îáçï îúëåðú îñ' 1

תמליל

1 5 יח"ל מבחני חזרה במתמטיקה - במתכונת בחינות הבגרות לפי מיקוד הבחינה - קיץ 003 "כדי לקלוע למטרה צריך לכוון קצת למעלה ממנה" בעריכת: סרור אסעד אפריל 003

2 (úåãå ð 50) 'ñî úðåëúî ïçáî 'à ìç äøáâìà,øåùéîä úñãðä :ïåùàø øô ⅔6 נקודות) 4 - פתור שלוש מהשאלות (לכל שאלה BE הנדסת המישור ABCD הוא ריבוע מעגל M עובר דרך הקדקודים A D ומשיק לצלע BC בנקודה G המעגל חותך את הצלעות AB CD בנקודות E F בהתאמה הוכח BE = CF חשב את אורך הקטע נתון כי צלע הריבוע הוא a הבע באמצעות a את מחוג המעגל ג אלגברה β+ α α שורשי המשוואה = 0 m x + mx + הם מצא משוואה ריבועית ששורשיה הם β α+ β m מצא לאילו ערכי יש למשוואה שקיבלת שני שורשים חיוביים הסדרה a, a, a 3,, an נסמן ב- S T את הסכומים הבאים: היא סדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים S = a + a + a an 3 T = a a a3 an S a an הוכח כי: = T מהספרות 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 עליך ליצור מספרים חמש ספרתיים בעלי חמש ספרות שונות כל מספר כזה חייב להכיל את הספרות 0, 3, 5 כמה מספרים כאלה ביכולתך ליצור? הסבר את דרך הפתרון; תשובה בלבד ללא הסבר לא תתקבל הערה: כל מספר חמש ספרתי שאתה יוצר לא יכול להתחיל בספרה 0 4 math007@zahavnetil

3 (úåãå ð 50) äéøèîåðåâéøè,éìøâèðéàå éìàéöðøôéã ïåáùç :éðù øô פתור 5 שלוש מהשאלות 9-5 (לכל שאלה - ⅔6 נקודות) נתונה הפונקציה: לפונקציה יש אסימפטוטה עבור ג ד ה מצא את 4x f(x) = a + x 6x + 9 y = a a שמצאת בסעיף א: מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתוך חצי מעגל שרדיוסו R חסום מחומש שבו: 6 C = D = 90,BC = ED, AB = AE חשב את השטח המקסימלי של המחומש בציור מתואר גרף הפונקציה f(x) = x x + 3 עבור מצא את משוואתו של הישר המשיק לגרף הפונקציה ברביע הראשון ושיפועו x 0 3/8 7 g(x) = x + 3 היעזר בנגזרת של הפונקציה וחשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה,f(x) המשיק הנ"ל וציר ה- y γ α β הוכח: אם γ, β, α זוויות במשולש, הרי cos < cos + cos פתור את המשוואה (תן פתרון כללי): 6 cos x + cos 3x = cos x 8 3 math007@zahavnetil

4 ,( C = 90 ) 9 במשולש ישר זווית ABC נתון: BAC = α (D ישר החוצה את הניצב הסמוך לזווית α (בנקודה ADE = β חותך את היתר בנקודה E ויוצר זווית עם הניצב הנ"ל (ראה ציור) SCDEB SADE = 4tanα cotβ+ 3 הוכח כי EA הוכח שאם היחס הנ"ל שווה ל- 7, הרי הקטע גדול פי 3 מהקטע BE äçìöäá 4 math007@zahavnetil

5 'á ìç íéøôñî,íéøåè å,áçøîä úñãðä,úéèéìðà äñãðä :éùéìù øô (úåãå ð 00) úåéîúéøâåìå úåéëéøòî úåéö ðåô,íéáëåøî פתור ארבע מהשאלות 7, - 0 מהן לפחות אחת מהשאלות 7 6- (לכל שאלה- 5 נקודות) (7,6), חוסם מעגל שמשוואתו הנדסה אנליטית והנדסת המרחב 0 ריבוע שאחד מקדקודיו נמצא בנקודה x + y 8x 0y + k = 0 מצא את k מצא את המשוואות של צלעות הריבוע מצא את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות, שמרחקן מציר ה- y פי מאורך המשיק מהן למעגל גדול x + y = 36 בפירמידה ישרה, שבסיסה משולש שווה צלעות, הזווית בין מקצוע צדדי לבסיס היא α, והזווית בין פיאה צדדית לבסיס היא β tanβ חשב את היחס tan α חשב את היחס בין מקצוע צדדי למקצוע הבסיס, כאשר = 30 α ' C ABCA B' ' היא מנסרה ישרה שבסיסה משולש שווה צלעות הזווית בין שני אלכסונים סמוכים של שתי פיאות צדדיות היוצאים מקדקוד אחד היא α גובה המנסרה הוא h הוכח כי שטח המעטפת של המנסרה הוא: α 6h sin α 4sin 3 5 math007@zahavnetil

6 SABC וקטורים בטטראדר נתון: 4, AS = w, AC = v, AB = u w = v = u M היא נקודת המפגש של שלושת התיכונים של הפיאה SBC w v, u MS הבע את הווקטור באמצעות MS AS הוכח כי הזווית בין ל- היא חדה SAC = 60, SAB = 60 נתון: ג = v, w = a, u = ל- MS AS מצא לאילו ערכים של a בין הזווית היא חדה 5 נתונות ארבעת הנקודות: 3,0,) A( D( 3,8, ), C(0,4, 5), B(,5,7), ג כתוב הצגות פרמטריות לישרים AB CD הוכח ששני הישרים AB CD נחתכים מצא את נקודת החיתוך ואת הזווית בין שני הישרים כתוב הצגה פרמטרית של מישור הכולל את ארבעת הנקודות הנ"ל ומצא את המשוואה של המישור 7-6 úåìàùäî úçà ìò úåçôì úåðòì êéìò :áì íéù מספרים מרוכבים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות 6 בסדרה הנדסית נתון: 3 a = i 3 a = i 0 6n הראה כי לכל n טבעי, סכום האיברים הראשונים בסדרה הוא x 7 נתונה הפונקציה: e f(x) = (x + ax + b) äçìöäá x = גרף הפונקציה משיק לציר ה- x חשב את ואת בנקודה b a ד הצב בתבנית הפונקציה את ערכי ומצא את נקודות הקיצון של הפונקציה שרטט סקיצה של גרף הפונקציה a b שקיבלת בסעיף א', 6 math007@zahavnetil

7 úåáåùú 5 a הוכחה = BE ג R = a 8 4 m < x + 6mx + 8m + m = 0 8 הוכחה = a ת"ה: 3 x ג מינימום: ) (5, 7 0,, (93,0), (707,0) 9 ד ה 3 3 R x 8y = הוכחה ± k, k 9 הוכחה הוכחה 0 36 = 9 y y = x +,y = x 8,x + y = 9,x + 3x + 4y = הוכחה 4 MS = w u v > a ,) t(, CD : x = (0,4, 5) + s(,, ), AB : x = ( 3,0, ) + 439, ( 5, 4,0) 5x y + z + 33 = 0, x = ( 5,4,0) + t(,3,) + s(,, ) ג 6 הוכחה 7 = a b = 4,,0) Min( Max(0,4), 7 math007@zahavnetil

8 (úåãå ð 50) 'ñî úðåëúî ïçáî 'à ìç äøáâìà,øåùéîä úñãðä :ïåùàø øô ⅔6 נקודות) 4 - פתור שלוש מהשאלות (לכל שאלה הנדסת המישור M הוא קוטר המעגל AB C נקודה כלשהי על המעגל מעבירים דרך C משיק למעגל מורידים מ- B אנך למשיק החותך אותו האנך חותך את המשך AC בנקודה D בנקודה E AC BC = AB CD הוכח: BE = AB אלגברה נתונה המשוואה הריבועית: = 0 + 3m x (m )x + m הוכח כי אין למשוואה זו שני שורשים ממשיים שליליים מצא תחום הערכים של m שעבורם יש למשוואה שני שורשים ממשיים חיוביים,b, b, b 3, נתונות שתי סדרות חשבוניות, 3 a, a, a 3 a = b5, ומתקיים: a = b הוכח כי עבור כל מספר טבעי n: b3n an = ( ) 3 a + a + + an = b + b + + b3n מקבוצה של גברים 4 נשים יש לבחור משלחת של 6 אנשים, 7 4 הצריכה לכלול שתי נשים לפחות בכמה דרכים אפשר להרכיב את המשלחת? 8 math007@zahavnetil

9 (úåãå ð 50) äéøèîåðåâéøè,éìøâèðéàå éìàéöðøôéã ïåáùç :éðù øô 9-5 פתור שלוש מהשאלות (לכל שאלה - ⅔6 נקודות) ax + 4 f(x) = bx + הישר = y בנקודה הוא אסימפטוטה לפונקציה יוצר זווית של עם הכיוון החיובי של ציר ה- x המשיק לגרף הפונקציה y = 45 x = a ג מצא את b מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה הוכח שגרף הפונקציה נמצא כולו מעל האסימפטוטה 5 60 במעגל שרדיוסו קבוע ושווה ל- R, נתון קוטר BD על הקשת הימנית BD בוחרים נקודה A ועל הקשת השמאלית BC בוחרים 6 נקודה,C כך שמתקיים: = 60 ABC (R מחברים את הנקודה D עם הנקודות C A, ומתקבל מרובע ABCD מכל המרובעים השונים שניתן לבנות בדרך הנ"ל, מצא את שטחו של המרובע בעל השטח המקסימלי (הבע באמצעות y = x y = bx 3 הגרפים של הפונקציות, y = ax נחתכים באותה נקודה ברביע 7 הראשון 0) > a (b > 0, 5 b = a הוכח: y = bx 3 y = ax הוכח: השטח המוגבל ע"י הגרפים של הפונקציות גדול y = x y = ax פי 5 מהשטח המוגבל ע"י הגרפים של הפונקציות tan x tanx + sin x sinx 8 מצא את תחום ההגדרה של הביטוי: tan x sin x x = 4sin tanx+ sinx פתור את המשוואה (תן פתרון כללי): (b > c) BC = a, AC = b, AB = c משולש שאורכי צלעותיו: ABC 9 DC = DB נקודה על הצלע AC כך ש: D äçìöäá b(b c ) AD = a b c + הוכח כי: 9 math007@zahavnetil

10 'á ìç íéøôñî,íéøåè å,áçøîä úñãðä,úéèéìðà äñãðä :éùéìù øô (úåãå ð 00) úåéîúéøâåìå úåéëéøòî úåéö ðåô,íéáëåøî פתור ארבע מהשאלות 7, - 0 מהן לפחות אחת מהשאלות 7 6- (לכל שאלה- 5 נקודות) (-,) הם הנדסה אנליטית והנדסת המרחב 0 שיעורי הקדקוד A במשולש ABC משוואת הגובה היורד מהקדקוד C היא: 7x 0y + = 0 3x y + 5 = 0 משוואת חוצה הזווית ACB היא: מצא את משוואות כל אחת מצלעות המשולש באליפסה x y + = 5 9 חוסמים משולש,ABC באופן שהצלע AB מתלכדת עם הציר הגדול של האליפסה, והקדקוד C הוא נקודה כלשהי על היקף האליפסה דרך A מעבירים ישר המאונך ל-,AC ודרך B מעבירים ישר המאונך ל- BC תהא D נקודת החיתוך של שני אנכים אלה מצא את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות D שהוגדרו באופן זה בסיסה של פירמידה הוא משולש שווה צלעות אחת הפיאות מאונכת לבסיס, ואילו שתי הפיאות האחרות יוצרות, כל אחת, זווית של 30 עם הבסיס חשב את הזוויות שיוצרים המקצועות הצדדיים עם בסיס הפירמידה 60 0 לשני חרוטים ישרים יש בסיס משותף בחרוט אחד זווית הראש של החתך הצירי היא בת 60, ובשני זווית הראש של החתך הצירי היא בת 0 הקדקודים של שני החרוטים נמצאים במרחק m זה מזה הוכח, כי הפרש הנפחים בין שני החרוטים 3 3 πm 4 הוא 0 math007@zahavnetil

11 וקטורים x + y z = 7 הוא ישר החיתוך של שני המישורים: = 0 4z x + 3y L 4 L מצא הצגה פרמטרית של הישר L : x = (6,, ) + s(,,) נתונה ההצגה הפרמטרית של הישר L: מהו המצב ההדדי בין הישר L לבין הישר L? בתיבה ' 'D, ABCDA 'B ' C נתון: AA ' = 5, AD = 4, AB = 5 A'E=λ A'D' הנקודה E מקיימת: נסמן: AA ' = w, AD = v, AB = u CE AE הבע את הוקטורים באמצעות λ w, v, u ג מצא את ערך λ עבורו לשני הוקטורים הנ"ל יש אורך שווה מצא את האורך של שני הוקטורים האלה כאשר הם שווים זה לזה λ CE AE ד מצא את קוסינוס הזווית בין הוקטורים כפונקציה של CE AE ה מצא את הזווית ביניהם כאשר ל- ול- יש אורך שווה 7-6 úåìàùäî úçà ìò úåçôì úåðòì êéìò :áì íéù מספרים מרוכבים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות n n 3 3 B = i + + i 6 נתון הביטוי הראה כי B הוא מספר ממשי טהור לכל n נתון, K מספר טבעי, n = K הוכח כי: טבעי B = a 0, ax 7 נתונה הפונקציה y = (x x)e ג הוכח: לכל ערך של a השונה מאפס יש לפונקציה גם מינימום וגם מקסימום נתון שבנקודה = x יש לפונקציה נקודת קיצון 3 מצא את a ואת נקודות הקיצון שרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור ה- a שמצאת בסעיף ב' äçìöäá math007@zahavnetil

12 úåáåùú הוכחה הוכחה הוכחה הוכחה 3 הוכחה > m = a b =, עולה: < 0,x יורדת: > 0 x R הוכחה הוכחה 8 x 90 k x =± k 9 הוכחה BC :5x + y + 7 = 0, AC = x 5y 7 = 0, AB = 0x + 7y 3 = 0 0 x 9y אליפסה: = , 657, הוכחה 4,) t(5, L : x = (, 4,0) + מצטלבים 5 AE = w + λ v, CE = w u ( λ)v λ=065 cos α= 6λ 6λ + 5 (5 + 6 λ )(45 3λ + 5 λ ) ג = ד ה 4756 ( ) 6 הוכחה הוכחה 5 max,e, min, e הוכחה = a math007@zahavnetil

13 (úåãå ð 50) 3 'ñî úðåëúî ïçáî 'à ìç äøáâìà,øåùéîä úñãðä :ïåùàø øô ⅔6 נקודות) 4 - פתור שלוש מהשאלות (לכל שאלה הנדסת המישור R R O שני מעגלים O שמחוגיהם בהתאמה, נוגעים פנימית זה בזה בנקודה A O ישר המרכזים היוצא מ- A חותך את בנקודה C ואת O B בנקודה D ב- O ישר כלשהו היוצא מ- A חותך את ואת O ב- E הוכח: BD CE R ABD BCED הבע את יחס שטח הטרפז למשולש באמצעות R x, x אלגברה שני השורשים של משוואה ריבועית מקיימים את שתי המשוואות: x + x xx = 0 mxx (x + x ) = m + כאשר m מספר קבוע מצא את המשוואה הריבועית וקבע ערכי אם m x, x שעבורם יש פתרונות ממשיים למשוואה הם הערכים החיוביים של הניצבים במשולש ישר זווית, קבע את כך m שהיתר באותו משולש יהיה בעל אורך a p a n הוכח שאם האיברים ה-, a k וה- ה- של סדרה חשבונית מהווים בסדר זה שלושה 3 n p k n איברים עוקבים של סדרה הנדסית, הרי שמנת הסדרה האחרונה היא משתי כיתות, שבהן 8 תלמידים 0 תלמידים, יש לבחור משלחת המורכבת מיושב ראש, סגן ושלושה חברים נוספים הוחלט שיושב הראש והסגן לא יהיו שניהם מאותה כיתה, וכן שלושת החברים הנוספים לא יהיו כולם מכיתה אחת בכמה אופנים ניתן להרכיב את המשלחת 4 3 math007@zahavnetil

14 (úåãå ð 50) äéøèîåðåâéøè,éìøâèðéàå éìàéöðøôéã ïåáùç :éðù øô 9-5 (לכל שאלה - ⅔6 נקודות) שלוש מהשאלות פתור f(x) = x x 9 נתונה הפונקציה: 5 מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לציר ה- y מצא את האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה- x עבור > 0 x () ג מדוע - = y היא אסימפטוטה של הפונקציה עבור < 0?x () מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה, וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה ד המרובע ABCD הוא מלבן שהצלע AB משיקה למעגל והצלע DC היא מיתר במעגל רדיוס המעגל הוא R מצא את אורכי צלעות המלבן בעל השטח המקסימלי 6 נתונה הפונקציה: sinx f(x) = (ראה ציור) 7 בנקודה x = 0 ובנקודה, x =π שעל גרף הפונקציה, העבירו משיקים לפונקציה מצא את שיעור ה- x של נקודת החיתוך שבין שני משיקים אלה מצא את השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה ועל-ידי שני המשיקים שמצאת בסעיף א' x = cosα + cosβ 8 נתון: הבע את cos α+β cos α β באמצעות x פתור את המשוואה: y sin sin y sin x + sin3x = sinx + sin 4x = α + β 4 math007@zahavnetil

15 במשולש שווה שוקיים (AB = AC) ABC מחלקים את הגובה AE לשלושה חלקים שווים שאחד מהם הוא AK הישר BK חותך את המשך AC בנקודה D 9 נתון: EC = a, ACB = β, DBC = α (ראה ציור) tan α= tanβ 3 הוכח כי: β α, a AC DC הבע את באמצעות ג הוכח כי: ב') DC 4 = (הסתמך על א' AC 5 äçìöäá 5 math007@zahavnetil

16 ס 7 'á ìç íéøôñî,íéøåè å,áçøîä úñãðä,úéèéìðà äñãðä :éùéìù øô (úåãå ð 00) úåéîúéøâåìå úåéëéøòî úåéö ðåô,íéáëåøî פתור ארבע מהשאלות 7, - 0 מהן לפחות אחת מהשאלות 7 6- (לכל שאלה- 5 נקודות) הנדסה אנליטית והנדסת המרחב (x 3) + (y 8) = R המעגלים = 0 5) (y (x 4) + משיקים זה לזה 0 R מצא את מצא את משוואת המשיק המשותף לשני המעגלים בנקודת ההשקה (-4,0) (4,0) שני קדקודים של משולש, שהיקפו 8, הם בנקודות מצא את המקום הגיאומטרי עליו מונח הקדקוד השלישי 5 ס"מ = CS,AB = AC = BS = בפירמידה SABC נתון: 6 ס"מ = BC "מ =,AS ABC SBC חשב את הזווית בין הפיאה לבין הבסיס SCA SAB β נסמן ב- את הזווית בין הפיאה לבין הפיאה 7 cos β= 7 הוכח כי הוא מיתר, שאורכו a, על בסיסו של AB 3 חרוט ישר שראשו S הזווית המרכזית, בבסיס החרוט, המתאימה ל- AB היא α והזווית ASB היא β הבע את נפח החרוט באמצעות β α,a 6 math007@zahavnetil

17 וקטורים (8,3,), (7,4,) הישר עובר דרך הנקודות 4 : (4,k + 4,) + t(k 4, 5,0) הצגה פרמטרית של הישר היא עבור איזה ערך של k הישרים : מקבילים (לא מתלכדים)? () () מתלכדים? מצא משוואה של מישור, π המכיל את הישר ומקביל לציר ה- z π עבור ג k שמצאת בתת-סעיף א (), מצא את המרחק של מהמישור בתיבה C'D' ABCDA'B' נתון: 5 (ראה ציור) AB = u, AD = v, AA ' = w AP PC' AB = AD = t = t, AC' AA ' = אורכי מקצועות התיבה הם הנקודה P מחלקת את האלכסון כך ש: t, u, v, w AP הבע את באמצעות מצא את ערכי t שעבורם מתקיים = 0 PC AP עבור כל אחד מערכי t שמצאת בסעיף ב', ציין היכן נמצאת הנקודה P הקטע, בתוך הקטע או מחוץ לקטע) (בקצות 7-6 úåìàùäî úçà ìò úåçôì úåðòì êéìò :áì íéù מספרים מרוכבים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות 3 המנה של סדרה הנדסית היא q = i הוכח: an+ 3 = an הוכח כי לכל n טבעי S70 = S8 6 a) 0 x x הפונקציה e f(x) = (x + a) מוגדרת בתחום פרמטר) 7 3 a = 4 0 < a < הוכח כי כאשר מקסימום וגם מינימום יש לפונקציה הנ"ל, בתחום שבו היא מוגדרת גם מצא את הערך המקסימלי ואת הערך המינימלי של הפונקציה הנ"ל כאשר 0 x ג הוכח כי כאשר > a הפונקציה יורדת לאורך כל התחום äçìöäá 7 math007@zahavnetil

18 úåáåùú R הוכחה R = 0 + m m >, (m )x (m + )x + או < 3 m m = - 3 הוכחה min 9, < 3 x x > 3, =± 3 x ג( ) = y ד 3 5 5R, 3R 6 π π 7 = x 4 4 α β x + y α+β x cos =± 8 =± cos, x + y π π x = + π k, x = π k, x = + πk 5 a asinα AC =, DC = 9 הוכחה cos β sin( α +β) 0 40 או 60 = 7 y 3x + או = 7 y 3x + אליפסה: = 5 5y 9x + 09 הוכחה 3 α+β β α πa sin sin 3 β 4 sin sin α 3 ג 4 א( ) מקבילים עבור = 3 k א( ) מתלכדים עבור = 3 k 6 44 x + y = 5 w) AB = t(u + v + = t t = 0, 3 ג = 0 t : בקצה הקטע : t =,A בתוך הקטע 3 6 הוכחה הוכחה 3 הוכחה =,067, max min, ( ), 05 = 05,06 5 e 7 e ג הוכחה 8 math007@zahavnetil

19 (úåãå ð 50) 4 'ñî úðåëúî ïçáî 'à ìç äøáâìà,øåùéîä úñãðä :ïåùàø øô ⅔6 נקודות) 4 - פתור שלוש מהשאלות (לכל שאלה OKN הנדסת המישור המרובע ABCD הוא טרפז AOB ~ DOC הוכח: שטח המשולש DOC שווה ל- 36 סמ"ר נתון: ושטח המשולש AOB שווה ל- 4 סמ"ר, חשב את AB 5 ס"מ = DC ג נתון ש- EF הוא קטע האמצעים בטרפז ABCD חשב את שטח המשולש אלגברה נתונה משוואה ריבועית = 0 3) (m (m + )x (m )x + עבור אילו ערכים של m יש למשוואה שני שורשים שונים הקטנים מ- וגדולים מ-? יהיו α β שורשי המשוואה הנתונה בסעיף א' בנה משוואה ריבועית ששורשיה x x מקיימים: x = α +β, x = α + β ג עבור אילו ערכים של m יהיו למשוואה החדשה, שהרכבת בסעיף ב', שני שורשים ממשיים, שוני סימן? נתונה סדרה המוגדרת לכל ג הבע את n a n + באמצעות טבעי: a n מספר האיברים בסדרה הנתונה הוא הבע באמצעות בסדרה הנתונה הראה כי סכום m k a = k an+ = 4n an m m את סכום האיברים העומדים במקומות אי-זוגיים האיברים בסדרה הנתונה אינו תלוי ב- k 3 באוטובוס תיירים יש 0 גברים, 8 נשים 5 ילדים מחלקים את התיירים לשתי קבוצות: בקבוצה אחת 3 ילדים, 5 גברים 4 נשים, ובקבוצה האחרת ילדים, 5 גברים 4 נשים בכל קבוצה ממנים את אחת הנשים לאחראית על הקבוצה מצא בכמה אופנים אפשר להרכיב את שתי הקבוצות 4 9 math007@zahavnetil

20 (úåãå ð 50) äéøèîåðåâéøè,éìøâèðéàå éìàéöðøôéã ïåáùç :éðù øô פתור 5 שלוש מהשאלות 9-5 (לכל שאלה - 6⅔ נקודות) נתונה הפונקציה: sin x = y, בתחום + sinx 0 x π חקור את הפונקציה ומצא: תחום הגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון, אסימפטוטות מקבילות לצירים, תחומי עליה וירידה שרטט סקיצה של גרף הפונקציה על הקטע AB = R כעל קוטר בנו 6 M חצי מעגל שמרכזו M מימין למרכז בוחרים על הקוטר נקודה D ומעמידים בה אנך ל-,AB החותך את חצי המעגל ;MC בנקודה C מנקודה D מורידים אנך לרדיוס אנך זה חותך את הרדיוס בנקודה E (ראה ציור) CED מה צריך להיות אורך הקטע MD כדי ששטח המשולש יהיה מקסימלי (a, b > 0) y = ax x הישר y = bx חותך את הפרבולה בשתי נקודות השטח המוגבל בין הישר, הפרבולה וציר ה- x הוא מהשטח שבין הפרבולה לציר ה- x הוכח כי a = 4b sin( α β ) = 6 4 sin( α+β ) = נתון: 8 הוכח כי: tan α= 3 tanβ a = b,b במשולש צלע אחת היא והשניה (b β a מול - α) הוכח כי במשולש זה cos =α cos β מול DE ABCD הוא מעוין אשר זוויתו החדה היא E α F הן אמצעי הצלעות AB BC בהתאמה הזווית שבין הקטעים DF היא δ (ראה ציור) 4 + 5cosα cos δ= הוכח כי: 5+ 4cosα 9 äçìöäá 0 math007@zahavnetil

21 'á ìç íéøôñî,íéøåè å,áçøîä úñãðä,úéèéìðà äñãðä :éùéìù øô (úåãå ð 00) úåéîúéøâåìå úåéëéøòî úåéö ðåô,íéáëåøî פתור ארבע מהשאלות 7, - 0 מהן לפחות אחת מהשאלות 7 6- (לכל שאלה- 5 נקודות) הנדסה אנליטית והנדסת המרחב, 4x + 7y + = 0 (), x 8y + 3 = 0 0 צלעותיו של משולש הן: () 4x + 3y + 59 = 0 (3) () מצא בתוך המשולש נקודה הנמצאת במרחקים שווים מהישרים () (3) ובמרחק 5 מישר (9, ) נתונים שני מעגלים שמרכזיהם (6,3 ( הישר = y x + משיק לשני המעגלים (בנקודות שונות) הראה שהמעגלים נוגעים זה בזה ומצא את נקודת המגע מצא את משוואת המשיק המשותף (העובר דרך נקודת המגע של שני המעגלים) ' C ABCA 'B ' היא מנסרה ישרה שבסיסה משולש שווה צלעות שאורך צלעו הוא a,b'c' נתון: הנקודה M אמצע α והישר AM יוצר זווית עם מישור הבסיס ABC (ראה ציור) הבע את נפח המנסרה באמצעות a α והזווית בין הגובה ובין הקו שטח המעטפת של חרוט היא M, α היוצר שלו היא M α הבע את גובה החרוט באמצעות M α הבע את נפח החרוט באמצעות 3 math007@zahavnetil

22 ED וקטורים 4 במשולש :ABC,AB היא נקודה על הצלע E,AC היא נקודה על הצלע D התיכון AF לצלע BC חותך את הקטע בנקודה M (ראה ציור) AC = v, AB = u EM = MD, AD = v, AE = u 3 3 נסמן: נתון: v u MF הבע את באמצעות AF M מצא באיזה יחס הנקודה מחלקת את התיכון 5 נתון המישור: ), s(, t(5,0, ) +, C(,,0), B(5,0, ), A(0,0,0) הראה כי המישור, הנקבע על-ידי הנקודות CBB ' מתלכד עם המישור הנתון נתונה הנקודה: מצא לאילו ערכים של n, B'(6,m,n) m מאונך למישור ABC ג עבור הערכים BB' n m שמצאת בסעיף ב', חשב את שטח המשולש 7-6 úåìàùäî úçà ìò úåçôì úåðòì êéìò :áì íéù חסום במעגל שמרכזו בראשית מספרים מרוכבים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות 6 משולש שווה שוקיים שזווית הראש שלו 0 הקדקוד A של המשולש מיוצג ע"י המספר המרוכב: z = 3 i מצא את שאר קדקודי המשולש הנ"ל f(x) = x (x ) e 7 נתונה הפונקציה חקור את הפונקציה ומצא: תחום הגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון, אסימפטוטות מקבילות לצירים, תחומי עליה וירידה שרטט סקיצה של גרף הפונקציה äçìöäá math007@zahavnetil

23 úåáåùú הוכחה a 3 ג > m או -7 < m = 0 ) + )(3m (m + ) x 5m(m + )x + (m < m < a a + = ) m m(k + ג הוכחה: S = 4m m n n,8, ת"ה: כל x בתחום x π 0, π,,, חיתוך עם הצירים: 0,0) (, ) π,0 ( π,0 ), ( אסימפטוטות: עולה: נקודות קיצון: או 3 π, < x < π π 0 < x < 3π, x = 3π π< x < יורדת: R 6 7 הוכחה 8 הוכחה הוכחה 9 הוכחה (7, ) 0 7x y 5 = 0 ) (, 3 a 3 tan α 8 Mcosα Msinα M V = h = cos 3 π π sinα α v) MF = ( u n = 4, m = הוכחה ג 5 3 i 6 קדקוד i :B קדקוד :C, min 0,, max ±, e, 0, ת"ה: ± x, חיתוך עם הצירים: 7 אסימפטוטות: = ± x y = 0, x > עולה: או או יורדת: < 0 x < או, 0 < x < < x < x < 3 math007@zahavnetil

24 5 'ñî úðåëúî ïçáî 'à ìç (úåãå ð 50) äøáâìà,øåùéîä úñãðä :ïåùàø øô ⅔6 נקודות) 4 - פתור שלוש מהשאלות (לכל שאלה הנדסת המישור (AB = AC) המשולש ABC הוא שווה שוקיים D השוק AB חותכת את המעגל בנקודה והמשכה AC חותך אותו בנקודה E השוק משיקה למעגל בנקודה C הוכח: ADC ~ ACE ABC AB נתון: CD הוא התיכון לשוק במשולש DE b נסמן: AC = b הבע באמצעות את המיתר SDCE הוכח: ג = 3SADC אלגברה (m )x + mx + m + 3 = 0 מצא לאילו ערכי m שני שורשי המשוואה (השונים) הם ממשיים והיחס בין סכומם למכפלתם קטן מ- 3 נתונה סדרה שבה היחס בין כל איבר לזה שלפניו שווה להפרש שביניהם (n ) a n מצא נוסחת נסיגה המקשרת בין + n a ל- מצא את a אם נתון ש- a 3 = 6,, 3, 4, 5, 4 נתונות שש ספרות: 6 כמה מספרים שונים בני ארבע ספרות אפשר ליצור מהספרות האלה בכל אחד משלושת המקרים א-ג שלפניך? כאשר כל הספרות במספר שונות זו מזו כאשר כל הספרות במספר הן זוגיות כל ספרה זוגית יכולה להופיע מספר פעמים בלי הגבלה ג כאשר המספר גדול מ- 4300, וכל הספרות שונות זו מזו 4 math007@zahavnetil

25 (úåãå ð 50) äéøèîåðåâéøè,éìøâèðéàå éìàéöðøôéã ïåáùç :éðù øô 9-5 (לכל שאלה - ⅔6 נקודות) שלוש מהשאלות פתור x y = 3 x נתונה הפונקציה: 5 אסימפטוטות מקבילות לצירים, חקור את הפונקציה ומצא: תחום הגדרה, תחומי עליה וירידה נקודות חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון, שרטט סקיצה של גרף הפונקציה R שני מעגלים M M בעלי רדיוס 6 M 3 כל אחד מהם, נוגעים בישר בנקודות A ; B מעגל שלישי M 3 גם הוא בעל רדיוס R, נוגע במעגלים M M M באופן חיצוני (ראה ציור) מה צריכה להיות הזווית המרכזית M M 3 M כדי ששטח המחומש AM M 3 M B יהיה מקסימלי? (m < 0) לגרף הפונקציה + 6 mx y = x + העבירו משיק בנקודה 7 y על הגרף שבה = 4 x הראה, כי המשיק עובר בראשית הצירים מצא את השטח הכלוא בגרף הפונקציה, במשיק ובציר הראה, כי השטח אינו תלוי ב- m a sinβ+ b sinα= 4S 8 הוכח, כי במשולש מתקיים הקשר: S שטח המשולש) β - צלעות המשולש מול הזוויות α במשולש זה, b,a ) sinx cosx = פתור את המשוואה (תן פתרון כללי): נתון משולש ישר זווית שאורך ניצביו 5 ס"מ 0 ס"מ מה המרחק בין מרכז המעגל החוסם את המשולש לבין מרכז המעגל החסום בו? 9 äçìöäá 5 math007@zahavnetil

26 'á ìç íéøôñî,íéøåè å,áçøîä úñãðä,úéèéìðà äñãðä :éùéìù øô (úåãå ð 00) úåéîúéøâåìå úåéëéøòî úåéö ðåô,íéáëåøî פתור ארבע מהשאלות 7, - 0 מהן לפחות אחת מהשאלות 7 6- (לכל שאלה- 5 נקודות) x 5y + 4 = 0 הנדסה אנליטית והנדסת המרחב 0 נתונה זווית שמשוואת אחת מהשוקיים שלה היא ומשוואת חוצה הזווית היא = 0 + y x מצא את משוואת השוק השניה,7 מצא את משוואת המעגל שרדיוסו הנוגע בשתי שוקי הזווית ומרכזו על חוצה הזווית הנ"ל, x + y = R מנקודה P, שעל המעגל מעבירים מיתר המקביל לציר ה- y, והחותך PE m = EQ n,e PQ Q את ציר ה- x בנקודה על הקטע בוחרים נקודה כך ש- הראה שהמקום הגיאומטרי של כל הנקודות E שנבחרו בדרך זו, כאשר הנקודה P נעה על המעגל, הוא אליפסה הבע באמצעות m R, n את השיעורים של מוקדי האליפסה SABC היא פירמידה ישרה שכל מקצועותיה שווים הנקודה N נמצאת על המקצוע AC הנקודה M נמצאת על המקצוע AB המשולש AMN הוא שווה צלעות המישור SMN מחלק את הפירמידה לשני גופים שווי נפח חשב את הזווית בין המישור SMN לבין המישור ABC נתון חרוט ישר שקדקודו S ומרכז בסיסו O בבסיס החרוט חסום משולש שווה-שוקיים ABC AC),(AB = כמתואר בציור נתון: רדיוס הבסיס הוא 6 ס"מ, הזווית שבין המישור SBC 3 CAB = α לבסיס היא, β הבע באמצעות β α את נפח החרוט 6 math007@zahavnetil

27 וקטורים kx y + 5z 3 = 0 נתונים הישר 4,k,0) x = (7,3, 8) + t( והמישור 4 ג מצא לאיזה ערך של k הישר מקביל למישור מצא לאיזה ערך של k הישר ניצב למישור מצא את נקודת החיתוך של הישר והמישור בסעיף ב' במנסרה ישרה ' C ABCA B' ' הבסיסים הם משולשים שווי-צלעות הנקודה X נמצאת על הפיאה ' B' BCC 5 נסמן: AA ' = w, AC = v, AB = u, AX w v,u נתון: 3 u w = הבע באמצעות את הווקטור AA ' היוצר זוויות שוות עם הווקטורים AC, AB AX חשב את הזווית שיוצר הווקטור עם כל אחד מהווקטורים הנ"ל 7-6 úåìàùäî úçà ìò úåçôì úåðòì êéìò :áì íéù z מספרים מרוכבים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ( ) ( ) 8 8 z = 3 i,z 6 נתון: + i 3 = הוכח כי z + z הוא מספר ממשי מצא משוואה ריבועית ששורשיה הם z x ההפרש בין שיעורי ה-,x שבהם יש לפונקציה y = (x + x + a)e נקודות 7 קיצון הוא מצא את a (נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה ונקודות חיתוך חקור את הפונקציה עם הצירים) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ג äçìöäá 7 math007@zahavnetil

28 úåáåùú הוכחה b ג הוכחה m, < m< m< < או 3 an 3 = an+ או a ג 56 n,0 x = 0 ת"ה: 0 x אסימפטוטות: חיתוך עם הצירים: 5 < x < 0 x > 0 x < קיצון: 3), max( עולה: או יורדת: (m+ y = 7 8)x 3 8 הוכחה k, k = y 5x = 49 3) (y (x ) + או = 49 3) + (y (x + 5) + R ± m + mn,0 m+ n πcos αtanβ ג ) (3,, 49 5 AX = u + v + w 4 6 הוכחה = x z + max, 3 e, min, עולה: < x או > x e 7 (0,) יורדת: < x < חיתוך עם הצירים: 8 math007@zahavnetil

29 (úåãå ð 50) 6 'ñî úðåëúî ïçáî 'à ìç äøáâìà,øåùéîä úñãðä :ïåùàø øô ⅔6 נקודות) 4 - פתור שלוש מהשאלות (לכל שאלה הנדסת המישור O לשני מעגלים שמרכזיהם ב- O וב- מיתר O A משותף AB דרך מעבירים משיק למעגל B C החותך את מעגל O בנקודה דרך מעבירים משיק למעגל O החותך את D מעגל O בנקודה AD BC AB = AD BC AD BD = BC AC הוכח: ג אלגברה מצא לאילו ערכי ממשיים שליליים m יש למשוואה x + mx + 3m = 0 הראה שאין ערך של m עבורו מתקבלים שני שורשים חיוביים שני שורשים נתונה סדרה שבה: וכן קיימים שני מספרים שלמים t s, כך שלכל n טבעי: מצא את t s הבע באמצעות n את סכום n האיברים הראשונים בסדרה ג הוכח שהסדרה הנתונה מקיימת את כלל הנסיגה: n n an s = + t 3 an+ = 5an+ 6an a = 0 a = 3 מתוך עשרים חיילים, מהם שישה קצינים, יש לבחור קבוצה של שמונה חיילים למשימה מסויימת כמה קבוצות כאלה ניתן לבחור, כך שבכל אחת מהן יהיו לפחות שני קצינים אך לא יותר מארבעה? 4 9 math007@zahavnetil

30 (úåãå ð 50) äéøèîåðåâéøè,éìøâèðéàå éìàéöðøôéã ïåáùç :éðù øô 9-5 פתור שלוש מהשאלות (לכל שאלה - ⅔6 נקודות) ax 6x + y = (x ) נתונה הפונקציה שיעור ה- x של נקודת החיתוך של הפונקציה עם 5 5 האסימפטוטה של המקבילה לציר ה- x מצא את הוא a ג מצא לגבי הפונקציה את נקודת הקיצון, את האסימפטוטות המקבילות לצירים y = k ושרטט את הגרף שלה מצא כמה נקודות חיתוך יש לישר ולגרף הפונקציה אם: k > 5 (4) k < 0 (3) k = () k = 4 () 6 מעבירים משיק לגרף הפונקציה y = x + x מנקודת ההשקה מעבירים אנך לציר ה- x (ראה ציור) מצא את שיעורי נקודת ההשקה עבורה שטח הטרפז (המקווקו) שנוצר בין האנך הנ"ל, המשיק והצירים הוא מינימלי y = bsin3x הגרפים של הפונקציות y = asinx נפגשים בראשית הצירים 7 x π = 6 ובנקודה ברביע הראשון השטח המוגבל על ידי שני הגרפים, בין שתי a נקודות אלו, הוא מצא את b, ( ) tan x + π tan x = 3 3 מצא את כל פתרונות המשוואה: הנמצאים בתחום 8 0 x π היא מקבילית אשר אלכסוניה נחתכים בנקודה M α>β ; CMB = γ ; BAC = β ; DAC = α ABCD נתון: 9 DM sin α = MA sin( α+γ) sinαsinβ tan γ= sin( α β) הוכח כי: äçìöäá 30 math007@zahavnetil

31 א( 'á ìç íéøôñî,íéøåè å,áçøîä úñãðä,úéèéìðà äñãðä :éùéìù øô (úåãå ð 00) úåéîúéøâåìå úåéëéøòî úåéö ðåô,íéáëåøî פתור ארבע מהשאלות 7, - 0 מהן לפחות אחת מהשאלות 7 6- (לכל שאלה- 5 נקודות) 4x 3y = 0, y 8 = 0 הנדסה אנליטית והנדסת המרחב 0 המשוואות של שתיים מצלעות המעוין הן: אלכסוניו של המעוין נפגשים על חלקו החיובי של ציר ה- x מצא את המשוואות של שאר צלעותיו A(,) מצא את המקום ההנדסי של הנקודות, אשר מרחקיהן מהנקודה גדולים פי שניים ממרחקיהן מהנקודה (7,)B מצא את משוואות המעגלים, שמרכזיהם בראשית הצירים, הנוגעים במקום הגיאומטרי שמצאת ב- ): האחד באופן חיצוני, והשני באופן פנימי המרובעים ABCD XYCB הם שני מלבנים שמישוריהם מאונכים זה לזה 3 ס"מ =,AB 43 ס"מ =,AD 54 ס"מ = BX (ראה ציור) מצא: את הזווית,XDY הסבר את פתרונך את זווית הנטייה של הישר DC למישור,XDY הסבר את פתרונך O נתון חרוט ישר שקדקודו S ומרכז בסיסו 3 מעבירים מיתר AB כך ש- AOB = β (ראה ציור) הזווית בין המישור SAB לבין בסיס החרוט היא α, ומרחק המישור ממרכז הבסיס הוא d הבע את נפח החרוט באמצעות β α, d 3 math007@zahavnetil

32 ABCDA 'B ' C 'D ' וקטורים בקובייה נתון: 4 A'E= t A'D' כמו כן: AB = u, BC = v, CC' = w DE BE בטא את באמצעות w, v, u, t t BED הוכח שהזווית זווית חדה לכל 5 נתונים המישורים: = z π : x y + z = 0, π : x + y + x = (, 0,) + t(3,, 5) הוכח כי הישר מקביל לישר החיתוך של π המישורים π מצא הצגה פרמטרית של מישור העובר דרך ראשית הצירים ומקביל π לישר החיתוך של המישורים π 7-6 úåìàùäî úçà ìò úåçôì úåðòì êéìò :áì íéù מספרים מרוכבים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות z z הוכח שאם נקודה נמצאת על מעגל יחידה, אזי גם נמצאת על מעגל יחידה 6 z = נתון מעגל יחידה במישור המרוכב הנקודות z, z, z 3, z4 נמצאות על המעגל הנ"ל z + z + z3 + z4 = + נתון ש- i z z z3 z4 חשב את ערך הביטוי: ( ) x y 5 = 50 (i) 3 ( ) x+ y 3 = 54 (ii) 7 פתור את מערכת המשוואות: äçìöäá 3 math007@zahavnetil

33 úåáåùú הוכחה הוכחה ג הוכחה הוכחה > m או m 3 < < n n+ 3 + Sn ג הוכחה = 3 = t s =, = 4 a,max(,5) אסימפטוטות: = x y = 4, ג () אחת () שתיים (3) שתיים (4) אין 3, 4 6 b = 6, a = 7 5 0, π, π, π, π הוכחה הוכחה 4x 3y = 80, y + 8 = 0 0 = y x + y 8x = y x + y = 36, x πd 3sin α cosα cos β 3 4 DE = w + (t )v, BE = w u + tv הוכחה 5 הוכחה, π : x= t(3,, 5) + su כאשר u וקטור כלשהו שאינו תלוי ב- 5) (3,, (יש אינסוף מישורים ) 6 הוכחה, 7 33 math007@zahavnetil

34 (úåãå ð 50) 7 'ñî úðåëúî ïçáî 'à ìç äøáâìà,øåùéîä úñãðä :ïåùàø øô ⅔6 נקודות) 4 - פתור שלוש מהשאלות (לכל שאלה AB DC, S AOB הנדסת המישור האלכסונים בטרפז ABCD שבו נחתכים בנקודה O נתון: 7 ס"מ =,AB 8 סמ"ר = S COD 50 סמ"ר = DC חשב את חשב את שטח הטרפז אלגברה נתונה משוואה ריבועית = m (m )x (m )x +? + α+ β+ β α עבור אילו ערכים של m למשוואה שני שורשים המקיימים: 7 7 n Sn = נתונה סדרה שסכום n הבע באמצעות האיברים הראשונים שלה הוא Sn Sn את ההפרש: n ג הוכח שהסדרה הנתונה היא סדרה הנדסית יורדת T n = a a an נסמן: הם איברי הסדרה הנתונה Sn 3 n = Tn a, a,, an הראה כי 3 נתונים 3n כדורים: n כדורים אדומים, n כדורים לבנים n כדורים שחורים הכדורים בכל אחד מהצבעים מסומנים במספרים:, n, 3,, כמה סידורים שונים יש, אם כל הכדורים האדומים עומדים זה ליד זה, כל הכדורים הלבנים עומדים זה ליד זה, וכל הכדורים השחורים עומדים זה ליד זה? כמה סידורים שונים יש, אם כל הכדורים האדומים עומדים זה ליד זה? 4 34 math007@zahavnetil

35 (úåãå ð 50) äéøèîåðåâéøè,éìøâèðéàå éìàéöðøôéã ïåáùç :éðù øô פתור 5 שלוש מהשאלות 9-5 (לכל שאלה - 6⅔ נקודות) נתונה הפונקציה: ג מצא את שני הערכים של 3x = f(x) שיפוע המשיק בנקודה = x הוא a x 9 a הצב ב- f(x) את הערך הקטן משני הערכים של a שקיבלת בסעיף א, ומצא לגבי הפונקציה את: תחום ההגדרה, נקודות החיתוך עם הצירים, תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון, אסימפטוטות מקבילות לצירים סרטט סקיצה של גרף הפונקציה a a > (3x 4x + 3a)dx 6 מצא את הערך הקטן ביותר של האינטגרל 3 a 4 מצא את הערך הגדול ביותר של האינטגרל הנ"ל עבור 4,0 5 y = נתונה הפונקציה 5x ישר העובר דרך הנקודה משיק לגרף הפונקציה 7 מצא את משוואת המשיק חשב את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה, המשיק וציר ה- x a sin α+ b sinβ= R(sin α+ sin β) 8 הוכח, כי במשולש מתקיים הקשר: R רדיוס המעגל β - צלעות המשולש מול הזוויות α במשולש זה, b,a ) החוסם את המשולש) + sin6x cos x = + sin4x פתור את המשוואה (תן פתרון כללי): ACD = β ACB במשולש ABC הישר CD מחלק את הזווית לשתי זוויות שגודלן 9 AB, BCD = α ויוצר זווית ADC = ϕ עם נתון: AC = b, BC = a asinα+ bsinβ tan ϕ= הוכח כי acosα bcosβ äçìöäá 35 math007@zahavnetil

36 'á ìç íéøôñî,íéøåè å,áçøîä úñãðä,úéèéìðà äñãðä :éùéìù øô (úåãå ð 00) úåéîúéøâåìå úåéëéøòî úåéö ðåô,íéáëåøî פתור ארבע מהשאלות 7, - 0 מהן לפחות אחת מהשאלות 7 6- (לכל שאלה- 5 נקודות) הנדסה אנליטית והנדסת המרחב 0 שני מעגלים נחתכים בנקודה (-,9)A כל אחד משני המעגלים משיק גם לציר ה- x וגם לציר ה- y מצא את משוואות שני המעגלים אם B מרכז המעגל הקטן יותר מבין שני המעגלים O ראשית הצירים, חשב את שטח המשולש OAB x y R + = מנקודה A שעל המעגל מעבירים ישר המאונך לציר ה- x שחותך את הציר בנקודה B הנקודה C היא אמצע AB דרך B ל- (O AO הראשית) שחותך את הישר OC מצא את המקום הגיאומטרי של הנקודה D בנקודה D מעבירים ישר המקביל בסיס מנסרה ישרה ' 'D ABCDA 'B ' C הוא טרפז שווה שוקיים,(AB CD) ABCD שבו השוק שווה לבסיס הקטן, וזה שווה למחצית הבסיס הגדול AB אורך שוק הטרפז הוא a האלכסון A'B יוצר עם האלכסון A'C זווית α (ראה ציור) הבע את נפח המנסרה באמצעות a α מה צריך להיות הערך של הזווית α כדי שיהיה פתרון לבעיה? נתונה פירמידה ישרה שבסיסה ABCD הוא ריבוע הזווית שבין מקצוע צדדי לבסיס הפירמידה היא β 3 נתון: BSC = α הוכח: cos β= sin α נתון גם כי אורך גובה הפירמידה הוא SO = h הבע באמצעות h α את שטח המעטפת של הפירמידה 36 math007@zahavnetil

37 : x = (7,, ) + t(,, 4) : x = (k,3,k) + s(,,3) וקטורים 4 נתונים שני ישרים: k 4 הוכח כי הישרים מצטלבים לכל אם נתון ש- 4 k, מצא את משוואת המישור המכיל את ומקביל לישר (k 4) k ג לאילו ערכים של המרחק בין הישרים שווה ל- 4 5 בטטראדר ישר ABCD הבסיס ABC הוא משולש שווה צלעות בעל אורך צלע השווה ל- המקצועות הצדדיים אורכם שווה ל- הנקודה E נמצאת על 5 AE = t AD המקצוע AD ומקיימת: t cos BEC הבע את באמצעות t מצא את ערכי עבורם הזווית הנ"ל שווה ל- 60 BEC t ג עבור איזה ערך של הזווית מקבלת ערך מקסימלי, ומהי הזווית המקסימלית 7-6 úåìàùäî úçà ìò úåçôì úåðòì êéìò :áì íéù מספרים מרוכבים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות z + z+ = 0 z z הם שורשי המשוואה הריבועית 6 n n מגדירים: S = z + z n S הוכח כי הוא ממשי עבור כל טבעי S = - n,s = n הוכח כי אם מתחלק ב- 3 אזי ואם אינו מתחלק ב- 3 אזי 05 e, 4 x e y = ax + b נתונה הפונקציה בנקודה יש לפונקציה נקודת קיצון 7 ג ד מצא את a b מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה שרטט סקיצה של גרף הפונקציה äçìöäá 37 math007@zahavnetil

38 úåáåùú 7 ס"מ 98 סמ"ר 5 < m< או 0 < m < 8 7 n 3 הוכחה ג הוכחה 4 (n!) 3! n! (n + )! 8 5 = a a =, ת"ה: 4 x x 0, חיתוך עם הצירים: (0,0) 3 3 min(6,4) 4 < x < 6 0 < x < 4 עולה: > 6 x יורדת: או קיצון: אסימפטוטה אנכית: = 4 x x y = הוכחה x = 80 k 9 הוכחה 0 = 5 5) + (y (x 7) + (y + 7) = 89, (x 5) + 75 x y אליפסה: = + 4R R a sin( α + 30 ) sin(30 α) 3 3 a 4sin α = 4sinα 4sinα 0 <α< 30 3 הוכחה h tan α 4 הוכחה = 0 3 y x ג 9 או 05 68, t = ג t =, t = t t + 6 הוכחה הוכחה 5 05 e e min,, max, = 4 a b = 3, 4 7 ג עולה: < x או > x יורדת: < x < 38 math007@zahavnetil

39 (úåãå ð 50) 8 'ñî úðåëúî ïçáî 'à ìç äøáâìà,øåùéîä úñãðä :ïåùàø øô ⅔6 נקודות) 4 - פתור שלוש מהשאלות (לכל שאלה S S AKE KBN הנדסת המישור במשולש ABC חסום מלבן KLMN הגובה AD חותך את הצלע KL בנקודה E נתון: BC = a, KN = KL, AD = h הבע באמצעות a h את יחס השטחים: אלגברה במשוואה = 0 c ax + bx +, שכל מקדמיה שונים מאפס, השורשים β 5 α 5 ax 4bx + 6c = 0 β הם α ושורשי המשוואה הם x nx + 3n = 0 nβ nα הוכח שהמשוואה הריבועית ששורשיה הם היא nαβ n( α+β) הוכח שהמשוואה הריבועית ששורשיה הם היא x 5nx + 6n = 0 ג מצא האם שורשי המשוואות שבסעיפים א' ב' הם מספרים ממשיים נתונה סדרה המקיימת את כלל הנסיגה: an+ = p + k n an פרמטרים) k, p) א הוכח: האיברים העומדים במקומות הזוגיים מהווים סדרה חשבונית, וגם האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים מהווים סדרה חשבונית בסדרה הנתונה הראשונים של הסדרה a3 = 3, a = 5, a = 5 חשב את סכום 5 האיברים 3 נתונה המילה: PARAMATTA בהנחה שאי אפשר להבדיל בין האותיות הזהות, בכמה אופנים שונים ניתן לסדר את האותיות של המילה? בכמה אופנים שונים אפשר לסדר את האותיות, כאשר בסידור אסור ששתיים מהאותיות P, R, M, T, T יופיעו אחת על ידי השנייה? 4 39 math007@zahavnetil

40 (úåãå ð 50) äéøèîåðåâéøè,éìøâèðéàå éìàéöðøôéã ïåáùç :éðù øô פתור 5 שלוש מהשאלות 9-5 (לכל שאלה - 6⅔ נקודות) נתונה הפונקציה ג ד ה ו ז f(x) = 6 + x x מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים שרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור אילו ערכים של אחד חיובי ואחד שלילי m למשוואה f(x) = m יש בדיוק שני פתרונות y = x y = הגרפים של שתי הפונקציות x נחתכים 6 בנקודות (0,0) (,) בנקודה A(0,p) < p < ) (0 מעבירים מקביל לציר ה- x החותך את גרף הפונקציה בנקודה B ואת גרף הישר בנקודה C מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה A, כדי שאורך הקטע BC יהיה מקסימלי מצא את אורך BC המקסימלי (a > 0) y = ax x הפרבולה (b > 0) y = bx מחלקת את השטח בין הפרבולה 7 b + b לבין ציר ה- x לשני חלקים הוכח שהיחס בין השטח העליון לבין השטח התחתון הוא c, b, a אם צלעות משולש כלשהו הן וזוויותיו בהתאמה γ, β, α 8 ab cos γ+ bc cos α+ ac cos β= (a + b + c ) הוכח כי: 4 cos(x + 60 ) = sin(x + 60 ) 3 פתור את המשוואה (תן פתרון כללי): 40 math007@zahavnetil

41 משולש שווה שוקיים,(AB = AC) ABC בעל זווית ראש של 36, חסום במעגל שרדיוסו R הנקודה D היא אמצע הקשת AC הקטנה והנקודה E היא אמצע הבסיס BC הבע באמצעות R את DE והוכח שהוא שווה 9 36 AC Rsin36 + 8cos 36 נתונה נקודה נוספת F שהיא אמצע הוכח: DF = R sin 36 äçìöäá 4 math007@zahavnetil

42 'á ìç íéøôñî,íéøåè å,áçøîä úñãðä,úéèéìðà äñãðä :éùéìù øô (úåãå ð 00) úåéîúéøâåìå úåéëéøòî úåéö ðåô,íéáëåøî פתור ארבע מהשאלות 7, - 0 מהן לפחות אחת מהשאלות 7 6- (לכל שאלה- 5 נקודות) הנדסה אנליטית והנדסת המרחב y = mx 4 שלושת הישרים + 4 x y = x 4, y = יוצרים 0 m משולש ששטחו 48 חשב את, ונקודה A(3,0) נתון מעגל = 00 y (x + 3) + בתוכו מצא את המקום הגיאומטרי של מרכזי המעגלים, העוברים דרך הנקודה A והמשיקים מבפנים למעגל הנתון, SA = SB = SC = AB = AC = a בפירמידה (S ראש הפירמידה), נתון: SABC והזווית בין הפיאה SBC לבסיס α היא ABC הוכח ששטח הבסיס הוא a cosα cosα באיזה תחום צריכה להימצא α כדי שיהיה פתרון לבעיה? α= 90 ג חשב את נפח הפירמידה אם בחרוט ישר שגובהו h שווה הזווית בין גובה החרוט לבין הקו היוצר שלו ל- α בתוך חרוט זה חסמו חרוט ישר אחר באופן שראשו נמצא במרכז בסיסו של החרוט הראשון וקוו היוצר חותך את הקו היוצר המתאים של החרוט הראשון בזווית ישרה (ראה ציור) הבע את נפח החרוט החסום הנ"ל באמצעות h α 3 4 math007@zahavnetil

43 וקטורים בטטראדר (פירמידה משולשת) שיעורי ארבעת הקדקודים הם: D(3,5,), C(4,,3), B(3,0,), A(,,) 4 חשב את נפח הפירמידה ABCD פירמידה מרובעת משוכללת וישרה ABCDE ממוקמת במערכת צירים במרחב כך שמרכז O הבסיס ABCD נמצא בראשית הצירים וכן, E = (0,0,), B = (0,,0), A = (,0,0) 5 ג חשב את נפח הפירמידה חשב את מרחק הנקודה B מהמישור ADE חשב את המרחק בין הישרים EC DB 7-6 úåìàùäî úçà ìò úåçôì úåðòì êéìò :áì íéù מספרים מרוכבים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות n =,, 3, 4, nπ nπ zn = cos + isin 5 5 נתון כי: כאשר: 6 z z z3 z4 = 3 4 z z z3 z4 = 4 3 z z z3 z4 = הוכח כי מתקיים: ג x + (x + x ) = 7 פתור את המשוואה: 3 x y = a(x m)e הפונקציה היא בעלת שלוש נקודות קיצון כאשר = x אחת מהן היא בנקודה מצא את ערך הפרמטר m () מצא את נקודות הקיצון הנותרות וקבע את הסוג שלהן () מצא את הערך של הפרמטר a אם נתון שהמשיק לגרף הפונקציה (3) = 0 x יוצר זווית של 45 עם הכיוון החיובי של ציר ה- x בנקודה äçìöäá 43 math007@zahavnetil

44 úåáåùú h 4a הוכחה הוכחה 3 הוכחה , 0, ג, min ד עולה: x 3 < 3 x < < < יורדת: < x < ה = x x = 3, ז > m 6 6 (0,) 7 הוכחה 8 הוכחה k, k 9 הוכחה הוכחה 0 או 4 x y + = 5 6 a 3 <α< ג הוכחה π 3 4 h sin αcos α ג הוכחה הוכחה ג הוכחה x = 3, x = + 7, ב( ) = m ב( ) 3 max min a = ב( 3 ) 44 math007@zahavnetil

45 (úåãå ð 50) 9 'ñî úðåëúî ïçáî 'à ìç äøáâìà,øåùéîä úñãðä :ïåùàø øô ⅔6 נקודות) 4 - פתור שלוש מהשאלות (לכל שאלה הנדסת המישור NC משיק למעגל NAB חותך לאותו מעגל דרך הנקודה P, אמצע,NC מעבירים מקביל PQ BC הנקודה K היא נקודת החיתוך של PQ AC נתון: 8 ס"מ =,BC 0 ס"מ =,NC 4 ס"מ = NA חשב את AC PK אלגברה mx (m + 4)x + m + 4 = 0 β α הם שורשי המשוואה x =β+, x =α+ α β הרכב משוואה ריבועית חדשה ששורשיה הם ג עבור אילו ערכים של m יהיו למשוואה החדשה, שהרכבת בסעיף א', שני שורשים ממשיים שונים? עבור אילו ערכים של m יהיו למשוואה החדשה, שהרכבת בסעיף א' שני שורשים ממשיים, חיוביים ושונים? an + an+ סדרה מוגדרת לכל n טבעי על ידי הכלל: 5 3n = נסמן: Sn = a + a + + an 3 Sn = 3n 5n () הראה כי: Sn+ = a + 3n n () a 0 a נתון: = חשב את { } { } 4 נתונות שתי קבוצות של מספרים: =,, 3, 4, 5 A B = 0, 7, 8, 9, כמה מספרים שונים, בעלי 5 ספרות שונות, אפשר ליצור בעזרת הספרות של שתי הקבוצות כך ששלוש ספרות תיקחנה מתוך הקבוצה A, ושתי ספרות תיקחנה מתוך הקבוצה B 45 math007@zahavnetil

46 (úåãå ð 50) äéøèîåðåâéøè,éìøâèðéàå éìàéöðøôéã ïåáùç :éðù øô 0 x π פתור 5 שלוש מהשאלות 9-5 (לכל שאלה - 6⅔ נקודות) נתונה הפונקציה a > 4 y = cosx + asinx בתחום היעזר ב- a במידת הצורך ומצא את: () נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים () נקודות הקיצון של הפונקציה (3) תחומי העלייה והירידה של הפונקציה שרטט סקיצה של גרף הפונקציה 0 הזווית ABC היא בת 0, המרחק AB הוא 780 ק"מ מכונית אחת יוצאת מנקודה A לנקודה B במהירות של 60 קמ"ש באותו זמן יוצאת מכונית שנייה מנקודה B לעבר C במהירות 80 קמ"ש כעבור כמה זמן מאז צאת המכוניות לדרך יהיה המרחק ביניהן מינימלי? 6 y = x + 3 נתונה הפונקציה דרך ראשית הצירים 7 העבירו משיק לגרף הפונקציה מצא את משוואת המשיק חשב את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה, המשיק וציר ה- y sin x sinx sin3x = sin 4x 4 פתור את המשוואה (תן פתרון כללי): 8 b,a β, α,x חשב את אם במשולש ששתיים מזוויותיו הן הצלעות מולן בהתאמה ורדיוס המעגל החוסם הוא R, נתון: a b 4R cos α cos β וגם = x x + tan β=, tan α= 46 math007@zahavnetil

47 O הם קטרים במעגל שמרכזו CD AB הקשת AD (הקטנה) גדולה פי מהקשת AC (הקטנה) E נקודה על הקשת BC כך 9 ש- EAB = α F בנקודה CD חותך את AE הבע את שטח המשולש EFD באמצעות רדיוס המעגל R והזווית α והוכח שהוא שווה: 3R sin(30 +α) cos(α 30 ) sin(60 +α) äçìöäá 47 math007@zahavnetil

48 'á ìç íéøôñî,íéøåè å,áçøîä úñãðä,úéèéìðà äñãðä :éùéìù øô (úåãå ð 00) úåéîúéøâåìå úåéëéøòî úåéö ðåô,íéáëåøî פתור ארבע מהשאלות 7, - 0 מהן לפחות אחת מהשאלות 7 6- (לכל שאלה- 5 נקודות) הנדסה אנליטית והנדסת המרחב AC במשולש שווה שוקיים משוואות התיכונים לשוק AB הן בהתאמה 0 x + 5y 9 = 0 5x + y 3 = 0 (4, 3) הישר שעליו מונח הבסיס BC עובר בנקודה מצא את קדקודי המשולש אם נתון שקדקוד B נמצא ברביע השני (x 4) + (y + ) = 8 (), (x + ) + (y ) = 5 נתונים המעגלים: () () מצא את המקום הגיאומטרי של הנקודות: שאורכי המשיקים מהן למעגלים הנ"ל שווים שאורך המשיק מהן למעגל () גדול פי מאורך המשיק מהן למעגל במנסרה משולשת ישרה ' C ABCA 'B ' כל אחד מהבסיסים הוא משולש שווה צלעות כמו כן נתון כי גובה המנסרה הוא h והזווית BA'C = α הבע את נפח המנסרה הנ"ל באמצעות h α עבור אילו ערכים של α יש פתרון לבעיה? נמק SAB בחרוט חיברו את הראש S עם שתי נקודות A B שעל היקף הבסיס AB אינו קוטר (ראה ציור) גובה החרוט SO יוצר עם מישור המשולש 3 ( BSO = α) α זווית β, ועם הקו היוצר של החרוט זווית נתון: = 0 SO הבע את שטח המשולש באמצעות β α SAB 48 math007@zahavnetil

49 ABCD וקטורים נתונה פירמידה שבסיסה מקבילית וקדקודה N נתון: (ראה ציור), B(0,0,4), A(,,3) 4 N(,, 65), C(8, 4, 4) ABCD ABC ג מצא את גודל הזווית מצא את שטח המקבילית מצא את נפח הפירמידה (בסיס הפירמידה) 5 בקובייה שבציור, אורך המקצוע נסמן: AB = u, AD = v, AA' = w BB ' הנקודה E נמצאת על המקצוע או על המשכו, BE = t BB ' D'AE =α כך ש נסמן: t, w, v, u AE AD ' הבע את באמצעות t בשביל איזה ערך של יתקיים: α=0 (3) cos α= 7 () AD ' AE (4) α=60 () 7-6 úåìàùäî úçà ìò úåçôì úåðòì êéìò :áì íéù מספרים מרוכבים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות z m(3 i)z+ + 4i= 0 z z הם שורשי המשוואה 6 zz + zz = 0i z m z נתון כי: מצא את מצא את q a = m 6 ג חשב את סכום סדרה הנדסית בת איברים שבה: שווה לשורש המשוואה הקטן בערכו המוחלט מהשניים 3x 5 x (x 8) = x 8 7 פתור את המשוואה: äçìöäá 49 math007@zahavnetil

50 úåáåùú ס"מ =,AC ס"מ = PK 3 = 0 ) + 4(m m(m + 4)x 4(m + 4)(m + )x + m < 4 0 < m< < m m 4, m, m 0, ג או 3 א( ) הוכחה א( ) הוכחה 48 π ( ) ( ) max( π,0), min π, a, max,a, min(0,0) 3 π 3 < x < π, 3 x π< < π א( ) (0,0), π,0) ( π,0), ( π 0 < x < א( ) א( 3 ) א( ) עולה: או יורדת: 3 6 שעות 7 y = x k, 90 k הוכחה C(3, ), B(,), A(5,4) 0 = 0 y x = 4 ) (y (x + 4) + 3 3h α cot 3 00 cos β cos α cos β ג 8 5 AE = u + tw, AD ' = v + w ב( ) ב( ) ב( 3 ) 47 ב( 4 ) 0 8 8i ג z = + i, z = 3+ i m = + 6 i ± math007@zahavnetil

51 (úåãå ð 50) 0 'ñî úðåëúî ïçáî 'à ìç äøáâìà,øåùéîä úñãðä :ïåùàø øô ⅔6 נקודות) 4 - פתור שלוש מהשאלות (לכל שאלה הנדסת המישור טרפז (CD > AB, AB CD) ABCD חסום במעגל DC נקודה כלשהי על הקשת E המיתר AE חותך את הבסיס DC בנקודה F הוכח: AF BE = BC BD אלגברה ax + bx + c = 0 שורשי המשוואה, שמקדמיה הם מספרים ממשיים השונים α= 5β β מאפס, הם α נתון: הוכח: 5b = 36ac ax + bx + c = 0 מקדמי המשוואה (השונים מאפס) מקיימים את המשוואה: 5 5b = 36ac הוכח שאחד השורשים גדול פי מהשני a a a n נתון שהסדרה b, b,, b היא סדרה הנדסית 3 הוכח שהסדרה a, a,, an היא סדרה חשבונית נתון שסכום שמונת המעריכים הראשונים בסדרה ההנדסית הנ"ל הוא והאיבר התשיעי הוא 9 3 b b ג מצא את המעריך של האיבר הראשון בסדרה ההנדסית מצא את מספר האיברים בסדרה ההנדסית אם האיבר הראשון שלה הוא 8 והאחרון 5 במעגל העבירו קוטר (A AB B קצות הקוטר) סימנו על אחד מחצאי המעגל 5 נקודות (השונות מ- A B) ועל חצי המעגל השני 0 נקודות (השונות מ- A B) כמה משולשים שונים שקדקודיהם הם נקודות מתוך 5 הנקודות הנ"ל אפשר ליצור? בכמה מהמשולשים הנ"ל נמצאים הקדקודים משני צידי הקוטר? 4 5 math007@zahavnetil

52 (úåãå ð 50) äéøèîåðåâéøè,éìøâèðéàå éìàéöðøôéã ïåáùç :éðù øô 9-5 פתור שלוש מהשאלות (לכל שאלה - ⅔6 נקודות) (x 3b) b > 0,f(x) = 4 (x b) 5 נתונה הפונקציה ג ד ה ו מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים מצא את ערכי שעבורם x f'(x) = 0 מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה שרטט סקיצה של גרף הפונקציה במעגל נתון שרדיוסו R, חסום משולש שווה צלעות ABC בוחרים נקודה M על הקשת AB מה צריך להיות גודל הזווית,ACM כדי שסכום שלושת המרחקים MA + MB + MC יהיה מקסימלי? הבע באמצעות R את הסכום המקסימלי של שלושת המרחקים הנ"ל 6 0 x π,a > נתונה הפונקציה, y = sinx acosx בתחום 7 מצא את שתי נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה- x הבע באמצעות a את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה וציר ה- x בין שתי הנקודות הנ"ל γ, β, α במשולש שצלעותיו c, b, a והזוויות מולן בהתאמה (כולן זוויות חדות) 8 מתקיימים הקשרים הבאים: sinγ sin6γ+ sin4γ= 0 a + b = 5 c + abcosγ = 7 חשב את הזווית (החדה) הגדולה במשולש? 5 math007@zahavnetil

53 במשולש c, b, a ABC הם אורכי הצלעות AB, AC, BC בהתאמה ABC הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש R הנקודות D E נמצאות על הצלע,BC 9 כך ש- ADE = AED ADE נסמן ב- S את שטח המשולש ABC וב- S את שטח המשולש S S b c = cot α a R הוכח: äçìöäá 53 math007@zahavnetil

54 'á ìç íéøôñî,íéøåè å,áçøîä úñãðä,úéèéìðà äñãðä :éùéìù øô (úåãå ð 00) úåéîúéøâåìå úåéëéøòî úåéö ðåô,íéáëåøî פתור ארבע מהשאלות 7, - 0 מהן לפחות אחת מהשאלות 7 6- (לכל שאלה- 5 נקודות) הנדסה אנליטית והנדסת המרחב x y + = 0 BC B(3,4) במשולש ABC נתון משוואת הצלע היא ומשוואת 0 7x y + 7 = 0 הצלע AC היא רדיוס המעגל החסום במשולש הוא מצא את משוואת המעגל החסום במשולש אם מרכזו ברביע הראשון מצא את משוואת הצלע AB b x + a y = a b מנקודה P שעל האליפסה מורידים אנך לציר ה- x L N החותך אותו בנקודה N דרך מעבירים ישר המקביל ל- PO L ראשית הצירים) P דרך מעבירים ישר המקביל לציר ה- x - O) L מצא את המקום הגיאומטרי של מפגש הישרים L בנקודה A, הנמצאת על מעגל שמרכזו M, העלו אנך למישור המעגל את הנקודה K, שעל אנך זה, חיברו אל שתי נקודות B C של המעגל ; ABC = β קוטר), AB) נתון: AB = R β, R הזווית בין מישור המשולש KBC למישור המעגל הנ"ל היא γ הבע את שטח המשולש KBC באמצעות γ בפירמידה ישרה ובסיסה בעל בסיס זווית,SABC S שראשה ABC הוא משולש שווה שוקיים (AB = AC) a וזווית בסיס, α יוצר המקצוע SC β עם מישור המשולש ABC 3 3 a tanβ 48 cos α הוכח כי נפח הפירמידה הוא 54 math007@zahavnetil

55 ABCDA 'B ' C 'D ' וקטורים היא תיבה 4 נסמן: AA ' = w, AB = v, AD = u DC הנקודה E היא נקודה כלשהי על הצלע המקיימת DE = t DC D'E B'E, AE הבע את באמצעות t w, v, u v = r u נתון: u, w = הבע את r ואת cos AEB' באמצעות ו t cos AED' AED' = 60 t ג מה צריך להיות בסעיף ב', על מנת שיתקבל (הבע אותו r = 05 באמצעות r), ומה תהיה הזווית AEB' במקרה זה אם AEB' = 90 AED' = 60 r ד מה צריך להיות הערך של אם נתון 5 נתונים שיעורי הנקודות: 9) D(6,6, A(3,6, ), B(7,4,), C(,7, 5), הוכח כי 4 הנקודות לא נמצאות על מישור אחד π : 0x y + z + 7 = 0 π π ג נתון המישור מהו המצב ההדדי בין המישור הנקודות B, A C מהו המרחק בין שני המישורים והמישור העובר דרך 7-6 úåìàùäî úçà ìò úåçôì úåðòì êéìò :áì íéù מספרים מרוכבים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות 6 נתונה הסדרה ההנדסית:, 4i i, כמה איברים החל בראשון, יש לסכם בסדרה הנ"ל כדי שסכומם יהיה i? 7 פתור את המערכת: y y x = y 3 x 3 x = y äçìöäá 55 math007@zahavnetil

56 úåáåùú הוכחה הוכחה הוכחה 3 3 הוכחה ג b < x < 3b ד ה 9 x b y = 0, x = b ג 0,, (3b,0) b 5, 3b < x < 5b x עולה: < b או יורדת: x = 5b, x = 3b או x > 5b R 3 π ( ) ( ) 7,0, π,0 a הוכחה 0 = 4) (y (x ) + = 0 7 y x + אליפסה: b x + 4a y = 4a b R sinβ cos γ 3 הוכחה 4 D ' E = w + tv, B'E = u w ( t)v, AE = u + tv cos AEB' = r t( t) + r t + r ( t),cos AED' = r t + r t r = , t =± r ג או ד 5 הוכחה מקבילים ג 745 n = 5 6 (x,y) = (,4) או (x,y) = (,) 7 56 math007@zahavnetil