אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,653 באר-שבעISRAEL 10584P.O.B. 653, BEER SHEVA , המזכירות האקדמית המרכז ללימודים

תמליל

1 אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,65 באר-שבעISRAEL 058P.O.B. 65, BEER SHEVA 8 05, המזכירות האקדמית המרכז ללימודים קדם אקדמיים אלגברה - נוסחאות הכפל מקוצר גיליון תרגילים מס' הנושא: חזקות ושורשים ( b) b b ( b) b b ( b) b b b ( b) b b b b ( b)( b b ) b ( b)( b b ) b ( b)( b) ( b) ( b) b חוקי חזקות:, 0 y : לכל b ( y) y,,, b y y b b b b b 0 ( ) ( ),, חוקי שורשים m y y, y y m תרגילי חזקות: b b b 9.6 b b b c 9 5 b c b b b b 9 0.7

2 b b b 0. b b b c b c b c m m m 5. תרגילי שורשים: חשב את השורשים הבאים זכור : :.6 80 : :.6 חשב: or or קבע איזה מספר גדול יותר, ונמק מדוע: or or or or5.0

3 תשובות /. 5 b c 5 b 9 b b bc.6 6 m.6./ b / b שווים 5 00 גיליון תרגילים מס' הנושא: פעולות חשבון בתבנית 5 6y y y y כינוס איברים b 5b b b. 6b c 5c bc 5c bc.0 6 y y 5 6y m 6m m 5. חבר את ארבע התבניות הבאות 6 b 5b 5b b.iii.iv 5 b b 6b b b.i.ii מהביטוי 6 y y y יש לחסר את הביטוי. y y y פתור: t).(u v w t) (6wv u t) (u 5v כפל חד איברים y y 5 b c b c 5 b 7 5 b.9 m m m.0 b( b). m m m y y 7 b b.6

4 b b b y 7y 6y y 7y 6y m 6m m b b 5b כפל חד איבר ברב איבר y 7y 6y y ( y ) y y ( 5 b b ) y y b b b y y y y y y y y y.0 b b כפל רב איברים.6 b b b.66 y y y m m m m y y y y b b b b.6 6 b b b b b b b b b b b b b 5 b y y z zy z y y 66 y y y y y y.0 6 y b m b b b b.0.0 כפל לפי נוסחאות )הכפל המקוצר( y b b m y y חילוק חד איברים 6y 5 y y z 5 5y z 7 b c 7 bc 5 b 6b חילוק רב איבר בחד איבר y 0 y y 5 8 b 5 b 5 7 b b

5 8y 8 y 8 y y m 8 תשובות חלקיות 5 5 y.6 b b. 0 8 y y 9y y b 9m m. 0 y y 6b 5 b y z 0b b.0 6 פתור את המשוואות הבאות גיליון תרגילים מס' הנושא: משוואות בנעלם אחד-מעלה ראשונה פתור את המשוואות הבאות

6 / / תשובות גיליון תרגילים מס' הנושאים: פירוק לגורמים, שברים אלגבריים, מספרים אי-רציונליים או b 7 שורשים..6 מה יותר גדול? 0 או או או או נתון כמה זה b 5 5 פשט שורשים נתון כמה זה 6 חשב

7 5 y z 8 y z 5 7 b 6 b 0 b 5 b 0 b 0 b הוצאה מחוץ לסוגריים 6 y 7 y.6 6 y 8 y b m y.6.6 פירוק לגורמים ע"פ נוסחאות y y.6 9y m m 0m 08 6 p p8 8b b y y 8 b b 7b b m 0m 7 5 b 8b 8 60 b b y y 5y z 5 z 6 m 0m5 m 5 b b b פירוק טרינומים y y 76 b 7b 60 bc 6 8 b c b b b b 0 b 5 b bc 8 b c צמצום 6 y y b b חילוק רב-איבר ברב-איבר )חילוק ארוך( y b y b

8 b.iii 9 חיבור וחיסור שברים b b 5 7 וחלק את התוצאה ב: חבר שאלות שונות מה ההגבלות בתרגיל זה?? הוכח:.. נתונים:, 8 מצא מבלי למצוא את וb : b b b.ii b.i 6 6. נתון: 5 חשב, מבלי למצוא את, את ערך הביטוי כתוב במקום כל סימני השאלה ביטויים, ההופכים נתון 6 נתון:??? 70 y 9y זה לנכון. 75 או? 7 5 נמק. 0. מה גדול יותר:? נמק. מה גדול יותר: או. קבע ללא מחשב פי כמה יותר גדול מ חשב את ערך הביטויים הבאים פרוק לשברים חלקיים בכל מקרה-בדוק את תשובתך לפי מכנה משותף

9 תשובות: 6 6 b 9b b b y y.6 7 y y b 6b b 5 y b b.6.6 y z 5 y 6z b 5b b y y y.6 y y b b b.0 m 9m 6m m m 6m b b.0 yy mm mm

10 7b b y 5 c b 0 p6p b b 5b b 6 b5 b 5 y y m 5 m 5 8 5b 6c b b b b b 0 6 b b b y y 5 y y 65 8 b b y 6 6 : 0:?

11 גיליון תרגילים מס' 5 הנושא: משוואות באותיות משוואות בנעלם אחד 6 7 9b b b b b m m m m p q..6 משוואות בשני נעלמים y y y y y b b y b b b b b b y b y החלפת נושא הנוסחה k b kt נתון: p הבע את. k. נתון: c הבע את.t k b kt c 7 m.6 נתון: t הבע את.m.0 נתון: y הבע את. c m E נתון: t הבע את. R r b. נתון: y הבע את. אם = עבור איזה ערך של y אין משמעות לביטוי? 5 א. פתור את המשוואה: 6 ב. הבע, ע"י צמצום את התוצאה שקיבלת לצורה פשוטה. ג. באיזה תנאי לגבי אין אפשרות לצמצם את התוצאה? השלם את הביטויים: וחלק את התוצאה שקיבלת ב- 5 5 b?? 0 c b? b? b b b?. פשט את הביטוי:.

12 . b b b b. פשט את הביטוי: פתור את המשוואות הבאות m 5pm 6m 5 p, m.5 p 5m m 5m, m m 7 9b b, b 0 0 b b, b, b 0, 0 b b b b, b, 0 b 5 5, 0,5 km m kb 9 b, k 0, m b 5 9 b 6b b 5 b b b, b, b 0 5 7, 7,0 7 k k m, m k, k m.6.6 פתור את המשוואות הבאות : קבע אם יש פתרון, באיזה תנאי יש פתרון, ובאיזה תנאי כל הוא פתרון )אינסוף פתרונות(: מצא לאילו ערכי m יש למשוואות הבאות: ב. א. פתרון יחיד אין פתרון ג. אינסוף פתרונות m m m m m.0.0 m m m m m m

13 m m b : b ir E ir 5 5 b c pb p b.6 m 6 p q : c r c c y y.0. b : b : b 7 t t b : y.6..0 תשובות m 0 b 0 m b m b k 5 ; ;.6 7; 0 ; 7; m k ; 0; ; ; : 0; ;, ,8, ,5; ; 5, א. m ב. m ג. קבוצה ריקה א. m ב. קבוצה ריקה ג. m א. לכל m ב. קבוצה ריקה ג. קבוצה ריקה א. m, ב. m ג. m א. m 0, ב. m 0, ג. קבוצה ריקה

14 גיליון תרגילים מס' 6 הנושא: משוואות ריבועיות b c משוואה ריבועית 0, b b c נוסחת השורשים b c, נוסחת וייטה-, שורשי המשוואה הריבועית b c 0 עבור משוואה ריבועית ששורשיה הם, מתקיים :. 0 משוואות בסיסיות: z 5z 0 y y u u y 78y u u y 5y משוואות מתקדמות

15 מערכת משוואות לא ליניאריות. y y 6.0 y y 7.0 y y.00 y 5 y0.0 y 5 y 9.0 y y.0 5y y 8 y y y 6 y 5 8 y 5y y y 76 y y 7 y 8 0 y y 5 y 6 y y 7 y y 0 89 y 0 y5 משוואות ריבועיות באותיות 7 0 0, b b b b m 5 6m 6 m m 0 b b b b 6b , 5 5 5

16 ,.6, 6,. 7, 7, 6 0,.0,.5.5, 8,, 6.6,, : : : : : : 9 7 9,, : 5 6, , 6, 7 5 : 5, ,.6 7,.6.6 תשובות 60, 7 7.,.6,.6,.6 6 6,.0 5.0,.6,.6 6,.00 או,.0,.06 7,.0 או,,.0 או 6,0 0,6.0 או 0,,.0 או, 5, או,6.0 או, 5, 7 או : 6.5, 6, או 6.5, או,., או 7, 0, או,0, m,5 m 9, 5, או 8 8, 5 b b, 7,, b, b, 0, 5 6, 0 : 5 b, b 5, 7.5, 6 m m, 9 5 5, 6 : 7

17 גיליון תרגילים מס' 7 הנושא: משוואות ריבועיות מתקדמות = y = = 0 + y = 59 y =-0 + y + y =.0 משוואות דו ריבועיות ודומות = = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = = - y = + = - + y = y = y = משוואות עם אותיות - + = - = 8( - ) ( + ) = b - b + y = y = = b - ( - ) - = = ( ) 0 9b - - = 0 b - - b b + - m = - m + ( ) ( ) - m + + m = 7m + y = - y+ + = y - y= = - y 6 m + y + - y m - y= + y - y = m + y = + = b y = b = 0

18 -, ± : ±.0 + b : - b b - 9 : b 5 ± + : ± - ( ) ( ), : - : :- ± 0 : ± ¹ ( : ) או ( + : - ) ( + 6 : - :.5) ( + או ) 0 תשובות.6 5 5, -. : - : : - : - : : : : :. : ± 6 ± או : ± 5 ± ± : ± 6 : - : -.0 :.6 m: - m 6 b : + b או( m- + m: ( ( m ) : ( m ) ± + ± - m+ : m- ( - m: - m- ) ( : b) גיליון תרגילים מס' 8 הנושא: פונקציות לינאריות ממעלה ראשונה 0 שרטט את הגרפים. קבע על ידי חישוב את שיעורי נקודות החיתוך עם הצירים: y = + + y= 7 - y= = 5y.6. + y= 8 - y= + y= - - y= 5 y= - + y= + 5y= 5 y = y= y= 8 - y= 9 - y= y = +. - y=.0 + y= 0 6-5y= פתור באופן גרפי ואלגברי y+ = y= + y= 0 = y מצא את משוואות הקו העובר דרך הנקודות המצוינות ( : 6 ),(- : ) ( : ),( 7 :- ) ( 6 :),( : ) 0 ( 0 : 8 ),( : 0) ( :- ),( 6 :) ( :- ),(- 6 : 0) 6 ( : ),( : 5) ( : 0 ),( 0 : ) (- : 0 ),( :- ) ו-( :- 7 ( : 7 (- )

19 B תרגילי חישוב O y A -8 =y מתוארת בציור.. נוסחת הישר מצא את שיעורי הנקודות A ו- B. C A D O E B y- = = y+ ו- 6 הישרים שבציור הם הגרפים של: 0 קבע לאיזה ישר שייכת כל משוואה. מצא את שיעורי הנקודות.E,D,C,B,A מצא את שטח המשולשים:.BCE, ADE y D C A O E N B הישרים - AEBDו הם גרפים של הפונקציות: y = + ו- y= 8- קבע לאיזה ישר שייכת כל משוואה. מצא את שיעורי הנקודות.A,B,C,D,E.ONEC מצא את שטח הטרפז X. מאונך לציר EN מצא את שטח המשולש.CED הישרים ABו- ACהם גרפים של הפונקציות: - y= + + y= ו- 6. קבע לאיזה ישר שייכת כל משוואה. 6 חשב את אורך הקטע.BC 66. הישרים AB ו- AC הם גרפים של הפונקציות: y- = y= + ו קבע לאיזה ישר שייכת כל משוואה. 66 מצא את שיעורי הנקודות B ו- C מהנקודה Dהנמצאת על הישר,AB הורידו אנך לציר X. אנך זה חותך את הישר ACבנקודה F, ואת ציר ה- X בנקודה E. נתון =DE חשב את שיעורי הנקודה F. 60. הישרים AB ו- AC הם גרפים של הפונקציות: y= - + ו- 0 y= דרך הנקודה D):( העבירו מקביל לציר ה- X. 60 מקביל זה חותך את הישרים AB ו- AC 60.6 בנקודות E ו- F בהתאמה. מצא את שיעורי הנקודות B,C,F 6. הישרים AB ו- AC הם גרפים של הפונקציות: y= y= ו קבע לאיזה גרף שייכת כל פונקציה. 6 דרך נקודה Bהעבירו מקביל BD לציר X. המקביל חותך את AC בנקודה D. מצא את שיעורי הנקודות.D, C, B

20 6. הישרים AC ו- OB הם הגרפים של שתי הפונקציות: y y ו- 6. קבע לאיזה גרף שייכת כל פונקציה. 6 הקטע AB מאונך לציר ה- X. מצא את שיעורי הנקודות.B,C 6.6 האם הישר BC מקביל לציר ה- X? נמק 6. הישרים בציור משורטטים הגרפים של שתי הפונקציות: -=y. הקטע AB מאונך לציר ה- X ואורכו ו- y= יחידות. חשב את שטח המשולש.OAB הסבר את חישובך y= + - y= ו- 7 הגרפים של שתי הפונקציות 6. מצא את שיעורי נקודה A. 6 מצא את מרחק הנקודה Aמציר ה- Y. נחתכים בנקודה A מצא: 6. את משוואת הישר, העובר דרך הנקודות ):( A ו-) :6 ( B. 6 חשב את שיעור ה- Yשל הנקודה Cבה = ואת שיעור ה- X של הנקודה D בה Y=. 0. בציור משורטטים הגרפים של שתי הפונקציות: y= + 6- y= ו- נקודת חיתוך הגרפים היא N. מצא את נוסחאות הישרים BF ו- ON. 0. מצא: 0. את משוואות האלכסונים של המלבן המתואר בציור. 0 מצא את נוסחת הישר, העובר דרך ):( C ומקביל לישר, העובר דרך הנקודות )0:(A ו- ):(B. 0. הישרים ACו- ED הם גרפים של הפונקציות: + y= y= - + ו קבע לאיזה ישר שייכת כל משוואה. 0 מצא את אורכי הקטעים.BC,OA,OB EH 0.6 מאונך לציר X. מצא את אורכו..OG ואורכו. מצא את X, מאונך לציר FG 0.0. y= נוסחת הישר EB היא y- = נוסחת הישר CK היא 06. מצא את אורכי הקטעים.KE,BC 06 מתא את שטח המשולש.BNC

21 מצא משוואת הישרים המאונכים לישרים הרשומים להלן, ועוברים דרך הנקודות הרשומות y+ 7= ):( y= + )6:( 7 :- 6 y =- ( ) y= 5-7 ):( y= - 5 ):( = 6 ):( שאלות שונות ( : - ) C ):( B ):0(A, הוכח שהמשולש ישר במשולש ABCנתון כי קדקודיו הם זווית. במשולש ABC נתון שאחד הקדקודים הוא ):6(A. הצלע BC נמצאת על הישר.BC מצא את משוואת הגובה לצלע. =y - + =. y= - y= y+ מצא את במשולש ABC משוואת הצלעות 0 משוואות שלושת הגבהים שרטט את הגרפים הבאים y = +.0 y = + - y = y = y = y= 6-.0 y = y = - y = + - y = y = y = פתור באופן גרפי ואלגברי את המשוואות + 6 = - = - = + - = = = = = = + = - (- : 0),):(.6 תשובות, ):(,)0:(.( : ) s=6,s=, ( 0 : ),.6, S =,S =,( : ),( 0 :8), ( 0 : ),( 8 : 0 ),(- : 0 ) F(.5 : ), C( 5 : 0 ), B( - : 0 ). F( - : ), C( - 6 : 0 ), B( 0 : ) )6 C( 0 :, B( : ), מקביל.. 6 D( :), C( 7 / : 0 ), B( 0 :) 5.( 8 :9) D,( : 9) C y= +..6 (- : )..6 y = - 7., y = - +, y =., y =, y = - + 0

22 0.6 OA=0/ OB= 0 =BC.0 59 y = + 5 y = - סמ"ר + 9 =KE;0=BC = 7 9 y = 5 8 y = y = y = -, y = - + 9, y = y = :.68-0 :- 0: : :.7-6 : : גיליון תרגילים מס' 9 הנושא: פונקציה ממעלה שנייה שרטט וקבע באופן גרפי ואלגברי את נקודת החיתוך של הפונקציה עם הצירים y = - + y = y = y = - y = y= + y = y = y = - + y = פתור באופן אלגברי - 7+ = 6.6 = = 0 = = = y = = y+ y= + + y= y= + y= y = 5 + y= 9 y = - y= 6 + y= 5 y = y 6 6. נתון גרף הפונקציה 5 מצא את שיעורי הנקודות M,C,B,A ( -M הקדקוד.)

23 0 הציור הוא גרף הפונקציה. y 6 ABמקביל לציר =OD X, מצא את שיעורי הנקודות M ( B,C,M,A הקדקוד.). y 8. נתון גרף הפונקציה 7 מצא את שטח המשולש ) M -הקדקוד(. ABM. y. משוואת הפרבולה בציור היא X. מקביל לציר CD מצא את שיעורי.D,C,B,A. D מצא את שטח הטרפז ABCD y מתוארים הגרפים של y ו- בציור.. מצא את שיעורי.E,D,C,B,A מצא את משוואת הישר.BE y מתואר בציור. הגרף של. מצא את שיעורי.D,C,M האנך מ- M לציר ה- Xחותך את CD בנקודה E מצא את שיעורי הנקודה E.. הפרבולה והישר הם גרפים של הפונקציות: y8 ; y 8. מצא את שיעורי.C,B,A קבע, בהסתמך על הסעיף הקודם, את התחום שבו ערכי הפרבולה גדולים מערכי הישר. 6. הפרבולה שבציור המתארת את הפונקציה: X חותכת את ציר ה- y 7 0 בנקודות Aו- B. על פרבולה זו בחרו נקודה C, ששיעור ה- Xשלה שווה ל-. המקביל לציר ה- X דרך Cחותך את הפרבולה ב- D. 6. מצא את משוואת הישר.BC 6 חשב את שטחו של הטרפז.ABCD

24 בציור מתוארים הגרפים של הפונקציות:. y ; y מצא את שיעורי.E,D,C,B,A 6 מצא את אורך הקטעים.CD-וAB 6.6 מצא את משוואת הישר.BD.6 6. בציור מתוארים הגרפים של הפונקציות: y 6 ; y 5 מהקדקוד A הורידו אנך AM לציר X. 6. מצא בחישוב את אורך הקטע.AD 6 מצא את אורכי הקטעים BM,BC,BO 66. הפרבולה שבציור היא גרף הפונקציה y 66. עבור אילו ערכים של Xיורדת הפונקציה, ועבור אילו היא עולה. 66 הוכח כי המשולש OBCהוא שווה שוקיים. 60. בציור מתוארים הגרפים של הפונקציות: y ; y 60. מצא את שיעורי קדקוד הפרבולה. 60 מצא את נקודות החיתוך של הגרפים. בציור משורטטים הגרפים של הפונקציות:. y ; y מצא את נקודות החיתוך של הגרפים עם הצירים ואת נקודות החיתוך שלהם זה עם זה..6. : 5 6. בציור מתוארים הגרפים של הפרבולה: y 6 ושל הקו הישר y 0.5 מהקדקוד Mשל הפרבולה העבירו מקביל לציר X. מקביל זה חותך את הישר הנתון בנקודה A. 6. מצא את שיעורי M. 6 חשב את אורך הקטע.AM y הישר.הקו y 6. בציור נתונה הפרבולה: חותך את הפרבולה ברביע הראשון בנקודה A. מחברים את Aעם הראשית O. 6. מצא את משוואת הישר.OA 6 הישר OA חותך את הפרבולה בנקודה B ברביע השלישי. מצא את שיעורי B..6 קדקוד הפרבולה שמשוואתה y b c נמצא בנקודה 6. מצא את שיעורי b ו- c. 6 בנקודה שבה הפרבולה חותכת את ציר Y מעבירים מקביל לציר ה- X. מקביל זה חותך את הפרבולה בנקודה נוספת. מצא את שיעורי נקודה זו.

25 Y y 8 חותך את ציר ה- X בשתי נקודות A ו- B ואת ציר 6. גרף הפונקציה בנקודה C. 6. מצא את שיעורי.C,B,A 6 מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה..0 גרף הפונקציה y b עובר דרך. c : 6 0. מצא את הפרמטר b. 0 מצא את שיעורי.B-וA : עובר דרך הנקודה.0 גרף הפונקציה y c 0. מצא את הפרמטר C. 0 מצא את נקודות החיתוך הפרבולה עם ציר ה- X. 0. משוואת הפרבולה המתוארת בציור היא )בחר את התשובה הנכונה(: y y ב. y ד. א. ג. y קדקוד הפרבולה שמשוואתה y b c נמצא בנקודה 5) : (. 06. מצא את שיעורי.c-וb 06 בנקודת חיתוך הפרבולה עם ציר ה- Y העבירו מקביל לציר ה- X. מצא שיעורי הנקודה הנוספת בין המקביל לפרבולה..06 y 7 0 y.0 y y y y y.0.0 y y שרטט את הגרפים.00 y.0 y 5 6 y y שרטט את הגרפים 6 8 y.6 y 5.60 y 0.59 y.58 y.57 פתור באופן גרפי ואלגברי y 5.6 y 6.6 y 8 y 0 תשובות M,9, C 6,0, B 5,5, A,5. M,, C 0,5, B 5,0, A,0. D,0, E, B,0, A,0 C 5,, O0, ,., 0,,,,,0..8.,,,,, E D M C y A B C 6. y 5.0, 0. A,0, B 0, 8, C,0..9. y 6 6,7. A,0, B 6,0, C 0,, D 0,6, E,0.

26 5: : יורדת עולה, OC OB. ):( (-:-) 5 (0:9) (0:) (:) (6:9) (:0) (-:0) 6. )6:( א' 6: :6.6 : :.6 C= b=8 מצא: A : 5 5 BC BC איחוד וחיתוך תחומים נתונים התחומים: c :0 5 גיליון תרגילים מס' הנושא: אי שוויונים.6 AB C B : 0 AC AC A B A B AB C..0 אי שוויונים ממעלה ראשונה אי שוויונים כפולים ומשולשים אי שוויונים ממעלה שנייה

27 הוכח כי אי השוויונים הבאים נכונים לכל ערך של המשתנה מערכות של אי שוויונים ריבועיים : אי שוויונים ממעלות גבוהות אי שוויוני שבר אי שוויונים עם ערך מוחלט

28 אי שוויונים שונים תשובות או או R או או 6 7 /.0 או או.0.6 או או.5.6 או 6 או 5 / 5 או 7 R או 5 6 או 0 או או 5 9 או או או.5 6 או או 0 או 7 או 9 5 או.5 או או 8 6 או או

29 .5.5 או או.5. או.5 5 או או או או או 0 או 5.5 או או או.5 או 7 0 או 6 או או.5 0.5, R או 6 / או או.5 0 / 6 או או 5 או 9 או ,.6 או 0.5 או גיליון תרגילים מס' הנושא: אי שוויונים עם ערך מוחלט 0 או לכל פתור את אי השוויונים

30 5 X תשובות או 5.6 או 8 5. או 5 5 או 8.0 או או 0 5 או 6 או 7 או 5 או 6 0 או 0. או או 7 או.6 או 6 0 או או 6 6 או 6 או או 6 או R או גיליון תרגילים מס' הנושא: פונקציות שורש מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות y 7 y 5.0 y 5 y 0..6 y 8 y y y y y y 8 6 y 68 y.

31 y y 5 y 68 y y y 5 y פתור את המשוואות פתור את אי השוויונים או או.0 או או או 6 8 או 5 או. 0.6 או 0.75 R או או. או.6 או 5 או תשובות או /.6

32 .II משוואות אי-רציונליות )המשך( + 5 = =.6 5- = = = = = = = = = 0 0. מצא את כל הפתרונות של מערכת המשוואות y = + y+ 5 y - = ( - ) 0. מצא את כל הפתרונות של מערכת המשוואות : - y + y = y + y = + - = =. פתור את המשוואה:. פתור את המשוואה:.0 פתור את המשוואות הבאות = = = = = = = K = חשב חשב

33 פתור את מערכת המשוואות y y = 6 = 0 y + y = 0 + y + y = ( y) y + = + y = ( ) + y = y + + y= 6 - y= y= 50 תשובות:.06 5, -.5 (,).0.0 :.0 0,) ( או : , או 0 6, או, או, ( : )( : ),8 ( : )( : ) 0 ( : ) ( 5 : )( - 5 : ) גיליון תרגילים מס' הנושא: אי שוויונים עם שורשים תשובות או

34 R או או גיליון תרגילים מס' הנושא: אי שוויונים ממעלה שנייה, תרגילי חזרה? p עבור איזה ערכים של p יתקיים עבור כל ערך של.? עבור איזה ערכים של יתקיים עבור כל ערך של.? m עבור איזה ערכים של m יתקיים עבור כל ערך של m עבור איזה ערכים של m כל ערך של יתקיים עבור? עבור איזה ערכים של m כל ערך של 6m m 5m יתקיים m 5 65 עבור?.5? עבור איזה ערכים של יתקיים עבור כל ערך של.6? t 6 t 9 עבור 6 t יתקיים עבור איזה ערכים של כל ערך של? פתור את אי השוויון: עבור כל ערך של 9.7.8? פתור את אי השוויון 9 עבור כל ערך של.9

35 פתור את אי הישוויונים הבאים ; m m.5 t 6.7 או.9 או או תשובות. p 6. m או m 7 /.6 או.8 או. או או 0 או.6 5 או 6.8 לאיזה ערכי גיליון תרגילים מס' 5 הנושא: אלגברה - תרגילי חזרה הנושא: אי שוויון רציונלי או אי-רציונלי מתקיימים אי השוויונים:... ב. א.? עבור איזה תחום ערכי יתקיים עבור על ערכי.. מצא את כל הפתרונות של: א... ב.... פתור את אי השוויונים: א. ב. ד. ב...

36 ( ). ( ) ה. עבור איזה תחום ערכים של אי השוויון עבור כל.. ב.. ערך ממשי של?. פתור את אי השוויונים: א... ב.. פתור את אי השוויונים: א. ב.. פתור את אי השוויונים: א..... ב.. פתור את אי השוויונים: א. עבור ( ) ( ). עבור איזה ערכים של מתקיים אי השוויון: כל הערכים הממשיים של? תשובות א ) ב או ) א ) ב ג ד ה או ) א ) ב א ) ב או ג א ) ב א ) או ב ) גיליון תרגילים מס' 6 הנושא: אלגברה - תרגילי חזרה משוואות ומערכות משוואות. פתור את המשוואה: 6 y 7 ; y y y פתור את מערכת המשוואות:. 0 0 פתור את מערכת המשוואות:. y y z y y y y : y פתור את המשוואה:. פתור את המשוואה:. פתור את מערכת המשוואות:. פתור את מערכת המשוואות:.

37 y y y 9 פתור את מערכת המשוואות: y y y 5 y y y 6 5 פתור את מערכת המשוואות: 5 y, y y, 5 8 y y y 5 y z z y z פתור את המערכת: פתור את המשוואה: פתור את המערכת: פתור את המערכת: פתור את המערכת: y y, y y 0 פתור את המערכת: 9 y y, y y מצא את כל פתרונות המערכת: עבור איזה ערכי פתור את המערכת: מתקיימת המשוואה: y 5, y 5 y 0, y z y 0 5 y 5 6, y 9 y 5y 5, y 6 5 y y 6, y y y פתור את המערכת: פתור את מערכת המשוואות: מצא את כל הפתרונות: פתור את מערכת המשוואות: 5 5 פתור את המערכת: y y, y y 9y 6, מספר ממשי כלשהו נתונות מערכת המשוואות: y ציין כמה פתרונות יש למערכת, כתלות בערך של. צייר את הגרף של y בהסתמך על הגרף, מצא עבור איזה ערכים של m למשוואה m יש שני פתרונות שונים

38 אי שיוויונים פתור את אי השוויון: שבו מתקיימים שני אי השוויונים:.. מצא את תחום ערכי. פתור את אי השוויון:. פתור את אי השוויון:. פתור: 5 58, המקיימים: פתור את אי השוויון:. מצא את תחום ערכי. פתור את אי השוויון:. פתור את אי השוויון:. פתור את אי השוויון: 5 7? עבור כל. עבור איזה ערכי מתקיים:. א. שרטט את הגרף: y ב. פתור:. פתור את אי השוויון:. פתור את אי השוויון: 5. פתור את אי השוויון: 5 9. מצא את התחום בו מתקיימים שני אי השוויונים: 0. מצא את תחום של בו מתקיים אי השוויון : 9 y פתרון יחיד.. מצא את כל ערכי עבורם יש למערכת: y 0. מצא את ערכי המקיים: פתור את אי השוויון: 0 8 המקיימים: m מתקיים לכל כך ש- ממשי.. מצא את כל ערכי. מצא את כל ערכי m

39 פונקציות 5 y 5 ; y מצא את תחומי ערכי. צייר את הגרף של כל אחת מהפונקציות שעבורם y y ואלה שעבורם. y y y y ; y ובעזרתם פתור את אי השיוויון 5. צייר באותם צירים את הגרפים:. y y. צייר את גרף הפונקציות y 0; y 6 ומצא את תחום ערכי מתקיים שעבורם. y 0; y 0 צייר את הגרפים של y ; y ומצא את נקודות החיתוך שלהן.. y ומצא את נקודות החיתוך צייר באותם צירים את הגרפים של הפונקציות y. של הגרפים. ומצא את נקודות החיתוך של y 6; y שרטט באותם צירים את הגרפים:. הגרפים 5 ; y מצא את נקודות חיתוך. שרטט באותם צירים את הגרפים: y. הבע בדרך גרפית את אי השיוויון. 6 y באותם צירים, ובעזרתם פתור את אי y ו- 5 צייר את הגרפים של. השיוויון 5 היא משוואה של פרבולה, מצא משוואה של פרבולה שניה, שהמקסימום שלה y 6 7. מתלכד עם המינימום של הפרבולה הנתונה, ושעוברת דרך 0 : שרטט את הגרפים של הפרבולות. 5 שרטט יחד את הגרפים של y ; y 8 5 ובעזרתם מצא את שיעורי נקודות. החיתוך שלהם. y ; y ומצא בעזרת הגרפים את נקודת 5 צייר את הגרפים של. חיתוכם. 8 y ומצא בעזרת הגרפים את נקודת ; y 5 צייר את הגרפים של הפונקציות. חיתוכם. 6. y ; y בעזרת הגרפים מצא את צייר באותה מערכת צירים את הגרפים של 8. 6 נקודת חיתוכם ופתור את אי השיוויון 8 מצא בעזרת הגרפים או בדרך אחרת את y ; y 8 צייר יחד את הגרפים של.. y 6 y תחומי ערכי המקיימים

40 . y 5 m 6 8 y 5 5 א. צייר את הגרף ב. הוכח כי ג. צייר את כל הנקודות במישור המקיימות y y א. צייר את הגרף ב. פתור. א. שרטט את גרף ב. עבור איזה ערכים של m יש למשוואה ארבעה שורשים שונים? my. נתונה מערכת המשוואות m y 0, מצא את תחום ערכי, m שעבורם פתרונות המערכת יהיו חיוביים y 0 my. מצא את תחום ערכי m שעבורם פתרונות מערכת המשוואות m 9y יקיימו את התנאים: א. y0, 0 ב. 0, y0 y. פתור את מערכת המשוואות: y. מצא את כל המספרים הממשיים, המקיימים את מערכת המשוואות y y y 5 y y y. פתור את המערכת:. פתור את המערכת פתור את מערכת המשוואות או משוואות בנעלם אחד, y y y y y 6, y 5 5y 5y

41 5, y y. y y y y פתור את המשוואה: 9 y, הוא פתרון של מערכת המשוואות: אם. מצא את y 6 y y, 5 8 y z z y z פתור את המערכת : yz y z y פתור את המערכת: z z y z 5 5 פתור את המשוואה: : 00: 7 7 :55: : : : תשובות. 0: 6 : 0 5: 5:5 5: 5 : : : 7 : : 0: :..... : : 0 5 : 8 :0 7 :8.... : : : : : : : :.. 5::5: : 5 0.0: 0: : :...

42 5 9 : 6 : 0 6 : 0 : : 0: : :. 5 5 :8. יש אם 9 או אין פתרון. אם 9 שני פתרונות. אם 9. פתרונות.?. m. ;. ;. ; ; ;.. 0 ; ;. 7 ;. ;. ; ;5 6. ;. או. m ; 0. 6: : 0:. : :0. : : 0:0 5:. : : 6 5.5:.75:.. 7. m. 0 ;. m. א. m ג. 8 ב : : : :. ;0 ; y : : 6... ;0 7; 8. 0 ;. m ; m. 7 : 5 ; : 0. : : :. : : 5:.

43 y ; m ; y 0; m : 5: 0.5 0:.... 9, m ב. m ג א. : : :. :. 0:0.:. 0 :. :9. או : : 6 7 :. 7 :. ::.

44 גיליון תרגילים מס' 5 הנושא: הבינום של ניוטון! k k! k! b k 0 k k b k פיתוח הבינום: כאשר המקדמים הבינומיאלים: משולש פסקל פתח את הבינומים הבאים: y 6 5 y b 9.7 מצא את האיבר המבוקש בכל אחד מפיתוחי הבינום הבאים: y y b 5 7y 7 האיבר השישי בפיתוח האבר החמישי בפיתוח האבר התשיעי בפיתוח. האיבר ה- בפיתוח. האבר התשיעי בפיתוח. האבר הרביעי בפיתוח

45 : y. האבר השמיני בפיתוח 5. האבר האמצעי בפיתוח מצא בפיתוח הבינומים הבאים את מקום האבר שאיננו מכיל את b מצא את:. המקדם של בפיתוח הבינום בפיתוח הבינום בפיתוח הבינום 8. המקדם של. המקדם של. האבר החופשי מ- בפיתוח הבינום. האבר החופשי מ- בפיתוח הבינום 8 בפיתוח הבינום בפיתוח הבינום בפיתוח הבינום בפיתוח הבינום בפיתוח הבינום 9 בפיתוח בפיתוח 7 5. האבר המכיל 6. המקדם של 7. המקדם של 8. האבר החופשי מ- 9. האבר החופשי מ- 7. המקדם של. המקדם של

46 . 9 b. המקדם של בפיתוח הבינום בפיתוח הבינום 0. המקדם של תשובות y b 7505 y 79 y שישי 7. חמישי 8. חמישי 9. שביעי b m m m 06 9 b

47 ה, BEN-GURION UNIVERSITY OF THE אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV,65 באר-שבעISRAEL 058P.O.B. 65, BEER SHEVA 8 05, ת.ד. המזכירות האקדמית המרכז ללימודים קדם אקדמיים גיליון תרגילים מס' סדרה חשבונית-האיבר הכללי ההנושא: סדרה חשבונית: d d m m האיבר הכללי: d נתונה סידרה חשבונית שבה 5, d מצא את ערכו המספרי של האיבר ה- 7, ה- 5, ה- 5.. באיזה מקום נמצא איבר שערכו המספרי,68,58?. נתונה סידרה חשבונית שבה 9, d -0. מצא את ערכו המספרי של האיבר ה- 5, ה- 0. באיזה מקום נמצא איבר שערכו המספרי? 6, 6 5,. את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרות הבאות: מצא השני והאיבר הה- הוא 7.. סכום האיבר השלישי והאיבר השביעי 6. סכום האיבר מצא את האיבר ה- 0 ואת האיבר ה- 75. סכום האיברים השלישי והשישי 5, וסכום האיברים הרביעי והשמיני. בסדרה חשבונית ואת האיבר ה- 5.. מצא את האיבר הראשון כל פרס קטן גדול פי מהפרס האחרון. 0 פרסים. הפרס הראשון 5. בתחרות חולקו את הפרס הראשון ואת הפרס האחרון. מקודמו ב- 500 ששקל. מצא מצא חשבונית? 5 סידרה 6; ; 6. עבור איזה ערכי מהווים הביטויים איברי הסדרה עבור כל אחד מערכים אלה. את את האיבר היא חשבונית, ומצא c הכללי k בעלת האיבר 7. הראה שסידרה הראשון ואת ההפרש שלה. 7 7.

48 8. בסדרה חשבונית איברים. נתון שהאיבר האחרון שווה לסכום האיבר האמצעי וזה. שלפניו. הוכח: d, m, טבעיים): הוכח שבכל סידרה חשבונית מתקיים ) k.9 k.. בסדרה חשבונית נתון:. 7 7, 6 מצא את מקומו של האיבר שערכו.. סכום שלושת אבירה הראשונים של סידרה חשבונית. וסכום ריבועי השונים הראשונים שווה לריבוע האיבר השלישי. מצא את המספרים.. נתונות שתי סדרות...,9,5...6,,0. נמצא מספר זהה באותו מקום סידורי: מצא מספר זה.. מצא את.5 בסדרה,,7-... נתון: 6 הם שלושה אברים סמוכים בסדרה חשבונית. הוכח:.0. b, c 8bc bc bc c b b c b bc 6, - 9. המספרים,, יוצרים, בסדר זה, סידרה חשבונית. הוכח כי גם b c bc, b, c יוצרים סידרה חשבונית. המספרים,, יוצרים, בסדר זה, סידרה חשבונית. הוכח כי גם המספרים y z 0. המספרים יוצרים סידרה חשבונית. y z yz,, z y. האיבר ה- בסדרה חשבונית,, הוא מצא את. 0. pk, p k0 הוכח. k, בסדרה חשבונית p ו- הם שורשי המשוואה הריבועית, b b 0,, יוצרים בסדר זה, סידרה חשבונית. מצא את איברי הסדרה. log,log יוצרים סידרה חשבונית. מצא את המספרים,log 0 p k בסדרה זו (מספרית). 5. האיבר האחרון בסדרה חשבונית הוא 79 וההפרש. מצא את האיבר הראשון, אם בסדרה 0 איברים. 6. בסדרה חשבונית האיבר הרביעי גדול פי מהאיבר התשיעי. סכום שלושת האיברים. 0 ואת הראשונים בסדרה. מצא את 7. סכום שלושת האיברים הראשונים בסדרה חשבונית יורדת הוא 5, ומכפלת שלושת האיברים הראשונים 80. חשב את הפרש הסדרה ואת איברה הראשון. 8. סכום שלושת האיברים הראשונים בסדרה חשבונית הוא, וסכום ריבועיהם 9. מצא את שלושת האיברים הנ"ל

49 9. סכום שלושת האיברים הראשונים בסדרה חשבונית הוא 5. ומכפלת האיבר השני ברביעי בסדרה זו הוא. מצא את האיבר הראשון בסדרה. 0. נתונות שתי סדרות חשבוניות:... 7,5,,...,5,8,. בשתי הסדרות אותו מספר איברים ולשתיהן אותו איבר אחרון. מצא: א. כמה איברים בכל סדרה. ב. מהו האיבר האחרון.. נתונה הסדרה... 5,,,9. מצא את מקומו וערכו של האיבר הראשון העולה על 00.. נתונה הסדרה החשבונית... 5,6,7,80. מצא בסדרה זו: א. שני איברים עוקבים שסכומם 67. ב. מקומם הסידורי של אברים אלו בסדרה.. מצא בסדרה... 8,,,7. שני אברים סמוכים שמכפלתם מצא את. בסדרה החשבונית...,,7 נתון: 6. מצא את 5. בסדרה החשבונית...,7, נתון: 7 6. בסרה החשבונית... 7,,5 יש שלושה איברים יותר מאשר בסדרה...,7,. האיבר האחרון בשתי הסדרות שווה. מצא את האיבר האחרון. 7. בסדרה החשבונית... 8,,. יש 7 איברים. מצא כמה איברים בסדרה הנ"ל מתחלקים ב- 5 ללא שארית. 0 הוכח: p, 8. בסדרה חשבונית נתון: p הם שלושה איברים עוקבים שונים בסדרה חשבונית. הוכח שלמשוואה p 9 המספרים,, bc b c יש שני פתרונות ממשיים סכום חמשת האיברים הראשונים בסדרה חשבונית הוא 0 ומכפלתם. 560 מצא את ההפרש הסדרה אם נתון שהיא עולה....,, סדרה חשבונית. הוכח, כי:,, גם סידרה.5 חשבונית ומצא את הפרשה.,,... סדרה חשבונית. הוכח כי: b b b רמז : 58: :7 5 : :0. 77 : 7 : תשובות. 7 : 6.6 :.5 :6 :9 :6.9 :7.8 5:.7 :. 5:. 60 : : : 0 : : 8: 60 : : ,8, 6. 0.

50 5, 7, d log או 8: 7 0. א. 0 ב. 9, 0 5 5,6.50,,6,8 6,0 6 9 או 9. א. 79,88 ב סידרה חשבונית: גיליון תרגילים מס' 5 הנושא: סידרה חשבונית-סכום d d S האיבר הכללי: סכום האיברים הראשונים בסדרה חשבונית: S d נתונה סידרה חשבונית שבה 5, d s0, s5,. חשב: s5. כמה איברים יש לחבר, כדי לקבל סכום של 670,58,? נתונה סידרה חשבונית שבה 9, d S0,S 7,S7. חשב:. כמה אברים יש לחבר, כדי לקבל סכום של 0,55,5?. 0 נתון: S0 0, d s מצא את ואת d S 6, 8 7 נתון: מצא את ואת.6, d S 50, נתון: מצא את ואת סכום כל האיברים מהשישי עד ה d ואת S 0, נתון מצא את.8 S 0 נתון: S 5,S 6 מצא את S 99, S 56 מצא את נתון:

51 . בסדרה חשבונית d 5 וסכום האיברים הראשונים 50. כמה איברים יש לחבר, כדי לקבל.900 כמה אברים עוקבים, החל מהראשון, יש לסכום על מנת. בסדרה חשבונית, 8 לקבל סכום של 0? 5 בסדרה חשבונית האיבר העשירי הוא, וסכום ששת האיברים הראשונים 0..d ואת. מצא את. כמה איברים עוקבים, החל מהראשון, יש לסכום על מנת לקבל סכום של 075? 5. כמה איברים עוקבים, החל מהאיבר ה-, יש לסכום על מנת לקבל סכום של 96? 6. נתונות שתי סדרות:...,5,8,...7,5,,. בתי הסדרות אותו מספר איברים ואותו סכום. מצא כמה איברים בכל סדרה? ו-, d ואת נוסחת S הוא סכום של סדרה חשבונית. מצא את.7 הוכח כי הסכום c b האיבר הכללי. הסכומים החלקיים של סדרה מקיימים S c b. bc,, S 5 בעזרת 8. הוכח כי זו סדרה חשבונית, ובטא את 9. רשום איברים ראשונים של סדרה שמקיימת מצא את ערכו של בסדרות הבאות: log log log... log log הוכח שבכל סידרה חשבונית מתקיים: S S S.5 S S S S S ו- m d m d הוכח: S Sm.7 בסדרה חשבונית נתון: m Spk pk הוכח: Sk p Sp. 8 בסדרה חשבונית נתון: k S ו מהו האיבר הראשון בסדרה? S 9. בסדרה חשבונית נתון: S ו- 5, 0 מצא את 0. בסדרה חשבונית נתון: מצא בסדרה...,7,,7 מספר, שהיחס בינו לבין סכום כל המספרים לפניו 6. מצא בסדרה...,,0 איבר, אשר ריבועו קטן פי מסכום כל האיברים שלפניו.. מצא בסדרה,...,,5 מספר, שסכום כל האיברים שלפניו שווה לסכום כל המספרים שאחריו. סכום האיברים הראשונים בסדרה חשבונית הואt, וסכום של k האיברים הראשונים הוא k k t הוכח: St t 6 d t 5 t.6

52 7. בסדרה חשבונית נתון: 00 ו- מצא את ערך סכום הסדרה. t מצא את סכום 0 האיברים הראשונים בסדרה...,,7 המתחלקים ב- 5 ללא שארית. נתונה נוסחה לאיבר הכללי של סדרה. הוכח כי הסדרה חשבונית מצא את הפרשה ואת הנוסחה ל- S 9 y. מצא את 8 0 ו- S בסדרה חשבונית: S m m Sm m. בסדרה חשבונית: לכל ו- m. הוכח, כי S מספרים סודרו במשולש בצורה הבאה: 5 7 כך שבשורה ה- נמצאים מספרים כתוב נוסחה לאיבר האחרון בשורה ה- -ית מצא סכום כל האיברים בשורה ה- -ית סדרת המספרים הטבעיים חולקה לקבוצות ;,, ; 5,6,7,8,9 הוא ריבוע המספר הסידורי של הקבוצה. הוכח: 5. מספר האיברים בכל קבוצה.. 6 סכום האיברים בכל קבוצה כך שבכל קבוצה האיבר האחרון 7. סכום האיברים ב- הקבוצות הראשונות הוא. 8. בסדרה חשבונית סכום 7 האיברים הראשונים והאיבר השישי. מצא כמה איברים יש לחבר כדי לקבל 5? 9. בסדרה חשבונית סכום עשרת האיברים הראשונים 60 והאיבר השביעי 0. מצא כמה איברים יש לחבר, על מנת שסכומם יהיה 50? 50. סכום עשרת האיברים הראשונים בסדרה חשבונית בת 0 איברים, הוא 00. וסכום עשרת האיברים האחרונים בסדרה הוא 500. מצא את סכום כל 0 האיברים. 5. בסדרה חשבונית 5 איברים. סכום 8 האיברים הראשונים, וסכום 8 האיברים האחרונים. מצא את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה. 5. בסדרה חשבונית 0 אברים. סכום עשרת האיברים הראשונים קטן ב- 00 מסכום עשרת האברים האחרונים. חשב את הפרש הסדרה. 5. בסדרה חשבונית שבה האיבר העשירי הוא 55, גדול סכום 9 האיברים הראשונים ב- 70 מסכום ו- d. האיברים הבאים אחריהם. מצא את 5. בסדרה חשבונית 60 איברים. סכום 0 האיברים הראשונים הוא 00. סכום 0 האיברים הבאים אחריהם קטן ב- 00 מסכום 0 האיברים האחרונים. מצא את סכום כל 60 איברי הסדרה. 55. בסדרה חשבונית...,9,,9 חברו 9 איברים, החל באיבר מסוים, והתקבל הסכום 7. מהו מקומו הסידורי של האיבר הנ"ל? 56. בסדרה חשבונית האיבר הראשון שווה להפרש הסדרה. האיבר האחרון קטן פי 7 מסכום איברי הסדרה. מצא כמה איברים בסדרה. 57. בסדרה חשבונית 6 איברים. האיבר האחרון הוא 65. מצא את האיבר הראשון בסדרה, אם סכום איבריה 800, ומצא את הפרשה.

53 58. במצולע מהווים ארכי הצלעות החל בצלע הקטנה ביותר, סדרה חשבונית שבה האיבר האחרון גדול פי 0 מאיברה הראשון, והפרשה ס" מ. הקף המצולע 00 ס"מ. כמה צלעות במצולע? 59. בסדרה חשבונית שהפרשה, סכום האיברים ה- וה- שווה לסכום כל האיברים שבניהם. מצא את האיבר הראשון בסדרה. 60. לסדרות החשבוניות...,5,9, ו-... 7,,7, יש איברים משותפים. מצא את סכום 7 האיברים המשותפים. 5:85:0 0 : :8. תשובות 55:90 : : :.5 0 :0 : : : : 6 :.7 5: c: c b :8:8:8.9 c c b.8.9. או d, S y 0 d ; S : או d d 7 8, ,

54 ה, ה, סדרה הנדסית: גיליון תרגילים מס' 6 הנושא: סידרה הנדסית-האיבר הכללי q q m m q האיבר הכללי: נתונה סידרה הנדסית...,6, מצא את ערכם המספרי של האיבר ה- 5, ה- 8, ה- 0.. באיזה מקום נמצא איבר שערכו המספרי 768,9,8?. נתונה סידרה הנדסית שבה 60, q מצא את ערכו המספרי של האיבר ה-. באיזה מקום נמצא איבר שערכו המספרי.5,0,80?. מצא את האיבר הראשון ואת המנה בסדרה הבאות: סכום שני איברים בסדרה הנדסית 5, והאיבר השלישי 0. מצא את שלושת האיברים הראשונים (הבחן בין שני מקרים).. סכום שלושה איברים ראשונים חיוביים בסדרה הנדסית 95. האיבר השלישי גדול מהאיבר הראשון ב- 5. מצא את המספרים.. את המספר 65 פרקו ל- מספרים חיוביים, המהווים סדרה הנדסית. ההפרש גדול פי מצא את המספרים. מההפרש. האיבר החמישי בסדרה הנדסית גדול פי 6 מהאיבר השלישי באותה סדרה. סכום שלושת., q האיברים הראשונים 6. מצא את. בסדרה הנדסית 5 איברים. האיבר השלישי בסדרה גדול ב- 6 מהאיבר הראשון, וקטן ב- מהאיבר החמישי. מצא את מנת הסדרה. (שני פתרונות). נתונה סדרה הנדסית...,, שמנתה q. הוכח כי הסדרות הבאות הן סדרות הנדסיות q, q, q... p p p,,, , 5, 8,...,,,...,, 5 6,.... הוכח:. k m.6.9. k, k m ומצא את מנתן:,, ,,,....8,,.... m. בסדרה הנדסית נתון: b c יוצרים בסדר זה סדרה הנדסית.. המקדמים,, bc של המשוואה הריבועית 0 הוכח כי למשוואה זו אין שורשים ממשיים. 5. מצא שלושה מספרים, שסכומם והמהווים סדרה הנדסית, אם נתון כי סכום ערכיהם ההפוכים 7 של מספרים אלו. b c נתון ששורשי המשוואה שווים. הוכח כי 6. במשוואה הריבועית 0 המספרים,, bc מהווים סדרה הנדסית.

55 7. המספרים,80 70, 05 הם האיברים השלישי, הרביעי והחמישי בסדרה הנדסית. מצא את האיבר הראשון בסדרה זו. 8. בסדרה הנדסית סכום שלושת האיברים הראשונים וסכום שלושת האיברים הבאים אחריהם 5. מצא את האיבר השביעי בסדרה זו. 9. בסדרה הנדסית סכום שלושת האיברים הראשונים 6, וסכום האיברים החמישי השישי והשביעי הוא. מצא את שני הערכים האפשריים של האיבר הראשון בסדרה. 0. בסדרה הנדסית 5 איברים. סכום ארבעת האיברים הראשונים 75 וסכום ארבעת האיברים. q ו- האחרונים 50. מצא את. בסדרה הנדסית האיבר השלישי גדול ב- 0 מהאיבר הראשון. האיבר הרביעי גדול ב- 60 מהאיבר השני. מצא בכמה גדול האיבר החמישי מהאיבר השלישי.. בסדרה הנדסית איברים. סכום שלושת האיברים האחרונים גדול פי מסכום שלושת האיברים הראשונים. סכום כל ארבעת איברי הסדרה 80. מהם איברי הסדרה?. מצא שלושה מספרים המהווים סדרה הנדסית עולה, אם מכפלתם 6 וסכומם.. שלושה מספרים שמכפלתם 7 מהווים סדרה הנדסית. סכום כל המכפלות של כל שניים מהם הוא 9. מצא את סכום שלושת המספרים.. 60, מצא את סכום ארבעת האיברים הראשונים. 5 בסדרה הנדסית בסדרה הנדסית ההפרש בין האיבר השלישי לשני הוא, וההפרש בין האיבר הרביעי לראשון. q ו- הוא 8. מצא את 7. בסדרה הנדסית ההפרש בין האיבר השלישי לראשון הוא, וההפרש בין האיבר השביעי. q ו- לראשון הוא 6. מצא 8. בסדרה הנדסית סכום שני האיברים הראשונים 9, וסכום ששת הראשונים 89. מצא את סכום ארבעת האיברים הראשונים. 9. בסדרה הנדסית סכום האיברים הרביעי והחמישי 8, וסכום ריבועיהם 80. מצא את האיבר הראשון. 0. כשחיברו כל שלושה איברים עוקבים של סדרה הנדסית התקבלה סדרה הנדסית חדשה, שאיברה הראשון ומנתה. מצא את האיבר השביעי בסדרה המקורית.. כשכפלו כל שני איברים עוקבים של סדרה הנדסית התקבלה סדרה הנדסית חדשה שאיברה הראשון ואיברה הרביעי 8. מצא את האיבר השישי בסדרה המקורית. המספרים ו-. q הם שלושה מספרים עוקבים בסדרה הנדסית הוכח: c b 9b c b c bc bcbc b c cb c b b c bc c b c מצא את עבורו שלושת האיברים הבאים מהווים סדרה הנדסית., 7, 8, 5, 9 log,log,log בסדרה הנדסית סכום האיבר השלישי והרביעי הוא 0, וסכום ריבועיהם 5. מצא את האיבר הראשון. 5. בסדרה הנדסית עולה ארבעה איברים. סכום האיברים הקיצוניים הוא 5 וסכום האיברים הפנימיים הוא 0. מצא את הסדרה.

56 5. אם אורכי צלעותיו של משולש יוצרים סדרה הנדסית. הוכח כי מנתה q מקיימת: 5 5. q 5. בסדרה הנדסית, qq,, q,...,q מכפלת האיברים שבמקומות האי זוגיים היא, ומכפלת האיברים במקומות הזוגיים היא 8. מצא את ו- q. 5: 0 :60 : :.6.9 9:7:5 : 5: :8 : 8 8:6: 7: תשובות..7 0 :0 :5 או : 0 : : :8: 7. 0 :0 : 5. q q q p q q q, 6, : /q.8 q. 8:9.9,,8 5,8,6, : 7 6 או : : או או 8,,8, או ,.5

57 גיליון תרגילים מס' 7 הנושא: סדרות מעורבות-הנדסית וחשבונית סכום שלושה מספרים המהווים סדרה הנדסית, הוא 9. מנת הסדרה היא. מצא איזה מספר יש. להוסיף לאיבר השני ולחסר מהאיבר השלישי כדי לקבל מספרים, המהווים סדרה חשבונית. שלושה מספרים, שהראשון בהם הוא 5, מהווים סדרה חשבונית. אם נשאיר את המספר הראשון. כמות שהוא, נוסיף למספר השני ולמספר השלישי 7, נקבל שלושה מספרים המהווים סדרה הנדסית. מצא את שלושת המספרים בכל אחת מן הסדרות. נתונה סדרה הנדסית. האיבר הראשון בסדרה הוא 9. אם מוספים לאיבר השני ולאיבר. השלישי מתקבלת סדרה חשבונית. מצא את שלושת האיברים הראשונית של הסדרה ההנדסית. נתונים שלושה מספרים שונים, המהווים סדרה הנדסית. אם נחליף את מקומותיהם של שני. האיברים הראשונים נקבל שלושה מספרים, המהווים סדרה חשבונית. מצא את מנת הסדרה. ההפרש של הסדרה לסדרה חשבונית ולסדרה הנדסית עולה יש אותו איבר ראשון,.5 החשבונית שווה למנת הסדרה ההנדסית. כמו כן, סכומי שלושת האיברים הראשונים בשתי הסדרות שווים. מצא את הפרש הסדרה החשבונית. נתונה הסדרה,y,, ידוע ששלושת האיברים הראשונים מהווים הנדסית, ואילו שלושת 6. האיברים האחרונים מהווים סדרה חשבונית. מצא את ו- y. הבחן בין מקרים.,5, מהווים סדרה חשבונית. מצא y מהווים סדרה הנדסית, והמספרים,, המספרים y.7 את ו- y. האיבר הראשון בסדרה חשבונית עולה הוא. האיברים הראשון, החמישי והאחר-עשרה 8. בסדרה זו מהווים סדרה הנדסית. מצא את הפרש הסדרה החשבונית. בסדרה חשבונית שהפרשה, מהווים האיברים השלישי, הרביעי, התשיעי והאחרון, סדרה 9. הנדסית. מצא את סכום כל איברי הסדרה החשבונית. 0. האיברים הראשון, השלישי והתשיעי בסדרה חשבונית עולה מהווים סדרה הנדסית. מצא את מנת הסדרה ההנדסית, אם ידוע שסכום 9 האיברים הראשונים בסדרה החשבונית הוא 5.. מצא 5 מספרים, שארבעת הראשונים בהם יוצרים סדרה חשבונית ושלושת האחרונים-סדרה הנדסית. סכום המספרים הראשון והחמישי 0, וסכום כל חמשת המספרים 5.. האיברים השלישי, החמישי והשישי בסדרה הנדסית הם האיברים השלישי, השישי והעשירי בסדרה חשבונית. מצא את מנת הסדרה ההנדסית.. בסדרה בת ארבעה מספרים האיבר הראשון, השני והרביעי מהווים סדרה הנדסת וסכומם 6. האיברים הראשון, השלישי והרביעי של אותה סדרה מהווים סדרה חשבונית וסכומם 0. מצא את ארבעת המספרים.. במספרים,b,c מהווים סדרה הנדסית כאשר הם שונים זה מזה וחיוביים. המספרים,d,c. d מצא את מנתה של הסדרה ההנדסית. מהווים סדרה חשבונית. נתון 5b 5. האיברים השני, הרביעי והחמישי בסדרה הנדסית הם האיברים הראשון, הרביעי והשמיני בסדרה חשבונית. מצא את מנתה של הסדרה ההנדסית. 6. הוכח, כי אם שלושה מספרים מהווים סדרה הנדסית וגם סדרה חשבונית, אזי הם שווים זה לזה. תשובות 9,,6 או 9,6, 5,9, או 5,0, 0.. :8 או :: : או : 6.7 0, 0,50,60,7. או 70,60,50,0,.0 8,6,0, או, 6,0,8. או /.5 או / או /

58 גיליון תרגילים מס' 8 הנושא: סידרה הנדסית-סכום q q q S q?,9,765 סידרה הנדסית: האיבר הכללי: סכום האיברים הראשונים בסדרה הנדסית: נתונה סדרה הנדסית...,6,. מצא את. S S, S 9, 7. כמה איברים בסדרה זו יש לחבר על מנת לקבל את הסכומים מצא את מספר האיברים בסדרה לפי הנתונים הבאים: q S 79 9 q S 78 q.5 S 65 8 q S נתון:, S 65 7 q מצא את.7 ו- נתון:, S מצא את q מצא את, S נתון: q 0. חשב את סכום 8 האיברים הראשונים בסדרה...,6,.. חשב את סכום 6 האיברים הראשונים בסדרה...7,6, חשב את סכום 8 האיברים הראשונים בסדרה... b, b, b b.... חשב את סכום הסדרה b 5 חשב את סכום 8 האיברים הראשונים בסדרה... 5 y y y 5. חשב את האבר הראשון בסדרה, שמנתה וסכום 6 איבריה הראשונים חשב את סכום 6 האיברים הראשונים בסדרה בה, מצא את המספר הקטן ביותר של איברים ראשונים שיש לחבר בסדרה הנדסית בה, כך שהסכום יעלה לראשונה על סכום איברי סדרה הנדסית, בה שני האיברים האמצעים הם ו-. 9. מצא את מנת הסדרה ההנדסית בה סכום האיברים הראשונים הוא p, וסכום האיברים הבאים אחריהם הוא k. הוכח, שבכל סדרה הנדסית מתקיים: S q.0 S S S S S S S S S S S S.8..

59 S סכום האיברים הראשונים בסדרה הוא הוכח, כי זו סדרה הנדסית.. חשב את הקטן ביותר, כך ש: מצא את במשוואות הבאות: סכום סדרה הנדסית ללא האיבר האחרון 80 וללא האיבר הראשון הוא 0. האיבר השלישי גדול ב- 7 מהאיבר השני. מצא את. נתונה סדרה בת איברים שמנתה q הוכח:.6 8. היחס בין סכום האיברים במקומות הזוגיים לבין האי זוגיים הוא q. 9. היחס בין סכום האיברים האחרונים לבין הראשונים הוא. q 0. היחס בין סכום הסדרה לסכום האיברים הראשונים הוא. q,,,..., היא סדרה הנדסית. נתון כי:.... p,... t p t... p t הוכח: ו- הוא ריבוע של מספר הוא ריבוע של מספר שלם הוכח כי המספר 5 שלם הוכח כי המספר 6. הוכח כי המספר... 6 הוא ריבוע של מספר שלם. 5. מצא את האיבר הראשון בסדרה הנדסית בת איברים, שסכום ששת איבריה הראשונים 89 וסכום ששת איבריה האחרונים 096. הוכח: 0, הם אברי סדרה הנדסית בה 0,,, 6 S S הוכח שהסדרות שסכומן נתון בנוסחאות הבאות, הן הנדסיות ומצא את ו- q S S S

60 . בסדרה הנדסית בת איברים, סכום הסדרה גדול פי מסכום הריבועים של האיברים הראשונים. מצא את האיבר הראשון ואת מנת הסדרה, אם נתון 5. בסדרה הנדסית בת איברים, סכום כל אברי הסדרה גדול פי מסכום האיברים במקומות האי זוגיים. האיבר הראשון הוא, וסכום האברים במקומות האי זוגיים 55. מצא את מספר אברי הסדרה.. בריכה מכילה 50 מ"ק מים. ביום הראשון הוציאו ממנה 50 מ"ק מים, ביום השני 7.5 מ"ק מים, ובכל יום מהכמות הקודמת. מה כמות המים שתישאר לאחר 0 ימים? 5. בסדרה הנדסית האיבר הרביעי והאיבר השביעי 9. סכום כל איברי הסדרה 5. מצא כמה איברים בסדרה. 6 בסדרה הנדסית נתון: S 555, 80, 5 מצא את.q, 7 בסדרה הנדסית נתון: S 090, 790, q מצא את, S מצא את הנוסחה ל- 5,0, בסדרות ההנדסיות הבאות: 9 79,86,....50, 7,... S 5 5. בסדרה נתון: 0 מצא את, 7 נוסחה ל- והוכח שזו סדרה הנדסית. בסדרות הבאות נתונה הנוסחה לסכום האיברים הראשונים של הסדרה. מצא את הנוסחה ל- שהסדרה היא הנדסית: 8.5, S S.5 והוכח S בסדרה הנדסית אברים. סכום ששת האברים הראשונים הוא 89. וסכום ששת האברים האחרונים 096. מצא את האבר הראשון. 56. בסדרה הנדסית אברים. סכום האברים הראשונים 9, וסכום האברים האחרונים הוא 976. האבר האחרון בסדרה גדול פי 5 מהאבר הראשון. מצא את האבר הראשון בסדרה. 57. בסדרה הנדסית אברים. סכום האיברים הראשונים קטן פי 8 מסכום האיברים הבאים אחריהם. האבר האחרון בסדרה גדול ב- 5 מהאבר הראשון. מצא את האבר הראשון בסדרה. 58. בסדרה הנדסית...,8, חיברו אברים סמוכים החל מהאבר במקום ה-, וקיבלו את הסכום 99. מצא את. 59. בסדרה הנדסית שכל אבריה חיוביים, סכום 9 האיברים הראשונים גדול פי 7 מסכום שלושת האיברים הראשונים. מצא את מנת הסדרה. 60. בסדרה הנדסית בת איברים, סכום 8 האיברים האחרונים גדול פי 7 מסכום האיברים הראשונים. מצא את מנת הסדרה. 6. בסדרה הנדסית שמנתה, היחס בין סכום הריבועים של אבירי הסדרה לבין ריבוע הסכום של 7 אברי הסדרה הוא. מצא כמה אברים בסדרה בסדרה הנדסית שמנתה, סכום כל אברי הסדרה הוא 0. סכום המכפלות של כל שני אברים עוקבים הוא 68. מצא כמה אברים בסדרה. b b b... b b 6. הוכח, כי: b הוכח, 6. סדרה הנדסית...,8,6,, סודרה בקבוצות כי סכום כל האיברים ב- הקבוצות הראשונות הוא ;, ;,, ;,,,8....

61 סדרת מספרים טבעיים חולקה לקבוצות ;, ;,5,6,7 כך שבכל קבוצה מספר האיברים הוא פי ממספר האברים בקבוצה הקודמת לה. הוכח: 65. האבר הראשון בכל קבוצה הוא. 66. סכום האיברים בכל קבוצה 67. סכום האברים ב- הקבוצות הראשונות הוא הסדרה,,,8,6... סודרה בקבוצות...,8,6, ;, כך שבכל קבוצה מספר האברים גדול ב- ממספר האברים בקבוצה הקודמת לה. הוכח: 68. האבר הראשון בכל קבוצה הוא. 69 סכום האברים בקבוצה הו- -ית הוא 6 5 8:5:. 5: 8: 5. תשובות b b b b y 5 y 8 6 k p : : 0 00 : 5 9 6: 8 8 9, 6 9 :5 או.5: : 6.6 7, או ,

62 גיליון תרגילים מס' 9 הנושא: סידרה הנדסית יורדת אינסופית סידרה הנדסית: q S q q האיבר הכללי: סכום אינסופי בסדרה הנדסית אינסופית יורדת: 8. מצא את מצא את סכום כל איברי הסדרה: b b b סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא, וסכום החזקות השלישיות של איבריה הוא 5 הוא 60, 6. סכום כל שאר אברי. q r p p הוכח כי. S מנתה ואברה הראשון.. סכום שלושת האברים הראשונים בסדרה הנדסית בה הסדרה. מצא את q r S. בסדרה הנדסית יורדת אינסופית p,,,... גדול האיבר הראשון ב- מסכום כל שאר האברים. מצא את. בסדרה 6 5. האיבר הראשון בסדרה הנדסית בה q הוא 0, וסכום כל אברי הסדרה הנמצאים במקומות הזוגיים.5. מצא את q. 6. סכום טור הנדסי יורד אינסופי וסכום ריבועי איבריו. מצא את אברו הראשון. 7. נתון טור הנדסי אינסופי שסכומו גדול פי.5 מסכום האברים במקומות הזוגיים, פי כמה גדול סכום הטור מסכום האברים במקומות האי זוגיים? 8. נתון טור הנדסי אינסופי שסכומו 6. סכום ארבעת אבריו הראשונים 5. מה מנת הסדרה? (מצא את כל הפתרונות) הוכח כי:

63 הוכח כי:. הוכח כי: מצא את בהנחה שהטורים ההנדסיים הבאים מתכנסים log9 log log log... log המקיימת את הביטויים הבאים, בתנאי שהביטויים בצד שמאל הם טורים מצא את הזווית 80 הנדסיים אינסופיים מתכנסים: :log cos cos....5 cos cos... cos.6 tg tg לאילו ערכי מתכנסות הסדרות ההנדסיות הבאות? ומצא את סכומן., 56, : , 7,....9,, b.0. או : :9 0.. ; S.8 0 : :50. 6, 5; S.9 5 S 0; S ; 0 או 0 כל, 0 תשובות

64 גיליון תרגילים מס' 0 הנושא: תרגילי חזרה-סדרות m הסכום של m אברי הסדרה מתייחס לסכום של אברים באותה סדרה כמו. m הראה שהאבר ה- m -י מתייחס לאיבר ה- -י כמו. הוכח שהסדרה חשבונית. שלושה מספרים מהווים סדרה חשבונית. אם נחבר את הריבוע הראשון למכפלת השניים האחרים נקבל 6. אם נחבר את ריבוע השני כמכפלת השניים האחרים נקבל. מצא את שלושת המספרים. נתונה הסדרה c,...., ccc,,,, ו - c מספרים נתונים. מצא נוסחה עבור סכום האברים הראשונים בסדרה. נתונה הסדרה,b), b, b,..., b, b נתונים, טבעי). א. הוכח כי סדרה זו הנדסית ומצא את מנתה.. b; ב. חשב את סכום + אברי הסדרה. הבחן שני מקרים b,, מקיימים את השוויון; אם שלושת האברים הראשונים בסדרה חשבונית,, כפונקציה של ההפרש d, וחשב את סכום עשרת מצא את האיברים הראשונים של הסדרה כפונקציה של d נתונות שתי סדרות חשבוניות.,,..., ; b, b,...b המקיימות את השוויונים 5 b0 א ב. : הוכח כי לכל מספר טבעי b, b... b b... b.7 סדרה חשבונית בעלת איברים. סכום 5- האיברים הראשונים 00. סכום שלושת האיברים הבאים אחריהם. סכום שני האיברים האחרונים. מצא את,, d..8 מצא את אם שלושת האיברים: log,log 7,log מהווים סדרה חשבונית. 9. אנציקלופדיה שמחירה 080 נמכרה ב- תשלומים חודשיים לא שווים. התשלומים מהווים סדרה חשבונית, כאשר ששת התשלומים הראשונים מכסים ממחיר האנציקלופדיה. חשב את התשלום הראשון ואת התשלום האחרון. 0. נתונות שתי סדרות חשבוניות...5,,7...6,,,6., הוכח כי כל האברים המשותפים לשתי הסדרות מהווים סדרה חשבונית ש- הוא אברה הראשון. מצא הפרש סדרה זו וסכום 0 אבריה הראשונים.. נתונה סדרה הנדסית שאברה הראשון ומנתה q. א. חשב כפונקציה של ו- q את מכפלת האברים הראשונים בסדרה. log,log,...,log היא סדרה חשבונית, ומצא קשר בין ב. הוכח כי הסדרה הפרש סדרה זו למנה q של הסדרה ההנדסית. כמו כן, מצא את סכום האברים של.{log הסדרה } לכל מספר טבעי. מצא. האבר ה- -י בסדרה חשבונית נתון על ידי הנוסחה S ואת d בסדרה. את. מצא סכום כל המספרים הזוגיים החיוביים שהם קטנים מ- 00 ואינם מתחלקים ב- 6.. נתונה שתי סדרות חשבוניות...,7,,5,9...8,,8, הוכח כי כל האברים המשותפים לשתי הסדרות מהווים סדרה חשבונית ש- הוא אברה הראשון. מצא הפרש סדרה זו ואת 6 אבריה הראשונים.

65 5. נתונה סדרה...,,6,,6,7,6, שבה כל אבר מתקבל מקודמו על ידי כפל ב- או ב- 6,...,, מצא לסירוגין. הראה שהסדרה מורכבת משתי סדרות הנדסיות...,5,, את המנה של כל אחת מהסדרות הללו, וגם את סכום האיברים הראשונים של הסדרה הנתונה (לכל טבעי). ומנתה q הם חיוביים. 6. נתונה סדרה הנדסית,,..., שאברה הראשון ו- q את מכפלת האברים הראשונים. א. הבע לפי log,log,...,log היא סדרה חשבונית, ומצא קשר בין ב. הוכח כי הסדרה הפרש הסדרה הזו למנת הסדרה ההנדסית. כמו כן, חשב בעזרת ו- q, בשתי דרכים. S k d {log שונות את סכום האברים הראשונים של הסדרה } 7. נתונים שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית שהראשון בהם הוא וההפרש d מגדילים את שלושתם בשתי יחידיות וכתוצאה מכך מכפלתם גדלה בלא יותר מ- 50 יחידות. מצא את תחום ערכי עבורם התנאי מתקיים., p, של סדרה חשבונית מהווים בסדר זה שלושה איברים עוקבים k 8. הוכח שאם האיברים p. k של סדרה הנדסית, הרי שמנת הסדרה ההנדסית היא 9. הארבעה מספרים r,p,9,m יוצרים סדרה חשבונית ) m הראשון). אם נוסיף לאבר הראשון,. r, p, לאבר השני, לשלישי ולאבר הרביעי, נקבל סדרה הנדסית. מצא את m 0. הסדרה,,..., היא סדרה חשבונית בעלת איבר ראשון והפרש d. מגדירים סדרה b לכל טבעי. שנייה b, b,..., b על ידי הנוסחה 0 b הוא איבר כללי של סדרה הנדסית. מצא את האיבר הראשון ומנתח הוכח כי א. כפונקציה של ו- d.., d, כפונקציה של b b... b מצא נוסחה עבור המכפלה ב. k סכום S k S k סכום k האיברים הראשונים, ו-. בסדרה חשבונית נתון: d ההפרש הקבוע, האיברים הראשונים (k קבוע, משתנה). הוכח באינדוקציה S k k. בסדרה חשבונית אברים, הראשון בהם. האברים הראשון, החמישי והאחד עשרה מהווים סדרה הנדסית עולה. מצא את סכום הסדרה החשבונית.. מצא ארבעה מספרים המקיימים את התנאים הבאים: א. שלושת המספרים הראשונים מהווים סדרה הנדסית. ב. שלושת המספרים האחרונים מהווים סדרה חשבונית שהפרשה 9. ג. המספר האחרון שווה לראשון.. בסדרה חשבונית סכום עשרת האיברים הראשונים במקומות האי זוגיים שווה ל- 0, וסכום עשרת האיברים הראשונים במקומות הזוגיים שווה ל- 50. מצא את האבר הראשון, ההפרש וסכום עשרת האיברים הראשונים של הסדרה. 5. סכום שלושה מספרים המהווים סדרה הנדסית שווה ל-. אם מוספים למספר הראשון, לשני ומחסרים מהשלישי, מקבלים שלושה מספרים המהווים (לפי אותו סדר) סדרה חשבונית. מצא את המספרים..6 הוכח כי הסדרה log,log,log,...,log היא סדרה חשבונית. 0 מצא עבור אילו ערכי מתקיים: סכום 0 האיברים הראשונים בסדרה, בערכם המוחלט, קטן מ- 80 או גדול מ- 70.

66 S b b b אז,, 5 c c b S d,0, d S0 5d תשובות אם שתי הסדרות 9,, d 5, 5 S0 0, d log. א. q ב. log q :. 65. S6 8, d 0 6 S, q S.6 א. q ב. log q r ; p 6; m.9 d b 0 ; q0 d א.. ב., 6,, S 85,, d. 0, 6, 0;

67 הנושא: אינדוקציה מתמטית סיכומי סדרות הוכח בעזרת אינדוקציה מתמטית כי לכל טבעי מתקיים: ( ) = = ( ) ( )( ) = ( ) ( )( ) = ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) = = ( )( ) = - + ( ) ( )( ) = ( ) ( )( ) = ( ) ( )( ) = + + ( )( ) ( ) ( ) = + ( ) m+ = ( ) ( )( )( ) = ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) = ( )( )( )( ) = / = ( )( ).5

68 = ( )( ) = ( )( ) 0 - ( ) = = - ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) = - ( + ) ( + ) = - ( + ) ( + ) = - 5 ( + )( + )( + ) 8 ( + )( + )( + ) + ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( )( ) = ( ) = = é ( - ) + ù êë úû ( ) ( ) = = = ( )! +! +! ! = +! = -!!!!! ( + ) ( + )