Microsoft Word - sol4Infi12011

תמליל

1 אינפי - תרגיל 4 = 5. =, הוכיחו שהסדרה מתכנסת וחשבו את גבולה. +. נתון: תחילה נוכיח שהסדרה חסומה מלרע ע"י (ולאחר מכן ניעזר בעובדה זו על מנת להוכיח מונוטוניות). באינדוקציה: בסיס האינדוקציה: 5 =. + ונראה נכונות עבור +, כלומר: נניח נכונות ל- : וזה וזה שקול ל צריך להוכיח: וזה שקול ל- נובע מהנחת האינדוקציה. כעת נעבור להוכחת מונוטוניות יורדת: + 6. מתקיים שכן מתקיים: + = + יש להראות.[ [כדי לבדוק נכונות של אי השווין האחרון תעשו מכנה משותף והיעזרו בכל ש- הסדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע מתכנסת. נמצא את הגבול שלה: ( + = ומאריתמטיקה של גבולות (והשוויון הנתון lim+ = lim נקבל ש-. = מכיוון ש- (מדוע? חשבו על החסם התחתון) ניתן לצמצם ולקבל =.. 5 = ( +. מצאו את הגבול של הסדרה: (. הסדרה חסומה מלרע על ידי נוכיח תחילה שהסדרה מונוטונית יורדת. = + אפס, הסדרה מתכנסת. נמצא את גבולה: ניעזר ביחס שמצאנו: 5 5 = + = = = + +

2 { + b } },{ b נתון שהסדרה { } נתונות שתי סדרות ו חסומה, ונתון. lim b. lim מצאו את הגבול =. { + b }. > M > lim לכן לכל < M קיים = כך שלכל מתקיים > M >.( + b < R לכל R חסומה נגיד על ידי (כלומר קיים < M כך שלכל R+ M + b < + b < R <. כעת, לכל לכל (,. b,b b < R M > R+ M M + b < + b < R מתקיים (בגלל ש- > M) b < R ( R+ כלומר = M + b מכיוון שסדרה חסומה כפול סדרה ששואפת לאפס שואף לאפס. b = ( + b) b מתקיים + b b = = לפי אריתמטיקה של גבולות. b b b ולסיכום lim = b { } תהי 4. סדרה שאינה חסומה מלעיל. הוכיחו/הפריכו: } { שואפת לאינסוף. הפרכה: ) ( = אינה חסומה מלעיל, אך אינה שואפת לאינסוף. ל{ { יש תת סדרה ששואפת לאינסוף.b M > { } הוכחה: אינה חסומה מלעיל, כלומר לכל קיים כך ש. > M ניקח קיים > M כך ש { } > mx,..., שנקבל תת סדרה > M > נמשיך בתהליך הזה עד k מונוטונית עולה ולא חסומה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף. תהי סדרה חסומה. הוכיחו כי ל-{ { יש בהכרח תת סדרה מונוטונית. { }.5

3 הוכחה: לפי משפט יש ל{ { תת סדרה מתכנסת. לכן מספיק להוכיח שלכל סדרה מתכנסת יש תת סדרה מונוטונית. נניח אינסוף איברים מתוך b b המקיימים נוכיח שקיימת לה תת סדרה מונוטונית. קיימים b > > או שקיימים אינסוף איברים המקיימים b לגבול הסדרה). אם קיימים אינסוף איברים המקיימים או שקיימים אינסוף איברים המקיימים b מונוטונית (הסדרה הקבועה הינה מונוטונית). (זה נכון לכל מספר, לאו דווקא, b נבחר אותם להיות תת סדרה והיא כמובן.b עבור נניח שקיימים אינסוף איברים הגדולים מ, נבחר אחד מהם ונסמן אותו ב < ε = b קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו והלאה כל האיברים מקיימים b < ε לכן בפרט קיים איבר כזה מבין אינסוף האיברים הגדולים מ b, נסמן איבר זה ב בסדרה אחרי.b נסביר מדוע יש מספר אינסופי של איברים בקטע מהגדרת הגבול נובע שמחוץ לכל סביבת אפסילון של של איברים., אם נבחר סופי של איברים. לכן בקרן :( b, ) εאזי = b מחוץ לסביבה הנמצאים יכולים להיות רק מספר סופי ( ε b ), ) (, ) בפרט יש איבר יש רק מספר יש רק מספר סופי של איברים. מצד שני בקרן b, יש אינסוף איברים, על פי ההנחה. יש אינסוף איברים בקטע. בקטע זה שהאינדקס שלו גדול מ-, b.( לכן, ) ε = b > מתקיים b < ε וכך הלאה נגדיר את תת הסדרה b < ε = b. b < b נגדיר { b k } שהיא מונוטונית לפי הבנייה. אם יש אינסוף איברים הקטנים מ ניתן לבנות באופן דומה תת סדרה מונוטונית עולה. הוכחה אחרת (של אדווה סטודנטית משנה שעברה): } { תהי k סדרה. איבר נקרא דומיננטי אם מתקיים דומיננטי אם הוא גדול שווה לכל האיברים הבאים אחריו בסדרה.. > k: k במילים, איבר הינו אם לסדרה יש אינסוף איברים דומיננטים, אז קל לראות שהם מהווים תת סדרה מונוטונית יורדת (הרי כל אחד קטן שווה לקודמיו כי הם דומיננטיים). נניח שלסדרה אין אינסוף איברים דומיננטים, ונבחר איברים דומיננטים כלל. כלומר, לכל > האיבר (מקום בסדרה) כך שלאחריו אין > אינו דומיננטי. נבחר כלשהו,

4 לכן קיים איזה דומיננטי קיים כך ש > > (הרי > אינו דומיננטי). בפרט גם כך > ש לכן > וכך הלאה נבנה תת סדרה מונוטונית עולה. = c>, ונתון + = 6. תהי הסדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה עבור אילו ערכי c הסדרה מונוטונית עולה? יורדת?. רוצים לראות מתי + גדול מאחד או קטן מאחד. + אזי = =. לכן, אם < < >. לכן הסדרה תהא מונוטונית עולה אם כל האיברים > + שלה יהיו קטנים מאחד. אבל קל להראות באינדוקציה שאם >c אזי כל איברי הסדרה קטנים מאחד: נניח < לכן. = < + באופן דומה, ניתן להראות שעבור c הסדרה מונוטונית יורדת. עבור אילו ערכי c הסדרה מתכנסת?.b הסדרה יורדת וחסומה על ידי או עולה וחסומה על ידי מתכנסת תמיד מה גבול הסדרה עבור ערכי c מהסעיף הקודם?.c. lim נסמן + = lim lim לכן לפי שאלה קודמת ביחד מקבלים = לכן = לכן = או =. אם <c אז כל איברי הסדרה גדולים מאחד גבול הסדרה גדול שווה ובפרט אינו אפס. אם c אז הסדרה מונוטונית עולה כל איברי > גבול הסדרה שוב הסדרה גדולים שווים ל c גבול הסדרה גדול שווה ל c אבל c לא יכול להיות אפס. תשובה: לכן גבול הסדרה הינו

5 >, c> = + c + { } תהי סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה ונתון.7 x עבור אילו ערכים של מקיים הסדרה מונוטונית עולה? יורדת? (רמז: נניח (? < x +c, =x מה קורה כאשר x. c+ = = + c + נבדוק מתי הסדרה מונוטונית, אם"ם. נשווה לאפס, לכן ± +. קל לראות שתמיד +c, = פתרונות המשוואה הזו הם + + כלומר < c+ כלומר c= < מתקיים כאשר = x <. < +. שימו לב שבהינתן ספציפי עבורו נמצא בטווח הנ"ל, מתקיים < + כלומר, לא ניתן להסיק מכך באופן מיידי שהסדרה עולה. כן ניתן להסיק מיידית שאם. < ניתן להוכיח באינדוקציה שאם בטווח הנ"ל, אזי מונוטונית עולה. באופן דומה מוכיחים שאם + + > אזי הסדרה < הסדרה מונוטונית יורדת. + + > x< < תשובה: לכן הסדרה מונוטונית עולה אם < x ומונוטונית יורדת אם b. עבור הערכים שמצאת בסעיף הקודם, האם הסדרה מתכנסת? ניתן להראות באינדוקציה שהסדרה חסומה מלעיל אם היא מונוטונית עולה, והיא חסומה מלרע אם היא מונוטונית יורדת. הראנו שאיברי הסדרה יורדים וחסומים מלמטה ע"י x או שהם עולים וחסומים למעלה ע"י x כך או כך הסדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת תמיד. מה גבול הסדרה כאשר היא מתכנסת? האם יכולת לענות על סעיף זה לפני הסעיפים הקודמים?.c lim c+ = c+ לפי שאלה קודמת,. lim אם הסדרה מתכנסת נסמן אבל ± + = אבל מכיוון שאיברי הסדרה אי c+. = lim = lim c+ = לכן שליליים, לא יתכן שהגבול שלילי הגבול הינו =x = (וזה מאד הגיוני בהתחשב בסעיף הראשון הסדרה עלתה לכיוון x או ירדה לכיוונו)

6 האם יכולנו לענות על סעיף זה קודם? כן יכולנו לחשב את הגבול, אך לא יכולנו לקבוע שהוא אכן הגבול, מבלי קודם להוכיח שהסדרה מתכנסת.. הוכיחו > תהי{ { סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה ש-{ { ונתון = + + אינה חסומה. (רמז: הראו שהיא מונוטונית קודם כל)..8 קל להראות באינדוקציה ש לכל מונוטונית עולה. נניח ש{ { לגבול = +. כלשהוא. לכן כלומר הסדרה הייתה חסומה, לכן היא הייתה מונוטונית וחסומה מתכנסת lim+ = = lim( + ) + +. = אבל אין מספר ממשי שמקיים את המשוואה הזו, וזו סתירה לכך שהסדרה מתכנסת, היא אינה חסומה.