יחידה 4: השורש הריבועי שיעור 1. מחשבים ואומדים שורשים ריבועיים רוצים לגדר שתי חלקות ריבועיות נפרדות בעזרת רשת שאורכה 50 מטר. שטח חלקה אחת הוא 25 מ"ר ו

תמליל

1 יחידה 4: השורש הריבועי שיעור. מחשבים ואומדים שורשים ריבועיים רוצים לגדר שתי חלקות ריבועיות נפרדות בעזרת רשת שאורכה 0 מטר. שטח חלקה אחת הוא מ"ר ושטח חלקה שנייה הוא 4 מ"ר. ש ערו: האם הגדר תספיק לגידור שתי החלקות? ניזכר בשורש ריבועי ונחשב שורשים ריבועיים.. נתייחס לנתונים במשימת הפתיח מה אורך הצלע של החלקה האחת? מה אורך הגדר הדרוש לגידור חלקה זו? מה אורך הצלע של החלקה השנייה? מה אורך הגדר הדרוש לגידור חלקה זו? ב דקו את השערתכם. תזכורת שורש ריבועי של מספר ), (0 הוא מספר שהריבוע שלו שווה למספר הנתון. כלומר, מקיים ^ h =. דוגמה: = h ^ לכל מספר חיובי יש שני שורשים ריבועיים, האחד חיובי והאחר שלילי. את השורש הריבועי החיובי מסמנים כך: את השורש הריבועי השלילי מסמנים כך: דוגמה: השורש הריבועי החיובי של הוא = השורש הריבועי השלילי של הוא = שימו לב, כשאומרים או כותבים במילים "שורש ריבועי של...", מתכוונים לשני השורשים. כשכותבים " " הכוונה לשורש הריבועי החיובי בלב לאפס יש רק שורש ריבועי אחד והוא המספר אפס. למספרים שליליים אין שורשים ריבועיים בתחום המספרים הממשיים )המספרים שאנו מכירים(. דוגמה: אינו מספר ממשי. 70 שילובים במתמטיקה יחידה - 4 השורש הריבועי

2 חושבים על.... האם למשוואה = ולמשוואה = יש אותם פתרונות? ה סביר ב חרו מבין המספרים הבאים את פתרונות המשוואה =. נתונות ארבע משוואות: = = = 0 = 0 לאילו משוואות יש אותו פתרון? מהו? ה סביר. בכל סעיף ק בעו "נכון" או "לא נכון". ה סביר = =. 0 =. ז. ^ h = = 0=. 0. ח. ^ h = = 0. 0 = 0. 0 ט. בעקבות הודיה אמרה: לכל מספר מתקיים = רחלי אמרה: לכל מספר מתקיים = מי צודקת? ה סביר תחום הצבה. נתון הביטוי האלגברי ה ציבו בביטוי )במקום ( את המספרים הבאים וח שב 0. 4? ה סביר מהו תחום ההצבה של הביטוי איזה מספר הצבנו בביטוי )במקום ( אם קיבלנו? אם קיבלנו 4? אם קיבלנו?. מ צאו את תחום ההצבה של כל ביטוי אלגברי. + ז. + + ח. + יחידה - 4 השורש הריבועי שילובים במתמטיקה 7

3 אומדים שורשים ריבועיים 7. מה אורך צלע של ריבוע ששטחו סמ"ר? בין אילו שני מספרים שלמים ועוקבים נמצא אורך צלע של ריבוע ששטחו 0 סמ"ר? בין אילו שני מספרים שלמים ועוקבים נמצא אורך צלע של ריבוע ששטחו סמ"ר?. בכל סעיף היעזרו באומדן ומ צאו שני מספרים שלמים קרובים ביותר לשורש הריבוע הנתון. דוגמה: מספרים קרובים ביותר ל- 40 הם ו- < > בכל סעיף ק בעו <, > או =. ה סביר ז ח ט. ראינו מתוך דוגמאות כי: לכל מספר שהוא גדול מ-, השורש הריבועי החיובי של המספר קטן מן המספר. 0 < 0 דוגמאות: < לכל מספר חיובי קטן מ-, השורש הריבועי החיובי של המספר גדול מן המספר. 00. > > דוגמאות: > רבים מהשורשים הריבועיים של מספרים טבעיים אינם מספרים שלמים. במקרים אלה כתיבתם כמספרים עשרוניים היא קירוב בלב כדי לציין ערך מדויק של המספר משתמשים בסימן דוגמה: 40 מציין את ערכו המדויק של מספר ז קירובים אפשריים )בהתאם לצורך(: סימן השורש הריבועי נגזר כנראה מהאות הראשונה של המילה rdi )שורש בלטינית(. המונח "שורש" )בלטינית )rdi הוכנס לראשונה למערב על-ידי המתמטיקאי לאונרדו מפיזה Pis) (Leonrdo of לפני כ- 00 שנה, בתרגומם של כתבים מתמטיים ערביים. בספרו שהתפרסם ב- השתמש המתמטיקאי רודולף )Rudolff( לראשונה בסימן השורש, אך ללא "גג".. יותר מאוחר, המתמטיקאי דקארט (0,.R (Decrtes הוסיף לסימן את ה"גג", והתקבל הסימן שאנו משתמשים בו היום מהי, לדעתכם, החשיבות של "הגג" בסימן השורש הריבועי? 7 שילובים במתמטיקה יחידה - 4 השורש הריבועי

4 אוסף משימות. בכל סעיף ח שבו את השורש הריבועי בכל סעיף מ צאו את המספר החסר. = 0. = = =. בכל סעיף ב חרו תשובה מתאימ א. 40 הוא מספר גדול מ- קטן מ- שווה ל- 0 הוא מספר גדול מ- קטן מ- שווה ל- ב. ג. הוא מספר גדול מ- קטן מ- שווה ל- A B C D 4 4. על ציר המספרים מסומנים ארבעה תחומים. בכל סעיף ק בעו לאיזה תחום מתאים המספר A B C D 4. על ציר המספרים מסומנים ארבעה תחומים. בכל סעיף ק בעו לאיזה תחום מתאים המספר A B C D E על ציר המספרים מסומנים חמישה תחומים. בכל סעיף קב עו לאיזה תחום מתאים המספר יחידה - 4 השורש הריבועי שילובים במתמטיקה 7

5 7. בכל סעיף ק בעו "נכון" או "לא נכון". =. 0. > = 00 < 0 ז. 70 > > = 0. > ח.. בכל סעיף ק בעו < או > בכל סעיף ק בעו < או > בכל סעיף היעזרו באומדן ומ צאו שני מספרים שלמים קרובים ביותר לשורש הריבועי בכל סעיף היעזרו באומדן ומ צאו שני מספרים שלמים קרובים ביותר לשורש הריבועי ח שב ^ 0h ^ h ^ h ^ h 0.. שושי אמרה: אפשר לקבוע ללא חישוב כי 7 הוא מספר לא שלם. מה היו השיקולים של שושי? 74 שילובים במתמטיקה יחידה - 4 השורש הריבועי

6 4. מר ישראלי מתכנן לבנות חדר ריבועי. אורך כל קיר 4 מטרים. מה שטח החדר המתוכנן? על שטח של מ"ר בנה מר ישראלי חדר ריבועי נוסף. מה אורך כל קיר בחדר זה? שטח של מ"ר הוקצה עבור מחסן ריבועי. מה יהיה אורך כל קיר של המחסן? מר ישראלי קנה שתי מחצלות ריבועיות. אורך צלע המחצלת האחת מטרים, ואורך צלע המחצלת השנייה מטרים. איזו מחצלת יוכל לפרוש במחסן? ה סביר. רוצים להקיף בגדר חלקה ששטחה מ"ר. ה ציעו מידות שונות של חלקות מלבניות אשר שטחן מ"ר. ב. ישראל הציע חלקה ריבועית. יוסף הציע חלקה מלבנית שמידותיה 0. מ' מ'. מיכאל הציע חלקה מלבנית שמידותיה מ' 4 מ'. איזו הצעה חסכונית יותר )אורך הגדר הדרוש הוא הקצר ביותר(? ה סביר. בכל סעיף מ צאו את תחום ההצבה של הביטוי האלגברי בכל סעיף מ צאו את תחום ההצבה של הביטוי האלגברי בכל סעיף מ צאו את תחום ההצבה של הביטוי האלגברי )מ צאו לפחות שתי דוגמאות.(. מ צאו ערכים מתאימים ל- ו- y כך שמתקיים: = y 0. נתון הביטוי האלגברי + הצבנו בביטוי במקום וקיבלנו ; הצבנו במקום וקיבלנו 4. מ צאו את הערכים של ו-. ב דק מה תחום ההצבה של הביטוי האלגברי? יחידה - 4 השורש הריבועי שילובים במתמטיקה 7

7 שיעור. שורשים וסדר פעולות החשבון ביחידות ראינו כי פעולת החזקה קודמת לארבע פעולות החשבון, וסוגריים קודמים לכל הפעולות. גם פעולת השורש קודמת לארבע פעולות החשבון. הפעולות בתוך השורש קודמות לפעולת חישוב השורש. נפתור תרגילים שבהם פעולות חשבון ושורשים = + 0+ = דוגמאות: = =. פ תר ט. 4 י ז. י ^ + h 4 + ח. י. בכל סעיף מ צאו מספר מתאים למקום הריק. = 4 = = = + 00 = + = + + אי-אפשר לפשט 4. בכל סעיף פ שטו אם אפשר. דוגמאות: = ^ + 4 h )מ צאו לפחות שתי דוגמאות.( 4. מ צאו ערכים מתאימים ל- ו- y כך שמתקיים = y. נתון הביטוי האלגברי ה ציבו בביטוי )במקום ( את המספרים הבאים וח שבו: 0? ה סביר מהו תחום ההצבה של הביטוי איזה מספר הצבנו בביטוי )במקום ( אם קיבלנו 0? אם קיבלנו? אם קיבלנו? 7 שילובים במתמטיקה יחידה - 4 השורש הריבועי

8 אוסף משימות. פ תר ^7 4 + h ^ + h. פ תר ^ + h ^ + h + ^ h ^ h. פ תר 0 40: : : + 4: 40: פ תר 0 ^ + h ^ h 0 0. פ שט + 4 ^ + h ^ h בכל סעיף ה ציבו בביטוי האלגברי + וח שב = = = 0 = = = = = יחידה - 4 השורש הריבועי שילובים במתמטיקה 77

9 .7 ה ציבו בביטוי האלגברי + וח שב = = 0 = = = = = = וח שב. ה ציבו בביטוי האלגברי = = = = 0 = = = =. ק בעו את האות המתאימ מה קיבלתם? נכון ב לא נכון ה + = = + ל ס = כ מ. 0 =. 04 ל מ = 4 + י נ = 0 מ ו 0. בכל סעיף ב חרו את המספר הקרוב ביותר לתוצאת התרגיל שבמשבצת שילובים במתמטיקה יחידה - 4 השורש הריבועי

10 c שיעור. שורשים ומשפט פיתגורס יפי אמרה: לכל 0 ו- 0 מתקיים + = + ש ערו: האם יפי צודקת? נחשב אורכי צלעות במשולשים ישרי-זווית.. ח שבו בקירוב את + ואת + האם = +? + ק בעו = או !? + ה סביר האם לכל > 0 ו- > 0 מתקיים + = + או מתקיים + בּ דקו את השערתכם ממשימת הפתיח. ח שבו. 4 + ה א ם+ 4 =? 4 + ח שבו. + האם+ =? +? ה סביר האם לכל > 0 ו- > 0 מתקיים + = + או מתקיים! ס מ 0 ס מ. נתון משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. שתי תלמידות ח ישבו את אורך היתר. אסתר אמרה: = 0,0 + 0 לכן אורך היתר 0 ס"מ. טליה אמרה: = מי צודקת? ה סביר במשימות ו- ראינו מתוך דוגמאות כי לכל > 0 ו- > 0 מתקיים: + + כמו כן מתקיים: + + c c תזכורת משפט פיתגורס: במשולש ישר-זווית, שטח הריבוע הבנוי על היתר שווה לסכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים. כלומר, אם ו- הם אורכי הניצבים ו- c הוא אורך היתר 0( > c,) > 0, > 0, אז + = c יחידה - 4 השורש הריבועי שילובים במתמטיקה 7

11 4. אורכי הניצבים של משולש ישר-זווית הם ס"מ ו- 4 ס"מ. מה אורך היתר? אורכי הניצבים של משולש ישר-זווית הוא ס"מ ו- ס"מ. מה אורך היתר? אורך היתר של משולש ישר-זווית הוא ס"מ אורך אחד הניצבים ס"מ. מה אורך הניצב השני?. בכל סעיף משולש ישר-זווית. שאורך אחת מצלעותיו ס"מ. צ יינו אילו ערכים מתאימים ל- לפי נתוני הבעיה, וח שבו את אורכה של צלע ז )השרטוטים הם להדגמה, ומידות האורך נתונות בס"מ(. דוגמה: > כי אורך היתר גדול מאורך כל אחד מהניצבים. לפי משפט פיתגורס ^ h + = + = 4 = = אורכי הניצבים של משולש ישר-זווית הם ס"מ, 4 ס"מ. ח שבו את אורך היתר. אורך אחד הניצבים במשולש ישר-זווית ס"מ, ואורך היתר ס"מ. ח שבו את אורך הניצב השני. איזה משולש התקבל? חושבים על... +,.7 חוה אמרה: לכל > 0 ו- > 0 מתקיים + < + כי במשולש ישר-זווית שבו אורכי הניצבים אורך היתר הוא + ומתקיים סכום אורכי הניצבים גדול מאורך היתר. האם חוה צודקת? ה סביר במשימה 7 ראינו כי לכל > 0 ו- > 0 מתקיים: + < + < דוגמה: + + כי: = 7 = 4+ + ו- = = + 0 שילובים במתמטיקה יחידה - 4 השורש הריבועי

12 . ק בעו = או. > לכל > לכל > 0 ו- > 0 > לכל > 0 ^ h > 0 ו- לכל > 0 ^+ h + בעקבות ש רטטו ציר מספרים. ב נו ריבוע על קטע היחידה )הקטע מ- 0 עד (. מה שטח הריבוע? 0 4 העבירו בריבוע אלכסון מנקודת האפס. מה אורך האלכסון? בעזרת מחוגה ס מנו על ציר המספרים, את המקום של ^ בעזרת מחוגה ס מנו על ציר המספרים, את המקום של h ס מנו על ציר המספרים את המספרים הבאים. + + אוסף משימות השרטוטים באוסף המשימות הם להדגמה, ומידות האורך נתונות בס"מ.. בכל סעיף משולש ישר-זווית. ח שבו את אורך הצלע המסומנת ב- (. > )0. ח שבו את ערכו של ואת ערכו של.( > 0, y > 0) y 0 0 y y y יחידה - 4 השורש הריבועי שילובים במתמטיקה

13 . ח שבו את ערכו של ואת ערכו של.( > 0, y > 0) y y 4 y 0 y 4. בכל סעיף משולש ישר-זווית. ח שבו את אורך הצלע המסומנת ב- ). > (0 40. אורכי הניצבים של משולש ישר-זווית הם ס"מ, 0 ס"מ. ח שבו את אורך היתר. אורכי הניצבים של משולש ישר-זווית הם ס"מ, 4 ס"מ. ח שבו את אורך היתר. אורכו של כל ניצב במשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים הוא 0 ס"מ. ח שבו את אורך היתר. אורך אחד הניצבים במשולש ישר-זווית ס"מ, ואורך היתר ס"מ. ח שבו את אורך הניצב השני. אורך אחד הניצבים במשולש ישר-זווית 4 ס"מ, ואורך היתר ס"מ. ח שבו את אורך הניצב השני. איזה משולש התקבל? + = c לפי משפט פיתגורס:. + = c c כלומר: + c = + c ( + c ) = ( + c ) = לכן: מה השגיאה? 7. ה סבירו, בלי לחשב, מדוע השורש הריבועי 470 אינו מספר שלם. שילובים במתמטיקה יחידה - 4 השורש הריבועי

14 שיעור 4. חוקי שורשים ב דקו אם השוויונות הבאים נכונים. 00 = 00 = = 4 4 = = 00 = נכיר חוקים לגבי שורשים ריבועיים של מספרים שאינם שליליים. 0, 0 = במשימת הפתיחה ראינו דוגמאות לחוק הכללי:. אילו מהשוויונות הבאים מתקיימים לכל 0? 0, תּ נו דוגמה לכל שוויון שאינו מתקיים לכל 0. 0, = = = ז. = = = ח. = = = ט. = = = = 4 דוגמאות: = =. ח שב 0 חושבים על.... ה ראו כי א..( 0) ^ h = ב..( 0, 0) = יחידה - 4 השורש הריבועי שילובים במתמטיקה

15 4. בכל סעיף ק בעו "נכון" או "לא נכון". ה סביר = 4 = 4 = נכון כי: 0 = = = = 0 לא נכון, כי: 0 דוגמאות: = 4 = 0 0 = = 7 = 00 = 0 4 = 4 +. בכל סעיף צ יינו את התרגיל שתוצאתו שונ בכל סעיף ק בעו מה גדול יותר. ה סביר או דוגמה: = = = 4 = = = 0 < < 0 4 לכן: או או 7 או בעקבות....7 ה ראו כי = + + ה ראו כי = h ^ + אוסף משימות. ידוע כי = 44 היעזרו בנתון ומ צאו את השורשים הבאים: שילובים במתמטיקה יחידה - 4 השורש הריבועי

16 . ידוע כי = 4 אילו מהשורשים הבאים תוכלו לחשב במדויק באמצעות נתון זה? ה סביר ז ח. = נתון 4... =., באמצעות נתונים אלו ח שבו ללא מחשבון את השורשים הבאים: 7 4. בכל סעיף מ צאו את התרגילים שתוצאתם שווה לביטוי שבמסגרת ח שב 0 4. ח שב יחידה - 4 השורש הריבועי שילובים במתמטיקה

17 7. בכל סעיף ק בעו = או בכל סעיף ק בעו מה גדול יותר. או או 4 או 0 0 או. בכל סעיף ק בעו מה גדול יותר. או או 0 או או 4 0. בכל סעיף ה ראו כי התוצאה היא 7 = = = 7 7 =. מה גדול יותר: 0 + או? 0 ה סביר שילובים במתמטיקה יחידה - 4 השורש הריבועי

18 שיעור. חוקי שורשים )המשך( 44 מה השורש הריבועי החיובי של המנה? מיכל חישבה כך: = 4 = = תמר חישבה כך: = 4 הייתכן ששתיהן חישבו נכון? נכיר חוק נוסף עבור מנה של שורשים. ( > 0, 0) במשימת הפתיחה ראינו דוגמה לחוק הכללי: =. ב דקו אם השוויונות הבאים נכונים. = = = 4 4 = חושבים על.... איזו מהמסקנות הבאות תוכלו להסיק לכל 0? > 0, ה סביר = = = =. ק בעו <, > או = ה סביר ח שב ז ח יחידה - 4 השורש הריבועי שילובים במתמטיקה 7

19 . ה ראו בכל סעיף כי השוויון נכון. לכל 0 > 0, = 4 = =. פי כמה גדול 0 מ-? פי כמה גדול 00 מ-? בעקבות ב דקו אם השוויונות הבאים נכונים = 4 = = אינו נכון לכל ו- טבעיים. = + למרות הדוגמאות בסעיף א, ה ראו כי אוסף משימות. ק בעו >, < או.=. ח שב ח שב ח שב שילובים במתמטיקה יחידה - 4 השורש הריבועי

20 . ח שב ^ h ^ h ז. ^ ^ h h ח.. ה ראו בכל סעיף כי השוויון נכון. = = = = 7. פי כמה גדול מ-? פי כמה גדול 4 מ-?. ק בעו בכל סעיף מה גדול יותר. ה סביר או או 0 0 או. נתון הביטוי האלגברי מהו תחום ההצבה? ה ציבו בביטוי )במקום ( את המספרים הבאים וח שב 0 0 איזה מספר הצבנו בביטוי )במקום ( אם קיבלנו? אם קיבלנו? 0 אם קיבלנו? 0. נתון הביטוי האלגברי 7 מהו תחום ההצבה? ה ציבו בביטוי )במקום ( את המספרים הבאים וח שב 0 4. איזה מספר הצבנו בביטוי )במקום ( אם קיבלנו? 0 אם קיבלנו? אם קיבלנו? יחידה - 4 השורש הריבועי שילובים במתמטיקה

21 4. נתון הביטוי האלגברי ה ציבו בביטוי )במקום ( את המספרים הבאים וח שב איזה מבין התחומים הבאים הוא תחום ההצבה של הביטוי האלגברי הנתון? ה סביר או 0 > 4 0 < < 4. במבוך אפשר לעבור רק דרך משבצות שבהן התוצאה קטנה מ-. ה ניחו דף שקוף וש רטטו שביל יציא ה תחילו 4 4 $ 44 $ + $ + 4$ 0 $ - - $ $ $ $ $ + 0 $ $ + $ $ 00 + $ 0-0 $ 00. נתון הביטוי האלגברי בּ חרו ארבעה מספרים שאפשר להציב בביטוי הנתון )אין צורך לחשב(. מה תחום ההצבה של הביטוי האלגברי הנתון? +.4 ה ראו כי = 0 שילובים במתמטיקה יחידה - 4 השורש הריבועי

22 שומרים על כושר משוואות ומערכת משוואות. פ תרו ) פ רקו לגורמים במידת הצורך(. = 0 = 0 ) ( = 0 = 0 ) + )( ( = 0 = 0 ) )( (. פ תרו )היעזרו בחוקי הפילוג ופ שטו(. ( )( + ) = ( + ) ( + ) = + 4 ( + )( ) = + ( + )( + ) = ( + )( + ) = ( )( + ) = 7. פ תרו )היעזרו בחוקי הפילוג ופ שטו(. ( + )( + ) = + + ) + 0)( + < ( + ( + 4)( 4) > 4) + )( = ( + 4. פ תרו את מערכות המשוואות הבאות. ( + )( + ) y= + y= 4 ( + )( y ) = y + y= 4 ( + y)( + ) = + y + 0 y= 0 ( y)( + ) = 7 y 7+ y=. נתונים שני מלבנים ) >, השרטוטים הם להדגמה, ומידות האורך נתונות בס"מ(. +4 א ב ר שמו ביטוי אלגברי לשטח של כל מלבן. לכל סעיף, ר שמו משוואה, מ צאו את אורכי צלעות המלבן וח שבו את ההיקף. שטחי מלבנים שווים. שטח מלבן א קטן ב- סמ"ר משטח מלבן שטח מלבן א גדול ב- סמ"ר משטח מלבן יחידה - 4 השורש הריבועי שילובים במתמטיקה