אי שוויונים ממעלה ראשונה לארבע יחידות

תמליל

1 אי שיוונים ממעלה ראשונה ל יח"ל. נעמי ברנס/כהן. המחברות: מיטל מתלון/מיכאלי. רטל חדד/בן רחמים

2 הנחיות לשימוש בחוברת "אי שויונים ממעלה ראשונה" לתלמידי יח"ל החוברת מיועדת ללימוד עצמאי למי שלא למד את הנושא. אם למדת כבר את הנושא ואינך שולט בו טוב- נסה לנטוש את הדעות הקדומות על הנושא. קרא בראש פתוח ונסה לקלוט כמה שיותר... אם למדת כבר את הנושא ואתה שולט בו טוב- עזוב, למה לך להסתבך אם צורות הסתכלות שונות על תו החומר. ובתכלס... קרא את החומר כמו שהוא. אחרי שקראת נסה לפתור לבד את תם התרגילים ובדוק את עצמך שאתה מבין את כל השלבים שצריך לעשות. בכל פן החוברת היא חוברת לימוד ולא תרגול. אחרי שלמדת את החוברת קח תרגילים על הנושא ונסה לפתור תם עפ"י ההבנה והשיטות שהחוברת העניקה לך. היה בטוח שאתה מתרגל מכל סוג של שאלות שיש בחוברת. בהצלחה רבה בבחינת הבגרות! ועשה מאמץ למלא את המשוב שבסוף החוברת. אנו רוצים להשתפר לטובת כולם! המחברות: מיטל מתלון נעמי ברנס ורטל חדד.

3 אי שוויונים ממעלה ראשונה לארבע יחידות אי שוויונים דומים למשוות, רק שבמקום סימן ה- = יופיע אחד מהסימנים: >,<,=<,=>. =X זוהי משוואה. <X זהו אי שוויון. בניגוד למשוואה שלה בדר"כ תשובות בודדות, לאי שוויון יש המון תשובות. קיבלנו תשובה אחת. =X ובדוגמא שלנו: =X נחלק ב X> נסביר במילים: שואלים- איזה מספרים אפשר לשים במקום X כך שהתרגיל יהיה נכון? נכון!( <- תשובה: -=X )נציב <-* נכון!( <6- תשובה נוספת: X=- )נציב <-* נכון!( <9- תשובה נוספת: X=- )נציב <-*... שימו לב שבעצם כל מספר שקטן מ- )לא חייב להיות מספר שלם(עושה את אי השוויון <X נכון. ומסמנים זאת כך: ) X> זה מר כל מספר שקטן מ- (. כלל:כאשר מכפילים/ מחלקים את האגפים באי שוויון במספר שלילי סימן אי השוויון יתהפך )< יהפוך ל>, =< יהפוך ל=>(. חוץ מזה, כל הכללים הם בדיוק כמו במשוות. אי שוויונים ממעלה ראשונה הדרך לפתירת אי שוויון: נפתח סוגריים)אם יש(.. נכנס אברים דומים )אם יש(. נעביר אגפים את הביטויים עם X לצד שמאל ואת המספרים לצד ימין.. נכנס אברים דומים )אפשר להוציא את X כגורם משותף אם יש גם פרמטרים כמו a,m וכו'(. בידוד ) Xע"י חלוקה בכופל שלו המכפלה במחלק שלו( 5. דוגמת לתרגילים ופתרונם: דוגמא : X+>X- נעביר אגפים: X-X>-- נכנס אברים דומים: 6-<X סיימנו. זאת מרת: כל מספר שקטן מ 6- גורם לתרגיל להיות נכון. )וכל מספר שגדול שווה ל 6 - גורם לתרגיל להיות לא נכון(. נדגים זאת: נציב =- X : *-+>-- -+>- )->-6( -<6- נכון. נציב X=-5 : *-+5>--5 -+>-7)-5<-6( 7-<6- לא נכון. דוגמא : +X X> )תזכורת: באי שיוויון בעצם שואלים: איזה מספר אפשר לשים במקום X כך שאי השיוויון יהיה נכון?( נעביר אגפים: X-X>- *X>- -< אף פעם לא נכון, לכן לא משנה איזה מספר נשים במקום X, האי שיוויון אף פעם לא נכון! לכן התשובה היא אף X. דוגמא :

4 )X-6( + X ->X -5X+6 נפתח סוגריים: +6-5X 6X-+X - >X נכנס אברים דומים: 6+X-<- 7X נעביר אגפים: 7X+X>+6 נכנס אברים דומים: 9X>7 נבודד את X )נחלק בכופל שלו- ב 9 ( <X דוגמא : X>X+ נעביר אגפים: X-X> נכנס אברים דומים: <X * שימו לב שהכופל שלו הוא! < זה קורה תמיד, לא משנה איזה מספר נשים במקום X, האי שיוויון יהיה נכון! לכן התשובה היא כל.X דוגמא :5 X<=X+ נעביר אגפים: X-X<= נכנס אברים דומים =>X- נבודד את X )נחלק בכופל -( =>X- נשים לב ש - שלילי וחלוקה במספר שלילי הופכת סימן! X>= -\ דוגמא 6: X+ >= X+ נעביר אגפים: X-X>=- נכנס אברים דומים: =< X * שימו לב: במקרה מיוחד זה, שהכופל של X הוא, נחלק את אי השיוויון ל: * X= * X >= > = אף X כל X ובגלל שיש כאן התשובה היא כל X. דוגמא 7: -X >=-X+ נעביר אגפים: X-X=> נכנס אברים דומים: X>=- * נחלק ל דברים: X> * = X * > = כל X אף X ובגלל שיש כאן התשובה היא כל X. דוגמא : X<=X+ נעביר אגפים: => X-X נכנס אברים דומים: => X * נחלק ל : < X * X= * < = אף X אף X והתשובה היא: אף X. תרגילים נוספים לתרגול:בספר מתמטיקה חלק ה'\ בני גורן עמ' 6, שאלות עד.

5 מערכת של אי שיוויונים ממעלה ראשונה: לפני שנדבר על מערכת של אי שיוויונים נסביר: כאשר כתוב <X )כל המספרים שקטנים מ ( נצייר זאת כך: X 5 6 כאשר כתוב >X )כל המספרים שגדולים מ- ( נצייר זאת כך: X 5 6 כאשר כתוב <= X )כל המספרים שקטנים מ ו בעצמו( נצייר זאת כך: 5 6 כאשר כתוב =>X )כל המספרים שגדולים מ ו בעצמו( נצייר זאת כך: )מכאן ואילך לא נקפיד לרשום עוד מספרים על הציר( כאשר כתוב < X < )כל המספרים בין ל לא כולל ו ( נצייר זאת כך: כאשר כתוב < X =< )כל המספרים בין ל כולל ולא כולל ( נצייר זאת כך: כאשר כתוב כל X )כל המספרים( נצייר זאת כך: X כאשר כתוב אף X (שום מספר( נצייר זאת כך: X שימו לב שאין קו בשום מקום. כעת נעבור להסביר איך פותרים מערכת משוות.

6 מערכת "" לדוגמא :>X >X הסבר במילים: איזה מספר אפשר לשים במקום X כך שX< יהיה נכון >X יהיה נכון? תשובה: X= > > תשובה נוספת: X= > <. נשים לב שכל המספרים שגדולים מ )>X ) מקיימים את המערכת. הדרך לפיתרון:. נצייר כל ציר בנפרד.. נצייר ציר משותף כל צד של המערכת נצייר בציר המשותף בגובה שונה.. נמצא תחום משותף.. נתרגם את הציור לתשובה. נפתור: >X >X נצייר כל ציר בנפרד: נצייר ציר משותף: שימו לב שעשינו בגבהים שונים. נמצא תחום משותף: במקרה שלנו התחום המשותף יהיה איפה ששני הקוים נמצאים. תרגום הציור לתשובה: >X שימו לב שזה לא כולל כי ב עצמו יש קו אחד עיגול ריק, אך עיגול ריק מסמן דוקא שאין. תו הדבר למערכת עם כמה -ים <X X< X< )נצייר כל ציר בנפרד( נצייר ציר משותף עם גבהים שונים: נמצא תחום משותף: במקרה שלנו איפה שיש קוים.

7 שימו לב : לא כולל כי דוקא בקו האמצעי יש ב עיגול ריק וכן לא תרגום הציור לתשובה: < X > >+X כולל כי בקו העליון יש ב עגול ריק. כאשר האי שיוויונים במערכת קצת יותר מורכבים כמו +X +X > נפתור תם בנפרד כפי שלמדנו ורק אח"כ נעשה ציר לכל אחד וכו'. שימו לב- כדאי לפתור כל תרגיל שורה מתחת לשורה וכל הדרך לשים בין התרגילים. דוגמא עם כל : X X+ < X נפתור כל אחד בנפרד: ->X X * X< כל X נצייר כל ציר בנפרד: כל X ואף X במערכת : X>+ X > X X -X> \:- X <- חלוקה במספר שלילי הופכת סימן! - נמצא תחום משותף: X<- - נתרגם לתשובה: X>+ X X X> -X> \:- X< - מסקנה: כל X משהוא= משהוא דוגמא עם אף : X X-< X X-X< נפתור כל אחד בנפרד : < X * אף X - נצייר כל ציר בנפרד: נצייר ציר משותף: - אין כאן קוים בשום מקום לכן אין תחום משותף- אין פיתרון= אף X. מסקנה: אף X משהוא=אף X. כל X אף X כל ציר בנפרד: ציר משותף: אין כאן קוים בשום מקום לכן אין תחום משותף=אין פיתרון=אף X. מסקנה: אף X כל X= אף X. לפעמים יש גם תרגילים כאלה:

8 X= X< ציר בנפרד: ציר משותף: תרגום לתשובה: =X אי שיוויונים כפולים דוגמא לאי שיוויון כפול: -5 X X+> X +> זוהי בעצם מערכת : X-5 <+X דוגמא : X<= >= X>6 X+> X+.נצייר כל ציר לחוד: 6 6. נצייר ציר משותף:.נמצא תחום משותף: 6 >= X>6 מכאן ואילך נעשה את. ו. יחד. דוגמא :.נצייר כל ציר לחוד: נצייר ציר משותף,ועליו נצייר תחום משותף: X< > X >6 דוגמא : =<X.כל ציר לחוד:.ציר משותף:

9 אין שום תחום משותף= אין שום מקום בו יש קוים)ב יש שני עיגולים אך יש עיגול ריק( =אף X= אין פיתרון. לא לשכוח "" כל הדרך דוגמא : נכפיל במכנה משותף- 6 בצד שמאל ו- בצד ימין ונעלים תו כיון שעשינו תו על האגפים: -) X+(> X -) X-( >6 5X -X -6> X X +>6 X>6 \: -X> \:- X> X<- ציר בנפרד: - ציר משותף: <X < תרגום לתשובה: דוגמא 5: X +> X+> X - + >X X + - X X+> נפרק: X -X>- X -X >-- -X > \:- X>-5 ; X<- X> ציר בנפרד: -5 ציר משותף: -5 - אין תחום משותף= אף = X אין פיתרון. מערכת "" >X לדוגמא: >X הסבר במילים: איזה מספר אפשר לשים במקום X כך שלפחות אחד משני הצדדים יהיה נכון)אפשר שגם שניהם יהיו נכונים(. <.5 נכון. תשובה: X=.5 : לא נכון. > צד אחד נכון לכן זה בסדר. נכון. < תשובה נוספת: = X : נכון. > שני הצדדים נכונים ולכן ברור שזה טוב. לא נכון. > תשובה לא נכונה: X= : לא נכון. > שום צד לא נכון, לכן זו לא תשובה טובה. נשים לב שכל המספרים שגדולים מ מקיימים את המערכת. הדרך לפיתרון:

10 נצייר כל ציר בנפרד. נצייר ציר משותף. נמצא תחום מחד:כל מקום שבו יש לפחות קו אחד. נתרגם את הציור לתשובה. X< X<.... נפתור- נצייר כל ציר בנפרד: נצייר ציר משותף: תחום מחד: תרגום לתשובה: >X. תו הדבר למערכת עם כמה -ים. X< X< התחום המחד נמצא איפה שיש קו אחד לפחות. X> נצייר כל ציר בנפרד: נצייר ציר משותף: נמצא תחום מאחד, איפה שיש לפחות קו אחד נתרגם למילים: כל X. כאשר האי שיוויונים במערכת קצת יותר מורכבים כמו + X +X > נפתור תם בנפרד כמו שלמדנו ורק אח"כ נעשה ציר לכל אחד וכו'. שימו לב:כדאי לפתור כל תרגיל שורה מתחת לשורה וכל הדרך לשים בין שני התרגילים.

11 x x x x x x כל X ואף X במערכת : דוגמא עם כל x: x x x x x כל x נפתור בנפרד:. נצייר כל ציר בנפרד:. - X. נצייר ציר משותף: -. נמצא תחום מחד: - נתרגם לחשיבה: כל x.5 מסקנה: כל x משהו =כל x. x x x x x x דוגמא עם אף x: x x x x x אף x נפתור בנפרד:. נצייר כל ציר בנפרד:. - X. נצייר ציר משותף: -. נצייר ציר מחד: -.5 נתרגם לחשיבה: x מסקנה:אף x משהו = משהו. x כל אף x x x כל ציר בנפרד:. x x ציר משותף: תחום מחד:..

12 .x מסקנה:אף x כל = x כל x.. נתרגם לחשיבה: כל לפעמים יש גם תרגילים כאלה: נצייר כל ציר בנפרד: x x ציר משותף:... תחום מחד:. נתרגם לתשובה: x x נצייר כל ציר בנפרד: x 6 דוגמא :. 6. ציר משותף: 6. תחום מחד: 6 שזה כולל כי ב יש עיגול מלא. נתרגם לתשובה: שימו x. מכאן ואילך נעשה את ו- ביחד: x 6 x 6 דוגמא :. נצייר כל ציר בנפרד: ציר משותף: - 6 שזה כולל 6 כי ב- 6 יש עיגול מלא. x שימו x x 6 נתרגם לתשובה:. דוגמא : נצייר כל ציר בנפרד:. נצייר ציר משותף:.. נתרגם לתשובה: כל x

13 לא לשכוח " כל הדרך! " דוגמא : 5 x x 5 5 x x 5 5 נפתור כל אי שוויון בנפרד: x x 6 x x. 5x ( x ) 5x x 6 מותר להעלים מכנה משותף כי עשינו תו על האגפים. x ( x ) 6 x x 6 x 6 x x ציר בנפרד: x - ציר משותף:.. -. נתרגם לתשובה: כל x x x x x x x x x x x x 5 x 5 דוגמא 5: נפתור בנפרד:. ציר בנפרד: ציר משותף:." -5 - שימו הרבה פעמים בתשובה הסופית יש " x 5. נתרגם לתשובה: x

14 :" מערכות מורכבות מ " "גם ו " 6x 7 x 6x x 7 x 9 x הדרך לפתרון: נפתור כל סוגריים בנפרד ואח "כ נמשיך כרגיל. דוגמא : 6x 9 x 6x x נפתור כל 9 אחד לחוד x נשמור על " " 8 ו "גם " וסוגרים. x x x x x x x x נטפל בכל ציר בנפרד: ציר משותף: נתרגם לתשובה: x x כעת נשאר: ציר בנפרד: x נתרגם לתשובה: x 5 x x 5 x x x - - x x 5 x x x x x x x x x x x דוגמא :. נפרק אי שוויון כפול:. נפתור כל אחד בנפרד:. לכל סוגריים ציר בנפרד:. ציר משותף לכל סוגריים בנפרד: 5. תרגום לתשובה: x 6 x x 6 x x x 6 x 6 x x כל ציר בנפרד:.6-7. ציר משותף: - תרגום לתשובה: א שימו ה " " הוא בין הגבהים וזה שיש קווים זה לא משנה כי הקווים x x.8 הם בתו הגובה.

15 x x x x דוגמא : ציר בנפרד: ציר משותף: -8 - נתרגם לתשובה: x 5 x x x 8 x 8 x x x... שימו למרות שהגענו לתו הדבר, היינו חייבים לעשות שלב זה כדי להיות משוכנעים שזה הכי מצומצם שיש כך שבשלב הבא נוכל לצייר כל סוגריים בתו הגובה. x המשך: x x 5 x 8 x x ציר בנפרד: ציר משותף: -8-5 x 8 תרגום לתשובה: x x 5.6

16 בעיות שונות אי שוויונים ממעלה ראשונה בפרק זה נראה כיצד לעבור מבעיה מילולית לאי שוויון. את האי שוויונים לא נפתור כאן כי כבר הסברנו איך לעשות זאת, אתם כמובן צריכים לפתור תם. כלל:כל פעם שמרים פונקציה ישר הכוונה לy y x היא חיובית וערכיה קטנים מ- 8, למשל בשאלה לאילו ערכי x הפונקציה אז הכוונה מתי y y 8 y x אחרי שהגענו לזה נציב את נקבל: x x 8 ואת זה אנחנו כבר יודעים לפתור, -כאשר שואלים מתי פונקציה y x נמצאת מתחת לציר הx הכוונה מתי היא שלילית שזה מר כש נציב x y x ואת זה אנחנו כבר יודעים לפתור, -כאשר שואלים מתי פונקציה y x נמצאת מעל ציר הx הכוונה מתי היא חיובית שזה מר כש y נציב x y x ונפתור. -כאשר שואלים לאילו ערכי x הישר y x נמצא מעל הישר y x כדאי למספר y x y x אז בעצם השאלה מתי y y נציב: x x ואת זה אנחנו כבא יודעים לפתור. -כאשר שואלים לאילו ערכי x הישר y x הישר y x 5 y x y x כדאי למספר y y אז בעצם השאלה היא: y x x ונפתור. נציב x 5 נמצא בין הישר y x לבין y x 5 y x אינו נמצא בין הישר y x -כאשר שואלים לאילו ערכי x הישר לבין הישר y x 5 y x 5 y x y x כדאי למספר: אז בעצם השאלה היא y y y y נציב x x x x 5 ונפתור. -ששואלים מתי פונקציה y x 5 היא אי חיובית הכוונה y נציב x 5 ונפתור.

17 נזכיר תכונות של רביעים:.5 ברביע הראשון: y x ברביע השני: y x ברביע השלישי: y x ברביע ברביעי: y x שימו אין צורך לזכור זאת בע"פ אם זוכרים מיהו כל רביע אפשר לפי הציור לדעת זאת, )קל לזכור מיהו הרביע הראשון, ממנו ממשיכים כנגד כיוון השעון(. y 6x עובר בתוך הרביע הראשון? אז אם שואלים:מצא לאילו ערכי x הישר 5 הכוונה היא מתי x y 6x 5 x y 6x נציב 5 ונפתור. אם שואלים:הראה שהישר הנ"ל לא עובר ברביע השלישי, כשצריך להרת שמשהו לא קורה, הדרך לפתרון היא לנסות שזה יקרה ולהווכח שזה לא הולך. ובדוגמא שלנו ננסה: y x > x 6x 5 y 6x נציב: 5 x x 6x 5 x.5 נפתור:.5 תשובה: אף x. אף פעם הישר לא עובר ברביע השלישי מש"ל.

18 שימוש באי שוויון ממעלה ראשונה בפיתרון בעיות גימטריות נתחיל עם שאלות שנרת קשות,אך לא צריך להיבהל, תכל'ס אנחנו יודעים,ואם נעבוד לאט-נצליח. דוגמא : a a ו a צלעותיו של מלבן הן מצאי לאלו ערכי a היקף המלבן הוא בין 8 ל- 5. נתחיל לפתור שואלים לאילו ערכי a היקף המלבן הוא בין 8 ל- 5, נמצא קודם את היקף המלבן לפי a. a a a (a ) ( a ) (a ) ( a ) n a a a a n? ואת זה אנו יודעים לפתור, 8a n אז שאלו מתי 8 n 5 8 8a נציב: 5 דוגמא : y x והצירים חסום מלבן, בין גרף הישר מצא בין אלו ערכים נמצא שיעור הx של הנקודה A. אם היקף המלבן גדול מ והקטן שווה ל, מפחיד?-אנחנו נתגבר! נחשוב מה אנחנו יודעים:שההיקף גדול מ וקטן שווה ל, נסמן זאת n ננסה למצוא את n לפי.A כערך הx של A והצלע הקצרה רכה כערך הy של A. y x נשים שAנמצאת על הישר A של x זאת מרת שאפשר במקום y של A לשים נחשב את ההיקף: xa ya xa ya A(, של הנקודה x הכוונה Ax( xa ( x ) A xa ( x ) A n x ( x ) x ( x ) מעכשיו x הכוונה n Ax x x x x n x n אמרנו ש n כעת נציב x אי שוויון זה אנו כבר יודעים לפתור.)והתשובה של היא התשובה לשאלה(,

19 b a a 6 c a a דוגמא : a במשולש שווה שוקיים השוק הוא a והבסיס הוא 6 מצא באיזה תחום נמצא a. c b a גם על זה נתגבר בעז "ה. ) a תכל'ס נתון לי צלעות של משולש) 6, a, a צריך להגיע לאיזה שהוא אי שוויון קשור, נחפש משפט שקשור לצלעות של משולש ושיש בו, וכד'. לוקח זמן לחשוב,לא נורא,בסופו של דבר מוצאים: המשפט:במשולש סכום צלעות מהצלע השלישית. b c a a c b ובמשולש שלנו: a b c ( a ) (a 6) a ( a ) ( a ) a 6 ( a 6) ( a ) a נציב a 6 a a a a a 6 a a a a 6 a 6 a 6 a a a a 6 a a a a 6 a ציר בנפרד: ציר משותף: 5 (m ) ( m ) a דוגמא : m צלעותיו של משולש הן, m,5 מצא באיזה תחום נמצא m. שוב נשתמש במשפט שבמשולש סכום הצלעות צלע השלישית, ( m ) (m ) 5 ( m ) 5 (m ) ונפתור.

20 שימוש באי שוויון ממעלה ראשונה בפיתרון משוואה עם פרמטר כלל:תרגילים אלו נראה שהבוחנים הבים לשים בבגרות... הרעיון:כשיש משוואה עם פרמטר,אז פיתרון המשוואה יהיה עם פרמטר. (x a) ( a) למשל x הפיתרון יהיה x. 5a כעת הבים לשל:מצא לאילו ערכי ש פתרון המשוואה הוא גדול מ - בעצם השאלה היא מתי x )כי x היא הפיתרון(..5a נציב x. 5a.5a 6 a ואם היו שואלים לאילו ערכי a פתרון המשוואה הוא אי שלילי וקטן מ? היינו כותבים x x.5a.5a מציבים ופותרים. במקום a יכול לבוא כל ת:,k, m וכ'... y m מקבלים בד"כ תשובה מהסגנון x m -כאשר יש מערכת משוות עם פרמטר m m הx והy של הפיתרון הם: כעת הבים לשל: לאילו ערכי y שניהם חיוביים: הכוונה x. m m נציב: ונפתור, y x שניהם שליליים: הכוונה. m m נציב: ונפתור.. אחד חיובי ואחד שלילי: שמו כאן יש אפשרויות:) y ) x ( y ) x ) m m ( ) m נציב ( m ונפתור. " שורשי המשוואה ", -במשוואה ריבועית יש בד"כ פתרונות שנקראים x mx m m אז אם כת' מצא לאילו ערכי m שני שורשי המשוואה הריבועית x m x m נמצאים בין 5 ל-, אם תפתרו תמצ ש 5 x 5 x אז כוונת השאלה:מתי 5 m 5 m נציב ונפתור. אם שואלים כנ"ל רק:מתי שני שורשי המשוואה חיוביים x הכוונה x m m נציב ונפתור. ואם שואלים כנ"ל רק מתי שני שורשי המשוואה בעלי סימנים הפוכים ) x ( x הכוונה ( x ) x מציבים ופותרים.

21 אם הגעת עד כאן... אנא עזור לנו ושתף תנו בחוויית הלימוד. כיצד הגיע לידך החוברת? האם אהבת את הסגנון של הלימוד? הבנתי טוב את הנושאים: לא היה לי מובן הנושאים: האם היית מעונין שנוציא חוברת בתו סגנון על אי שיוויונים ממעלה שניה? דברים נוספים שיש לך לומר לנו את התשובות נא שלח למייל)מלת חלקיות כרצונך (: תודה רבה מיטל מתלון, נעמי ברנס ורטל חדד.