! 1! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) xyy = 1 x y xy 2 = 2xy 2 מצא את הפתרו' הכללי: x y y = 3 א) y ג) ב) ד) y tan x = y (1 ( x+ y

תמליל

1 !! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) tan ( a a z 0 a z s ds dt (רמז: cos d d ז) d ( ) d ( ) ח) ) מצא את הפתרונות המקיימי :. () 0 ( ). (). () 0 d ( ) d ( ) π. sin ln ) tan cos d cos d ( ) ln ( ) ( ) ln. () a b. () 0. () מצא פתרו' של: ( ) sin cos ( ) ז) מצא את הפתרונות המקיימי :

2 !! משוואות מסדר ראשו! (ברנולי, מדויקת, גור אינטגרצי d ( )d ( ) ( 9 ) d ( 6 ) d ( ) d d ( sin ) d cos d d d 0 d d d d ( µ µ ( ) d d µ µ () או 0 מצא את גור האינטגרציה: הכללי: ומצא את הפתרו' ( ) d d ( ) d d ( ) d d ( ) d ( cos ) d ( ln cos ) d ( sin ) d (

3 !! הא* הפונקציה משוואות מסדר ראשו! (חזר () היא פתרו. המשוואה: () C, (), 5 מצא את הפתרו. הכללי: ( ) ( ) ( ) d ( ) d cos sin cos ( ) d d d d ( a const) tan a ( ) d ( ) d. () (). 0 ז) ח) ט) י) נתונה הבעיה: ( ) d ( ) d () הא* המשוואה הקודמת מדויקת? פתור את המשוואה. הא* לבעיה הנ"ל יש פתרו.? הסבר את התוצאה. פתור את הבעיה:, > 0 () פתור את הבעיה:, 0 () הסבר את התוצאות השונות של א' ו!ב'. ( (

4 !! z () ( ) f () t a) a,,( בדוק שג* ( a, a) תהי המשוואה: () א* פתרו. של המשוואה בקטע.( a, a) עבור המשוואה: פתרו. של המשוואה בקטע הוכח שכל פתרו. של המשוואה בקטע הוא פונקציה זוגית. µ כאשר d d, א* ידוע ש!( (, ) f ( sin () () µ [ ( ) ] (, ) 0 מצא את גור* האינטגרציה פונקציה ממשית. () של הבעיה: הא* הפתרו.?O נמק. () חות; את הציר הוכח שלבעיה: יש פתרו. אחד ויחיד לכל ממשי. מצא את כל הפתרונות של הבעיה: (9

5 !! משוואות לינאריות ע! מקדמי! קבועי!, הומוגניות מסדר n 5 ( ) ( ) ( ( (9 () 0 8, () () 0, () 0. ( ) 5 ( ) 6 () 0, () 0, () 0. π., π 5 מצא את המשוואה הלינארית ההומוגנית ע מקדמי קבועי מסדר שני, כאשר הפתרונות ה :,, 7 8 9

6 !! משוואות לינאריות ע- מקדמי- קבועי- לא הומוגניות מסדר : 5 ( ( ( ) (9 cos 5sin sin cos 7sin sin cos 9 8cos 6 cos 5 sin sin 7 8 שורשי המשוואה האופיינית של משוואה לינארית ע מקדמי קבועי מסדר 0:, והשורשי ה : ( L [] f () ) k, k, k, k ± 5i, k 6i,, 5,6 7,8 9, 0 ± מצא את הצורה הכללית של הפתרו' הפרטי: f f () () 7 f () () cos sin f () sin f 5 () f cos6 ( 0 הא פתרונות המשוואה הלינארית ההומוגנית מסדר : ה פתרונות בלתי תלויי?,, 8 8cos 9

7 !!. () 0, () 0 8 ( π ), ( ). π מצא את פתרו' המשוואה: המקיי : המקיי : sin ( ) המקיי :., () 0 () 0 () 0, נתו' שהפונקציות: ה' פתרונות המשוואה: ai const. a a a i,, הא הפתרונות האלה בלתי!תלויי? שורשי המשוואה האופיינית של משוואה לינארית ע מקדמי קבועי הומוגנית,, ai const α const a a a a i,,,. k,, k מסדר ה : הא צרו 9 לינארי של הפונקציות: הוא הפתרו' הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית? ( ) α. k, k,, נתונה המשוואה: שורשי המשוואה האופיינית ה : מצא את הצורה הכללית של הפתרו' הפרטי. ( (

8 !! משוואות דיפרנציאליות - תשובות משוואות מסדר ראשו/ (הפרדת משתני, הומוגנית, לינארית): ( ) ln C C. ( C ) ( C ) z log 0 C sin s t C sin C ז) ( ) ( ) C ח) ( ) ) ( ln ( sin C C ( sin ln C ln C ( )( C ln ) C ln ln C ln ( C) C ( C) ז) C sin cos ( arcsin ) ab a. משוואות מסדר ראשו/ (ברנולי, מדויקת, גור אינטגרציה): C C ( C 0.5) ln ( C) C C 6 ( ) C C ( C cos C arctan arctan C arctan C

9 ( ) C, µ () ln sin C, µ ()!! ln C, µ () C, µ sin ln C, µ. משוואות מסדר ראשו/ (חזרה): ( ) ( ) כ. לא. ( lnc ( ) C ( C C C C sin sin, 0 כ: ש: C ( ) ז) C sin a ט) ח) י) ( ) ( ) C המשוואה הינה משוואה מדוייקת. הפתרו הכללי הוא: א 7 (), אזי C ולא קיימת פונקציה מוגדרת בסביבת (פונקציה ע 7 ערכי 7 ממשיי 7 ). d d ( ) ( ) הסבר: א 7 רושמי 7 את המשוואה: f (, ) אזי הפתרו הוא: אינה מקיימת את תנאי משפט הקיו 7 והיחידות. (פתרו יחיד). () () C,, > 0 < 0 הפתרו הוא: כאשר C קבוע כלשהו (אינסו> פתרונות). תנאי משפט הקיו 7 והיחידות למשוואות לינאריות אינו מתקיי 7. (

10 () 0 z() 0 α, ( α,α )!! () z(), שני פתרונות של המשוואה המקיימי 7 : () z() לפי משפט הקיו 7 והיחידות לכל לכל. ( α,α ).O הוא אינו חות: את ציר. () () () () כ: ש!( () ( () µ (, ) הפתרו היחיד הוא א 7 קיי 7 פתרו אחד ויחיד, אזי: () לבעיה: יש פתרו אחד ויחיד לכל ממשי (נמק). הפתרו מקיי 7 ג 7 (). הוא הפתרו היחיד. () (9. הורדת סדר המשוואה: 8 C C C C C C C ln C C C ln C C ז) או cos C C ( ln ) C ln C ) C 9 C C משוואות לינאריות ע מקדמי קבועי, הומוגניות מסדר n:.5 C 5 C 5 ( C C C C C C C ( C C C C C C C C C C C C C C C 0 C C C (9 ( C C C ) C cos 5 C sin 5 sin ( C C ) ( C C ) sin cos 5

11 !! C cos C sin C cos C sin 6 sin משוואות לינאריות ע מקדמי קבועי לא הומוגניות מסדר n: C C C 5 ( ) C C C C C 6 6 C cos C sin C 7 C ( ( C C C C C C C C C C C C cos sin C C sin cos C C sin C C 8 5 cos cos sin C C cos sin 5 5 C cos C sin sin C cos C sin cos 8 cos 8 (

12 p A! 5! C C cos p ( A B C ) 8 9 p Acos Bsin p ( A B) p p ( Asin 5 B cos5) ( A B ) ( A cos6 B sin 6) A A C C 9 5 C ( cos sin ) C C C C 5 כ. (0 8 ( ) 6 ) cos sin sin כ. לא. ( p A α α α אזי: p A α אזי: p A α אזי: 7. משוואות לינאריות מסדר n (משוואת אוילר, שיטת שינוי פרמטר): u ( sin( ln ) cos( ln ) C C ( ln ) C sin( ln ) C cos ( C ( ln ) C sin( ln ) ) cos C C ln C C 0.cos ( ln ) 0.sin( ln ) ( ) [ C C ln( ) ] ( ) ( ) ln ln C cos C sin sin ln tan ( (