א. מערכות צירים א. 1. מערכת צירים - זוגות סדורים ושיעורים מגלים לומדים 10. פונקציות מגלים ולומדים במערכת הרחובות ברובע מנהטן בניו-יורק יש שני סוגים של

תמליל

1 א. מערכות צירים א.. מערכת צירים - זוגות סדורים ושיעורים מגלים לומדים. פונקציות במערכת הרחובות ברובע מנהטן בניו-יורק יש שני סוגים של רחובות: שדרות בכיוון מאונך ויותר מ- רחובות בכיוון מאוזן. ראו דוגמה. לרחובות במנהטן אין שמות, אלא מספרים. א ציירו את מערכת הרחובות ברובע מנהטן, כך שבציור שלכם יהיו רק השדרות והרחובות מ- עד 9. ב שני חברים, גרשון ויורם, קובעים פגישה בהצטלבות השדרה החמישית והרחוב השמיני. איך הייתם כותבים את מקום הפגישה? ג גרשון כתב בקצרה ביומן: ;, ויורם כתב ביומן:., האם לדעתכם, החברים ייפגשו? הסבירו את דעתכם. רחוב שני צירי מספרים יוצרים מערכת צירים. נקודת החיתוך של הצירים נקראת ראשית הצירים, ומסמנים אותה באות O. מקובל לסמן את הציר האופקי באות ואת הציר האנכי באות. על כל ציר המרחק בין שנתות סמוכות קבוע. לכן מקבלים רשת המורכבת מקווים מקבילים לצירים. מתארים מיקום של נקודה במערכת הצירים על-ידי זוג ס דור של מספרים. המספרים שבזוג הסדור נקראים שיעורי הנקודה. לכל נקודה על מערכת צירים יש שני שיעורים. את שיעור ה- כותבים תמיד בצד שמאל, ואילו את שיעור ה- כותבים תמיד בצד ימין, למשל: ).M (, שדרה 7 O 7 דוגמאות: שיעור ה- אהנקודה A מיוצגת על-ידי הזוג הס דור (,). קוראים משמאל לימין "חמש, שמונה". נהוג לכנות נקודה זו "(,)A". שיעור ה- בהנקודה B מיוצגת על-ידי הזוג הס דור (,). בדוגמאות אלה רואים כי בזוג סדור יש חשיבות למיקום המספרים: הזוגות (,) "חמש שמונה" ו- (,) "שמונה חמש" הם זוגות סדורים שונים. שיעור ה- שיעור ה- שיעור ה- של B שיעור ה- של A שיעור ה- של A שיעור ה- של B A B. פונקציות 7

2 משימות 9 7 לפניכם מערכת צירים. מסומנות בה הנקודות.M, F, D, C, A א מהו שיעור ה- של הנקודה D? במהו שיעור ה- של הנקודה D? גכתבו את השיעורים של כל הנקודות. דרותי כתבה את שיעורי הנקודות המסומנות כך:.M),9(,F)9,(,D),7(,C),(,A),( אילו טעויות היא עשתה? ה לאילו נקודות יש אותו שיעור? ו לאילו נקודות יש אותו שיעור? ז מה דומה ומה שונה בשיעורי הנקודות A ו- C? M 7 9 א ציירו מערכת צירים על דף משבצות. ב סמנו את ציר ה- ואת ציר ה-. סמנו את ראשית הצירים באות O. ג סמנו את הנקודות ),(D, ),(A. ),(B, )7,9(C, ד סמנו את הנקודות ),7(S, )7,(E. האם מיקום הנקודות שונה? ה סמנו את הנקודות )9,(K, ),(G. ),(H, מה משותף לנקודות? ו סמנו את הנקודות ),(R, ),(M. ),(P, מה משותף לנקודות? ז מהם השיעורים של ראשית הצירים? במערכת הצירים שלפניכם מסומנות נקודות. א מהי הנקודה ששיעור ה- שלה הוא? ב מהן הנקודות ששיעור ה- שלהן הוא? ג מהן הנקודות ששיעור ה- שלהן שווה לשיעור ה- שלהן? ד 9 הוא שיעור ה- של נקודה. מהי הנקודה? ה הוא שיעור ה- של נקודה. מהי הנקודה? ו מהן הנקודות ששיעור ה- שלהן קטן מ-? ז מהן הנקודות ששיעור ה- שלהן קטן מ-? פונקציות A B H D G F I

3 9 7 במערכת הצירים שלפניכם מסומנות הנקודות.M,T,H,C,B,A א כתבו את שיעורי הנקודות C. B, A, ב מצאו את הנקודות שאחד השיעורים שלהן הוא. לגבי כל נקודה כתבו אם הוא שיעור ה- או שיעור ה- שלה. ג מצאו את הנקודות שאחד השיעורים שלהן הוא. לגבי כל אחת מנקודות אלה כתבו אם הוא שיעור ה- או שיעור ה- שלה. ד האם הוא שיעור ה- של הנקודה H? ה האם הוא שיעור ה- של הנקודה M? ו האם 9 הוא שיעור ה- של הנקודה B? T C H A B M א בנו מערכת צירים, וסמנו עליה את הנקודות K,E,C,B,A )כמו בסרטוט(. ב כתבו את שיעוריהן של הנקודות. ג סמנו את הנקודה D, כך שיתקבל מלבן.ABCD מהם השיעורים של הנקודה D? ד סמנו את הנקודה G, כך שיתקבל מלבן.EKGC מהם השיעורים של הנקודה G? 7 9 סמנו על מערכת צירים את הנקודות:,G(,).H(,), P(,), A(,7),R(,) סמנו על מערכת צירים נקודות על-פי ההוראות. אשתי נקודות שונות ששיעור ה- שלהן הוא 7. בשתי נקודות שונות ששיעור ה- שלהן הוא. גשתי נקודות שונות ששיעור ה- שלהן הוא. איפה נמצאות הנקודות? דשתי נקודות שונות ששיעור ה- שלהן הוא. איפה נמצאות הנקודות? 7 השתמשו באחת ממערכות הצירים שבנספח. א הנקודות ),(, ),(, ),(, ),( הן קדקודים של מרובע. סמנו אותן במערכת הצירים. חברו את הנקודות בקטעים, כך שיתקבל מרובע. מהו סוג המרובע? ב הנקודות )7,7(, )7,9(, ),9(, ),7( הן קדקודים של מרובע. סמנו אותן במערכת הצירים. חברו את הנקודות בקטעים, כך שיתקבל מרובע. מהו סוג המרובע?. פונקציות 9

4 א.. מערכת צירים שלמה מגלים לומדים נתון מלבן,ABCD כך שאורך AB הוא יחידות, ואורך BC הוא יחידות. אשרה רוצה לסרטט את המלבן על מערכת צירים כאשר נתונים שיעוריהם של שני קדקודים: הקדקוד (,)A והקדקוד (,)D. היא התחילה לסרטט את הקדקודים A ו- D )סרטוט א'(, אך היא אינה יודעת איך להמשיך את הסרטוט. דני הציע לה להמשיך את סרטוט המלבן כמו בסרטוט ב'. שרה טוענת שהיא מתכוונת לסרטוט כמו בדוגמה. עזרו לה למצוא את שיעורי הקדקודים B ו- C. )רמז: אפשר להרחיב את מערכת הצירים.( ב רחל רוצה לסרטט את המלבן על מערכת צירים כאשר נתונים שיעוריהם של שני קדקודים: הקדקוד (7,)A והקדקוד (,)B )סרטוט ג'(. עזרו לה למצוא את שיעורי הקדקודים C ו-. D B C A D 7 סרטוט א' A D סרטוט ג' D B C 7 סרטוט ב' A B A 7 K D B קיימות מערכות צירים הבנויות משני צירי מספרים, בהם מספרים חיוביים, אפס ומספרים שליליים. דוגמה: במערכת הצירים שלפניכם מסומנות הנקודות: E C 7, C(,), B(-,-), A(,-). K(-,), E(,-), D(-,) הערה: השיעורים של נקודה הנמצאת על ציר ה-, הם (, ). האות מייצגת מספר כלשהו, למשל: (,-)K. השיעורים של נקודה הנמצאת על ציר ה-, הם (, ). האות מייצגת מספר כלשהו, למשל: (-,)E.. פונקציות

5 במערכת צירים מהסוג הנ"ל הצירים מחלקים את המישור לארבעה רבעים. כל רבע נקרא רב יע. הרביעים ממוספרים כך:,,, נגד כיוון מחוגי השעון. למשל, הרביע הראשון הוא הרביע ששני השיעורים בו הם חיוביים. בכל נקודה הנמצאת ברביע הראשון, בכל נקודה הנמצאת ברביע השני, שיעור ה- חיובי, ושיעור ה- חיובי. שיעור ה- שלילי, ושיעור ה- חיובי. O בכל נקודה הנמצאת ברביע הרביעי, בכל נקודה הנמצאת ברביע השלישי, שיעור ה- חיובי, שיעור ה- שלילי, ושיעור ה- שלילי. ושיעור ה- שלילי. הערה: הצירים עצמם אינם שייכים לאף רביע. הנקודות במערכת צירים יכולות להימצא באחד הרביעים או על אחד הצירים. משימות סמנו במערכת צירים את הנקודות:.K)-,(,I),(,H)-,-(,G)-,-(,F),-(,E),-(,D),(,C),(,B),(,A)-,( מיינו את הנקודות לחמש הקבוצות האלה: אנקודות ברביע הראשון; בנקודות ברביע השני; גנקודות ברביע השלישי; דנקודות ברביע הרביעי; הנקודות הנמצאות על ציר ה- ; ונקודות הנמצאות על ציר ה-. 9 התבוננו באחת ממערכות הצירים שבנספח, וענו על השאלות. א האם תיתכן נקודה בשני רביעים שונים? בהאם יש נקודה, הנמצאת על שני הצירים? כמה נקודות כאלה יש?. פונקציות

6 M D B A 7 C E במערכת הצירים שלפניכם מסומנות הנקודות.M,E,D,C,B,A כתבו את שיעורי הנקודות. בכל סעיף השלימו את החסר. אאם נקודה נמצאת ברביע ה, שיעור ה- שלה ושיעור ה- שלה הם חיוביים. באם נקודה נמצאת ברביע השלישי, שיעור ה- שלה ושיעור ה- שלה הם. גאם נקודה נמצאת ברביע השני, שיעור ה- שלה הוא, ושיעור ה- שלה הוא. דאם נקודה נמצאת ברביע ה, שיעור ה- שלה הוא חיובי, ושיעור ה- שלה הוא שלילי. סמנו על מערכת צירים את הנקודות שבסעיף א', וחברו את כל הנקודות ברצף לפי הסדר משמאל לימין. לאחר מכן הוסיפו את הנקודה שבסעיף ב'. מה התקבל? א,) 9,- ( )9,-(, ),-(, ),(, ),(, )-,(, )-,(, )-,7(, )-,(, )-,(, )-7,(, )-9,(, Æ )7,-7(, ),-7(, ),-(, ),-(, ),-(, ),-(, ),-(, ),-(, )-,-(, )-,-7(, )-,-7(, )-,-(, )-,-(, )-,(, )-9,(, )-9,(. ב ציירו עין בנקודה ),-(. סרטטו בנספח צורות סימטריות לצורה הנתונה ביחס לציר ה- וביחס לציר ה- בכל אחד מהרביעים.. פונקציות

7 ענו על השאלות. אלכמה חלקים מחלקת מערכת צירים את המישור? מה שמם של חלקים אלה? בתארו כל רביע של מערכת צירים. דוגמה: הרביע הראשון: שני השיעורים של כל נקודה הנמצאת ברביע הראשון הם מספרים חיוביים. גהשיעורים של נקודה כלשהי הם שני מספרים שליליים. באיזה רביע נמצאת הנקודה? דשיעור ה- של נקודה הוא מספר שלילי. היכן יכולה להימצא הנקודה? הבאיזה רביע נמצאת הנקודה ששיעוריה הם (.,.-)? הסבירו כיצד הגעתם לתשובה. במערכת הצירים שלפניכם מסומנות הנקודות S,N,E,I,V,A ו-.K כתבו את שיעורי הנקודות. I A V S O N - E - K - - א נקודה נמצאת על ציר ה-. מה שיעור ה- שלה? בנקודה נמצאת על ציר ה-. מה שיעור ה- שלה? ג שיעור ה- של נקודה הוא. היכן היא נמצאת? ד שיעור ה- של נקודה הוא. היכן היא נמצאת? 7 נתונים שיעורי הנקודות ),-(A ו- )-,(C. מצאו את שיעורי הנקודות B ו- D, כך ש- ABCD יהיה מלבן. רמז: קיימים שני פתרונות.. פונקציות

8 ב. גרפים ב.. קריאת גרף מגלים במערכת הצירים שלפניכם מסורטט גרף המייצג את שינוי הטמפרטורה בירושלים במהלך יום אחד. A זמן בשעות הטמפרטורה ( C) 7 א מה מסמן כל ציר? ב מה מייצג קטע היחידה בציר האופקי? ובציר האנכי? ג מה הייתה הטמפרטורה הנמוכה ביותר באותו היום? באילו שעות? ד מה הייתה הטמפרטורה הגבוהה ביותר באותו היום? באילו שעות? ה מה הייתה הטמפרטורה בשעה 7? ובשעה? ו באילו שעות הייתה הטמפרטורה º? ז מה מייצגים השיעורים של הנקודה A? ח באילו שעות שלמות ברצף נמדדה אותה טמפרטורה? ט מדוע, לדעתכם, הנקודות המסומנות מחוברות בקו? מהי המשמעות של חיבור הנקודות על-ידי קו? י כיצד השתנתה הטמפרטורה מ- בבוקר עד בצהריים? יא באיזו שעה התחילה הטמפרטורה לרדת?. פונקציות

9 לומדים אפשר לייצג קשר בין מספרים, גדלים או משתנים בדרך חזותית באמצעות גרף. גרף הוא אוסף של נקודות במערכת צירים. הגרף יכול להיות מורכב מנקודות יחידות או מקווים לא-רציפים, והוא יכול להיות קו רציף אחד. דוגמאות לגרפים המיוצגים על-ידי קו רציף: C F א A זמן בשעות הטמפרטורה ( C) 7 גרף הטמפרטורות בירושלים הוא רציף: אפשר לק בוע את הטמפרטורה בכל רגע נתון. דוגמאות לגרפים לא-רציפים: המחיר ) ( ב מחיר ) ( ג 9 מספר מחברות משקל בגרם גרף ב' יכול לייצג את הקשר בין מחיר משלוח חבילה לבין משקלה. בגרף ג' רואים את הקשר בין כמות מחברות לבין מחירן. גרף זה הוא נקודתי, ולא רציף: אי-אפשר לקבוע את המחיר של. מחברות. אפשר לתרגם מיקום של נקודות בגרף על-ידי תיאור מילולי.. פונקציות

10 דוגמה בגרף א' שבשיעור: התרגום המילולי של הנקודה (,)A הוא "בשעה הטמפרטורה הייתה C". לעתים יש לחפש בגרף נקודות שיש להן שיעור נתון; נקודות שיש להן שיעור נתון. דוגמאות בגרף א' שבשיעור: אמה הייתה הטמפרטורה בירושלים בשעה? : כדי לענות על שאלה זו יש לחפש נקודה ששיעור ה- שלה הוא. הנקודה המבוקשת היא (,). לפיכך התשובה: הטמפרטורה בשעה : הייתה C. בבאילו שעות הייתה הטמפרטורה בירושלים? C כדי לענות על שאלה זו יש לחפש נקודות ששיעור ה- שלהן הוא. יש שתי נקודות כאלה: (7,) ו- (,). לפיכך התשובה: הטמפרטורה הייתה C בשעה 7: ובשעה :. משימות במשפחת חשבוני גובהה של תהילה בת ה- 9 הוא. מ'; גובהו של בצלאל בן ה- הוא. מ'; גובהו של מנחם בן ה- הוא. מ'; גובהה של תמר בת ה- הוא. מ'; גובהו של אבי בן ה- 7 הוא.9 מ'; וגובהה של פנינה בת ה- הוא. מ'. הגבהים של בני משפחת חשבוני קבעו איזו נקודה מייצגת כל אחד מבני המשפחה. הגובה )במטרים( B C E. F.. D A..... הגיל 7 9. פונקציות 9

11 בגרף שלפניכם מתוארת נסיעת משאית מירושלים לחיפה, כולל פריקת סחורה ומנוחה בחיפה וחזרה לירושלים. התבוננו בגרף, וענו על השאלות. אלמה, לדעתכם, ציר הזמן מתחיל ב- 7? במה מייצגת הנקודה (, 7)A במערכת הצירים? גמהו המרחק בין ירושלים לחיפה לפי הגרף? דבאיזו שעה חזר הנהג לירושלים? המה מייצגת הנקודה (, 9)B? לומדים זמן )שעות( ואיך יודעים שבין השעות 7 ו- 9 המהירות הייתה 9 קמ"ש? זמה, לדעתכם, מציין הקטע?BC חתארו את הנסיעה מירושלים לחיפה. טאיזה קטע מייצג את המנוחה בחיפה? יכמה זמן ארכה הדרך חזרה לירושלים? זכרו! מרחק מירושלים )ק"מ( חיפה B C D A G E ירושלים מהירות זמן = דרך לעיתים אפשר לתאר שינוי בתופעה על-ידי גרף. דוגמאות: שינוי גרף הטמפרטורות בין השעות 9 ל- פירושו: הטמפרטורה בירושלים עלתה מהשעה 9 עד השעה. הטמפרטורה ( C) 7 A זמן בשעות. פונקציות 7

12 בגרף שלפניכם מתואר ערך הדולר בשקלים במשך חמישה ש בועות של שנת. ענו על השאלות בעזרת הגרף. א כמה שקלים קיבלו תמורת דולר אחד ב- /? ב כמה שקלים קיבלו תמורת דולר אחד ב- 7/? ג באילו תאריכים קיבלו. שקלים תמורת דולר אחד? דמה קרה לערך הדולר בין התאריכים 7/ ו- /? ה מה קרה לערך הדולר בין התאריכים / ו- /9? ובדקו מהו שער הדולר היום. זמן )תאריך( שקל לדולר / / / / 7/ / / 7/ / /9 7/9 התבוננו בגרף שלפניכם, וענו על השאלות. א האם הגרף עובר דרך ראשית הצירים? בבאילו נקודות הגרף משנה כיוון? ג בין אילו נקודות הגרף יורד? ד ערך ה- הוא. מהו ערך ה-? ה ערך ה- הוא -. מהו ערך ה-? ו ערך ה- הוא. מהו ערך ה-? כמה תשובות יש לשאלה זו? ז ערך ה- הוא -. מהו ערך ה-? כמה תשובות יש לשאלה זו? ח ערך ה- של הנקודה הוא. מהו ערך ה-? כמה תשובות יש לשאלה זו? ט ערך ה- של הנקודה הוא. מהו ערך ה-? כמה תשובות יש לשאלה זו?. פונקציות

13 לפניכם גרפים המסורטטים באותה מערכת צירים. גרף אחד הוא קו ישר, וגרף אחד הוא קו עקום.???? א התבוננו בקו הישר, ומצאו את הערכים החסרים בטבלה.?? -? ב התבוננו בקו העקום, ומצאו את הערכים החסרים בטבלה. )אם הערך אינו מדויק, מצאו את הערך השלם הקרוב ביותר.( -7? -????? גהתבוננו בקו העקום. ערך ה- הוא 9. מהו ערך ה-? כמה תשובות יש לשאלה זו? דמהם השיעורים של הנקודות המשותפות לשני הקווים? הבין אילו ערכים של הקו העקום נמצא מעל הקו הישר?. פונקציות 9

14 החברה להגנת הטבע ארגנה שני טיולי אופניים לשתי קבוצות באותו מסלול בין תל-אביב לירושלים. הטיול הראשון יצא מתל-אביב והשני - מירושלים. מירב המרכזת תיארה את התכניות של שני הטיולים באותה מערכת צירים. לפניכם התיאור של מירב. מרחק בק"מ תל-אביב התבוננו בגרפים, וענו על השאלות. אמהו המרחק בין ירושלים לתל-אביב? ב באיזו שעה יצאו חברי הקבוצה הראשונה מתל-אביב? גבאיזו שעה יצאו חברי הקבוצה השנייה מירושלים? דבאיזו שעה יגיעו לירושלים חברי הקבוצה שיצאה מתל-אביב? הבאיזו שעה יגיעו לתל-אביב חברי הקבוצה שיצאה מירושלים? ו באיזו שעה יעשו הפסקה חברי הקבוצה שיצאה מירושלים? באיזה מרחק מתל-אביב? זבאיזו שעה יעשו הפסקה חברי הקבוצה שיצאה מתל-אביב? באיזה מרחק מירושלים? זמן בשעות חהאם שתי הקבוצות ינוחו באותו מקום? באותו זמן? טבאיזו שעה ייפגשו הקבוצות? באיזה מרחק מתל-אביב? ומירושלים? יאיזה מרחק יעברו חברי הקבוצה מתל-אביב לפני ההפסקה? בתוך כמה זמן מתחילת המסלול? י א איזה מרחק יעברו חברי הקבוצה מירושלים אחרי ההפסקה ועד לתל-אביב? בכמה זמן? י ב מהי, לדעתכם, מהירות הקבוצה מירושלים אחרי ההפסקה? 7 9 ירושלים. פונקציות

15 בגרף שלפניכם מתוארת הליכת מטר שהלך משה. מרחק )במטרים( אמהו המרחק שעבר משה אחרי שניות? אחרי שניות? ב בתוך כמה זמן עבר משה מטר? ג איזה מרחק עבר משה ב- השניות הראשונות? ד בתוך כמה זמן עבר משה את כל המרחק? ה בתוך כמה זמן עבר משה חצי מהמרחק? זמן )בשניות( ב.. בניית גרף מגלים לאירוע הוזמנו פרחים, והם סודרו באגרטלים. בטבלה שלפניכם תיארו את מספר האגרטלים לפי מספר הפרחים שקיבלו. 7 מספר הפרחים 9 7 מספר האגרטלים אורי ודני ניסו לייצג את הנתונים על-ידי גרף. הייצוג של אורי אגרטלים הייצוג של דני אגרטלים 9 7 A פרחים פרחים 7 9 אהסבירו כיצד סרטט אורי את הנקודות המופיעות בגרף שלו. האם אורי ייצג את כל הנתונים? בסיימו לסרטט את הגרף של אורי. גדני סרטט נקודות וחיבר בין נקודות סמוכות. מהם השיעורים של הנקודה A? האם שיעורים אלה הגיוניים?. פונקציות

16 לומדים גרף הוא אוסף נקודות במערכת צירים. כל נקודה נק בעת על-ידי זוג ס דור של שיעורים. כדי למקם נקודה על הגרף, מעבירים אנכים לצירים, היוצאים משיעורי הנקודה. נקודת החיתוך שלהם היא מקום הנקודה. דוגמה: לפניכם מיקום הנקודה ששיעוריה (,). זכרו! הזוג הסדור (,) (,) שונה מהזוג (,). קיימות דרכים שונות לכתוב את הנתונים הנדרשים לבניית גרף, למשל: א טבלת נתונים; ב רשימת זוגות סדורים; ג דיאגרמת חצים. דוגמה: א טבלה מספר שעות עבודה מספר משלוחים ב זוגות סדורים (,), (,), (,), (,), (,), (,) ג דיאגרמת חצים. פונקציות

17 כדי לבנות גרף שלם קובעים מהם הערכים של המתאימים לתופעה. קבוצת הערכים האלה היא תחום ההגדרה של התופעה. מסמנים את הנקודות הרלוונטיות על מערכת צירים. הגרף יכול להיות מורכב מנקודות יחידות או להיות גרף רציף. דוגמאות: גרף רציף: גרף המייצג הליכה. מרחק )במטרים( זמן )בשניות( גרף המורכב מנקודות יחידות: - - ייצוג חמשת הזוגות הסדורים.),( ;),-( ;),.( ;)-,-( ;),( כאשר בונים גרף, מחברים בין נקודות הגרף, רק אם יש משמעות לפעולה זו. דוגמאות: אבגרף המייצג ריצה, יש משמעות לחיבור בין הנקודות: בכל רגע נתון אפשר לק בוע את המרחק מנקודת המוצא )ולאו דווקא אחרי,,,, או שניות(. בבייצוג של דני בפעילות הגילוי אין משמעות לחיבור בין הנקודות, כי אין "חצי ארגטל" או "חצי פרח". משימות בטבלה שלפניכם נתון קשר בין שני משתנים. אסרטטו גרף מתאים. באם מותחים קו בין הנקודות, מהו המספר החסר בזוג הסדור (,? )? גלפי הנתונים, אם מותחים קו בין הנקודות, איזה מספר יכול להיות המספר החסר בזוג הסדור )?,)? דהאם יש תשובות נוספות לשאלה בסעיף ב'? כמה תשובות מצאתם? מהן? ההאם לדעתכם, קיימת חוקיות בגרף? אם כן, מהי?. פונקציות

18 הסכום של שני מספרים ו- הוא. אהשלימו את טבלת הנתונים. - 7 בסרטטו גרף מתאים לנתונים. גהאם יש משמעות לחיבור הנקודות שסרטטתם על הגרף? 7 לנמלה יש שני מחושים. אהשלימו את דיאגרמת החצים. בסרטטו גרף מתאים לנתונים. גהאם יש משמעות לחיבור הנקודות שסרטטתם על הגרף? מספר מחושים מספר נמלים מכונית נוסעת במהירות קבועה של קמ"ש. בכל סעיף סרטטו במערכת צירים גרף שיתאים לנקודות המתוארות. )ציר ה- ייצג את הזמן בשעות, וציר ה- ייצג את המרחק בק"מ.( המרחק לאחר שעות המרחק לאחר שעות ג ד א המרחק לאחר שעתיים ב המרחק לאחר שעות 9 ההפרש בין מספר לבין מספר הוא. ( גדול מ-.( אהשלימו את טבלת הנתונים בסרטטו גרף מתאים לנתונים. גהאם יש משמעות לחיבור הנקודות שסרטטתם על הגרף?. פונקציות לפניכם רשימה של זוגות סדורים, וחסר בהם אחד מהמספרים. ידוע שבכל זוג סדור שיעור ה- גדול משיעור ה- ב-. ),? ( )?,( ),? ( )?,-( ),? ( ),? ( )?,.( אמצאו את הערך של המספר החסר בכל זוג סדור. בסרטטו גרף מתאים לנתונים אלה. )אורך היחידה: משבצות.(

19 מ ג דל סוסים צריך לקנות פ רסות חדשות לסוסיו. כל סוס צריך ארבע פרסות. אהשלימו את טבלת הנתונים. מספר הסוסים מספר הפרסות בסרטטו גרף מתאים לנתונים. שתי משבצות ) ס"מ( על ציר ה- ייצגו סוס אחד. משבצת אחת ). ס"מ( על ציר ה- תייצג שתי פרסות. גהאם יש משמעות לחיבור הנקודות שסרטטתם על הגרף? בשנה הראשונה של חייו חתול "מזדקן" הרבה יותר מהר מבני-אדם. בהמשך חתול מזדקן מהר יותר מבן-אדם בערך פי ארבעה. הנתונים בטבלה A מייצגים את התבגרותו של חתול בשנה הראשונה בחייו בהשוואה לגילו של בן-אדם. בשנה השנייה לחייו, חודש של חתול שקול לשמונ ה חודשי בן-אדם. בטבלה B מתוארת הזדקנות חתול )מגיל ומעלה( בהשוואה לגיל בן-אדם. טבלה A: התבגרותו של חתול בשנה הראשונה ביחס לגיל בן-אדם 7 גיל חתול )בחודשים( גיל בן-אדם )בשנים( טבלה B: השוואה בין גיל חתול לבין גיל בן-אדם )בשנים( 9 7 גיל החתול )בשנים( גיל בן-אדם )בשנים( 9 7 גיל החתול )בשנים( גיל בן-אדם )בשנים( דוגמאות לקריאת הטבלאות: גיל של חתול בן חודשים "בשנות חתול" מתאים לגיל של נער בן שנים. גיל של חתול בן שנה "בשנות חתול" מתאים לגיל של אדם בן שנה. איעל והחתול שלה נולדו באותו יום. יעל בת 7. מהו הגיל של החתול של יעל "בשנות חתול"? בבן-אדם הוא "אזרח ותיק" בגיל 7. באיזה גיל בערך חתול מתאים להיות "חתול ותיק"? ג בנו שני גרפים על-פי הנתונים שבטבלאות. דמצאו לפי הגרף, מהו הגיל של חתול בן חמישה חודשים "בשנות בני-אדם".. פונקציות

20 ב.. קשר בין משתנים מגלים רונית ויעל חקרו במפעל לייצור חולצות את השפעת התאורה באולם העבודה על תפוקת העובדים. התאורה נמדדה לפי מספר נורות הנ און באולם, והתפוקה שנמדדה היא מספר החולצות שיוצרו בשעה. התוצאות הוצגו בטבלה שלפניכם. 9 מספר הנורות באולם מספר החולצות בשעה החוקרות התבקשו לתאר את התוצאות בעזרת גרף. רונית אמרה: "מאחר שמספר החולצות תלוי בכמות האור, יש להציג את כמות האור על ציר ה-, ואילו את מספר החולצות על ציר ה-." יעל אמרה: "נכון, מספר החולצות תלוי בכמות האור, אך מה הקשר בין זה לבין שמות הצירים? זה לא משנה." מה הייתם עונים ליעל? לומדים כאשר חוקרים תופעות בתחומים שונים - כגון סקרים בנושאים כלכליים, בחירות, תופעות טבע - חוקרים התאמה בין שני גדלים ומגלים קשר בין שני גדלים, שאחד מהם תלוי באחר. דוגמה: מזג האוויר משפיע על צריכת החשמל, אך צריכת החשמל אינה משפיעה על מזג האוויר! קבוצת הערכים שהתופעה מוגדרת בהם, נקראת תחום. קבוצת הערכים המתאימים לערכי התחום, נקראת טווח. דוגמאות: בחקירה של יעל ורונית מספר החולצות תלוי במספר הנורות, לכן התחום )הנורות( הוא קבוצת המספרים ;,,,9,,, הטווח )החולצות( הוא קבוצת המספרים.,,,,, שטח ריבוע תלוי באורך הצלע. התחום הוא קבוצת המספרים החיוביים. גם הטווח הוא קבוצת המספרים החיוביים.. פונקציות

21 דרכי ייצוג של התאמה בין תחום וטווח בזוגות סדורים כותבים את המשתנה שבתחום מצד שמאל, ואת המשתנה שבטווח כותבים מצד ימין. בגרף נהוג לסמן את איברי התחום על הציר האופקי )ציר ה- ( ואת איברי הטווח על הציר האנכי )ציר ה- (. לכן בדרך כלל משתמשים באות כשם כללי לערך של איבר בתחום ובאות כשם כללי לערך של איבר בטווח. (, ) )טווח, תחום( דוגמה: כדי לייצג את התוצאות המתוארות בחקירה של רינת ויעל, נהוג לסרטט גרף כך: ולא כך: חולצות נורות נורות חולצות אם מייצגים את הקשר בין איברי התחום לבין איברי הטווח על-ידי טבלה, נהוג לכתוב את איברי התחום בשורה העליונה ואת איברי הטווח מתחתיו. דוגמה: 9 מספר הנורות באולם מספר חולצות בשעה משימות ענו על השאלות, ונמקו את תשובותיכם. א האם גובהו של בן-אדם תלוי בגילו? ב האם הגיל של בן-אדם תלוי בגובהו? ג האם המשקל של בן-אדם תלוי בגילו? ד האם הגיל של בן-אדם תלוי במשקלו? ה האם אורך הזרוע של בן-אדם תלוי בגילו? ו האם אורך הזרוע של בן-אדם תלוי בגובהו?. פונקציות 7

22 לפניכם ביטויים שונים המתארים משתנים. הרכיבו משפטים המתארים קשר של תלות בין שני ביטויים, והדגישו את התחום. דוגמה: מחיר הלחם תלוי במחיר הקמח. מחיר הקמח אורך הרגליים של בן-אדם מספר שעות עבודה שטח המגרש זמן נסיעה במהירות קבועה מספר תקליטורים שנקנו מספר מכוניות על הכביש תשלום בקנייה קצב הליכה מחיר הלחם שכר זמן כיסוח הדשא שעה ביממה אורך המסלול בטבלה מובאות כמויות המים במכל אגירה במשך שנים עשר חודשים. 9 7 מספר החודש כמות המים בליטרים אמהו התחום? מהו הטווח? ב סרטטו גרף לתיאור הקשר בין שני המשתנים. ג האם חיברתם בין נקודות המייצגות את הנתונים שבטבלה? אם כן, מה משמעות החיבור? ד כיצד נראה הגרף בין החודש השני לבין החודש השלישי? ה כיצד נראה הגרף בין החודש התשיעי לבין החודש העשירי? ו בין אילו חודשים כמות המים במכל עולה? 7 לפניכם תוצאות של מדידת הטמפרטורה בחורף בשוויץ במשך שעות. שעות היממה הטמפרטורה במעלות צלזיוס. פונקציות אבין אילו שעות נמדדו הטמפרטורות? במה, לדעתכם, תלוי במה: הטמפרטורה בשעות היממה או שעות היממה בטמפרטורה? ג הציגו על ציר ה- את איברי התחום ועל ציר ה- את איברי הטווח, וסרטטו גרף לתיאור התוצאות שבטבלה. ד מה הייתה הטמפרטורה הנמוכה ביותר באותו היום? באיזו שעה? ה מה הייתה הטמפרטורה הגבוהה ביותר באותו היום? באיזו שעה? ו מהו התחום המתאים לטמפרטורה מתחת ל- מעלות? ז מהו התחום המתאים לטמפרטורה מעל ל- מעלות? ח באילו שעות נמדדה אותה טמפרטורה? ט מה הייתה בערך הטמפרטורה בשעה? נמקו את תשובתכם.

23 האם לדעתכם, הציונים של תלמיד במתמטיקה תלויים בציונים של אותו תלמיד בעברית? האם לדעתכם, הציונים של תלמיד בעברית תלויים בציונים של אותו תלמיד במתמטיקה? כתבו שלוש דוגמאות של משתנה התלוי במשתנה אחר. השתמשו במילים כגון: משך זמן, מרחק, גיל, משקל, גובה, וכדומה. בכל דוגמה ציינו מהו התחום ומהו הטווח. בבית מלון החליטו לבנות חדרים בצורת ריבוע. החדרים בגדלים שונים. בכל חדר שמים שטיח מקיר לקיר. השטיח מתחבר למסילה המונחת לאורך צלעות הרצפה. אכמה מטרים של מסילה יש להניח בחדר שהיקפו שלושה מטרים? באם 9. מ' של מסילה יספיקו כדי להקיף את החדר, מה אורכו של קיר אחד? גהשלימו את הטבלה בנספח. מצאו כמה מטרים של מסילה דרושים לחדר שאורכו נתון. 9 אורך המסילה אורך הקיר חדר אורך המסילה אורך הקיר חדר מ'. מ'. מ'.9 מ'.7 מ' 7 מ'. מ'. מ' דאם האות מיצגת את אורך הקיר של חדר, והאות מיצגת את אורך המסילה באותו חדר, מהו הקשר בין ל-? היצגו את הנתונים שבטבלה במערכת צירים. האם אפשר לחבר בין הנקודות? מדוע? ו אם היקף החדר הוא שלושה מטרים, כמה מ"ר של שטיח הותקן בחדר? ז ח באחד החדרים הותקן מ"ר של שטיח. מה אורך צלע החדר? תרגילים נוספים בעמודים פונקציות 9

24 ג. פונקציה ג.. זיהוי של פונקציה מגלים למה מתכוונים כשאומרים: "הצלחה במבחן היא פונקציה של הלמידה"? לפניכם סדרה של זוגות סדורים. (,) (,) (,) (,) (,) (,7) א סמנו את הנקודות במערכת צירים. ב האם יש זוגות שיש להם אותו שיעור, אך שיעור ה- שלהם שונה? לומדים פונקציה היא סוג של התאמה בין שני משתנים. משתנה הוא פונקציה של משתנה, אם לכל ערך של מתאים ערך אחד ויחיד של. כלומר התאמה היא פונקציה אם לכל איבר בתחום מתאים איבר אחד בלבד בטווח. דוגמה: במקום נתון הטמפרטורה )( היא פונקציה של השעה )(. שעת היממה תחום 7 C C C C C הטמפרטורה טווח בכל רגע נתון יש טמפרטורה אחת ויחידה במקום זה, כלומר לכל ערך של )השעה( מתאים ערך אחד ויחיד של )הטמפרטורה בשעה (. אם היא פונקציה של, לא ייתכן שלשני ערכים של יתאים אותו ערך של. דוגמה: בדוגמה לעיל לא ייתכנו שתי טמפרטורות שונות )שני ערכי שונים( באותה שעה )אותו ערך (, באותו מקום. אם היא פונקציה של, ייתכן שלשני ערכים של יתאים אותו ערך של. דוגמה: בדוגמה לעיל תיתכן אותה טמפרטורה )אותו ערך ( בשתי שעות שונות )שני ערכי שונים(.. פונקציות

25 כיצד אפשר לבדוק אם גרף מייצג פונקציה או לא-פונקציה? מתבוננים בגרף נתון, ומחפשים על הגרף שתי נקודות שונות שיש להן אותו שיעור. אם מוצאים שתי נקודות כאלה, הגרף מתאר קשר שאינו פונקציה. כדי לבצע בדיקה זאת אפשר לדמיין ישר מקביל לציר ה-, הנע לאורך הגרף. אם הישר "חותך" את הגרף ביותר מנקודה אחת, הגרף מתאר קשר שאינו פונקציה. דוגמאות: הגרפים שלפניכם מייצגים פונקציות, כי לכל נקודה עליהם יש שיעור אחד של. הישר הדמיוני המקביל לציר ה- מכל ערך של, חותך את הגרף במקום אחד בלבד. הגרפים שלפניכם אינם מייצגים פונקציות, כי ישנן נקודות שיש להן אותו שיעור. למשל, בסרטוט א' ל- C ול- D יש אותו שיעור, ובסרטוט ב' ל- A ול- B יש אותו שיעור, וגם ל- K ול- M יש אותו שיעור. ב K א M סימון: אפשר לתת שם לפונקציה )קשר( בעזרת אותיות לטיניות קטנות, כגון. g, f, s דוגמה: את הקשר f בין ל- כותבים כך: f(). = קוראים: שווה f של. הביטוי f() = מציין שהזוג הסדור ), ( הוא נקודה על הגרף המייצג את הפונקציה. f דוגמה: משמעות השוויון = f() היא: לפי הקשר, f אם =. = השיעורים (,) מייצגים נקודה על הגרף המייצג את הפונקציה. f. פונקציות

26 משימות אם מסמנים במערכת צירים את הזוגות הסדורים ),(,)7,(,),(,),(, האם הגרף שיתקבל מייצג פונקציה? בארבע דיאגרמות החצים שלפניכם, המייצגות ארבעה קשרים, נמחקו המספרים. האם בכל זאת אפשר לדעת איזה קשר הוא פונקציה, ואיזה קשר אינו פונקציה? נמקו את תשובתכם. f() g() t() h() לפניכם גרפים במערכות צירים. קבעו אילו מהם מייצגים פונקציות, ואילו אינם מייצגים פונקציות. נמקו את קביעותיכם. ג ב א ד ה ו f() לפניכם קשר f() המתואר על-ידי טבלה. א הציגו את f() במערכת צירים. ב האם הקשר f() הוא פונקציה? נמקו את תשובתכם.. פונקציות

27 לפניכם גרף של הקשר t() במערכת צירים. א האם לכל שיעור מתאים שיעור אחד בלבד? ב רשמו את הנקודות בגרף כזוגות סדורים. ג כיצד רואים לפי הזוגות הסדורים, שהקשר t() הוא פונקציה? ד מה הערך של ()t? איך מוצאים אותו במערכת הצירים? לקראת שנת הלימודים נערך יריד מכשירי כתיבה. להלן המחירים של חלק מהמוצרים. מחברת -. דפדפת - עיפרון - עט -. יומן -. מחוגה - סרגל - דפנה ומיכל ערכו טבלת מחירים. דפנה התאימה לכל פ ריט את מחירו, ומיכל התאימה לכל מחיר את הפריטים המתאימים לערכו. א בנו במחברת את שתי הטבלאות. ב מי בנתה טבלה המייצגת פונקציה, ומי בנתה טבלה שאינה מייצגת פונקציה? נמקו את תשובתכם. 7 בטבלה שלפניכם מתואר הקשר בין הגובה של סבא אברהם לבין גילו גובה בס"מ גיל בשנים - g() א הציגו את הנתונים כרשימה של זוגות סדורים. ב הציגו את הנתונים בגרף. ג האם ייתכן שלאותו גובה של סבא אברהם יתאימו גילים שונים? ד האם לדעתכם, הגרף של g() מייצג פונקציה? נמקו את תשובתכם. ה האם לדעתכם, הגיל תלוי בגובה או הגובה תלוי בגיל? לפניכם גרפים של קשרים. בכל סעיף ציינו אם הגרף מייצג פונקציה, ונמקו את תשובתכם. h() g() א f() ב ג. פונקציות

28 התבוננו בגרף של g(), וענו על השאלות. אתארו את הגרף במילים. במהו הערך הגדול ביותר של? גמהו הערך הקטן ביותר של? דמהו הערך הגדול ביותר של?g() המהו הערך הקטן ביותר של?g() והאם הגרף של g() הוא פונקציה? נמקו את תשובתכם. זלשני ערכים שונים שבתחום מתאים ערך אחד של הטווח. מה אפשר לומר על ערכים אלה? 9 המעבר מטמפרטורה הנתונה במעלות פרנהייט, לטמפרטורה במעלות צלסיוס מבוצע על-ידי הביטוי האלגברי ) (F - C(.C = 9 טמפרטורה במעלות צלסיוס, - F טמפרטורה במעלות פרנהייט.( א אם הטמפרטורה היא מעלות פרנהייט, מהי הטמפרטורה במעלות צלסיוס? ב מה קורה למים בטמפרטורה של מעלות פרנהייט? ג מה קורה למים בטמפרטורה של מעלות פרנהייט? ד מהו התחום ומהו הטווח בקשר ) (F?C = 9 ה בנו טבלת ערכים לייצוג הקשר בין טמפרטורה הנתונה במעלות פרנהייט, לבין הטמפרטורה במעלות צלסיוס, כאשר נתונים הערכים של F. F C?????? C ו בנו גרף המתאים לטבלה. זמה אפשר להגיד על הנקודות בגרף שבניתם? חהאם הגרף שבניתם הוא גרף של פונקציה? נמקו את תשובתכם. טמה, לדעתכם, מייצג הגרף א'? יבדקו את תשובתכם בסעיף ד' על-ידי גרף ב'. גרף ב' - - גרף א' - - F פונקציות

29 -. -? f)( -? ג.. ייצוגים שונים של פונקציות מגלים התבוננו בטבלה המייצגת את פונקציה. f אפשר לתאר את הפונקציה כך: כופלים מספר ב- ומוסיפים למכפלה. א כתבו ביטוי אלגברי המייצג את f)(. איך עשיתם זאת? ב מצאו את הערך של הפונקציה f בערכי הנתונים. = = - = = - לומדים אפשר לייצג פונקציה על-ידי ביטוי אלגברי. כאשר מ ציבים ערך מהתחום בביטוי אלגברי, ומבצעים את החישוב, מתקבל הערך המתאים מהטווח. למעשה, מקבלים זוגות סדורים המתארים פונקציה. אומרים שהביטוי האלגברי הוא הייצוג האלגברי של הפונקציה. דוגמה:. f() = + כאשר מ ציבים =, מקבלים = = + f(), כאשר מ ציבים =., מקבלים =. =. +.f(.) כאשר מייצגים פונקציה על-ידי גרף במערכת צירים, מומלץ לכתוב " = " במקום " = f() " בביטוי המייצג את הפונקציה. כך מציינים שעל ציר ה- מיוצגים הערכים שהפונקציה מקבלת בהצבת ערכים של המשתנה החופשי. אפשר לייצג פונקציה על-ידי תיאור מילולי, על-ידי טבלת ערכים, על-ידי רשימה של זוגות סדורים, על-ידי גרף וכן על-ידי ייצוגים נוספים, כגון ביטויים אלגברים או דיאגרמת חצים. דוגמה לייצוג של אותה פונקציה בייצוגים שונים תיאור מילולי: בפונקציה g מותאמת לכל מספר חד-ספרתי אי-זוגי המכפלה שלו ב-. רשימת זוגות סדורים: (,) (,) (,) (7,) (9,) ביטוי אלגברי:, g() = כאשר אי-זוגי. 9 7 טבלה:. פונקציות

30 7 9 דיאגרמת חצים: גרף: משימות לפניכם תיאור מילולי של קשר f(). הערכים של המשתנה החופשי הם המספרים הראשוניים בעשרת הראשונה. ערך f() המתאים לכל הוא הסכום של ו-. ארשמו את הפונקציה בצורה אלגברית. ב בנו טבלה לתיאור קשר זה. ג בנו דיאגרמת חצים לתיאור הקשר. ד בנו את הגרף המייצג את הקשר במערכת צירים. ה האם חיברתם בין הנקודות של הגרף או לא? הסבירו מדוע. ו האם הביטוי f() הוא פונקציה? פונקציה מיוצגת על-ידי הביטוי האלגברי: +. f() = חשבו את הערכים: f(). f(7), f(-), f(), פונקציה מיוצגת על-ידי הביטוי האלגברי:.g() = חשבו את הערכים: g((. g(7(, g(-(, g((, הביטוי האלגברי + f )( =. מייצג את הפונקציה. f חשבו את הערכים: א () f ; ב () f ; ג (-( f ; ד () f. בטבלאות שלפניכם מתוארים קשרים. אמצאו את הקשר המיוצג בכל טבלה. רשמו ביטוי אלגברי המייצג את הקשר. בבכל טבלה חשבו את המספר החסר לפי הקשר שמצאתם. 7? = h() ? = f () 9? = t () 7.? = g(). פונקציות

31 צלע b אומן רוצה לייצר אריחי חרסינה מלבניים שלכולם היקף של סנטימטר. מידות המלבן הן מספרים שלמים של סנטימטרים. בגרף שלפניכם מתואר הקשר בין אורכי הצלעות של המלבן. א כתבו ביטוי אלגברי לייצוג הקשר בין האורך לבין הרוחב של כל אריח. ב האם אורך האריח תלוי ברוח בו? ג האם רוחב האריח תלוי באורכו? ד אם אורך צלע a שווה, מה האורך של צלע? b אם אורך צלע b שווה, מה האורך של צלע? a ה אם קובעים שהאורך של צלע a צלע a תלוי באורך של צלע, b כיצד ייראה הגרף המתאר קשר זה? בגרף מתואר מרחק הבלימה של מכונית במטרים כפונקציה של מהירות נסיעתה בקילומטר/שעה. א מהן הכותרות של הצירים, ומהם השיעורים של הנקודה P? ב מה מייצגים השיעורים של הנקודה N? ג מהו בערך מרחק הבלימה של מכונית הנוסעת במהירות של 9 קמ"ש? ד מרחק הבלימה של מכונית היה מטר. מה הייתה מהירותה בערך? ה האם המהירות תלויה P (?,? ) במרחק הבלימה? ו האם מרחק הבלימה תלוי במהירות? N (, 9) ז לפי הגרף, האם ידיעת מהירות המכונית מאפשרת את ידיעת מרחק הבלימה שלה? ח לפי הגרף, האם לכל מהירות מתאים מרחק בלימה אחד בלבד? 7 הביטוי האלגברי + t h)t) = מייצג קשר שבו t הוא מספר שלם. אכתבו חמישה זוגות סדורים המייצגים נקודות על הגרף של.h(t) בהסבירו למה הביטוי h(t) הוא פונקציה.. פונקציות 7

32 פיצוחים חקירה: הריבוע והיקפו. אכתבו ביטוי אלגברי לתיאור הקשר בין היקף הריבוע (p) לבין צלע הריבוע (a). ב בחרו אחד מהמשתנים כתחום ואחד מהם כטווח, והציגו את הקשר במערכת צירים. ג אם כופלים את צלע הריבוע ב-, מה קורה להיקף הריבוע? ד אם מחלקים את היקף הריבוע ב-, מה קורה לצלע הריבוע? 9 לפניכם שלוש פונקציות המתוארות על-ידי ביטויים אלגבריים. h() = g() = + f() = + א האם שלושת הביטויים בנויים לפי אותו דגם? שרה טוענת שכן, ושהדגם המשותף הוא. a + b האם שרה צודקת? אם כן, מהו הערך של a ושל b בכל פונקציה? אם לא, נמקו מדוע. ב סרטטו במחברת את הגרפים של שלוש הפונקציות. ג מה משותף לצורה של כל שלושת הגרפים? פונקציה נתונה על-ידי הביטוי. k + d א בחרו ערכים ל- k ול- d. כתבו את הביטוי שהתקבל. סעיפים ב' ו- ג' מתייחסים לביטוי שבניתם בסעיף א'. ב בחרו שני ערכים ל-. מהם הערכים המתאימים של? ג סרטטו במחברת גרף המתאר את הפונקציה. לומדים גרף של פונקציה הנתונה על-ידי ביטוי אלגברי מהדגם, = m + b הוא קו ישר. דוגמאות: g() = + f() = h() = - +. פונקציות

33 משימות לפניכם שלוש פונקציות המתוארות על-ידי ביטויים אלגבריים. h() =. + g() = + f() = + א בנו במחברת את טבלאות הערכים המתאימות לערכים הנתונים של. = = = = - ב סרטטו במחברת את הגרפים של שלוש הפונקציות. ג מה משותף לכל שלושת הגרפים? האם כולם קווים ישרים? א סרטטו במחברת את שלושת הגרפים של הפונקציות שלפניכם. h() = g() = - + f() = ב מה משותף לכל שלושת הגרפים? האם כולם קווים ישרים? סרטטו במחברת על אותה מערכת צירים את הגרפים של הפונקציות + f() = ו-. g() = מצאו על מערכת הצירים את שיעור ה- של נקודת החיתוך ביניהם. סרטטו על אותה מערכת צירים את הגרפים של הפונקציות + f() = ו-. g() = מצאו על מערכת הצירים את שיעור ה- של נקודת החיתוך ביניהם. סרטטו על אותה מערכת צירים את הגרפים של הפונקציות = f() ו-. g() = מצאו על המערכת את שיעור ה- של נקודת החיתוך ביניהם. תרגילים נוספים בעמודים פונקציות 9

34 ד. השתנות של פונקציה ד.. השתנות מגלים בשני הגרפים שלפניכם מתוארת התרוקנות של שתי בר כות מים. התבוננו בגרף א' המייצג את התרוקנות המים בברכה הראשונה. א מהי כמות המים בברכה בשעה? ב מהי כמות המים בברכה בשעה 9? בשעה? ובשעה? ג מהי כמות המים בשעה? ד האם תוכלו לדעת באיזו שעה תתרוקן הברכה? נמקו את תשובתכם. ה האם הברכה מתרוקנת באותה מידה בכל שעה? זמן גרף א' כמות המים בליטרים התבוננו בגרף ב' המייצג את התרוקנות המים בברכה השנייה. א מהי כמות המים בשעה? ב מהי כמות המים בשעה? בשעה? ובשעה? ג האם תוכלו לחשב את כמות המים בשעה? נמקו את תשובתכם. ד האם תוכלו לדעת באיזו שעה תתרוקן הברכה? ה האם הברכה מתרוקנת באותה מידה בכל שעה? זמן גרף ב' כמות המים בליטרים לומדים כאשר איבר הטווח הוא פונקציה של איבר התחום, אפשר לבדוק אם הערכים של גדלים או קט נים לפי הערכים של, ובאיזה קצב. לשם כך יוצרים "מדרגות" לאורך הגרף בעזרת קטעים המקבילים לצירים, כך שרוחב הקטעים המקבילים לציר ה-, אחיד. כאשר עושים זאת, אומרים שחוקרים את השתנות הפונקציה.. פונקציות

35 דוגמאות: בשתי הדוגמאות שכאן רוחב כל מדרגה הוא יחידה אחת בציר ה-. א כמות המים בליטרים ב כמות המים בליטרים זמן זמן בשתי הדוגמאות שכאן רוחב כל מדרגה הוא יחידות בציר ה-. ג ד כאשר להפרשים שווים בציר ה- )רוחב ה"מדרגות"( מתאימים תמיד הפרשים שווים בציר ה- )גובה ה"מדרגות"(, הגרף מייצג פונקציה בעלת השתנות קבועה. דוגמאות: בדוגמה א' לעיל קצב התרוקנות הברכה הוא קבוע. בדוגמה ב' קצב התרוקנות הברכה משתנה )כלומר אינו קבוע(. בדוגמה ג' הגרף מייצג פונקציה בעלת השתנות קבועה. בדוגמה ד' הגרף מייצג פונקציה בעלת השתנות שאינה קבועה.. פונקציות

36 משימות 7 לפניכם שני גרפים. גרף א' גרף ב' אבאיזה מבין שני הגרפים מתוארת השתנות קבועה? באם תוסיפו לגרפים מדרגות, באיזה גרף הן יהיו בעלות אותו גובה? דוד עובד כשמרטף, והוא מקבל שקלים לשעה. אהאם הגרף המייצג את משכורתו של דוד כפונקציה של שעות עבודתו, הוא קו ישר? נמקו את תשובתכם. באיזה מבין הגרפים שלפניכם מייצג את משכורתו של דוד? נמקו את תשובתכם. גרף א' גרף ב' גרף ג' שעות שעות שעות גרף ד' גרף ה' שעות שעות. פונקציות

37 לומדים אפשר לראות את סוג ההשתנות )קבועה או לא-קבועה( כאשר הנתונים מופיעים בטבלה. בוחרים הפרש קבוע בין הערכים של הטווח, ובודקים אם ההפרש בין הערכים המתאימים של התחום קבוע או לא. כלומר בודקים אם קצב ההשתנות הוא אחיד או לא-אחיד. דוגמאות: הפרש הפרש הפרש g() הפרש הפרש הפרש הפרש הפרש הפרש f() הפרש הפרש הפרש השתנות קבועה השתנות קבועה הפרש הפרש הפרש k() הפרש הפרש הפרש השתנות לא-קבועה הפרש הפרש הפרש h() 7 7 השתנות לא-קבועה הפרש הפרש הפרש משימות ב g() - - א f() 9 טבלאות הערכים שלפניכם מייצגות פונקציות. א איזו מבין הטבלאות מייצגת פונקציה בעלת השתנות קבועה? איזו מבין הטבלאות מייצגת פונקציה בעלת השתנות שאינה קבועה? נמקו את תשובתכם. ב סרטטו את הגרפים של הפונקציות לפי הערכים שבטבלאות. היכן קיבלתם קו ישר? 9 השלימו בנספח את הטבלאות, כך שבטבלה א' תהיה ההשתנות קבועה, ובטבלה ב' תהיה ההשתנות לא-קבועה טבלה א' טבלה ב'. פונקציות

38 השלימו בנספח את הטבלאות, כך שבטבלה א' תהיה ההשתנות קבועה, ובטבלה ב' תהיה ההשתנות לא-קבועה. 7 טבלה א' טבלה ב' טבלאות הערכים שלפניכם מייצגות פונקציות. מצאו אילו טבלאות מייצגות פונקציה בעלת השתנות קבועה, ואילו טבלאות מייצגות פונקציה בעלת השתנות שאינה קבועה. ד ג ב א k() h() g() f() מיכל והדס מחממות עוף שלם לארוחת הצהריים. העוף בטמפרטורה של º- )טמפרטורת המקפיא(, והן רוצות לחמם אותו לטמפרטורה של º. לרשותן עומדים תנור אפייה ומיקרוגל. זמן החימום בשני אמצעי החימום זהה: דקות, אך קצב החימום שונה. במיקרוגל קצב החימום של האוכל קבוע, ובתנור אפייה ההפרש בין הטמפרטורה של התנור לבין הטמפרטורה של האוכל משפיע על קצב החימום, ולכן הוא משתנה. בסרטוט שלפניכם מתואר הקשר בין זמן החימום לבין הטמפרטורה של העוף בכל אחד מאמצעי החימום. א מהו הגרף המתאים לכל אחד מאמצעי החימום? נמקו את תשובתכם. ב בכמה מעלות מתחמם העוף במיקרוגל במשך חמש דקות? בכמה מעלות הוא מתחמם בדקה? ג בכמה מעלות מתחמם העוף בתנור במשך דקות? בכמה מעלות מתחמם העוף בתנור בממוצע בדקה? ד מהו ההפרש בין טמפרטורת העוף בתנור לבין הטמפרטורה שלו במיקרוגל לאחר חמש דקות חימום? ולאחר דקות חימום? זמן בדקות טמפ' במעלות 7 O - - ı ıı 7. פונקציות

39 המעלית מקולקלת! לפניכם ארבעה גרפים המייצגים את העלייה במדרגות של ארבעה אנשים באותו בניין. הראשון עולה את כל המדרגות בקצב קבוע, השני עולה בריצה בתחילה ומתעייף לאחר כמה דקות, השלישי עולה בקצב קבוע ומפסיק למנוחה קצרה באמצע, והרביעי הוא זקן הזקוק למספר מנוחות. איזה גרף מתאים לכל אחד מהאנשים? ד ג ב א 7 7 לפניכם חמישה כלים, כולם באותו הגובה. A B C D E מניחים כל כלי מתחת לברז שהמים זורמים ממנו בקצב אחיד. כל כלי מתמלא בשש דקות בדיוק. א שני הגרפים שמשמאל מייצגים את שינוי גובה המים כפונקציה של הזמן בשניים מהכלים. מהם הכלים? בנסו לתאר כיצד ישתנה גובה המים בכל כלי עם הזמן. מתי יהיה השינוי מהיר, ומתי אטי? באיזה כלי ישתנה גובה המים בקצב אחיד? גארבעה מהגרפים שלפניכם מייצגים נכונה את זמן בדקות השתנות גובה המים כפונקציה של הזמן בארבעה מן הכלים. התאימו את הגרפים לכלים שהם מייצגים. הסבירו מדוע הגרף הנותר אינו מתאים, ותקנו אותו כך שיתאים לכלי שנותר. גובה המים גרף א' גובה המים גרף ב' גובה המים גרף ג' גובה המים זמן בדקות זמן בדקות זמן בדקות גרף ד' גובה המים גרף ה' גובה המים זמן בדקות זמן בדקות. פונקציות

40 ד.. פונקציה עולה ופונקציה יורדת מגלים יוסי ודוד השתתפו בתחרות עפיפונים. הגרף שלפניכם מייצג את שינוי גובה העפיפון שלהם עם הזמן. גובה במטרים זמן בדקות א האם הגרף מתאר פונקציה? אם כן, מהו התחום, ומהו הטווח? ב תארו על-פי הגרף את תנועת העפיפון. גבשתי הדקות הראשונות עלה העפיפון, לפתע ירד מעט ושוב עלה. האם אפשר לראות זאת בגרף? כיצד? ד מה קרה לעפיפון בין הדקה השישית לבין הדקה ה-? נמקו את תשובתכם על-פי הגרף. ה מה קרה לעפיפון בין הדקה ה- לבין הדקה ה- 7? ו האם אפשר לראות על-פי הגרף, מתי העפיפון עולה? מתי העפיפון יורד? ומתי הוא נשאר באותו הגובה? ז טבלת הערכים שלפניכם מתאימה לגרף. האם אפשר לראות בטבלה מתי העפיפון עולה? מתי העפיפון יורד? ומתי הוא נשאר באותו הגובה? 7 - זמן בדקות - גובה במטרים ח לפניכם ייצוג נוסף של תנועת העפיפון בטבלה חזותית. האם אפשר לראות בייצוג החדש את תנועת העפיפון? 7 ט בין אילו קטעי זמן העפיפון עלה? בין אילו קטעי זמן העפיפון ירד? בין אילו קטעי זמן העפיפון לא עלה ולא ירד? באיזה מהייצוגים השתמשתם כדי לענות על השאלה? י. פונקציות

41 לומדים אומרים שפונקציה עולה בתחום נתון על ציר ה-, אם ערכי ה- בקטע זה וערכי ה- המתאימים מתנהגים באותה צורה: כאשר הערכים של התחום )( גדלים, גם הערכים של גדלים; וכאשר הערכים של קט נים, גם הערכים של קט נים. דוגמה: נסמן באות f את הפונקציה המייצגת את גובה העפיפון לפי הזמן. הפונקציה f עולה בין ל-. אפשר לכתוב את תחום העלייה גם כך: כלומר ערכי ה-, < < מתחילים ב- ומסתיימים ב-. גובה במטרים f() הפונקציה f עולה גם בין ל-. זמן בדקות אומרים שפונקציה יורדת בתחום נתון, אם ערכי ה- בקטע זה וערכי ה- המתאימים אינם מתנהגים באותה צורה: כאשר הערכים של גדלים, הערכים של קט נים, ולהפך. דוגמה: גובה במטרים f() הפונקציה f יורדת בין ל-. הפונקציה f יורדת גם בין ל-. 7 זמן בדקות אם בקטע ערך של משתנה, אך ערך ה- המתאים לכל נשאר קבוע, אומרים שהפונקציה קבועה בקטע זה. בדוגמה, הפונקציה f קבועה בין ל-.. פונקציות 7

42 f(b) f(a) a b במילים אחרות, פונקציה עולה בקטע, אם מתקיים התנאי: בכל שני ערכים של המשתנה בקטע מסוים, דוגמה: אם. f(a) < f(b) a < b הפונקציה f המיוצגת כאן עולה. f(a) f(b) a b פונקציה יורדת בקטע אם מתקיים התנאי: בכל שני ערכים של המשתנה בקטע מסוים, דוגמה: אם. f(a) < f(b) a < b הפונקציה f המיוצגת כאן יורדת. אפשר לראות את ההשתנות של פונקציה בעזרת טבלה וחצים. דוגמה: בגרף שלפניכם מתוארת פונקציה. בתחומים OM ו- NP בתחומים MN ו- RF בתחום PR הפונקציה קבועה. הפונקציה עולה. הפונקציה יורדת. O M N P R F אפשר לסכם זאת על-ידי טבלה חזותית. O M N P R F. פונקציות

43 משימות התבוננו בגרף, וענו על השאלות. א באיזה תחום הפונקציה עולה? ב באיזה תחום הפונקציה יורדת? ג באיזה תחום הפונקציה קבועה? 7 בגרף שלפניכם מתוארת השתנות של טמפרטורה במשך יממה. אבין אילו שעות עלתה הטמפרטורה, ובין אילו שעות ירדה הטמפרטורה? בבאילו קטעים הגרף עולה, ובאילו קטעים הגרף יורד? טמפרטורה )מעלות צלסיוס( 77 זמן )שעות( חצות זכרו! הקטעים נמצאים על ציר ה-. לפניכם גרף של פונקציה. תארו את הפונקציה על-ידי טבלה וחצים. 7. פונקציות 9

44 בגרף שלפניכם מתואר מעוף של נדידת להקת ציפורים. הגרף מייצג את גובה הציפורים מעל הקרקע מזמן מעופן בבוקר ועד לחנייתן לקראת ערב. אבאילו קטעי זמן הגרף עולה, ובאילו קטעי זמן הגרף יורד? בבאיזה פרק זמן הגרף אינו עולה ואינו יורד )כמעט קבוע(? גובה במטרים יוסי אומר: "כאשר הערכים של התחום קט נים וגם הערכים של הטווח קט נים, זוהי פונקציה יורדת." מיכאל אומר: "כאשר הערכים של התחום קט נים וגם הערכים של הטווח קט נים, זוהי פונקציה עולה." מי צודק? 7 f() הטבלה שלפניכם מייצגת פונקציה. באיזה תחום הפונקציה עולה? באיזה תחום הפונקציה יורדת? נמקו את תשובותיכם ללא סרטוט. בדקו איזו טבלה מייצגת פונקציה עולה, איזו טבלה מייצגת פונקציה יורדת, ואיזו טבלה מייצגת פונקציה קבועה. א ב ג k() g() f(). פונקציות

45 לפניכם ייצוג של פונקציה. k() א ציירו פונקציה אפשרית מתאימה. ב האם קיימת אפשרות נוספת? ג בכמה נקודות הגרף שלכם חותך את ציר ה-? בגרף שלפניכם סיכמו את כמויות הגשם שנמדדו בירושלים בשנים 7. - )המקור: השירות המטאורולוגי.( גשם )מ"מ( הממוצע הרב שנתי שנים א באילו קטעי זמן עלתה כמות המשקעים? ב באילו קטעי זמן ירדה כמות המשקעים? ג מה משמעות הקו המקווקו? לשם מה מסמנים אותו? ד באילו שנים הייתה כמות המשקעים מעל הממוצע הרב-שנתי? ה באילו שנים הייתה כמות המשקעים מתחת לממוצע הרב-שנתי? ו באילו שנים הייתה כמות המשקעים שווה לממוצע הרב-שנתי?. פונקציות

46 קריאת נתונים בגרף מיומנויות מחיר ) ( אפשר לקרוא בגרף נתונים רבים אודות תופעה שהוא מייצג. דוגמה: בגרף שלפניכם מיוצג תשלום תמורת נסיעה במונית. תחילה בודקים מה מייצגים הצירים, ואיך מיוצגת היחידה בכל ציר. הציר האופקי )ציר ה- ( מייצג את אורך הנסיעה בקילומטר )המרחק(: כל משבצת מייצגת חמישה קילומטרים. הציר האנכי )ציר ה- ( מייצג את המחיר: כל משבצת מייצגת עשרה שקלים. כדי לדעת מהו התשלום תמורת נסיעה מסוימת בוחרים את מרחק הנסיעה בציר האופקי )המרחק(; O מרחק )ק"מ( מסרטטים אנך מהמרחק שנבחר עד החיתוך עם הגרף; מנקודת החיתוך עם הגרף מסרטטים אנך לציר האנכי )המחיר(; בודקים לאיזה מספר על הציר האנכי הגיע האנך. זוהי התשובה לשאלה. דוגמה: תמורת נסיעה של קילומטר משלמים. 9 כדי לדעת איזה מרחק אפשר לעבור במחיר מסוים בוחרים את המחיר בציר האנכי; מסרטטים אנך מהמחיר שנבחר עד החיתוך עם הגרף; מנקודת החיתוך עם הגרף מסרטטים אנך לציר האופקי )המרחק(; בודקים לאיזה מספר על הציר האופקי הגיע האנך. זוהי התשובה לשאלה. דוגמה: במחיר של אפשר לעבור מרחק של ק"מ. הערה: רואים על הגרף, שהמחיר ההתחלתי של כל נסיעה הוא, כי ב- קילומטר משלמים.. פונקציות

47 מיומנויות ייצוג בעיות תנועה על גרף אפשר לתאר על אותו גרף תנועות של שני נוסעים לפי נתונים. דוגמה: המרחק בין חיפה לירושלים הוא ק"מ. בשעה שירה יוצאת במכונית מחיפה לירושלים במהירות קבועה של ק"מ לשעה. באותה שעה נעמה יוצאת במכונית מירושלים לחיפה במהירות קבועה של ק"מ לשעה. כעבור כמה זמן בערך הן ייפגשו? כעת נייצג את התנועה של הבנות בעזרת גרף. מייצגים על הציר האופקי את הזמן, ועל הציר האנכי את המרחק מירושלים. קובעים את קטע היחידה על כל ציר. מסרטטים את הגרפים שמייצגים את התנועה של כל אחת: נקודת ההתחלה של הגרף של נעמה היא ), (; נקודת ההתחלה של הגרף של שירה היא ), (; מסמנים במערכת הצירים את המיקום של כל אחת כעבור שעה וכעבור שעתיים; לכל גרף מעבירים קטע דרך שתי הנקודות, שקצהו האחד במרחק במרחק ק"מ. ק"מ, וקצהו האחר נקודת המפגש של שני הגרפים היא בנקודה ששיעוריה הם בערך: )קצת אחרי השעה, קילומטר 9(, לכן הן ייפגשו כעבור קצת יותר משעה. מרחק מירושלים חיפה זמן ירושלים. פונקציות

48 מוכנים להמשיך? אריאל כותב במשך שלוש דקות בקצב של מילים בדקה. הוא נח שתי דקות וממשיך לכתוב במשך שלוש דקות נוספות בקצב של מילים בדקה. איזה גרף מייצג את מספר המילים הכתובות כפונקציה של הזמן? א מילים ב ג מילים מילים O O O דקות דקות דקות בגרף שלפניכם מיוצג הקשר. = f(). f אמהו?f(-)?f((?f(-)?f(( במהם השיעורים של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-? גבכמה נקודות בגרף =,?? =,? = 9 ד מהם השיעורים של הנקודות שמצאתם בסעיף ג'? הבכמה נקודות בגרף =? ומהם השיעורים של הנקודות שמצאתם? זמהו הערך הגדול ביותר של? והקטן ביותר? חמהו הערך הגדול ביותר של? והקטן ביותר? מה משותף לכל הערכים של? טהאם הגרף הוא גרף של פונקציה? נתון + n. f(n) = האם מיוצגת כאן פונקציה? )האות n מייצגת מספר טבעי.(. פונקציות

49 מוכנים להמשיך? הפונקציה f() עונה על כל התנאים האלה: הגרף יורד בין - = ו- - = ; הגרף עולה בין - = ו- = ; ערך הגרף קבוע בין = ו- = ; הגרף יורד בין = ו- =. בכל סעיף קבעו אם האי שוויון נכון, לא-נכון או אי-אפשר לדעת. א( f(- f() > ב( f(- f(-) > ג( f( f() = ד( f( f() > ה( f(7 f() > ו( f( f(-) > לפניכם שלושה תיאורים ושלושה גרפים המייצגים את גובה המעוף של ציפורים נודדות כפונקציה של הזמן. התאימו בין כל תיאור לגרף המייצג אותו. )"מנוחה במעוף", - הציפור נשארת בזמן המנוחה באותו גובה.( א המעוף מתואר כפונקציה עולה ובעלת השתנות קבועה ולאחריה מנוחה בגובה של מטר. ב המעוף התחיל בגובה של מטר והמשיך בהשתנות בלתי-קבועה. גהמעוף התחיל בעלייה קבועה, ולאחר מנוחה קצרה הייתה שוב עלייה קבועה, אך מתונה יותר מזו שלפני המנוחה. גובה במטרים גובה במטרים גובה במטרים C B זמן זמן זמן A. פונקציות

50 גרפים תרגילים נוספים בגרף שלפניכם מתואר קשר בין מספרים. אהאם הגרף עובר דרך ראשית הצירים? בתארו את הגרף במילים. גבאילו נקודות הגרף משנה כיוון? דבין אילו נקודות הגרף יורד? הערך ה- הוא. מהו ערך ה-? וערך ה- הוא -. מהו ערך ה-? זערך ה- הוא. מהו ערך ה-? חערך ה- הוא. מהו ערך ה-? כמה תשובות יש לשאלה זו? טערך ה- הוא -. מהו ערך ה-? כמה תשובות יש לשאלה זו? יערך ה- הוא -. מהו בערך ערך ה-? כמה תשובות יש לשאלה זו? י אערך ה- הוא. מהו בערך ערך ה-? כמה תשובות יש לשאלה זו? לפניכם גרפים של שני קשרים, המסורטטים באותה מערכת צירים. גרף אחד הוא קו ישר, וגרף אחד הוא קו עקום. אהתבוננו בקו הישר. מהם השיעורים של נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-? מהם השיעורים של נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-? בהתבוננו בקו העקום, ומצאו את הערכים החסרים בטבלה. )אם הערך אינו מדויק, מצאו את הערך השלם הקרוב ביותר.( -7? -??????. פונקציות גמהם בערך השיעורים של הנקודות המשותפות לשני הקווים? דבין אילו ערכים של בערך הקו העקום נמצא מעל הקו הישר? ה בין אילו ערכים של בערך הקו הישר נמצא מעל הקו העקום?

51 תרגילים נוספים פועל החל למלא מים בשני מכלים. בתחילת הפעולה היה מכל א' ריק, ובמכל ב' היו ליטר מים. בטבלה שלפניכם מתוארת כמות המים בכל אחד מהמכלים בזמן שחלף מאז פתיחת הברזים ועד לסגירתם. 7 הזמן בדקות 7 9 כמות המים בליטרים במכל א' 9 7 כמות המים בליטרים במכל ב' התבוננו בטבלה, וענו על השאלות. אבאיזו דקה סגר הפועל את הברז של מכל א', ובאיזו דקה סגר הפועל את הברז של מכל ב'? ב מהי כמות המים הסופית בכל אחד מהמכלים? ג כמה מים יוצאים בממוצע בכל דקה מהברז הממלא את מכל א'? )זהירות! חשבו על התשובה של סעיף א'.( ד כמה מים יוצאים בממוצע בכל דקה מהברז הממלא את מכל ב'? )זהירות! חשבו על התשובה של סעיף א'.( ה באיזה מכל היה המילוי מהיר יותר? נמקו את תשובתכם. השתמשו בנתונים משאלה. 7 א סרטטו באותה מערכת צירים גרף המייצג את כמות המים במכל א' במשך הדקות, וגרף המייצג את כמות המים במכל ב' באותן דקות. ב בין איזו דקה לאיזו דקה נמצא גרף א' מעל גרף ב', ובין איזו דקה לאיזו דקה נמצא גרף ב' מעל גרף א'? ג איך נראים שני הגרפים בין הדקות ו-? ד לפי הנתונים שבטבלה, באיזו דקה כמות המים בשני המכלים שווה? מה קורה לגרפים בדקה ה-? שרה הלכה במהירות קבועה מביתה למכולת. לאחר שעברה מחצית מהדרך, נזכרה כי שכחה את הארנק בבית. היא חזרה הביתה באותה מהירות, לקחה את הארנק והלכה למכולת באותה מהירות. א מהו התחום ומהו הטווח לתיאור המרחק של שרה לאורך הזמן? ב סרטטו גרף לתיאור מרחקה של שרה מהבית לאורך הזמן. 9 ייצוגים הזוגות הסדורים שלפניכם מייצגים את הנקודות: ),A(,.E(-.,-7),D(, ),C(-, -),B(, ) אסמנו את הנקודות במערכת צירים. ב חברו את הנקודות בקו. מה התקבל? גהאם הקו שהתקבל מייצג פונקציה? מדוע? 9. פונקציות 7

52 תרגילים נוספים g() ?..? בטבלה שלפניכם מתואר קשר g בין שני משתנים. א כתבו ביטוי אלגברי המתאים ל-. g a? ב מהו הערך של )(g? ג = )?(g. מהו המספר החסר? 9 9 בכל סעיף בדקו אם הקשר המיוצג בטבלה הוא פונקציה, ונמקו את קביעתכם. - k() ד - h() ג - g() ב - f() א שנו את הנתונים בטבלאות שאינן מייצגות פונקציה, כך שיהפכו לטבלאות המייצגות פונקציה. 9 משה ממלא ברכת מים בברז המזרים מ"ק מים בכל שעה. הוא התחיל למלא את הברכה כאשר היו בה כבר מ"ק מים. האות t מייצגת את מספר השעות שהברז פתוח. משה תיאר את מילוי הברכה בעזרת ביטוי אלגברי כך:. g(t) = + t א האם הביטוי האלגברי מתאר פונקציה? נמקו את תשובתכם. ב מהי כמות המים בברכה כעבור חמש שעות? הפונקציות שלהלן מתוארות באמצעות ביטוי אלגברי. g() = +, f() = + בחרו חמישה מספרים שלמים כערכים של המשתנה החופשי, ותארו את הפונקציות באמצעות טבלה או באמצעות דיאגרמת חצים. 9 ( + ). f() = לפניכם ביטוי אלגברי המייצג את הפונקציה: א מצאו את הערכים של ()f, של ()f, של (7)f ושל ()f. ב חשבו את הערך של כאשר = f(). ג מצאו את הערכים של ()f, של ()f, של ()f ושל (-)f. 9. פונקציות

53 תרגילים נוספים התבוננו בגרף של h(), וענו על השאלות. אתארו את הגרף במילים. במהו הערך הגדול ביותר של? גמהו הערך הקטן ביותר של? דמהו הערך הגדול ביותר של? המהו הערך הקטן ביותר של? והאם הגרף h() מתאר פונקציה? נמקו את תשובתכם. זאם שני ערכים של הם מספרים נגדיים, מה אפשר לומר על הערכים המתאימים של? 9 97 א סרטטו קו המתאר קשר שהוא פונקציה. הסבירו מדוע הוא מתאר פונקציה. ב סרטטו קו המתאר קשר שאינו פונקציה. ג סרטטו גרף של נקודות נפרדות, המתאר קשר שהוא פונקציה. ד סרטטו גרף של נקודות נפרדות, המתאר קשר שאינו פונקציה.. f מייצג את הפונקציה f)( = הביטוי האלגברי א חשבו את הערכים: f(). f(), f(-), f(), 9 ב כתבו חמישה זוגות סדורים המייצגים נקודות על הגרף של f)(. ג בלי לצייר את הגרף, קבעו אם הגרף עובר דרך ראשית הצירים. הסבירו את קביעתכם. 99 בטבלה שלפניכם מתואר קשר h() בין מספרים טבעיים. 9? 7 h() אתארו במילים את הקשר המתואר בטבלה בין מספר טבעי לבין הערך המתאים לו. ב לפניכם שני צירי מספרים. הציגו בנספח את הקשר h() בעזרת חצים h() ג תארו את הקשר במערכת צירים. ד האם הקשר h() הוא פונקציה?. פונקציות 9

54 ממשיכים בתרגול א הציגו פונקציה על-ידי דיאגרמת חצים. ב הציגו קשר שאינו פונקציה, על-ידי דיאגרמת חצים. בקשר s(n) מותאם לכל מספר טבעי המספר העוקב למכפלתו ב-. א כתבו ביטוי אלגברי לקשר הזה. ב מה הערך של ()s? מה הערך של ()s? גבלי לצייר את הגרף, מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם הציר האנכי. לפניכם תיאורים מילוליים של פונקציות. בכל סעיף קבעו אם התיאור מייצג השתנות קבועה או לא-קבועה. אמחיר התפוזים ומשקלם בק"ג ד היקף ריבוע ואורך צלעו ה שטח ריבוע ואורך צלעו ב גילו של אדם וגובהו ו היקף מעגל ואורך הרדיוס שלו ג משקלו של אדם וגובהו אלעד שוחה בברכה ארבע פעמים ברציפות. אורך הברכה מטר. זמן השחייה אינו נתון, אך ידוע שאלעד מתעייף ולכן שוחה לאט יותר ככל שהזמן עובר. סרטטו גרף המייצג את מרחקו של אלעד מנקודת ההתחלה במשך זמן השחייה. אבי ומשה מתחרים ביניהם בשחייה. הם מתחרים לאורך הברכה ארבע פעמים ברציפות. בפעם הראשונה ה שיג אבי את משה, בפעם השנייה ובפעם השלישית ה שיג משה את אבי. הם סיימו יחד. א סרטטו באותה מערכת צירים גרפים המייצגים את מרחקם של משה ושל אבי מנקודת ההתחלה במשך זמן השחייה. ב סרטטו באותה מערכת צירים גרפים המייצגים את מהירותם של השחיינים במשך זמן השחייה. ג סרטטו גרפים המייצגים את מידת עייפותם של השחיינים במשך זמן השחייה. ד סרטטו גרפים המייצגים את מצב רוחם של השחיינים במשך זמן השחייה. מכונית נוסעת מירושלים למטולה במהירות קבועה של קמ"ש. הביטוי האלגברי h)t) = t מתאר את המרחק שעוברת מכונית ב- t שעות. כלומר מתאימים לכל מספר שעות את המרחק שהמכונית עוברת בזמן זה. א האם הביטוי האלגברי מייצג פונקציה? נמקו את תשובתכם. ב מהו ערך הפונקציה כאשר = t? ג המרחק בין ירושלים למטולה הוא ק"מ. כמה זמן תארך הנסיעה?. פונקציות

55 ממשיכים בתרגול לפניכם סדרת ציורים. ציור ציור ציור ציור א כתבו ביטוי אלגברי למספר הקטעים בכל ציור כפונקציה h של מספר הציור n. ב האם הקשר h(n) הוא פונקציה? ג ציירו גרף המתאים ל-.h(n) לפניכם גרפים. בחרו שניים מהם. קבעו כרצונכם מה מייצג כל ציר, ותארו את הגרף במילים. דוגמה: 7 "ציר ה- מייצג זמן, ציר ה- מייצג מרחק. בגרף מתואר איש ישן על מיטתו. האיש נמצא בגובה קבוע מהרצפה, והוא נשאר במקומו לאורך כל השינה." גרף א' גרף ב' גרף ג' גרף ד' גרף ה' גרף ו'. פונקציות

56 ממשיכים בתרגול תלמידי כיתה ז' מבית הספר "ארזים" מארגנים הופעה שהרווח ממנה יוקדש לטיול השנתי. ועד הכיתה מעוניין לפרסם את ההופעה ברדיו המקומי, והוא שוקל מהו סכום הכסף שיוקדש לפרסום. ידוע כי עד גבול מסוים, ככל שגדל מספר שידורי הפרסומת, כך יגיעו יותר אנשים, וההכנסות ממכירת הכרטיסים יגדל ו. לעומת זאת ככל שגדל מספר השידורים, גדלות גם ההוצאות. מחירו של שידור פרסומת אחד הוא שקלים. לפניכם שני גרפים. בגרף אחד מתואר הקשר בין מספר שידורי הפרסומת לבין ההכנסות ממכירת הכרטיסים. בגרף אחד מתואר הקשר בין מספר שידורי הפרסומת לבין הוצאות בגין הפרסום. המשתנה החופשי הוא מספר הפרסומים. א הציגו על מערכת צירים את הנקודה המייצגת את העלות של חמישה עשר שידורים. ב קבעו מה מייצג כל אחד מהגרפים. שקלים גרף A גרף B מספר שידורי הפרסומות ג האם שידורי הפרסומת השפיעו מיד על ההכנסות ממכירת הכרטיסים? לאחר כמה שידורים בערך החלו ההכנסות ממכירת הכרטיסים לעלות? ד מה היה הרווח )ההפרש בין הכנסות להוצאות( לאחר שידורי פרסומת? ה אם נבנה גרף לתיאור הרווחים בהתאם לשידורי הפרסומת, איזה מבין הגרפים שלפניכם יתאים? הסבירו מדוע כל גרף מתאים או לא-מתאים. גרף א' הרווח בשקלים גרף ב' הרווח בשקלים גרף ג' הרווח בשקלים מספר שידורי הפרסומות מספר שידורי הפרסומות מספר שידורי הפרסומות. פונקציות

57 ממשיכים בתרגול לפניכם לוח "סודוקו" ריק. עליכם להכניס בו מספרים לפי ההוראות. לאחר מכן תוכלו לפתור אותו לפי הכללים הידועים: יש להכניס כל אחד מהמספרים מ- עד 9 פעם אחת בכל שורה, בכל טור ובכל ריבוע של תאים ייצוג הפונקציה f A B C D E F G H I הוראות למילוי הלוח: יש למלא את תאי הלוח בעזרת הייצוג של הפונקציה. f מתייחסים רק לנקודות שהן נקודות של הרשת. )השיעורים הם מספרים שלמים.( דוגמה: f(-) = E = F7 = G = )-) f, לכן מ ציבים בתאים G,E ו- F7 את המספר. א C: D, I, G, הערך החיובי הראשון של שהפונקציה מתאפסת בו. ב f() = A = B = E9 = H ג f(9) = C = I = H ד - = f(c9) f(a) = f(e) = f(i7) = f(g) = ה :A = H = I = E = G ערך ה- הגדול ביותר, כך ש- f(( שווה. ו :B = A7 = G9 = E = D = C הערך השני החיובי של שהפונקציה מתאפסת בו. ז. f() = A = C7 ח. f() = F = B = I = H7. פונקציות

58 מה למדנו? כדי לחקור תופעות שיש בהן שני גדלים )משתנים( שיש קשר ביניהם, חשוב לק בוע אם אחד מהגדלים (, ) )טווח, תחום( משפיע על הגודל האחר. הגודל המשפיע יהיה איבר בתחום, והגודל המושפע יהיה איבר בטווח.. ואת הטווח על ציר ה- בגרף נהוג לסמן את התחום על ציר ה- אפשר לתאר קשר בין קבוצות מספרים בעזרת זוגות סדורים. בכל זוג סדור השיעור הראשון )משמאל( הוא בתחום, והשיעור השני )מימין( הוא בטווח.. g, f, s אפשר לתת שם לקשר בין שני משתנים בעזרת אותיות לטיניות קטנות, כגון. f הוא נקודה על הגרף של הקשר,( ) מציין שהזוג הסדור = f() הביטוי אפשר לתאר קשר בעזרת ייצוגים שונים. בפרק זה עסקנו בייצוגים: טבלה, דיאגרמת חצים, ציר מספרים, ביטוי אלגברי, ייצוג מילולי וגרף. קבוצת הערכים של המשתנה החופשי המתאימים לתופעה, נקראת תחום ההגדרה. אפשר לזהות אם קשר הוא פונקציה או לא-פונקציה, בעזרת ייצוגים שונים של הקשר )גרף, טבלה, דיאגרמת חצים או ביטוי אלגברי(. השתנות של פונקציה יכולה להיות קבועה או לא-קבועה: כאשר להפרשים שווים של המשתנה החופשי מתאימים תמיד הפרשים שווים של המשתנה התלוי, הפונקציה היא בעלת השתנות קבועה; כאשר להפרשים שווים של המשתנה החופשי מתאימים הפרשים שונים של המשתנה התלוי, הפונקציה היא בעלת השתנות שאינה קבועה. f(b) f(a) אומרים שפונקציה עולה בקטע, אם ערכי ה- בקטע זה וערכי ה- המתאימים מתנהגים באותה צורה: כאשר הערכים של המשתנה החופשי )( גדלים, גם הערכים של המשתנה התלוי () גדלים. a b f(a) f(b) a b אומרים שפונקציה יורדת בקטע, אם ערכי ה- בקטע זה וערכי ה- המתאימים אינם מתנהגים באותה צורה: כאשר הערכים של המשתנה החופשי )( גדלים, הערכים של המשתנה התלוי )( קט נים, או כאשר הערכים של המשתנה החופשי קט נים, הערכים של המשתנה התלוי גדלים.. פונקציות. שבקטע מתאים אותו ערך של אומרים שפונקציה קבועה בקטע, אם לכל ערכי

59 העמקה לפניכם התחלה של סדרת ציורים של גופים המורכבים מקוביות. ציור ציור ציור ציור א מהו הקשר בין מספר ה"קומות" בגוף לבין מספר הציור? ב מהו הקשר בין מספר הקוביות בשכבה לבין מספר הקוביות בשכבה שמתחתיה? ג למספר הקוביות בכל שכבה תכונה משותפת. מהי התכונה? ד ממשיכים את הסדרה. תארו במילים את הגוף החמישי בסדרה. כמה קוביות יהיו בגוף זה? ה בנו טבלה לתיאור הקשר בין מספר הציור לבין מספר הקוביות בשכבה התחתונה בגוף המצויר. )מלאו בטבלה את נתוני הציורים.( ו אם n מייצגת את מספר הציור, מהו הביטוי האלגברי המתאר את מספר הקוביות בשכבה התחתונה בגוף המצויר? )רמז: = =, + = 7, + ) + ז אפשר לתאר את מספר הקוביות בגוף ה- n על-ידי הביטוי )) (n (n מצאו ביטוי אלגברי נוסף לייצוג מספר הקוביות בגוף ה- n בעזרת הרמזים באיורים שלפניכם. ציור ציור ציור ציור ח בנו גרף לתיאור הקשר f(n) בין מספר הציור n לבין מספר הקוביות בגוף. ו דאו שבניתם גרף נכון, בעזרת הנתונים האלה: = ()f ()f. =, ט לפי החישוב שלכם, כמה קומות יהיו בגוף מספר? ובגוף מספר? י לפי חקירה זו, מהו הסכום של תשעת המספרים האי-זוגיים הראשונים?? = 7 + 9? בדקו את תשובתכם על-ידי חישוב. נתון קשר בין מספרים טבעיים f(n) : אם המספר n הוא מספר זוגי, n. f(n) = (n ). f(n) = אם המספר n הוא מספר אי-זוגי, הערכים של n הם המספרים הטבעיים מ- עד. א כתבו טבלת ערכים לתיאור הקשר. f ב סרטטו את הגרף של. f האם חיברתם בין הנקודות? נמקו את החלטתכם. ג האם הקשר f(n) הוא פונקציה?. פונקציות

60 7 9 היסטוריה רנה דקרט ומערכת הצירים )9 ( - רנה דקרט Descartes( )René היה פילוסוף ומתמטיקאי צרפתי. גם בשכבו במיטה לא הפסיק מוחו להגות במתמטיקה. על-פי האגדה, באחד הימים, כאשר ראה זבוב על התקרה, תהה דקרט כיצד יוכל להגדיר בדיוק את מיקומו של הזבוב. הפת רון המבורך שהגה היה מערכת צירים הנקראת עד היום על שמו: "מערכת הצירים הקרטזית". המצאה זו השפיעה רבות על התפתחות המתמטיקה המודרנית. בספרו "הגאומטריה" Géométrie( )La העלה דקרט את הרעיון שכל זוג מספרים יכול לייצג נקודה מסוימת במישור, ולהפך. מערכת הצירים הקרטזית מורכבת ממישור שיש בו שני ישרים מאונכים זה לזה, אותם אנו מכנים "צירים". מקובל לקרוא להם "ציר ה- " ו"ציר ה- ". המספר הראשון מבין שני המספרים המגדירים את הנקודה מציין מרחק הנמדד אופקית על ציר ה-, ואילו המספר השני מציין מרחק הנמדד אנכית על ציר ה-. נדגים את הרעיון באמצעות הצגת נקודה אשר נמצאת במרחק 7 יחידות מציר ה- ובמרחק יחידות מציר ה-. על התשתית הזאת בנה דקרט שיטה להגדרה של קווים שונים, ישרים ועקומים, ובכך פתח פתח נרחב לחקירה ולהבנה של פונקציות על תכונותיהן השונות. המערכת הקרטזית איננה מוגבלת רק למישור הדו-ממדי. באותה שיטה אפשר לייצג נקודות ופונקציות גם במרחב התלת-ממדי )משתמשים בשלושה צירים, וכל נקודה מיוצגת באמצעות שלושה מספרים( ואף יותר מזה.. פונקציות