kefel 1-34

גודל: px
התחל להופיע מהדף:

Download "kefel 1-34"

תמליל

1 מטח המרכז לטכנולוגיה חינוכית שבילים מתמטיקה לבית הספר היסודי מדריך למורה תוכן העניינים מבוא לחוברות "שבילים" כיתה ד' כפל במאונך מספרים ראשוניים ומספרים פריקים חזקות נספחים

2 צוות המתמטיקה במטח ייעוץ מדעי פרופ פרלה נשר ריכוז הצוות ד ר שרה הרשקוביץ כתיבת החוברת לתלמיד והמדריך אסנת אפרת, ד"ר שרה הרשקוביץ, אנטולי קורפטוב, הגר רובינק צוות הפיתוח רגינה אובודנקו, ד ר אלכס אוליצין, אסנת אפרת, ד ר אילנה ארנון, דקלה בר גיל, ד"ר שושנה גלעד, ד ר ילנה זריא, הלית חפר, ד"ר ורדה טלמון, דורית כהן, ד ר לאונטי לבנברג, טובי מגדל, רותי מירון, ילנה נפתלייב, ד ר מיכל סוקניק, אנטולי קורופטוב, הגר רובינק, שלי רוטה, ד ר בבה שטרנברג עריכה חוה בן זקן, יעל רגב עריכת מגדר והפקה דליה בסון צוות הגרפיקה שירה בכר, איילת גוטרמן, ישי יגיל ריכוז השתלמויות ד ר אלכס אוליצין מזכירות הצוות לילך רון, קטרינה שחאדה עיצוב וביצוע גרפי של המדריך למורה חנה פילר עיצוב וביצוע גרפי של החוברת לתלמיד סטודיו ניצן שמיר - מעצבים איורים איתן קדמי הבאה לדפוס גדי נחמיאס הוצאה לאור המרכז לטכנולוגיה חינוכית הודפס בשנת 2006 תודתנו נתונה לבתי הספר היסודיים שהשתתפו בניסוי "שבילים" - כיתה ד, תשס"ו ועזרו לנו בתהליך היצירה והניסוי של חומר זה: "א.ד. גורדון" - תל אביב, "אור לטף" - גבעת אולגה חדרה, "אחד העם" - חדרה, "אם המושבות" - פתח תקוה, "ביה"ס לטבע סביבה וחברה" - תל אביב, "בלפור" - תל אביב, "בן גוריון" - קריית מוצקין, "גורדון" - קריית אתא, "דרור" - חיפה, "הדר השרון" - מושב חרות, "וייצמן" - קריית מוצקין, "זבולון המר" - טירת הכרמל, "יבנה" - גבעת אולגה חדרה, "יחדיו" - קיבוץ רמת הכובש, "מבואות" - באר טוביה, "ממ"ד הרי"ן" - רמלה, "מוריה" - חדרה, "ניצני אשכול" - מועצה אזורית אשכול, "פיק"א" - פתח תקוה, "צמח א" - אשדוד, "פרנקל" - ירושלים, "קדימה" - קריית ביאליק, "קציר" - קציר, "רבין" - שוהם, "רוטשילד" - אור עקיבא, "רוממה" - חיפה, "רמב"ם" - חיפה, "שזר" - תל אביב, "שילה" - פרדס חנה, "שפרינצק" - קריית גת. תודה מיוחדת נתונה לבי"ס שז"ר - הרצליה, שעזר לנו בתהליך היצירה והניסוי של פרקי השברים בכיתה ד. כל הזכויות שמורות למטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית קריית משה רואו, רח קלאוזנר 16, תל אביב, ת ד 39513, מיקוד צוות המתמטיקה - טל , דוא ל,math@cet.ac.il אתר באינטרנט מוקד תמיכה טלפוני של מטח בשעות 18:00-8:00 המספק תמיכה מקצועית: זכויות הקניין הרוחני, לרבות זכויות היוצרים והזכות המוסרית של היוצר/ים בחוברת זו, מוגנות. אין לשכפל, להעתיק, לסכם, לצלם, להקליט, לתרגם, לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, אופטי, מכני או אחר, כל חלק שהוא מחוברת זו. כמו כן, אין לעשות שימוש מסחרי כלשהו בחוברת זו, בכולה או בחלקים ממנה, אלא אך ורק לאחר קבלת רשות מפורשת בכתב ממטח (המרכז לטכנולוגיה חינוכית). 2

3 מבוא לחוברות "שבילים" כיתה ד' הסדרה "שבילים" מותאמת לתכנית הלימודים החדשה ומתבססת על: לקחים שהופקו מהפעלת הסדרות "אחת, שתיים ו...שלוש" ו"ועוד אחת" למהדורותיהן השונות במשך כ 25 שנה וממשוב של מורים ומדריכים. שתי הסדרות האלה נכתבו בידי צוות המתמטיקה של המרכז לטכנולוגיה חינוכית (מטח) וצוות המתמטיקה של האגף לתכניות לימודים במשרד החינוך (ת"ל). מחקרים עדכניים שנערכו בתחום הוראת המתמטיקה בארץ ובעולם. לקחים שהופקו מניסוי החוברות הנוכחיות בכיתות. המדריכים למורה כל אחד מהמדריכים למורה כולל הצעות לפעילויות ולדיונים עם התלמידים, חלקם מיועדים לעבודה עם כל תלמידי הכיתה וחלקם לעבודה עם קבוצות תלמידים קטנות יותר. חשוב לעשות עם התלמידים את הפעילויות המוצעות במדריך למורה, מכיוון שהן מעשירות את אלה שבחוברת לתלמיד, ולעתים קרובות משמשות הקדמה והכנה לדפי העבודה הכלולים בה. עם זאת אין הכרח לבצע עם כל התלמידים את כל הפעילויות. דפי העבודה מהחוברת לתלמיד משולבים במדריך למורה (במדריך הדפים האלה מוקטנים). בסוף המדריך למורה יש נספחים המיועדים לצילום לתלמידי הכיתה והם כוללים: דפי רב-דף דפים פתוחים שבדרך כלל אין בהם נתונים מספריים מסוימים. אפשר להשתמש ברב-דף כמו שהוא (התלמידים ישלימו את כל הנתונים החסרים בדף), ואפשר להשתמש בו גם כתבנית לדפים אחרים, כאשר רושמים לתלמידים מראש מקצת מהנתונים והתלמידים משלימים את השאר. באופן כזה אפשר ליצור דפים ברמות שונות, בהתאם לצורכי התלמידים השונים. מבדקים מבחנים המתאימים למהלך הפרק. משחקים הוראות ואבזרים למשחקים המיועדים לתלמיד בודד או לקבוצת תלמידים. הפניות לשימוש במשחקים אלה מופיעות ביחידות השונות במדריך למורה. דפי גזירה דפים לגזירת כרטיסים שישמשו את התלמידים בפעילויות השונות המוצעות במדריך למורה. מקצת הדפים האלה נמצאים גם בחוברות לתלמיד (שם הם מופיעים בצבע). באתר האינטרנט של מטח: math אפשר למצוא את דפי הגזירה וכן דוגמאות של דפים מהחוברת. האתר מתעדכן בפעילויות נוספות לאורך השנה. החוברות לתלמיד החוברות פותחות בפנייה למשפחה ובה הסבר קצר על נושאי הלימוד העיקריים. דפי העבודה בחוברות לתלמיד הם משני סוגים: יש דפי עבודה המתאימים לעבודה עצמית, ויש דפים המבוססים על דיונים ועל פעילויות (כיתתיות או קבוצתיות) המתוארות במדריך למורה. בדפי העבודה יש הפניות לפעילויות מתאימות במדריך למורה והערות להורים ולמורים. פעילויות מיוחדות בחוברות: מקצת הפעילויות מסומנות בסמל רצוי לעודד תלמידים המסוגלים לכך להתמודד עם פעילויות בדפים אלה יש פעילויות חזרה על נושאים שכבר נלמדו בפרקים אלה. יש דפים המסומנים בסמל Â Â ÈÁ קודמים וחשוב לחזור עליהם שוב. האבזרים לתלמיד העבודה בחלק מחוברות הלימוד מבוססת על פעילות באבזרים מוחשיים הנמצאים במארז אבזרים לתלמיד. 3

4 4

5 כפל במאונך תוכן העניינים מבוא לפרק "כפל במאונך" א. כפל ב 10, ב 100 וב 1,000 (תזכורת) ב. כפל בעשרות שלמות ובמאות שלמות ג. כפל בעזרת חוק הפילוג ד. כפל במאונך דרך מפורטת ה. כפל במאונך דרך מקוצרת שוב חישוב : - ישר המספרים פעולות במספרים שלמים נספחים לפרק מבדקים דפי רב דף משחק: כפל בטבלה משחק: כפל בקובייה

6 מבוא לפרק "כפל במאונך" בחוברת זו התלמידים ממשיכים לעסוק בפעולות החשבון, מכירים דרכים לפתרון תרגילי כפל של מספרים רב ספרתיים ולבסוף לומדים את האלגוריתם המקובל של כפל במאונך. במהלך הלימודים בשנים הקודמות הכירו התלמידים את פעולות החשבון (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) וגם חלק מהאלגוריתמים המקובלים לביצוען (חיבור במאונך, חיסור במאונך, כפל במאונך כשהכופל חד ספרתי). המטרות בחוברת זו: להרחיב את הידע של התלמידים על פעולות חשבון (כפל במאונך כשהכופל דו ספרתי ותלת ספרתי), לחזק מיומנויות שקנו התלמידים בשנים קודמות (חיבור, חיסור וכפל של מספרים בתחום האלפים בדרכים שונות) וכן להמשיך ולפתח את תובנת המספרים. בחוברת זו השתדלנו להקפיד על דרך ההוראה הזאת: - נקודת המוצא - עיסוק בבעיה מילולית או מצב מציאותי - פורמליזציה של הבעיה (או המצב) בעזרת תרגיל מתאים - פתרון התרגיל על ידי שימוש במיומנות הנדרשת. רצף ההוראה של הפרק "כפל במאונך" - רקע מתמטי ודידקטי א. כפל ב 10, ב 100 וב 1,000 (תזכורת) ביחידה זו עוסקים בדרכים שונות לחישוב בעל פה של תרגילים מסוגים שונים. דרכים אלה כבר נלמדו בכיתה ג', וכאן הן מופיעות כתזכורת בלבד. דרכי החישוב של כל תרגילי הכפל בעל פה מתבססות על שימוש בחוקי הפעולה (חוק הפילוג, חוק הקיבוץ וחוק החילוף) ועל הבנת המבנה העשרוני. דוגמה א: = 4,000 1,000 4 = 10) (100 4 = ) (4 = כאן נעשה שימוש בחוק הקיבוץ. 2, דוגמה ב: = 2, = כאן הפתרון מבוסס על חוק הפילוג ועל הבנת המבנה העשרוני. הערה דידקטית: תלמידים רבים "מכלילים" כפל בחזקות של 10 בעזרת הכלל של "הוספת אפסים". יש להדגיש שכלל זה תקף רק בקבוצת המספרים השלמים השונים מאפס ומשמש דרך לזכור מושג מתמטי מוגדר היטב. חשוב שהתלמידים ילמדו מדוע "הכלל עובד" ולא יסתמכו על זכירת הכלל. ב. כפל בעשרות שלמות ובמאות שלמות בדוגמאות שלהלן נפרט את סוגי התרגילים ביחידה זו ונראה מה הם החוקים שכל סוג תרגילים מתבסס עליהם. דוגמה א - פתרון המבוסס על חוק הקיבוץ: כאן נעשה שימוש בחוק הקיבוץ = 6 (4 10 ) = (6 4) 10 = = 240 6

7 מבוא לפרק "כפל במאונך" דוגמה ב - פתרון שמשתמשים בו בחוק החילוף (יחד עם חוק הקיבוץ): כאן נעשה שימוש בחוק החילוף. כאן נעשה שימוש בחוק הקיבוץ = (6 10) 3 = 6 (10 3) = (6 3) 10 = 180 הערה דידקטית: התלמידים אינם צריכים לדעת לפרט בכל פתרון את החוקים שבהם משתמשים. המידע הכתוב כאן מיועד למורה בלבד. ג. כפל בעזרת חוק הפילוג בכיתה ג' כבר הכירו התלמידים פתרון של תרגילי כפל על ידי פילוג. הם למדו כפל מספר רב ספרתי במספר חד ספרתי וכפל מספר דו ספרתי במספר בעשרות שלמות. בכיתה ד' חוזרים על סוגים אלה ומרחיבים את תחום המספרים שהתלמידים עוסקים בו. להלן פירוט של פתרון התרגילים מהסוגים השונים המבוסס על חוק הפילוג ועל הבנת המבנה העשרוני. - כפל מספר רב ספרתי במספר חד ספרתי: = = = כפל מספר דו ספרתי במספר בעשרות שלמות: = = = כפל מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי: = = = 1, יש להדגיש שבפתרון התרגילים לא תמיד יעיל להשתמש בפילוג לפי המבנה העשרוני או בפילוג של כפל מעל חיבור. יש מצבים מסוימים שבהם נוח יותר להשתמש בדרכים אחרות. פירוט על כך נביא בהמשך, כשנדון בפעילויות שבחוברת לתלמיד. 7

8 מבוא לפרק "כפל במאונך" ד. כפל במאונך (דרך מפורטת) ביחידה זו נלמדת דרך פתרון של תרגילי כפל של מספרים רב ספרתיים, שבה כל שלב בתהליך (כל מכפלה חלקית) נכתב במפורט. דרך זו מבוססת על המבנה העשרוני של המספרים הרב ספרתיים, והמטרה המרכזית של לימוד הכפל בדרך זו היא העמקת ההבנה של המבנה העשרוני של המספרים. האלגוריתם המקובל לחישוב הכפל הוא למעשה כתיבה מקוצרת של הדרך הנלמדת בשלב זה, והמעבר אליו נעשה ביחידה הבאה. לפיכך מטרה נוספת היא שהדרך הנלמדת כאן תשמש בסיס להבנת האלגוריתם המקובל ותמנע את טעויות החישוב השכיחות אצל תלמידים המבצעים את החישוב בלי הבנה. האלגוריתם של כפל במאונך מבוסס על חוק הפילוג ועל הבנת המבנה העשרוני. דוגמה: לפי המבנה העשרוני: = לכן ניתן לכתוב את התרגיל כך: 6 7) ( = לפי חוק הפילוג נקבל: = 2, = 2, אפשר לפתור תרגיל זה במאונך כך: יח' עש' מא' אל' 7 יחידות 6 3 עשרות 6 4 מאות זיכרון התוצאה הערות: א. שורת הזיכרון הכתובה בפתרון משמשת לזיכרון של תרגיל החיבור שאותו מחשבים לאחר שכופלים את היחידות, העשרות והמאות של המספר התלת ספרתי. כתיבת שורת הזיכרון נעשתה כאן רק כדוגמה. כל מורה ישקול אם להשתמש בכתיבה כזאת לפי הצרכים הלימודיים של כיתה מסוימת. בחוברת לתלמיד לא השארנו מקום מיוחד לזיכרון ב. חשוב לשים לב למקום שכותבים את מכפלת העשרות ולמקום שכותבים את מכפלת המאות. יש תלמידים השוגים וכותבים את המכפלות כך: יח' עש' מא' אל' יח' עש' מא' אל' לתלמידים אלה כדאי להמליץ לפרט את מהלך הפתרון כך: התוצאה 8

9 מבוא לפרק "כפל במאונך" באותו האופן אפשר לפתור גם תרגילי כפל של מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי. דוגמה: לפי המבנה העשרוני: = לכן: = 9) ( = לפי המבנה העשרוני גם: = לכן: 9 3) ( ) (60 + = ממשיכים לפתור בעזרת חוק הפילוג ומקבלים: = 1, = 1,827 פתרון התרגיל במאונך: יח' עש' מא' אל' התוצאה ה. כפל במאונך (בדרך מקוצרת) חשוב לציין ששליטה טובה באלגוריתם המקובל (הדרך המקוצרת) איננה המטרה העיקרית של הפרק, ותלמידים שיתקשו בלימודו יכולים לוותר עליו ולפתור את תרגילי הכפל בדרך המפורטת את התרגיל שפתרנו בעמוד הקודם בדרך המפורטת אפשר לפתור בדרך מקוצרת כמו בדוגמה שממול: בדרך זו כותבים מעל הספרות המתאימות בתרגיל את הספרות שצריך לזכור. התוצאה 2 4 יח' עש' מא' אל' יש תלמידים ששוכחים להוסיף את הספרות הכתובות בזיכרון, לדוגמה: 1 יח' עש' מא' אל' דוגמה לטעות שכיחה אחרת - מוסיפים את הספרה שבזיכרון לפני שכופלים: 1 יח' עש' מא' אל' דוגמה לדרך הפתרון המקוצרת של תרגיל כפל של מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי שאותו פתרנו קודם בדרך המפורטת: התוצאה יח' עש' מא' אל' 9

10 א. כפל ב 10, ב 100 וב 1,000 (תזכורת) פעילויות פתיחה ניתן לפתוח את הנושא בעזרת ישר המספרים. תלמידים שאינם זוכרים את הכלל הפורמלי של כפל ב 10 וב 100 יכולים להיעזר במודל של ישר המספרים, שיש בו שימוש בחיבור חוזר = פתרו בעזרת ישר המספרים. דוגמה ˇ = ˇ = בפעילות הזאת התלמידים אמורים להיזכר איך כופלים מספר שלם שונה מאפס ב 10 וב 100 ועל סמך זה להגיע לכלל איך כופלים ב 1, האם אתם זוכרים את הכללים? א. איך כופלים מספר שלם שונה מאפס ב 10? ב. איך כופלים מספר שלם שונה מאפס ב 100? ג. איך כופלים מספר שלם שונה מאפס ב 1,000? בדרך כלל התלמידים קולטים את הכללים האלה די מהר, אך מקצתם אינם שמים לב למהות הכללים - הגדלת המספר הנכפל פי 10, פי 100 ופי 1,000. לכן מומלץ לדון עם התלמידים בשאלות האלה: מה הקשר בין הגורם שכופלים ובין המכפלה כשכופלים את הגורם ב 10? כשכופלים את הגורם ב 100? כשכופלים את הגורם ב 1,000? רצוי להציע לתלמידים לכתוב במילים כמה מתוצאות הכפל ולבטא אותן בקול רם. כמו כן מומלץ לבצע פעילות הפוכה: להשמיע לתלמידים כמה מספרים ולבקשם לכתוב את המספרים האלה בצורה מקובלת. 10

11 א. כפל ב 10, ב 100 וב 1,000 (תזכורת) עמוד 6 פעילות 2 ופעילות 4 את כל התרגילים בפעילויות אלה אפשר לפתור בכמה דרכים: שימוש בכלל הפורמלי שימוש במבנה העשרוני דוגמה: 1, הם תשעה עשר אלף, וכותבים זאת כך: 19,000. שימוש בחוק הקיבוץ דוגמה: = 4,000 1,000 4 = 10) (100 4 = ) (4 = כל אחד מהתלמידים יפתור בדרך הנוחה לו. יש להדגיש שהתלמידים אינם חייבים לשלוט במושגים הפורמליים של חוקי החשבון מספיקה מיומנות מעשית. כדי להקנות לתלמידים הרגל להשתמש בשפה המתמטית המקובלת מומלץ להזכיר להם את המונחים שמשתמשים בהם בפעולת הכפל (גורם, גורם, מכפלה). יש לצפות שבשלב זה רוב התלמידים ישתמשו בכלל הפורמלי לפתרון התרגילים. מומלץ לדון עם התלמידים על הקשר שבין הגורם למכפלה כאשר כופלים את הגורם ב 10, ב 100 וב 1,000 ולשאול אותם איך קשר זה בא לידי ביטוי במבנה העשרוני של המספרים. ייתכן שיהיו תלמידים שיתקשו בכתיבה ובקריאה של תוצאות הכפל. 11

12 א. כפל ב 10, ב 100 וב 1,000 (תזכורת) עמוד 7 פעילות 5 בפעילות זו יש אוסף של משוואות. מומלץ לדון בחשיבות של בדיקת הפתרונות. את הפתרונות אפשר לבדוק בעזרת כללי הכפל ב 10, ב 100 וב 1,000 או בעזרת חוק הקיבוץ. לדוגמה, פתרון סעיף ג: = 60,000 1, בדיקה: = 60, = 1, כל פעם התוצאה גדלה פי 10 ומקבלים בשלבים את המכפלות האלה: 60,000. 6,000, 600, פעילות 6 אפשר לענות על הבעיה בשתי דרכים: א. בעזרת תרגיל שרשרת מחשבים את סך כל הימים (17 18) + ואחר כך מחשבים את סך כל השעות: 10 17).(18 + ב. מחשבים לחוד את מספר השעות ביולי (10 18) ולחוד את מספר השעות באוגוסט (10 17), ואחר כך מחשבים את סך כל השעות: (10 18) + (10 17). יש תלמידים שטועים ופותרים את הבעיה בעזרת תרגיל שרשרת הכתוב כך: לתלמידים אלה אפשר להציע להשוות בין תרגיל זה לתרגיל הכתוב כך: 10 (17 18) + מה דומה בשני התרגילים? מה שונה בהם? כמו כן אפשר להציע לתלמידים לכתוב בעיה מילולית שאפשר לפתור בעזרת התרגיל הראשון ובעיה שאפשר לפתור בעזרת התרגיל השני. פעילות 8 מקצת התלמידים מבלבלים בין הפעולות כפל וחיבור. פעילות זו עוסקת בהבחנה בין שתי הפעולות. כדאי לדון עם התלמידים על הקשר שבין גורם למכפלה כאשר כופלים את הגורם ב 10 לעומת הקשר שבין מחובר לסכום כאשר מוסיפים למחובר 10. לדוגמה, אפשר לשאול: מה קורה למספר הספרות של מספר לאחר שכופלים אותו ב 10 בהשוואה למספר הספרות של מספר לאחר חיבור של 10? בכל פעם שכופלים מספר טבעי ב 10 מספר הספרות גדל. לעומת זאת בחיבור 10 למספר יש להבחין בין מקרים שונים: בדרך כלל מספר הספרות אינו גדל, לדוגמה: = 50 ואולם יש לשים לב גם למקרים "מיוחדים", לדוגמה: =

13 א. כפל ב 10, ב 100 וב 1,000 (תזכורת) עמוד 8 פעילות 9 ביצוע הפעילות דורש מהתלמידים גם חוש למספרים (במקרים שאפשר להשלים ספרות) ויכולת הנמקה (במקרים שאי אפשר להשלים ספרות). דוגמה: = במקרה זה אי אפשר להשלים ספרות. נימוק אפשרי: כאשר כופלים ב 10, הספרה האחרונה במכפלה היא תמיד אפס. פעילות 11 יש תלמידים שפותרים כך: = יש להבהיר שפתרון זה איננו נכון בפעילות זו, משום שהם התבקשו להשלים כאן אותו מספר בשני המקומות. פעילות 12 בפעילות זו יש תרגילי שרשרת שבהם פעולות חשבון שונות. אפשר לשאול את התלמידים שאלות נוספות, לדוגמה: - מה יקרה אם נשנה את סדר הפעולות? - מה יקרה אם נשנה את המספר ההתחלתי? פעילות דומה אפשר למצוא ברב דף 1, פעילות 2 (בסוף מדריך זה, עמוד 71). מבדק ליחידה א בסוף המדריך, עמוד

14 ב. כפל בעשרות שלמות ובמאות שלמות המטרה: להוליך את התלמידים לטכניקה של כפל בעשרות שלמות ובמאות שלמות (או להזכיר אותה) על ידי "גילוי עצמי". פעילויות פתיחה 1. פתרו בדרך הנוחה לכם. א כל אחד מ 3 משרדים הזמין בקייטרינג 6 חבילות אוכל. כמה מנות אוכל יש להכין בקייטרינג, אם ידוע שכל חבילה מכילה 10 מנות? חישוב: תשובה: הבעיה הזאת משמשת פתיחה ליחידה זו. אפשר לפתור אותה בשתי דרכים לפחות: דרך א: = (6 3) המספר הכולל של החבילות כפול מספר המנות בחבילה. דרך ב: = (10 6) מספר המנות לכל משרד כפול מספר המשרדים. ב ארוחת ילדים במסעדה עולה 40 שקלים. כמה עולות 200 ארוחות? חישוב: תשובה: דיון: בכמה דרכים אפשר לפתור את הבעיה? 2. רונית, טל ושירה פתרו את תרגיל הכפל הזה: שתיים מהבנות השתמשו בישר מספרים ריק. טל פתרה כך: = רונית פתרה כך: 3 20 = 60 שירה פתרה בלי להשתמש בישר מספרים: 3 20 = = 6 10 = 60 14

15 ב. כפל בעשרות שלמות ובמאות שלמות דיון: מה דומה ומה שונה בשלוש דרכי הפתרון? בדיון אפשר להדגיש שבכל הדרכים התקבלו תוצאות שוות, אף שהדרכים שונות: א. חיבור חוזר של 20 מחוברים שווים ב. חיבור חוזר של 3 מחוברים שווים ג. שימוש בחוק קיבוץ. כל הדרכים נכונות, אך מומלץ לדון ביעילות של כל אחת מהן. רצוי להגיע לידי מסקנה שהשימוש בחוקי החשבון הוא היעיל ביותר. עמוד 9 פעילות 1 לפני פתרון התרגילים מומלץ לדון על הקשר ביניהם ולשער מה יהיה הקשר בין התוצאות ורק לאחר מכן לפתור ולבדוק את ההשערות. פעילות 2 בפעילות זו יש דיון פתוח שאמור להדגיש דרכים שונות של חישוב. אין להגיע לידי מסקנה מכריעה. כל אחד מהתלמידים יכול לפתור בדרך הנוחה לו ביותר. פעילות 4 בפעילות זו התלמידים אינם נדרשים לפתור תרגילי כפל, אלא ניתנת להם משימה הפוכה: המכפלה נתונה, והתלמידים מתבקשים לכתוב תרגילים שונים המתאימים לה. שימו לב גם לאפשרות הזאת: 2,400 1 = 2,400. יש תלמידים שאינם שמים לב לכתוּב בהוראה וחושבים כי המשימה היא לכתוב תרגיל כלשהו (ולא תרגיל כפל דווקא) שתוצאתו היא 2,400, לדוגמה: = 2, , , = 2,400 מומלץ לדון עם התלמידים על החשיבות של קריאת ההוראה והבנת הנקרא. מבדק ליחידה ב בסוף המדריך, עמוד

16 ג. כפל בעזרת חוק הפילוג עמוד 10 פעילות 5 הפעילות עוסקת בפתרון משוואות. התלמידים יכולים לכתוב דרכים שונות לפתרון. לדוגמה: בסעיף א נתונה המשוואה הזאת: = דרכי פתרון אפשריות: בעזרת תרגיל החילוק המתאים: = 30 5,150 : ולכן = על ידי נסייה וטעייה, למשל: 5 10 = = = 150 בעזרת תרגיל שרשרת ושימוש בחוק הקיבוץ: (5 3) 10 = 5 (3 10) = 5 30 = 150 אפשר לציין שדרך הפתרון אינה תלויה במקום של הגורם במכפלה (משמאל לסימן הכפל או מימין לו) זהו חיזוק נוסף להבנת חוק החילוף של כפל במספרים טבעיים. רב דף 1 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 71. עמוד 11 פעילות 1 פעילות זו משמשת פתיחה לנושא. ההדגמה הגרפית משמשת כלי לבדיקה מעשית של התשובה. (אפשר למנות את הנקודות ולהשתכנע בנכונות התשובה.) אפשר לבקש מהתלמידים להציע דרך לפתרון הבעיה. בניסוי ראינו שיש תלמידים שמתחילים למנות את הנקודות ויש תלמידים שמחפשים דרך יעילה יותר (חיבור חוזר, כפל). יש לעודד את התלמידים להשתמש בדרך היעילה ביותר במקרים האלה - חישוב בעזרת תרגיל כפל. כנימוק נוסף ליעילות של תרגיל כפל אפשר להביא בעיה דומה שיש בה מספר גדול של שורות ומספר גדול של נקודות בכל שורה. 16

17 ג. כפל בעזרת חוק הפילוג עמוד 12 בפעילות 3 יש תלמידים שכותבים לבעיה פתרון שגוי כזה: = 20 8 = 160 לתלמידים אלה מומלץ להזכיר את סדר פעולות החשבון ואת תפקיד הסוגריים, ולאחר מכן לבקש מהם לתקן את הפתרון שלהם. הפתרון הנכון: = = 8 13) (7 + או = = 8 13) (7 + פעילות 4 משמשת הקדמה לדיון שיופיע בהמשך, בפעילות 5, על פילוג מעל חיבור ופילוג מעל חיסור. בפעילות 5 מוצגות שתי דרכים לפתרון אותו תרגיל - פילוג מעל חיבור ופילוג מעל חיסור. שתי הדרכים נכונות, ובכל סעיף בפעילות 6 התלמידים יכולים לשקול באיזו דרך נוח יותר לפתור. בדרך כלל התלמידים נוטים להשתמש בפילוג מעל חיבור, ואולם בסעיף ג נוח להשתמש גם בפילוג מעל חיסור כך: = =

18 ג. כפל בעזרת חוק הפילוג עמודים נושא הפעילויות בעמודים האלה הוא כפל מספר תלת ספרתי במספר חד ספרתי וכפל מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי. המודל המוצע כאן הוא המודל של מלבני כפל. בכל מלבן כפל מפרידים (מפלגים) את הגורם (או את שני הגורמים) לפי המבנה העשרוני שלהם. ההפרדה הזאת מסייעת לבצע את תרגיל הכפל בעל פה ובזאת חשיבותה. כמו כן פילוג לפי המבנה העשרוני משמש הכנה ללימוד כפל במאונך. שימו לב, בעמוד 16 אלה הוצעו גם פילוגים שלא לפי המבנה העשרוני. רצוי לדון בדרכים השונות ולהשוות ביניהן: במה הדרכים האלה שונות? (פילוגים שונים) במה הן דומות? (אותה תוצאה) אפשר לשאול את התלמידים איזו דרך נראית להם היעילה ביותר ומדוע. כפעילות פתיחה לתרגילי כפל של מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי (עמוד 17) אפשר להציע לתלמידים את הבעיה הזאת: לאבא היה שדה מלבני. אבא חילק את השדה בין ארבעת ילדיו (דן, רז, דנה ורונה) באופן כזה: 30 מ' 9 מ' 20 מ' החלק של רז החלק של רונה 7 מ' החלק של דנה החלק של דן - חשבו שטחי החלקים של הילדים. - חשבו את שטח השדה כולו. בכמה דרכים אפשר לחשב? 18

19 ג. כפל בעזרת חוק הפילוג רב דף 2 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד

20 ג. כפל בעזרת חוק הפילוג עמוד 19 פעילות 23 פעילות זו משמשת משימת חקר. יש לעודד את התלמידים לחפש קשרים שונים בין המכפלות. מטרת הפעילות היא להראות קשר בין כפל לחיבור. כך, למשל, שורה ראשונה ניתנת להשלמה בשתי דרכים: א. על ידי כפל: = 101, = 202, = 303, = 404 ב. על ידי חיבור: 101, = 202, = 303, = 404 אפשר לבקש מהתלמידים לחפש גם קשרים אחרים, למשל, קשר בין המכפלות באלכסון האחר, באלכסונים קצרים וכדומה. פעילות 24 כהכנה לפעילות זו אפשר לבדוק מקרים פרטיים, ורק אחר כך להגיע לידי הכללה. פעילות 25 לפני ביצוע הפעילות אפשר להציע לתלמידים לשער מה יהיו התוצאות הסופיות בשני המקרים המוצגים בפעילות: א. בוחרים מספר, מכפילים אותו ב 5 ולתוצאה מוסיפים 5: = ב. לאותו מספר שבחרנו קודם מוסיפים 1, ואת התוצאה כופלים ב 5 : = 5 (1 + ) האם בשני המקרים יתקבלו תוצאות שוות? 20

21 ג. כפל בעזרת חוק הפילוג עמוד 20 פעילות 26 פעילות זו ממשיכה את פעילות 24 מהעמוד הקודם. מהתלמידים נדרש להבין ששינוי בגורמים גורר שינוי גם במכפלה. התלמידים יכולים לפתור בדרכים שונות: - לפתור כל סעיף ולהשוות את התוצאות. - לשים לב, למשל, שבתרגיל המקורי יש 4 פעמים 35 ואילו בסעיף א יש רק שלוש פעמים 35. מומלץ לעודד את התלמידים להשלים את הסעיפים בלי חישובים אלגוריתמיים פורמליים אלא בעזרת שיקולים לוגיים שיוליכו לחישובים בעל פה. פעילות 27 התלמידים מתבקשים לזהות את ספרת היחידות בתוצאה של תרגילי כפל. המיומנות הזאת יעילה במצבים רבים בחשבון, אבל בראש ובראשונה בבדיקת הנכונות של פתרון התרגילים. עמוד 21 פעילות 28 שימו לב, יש שוני מהותי מבחינת התלמידים בין התרגיל (שבו ספרת היחידות של התוצאה היא תוצאה מיידית של כפל 3 ב 2 ) ובין התרגיל (שבו ספרת היחידות של התוצאה היא הספרה האחרונה במכפלה המתקבלת מכפל של 9 ב 8 ). פעילות 29 את הפעילות הזאת אפשר לבצע גם בעזרת חישובים וגם בעזרת אומדן. למשל, בתרגיל הגורם השני (199) קטן מ 200, ולכן התוצאה של תרגיל הכפל קטנה מהתוצאה של התרגיל 200 3, כלומר קטנה מ 600. מבדק ליחידה ג בסוף המדריך, עמוד

22 ד. כפל במאונך דרך מפורטת התלמידים כבר עסקו בכפל במאונך בכיתה ג'. בכיתה ד' מחזקים ומרחיבים את הנושא הזה. באיור שבראש עמוד 22 מודגש הקשר בין כפל במאונך בדרך מפורטת לבין כפל בעזרת פילוג (מלבן כפל). בעצם אפשר לומר שהדרך המפורטת של כפל במאונך היא שיטה אחרת של שימוש בחוק הפילוג. יש להדגיש ששיטה זו מאפשרת שימוש באלגוריתמים קודמים, למשל, חיבור במאונך. שימו לב, יש דרכים שונות לרשום כפל במאונך: אפשר לכתוב את שורת הזיכרון המשמשת לזיכרון של תרגיל החיבור שמחשבים לאחר שכופלים את היחידות, העשרות והמאות של מספר רב ספרתי במספר חד ספרתי. אפשר לכתוב בצד את כל החישובים של החיבור. אפשר לכתוב בתרגיל את המכפלות בלבד ולבצע את כל החישובים בעל פה. כל מורה יבחר את השיטה המתאימה לצרכים של תלמידי כיתתו. כל השלבים כפל במאונך מבוססים על כפל בתוך לוח הכפל ועל חיבור במאונך. לכן מומלץ לחזור עם התלמידים על מיומנויות האלה. עמודים בפעילות שבעמודים אלה יש תרגילי כפל של מספר תלת ספרתי במספר חד ספרתי. מומלץ לפתור אותם עם המורה. לפני שהתלמידים מתחילים לפתור כל תרגיל, רצוי לדון בשאלה: כמה שורות יהיו מתחת לשורות התרגיל? מדוע? בעמודים האלה מופיעים גם תרגילים שיש בהם הספרה אפס. יש תלמידים שמבלבלים בין כפל באפס ובין חיבור של אפס. לכן מומלץ להזכיר לתלמידים אלה איך כופלים באפס. כדי למנוע מהתלמידים טעויות מומלץ להזכיר להם לייחד שורה נפרדת לכל הכפלה באפס. שימו לב, את התרגילים אפשר לפתור בכמה דרכים: בכפל במאונך, בעזרת מלבנים או בעזרת פילוג. אין למנוע מהתלמידים להשתמש בדרכים האלה. רב דף 3 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד

23 ד. כפל במאונך דרך מפורטת עמוד 24 בתרגילים שבעמוד זה כופלים מספר ארבע ספרתי במספר חד ספרתי. עמוד 25 בעמוד זה יש דוגמה של כפל במאונך של מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי. שימו לב: שלבי הפתרון המוצגים בעמוד זה קרובים לאלגוריתם המקובל (של כפל במאונך בדרך מקוצרת), משום שהתלמידים נדרשים לבצע אותם בסדר קבוע ונדרש מהם להבין היטב את המבנה העשרוני של המספרים. כדי להדגיש את הסדר הנכון של שלבי הפתרון הוספנו חצים בתוך התרגיל (מובן שאין התלמידים נדרשים לסמן חצים כאלה). 23

24 ד. כפל במאונך דרך מפורטת עמוד 26 סעיף א יש להביא את כל התלמידים לידי מסקנה שבתרגיל זה כדאי להחליף את סדר הגורמים כדי לפתור את התרגיל בדרך קלה יותר. למשל, אפשר להציג להם סעיף זה כך: + רון פתר כך: יח' עש' מא' אל' שירה פתרה כך: יח' עש' מא' אל' השוו את הפתרונות של שני התלמידים. איזו דרך נוחה יותר? לחיזוק המיומנות של כפל מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי אפשר להציע לתלמידים לשחק במשחק כפל בטבלה. הוראות המשחק ולוח המשחק בסוף מדריך זה, עמוד

25 ד. כפל במאונך דרך מפורטת עמוד 27 את רוב התרגילים בפעילות זו אפשר לפתור בעל פה ולא בכפל מאונך דווקא. כך למשל בסעיפים ב ו ה אחד הגורמים הוא 100. בכפל ב 100 עסקו התלמידים בתחילת הפרק. בסעיפים ג ו ד יעיל להשתמש בפילוג. לדוגמה, את התרגיל שבסעיף ד פותרים בעזרת פילוג כך: = = 2, = 2, בסעיף א אפשר להגדיל את המספר 50 פי 2 ומקבלים את התרגיל תוצאת התרגיל החדש היא 4,100. מכיוון שהגדלנו את אחד הגורמים פי 2, תוצאה זו גדולה פי 2 מהתוצאה המבוקשת, ולכן יש להקטין את התוצאה הזאת פי = 2,050 2: 2 4,100 : בסעיף ג כופלים לראשונה מספר תלת ספרתי במספר דו ספרתי. רצוי לדון כאן בשאלה: כמה שורות יהיו מתחת לשורות הגורמים? מדוע? לאחר מכן אפשר לתת לתלמידים לנסות לפתח שיטה לפתרון בכוחות עצמם. רצוי להדגיש שדרך הפתרון שהם למדו מתאימה לכל המספרים ללא תלות במספר הספרות שבכל אחד מהגורמים. עמוד 28 חלק מהתלמידים מנסים לפתור את התרגיל שבפעילות 3 בעזרת פילוג מורחב = ( ) ( ) = = במקרה כזה אפשר להציע לתלמידים להשוות את הדרך שלהם לדרך המפורטת של כפל במאונך ולהביע את דעתם על היעילות של שתי הדרכים. 25

26 ד. כפל במאונך דרך מפורטת עמוד 29 בפעילות 6 בכל התרגילים פרט לסעיף ג יש אפס באחד הגורמים או בשניהם. בדיון בכיתה כדאי להביא את התלמידים לידי מסקנה שבמקרה של כפל באפס אפשר לחסוך שורות ולכתוב כמו בדוגמאות שלהלן. סעיף א במקום לכתוב כך: אפשר לכתוב כך: סעיף ז במקום לכתוב כך: אפשר לכתוב כך: עמוד 30 בעמוד זה יש בעיות שלפתרונן משתמשים בתרגילי כפל. את בעיות 8 ו 9 אפשר לפתור בתרגיל אחד או בכמה תרגילים. 26 מבדק ליחידה ד בסוף המדריך, עמוד 67.

27 ה. כפל במאונך דרך מקוצרת הוראת הכפל בדרך מקוצרת מיועדת למי שכבר למד לפתור תרגילי כפל במספר חד ספרתי בדרך המקוצרת בפרק "כפל עד 10,000" (כיתה ג'). מי שלא למד - צריך להשלים את הלימוד על פי פרק זה. יש להדגיש שבתכנית הלימודים הנוכחית נדרש להביא את התלמידים לידי שליטה בכפל מספרים בתחום ה 1,000 בדרכים המוכרות לתלמידים, ולא באלגוריתם המסורתי דווקא. לכן יש להרשות לתלמידים להתקדם לפי יכולתם ולהשתמש בדרכים שנלמדו קודם. עמוד 31 עמוד זה משמש תזכורת לפתרון בדרך מקוצרת. בעמוד זה כופלים מספר תלת ספרתי במספר חד ספרתי, ולכן בדרך הפתרון יש רק שורה אחת. מומלץ לקשר את פתרון התרגיל שבדוגמה בדרך המקוצרת לפתרון של אותו תרגיל בדרך המפורטת. הדרך המפורטת: הדרך המקוצרת: בשתי הדרכים כופלים במספר החד ספרתי (ב 3 ) קודם את היחידות של המספר התלת ספרתי (7), אחר כך את העשרות שלו (3) ולבסוף את המאות שלו (4). אבל בכפל בדרך מקוצרת במקום לכתוב כל תוצאה של כפל בשורה נפרדת ולסכם את הכול בסוף - מסכמים את המספרים בתוך כדי הכפל (אפשר להשתמש לשם כך בזיכרון). 27

28 ה. כפל במאונך דרך מקוצרת עמוד 32 בעמוד זה כופלים מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי, ולכן בדרך הפתרון יש שלוש שורות: שתי שורות של מכפלות ושורת הסכום. רב דף 4 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 74. עמוד 33 התרגיל שבדוגמה: בעמוד זה כופלים מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי שיש בו 0 (עשרות שלמות). השיטה המסורתית של כפל מאונך בדרך מקוצרת דורשת לבצע את הרישום הזה: תוצאת ההכפלה בספרת היחידות 0 של הגורם 60 תוצאת ההכפלה בספרת העשרות 6 של הגורם 60 הרשומה בהזזה של מקום אחד שמאלה (מקום העשרות) מומלץ להביא את התלמידים לידי מסקנה שבמקרה הזה רישום בשתי שורות מיותר (אף שהוא מותר) ורצוי לחסוך שורה ולרשום את המכפלות בשורה אחת, כמו בדוגמה שבחוברת לתלמיד. 28

29 ה. כפל במאונך דרך מקוצרת סעיף ג בתרגיל זה אין להשתמש ברישום חסכוני, משום שלפי סדר הרישום כאן כופלים תחילה את ספרת היחידות 2 של הגורם 42 בגורם 30, והתוצאה איננה אפס, לכן יש לרשום אותה בשורה נפרדת: אם משתמשים בחוק החילוף אפשר לפתור את התרגיל כך: מומלץ לדון עם התלמידים על אפשרות פתרון זו שהיא נוחה יותר. רב דף 4 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 74. עמוד 34 בעמוד זה יש תרגילי כפל של מספר תלת ספרתי במספר דו ספרתי. שימו לב, בסעיפים ד ו ה כופלים מספר תלת ספרתי שיש בו 0 במספר תלת ספרתי, ואולם עובדה זו אינה משנה את דרך הפתרון של כפל במאונך בדרך מקוצרת. 29 רב דף 4 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 74.

30 ה. כפל במאונך דרך מקוצרת עמוד 35 פעילות 5 פעילות זו אפשר לפתור בדרך של נסייה וטעייה. המטרה כאן להביא את התלמידים לידי המסקנות האלה: המכפלה גדולה יותר ככל שהגורמים גדולים יותר. הסכום גדול יותר ככל שהמחוברים גדולים יותר. ההפרש הגדול ביותר מתקבל כאשר המחוסר הוא הגדול ביותר והמחסר הוא הקטן ביותר. כהמשך לפעילויות המופיעות בעמוד הזה אפשר להציע לתלמידים את המשחק כפל בקובייה. לוח המשחק והוראות המשחק בעמוד 76 במדריך זה. 30

31 ה. כפל במאונך דרך מקוצרת עמודים מבדק ליחידה ה בסוף המדריך, עמוד 68. מבדק מסכם לפרק "כפל" בסוף המדריך, עמודים

32 שוב חישוב ישר המספרים עמודים בעמודים אלה יש פעילויות חזרה הקשורות לישר המספרים ולמספרים מכוונים. עמוד 39 פעילות 1 בסעיף ב התלמידים מתבקשים לתכנן ישר מספרים, כלומר לסמן שנתות במרווחים שווים ולבחור יחידה מתאימה. בפעילות זו היחידה שכדאי לבחור היא 100. אין חובה לסמן גם את המספר 0, אבל מומלץ לעשות זאת. בחירה טובה של מקום המספר 0 מקלה את העבודה ומדגישה את המשמעות של מספרים מכוונים. עמוד 39 פעילות 3 ועמוד 40 פעילות 4 יש לשים לב לתכנון נכון ונוח של ישר המספרים: סימון האפס בנקודה מתאימה, בחירת היחידה הנוחה והקפדה על סדר המספרים אחרי הסימון. כך, למשל, בפעילות 3 (עמוד 39) היחידה שכדאי לבחור היא 1,000 ש"ח ומומלץ לסמן את המספר 0 כך שמימינו יהיה מקום לסימון 12 יחידות לפחות ומשמאלו 7 יחידות לפחות. אפשר להציע לתלמידים להתנסות בפעילות ואחר מכן לדון בתשובותיהם. 32

33 שוב חישוב פעולות במספרים שלמים עמודים

34 מספרים ראשוניים ומספרים פריקים תוכן העניינים מבוא לפרק "מספרים ראשוניים ומספרים פריקים" א. מספר ראשוני ומספר פריק ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים ג. בניית מספר מגורמים ראשוניים נספחים לפרק מבדק מסכם דפי רב דף 5 ו כרטיסי מספרים לוח המאה

35 מבוא לפרק "מספרים ראשוניים ומספרים פריקים" הנושא "מספרים ראשוניים ומספרים פריקים" בתכנית הלימודים של משרד החינוך (תשס"ו) לפי תכנית הלימודים יש לייחד לנושא כ 5 שעות לימוד. תיעשה הבחנה בין מספרים ראשוניים לבין מספרים פריקים (בחוברת לתלמיד - עמודים 49-48): א. מספר ראשוני הוא מספר טבעי שיש לו שני מחלקים (גורמים) שונים בדיוק: 1 והמספר עצמו. ב. מספר פריק הוא מספר שיש לו יותר משני מחלקים. יובהר כי 1 אינו מוגדר כמספר ראשוני וגם ולא כמספר פריק. (בחוברת לתלמיד - עמוד 49 למטה) התלמידים ילמדו לפרק מספרים בתחום ה 100 לגורמים ראשוניים (בחוברת לתלמיד - עמודים 56-52) התלמידים ילמדו גם לבנות מספר מגורמיו (בחוברת לתלמיד - עמודים 58-57) יודגש כי כל מספר פריק מתפרק למכפלה יחידה של גורמים ראשוניים. אפשר, כמובן, להגיע למכפלה הזו בדרכים שונות (שינוי סדר הגורמים). (בחוברת לתלמיד - עמודים 54-53) מושגים מרכזיים בפרק והגדרתם מתחלק ב... (ללא שארית) x מתחלק ב y, אם בתוצאה של התרגיל x : y אין שארית (התוצאה היא מספר שלם). דוגמאות: 40 מתחלק ב 8, כי = : 44 אינו מתחלק ב 8, כי (שארית (4 5 = : מח ל ק של מספר y מח לק של x, אם בתוצאה של התרגיל x : y אין שארית (התוצאה היא מספר שלם). דוגמה: 8 מחלק של,40 כי = : מספר ראשוני: מספר שיש לו שני מחלקים בלבד (1 והמספר עצמו) מספר פריק: מספר שיש לו יותר משני מחלקים פירוק מספר לגורמים ראשוניים: תרגיל כפל של גורמים ראשוניים שמכפלתו היא המספר הנתון. דוגמה: הפירוק לגורמים ראשוניים של המספר 90 הוא תחום המספרים המונחים "מספרים ראשוניים" ו"מספרים פריקים" מוגדרים בתחום המספרים הטבעיים בלבד - מספרים שלמים חיוביים (...3,1),2 ולכן בפרק זה עוסקים רק במספרים טבעיים. 36

36 א. מספר ראשוני ומספר פריק מה לומדים ביחידה זו? הגדרת המושג "מחלק של..." מציאת כל המחלקים של מספר נתון - המספר 1 הוא המספר היחיד שהוא מחלק של כל מספר (שלם). - כל מספר שיש לו שני מחלקים בדיוק, מחלקיו הם המספר עצמו ו 1. הגדרת המושג "מספר ראשוני" הגדרת המושג "מספר פריק" מיון מספרים לפריקים ולראשוניים - המספר 1 אינו מספר פריק ואף אינו מספר ראשוני. - כל מספר טבעי, מלבד 1, הוא או ראשוני או פריק. שיטה למציאת כל המספרים הראשוניים עד למספר מסוים הנ פ ה של ארטוסתנס. עמוד 46 מטרת הפעילויות בעמוד זה - תרגול המושג "מחלק של...". בפעילויות 1 ו 2 המשימה היא לכתוב את כל המחלקים של מספר נתון. יש לשים לב שרושמים בין המחלקים גם את המספר 1 וגם את המספר עצמו. בפעילות,1 לדוגמה, המחלקים של 28 הם אלה:.28,14,7,4,2,1 37

37 א. מספר ראשוני ומספר פריק הנה הצעות למשחקים שמטרתם תרגול במציאת מחלקים של מספר. 1. משחק: לאיזה מספר המחלק מתאים? מהלך המשחק: המורה רושמת על הלוח שמונה מספרים. כל ילד בוחר מתוכם ארבעה מספרים ורושם אותם על דף. המורה מקריאה תיאורים כמו: 10 הוא מחלק של המספר; 5 אינו מחלק של המספר וכדומה. כל ילד שיש ברשימתו מספרים מתאימים מוחק את כל המספרים המתאימים. המנצח מי שמחק ראשון את כל המספרים שלו. 2. תחרות מציאת המח לקים המורה רושמת מספר על הלוח. כל קבוצה צריכה למצוא כמה שיותר מחלקים של אותו מספר. כעבור זמן קצר (כשתי דקות) התלמידים הופכים את הדפים ונותנים למורה לבדוק. הקבוצה המנצחת הקבוצה שרשמה את מספר המחלקים הגדול ביותר בלי שום טעות. עמוד 47 במשחק שבפעילות 5 משתמשים בכרטיסי המספרים שבסוף החוברת לתלמיד (נמצאים גם בסוף מדריך זה, עמוד 81). הפעילויות בעמוד זה משמשות הכנה למיון מספרים טבעיים למספרים ראשוניים ולמספרים פריקים. התלמידים בודקים כל מספר: האם יש למספר יותר משני מחלקים? בדרך זו התלמידים מוצאים את המספרים הראשוניים (מספר שיש לו שני מחלקים בלבד, המספר עצמו ו 1 ). בשלב זה אין משתמשים במונחים מספר ראשוני ומספר פריק. את הגדרת המונחים יפגשו התלמידים בעמוד הבא. בפעילויות שבעמוד זה אין צורך למצוא את כל המחלקים של מספר, אלא רק לבדוק אם יש למספר יותר משני מחלקים. למשל, אם מקבלים כרטיס שרשום עליו המספר 24: המספר הזה זוגי ולכן מלבד 1 ו 42 גם 2 הוא מח לק שלו. ל 24 יש אפוא יותר משני מחלקים ולכן שמים את הכרטיס בצד. 38

38 א. מספר ראשוני ומספר פריק עמודים בראש עמוד 48 מובאות ההגדרות של מספר ראשוני ומספר פריק: מספר שיש לו שני מחלקים בלבד (1 והמספר עצמו) נקרא מספר ראשוני. מספר שיש לו יותר משני מחלקים נקרא מספר פריק. לפי ההגדרות אפשר להסתפק במציאת שלושה מחלקים כדי להשתכנע שמספר הוא פריק. מכיוון ש 1 והמספר עצמו הם מח לקים של כל מספר, די להראות שיש למספר מחלק אחד הגדול מ 1 וקטן מהמספר עצמו. לדוגמה: 21 הוא מספר פריק, כי 7 הוא מח לק שלו. לעומת זאת אולי קשה יותר להשתכנע שמספר הוא ראשוני, כי צריך לדעת בוודאות שאין לו מחלק נוסף מלבד 1 והמספר עצמו. פעילות 7 בעמוד 48 בפעילות זו משתמשים בכרטיסי המספרים (שנגזרו מסוף החוברת למשחק שבפעילות 5 בעמוד הקודם). ממיינים את המספרים שבכרטיסים למספרים ראשוניים ולמספרים פריקים לפי הכלל שבראש העמוד. פעילות 8 בעמוד 48 בפעילות זו עוסקים במיון מספרים דו ספרתיים למספרים ראשוניים ולמספרים פריקים. בכל סעיף נתונה אחת הספרות של המספרים ויש להשלים את הספרות החסרות כך שיתקבלו מספרים ראשוניים ומספרים פריקים. מומלץ לדון בכל האפשרויות השונות בכל סעיף. בסעיף א מספרים דו ספרתיים שספרת העשרות שלהם היא 1: ראשוניים,11 19,17,13 פריקים,10 18,16,15,14,12 בסעיף ב מספרים שספרת היחידות שלהם היא 1: ראשוניים,11 71,61,41,31 פריקים,21 91,81,51 בסעיף ג את המספרים שספרת העשרות שלהם 4: ראשוניים,41 47,43 פריקים,40 49,48,46,45,44,42 בסעיף ד מספרים שספרת היחידות שלהם היא 4: כל המספרים האלה פריקים בסעיף ה מספרים שספרת היחידות שלהם היא 7: ראשוניים,17 97,67,47,37 פריקים,27 87,77,57 אפשר לשלב בעמוד זה עבודה בלוח המאה (לוח מאה לצילום נמצא במדריך זה בעמוד 82). הלוח מקל על התלמידים למצוא דוגמאות מתאימות ולהכליל. למשל ניתן להצביע על המספר 87 בלוח ולשאול אם הוא ראשוני או פריק וכיצד הלוח עוזר להחליט. התלמידים יכולים להסתייע בלוח בכמה דרכים, למשל, להתחיל ממספר שהם משוכנעים ש 3 הוא מחלק שלו (90, 75 וכדומה) ולדלג קדימה (או אחורה) בדילוגים של 3. גם ישר המספרים מתאים לפעילויות כאלה. לוח המאה מזמן שיחות דומות על מספרים אחרים, למשל מספרים שספרת היחידות שלהן 0 או 5 וכן הלאה. 39

39 א. מספר ראשוני ומספר פריק פעילות 10 בעמוד 49 לרוב פותרים את הפעילות בדרך של נסייה וטעייה: מחברים מספר פריק כלשהו ומספר ראשוני כלשהו ובודקים את הסכום: אם הסכום הוא מספר ראשוני התרגיל מתאים לסעיף א, אם הסכום הוא מספר פריק התרגיל מתאים לסעיף ב. הנה דוגמאות לתרגילים מתאימים: = = = א = 8 2 = = ב פעילות 11 בעמוד 49 נושא הפעילות: המספר 1 אינו פריק ואינו ראשוני. בפעילות "בוחנים" את המספר 1 לפי ההגדרות של מספר ראשוני ושל מספר פריק ומגיעים לידי מסקנה שהמספר 1 הוא יוצא דופן במיון למספרים ראשוניים ולמספרים פריקים. כמה מחלקים יש למספר 1? מחלק אחד בלבד המספר 1. האם המספר 1 פריק? לא, כי אין לו יותר משני מחלקים. האם המספר 1 ראשוני? לא, כי אין לו שני מחלקים. דיון: האם יש עוד מספר שאינו ראשוני ואינו פריק? (לא. כל מספר שהוא גדול מ 1 מתחלק בשני מספרים לפחות, בעצמו וב 1, ולכן כל מספר גדול מ 1 הוא או ראשוני או פריק. 40

40 א. מספר ראשוני ומספר פריק משחק בקבוצות: מי אני? מחליטים מהו מספר המהלכים שיהיו במשחק. בכל מהלך המורה אומרת את אחת ההגדרות האלה (או הגדרה דומה): - אני מספר דו ספרתי ואני גם ראשוני. ספרת היחידות שלי 9. מי אני? - ספרת היחידות שלי היא 7 ואני מספר ראשוני קטן מ 60. מי אני? - אני מספר פריק חד ספרתי. מי אני? - אני מספר זוגי וראשוני. מי אני? - אינני מספר פריק וספרת העשרות שלי היא 3. מי אני? - אני מספר דו ספרתי ואני גם פריק. ספרת היחידות שלי היא 9. מי אני? - אני מספר דו ספרתי ראשוני ושתי ספרותי שוות זו לזו. מי אני? - אני מספר חד ספרתי ראשוני. מי אני? הילדים בכל קבוצה עורכים על דף רשימה של כל המספרים המתאימים שמצאו. כשהם מסיימים, הם הופכים את הדף. כל קבוצה מקבלת נקודה על מספר מתאים ומפסידה נקודה על מספר שאינו מתאים. בתום מספר המהלכים שהוסכם עליו סופרים את הנקודות שצברה כל קבוצה. מנצחת הקבוצה שצברה את מספר הנקודות הגדול ביותר. הערה: אם רוצים להקל את המשחק אפשר להגביל את תחום המספרים, למשל, לעסוק רק במספרים קטנים מ 40. עמודים הנפה של ארטוסתנס ארטוסתנס *(Eratosthenes) ארטוסתנס ( לפנה"ס) מתמטיקאי, גאוגרף ואסטרונום יווני. נולד בקירנה (כיום בלוב) וחי באלכסנדריה, מצרים. ארטוסתנס התעניין במדעי היקום, בשירה, בתאטרון, בספרות, בגאוגרפיה, באתלטיקה (בצעירותו), במתמטיקה ובטבע. הוא גילה שיטה למציאת כל המספרים עד מספר נתון הקרויה על שמו, הנפה של ארטוסתנס, וכן את היקף כדור הארץ. הוא חיבר ספרים על כל אחד מתחומי ידיעותיו (כ 50 חיבורים שלו נזכרים במקורות שונים). רוב החיבורים שלו אבדו ורק אחדים נמצאו. כמשורר חיבר שירים על נושאים מיתולוגיים, שנועדו, לדבריו, לשעשוע ולא ללמידה. הפעילות היותר חשובה שלו הייתה בתחום הספרות. ספרו על סדר הזמנים היה ניסיון ראשוני בקביעת זמנים למאורעות ספרותיים ומדיניים חשובים ממלחמת טרויה ועד יום מותו של אלכסנדר מוקדון. הנפה של ארטוסתנס בתורת המספרים "הנפה של ארטוסתנס" היא אלוגריתם פשוט - שיטת ניפוי המסייעת למצוא את כל המספרים הראשוניים עד למספר שלם מסוים. בשיטת הנפה של ארטוסתנס מנפים החוצה את המספרים הפריקים ואת המספר 1, שהוא לא ראשוני ולא פריק, ומשאירים את המספרים הראשוניים. *מתוך: אנציקלופדיה,YNET Biblioth`eque national de France התמונה:, 41

41 א. מספר ראשוני ומספר פריק כדי להשתמש בנפה של ארטוסתנס למציאת כל המספרים הראשוניים מ 1 עד 100, מכינים רשימה של כל המספרים עד 100 ועובדים לפי השלבים האלה: א. מוחקים את 1 (כי 1 אינו ראשוני). ב. מקיפים את 2 (כי הוא המספר הראשוני הקטן ביותר). מוחקים את כל הכפולות של 2 במילים אחרות: מוחקים כל מספר שני. ג. מקיפים את המספר הראשוני הבא 3. מוחקים את כל הכפולות של 3, כלומר, מוחקים כל מספר שלישי. חלק מהכפולות של 3, לדוגמה 6, כבר נמחקו כי הן גם כפולות של 2. ד. מקיפים את המספר הראשוני הבא 5, ומוחקים את כל כפולותיו. ה. ממשיכים בתהליך עד שכל המספרים עד 100 מחוקים או מוקפים. בסוף התהליך המספרים המוקפים הם כל המספרים הראשוניים מ 1 עד 100. בעמודים התלמידים מבצעים אלגוריתם זה לבדיקת המספרים עד 100. כך תיראה הרשימה לאחר ביצוע התהליך:

42 א. מספר ראשוני ומספר פריק 43

43 ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים מה לומדים ביחידה זו? כותבים תרגילי כפל שונים (שבהם שני גורמים ויותר) למכפלה נתונה. מוצאים את תרגיל הכפל שבו מספר הגורמים הגדול ביותר (תרגיל הכפל הארוך ביותר) המתאים למכפלה נתונה. בהמשך לומדים שהגורמים בתרגיל הזה הם מספרים ראשוניים, ולכן תרגיל זה נקרא פירוק המספר לגורמים ראשוניים. מפרקים מספרים לגורמים הראשוניים שלהם בדרך שיטתית. מגיעים לידי המסקנה שלכל מספר נתון יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים עמודים בעמודים אלה עוסקים בתרגילי הכפל (גם תרגילים שבהם יותר משני גורמים) המתאימים למכפלה נתונה. לסיכום מחפשים את תרגיל הכפל "הארוך ביותר" - תרגיל הכפל שבו מספר הגורמים הגדול ביותר המתאים למכפלה. פעילויות אלה משמשות הכנה לעמודים הבאים, העוסקים בפירוק מספר לגורמים ראשוניים. פעילות פתיחה (לעמוד 52) מבקשים מהתלמידים לכתוב תרגיל כפל שבו שני גורמים ותוצאתו = 48 48: שואלים מי יכול להיעזר בתרגיל שכתב כדי לכתוב ל 48 תרגיל שבו שלושה גורמים. רמז: כתבו תרגיל כפל לאחד הגורמים. דוגמאות: = ולכן: = או: = ולכן: = מטרת הפעילויות בעמוד 52 היא להוליך את התלמידים למסקנה שתרגיל הכפל הארוך ביותר שאפשר לכתוב למספר הוא יחיד (אם לא מתחשבים בסדר הגורמים), וכל הגורמים בתרגיל זה הם מספרים ראשוניים. דוגמה: = 48 דיון: שואלים את התלמידים: מדוע, לדעתכם, אין כותבים את הגורם 1 בתרגילי הכפל? מה קורה כשכותבים את הגורם 1 בתרגיל כפל? (המספר 1 הוא מספר ניטרלי בכפל אינו משנה את התוצאה.) מטרת הפעילות בעמוד 53 היא ללמד שיטה למציאת תרגיל הכפל שבו מספר הגורמים הגדול ביותר למכפלה נתונה ולהראות שלא משנה מאיזה תרגיל כפל מתחילים לפרק מספר לגורמים - תמיד מגיעים לאותו תרגיל הארוך ביותר (לא בהכרח באותו סדר של גורמים) והוא מכפלה של גורמים ראשוניים. פעילות פתיחה (לעמוד 53) המורה רושמת מספר על הלוח 90. היא מבקשת מהתלמידים שיציעו תרגיל כפל שבו שני גורמים שמכפלתם 90. המורה רושמת את כל התרגילים על הלוח (למעט תרגילים שבהם הגורם 1). מפרקים את הגורמים בהדרגה, עד שמגיעים לתרגיל הארוך ביותר. (בכל שלב יכולות להיות הרבה אפשרויות - בוחרים אחת מהן.) המורה שואלת: מה מיוחד בתרגיל האחרון? (כל הגורמים ראשוניים.) בשלב זה המורה יכולה לשאול: אבל מה יקרה אם נתחיל מתרגיל אחר? האם נקבל פירוק אחר? בוחרים תרגיל כפל אחר שבו שני גורמים אחרים שהציעו התלמידים קודם ומחפשים בעזרתו את תרגיל הכפל הארוך ביותר. 44

44 ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים עמודים פעילות 4 (בעמוד 54) מוליכה להגדרה הכתובה אחריה: תרגיל הכפל הארוך ביותר שאפשר לכתוב למספר נקרא פירוק המספר לגורמים ראשוניים. לפני שהתלמידים מפרקים לגורמים את המספרים שבפעילות 5 (עמודים 55-54) אפשר לבקש מהם לשער: לאילו מהמספרים הנתונים הפירוק לגורמים ראשוניים יהיה הארוך ביותר? הקצר ביותר? מטרת פעילות 6 (בעמוד 56) היא להכין את התלמידים להגדרה הזאת: לכל מספר יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים. התשובות לשאלות המועלות בדיון: - בשני הפירוקים שהתקבלו למספר 90 יש אותם ארבעה גורמים. - בכל פירוק יש סדר גורמים אחר. - בכפל אין חשיבות לסדר הגורמים (חוק החילוף וחוק הקיבוץ). המסקנה: שני הפירוקים האלה זהים. גם בפעילויות 3 ו 4 בעמודים הקודמים הוסבה תשומת לב התלמידים לכך שתמיד בפירוק "הארוך ביותר" מתקבל אותו תרגיל (בסדר אחר של הגורמים). 45

45 ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים פעילות פתיחה (לפעילות 7 בעמוד 56) המורה מבקשת מהתלמידים לפרק את המספר 80 לגורמים ראשוניים: 80 = לאחר שהתלמידים מסיימים, המורה שואלת: - איך הפירוק של 80 עוזר למצוא את הפירוק של 160? רמז למי שצריך: בכמה צריך לכפול את הפירוק של 80? - איך הפירוק של 80 עוזר למצוא את הפירוק של 240? - איך הפירוק של 80 עוזר למצוא את הפירוק של 160? - איך הפירוק של 80 עוזר למצוא את הפירוק של 40? - איך הפירוק של 80 עוזר למצוא את הפירוק של 800? 46

46 ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים פעילויות אתגריות נוספות א. מה יוצא דופן? (למספר 24 יש שני מח לקים ראשוניים שונים, 2 ו 3, ואילו לשאר המספרים יש רק מחלק ראשוני אחד 2). ב. מה יוצא דופן? (למספרים 9 27, ו 81 יש מחלק ראשוני אחד 3, ואילו המחלק הראשוני של 49 הוא 7). 47

47 ג. בניית מספר מגורמים ראשוניים מה לומדים ביחידה זו? בונים מספרים שונים מגורמים ראשוניים נתונים. מוצאים מח לקים (לא רק ראשוניים) של המספרים שנבנו. עמודים פעילויות פתיחה 1. המורה חדה חידה: רינה פירקה מספר לגורמים ראשוניים ובתרגיל הכפל שקיבלה היו רק שני גורמים שונים: 3 ו 5. המספר שהיא פירקה גדול מ 40 וקטן מ 50. מהו המספר? האם יש עוד אפשרויות? התלמידים פותרים את המשימה הזאת בדרך של נסייה וטעייה: הם כותבים תרגילי כפל שונים הבנויים מהגורמים 3 ו 5, פותרים אותם ומחפשים תרגיל שתוצאתו בתחום הנתון: = כך התלמידים מתנסים בבניית מספרים מגורמים ראשוניים נתונים. 2. המורה כותבת על הלוח ארבעה מספרים: , 60, 56, היא אומרת לתלמידים ששניים מהמספרים האלה בנויים מהגורמים 2 ו 7 בלבד. התלמידים מתבקשים למצוא את המספרים האלה בלי לפרק אותם לגורמים ראשוניים. דיון: התבוננו בארבעת המספרים. על אילו מהם אפשר לומר בוודאות שאינם בנויים מ 2 ומ 7? 77 הוא מספר אי זוגי ולכן אינו מתחלק ב אינו מתחלק ב 7 (או: אחד הגורמים של 60 הוא 5.) לכן נראה ש 56 ו 98 הם המספרים המתאימים. התלמידים יפרקו אותם לגורמים ויבדקו אם צדקו = = 56 בפעילות 1 צריך לבנות מספרים מכל המספרים הנתונים ורק מהם. כלומר, בפירוק לגורמים של המספרים שבונים יופיעו הגורמים הראשוניים הנתונים ורק הם. בפעילות 2, סעיף ב - בפעילות האתגר הכוונה גם למחלקים פריקים. למשל, המחלקים של המספר 50 שנבנה בדוגמה הם אלה: 25 10, 5, 2, 1, ו 50. בפעילות 4 המספר המבוקש הוא = המחלקים של 81 הם אלה: 27 9, 3, 1, ו 81. פעילויות בעל פה או בכתב המתאימות גם לפתיחת שיעור (אחרי עמוד 57) 1. נסו למצוא מספר שגורמיו הראשוניים הם 2 ו 5 בלבד והוא מתחלק ב 100 : מתחלק ב 3 : : מתחלק ב מתחלק ב 4 : התלמידים ילמדו שאם הגורמים הראשוניים של מספר הם 2 ו 5 בלבד, הרי שהמספר אינו מתחלק במספר ראשוני אחר (לדוגמה: 7 או 3). כמו כן הם ילמדו שיש אינסוף מספרים המתחלקים ב 2, ב 5 ובמכפלות הנוצרות מהם. 48

48 ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים 2. נסו למצוא מספר שיש לו רק גורם ראשוני אחד - הגורם 5 והוא מתחלק ב 4 : מתחלק ב 5 : מתחלק ב 20 : מתחלק ב 10 : מתחלק ב 25 : מתחלק ב 50 : מתחלק ב 35 : מתחלק ב 125 : 3. נסו למצוא מספר שגורמיו הראשוניים הם 3 2, ו 5 בלבד והוא מתחלק ב 4 : מתחלק ב 3 : מתחלק ב 12 : מתחלק ב 7 : מתחלק ב 20 : מתחלק ב 10 : מתחלק ב 120 : רב דף 5 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 79. רב דף 6 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 80. מבדק מסכם לפרק בסוף מדריך זה, עמודים

49 50

50 חזקות תוכן העניינים מבוא לפרק "חזקות" א. תרגילי שרשרת כפל לעומת חיבור ב. מהו תרגיל חזקה? ג. בסיס ומעריך ד. סדר המספרים בתרגיל חזקה שוב חישוב: - פעולות במספרים שלמים חישובי זמן מצולעים שברים נספחים לפרק מבדק מסכם דפי רב דף דפי עבודה

51 מבוא לפרק "חזקות" הנושא "חזקות" בתכנית הלימודים של משרד החינוך (תשס"ו) לפי תכנית הלימודים יש לייחד לנושא זה שתי שעות לימוד וזה הפירוט: החזקה תילמד ככתיב מקוצר לכפל חוזר. בהקשר זה נזכיר: כפל הוא חיבור חוזר. יודגם כי אם מסתכלים על החזקה כפעולה בין מספרים טבעיים, אין היא פעולה חילופית. דוגמה: = התלמידים יכירו את משמעות החזקה גם כאשר הבסיס או המעריך הם 1. קשיים צפויים בהוראת הנושא 1. טעות שכיחה פתירת תרגיל חזקה כתרגיל כפל דוגמה לשגיאה: = = 3 5 טעות זו נובעת מחוסר הבנה של משמעות תרגיל החזקה, ואפשר למצוא אותה אצל תלמידים רבים גם אחרי שכבר נלמד הנושא בגלל חוסר תרגול ושימוש בפעולה זו בהמשך. 2. קושי בהבנת משמעות המספר 1 בתרגילי חזקה. דוגמה לשגיאה: = טעות זו נובעת מאי הבנת המשמעות של פעולת החזקה וכן מחוסר תרגול. טיפול בטעות כזאת חייב להתבסס על משמעות הפעולה: 1= = 5 1, ולא על לימוד כללים כמו הכלל הזה: תוצאת תרגיל של 1 בחזקת מספר אחר היא תמיד אי הבנה שחזקה איננה פעולה חילופית. אי הבנה זאת נובעת כמובן מהבנה לקויה של משמעות פעולת החזקה ומסתמכת על הידע הקודם של התלמידים על פעולות אחרות כמו כפל וחיבור שהן פעולות חילופיות. בגלל הקשיים שפורטו לעיל חשוב לחזור על נושא החזקות גם בהמשך הלימודים, הן בכיתה ד' והן בכיתות הבאות. במדריך יש המלצות לתרגול נוסף שיכול לשמש גם כחזרה. 52

52 א. תרגילי שרשרת - כפל לעומת חיבור מה לומדים ביחידה זו? ביחידה זו התלמידים משווים בין פעולת הכפל לפעולת החיבור במטרה להמחיש את הגידול המהיר של תוצאת פעולת הכפל בהשוואה לפעולת החיבור במספרים שלמים חיוביים. עמודים מומלץ להתחיל ולבצע את הפעילות יחד עם התלמידים כדי לוודא שהם מבינים את ההוראה. חשוב שהתלמידים ישימו לב שבכל פעם צריך לחזור על אותו מספר בתרגיל השרשרת. לאחר הדיון שבסוף עמוד 61 אפשר להוסיף פעילות דומה של השוואה בין חמישה מחוברים שווים בתרגיל חיבור לבין תרגיל כפל של חמישה גורמים שווים < 100 < 100 תוספת זאת תחדד את ההבדל בין הכפל לחיבור, שכן בכפל יתאימו רק שלושה גורמים: 1 0, ו 2, ואילו בחיבור יתאימו 20 מחוברים: מ 0 עד 19. פעילויות אלה, העוסקות בגודל המספרים, חשובות לפיתוח תובנת המספרים והפעולות. 53

53 ב. מהו תרגיל חזקה? מה לומדים ביחידה זו? ביחידה זו מגדירים פעולה בינרית חדשה - פעולת החזקה: תרגיל חזקה ככתיב מקוצר של תרגיל כפל שיש בו גורם חוזר כתיבה וקריאה של תרגיל חזקה פתרון תרגילי חזקה. בשלב זה בכל פעם שהתלמידים מתבקשים לפתור תרגילי חזקה יש להורות להם לכתוב את תרגיל הכפל המתאים כדי לנסות ולמנוע את השגיאה הרווחת של פתרון תרגיל חזקה כתרגיל כפל. דוגמה לשגיאה כזאת: 2 7 = 2.7 פעילות פתיחה המורה רושמת תרגיל שרשרת של חיבור שבו 10 מחוברים שווים: = המחובר (17) נבחר, משום שלא נוח לפתור את תרגיל החיבור בעל פה. לעומת זאת קל מאוד לפתור את תרגיל הכפל המתאים: כלומר, תרגיל הכפל לא רק מקצר את הכתיבה אלא אף מקל את הפתרון. המורה שואלת באיזו דרך נוח לפתור את התרגיל. ניתן להתיר שימוש במחשבון. עמודים לעמוד זה מתאים רב דף 7 (עמוד 84 במדריך זה). לעמוד זה מתאים רב דף 8 (עמוד 85 במדריך זה). 54

54 ב. מהו תרגיל חזקה? פעילויות לתרגול נוסף של כתיבה ופתרון תרגילי חזקות 1. הכתבות קצרות: המורה מקריאה תרגיל חזקה. התלמידים כותבים אותו, כותבים את תרגיל הכפל המתאים לו ופותרים. אם מעוניינים לתרגל רק כתיבה של תרגיל חזקה אפשר לוותר על שלב הפתרון. 2. חזקה קטנה מ מבקשים מהתלמידים לכתוב תרגילי חזקה שבהם מספרים מ 1 עד 10 בלבד, כך שיתקבלו רק תוצאות קטנות ממספר מסוים. מבקשים מהם למצוא את כל האפשרויות. כאן מומלץ לערוך דיון על דרך הפעולה של התלמידים. דרך נוחה היא לכתוב תחילה את כל הבסיסים המתאימים למעריך 2 וכן הלאה. 3. תרגילים להגדרות המורה כותבת על הלוח שני מספרים, למשל: 3 ו 5, ומבקשת מהתלמידים לכתוב בעזרתם תרגיל חזקה שתוצאתו מתאימה להגדרה מסוימת. הנה דוגמאות להגדרות: התוצאה גדולה מ התוצאה קטנה מ התוצאה גדולה מ וקטנה מ התוצאה היא אי זוגית התוצאה היא מספר זוגי התוצאה מתחלקת ב ספרת היחידות של התוצאה היא 4. קישור בין חזקות ובין פירוק לגורמים ראשוניים בעזרת רב דף 5 (מהפרק "מספרים ראשוניים ומספרים פריקים", עמוד 79 בסוף מדריך זה). ברב דף זה רושמים רק גורם ראשוני אחד בכל שורה, והתלמידים רושמים תרגיל כפל ותרגיל חזקה המתאימים לו. 55

55 ג. בסיס ומעריך מה לומדים ביחידה זו? מכירים את המונחים בסיס ומעריך. עוסקים באופן מפורט יותר בשני סוגים של תרגילי החזקה היותר שימושיים בהמשך: מספרים ריבועיים (המעריך 2) ומספרים שהם חזקות של 10 (הבסיס 10). לומדים לפתור תרגילי חזקה שבהם הבסיס הוא 1: תוצאתם של תרגילים אלה היא תמיד 1, משום שלתרגיל חזקה שהבסיס שלו 1 מתאים תרגיל כפל חוזר שבו כופלים את המספר 1 שוב ושוב. לומדים לפתור תרגילי חזקה שבהם המעריך הוא 1, לדוגמה: = למעשה אין תרגיל כפל המתאים לתרגיל חזקה זה, והתוצאה היא הבסיס עצמו. הצעה לפעילויות נוספות יש בדפי עבודה המצורפים בנספחים שבסוף מדריך זה, עמודים בדף עבודה 1 יש טבלה להשלמה של מעריכים, בסיסים ותרגילים במספרים שונים, בדף עבודה 2 יש פעילות דומה המתמקדת במספרים 1 ו 10 בתרגילי חזקה, ובדף עבודה 3 יש תרגול נוסף בתרגילי חזקה שבהם מגבלות שונות. עמודים כהכנה לפעילות 4 בעמוד 65 אפשר להציג לתלמידים לוח כפל לא מסומן ולשאול אותם אם יכולים להיות בו מספרים ריבועיים והיכן הם יהיו מסודרים. חשוב לציין שאמנם המספר 36 הוא ריבועי ונמצא באלכסון המרכזי, אך אפשר למצוא אותו בלוח הכפל גם במקומות אחרים ( , ( וכך גם המספרים הריבועיים 16 ו 4. מומלץ לקשר את פעילות 4 לפעילות 3 ולשאול אם הם סימנו בלוח גם את התוצאות של תרגילי החזקה שבפעילות 3. יש לשים לב שאם הבסיס שרשמו גדול מ 10, אז התוצאה גדולה מ 100, ולכן לא תימצא בלוח. כדאי לערוך דיון ולשאול את התלמידים מדוע המספרים הריבועיים נקראים כך, כפי שמוצע בפעילות 5 בעמוד 65. אפשר לדבר על שטח של ריבוע ועל מצב אחר שבו פריטים מסודרים בצורת ריבוע ולשאול מהו תרגיל החזקה המתאים למציאת מספר הפריטים בסידור הזה. דוגמה: לפניכם חפיסה ריבועית של קוביות שוקולד או עוגה ריבועית המחולקת למנות: 4 2 = 16 מהו מספר הקוביות (או המנות)? 56

56 ג. בסיס ומעריך 57

57 ד. סדר המספרים בתרגיל החזקה מה לומדים ביחידה זו? התלמידים מגלים שחוק החילוף איננו חל על פעולת החזקה. הם לומדים זאת בהשוואה לשתי פעולות שחוק החילוף כן חל עליהן: פעולת הכפל ופעולת החיבור. התלמידים חוקרים תרגילים שבהם נתונים שני מספרים וצריך להחליט איזה מהם כדאי לבחור כבסיס ואיזה כמעריך כדי לקבל תוצאה גדולה יותר. למעט מקרי קצה ומספרים קטנים (1), תמיד כדאי לבחור את המספר הקטן כבסיס ואת המספר הגדול כמעריך, פועל יוצא מהבנת ההגדלה של פעולת הכפל. ואולם בשלב זה אין לתלמידים כלים כדי להבין זאת והם פועלים בדרך של נסייה וטעייה. ההבנה שחזקה איננה פעולה חילופית אינה פשוטה - טבעי שהתלמידים ישוו פעולה זאת לפעולות מגדילות אחרות במספרים טבעיים שהן תמיד חילופיות: כפל וחיבור. רק התנסות תביא אותם לידי מסקנה שפעולת החזקה אינה פעולה חילופית. עמודים

58 ד. סדר המספרים בתרגיל החזקה 59

59 שוב חישוב פעולות במספרים שלמים עמודים

60 שוב חישוב חישובי זמן, מצולעים עמוד 74 (חישובי זמן) עמוד 75 (מצולעים) 61

61 שוב חישוב שברים עמודים

<4D F736F F D20F9E9F2E5F820F1E9EEF0E920E7ECE5F7E4>

<4D F736F F D20F9E9F2E5F820F1E9EEF0E920E7ECE5F7E4> ניב רווח פסיכומטרי 1 שיעור מבוא נושא סימני החלוקה כולל מספר מושגים שצריך להכיר כמו חלוקה לגורמים או שארית של חלוקה. בבחינה יכולות להופיע שאלות שיעסקו בנושא זה כנושא בפני עצמו, ולעתים הידע בנושא דרוש לפתרון

קרא עוד

מתמטיקה לחטיבת הביניים ÌÈappleÂÂÎÓ ÌÈ ÙÒÓ ÂÏÂÚÙ È ÂÁÂ ÈÓˆÚ Â Ú ÂÁ

מתמטיקה לחטיבת הביניים ÌÈappleÂÂÎÓ ÌÈ ÙÒÓ ÂÏÂÚÙ È ÂÁÂ ÈÓˆÚ Â Ú ÂÁ מתמטיקה לחטיבת הביניים ÌÈappleÂÂÎÓ ÌÈ ÙÒÓ ÂÏÂÚÙ È ÂÁÂ ÈÓˆÚ Â Ú ÂÁ מתמטיקה לחטיבת הביניים ÌÈappleÂÂÎÓ ÌÈ ÙÒÓ ÂÏÂÚÙ È ÂÁÂ תוכן העניינים א. מספרים מכוונים על ציר המספרים................. ב. השוואת מספרים

קרא עוד

דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n 1. y' n x n, y הנגזרת x.1 נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- (. x א. נחסר אחד מהחזקה. ב

דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n 1. y' n x n, y הנגזרת x.1 נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- (. x א. נחסר אחד מהחזקה. ב דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n n n, y הנגזרת נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- ( א נחסר אחד מהחזקה ב 7 y כאשר גוזרים כופלים בחזקה, 7 כלומר נרשום אותה משמאל ל-, ובחזקה של

קרא עוד

המכללה האקדמית לחינוך ע"ש דיו ילין

המכללה האקדמית לחינוך עש דיו ילין ירושלים, אייר, תשע"ה למנהלי בתי הספר ולרכזי ומורי המתמטיקה שלום רב אנו מבקשים לעניין אתכם בתכנית " הכשרת מורים להוראת תלמידים ברוכי כישרון במתמטיקה ובמדע ומסגרת לטיפוח תלמידים ברוכי כישרון במתמטיקה ובמדע"

קרא עוד

<4D F736F F D20FAF8E2E5EC20E0ECE2E1F8E420EEF2E5F8E D F9E0ECE5FA2E646F63>

<4D F736F F D20FAF8E2E5EC20E0ECE2E1F8E420EEF2E5F8E D F9E0ECE5FA2E646F63> < 0 a b b a > 0 נתון: מכאן ניתן לומר בוודאות כי -. a < b ab < 0 a 0 b > לא ניתן לקבוע בוודאות.. ( 0)?. לא ניתן לדעת. + ( + ) ( ) + + נתון: כמה ערכי שונים מקיימים את המשוואה?. אינסוף 0 +. תשובות ו נכונות

קרא עוד

<4D F736F F D20F4F2E5ECE5FA20EEE5EEF6E0E5FA20312E646F63>

<4D F736F F D20F4F2E5ECE5FA20EEE5EEF6E0E5FA20312E646F63> 1 תרגול פעולות מומצאות ( ( $ מה מהתשובות לא יכולה להיות תוצאה של הפעולה ) ( $ 1 הוגדרה פעולה חדשה $ + 1 1 + 10 + () () מה תוצאת הפעולה ) ( @ @ 10 = הוגדרה הפעולה החדשה 10 1 () 10 () 10 $ 19 $ 17 a) ( $

קרא עוד

תוכן העניינים

תוכן העניינים הוצאת חושבים קדימה הילה קדמן # חלק ב יעוץ מקצועי: חיים אברבוך מותאם לתכנית הלימודים החדשה בבתי הספר התיכוניים מהדורה חמישית הוצאת חושבים קדימה ת.ד. 1293 רעות 71908 www.kadman.net הילה קדמן 0522 525527

קרא עוד

תוכן העניינים

תוכן העניינים הוצאת חושבים קדימה הילה קדמן חלק ב יעוץ מקצועי: חיים אברבוך מותאם לתכנית הלימודים החדשה בבתי הספר התיכוניים מהדורה חמישית הוצאת חושבים קדימה ת.ד. 1293 רעות 71908 www.kadman.net הילה קדמן 0522 525527 kadman11@gmail.com

קרא עוד

תוכן העניינים הקדמה 7 תודות 9 חלק א מספרים שלמים 13 פרק 20. כפל חישוב בתחום מספרים לא-מוגבל 34 חילוק חישוב בתחום מספרים לא-מוגבל פרק סדר פעולות

תוכן העניינים הקדמה 7 תודות 9 חלק א מספרים שלמים 13 פרק 20. כפל חישוב בתחום מספרים לא-מוגבל 34 חילוק חישוב בתחום מספרים לא-מוגבל פרק סדר פעולות תוכן העניינים הקדמה 7 תודות 9 חלק א מספרים שלמים 13 פרק 20. כפל חישוב בתחום מספרים לא-מוגבל 34 חילוק חישוב בתחום מספרים לא-מוגבל פרק 21. 48 סדר פעולות החשבון פרק 22. 59 חילוק שאריות פרק 23. 79 מספרים ראשוניים

קרא עוד

שם כיף עם ג'ף מאגר פעילויות חלק א' חוברת של פעילויות מתמטיות: העשרה, העמקה, משחקים ואתגרים כיתה

שם כיף עם ג'ף מאגר פעילויות חלק א' חוברת של פעילויות מתמטיות: העשרה, העמקה, משחקים ואתגרים   כיתה שם כיף עם ג'ף מאגר פעילויות חלק א' חוברת של פעילויות מתמטיות: העשרה, העמקה, משחקים ואתגרים www.kefwithjeff.org כיתה Happy New Year 8 0 80 80 0 8 8 8 8 8 08 8 0 0 בכל שורה ובכל טור יש את המספרים עד כולל.

קרא עוד

" תלמידים מלמדים תלמידים."

 תלמידים מלמדים תלמידים. " תלמידים מלמדים תלמידים." פרוייקט של צוות מתמטיקה, בית ספר כפר-הירוק איך הכל התחיל... הנהלת בית הספר העל-יסודי הכפר הירוק יזמה פרויקט בית ספרי: "למידה ללא מבחנים- הוראה משמעותית", צוות המתמטיקה החליט

קרא עוד

<4D F736F F D20EEF9E5E5E0E5FA20E3E9F4F8F0F6E9E0ECE9E5FA2E646F63>

<4D F736F F D20EEF9E5E5E0E5FA20E3E9F4F8F0F6E9E0ECE9E5FA2E646F63> משוואות דיפרנציאליות מושגי ייסוד: משוואה המקשרת את גורם הפונקציה עם הפונקציה והנגזרות שלה או הדיפרנציאלים שלה, נקראת "משוואה דיפרנציאלית רגילה" לפתור משוואה דיפרנציאלית פירושו, למצוא את הפונקציה המקיימת

קרא עוד

מדריך למורה לכיתה ו' פ ש וט ח ש ב ון מתמטיקה לבית הספר היסודי הממלכתי והממלכתי דתי ד ר רותי שטיינברג הדסה גינת מירב יוסף טלי דגן דיצה בונופיאל 2358

מדריך למורה לכיתה ו' פ ש וט ח ש ב ון מתמטיקה לבית הספר היסודי הממלכתי והממלכתי דתי ד ר רותי שטיינברג הדסה גינת מירב יוסף טלי דגן דיצה בונופיאל 2358 מדריך למורה לכיתה ו' פ ש וט ח ש ב ון מתמטיקה לבית הספר היסודי הממלכתי והממלכתי דתי ד ר רותי שטיינברג הדסה גינת מירב יוסף טלי דגן דיצה בונופיאל 8 המדריך למורה נלווה ל"פשוט חשבון", לכיתה ו' כותבות את המדריך:

קרא עוד

מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית

מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית מתמטיקה לכיתה ט פונקציה ריבועית צוות המתמטיקה במטח: ראש תחום מתמטיקה: ד"ר שרה הרשקוביץ מנהלת צוות פיתוח מתמטיקה לבית הספר העל יסודי: ד"ר בבה שטרנברג צוות הפיתוח: רגינה אובודנקו, ד"ר אלכס אוליצין, אסנת

קרא עוד

Microsoft Word - ExamA_Final_Solution.docx

Microsoft Word - ExamA_Final_Solution.docx סמסטר חורף תשע"א 18 בפבואר 011 הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצה: מתרגלים: רן אל-יניב נועה אלגרבלי, גיא חפץ, נטליה זילברשטיין, דודו ינאי (אחראי) סמסטר חורף תשע" מבחן סופי פתרון (מועד

קרא עוד

סדרה חשבונית והנדסית

סדרה חשבונית והנדסית .2 סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות n = 5 טבעי על-ידי כלל הנסיגה: + = an + 3. סדרה מוגדרת לכל n רשמו את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה. הסבירו מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית עולה. מצאו את האיבר ה- 57 בסדרה.

קרא עוד

Microsoft Word - tik latalmid-final

Microsoft Word - tik latalmid-final רשימת המשימות במבדק טבלת מעקב מס ' המשימה שם המשימה עמוד העברה ראשונה תאריך עבר/לא עבר העברה שנייה תאריך עבר/לא עבר 3 1 קריאת שמות אותיות 7 2 קריאת צלילי אותיות 10 קריאת צירופים של עיצורים ותנועות 3 4

קרא עוד

פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד

פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה 2-7012610-3 תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד ב' שם המרצה: ערן עמרי, ענת פסקין-צ'רניאבסקי חומר עזר:

קרא עוד

Microsoft Word - Ass1Bgu2019b_java docx

Microsoft Word - Ass1Bgu2019b_java docx ת ר ג י ל 1 ב ק ו ר ס מ ב ו א לתכנות 202.1.9031 JAVA סמסטר ב, ת נ א י ם ו ל ו ל א ו ת תאריך אחרון להגשה בציון מלא : 02.04.19 עד שעה : 23:55, כ ל יום איחור ל א מ א ו ש ר א ו ח ל ק ממנו מודריד 10 נקודות

קרא עוד

Microsoft Word - אלגברה מעורב 2.doc

Microsoft Word - אלגברה מעורב 2.doc תרגול אלגברה? ( ), (6 ) 6 9 נתון:. מהו ערכו של. () () () (). למה שווה? a ai. נתון: a + 9 + 6a () () 7 () () אף תשובה אינה נכונה?. ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( ) () () () (). נתון: + 0 z z z iz

קרא עוד

Microsoft Word - SDAROT 806 PITRONOT.doc

Microsoft Word - SDAROT 806 PITRONOT.doc 5 יח"ל - תרגילים הכנה לבגרות תרגיל 8 נסמן ב- את האיבר הראשון ונסמן ב- את מנת הסדרה. על פי הנתון מתקיים: 6 ( S6 89 89 0 5 0 5 S0 S5 ( 0 5 0 t t 0 6 (. לפיכך, 89 5 נסמן t ונקבל: 5 t או או או 5 t נפסול את

קרא עוד

שקופית 1

שקופית 1 שלומית לויט "עץ החשיבה" שלמה יונה- העמותה לחינוך מתמטי לכל מציגים: "ימין ושמאל- לומדים חשבון" 4 מקורות קושי להתמצאות במרחב אצל ילדים תפיסה אפיזודית התנהגות ייצוגית מוגבלת. היעדר מושגים ומונחים. אגוצנטריות.

קרא עוד

תכנון אלגוריתמים, אביב 1021, תרגול מס' 4 תכנון דינאמי תכנון דינאמי בתרגול זה נדון בבעיית הכפלת סדרת מטריצות (16.1.(CLR ראשית נראה דוגמא: דוגמא: תהינה

תכנון אלגוריתמים, אביב 1021, תרגול מס' 4 תכנון דינאמי תכנון דינאמי בתרגול זה נדון בבעיית הכפלת סדרת מטריצות (16.1.(CLR ראשית נראה דוגמא: דוגמא: תהינה תכנון דינאמי בתרגול זה נדון בבעיית הכפלת סדרת מטריצות (6..(CLR ראשית נראה דוגמא: דוגמא: תהינה ארבע מטריצות:. A, A, A, A נסמן את גודל המטריצות בסדרה ע"י סדרת גדלים כאשר, p 5 5 p היא בגודל A {,,,5,}, P כלומר

קרא עוד

פשוט חשבון כיתה ו - ספר שני שם תלמיד: שם מורה: דואר אלקטרוני תלמיד: דואר אלקטרוני מורה: תאריך הגשה: ציון: דפי עבודה מקוונים - כיתה ו', ספר שני, יחידה

פשוט חשבון כיתה ו - ספר שני שם תלמיד: שם מורה: דואר אלקטרוני תלמיד: דואר אלקטרוני מורה: תאריך הגשה: ציון: דפי עבודה מקוונים - כיתה ו', ספר שני, יחידה פשוט חשבון כיתה ו - ספר שני שם תלמיד: שם מורה: דואר אלקטרוני תלמיד: דואר אלקטרוני מורה: תאריך הגשה: ציון: דפי עבודה מקוונים - כיתה ו', ספר שני, יחידה 2. פתרו את השאלות, לחוד או בזוגות. תעדו את דרך הפתרון.

קרא עוד

Microsoft Word - beayot hespek 4 pitronot.doc

Microsoft Word - beayot hespek 4 pitronot.doc בעיות מילוליות - בעיות הספק.6 פתרון: נסמן: מספר המכשירים שתיקן טכנאי א' בשעה אחת (קצב עבודתו). ( ) כל אחד מהטכנאים תיקן מספר המכשירים שתיקן טכנאי ב' בשעה אחת (קצב עבודתו). 0 מכשירים, לכן: 0 שעות משך זמן

קרא עוד

פשוט חשבון לכיתה ו - מתמטיקה לבית הספר היסודי הממלכתי והממלכתי דתי

פשוט חשבון לכיתה ו - מתמטיקה לבית הספר היסודי הממלכתי והממלכתי דתי ד ר רותי שטינברג ייעוץ מדעי ופדגוגי, תכנון ועריכה דיצה בונופיאל טלי דגן פשוט חשבון מתמטיקה לבית הספר היסודי הממלכתי והממלכתי דתי כיתה ו - ספר ראשון ייעוץ מתמטי: ד"ר מיכאל קורן עיצוב ואיור: אורי נאור קישור

קרא עוד

לדרך... מה נלמד? תרגילים חיבור מספרים מכוונים נלמד את כללי החיבור של מספרים מכוונים. )תשובות לתרגילים בפרק זה-בעמ' (.Ⅰ

לדרך... מה נלמד? תרגילים חיבור מספרים מכוונים נלמד את כללי החיבור של מספרים מכוונים. )תשובות לתרגילים בפרק זה-בעמ' (.Ⅰ -28- לדרך... מה נלמד? תרגילים חיבור מספרים מכוונים נלמד את כללי החיבור של מספרים מכוונים. )תשובות לתרגילים בפרק זה-בעמ' 107-105(.Ⅰ 5 656 הסבר נדב יצא מביתו )נקודה (, צעד 5 ק"מ לכיוון מזרח, והגיע למסעדה

קרא עוד

Microsoft Word - two_variables3.doc

Microsoft Word - two_variables3.doc משימה שני תלמידים פתרו את מערכת המשוואות הבאה y 7 2y 2. שי פתר בשיטת השוואת מקדמים: I. 2x y 7 II. 2x 2y 2 דנה פתרה בשיטת הצבה: I. 2x y 7 II. 2x 2y 2 I. y = 7 2x II. 2x 2(7 2x) = 2 2x 4 + 4x = 2 6x 4 =

קרא עוד

אי שוויונים ממעלה ראשונה לארבע יחידות

אי שוויונים ממעלה ראשונה לארבע יחידות אי שיוונים ממעלה ראשונה ל יח"ל. נעמי ברנס/כהן. המחברות: מיטל מתלון/מיכאלי. רטל חדד/בן רחמים הנחיות לשימוש בחוברת "אי שויונים ממעלה ראשונה" לתלמידי יח"ל החוברת מיועדת ללימוד עצמאי למי שלא למד את הנושא.

קרא עוד

אוניברסיטת בן-גוריון המחלקה למדעי המחשב בוחן במבנים בדידים וקומבינטוריקה פרופ' מתיא כ"ץ, ד"ר עופר נימן, ד"ר סטוארט סמית, ד"ר נתן רובין, גב'

אוניברסיטת בן-גוריון המחלקה למדעי המחשב בוחן במבנים בדידים וקומבינטוריקה פרופ' מתיא כץ, דר עופר נימן, דר סטוארט סמית, דר נתן רובין, גב' אוניברסיטת בן-גוריון המחלקה למדעי המחשב בוחן במבנים בדידים וקומבינטוריקה 0-- פרופ' מתיא כ"ץ, ד"ר עופר נימן, ד"ר סטוארט סמית, ד"ר נתן רובין, גב' יעל שטיין טל באומל, לילך חייטמן-ירושלמי, נתי פטר, ד ר סטוארט

קרא עוד

תכנון אלגוריתמים עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 02: , בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 003 מתרגל אחראי: אורי 0

תכנון אלגוריתמים עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 02: , בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 003 מתרגל אחראי: אורי 0 22 עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 2: 622, בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 3 מתרגל אחראי: אורי הוראות כלליות: כל עוד לא נאמר אחרת, כאשר הנכם מתבקשים לתאר אלגוריתם יש לספק את הבאות: תיאור

קרא עוד

. שאלה 1: ה אי x] T : R 4[ x] R 4[ אופרטור ליניארי מוגדר על-ידי T( ax bx cx d) bx ax cx c )13 נק'( א( מצאו את הערכים העצמיים, המרחבים העצמיים

. שאלה 1: ה אי x] T : R 4[ x] R 4[ אופרטור ליניארי מוגדר על-ידי T( ax bx cx d) bx ax cx c )13 נק'( א( מצאו את הערכים העצמיים, המרחבים העצמיים שאלה : ה אי x] : R4[ x] R4[ אופרטור ליניארי מוגדר על-ידי ( ax bx cx d) bx ax cx c )3 נק'( א( מצאו את הערכים העצמיים המרחבים העצמיים והפולינום המורכב מוקטורים עצמיים של R [ [x האופייני של מצאו בסיס של 4

קרא עוד

Microsoft Word - teachmodel1.doc

Microsoft Word - teachmodel1.doc דגמי הוראה תכנון שיעור נושא השיעור: אסטרטגיות לחישוב נפח תיבה כיתה: ד נושא בתכנית הלימודים: נפח תיבה (עמוד 92) מיומנויות מתכנית הלימודים: פיתוח ראייה מרחבית - קשרים בין מודל דו-ממדי למודל תלת-ממדי והתנסות

קרא עוד

Microsoft Word - òéúåï îúîèé÷ä 1.doc

Microsoft Word - òéúåï îúîèé÷ä 1.doc ילדים יקרים בשעה טובה יוצא לדרך עיתון מתמטיקה בית ספרי. זהו רעיון חדש בבית ספרנו אותו הגו צוות מתמטיקה והוא מוקדש במיוחד לכם ולהנאתכם. מקווה אני כי תמצאו בו עניין ותהינו ממנו במהלך חופשת החנוכה. להתראות

קרא עוד

Microsoft Word - solutions.doc

Microsoft Word - solutions.doc תחרות גיליס 009-00 הרי פוטר הגיע לחנות הדובשנרייה בהוגסמיד. הוא מגלה, שהכסף שלו מספיק בדיוק ל- סוכריות קוסמים ול- 5 קרפדות שוקולד, או בדיוק ל- 0 קרפדות שוקולד ול- 0 נשיקות מנטה, או בדיוק ל- 45 נשיקות מנטה

קרא עוד

Microsoft Word פרק 16 - פתרון משוואות רמה א

Microsoft Word פרק 16 - פתרון משוואות רמה א 0.0. דף עבודה פתרון משוואות ושאלות מילוליות נתונות שתי משוואות שקולות. 8 60 הסבירו מדוע המשוואות שקולות. 6) 4( שקולה למשוואות אלו? האם המשוואה 8 מצאו שתי משוואות נוספות השקולות למשוואות בסעיף. () משוואות.

קרא עוד

טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נ

טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נ טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נתון כלשהו.. אין צורך לענות על השאלות לפי סדר הופעתן.

קרא עוד

rizufim answers

rizufim answers ÌÈÙÂˆÈ מדריך למורה פעילות זו היא פעילות חקר לבדיקת כל אפשרויות הריצוף שבהן סידור מצולעים סביב קודקוד הוא זהה. המצולעים שבהם ישתמשו התלמידים הם: משולש שווה צלעות, משושה משוכלל וריבוע - כולם בעלי צלע באותו

קרא עוד

תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: כל הזכויות שמורות

תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: כל הזכויות שמורות תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: st.negishut@weizmann.ac.il תוכן העניינים מטרות התיק... 3 זמני עבודה משוערים... 3 החומרים והעזרים הדרושים... 4 רקע... 5 הצעה למהלך העבודה...

קרא עוד

Microsoft Word - בעיות הסתברות 1.doc

Microsoft Word - בעיות הסתברות 1.doc תרגול בעיות הסתברות. גולן מטיל פעמים קובייה הוגנת, מה ההסתברות שבכל אחת מהפעמים יקבל תוצאה שונה? () () () הילה קוראת ספר לפני השינה פעמים בשבוע, יוני סופר כבשים לפני השינה פעמים בשבוע, מה הסיכוי שהיום

קרא עוד

פרויקט "רמזור" של קרן אביטל בס "ד מערך שיעור בנושא: "פונקציה" טליה קיפניס והדסה ערמי, מאולפנת צביה פרטים מקדימים על מערך השיעור: השיעור מהווה מבוא לנו

פרויקט רמזור של קרן אביטל בס ד מערך שיעור בנושא: פונקציה טליה קיפניס והדסה ערמי, מאולפנת צביה פרטים מקדימים על מערך השיעור: השיעור מהווה מבוא לנו בס "ד מערך שיעור בנושא: "פונקציה" טליה קיפניס והדסה ערמי, מאולפנת צביה פרטים מקדימים על מערך השיעור: השיעור מהווה מבוא לנושא הפונקציות הנלמד בכתה ט' בכל הרמות. עזרי ההוראה בהם נשתמש: מחשב, ברקו, דפי עבודה

קרא עוד

Microsoft Word - beayot tnua 3 pitronot.doc

Microsoft Word - beayot tnua 3 pitronot.doc ק( בעיות מילוליות - בעיות תנועה.7 פתרון: א. נסמן : קמ"ש קמ"ש מהירותו של הולך הרגל. מהירותו של רוכב האופניים. משך זמן הליכתו של הולך הרגל מקיבוץ א' לקיבוץ ב'. משך זמן רכיבתו של רוכב האופניים מקיבוץ א' לקיבוץ

קרא עוד

כיף עם ג'ף חלק ב' חוברת של פעילויות מתמטיות: העשרה, העמקה, משחקים ואתגרים. עריכה: ג'ף סייח

כיף עם ג'ף חלק ב' חוברת של פעילויות מתמטיות: העשרה, העמקה, משחקים ואתגרים. עריכה: ג'ף סייח כיף עם ג'ף חלק ב' חוברת של פעילויות מתמטיות: העשרה, העמקה, משחקים ואתגרים. עריכה: ג'ף סייח www.kefwithjeff.org + = + = 0 + 0 = 0 + = 0 = 0 = 00 = 00 = 0 0 = 0 x = 0 x = 0 x 0 = x = x = : = 0 : = : = 00

קרא עוד

בארץ אחרת

בארץ אחרת בארץ אחרת כתבה טל ניצן איירה כנרת גילדר הוצאת עם עובד בע"מ 3112 על הספר זהו סיפור על ילדה שמגיעה יחד עם הוריה לעיר גדולה בארץ ארץ חדשה. הסיפור כתוב בגוף ראשון ומתאר חוויות ראשונות מן העיר הגדולה: גודלה

קרא עוד

Algorithms Tirgul 1

Algorithms Tirgul 1 - מעגלי אוילר ומסלולי אוילר תרגול 1 חידה: האם אפשר לצייר את הציורים הבאים בלי להרים את העיפרון מהנייר? 1 קצת אדמיניסטרציה אופיר פרידלר ophir.friedler@gmail.com אילן כהן - ilanrcohen@gmail.com שעות קבלה

קרא עוד

أكاديمية القاسمي كلية أكاديمية للتربية אקדמיית אלקאסמי מכללה אקדמית לחינוך שאלון מוטיבציה פנימית סטופ-הראל, 2002

أكاديمية القاسمي كلية أكاديمية للتربية אקדמיית אלקאסמי מכללה אקדמית לחינוך שאלון מוטיבציה פנימית סטופ-הראל, 2002 שאלון מוטיבציה פנימית סטופ-הראל, 00 מדוע יורדת המוטיבציה הפנימית ללמידה? הבדלים בין בתי ספר יסודיים וחטיבות ביניים במוטיבציה פנימית ובמשתנים המקושרים אליה מאת : אורית סטופ-הראל בהדרכת : ד"ר ג'ני קורמן

קרא עוד

Microsoft Word - Cosmic CAL Part 2 Hebrew Final

Microsoft Word - Cosmic CAL Part 2 Hebrew Final לסרוג יחד קוסמי חלק 2 זכויות יוצרים: הלן שרימפטון, 2018. כל הזכויות שמורות על ידי: הלן ב www.crystalsandcrochet.com בחסות של Stylecraft yarn קיצורים תך, תכים ח"ע חצי עמוד ל"א לולאה אחורית סיבוב עמ"ק עמוד

קרא עוד

הוספת קישור לאתר אינטרנט תוכן ממשק בדיקת מטלות...3 איחוד אתרי קורסים...5 סל מחזור... 7 חידושים בפעילויות...8 תצורת קורס: כפתורים... 9 פורומים...10 שיפ

הוספת קישור לאתר אינטרנט תוכן ממשק בדיקת מטלות...3 איחוד אתרי קורסים...5 סל מחזור... 7 חידושים בפעילויות...8 תצורת קורס: כפתורים... 9 פורומים...10 שיפ הוספת קישור לאתר אינטרנט תוכן ממשק בדיקת מטלות...3 איחוד אתרי קורסים...5 סל מחזור... 7 חידושים בפעילויות...8 תצורת קורס: כפתורים... 9 פורומים...10 שיפורים נוספים... 11 1 Moodle חדש במערכת ה- מערכת מודל

קרא עוד

הנחיות הורדה ותפעול לספרים דיגיטלים. הוצאת כנרת, זמורה ביתן שמחה להגיש לכם, התלמידים, ספר דיגיטלי. הספרים עצמם הינם בקבצי PDF הניתנים להורדה ללא עלות

הנחיות הורדה ותפעול לספרים דיגיטלים. הוצאת כנרת, זמורה ביתן שמחה להגיש לכם, התלמידים, ספר דיגיטלי. הספרים עצמם הינם בקבצי PDF הניתנים להורדה ללא עלות הנחיות הורדה ותפעול לספרים דיגיטלים. הוצאת כנרת, זמורה ביתן שמחה להגיש לכם, התלמידים, ספר דיגיטלי. הספרים עצמם הינם בקבצי PDF הניתנים להורדה ללא עלות וללא צורך ברישום לאתר למשתמשי סדרת פשוט חשבון. בספרים:

קרא עוד

Microsoft Word - Guberman doc

Microsoft Word - Guberman doc אפשר גם אחרת חילוק שברים פשוטים עמוד חילוק שברים פשוטים מתמטיקה תרגולית או מתמטיקה אחרת? ראיסה גוברמן אחד המסרים המרכזיים שעל המורה למתמטיקה להעביר לתלמידיו הוא, שהמתמטיקה אינה אוסף עובדות וכללי פעולה

קרא עוד

<4D F736F F D20F4F8F720E7F9E9E1E420EBEEE5FAE9FA203120E9E5ECE E646F63>

<4D F736F F D20F4F8F720E7F9E9E1E420EBEEE5FAE9FA203120E9E5ECE E646F63> הסברים לפרק כמותי : :úåðåëðä úåáåùúä 0 9 8 7 6 5 5 0 9 8 7 6 5. התשובה הנכונה היא: (). עלינו לקבוע איזה מהביטויים שבתשובות אינו זוגי. משום שהשאלה עוסקת בתכונת הזוגיות, ננסה ללמוד מהנתון על זוגיותם של x

קרא עוד

ForMenahelHeshbonot

ForMenahelHeshbonot מנה"ח לכל מומלץ הנהלת החשבונות של בינה מודול הנחיות עבור ריכוז מודול הנהלת החשבונות של בינה שונה בתפיסת עולמו ממודולים דומים בתוכנות הנהלת חשבונות. בתפיסת עולם זו, הנהלת החשבונות היא פועל יוצא של הפעילות

קרא עוד

2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק

2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך( כלל השרשרת S ( z) z + על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק מקביל : f ( ) + הפונקציה מוגדרת וגזירה ברציפות בכל M( ) שאלה נתון פרבולואיד אליפטי P ( z) + 6 + z + 8 למישור

קרא עוד

WinZIP תוכנה לדחיסת קבצים ספטמבר 2007

WinZIP תוכנה לדחיסת קבצים ספטמבר 2007 WinZIP תוכנה לדחיסת קבצים ספטמבר 2007 תשס"ח 2007. כל הזכויות שמורות לאוניברסיטה הפתוחה. בית ההוצאה לאור של האוניברסיטה הפתוחה, רח' רבוצקי 108 ת, "ד 808, רעננה 43107. The Open University of Israel, 108

קרא עוד

עיריית מפקד תכנון אסטרטגי ומחקר אוכלוסין חיפה

עיריית מפקד תכנון אסטרטגי ומחקר אוכלוסין חיפה עיריית מפקד תכנון אסטרטגי ומחקר אוכלוסין - 2008 חיפה הקדמה תוכן עניינים תכנון אסטרטגי ומחקר בעלון זה מוצגים נתונים על העיר חיפה שמבוססים על נתוני מפקד האוכלוסין שנערך על ידי הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה בשנת

קרא עוד

תרגול מרובעים- מקבילית נתונה מקבילית בעלת היקף בגודל 33 ס"מ, כמו כן אחת מצלעות המקבילית שווה ל- 8 ס"מ. מהו גודלה של שאר צלעות המקבילית בס"מ?.1 8 נתונה

תרגול מרובעים- מקבילית נתונה מקבילית בעלת היקף בגודל 33 סמ, כמו כן אחת מצלעות המקבילית שווה ל- 8 סמ. מהו גודלה של שאר צלעות המקבילית בסמ?.1 8 נתונה תרגול מרובעים- מקבילית נתונה מקבילית בעלת היקף בגודל 33 ס"מ, כמו כן אחת מצלעות המקבילית שווה ל- 8 ס"מ. מהו גודלה של שאר צלעות המקבילית בס"מ?.1 8 נתונה מקבילית שצלעותיה שוות ל- 3 ס"מ ול- 7 ס"מ. מהו הטווח

קרא עוד

מטלת סיום שם הקורס: מורי מורים "עברית על הרצף" מוגשת ל- ד"ר האני מוסא תאריך הגשה: מגישה: זייד עביר יסודי ספר בית קחאוש אלפחם אום 1

מטלת סיום שם הקורס: מורי מורים עברית על הרצף מוגשת ל- דר האני מוסא תאריך הגשה: מגישה: זייד עביר יסודי ספר בית קחאוש אלפחם אום 1 מטלת סיום שם הקורס: מורי מורים "עברית על הרצף" מוגשת ל ד"ר האני מוסא תאריך הגשה: 10.10.2016 מגישה: זייד עביר יסודי ספר בית קחאוש אלפחם אום 1 הקדמה רכישתה של שפה שניה או זרה היא תופעה לשונית פסיכולוגית,

קרא עוד

פקולטה לחינוך מנהל סטודנטים Beit Berl College الكلية االكاديمية بيت بيرل 20/06/2016 י"ד/סיון/תשע"ו ייעוץ וירטואלי הרכבת מערכת )רישום לקורסים( באמצעות

פקולטה לחינוך מנהל סטודנטים Beit Berl College الكلية االكاديمية بيت بيرل 20/06/2016 יד/סיון/תשעו ייעוץ וירטואלי הרכבת מערכת )רישום לקורסים( באמצעות 20/06/2016 י"ד/סיון/תשע"ו ייעוץ וירטואלי הרכבת מערכת )רישום לקורסים( באמצעות האינטרנט שלום רב, לנוחותכם, הרכבת המערכת לשנה"ל תשע"ז תתבצע באמצעות האינטרנט ייעוץ וירטואלי. הרכבת המערכת )רישום לקורסים( תעשה

קרא עוד

"עשר בריבוע", כיתה ז' - מדריך למורה 1. משתנה וביטוי אלגברי 1. משתנה וביטוי אלגברי רקע הפרק "משתנה משתנה וביטוי אלגברי" פותח את השנה ואת לימוד האלגברה.

עשר בריבוע, כיתה ז' - מדריך למורה 1. משתנה וביטוי אלגברי 1. משתנה וביטוי אלגברי רקע הפרק משתנה משתנה וביטוי אלגברי פותח את השנה ואת לימוד האלגברה. רקע הפרק "משתנה משתנה וביטוי אלגברי" פותח את השנה ואת לימוד האלגברה. בפרק אנו עוסקים תחילה בחוקיות. מהי חוקיות? המושג חוקיות, REGULARITY באנגלית, הוא מושג בסיסי להבנת תופעות טבע, רוב התופעות במדע וכן התנהגות

קרא עוד

עיריית הרצליה 04/10/2018 אגף המינהל הכספי - ה ג ז ב ר ו ת ת.ד. 1 הרצליה טל פקס' עדכון הסכומים בחוקי העזר להלן רשימת

עיריית הרצליה 04/10/2018 אגף המינהל הכספי - ה ג ז ב ר ו ת ת.ד. 1 הרצליה טל פקס' עדכון הסכומים בחוקי העזר להלן רשימת תוכן העניינים דפים 2-6 7 7 8 אגרת תעודות אישור: פיקוח על כלבים, פיקוח על מכירת מוצרים מן החי: מודעות ושלטים: סלילת רחובות: היטל תיעול: מניעת מפגעים ושמירה על הסדר והנקיון: י-ם 91061 מ. פדלון, ראש העירייה

קרא עוד

מסע מדע ו - מסע ברכב שטח ביבשות רחוקות

מסע מדע ו - מסע ברכב שטח ביבשות רחוקות הנחיות הורדה ותפעול לספרים דיגיטלים. הוצאת כנרת, זמורה ביתן שמחה להגיש לכם, התלמידים, ספר דיגיטלי. הספרים עצמם הינם בקבצי PDF הניתנים להורדה ללא עלות וללא צורך ברישום לאתר למשתמשי סדרת פשוט חשבון. בספרים:

קרא עוד

הטכניון מכון טכנולוגי לישראל אלגוריתמים 1 )443432( סמסטר חורף הפקולטה למדעי המחשב תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגור

הטכניון מכון טכנולוגי לישראל אלגוריתמים 1 )443432( סמסטר חורף הפקולטה למדעי המחשב תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגור תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגוריתמים לפתרון בעית מסלולים קלים מציאת מסלולים קלים ביותר מצומת ביותר ממקור יחיד. כלומר, V לכל צמתי הגרף. בעיה אחרת הקשורה לבעיה זו היא בעית ה-(

קרא עוד

Microsoft Word - D70.doc

Microsoft Word - D70.doc בית ספר גבריאלי הכרמל (מנהלת-צופיה יועד) במהלך השנה ולקראת סופה נערכו שיחות אישיות של המנהלת עם כל מורה ומורה בבית הספר. לקראת שיחה זו כתבו המורים את מה שבכוונתם להעלות באותה שיחה. המורים התבקשו להציב

קרא עוד

הפקולטה למדעי הרווחה והבריאות בית הספר לעבודה סוציאלית Faculty of Social Welfare & Health Sciences School of Social Work الكلية لعلوم الرفاه والصحة مد

הפקולטה למדעי הרווחה והבריאות בית הספר לעבודה סוציאלית Faculty of Social Welfare & Health Sciences School of Social Work الكلية لعلوم الرفاه والصحة مد שנה א' קורסי חובה - סמסטר א סמינר מגמה קלינית טרמה מערכת שעות מ"א - תשע"ח ילד ונוער מנהיגות ושינוי חברתי *נכון לתאריך 3/8/2017 ברית ושיקום משפחה 8-12 אלי זומר 288.4140 מיקי וינברג 288.4901 נינה קורן קריא

קרא עוד

מספר נבחן / תשס"ג סמסטר א' מועד א' תאריך: שעה: 13:00 משך הבחינה: 2.5 שעות בחינה בקורס: מבחנים והערכה א' מרצה: ד"ר אבי אללוף חומר עזר

מספר נבחן / תשסג סמסטר א' מועד א' תאריך: שעה: 13:00 משך הבחינה: 2.5 שעות בחינה בקורס: מבחנים והערכה א' מרצה: דר אבי אללוף חומר עזר מספר נבחן 2002 2003 / תשס"ג סמסטר א' מועד א' תאריך: 29.1.03 שעה: 13:00 משך הבחינה: 2.5 שעות בחינה בקורס: מבחנים והערכה א' מרצה: ד"ר אבי אללוף חומר עזר: אין שימוש במחשבון: מותר בבחינה 10 עמודים כולל עמוד

קרא עוד

מספר זהות: סמסטר ב' מועד א' תאריך: 11102/4// שעה: 9:22 משך הבחינה: 3 שעות חומר עזר: אין מותר השימוש במחשבון פשוט בחינה בקורס: מבני נתונים מרצה: הדר בי

מספר זהות: סמסטר ב' מועד א' תאריך: 11102/4// שעה: 9:22 משך הבחינה: 3 שעות חומר עזר: אין מותר השימוש במחשבון פשוט בחינה בקורס: מבני נתונים מרצה: הדר בי מספר זהות: סמסטר ב' מועד א' תאריך: 11102/4// שעה: 9:22 משך הבחינה: 3 שעות חומר עזר: אין מותר השימוש במחשבון פשוט בחינה בקורס: מבני נתונים מרצה: הדר בינסקי הנחיות: יש לענות על כל השאלות. יש לענות על כל

קרא עוד

Titre du document en police Sodexo

Titre du document  en police Sodexo BENEFITS AND REWARDS SERVICES כיצד משתמשים באתר: mysodexo.co.il יוני 2017 ה- תודה שבחרתם Sodexo Benefits & Rewards לקוחות יקרים, לפניכם מדריך קצר המסביר את אופן השימוש באתר שירות הלקוחות שלנו ישמח לעמוד

קרא עוד

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, 635863 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 תלמיד קנה 11 מחברות דקות ו- 4 מחברות עבות,

קרא עוד

מתמטיקה של מערכות

מתמטיקה של מערכות מתמטיקה של מערכות פתרון לתרגיל נגזור את שני האגפים לפי ונקבל : ) ולכן נתון ש- אז א ) e e נתון ש- א ) נגזור את שני האגפים לפי ונקבל: e, ולכן ) e e e ונקבל: נחלק את שני האגפים ב- נתון ש- ו- וגם ש- פונקציות

קרא עוד

כמה מילים לפני שקופצים לתוך ה...ציור זוכרים? מרי פופינס קופצת עם הילדים לתוך הציורים, כמה מילות קסמים והם בפנים! וכמה קורה שם בפנים: הילולה, הרפתקה, ו

כמה מילים לפני שקופצים לתוך ה...ציור זוכרים? מרי פופינס קופצת עם הילדים לתוך הציורים, כמה מילות קסמים והם בפנים! וכמה קורה שם בפנים: הילולה, הרפתקה, ו כמה מילים לפני שקופצים לתוך ה...ציור זוכרים? מרי פופינס קופצת עם הילדים לתוך הציורים, כמה מילות קסמים והם בפנים! וכמה קורה שם בפנים: הילולה, הרפתקה, וגם כעסים וקינאה. אז תנו לי יד וקדימה קופצים, רק תזכרו

קרא עוד

801-2

801-2 . סטטיסטיקה והסתברות לפניכם רשימה של ציונים שהתקבלו בכיתה מסוימת:,,,,,,,,,,,,,,, 0 סדרו את הציונים בטבלת שכיחויות. מהו חציון הציונים? נמקו. חשבו את ממוצע הציונים בכיתה. סרטטו דיאגרמת מקלות של התפלגות הציונים.

קרא עוד

המעבר לחטיבה עליונה

המעבר לחטיבה עליונה בס "ד בס "ד בס "ד עיריית אשדוד מקיף ז' הקריה אשדוד התשע "ב בית הספר ביכולת של התלמידים, ומאפשר בכל מסלול לגשת לבחינות הבגרות לפי יכולתו והישגיו הלימודים. בית הספר שכל תלמידי שכבה ט' ימשיכו ללמוד במסגרת

קרא עוד

עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה אפריל 5105 קשה בלימודים, קל במבחנים, קל בחיים עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה יש לפתור את כל השאלות

עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יחל פסח תשעה אפריל 5105 קשה בלימודים, קל במבחנים, קל בחיים עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יחל פסח תשעה יש לפתור את כל השאלות עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה יש לפתור את כל השאלות על דפים משובצים. רשמו את שמכם על כל אחד מהדפים הפתרונות יוגשו אחרי חופשת הפסח. מומלץ לכתוב דואר אלקטרוני, Whatspp כאשר נתקלים בקושי. מישהו

קרא עוד

מבחן סוף סמסטר מועד א 15/02/08 מרצה אחראית: דר שירלי הלוי גינסברג מתרגלים: גלעד קותיאל, דניאל גנקין הוראות: א. בטופס המבחן 7 עמודים ו 4 דפי נוסחאות. ב

מבחן סוף סמסטר מועד א 15/02/08 מרצה אחראית: דר שירלי הלוי גינסברג מתרגלים: גלעד קותיאל, דניאל גנקין הוראות: א. בטופס המבחן 7 עמודים ו 4 דפי נוסחאות. ב מבחן סוף סמסטר מועד א 15/02/08 מרצה אחראית: דר שירלי הלוי גינסברג מתרגלים: גלעד קותיאל, דניאל גנקין הוראות: א. בטופס המבחן 7 עמודים ו 4 דפי נוסחאות. בדקו שכל העמודים ברשותכם. ב. משך המבחן שלוש שעות (180

קרא עוד

כללי השתתפות בפעילות במבצע "חופשת האירוויזיון המושלמת"

כללי השתתפות בפעילות במבצע חופשת האירוויזיון המושלמת כללי השתתפות בפעילות במבצע "חופשת האירוויזיון המושלמת" כללי: בין התאריכים 6.5.19 ועד 13.5.19 תערוך חברת אל על נתיבי אויר לישראל בע"מ (להלן: "עורכת הפעילות" או "אל על") פעילות בשם "חופשת האירוויזיון המושלמת",

קרא עוד

ללא כותרת שקופית

ללא כותרת שקופית סביבת הלימוד החוץ כיתתית ניר אוריון המחלקה להוראת המדעים מכון ויצמן למדע גישה הוליסטית לסביבת הלימוד החוץ-כיתתית הגברת מידת ורמת השימוש בסביבה החוץ-כיתתית דורשת התמודדות עם השאלות הבאות: (1) מהי סביבה

קרא עוד

פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה עבודת קיץ לבוגרי כיתה ז' קבוצת מיצוי " שכונה מערבית, רח' הפסגה 17 כרמיאל דוא"ל:

פסגות עש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה עבודת קיץ לבוגרי כיתה ז' קבוצת מיצוי  שכונה מערבית, רח' הפסגה 17 כרמיאל דואל: עבודת קיץ לבוגרי כיתה ז' קבוצת מיצוי " סדר פעולות חשבון עם מספרים מכוונים )1( כמובן יש להראות את דרך פתרון. תרגיל 0 1 : ( 3) 1 ( ) פתרו. שימו לב לסדר פעולות החשבון. תשובה 1 )( )3( )4( )5( )6( )7( )8( 30

קרא עוד

23 ביולי 2103 קובץ הנהלים של המסלול האקדמי נוהל 3 א' - גיוס עובד חדש מטרת הנוהל לקבוע את ההליכים לביצוע תהליך גיוס וקליטת עובדים מנהליים חדשים במסלול

23 ביולי 2103 קובץ הנהלים של המסלול האקדמי נוהל 3 א' - גיוס עובד חדש מטרת הנוהל לקבוע את ההליכים לביצוע תהליך גיוס וקליטת עובדים מנהליים חדשים במסלול 23 ביולי 2103 קובץ הנהלים של המסלול האקדמי נוהל 3 א' - גיוס עובד חדש מטרת הנוהל לקבוע את ההליכים לביצוע תהליך גיוס וקליטת עובדים מנהליים חדשים במסלול האקדמי. הנוהל מתייחס לגיוס עובד קבוע, עובד בהסכם אישי

קרא עוד

People. Partnership. Trust שלבי הפרויקט והמסלולים השונים - פלטפורמת "קהילה לומדת" מסלול Free שלבי הפרויקט: חיבור לשירותי Office 365 ללא עלות פורטל התח

People. Partnership. Trust שלבי הפרויקט והמסלולים השונים - פלטפורמת קהילה לומדת מסלול Free שלבי הפרויקט: חיבור לשירותי Office 365 ללא עלות פורטל התח שלבי הפרויקט והמסלולים השונים - פלטפורמת "קהילה לומדת" מסלול Free שלבי הפרויקט: חיבור לשירותי Office 365 ללא עלות פורטל התחברות הכולל ממשק למנב"ס ולסיסמא אחודה דף בית לתלמיד המאפשר גישה פשוטה להורדת הטבת

קרא עוד

יום עיון עורכי בקשות להיתרים

יום עיון עורכי בקשות להיתרים יום עיון לעורכי בקשות להיתרים 13.7.2017 יום עיון לעורכי בקשות להיתרים 13.7.2017 ימים תנאים מקדימים + 45 מידע להיתר ימים מידע 5 בדיקת תנאים מקדימים איסוף מידע הפקת תיק מידע ומסירתו למבקש מירי תמר תמר תנאים

קרא עוד

שחזור מבחן יסודות הביטוח – מועד 12/2016

שחזור מבחן יסודות הביטוח – מועד 12/2016 שחזור בחינה יסודות הביטוח מועד 2202/21 לפניכם שחזור מבחן יסודות הביטוח מועד 2202/21. השאלות מבוססות על שחזור התלמידים. תודה לכל אלו שתרמו בביצוע השחזור. במידה והנכם זוכרים שאלות נוספות ו 0 או דיוק טוב

קרא עוד

Microsoft Word - פרק ה' עד שיעור 4.doc

Microsoft Word - פרק ה' עד שיעור 4.doc לכיתה הטרוגנית פרק ה' מידות עשרוניות תוכן הענינים שיעור 1 ארבעוני המטייל------------ 142 שיעור 2 להתמודד עם מידות---------- 147 ארוך ומתארך--------------- 152 מישרים לוחות עץ----------- 156 מדידת כושר---------------

קרא עוד

סטטיסטיקה

סטטיסטיקה 0 פתרונות ספר המאגר לשאלון: 08. פרק משוואות, גרפים של ישרים ופרבולות. פרק. שינוי נושא בנוסחה פרק. בעיות מילוליות פרק. קריאת גרפים ובניית גרפים פרק.0 גאומטריה אנליטית פרק. סדרות פרק סטטיסטיקה והסתברות כולל

קרא עוד

תורת החישוביות תרגול הכנה לוגיקה ותורת הקבוצות מה יש כאן? בקורס תורת החישוביות נניח ידע בסיסי בתורת הקבוצות ובלוגיקה, והכרות עם מושגים בסיסיים כמו א"ב

תורת החישוביות תרגול הכנה לוגיקה ותורת הקבוצות מה יש כאן? בקורס תורת החישוביות נניח ידע בסיסי בתורת הקבוצות ובלוגיקה, והכרות עם מושגים בסיסיים כמו אב תורת החישוביות תרגול הכנה לוגיקה ותורת הקבוצות מה יש כאן? בקורס תורת החישוביות נניח ידע בסיסי בתורת הקבוצות ובלוגיקה, והכרות עם מושגים בסיסיים כמו א"ב, מילה ושפה לטובת מי ששכח חומר זה, או שלא למדו מעולם,

קרא עוד

ייבוא וייצוא של קבצי אקסל וטקסט

ייבוא וייצוא של קבצי אקסל וטקסט ייבוא וייצוא של קבצי אקסל וטקסט (Importing & Exporting MS Excel Files and Text) ייבוא (Import) הפיכת קובץ טקסט, Excel מבסיס נתונים אחר. או סוגים אחרים, לטבלת,Access או העתקת טבלת Access בתחילת התהליך יש

קרא עוד

עבודת סיום - מוזיטק

עבודת סיום - מוזיטק יולי 2007 בס"ד עבודת סיום מוזיטק מגישה: הדר חדד שנה ב'. יחידת לימוד: סתיו נושא: מאפייני הסתיו תת נושא: חילזון-העבודה מתבססת על השיר עמיר. "חילזון"/אנדה הנושא א. פעילויות באחריות הגננת לימוד נושא הסתיו

קרא עוד

בגרות עז יולי 17 מועד קיץ ב שאלון ,000 א. ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב-. 25% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי,

בגרות עז יולי 17 מועד קיץ ב שאלון ,000 א. ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב-. 25% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי, ,000 א ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב- 5% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי, 5% לכן, המחיר החדש הוא: 5,000 00 5 5 00 שקלים ממחירו הקודם 0005 תשובה: מחיר הספה לאחר ההתייקרות הוא

קרא עוד

מצגת של PowerPoint

מצגת של PowerPoint שלום לתלמידי י"א חמש יחידות מתמטיקה גיל קרסיק מורה למתמטיקה בשעה וחצי הקרובות נדבר על שאלון 806 סדרות הנדסיות וחשבוניות ארבעה תרגילים שהיו בבחינות בגרות ארבעה טיפים )טיפ אחד אחרי כל תרגיל שנפתור הערב(

קרא עוד

טורניר באולינג נגב ה 3 לשנת 2017 ע"ש דורון אסולין ז"ל טורניר זה מיועד לכלל שחקני הבאולינג המשחקים בבאולינג עמותת נגב, כדורת ב"ש וליגה למקומות עבודה. ה

טורניר באולינג נגב ה 3 לשנת 2017 עש דורון אסולין זל טורניר זה מיועד לכלל שחקני הבאולינג המשחקים בבאולינג עמותת נגב, כדורת בש וליגה למקומות עבודה. ה טורניר באולינג נגב ה 3 לשנת 2017 ע"ש דורון אסולין ז"ל טורניר זה מיועד לכלל שחקני הבאולינג המשחקים בבאולינג עמותת נגב, כדורת ב"ש וליגה למקומות עבודה. הטורניר בחסות ובשיתוף: 7 באר-שבע 1.תנאי השתתפות וכללי:

קרא עוד

מדריך לחיפוש במאגר JCR Journal Citation Reports מעודכן לדצמבר 2015 כל הזכויות שמורות לתחום היעץ, אוניברסיטת חיפה, הספריה

מדריך לחיפוש במאגר JCR Journal Citation Reports מעודכן לדצמבר 2015 כל הזכויות שמורות לתחום היעץ, אוניברסיטת חיפה, הספריה מדריך לחיפוש במאגר JCR Journal Citation Reports מעודכן לדצמבר 2015 כל הזכויות שמורות לתחום היעץ, אוניברסיטת חיפה, הספריה תוכן עניינים........................ )Journal Citations Reports( JCR מדד ההשפעה

קרא עוד

הסבר: מחיר ק"ג תפוזים הוא 7 שקלים.. אמהי העלות של 2 ק"ג תפוזים?. במהי העלות של 3 ק"ג תפוזים?. גמהי העלות של 10 ק"ג תפוזים?. דמהי הע

הסבר: מחיר קג תפוזים הוא 7 שקלים.. אמהי העלות של 2 קג תפוזים?. במהי העלות של 3 קג תפוזים?. גמהי העלות של 10 קג תפוזים?. דמהי הע הסבר: מחיר ק"ג תפוזים הוא 7 שקלים.. אמהי העלות של 2 ק"ג תפוזים. במהי העלות של ק"ג תפוזים. גמהי העלות של 10 ק"ג תפוזים. דמהי העלות של 50 ק"ג תפוזים. המהי העלות של a ק"ג תפוזים -1- המשתנה משתנים וביטויים

קרא עוד

צעד ראשון רישום לשנה"ל תשע"ט בבית ספר "היובל" יהוד מונוסון שימו לב לתאריכי המפגשים בעמוד 5

צעד ראשון רישום לשנהל תשעט בבית ספר היובל יהוד מונוסון   שימו לב לתאריכי המפגשים בעמוד 5 צעד ראשון רישום לשנה"ל תשע"ט בבית ספר "היובל" יהוד מונוסון https://hayovelyahud.tik-tak.net/ שימו לב לתאריכי המפגשים בעמוד 5 חזון בית הספר בית ספר "היובל" הוא בית אוהב מקבל ותומך לתלמידיו ולקהילתו. בית

קרא עוד

עמוד 1 מתוך 5 יוחאי אלדור, סטטיסטיקאי סטטיסטיקה תיאורית + לוחות שכיחות בדידים/רציפים בגדול מקצוע הסטטיסטיקה נחלק ל- 2 תחומים עיקריים- סטט

עמוד 1 מתוך 5 יוחאי אלדור, סטטיסטיקאי סטטיסטיקה תיאורית + לוחות שכיחות בדידים/רציפים בגדול מקצוע הסטטיסטיקה נחלק ל- 2 תחומים עיקריים- סטט עמוד מתוך + לוחות שכיחות בדידים/רציפים בגדול מקצוע הסטטיסטיקה נחלק ל- תחומים עיקריים- וסטטיסטיקה היסקית; בסטטיסטיקה היסקית משערים השערות, משווים בין קבוצות באוכלוסיה ועוד, אך גם מ ניתן ללמוד הרבה על האוכלוסיה-

קרא עוד

מטלת מנחה (ממ"ן) 11 הקורס: חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות 2,1 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות סמסטר: ב 2007 מו

מטלת מנחה (ממן) 11 הקורס: חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות 2,1 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות סמסטר: ב 2007 מו מטלת מנחה (ממ"ן) הקורס: - חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות, 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות 337 סמסטר: ב 7 מועד אחרון להגשה: אנא שים לב: מלא בדייקנות את הטופס המלווה לממ"ן בהתאם לדוגמה

קרא עוד

Microsoft Word - 01 difernziali razionalit

Microsoft Word - 01 difernziali razionalit פונקציות רציונליות 5 יחידות מתוך הספר 806 כרך ד' 0, כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי חל איסור מוחלט לתרגם, להעתיק או לשכפל חוברת זו או קטעים ממנה, בשום צורה ובשום אמצעי אלקטרוני, אופטי או מכני (לרבות

קרא עוד

(Microsoft Word - \371\362\370 \354\356\345\370\344.doc)

(Microsoft Word - \371\362\370 \354\356\345\370\344.doc) .Á... מתמטיקה לבית-הספר היסודי שברים פשוטים משמעויות השבר הפשוט הצגות שונות לשבר השוואה, חיבור וחיסור של שברים ושל מספרים מעורבים מדריך למורה פיתוח שיטת ה.ש.ב.ח.ה: ראש צוות הפיתוח והכתיבה: ייעוץ מדעי:

קרא עוד

Microsoft Word - beayot kniya-1.doc

Microsoft Word - beayot kniya-1.doc בעיות מילוליות - בעיות קנייה ומכירה 1.01 סוחר בגדים קנה חולצות בסכום כולל של 1575 ש"ח. הוא מכר 5 חולצות בהפסד של 5 ש"ח על כל חולצה. את שאר החולצות הוא מכר ברווח של 15 ש"ח על כל חולצה. בסך הכול הסוחר הרוויח

קרא עוד

untitled

untitled תקן חשבונאות מספר 36 תיקון גילוי דעת מספר 69 בדבר כללי חשבונאות ודיווח כספי על ידי מלכ"רים ותקן חשבונאות מספר 5 בדבר תיקונים והבהרות לגילוי דעת מספר 69 יוני 2014 1 רח' גרוזנברג 14 ת, "א,65811 טל.,972 3

קרא עוד

גילוי דעת 74.doc

גילוי דעת 74.doc גילוי דעת 74 תכנון הביקורת תוכן העניינים סעיפים 4-8 - 10-1 5 9 מבוא תכנון העבודה התכנון הכולל של הביקורת 12-11 13 14 15 תוכנית הביקורת שינויים בתכנון הכולל של הביקורת ובתוכנית הביקורת מונחים תחילה אושר

קרא עוד

תהליך הגשה והנחיות כתיבה לעבודת גמר / תזה פרקים הקדמה תהליך הגשת עבודת המחקר ואישורה הנחיות תוכן לעבודת המחקר הנחיות כתיבה לעבודת המחקר הקדמה במסגרת ל

תהליך הגשה והנחיות כתיבה לעבודת גמר / תזה פרקים הקדמה תהליך הגשת עבודת המחקר ואישורה הנחיות תוכן לעבודת המחקר הנחיות כתיבה לעבודת המחקר הקדמה במסגרת ל תהליך הגשה והנחיות כתיבה לעבודת גמר / תזה פרקים הקדמה תהליך הגשת עבודת המחקר ואישורה הנחיות תוכן לעבודת המחקר הנחיות כתיבה לעבודת המחקר הקדמה במסגרת לימודי החוג לפסיכולוגיה תואר שני במרכז האוניברסיטאי

קרא עוד