמות השלמה על פי החלק באפן אינטואיטיבי או בעזרת אמצעי המחשה שונים. בכיתה ה התלמידים לומדים להיעזר בתרגיל חילוק למציאת הכמות החלקית על פי שבר יסודי או בשילוב של תרגיל חילוק ותרגיל כפל למציאת הכמות החלקית המבוטאת בשבר פשוט שאינו שבר יסודי. עם זאת, רוב המשימות מלוות באיורים להמחשה, והפריטים באיורים מוצגים בצבעים, בסוגים ובגדלים שונים. בכיתה ה לומדים משמעות נוספת של השבר, השבר כמנת חילוק. קו השבר מייצג את פעולת החילוק. שברים, כמנה של מספרים שלמים, אפשר להציג בשתי רמות התייחסות:.. א. ב. כצורך בחיי יום-יום. כצורך מתמטי כדי לאפשר ביצוע חילוק בין כל שני מספרים טבעיים (בתנאי שהמחלק אינו אפס). הצגת הצורך בשברים כמנה של שני מספרים שלמים בחיי יום-יום נעשית, בדרך כלל, באמצעות בעיה מילולית המתארת חילוק לחלקים, כאשר המנה המתקבלת אינה מספר טבעי. הצגת השברים כמנה של שני מספרים שלמים כצורך מתמטי נעשית, בדרך כלל, בהקשר להרחבת קבוצת המספרים הטבעיים.. : אם נתייחס למספרים הטבעיים בלבד, הרי לא נוכל לחלק כל שני מספרים טבעיים. אין למשל מספר טבעי השווה ל-, : או ל-. : השברים ממלאים צורך זה. באמצעותם אפשר לבטא תוצאות של תרגילי חילוק, הצגת השבר כתוצאה של חילוק של כאשר מתקבלת מנה לא שלמה. כך למשל, שני מספרים שלמים מדגישה את היות השבר

14 שברים Â Ó מספר. אצל תלמידים קיימת נטייה להתייחס אל השבר כאל תרגיל חילוק שעדיין אינו גמור, ויש עדיין לבצעו (עקב היותו מורכב משני מספרים טבעיים ושבר המייצג את פעולת החילוק). חשוב להדגיש ולומר בקול את שם השבר במילים ובמספרים. לדוגמה, השבר לחלק לתשע (חמש חלקי תשע). מספר זה הוא גם המנה של תרגיל החילוק. : 9 בחלוקת חצי מעגל לשני חלקים שווים כל חלק הוא חצי. תלמידים מתקשים לראות שחצי מעגל הוא השלם ושכל חלק הוא חצי מהשלם (איור ב)., חמש תשיעיות או חמש 9 בכיתה ה עוסקים בהרחבה בייצוג של שבר כנקודה על ישר המספרים. התלמידים לומדים שלקטע בין 0 ל- קוראים קטע יחידה. כל קטע שבקצותיו מספרים שלמים עוקבים הוא כאורך קטע היחידה (הדבר נכון גם לאורכי קטעים אחרים על ישר המספרים. לדוגמה, אורך הקטע בין חצי לאחד וחצי הוא כאורך קטע היחידה). אורך הקטע בין 0 ל- שונה בישרי מספרים שונים. הבנה זו מבוססת על ידע קודם של התלמידים שהמרווחים בין השנתות על ישר מספרים מסוים שווים זה לזה, אך יכולים להיות שונים באיורים של ישרי מספרים עם קנה מידה שונה. התאמת שבר קטן מ- לנקודה על ישר המספרים נקבעת על פי: מספר החלקים השווים להם מחולק קטע היחידה (המונה). היחידה. (המכנה) ומספר החלקים המהווים את המרחק של הנקודה המסומנת מנקודת ה- 0 כדי לסמן נקודות על ישר המספרים, יש לבדוק תחילה לכמה חלקים שווים חולק קטע לכל מספר על ישר המספרים מתאימה נקודה אחת בלבד, ולכל נקודה מתאים מספר אחד בלבד. כל השמות השונים לשבר מתאימים לאותה נקודה על ישר המספרים. סימון נקודות על ישר המספרים מחזק אצל התלמידים את ההבנה של הסדר ושל הרצף של שברים ואת הבנת יחסי הגודל ביניהם. כל המספרים המופיעים אחרי מספר גדולים ממנו וכל המספרים המופיעים לפני מספר קטנים ממנו. השבר מוצג כשבר קטן מ-, שווה ל- וגדול מ-. התלמידים לומדים בתחילה בפרק א את משמעות השבר כחלק משלם-שבר קטן מ-. באיור ג מוצג שלם המחולק ל- חלקים שווים, ו- מהם מסומנים. הייצוג במספרים הוא. מספר החלקים המסומנים (המונה) קטן מסך כל החלקים שלהם חולק השלם (המכנה). בשבר שווה ל- ה נלמד בפרק א, השלם כולו צבוע. הייצוג במספרים הוא מספר החלקים המסומנים שווה למספר החלקים להם חולק השלם (איור ד). איור ב. איור ד איור ג

15 שבר גדול מ- מוצג בפרק ב. כדי להמחיש שבר גדול מ- משתמשים להמחשה ביותר משלם אחד. באיור ה מומחש שבר גדול מ-. הייצוג במספרים שברים הוא. מספר החלקים המסומנים גדול ממספר החלקים בשלם אחד. כאשר המונה גדול מהמכנה, השבר גדול מ-. חשוב לומר את שם השבר בקול ארבע עשרה שישיות. שבר גדול מ- אפשר להציג כמספר מעורב שהוא סכום של מספר שלם ושבר קטן מ-.ההבנה של הצגה זו באה לאחר שהתלמידים המחישו שברים גדולים מ- באמצעות יותר משלם אחד. בכיתה ד לא עסקו במעבר הפורמאלי בין שתי צורות הכתיבה. בכיתה ה התלמידים לומדים דרכים שונות להצגת שבר גדול מ- כמספר מעורב או כמספר שלם. הדרכים מתבססות על משמעות השלם, כתיבת שלם או מספר שלמים כשבר גדול מ- וחיבור שברים בעלי מכנה שווה. באיור ה מומחש המספר א. ב. ג. ד.. חשוב לומר בקול את שם המספר המעורב שתיים ושתי שישיות. בנושא מוצגת לתלמידים דרך נוספת לכתיבת שבר גדול מ- כמספר מעורב. דרך זו מתבססת על כתיבת שבר כתרגיל חילוק והתלמידים נעזרים בה בתרגיל חילוק עם שארית. התלמידים לומדים גם להציג מספר מעורב כשבר, לדוגמה, המספר מפרידים את המספר המעורב לשלמים ולשבר. מוצאים כמה רבעים יש ב- שלמים. מוסיפים את השבר ב-. + x +. יש רבעים. איור ה Â Ó בהתבסס על משמעות השבר כחלק משלם ועל הבנת תפקידי המונה והמכנה מוצג המספר 0 0 בשבר. באיור ו מומחש השבר. השלם מחולק ל- חלקים שווים, ו- 0 מהם מסומנים. איור ו בכיתה ה חוזרים על דרכים אינטואיטיביות להשוואה בין שברים כדי לדעת איזה שבר גדול יותר. חזרה זו שזורה בנושאים השונים בספר...

16 שברים Â Ó השוואת שברים שהמכנים שלהם שווים, לדוגמה,. 9 > 9 כאשר משווים בעזרת "שברים בעיגולים" קל לראות איזה שבר גדול יותר. המסקנה היא שהשבר הגדול יותר בין שני שברים בעלי מכנים שווים הוא השבר בעל המונה הגדול יותר. השוואת שברים יסודיים שברים שהמונה שלהם. ההמחשה לכך היא באמצעות "שברים בעיגולים". לדוגמה, כדי להשוות בין שחולק לשלושה חלקים וכל חלק הוא ככל שהמכנה גדול יותר השבר קטן יותר. ל-, נתבונן בשלם ובאותו שלם המחולק לארבעה חלקים וכל חלק הוא ככל שנחלק אותו שלם למספר גדול יותר של חלקים כל חלק יהיה יותר קטן. לכן,. זו. יותר קטן מ-. השוואת שברים שהמונים שלהם שווים. המסקנה מהשוואת שברים יסודיים מיושמת גם בהשוואה אך יש לשים לב שהפעם משווים יותר מחלק אחד. שווים הוא השבר בעל המכנה הקטן יותר. לדוגמה: השבר מוטעית בדיקת אפשרית השבר הגדול בין שני שברים בעלי מונים גדול מ- של תלמידים בהשוואת שברים בעלי מונים שווים, המכנים יאמרו שהשבר 0. חשוב לשים לב לתפיסה 0 המתבטאת שעל סמך בכך גדול יותר כי < 0. הסיבה לתפיסה המוטעית היא הכללת יתר: החלת הידע לגבי השוואת מספרים טבעיים גם לגבי השוואת שברים. השוואה ל-. בהשוואה זו משווים כל אחד מהשברים ל- ובודקים אם הוא גדול או קטן מ-. ההשוואה יכולה להיעשות בעזרת אמצעי ההמחשה. השוואה ל-. השוואה זו מוצגת בשני אפיונים: 7 7 א. השוואה בין שני שברים שאחד מהם הוא שבר שווה ל- ) < ( או גדול מ - ) < ( 9 0 ב. בדיקה איזה משני שברים קרוב יותר ל-. הבדיקה נעשית באמצעות השוואת החלקים 0 המשלימים ל-. > כי כאשר משווים בין החלקים המשלימים כל אחד מהשברים ל-, 0 מסיקים כי <. כלומר, קרוב יותר ל-, ולכן הוא גדול יותר. באיור מוצג שבר שאפשר לתת לו שמות שונים. לדוגמה, השבר המתואר באיור ז הוא. איור ז שם שונה לשבר זה הוא. הנושא שמות שונים לשבר הוא הבסיס לנושא ההרחבה וצמצום של שברים. פעולות ההרחבה והצמצום. של שברים הן פעולות שבאמצעותן אפשר למצוא שברים ששווים לשבר נתון, אך שמותיהם שונים.

17 שברים Â Ó צמצום והרחבה הם למעשה אותה פעולה: כפל בגורם שווה של המונה והמכנה. בהרחבה כופלים בביטוי גדול מ- ובצמצום כופלים בביטוי קטן מ-. צמצום) שקולה לכפל של המונה והמכנה ב-. דוגמה: פעולת החילוק של המונה והמכנה ב- (פעולת לקבלת שבר השווה לשבר אחר בערכו, אך בעל שם שונה ממנו, מגדילים (הרחבה) או מקטינים (צמצום) את המונה ואת המכנה פי אותו מספר. משמעות פעולות אלו היא כפל השבר ב-. כאשר כופלים ב- מקבלים את המספר עצמו. הידע שנרכש בנושא הרחבה וצמצום מהווה בסיס לנושאים של פרק ג. בפרק זה עוסקים בהשוואה, חיבור וחיסור של שברים ושל מספרים מעורבים. בתחילה עוסקים בשברים שבהם מכנה אחד הוא כפולה של המכנה האחר. מודל ההמחשה בו נעזרים הוא "רצועות השברים". בהמשך עוסקים בשברים שבהם מכנה אחד אינו כפולה של המכנה האחר. מודל ההמחשה בו נעזרים הוא "שברים בריבועים". להשוואת שברים נעזרים בהרחבה או בצמצום שברים כדי למצוא מכנה שווה לשני שברים אותם רוצים להשוות. מכנה זה הוא מכנה משותף. בזוגות שברים שבהם מכנה אחד הוא כפולה של האחר, מכנה זה יכול להיות המכנה המשותף. כל אחת מהכפולות המשותפות לשני המכנים יכולה להיות מכנה משותף. התלמידים נעזרים ב"רצועות השברים" להמחשת השברים ולמציאת המכנה המשותף. הנחת הרצועות זו מתחת לזו מסייעת לתלמידים לראות כל אחד מהשברים ואת המכנה המשותף לשני המכנים שאחד מהם הוא הכפולה של האחר. בזוגות שברים בעלי מכנים שאחד מהם אינו כפולה של האחר השימוש במודל "רצועות השברים" אינו יעיל. הנחת הרצועות אינה מסייעת לתלמידים לראות את המכנה המשותף. לכן, מוצג לתלמידים מודל חדש "שברים בריבועים" המאפשר להשוות בין שברים באמצעות מכנה משותף. לדוגמה, כאשר לוקחים את ריבוע השלישים ואת ריבוע החמישיות ומניחים אותם אחד על גבי השני מתקבלים חלקים שווים. הוא מכנה משותף למכנים ו-. בהשוואת שברים כאשר מכנה אחד אינו כפולה של האחר, כל כפולה משותפת יכולה להיות מכנה משותף. מכפלת המכנים היא אחת מהאפשרויות למכנה משותף. מציאת שבר מתאים בין שני שברים נתונים נעשית בעזרת מציאת מכנה משותף לשני השברים הנתונים. ככל שמרחיבים את השברים ומקבלים מכנים גדולים יותר, יש יותר אפשרויות לשברים מתאימים. כלומר, בין כל שני שברים נתונים יש אין-סוף שברים נוספים. חיבור וחיסור של שברים בעלי מכנים שווים הם הבסיס להבנה מדוע בפתרון תרגילים יש למצוא מכנים שווים לשברים שהמכנים שלהם אינם שווים בחיבור ובחיסור של שברים בעלי מכנים שאחד מהם כפולה של האחר, או מכנים שאחד מהם אינו כפולה של האחר, יש להציג תחילה את השברים כשברים שהמכנים שלהם שווים ורק אז לבצע את הפעולה הנדרשת. השוואת המכנים מתבססת על מציאת מכנה משותף כפי שנלמדה בנושאים של השוואת שברים. 7

18 שברים Â Ó בחיבור וחיסור של שברים בעלי מכנים שאחד מהם הוא כפולה של האחר נעזרים בשתי רצועות שברים שקופות המונחות אחת על גבי השנייה. הרצועות השקופות מאפשרות לתלמידים לראות בעת ובעונה אחת את החלוקה של כל רצועה והמחשה של המכנה המשותף. צביעת שני המחוברים, או המחסר והמחוסר בשרטוטים של "רצועות השברים" ממחישה כל איבר, את הפעולה ואת התוצאה. תהליך דומה מתבצע בחיבור וחיסור של שברים בעלי מכנים שאחד מהם אינו כפולה של האחר בעזרת "השברים בריבועים". חיסור שבר מ- כדי לקבל תרגיל חיסור עם מכנים שווים יש להמיר את ה- לשבר שבו המונה והמכנה שווים למכנה של השבר הנתון (למחסר). חיסור שבר ממספר שלם גדול מ- - ממירים שלם אחד מהשלמים לשבר שבו המונה שווה למכנה. מהשבר שמתקבל מחסרים את השבר הנתון (המחסר). אפשר גם להמיר את המספר השלם לשבר גדול מ-. חיסור מספר מעורב ממספר שלם גדול מ- ממירים שלם אחד מהשלמים של המחוסר. מתקבל מספר שהוא סכום של שלמים ושבר השווה ל-. כעת מחסרים כמו בחיסור מספרים מעורבים- שלמים משלמים ושבר משבר. בפתרון תרגילי חיסור של שבר ממספר מעורב או מספר מעורב ממספר מעורב שבהם השבר במחסר גדול מהשבר במחוסר, יש להמיר אחד מהשלמים שבמחוסר ולהוסיפו לחלק השברי של המחוסר. בפתרון תרגילי חיבור וחיסור, הפנו את תשומת לב התלמידים לתוצאות אותן אפשר לצמצם או "להוציא שלמים" כדי להגיע לתשובה סופית. שאלות מילוליות שהנתונים המספריים שלהן הם בשברים משולבות במהלך הצגת הנושאים המחשה בהוראת שברים ההמחשה בהוראת השברים היא חלק בלתי נפרד מהצגת משמעויות השבר והפעולות בשברים. השימוש בהמחשה מסייע בהבנה. בהצגת נושא השברים נעשה שימוש בשלושה מודלים להמחשה: מודל השטח, מודל ישר המספרים ומודל הקבוצות. מודל השטח המודל המקובל להצגת השבר כחלק משלם הוא מודל השטח. השלם מוצג כיחידה אחת רציפה (עיגול, מלבן, ריבוע, מצולעים שונים או כל צורה אחרת), המחולקת למספר חלקים שווים בשטחם. את נושא השברים מלווים עצמים מוחשיים "שברים בעיגולים", "רצועות השברים" ו"שברים בריבועים".

19 שברים Â Ó "שברים בעיגולים" "שברים בעיגולים" הם עיגולים שלמים זהים בגודלם. כל עיגול מורכב ממספר שונה של גזרות שוות. כאשר בונים את העיגול מ- גזרות שוות (איור ח), כל חלק נקרא שמינית. עיגול המורכב מגזרות של בלבד, מכיל שמונה גזרות. "השברים בעיגולים" משמשים את התלמידים להמחשה של: השבר כחלק משלם, השבר השווה ל-, השבר הגדול מ-, שמות שונים לשבר, השוואת שברים ותרגילי חיבור וחיסור. ההמחשה היא באמצעים קונקרטיים וגם באיורים המופיעים בספר לתלמיד. "רצועות השברים" "רצועות דף השברים" מחולק לרצועות שוות באורכן בצורת מלבן. כל רצועה מייצגת שלם ומחולקת לחלקים שווים, באופן שונה. בנוסף לרצועות אלו מובאת המחשה שלהן באיורים בספר לתלמיד. התלמידים נעזרים ב"רצועות השברים" כדי למצוא שמות שונים לשבר, להשוואת שברים ולפעולות החיבור וחיסור. באיור ט אפשר לראות כיצד נעזרים ברצועות למציאת שמות שונים לשבר. איור ח איור ט "שברים בריבועים" בדף השקף "שברים בריבועים" מצויים ריבועים השווים בשטחם. כל ריבוע מחולק למספר חלקים שווה השונה מזה של הריבוע האחר. התלמידים נעזרים ב"שברים בריבועים" ולפעולות החיבור והחיסור. להשוואת שברים באמצעות מכנה משותף באיור י אפשר לראות כיצד נעזרים ב"שברים בריבועים" להשוואת שברים. איור י. יוצא מכך ש- >. בכל מודל יש להדגיש לתלמידים את החלוקה לחלקים שווים. כמו כן, חשוב ביותר להדגיש בכל המחשה מהו השלם. 9

20 שברים Â Ó הקשיים במודל השטח מודל השטח יכול לעודד אצל תלמידים תפיסה שמקורה בחיי היום יום שלפיה קיימים " גדול". כלומר, קיימת אפשרות לחלוקת שלם לשני חלקים לאו דווקא שווים. קטן ו- איור יא זיהוי השלם בייצוג שברים גדולים מ-. (כלומר שברים שבהם המונה גדול מהמכנה). בדרך כלל מודל השטח מיוצג על-ידי אובייקט אחד שהוא השלם, וכאשר נתונים שני אובייקטים יש נטייה להתייחס אליהם כאל שני שלמים. לכן חשוב לציין לתלמידים מהו השלם אליו מתייחסים. למשל, התלמידים טענו כי באיור יא מתואר. השבר ולא הסכימו להתייחס לאיור כמתאר את השבר כאשר החלקים הצבועים אינם מופיעים ברצף מתעורר איור יב קושי בזהוי השבר (ראו באיור יב). כאשר החלק הצבוע אינו מחולק לשברי יחידה שווים, כמתואר באיור יג, מתעורר קושי אצל התלמידים לזהות שהחלק הצבוע מתאר כולו. איור יג מהמלבן מודל ישר המספרים בכיתה ד הציגו את השבר כאורך קטע על ישר המספרים. השלם אורכו כאורך הקטע בין אפס ל- (קטע יחידה). בכיתה ה ממשיכים לעסוק במודל ישר המספרים ומציגים את השבר כנקודה על ישר המספרים. באיור יד מתואר חלק מישר המספרים בין אפס ל- המייצג שלם. הנקודה המודגשת מייצגת את השבר. 0 איור יד מודל הקבוצה המודל להצגת השבר כחלק מכמות מוצג כמספר פריטים מתוך אוסף של עצמים (הכמות השלמה). להבדיל ממודל השטח, במודל זה ההתייחסות היא למספר הפריטים. העצמים אינם חייבים להיות מסודרים או שווים בגודלם או שייכים לאותו סוג. קבוצת העצמים יכולה להיות מוחשית או מצוירת (איור טו). איור איור טו 0

21 שברים Â Ó להמחשת השבר כחלק מכמות, התלמידים משתמשים באיורים המופיעים בספר לתלמיד. ישנם תלמידים המתקשים בתפיסת השלם וגם בחלוקת הכמות במודל הקבוצות. סיבה אפשרית היא העובדה שבמודל הקבוצות הכמות השלמה מורכבת מיותר מיחידה אחת. זמן מומלץ להוראה מומלץ להקדיש לפרק "שברים", כולל פתרון בעיות מילוליות המתאימות לנושא כ- שעות לימוד.

22 שברים Â Ó

23 פרק א משמעויות השבר הפשוט נושא נושא נושא נושא נושא מבדק השבר כחלק משלם ייצוג שברים על ישר המספרים השלמה ל- השבר כחלק מכמות השבר כמנת חילוק

24

25 כחלק משלם השבר Â Â ËÓ.. התלמידים יישמו את הידע שרכשו בנושאים שונים בשברים פשוטים שנלמדו בכיתה ד כך: יזהו ויסמנו חלק של שלם במודלים שונים; יזהו מונה ומכנה בשברים נתונים; ישוו שברים בעלי מכנים שווים או בעלי מונים שווים; יכירו שמות שונים לשבר. התלמידים יסיקו כי ככל שמחלקים את השלם למספר חלקים רב יותר, כל חלק קטן יותר, ולכן בשברים בעלי מונים זהים, ככל שהמכנה גדול יותר, השבר קטן יותר. Â Ó משמעות השבר הפשוט ÂÓÈ Ó) -) השוואת שברים בעלי מכנים זהים או בעלי מונים זהים ÂÓÈ Ó) 0-) ÂÈÏÏÎ Â Ú הפעילויות בנושא מהוות חזרה על משמעות השבר כחלק משלם. בנושא זה מתמקדים בזיהוי ובסימון חלק של שלם במודלים שונים, בהשוואת שברים בעלי מונים שווים ובהשוואת שברים בעלי מכנים שווים. בפעילויות החזרה יוכלו התלמידים להעמיק הבנתם כי ככל שמחלקים את השלם למספר חלקים רב יותר, כל חלק קטן יותר, ולכן בשברים בעלי מונים זהים, ככל שהמכנה גדול יותר, השבר קטן יותר. Â ÁÈ ÙÏ ÂÈÂÏÈÚÙ.. מומלץ לפתוח את נושא השבר הפשוט בשיחה במליאה על המושג שבר פשוט. רכזו את דברי התלמידים על הלוח כבסיס להמשך הלמידה. עודדו אותם להשתמש במושגים שנלמדו בכיתה ד והקשורים לנושא זה, כגון: שלם, שלם המחולק לחלקים שווים, מונה, מכנה, קו שבר, מספר מעורב. התלמידים מכירים את אמצעי ההמחשה "שברים בעיגולים" מכיתה ד. מומלץ לאפשר לתלמידים מספר דקות של פעילות חופשית בגזרות של "שברים בעיגולים", ולהעלות לדיון את המשמעות של שם השבר הרשום על כל גזרה ושאלות נוספות, כגון: איזה שבר גדול יותר או? באילו גזרות אפשר להשתמש כדי לבנות את השבר, אם אין בידי גזרות של?

26 Â Â ÂÓÓ Â Ú - ÂÓÈ Ó במשימות אלו מומלץ לערוך דיון חוזרים על משמעות השבר כחלק משלם. השלם זיהוי את: בו ולהדגיש שחולק השבר כחלק משלם התלמידים מייצגים את השבר במילים ובמספר. לחלקים שווים, מספר אפשרויות לחלוקת אותו שלם לחלקים שווים, תפקידי המונה והמכנה בכתיבת השבר והקשר בין המודלים השונים בשרטוטים ובין שם השבר במספר ובמילים. או כ- ÂÓÈ! בÓÈ Ó, באיור של המשולש, אפשר לזהות את השבר המיוצג על ידי החלק הצבוע כ- על סמך ידע קודם של שמות שונים לשבר. ÓÈ Ó הפעילות במשימה מחזקת את הבנת המושגים מונה ומכנה ואת הבנת תפקידם בשבר הכתוב. כמו כן, בפעילות זו יש המחשה לכך ששבר שהמונה שלו הוא 0, שווה ל- 0. מומלץ לערוך דיון שבמהלכו יסבירו התלמידים את הסיבה לכך על סמך הבנתם את משמעות השבר ואת התפקידים של המונה ושל המכנה. בדיון עם התלמידים מומלץ להדגיש גם את סדר העבודה במשימה בהתאם להוראות הכתובות. לאחר הצביעה תהליך ביצוע המשימה זהה לתהליך במשימה. - ÂÓÈ Ó השוואת השרטוטים השונים ששרטטו התלמידים בשתי המשימות מזמנת דיון שאת אותו השבר אפשר לייצג בדרכים שונות באותו השלם ובשלמים שונים. שמטרתו להגיע למסקנה במשימה נתון שבר והתלמידים צריכים לקבוע על פי המכנה של שבר זה את מספר החלקים השווים שלהם מחולק השלם, לחלקים הצבועים. בÓÈ Ó ואילו במשימה נתונה נקודה שהיא מרכז המעגל התלמידים צובעים מספר חלקים בשלם כרצונם והשבר נקבע בהתאם כדי להקל על התלמידים לחלק את העיגול לחלקים שווים כנדרש. כל קו העובר דרך מרכז המעגל (קוטר) מחלק את העיגול לשני חלקים שווים. חלוקה זו מתאימה כאשר מספר החלקים הוא זוגי. כלומר, המכנים הם מספרים זוגיים. ב"שברים בעיגולים" חלקים שווים וכו' את המעגל. קל לראות כיצד הקטרים בÛÈÚÒ התלמידים אומדים בשלם חלק הקטן מ- משימות אלו תורמות לשיפור מיומנות השרטוט. מחלקים ל-. חלקים שווים או ל- חלקים שווים או ל-

27 השבר כחלק משלם Â ÓÈ Ó נושא השוואת שברים נלמד בכיתה ד. התלמידים השוו בין שברים באופן אינטואיטיבי או על סמך המחשות. במשימה זו התלמידים משווים בין שברים בעלי מכנים שווים. בדרך כלל השוואה זו קלה לתלמידים כי המכנה הוא כינוי כולל, והתלמידים משתמשים באנלוגיה למספרים שלמים עם כינוי כלשהו. מכאן מתבקשת המסקנה שבשברים בעלי מכנים שווים, ככל שהמונה גדול יותר, השבר גדול יותר. למרות שהשוואה זו קלה לתלמידים, מומלץ לבקש מהתלמידים לבנות את זוגות השברים באמצעות "שברים בעיגולים". ציינו בפני התלמידים שיש להמחיש כל זוג שברים הנתונים באותה מסגרת בעזרת גזרות מאותו עיגול. -7 ÂÓÈ Ó במשימות אלו חזרה על השוואת שברים בעלי מונים שווים. השברים שהם משווים ביניהם לקוחים משלמים שווים בגודלם. 7 בÓÈ Ó חשוב להסב את תשומת לב התלמידים כי ההשוואה היא של שברי יחידה שהם בעלי מונה, וההשוואה נעשית באופן אינטואיטיבי או על סמך ידע קודם. התלמידים בודקים את תשובותיהם באמצעות הנחת גזרות שונות של "שברים בעיגולים" זו על גבי זו. התלמידים לוקחים את הגזרה 0 משלם שחולק ל- 0 חלקים שווים ואת הגזרה משלם באותו גודל, שמחולק ל- חלקים שווים. מטרת ההמחשה היא להבהיר לתלמידים כי ככל שהשלם מחולק ליותר חלקים, כך החלק קטן יותר. בÓÈ Ó ÌÈÂÂ Ó שברים בעלי מונים שווים השונים מ-. לסיכום, רצוי לדון עם התלמידים במסקנה שאליה הגיעו בעקבות הפעילות במשימות אלו: בהשוואת שברים בעלי מונים שווים בעיגולים". ככל שהמכנה גדול יותר, השבר קטן יותר. שלבו בדיון המחשה בעזרת ה"שברים 9 ÓÈ Ó מטרת ÛÈÚÒ היא לתרגל השוואת שברים בעלי מכנים שווים או בעלי מונים שווים..0 התלמידים משווים בין שני שברים שהמונה של כל אחד מהם הוא המונים הזהים עלולים בÛÈÚÒ להפנות את התלמידים להתבוננות במכנים, ולגרום להם בכך לטעות. למעשה שני השברים שווים ל ÓÈ Ó במשימה זו התלמידים יכולים להיעזר באומדן להשלמת השברים בהסתמך על הדרכים להשוואה שנלמדו. לדוגמה: לקבלת ביטוי נכון בÛÈÚÒ, אפשר לרשום במונה מספרים הגדולים מ-. מתקבל שבר השווה ל- או הגדול מ-. לקבלת ביטוי נכון בÛÈÚÒ, אפשר לרשום במכנה רק מספרים שלמים קטנים מ- 9 וגדולים מ- או שווים ל-. 7

28 ! Â ÂÓÈ מ-. ו- בÌÈÙÈÚÒ השבר הנתון שווה ל-, בשני הסעיפים יש אין-סוף אפשרויות לתשובה נכונה. השבר כחלק משלם ולכן את השבר השני יש להשלים כך שיתקבל שבר גדול ההבדל הוא שבסעיף ג נתון המכנה ובמונה מתאים כל מספר שלם גדול מ-, ואילו בסעיף האפשרויות פתוחות לחלוטין בתנאי שהשבר גדול מ-. מומלץ לבקש מתלמידים מתקדמים להגיע להכללה ולומר בכל סעיף להשלמת המספר החסר. מהו טווח המספרים האפשריים התלמידים ÂÙÒÂ ÂÓÈ Ó ÓÈ Ó השלמים באיורים ב ו-ג מחולקים למספר חלקים שווים שאינו זהה למכנה בשבר הנתון. מבססים את תשובתם על ידע קודם של שמות שונים לשבר. ÓÈ Ó בסעיף ד המכנים שווים, וקל לסדר את השברים מהקטן לגדול. בסעיף ג עוסקים בשברים שהמונה שלהם הוא 9, ולכן ככל שהמכנה שהתלמיד יבחר יהיה גדול יותר, כך השבר יהיה קטן יותר. בÌÈÙÈÚÒ -Â חוזרים על משמעות השבר הפשוט כפי שהיא מיוצגת בתרגיל חיבור ובתרגיל כפל, כפי שנלמד בכיתה ד. ÓÈ Ó במשימה בעיה מילולית שלצורך פתרונה התלמידים מיישמים ידע קודם בחיבור שברים פשוטים בעלי מכנים שווים, בהשלמה ל- או בחיסור מ-. ÓÈ Ó משימת תרגול של השוואת שברים. התלמידים משווים על פי מונים שווים או על- פי מכנים שווים למעט שני סעיפים שבאחד מהם השוויון בין השברים ו- מתבסס על שמות שונים לשבר, ובאחר השוויון בין 9 השברים ו- ÓÈ Ó מתבסס על שברים השווים ל-. התלמידים מיישמים את שלמדו בשיעור במשימה שניסוחה שונה מהמוכר. בכל סעיף התלמידים צריכים להשלים שני שברים הנמצאים בטווח נתון, מתוך מספר גדול יותר של אפשרויות לתשובה נכונה. האפשרות למציאת השברים החסרים מתבססת על הנלמד בשיעור או על שמות שונים לשבר כפי שנלמד בכיתה ד. דוגמאות:., ÛÈÚÒ ;, 7 ÛÈÚÒ ; 9 7, 9 ÛÈÚÒ ;, ÛÈÚÒ

29 שברים על ישר המספרים ייצוג Â מושגים: קטע יחידה Â ËÓ התלמידים יכירו את המושג קטע יחידה ויסמנו קטעי יחידה על ישרי מספרים. התלמידים יבינו שאפשר לייצג על ישר המספרים מספרים חיוביים הקטנים מ- ויסמנו על ישר המספרים נקודה המתאימה לשבר נתון ולהפך, יתאימו שבר לנקודה המסומנת על ישר המספרים... Â Ó חזרה על ייצוג שלמים על ישר המספרים, והכרת המושג קטע יחידה ÓÈ Ó) ) ייצוג שבר על ידי סימון נקודה על ישר המספרים ÂÓÈ Ó) -, 0-) המחשת שברים בעיגול, במלבן ובישר המספרים ÓÈ Ó) ) יישום באמצעות בעיה מילולית ÓÈ Ó) ) ÂÈÏÏÎ Â Ú בכיתה ד בהרחבה המחישו בייצוג שברים התלמידים שברים באמצעות מודלים שונים על ידי סימון נקודות על ישר המספרים. ובהם ישר המספרים. התלמידים לומדים בכיתה ה שלקטע בין עוסקים ל- 0 קוראים קטע יחידה. כל קטע שבקצותיו מספרים שלמים ועוקבים אורכו כאורך קטע היחידה והוא באורך יחידה אחת. לדוגמה: בישרי המספרים שלפניכם הקטע בין 0 ל- הוא קטע היחידה. השבר מיוצג על ידי קטע ועל ידי סימון נקודה. בנושא זה התלמידים יבינו כי מספר אחד בלבד. (שמות שונים לשבר המספרים.) Â ÁÈ ÙÏ ÂÈÂÏÈÚÙ. לכל מספר מתאימה נקודה אחת בלבד על ישר המספרים, ולכל נקודה מתאים הם שמות שונים לאותו מספר מומלץ לדון עם התלמידים בדרכים שלהם לפתרון משימה מנושא לו מתאימה נקודה אחת על ישר.. במדריך למורה, נושא. התייחסות למשימה זו ראו כהכנה לנושא מומלץ לחזור עם התלמידים על מבנה ישר המספרים כפי שנלמד עד כה במספרים שלמים בלבד

30 ייצוג שברים על ישר המספרים שרטטו על הלוח - ישרים ועליהם שנתות: בכמה מהם השנתות במרווחים שווים, ובאחרים במרווחים לא שווים. בקשו מהתלמידים לומר אילו שרטוטים נכונים ואילו אינם נכונים ולנמק את קביעתם. שרטטו על לוח הכיתה מספר ישרי מספרים, וסמנו על כל אחד מהם נקודות שונות. הזמינו תלמידים לרשום את המספרים המתאימים לנקודות המסומנות, ובקשו מהם להסביר את הדרך שלהם להשלמת המספרים. מומלץ לשוחח עם התלמידים ולהגיע עמם להבנה שהמספר המתאים לכל נקודה נקבע על-פי המרחק של הנקודה מה- 0. Â ÂÓÈ Â ÂÓÓ Â Ú ÓÈ Ó למשימה זו מספר מטרות:. להשלים על ישר המספרים מספרים שלמים המתאימים לשנתות שמעל המשבצות.. להכיר את המושג קטע יחידה שהוא אורך הקטע שבין 0 ל- ולהבין שאורכו בכל ישר מספרים נקבע באופן שרירותי. לכן אורך קטע היחידה אינו זהה בישרי המספרים השונים.. להבין שבישר המספרים כל הקטעים שבין כל שני מספרים שלמים עוקבים שווים באורכם לאורך קטע היחידה. זאת בהתבסס על ידע קודם של התלמידים שהמרווחים בין השנתות על ישר המספרים שווים זה לזה.. להבין שכל מספר שלם על ישר המספרים מציין מרחק מ- 0 על-פי מספר היחידות השוות באורכן לקטע היחידה, ולא על פי מספר השנתות.! מומלץ לחדד הבחנה זו אצל התלמידים כדי למנוע את הבלבול בין מספר החלקים למספר השנתות, שכן ייתכן ויש עדיין תלמידים המונים את מספר השנתות, כולל השנת המציין את מיקום ה- 0. ÓÈ Ó החל מכיתה א ייצגו התלמידים מספרים שלמים בלבד על ישר המספרים, ונעזרו במודל זה בפתרון תרגילי חיבור, תרגילי חיסור ותרגילי כפל. בכיתה ד המחישו התלמידים את השבר כחלק מהשלם על ישר המספרים כבסיס להצגת הנושא ולהרחבתו בכיתה ה. מטרת המשימה היא להוביל את התלמידים להבנה שאת קטע היחידה שמייצג את השלם אפשר לחלק לקטעים שווים שאורכם קטן מאורך קטע היחידה. הפעילות במשימה זו מובילה למסקנה שאת אותו קטע היחידה (השלם) אפשר לחלק למספר שונה של חלקים שווים, בדומה לייצוגים השונים של השבר שהוצגו עד כה. מומלץ לערוך דיון ולהדגיש את המשמעות של ייצוג שברים על ישר המספרים בהשוואה לייצוג שברים כחלק משלם. אורך הקטע שבין כל שני שנתות בישר מספרים הוא, כי קטע היחידה שהוא השלם חולק 7 ל- 7 חלקים שווים. 0

31 ייצוג שברים על ישר המספרים Â ÓÈ Ó במשימה מוצגים לתלמידים שני היבטים לייצוג שבר על ישר המספרים: קטע שהוא אחד מתוך מספר חלקים שווים מהשלם. נקודה המציינת את המרחק מ- 0 במונחים של מספר החלקים השווים שלהם חולק קטע היחידה (ראו דוגמאות במשימה ). ההיבט השני זהה לייצוג המספרים השלמים ולמיקומם על ישר המספרים כפי שהתלמידים למדו עד כה המרחק מנקודת ה- 0. סימון הנקודות על ישר המספרים מחזק את ההבנה של סדר המספרים בכלל ושל סדר השברים בפרט. מומלץ לדון עם התלמידים בייצוגים של רועי ושל סיון. רועי תיאר את השבר המספרים. המשמעות היא שמרחקה של נקודה זו מנקודת ה- 0 הוא מרחק זה. ÓÈ Ó א. ב. השבר המתאים לכל נקודה הנתונה על ישר המספרים, נקבע על-פי: מספר החלקים השווים שלהם מחולק קטע היחידה המכנה. מספר החלקים המהווים את המרחק של הנקודה המסומנת מנקודת ה- 0 המונה. לדוגמה: בישר מספרים (הנקודה נמצאת במרחק באמצעות נקודה על ישר היחידה. הדרך של סיון ממחישה קטע היחידה מחולק ל- חלקים שווים. לנקודה הראשונה מתאים השבר מה- 0 ), ולנקודה השנייה מתאים השבר (הנקודה נמצאת במרחק ÓÈ Ó למשימה זו שתי מטרות: מה- 0 ). להבין שייצוג שבר כנקודה על ישר המספרים הוא אחד מהייצוגים השונים לשבר. לחדד את ההבחנה שבין ייצוג מספר שלם לייצוג שבר כנקודה על ישר המספרים. בישר המספרים העליון הנקודה נמצאת במרחק של קטעי יחידה מנקודת ה- 0, ולכן המספר המתאים הוא. בישר המספרים התחתון אם יש צורך, תשובתם. הנקודה נמצאת בקטע בין 0 ל- ומרחקה מ- 0 הוא. המליצו לתלמידים לצבוע בכל אחד מישרי המספרים את קטע היחידה כדי לבסס את

32 Â ÓÈ Ó סימון נקודות על ישר המספרים יחסי של ההבנה הגודל ביניהם. שווים חולק קטע היחידה. מחזק אצל התלמידים את ההבנה של כדי לסמן נקודות על ישר המספרים, ייצוג שברים על ישר המספרים הסדר והרצף יש לבדוק תחילה ואת שברים של לכמה חלקים 7 0 בÛÈÚÒ הסבו את תשומת לב התלמידים לשברים ו- שהם שמות שונים למספרים 0 ו- בהתאמה. 7 7 הפעילות בÛÈÚÒ מציגה דרך נוספת להשוואה בין שברים בעלי מכנה שווה. על ישר המספרים קל לראות כי >. התלמידים למדו את המושגים "לפני" ו"אחרי" בהקשר למספרים שלמים על ישר המספרים: 7 7 כל המספרים המופיעים אחרי מספר מסוים (נמצאים מימינו) גדולים ממנו, וכל המספרים המופיעים לפני מספר מסוים (נמצאים לשמאלו) קטנים ממנו. הם מיישמים ידע זה גם לגבי שברים. הדברים במסגרת נכונים לקבוצת המספרים הרציונליים. מומלץ לשאול את התלמידים אם שמות שונים לאותו שבר המתאימים לאותה נקודה, תואמים לכלל זה או נוגדים לו. המטרה היא להגיע עם התלמידים להבנה שלמספר או לשבר מסוים שמות שונים המיוצגים על ידי אותה הנקודה על ישר המספרים. ייתכן שנושא זה יהיה ברור יותר לתלמידים, כשבר, לדוגמה: המספרים). אם יתרגלו למקם על ישר המספרים מספרים שלמים הכתובים. (אפשר יהיה לחזור לדיון זה כאשר יילמד הנושא מספרים עשרוניים וייצוגם על ישר 7 ÓÈ Ó במשימה התלמידים נשאלו לכמה חלקים מחולק קטע היחידה. מטרת שאלה זו היא לכוון את התלמידים לסדר עבודה כאשר עליהם לסמן נקודות על ישר המספרים. השונה בין משימה זו למשימה הוא בכך שהתלמידים לא נשאלים במפורש לכמה חלקים מחולק קטע היחידה. בÛÈÚÒ, כדי להתאים שבר מתוך הרשימה לנקודות שעל ישרי המספרים, חולק קטע היחידה. מספר זה מצופה מהתלמידים להבין שעליהם לבדוק תחילה לכמה חלקים קובע את המכנה של השבר. המהווים את המרחק של הנקודה המסומנת מנקודת ה- 0. קביעת המונה היא בהתאם למספר החלקים בÛÈÚÒ בהמשך לפעילות שבמשימה, התלמידים מיישמים ידע קודם בשמות שונים לשבר. לנקודה המייצגת את השבר, מתאים השבר למרות שישר המספרים מחולק ל- חלקים שווים, ולא לשניים. לחיזוק האמירה במסגרת שבמשימה, בקשו מהתלמידים לחלק ישר מספרים זה לשני חלקים שווים כדי להדגיש שייצוג השברים ו- הוא באותה נקודה.

33 Â ÓÈ Ó ייצוג שברים על ישר המספרים על ישר מספרים המחולק ל- חלקים שווים קל לייצג שברים שהמכנים שלהם, או. מומלץ להתייחס להסברי התלמידים לדרך שלהם למיקום השברים שהמכנה שלהם שונה מ-. התלמידים יכולים לסמן בישר המספרים חלוקות נוספות ל- ול- חלקים שווים או להיעזר בשמות שונים לשבר. אם יש צורך, הפנו את תשומת לב התלמידים לכך שהשברים מסודרים משמאל לימין על פי סדר גודל. המשימה מראה כי אפשר להשוות בין שברים באמצעות ישר המספרים. 9 ÓÈ Ó בÛÈÚÒ כדי לצבוע את קטע היחידה בשרטוטים ו-, על התלמידים להחליט היכן ממוקמת הנקודה המייצגת את המספר. הם מסיקים זאת על סמך מיקום נקודת ה- 0 ומיקום המספר ס. מאפשר השלמה של השברים במשבצות הריקות שבÛÈÚÒ.., של שברים על ישר המספרים. בÛÈÚÒ הדגשת סדר לדוגמה:, יש מספר תשובות אפשריות לסימון שבר קטן מ- על ישר מספרים בישר מספרים ו- לאחר שסימנו את קטע היחידה ואת השברים המתאימים את הנקודה המייצגת את השבר. ורק נקודה אחת מייצגת אותו על ישר המספרים. 0 ÓÈ Ó ימון קטע היחידה התלמידים מסמנים בסימון זה התלמידים מיישמים את הידע שלהם שלשבר יש שמות שונים התלמידים הכירו במהלך השנים ישרי מספרים בתחומי מספרים מגוונים (תחום המיליון, מספרים שליליים וכדומה). הפנו את תשומת לבם לכך שנקודת ה- 0 אינה בהכרח הנקודה הראשונה משמאל, ועליהם להסתמך בתשובותיהם אך ורק על השנתות המסומנות (אין להוסיף שנתות אחרות). מומלץ לערוך דיון ולהדגיש בו את דרך העבודה במשימה זו. לדוגמה: על ישר מספרים ב מסומנת הנקודה. שוחחו עם התלמידים על כך שהמכנה של שבר זה מרמז שיש לחלק את קטע היחידה ל- חלקים שווים. אולם, מהכרת הנושא שמות שונים לשבר: מתאימה ונכונה. ו-, התלמידים מבינים שחלוקה ל- חלקים שווים כפי שקיימת בפועל, התלמידים מיישמים את הבנתם ומסמנים את נקודת ה- 0 בשנת השני משמאל. אפשר לבקש מהתלמידים לסמן גם את הנקודה השווה ל- ÂÓÈ! בישר מספרים ד בשנת הרביעי משמאל. השבר גדול מ-. בנושא עוסקים בהרחבה בשברים גדולים מ-.

34 Â ÓÈ Ó א. ב. במשימה זו בעיה מילולית שלפתרונה התלמידים נעזרים בישר המספרים. אפשר להגיע לתשובה לשאלה "כמה ריצפו לאחר שלושה ימים?" ÛÈÚÒ) ) בשתי דרכים: לכפול ב-, כל אחד מהשברים הנתונים שמצאו בסעיף א, כפי שלמדו בכיתה ד. ייצוג שברים על ישר המספרים לחלק את כל אחד מישרי המספרים לחלקים שווים בהתאם לנתון. את ישר מספרים א לחלק ל- חלקים שווים, ולהסיק שבשלושה ימים ריצפו ק"מ. את ישר מספרים ב לחלק ל- חלקים שווים, ולהסיק שבשלושה ימים ריצפו את כל המדרכה, כלומר, ק "מ. כדי לדעת כמה ימים נמשך הריצוף של כל מדרכה ÛÈÚÒ) ), התלמידים מיישמים את הבנתם שבמדרכה א ב- שלם יש ארבעה רבעים, ולכן ריצוף מדרכה א יסתיים לאחר ארבעה ימים, ואילו ריצוף מדרכה ב יסתיים לאחר שלושה ימים, כפי שעולה מסעיף ב. ÂÙÒÂ ÂÓÈ Ó ÓÈ Ó המשימה מחזקת את המשמעות של השבר כחלק משלם במודלים השונים. השלם מוצג כיחידה רציפה בצורות שונות המחולקות למספר חלקים שווים וישר המספרים בו ייצוג השבר כנקודה על ישר מספרים. ÓÈ Ó המשימה מחזקת את ההבנה שנרכשה בעקבות הפעילות במשימות הקודמות. בÛÈÚÒ התלמידים צריכים למקם שברים שהמכנה שלהם הוא בישר מספרים המחולק ל- 9 חלקים שווים. הם נעזרים בידע קודם על שמות שונים לשבר או בחלוקה נוספת של ישר המספרים ל- חלקים שווים. ÓÈ Ó משימת יישום המשלבת את כל הנלמד בנושא זה. ÂÓÈ שכל ישרי המספרים זהים. בכל ישרי המספרים הנקודה היא באותו מרחק מה- 0, ולכן, בכל המקרים המונה של השבר יהיה. ההחלטה של התלמידים בדבר מיקום הנקודה המייצגת את המספר היא הקובעת את המכנה המתאים. ÓÈ Ó 0 במשימה זו ק"מ הוא השלם. התלמידים מוצאים את המרחק שבין הבית של שירי לבית הספר במטרים על בסיס ידע קודם. הם מסיקים שאם ק"מ הוא,000 מטר, הרי שכל אחד מהקטעים בישר המספרים הוא ק"מ שהם 00 מטר.

35 Â אפשר להגיע לתשובה במספר דרכים, לדוגמה: מניית מספר הקטעים שבין הבית של שירי ל-, והכפלה של מספר זה ב- 00 מ'. ייצוג שברים על ישר המספרים מניית הקטעים מהבית של רועי לבית של שירי, הכפלת מספר זה ב- 00 מ', וחיסור המכפלה מ-,000 מ'. לחסר מ-, ולחשב כל עשירית כ- 00 מטר. 0 בהתאם לכל שבר נתון, אלא להפעיל ÓÈ Ó בפתרון המשימה אין צורך לחלק את קטע היחידה לחלקים שווים שיקול דעת המבוסס על אומדן.

36 השלמה ל- Â Â ËÓ, התלמידים יכלילו ששבר שהמונה שווה למכנה שלו הוא וישלימו מונה ו/או מכנה בשבר שבו הם. חסרים, כך שהשבר יהיה שווה ל-. התלמידים יסיקו שהשלם מורכב מסך כל החלקים שסכומם ויתארו זאת בתרגיל חיבור של שברים או בתרגיל חיסור של שבר מ-.. התלמידים יתייחסו לשבר השווה ל- כאל שבר שבו המונה שווה למכנה וימירו שלם בשבר בתרגיל. חיסור של שבר מ-. התלמידים יבינו את הקשר ההפוך המתקיים בין החלק שיש להשלים ל- ובין גודל השבר: ככל שהחלק שיש להשלים ל- קטן יותר, השבר גדול יותר וישוו) בין שברים על-פי קרבתם ל-.. Â Ó ייצוג ה- כשבר שהמונה והמכנה שלו שווים ÂÓÈ Ó) -) השלמת שברים נתונים ל- ולשלמים שונים מ- ÂÓÈ Ó) -, ) חיסור שבר מ- ÂÓÈ Ó) 7-) השוואת שברים על-פי קרבתם ל- ÂÓÈ Ó) -9) השוואת שברים בדרכים שונות ÓÈ Ó) ) ÂÈÏÏÎ Â Ú נושא זה משלב מספר נושאים שנלמדו בכיתה ד העוסקים בהשלמה ל- באמצעות חיבור או חיסור של שברים שלהם מכנים שווים. השלמה זו מתבססת על ההבנה כי שבר יכול להיות קטן מ-, גדול מ- ושווה ל-. בהמחשת שבר הקטן מ-, מספר החלקים הצבועים (המונה) קטן מסך כל החלקים שלהם חולק השלם (המכנה), ולכן בייצוג השבר במספר, המונה קטן מהמכנה. בהמחשת שבר השווה ל-, השלם כולו צבוע. מספר החלקים המסומנים שווה למספר החלקים שלהם חולק השלם, ולכן בייצוג השבר במספר, המונה והמכנה שווים. הבנה זו היא בסיס לאחת הדרכים להשוואה בין זוגות שברים השוואה על-פי החלק שנותר להשלמת השבר ל-. אמצעי המחשה המלווים נושא זה הם: "רצועות השברים", "שברים בעיגולים", איורים שונים וייצוג שברים על ישר המספרים.

37 Â Â ÁÈ ÙÏ ÂÈÂÏÈÚÙ.. השלמה ל- מומלץ לפתוח את הנושא בחזרה על הנלמד בנושא הקודם. בקשו מהתלמידים להסביר ולהדגים את תשובותיהם למשימה מהמשימות הנוספות שבנושא. מיקום הנקודה המייצגת את המספר על ישר המספרים קובע לכמה חלקים חולק קטע היחידה, ובהתאם קובע את השבר המתאים לנקודה האדומה המסומנת. ראו הרחבה בנושא. כהכנה לנושא זה העוסק בבדיקת מידת הקרבה של שבר נתון ל-, מומלץ לבצע פעילות זו: שרטטו על הלוח ישר מספרים שבו קטע יחידה מחולק ל- חלקים שווים.., בקשו מהתלמידים לסמן על ישר המספרים נקודות בהתאם לשברים, כמו:,, ÂÏ ÌÈ ÈÓÏ איזה שבר משלים כל אחד מהשברים שסימנו ל-. Â ÂÓÓ Â Ú ÓÈ Ó הפוך לתלמידים מוצגת בעיה מילולית המזמנת דיון בהבנת משמעות השלם המורכב מסך כל החלקים שסכומם פירוק השלם לשלושה חלקים. הבעיה חזרה גם מזמנת בחיבור שברים בעלי מכנים שווים, נושא שנלמד בכיתה ד. אם יש צורך, המליצו לתלמידים להיעזר בגזרות של "שברים בעיגולים". ÂÓÈ! על-פי הסיפור החשבוני, השבר צריך להופיע פעמיים בתרגיל שהתלמידים כותבים בÛÈÚÒ. בÛÈÚÒ התלמידים מגיעים למסקנה כי לרוני לא נותר שוקולד. הנימוק יכול להתבסס על הצביעה של השלם באיור המצורף או על העובדה שסכום השברים בתרגיל שכתבו בסעיף א הוא שהוא שבר השווה ל-. ÓÈ Ó במשימה זו חזרה על העובדה כי השבר המייצג שלם שכל חלקיו צבועים הוא שבר שהמונה שלו שווה למכנה, והוא שווה ל-. שוחחו עם התלמידים והדגישו את הסיבה לכך. מספר החלקים שלהם חולק השלם ומספר החלקים הצבועים שווה. אם יש צורך, אפשר לבקש מהתלמידים לבנות בעזרת הגזרות של "שברים בעיגולים" ייצוגים נוספים לשברים השווים ל- או לצייר במחברת שרטוטים המתאימים לשברים השווים ל-. 7

38 השלמה ל- Â ÓÈ Ó ÌÈÙÈÚÒ ו- מכוונים את התלמידים להסיק מהו החלק החסר להשלמה ל- על-פי זיהוי החלק שאינו צבוע בשרטוט. אפשר להיעזר גם בתרגיל חיסור של שברים עם מכנים שווים או בתרגיל חיבור עם נעלם. התלמידים מיישמים את המסקנה שאליה הגיעו בפעילויות עד כה, ומזהים שברים השווים ל-. בÛÈÚÒ חשוב לחזור ולדון עם התלמידים בשאלה מדוע שבר שבו המונה שווה למכנה שווה ל-. ÓÈ Ó בהמשך לפעילות במשימה, במשימה זו בנוסף לזיהוי השברים שסכומם, התלמידים כותבים תרגיל חיבור לתיאור הפעילות. בדוגמה מומחשים כל איבר, הפעולה והתוצאה בעזרת "רצועות השברים". ÓÈ Ó, התלמידים מיישמים, בלי להיעזר בשרטוטים נלווים, את הידע שרכשו כדי לקבל את הסכום עליהם לקבל שבר שהמונה והמכנה שלו שווים זה לזה. בתרגילים ו-, יש אפשרות אחת להשלמת המונים החסרים. בתרגילים ו- יש יותר מאפשרות בÛÈÚÒ, אחת לפתרון נכון. במכנה. התלמידים מתבססים על ההבנה כי סכום המספרים במונים צריך להיות שווה למספר על התלמידים לבחור שברים, כרצונם, כך שבכולם יהיה אותו מכנה ושסכום המונים יהיה שווה בÛÈÚÒ למספר שבמכנה. התלמידים יכולים גם להתבסס על העובדה שיש שמות שונים לשבר, ולבחור שברים שבהם. + + המכנים שונים, לדוגמה: ההשלמה מתבססת על תובנה מספרית. התרגילים בסוגריים שבשורה הראשונה מכוונים את בÛÈÚÒ התלמידים להשלמת כל סוגריים לסכום השווה ל-, כך שהסכום הכולל שווה ל-, ולכן אין חשיבות לעובדה שבכל סוגריים שבתרגיל השמאלי המכנים שונים. בשני התרגילים הנוספים יש מספר אפשרויות להשלמת השברים החסרים. לדוגמה: אפשרות אחת לקבלת היא עבודה הסכום בשלבים: ל- 9 יש להוסיף 7 9 כדי לקבל יש ל-. להוסיף כדי לקבל. אפשרות אחרת היא לרשום שברים גדולים מ- או שני מספרים מעורבים, לדוגמה: אם יש צורך, התלמידים יכולים להיעזר בגזרות של "שברים בעיגולים" כדי להגיע לתשובה.