אנליזה נומרית תרגול מס' 5 שיטת ניוטון שאלה מספר 1: 0,2 ] f ( x) אנו מחפשים את שורשי הפונקציה (x = cos( לאחד השורשים? בתחום ]. מהן נקודות ההתחלה בטווח

תמליל

1 אנליזה נומרית תרגול מס' 5 שיטת ניוטון שאלה מספר : 0, ] f ( אנו מחפשים את שורשי הפונקציה ( = cos( לאחד השורשים? בתחום ]. מהן נקודות ההתחלה בטווח שמהן תתכנס שיטת ניוטון פתרון להזכירכם :cos( Cos g( = f( f ( = + cos ( si ( g ( = f(f ( f (.. פונקציית האיטרציות הינה: ו- = לפונקציה כמובן שני שורשים בנקודות = :cotractio mappig בו מתקיים I [ 0, התכנסות תתרחש בקטע ] = cos(( cos( si( = cos ( si ( < cos ( si ( = cos( 0 cos ( כלומר, יש לפתור את אי-השוויון: ( si ( ובטווח או בטווח 4 4 cos( ו - 0 cos( g ( = + si( נותר להראות ש היא "לתוך" באינטרוולים הנ"ל. נשים לב ש- g ( = cos ( si ( 0

2 g( זאת אומרת ש- g( יורדת ורציפה(. לכן מספיק להראות שהיא לתוך רק בקצוות האינטרוול זה לא נכון אם לא מונוטונית( : g( = + 3 g( = כנדרש. באופן דומה מראים לאינטרוול השני. = מכיוון שבכל אחד מאינטרוולים אלו היא ( מכווצת ו- ( מכילה נקודת שבת ו"לתוך", שיטת ניוטון מתכנסת לשורש בטווח 5 7 שיטת ניוטון מתכנסת לשורש. ובטווח, נשים לב כי קיים אזור הנמצא בין שני השורשים אשר ממנו שיטת ניוטון איננה מתכנסת כלל. =

3 ב- MATLAB : figur( clf %Clar currt figur t=0:0.0:*pi; C=cos(t; hold o G_tag=abs((cos(t.^./(si(t.^; % G=t+cos(t./si(t; plot(t,c,'--r',t,g_tag,'b',t,t,'--k',t,0,'--k' G_fuc=t+(cos(t./(si(t; % G=t+cos(t./si(t; plot(t,g_fuc,'--c' lim([0 *pi] ylim([- *pi] hold o plot(pi/4*os(,79,[-:0.0:*pi],'--g' plot([-:0.05:*pi],pi/4,'--m' plot(3*pi/4*os(,79,[-:0.0:*pi],'--g' plot([-:0.05:*pi],3*pi/4,'--m' plot(5*pi/4*os(,79,[-:0.0:*pi],'--g' plot([-:0.05:*pi],5*pi/4,'--m' plot(7*pi/4*os(,79,[-:0.0:*pi],'--g' plot([-:0.05:*pi],7*pi/4,'--m' st(gca,'xtick',0:pi/4:*pi st(gca,'xticklabl',{'0','pi/4','pi/','3*pi/4','pi','5*pi/4','6*pi/4','7*pi/4','*pi'} ; labl('0 \lq \Thta \lq \pi' titl('my Graphs' tt(.5,.4,'\lftarrow y=',... 'HorizotalAligmt','lft'; tt(pi-0.3,-0.5,'f=cos(\thta','horizotalaligmt','lft','color','r'; tt(pi/4-0.,4,'abs[(cos^(\thta/(si^(\thta]','color','b'; tt(pi/-0.,,'g(','color','c'; tt(3,*pi/4+0.,'pi/4','color','m'; tt(3,3*pi/4+0.,'3*pi/4','color','m'; tt(3,5*pi/4+0.,'5*pi/4','color','m'; tt(3,7*pi/4+0.,'7*pi/4','color','m';

4 ב- Mathmatica :

5 א ב ב שאלה מספר :. g ( נתונה איטרצית נקודת השבת הבאה: ( = si( מהן נקודות השבת של g(? האם קיים אינטרוול התכנסות לכל אחת מנקודות השבת? מהו סדר ההתכנסות בנקודות אלה? האם תתכן התופעה שב- א( גם עבור מקרים מסוימים של שיטת ניוטון? פתרון: f ( = 0 אנו רואים כי קיימת נקודת שבת ל- g( בנקודה, כלומר קיים שורש לפונקציה כלשהי, כך שהמשוואות g שקולות. ( =, f ( = 0 א נראה זאת בשרטוט הבא: ניתן להוכיח כי בכל נקודה פרט ל 0= מתקיים si( < כיצד ניתן להוכיח זאת? ישנן לפחות שתי דרכים שונות(, ולכן אין נקודת שבת נוספת, ו- 0= הינו השורש היחיד של f. בכדי לבדוק האם קיימת התכנסות ומהו סדר ההתכנסות, נמצא את ערכי הנגזרות של זו מתקיים: g( = 0 בנקודה '(0 = cos(0 =. g אנו יודעים כי. אנו רואים כי בנקודה cos( חסומה בערכה המוחלט ע"י, כלומר בכל נקודה על הישר הממשי, פרט לנקודת השבת עצמה, מתקיימת תכונת הכיווץ. כלומר: לכל ניחוש התחלתי, הערך המתקבל לאחר ביצוע איטרציה אחת נופל ישירות לתוך האינטרוול ],-[, ומשם והלאה, הערכים הולכים וקרבים לנקודת השבת. למעשה, ברגע שנגיע לנקודת השבת, האיטרציה הבאה תשאיר אותנו במקום. מכאן שקיים אינטרוול התכנסות. כיון שהנגזרת הראשונה לא מתאפסת, אנו חושדים כי סדר ההתכנסות הוא ליניארי. lim אינו מתקיים במקרה שלנו. במקרה שלנו, + אולם התנאי עבור התכנסות ליניארית כי: = A si( 0 + lim = lim = lim 0 0 si( = כלומר התלות בין שגיאות עוקבות עבור- גדול מספיק איננה לינארית! הקצב בו השגיאה קטנה הולך וקטן ככל שמתקרבים לנקודת השבת, דהיינו ככל ש גדל ולכן קצב ההתכנסות הינו איטי הרבה יותר מאשר קצב התכנסות לינארי. '( P התופעה לא תתכן. כאשר ההתכנסות היא לשורש פשוט P, אזי: = 0 לשורש מרובה, אז g ועובדה זו אינה תלויה ב- f. כאשר ההתכנסות היא. 0 g'( P