הרצאה 5 פונקציה סתומה, מישור משיק למשטח שמוגדר על ידי משוואה, נגזרות חלקיות מסדר גבוה, פולינום טיילור פונקציה סתומה משוואת משטח u אם נתונה פונקציה שתל

תמליל

1 הרצאה 5 פונקציה סתומה מישור משיק למשטח שמוגדר על ידי משוואה נגזרות חלקיות מסדר גבוה פולינום טיילור פונקציה סתומה משוואת משטח u אם נתונה פונקציה שתלויה בשלושה נעלמים ( u )F ורצים לקבל משטח רמה C לפונקציה נתונה אז במקום u מקבלת ערך מציבים קבוע ובמרחב מקבלים כל נקודות שפונקציה בהן (. )F במקרה זה מקבלים משטח במרחב שנתון על ידי משוואה: C C 0 :C. F( ) C דוגמא: מצא משטחי רמה של פונקציות אם u. u. u.3 פתרון 0 אליפסויד.

2 חרוט 0 0. היפרבולויד חד-יריעתי 0.3 במשוואת המשטח פונקציה ( ) לא ידוע ולפעמים אי אפשר לבדד ולקבל פונקציה מפורשת. וגם יש שאלה האם בכלל פונקציה ( ) קיימת?

3 M ( ) F( ) 0 הגדרה המשוואה אם לכל מגדירה בסביבת הנקודה מסביבת הנקודה ) M ( למשוואה זו את הפונקציה הסתומה. F( ( )) 0 והפתרון הוא ערך ). ( ( ) קיים פתרון יחיד F( ) 0 ז"א: לכל ) ( מסביבת הנקודה ) M ( מתקיים 0 דוגמא: האם משוואה מגדירה את הפונקציה הסתומה בסביבת הנקודה () 0? M 0: ( ) אם מציבים נקודה () במקום למשוואה זאת קיים פתרון יחיד לכל במשוואה נתונה מקבלים משוואה לפי מסביבת () 0 M הנקודה כי בסיסת הנקוד ( ) רק חיובי. הערה: באותה דרך ניתן להגדיר פונקציות סתומות: ) g( או ). h( הפונקציות מוגדרות באופן לוקאלי )סביב נקודה ).) M ( אבל קשה לבדוק האם קיימת פונקציה סתומה סביב נקודה ). M ( ) F( ) 0. משפט של פונקציה סתומה בשני משתנים נתון: F( ) 0 )נקודה נמצאת על משטח - סביבת נקודה N ( ) f 0 N ( M ) 0 כאשר F M C N M ( ) ( ( 0)) ( M ) אזי קיימת סביבת הנקודה. F (. ) 0 שבה המשוואה מגדירה את הפונקציה הסתומה היחידה לפונקציה ) f ( בסביבת ) N ( מתקיים: F( ) F ( ) f ( ) F( ) 0 בעלת נגזרות חלקיות רציפות: ( ) f F( 0) F ( ) ) ) )3 3

4 . F (. ) 0 למעשה לקיום אחת מהפונקציות הסתומות מספיק להחליף את התנאי: בתנאי ש- gradf ( ) 0 לפחות פונקציה סתומה אחת קיימת. הנוסחאות הקודמות נכונות עם שינויים מתאימים. נוכיח חלק 3 נוסחאות. F לפי תנאים המשפט מקבלים שקיימת פונקציה היחידה ( ) 0 נניח ש ( ) בעלת נגזרות חלקיות רציפות בנקודה אז בנקודה זאת קיים מישור F( ) 0 ( )( ) ( )( ) 0 משיק: מצד שני ידוע שווקטור גרדיאנט ניצב למישר משיק למשטח רמה של מישור משיק למשטח רמה בנקודה ) M (. היא: ומשוואה. F(. )( ) F(. )( ) F(. )( ) 0 0 אם נבודד ( ממשוואה מקבלים: ) F(. ) F(. ) ) ( ) ( ) ( ומכן F ( 0) ( ) f ( ) F ( ) F (. 0) F (. 0) F ( 0) ( ) f ( ) F ( ) ( 0) מסקנה אם וקטור הגרדיאנט מתאפס בנקודה : 0 gradf ( ) אזי השאלה על N קיום פונקציה סתומה נשארת פתוחה: במקרים אחדים לא קיימת אף פונקציה אחת F M C N M ( ) ( ( 0)) 0 ובמקרים אחרים לפחות אחת מהן יכולה להתקיים. מסקנה מקרה פרטי: קיום פונקציה סתומה תלויה במשתנה אחד ) F( ) 0 ( M ) אזי קיימת סביבת הנקודה. F נתון: F( ) 0 )נקודה נמצאת על קו ( 0 ) N ( M ) 0 כאשר שבה המשוואה סביבת נקודה מגדירה את הפונקציה הסתומה ( f ( היחידה. 0 0 F( ) 0 ( מתקיים: לפונקציה ) f ( בקטע ) f ( ) )

5 0 F ( f ( )) f( ) F ( f ( ))) 5 בעלת נגזרת רציפה: F( f ( )) 0 ) f( ) )3 מסקנה. אם נתונה פונקציה מפורשת ) f ( ששייכת ל- )) M C ( N ( בסביבה של נקודה אז בנקודה קיים מישור משיק לגרף הפונקציה ומשוואה שלו: ( )( ) ( )( ) 0. אם נתונה משוואה F( ) 0 אז בנקודה וידוע שהיא מגדירה פונקציה סתומה בסביבה של נקודה קיים מישור משיק לגרף הפונקציה ( f ( ומשוואה שלו: F(. )( ) F(. )( ) F(. )( ) 0 נגזרות חלקיות מסדר גבוה נגזרות מסדר שני תהי ) f ( חלקיות מסדר ראשון פונקציה סקלרית בעלת נגזרות חלקיות בקבוצה D. פונקציות של נגזרות f ( ) הן גם פונקציות סקלריות בשני משתנים המוגדרות f ( ) ב- D לכן ניתן להגדיר בשבילן נגזרות חלקיות מסדר ראשון לפי שני המשתנים: )).( f ( הנגזרות האלה נקראות נגזרות ( f ( )) )) ( f ( וגם ( f ( )) חלקיות מסדר שני של פונקציה f f ( f ( )) f ( ) ( ) ( ) f ( f - נגזרת מעורבת ( )) f ( ) ( ) f ( f - נגזרת מעורבת ( )) f ( ) ( ) f f ( f ( )) f ( ) ( ) ( ) דוגמא: f ( ) sin( ) עבור פונקציה ניתן לחשב את הנגזרות באמצעות כללי גזירה: קיימות נגזרות חלקיות מסדר שני בכל המישור.

6 f ( ) cos( ) f ( ) sin( ) f ( ) sin( ) f ( ) cos( ) f ( ) sin( ) cos( ) f ( ) f ( ) f ( ) sin( ) f ( ) f ( ) משפט אם בסביבת הנקודה בנקודה קיימות שתי הנגזרות המעורבות ו- שרציפות f ( M ) f ( M ) 0 0 אזי f ( ) הערה לפונקציה נגזרות אלה יכול להגיע עד ל- לנגזרות כאלה גם נכון המשפט הקודם. בשלושה משתנים נגזרות מסדר שני המוגדרות באותה דרך. מספר f 9. חלק מהנגזרות שונות רק בסדר הגזירה. f f f 3. R בכל תחום ההגדרה f ( ) f f f f f f f f דוגמא: פונקציה ) f ( מוגדרת בכל הנקודה של הפונקציה בעלת הנגזרות החלקיות מסדר שני רציפות לכן הנגזרות החלקיות מעורבות לא f ( ) תלויים בסדר ביצוע הגזירה. f ( ) 6

7 f ( ) f ( ) נגזרות מסדר k באותה דרך גם ניתן להגדיר נגזרות חלקיות מסדר שלישי רביעי וכו'. למספר k טבעי ניתן להגדיר נגזרות מסדר זה כנגזרות ראשונות מנגזרת מתאימה מסדר k k. k אם הפונקציה היא בעלת נגזרות חלקיות עד סדר כולל אזי ניתן לקבל נגזרות f חלקיות מאותו סדר. חלק מהנגזרות שונות רק בסדר ביצוע הגזירה למשל: ( () ( f ( ). f () ( ) לפונקציה בשלושה משתנים יש יותר נגזרות חלקיות למשל: אם פונקציה בעלת 3 k נגזרות חלקיות עד סדר k חלקיות מסדר כולל לפי כל המשתנים ובכל סדר גזירה אזי יש לה נגזרות k C ( D) f( M). k הגדרה אומרים שפונקציה בעלת כל הנגזרות החלקיות עד סדר שייכת למחלקה כולל אם בכל נקודה של הקבוצה הפונקציה והנגזרות הללו הן פונקציות רציפות ב-. D. k אז' k f ( M ) C ( D) משפט אם כל הנגזרות החלקיות עד סדר k הן פונקציות דיפרנציאביליות כל הנגזרות החלקיות עד סדר k שמאותו סדר ולפי אותם המשתנים שוות זו לזו. אזי ) f ( ) f ( 5 5 f C D 5 ( ) ( ) ) ) למשל אם ( ) F( ) 0 נגזרת מסדר של פונקציה סתומה פונקציה ) ( מוגדרת ע''י צריך למצוא F ( ) F ( ) ( ) ( ) F( ) F ( ) 7

8 ( ) דוגמא: נתונה פונקציה חשב F ( ) F ( ) ( ) דוגמא: נתונה פונקציה 3 0 צריך למצוא F ( ) ( ) F( ) 0 ( ) ( ) f () חשב e דוגמא: נתונה פונקציה אם כאשר f ( ) f ( ) () f f e e f ( ) f ( ) f ( ) f f e ( ) e f ( e) f ( e) f ( e) e e f ( e) e f ( e) f ( e) e f e f f e f e f e e e 0 ( ) ( e) e 8 e 7e פולינום טיילור ( ) נדון בפונקציה בשני משתנים בלבד. נוסחאות טיילור 8

9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ( )( ) ( ) ( )( )! ( C)( ) 3 ( C)( ) 3 ( C) ( ) ( )( ) 3! 3 3 ( ) C נקודה כאשר נמצאת בקטע עם קצוות ו- T ( ) ( ) ( ) ( )! פולינום טיילור. ( )( ) ( ) ( )( )! משפט 3 אם פונקציה ) f ( רציפה בנקודה אז קיימת סביבה של נקודה ובעלת הנגזרות חלקיות מסדר כך שלכל הנקודה רציפות בנקודה מתקיים: M U f ( M) P ( M) R ( M) כאן M) - R ( M) f ( M) T ( שארית P ( ) lim 0 M0 ( ) ( ) M ו- דוגמא: 3 3 פתח לפולינום טיילור מסדר את הפונקציה f () f 3 8 () () () 3 8 () סביב נקודה f () 5 () f () 6 8 f () 0 0 () P( ) 5 8( ) ( ) () f () 6 0 P אזי מקבלים: ( ) 5 [8( ) ( )] [0( ) ( ) ] 9

10 - מישור משיק P ( ) 5 8( ) ( ) P ( ) 5 [8( ) ( )] [0( ) ( ) ] 0